Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán Campo 4 Laboratorio de Mecánica de Fluidos ráctica No! " # $eorema de %ernoulli! &ui' &am(re' )os*ua Adrian No! Cuenta! 4+4,-../4 ro0a! Mar(a teresa pac*eco escalona 1rupo2 +/34
5(as2 Martes 6 )ueves 7orario2 +-2,, # ",2,, Objetivo.
Demostración experimental de la ecuación de Bernoulli. Introducción.
El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido en reposo moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica !"#$% & expresa 'ue en un fluido ideal sin viscosidad ni ro(amiento% en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energ)a 'ue posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. *a energ)a de un fluido en cual'uier momento consta de tres componentes+ !. inética+ es la energ)a debida a la velocidad 'ue posea el fluido. -. otencial gravitacional+ es la energ)a debido a la altitud 'ue un fluido posea. #. Energ)a de flu/o+ es la energ)a 'ue un fluido contiene debido a la presión 'ue posee. *a siguiente ecuación conocida como 0Ecuación de Bernoulli1 Trinomio de Bernoulli% consta de estos mismos términos.
donde+ 2 velocidad del fluido en la sección considerada. 2 densidad del fluido. 2 presión a lo largo de la l)nea de corriente.
2 aceleración gravitatoria 2 altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. ara aplicar la ecuación se deben reali(ar los siguientes supuestos+ 3iscosidad fricción interna% 2 4 Es decir, se considera 'ue la l)nea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una (ona 5no viscosa6 del fluido. audal constante Flu/o incompresible, donde 7 es constante. *a ecuación se aplica a lo largo de una l)nea de corriente o en un flu/o rotacional 8un'ue el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por *eon9ard Euler. :n e/emplo de aplicación del principio lo encontramos en el flu/o de agua en tuber)a. ada uno de los términos de esta ecuación tiene unidades de longitud, & a la ve( representan formas distintas de energ)a; en 9idráulica es com
se suele agrupar con
donde
)
para dar lugar a la llamada altura pie(o métrica o también carga pie(ométrica. aracter)sticas & consecuencia
También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por =gamma, de esta forma el término relativo a la
velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión & altura se agrupan en la presión estática.
Material y Equipo.
onsta de un ventilador acoplado a un motor de corriente alterna, un ducto para 'ue se desarrolle el flu/o, un 3enturi & en él una serie de manómetros diferenciales para tomar las lecturas.
Método de operación.
!. Encienda el ventilador & espere - minutos para 'ue estabilice el flu/o de aire. -. olo'ue los aparatos de medición re'ueridos & espere 'ue la lectura se estabilice antes de 9acer anotaciones.
#. En los pie(ómetros se leen las presiones en cada punto considerado, la energ)a de posición se tomará con respecto a un nivel de referencia 'ue puede ser el centro del 3enturi. >. Entre el pie(ómetro ubicado inmediatamente antes de la entrada a diferencia de presión 9. Esta utili(aremos para determinar el caudal 'ue circula a través de 3enturi. ?. @epita los puntos - & # tantas veces como lecturas se deseen tomar.
Tabla de Datos. Datos Aenerales Temp. % 8ire 9 mts. col. 8gua% *ect.
resión @elativa ts.
eso espec)fico C 8gua Cm Grea m
ol. agua !
4.4# m
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-
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Cálculos.
Tabla de Resultados.
*ectura ! # > ? J " $
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3elocidad mts. !?."$ m !J.J- m --.>J m #".? m -I.! m -#.$- m #".? m !-.J> m
Bernoulli. $$JI.J- m $$J?."- m $$J>.4- m $$J!.!$ m $$>".-! m $$>-.$? m $$I$.I! m $$>J.>> m
Aráficas.
8 9 mts! 8880 8860 8840 8820 8800 8780 8760 8740 1
2
3
4
5
6
7
8
Velocidad mts. 40 35 30 25 20 15 10 5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
7
8
Bernoulli. 8910 8900 8890 8880 8870 8860 8850 8840 8830 8820 8810
1
2
3
4
5
6
Cuestionario.
!. Expli'ue el teorema de Bernoulli & su utilidad práctica. El teorema de Bernoulli establece 'ue si las pérdidas son despreciables por el momento%, la energ)a 'ue posee una part)cula en la tra&ectoria de una l)nea de corriente en cual'uier sección de paso de un tubo de corriente permanece constante; es decir+
Dónde+ 2 C 2 ² C - 2 2
-. Lómo se afecta el teorema de Bernoulli cuando se aplica a fluidos compresiblesM Nabemos 'ue el teorema de Bernoulli es aplicable para fluidos incompresibles para fluidos compresibles, la ecuación de Bernoulli adopta la forma+
#. Ni el fluido fuera viscoso e incompresible como se escribir)a para poder explicarlo. En un fluido real la viscosidad origina un ro(amiento tanto del fluido con el contorno tuber)a, canal, etc.% como de las part)culas del fluido entre s). Entonces la ecuación de Bernoulli de la pregunta !% no se cumple. aturalmente se sigue cumpliendo el principio de la conservación de la energ)a. Esta fricción en la mecánica de fluidos incompresibles no es aprovec9able & solo en este sentido la llamaremos energ)a perdida, o bien expresada en forma de altura, altura perdida . 89ora bien diremos 'ue+ ) ! O ) ! - 2 ) - , o sea+
>. Lómo podr)a deducir el teorema de Bernoulli a partir de las ecuaciones de EulerM *as ecuaciones de Euler en forma sinteti(ada son las siguientes+
ultiplicando la primera ecuación por dx, la segunda por d& & la tercera por d(. Tendremos+
Numando miembro a miembro las tres ecuaciones anteriores tendremos+
89ora bien, como+
El primer miembro de la ecuación ! se transforma as)+
En efecto, si se diferencia el segundo miembro se obtiene el primero, lo 'ue demuestra la valide( del primer signo igual. or otra parte, el cuadrado de la diagonal de un paralelep)pedo es igual a la suma de los cuadrados de sus aristas , , lo 'ue demuestra la valide( del segundo signo igual. 8l suponer 'ue el régimen es permanente, p no es función de t, & su diferencia total será+
on lo cual la ecuación ! se transforma en+
Pntegrando esta
Conclusiones.
Fue una práctica mu& didáctica & verdaderamente fácil de comprender cuando &a se tienen los conceptos. En base a los problemas 'ue fueron surgiendo durante el desarrollo de la práctica se comprendió me/or algunos comportamientos extraQos, por e/emplo; se notó 'ue en el punto ? o manguera ? 9ab)a un pe'ueQo error en la lectura pero el profesor nos explicó el motivo por el cual el nivel marcaba más de lo 'ue en teor)a deber)a de marcar error en el ma'uinado del venturi%. omo conclusión podr)amos decir 'ue las energ)as de presión, cinética & de posición% son intercambiables, es decir; una
le puede ceder energ)a a la otra, pero la energ)a nunca se elimina más bien se va convirtiendo en todo el proceso, pero L& cómo se pudo ver esto en la prácticaM, pues mu& sencillo solo es necesario comparar los puntos ! & ? de la primera lectura, en ambas las energ)as de presión & cinética son distintas pero al sumarlas nos da el mismo valor de carga total & a'u) es donde se demuestra el principio de conservación de la energ)a.
