Potencia en CA-monofásica-trifásica

POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA, MONOFÁSICA Y TRIFÁSICA. CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA. 1.- INTRODUCCIÓN. 2.- POTENCIA EN CORRIENTE CORR IENTE ALTERNA MONOFÁSICA. 2.1.- POTENCIA INSTANTÁNEA Y POTENCIA MEDIA. 2.2.- ANÁLISIS DE CARGAS R,L,C. 2.3.- TRIÁNGULO DE POTENCIAS. 2.4.- MEDIDA DE POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA MONOFÁSICA. 3.- CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA. 3.1.- SISTEMAS TRIFÁSICOS. 3.2.- CONEXIONES EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO 3.3.- TENSIONES E INTENSIDADES SIMPLES Y COMPUESTAS. 3.4.- SISTEMAS EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. D ESEQUILIBRADOS. 4.- POTENCIA EN CORRIENTE CORR IENTE ALTERNA TRIFÁSICA. 4.1.- SISTEMAS EQUILIBRADOS. 4.2.- SISTEMAS DESEQUILIBRADOS. 5.- MEDIDA DE POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA. 5.1.- SISTEMAS EQUILIBRADOS 5.1.1.- Con neutro. 5.1.2.- Sin neutro. 5.2.- SISTEMAS DESEQUILIBRADOS. 5.2.1.- Con neutro. 5.2.2.- Sin neutro. Método de Aron. 6.- CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA. 6.1.- EFECTOS DE UN BAJO FACTOR DE POTENCIA. 6.2.- CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA. 6.2.1.- Métodos directos. 6.2.2.- Métodos indirectos. 6.3.- CORRECCIÓN DEL COS ϕ MEDIANTE CONDENSADORES. 6.3.1.- En corriente alterna monofásica. 6.3.2.- En corriente alterna trifásica. 7.- BIBLIOGRAFÍA.

David Sornosa Cervera

1

1.- INTRODUCCIÓN. Según el diccionario de la Real Academia de la lengua Española, potencia se define como: “capacidad para ejecutar algo o producir un efecto”, “cantidad de energía producida o consumida por unidad de tiempo”. Por lo tanto, independientemente de la tecnología (mecánica, hidráulica, eléctrica, etc.), el estudio de la potencia es algo muy importante. Por otro lado, la importancia de la corriente eléctrica en los países desarrollados es innegable, ya que: • Se puede transformar con facilidad y altos rendimientos en otras formas de energía. • Aunque es imposible de almacenar en grandes cantidades, es posible transportarla a largas distancias con relativamente pocas pérdidas (altos rendimientos). Esta última característica es, además, el motivo fundamental del éxito de la corriente eléctrica, concretamente la corriente alterna. El hecho de que mediante transformadores podamos elevar o disminuir, con rendimientos muy altos, la corriente alterna, disminuye las pérdidas en el transporte y distribución. El motivo es que los cables de distribución, con longitudes de cientos de kilómetros, necesariamente han de tener una resistencia, por baja que sea, lo que, según la ley de Joule1, se transforma en una potencia perdida en forma de calor, proporcional a la intensidad al cuadrado. Dado que al aumentar la tensión, disminuimos la intensidad en la misma proporción (supuesto transformador ideal), cuanto más elevemos la tensión en la distribución, más se disminuyen las pérdidas. El límite a este razonamiento, lo imponen criterios tecnológicos, respecto a la potencia que pueden soportar los componentes, la calidad de los aislantes, etc. En este tema vamos a estudiar la potencia en corriente alterna, algo de vital importancia en cualquier sistema eléctrico, ya que en definitiva, la electricidad la usamos siempre para un fin determinado, con un consumo de potencia, que es importante estudiar, medir y analizar como mejorar su rendimiento.

2.- POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA MONOFÁSICA. A la corriente alterna monofásica la llamamos así por tener una sola fase, a diferencia de los sistemas polifásicos, que estudiaremos más adelante.

2.1.- POTENCIA INSTANTÁNEA Y POTENCIA MEDIA. En principio, sabemos que la potencia tiene por expresión: P = V·I

[1]

Esta expresión, no presenta ningún problema en corriente continua, ya que los valores de tensión e intensidad son constantes. Pero en general (no sólo en corriente alterna), hay que distinguir entre la potencia instantánea de un sistema y su potencia 1

P = R·I2 . En este tema se verá su generalización en corriente alterna.


2

media. En un sistema eléctrico, la potencia instantánea es, efectivamente la ecuación [1], pero vamos a reescribirla en función de la variable tiempo: p(t) = v(t)·i(t)

[2]

Donde p(t), v(t) e i(t) son los valores instantáneos de potencia, tensión e intensidad, respectivamente. A lo largo de un ciclo que se repite (como es el caso de corriente alterna), podemos definir la potencia media como: 1T P = ∫ v(t )·i(t )dt T0

[3]

Donde T es el periodo característico de la corriente alterna. Este concepto de potencia media se entenderá mejor con las gráficas del apartado siguiente.

