Solución de los Problemas. Capítulo 2
1. ¿Cuál ¿Cuál es la longit longitud ud de onda asocia asociada da a un electr electrón ón que se mueve mueve 9 -1 con una velocidad de 3.10 cm s ? Si toda su energía cinética se transormara en un otón ¿cuál seria la longitud de onda de ese otón? a! "eniendo en cuente el #rinci#io de $. de %roglie& la longitud de onda de una #artícula que se mueve con un im#ulso #& viene dada #or la e'#resión(
h p
, #or tanto 1) calculamos el valor del im#ulso
# * m.v* 9&1091.10 -31+g. 3.109 cm s-1.10-, m.cm-1* ,&3, 10 -,3 +g.m.s-1
Teniendo Teniendo en cuenta cuenta el número número de cifras significati significativas vas correcto; correcto; p = 3.10-,3
+g.m.s-1 $a longitud de onda asociada al electrón vale( 34
6,6256.10 J . s 2,7327.10
23
kg .m. s
*2,4254.10-11 m
1
"eniendo en cuenta el nmero de ciras signiicativas correcto( = 0,2 Å /! $a energía cinética de un electrón& c& que se mueve con la velocidad& v& que dice el enunciado del #ro/lema que #or tanto tiene el momento lineal que aca/amos de calcular es( E c
1
2
mv
2
p 2 2m
1
2
p.v =(12!
2,"#2".10 -2# (kg.m.s-1 ) #.10 " (ms!=
=4,0$$1.10 &. Teniendo en cuenta el número de cifras significativas significativas correcto; 'c = 2.10-1 4 -1%
Si toda toda esta esta ener energí gía a #udi #udier era a tran trans sor ormar marse se en un otó otón& n& ento entonce ncess la recuencia recuencia de ese otón otón sería sería *5 la longitud de onda del otón sería
c
. or tanto;
4,099.10 16 J . s 6,6256.10
34
J
6,167.1017 s 1
8
1
2,9979.10 m. s
17
6,167.10 s
1
4,856
.10-10 m
"eniendo en cuenta el nmero de ciras signiicativas correcto( = 5 Å
6%S78S : ; :;6 < 6"76 C=S6 $ 8=$67 S >S";"6.
,. Calcula Calcula el im#ulso im#ulso lineal lineal la la longitud longitud de onda onda asociad asociada aa 1A -1 a! :n otón otón de de raos raos @ de recu recuenci encia a ,.10 ,.10 s
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Solución de los Problemas. Capítulo 2 /! :na #elota de tenis de 2B g a una velocidad de 30 ms
a! "eniendo en cuenta las relaciones entre la recuencia& la longitud de onda la velocidad de la radiación electromagnética
2,9979.108 m. s 1 18
2.10 s
1
1,5#".10-10 m
"eniendo en cuenta el nmero de ciras signiicativas correcto( = 2 Å l im#ulso de ese otón será(
p
34
J . s
10
m
6,6256.10 1,537.10
= 4,#10".10 -24 )g (ms! "eniendo en cuenta el nmero de ciras signiicativas correcto( p = 4.10-24 )g
(ms!
*! $os cálculos en este a#artado del #ro/lema son idénticos a los realiDados en la #rimera #arte del eEercicio 1.
p = m.v= 45.10 -#)g. #0 m s-1 = 1,4 )g.m.s-1
6,6256.10 34 J . s 1,35kg .m. s
1
*2&9.10-#4 m = 2&9.10-24 Å
6%SF78S $ >G7;" 67>; > H=I;":> ; H:$S6S < $6;I":>S > 6;>= 3. Calclese la longitud de onda asociada a las siguientes #artículas( a! lectrón acelerado #or una dierencia de #otencial de 100 8 /! lectrón acelerado #or una dierencia de #otencial de 10.000 8 c! Jrotón lento acelerado #or una dierencia de #otencial de 100 8 d! %ala de usil de B g de masa 200 ms de velocidad
a! "engamos en cuenta que si una carga e& está sometida a una dierencia de #otencial 8& la energía que adquiere es c* e8 Kcarga ' voltaEe! sta energía cinética está relacionada con la masa m de la #artícula& en este caso el electrón& la velocidad& v& que adquiere& de la orma( E c
1
2
mv
2
p 2 2m
L en donde # es el im#ulso lineal o cantidad de movimiento.
