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PRIMERA PRÁCTICA DIRIGIDA DE MATE V Problema N°1 Encuentra la ecuación de la parábola con foco cuya directriz es la recta
Solución:
|| ⌈⌉ | | → 1 1 1 1 √ 2
Por definición de la parábola:
Elevando al cuadrado:
y
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→ 2 2 2 2 2 2
Pasando a un solo miembro:
2 4 4 4 4 0 → ̅ ̅ 2 ̅ 4 2 ̅ 4 0 → 2 ̅ 2 ̅ 2 2 ̅ 2 4 ̅ → ̅ 2 2 ̅ 2 ̅ 4 0
Luego pasando a
:
Problema N° 2 Haga una crítica al razonamiento siguiente:
. √
Solución: De la propiedad sabemos: De donde
-1 = 1
Lo que es una contradicción, ¿dónde está el error?, err or?, la operación de multiplicación de números complejos
es falsa.
√ √ √
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PROBLEMA 6 Demuestre que las raíces de la ecuación z 4 + 2z2+1 son las raíces cuartas primitivas de la unidad.
Solución: z4 + 2z2+1 =0 (z2+1)2=0
z2+1 =0 z = i (multiplidad 2) y –i (multiplicidad 2)
Se sabe: Las raíces primitivas de la unidad son todos los números complejos que dan 1 cuando son elevados a la potencia n. zn= 1 Se llama raíces n-ésimas de la unidad Del problema z4 = (-i) 4 =1 z4 = (i)4 =1 Entonces son raíces cuartas de la unidad.
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PROBLEMA N°9
||
Si son funciones enteras, entonces demuestre que es una función constante
Solución:
Obs: una función es entera cuando es analítica en todo el plano complejo Sea:
, , … 1 → | | , , …….2 ………3 …..4 √ 0 2 → 2√ 0 …….5
De las ecuaciones es de Cauchy-Riemman en (1)
De las ecuaciones es de Cauchy-Riemman en (2)
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√ 0 2 → 2√ 0 …..6 → → ∴ , : → / ||
Igualando (3) y (5):
Igualando (3) y (6):
PROBLEMA N°10
Si la función compleja
. Dibuje
complejo donde la función
Solución:
, definida por
las
regiones del plano
es analítica.
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2
Analizando en y
:
Luego de las ecuaciones de Cauchy-Riemman:
En conclusión
es analítica en
Analizando en
→ 2 ∴2 2 → 2 ∴ 2 2
y
:
Y
2 → 2
Luego de las ecuaciones de Cauchy-Riemman:
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En conclusión Graficando :
∴2 ≠ 2 → 2 ∴ 2 ≠ 2 es analítica en
Y
PROBLEMA Nº 17
∅
Encuentre si es que existen funciones armónicas de la forma siguiente:
Solución:
0 → 2 2 → 1 12 . 2/ /
Si es armónica debe cumplir la ecuación de Laplace:
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→ 2 2 → 1 12 . 2/ / / / 1
Luego sumando las segundas derivadas:
Entonces la función no es armónica
PROBLEMA 14 Demuestre que la Ecuación de Laplace Puede escribirse de la forma
=0
=0
Solución
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ =0
=0
z = x + yi
= 1
= i
=x – yi
= 1
= -i
= =
+
= +
= i( -
Entonces )
Entonces
= =
̅ ̅ +
-
)i
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̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ =
( ) =
=
+2
=
(
+
=
-
+2
̅ ̅ ̅ +
+ ( +
)
…… [I]
+´
) =
=
-´
)i=
̅i ̅ ̅ +
-
)i
…… [II]
Sumando I y II
+
= 4
Sabemos por ecuación de Laplace Entonces 4
̅
=0
=0 =
+
PROBLEMA N° 18 Halle el error en el siguiente argumento:
→ 2ln 2ln → ln ln respuesta
Solución: Hacemos
||
En polares:
→ ||+−
.
