UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
PR CTICA N°1
ASIGNATURA
:
ECUACIONES DIFERENCIALES
GRUPO/TURNO
:
01L
PROFESOR
:
DOC.LIC. Raúl Pedro Castro Vidal
INTEGRANTES
:
PRADO FÉRNANDEZ, Jose Michael RAMIREZ BARBOZA, Julio Breck RODRIGUEZ QUISPE, Julio UGAZ VILCA, Agusto
EJERCICIO 2 Queremos inyectar un medicamento en un órgano humano. Supongamos que el volumen de circulación sanguínea del órgano es 150 cm 3 y que inyectan 1 cm3/min de agua destilada con 0.3 mg /cm3 de concentración de medicamentos. La sangre entra al órgano a la misma razón que sale. Si en el instante inicial no hay presencia de medicamento. ¿En qué momento la concentración del medicamento en el órgano será de 0.05 mg / cm3? Solución:
Se tiene que:
= 1 = 1 1 = 0.3 , = , =0,=?? ,
,
= = = = =150 =∗1∗ =∗1∗
Ya que la sangre entra a la misma razón que sale entonces para todo t, A=B
Por dato:
Observando la variación del soluto en el tiempo:
Reemplazando: Resultando en la EDOL: Por factor integrante:
=1∗0.31∗ =0. 3 =∫ =
150 =0.3∗ ∗ =0.3∗ ∗=0.3∗ ∗=45 =45 0=0=45 =45 =4545 4545 = = 150 − =0.05,despejamos el tiempo de 0.05= ln (56)= 150 =27,348
Por dato:
Obteniendo la masa del soluto en el tiempo:
Se obtiene así la concentración en el tiempo:
Para
EJERCICIO 5
Solución:
Se tiene que:
=3 =3 1=0.2 , = , =0,=?? = = = = =125 =∗1∗ =∗1∗ ,
,
La corriente sanguínea entra a la misma razón que sale entonces para todo t, A=B
Por dato:
Observando la variación del soluto en el tiempo:
Reemplazando: Resultando en la EDOL: Por factor integrante:
=3∗0.23∗ 0. 0 24∗=0. 6 =∫. = . . 0.0 24∗=0.6 ∗. .∗ =0.6∗. . ∗ =0.6∗. . ∗ =25∗. =25−.
Por dato:
0=0=25−.∗ =25 =2525−. −. 2525 = = 125 =0.1,despejamos el tiempo de 0.1= −. ln (12)=0.024 =28.881
Obteniendo la masa del soluto en el tiempo:
Se obtiene así la concentración en el tiempo:
Para
EJERCICIO 9
Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con una velocidad v0 = 200 mt/seg, traspasándola con v1 = 80 mt/seg. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar el tiempo que demora la bala en atravesar la tabla. Solución:
La resistencia de la tabla al movimiento de la bala e s proporcional al cuadrado de la velocidad. De modo que la aplicación de la 2 da ley de newton conduce a:
dv kv ………………………………………………………………………………………. (1) dt 2
m
Dónde: m: masa de la bala k: constante de proporcionalidad k 0 El sentido físico de (1): cuando la bala se introduce en la tabla va disminuyendo su velocidad a medida que transcurre el tiempo. Ello conduce a que`` m dv dt ´´ sea siempre negativo. 2
Como `` kv ´´es siempre positivo, la segunda ley de newton tiene sentido con el signo menos que se observa. Separamos variables en (1):