2.2.- ANÁLISIS DE CARGAS R,L,C. Calculamos ahora la potencia instantánea y media de una corriente alterna sobre los tres tipos de elementos conocidos: resistencia, inductancia y capacidad eléctrica. Conocemos la expresión de la corriente alterna: v(t) = Vm · sen(2·π·f·t + ϕ) [4] Si aplicamos esta tensión eléctrica a una resistencia, la intensidad es: i( t ) =

v( t ) Vm ·sen (2·π·f ·t ) = = I m ·sen ( 2·π·f ·t ) R R

[5]

Donde hemos asignado el origen de tiempos al generador, por lo que ϕ = 0. Por lo tanto la potencia instantánea es: p(t) = Vm · sen(2·π·f·t) · Im · sen(2·π·f·t)

[6]

Y la potencia media es: Vm ·I m T 2 1T P = ∫ Vm sen(2·π·f ·t )·I m sen (2·π·f ·t )dt = sen (2·π·f ·t )dt T0 T ∫ 0

[7]

Para la resolución de la ecuación [7], a parte de las relaciones trigonométricas, conviene hacer el cambio de la variable tiempo a la variable ángulo α = ω t,t, donde ω es la pulsación (ω = 2·π·f). Este cambio de variable, aunque no se señalará, se aplicará para la resolución de futuras integrales similares. Vm ·I m 2 π 2 Vm ·I m ω ω = P= sen ( t ) d t 2π ∫ 2 0

[8]

Sustituyendo los valores máximos por los eficaces:


3

P=

Vef · 2 ·I ef · 2 = Vef ·I ef 2

[9]

Resultado que era de esperar, si recordamos la definición de valor eficaz: “aquel valor de corriente continua que produce los mismos efectos térmicos sobre una resistencia que la corriente alterna”. En la figura 1 se muestran la tensión, la intensidad y la potencia en función del tiempo, se observa que mientras la tensión y la intensidad toman valores positivos y negativos, la potencia tiene siempre valores mayores o iguales que cero, por lo tanto la potencia media que consume la resistencia tiene un valor determinado por la expresión [8].

Veamos ahora el efecto de la tensión expresada en [4] sobre una inductancia. La tensión en una inductancia es: v L (t) = L

di( t ) dt

[10]

Expresión que integramos para obtener la intensidad: i L (t) =

1 v ( t )dt L ∫ L


[11]

4

Sustituimos ahora el valor de tensión por [4], considerando también condiciones iniciales nulas (I0 = 0): i L (t) =

Vm 1 π = V sen ( 2 · · f · t ) dt (− cos(2·π·f ·t )) + I 0 L ∫ m 2·π·f ·L

i L ( t ) = I m ·(− cos( 2·π·f ·t )) = I m ·sen(2·π·f ·t − π / 2)

[12]

Por lo que la potencia instantánea es:

p( t ) = Vm ·sen(2·π·f ·t )·I m ·(− cos( 2·π·f ·t ))

[13]

Y la potencia media:

1T P = ∫ Vm ·sen(2·π·f ·t )·I m ·(− cos(2·π·f ·t ))dt = 0 T0

[14]

Es decir, a lo largo de un periodo o de un ciclo completo, una inductancia pura no consume potencia del circuito. Esto se ve mejor gráficamente, en la figura 2, donde se observa que la potencia (línea de trazo continuo) toma valores tanto positivos como negativos, es decir, durante un tiempo la bobina consume potencia (energía), pero luego la devuelve, siendo por tanto su potencia media nula.

Analicemos ahora el caso de una capacidad eléctrica pura, calculamos primero su intensidad: David Sornosa Cervera

5

i C (t) = C

dv C ( t ) d(Vm sen (2·π·f ·t ) =C = Vm ·2·π·f ·t·C·cos(2·π·f ·t ) dt dt

i C ( t ) = I m ·cos(2·π·f ·t ) = I m ·sen (2·π·f ·t + π / 2)

[15]

Por lo que la potencia instantánea es:

p( t ) = Vm ·sen(2·π·f ·t )·I m ·cos(2·π·f ·t )

[16]


1T P = ∫ Vm ·sen(2·π·f ·t )·I m ·cos(2·π·f ·t )dt = 0 T0

[17]

Es un caso análogo al de la inductancia, la potencia a lo largo de un ciclo es absorbida y posteriormente devuelta, de forma que como se ve en la figura 3, la potencia media es cero.

Para finalizar este apartado, vamos a analizar el caso general de que la carga no sea puramente ni resistiva, ni inductiva, ni capacitiva, sino una impedancia cualquiera, que en forma polar se puede expresar como: Z = Zϕ


6

Sabemos que la intensidad, si le aplicamos una tensión senoidal del tipo de la ecuación [4], será:

i( t ) = I m ·sen(2·π·f ·t − ϕ)

[18]

Donde Im = Vm / Z La potencia instantánea es, por tanto:

p( t ) = Vm ·sen(2·π·f ·t )·I m ·sen(2·π·f ·t − ϕ)

[19]


1T P = ∫ Vm ·sen(2·π·f ·t )·I m ·sen(2·π·f ·t − ϕ)dt T0

[20]

Aplicamos transformaciones trigonométricas a esta ecuación:

Vm ·I m T P= sen(2·π·f ·t )·(sen (2·π·f ·t )·cos ϕ − cos( 2·π·f ·t )·senϕ)dt T ∫ 0 V ·I P= m m T P=

T

∫ 0 (sen

2

(2·π·f ·t )·cos ϕ − sen(2·π·f ·t )·cos( 2·π·f ·t )·senϕ)dt

Vm ·I m ·cos ϕ 2

[21]

Por último, en la ecuación [20] sustituimos los valores máximos por los eficaces y obtenemos la expresión general de la potencia media en corriente alterna: P = Vef · Ief · cos ϕ

[22]

Se observa en la figura 4 que, aunque hay periodos de tiempo de consumo, y otros de devolución de energía, la energía neta, y por tanto, la potencia media, es distinta de cero.


