Dado el segmento AB (en magnitud y posición), se pide: 1. Determina un punto C lo mas a la derecha posible que diste 96 mm. de A y 56 mm. de B. 2. Dibuja la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C. 3. Dibuja una recta R equidistante de la mediatriz de AC la distancia de 60 mm. lo más próxima posible al punto A. 4. Hallar un punto P en R que diste 120 mm. de C y esté situado lo más próximo posible al punto B. 5. Sobre la recta R y a partir de P realiza la siguiente operación de segmentos AB + BC - AC. 6. Divide el segmento AB en 5 partes iguales. 7. En la circunferencia dibuja la cuerda MN que mida 60 mm. sea paralela a AC y esté situada a su derecha. Todas las construcciones son geométricas, han de encontrarse en el espacio útil de la lámina (interior del margen) y se dejará constancia del proceso seguido.
A
B
GEOMETRÍA
1
Tomando el punto A como vértice y r como lado, se pide: 1. Dibuja los ángulos de 60º, 75º y 105º en el sentido contrario a las agujas del reloj. Para su construcción debes utilizar el compás y dejar constancia del proceso geométrico empleado, así como la suma de ángulos utilizada para su determinación. Sólo el ángulo de 90º puede ser construido mediante el uso de las escuadras. 2. Escribe en el cuadro el valor del ángulo complementario de 75º y el suplementario de 105º.
75º = 105º =
Ángulo complementario de 75º = Ángulo suplementario de 105º =
r
A
Dados los ángulos A y B, dibuja con vértice en O y tomando como lado la semirrecta r: 1. El ángulo diferencia A-B e indica su valor en grados. 2. Divide el ángulo diferencia obtenido en tres partes iguales. Todas las construcciones se realizarán con el compás, debiendo dejar constancia del procedimiento empleado. Los ángulos se construirán con el compás y solamente se usará el transportador de ángulos para realizar su medida.
B
O
r Ángulo diferencia =
A
GEOMETRÍA
2
Dadas la rectas R y S y el punto P exterior a ellas, se pide: 1. Trazar la bisectriz T del ángulo que forman dichas rectas. 2. Trazar por el punto P una recta M concurrente con R, S y T. Todas las construcciones han de realizarse en el espacio útil de la lámina (interior del margen).
R
P
S
Traza la bisectriz de los ángulos mixtilíneo y curvilíneo representados.
O
O1
ÁNGULO MIXTILÍNEO
GEOMETRÍA
ÁNGULO CURVILÍNEO
O2
3
Dadas las circunferencias de centros O1 y O2 y el ángulo central α dibuja en la circunferencia de centro O1 un ángulo inscrito y en la de centro O2 un ángulo semiinscrito cuyo valor sea la mitad de α siendo el vértice en ambos casos el punto A indicado sobre la circunferencia. A
O1
A
O2
α α
Calcula el valor del ángulo exterior , ángulo circunscrito y ángulo interior en función de α y γ.
β
γ
β
γ γ
β α
ÁNGULO EXTERIOR
GEOMETRÍA
α
ÁNGULO CIRCUNSCRITO
α
ÁNGULO INTERIOR
4
Dibuja la figura plana cerrada ABCDEFGH conociendo los siguientes datos: - Sus vértices se leerán siguiendo el orden contrario a las agujas del reloj. - El lado AB está situado sobre la semirrecta r dada, siendo el punto A un vértice de la figura. - Las medidas de sus lados expresada en mm son: AB = 51 ; BC =48 ; CD = 64 ; DE = 50 ; EF =60 ; FG = 60 ; HG =70 ; AH = 45 - Los ángulos en A, B, C, D y H miden: A= 150º ; B=157.5º ; C= 105º ; D= 120º ; H =135º - Si existe más de una solución elige aquélla cuya área sea menor. Los ángulos han de construirse con el compás (excepto el de 90º) dejando constancia del método utilizado y anotando en el cuadro la combinación de ángulos utilizada. 157.5º = 105º = 120º = 150º = 135º =
A
r
GEOMETRÍA
5
Determina el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias de radio 8 mm. tangentes a la circunferencia dada de centro O.
O
Representa gráficamente sobre la semirrecta dada 50 3 , siendo la unidad el mm. Indica en el cuadro la justificación analítica de la solución. JUSTIFICACIÓN ANALÍTICA
GEOMETRÍA
6
Dado el segmento AB obtener el segmento resultado de multiplicar 7/3 por AB. A
B
Dado el segmento AB obtener el segmento resultado de multiplicar 5 por AB. A
2
B
GEOMETRÍA
7
Dibuja el arco capaz del ángulo de 75º cuyos lados pasen por los puntos A y B. Dos soluciones. Construye el ángulo con el compás. B
A
Dados dos segmentos consecutivos AB y BC, determina un punto exterior a ellos desde el cual se vean ambos segmentos bajo un mismo ángulo de 60º. Indicar todas las soluciones posibles designándolas con letras. C
B
SOLUCIONES: PUNTOS: A
GEOMETRÍA
8
Dado el segmento AB en magnitud y posición, se pide: 1. Dibuja el triángulo rectángulo ABC que tiene por hipotenusa el segmento AB, uno de sus catetos mide 52 mm. y el vértice C queda lo más a la izquierda posible y por encima del segmento AB. 2. Traza las tres medianas del triángulo obtenido.
B
A
Dada la altura de un triángulo isósceles ABC por el segmento h, dibuja dicho triángulo sabiendo que su altura ha de encontrarse sobre la semirrecta r a partir del extremo N, y uno de sus ángulos que son iguales mide 65º. h
r
N
GEOMETRÍA
9
Dado el segmento MN en posición y magnitud, se pide: 1. Construir el triángulo MNP siendo una de sus bases el segmento dado. La altura que parte de MN vale 90 mm. y el ángulo opuesto 35º. De las dos soluciones posibles dibuja aquélla que sitúa al vértice P lo más a la izquierda posible. 2. Obtener el circuncentro (C), incentro (I) y ortocentro (O) del triángulo. 3. Dibuja las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo.
M
GEOMETRÍA
N
10
Conocida la circunferencia circunscrita a un triángulo isósceles ABC, dibuja dicho triángulo sabiendo que el lado que es desigual mide 60 mm. y es paralelo a la recta R.
R
Construye el triángulo ABC siendo conocido en magnitud y posición el lado AB; otro de sus lados se corresponde con la magnitud del segmento AC y la mediana que parte de AB tiene por magnitud el segmento MC.
A
C
M
C
A
GEOMETRÍA
B
11
Dibuja un triángulo isósceles ABC conociendo las magnitudes del semiperímetro (segmento MN) y la altura (segmento MC) tomada AB como base. El lado AB correspondiente al lado que es desigual está situado sobre la recta r. N
M
M
C
r
M
Dibuja el romboide ABCD (leído en sentido contrario a las agujas del reloj) siendo AB el lado menor, AD el lado mayor y BD = AD. Sitúa el lado AB sobre la semirrecta r dada. A
B
A
D
r A
GEOMETRÍA
12
Dibuja un trapecio isósceles conocidas sus bases AB y CD y la diagonal d. Sitúa la base mayor AB sobre la semirrecta r dada. A
B
C
A
D
d
r
Dibuja el rombo ACBD siendo AB la diagonal menor y sabiendo que la suma de sus ángulos obtusos es igual a 230º. Indica en el cuadro las operaciones necesarias. B
A
GEOMETRÍA
ÁNGULO AGUDO =
13
Dibuja el trapecio ABCD (leído en sentido contrario a las agujas del reloj), siendo AB la base mayor, CD la base menor y MN y PQ sus diagonales. Sitúa el lado AB sobre la semirrecta r dada. A C M
B D
N
Q
P
r A
Dibuja un pentágono regular de lado el segmento AB dado en magnitud y posición. Para su construcción puedes utilizar el método aproximado.
A
B
GEOMETRÍA
14
Dada la circunferencia de centro O divídela en 5, 7 y 10 partes iguales y dibuja el pentágono, heptágono y decágono convexos inscritos en ella.
O
GEOMETRÍA
15
Dado el segmento AB en magnitud y posición, se pide: 1. Dibuja el hexágono regular convexo de lado el segmento dado. 2. Traza la circunferencia inscrita al hexágono. 3. Contesta a la siguiente pregunta: ¿Es posible dibujar un hexágono regular estrellado a partir del hexágono convexo dibujado? Justifica tu respuesta en el cuadro de la derecha representado.
A
B
Dibuja todos los decágonos regulares estrellados inscritos en una circunferencia de radio 40 mm. de centro O. Justifica la solución adoptada.
O
GEOMETRÍA
16
Dado el segmento AB en magnitud y posición, se pide: 1. Dibuja un heptágono regular de lado el segmento dado. 2. Dibuja todos los heptágonos regulares estrellados posibles. Justifica la solución adoptada.
A
B
Dado el segmento AB en magnitud y posición, se pide: 1. Dibuja un octógono regular de lado el segmento dado. 2. Dibuja todos los octógono regulares estrellados posibles. Justifica la solución adoptada.
