GRADO: 5°
ÁREA: MATEMÁTICA
I.E. N° 88058 HUAMBACHO “LA HUACA”
Prof.: Ju!o C"r#o $#or% M%&'o("
PRÁCTICA PRÁCTICADE DEMATEMÁTICA MATEMÁTICAN° N°0) 0) TEMA: TEMA:PROBLEMAS PROBLEMASDE DESISTEMAS SISTEMASDE DE ECUACIONES LINEALES II ECUACIONES LINEALES - II 1) Manuel y César tienen juntos S/. 59. Al
A) &/1
divi dividi dirr lo que que tien tiene e Manu Manuel el entr entre e lo que que tiene César, obtenemos 2 como cociente y 5 de residuo. ¿Cuánto tiene cada uno si Manuel tiene más dinero que César? A) S/. 4 y S/. !" B) S/. !# y S/. 4" C) S/. 4$ y S/. !% D) S/. 4 y S/. & E) '.A.
8) 9os n6meros son entre s como 5 es a 6. Si al menor le aumentamos 2 y al mayor le disminu disminuimo imos s 6, la nueva relaci*n será 9/8. 8alla el menor de ellos.
2) ()elia ()elia tiene tiene S/. 56 más que M*nica. Si
9) 2l +ermetro +ermetro de un rectán0ulo rectán0ulo mide mide 64
dividimos el dinero que +oseen ambas, el cocien cociente te es 3 y el resid residuo uo es 8. ¿Cuánto dinero tiene M*nica? A) S/. !" B) S/. !# C) S/. 4 D) S/. 4 E) '.A.
3) -asté en una com+ra los 3/4 de lo que ten tena a y des+ des+ué ués s cobr cobré é S/. 1300 +or +or un traba trabajo jo que ice. ice. Si aora aora ten0o ten0o S/. 100 más que al inicio, ¿cuánto dinero tena al +rinci+io?
A) S/. #"" D) S/. 1""
B) S/. 4"" E) '.A.
C) S/.$""
4) 2n un corral donde alimentan 0allinas y ovejas, ovejas, el +ro+ietario +ro+ietario cont* 22 cabe3as y 64 +atas. ¿Cuántas ovejas ay en dico corral?¿ cuántas 0allinas?
A) " y # D) ! y %
B) y % E) '.A.
C) " y
5) 2n una 0ranja donde ay vacas y +atos se cont contar aro on 160 cabe3as y 440 +atas. ¿Cuántos +atos ay?¿ cuántas vacas?
A) "" y #" D) !" y %"
B) " y %" E) '.A.
C) "" y #"
6) 5a suma de dos n6meros es i0ual al doble de su di)erencia y el mayor e7cede a dos veces menor en 4. ¿Cuál es el n6mero mayor?
A) &
B) #
C) 4
D)
E) '.A.
7) 5a di)erencia entre el denominador y el numerador de una )racci*n +ro+ia es 1. Al aumen aumentar tar el denom denomina inador dor en 15, el valor de la )racci*n es 1/3. 8alla la )racci*n.
A) "
B) $/&
B) %
C) # /1 D) "/&
C) 4"
D) %"
E) '.A.
E) '.A.
cm. Calcula el área del rectán0ulo si uno de sus lados mide 12 cm más que el otro.
A) "" cm D) %" cm
B) " cm E) '.A.
C) 4" cm
:icardo ardo es 22 a;os más joven que 10) :ic 5uca. 5uca. 9entro 9entro de 5 a;os, 5uca tendrá el doble de la edad de :icardo. ¿
A) !"
B) !%
C) !1
D) 4"
E) '.A.
11) 5a suma de los inverso rsos de dos n6meros es 4/! y la di)erencia de estos inve invers rsos os es /!. /!. Calc Calcul ula a el +rod +roduc ucto to de dicos n6meros.
A) !/ B) /%
C) 4/$
D) /!
E) '.A.
.
x + 24 = y x + y = 24 A) B) x − 3 y = 12 x + 3 y = 12 x − 24 = − y C ) x + 12 = 3 y
x − y = 24 D) x − 3 y = 12
UN MATE ……… DE RISA ¿Qué le dice el 1 al 10 -Para ser sincero.
como
yo,
debes
ser
1) =uan com+r* un ordenador y un televisor +or """ > y los vendi* +or #" >. ¿Cuánto le cost* cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador 0an* el " y en la venta del televisor 0an* el %?
SOLUCIÓN: 7 y
+recio del ordenador. +recio del televisor.
x +
y +
10 x
x = 3 y 2 x + 2 y = 16 7 @ y # .B!yD @ y # #y @ y # &y # y #/&
y = 2
+recio de venta del ordenador.
