PERTIDAKSAMAAN PECAHAN
LESSON
Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.
Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan linear, kuadratik ataupun polinomial berbentuk hasil bagi. Penyebut pada suatu pertidaksamaan pecahan harus memuat variabel (misal
). Di sini
pembilang juga bisa berupa fungsi konstanta bukan 0.
Ada 4 macam bentuk pertidaksamaan pecahan, yaitu:
Dimana
,
dan
.
adalah fungsi-fungsi dengan variabel
dan
masing-masing adalah fungsi dalam
Pertidaksamaan pecahan dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep garis bilangan. Metodenya sama seperti pertidaksamaan biasa namun memiliki sedikit perbedaan.
Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan pecahan: a. Menentukan pembuat nilai 0 bagian pembilang dan penyebut dari bentuk pecahan, yaitu dan
.
b. Tentukan apakah nilai 0 tadi merupakan bulatan penuh atau bulatan kosong bergantung dari bentuk pertidaksamaan yang diberikan. Khusus untuk penyebut selalu bulatan kosong karena penyebut pecahan tidak boleh bernilai 0. c.
Nilai nol yang telah didapat Pembuat nol dari pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan. Nilai-nilai nol Pembuat nol akan membagi garis bilangan menjadi beberapa interval.
d. Tentukan tanda-tanda pada setiap interval (positif atau negatif) dengan cara mengambil suatu nilai uji yang berada pada interval tersebut. e. Setelah mendapatkan tanda-tanda interval kita dapat menentukan interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Untuk pertidaksamaan kurang dari dan kurang dari sama dengan,
ambil interval daerah negatif
, sebaliknya untuk pertidaksamaan lebih dari dan lebih dari
sama dengan ambil interval daerah positif f.
.
Terakhir, bila diminta tulislah himpunan penyelesaiannya.
Untuk lebih jelasnya mari kita masuk ke contoh soal
Contoh 1: Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
Langkah-langkah Penyelesaian: a. Mencari pembuat nilai 0
Nilai nol pembilang :
Nilai nol penyebut
:
b. Menentukan jenis bulatan c.
, bulatan penuh (●) karena jenis pertidaksamaan lebih dari sama dengan. , bulatan kosong (○) karena merupakan penyebut.
Membuat diagram garis bilangan
-5
2
Dari diagram di atas, terlihat bahwa ada tiga interval dalam soal di atas yaitu:
Interval
Interval
Interval
d. Menentukan tanda interval
Dari diagram garis bilangan diatas, dapat kita lihat bahwa terdapat tiga interval. Cara menentukan tanda interval adalah dengan nilai uji yang berada di masing-masing interval.
Untuk interval
Untuk interval
, ambil nilai uji , ambil nilai uji
, interval bertanda , interval bertanda
Untuk interval
, ambil nilai uji
, interval
bertanda
e. Maka diagram garis bilangan pada soal di atas menjadi
-5
2
Karena soal adalah pertidaksamaan lebih dari sama dengan, maka dari gambar diagram interval, interval yang memenuhi adalah interval yang bertanda positif yaitu interval interval f.
dan
.
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan di atas adalah HP
.
Catatan: Mengapa menggunakan atau, apa bedanya dengan dan? Di sini, konsep dari pertidaksamaan adalah bahwa benar dapat terpenuhi oleh salah satu interval. Dalam logika matematika (dibahas di topik lain) atau & dan memiliki pengertian yang berbeda. Dan berarti semua komponen harus benar agar pernyataan benar sementara atau berarti jika salah satu dari komponen benar, pernyataan benar. Pada kasus ini lebih tepat menggunakan atau daripada dan karena interval yang manapun, kebenaran dari pertidaksamaan sudah terpenuhi.
Contoh 2: Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
Langkah-langkah Penyelesaian: a. Mencari pembuat nilai 0
Nilai nol pembilang : faktorkan Maka,
Nilai nol penyebut
: persamaan
tidak dapat difaktorkan karena nilai
diskriminannya lebih kecil daripada 0. (konsep diskriminan lebih lanjut telah dibahas
di topik persamaan kuadrat.
dimana jika
, maka persamaan
kudarat kuadrat tidak memiliki penyelesaian akar real).