>e manera que p
2mE c
2meV
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Solución de los Problemas. Capítulo 2 "eniendo en cuenta la relación de de %roglie relativa a la dualidad ondacor#sculoL la longitud de onda asociada a ese electrón que se mueve en ese cam#o de #otencial será(
h
2 meV
.
Sustituendo el valor de las dierentes magnitudes en esta ltima ecuación
6,6256.10
34
1,22%4. 10-10 m 1,22% +
2.9,1091.10
31
.1,602.10
19
.100
"eniendo en cuenta el nmero de ciras signiicativas correcto Kasumimos 3 ciras #ara el valor del #otencial( = 1,23 Å
*!
ste a#artado es idéntico al anterior& es tam/ién un electrón& #ero a5ora el voltaEe es dos órdenes de magnitud maor. Si se sustitue en la ecuación anterior se o/servará que la longitud de onda es un orden de magnitud menor * 0&1, M
c! "am/ién este a#artado es igual al anterior& a5ora la #artícula es un #rotón que tiene mas masa #or tanto si se sustitue en la relación anterior el valor de las dierentes magnitudes teniendo en cuenta que la masa del #rotón es 1&,B,.10-, +g.
6,6256.10
34
2.1,6725.10
27
.1,602.10
19
.100
2,%.10-2 +
d! l a#artado es idéntico a los a resueltos en el #rimer en el segundo eEercicio& a#artado /!. Jor tanto& sustituendo& el resultado es
6,6256.10
5.10
34
J . s
3
.400kg .m. s
1
* #.10-#4 m = #.10-24 +
Com#árense los órdenes de magnitud de los resultados en los dierentes a#artados raDónese so/re en qué escala son im#ortantes los eectos ondulatorios de la materia. sta nota tam/ién vale #ara los resultados del #ro/lema ,. Nota:
2. Se acelera un electrón sometiéndolo a una dierencia de #otencial de 0 8. a! ¿Cuánto vale su im#ulso lineal su velocidad? l a#artado a 5a sido resuelto #ara el #ro/lema 3 a#artados a! /!& aunque #ara otro voltaEe. Jor tanto( p
2mE c
2meV
=
31
19
2.9,109.10 .1,602.10 .60
4,2.10-24 kg.m.s-1
v * #m * 2&,.10-,29&109.10-31* 2&.10 ms * 2.00 +ms
/! Su#oniendo que la #recisión con la que se conoce su velocidad es un 1&BN ¿Con qué #recisión #odemos medir la
Enlace Químico y Estructura de la Materia 1
Solución de los Problemas. Capítulo 2 #osición del electrón de orma simultánea con su velocidad? s decir un 1OBN del valor de la velocidad es la indeterminación con la que se conoce esa magnitud. v * 0&01BKv! * &9.10 2 ms Jara #oder sa/er la indeterminación o la #recisión con la que se #uede conocer la #osición& '& de este electrón& 5e de tener en cuenta el #rinci#io de indeterminación de Peisem/erg( #.'