A
GEOMETRÍA
B
17
Divide la circunferencia dada en 11 partes iguales mediante el procedimiento general aproximado.
O
Dibuja un heptágono regular de 25 mm. de lado mediante el procedimiento general aproximado. Traza la circunferencia auxiliar con un radio aproximado de 40 mm.
O
GEOMETRÍA
18
Dibuja un pentágono regular sabiendo que su apotema tiene como magnitud el segmento dado AB y uno de sus lados se encuentra sobre R. B
A
R
Dibuja un hexágono regular sabiendo que la distancia entre dos de sus lados paralelos mide 64 mm. y dos de sus vértices se encuentran sobre la recta R.
R
GEOMETRÍA
19
Determina la potencia P del punto O respecto a la circunferencia de radio r para cada uno de los casos representados.
O
A
A
A
O
O
O B
B
B
P=
P=
P=
P=
Dibuja el eje radical de las circunferencias dadas en cada uno de los casos indicados.
LAS CIRCUNFERENCIAS SE CORTAN
GEOMETRÍA
LAS CIRCUNFERENCIAS SON EXTERIORES ENTRE SÍ
LAS CIRCUNFERENCIAS SON TANGENTES EXTERIORES
20
Dibuja el eje radical de las circunferencias dadas para cada uno de los casos representados.
LAS CIRCUNFERENCIAS SON TANGENTES INTERIORES
LAS CIRCUNFERENCIAS SON INTERIORES ENTRE SÍ
Localiza el centro radical C de las circunferencias dadas.
GEOMETRÍA
21
Conocido el centro de inversión O, el punto A y su inverso A' y un punto B, determina el inverso de este punto.
A'
A
B O
Conocido el centro de inversión O, el punto A y su inverso A' y un punto B', determina el inverso de este punto.
B' A
O
A'
GEOMETRÍA
22
Conocido el centro de inversión O, el punto A y su inverso A' y un punto B, determina el inverso de este punto.
A
O
A'
B
Definida la inversión de la pareja de puntos A y B, siendo O el centro de inversión, se pide: 1. Dibuja las rectas antiparalelas. 2. Representa el punto doble C. 3. Indica analíticamente la potencia de inversión K para los puntos A, B y C. 4. Calcula el radio de la circunferencia de autoinversión.
A'
A
B' O
B
GEOMETRÍA
23
Dado el punto A obtener su inverso sabiendo que O es el centro de inversión y K = 1600 mm. es su potencia o razón.
O
A
Dada la recta R obtener su inversa sabiendo que O es el centro de inversión y la k de su razón viene dada por la magnitud de segmento MN. K
N
M
R
O
GEOMETRÍA
24
Obtener la inversión de la circunferencia en cada una de las circunferencias representadas, siendo conocido el centro de inversión O y el valor de la magnitud k =48 mm.
O
O
GEOMETRÍA
25
Traza todas las circunferencias de radio 20 mm. tangentes a las rectas R y S dadas. R
S
Enlaza las circunferencias de centros O1 y O2 mediante un arco de circunferencia de radio 30 mm. Dibuja todas las soluciones posibles.
r O1
R
GEOMETRÍA
O2
26
Enlaza una circunferencia de centro O con una recta M conociendo el punto de tangencia T en la circunferencia. Dibuja todas las soluciones posibles.
T
M
O
GEOMETRÍA
27
Enlaza una circunferencia de centro O con una recta M conociendo el punto de tangencia T en la recta. Dibuja todas las soluciones posibles.
T
O
M
Traza las circunferencias tangentes a las rectas M, N y S.
M
N
S
GEOMETRÍA
28
Traza la curva envolvente a la poligonal dada ABCDEF conocido el arco AB de centro O.
F
E
D
C
B
A
O
GEOMETRÍA
29
Traza las rectas tangentes a la circunferencia dada de centro O desde el punto P.
O
P
Traza las rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas de centros O1 y O2.
O2 r
O1 R
GEOMETRÍA
30
Traza las rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias de centros O1 y O2.
R
O1
r
O2
GEOMETRÍA
31
Enlaza la recta S con un arco de circunferencia de centro O mediante un arco de radio 20 mm. O
R
S
Dado un arco de circunferencia (de centro fuera de los límites del dibujo) y un punto T en él, trazar la recta tangente en dicho punto a la circunferencia.
T
GEOMETRÍA
32
Dibuja todas las circunferencias de radio R tangentes a dos circunferencias dadas. Deja indicado la localización de los puntos de tangencia mediante letras. R
GEOMETRÍA
33
Traza las circunferencias tangentes a la resta R y que pasen por los puntos A y B.
A
B R
Traza las circunferencias tangentes a otra dada de centro O y que pasen por los puntos A y B. A
B
O
GEOMETRÍA
34
Trazar las circunferencias tangentes a las dos dadas de centros A y B conociendo el punto T de tangencia sobre una de ellas.
B
T A
GEOMETRÍA
35
Traza las circunferencias tangentes entre sí y tangentes interiores a la circunferencia dada.
GEOMETRÍA
36
Traza una circunferencia tangente a otra de centro O y a una recta R siendo conocido el punto de tangencia T en la recta. Realiza este ejercicio por dilataciones.
O
R
T
Traza una circunferencia tangente a las rectas R y S y que pase por el punto A.
R A
S
GEOMETRÍA
37
Traza las circunferencias tangentes dos a dos dados los centros O1 , O2 y O3 de las mismas.
O2
O1
O3
GEOMETRÍA
38
Traza las circunferencias tangentes a las rectas R y S que pasen por el punto P. De las dos soluciones posibles dibuja solo una.
S
P
R
GEOMETRÍA
39
Traza las circunferencias que pasando por un punto P sean tangentes a la recta R y a otra dada de centro A. De las cuatro soluciones posibles dibuja únicamente una. R
A
P
Traza las circunferencias que pasando por un punto P sean tangentes a otras dos de centros A y B. De las cuatro soluciones posibles dibuja únicamente una.
A
P
B
GEOMETRÍA
40
Dibuja la figura representada a escala 1:1 sabiendo que el arco de radio 38 mm abarca un ángulo de 144º. Deja indicado el proceso seguido para obtener los centros de los arcos, así como los puntos de tangencia.
R15
8 R3
T
T
GEOMETRÍA
41
Dibuja la figura representada a escala 2:1 haciendo coincidir el punto A con A'. Deja indicado el proceso seguido para obtener los centros de los arcos, así como los puntos de tangencia. 21
15°
R2
5 3, R1 A
R2 8
R17.5
A' R1 4
R35
17,5
GEOMETRÍA
42
16 20 64
Dibuja la figura representada a escala 1:1 haciendo coincidir el punto A con A'. Deja indicado el proceso seguido para obtener los centros de los arcos, así como los puntos de tangencia.
A
20
R1
06
2 R3
56
43
R38
37
16
A'
GEOMETRÍA
43
56
Dibuja la copa representada a escala 1:1 conocido su eje de simetría y haciendo coincidir la base de la misma con la recta M. Deja indicado el proceso seguido para obtener los centros de los arcos, así como los puntos de tangencia.
12 R
39
5 R2
R7
63
M
GEOMETRÍA
44
11.2
Dibuja el gancho representado a escala 1:1 a partir de los ejes dados. Deja indicado el proceso seguido para obtener los centros de los arcos, así como los puntos de tangencia.
14.2 37 0 R8
R5 R32
0 R7 7 R3
10
GEOMETRÍA
45
Rectifica el arco de circunferencia AB de radio R.
B
R
A
Rectifica el arco AB de 90º. B
A
GEOMETRÍA
46
R
Rectifica la circunferencia dada de radio R. Indica el resultado sobre la semirrecta representada.
Rectifica la línea curva representada. Indica el resultado sobre la semirrecta dada.
A
A'
GEOMETRÍA
47
Dados los ejes AB y CD en posición y magnitud de una elipse, se pide: 1. Dibuja la elipse. 2. Traza la recta tangente a la elipse en un punto P de ella situado a 30 mm. del eje CD y por encima de AB.
C
B
A
D
Dibuja una elipse conociendo sus ejes conjugados AB y CD en posición y magnitud.
C
A
B
D
GEOMETRÍA
48
Dado el eje, el foco F y la directriz d de una parábola, se pide: 1. Dibuja la parábola. 2. Traza la recta tangente a la parábola en un punto P de ella situado por encima del Eje y a 23 mm. de la directriz.
d
F
O
Eje
De una hipérbola se conoce el eje real, los vértices A y B y los focos F1 - F2. Se pide: 1. Dibuja la hipérbola. 2. Traza la recta tangente a la hipérbola en un punto P de la rama de la izquierda situado a 14 mm. del foco F1.
Eje real F1
GEOMETRÍA
A
B
F2
49
Dibuja una parábola conociendo el eje y el rectángulo ABCD circunscrito a la misma. B C
Eje
D
A
Dibuja una hipérbola conociendo el centro O, un foco F2, un vértice V1 y el punto A de la curva. A
F2
O
GEOMETRÍA
V1
50
Dado el eje mayor AB en posición y magnitud de una elipse y el foco F, se pide: 1. Determina su otro foco F'. 2. Dibuja su eje menor CD. 3. Dibuja la elipse.