7

La expresión [22], al ser general, engloba los casos de resistencia pura, donde el ángulo ϕ vale 0, inductancia pura (ϕ = 90º) y capacidad pura (ϕ = –90º).

2.3.- TRIÁNGULO DE POTENCIAS. En el apartado anterior se ha analizado la potencia en corriente alterna para los diferentes tipos de cargas, en el dominio del tiempo. Vamos a analizar ahora desde el punto de vista de la frecuencia, es decir utilizando los fasores. Nótese que para todo el texto, cualquier fasor escrito sin su correspondiente símbolo → sobre él, quiere decir módulo de dicho vector. Supongamos que la carga es una impedancia: Z = Z ϕ = Z·cos ϕ + j·Z·senϕ

[ 23 ]

Si la representamos gráficamente, obtenemos el triángulo de impedancias (figura 5). Como observamos de la figura, cualquier carga se podrá descomponer en la suma vectorial de su parte real y su parte imaginaria. Por analogía, cualquier carga se podrá identificar con un circuito serie RL o RC, dependiendo de si el valor del ángulo ϕ es positivo o negativo, respectivamente. En cualquier caso, las relaciones son: Z = R + jX David Sornosa Cervera

[24] 8

R = Z·cos ϕ X = Z·senϕ

[ 25 ] [ 26 ]

Eje Imaginario (j): Reactancia

Z

X = Z ·senϕ

ϕ

R = Z ·cos ϕ

Eje Real : Resistencia

Figura 5: Triángulo de impedancias. Alimentamos esta carga Z, con una tensión, con su origen en tiempo 0 (ϕ = 0): V = V0 = V

[27]

Por lo que la intensidad es: I=

V V V V = − ϕ = (cos− ϕ + j·sen − ϕ) = (cos ϕ − j·senϕ) Z Z Z Z

Es decir, que en general la intensidad es: I = I − ϕ = I(cos ϕ − j·senϕ)

[28]

Los valores de tensión e intensidad, en las expresiones [27], [28] y futuras, están expresados en valores eficaces. Representamos gráficamente lo obtenido hasta ahora: Eje Imaginario (j)

Eje Imaginario (j)

Z ϕ

V

Eje Real

−ϕ

Eje Real

I Impedancia

Tensión e intensidad Figura 6


9

La figura 6, es, al fin y al cabo, la representación fasorial de las formas de onda de tensión e intensidad de la figura 4. Dado que al producto v(t)·i(t) lo llamamos potencia instantánea, por analogía llamamos potencia aparente al producto de la tensión eficaz por el conjugado de la intensidad eficaz. El conjugado de un número complejo es aquel que tiene el mismo módulo y el argumento con el signo contrario, o lo que es lo mismo, la misma parte real y la parte imaginaria con el signo contrario. Aplicado a la intensidad anterior (ec. [28]): I * = I ϕ = I(cos ϕ + j·senϕ) Expresamos matemáticamente la definición de potencia aparente, que se representa por la letra S: S = V·I *

[29]

Sustituimos el valor del conjugado de la intensidad: S = V·I * = V 0·I ϕ = V·I(cos ϕ + j·senϕ)

[30]

La unidad de la potencia aparente es el voltiamperio (VA), para diferenciarse de la potencia media, también llamada útil o activa, que se mide en vatios. De la expresión [30], se deduce que la potencia aparente se puede descomponer en dos términos: S = V·I·cos ϕ + j·V·I·senϕ

[31]

Donde se observa que el primer término se corresponde con lo que hemos llamado potencia media, a partir de ahora la llamamos potencia activa o potencia útil, ya que es la única capaz de realizar un trabajo. El módulo del segundo término (V·I·senϕ ), ), es lo que se conoce como potencia reactiva, es la producida por las reactancias, es decir, bobinas y condensadores, y como sabemos no produce potencia activa. La unidad de la potencia reactiva es el voltiamperio reactivo (VAr). Si representamos la potencia aparente, activa y reactiva a vez, tenemos lo que se conoce como triángulo de potencias (figura 6). De donde se deducen las relaciones matemáticas entre los tres tipos de potencias: P = S·cos ϕ = V·I·cos ϕ Q = S·senϕ = V·I·senϕ

[ 32 ] [ 33 ]

S = P 2 + Q2

[34]


10

Eje Imaginario (j): Potencia Reactiva

S

Q = S ·senϕ

ϕ

Eje Real : Potencia Activa

P = S ·cos ϕ Figura 6: Triángulo de potencias La descomposición de la impedancia en una resistencia y una reactancia (o parte real y parte imaginaria, ecuación [24]), permite la obtención directa de la potencia activa y reactiva: V2 P = R ·I = R V2 2 Q = X·I = X 2

[35] [36]

Donde V e I son los valores eficaces de tensión e intensidad respectivamente. Incluso es fácil demostrar que: V2 S = Z·I = Z 2

[37]

El término cosϕ es lo que se conoce como factor de potencia, si se mira el triángulo de potencias, se define como la relación entre la potencia activa y la potencia aparente.