Untuk kasus diskriminan lebih kecil daripada nol, setiap bilangan real yang dimasukan disubstitusikan ke dalam persamaan akan memiliki tanda yang sama baik itu positif ataupun negatif. menghasilkan suatu konstanta.
Pada soal di atas, persamaan
memiliki nilai positif (uji coba masukkan
). Sehingga tidak mempengaruhi pertidaksamaan.
Langkah berikutnya sama seperti pertidaksamaan biasa karena penyebut diabaikan.
b. Menentukan jenis bulatan
c.
, bulatan kosong (○) karena jenis pertidaksamaan kurang dari.
, bulatan kosong (○) karena jenis pertidaksamaan kurang dari.
Membuat diagram garis bilangan
1
4
Dari diagram di atas, terlihat bahwa ada tiga interval dalam soal di atas yaitu:
Interval
Interval
Interval
d. Menentukan tanda interval
Untuk interval
Untuk interval
, ambil nilai uji
, interval bertanda
, ambil nilai uji
, interval
bertanda
Untuk interval
, ambil nilai uji
, interval bertanda
e. Maka diagram garis bilangan pada soal di atas menjadi
1
4
Karena soal adalah pertidaksamaan kurang, maka dari gambar diagram interval, interval yang memenuhi adalah interval yang bertanda positif yaitu interval f.
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan di atas adalah HP
.
.
QUESTION
SOAL 1 Tentukan Himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
adalah ….
A. HP B. HP C. HP
dst
D. HP E. HP
KUNCI JAWABAN C PEMBAHASAN
Pembuat nilai nol:
, bulatan kosong (○)
Maka ada dua interval. Untuk
, interval
Untuk
, interval
-2 Pertidaksamaan kurang dari sama dengan, ambil interval negatif sehingga HP
.
PETUNJUK Pindahkan semua komponen ke salah satu ruas baru selesaikan persamaan di salah satu ruas tersebut, jangan dikali silang. Penyebut selalu tidak boleh bernilai nol. Hati-hati dengan tanda, bila ada tanda negatif untuk menghilangkannya maka tanda pertidaksamaan akan berubah.
SOAL 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
A. HP B. HP C. HP D. HP E. HP
KUNCI JAWABAN D PEMBAHASAN
Pembuat nilai nol:
, bulatan kosong (○) ,
, bulatan kosong (○) ,
, bulatan kosong (○)
Maka ada empat interval Untuk
, interval
Untuk
, interval
Untuk
, interval –
Untuk
, interval
-6
-1
3
Pertidaksamaan lebih dari, ambil interval positif sehingga HP
.
PETUNJUK Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memfaktorkan polinomial baik di pembilang atau penyebut. Pada soal ini, ada faktor yang sama di pada pembilang dan penyebut, kalian tidak boleh dicoret melakukan pembagian dan diabaikan karena akan mempengaruhi interval.
SOAL 3 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
A. HP B. HP C. HP D. HP E. HP
KUNCI JAWABAN B PEMBAHASAN
Pembuat nilai nol:
, bulatan kosong (○),
, bulatan kosong (○),
, bulatan penuh (●)
Maka ada empat interval Untuk
, interval
Untuk
, interval
Untuk
, interval –
Untuk
, interval
-1
2
Pertidaksamaan lebih dari, ambil interval positif sehingga HP
8 .
PETUNJUK Ingat dalam soal seperti ini, jangan langsung dikali silang, tetapi kerjakan dengan memindahkan ke salah satu ruas.
SOAL 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
A. HP B. HP C. HP D. HP E. HP
KUNCI JAWABAN A PEMBAHASAN Pada soal ini baik pembilang dan penyebut tidak dapat difaktorkan, bila kita cek dengan diskriminan, keduanya bernilai negatif. Maka jika kedua fungsi dibuat grafik maka pilihannya antara grafik di atas sumbu
atau grafik di bawah
sumbu . Kembali ke pelajaran fungsi kuadrat kita bisa cek apakah kurva terbuka ke atas atau kebawah. Dari kedua fungsi keduanya berada di atas sumbu
sehingga nilainya selalu positif untuk setiap
elemen bilangan real. Pertidaksamaan dalam soal adalah pertidaksamaan lebih dari. Jadi, HP
PETUNJUK Bila terdapat persamaan dengan diskriminan negatif, maka tentukan sifat dari persamaan tersebut apakah berada di atas sumbu x atau berada di bawah sumbu x. Sifatnya adalah selalu negatif atau selalu positif.