A
F
B
Dada la elipse, determina: 1. Sus ejes principales AB (eje mayor) y CD (eje menor). 2. Una pareja de ejes conjugados MN y PQ.
GEOMETRÍA
51
Dado el eje mayor AB en posición y magnitud de una elipse y los focos F y F' determina los puntos de intersección de la recta R con la elipse sin dibujarla.
A F
F' R
GEOMETRÍA
B
52
Dado el eje, el foco F y la directriz d de una parábola, determina los puntos de intersección de la recta R con la parábola sin dibujarla.
d
F
Eje
R
GEOMETRÍA
53
De una hipérbola se conoce el eje real, los vértices A y B y los focos F - F'. Se pide: Determinar los puntos de intersección de la recta R con la hipérbola sin dibujarla.
Eje real F
A
B
F'
R
GEOMETRÍA
54
Dibuja un óvalo conocido su eje mayor AB en posición y magnitud.
A
B
Dibuja un óvalo conocido su eje menor AB en posición y magnitud.
A
B
GEOMETRÍA
55
Dibuja un óvalo conocidos sus dos ejes AB y CD en posición y magnitud.
D
B
A
C
Dibuja un ovoide conocido su eje menor AB en posición y magnitud. B
A
GEOMETRÍA
56
Dibuja un ovoide conocido su eje mayor AB en posición y magnitud.
A
GEOMETRÍA
B
57
Dibuja un ovoide conociendo las magnitudes de sus dos ejes AB y CD. Sitúa el eje AB sobre la semirrecta r.
A
B D
C
r A
GEOMETRÍA
58
A partir de la circunferencia (ruleta) dada, dibuja la curva cicloide que describe un punto que rueda sin resbalar sobre la recta m.
m
L = 2.π.r = 3d + 1/7d L = Longitud de la circunferencia r = radio de la ruleta d = diámetro de la ruleta
GEOMETRÍA
59
A partir de la circunferencia (ruleta) dada, dibuja la curva epicicloide que describe un punto que rueda exteriormente sin resbalar sobre otra circunferencia. CÁLCULO DEL ÁNGULO 360º .........2 πR α...............2 πr
⇒
α
α = 360.r/R
α =
r
R
GEOMETRÍA
60
A partir de la circunferencia (ruleta) dada, dibuja la curva hipocicloide que describe un punto que rueda interiormente, sin resbalar sobre otra circunferencia.
r R
α = 360. r / R =
GEOMETRÍA
61
A partir de los puntos A y B representados traza la espiral de dos centros.
A
B
A partir del triángulo ABC representado construir la voluta (espiral de tres centros). Traza el primer arco con centro en el punto A e inicia la curva en C.
C
B
GEOMETRÍA
A
62
A partir de la circunferencia representada dibuja la espiral jónica o voluta.
GEOMETRÍA
63
A partir de la circunferencia representada dibuja la espiral de Arquímedes.
A partir de la circunferencia representada dibuja la evolvente normal.
GEOMETRÍA
64
Dado el segmento AB divídelo en partes proporcionales a los segmentos dados a, b y c. a
b c
A
B
Dados los segmentos a, b, c , se pide: Determina geométricamente el segmento cuarto proporcional de dichos segmentos. a
b
ECUACIÓN MATEMÁTICA
c
GEOMETRÍA
65
Dados los segmentos a y b se pide: Determina geométricamente el segmento tercera proporcional de dichos segmentos. a
ECUACIÓN MATEMÁTICA
b
Determina geométricamente el segmento media proporcional de los dados a y b. a
b
ECUACIÓN MATEMÁTICA
GEOMETRÍA
66
Dado el segmento AB en magnitud y posición, se pide: 1. Determina geométricamente la división áurea de dicho segmento. 2. Siendo AB el lado menor de un rectángulo dibuja el rectángulo áureo.
A
B
Dibuja un polígono equivalente al ABCDE representado con un lado menos. D
C
E
B
A
GEOMETRÍA
67
Dibuja el rectángulo equivalente al triángulo representado ABC. C
A
B ECUACIONES MATEMÁTICAS
Dibuja un cuadrado equivalente al hexágono regular ABCDEF dado. E
D
F
C ECUACIONES MATEMÁTICAS
A
GEOMETRÍA
B
68
Dado el triángulo ABC divídelo en tres triángulos cuyas áreas sean B equivalentes.
A
C
Dibuja un rectángulo sabiendo que uno de sus lados mide 64 mm. y es equivalente al cuadrado representado.
ECUACIONES MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA
69
Construye la escala gráfica 13/5 sobre la semirecta representada.
Dada la figura a escala 1:5 realiza su dibujo a escala 1:2 Haz coincidir el punto A con A' e indica los cálculos necesarios para obtener la escala intermedia.
A
CÁLCULOS
A'
GEOMETRÍA
70
Datos O, RL, EJE .Obtener la recta límite RL'
Datos O, RL', EJE .Obtener la recta límite RL
O
O
RL
EJE EJE
RL'
Datos O, RL, RL' .Obtener el EJE
Datos O, RL, EJE, recta r .Obtener la recta r'
O
O
RL
RL
r EJE
RL'
Datos O, RL, EJE, recta r .Obtener la recta r' O
Datos O, RL, EJE, punto A .Obtener A' O
RL
RL
A
r
EJE EJE
GEOMETRÍA
71
Datos O, EJE, puntos A, A' y B.Obtener B'
Datos O,EJE, rectas r, r' y el punto A. Obtener A'
O
O
r
A
B
A EJE
EJE
A'
r'
Datos RL, EJE y puntos A, A', B. Obtener B' y O.
Datos A, A', B, B', M-M' .Obtener el EJE y O.
RL
A
B A
B EJE
M-M' A'
B' A'
Datos RL, EJE, r, s, y el ángulo α' = 60º formado por r' y s'. Obtener r', s' y O.
Datos O, RL, segmento AB, distancia A'B'= 25 mm .Obtener el EJE O RL
RL
A
B
r s EJE
GEOMETRÍA
72
Obtener la figura homóloga al triángulo dado ABC siendo conocido el centro de homología O, el eje de homología y un par de puntos homólogos A-A'. O
Eje
B C A
A'
Obtener la figura homóloga al pentágono dado ABCDE siendo conocido el centro de homología O, el eje de homología y un par de puntos homólogos C-C'. A B
O E
C C'
Eje
GEOMETRÍA
D
73
Dada la figura ABCD, la recta límite RL' de la forma plana ABCD, el centro de homología O y el eje de homología E, determina la figura homóloga A'B'C'D'. O
RL'
E A
B
D
C
Dada la figura ABCD, la recta límite RL' de la forma plana ABCD, el centro de homología O y el eje de homología E, determina la figura homóloga A'B'C'D'. O
RL'
E A
B D
C
GEOMETRÍA
74
Dibuja la figura homóloga del triángulo ABC siendo conocido el eje de homología E, el centro de homología O y la recta límite RL de la forma plana A'B'C'.
E
C RL
B
A
O
GEOMETRÍA
75
Dadas las figuras homólogas K y K' obtener la recta límite RL' de la forma plana K siendo O el centro de homología y E el eje de homología. O
K
E
K'
Dado el cuadrilátero ABCD y el eje de homología E, transformarlo en un cuadrado.
EJE
D
C
A B
GEOMETRÍA
76
Dada una afinidad por su eje y un par de puntos afines A y A' , se pide: Hallar la figura afín del polígono estrellado representado. C
D B
E A Eje
A'
Dibujar la elipse afín a la circunferencia dada conociendo el eje de afinidad y el punto O' afín del O.
Eje
O
O'
GEOMETRÍA
77
Conocidos los ejes AB y CD de una elipse en posición y magnitud, dibújala por el método de afinidad.
D
B
A
C
Desde el punto P traza las rectas tangentes a la elipse dada por sus ejes AB y CD. No dibujar la elipse.
P
C
B A
D
GEOMETRÍA
78
Dibujar la figura homotética al polígono ABCDEF conociendo el centro de homotecia O y la razón de homotecia: OF'/OF =3/2'5
D
C B
E
F
A
O
Dado el polígono irregular de la figura, dibujar el polígono homotético a éste que cumpla la razón -5/4 siendo O el centro de homotecia.
O
GEOMETRÍA
79
Dado el polígono irregular de la figura, dibujar el polígono semejante a éste que cumpla la razón 6/7 siendo el centro de semejanza el punto O. O
Dibuja la figura semejante a la dada sabiendo que la razón de semejanza es 8/5 y siendo O el centro de semejanza.
O
GEOMETRÍA
80
Dibuja la figura simétrica al heptágono regular ABCDEFG respecto al eje representado e. e A B G
C F
D E
Dibuja la figura simétrica al pentágono regular ABCDE respecto al centro O.
C
B
O D
A
E
GEOMETRÍA
81
Dadas las rectas R y S y el punto P determina la recta T que pasa por P y corta a R y S en B y C tal que PB = PC.