dv v
2
k dt ………………………………………………………………………… (1) m
Integramos recordando que para `` t
0 ´´ es `` v
v0
´´
k dt v k 1 1 k t v t v0 m 1 1 k t despejamos v t v0 m
dv
2
v t
v0
1 v0 t
………………………………………………………………………….. (2)
Siendo: ``
k
m
´´
Llamaremos ``T´´ al instante de tiempo en el que la bala traspasa la tabla. Se nos informa que: v t
v t
T
T
vi
v0
1 v0 T
vi . Entonces:
v0 vi 1 ……………………………………………… (3)
v0 T
Recordando que es:`` v t
dx dt ´´ a partir de (2) podemos deducir la e xpresión de `` x t ´´
sabiendo que:
x t
T
H ,conH
10 cm
Entonces:
dx dt
dx
v0
1 v0
t
v0 dt
1 v0 t
dx
var iables separadas int egramos
v0 dt
1 v0 t 1 Ln 1 v0 t
x t
Notamos que se cumple: Seguimos:
x t
0
0
T H
x t
1 Ln 1 v0 T H Ln 1 v0 T H de 3 v0 H de 3 vi v0 v0 vi H Ln vi .v0.T vi Ln
T
v0 vi H v0 vi v Ln . 0. vi
El tiempo que demora en perforar la tabla de madera
Reemplazamos: v0 vi H
80 m /
T
T
200 m /
s
s
10cm 0,1m
v0 vi H v0 vi . v 0. Ln vi
200 80 0,1
200 200.80. Ln 80 T 0.000818518
EJERCICIO 13 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
= …
(*)
Sol: Hacemos un cambio de variable
= = = 1 =′ ,
Derivamos ambos miembros respecto de X:
Reemplazando en (*)
1 = 1 → = → = → = Integramos:
∫ −= ∫ → − = 1 = → 1 =
… (**)
Deshaciendo el cambio de variables en (**)
La solución general es:
= 1
= = − = 1 Sol:
Dividimos entre XY2:
Hacemos un cambio de variable:
= 1 → =−′
Luego lo podemos reformular del siguiente modo:
= → 1 =
Por factor integral de la EDOL la solución general de esta ecuación será:
=−∫[∫ ∫]
= =
, Siendo
y
Luego se tiene:
=− ∫ − ∫ − = log− = log ∫ → =log = De la integral interior:
Hacemos
entonces
Reemplazamos dentro de la integral:
= 2 l o g = 2
Entonces quedaría como solución general de esa EDOL:
Deshaciendo el cambio de variable “z” la solución general de la EDOL original es:
= 1
EJERCICIO 26 Suponga que en el Perú, el ritmo al que se propaga la noticia del aumento del precio de la gasolina es conjuntamente proporcional al número de personas que se enteran del aumento y al número de personas que no se han enterado todavía. Si actualmente el 5% de los habitantes sabe la noticia y una semana más tarde el 15% se han enterado de dicha noticia: a) FORMULE una ecuación diferencial para determinar la cantidad de personas que se enteran de la noticia del aumento del precio de la gasolina en cualquier tiempo. b) RESUELVA la ecuación diferencial para encontrar la cantidad de personas que se enteran de la noticia en función del tiempo. c) ¿Qué porcentaje de personas se habrán enterado de la noticia 2, 3, 4 y 5 semanas más tarde?
