PERT
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4. PERT PERT
4.1.
Introducción
Hasta ahora hemos considerado a los tiempos de las actividades como suficientemente certeros y conocidos. Sin embargo resulta que esto no siempre es así. En realidad muchas (o todas) las actividades en un proyecto tendrán una duración que no conocemos o que tienen variación significativa, es decir importante, y que tenemos que considerar. Por lo que necesitamos un método que nos ayude a manejar la incertidumbre en cuanto a la duración de las actividades. Para tal efecto se desarrolló el presente método, que significa Program Evaluation and R eview eview Tecnique – Técnica de revisión y evaluación de programas. Este método considera que la duración de las actividades varía según un determinado tipo de distribución de probabilidad. En sus inicios, considera tres estimaciones de tiempos en la duración para cada actividad: Tiempo optimista (to): Se define como la duración de la actividad que resultaría si todo saliera bien, sin contratiempos y “con los recursos disponibles” . Como guía se pretende que una duración menor que esta se presente solamente en un 1% de los casos.
t0
tp
tm
Tiempo más probable (tm): Se define como la duración de la actividad que más veces se presentaría si esta se repitiera un gran número de veces (moda).
t0
tm
tp
Tiempo pesimista (t p): Se define como la duración de la actividad que resultaría si todo saliera mal, con muchos contratiempos y con los recursos disponibles. Como guía se pretende que una duración mayor que esta se presente solamente en un 1% de los casos. No se incluyen aquí condiciones de desastre total como terremotos, inundaciones, huelgas etc. (ya que estos eventos afectarían al proyecto total y no solamente a la actividad).
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t0
tm
tp
Estas estimaciones se suponen realizadas por personas capacitadas, que conocen tanto el contenido de la actividad como lo que hay que hacer en cada una de ellas. Además se debe observar que se cumpla lo siguiente:
to
≤ tm ≤ t p
Ecuación 4-1 Requisitos de estimación de duraciones en PERT
4.2.
Media y varianza
Una ves realizadas las estimaciones de duración para cada actividad se prosigue a calcular la media y la varianza de cada actividad. Para lo cual se considerarán las siguientes fórmulas:
Media: µ =
to + 4tm
+ t p
6
Ecuación 4-2 Media (duración esperada) de cada actividad
Varianza: σ 2 =
( t p − t o )
2
36
Ecuación 4-3 Varianza de cada actividad
Con esto estamos en posibilidad de calcular la duración promedio del proyecto total, así como su varianza y con esos datos realizar estimaciones basados en probabilidades. Tomemos el siguiente como ejemplo1:
1
Act. B C D E F
Req. B C C
G
D, E
H
F
Duraciones to tm tp 1 2 3 2 3 6 1 1 1 1 5 8 0. 1. 5 5 5 0. 1 2 5 1 2 5
En este ejemplo se observa que en un mismo proyecto se pueden encontrar actividades con duración de tipo determinista, como el caso de la actividad D, y probabilista.
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Duraciones 2
Act.
Req.
to
tm
tp
Sec.
µ
σ
B C D E F G H
B C C D, E F
1 2 1 1 0.5 0.5 1
2 3 1 5 1.5 1 2
3 6 1 8 5 2 5
D E, F G G H -
2 3.333 1 4.8333 1.9167 1.0833 2.3333
0.111 0.444 0 1.361 0.563 0.063 0.444
Tabla 4-1 Matriz de información para PERT
Los cálculos se llevan a cabo de la misma manera que en caso de duraciones determinísticas. Podemos, como ya sabemos, utilizar cualquier tipo de red para realizar los cálculos. Utilizaremos en este caso RAN.
Inicio 0 0 0
B 0 2 5.17 7.17 2
D 2 3 7.17 8.17 1
G 8.17 9.25 8.17 9.25 1.08
C 0 3.33 0 3.33 3.33
E 3.33 8.17 3.33 8.17 4.83
H 5.24 7.57 6.92 9.25 2.33
0 0
Final 9.25 9.25 9.25 9.25 0
F 3.33 5.24 5 6.29 1.916
Tenemos, por el método de las dos fases, la ruta CEG como crítica. Si calculamos las duraciones estimadas de cada ruta, así como su varianza tenemos: #
1 2 3
Ruta
BDG CEG CFH
µ
4.08 9.25 7.76
2
σ 0.174 1.868 1.451
Obteniendo, claro esta, la misma ruta y la misma duración estimada 2 o promedio. Aplicando el teorema del límite central consideramos que la duración del proyecto sigue una distribución de tipo normal, de esta manera podemos estimar la siguiente información: a)
La probabilidad de que el proyecto tenga una duración menor que un tiempo X; P (T ≤ X )
b)
La probabilidad de que el proyecto tenga una duración mayor que un tiempo X; P (T ≥ X )
c)
La probabilidad de que la duración del proyecto se encuentre dentro de determinado rango de duración; P( X1 ≤ T ≤ X2 ) o fuera de el; P( X1 ≥ T ≥ X2 )
d)
El intervalo de confianza para un determinado porcentaje X%.