R
P
S
Gira la circunferencia representada un ángulo de 120º en el sentido de las agujas del reloj siendo el centro de giro el punto O.
O
GEOMETRÍA
82
Dado el triángulo ABC y su transformada por giros A'B'C', determina el centro de giro y el ángulo de giro medido en sentido contrario a las agujas del reloj.
B'
C'
C A'
A
B
Dibuja un triángulo ABC equilátero que tenga uno de sus vértices en el punto A y los otros dos sobre las rectas R y S. Resuelve el ejercicio por los métodos indicados.
R
R
A
A
S MÉTODO 1: GIROS
GEOMETRÍA
S MÉTODO 2: LUGAR GEOMÉTRICO
83
Mediante traslación sitúa el segmento dado AB según la dirección d, de tal forma que tenga un extremo en cada una de las circunferencias representadas. Dibuja todas las soluciones posibles. A
B
d
Dibuja un triángulo ABC equilátero de lado 60 mm. que tenga dos de sus vértices en la recta R y el otro sobre la recta S. Resuelve el ejercicio por traslación.
S
R
GEOMETRÍA
84
Dado el dibujo isométrico (sin aplicar coeficientes de reducción) de una pieza a escala =1:1, se pide: 1. Acotar la perspectiva. 2. Dibujar a escala = 5:4 las tres vistas (incluso las líneas ocultas) indicadas por el método del primer diedro. Planta
rfil Pe
NORMALIZACIÓN
Alz
ad o
85
Dado el dibujo isométrico sin aplicación del coeficiente reductor, se pide: 1. Acota la perspectiva. 2. Dibuja por el método del primer diedro las vistas de alzado y perfil izquierdo a la escala 1:1 con indicación de aristas ocultas.
Agujero pasante vertical
14
A lz ad o
ALZADO
NORMALIZACIÓN
86
Dado el dibujo isométrico (sin aplicación de coeficientes de reducción) de una pieza, se pide, dibuja por el método del primer diedro, a escala 1:1 las vistas de alzado, planta y perfil izquierdo tomando como alzado la vista por A.
5º 13
R5
A
NORMALIZACIÓN
87
Dibuja por el sistema de proyección del primer diedro la vista que se indica de cada una de las piezas representadas. NOTA. Cualquier solución es válida siempre que se corresponda con las vistas representadas.
EN ESTE CUADRO PUEDES DIBUJAR UN CROQUIS EN PERSPECTIVA DE LA PIEZA
PERFIL IZQUIERDO
EN ESTE CUADRO PUEDES DIBUJAR UN CROQUIS EN PERSPECTIVA DE LA PIEZA
ALZADO
NORMALIZACIÓN
88
10
20
Dibuja por el método del primer diedro a la escala 1:1, las vistas de alzado, planta, perfil derecho, perfil izquierdo y vista inferior de la pieza representada. Representa también las líneas ocultas.
5
5
25 15
50
12
15
50
o ad Alz
NORMALIZACIÓN
89
32 .5
45
10
Dada la pieza de la figura, se pide: 1. Dibujar las vistas de alzado y planta por el método del primer diedro a la escala 1:1. 2. Acotar las vistas según Normas UNE o ISO.
.5 12
10
10
45
Alz ad o
NORMALIZACIÓN
90
Dado el dibujo isométrico de la figura adjunta, dibuja por el método del primer diedro las vistas de alzado, planta y perfil lateral izquierdo a la escala 1:1. Acota las vistas solicitadas según normas UNE / ISO. Haz coincidir A con A' en la vista de alzado.
5 R1
p
50 10
10
10
10 te n a as
20
40
A
65 75
A lz
ad o
A'
NORMALIZACIÓN
91
Dado el dibujo isométrico de la figura adjunta a la escala 1:2 (sin la aplicación del coeficiente reductor), se pide: 1. Dibuja por el método del primer diedro las vistas de alzado y planta a la escala 1:1 con indicación de las aristas ocultas. 2. Realiza una rotura al agujero. 3. Acota según normas UNE / ISO las vistas solicitadas.
Alzado
8(pasante)
Escala 1:2
NORMALIZACIÓN
92
A partir del objeto representado a la escala 1:1 dibuja el alzado y las vistas auxiliares para que la pieza quede definida. Acota las vistas representadas Haz coincidir el punto A con A'.
11
20
59
30
15 6
Ø10
º 30 Alz ad o
13 57
A 49
A'
NORMALIZACIÓN
93
Dada la planta y perfil derecho de una pieza a escala 1:1, se pide: 1. Dibuja en el lugar indicado el alzado seccionado A-B. 2. Acota la pieza según normas UNE / ISO.
A
NORMALIZACIÓN
B
94
Dada una pieza por dos de sus vistas a escala = 1:1 por el método del primer diedro, se pide: 1. Dibuja el corte indicado por su traza. 2. Acota la pieza según normas UNE / ISO.
NORMALIZACIÓN
95
Definida la pieza de la figura por su alzado y planta según el método del primer diedro, se pide: 1. Calcular e indicar en el casillero correspondiente la escala del dibujo. 2. Representar el corte A-A' en el lugar indicado. 3. Acotar en el corte las medidas que faltan.
90
A-A'
380
40
80
40
8
14
20
4
160
A'
A
NORMALIZACIÓN
96
R12 63
28
55
8
M8
42
Dibuja por el método del primer diedro las vistas y cortes necesarios para que la pieza quede perfectamente definida. Acota la pieza. Escala 1:1
46
NORMALIZACIÓN
97
Dada la pieza por sus vistas de alzado y planta (método del primer diedro) a escala 1:1, acótala según normas UNE / ISO.
NORMALIZACIÓN
98
Dada la pieza de revolución a escala 1/1, acotarla según normas UNE /ISO teniendo en cuenta que las roscas son métricas.
NORMALIZACIÓN
99
Dada la pieza a escala 1/1, acotarla según normas UNE / ISO.
NORMALIZACIÓN
100
Dada la planta baja de distribución de una vivienda a escala 1:100, se pide: 1. Dibuja la planta a escala 1:50 en la posición marcada. 2. Acota dicha planta. 3. Calcula la superficie útil de cada una de las dependencias indicadas así como la superficie construida de la planta.
Almacén
Cocina-Comedor
Aseo Entrada
NORMALIZACIÓN
9 8
7 6 5 4 3 2 1
SUPERFICIE CONSTRUIDA = Almacén = Conina-Comedor = Entrada= Aseo =
DISTRIBUCIÓN PLANTA BAJA
101
Representa las proyecciones de los siguientes puntos a partir de un mismo origen O en la LT e indica el lugar en donde se encuentran, especificándolo en el cuadro inferior y en el esquema de la vista de perfil. A(10,20,50) ; B(20,0,0) ; C(30,-40,-30) ; D(40,50,50) ; E(50,40,0); F (60,0,40); G(70,-20,30) ; H(80,30,-10) ; I(90,-30,30) ; J(-8,20,-20). Nota.- La primera coordenada representa el desplazamiento sobre la LT respecto de un origen; la segunda el alejamiento y la tercera la cota. Unidad = mm.
O
VISTA DE PERFIL
SITUACIÓN PVS
2º C
bi or ct se
se ct or
1erC
2º
A B C D E F G H I J
1 er bi
PUNTO
PHA 4º bi
3 er bi
or ct se
se ct or
PHP
4º C
3erC
PVI
PHA = Plano Horizontal Anterior; PHP = Plano Horizontal Posterior; PVS = Plano Vertical Superior; PVI = Plano Vertical Inferior 1erC = primer cuadrante; 2º C = segundo cuadrante; 3 erC = tercer cuadrante; 4º C = cuarto cuadrante.
DIÉDRICO
102
Dada la recta R por los puntos A(a-a') y B(b-b'), dibuja: 1. Proyecciones. 2. Partes vistas y ocultas. 3. Limitación de los cuadrantes por donde pasa. 4. Puntos de intersección con los planos bisectores. Indica en el cuadro el nombre de los puntos obtenidos.
PUNTO
SITUACIÓN
1erBisector 4º Bisector
b'
a'
b
a
DIÉDRICO
103
Dada la recta R por los puntos A(a-a') y B(b-b'), dibuja: 1. Proyecciones. 2. Trazas. 3. Partes vistas y ocultas. 4. Indica en el cuadro el nombre del tipo de recta.
a' b' TIPO DE RECTA :
a b
Dado el punto A(a-a'), se pide: 1. Dibuja las proyecciones de una recta R del tipo que corte a la LT, pase por el punto A(a-a') y tenga sus trazas a la izquierda de este punto. 2. Dibuja las proyecciones de una recta S del tipo horizontal que pase por A, forme con el PV un ángulo de 30º y su traza quede a la derecha de A. 3. Determina las trazas de ambas rectas. a'
a
DIÉDRICO
104
Dada la recta R por los puntos A(a-a') y B(b-b'), dibuja: 1. Proyecciones. 2. Trazas. 3. Partes vistas y ocultas. 4. Punto N de intersección con el 4º bisector.
a'
b'
b
a
DIÉDRICO
105
Dibuja las proyecciones de una recta R del tipo paralela a la LT del 1 er cuadrante, que esté situada por encima del PH una distancia de 45 mm. y alejada del PV 24 mm. Determina también su proyección sobre el plano auxiliar de perfil.
