Práctica Investigación Operativa 15.2-4.* Warren Buffy es un inversionista muy rico que ha amasado su fortuna con su legendaria perspicacia y quiere hacer una inversión. La primera opción es una inversión conservadora con buen desempeño si la economía mejora y sólo sufrirá una pérdida pequeña si la economía empeora. La segunda es una inversión especulativa que se desempeña muy bien si la economía mejora, pero muy mal si empeora. La tercera es una inversión contracíclica que perdería algún dinero en una economía que mejora, pero se desempeñaría muy bien si empeora. Warren cree que existen tres escenarios posibles en las vidas de estas inversiones potenciales: 1) economía que mejora, 2) economía estable y 3) economía que empeora. Es pesimista sobre el rumbo de la economía, y ha asignado probabilidades a priori respectivas de 0.1, 0.5 y 0.4, a estos tres escenarios. También estima que sus ganancias en estos escenarios son las que se presentan en la tabla siguiente:
Alternativa
Economía en mejora
Economía estable
Inv. Conservadora Conservador a Inv. Especulativa Especulativ a
30 MM 40 MM
5 MM 10MM
Economía que empeora -10MM -30MM
Inv. Contracìclica Contracìclic a
-10 MM
0 MM
15MM
0,1
0,5
0,4
Probabilidad A priori
¿Qué inversión debe hacer Warren según los siguientes criterios?
a) Criterio de pago maximin. b) Criterio de la posibilidad máxima. c ) Regla de decisión de Bayes. SOLUCION
a)
Criterio de pago maximin.
Alternativa
Economía en mejora
Economía estable
Inv. Conservadora Conservador a Inv. Especulativa Especulativ a
30 MM 40 MM
5 MM 10MM
Economía que empeora -10MM -30MM
Inv. Contracìclica Contracìclic a
-10 MM
0 MM
15MM
Prob. A priori
0,1
0,5
0,4
Mìnimo valor de cada alternativa Inv. Conservadora Conservador a Inv. Especulativa Especulativ a Inv. Contracìclica Contracìcli ca -10MM -10MM
-30MM
-10MM, en ambos casos es el mayor valor por lo tanto: RESPUESTA
-10MM
Warren Buffy debe invertir en una inversión conservadora o una inversión contracìcica. Pero debe elegir sólo una de ellas y no ambas. b) Criterio de la posibilidad máxima.
-
Alternativa
Economía en mejora
Economía estable
Inv. Conservadora Conservador a Inv. Especulativa Especulativ a Inv. Contracìclica Contracìclic a
30 MM 40 MM -10 MM
5 MM 10MM 0 MM
Economía que empeora -10MM -30MM 15MM
Prob. A priori
0,1
0,5
0,4
Como 10MM 10MM es el mayor valor valor de la la columna columna de mayor probabilidades probabilidades (economía estable) estable) entonces:
RESPUESTA
Warren Buffy debe realizar una inversión especulativa para de este modo obtener un mayor beneficio.
c ) Regla de decisión de Bayes. [( ()] )] = = 30 ∗ 0.1+ 0.1+ 5 ∗ 0.5 0.5 − 10 10 ∗ 0.4 0.4 [( ()] )] = = $ 1.5 [( ()] )] = = 40 40 ∗ 0.1 0.1 + 10 ∗ 0.5 0.5 − 30 ∗ 0.4 0.4 [()] = $ − 3 [(ì)] = −10 −10 ∗ 0.1 0.1 + 0 ∗ 0.5 0.5 + 15 15 ∗ 0.4 0.4 [(ì)] = $ 5
Alternativa
Economía en mejora
Economía estable
Economía que empeora
Inv. Conservadora Conservador a Inv. Especulativa Especulativ a
30 MM 40 MM
5 MM 10MM
-10MM -30MM
$ 1,5 MM $ -3 MM
Inv. Contra cíclica
-10 MM
0 MM
15MM
$ 5 MM
Prob. A priori
0,1
0,5
0,4
Esperanza de pago
En la inversión contra cíclica se espera mayor beneficio, entonces: RESPUESTA
Warren Buffy debe realizar una inversión contra cíclica para de este modo obtener un mayor beneficio de $5MM.