2.4.- MEDIDA DE POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA MONOFÁSICA. Aunque hay más aparatos de medida, vamos a realizar las medidas con tan sólo los tres más básicos: amperímetro, voltímetro y vatímetro. Los dos primeros sirven para medir intensidad y tensión, respectivamente, generalmente tanto en corriente continua como en corriente alterna, en este último caso el valor que dan es el eficaz. Internamente constan de una bobina, que se ha de conectar en serie con la intensidad a medir, en el caso del amperímetro, o en paralelo con la tensión, en el caso del voltímetro. El vatímetro consta de dos bobinas, una de tensión (que se conecta por tanto en paralelo) y otra de intensidad (que se conecta por tanto en serie), y como resultado da la potencia activa. Sus símbolos se muestran en la figura 7.


11

Amperímetro

Voltímetro

Vatímetro

Figura 7: Aparatos de medida Nótese que el vatímetro dispone de cuatro puntos de conexión, dos para la bobina de intensidad y dos para la bobina de tensión. En todos los circuitos de medida que verán a lo largo de este tema, hay que hacer la advertencia de que, si el circuito es de alta tensión, o aún siendo de baja, la intensidad es muy elevada, los instrumentos de medida no se colocarán directamente sino a través de transformadores de medida. Obviamente, la medida se verá modificada por la relación de transformación del transformador, sin embargo, las ventajas que presenta su uso para altas tensiones o altas intensidades son: Permiten leer altas tensiones o intensidades con instrumentos de menor fondo de escala que el valor máximo de la tensión o intensidad a medir. • Introducen separación galvánica entre el circuito medido y el circuito de medida, lo cual es un factor de seguridad eléctrico. • Los aparatos de medida pueden estar físicamente lejos del circuito a medir, esto a además de ser otra medida de seguridad puede evitar ciertas interferencias. •

Figura 8: Uso de los transformadores de tensión e intensidad. La figura 9 muestra como medir potencia en corriente alterna monofásica con un amperímetro, un voltímetro y un vatímetro.


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Figura 9: Medida de potencia en c.a. monofásica. De la medida del amperímetro se obtiene directamente la intensidad eficaz (I), de la medida del voltímetro la tensión eficaz (V) y de la medida del vatímetro la potencia activa (P). Aunque existen medidores específicos para el factor de potencia y para la potencia reactiva, del montaje de la figura 8 se puede calcular la potencia aparente: S = V·I

[38]

El factor de potencia: cos ϕ =

P P = S V·I

[39]

Y la potencia reactiva con cualquiera de estas dos expresiones: Q = S·senϕ = S2 − P 2

[40]

Si fuera necesario el uso de transformadores de medida, el circuito de la figura 9 quedaría:

Figura 10. Las medidas obtenidas en la figura 10 no son idénticas a las obtenidas en la figura 9, aunque son proporcionales en función de las distintas relaciones de transformación. Nótese que al vatímetro, le afectan los dos transformadores a la vez


13

3.- CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA. Tanto en el transporte y distribución de la corriente eléctrica, como en la mayoría de la industria, se utiliza lo que se conoce como sistema trifásico. Se llama sistema trifásico de tensiones equilibradas , “al conjunto de tres fuentes de tensión monofásicas senoidales, de igual frecuencia y valor máximo, cuyos valores instantáneos están desfasados simétricamente y dados en un cierto orden”. A cada circuito simple o fuente de tensión monofásica se le llama fase, normalmente las fases se designan con las letras R, S, T, o bien con L1, L2, L3. Para que tres fases estén desfasadas simétricamente, el ángulo de desfase entre las fases ha de ser 360/3 = 120º. Se dice que un sistema trifásico está equilibrado cuando sus cargas son iguales, y sus intensidades por tanto iguales (en módulo), pero desfasadas 120º. Como consecuencia de lo anterior, el factor de potencia de cada una de las fases será el mismo. Se llama sistema de cargas desequilibradas “al conjunto de impedancias desiguales que hacen que por el receptor circulen intensidades de fase distintas, aunque las tensiones de la línea sean equilibradas”.

3.1.- REPRESENTACIÓN TEMPORAL Y FASORIAL. Como se ha dicho, además de un desfase de 120º, hay que establecer un orden entre las fases, para poder definir correctamente el sistema. Si el orden es RST, STR o TRS, se dice que el sistema tiene orden directo, y si el orden es RTS, TSR o SRT, se dice que tiene orden inverso. Las ecuaciones del sistema trifásico de tensiones equilibradas, para orden directo son: VR(t) = Vm·sen(2·π·f·t + ϕ) VS(t) = Vm·sen(2·π·f·t – 2π /3 + ϕ) VT(t) = Vm·sen(2·π·f·t – 4π /3 + ϕ)

[41] [42] [43]

La figura 11 muestra la representación temporal de un sistema trifásico de orden directo, para un valor máximo (Vm)de 311 V y para un ángulo inicial nulo (ϕ = 0) Pasando al dominio de la frecuencia, los fasores correspondientes son (en representación polar y exponencial): Fase VR VR VR