Dibuja las siguientes rectas del tipo oblicuas. 1. Recta R paralela al 1 er-3 er bisector que pase por A(a-a'). 2. Recta S paralela al 2º-4º bisector que pase por A(a-a'). 3. Recta T contenida en el 1er -3er bisector. 4. Recta U contenida en el 2º-4º bisector.
a'
a
DIÉDRICO
106
Dibuja las proyecciones de: 1. Un plano α−α' del tipo oblicuo con el vértice a la izquierda. Dibuja también la parte de traza oculta. 2. Un plano β−β' del tipo trazas en prolongación que no sea de perfil. 3. Un plano γ−γ' del tipo de perfil.
Dibuja las proyecciones de los siguientes tipos de planos: 1. Proyectante horizontal α−α' de vértice a la izquierda y que forme con el PV un ángulo de 30º. 2. Proyectante vertical (también llamado plano de canto) β−β' de vértice a la derecha y que forme con el PH un ángulo de 45º. 3. Frontal γ situado por delante del plano vertical una distancia de 35 mm.
DIÉDRICO
107
Dado el plano oblicuo α−α' , se pide: 1. Sitúa un punto A de cota 22 mm. y alejamiento 17 mm. en el plano representado. 2. Dibuja una recta R de máxima pendiente del plano dado sabiendo que su traza horizontal tiene de alejamiento 24 mm. 3. Dibuja una recta S de máxima inclinación del plano sabiendo que su traza vertical tiene de cota 12 mm. α'
α
Dado el plano α−α', se pide: 1. Sitúa los puntos A, B y C cuyas proyecciones verticales a', b' y c' son conocidas en el plano representado. 2. Dibuja una recta R del tipo horizontal que pase por A y esté contenida en el plano dado. 3. Dibuja una recta S del tipo vertical que pase por C y esté contenida en el plano dado. α'
b' a'
c'
α
DIÉDRICO
108
Dada la recta R de máxima pendiente, determina el plano que la contiene.
r'
r
Determina las trazas del plano que definen las rectas paralelas de perfil R y S dadas por sus proyecciones así como la proyección sobre el plano auxiliar de perfil de cada una de ellas. v'
v'
s-s' r-r' h'
v
v
h'
h
h
DIÉDRICO
109
Dadas las rectas R y S por sus proyecciones r-r' y s-s' determina las trazas del plano que definen dichas rectas.
a'
r'
s'
s
a
r
Dadas las rectas R(r-r') y S(s-s'), se pide: 1. Determina las trazas del plano α−α' que definen dichas rectas. 2. Determina las proyecciones de una recta T que está situada en el plano α−α' y pasa por los puntos A y B.
r' s'
b'
a
r s
DIÉDRICO
110
Dado el triángulo A(a-a') B(b-b') C(c-c'), se pide: 1. Determina las trazas del plano que lo define. 2. Dibuja una recta R del tipo horizontal que pase por el punto C y esté contenida en dicho plano. 3. Determina la proyección vertical del punto M para que esté situado en el plano del triángulo. b'
c'
a-a'
c
m
b
DIÉDRICO
111
Determina la intersección de los planos representados por sus trazas α−α' y β−β' β'
α'
α
β
Dados los planos α−α' y β−β' , se pide: 1. Intersección de los planos dados. 2. Proyección sobre el plano auxiliar de perfil de la recta intersección. 3. Trazas y partes vistas y ocultas de la recta intersección.
β−β'
DIÉDRICO
α−α'
112
Determina el punto I de intersección de los planos cuyas trazas son: α−α' , β−β' y γ−γ'. γ'
α'
β'
β α γ
Determina la recta R de intersección de los planos representados por sus trazas α−α' y β−β'.
β'
α'
α
DIÉDRICO
β
113
Dados los puntos A, B, C, M, N y P se pide: 1. Proyecciones de los triángulos ABC y MNP. 2. Intersección de los triángulos representados. Designa a esta recta con la letra X. 3. Suponiendo que los triángulos sean opacos dibuja partes vistas y ocultas. Se aconseja dibujar cada triángulo de un color. n' a'
p'
b'
m'
c'
m c
a
p
b
n
DIÉDRICO
114
El triángulo ABC es cortado por el plano α−α'. Determina la línea de corte en el triángulo y desígnala con la letra W.
b'
α
a'
c'
c
b
α
a
DIÉDRICO
115
Determina el punto I de intersección de la recta R(r-r') con el plano dado por sus trazas α−α'. r'
α'
α
r
Determina el punto I de intersección de la recta R(r-r') con el plano dado por sus trazas α−α'. α' r'
r
DIÉDRICO
α
116
Determina el punto I de intersección de la recta R(r-r') con el triángulo A(a-a') B(b-b') C(c-c'). b'
a'
r'
c'
b
r a
c
Determina el punto I de intersección de la recta R(r-r') con el plano dado por sus trazas α−α'. a'
r'
α' α
a
DIÉDRICO
117
Traza por el punto A(a-a') una recta S paralela a la R(r-r').
r'
a'
a
r
Traza por el punto M(m-m') una recta S paralela a la R(r-r') y determina sus trazas.
r'-r a'
m' b'
a b
m
DIÉDRICO
118
Traza por el punto A(a-a') un plano paralelo al plano dado por sus trazas α−α'. α' a'
a
α
Traza por el punto A(a-a') un plano paralelo al plano dado por sus trazas α−α'.
α' a'
α a
DIÉDRICO
119
Dados los puntos A(a-a') y B(b-b') y los planos α−α' y MNP, se pide: 1. Traza por A una recta R del tipo oblicua paralela al plano α−α'. 2. Traza por A una recta S del tipo frontal paralela al plano α−α'. 3. Traza por B una recta T paralela al plano MNP. α'
n'
b'
m'
a'
p-p'
a
m
n
b
α
Traza por el punto A(a-a') una recta T del tipo oblicua y una recta U del tipo horizontal paralelas al plano definido por las rectas R(r-r') y S(s-s') s'
r' m'
a'
s
r
a m
DIÉDRICO
120
Traza por el punto A(a-a') una recta R perpendicular al plano α−α' y una recta S perpendicular al triángulo MNP. m'
α'
n' a'
m
p'
p
α
a
n
Traza por el punto A(a-a') un plano perpendicular a la recta dada R(r-r').
a'
r'
r
a
DIÉDRICO
121
Por el punto A(a-a') traza un plano perpendicular a la recta R(r-r').
a'
r'
r a
Por un punto A(a-a') traza una recta T perpendicular a otra R(r-r') y que la corte.
a'
r'
a
r
DIÉDRICO
122
Traza por un punto A(a-a') una recta R perpendicular a otra T(t-t') y que corte a otra dada S(s-s').
a'
t'
s'
s
t
a
DIÉDRICO
123
Traza la recta R que pase por un punto A(a-a') y sea perpendicular a dos rectas dadas S(s-s') y T(t-t').
s' a'
t'
s
t
a
DIÉDRICO
124
Abate el plano dado sobre el PH de proyección. α'
α
Abate el plano dado sobre el PV de proyección. α'
α
DIÉDRICO
125
Abate el plano representado sobre el horizontal de proyección. α'
α
Abate el plano de canto representado sobre el vertical de proyección.
α'
α
DIÉDRICO
126
Determina las proyecciones de una circunferencia del 1 ercuadrante, de centro el punto O(o-o') situada en el plano representado con el mayor radio posible. α' o'
α
Abate la recta R(r-r') contenida en el plano de canto representado.
r'
α r
DIÉDRICO
127
Dado el plano α−α', que contiene a la recta R y al punto B representado en su abatimiento por (B), se pide: 1. Abate el plano y la recta R . 2. Dibuja un punto A del plano del primer cuadrante que diste 60 mm. y 90 mm. de los extremos del segmento entre trazas que define la recta R. 3. Obtener las proyecciones del punto B.
α'
r'
r
(B)
DIÉDRICO
α
128
De un plano se conoce su traza horizontal α y su traza vertical abatida ( α') . Se pide: 1. Determina la traza vertical α'. 2. Dibuja las proyecciones de un triángulo equilátero ABC del primer cuadrante situado en dicho plano que cumpla las siguientes condiciones: El vértice A se encuentra a 98 mm del vértice del plano y equidista de la traza vertical una distancia de 40 mm. El vértice B tiene el menor alejamiento posible. El vértice C está situado en el PH.
(α')
α
DIÉDRICO
129
Gira el punto A(a-a') un ángulo de 90º en el sentido contrario a las agujas del reloj.
a'
a
Gira el punto A(a-a') hasta introducirlo en el PH con alejamiento 48 mm. a'
a
DIÉDRICO
130
Gira el punto A(a-a') hasta situarlo en el plano representado α−α' con cota cero.