100
7 !y 7 !BD
x =6
15 y
+recio de venta del televisor.
100
2 c
x + y = 2000 10 x 15 y + + + = 2260 x y 100 100
ay %& cabe3as y #& +atas. ¿Cuántos cerdos y +avos ay?
SOLUCIÓN: 7 y
B"D
n6mero de +avos. n6mero de cerdos.
x + y = 58 2 x + 4 y = 168 7 @ y %& 7 @ 4y #&
"7 "y """" "7 @ %y #""" " @
" @ y % y % y %/
7 @ y """ 7 @ "" """ 7 """ ""
y = 26
x = 800
7 @ y %& 7 @ # %& 7 %& F #
precio del ordenador. precio del televisor.
2) ¿Cuál es el área de un rectán0ulo sabiendo que su +ermetro mide # cm y que su base es el tri+le de su altura?
SOLUCIÓN: 7 base del rectán0ulo. y altura del rectán0ulo. 7 @ y +ermetro.
BD
7 y # 7 @ 4y #&
%y #""" %y #""" y #"""/%
y = 1200
&"" > "" >
base del rectán0ulo. altura del rectán0ulo.
3) Ena 0ranja tiene +avos y cerdos, en total
x + y = 2000 110 x + 115 y = 226000 7 @ y """ "7 @ %y #"""
# cm
x = 32 )* *+
número de pavos. número de cerdos.
4) Antonio dice a GedroH Iel dinero que ten0o es el doble del que tienes t6I, y Gedro contestaH Isi t6 me das seis euros tendremos los dos i0ual cantidadI. ¿Cuánto dinero tena cada uno?
SOLUCIÓN: 7
dinero de Antonio.
y
x = 2 y y + 6 = x − 6
7 ci)ra de las unidades y ci)ra de las decenas "7 @ y n6mero "y @ 7 n6mero invertido y 7 B"y @ 7D J $ "7 @ y " K 7 @ 7 J $ "7 @ 7 "7 @ 7 J 7 $ 7 ! y 7 y # 'Lmero 63
y @ # y # #@# yy y 7 y 7 BD 7 4.
24 12
SOLUCIÓN:
dinero de Gedro.
dinero de Antonio. dinero de Gedro.
5) 2n una em+resa trabajan #" +ersonas. Esan 0a)as el # de los ombres y el " de las mujeres. Si el n6mero total de +ersonas que usan 0a)as es . ¿Cuántos ombres y mujeres ay en la em+resa?
7) Gor la com+ra de dos electrodomésticos emos +a0ado !%"" >. Si en el +r im er o nos ubieran eco un descuento del " y en el se0undo un descuento del & ubiéramos +a0ado !$" >. ¿Cuál es el +recio de cada artculo?
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN: 7 y 16 x 100 20 y 100
n6mero de ombres. n6mero de mujeres. ombres con 0a)as. mujeres con 0a)as.
x + y = 60
16 x + 20 y = 1100 7 #" y #B#" F yD @ "y "" 1#" F #y @ " y "" 4y 4" y !% 7 @ !% #" 7 %. 35 n6mero de ombres. n6mero de mujeres. 25
6) 5a ci)ra de las decenas de un n6mero de dos ci)ras es el doble de la ci)ra de las unidades, y si a dico n6mero le restamos $ se obtiene el n6mero que resulta al invertir el orden de sus ci)ras. ¿Cuál es ese n6mero?
7 y
+recio del . +recio del .
x −
y −
10 x
descuento en el .
100 8 y
descuento en el .
100
x + y = 3500 10 x 8 y x − 100 + y − 100 = 3170
x + y = 3500 90 x + 92 y = 317000 7 @ y !%"" 1"7 @ 1y !$""" 1"7 1" y !%""" 1"7 @ 1y !$""" "
@ y """ y """ y """/
y = 1000 7 @ """ !%""
x = 2500
B1"D
2500 ! 1000 !
+recio del . +recio del .
8) 2ncuentra un n6mero de dos ci)ras sabiendo que su ci)ra de la decena suma % con la ci)ra de su unidad y que si se invierte el orden de sus ci)ras se obtiene un n6mero que es i0ual al +rimero menos $.
SOLUCIÓN: 7 y "7 "y
ci)ra de las unidades ci)ra de las decenas @ y n6mero @ 7 n6mero invertido
y = 5 − x 10 x + y = 10 y + x − 27 17 F 1y $ 17 F 1B% F7D $ 17 F 4% @ 17 $ &7 $@4% &7 &
x = 1 y % 7 y % y 4 'Lmero 41
9) E n a e m + r e s a d e t r a n s + o r t e s a l q u i l a ti+os de autobuses, uno de %" +la3as y ot ro de ". Gara una e7cur si*n escolar de " alumnos se alquilan $ a ut oc ar es . ¿ Cu án to s a ut ob us es d e c ad a t i +o s e a lq ui la n, s ab ie nd o q ue sobran " +la3as?
