Práctica de cálculo 1 pucp

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

Estudios Generales Ciencias Cálculo 1 Práctica Cali…cada 1

(2009 INDICACIONES.

 1)

 No se permite el uso de apuntes de clases ni calculadoras.  Cada pregunta vale 4 puntos.  Explicar detalladamente cada una de sus respuestas. 1. Dadas las siguientes funciones f ( f  (x) = 4x 4; si x g (x) = 2x + 2; 2; si x



Encuentre el dominio, el rango y la grá…ca de la función f=g:

3  3

2. . (a) Analice si la siguiente a…rmación es verdadera o falsa: "Si f  y g son dos funciones decrecientes, entonces f   g es creciente". Justi…que su respuesta. (b) Demostra Demostrarr que la función f ( f  (x) = 3

2

r 1 2

x

1

es decreciente. 3. Dada la función

2

8< (x + 1) + 2; f ( f  (x) = : arctan( arctan(x x + 1) 1) ;

x

 1 x > 1

(a) Muestre grá…camente que f  es inyectiva. (b) Halle la regla de correspondencia de la inversa de f , indicando su dominio. (c) Gra…que Gra…que en un mismo mismo sistema de coordenadas coordenadas f  y su inversa. 4. Dada la función

8< e  2; f ( f  (x) = : x  x; x

2

x

 ln 4 0
(a) Gra…que f  . (b) Extienda grá…camente f  a una función g tal que g sea impar. (c) Determine la regla de correspondencia de g . (d) Veri…que analíticamente que g es impar. 5. En una esfera de radio R se circunscribe un cono circular recto cuya base tiene radio r y su altura es h. (a) Exprese Exprese el volumen del cono como función función de su altura. (b) Halle Halle el área de la super…cie super…cie total del cono en términos términos de r . Prueba elaborada por los profesores del curso. Coordinador de Prácticas: Profesor Roy Sánchez. San Miguel, 02 de abril del 2009. 1

6. La función

f (x) 4x 4 = ;x g (x) 2x + 2



2 [3; 3]  f1g.

Su grá…ca 12

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6 -3

-2

-1

Si 3  x < 1 ) 2  x + 1 < 0 ) 2  Similar si 1 < x  3 ) 1  2 

4 x+1

0

1

2

3

 4:

4 . x+1

= 1g. Luego, Ran(f ) = fx 2 R=x 6

7. . (a) Si f  y g son dos funciones decrecientes, entonces para x1 < x 2 ) g (x1 ) > g (x2 ),y si y1 < y 2 ) f (y1 ) > f (y2 ). Si y = g (x) entonces x1 < x 2

) g (x ) > g (x ) ) f (g (x )) < f  (g (x )) : 1

2

1

2

(b) El dominio de f  : x  2. Sean x1 y x2 dos números en el dominio de f , tal que si 2  x1 < x 2 entonces

)

1 x1 2

 1 < 12 x  1 2

r 1

r 1

) 2 2 x  1 > 2 ) f (x ) > f  (x ) . 1

1

8. Si

2

x2

2

2

8< (x + 1) + 2; f (x) = : arctan(x + 1) ;

2

x

 1 x > 1

1

(a) Vale si de su grá…ca deducen la inyectividad de f .

h h (b) Si f  (x) = (x + 1) + 2 , entoncesRan (f  ) = [2; +1[. Si f  (x) = arctan(x + 1), su Ran (f  ) = 0; . 2 Estos conjuntos son el dominio de su inversa. 8>< p x  2  1; 2  x f  (x) = >: tan(x)  1; 0  x <  2 1

2

1

2

1

(c) La grá…ca de f  y de su inversa.

9. De la función

8< e  2; f (x) = : x  x; x

2

3

x

 ln 4 0
2

(a) La grá…ca de f: Y

1 X

ln4

(b) La ampliación para obtener g Y

1 X

ln4

  (c) Si 0 < x  1 ) 1  x < 0. La función g (x) =  (x)  (x) = x  x: 2

2

Similarmente para la otra función, Si ln 4  x ) x   ln 4. La función g (x) =  (ex  2) = ex + 2.

8> e  2; < x  x; g (x) = >: ex +x;2; x 2

x 2

x ln 4 0
    

(d) Sea x   ln 4 ) x  ln 4. Su regla de correspondencia, g ( x) = ex



Similarmente para la otra parte.

x

 2 =  e

4



+2 =

g (x) :

10. Esbozamos la grá…ca del problema. C x

h

E

R O

B

A r

D

(a) Por semejanza de los triángulos CDB  CE O, h x = r R

También se cumple (h

De las dos ecuaciones se tiene

 R)

2

r2 =

Por lo tanto, V  (h) =

) x = Rh r = R2 + x2 R2 h : h 2R



R 2 h2 ; h > 2R. 3 (h 2R)

(b) Área de la super…cie total del cono en función a r. El área lateral del cono, de la …gura



C

L h

B

A r

D

AL = rL = r

El área de la base

p h + r : 2

2

Ab = r 2

Con ayuda de la parte a) A (r) =

5

2r 4 ; r > R. r 2 R2