15.2-5. Reconsidere el problema 15.2-4. Warren Buffy decide que la regla de decisión de Bayes es el criterio más confi able. Cree que 0. 1 es correcto como probabilidad a priori de una economía que mejora, pero no sabe cómo dividir el resto de las probabilidades entre la economía estable y la que empeora. Por lo tanto, quiere realizar un análisis de sensibilidad respecto de estas dos probabilidades. a) Aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.3 y la de una economía que empeora es 0.6. b) Aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.7 y la de una economía que empeora es 0.2. c ) Grafi que la ganancia esperada de las tres alternativas de inversión contra la probabilidad a priori de una economía estable (con probabilidad a priori de economía que mejora fi ja en 0.1). Use la gráfica para identificar el punto de cruce donde la decisión cambia de una inversión a otra. ). A d ) Use el álgebra para obtener los puntos de cruce que se mencionan en el inciso c ). A e) Desarrolle una gráfica de la ganancia esperada (con la regla de decisión de Bayes) contra la probabilidad a priori de una economía estable. SOLUCION
a)
Aplique de nuevo la regla de decisión de Ba yes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.3 y la de una economía que empeora es 0.6.
Alternativa
Economía en mejora
Economía estable
Inv. Conservadora Conservado ra Inv. Especulativa Especulativ a Inv. Contra cíclica
30 MM 40 MM -10 MM
5 MM 10MM 0 MM
Economía que empeora -10MM -30MM 15MM
Prob. A priori
0,1
0,3
0,6
[()] = 30 ∗ 0.1+ 0.1+ 5 ∗ 0.3 0.3 − 10 10 ∗ 0.6 0.6 [()] = $ − 1.5 [( ()] )] = = 40 40 ∗ 0.1 0.1 + 10 ∗ 0.3 0.3 − 30 ∗ 0.6 0.6 [( ()] )] = = $ − 11 [( (ì)] ì)] = = −10 −10 ∗ 0.1 0.1 + 0 ∗ 0.3 0.3 + 15 15 ∗ 0.6 0.6 [(ì)] = $ 8
Alternativa
Economía en mejora
Economía estable
Economía que empeora
Esperanza de pago
Inv. Conservadora Conservador a Inv. Especulativa Especulativ a
30 MM 40 MM
5 MM 10MM
-10MM -30MM
$ - 1,5 MM $ -11 MM
Inv. Contra cíclica
-10 MM
0 MM
15MM
$ 8 MM
Prob. A priori
0,1
0,5
0,4
RESPUESTA En este caso, Warren Buffy debe realizar una inversión contra cíclica para de este modo obtener un mayor beneficio de $8MM.
b)
Aplique de nuevo la regla de decisión de Ba yes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.7 y la de una economía que empeora es 0.2.
Alternativa
Economía en mejora
Economía estable
Inv. Conservadora Conservador a Inv. Especulativa Especulativ a Inv. Contra cíclica
30 MM 40 MM -10 MM
5 MM 10MM 0 MM
Economía que empeora -10MM -30MM 15MM
Prob. A priori
0,1
0,7
0,2
[( ()] )] = = 30 ∗ 0.1+ 0.1+ 5 ∗ 0.7 0.7 − 10 10 ∗ 0.2 0.2 [()] = $ 4.5 [()] = 40 40 ∗ 0.1 0.1 + 10 ∗ 0.7 0.7 − 30 ∗ 0.2 0.2 [()] = $ 5 [(ì)] = −10 −10 ∗ 0.1 0.1 + 0 ∗ 0.7 0.7 + 15 15 ∗ 0.2 0.2 [( (ì)] ì)] = = $ 2
Alternativa
Economía en mejora
Economía estable
Economía que empeora
Inv. Conservadora Conservador a Inv. Especulativa Especulativ a Inv. Contra cíclica
30 MM 40 MM -10 MM
5 MM 10MM 0 MM
-10MM -30MM 15MM
Prob. A priori
0,1
0,7
0,2
Esperanza de pago $ 4.5 MM $ 5 MM $ 2 MM
RESPUESTA
En este caso, Warren Buffy debe realizar una inversión especulativa para de este modo obtener un mayor beneficio de $5MM.
c)
Grafique la ganancia esperada de las tres alternativas de inversión contra la probabilidad a pri ori de una economía estable (con probabilidad a priori priori de economía que mejora fija en 0.1). Use la gráfica para identificar el punto de cruce donde la decisión cambia de una inversión a otra.