Q52
Jor tanto #ara conocer '& necesito conocer #& que de acuerdo con la e'#resión de esta magnitud 5a de ser( #* m v. Jor tanto
Q 5 m v 2 * A&2. 10-10 m * A&2 +
'
c! Su#óngase a5ora que se quiere estimar la #osición del electrón con una incertidum/re de 1 Å ¿Con qué #recisión se #odría sa/er el valor de su im#ulso? Com#árese el resultado con el que se o/tendría si el sistema uese una /ala de caRón de 20 +g de #eso que se mueve a una velocidad de 200 ms cua #osición se estima con una #recisión de 1 mm. >e acuerdo con el #rinci#io de indeterminación de Peisem/erg& no #uedo conocer a la veD& con toda #recisión el im#ulso la #osición de una #artícula en su movimiento& #or tanto& si la #recisión con la que quiero determinar la #osición de la #artícula es de 1 M& la #recisión con la que #uedo conocer el valor de su im#ulso es( p
h x.4
6,625.10 34 1.10
10
.4.3,1416
5. 10-25 )g.ms
es decir la indeterminacin (error! es slo un orden de magnitud menor ue el valor de esa magnitud. 'n el de la *ala de ca/n, p = m.v = 40. 400 = 1%. 10 # )g.ms = 1 mm= 1.10 -# m a imprecisin aora tan slo es de 1 mm; or tanto, la precisin con la ue puedo conocer el impulso es3 p
h x.4
6,625.10 34 3
1.10 .4.3,1416
5. 10-#2 )g.ms
s decir 3 órdenes de magnitud más #equeRo. Com#árese en uno otro caso la im#ortancia relativa de los errores intrínsecos de los valores de las magnitudes.
B. n una cuerda de guitarra #ulsada& la recuencia de la onda estacionaria de longitud de onda más larga se llama recuencia
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Solución de los Problemas. Capítulo 2 undamental. $a onda estacionaria con un nodo interior se llama #rimer so/retono& la de dos nodos se llama segundo so/retono así sucesivamente. ¿Cuál es la longitud de onda del tercer so/retono de una cuerda de quitarra de 1 cm? l tercer so/retono 5a de tener tres nodos& es decir en la longitud total de la cuerda de la guitarra 5an de ca/er e'actamente dos longitudes de onda. Jor tanto * 1, * 30&B cm
. Com#rue/e que el segundo #ostulado de %o5r es la consecuencia de considerar al electrón como una onda estacionaria que se mueve en una esera. Jara la demostración considere que el movimiento es solo en dos dimensiones& es decir una ór/ita #lana circular.
6/serve el di/uEo Ka! de la igura anterior. Jara que la onda sea estacionaria& la longitud de la circunerencia donde está coninado el electrón& $& de/e contener un nmero entero de veces la longitud de la onda& . s decir( $ * n ; n = 1, 2, 3, …. Si r& es el radio de la circunerencia 2r=n; >e acuerdo con el #rinci#io de $. de %roglie =h/p; siendo #*mv
Es de!r" 2 r = n #h/m$) m$r = n #h/2 ) que es el segundo #ostulado de %o5r n otras #ala/ras& en el segundo #ostulado de %o5r está im#lícita la consideración del electrón como una onda estacionaria& si /ien considera que se mueve en un solo #lano.
. n el modelo de #artícula que se mueve en una caEa ¿Cuál es la longitud de onda del tercer so/retono si la caEa tiene una longitud de 100 #m?
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Solución de los Problemas. Capítulo 2
ste #ro/lema es e'actamente igual al nmero B& la dierencia estri/a en la longitud de la caEa. Juesto que se 5a/la tam/ién de tercer so/retono n*2& estamos en el mismo caso anterior. =sí que * 100, * B0 #m
A. scri/a la ecuación de onda de un electrón en una caEa unidimiensional en el estado n *2. $a longitud de la caEa $*,&0 M # x)
n 2 sen# x) . l l
JarticulariDando& l*, n*2 K'! * senK'!
a! ¿n qué valores es má'ima la #ro/a/ilidad de encontrar al electrón? Jara ver en qué valores la #ro/a/ilidad es má'ima& 5a/remos de determinar K'!, ver cuales son sus #untos de má'imo& es decir determinar su #rimera derivada& o/tener los #untos que 5acen esta #rimera derivada cero& o/tener la segunda derivada com#ro/ar cuales de estos #untos 5acen que la segunda derivada tenga valores negativos. "am/ién #odemos o/servar que la unción K'!, va tener sus valores má'imos en aquellos #untos en los que la unción K'! adquiera sus valores má'imos mínimos& lo que es lo mismo cuando adquiera los valores de 1 ó -1. sto es así cuando el ángulo valga ,& ó 3 , ó B ,T es decir 2
k &
donde + es un nmero entero& 0&1& ,& 3&T
Jor tanto( ' * x
1
4
k 2
2
k .
