Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Química Práctica 3. Relación lineal. Movimiento rectilíneo uniforme. Laboratorio de Física
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Fecha de entrega: ! de "ctubre de !#$
Introducción. %n esta ocasión en nuestra &ráctica tomamos el tema de movimiento a una velocidad constante. 'amos a determinar &or medio del m(todo de los cuadrados mínimos el valor )ue tiene nuestra velocidad. Para esto necesitamos saber un &oco más acerca de el movimiento a velocidad constante* %l movimi movimient ento o rectil rectilíne íneo o unifor uniforme me +m.r. +m.r.u., u.,-- es a)uel a)uel con velocidad consta constante nte cua cua traectoria es traectoria es una línea recta. /n e0em&lo claro son las &uertas correderas de un ascensorgeneralmente se abren cierran en línea recta siem&re a la misma velocidad.
2 2 2
"bserva )ue cuando afirmamos )ue la velocidad es constante estamos afirmando )ue no cambia ni su valor +tambi(n conocido como módulo- ra&ide1 o celeridad, ni la dirección del movimiento. /n movimiento rectilíneo uniforme +m.r.u., es a)uel )ue tiene su velocidad constante su traectoria es una línea recta. %sto im&lica )ue: %l es&acio recorrido es igual )ue el des&la1amiento. %n tiem&os iguales se recorren distancias iguales. La ra&ide1 o celeridad es siem&re constante coincide con el módulo de la velocidad.
%cuaciones ráficas del M.R./.
'elocidad %n los m.r.u. la velocidad del cuer&o es constante &or tanto igual a la velocidad inicial. 4u unidad en el 4istema 5nternacional +4.5., es el metro &or segundo +m6s,.
v 7v #7cte 2 2
donde: v es la velocidad. v# es la velocidad inicial.
Posición
4u unidad en el 4istema 5nternacional +4.5., es el metro +m, se obtiene &or medio de la siguiente e8&resión:
878#+v⋅t 2 2 2
donde: 8# es la &osición inicial. v es la velocidad )ue tiene el cuer&o a lo largo del movimiento. t es el intervalo de tiem&o durante el cual se mueve el cuer&o.
Observa lo que t representa en la ecuación de posición: El intervalo de tiempo durante el cual se mueve el cuerpo. Dicho intervalo a veces es representado por t y otras por ∆t. En cualquiera de los casos, t=∆t = t f 9 ti siendo tf t i los instantes de tiem&o inicial final res&ectivamente del movimiento )ue estamos estudiando. /na recta )ue me0or se a0usta es una línea recta )ue es la me0or a&ro8imación del con0unto de datos dado. ambi(n necesitaremos conocer cómo hacer un a0uste de una línea recta en un gráfica &or lo tanto necesitaremos utili1ar el m(todo de los cuadrados mínimos. %s usada &ara estudiar la naturale1a de la relación entre dos variables. /na recta )ue me0or se a0usta &uede ser determinada a&ro8imadamente usando el m(todo visual al dibu0ar una línea recta en una gráfica de dis&ersión &ara )ue tanto el n;mero de &untos arriba de la recta deba0o de la recta sean casi iguales + la línea &asa a trav(s de tantos &untos como sea &osible,. /na forma más &recisa de encontrar la recta )ue me0or se a0usta es el m(todo de mínimos cuadrados . /se los &asos siguientes &ara encontrar la ecuación de la recta )ue me0or se a0usta &ara un con0unto de &are0as ordenadas . Paso :
donde n es el n;mero total de &untos de los datos. Paso >:
donde son las medias de las coordenadas de 8 de los &untos de datos res&ectivamente. Paso $: /se la &endiente la interce&ción en &ara formar la ecuación de la recta.
Objetivos. %n diversos laboratorios de cada una de las carreras te vas a enfrentar a &roblemas en los )ue será necesario graficar datos e8&erimentales obtener una relación matemática entre ellos. %n (sta &ráctica tendrás la o&ortunidad de a&render a usar el m(todo de los
cuadrados mínimos- &ara obtener una regresión lineal- tomando como e0em&lo la estimación de la velocidad a la )ue se mueve una burbu0a dentro de un tubo de vidrio.
Problema. 4e tiene un tubo de vidrio sellado &or ambos e8tremos cuo contenido es aceite mineral a &ro&ósito se ha de0ado una burbu0a de aire. "bservamos )ue al voltear el tubo la burbu0a se mueve con cierta velocidad. %l &roblema a resolver es determinar si la burbu0a se mueve a velocidad constante cual es la magnitud de dicha velocidad.
i!ótesis La velocidad de la burbu0a en el tubo será constante con magnitud de !.3 cm6s.
Proceso ex!erimental Material 9 9 9 9 9 9 9 9
ubo de vidrio con burbu0a. 4o&orte universal. Pin1a de tres dedos. ?ilo. Masa de >#g.
5nstrumentos "abla #. $etalles de los instrumentos. Instrumento
Marca
Modelo
N%mero de Inventario UNAM
N%mero de &erie.
# 'ronómetro.
&("
))))))
)))))))))))
)))
* Flexómetro.