α' a'
α a
DIÉDRICO
131
Gira la recta R(r-r') hasta convertirla en horizontal. r'
r
Gira la recta R(r-r') un ángulo de 45º en el sentido contrario a las agujas del reloj utilizando como eje de giro la recta E(e-e'). Utiliza el método de la mínima distancia. r'
e'
e
r
DIÉDRICO
132
Por giros transforma la recta R(r-r') en recta de punta.
r'
r
Por giros transforma el plano representado en proyectante vertical. α'
α
DIÉDRICO
133
Por giros transforma el plano representado en frontal.
α'
α
Por giros transforma el plano representado en paralelo a la LT. α'
α
DIÉDRICO
134
Por cambios de plano sitúa el punto A(a-a') en el plano vertical de proyección.
a'
a
Por cambios de plano sitúa el punto A(a-a') en el plano horizontal de proyección.
a'
a
DIÉDRICO
135
Por cambios de plano transforma la recta R oblicua en horizontal.
r'
r
DIÉDRICO
136
Por cambios de plano transforma la recta R horizontal en una recta de punta. r'
r
Por cambios de plano transforma el plano oblicuo dado en proyectante vertical. α'
α
DIÉDRICO
137
Por cambios de plano transforma el plano proyectante horizontal en frontal. α'
α
Por cambios de plano transforma el plano oblicuo dado en paralelo a la LT. α'
α
DIÉDRICO
138
Determina la distancia que hay entre los puntos A(a-a') y B(b-b'). a'
b'
b
a
Determina la distancia que hay entre los puntos A(a-a') y B(b-b'). b-b'
a'
a
DIÉDRICO
139
Determina la distancia que hay desde el punto A(a-a') al plano oblicuo dado. a'
α'
α
a
Representar un segmento AB (del primer cuadrante) que partiendo del punto A del plano α−α' sea perpendicular a éste y mida 30 mm.
a'
α'
α
DIÉDRICO
140
Determina la distancia que hay desde el punto A(a-a') a la recta R(r-r').
r' a'
r a
DIÉDRICO
141
Determina la distancia que hay entre las rectas paralelas R(r-r') y S(s-s').
r'
s'
r
s
DIÉDRICO
142
Determina la distancia que hay entre los planos paralelos dados.
β
α
β
α
DIÉDRICO
143
Determina la distancia que hay desde el punto M(m-m') al triángulo dado por los puntos A(a-a'), B(b-b') y C(c-c').
b' m'
c'
a'
m
c
a
b
DIÉDRICO
144
Determina el ángulo que forman las rectas R y S.
r'
s'
a'
r
s
a
DIÉDRICO
145
Determina el ángulo que forma la recta R con los planos de proyección.
r'
r
DIÉDRICO
146
Determina el ángulo que forma la recta R con el PH utilizando los métodos siguientes: 1. Por giros, siendo el eje de giro la recta E(e-e'). 2. Por cambios de plano, siendo la nueva línea de tierra la representada coincidente con la proyección horizontal de la recta. Comprueba que el resultado es idéntico en ambos casos . r' MÉTODO 1
e'
e r
r'
MÉTODO 2
r
DIÉDRICO
147
Determina el ángulo que forman los planos representados.
α'
β'
α
DIÉDRICO
β
148
Traza por el punto A(a-a') una recta que forme un ángulo de 60º con el PH de proyección y sea del tipo oblicua. Determina sus trazas. Como eje de giro utiliza una recta vertical que pase por A. a'
a
Traza por el punto A(a-a') todas las rectas que formen un ángulo de 30º con el PV de proyección y sean del tipo horizontal. a'
a
DIÉDRICO
149
Traza por A(a-a') un plano del tipo oblicuo y vértice a la derecha que forme un ángulo de 60º con el PH de proyección. a'
a
Traza por A(a-a') los siguientes tipos de plano: 1. Un plano proyectante horizontal (de vértice a la izquierda) que forme con el plano vertical de proyección un ángulo de 30º. 2. Un plano proyectante vertical (de vértice a la derecha) que forme con el plano horizontal de proyección un ángulo de 60º. a'
a
DIÉDRICO
150
El punto O(o-o') es el centro de una circunferencia de diámetro 60 mm situada en un plano proyectante vertical de vértice a la izquierda y, que forma con el PH de proyección un ángulo de 45º, se pide: 1. Proyecciones del cono recto que tiene por base dicha circunferencia y su vértice está en el PH de proyección. 2. Determina partes vistas y ocultas en el cono.
o'
o
DIÉDRICO
151
El segmento BC pertenece a la arista horizontal de un octaedro con su diagonal mayor EF perpendicular al PH y con el vértice E en dicho plano. Determina las proyecciones del octaedro teniendo en cuenta que todo él se encuentra situado en el primer cuadrante.
b
c
DIÉDRICO
152
El punto O(o-o') es el centro de un triángulo equilátero de lado 60 mm. Dicho triángulo es la base de un tetraedro que tiene uno de sus vértices (el más a la izquierda) con alejamiento 16 mm. Dibuja sus proyecciones (con indicación de aristas vistas y ocultas) sabiendo que todo él se encuentra situado en el primer cuadrante.
o'
o
DIÉDRICO
153
Dada la esfera por sus proyecciones, se pide: 1. Completa las proyecciones de los puntos A, B, C, D y E de la esfera sabiendo que el punto C tiene más alejamiento que el B y el punto E tiene menos cota que el D. 2. Dibuja las trazas del plano proyectante horizontal de vértice a la derecha que forma 30º con el PV de proyección y es tangente a la esfera.
a' b'-c'
d-e
DIÉDRICO
154
Proyecciones de un prisma recto de base pentagonal regular apoyado por su base en el plano oblicuo α−α' con las siguientes condiciones: Uno de sus vértices de la base es el punto A que está situado en el PH de proyección y a 60 mm del vértice del plano α−α' ; el lado opuesto a dicho vértice es horizontal. El prisma está situado todo él en el primer cuadrante. Lado del pentágono = 20 mm. Altura del prisma =70 mm. α'
α
DIÉDRICO
155
La recta R de máxima inclinación define un plano α−α' sobre el que se encuentra la cara de un cubo que tiene dos de sus vértices sobre la recta horizontal del plano de cota 28 mm y, los otros dos sobre la horizontal de cota 0 mm. Se pide: 1. Proyecciones del cubo situado por encima del plano α−α' y más próximo al PV. 2. Indicación de partes vistas y ocultas del cubo.
r'
r
DIÉDRICO
156
Dadas las proyecciones de un prisma recto, determina: 1. Sección que produce en él un plano paralelo a la LT α−α'. 2. Verdadera magnitud de la sección.
α'
α
DIÉDRICO
157
Dadas las proyecciones de un cono, determina: 1. Sección que produce en él un plano proyectante vertical α−α'. 2. Verdadera magnitud de la sección.
α'
α
DIÉDRICO
158
Dadas las proyecciones de un cono, determina: 1. Sección que produce en él un plano proyectante horizontal α−α'. 2. Verdadera magnitud de la sección.
α'
α
DIÉDRICO
159
Dadas las proyecciones de un cono, determina: 1. Sección que produce en él un plano proyectante vertical α−α'. 2. Verdadera magnitud de la sección.
α'
α
DIÉDRICO
160
Dadas las proyecciones de una esfera, determina: 1. Sección que produce en ella un plano proyectante vertical α−α'. 2. Verdadera magnitud de la sección.
α'
α
DIÉDRICO
161
Dadas las proyecciones de un octaedro, determina: 1. Sección que produce en él un plano oblicuo α−α'. 2. Verdadera magnitud de la sección.
α'
α
DIÉDRICO
162
Dadas las proyecciones de un prisma recto, determina: 1. Puntos de intersección de la recta R(r-r') con el cuerpo. 2. Partes vistas y ocultas de la recta respecto al cuerpo.
r'
r
DIÉDRICO
163
Dadas las proyecciones de un cono, determina: 1. Puntos de intersección de la recta R(r-r') con el cuerpo. 2. Partes vistas y ocultas de la recta respecto al cuerpo.
r'
r
DIÉDRICO
164
Dadas las proyecciones de una pirámide oblicua, determina: 1. Puntos de intersección de la recta R(r-r') con el cuerpo. 2. Partes vistas y ocultas de la recta respecto al cuerpo.
r'
r
DIÉDRICO
165
Dadas las proyecciones de un tetraedro, determina: 1. Puntos de intersección de la recta R(r-r') con el cuerpo. 2. Partes vistas y ocultas de la recta respecto al cuerpo.
r'
r
DIÉDRICO
166
Dadas las proyecciones de un octaedro, determina: 1. Puntos de intersección de la recta R(r-r') con el cuerpo. 2. Partes vistas y ocultas de la recta respecto al cuerpo.
r'
r
DIÉDRICO
167
Dadas las proyecciones de una esfera, determina: 1. Puntos de intersección de la recta R(r-r') con el cuerpo. 2. Partes vistas y ocultas de la recta respecto al cuerpo.
r'
r
DIÉDRICO
168
Conocidas las proyecciones de un cilindro recto, obtener su desarrollo.