SOLUCIÓN: 2le0imos las inc*0nitasH 7H n6mero de autobuses de %" +la3as. yH n6mero de autobuses de " +la3as. (btenemos las ecuaciones relacionando los datos. 2n total van a la e7cursi*n $ autocaresH
x " y = 7
:esolvemos el sistema +or el %&'(' (
*+,--c*: 7$Fy %"7 !" "y 230 x
7
=
−
20 y
50 230
−
y
−
=
20 y
50
%"B $ yD !" "y !%" %"y !" "y %"y @ "y !" !%" !"y " y "/!"
y = 4 7$Fy 7$F4
x=3
Se al!uila" ) au#$%u&e& de '0 (la)a& * , au#$%u&e& de +0 (la)a&
10) 5a edad de un ni;o y la de s u +adre suman 41. Sabemos que la edad del +adre menos el doble de la edad del ijo es i0ual a %, ¿cuál es la edad de ambos?
SOLUCIÓN:
2le0imos las inc*0nitasH 7H edad del +adre. yH edad del ni;o. (btenemos las ecuaciones relacionando los datos. Am bas edades sum an 41, x " y = 49 5a edad del +adre menos el doble de la edad del ijo es i0ual a %H x $ 2y = 25
x " y = 49 x $ 2y = 25 :esolvemos el sistema +or el %&'('
( *+,--c*:
7 41 F y 7 % @ y 41 F y % @ y F y F y % 41 F !y 4 y 4/!
y = 8
Como son " alumnos y sobran " +la3as, se tieneH 50 # x " 20 # y $ 10 = 220
7 41 F y 7 41 F &
x + y = 7 50 x + 20 y − 10 = 220
L" %'"' '%# -"'r% % , "/o #" '%# 123o 8 "/o.
x = 41
11 ) 2n un instituto ay #" +ro)esores re+artidos en dos +abellones, A y N. 2l !" del A y el " del N son ombres, lo que ace un total de " +ro)esores. ¿Cuántos +ro)esores ay en cada +abell*n?
7 @ y "7 7 @ y F "y $ 7 @ y 17 1y $
SOLUCIÓN: 2le0imos las inc*0nitasH 7H n6mero de +ro)esores del +abell*n A. yH n6mero de +ro)esores del +abell*n N. (btenemos las ecuaciones relacionando los datos. 2n total ay #" +ro)esores x " y = 60 2l !" de los +ro)esores de A más el " de los +ro)esores de N son ombres, sumando " en total. 2ntonces, 030x " 010y = 10
x " y = 60 030x " 010y = 10 7 @ y #" ",!"7 @ ","y "
BH1D
7 @ y 7 J y ! 7 @ " 4 7 4 7 4/
x =7 7 @ y $ @ y y $
y = 4 B",!"D
",!"7 F ",!"y & ",!"7 @ ","y " " ","y & ","y & ","y &/"," y 4"
y = 40 7 @ y #" 7 @ 4" #" 7 #" 4"
x = 20 ,a* *0 ($.e&$e& e" el (a%ell/" A * ,0 e" el (a%ell/" B
12) Calcula un n6mero tal que la suma de sus ci)ras es y sabiendo que dico n6mero menos $ da el mismo n6mero en orden inverso.
SOLUCIÓN: 2le0imos las inc*0nitasH 7H ci)ra de las decenas. yH ci)ra de las unidades. (btenemos las ecuaciones relacionando los datos. 5a suma de las dos ci)ras es H x " y = 11 2l n6mero menos $ da el n6mero buscado con las ci)ras invertidas, entoncesH
10x " y $ 27 = 10y " x x " y = 11 10x " y $ 27 = 10y " x
La ci.a de la& dece"a& e& 4 * la ci.a de la& u"idade& e& , lue2$ el "34e$ %u&cad$ e& 4,
13) Oenemos %.% > en % monedas de %" y " céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase tenemos?