Alternativa
Economía en mejora
Economía estable
Inv. Conservadora Conservador a Inv. Especulativa Especulativ a Inv. Contra cíclica
30 MM 40 MM -10 MM
5 MM 10MM 0 MM
Economía que empeora -10MM -30MM 15MM
Prob. A priori
0,1
p
0.9-p
[()] = 30 ∗ 0.1+ 0.1+ 5 ∗ − 10 ∗ (0. (0.9 9 − ) ) [( ()] )] = = 15 15 − 6 [( ()] )] = = 40 ∗ 0.1 0.1 + 10 ∗ − 30 30 ∗ (0. (0.9 9 − ) ) [( ()] )] = = 40 − 23 23 [(ì)] = −10 −10 ∗ 0. 0.1 + 0 ∗ + 15 15 ∗ (0. (0.9 − ) [ ( )] ì = −15 + 12.5 12.5
P1
Valores aproximados:
P2
1 ≈ 0.62 2 ≈ 0.68
d)
Use el álgebra para obtener los puntos de cruce que se mencionan en el inciso c ). ).A
15 − 6 = −15 + 12.5 30 = 18.5 =
18.5 30
1 = 0.6167 15 − 6 = 40 − 23 −25 = −17 =
17 25
2 = 0.68 e) Desarrolle una gráfica de la ganancia esperada (con la regla de decisión de Bayes) contra la priori de una economía estable. probabilidad a priori
o d a r e p s e o g a P
0.6167
0.68
15.3-3. Se proporciona la siguiente matriz de pagos (en miles de dólares) para un análisis de decisión:
Estado de la naturaleza Alternativa
S1
S2
S3
A1 A2 A3 Prob. A priori
6 1 4 0,3
1 3 1 0,4
1 0 2 0,3
a) De acuerdo con la regla de decisión de Bayes, ¿qué alternativa debe elegirse? b) Encuentre el VEIP. c ) Se le proporciona la oportunidad de gastar 1 000 dólares para obtener información acerca de qué estado de la naturaleza es probable que ocurra. Dada su respuesta del inciso b), ¿vale la pena gastar este dinero?
a) De acuerdo con la regla de decisión de Bayes, ¿qué alternativa debe elegirse? [( 1)] = 6 ∗ 0.3 0.3 + 1 ∗ 0.4 0.4 + 1 ∗ 0.3 0.3 [( 1)] = $ 2.5 [( ( 2)] 2)] = = 1 ∗ 0.3 0.3 + 3 ∗ 0.4 0.4 − 0 ∗ 0.3 0.3 [( ( 2)] 2)] = = $ 1.5 [( ( 3)] 3)] = = 6 ∗ 0.3 0.3 + 5 ∗ 0.4 0.4 − 10 10 ∗ 0. 0.3 [( 3)] = $ 2.2
Estado de la naturaleza Alternativa
S1
S2
S3
A1 A2 A3 Prob. A priori
6 1 4 0,3
1 3 1 0,4
1 0 2 0,3
Esperanza de pago $ 2,5 M $ 1,5 M $ 2,2M
En la alternativa A1 se espera mayor beneficio, entonces: RESPUESTA
Debe tomarse la alternativa A1 para de este modo obtener un mayor beneficio beneficio de $2.5M.
b)
Encuentre el VEIP.
Alternativa A1 A2 A3 Pago maximo Prob. A priori Pago esperado con informacion perfecta
Estado de la naturaleza S1 S2 S3 6 1 1 1 3 0 4 1 2 6 3 2 0,3 0,4 0,3 3,6
Para encontrar el VEIP, es necesario restar al pago esperado con información perfecta el pago esperado sin experimentación que por teorema de Bayes sabemos que es $2.5M. = 3.6 3.6 − 2.5 2.5 = 1.1 RESPUESTA El VEIP para este caso es de $ 1.1 M.
c)
Se le proporciona la oportunidad de gastar 1 000 dólares para obtener información acerca de qué estado de la naturaleza es probable que ocurra. Dada su respuesta del inciso b), ¿vale la pena gastar este dinero?
RESPUESTA
Dado el caso de que el VEIP VE IP es de $1.1M y el gasto gas to para obtener es de $1M, es conveniente hacer esta inversión ya que en el mejor de los casos se obtendría $ 2.6 M y si tomamos la alternativa A2 por regla de Bayes, el beneficio esperado es de $ 2.5M.