DIÉDRICO
169
Conocidas las proyecciones de un cono recto circular, obtener su desarrollo.
DIÉDRICO
170
Conocidas las proyecciones de una pirámide recta pentagonal regular, obtener su desarrollo. f'
a'
c'-d'
b'-e' b
c
a
f
d
e
DIÉDRICO
171
Conocidas las proyecciones de un prisma recto pentagonal, obtener su desarrollo.
2'
3'
b'
c'
1'
a'
5'
e'
4'
d'
c-3
d-4 b-2
e-5 a-1
DIÉDRICO
172
Dado el triángulo fundamental ABC determinar los ejes del sistema axonométrico. C
A
B
Dado el triángulo órtico ABC determinar los ejes del sistema axonométrico.
B
C
A
AXONOMETRÍA
173
Dados los ejes del sistema axonométrico OX, OY y OZ calcula gráfica y numéricamente el valor de los coeficientes de reducción para cada uno de sus ejes.
Z
R Z=
Rx =
O
Ry =
UZ (U)
Ux (U)
Uy (U)
=
=
=
=
=
=
Y
X
AXONOMETRÍA
174
Dibuja en el sistema axonométrico de ejes OX, OY y OZ las proyecciones de los siguientes puntos: Punto A situado en el espacio. Punto B situado en el primer vertical. Punto C situado en el eje Y. Punto D situado en el origen del sistema.
Z
O
X
Y
AXONOMETRÍA
175
Dada la recta R por los puntos A y B, determina sus proyecciones y trazas. Escala 4/5 PUNTO A: cota = 128 ; alejamiento al primer vertical = 46 ; alejamiento al segundo vertical = 23 PUNTO B: cota = 144 ; alejamiento al primer vertical = 19 ; alejamiento al segundo vertical = 50
Z
O
X
Y
AXONOMETRÍA
176
Dada la recta R por sus proyecciones r'' y r, determina: 1. Proyección directa o perspectiva y proyección sobre el plano ZOX 2. Trazas. Z
r''
O
r Y X
Dadas las proyecciones R y r'' de una recta, determina: 1. Proyecciones sobre los planos ZOX y XOY. 2. Trazas. 3. Indica en el cuadro adjunto el tipo de recta. Z
TIPO DE RECTA:
r''
R O
Y
AXONOMETRÍA
X
177
Determina la proyección directa o perspectiva de la intersección de los planos dados por sus trazas en cada uno de los sistemas de ejes representados. Z
α'' α'
β' O
β'' α X
β
Y
Z
α' β' β''
O
X Y
α
AXONOMETRÍA
178
Dada la recta R por los puntos A y B, y la recta S por los puntos A y C, determina el plano que definen dichas rectas en el sistema axonométrico de ejes OX, OY y OZ. Punto A cota=108 ; alejamiento al primer vertical = 60 ; alejamiento al segundo vertical = 16. Punto B cota=35 ; alejamiento al primer vertical = 12 ;alejamiento al segundo vertical = 31. Punto C cota=0 ; alejamiento al primer vertical = 32 ; alejamiento al segundo vertical = 79. Medidas dadas en milímetros. Z
O
Y
X
AXONOMETRÍA
179
Dado el segmento AB, dibuja el pentágono regular situado sobre el plano ZOY que tiene por uno de sus lados dicho segmento. De las soluciones posibles dibuja aquella más próxima al origen del sistema.
Z
A-a''
B-b''
O
X
Y
AXONOMETRÍA
180
Dibuja la perspectiva axonométrica de una circunferencia de radio 30 mm. situada en el plano XOY tangente a los ejes. Z
O
Y
AXONOMETRÍA
X
181
Dibuja la perspectiva de un triángulo equilátero ABC situado en el plano ZOX, sabiendo que uno de sus vértices es el A y los vértices B y C se encuentran sobre la parte positiva de los ejes Z y X.
Z
O
A Y
X
AXONOMETRÍA
182
Dibuja la perspectiva isométrica de un prisma recto de base hexagonal regular, apoyado por su base en el plano YOX con dos de sus lados paralelos al eje X, y siendo P el centro de su base. Lado del hexágono = 25 mm. Altura del prisma = 80 mm. Aplicar coeficientes de reducción.
Z
O
P
Y
X
AXONOMETRÍA
183
Dibuja la perspectiva isométrica de un cilindro recto apoyado por su directriz en el plano YOX, y siendo ésta tangente a los ejes X e Y Diámetro de la circunferencia directriz = 75 mm. Altura del cilindro = 95 mm. No aplicar coeficientes de reducción.
Z
X
Y
O
AXONOMETRÍA
184
Dado el sistema de ejes isométrico y la recta R del plano ZOY por dos de sus proyecciones, se pide: 1. Dibuja una circunferencia de radio 24 mm. tangente al eje Z sabiendo que su centro se encuentra sobre la recta R. 2. Sabiendo que esta circunferencia es la directriz de un cono recto de altura 80 mm. dibuja la proyección directa o perspectiva del cono.
Z
R-r''
O
X
Y
AXONOMETRÍA
185
Dada la perspectiva isométrica de un prisma recto de base hexagonal regular, apoyado por su base en el plano YOX , determinar la sección que produce el plano α en el cuerpo.
α'' Z
α'
O
A
F
B E Y
D
C X
α
AXONOMETRÍA
186
Dada la perspectiva axonométrica de un cono oblicuo, determina los puntos de intersección de la recta R con el cuerpo.
Z
R
V
O
X
Y
r
v
AXONOMETRÍA
187
Dibuja la perspectiva isométrica a escala 1:1 de la pieza representada por sus proyecciones diédricas a escala 1/1.5, de tal forma que se visualicen las vistas representadas. Calcula la escala intermedia en el cuadro adjunto. No aplicar coeficientes de reducción.
Escala: 1/1.5 Eintermiedia
=
Z
X Y
AXONOMETRÍA
188
Dibuja la perspectiva isométrica a escala 1.5/1 de la pieza representada por sus proyecciones diédricas. No aplicar coeficientes de reducción. Z
15
35
20
15
18 5
X
Y
25
45
55
Z
X
Y
O
AXONOMETRÍA
189
A partir de la vista en semicorte de una pieza dibujar su proyección isométrica a E= 1:1 con el corte indicado y sin aplicar el coeficiente reductor. 80
80
50
36
Z
X Y
AXONOMETRÍA
190
Dibuja la perspectiva isométrica (sin aplicar coeficientes de reducción) a escala 2:1 de la pieza representada por sus proyecciones diédricas. En la perspectiva deben visualizarse las vistas representadas. 35
30
30
15
10
35
55
Z
X
Y
O
AXONOMETRÍA
191
Dibuja la perspectiva isométrica a escala 2:1 de la pieza representada por sus proyecciones diédricas. No aplicar coeficientes de reducción.
20
30
10
50
20
15
8
30
15
X
Y
Y
Z
Z
X
O
AXONOMETRÍA
192
35
40
10
Dibuja la perspectiva isométrica a escala 2:1 de la pieza representada por sus proyecciones diédricas. No aplicar coeficientes de reducción. Elige como punto de vista el que mejor defina la pieza.
Z
Y
X
O
AXONOMETRÍA
193
Una esfera de 80 mm. está situada con su centro coincidente con el origen del sistema isométrico representado. Se pide: Dibujar uno de los casquetes esféricos resultante de cortar la esfera por el plano XOY. No aplicar los coeficientes de reducción.
Z
O
Y
AXONOMETRÍA
X
194
16
30
70
40
Dibuja la perspectiva isométrica con un corte al cuarto de la pieza representada por sus proyecciones diédricas. No aplicar coeficientes de reducción.
40
64
40
64
Z
O
Y
AXONOMETRÍA
X
195
Dada la pieza por su proyección isométrica, se pide: 1. Determina las trazas del plano que contiene a los puntos A , B y C. 2. Sección que produce en la pieza el plano definido en el apartado anterior.
A
B
C
AXONOMETRÍA
196
Dibuja la perspectiva caballera de un cono recto apoyado por su directriz en el plano horizontal a partir de los datos siguientes: Coeficiente de reducción del eje Y = 1/3. Altura del cono = 80 mm. Diámetro de la circunferencia directriz = 80 mm. El centro de la circunferencia directriz es el punto ( P) representado abatido.
Z
X
O
Y
(P)
AXONOMETRÍA
197
Dado el sistema de ejes en perspectiva caballera con reducción del eje Y = 1/2, se pide: Dibujar un cilindro (con indicación de partes vistas y ocultas) conociendo los siguientes datos: Está apoyado en el plano ZOX por una de sus bases, siendo ésta tangente al eje X en un punto equidistante del eje Z 70 mm. Radio de la base = 30 mm. Altura = 140 mm. El cuerpo está situado en el 1er triedro.