Solución Respuesta a: K: constante de proporcionalidad P (t): personas que saben la noticia X: Población del Perú X = 31151643 personas. (En junio 2015) X-P (t): personas que aún no saben la noticia
: Ritmo, razón, rata
Se plantea la ecuación diferencial:
=∗∗ ∗∗ =∗ =− →− →=− →=− =−
Dándole forma según Bernoulli, donde n=2:
Haciendo el cambio de variable:
Derivando con respecto a t:
Reemplazando en la EDOB:
Multiplicando todo por
Por factor integrante:
− ∗∗− =∗− ∗∗= =∫∗∗ = ∗∗ ∗∗ ∗∗=∗ ∗∗ ∗∗∗ =∗∗∗ ∗∗ ∗=∗ ∗∗ ∗∗ ∗= 1 ∗∗ = 1 −∗∗ =− = 1−∗∗ , tenemos una ecuación lineal:
Pero por el cambio de variable:
Por condición inicial, dato:
0 =0.0 5= 1−∗∗ = 19 1 =0.1 5= 1−∗∗
También, Por condición inicial, dato:
1 =0.1 5= 1∗−∗ Despejamos K:
Por tanto:
0. 150.1 5∗19∗−∗ =1 −∗ = 1757 ∗=ln1757 = 1 1757 =6.099196758∗10− = 10− 3.883705022*
Finalmente se tiene la solución para determinar la cantidad de personas que se enteraron de la noticia en cualquier tiempo, donde X es dato:
= 6.099196758∗10−1 ∗−.∗∗∗
Respuesta b y c:
2= +.∗∗ .∗∗∗ 3 =20711805.20 4 =27080579.98 5 =29814872.44
= 11580284.00
EJERCICIO 32
Un ladrillo de masa m está sujeto por un resorte que a su vez tiene la segunda extremidad empotrada en un muro vertical. El ladrillo reposa sobre una superficie plana, que genera una fuerza de fricción lineal. El resorte ejerce una fuerza proporcional al desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio. El origen del sistema de coordenadas se fija en la posición de equilibrio del sistema. De modo que si el desplazamiento es x(t), entonces, la fuerza ejercida por el resorte es F (t) = −kx(t), donde k es constante (constante de elasticidad). Plantear las ecuaciones del movimiento. Solución:
∑ =. = . … : : = . …: : =. ..=. . . .=0… 1 =...cos∅ : = √ (2) …2 = √ (2) …3 = ℎ ⇒ =0 … : |, → ⇒ → ⇒ |á .| →í|. = = > ⇒ > ⇒ |.|>| .| , < ⇒ |.| < |.⇒|, <
Cuando “b” es pequeña, la solución de la ecuación 1 es:
EJERCICIO 35 Problema 35
= + 225 2 2=0
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b)
Solución: a) x
dy
y
dx
ln x
x( x ln x)
y 2 ln x
Solución Dividimos la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria entre x dy dx
y
y x ln x y
x ln x
( x ln x) y 2 ln x
( x ln x) y
2
ln x
Entonces consideramos que f x y f x
1 x ln x
g x
sean:
g x
( x ln x ) y 2 ln x
Nos daremos cuenta que la solución general de la siguiente E.D.O es Lineal está dada por: f x dx f x dx y x e g x e dx c
De donde f x y
y x
son:
g x
1 1 dx dx ( ln ) x x e x ln x 2 e x ln x dx c y ln x
1
dx
x ln x
y x e
ln ln x
ln ln x
( x ln x) ln ln x e dx c y 2 ln x
e
ln ln
x
ln
x
e
ln
ln
1
x
ln
x
y x
( x ln x) ln x dx c ln x y 2 ln x
y x
( x ln x) dx c ln x y2
y x
x ln x dx c 2 dx ln x y y2
y x
1 ln x y