SOAL 5 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
A. HP B. HP C. HP D. HP E. HP
KUNCI JAWABAN A PEMBAHASAN
Untuk pertidaksamaan secara umum, pembuat nilai nol:
bulatan kosong (○),
bulatan
kosong (○), Maka ada tiga interval Untuk
, interval
Untuk Untuk
, interval , interval
-5
0
Pertidaksamaan lebih dari, ambil interval positif sehingga untuk pertidaksamaan secara umum HP . Untuk syarat pertidaksamaan bentuk akar, pembuat nilai nol: .
-5
, bulatan penuh (●) dimana berlaku
Irisan dari kedua garis bilangan diatas adalah
-5 Jadi berlaku HP
0 .
PETUNJUK Ketika muncul pertidaksamaan bentuk akar, kita tidak boleh lupa mencantumkan syarat bahwa bentuk akar harus lebih besar sama dengan 0. Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar salah satu caranya adalah mengkuadratkan kedua ruas. Pada soal ini, karena ada bentuk akar maka harus dibuat dua garis bilangan untuk dari pertidaksamaan secara umum dan syarat bentuk akar. Baru dicari irisan dari kedua garis bilangan yang merupakan himpunan penyelesaian yang diminta. Banyak soal yang memanfaatkan sifat-sifat bentuk akar ataupun nilai mutlak sehingga harus berhati-hati.
SOAL 6 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
A. HP B. HP C. HP D. HP E. HP
KUNCI JAWABAN A PEMBAHASAN
Secara umum, berlaku
dansyarat pertidaksamaan nilai mutlak, berlaku
Irisan dari kedua garis bilangan diatas adalah
-3 Jadi berlaku HP
.
PETUNJUK Untuk soal nilai mutlak, ingat nilai mutlak adalah akar kuadrat dari komponen di dalamnya sehingga dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan masing-masing ruas.
SOAL 7 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
A. HP B. HP C. HP D. HP E. HP
KUNCI JAWABAN B PEMBAHASAN
Pertidaksamaan secara umum, pembuat nilai nol: Untuk persamaan
bulatan kosong (○),
merupakan persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan negatif dan
kurvanya berada di atas sumbu
sehingga positif untuk setiap
diabaikan Maka ada tiga interval Untuk Untuk Untuk
bulatan kosong (○),
, interval , interval , interval
-1
0
elemen bilangan real dan dapat
Pertidaksamaan kurang dari sama dengan, ambil interval negatif sehingga untuk pertidaksamaan secara umum HP
.
Untuk syarat pertidaksamaan mutlak, berlaku Untuk syarat pertidaksamaan bentuk akar, berlaku
.
Irisan dari ketiga syarat diatas adalah
-1 Jadi berlaku HP
0 .
PETUNJUK Soal di atas menggabungkan konsep pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan mutlak dan pertidaksamaan bentuk akar sehingga dalam pengerjaannya harus berhati-hati agar syarat-syarat masing-masing tidak terlupa. Pada perhitungan ditemukan bentuk polinomial pangkat 3, hal ini dibahas lebih lanjut pada topik sukubanyak namun dasarnya dipakai dalam soal di atas yaitu,
SOAL 8 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
A. HP B. HP C. HP D. HP E. HP
KUNCI JAWABAN D PEMBAHASAN
Untuk kasus pertidaksamaan seperti soal di atas, kita dapat membaginya menjadi dua kasus dimana himpunan penyelesaian adalah irisan dari himpunan penyelesaian kasus I dan II.
