PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU TRAYEKTORI PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE N DENGAN OPERATOR D TRANSFORMASI LAPLACE
Adapted dari Kalkulus Diferensial. pdf
Kalkulus Diferensial Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. te rsebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut. Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Persamaan diferential Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi
dengan turunan-turunannya.
Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial
yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri.
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang
menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri.
Persamaan diferential Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunan-turunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri.
Persamaan diferensial parsial Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:
Teorema nilai purata Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai dari fungsi asal. Jika f ( x ) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah bilangan dengan a < b, maka teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan antara dua titik ( a, f (a)) dan (b, f (b)) adalah sama dengan kemiringan garis singgung f di titik c di antara a and b. Dengan kata lain:
Teorema nilai purata Dalam prakteknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap turunannya. Sebagai contoh, misalkan f memiliki turunan yang sama dengan nol di setiap titik, maka fungsi tersebut haruslah horizontal. Teorema nilai purata membuktikan bahwa hal ini haruslah benar, bahwa kemiringan antara dua titik di grafik f haruslah sama dengan kemiringan salah satu garis singgung di f . Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garis sembarang antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki kemiringan yang bernilai nol. Namun hal ini juga mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak naik maupun turun.
CONTOH-CONTOH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA BERORDE 1, 2, 3
+2 sin = 0
+ 3 2 = 0 + = 0
1. Persamaan Linear Orde Pertama
Suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui kita sebut persamaan diferensial. Khususnya, suatu persamaan berbentuk: (Varberg, Purcell)
,, , … . . , = 0 Dengan menyatakan turunan terhadap yang ke- , disebut persamaan diferensial biasa berorde n.
Persamaan Linear Orde Pertama yang Umum
Persamaan-persamaan yang sering kita pandang dapat dibuat dalam bentuk +
= ()
Pada prinsipnya, suatu persamaan jenis ini selalu dapat diselesaikan. Pertama-tama kita mengalikan kedua ruas dengan faktor integral
Yang menghasilkan
+ =
()
Persamaan Linear Orde Pertama yang Umum
Persamaan yang digunakan adalah +
= ()
Pada prinsipnya, suatu persamaan jenis ini selalu dapat diselesaikan. Pertama-tama kita mengalikan kedua ruas dengan faktor integral
Yang menghasilkan
+ =
()
Pengerjaan Pers. Diferensial
Cara Pengerjaan.
Tentukan faktor Integral nya terlebih dahulu dari persamaan diferensial tsb. Kemudian kedua ruas persamaan dikalikan dengan faktor integral tsb. Ruas kiri yaitu + dikenal sebagai turunan dari = ,
sehingga persamaan mengambil bentuk
Lanjutan cara pengerjaan
= Q(x)
Pengintegralan kedua ruas menghasilkan
= Q(x)
sehingga
= − Q(x)
Telaah Ulang Konsep 1.
Persamaan diferensial linier orde pertama yang umum mempunyai bentuk + = . Faktor integral untuk persamaan ini adalah ______
2. Dengan mengalikan kedua ruas persamaan diferensial orde pertama dalam Pertanyaan 1 dengan faktor integral membuat ruas kiri
Telaah Ulang Konsep (2)
Faktor Integral untuk
adalah (1 ) =
− = = ; =1
Untuk mendapatkan faktor integral Gunakan tabel formula atau rumus integral diadaptasi di buku Kalkulus Edisi ke 2 Purcell. Dapat dipelajari juga pada bab Integral Tak Wajar pada materi matematika 2. Rumusan Integral yang digunakan dalam pengerjaan tugas yaitu rumus no 63.
Tambahan Penjelasan Integral Lipat
Dalam pengerjaan atau perhitungan Luas daerah ataupun luas permukaan, volume, diperlukan sketsa grafik persamaan. Penjelasan selengkapnya tentang menggambarkan grafik suatu persamaan dibahas di Matematika 1. Pada slide berikut terdapat sedikit redaksional penjelasannya.
Prosedur tiga langkah (penggambaran grafik) Langkah 1 : Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan Langkah 2 : Plotlah titik-titik tersebut pada bidang Langkah 3 : Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus. Contoh 1. pp 25. Gambarkan grafik persamaan
= 3
Penyelesaian : 1. Buatlah tabel nilai 2. Plot titik – titik tersebut 3. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva mulus
PERSAMAAN HOMOGEN ORDE KEDUA Matematika 3 Universitas Balikpapan
Definisi 18
Suatu persamaan diferensial linear orde kedua mempunyai ′′ + ′ + = () bentuk Dalam sub bab ini, kita membuat dua anggapan dan adalah konstanta 1. () secara identik adalah nol (kasus homogen) 2. Jadi tugas kita menyelesaikan
" + ′ + = 0 Dalam kenyataannya, suatu persamaan linier homogen orde kedua selalu mempunyai dua penyelesaian mendasar () dan () yang saling bebas satu sama lain (yakni fungsi yang satu bukan kelipatan fungsi yang lain) By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
Persamaan Bantu 19
Dari kelinieran operator
+ +
( ) = + + = 0 + + = ( ) + D( ) + = + + = ( + + )
Persamaan Bantu 1.
Ekspresi yang terakhir adalah nol, asalkan 2. + + = 0, persamaan 2 adalah persamaan bantu (persamaan kuadrat biasa yang bisa diselesaikan dengan pemfaktoran atau jika perlu dengan rumus kuadrat) By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
Diadaptasi dari Kalkulus Jilid 2 pp 612, Penyelesaian dari persamaan diferensial dengan menggunakan persamaan bantu. 20
By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
Penyelesaian dari persamaan diferensial dengan menggunakan persamaan bantu diselesaikan dengan Rumus Kuadrat 21
By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
Tugas tambahan 22
By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
23
By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
Pengerjaan lanjutan di no. 4 24
By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
25
By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
Contoh soal pengerjaan jika persamaan bantu menpunyai akar-akar kompleks Pp 614 Kalkulus. Jilid 2 26
By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
Persamaan Orde Lebih Tinggi 27
Melihat contoh 5
4 Selesaikan 4 20
By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
Persamaan Linier Tak Homogen Umum Dengan Koefisien Konstan 28
Persamaan dasarnya :
+
−
+ ⋯ . + − ′ + =
Persamaan ini dapat direduksi menjadi 3 langkah 1. Tentukan penyelesaian umum ℎ = + +……+ 2. Tentukan suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen tersebut 3. Tambahkan penyelesaian 2 dari langkah 1 dan 2
By Martheana Kencanawati, M.T
11/12/2015