>es#eEando ' en esta igualdad
L Si +*0L '*12 * 0&,B M Si +*1 '*32* 0&B M Si +* ,& '* B2 * 1&,B M Si +* 3& '* 2 * 1&B M Si +* 2& '* 92 * ,&,B ML uera de la caEa
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Solución de los Problemas. Capítulo 2
/! ¿n qué valores la #ro/a/ilidad es cero? $a #ro/a/ilidad será cero cuando la unción tam/ién sea cero. Jodemos 5acer este cálculo matemáticamente& como en el a#artado anterior o sim#lemente #or ins#ección del gráico del a#artado c!& llegar a la conclusión que se anula #ara '* 0&BL 1&0 1&B M Jara calcularlo matemáticamente 5emos de tener en cuenta que la unción se anula si el ángulo vale 0& & ,& etc. que #or tanto la condición es( ' * 0 k & donde + es un nmero entero& 0&1& ,& 3&T
c! >i/uEe la unción de onda del sistema en ese estado
d! ¿Cuál es la #ro/a/ilidad de encontrar al electrón entre $* 0 $*0&B M? "al como se o/serva en la igura& entre 0 0&B M está contenida V de la unción total& #or tanto de/e 5a/er V de la #ro/a/ilidad total de encontrarla& es decir 0&,B o lo que es lo mismo un ,BN
e! ¿Cuál es la energía del sistema? '#rese el resultado en 4ulios. >e acuerdo con lo que se 5a e'#uesto en teoría& E n
2
h
2 2
8ml
Jara este estado n*2& m* 9&109.10 -31 +g& l*,.10 -10 m
6,625.10 E 16 8.9,109.10 . 2.10 34
31
2
2 10
* ,&2.10 -1 4
9. Juede su#onerse& en una #rimera a#ro'imación& que un electrón en un or/ital molecular de ti#o #i& se com#orta segn el modelo de una #artícula en una caEa de #otencial& cua longitud es la del enlace molecular. =sumiendo que #ara la molécula de eteno KC,P2! la longitud de enlace C*C es 1&32 M&
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Solución de los Problemas. Capítulo 2 %) Calcular la recuencia de la radiación electromagnética necesaria #ara #asar al electrón del enlace #i C*C desde su estado undamental Kn*1! al #rimer e'citado Kn*,! /! ¿Cuál es la longitud de onda del electrón en el #rimer estado e'citado? Jara una #artícula en una caEa& la energía de sus estados estacionarios viene dada #or la ecuación( E n
h
2
2
; n=1,2,3...
2
8ml
Si se #articulariDa #ara el electrón m* 9&1091 10-31 +g si se #articulariDa #ara una caEa de anc5ura un enlace C*C& l*1&32.10-10 m a! Si un electrón #asa de su estado n*1 a n*,& la energía que 5a tenido que a/sor/er es( E 2
E 1
h
2
2
8ml
2
2
2
1
energía que le 5a sido cedida #or un otón cua recuencia & de/e cum#lir que
E 2 E 1
& #or tanto
h h
2
3
8ml
3h 2
8ml
3.6,625.10 34 J . s 8.9,1091.10
31
kg .#1,34.10
10
)
2
sustituendo los valores numéricos *1&B1.101 s-1 KluD ultravioleta!
/! l #rimer estado e'citado es el n*,. "al como 5a/íamos visto en estas condiciones en las dimensiones de la caEa ca/ía e'actamente 1 longitud de onda& #or tanto la longitud de onda del electrón en este estado es 1&32 M
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