Representación exponencial Vef ·e jωt +ϕ jωt −

2π +ϕ 3

Representación polar Vef ωt + ϕ Vef ωt − 2π / 3 + ϕ

jωt −

4π +ϕ 3

Vef ωt − 4π / 3 + ϕ

Vef ·e Vef ·e

[44]

[46]

[45]

Las expresiones matemáticas de los fasores exigen el uso del valor máximo, pero se ha sustituido por el valor eficaz, ya que es el que normalmente se usa luego en los cálculos, y al fin al cabo, ambos valores son proporcionales. Recuérdese que: ω = 2 πf ; Vm = 2 ·Vef David Sornosa Cervera

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Figura 11. Representación temporal. La figura 12, es la representación fasorial de la figura anterior.

Figura 12. Representación fasorial.


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3.2.- TENSIONES E INTENSIDADES DE LINEA Y DE FASE. Tanto los generadores como los receptores de un sistema trifásico se pueden conectar indistintamente en estrella o en triángulo. Por tensión de línea se entiende siempre la tensión entre dos fases, también llamada en algunos textos tensión compuesta. Por intensidad de línea se entiende la circula por cada línea de distribución. Supongamos ahora un caso en que tanto los generadores, como los receptores se encuentren conectados en estrella2:

Figura 13. Sistema trifásico en estrella. El punto de medio de la estrella se denomina Neutro. Las tensiones de fase VR, V S, VT están referidas todas a dicho punto neutro. Se ha añadido una línea de conexión entre los neutros del sistema generador y del sistema receptor, si bien no es necesario para el caso de un sistema trifásico equilibrado, ya que, entonces, I R + IS + I T = 0

[44]

En el caso general de que las cargas y por tanto las intensidades no sean iguales, la suma de ellas circularía por el conductor neutro. Es obvio que las mismas intensidades que circulan por cada fase del generador, circulan también por la línea y por cada fase del receptor, por tanto en conexión estrella las intensidades de fase y las de línea son iguales. IL(Y) = IF(Y)

[45]

Sin embargo, las tensiones de línea (VRS, VST, VTR) no coinciden con las de fase. Aplicamos la definición de tensión de línea: VRS = VR − VS

2

[46]

Para referirnos a alguna magnitud de una conexión estrella, usaremos el símbolo: Y


16

Suponemos el origen del sistema trifásico en la fase R, con un ángulo inicial de cero grados y llamamos VF a la tensión eficaz en cada fase, que la misma para todas: VRS = VF 0 − VF − 2π / 3 = VF − VF (cos(−2π / 3) + j·sen (−2π / 3) ) 

VRS = VF − VF  − 0,5 − j 

 3 3  3   = + V j F 2  2   2

[47] [48]

Por lo tanto, el fasor de tensión VRS tiene de módulo y argumento: 2

VRS = VF 

ϕ = arctg



2 3   3   = 3·VF   +   2   2  3  = π / 6 (=30º) 3 

[49] [50]

Generalizando los resultados obtenidos para la tensión de línea VRS, concluimos que las las tensión tensión de línea línea de la conexión conexión estrella estrella es 3 veces mayor que la tensión de fase, y está adelantada 30º (π /6). Por lo tanto: VL(Y) = 3 ·VF(Y)

[51]

Gráficamente, se muestra en la figura 14.

Figura 14. Tensiones de línea y de fase para conexión estrella. David Sornosa Cervera

17

Supongamos ahora que el sistema generador y el receptor se conecten en triángulo3:

Figura 15. Sistema trifásico en triángulo. Para este caso, no existe neutro, y directamente las tensiones de fase son iguales a las de la línea. VL(∆) = VF(∆)

[52]

Sin embargo, se observa que las intensidades de línea no son iguales a las que circulan por las fases. Analizando cada nudo, bien en la carga o bien en el generador, se obtienen las relaciones entre las intensidades de línea y de fase. En concreto, analizando el nudo R, en la carga: I R = I RS − I TR

[53]

Para el caso en que el sistema esté equilibrado, y por tanto todas las intensidades sean iguales en módulo y desfasadas 120º entre sí, se llega a: IL(∆) =

3·IF(∆)

[54]

4.- POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA. Las potencias activas y reactivas, son magnitudes escalares, por tanto para obtener la potencia activa de un sistema trifásico, simplemente hay que sumar las potencias activas correspondientes a cada fase del sistema por separado. Lo mismo ocurre con la potencia reactiva, aunque hay que tener en cuenta que esta potencia será positiva si se trata de reactancias inductivas y negativa si se trata de reactancias capacitivas. Una vez obtenidas las potencias activa y reactiva totales, la potencia aparente se obtiene utilizando la expresión [34], que se obtuvo por trigonometría a partir del triángulo de potencias.