15.3-6. Reconsidere el ejemplo prototipo de Goferbroke Co. Que incluye el análisis de la sección 15.3. Con la ayuda de un geólogo consultor se han obtenido algunos datos históricos que proporcionan más información precisa de la posibilidad de obtener sondeos favorables en terrenos similares. En específico, cuando la tierra contiene petróleo, los sondeos favorables se confirman 80% de las veces. Este porcentaje cambia a 40 cuando el terreno está seco. a) Revise la fi gura 15.2 para encontrar las nuevas probabilidades a posteriori . c ) ¿Cuál es la política óptima que resulta?
a) Revise la figura 15.2 para encontrar las nuevas probabilidades probabilidades a posteriori .
c ) ¿Cuál es la política óptima que resulta?
Pago esperado si el resultado del sondeo es desfavorable (SSD): Estado de la naturaleza Alternativa
Petroleo
Seco
Perforar en busca de petroleo
700
-100
Veder terreno
90
90
Prob. A posteriori
0,1
0,9
)] = 700 ∗ 0.1 [( ( − = )] = 0.1 − 100 100 ∗ 0.9 0.9 − 30 30 [ ( )] = )] ( − = = −50 [( − = )] = 90 90 ∗ 0.1+ 0.1+ 90 ∗ 0.9 0.9 −30 [( − = )] = =
Pago esperado si el resultado del sondeo es desfavorable (SSF):
Alternativa Perforar en busca de petroleo
Estado de la naturaleza naturaleza Petroleo Seco 700
-100
Veder terreno
90
90
Prob. A posteriori
0,4
0,6
)] = 700 [( ( − = )] = 700 ∗ 0.4 0.4 − 100 100 ∗ 0.6 0.6 − 30 )] = [( ( − = )] = )] = 90 [( ( − = )] = 90 ∗ 0.4 0.4 + 90 ∗ 0.6 0.6 − 30 )] = 60 [( ( − = )] =
Política Resultado del sondeo
SSD SSF
Accion optima
Vender terreno Perforar en busca de petroleo
Pago esperado excluyendo el costo de experimentacion
Pago esperado incluyendo el costo de experimentacion
90
60
220
190
Respuesta De acuerdo a la política optima, el valor esperado ante una situación desfavorable luego de experimentar para la venta seria $60M, y ante una situación favorable favora ble luego de experimentar seria de $190M 15.4-3. Le proporcionan el siguiente árbol de decisión donde los números entre paréntesis son probabilidades y los números a la derecha son los pagos en los puntos terminales. Analice el árbol de decisión para obtener la política óptima.
Para el pago esperado:
580 900
820
820
15.4-5. La contralora de Macrosoft Corporation tiene 100 millones de dólares sobrantes de fondos para inversión. Ha recibido instrucciones de invertir la cantidad completa a un año en acciones o en bonos (pero no en ambos) y después reinvertir el fondo completo ya sea en acciones o bonos (pero no en ambos) un año más. El objetivo es maximizar el valor monetario esperado del fondo al final del segundo año. Las tasas de interés anual sobre estas inversiones dependen de la situación económica, como se muestra en la siguiente tabla:
Las respectivas probabilidades de crecimiento, recesión y depresión del primer año son 0.7, 0.3 y 0. Si ocurre el crecimiento en el primer año, estas probabilidades son las mismas para el segundo año, pero, si ocurre una recesión el primer año, las probabilidades cambian a 0.2, 0.7 y 0.1 para el segundo. a) Construya a mano el árbol de decisión del problema. b) Analice el árbol para identificar la política óptima.
a)
Construya a mano el árbol de decisión del problema.
Primer año
Alternativa
Tasa de interés
Tasa de interés Crecimiento Recesión
Depresión
Acciones
20
-10
-50
Bonos
5
10
20
Prob. A priori
0,7
0,3
0
Segundo año
Tasa de interés
Tasa de interés
Alternativa
Crecimiento
Recesión
Depresión
Acciones
20
-10
-50
Bonos
5
10
20
Prob. A priori
0,2
0,7
0,1
a)
Analice el árbol para identificar la política óptima.
b)
Analice el árbol para identificar la política óptima.
Se puede elegir cualquiera de las dos ya que de cualquier modo acción o bono darán el mismo beneficio. El primer año si se elige acción y aparece recesión, el siguiente año debe elegirse bono, en cambio si aparece crecimiento debe elegirse acción el próximo año. Si el primer año se elige bono, y aparece recisión, entonces el siguiente siguiente año debe elegirse bono. Sin embargo si aparece crecimiento el siguiente año debe elegirse acción