Fundamente
su
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Ya que
≠ ||+− ≠ || 2l n ≠ 2l n 2ln(||) ≠ 2ln||+−
Luego cuando tomamos logaritmo:
Como ya se dijo en la solución de la pregunta 2, los números complejos dependen de un módulo y un argumento, dos números podrán ser el mismo en modulo pero los argumentos irán variando eso es lo que los hace diferentes
PROBLEMA N° 25 Un conductor eléctrico en forma de tubo de radio unitario se divide en dos mitades mediante unas ranuras de anchura infinitesimal. La parte superior del tubo
, < ∅ < ,
, < ∅ < 2
se mantiene a un potencial eléctrico de 1
voltio y la parte inferior a -1 voltio. Determine el
potencial
se encuentra en un punto
cualquiera del interior del tubo. Suponga que el tubo contiene un material dieléctrico
Solución: nos encontramos frente a un problema de Dirichlet
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PROBLEMA Nº 26
cos cos h ℎ cos cos h ℎ cosℎcosh 1…. 0…. 12 cosh > 0 → → cos 0 → 2 2 1, 1,2,3 … 1 → ℎ 1 → ℎ 1 1 → ℎ 1 → ℎ 1 2 1 ℎ 1 , 2 ∴ { 2 2 1 ℎ1,
Resolver Solución: Sea:
Otra expresión de
Entonces en la ecuación:
De (1)
Como:
De (2)
Como:
, cuando n es impar
Como:
, cuando n es par
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PROBLEMA N° 29 Resolver la ecuación senz = 2 a través de los siguientes procedimientos. a) Identificando partes reales e imaginarias b) Usando la fórmula sen-1z
Solución 29.a. Identificando partes reales e imaginarias Sabemos senz = senxcoshy + i senhycosx Senz = 2 + i.0 Igualando las partes reales e imaginarias
∧ ≠ ≠ 0≠
senxcoshy = 2 senhycosx = 0 coshy 0 y senx Siempre se cumple x n Senhycosx =0 Senhy =0 , y =0 0
≠ − /2
Por lo tanto y 0 La única opción cosx=0 x= x=
)
/2 /2 /2 ,3
,7
sen =1 coshy = 2 , e y+ e-y = 4 Resolviendo y = 1.3169
Finalmente z=
− )
+1.3169i
Para n =1,2,3
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29.b Usando la fórmula sen-1z senz =2 arcsen(2) =z
√ 1 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3 √ 3
arcsenz =i[ln(iz +
Sabemos por fórmula
√ 1 2
)]
z= arcsen2 =i[ln(2i + -iln[(2+
)i]
zn= 2+
Ln[(2+
)i] = Ln[(2+
z= i[Ln[(2+
)] =i[ln(2i +
√ 3
=75° =5 /12 , r = 2+
) + i5 /12 +i2k ]
) +i(5 /12 + 2k )]
Finalmente z = [5 /12 + 2k ] +i[1.3164]
PROBLEMA N° 30 Halle y grafique las regiones del plano complejo de la faja
≤ ≤ x
Donde la función definida f por f(z) = |cosxcoshy|+i|senxsenhy| es analítica . Fundamente su respuesta.
Solución Cosx>0 ,Ademáscoshy>0 f(z) = |cosxcoshy|+|senxsenhy|i Además sabemos que Para que sea analítica de debe
f(z)
= U(x,y) + iV(x,y)
=
=
cumplir
)] =
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= -senxcoshy =|senxcoshy| , donde senxcoshy<0 Como coshy>0 ,entoncessenx<0
[I]
= -cosxsenhy =|cosxsenhy| , donde cosxsenhy<0 Como cosx>0 ,entoncessenhy<0
[II]
≤ < ∧ ∧ De [I] senx<0 x 0
senhy>0 e - e-y>0 y
y>0
De [II] Senhy<0 ey - e-y>0
∧ ∧0 < ≤ senx >0 x
PROBLEMA N° 45
Determione una función analítica mas general f utilice coordenadas polares a partir de Re|f ´´(r
)| = 2
+´6rcos +2
f (0) = 1 , f ´ (0) = 0
Solución Re|f ´´(r
2 )| = 2
Sabemos que
+´6rcos +2
f(z)
f(r
= U+iV
) = U(r, ) + iV(r, )
Aplicando regla de la cadena Ux =
Entonces
= Ur
=
ya que
x = rcosθ , r =
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Ur 2 2 4 3 2 4 3 2
Uxx =
(
)=
)(
)=
Urr
Además por Cauchy – Riennman Urr = 2
+´6rcos +2
Ur = 4
+3
cos +2r +C
f ´(0) = 0
U(r, ) =
+
cos
+r2cos
+C
Como f (0) = 1 , Entonces C =1 U(r, ) = Para r>z
0
+
cos
+r2cos
+1
f(z) = z4 + z3 + z2 + 1
PROBLEMA N° 51 Determine la conjugada armónica de la función armónica de la forma U =φ(x2+y2)
Solución Como U =φ(x2+y2)
Hacemos t = x 2+y2 , Entonces
tx=2x ,
ty=2y ,
Luego
tyy=2
−+t y y − + − + + + =
=
=
txx=2
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SEGUNDA PRÁCTICA DIRIGIDA DE MATE V
Problema N° 1
∮ (+) ,: ||
Calcule
.Siendo
el
sentido
de
integración el anti horario.
