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Interpolación Polinomial de Newton en diferencias divididas Teoría En este tema se da una posible respuesta a una situación bastante natural en el ámbitocientífico. Investigamos un fenómeno que se está desarrollando ante nuestros ojos, queremosestudiarlo, y junto con los modelos previos con que contemos, podemos tomar muestras experimentales. Tenemos una serie de datos a partir de mediciones sobre el mismo. [Naturalmente hemos hecho una cantidad finita de mediciones.] Queremos extraer información de esos datos. En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una función desconocida o difícil de manejar, y nos interesaría sustituirla por otra más sencilla (por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de valores. Este es el problema de interpolación polin po linomial. omial. Existe una gran variedad de formas alternativas para expresar una interpolación polinomial. El polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas es entre otros una de las formas más populares y útiles.Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado. Interpolación lineal
La forma más simple de interpolación se basa en unir dos puntos con una línea recta. Dicha técnica se conoce co noce como interpolación lineal. Al usar triángulos semejantes:
Ecuación 1. eordenando R eordenando
la ecuación se obtiene:
Ecuación 2.
Salvador Luna Hernández
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En la imagen de arriba se muestra la gráfica de la interpolación lineal. Las áreas en verde indican los triángulos triángulos semejantes para obtener la fórmula fórmula de la interpolación lineal.
En general cuando menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación. Esto se debe al hecho de que, conforme el intervalo disminuye, una función continua estará mejor aproximada por una línea recta. Interpolación cuadrática
Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden .Una manera conveniente para este caso es la siguiente:
Ecuación 3. Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para bo, se usa la ecuación anteriorcon x=x0 y se obtiene.
Ecuación 4. Sustituyendo la ecuación 4 y 3 y evaluando en x=x1 se obtiene
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Métodos Numéricos Ecuación 5.
Y por último las ecuaciones 5 y 4 se sustituyen en la ecuación 3 y se evalúa está en x=x2 y se obtiene:
Ecuación 6. Forma
general de los Polinomios de Interpolación de Newton
El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a losn+1 puntos. punto s. El polinomio de n-ésimo orden es:
Ecuación 7 Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1,..., bn. Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: x0, x1,...,xn. Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:
. . .
En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas, la n-ésima diferencia dividida finita es:
Ecuación 8.
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Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes b0, b1«bn, los cuales se sustituyen en la ecuación 7, para obtener el polinomio de interpolación: interpolación:
Ecuación 9. Al cual se le llama Polinomio de Interpolación con Diferencias Divididas de Newton. Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas, en donde cada diferencia se indica entre los elemento s que la producen: i 0 1 2 3
Xi X0 X1 X2 X3
f(Xi) Primera Segunda S egunda Tercera f(X0) f(X1, X0) f(X2, X1, X0) f(X3, X2, X1, X0) f(X1) f(X2, X1) f(X3, X2, X1) f(X2) f(X3,X2) f(X3)
abla T abla Error
de diferencias divididas
al interpolar Polinomios de Newton:
La ecuación del Polinomio de Interpolación por Diferencias Divididas de N ewton ewton es similar a la serie de expansión de T aylor aylor . Se agregan términos en forma secuencial para capturar el comportamiento de alto orden de la función a analizar. Estos términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones de derivadas de orden mayor. Error de truncamiento:
Para una interpolación de n-ésimo n-ésimo orden, una relación análoga para el error es:
En donde es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene las incógnitas y los datos. Para uso de esta fórmula la función en cuestión debe ser conocida y diferenciable. Y usualmente, este no es el caso. Una formulación alternativa es el uso de la diferencia dividida para aproximar la
derivada (n (n+1)±ésima y que no requiere el conocimiento previo de la función.
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Una formulación alternativa es el uso de la diferencia dividida para aproximar ap roximar la derivada (n+1)±ésima y que no requiere requ iere el conocimiento previo de la función.
Debido a que esta ecuación contiene el término f término f ( x), x), no puede resolverse para el error. Si se dispone de un dato adicional la ecuación puede usarse para estimar el error.
Algoritmo de interpolación de Newton: y
y
y
La ecuación obtenida de ajustar el polinomio puede desarrollarse en forma secuencial para versiones de orden mayor con la adición de un solo término a la siguiente ecuación de orden inferior. Al agregarse nuevos términos en forma secuencial se puede determinar cuándo se alcanza un punto de disminución de regreso, es decir, cuando la adición de términos de orden superior ya no mejora de manera significativa la estimación, o en otras situaciones situaciones la aleja. a leja. Las diferencias divididas finitas que constituyen los coeficientes del po linomio linomio se pueden calcular de manera eficaz. Se usa diferencias d iferencias del orden inferior para calcular las de alto orden. El error estimado es simple de incorporar en un a lgoritmo de cómputo.
A continuación se muestra un u n algoritmo de interpolación de Newton escrito en pseudocódigo ubroutine N ewtInt ewtInt S ubroutine
(x,y, n, xi, yint, ea)
LOCAL fdd n,n n,n DOFOR i=0, n fdd i,0 i,0=yi E N D DO DOFOR j=1, n DOFOR i=0, n-j fdd i,i, ,j=( fdd i+1, i+1, j - fdd i,,j-1 i,,j-1 )/ (xi+j ± x ) i E N D DO E N D DO Xterm=1 Yint 0=fdd 0,0 0,0 DOFOR order= 1, n xterm=xterm* (x i- xorder-1 ) yint2=yint order-1 order-1 + fdd 0, 0, order * xterm Eaorder-1=yint2-yint order-1 order-1 yint order =yint2 = yint2 order E N D order E N D N ewtInt ewtInt
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