4.1.- SISTEMAS EQUILIBRADOS. En este caso, dado que las tensiones y las intensidades son iguales en módulo en las tres fases, se obtiene que la potencia total es tres veces la potencia en una de las fases: PT = P1 + P2 + P3 = 3·PF 3

[55]

Para la conexión triángulo usaremos el símbolo ∆


18

Lo mismo ocurre con la potencia reactiva: QT = Q1 + Q2 + Q3 = 3·QF

[56]

Si el sistema presenta los receptores (carga) en estrella, como se vio en la figura 13, la potencia activa es (aplicando las ecuaciones [32] y [55]): PT ( Y ) = 3·VF ·I F ·cos ϕ

[57]

Lo que interesa, en general, es medir la potencia desde fuera de la carga, es decir, desde la línea. Dado que la intensidad de línea coincide con la de fase, aplicamos la ecuación [49] para poner la tensión de fase en función de la de línea: PT ( Y ) = 3·

VL ·I L ·cos ϕ = 3·VL ·I L ·cos ϕ 3

[58]

Aplicando lo mismo a la potencia reactiva (ecuaciones [33] y [56]), se obtiene: V [59] Q T ( Y ) = 3· L ·I L ·senϕ = 3·VL ·I L ·senϕ 3 Con las potencias activa y reactiva totales, se obtiene la potencia aparente total: S T ( Y ) = PT2 + Q T2 = 3·VT ·I T [60] Si la carga del sistema se conecta en triángulo, como se vio en la figura 15, la potencia total es tres veces la de una de las fases (por ejemplo RS): PT ( ∆ ) = 3·VRS ·I RS ·cos ϕ

[61]

Igual que en el caso anterior, queremos obtener las ecuaciones desde la línea. En el triángulo coincide la tensión de fase con la tensión de línea, utilizamos la ecuación [54] para poner la intensidad de fase en función de la de línea: I [62] PT ( ∆ ) = 3·VL · L ·cos ϕ = 3·VL ·I L ·cos ϕ 3 Donde se observa que la potencia activa de un sistema equilibrado, se obtiene con la misma expresión, independientemente de que la conexión sea estrella o triángulo, por lo tanto, las potencias de un sistema equilibrado son: P = 3·VL ·I L ·cos ϕ Q = 3·VL ·I L ·senϕ S = 3·VL ·I L

[63] [64] [65]

4.2.- SISTEMAS DESEQUILIBRADOS. Si el sistema está desequilibrado, hay que medir las potencias activas y reactivas en cada fase, si numeramos los resultados de las potencias activas y reactivas: David Sornosa Cervera

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P = P1 + P2 + P3 Q = Q1 + Q 2 + Q 3

[66] [67]

S = P 2 + Q2 P cos ϕ = Q

[68] [69]

5.- MEDIDA DE POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA. Para medir la potencia en corriente alterna trifásica utilizaremos los mismos instrumentos que en corriente alterna monofásica, ahora bien, habrá distintas configuraciones en función del sistema está equilibrado o desequilibrado, y si tiene neutro o no. Además, dados los valores de tensión e intensidad (potencias en definitiva) que se utilizan en trifásica, será especialmente conveniente el uso de transformadores de medida, tal y como se mostró en las figuras 8 y 10.

5.1.- SISTEMAS EQUILIBRADOS. 5.1.1.- Con neutro. Para obtener la potencia activa, basta con un vatímetro entre una de las fases y el neutro. Si además se desean conocer las potencias aparente y reactiva, y el factor de potencia, hay que añadir también un voltímetro y un amperímetro. El esquema de conexiones se muestra en la figura 15. Si llamamos V a la lectura del voltímetro, I a la del amperímetro, y W a la del vatímetro, las potencias son: P = 3·W ; S = 3·V·I ; Q = S 2 − P 2 ; cos ϕ =

P W = S V·I

Figura 15.


20

5.1.1.- Sin neutro. En este caso, se puede crear un neutro artificial o bien recurrir al método de Aron, que se explica más adelante. La forma de crear un neutro artificial es añadir dos resistencias que tengan el mismo valor que la resistencia de la bobina voltimétrica del vatímetro, tal y como se muestra en la figura 16.

Figura 16. Existen vatímetros comerciales para sistemas trifásicos sin neutro, en los que directamente presentan tres bornes donde crear el neutro artificial. Las ecuaciones a emplear son: P = 3·W S = 3·V·I Q = S2 − P 2 cos ϕ =

P W = 3 S V·I

5.2.- SISTEMAS DESEQUILIBRADOS. 5.2.1.- Con neutro. Dado que la potencia en cada fase es diferente, hay que medir cada fase por separado. Así pues, si se desea una medida de todas las potencias, hay que colocar tres vatímetros, tres voltímetros y tres amperímetros, es decir, seguir el esquema de la figura 15, pero añadiendo un voltímetro, un amperímetro y un vatímetro en las dos fases restantes. El esquema de conexiones se muestra en la figura 17.


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Figura 17. Medida de potencia en un circuito trifásico desequilibrado con neutro. Hay que emplear las ecuaciones [66], [67], [68] y [69]. Así pues: P = W1 + W2 + W3 Q = (V1 I1 )2 − W12 + (V2 I 2 )2 − W22 + (V3 I 3 )2 − W32 S = P 2 + Q2 cos ϕ =

P Q

5.2.2.- Sin neutro. Método de Aron. Para realizar las medidas en un sistema trifásico desequilibrado sin neutro, se puede utilizar un esquema similar a la figura 17, creando un neutro artificial para los vatímetros, de forma parecida a la figura 16. En este caso, no harían falta resistencias si se emplean vatímetros iguales, y por tanto, con bobinas voltimétricas de igual resistencia. Ahora bien, esto no es muy utilizado, porque con el método de Aron, podemos efectuar las mismas medidas, con tan sólo 2 vatímetros. El método de Aron, sirve para cualquier carga, conectada en estrella o en triángulo, pero para un sistema trifásico sin línea de neutro.


