PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
ESTATICA
Ing. Félix I cabrera Ing. Civil PUCP. Profesor Ordinario PUCP MSc University of of Leeds Leeds - Inglaterra
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Unidad 1: Fundamentos y operaciones con vectores Temas • Definición de mecánica
• Conceptos y principios básicos de la mecánica • Leyes de Newton • Escalares y vectores • Tipos de vectores • Sistemas de unidades • Operaciones con vectores • Equilibrio de la partícula
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Unidad 1: Fundamentos y operaciones con vectores Temas • Definición de mecánica
• Conceptos y principios básicos de la mecánica • Leyes de Newton • Escalares y vectores • Tipos de vectores • Sistemas de unidades • Operaciones con vectores • Equilibrio de la partícula
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
¿Que es la mecánica? 1.La mecánica Es la ciencia que estudia y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos que se encuentran bajo la acción de fuerzas y se divide en:
1.1 Sólido rígido Estática: cuerpos en reposo Dinámica: cuerpos en movimiento
El cuerpo no se deforma ante la aplicación de fuerzas
PUCP ciclo 2009-II
1.2 Sólidos deformables • El cuerpo se deforma ante la aplicación de cargas. • La suposiciones adoptadas para el sólido rígido ya no son válidas en este caso. • Se consideran en el análisis las propiedades de los materiales que forman los cuerpos.
1.3 Fluidos Mecánica de fluidos
prof. I. Cabrera
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
2 Conceptos y principios básicos de la mecánica a) Espacio: Concepto asociado a la posición de un punto,por lo cual se necesita un sistema coordenado de referencia.
z
x
o
A (ax,ay,az)
r y
A: es un punto cualquiera del espacio r : es un vector posición r = (ax, ay, az) - (0, 0, 0)
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
b) Tiempo: Es una medida de la sucesión de acontecimientos c) Masa: Es la cantidad de materia de un cuerpo, que mide su resistencia al cambio de movimiento de traslación. d) Fuerza: Representa la acción de un cuerpo sobre otro. Una fuerza puede ser ejercida por contacto o a distancia (fuerzas gravitacionales y magnéticas)
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
e) Principio de trasmisibilidad de las fuerzas
Las condiciones de equilibrio o de movimiento de un sólido rígido no se alteran si la fuerza que actúa en un punto dado es aplicado en un punto diferente, pero en la misma línea de acción. F
F Nota: debe tenerse mucho cuidado de emplear el principio de trasmisibilidad para hallar fuerzas internas y deformaciones.
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Leyes de Newton a
Primera ley: Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula permanecerá en reposo si originalmente lo estaba o viajará a velocidad constante V=0
Cuando la fuerza resultante es cero
a=0 V es cte
Fuerza resultante ≠0
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
a
Segunda Ley: Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección y sentido de esta. ΣF= m a
a≠0 V no es cte
PUCP ciclo 2009-II
a
prof. I. Cabrera
Tercera ley: Las fuerzas de acción y reacción de cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos.