Z
X O
Y
AXONOMETRÍA
198
Conocida la perspectiva caballera de un punto A del plano ZOY en el sistema de ejes representado y con un coeficiente de reducción del eje Y de 0.25, se pide: 1. Dibujar el triángulo equilátero ABC del plano ZOY de 60 mm. de lado, sabiendo que el lado AB es paralelo al eje Y, situando B lo más próximo posible al eje Z. 2. Dibujar el tetraedro que tiene por base el triángulo ABC y está situado por encima del plano ZOY. Z
X
A
O
Y
AXONOMETRÍA
199
Definido un sólido por su alzado, planta y perfil derecho en el sistema de proyección del primer diedro, se pide dibujar su perspectiva caballera a escala 1:1 considerando los ejes dados y sabiendo que el coeficiente que hay que aplicar en la dirección OY es de 0.75. En la perspectiva se han de visualizar las vistas representadas. Z
X Y Z
Y Z
X O
Y
AXONOMETRÍA
200
Dibuja a escala 7.5/1 la perspectiva caballera normalizada de la pieza representada por sus proyecciones diédricas. 6
6
Z
Z
6
12
R6
X
Y
Y X 12
12 Z
X
O
Y
AXONOMETRÍA
201
Dibuja a escala 1:1 la perspectiva caballera del sólido definido por sus vistas en el sistema de proyección del primer diedro, siendo el coeficiente reductor a aplicar en la dirección OY de 3/4. En la perspectiva han de quedar visibles las vistas representadas. Z
16
18
16
Z
X
Y
X
O-Y
60
20
Y
X O-Z
Z 60
Y
X O
AXONOMETRÍA
202
Dibuja a escala 1:1 la perspectiva caballera normalizada de la pieza representada por sus proyecciones diédricas siendo O el origen del sistema. Z
Z 30
44
70
30
18
40
Y
X 40
120
X
Y
80
O
AXONOMETRÍA
203
Z
Z
Definido un sólido por su alzado, planta y vista lateral derecha en el sistema de proyección del primer diedro, se pide dibujar su perspectiva caballera a escala 2:1 considerando los ejes dados y sabiendo que el coeficiente que hay que aplicar en la dirección OY es de 0.75.
X
Y
X
X Z
Y Z
X O
Y
AXONOMETRÍA
204
Las vistas de alzado planta y perfil en el sistema de proyección del primer diedro, definen una pieza a E =1:1. Se pide, dibujar a escala natural la perspectiva caballera de esta pieza partiendo de los ejes coordenados representados, siendo el coeficiente de reducción de 3/4.
X
Z
Z
Y
O
X
Y
AXONOMETRÍA
205
Dibuja la perspectiva militar o aérea de la pieza representada por sus proyecciones diédricas sabiendo que el coeficiente de reducción sobre el eje Z es de 1/2 y el ángulo de los ejes ZOX es de 120º. Haz coincidir el origen del sistema con el punto O.
70
50
Z
50
Y
100
O X
AXONOMETRÍA
206
Dibuja la perspectiva cónica de los puntos A, B, C, D, E, F y G representados por sus proyecciones ortogonales sobre el PC y el PG, siendo V el punto de vista y P el punto principal. Completa en el cuadro la situación de cada uno de los puntos. Como ejemplo se indican los puntos (A) y (F). Utiliza las siglas PC, PG y PH para indicar el plano del cuadro, el plano geometral y el plano horizontal .
d'
c'
P-v'
LH
g'
a'
e' f'
b
a
c
g f b'
d PUNTO
SITUACIÓN
(A) Espacio, detrás PC
e
(B) (C) (D) (E) (F) PC
v (G)
CÓNICA
207
Obtener la perspectiva cónica de las rectas R y S representadas por sus proyecciones ortogonales sobre el PC y el PG, siendo V el punto de vista y P el punto principal. NOTA.- Para hallar la perspectiva de las rectas utiliza dos puntos en cada una de ellas.
s'
P-v'
LH
r'
s
r
v
CÓNICA
208
Conocidas la proyecciones de las rectas (R) y (S) sobre el plano del cuadro y el plano geometral, obtener sus puntos de fuga F así como sus perspectivas. Indica en el cuadro la situación de las rectas.
LH
P-v'
r'-s'
s r
v Las recta (R) y (S) están situadas:
CÓNICA
209
Dada la recta (R) por las proyecciones de dos de sus puntos ( A) y (B) sobre el PG y PC , se pide: 1. Trazas con el PG y PC. Designa la traza con el PG con la letra G y la traza con el PC con la letra C. 2. Punto de fuga. 3. Perspectiva directa. El proceso a seguir es: 1. Obtener la perspectiva directa de los puntos ( A) y ( B). Puntos A y B que unidos determinan la recta R, que es la perspectiva de ( R). 2. Obtener la perspectiva directa de la proyección r. En este caso debes considerar que cualquier punto de ella no tiene cota. La designamos con R1 3. El punto G se encuentra en la intersección de R con R1 ; El punto de fuga F se obtiene localizando primero el punto de fuga de R 1 y trazando por él la perpendicular a la LH hasta su encuentro con R; y por último el punto C se obtiene localizando la intersección de R 1 con la LT y trazando por él la perpendicular a ella hasta su encuentro con R.
a
P-v'
LH
a'
b
LT
b' v
CÓNICA
210
Obtener la perspectiva cónica del rectángulo ( A)(B)(C)(D) situado en el PG detrás del PC, siendo (V) el punto de vista. Utiliza el método de los puntos de distancia. PC
P (C)
(B)
(V)
(D)
v (A)
PG
LH
a
b
d
c
CÓNICA
211
Obtener la perspectiva cónica del rectángulo ( A)(B)(C)(D) situado en el PG detrás del PC, siendo (V) el punto de vista. Utiliza el método de dos puntos de fuga. PC
(D)
P
(V)
(C)
(A)
(B)
PG
v
LH
b
a
c
d
CÓNICA
212
Obtener la perspectiva cónica de la circunferencia situada en el PG detrás del PC, siendo (V) el punto de vista. PC
v
P
(V)
PG
LH
CÓNICA
213
Perspectiva cónica de una circunferencia situada en un plano perpendicular al PG tangente a los planos geometral y del cuadro, siendo ( A)(B) su diámetro y (V) el punto de vista. PC
P (B)
(V)
(A)
v
PG
LH
a
b
CÓNICA
214
Dado el sistema cónico por la línea de tierra LT, la línea de horizonte LH, el punto principal P y el abatimiento del punto de vista (V) sobre el plano del cuadro, dibuja la perspectiva cónica de la figura situada sobre el plano geometral, por detrás del plano del cuadro. v
P
LH
LT
CÓNICA
215
Obtener la perspectiva cónica de la figura plana dada situada en el PG, con los vértices b y c delante del PC y el resto detrás, siendo (V) el punto de vista. PC
v
P (E)
(A)
(D)
(V)
(B)
(C)
PG
LH
c b
d a
e
CÓNICA
216
Dibuja la perspectiva cónica de un cubo apoyado por una de sus caras en el PG representado por su planta. El objeto se encuentra situado detrás del PC y el punto de vista es (V) .
v
LH
a
d
b
c
CÓNICA
217
Dibuja la perspectiva cónica de una pirámide de base cuadrada apoyada por su base en el PG representado por su planta. El objeto se encuentra situado detrás del PC y el punto de vista es ( V). Altura de la pirámide = 80 mm. Utiliza el método de dos puntos de fuga con sus correspondientes puntos métricos.
v
LH
b
a
e
c
d
CÓNICA
218
Dibuja la perspectiva cónica de un cilindro recto apoyado por una de sus bases en el PG representado por su planta. El objeto se encuentra situado detrás del PC y, el punto de vista es (V). Altura del cilindro = 96 mm.
v
LH
CÓNICA
219
50
20
v
40
40
20
Dibuja la perspectiva cónica del cuerpo representado por sus proyecciones diédricas situado sobre el PG y representado por su planta. El objeto se encuentra situado detrás del PC y el punto de vista es ( V). Escala = 1:1
P
CÓNICA
LH
220
Dibuja la perspectiva cónica de un cilindro apoyado por una de sus generatrices en el PG y representado por su planta. El objeto se encuentra situado detrás del PC y el punto de vista es ( V). Utiliza el método de los dos puntos de fuga con sus correspondientes puntos métricos. v
52
LH
CÓNICA
221
Dibuja la perspectiva cónica de un cono recto apoyado por su directriz en el PG y representado por su planta. El objeto se encuentra situado detrás del PC y el punto de vista es (V). Altura del cono = 100 mm.
v
LH
CÓNICA
222
Dibuja la perspectiva cónica de un octaedro situado con la diagonal mayor perpendicular al PG y representado por su planta. El objeto se encuentra situado detrás del PC y el punto de vista es ( V). Utiliza el método de los dos puntos de fuga con sus correspondientes puntos métricos. Indicar líneas ocultas. v
LH
a
e-f
b
d
c
CÓNICA
223
Obtener la perspectiva cónica de un ortoedro de 54 mm. de altura situado con su base apoyada en el PG y delante del PC, siendo ( V) el punto de vista y (A)(B)(C)(D) la base del paralelepípedo.
v
LH c
d
b
a
PC
P
V (C)
(B) (D)
(A)
PG
CÓNICA
224