"ru!er
F)+M
Procedimiento e8&erimental . Medir la longitud del tubo de vidrio con el )ue reali1aremos el e8&erimento. !. %legir un &unto de inicio marcarlo en ambos e8tremos del tubo. %ste &unto de inicio nos indicará dónde comen1aremos a tomar el tiem&o donde terminar la medición del evento. 3. 5nstalar el so&orte universal a la mesa con auda de las &in1as de tres dedos colgar del hilo la &esa de >#g &ara fi0ar un &unto de referencia asegurar la verticalidad del tubo al reali1ar el e8&erimento. =. Reali1ar un &rimer evento &ara medir a&ro8imadamente el tiem&o total de recorrido. Luegodividir el tiem&o total en seis intervalos. >. 'oltear el tubo de manera )ue )uede vertical +guíarse &or la &lomada, cuando la burbu0a &ase &or la marca de inicio comen1ar a medir el tiem&o. $. %n cada uno de los seis intervalos de tiem&o fi0ados- marcar con un &lumón la distancia recorrida. @. etener el cronómetro cuando la burbu0a de aire llegue a la marca final en el tubo. B. Medir con un fle8ómetro la distancia recorrida en cada intervalo. C. Anotar los datos e8&erimentales en la bitácora. #. Re&etir > veces la medición &ara obtener datos confiables. . Mediante el m(todo de los cuadrados mínimos calcular la &endiente ordenada al origen &ara definir la función )ue describa el movimiento de la burbu0a.
,esultados Reali1amos > mediciones de acuerdo al &rocedimiento e8&erimental. Los datos e8&erimentales se muestran en la tabla !.
"abla *. Medición de tiem!o - distancia. tiem!o s/
distancia cm/
B.!> ± #.3
C.33 ± #.=
$.#@ ± #.#>
3B. ± #.@
!=.@ ± #.#>
>$.C@ ± #.B
3!.# ± #.#@
@>.3> ± #.3>
3C.C ± #.=
C=.#@ ± #.=!
=B.#$ ± #.#$
!.@= ± #.3
d A/ t se modela como una recta y =mx + b lo )ue se transforma en d = vt 0/ %l m(todo de los cuadrados mínimos nos brinda las siguientes fórmulas )ue &ermiten calcular los valores de &endiente ordenada al origen de un gru&o de datos &ara su &osterior graficación. Las fórmulas a utili1ar son las siguientes: v=
❑
n( m=
❑
❑ xy )−(∑ ❑ x )(∑ ❑ y ) ∑ ❑ ❑ ❑ ❑
n( ❑
❑
'/
❑ x )−(∑ ❑ x ) ∑ ❑ ❑ 2
❑
❑
2
❑
❑
❑ ❑
❑
( ∑ ❑ x )( ∑ ❑ y ) −(∑ ❑ xy )(∑ ❑ x ) 2
b=
❑
❑
❑ ❑
n(
❑ x )−( ∑ ❑ x ) ∑ ❑ ❑
σ Y =
ub= σ Y
$/
√
2
2
√
N
∑= ❑( y −b −m x )
2
i
I
1
N −2 N
❑ x ∑ = i
2
F/
1
❑
n(
(/
i
❑
❑ x )−(∑ ❑ x ) ∑ ❑ ❑ 2
2
um =σ Y
√
N ❑
n(
❑
1/
∑ ❑ x )−(∑ ❑ x ) 2
❑
2
❑
Nota2 No se considera la incertidumbre en el an3lisis de l as mediciones !or método de cuadrados mínimos. %n la tabla 3 &resentamos los cálculos &ara su me0or visuali1ación. "abla +. '3lculos.
y i− b −m x i
2
D
tiem&o +s,
distancia +cm,
8
x
B.!>
C.33
>C.=@
$B.#$
9#.>#
#.!>
!
$.#@
3B.
$!.=3
!>B.!=
3B.
=>!.3@
3
!=.@
>$.C@
3@$.C$
>$.C@
3!=>.>B
=
3.#
@>.3>
!33$.$#
C$.$!
$!.==
3BCB.BB
>
3C.C
C=.#@
3@>=.33
>C!.B
C=.#@
BB=C.$
$
=B.#$
!.@=
>=B.!B
!3#C.@$
!.@=
!@#.3
otal
$@.=@
3C$.>@
3$>B.#C
>@@=.$C
3$3.B3
3#>$.>$
>B=.C
( y i−b −m
/na ve1 ordenados los datos los a&licamos a las fórmulas dadas obtuvimos los siguientes datos: Pendiente +m, 7 !.3> "rdenada al origen +b, 7 #.=!
um 7 #.!$8# ub 7 #.BC8#E!
/tili1ando +<, +, /tili1ando +, +F,
d =[ 2.35 ± 0.26 x 1 0
❑
] cm t + [ 0.42 ± 0.89 x 1 0 ] cm ❑
s
Para reali1ar una com&aración de los resultados obtenidos con el m(todo utili1adograficamos los mismos datos en una ho0a de cálculo de e8cel. 'er gráfico !.
otamos )ue la &endiente ordenada al origen seGaladas coinciden con las calculadas mediante el m(todo de los cuadrados mínimos validando su utilidad.