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Escalares y vectores a
Escalar: Es una cantidad que solo posee magnitud. En estática se usan con frecuencia escalares como: masa, volumen, área y longitud
a
Vector: Es una cantidad que posee magnitud, dirección y sentido entre ellos tenemos: vectores de posición, vectores de fuerza y de momentos
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Clasificación de vectores a) Vector fijo: Es aquel que actúa en un punto específico del espacio. Ejemplo fuerzas en sólidos deformables
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
b) Vector deslizante: Aquel que puede aplicarse en cualquier punto a lo largo de su línea de acción. Ejemplo las fuerzas
actuantes en sólidos rígidos. F
F
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
C) Vector libre: Aquel que puede actuar en cualquier lugar del espacio, solo es necesario que se conserve su magnitud y sentido. Ejemplo el momento generado por un par de fuerzas (rotación)
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Sistema de unidades: Hay varios sistemas de unidades: el sistema internacional ( SI) el sistema inglés, y el que utiliza el kgfuerza
Longitud Masa Tiempo Fuerza
SI m kg s N (Newton)
Sist. Inglés pies (ft) slug s lb (libra)
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Operaciones con vectores Como se mencionó, un vector para estar definido necesita de magnitud y sentido V=|v|. u
Z
X
|v| :
es el módulo del vector
u :
es el vector unitario que le da el sentido Los vectores se expresan comúnmente en función de un sistema de coordenadas
Y
Si una fuerza es paralela al eje x, su vector unitario sería: (1, 0, 0) o (-1, 0, 0) Si una fuerza es paralela al eje y, su vector unitario sería: (0, 1, 0) o (0, -1, 0) Si una fuerza es paralela al eje z, su vector unitario sería: (0, 0, 1) o (0, 0, -1)
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Ejemplo. Expresar como vectores las fuerzas F1 y F2 Z F2 = 10N
X
F1 = 8N
Y
En forma vectorial F1 se expresa como: 8 (0,0, 1) = (0, 0, 8) N En forma vectorial F2 se expresa como: 10 (0,-1, 0) = (0, -10, 0) N ax2 + ay2 + az2 Módulo de un vector: A = Ej. Hallar A, si A= (3, 0, 4) N A = 32 + 02 + 42 = 5 N
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Vector unitario: u = A / A Ej. si A= (3, 0, 4) N u = (3, 0, 4)/ 5 = (0.6, 0, 0.8) N A u
Vector unitario B (bx, by, bz) F Z X
A (ax, ay, az) Y
Si se conoce la línea de acción de la fuerza y las coordenadas de 2 puntos de paso, el Vector unitario será:
u = (B - A) B- A
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Vector unitario: ángulos directores El vector unitario del vector F se puede determinar con los ángulos que forma con los ejes x, y, z
Z θ X
α
Y
β
u = (cos α, cos β, cos θ)
F
Producto de escalar y vector: pA = (pax, pay, paz) Ej. Hallar 4A, si A= (2, 5, 8) N 4A = (8, 20, 32) N A
4A
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Dados los vectores A = (ax, ay, az) y B = (bx, by, bz) Suma de vectores: A + B = (ax+bx, ay+by, az+bz) Ej. A= (2, 5, 8) N y B = (0, -6, 3) N A + B = (2, -1, 11) N A+B B A
Resta de vectores: A - B = (ax-bx, ay-by, az-bz) Ej. A= (2, 5, 8) N y B = (0, -6, 3) N A - B = (2, 11, 5) N A -B
A-B
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Producto escalar o producto punto Usado para hallar el ángulo entre dos líneas y las componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea. B θ
A . B = A B cos θ (1) A . B = (ax bx + ay by + az bz)
(2)
A Igualando (1) y (2) Cos θ = (ax bx + ay by + az bz) / ( A B )
Notar que el resultado es un escalar y que 0 ≤ θ ≤ 180
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Ejemplo: hallar el ángulo que forman los vectores A y B Solución
B = (4, 0, 5) θ
A = (1, 2, 3)
B = 6.4 A = 3.74
Cos θ = (ax bx + ay by + az bz) / ( A B ) Cos θ = (4x1 + 0x2 + 5x3) / (3.74x6.4) = 19 /23.936 = 0.793 Cos θ = 0.793, entonces θ = 37.53º
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Producto escalar o producto punto
Componentes de una fuerza paralela y perpendicular a una línea L. Componente paralela a la línea L Bpar = (B. uL) uL
B B per B par
L
Además Bpar + B per = B
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Ejemplo: Hallar las componentes del vector A en la dirección de la línea L Aper
A = (2, 6, 1) Apar uL = (0.6, 0, 0.8)
L
Componente paralela a la línea L Apar = (A. uL) uL A. uL = (2x0.6 + 6x0 + 1x0.8) = 2 Apar = 2 (0.6, 0, 0.8) Apar = (1.2, 0, 1.6)