SOLUCIÓN: 2n +rimer lu0ar +asamos los euros a céntimosH %.%" > %%" céntimos 2le0imos las inc*0nitasH 7H n6mero de monedas de %" céntimos. yH n6mero de monedas de " céntimos. (btenemos las ecuaciones relacionando los datos. Oenemos % monedasH x " y = 15 2l valor total es %%" céntimosH
50x " 10y = 550 x " y = 15 50x " 10y = 550 Antes de resolver el sistema obtenemos otro equivalente a él con el que será más )ácil o+erarH
x " y = 15 50x " 10y = 550 x " y = 15 5x " y = 55 :esolvemos el sistemaH
x " y = 15 7 % y
5x " y = 55
:10)
%B% F yD @ y %% $% F %y @ y %% $% F 4y %% F 4y %% $% F 4y " y "/4
y = 5 Calculamos el valor de 7 a +artir del valor de yH 7 % y 7 % %
x = 10 ' 10 '(- ( 50 c%&*' y 5 '(- ( 10 c%&*'. 14) =aime va a acer una )iesta en su casa. Pa al su+ermercado y com+ra ! +aquetes de +atatas )ritas y botellas de re)resco de lim*n +or & >. Más t arde vuelve a com+rar +aquetes de +atatas y botella +or % >. ¿Cuál es el +recio de ambos +roductos?
15) 2n una 0ranja entre 0allinas y cerdos se cuentan "" +atas y !% cabe3as. ¿Cuántos cerdos ay en la 0ranja? AD % ND " CD % 9D !" 2D !%
SOLUCIÓN: 0 c
g + c = 35 2 g + 4c = 100 0 @ c !% BD 0 @ 4c "" 0 F c $" 0 @ 4c "" " @ c !" c !" c !"/ c %
SOLUCIÓN: 9e)inimos las inc*0nitasH 7H +recio cada bolsa de +atatas )ritas. yH +recio de cada botella de re)resco de lim*n. (btenemos las ecuaciones relacionando los datos. 2n la +rimera com+ra obtenemos ! bolsas de +atatas y botellas +or & >H 3x " 2y = 8 2n la se0unda obtenemos de +atatas y botella +or % >H 2x " y = 5
3x " 2y = 8 2x " y = 5 :esolvemos el sistemaH
2x " y = 5
n6mero de 0allinas. n6mero de cerdos.
16) 9e dos n6meros que suman 4", uno de ellos es el cuádru+le del otro. Calcular el tri+le de la se7ta +arte del menor. AD 4& ND # CD 4 9D 4 2D &
SOLUCIÓN: 7 y
n6mero de menor. n6mero de mayor.
x + y = 240 y = 4 x
y % F 7 7 @ 47 4" %7 4" 7 4"/% 7 4&
3x " 2y = 8 !7 @ B%7D & !7 @ " 47 & 7 & " 7
x=2 Calculamos el valor de y a +artir del valor de 7H y % F 7 y % F BD y%F4
y=1 El (eci$ de cada %$l&a de (a#a#a& e& de 1 5 * el de cada %$#ella de e.e&c$ e& de + 5
! B7/#D !B4&/#D !B&D 24
17) Si ten0o como mascotasH +erros, 0atos y canarios y además si todos son +erros menos &, todos son 0atos menos %, y todos son canarios menos $, ¿cuántos +erros ten0o? AD ND ! CD 4 9D %
SOLUCIÓN: + 0
+erros. 0atos.
c
canarios.
g + c = 8.........(1) p + c = 5........( 2) p + g = 7........( 3) :estando ecuaci*n y ecuaci*n H 0 @ c F B+ @ cD & F % 0 @ c F + c & % 0 F + ! QQ.. B4D Sumando ecuaci*n ! y 4H + @ 0 $ 0 F + ! 0 @ + $ 0 F + ! 0 @ " " 0 " 0 "/
+ = 5 + @ 0 $ + @ % $ + $ %
= 2 18) 2n una acienda ay vacas, caballos y cerdos. Sin contar las vacas, ay 4 animales, y sin contar los caballos, ay !# animales, y sin contar los cerdos, ay & animales. ¿Cuál es el n6mero de caballos en dica acienda? AD & ND # CD " 9D 2D & v c +
vacas. caballos. cerdos.
c + p = 24.........(1) v + p = 36........(2) v + c = 28........(3) :estando ecuaci*n y ecuaci*n H c @ + F Bv @ +D 4 F !# c @ + F v + c F v QQ.. B4D
Sumando ecuaci*n ! y 4H v @ c & c F v v @ c & v @ c " @ c # c # c #/
c = 8 + @ 0 $ + @ % $ + $ %
= 2
Historia de los sistemas de ecuaciones lineales.
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución poda ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. !n nuestra notación, sera: y + 4x = 2 y + x = 10 restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 1 , es decir, x = ! e y = 4 . Problema 2
6N$ de7e& de7e& 6N$ 4a8a"a l$ l$ 4a8a"a (uede& 9ace 9ace (uede& ;T3(uede&< (uede&< ;T3
(aa (aa !ue !ue 9$* 9$*