Pertidaksamaan I, pembuat nilai nol: Untuk persamaan
bulatan kosong (○),
merupakan persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan negatif dan
kurvanya berada di atas sumbu diabaikan Maka ada tiga interval Untuk
bulatan kosong (○),
, interval
sehingga positif untuk setiap
elemen bilangan real dan dapat
Untuk Untuk
, interval , interval
-1
0
Pertidaksamaan kurang dari sama dengan, ambil interval negatif sehingga untuk pertidaksamaan I secara umum HP
.
Untuk syarat pertidaksamaan pecahan, berlaku Untuk syarat pertidaksamaan bentuk akar, berlaku
. .
Irisan dari ketiga syarat diatas adalah
-1 Jadi berlaku untuk pertidaksamaan I, HP
0
1
.
Karena dari pertidaksamaan I, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, maka tidak perlu dicari lagi himpunan penyelesaian dari kasus II karena irisan dari kasus I dan kasus II pasti himpunan kosong akibat hasil kasus I.
PETUNJUK Banyak jebakan yang harus diperhatikan dalam soal di atas. Pertama kita harus membagi soal menjadi dua buah kasus dimana penyelesaiannya adalah irisan himpunan penyelesaian dari kedua kasus. Kedua harus memperhatikan sifat pertidaksamaan pecahan, nilai mutlak dan bentuk akar. Ketiga pada soal ini kita harus ingat konsep himpunan, irisan himpunan adalah hal yang dimiliki dari setiap komponen yang diiris. Pada soal diatas, salah satu komponen diketahui adalah himpunan kosong, maka tidak mungkin memiliki irisan dengan komponen lainnya. Sehingga sudah pasti irisan berupa himpunan kosong juga.
SOAL 9 Berapa banyak bilangan cacah yang memenuhi himpunan penyelesan pertidaksamaan berikut?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
KUNCI JAWABAN A PEMBAHASAN Pertama kita cari dulu himpunan penyelesaian dari soal di atas.
Untuk pertidaksamaan di atas, pembuat nilai nol:
bulatan kosong (○),
bulatan kosong
(○), Maka ada tiga interval Untuk
, interval
Untuk Untuk
, interval , interval
-5
0
Pertidaksamaan kurang dari, ambil interval negatif sehingga untuk pertidaksamaan secara umum HP . Dari himpunan penyelesaian di atas, tak ada bilangan cacah yang memenuhi.
PETUNJUK Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat tak negatif. Karena HP berada di rentang negatif maka tak ada bilangan cacah yang memenuhi Ingat karakteristik pertidaksamaan pecahan.
SOAL 10 Berapa banyak bilangan bulat yang memenuhi himpunan penyelesan pertidaksamaan berikut?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
KUNCI JAWABAN D PEMBAHASAN Pertama kita cari dulu himpunan penyelesaian dari soal di atas.
Pertidaksamaan secara umum, pembuat nilai nol: (○),
bulatan kosong (○),
bulatan kosong (○),
bulatan kosong (○)
Maka ada lima interval Untuk
, interval –
Untuk
, interval
Untuk
, interval
Untuk Untuk
, interval , interval
-8
-4
-2
1
bulatan kosong
Pertidaksamaan kurang dari, ambil interval negatif sehingga untuk pertidaksamaan secara umum HP . Untuk syarat pertidaksamaan pecahan, berlaku
.
Untuk syarat pertidaksamaan bentuk akar, berlaku
.
Maka irisan dari ketiga syarat diatas adalah
-8
-4
-2
1
Jadi berlaku untuk pertidaksamaan di atas, HP
.
Dari hasil ini kita masuk ke permintaan soal mencari berapa banyak bilangan bulat yang berlaku dalam himpunan penyeleasian. Bilangan bulat yang memenuhi adalah (-3, -1, 0) Jadi ada 3 bilangan bulat dalam himpunan penyelesaian soal diatas.
PETUNJUK Ingat definisi bilangan bulat yaitu berupa bilangan cacah dan negatif dimana ditulis tanpa komponen pecahan (… -2, -1, 0, 1, 2, 3 …). Melalui definisi bilangan bulat dapat dicari dalam himpunan penyelesaian mana saja bilangan yang memenuhi. Ingat sifat pertidaksamaan pecahan, nilai mutlak dan bentuk akar untuk menyelesaikan soal diatas.