Componente perpendicular a la línea L Aper = A – Apar = (2, 6, 1) – (1.2, 0, 1.6) = (0.8, 6, -0.6)
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Producto vectorial o producto cruz El vector (A x B) es perpendicular al plano definido por los vectores A y B
AxB B
AxB= A
i ax bx
j ay by
k az bz
A x B = (ay bz – by az) i – (ax bz – bx az) j + (ax by – bx ay) k
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Ejemplo. Hallar un vector perpendicular al plano que definen los vectores A y B AxB
AxB=
B = (3, 5, 6)
i ax bx
j ay by
k az bz
A = (2, 1, 0) AxB=
i 2 3
j 1 5
k 0 6
A x B = (ay bz – by az) i – (ax bz – bx az) j + (ax by – bx ay) k A x B = (1x6 – 5x0)i – (2x6 – 3x0)j + (2x5 – 3x1)k A x B = (6, -12, 7)
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Ej ercicio. 1
En el gráfico siguiente la fuerza F tiene una magnitud de 140 Lb, se pide: a) b) c) d)
Indicar la fuerza F en forma vectorial hallar la suma de los vectores posición r AB y r AC hallar el vector proyección de la fuerza F sobre la línea AB encontrar un vector unitario perpendicular al plano formado por “A”, “B” y “C”
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Gr áfico 1
(140 lb)
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Unidad 2. Estática de las Partículas Temas • Definición
de partícula • Fuerzas actuando sobre una partícula en el plano y espacio • Equilibrio de la partícula • Rozamiento
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
¿ Que es una partícula? Es un cuerpo que tiene masa pero un tamaño que puede ser ignorado en el análisis de los problemas • Las fuerzas que actúan sobre una partícula son concurrentes
F2
F2 F1
• Para que la partícula se encuentre en equilibrio debe cumplirse que: Σ F = 0
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Ejercicio y
a) Hallar la fuerza resultante que actúa sobre la partícula x
b) Que fuerza adicional se debe aplicar a la partícula para que permanezca en equilibrio?
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
y
a) Hallar la fuerza resultante que actúa sobre la partícula x
F1 = 40 (cos 35, cos 55, 0) = (32.76, 22.94, 0) N F2 = 30 (cos 20, cos 110, 0) = (28.19, -10.26, 0) N F3 = 45 (0, cos 180, 0) = (0, -45, 0) N Fr = (60.95, -32.32, 0) N
b) Que fuerza adicional se debe aplicar a la partícula para que permanezca en equilibrio? Para que la partícula permanezca en equilibrio debe cumplirse que: ∑ F = 0 Entonces si Q es la fuerza adicional debe cumplirse : Fr + Q = (0,0,0) Q = (0,0,0) – (60.95, -32.32, 0) = (-60.95, 32.32, 0) N
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Equilibrio de la partícula en el plano Resolución de problemas
Se debe seguir los siguientes pasos: • Establecer
un sistema de coordenadas • Dibujar el diagrama de cuerpo libre del cuerpo • Plantear las ecuaciones de equilibrio de tal forma que: ∑ Fx = 0 y ∑ Fy = 0
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Equilibrio de la partícula en el plano Diagramas de cuerpo libre
Son diagramas donde se aísla al cuerpo analizado y se dibujan las Fuerzas externas que actúan sobre el Ejemplo. Si la esfera tiene un peso W, dibuje su dcl dcl T
F
F R
F W
N
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Ejemplo 1. Si la esfera tiene un peso de 100 N, F = 50 N y la fuerza en el cable es 80 N, hallar la fuerza en el resorte y la fuerza que ejerce el suelo sobre la esfera.
30º F
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Solución y x
dcl T
30º F
F R
F W
N
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Ejemplo 2. Si el peso de la cámara es 200 N, hallar las fuerzas en los cables AB, AC, CD y CE
pucp ciclo 2009-Ii
prof. I. Cabrera
Resortes Fuerza = K (Lf – Lo) K : constante de rigidez del resorte Lf : longitud final del resorte Lo : longitud sin deformar
PUCP ciclo 2009-II
prof. I. Cabrera
Equilibrio de la partícula en el espacio Resolución de problemas
Se debe seguir los siguientes pasos: • Establecer
un sistema de coordenadas • Dibujar el diagrama de cuerpo libre del cuerpo • Plantear las ecuaciones de equilibrio de tal forma que: ∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0, ∑ Fz = 0
PUCP ciclo 2009-II
a) b)
prof. I. Cabrera
Si el peso de la cubeta es 20 lb hallar las fuerzas en los cables Si cada cable puede soportar una tensión de 600 lb, determine el peso máximo de la cubeta que podría ser soportado por los cables.