1
1
1
1
2
1
xdx
y
2
ln
x dx c
y x
1 x 2 1 x x x c ( ln ) y2 ln x y 2 2
y x
x 2 1 ( x ln x x ) c ln x 2 y 2 y2
1
1
y
x
x
( x ln x x )
2
2 ln x y 2
Sabiendo que
y
c es
2
ln x
c
ln x
la constante de la ecuación diferencial
b) 2 x 2 y 2 y 5 dx 2 x 3
2 x dy
Solución M
M y
2x
2
y 2y 5 N 2
M y 2 x 2
M
N
N
2x
2
x
3
2
3
2
Nx 6x 2
x
2 6 x2 2 2x
x
N
y
M y N x
2x
2x
4 x 2 2x 3 2 2x 2x x 1
0
Calculo de F.I
x e
M y N x
dx
N
2 x
e e
2
dx
1
ln x 2 1
1
x
x 2 1
2 x
dx x 1 2
ln x 1 2
Luego se tiene la E.D.O. Exacta Mdx Ndx
2 x
2
y 2 y 5 x 2 1
P P
2 x
2
0
dx
y 2 y 5 x 2 1
2 x
2
2
x
2
2x
Q
2
2
dy
2x
3
0
2x
x2 1
y 2y 5
0
2
1
2
2 x 4 x 2 2
x 1 2 x 1 x 1 2
2
6 x
2
2
2
2
x
x2 1
x 4
3
1 2x
y
Q
2x
2x x 1 6 x 8 x 2 4 x 4 x x 1 2 x 1 2 x 4 x 2 2 x 1 x 1 2
2
x
2
3
1 2 x 2x 2
2
4
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
P y
Q x
2
Luego la solución está dado por: x
y
a
b
Pu , y du Q a,v dv K x
2u
2
u2 1
a x
y 2y 5
y
du
2a dv K a 1
2a
3
2
b
y
2a 2a 2y 5 du dv K u 1 a 1 b
2 yu
2
3
2
a
2
y
2a a u 1 du a u 1 a u 1 a 1 b dv K
x
2 yu
x
2
2
x
2y
2a
5
2
2
3
2
y
2a du 2 y 2y 5 a u 1 a u 1 a u 1 a 1 b dv K x
x
u2
2
x
1
2
2a
1
2
3
2
y
2a du 2 y 2 y 5 a u 1 a u 1 a 1 b dv K x
x
u2
2
x
*2 y
u
2
u2 2
a
u
2a
1
tan
3
2
du
1
z
du sec2 zdz x
tan
tan a
2
2
z
z 1
x
sec
2
zdz
tan
2
zdz tan z z
x a
a
u arctan u xa x a arctan x arctan a 2 y x a arctan x arctan a 2 yx 2 ay 2 y arctan x 2 y arctan a x
* 2 y 5
a
1
du u2 1
arctan u xa arctan x arctan a 2 y 5 arctan x arctan a 2 y 5 arctan x 2 y 5 arctan a 2 y arctan x 5 arctan x 2 y arctan a 5 arctan a
*
y
2a dv 2 a 1 b
2a
3
y
dv v
y b
yb
b
y 2a 3 2 a b 2 a3 2 a 2a 2 y b a 1 a2 1 a2 1 2a
3
Una vez desarrollada cada integral, regresaremos a la resolución del problema 2 yx 2ay 2 y arctan
x 2 y arctan a 2 y arctan x 5 arctan x
y arctan a 5 arctan a
2
2 yx 2ay 5 arctan 2 yx 5 arctan
y 2a 3 2a a2 1
x 5 arctan a
b 2a 3 2a a2 1
y 2a 3 2a a2 1
K
b 2a 3 2a a2 1
K
x K
Sabiendo que K es la constante de la ecuación diferencial
PROBLEMA 39
39. Para el circuito de la Figura 3.18 (c) y (d) , determine
i L (t )
para t>0.
Equivalente de Norton antes de t=0:
7∗8=8.1∗
568.= = 87 = 87 8=| 7| − 7= =71−
K=-7, cuando t tiende al menos infinito
Equivalente de Norton después de t=0:
7∗6=7.1∗ 427.= = 76 = 76 7=| 6| − 6= Cuando t=0, il=7, entonces K=1
=− 6
Para el circuito de la Figura 3.18 (d), determine i L (t ) para t>0.
Cuando t=0, iL=0 Equivalente de Thevenin:
. 2 1. 2 = .∗ 12 12 . 2 1. 2 12 12 .=∗
= . . + . + 1. 2 12 ∗ = 1. 2 ∗ = 12 1 .. − . 1 = Cuando t=0, il=0
.. − . = 1 Entonces k=
)
Prob. 15
’0– =1= 2 =−∫− −∫−.−.
f)
Sol.
= −. ∫ =
Integración por partes para hallar
Entonces:
Finalmente :
− = − − == = − =
h)
Sol.
= = =− ∫ − ∫ .. =− −. − −+ == . 1= − = =.− −. .