Para el inciso a, b y c aplicaremos la siguiente fórmula para “normalizar” la variable:
2
Según los datos proporcionados.
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z =
X − µ σ
Ecuación 4-4 Normalizar la variable
para el inciso d aplicaremos:
µ ± z σ ∞
2
Ecuación 4-5 Intervalo de confianza
donde:
X = duración requerida. µ = duración promedio3. σ = desviación estándar 4.
Como ejemplo: a)
Calcular la probabilidad de que el proyecto termine antes de 10 unidades de tiempo; P (T ≤ 10)
ya que hablamos del proyecto total: z =
10 − 9.25
=
0.75 1.3667
1.868
= 0.5487 ≈ 0.555
buscando en las tablas de distribución normal (ver anexo): 0.70884
70.884%
9.25
10
b) Encontrar la probabilidad de que el proyecto termine después de 8 unidades de tiempo; P (T ≥ 8)
z =
8 − 9.25 1.868
=
−12.5
1.3667
= −0.9145 ≈ −0.91
buscando en las tablas de distribución normal: 0.81859
3
Si hablamos del proyecto total será la duración de la ruta crítica, en otro caso será la duración de la ruta en cuestión.. 4 Será la raíz cuadrada de la varianza de la ruta en cuestión. 5 Redondeamos ya que utilizamos tablas de distribución normal y solamente contempla z con 2 decimales. Ing Antonio González de la Llave Gállego
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81.859%
9.25
8
c)
Cual es la probabilidad de que el proyecto tenga una duración mayor de 9 pero menor de 11 unidades de tiempo. P (9 ≤ T ≤ 11)
En este caso se tiene que hacer lo mismo que en los otros dos incisos, pero una ves para cada valor: Para 9: z =
Para 11: z =
9 − 9.25 1.868
=
11 − 9.25 1.868
0.25
=
en tablas para 9: en tablas para 11: por lo tanto:
= −0.1829 ≈ −0.18
1.3667 1.75 1.3667
= 1.280 ≈ 1.28
0.57142 0.89973
0.47115
47.115%
9
9.25
11
d) Calcular el intervalo de confianza para el 98%.
Tenemos que: (1 – α ) = 0.98 α = 0.02 α 2 = 0.01 buscando este valor en tablas:
z
∞
2
= z 0.01 =
2.33
sustituyendo los valores en la fórmula:
9.25 ± 2.33 1.868 ∴ 6.0654 ; 12.4345
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Casos especiales
Aquí trataremos el caso, muy remoto en realidad, de que exista más de una ruta crítica en el proyecto. Para efectos prácticos se considerará que dos o más rutas con valores muy próximos en duración se considerarán críticas (todas). Ya que varían en duración y se puede dar el caso de que una ruta que se consideraba crítica en un inicio, al llevar el proyecto a la práctica, no sea la ruta con mayor duración. Lo que se debe hacer es considerar a todas las rutas, que estén muy próximas a la duración de la ruta con mayor duración, como críticas. Pero existe otro detalle; la duración puede ser la misma µ T = para todas las rutas consideradas , o considerarse igual, pero la varianza de cada ruta, crítica o considerada crítica, es difícil que sea la misma. El valor de la µ será igual a la duración de la ruta con mayor duración, ¿pero qué varianza se tomará para realizar los cálculos?, considérese el siguiente ejemplo:
Duración Act.
Req.
to
tm
tp
Sec.
µ σ 2
A B C D E F G H
A A C B, D E, F E
5 5 6 4 5 4 4 5
6 12 8 10 6 7 7 8
7 13 10 10 13 10 10 11
C, D F E F G, H G -
6 11 8 9 7 7 7 8
0.111 1.778 0.444 1 1.778 1 1 1
este proyecto arroja las siguientes rutas: #
Ruta
µ
1 2 3 4
ACEH ACEG ADFG BFG
29 28 29 25
σ
2
3.333 3.333 3.111 3.778
Tabla 4-2 Dos rutas críticas en PERT
nos damos cuenta que existen dos rutas criticas, sin embargo cada una de ellas tiene una varianza diferente. Para realizar cálculos se debe considerar la varianza mayor dentro de esas rutas críticas, ya que será esa varianza la que puede hacer que el proyecto tenga una mayor duración. Entonces, para este proyecto consideraremos:
( µ ,σ ) = ( 29,3.333) 2
4.4.
Problemas y ejercicios
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