An3lisis Al obtener e8&erimentalmente seis &untos &odemos lograr construir una gráfica decente ace&table con dichos &untos &odemos notar el com&ortamiento )ue toma la recta- calcular su &endiente su ordenada al origen así- obtener la ecuación de la recta. &reviamente hemos dado las ecuaciones )ue utili1amos &ara obtener la &endiente +<, la ordenada al origen +, con sus res&ectivas incertidumbres. ?ubiera sido más conveniente utili1ar un lí)uido más viscoso en el tubo &ara tener un &oco más de tiem&o acomodar el tubo &or)ue- una fuente de error mu im&ortante fue la falta de tiem&o &ara acomodar en &erfecta vertical el tubo. uestro e8&erimento se reali1ó ba0o las condiciones de re&etibilidad re&roducibilidad &or)ue evitamos todas las fuentes de error &osibles consideramos todos los factores )ue intervienen en (l. enemos un error mu grande en el cálculo de la incertidumbre creemos )ue se debe al mal uso de alguna fórmula &ara calcularla.
$ia4rama 5eurístico. $ia4rama eurístico sobre2 Pr3ctica 6 ,elación lineal velocidad/
Pts.
A/ 7Qué 8enómenos me interesa estudiar9 R= Movimiento rectilíneo a velocidad constante de una burbuja en un tubo con aceite mineral.
+
0/ 7'u3les/ es las/ !re4untas/ :ue me interesa res!onder sobre ese 8enómeno9 R= ¿La burbuja se mueve con velocidad constante y cuál es la magnitud de dicha velocidad?
+
'/ 7'u3les son las 5i!ótesis :ue me a-udaran a contestar mi !re4unta9 R= La burbuja se mueve con velocidad constante de 2.33 cm/s
+
$/ 'once!tos
(/ Metodolo4ía
$#/ 7Qué conce!tos me a-udaran a com!render el 8enómeno9 R= Conceto de velocidad! desla"amiento! y el conocimiento del m#todo de los cuadrados mínimos.
(#/ 7Qué !rocedimiento ex!erimental me a-udara a contestar mis/ !re4untas9 ,= Medir la distancia $ue recorre la burbuja en % intervalos de & segundos! reali"ar '( reeticiones del evento! utili"ar el m#todo de los cuadrados mínimos ara obtener una e)resi*n $ue describa el +en*meno.
$#
$*/ 7Qué otros 8enómenos !uedo com!render con estos conce!tos9 A!licaciones/ R= La aceleraci*n de una burbuja a trav#s de un tubo con agua artiendo de su velocidad .
(*/ Procesamiento de los datos !ara obtener resultados. R= ,e utili"* el m#todo de los cuadrados mínimos ara calcular la endiente y la ordenada al origen del gruo de datos ara su gra+icaci*n
(*
$+/ 7(s !osible construir un (+/ An3lisis -;o conclusión modelo teórico con lo :ue derivado de los datos encontré de mis datos R= se determinaron % untos ex!erimentales9 7Por :ué9 arada a la construcci*n de la 7'u3l9 grá+ica! a cual osteriormente +ue ajustada gracias al m#todo de R=sí! ya $ue se uede decir $ue la velocidad deende de la distancia cuadrados mínimos $ue recorre la burbuja a un determinado tiemo F/ 7'u3les son mis conclusiones9
* (# +
+ $* *
(+
+ $+ *
+
la burbuja se mueve a velocidad constante siemre y cuando el tubo ermane"ca en vertical! bajo condiciones de reroducibilidad. R=
1/ 7'u3l es la res!uestas/ a mis/ !re4untas/9 R= la burbuja se mueve a una velocidad constante de
< 2.35 ± 0.26 x 1
cm
/ ,e8erencias biblio4r38icas $e los 5ec5os2 5tt!2;;===.sim)metrolo4ia.or4.br;voca>int>metro.!d8 5tt!s2;;sites.4oo4le.com;site;estudia8isica#;movimiento)rectilineo) uni8ormemente)variado)m)r)u)v
+
$e la metodolo4ía2 5tt!s2;;sites.4oo4le.com;site;numerictron;unidad)?;?)+)re4resion) !or)minimos)cuadrados)lineal)-)cuadratica Autoevaluación total de !untos/;++ !untos !osibles
;++
'onclusión2 La burbu0a de aire se mueve a velocidad constante de 2.35 ± 0.26 x 1 cm-siem&re cuando el tubo se encuentre en forma vertical &er&endicular al suelo- mientras el e8&erimento se realice mediante condiciones de re&roducibilidad- re&etibilidad- la velocidad de la burbu0a de&ende del tiem&o )ue tarda en recorrer el tubo. 0iblio4ra8ía2
5tt!2;;===.sim)metrolo4ia.or4.br;voca>int>metro.!d8 5tt!s2;;sites.4oo4le.com;site;estudia8isica#;movimiento)rectilineo) uni8ormemente)variado)m)r)u)v 5tt!s2;;sites.4oo4le.com;site;numerictron;unidad)?;?)+)re4resion)!or)minimos) cuadrados)lineal)-)cuadratica