Solución:
…….. → …. − ……. − ….− ,
Reemplazando
Finalmente la integral resulta
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Problema N° 2
+ ∑ , ∮ = + , ∪ ∪ , √ √ , − , √ √ √ √ −√ , √ Evaluarla siguiente integral .
,
el punto
siendo
es el segmento de recta que une el punto
, en
con el punto
es un arco de circunferencia cuyo centro es el origen de coordenadas y une con el punto
y
es el segmento de recta que une el punto
con el origen de coordenadas. El sentido de integración es antihorario.
Solución:
cos cos2 ⋯ cos10 = ̅ cos, cos2, … , cos10
Sabemos que que
Además son funciones analíticas:
Luego:
cos cos2 ⋯ cos10 0 ̅ ̅ 10 =
Aplicando el teorema de Green en complejos:
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,̅ 2∬ ̅ 10[2∬] 20 ∬ ( ) 20 20√ 2 20√ 2 3 10 20√ 3 2
Por lo tanto
Problema N° 9 Desarrolle la función
: → +−+− tal que
dada en serie de Taylor
alrededor de z=1, aplicando los desarrollos conocidos y halle el radio de convergencia.
Solución: Hacemos un artificio:
1 1 2 1 1 1 11 1 1 4 1 1 2 1 → 1 4 1 1 5 2 38 3 3 5 2123 3 34 . 31 174 . 11 3 14 . 1 1 174 . 11
Hacemos:
Devolviendo a la variable original:
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1 3 14 . − 1 1 174 . 1 1 1 13 < 1 → | 1| < 3 | 1| < 1 | 1| < 1 1 3 14 . −11 174 . 1 1 1 ∞ ∞ 1 1 17 1 3 4 . =1 3 4 . = 1 ∞ 1 1 1 3 = 4 3 174 1 | 1| < 1
Luego para que la serie converja:
Entonces radio de convergencia:
Luego:
Problema N° 10 Encuentre el desarrollo de Laurent de la función
+− Solución:
: → tal que
1 1 3 1 11 3 13 . . 10 1 10 3
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1 13 1 → 13 . . 10 1 103 1 3 < 1 → || < 3 || < 1 → || < 1 ∞ ∞ 13 13 10 . =1 103 . =3 ∞ 13 13 1 = [ 10 . 1 103 . 3]
Luego para la convergencia:
Luego:
PROBLEMA N° 17 Sean
∝ ∫ ∝+ números positivos distintos.
Pruebe que
Solución:
1 ∝ ∝ 2 ∝cos2 ∝ , ∝ ,2 → 2
Hacemos:
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cos1 2 cos … 2 ∅ ( )∅ 1 ( ) 2 2∅ 1, ,2 , .1.∅ → 1 21 ∅ ∅ 2 → ∅ c2os 2√ 2 ∝4 ∝ 44 2
Reemplazando en :
Luego por teorema de Poisson en un disco:
En el problema:
Luego comparando en :
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Problema 18 Sea
; ; …. y
. Calcule la siguiente integral
∫
Solución: Piden:
∫ +…..1 cos +
Sabemos:
Entonces: Luego:
Usando el binomio de Newton:
∑=()− − 2 1 2 =2 −− = 2 − 2cos2 21 cos(2 2 2) 222 cos(2 4) 2 ⋯…. 2cos4 1cos2} cos 2 ; → cos2 0, 1,2,3. …….. (I)
En (I):
Desarrollando el binomio tendremos:
Al integrar como la función
Luego:
1, 2,3…, es integrada en su periodo:
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1 1 2 = cos2 2 2 2 2 → . 2 ! !! . 21 . 2
PROBLEMA Nº25
≤≤ cosh √ √ cosh 1
Halle la imagen de la faja semiinfinita de la banda infinita definida por , bajo la transformación: a)
b)
Solución:
a) Transformando
Escriba aquí la ecuación. b) Transformando
Rotamos:
ℎ ENTONCES
√ √ cosh 1 √ 12 √ 2cosh
: ≥
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Trasladamos:
√ 12 √ 2cosh 1