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Figura 18. Método de Aron Se va a demostrar el método de Aron con variables en función del tiempo, representadas con letras minúsculas. Ya sea con magnitudes instantáneas, o con magnitudes vectoriales, al no haber neutro se verifica que la suma de las tres intensidades de fase es nula: i R + i S + i T = 0 , por lo tanto: iS = −i R − i T

[70]

Por otro lado, la potencia instantánea del circuito trifásico es: p = v R ·i R + v S ·i S + v T ·i T

[71]

Aunque no hay neutro en la red, y no sabemos si la carga está conectada en estrella (por tanto con neutro propio) o en triángulo (no hay neutro), la expresión [71] es válida, ya que el teorema de Kennelly4 nos dice que se puede encontrar una carga equivalente en estrella, en caso de que la carga esté en triángulo. Desarrollamos las dos últimas ecuaciones: p = v R ·i R + v S ·( −i R − i T ) + v T ·i T = v R ·i R − v S ·i R − v S ·i T + v T ·i T

[72]

p = ( v R − vS )·i R + ( v T − vS )·i T = v RS ·i R + v TS ·i T

[73]

Luego se demuestra que midiendo sólo en dos fases, con la configuración del método de Aron, se puede medir la potencia en sistemas trifásicos sin neutro, tanto equilibrados como desequilibrados. Además, si el sistema está equilibrado, se puede demostrar que: P = W1 + W2

[74]

Q = 3·(W1 − W2 )

[75]

Donde W1 y W2 son las lecturas de los vatímetros.

4

El teorema de Kennelly desarrolla las transformaciones estrella-triángulo y viceversa.


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6.- CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA. 6.1.- EFECTOS DE UN BAJO FACTOR DE POTENCIA. Un bajo factor de potencia (cosϕ ), ), quiere decir, mirando el triángulo de potencias (figura 6), o directamente de la definición de factor de potencia, que la relación entre la potencia activa o potencia útil que consume el circuito y la potencia aparente es baja. Es decir, que para una determinada potencia útil consumida, la potencia aparente (producto de tensión por intensidad) es mucho mayor. Esto tiene una serie de efectos negativos, tanto para el cliente receptor de la energía, como para la empresa suministradora. Todos los efectos, van a estar relacionados con las relaciones fundamentales de la potencia en corriente alterna: P = V·I·cos ϕ = S·cos ϕ Es decir, cuanto más bajo sea el factor de potencia, mayor potencia aparente y mayor intensidad eficaz se debe proporcionar a la carga, para entregar una misma potencia activa. Efectos negativos para la empresa suministradora: Debe tener mayor capacidad de generación de potencia aparente (KVA). Debe sobredimensionar las líneas de distribución y los transformadores correspondientes. • Al aumentar la intensidad aumentan las caídas de tensión, lo que complica la regulación de la tensión, dando problemas de estabilidad en la red. • Pérdidas de potencia, como consecuencia de una intensidad elevada, proporcionales a la intensidad al cuadrado por la resistencia de la línea (ley de Joule). • Como consecuencia de lo anterior, calentamiento excesivo en sus conductores, con consecuencias negativas en la vida útil de los aislantes y equipos en general. • •

Efectos negativos para el receptor: Aunque en menor medida (porque la longitud de sus líneas será menor) que la empresa suministradora, sufrirá también caídas de tensión y pérdidas de potencia en los conductores, como consecuencia de la intensidad elevada. • Disminución de la vida útil de los aislantes y equipos. • Aumento de la factura de electricidad, en función de la tarifa contratada, por consumo de energía reactiva. •

En definitiva, un sinfín de consecuencias provocadas por un aumento de la intensidad respecto a la necesaria para producir la potencia útil. Sin embargo, determinados equipos receptores, como por ejemplo lámparas fluorescentes o motores eléctricos, necesitan consumir energía reactiva para funcionar, por lo que la solución no pasa por eliminar esta energía sino por compensarla. David Sornosa Cervera

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6.2.- CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA. 6.2.1.- Métodos directos. Los métodos directos se basan en actuar directamente sobre las causas, en definitiva tratan de mejorar los propios equipos, antes que mejorar la línea de distribución. Por ejemplo, en los tubos fluorescentes, se pueden colocar condensadores en paralelo, con el fin de reducir la potencia reactiva demandada. El principio de funcionamiento se explica más adelante.

6.2.2.- Métodos indirectos. Los métodos indirectos, no pretenden actuar sobre las causas sino compensarlas. La manera de compensarlas es introducir una potencia reactiva del signo contrario a la consumida por el receptor, de modo que la línea de distribución reduzca la potencia aparente y la intensidad suministrada. Básicamente, esta compensación se hace por dos métodos diferentes: compensadores síncronos y compensadores estáticos. Los compensadores síncronos son máquinas síncronas (es decir motores o generadores síncronos). Estas máquinas, para su funcionamiento requieren una intensidad de excitación, de forma que si están subexcitadas, consumen energía reactiva, y si están sobreexcitadas la devuelven al sistema. De esta forma, en industrias que utilicen generadores o motores síncronos, pueden aprovechar estos equipos para compensar el factor de potencia de su instalación mediante un circuito de control que regule la excitación de las máquinas síncronas en función de la energía reactiva consumida. Los compensadores estáticos, son baterías de condensadores, esto se explica en el apartado siguiente.

6.3.- CORRECCIÓN DEL COS ϕ ϕ MEDIANTE CONDENSADORES. 6.3.1.- En corriente alterna monofásica. Dado que la potencia reactiva que consumen los receptores suele ser de tipo inductivo, la idea es conectar condensadores que compensen esta potencia reactiva. Al estado inicial, previo a la conexión de los condensadores, le llamamos con el subíndice 1, y al estado final, donde ya se han conectado, con el subíndice 2. Por trigonometría en el triángulo de potencias (figura 6), hallamos la relación entre la potencia activa y la reactiva: P cos ϕ Q = S·senϕ = P·tgϕ

S=

[ 76 ] [ 77 ]

La potencia activa queremos que sea la misma conectemos los condensadores o no. David Sornosa Cervera

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Dibujamos el triángulo de potencias para los estados inicial y final:

Figura 19. Triángulo de potencias con y sin condensadores. Lógicamente la potencia reactiva QC, que es que la aportan los condensadores, debe ser la diferencia entra la potencia reactiva inicial y final: Q1 = P·tgϕ1 Q 2 = P·tgϕ 2 Q C = P·( tgϕ1 − tgϕ 2 )

[78]

Por otro lado, la potencia reactiva en un condensador es: V2 QC = = V 2 ·ω·C XC

[79]

Donde V es la tensión eficaz a la que esté conectado, y ω es la pulsación (ω = 2πf). Igualando las dos últimas expresiones, se obtiene que el valor de la capacidad del condensador o de la batería de condensadores necesario para llevar el sistema de un factor de potencia inicial cosϕ 1 a otro final cosϕ 2 es: C=

P·(tgϕ1 − tgϕ 2 ) V 2 ·ω

[80]

Dado que la capacidad obtenida C, puede tener un valor muy alto, es frecuente recurrir a baterías de condensadores conectadas adecuadamente para dar el valor deseado. Por este método es muy difícil eliminar por completo la componente reactiva, porque posiblemente la carga del circuito no sea estática, sino que varíe con el tiempo. Para solucionar este problema, se puede, o bien calcular una batería de condensadores que, aunque en el peor de los casos no compense del todo la potencia reactiva, deje el factor de potencia en un valor aceptable (en torno a 0,9 o superior); o bien, tener un sistema de control que, en función de la potencia reactiva del sistema, conecte más o menos condensadores de compensación, teniendo así un control escalonado del factor de potencia, para que siempre esté en unos márgenes aceptables.


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6.3.2.- En corriente alterna trifásica. Si el sistema es trifásico, se coloca una carga de condensadores en paralelo con la carga. Ahora bien, hay dos posibilidades de conexión, en estrella o en triángulo, como se ve en la figura 20.

Figura 20. Condensadores en estrella y en triángulo. Analizamos primero el caso de condensadores en estrella. Dado que los condensadores se conectan en estrella, cada uno de ellos está sometido a la tensión de fase. Como los tres son de la misma capacidad (CY), su potencia reactiva es: VF2 QC = 3 = 3·VF2 ·ω·C Y XC Recordando que en la conexión en estrella: VL = 3·VF VL2 2 Q C = 3·VF ·ω·C Y = 3· ·ω·C Y = VL2 ·ω·C Y 3

[81]

[82]

Si igualamos las ecuaciones [82] y [78], podemos despejar la capacidad de los condensadores necesaria para la conexión en estrella: CY =

P·( tgϕ1 − tgϕ2 ) VL2 ·ω

[83]

Esta capacidad CY obtenida, es la que habría que colocar en cada uno de los elementos de la conexión en estrella. Analizamos ahora el caso de conexión de los condensadores en triángulo. Directamente cada condensador está sometido a la tensión de línea, por lo tanto la potencia reactiva es:


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VL2 = 3·VL2 ·ω·C ∆ QC = 3 XC

[84]

Igualamos las ecuaciones [84] y [78] para despejar la capacidad: C∆ =

P·( tgϕ1 − tgϕ 2 ) 3·VL2 ·ω

[85]

Por último, si comparamos las expresiones [83] y [85], estamos comparando la capacidad que se necesita colocar en cada elemento de la estrella, con la capacidad que se necesita en cada elemento del triángulo, y el resultado es: C Y = 3·C ∆

[86]

De donde se deduce que la conexión que interesa es la conexión triángulo, ya que se compensa el factor de potencia con condensadores de tres veces menor capacidad que en la conexión estrella, esto supone un fuerte ahorro en volumen y en dinero.

7.- BIBLIOGRAFÍA. Castejón, A. y Santamaría, G.: “Tecnología eléctrica”. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1993. Guerrero, A., Sánchez, O., Moreno, J.A. y Ortega, A.: “Electrotecnia”. Ed. McGrawHill. Madrid, 1998.


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Potencia en CA-monofásica-trifásica

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