Bab II. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
Pendahuluan Persamaan
diferensial merupakan persamaan yang di dalamnya terdapat turunan atau diferensial suatu fungsi
Persamaan
diferensial dapat didefinisikan sebagai persamaan yang di dalamnya terdapat hubungan antara suatu variabel tidak bebas dengan satu atau lebih variabel bebas beserta turunan-turunannya
Jika
hanya ada satu variabel bebas maka persamaannya disebut persamaan diferensial biasa, contoh: d y dy 2
dx
2
4
dx
4y
0
2.1
Jika
ada lebih dari satu variabel bebas, maka persamaannya disebut persamaan diferensial 2 2 2 T T T T parsial, contoh: Cp k ( 2 2 2 )
x
y
z
2.2
yang melibatkan turunan turu nan parsial dari fungsi fung si T dengan variabel bebas x, y, z, dan θ .
Persamaan
diferensial dapat dibedakan:
Berdasarkan
ordenya yaitu: persamaan diferensial orde satu atau persamaan diferensial berorde tinggi (lebih besar dari satu). Berdasarkan kelinierannya yaitu: persamaan diferensial linier dan tidak linier. Secara
umum, bentuk persamaan diferensial linier orde n : d y d y dy a ( x) a ( x) ... a ( x) a ( x) y f x dx dx dx 2.3 di mana , , ,...., , adalah koefisien dari persamaan diferensial diferensial yang merupakan fungsi dari x dan a0 0 . n 1
n
n
n
a
n
a
n
1
n 1
a
n
n 1
2
a
1
a
0
1
0
Jika
n = 1, didapat persamaan diferensial linier orde satu dan ditulis: dy dx
Metoda
( x) y
f ( x)
2.4
penyelesaian persamaan diferensial biasa orde satu tergantung pada bentuk persamaan itu sendiri.
2.1 Pemisahan Variabel Persamaan
diferensial orde satu secara umum dinyatakan dengan dy f x y 2.5 dx
,
Variabel-variabel
dapat dipisahkan satu sama lain sehingga persamaan 2.5 dapat ditulis menjadi: dy f x dx
g y
g y dy
f x dx
2.6
Integrasi
dari kedua ruas persamaan di atas menghasilkan: g ydy f xdx c 2.7 dengan c adalah suatu konstanta.
Contoh 2.1 Selesaikan
persamaan diferensial dy
2
x 2
dx
0
y
2.8
Penyelesaian.
Variabel sejenis dipisahkan dan diintegrasikan:
ydy
1 2
y
2 x
2
2
3
2
dx c
3
x
c
2.9 2.10
2.2 Persamaan Diferensial Orde Satu Linier Persamaan
diferensial orde satu linier mempunyai bentuk dy dx
Asumsi
d
dx y
2.11
( x) y f ( x)
I x y 1
f x
I x
2.12 c
I x f x dx I x I x
2.13
Pembuktian pendefinisian fungsi adalah dengan cara menulis ulang persamaan 2.9 dalam bentuk yang sama dengan persamaan 2.8. dy dx
di mana
x
I
x
1
d I x
1
I x
dx
y
f x
d I x dx
, dan integrasinya menghasilkan
exp x dx
I x
I
x
2.14
disebut sebagai faktor integrasi.
2.15
Con to h 2.2
Selesaikan persamaan diferensial dy
2
y
dx
x
2.16
x
Penyelesaian. Faktor integrasi I
2 exp dx exp 2 ln x x 2 x
2.17
Dari persamaan 2.13 diperoleh penyelesaian:
x
2
ln x
y x y x
1
2
2 xdx cx 2
cx
2.18
2
2.19
Conto h 2.3 Laju
dari reaksi seri berikut: dn a dt
dnb dt
k 1
, mengikuti persamaan
A B C
k 1 n a
k 1 n a
2.20 2.21
k 2 nb k 1
Neraca massa: na0
k 2
nb0
k 2
A B C
nc0
na
nb
nc
2.22 Dengan pemisahan variabel, penyelesaian dari reaksi n (2.20) dapat ditulis t dna 2.23 n k 1 dt
a
na 0
na
a
0
na 0 e
k 1t
2.24
Substitusi ke dalam persamaan reaksi (2.21) menghasilkan persamaan diferensial linier orde satu: dnb dt
k 2nb
k 1na 0e
k t
1
2.25 expk 2nb ,
Dengan faktor integrasi penyelesaian: nb
nb0 e
k 2 t
k 1na 0 k 2
e
k 1
k 1t
e
k 2 t
diperoleh
2.26
Persamaan untuk dapat ditulis: nc
nc
na0
na0
nb 0
nb 0
nc 0
nc 0
na0 e
na
k 1t
nb
nb 0 e
2.27 k 2 t
k 1 n a 0 k 2
k 1
e
k 1t
e
k 2t
2.28
2.3. Persamaan Diferensial Orde Satu Eksak Suatu
persamaan diferensial orde satu M(x,y)dx N(x,y)dy
0
2.29 dikatakan eksak jika ruas kiri dari persamaan tersebut merupakan diferensial total atau diferensial eksak dari suatu fungsi( x, y ) , di mana d ( x, y) 0. d dx dy 0 x y
2.30
Persamaan
eksak memiliki jawaban jika 2.31
x y y x
Untuk M ( x, y )
;
x
N ( x, y )
2.32
y
maka N x
M y
2.33
Conto h 2.4 Selesaikan
persamaan
( 2 xy 2 2)dx (2 x 2 y 4 y )dy
0
2.34
Penyelesaian. Persamaan ini eksak karena 2 xy 2 2 M ( x, y); M y
2 x 2 y 4 y N ( x, y) N
4 xy
x
N x
M y
4 xy
2.35 2.36 2.37
Sesuai
dengan persamaan 2.32
M x, y 2 xy 2 2 x
2.38
Hasil integrasinya adalah: x
2
y
2
2 x
2.39
f y
Kemudian diturunkan terhadap y y
2 x
2
y
df dy
N x, y
2.40
maka: 2 x 2 y df dy
df dy
2 x 2 y 4 y
2.41 2.42
4 y
2.43
2
f y 2 y c2
Jadi 2
x y
Karena 2
2 x 2 y
d ( x, y ) 0,
x y 2
2
2
y x
2 x 2 y 2
2
y
2
k 2 x 2
2.44
c2
maka
c1 c 2 k
k 2 x
x 2
2
c1
, sehingga 2.45 2.46 2.47
2.4 Persamaan Diferensial Orde Satu Homogen Suatu fungsi f x y dinyatakan homogen dengan derajat n jika untuk setiap parameter berlaku ,
Contoh:
f x y ,
n f
x y
f ( x, y) x 2
f
2
2.48
,
2
xy
x, y x 2 x y
f
x, y 2 x 2 2 xy 2
f x, y f x, y
2.49 2.50 2.51
Untuk
persamaan orde satu P x, y dx Q x, y dy
0
2.52
adalah homogen jika P dan Q homogen untuk derajat n yang sama, sehingga persamaan diferensial orde satu homogen dapat ditulis menjadi y f dx x
dy
2.53
Penyelesaian persamaan diferensial homogen dilakukan dengan memisalkan . y
x
v x
2.54
Conto h 2.5 Selesaikan y 2
persamaan tidak linier
x 2
dy dx
xy
dy dx
2.54
Penyelesaian.
Persamaan di atas dapat disusun ulang menjadi persamaan homogen y 2
x y dx xy x 1 x
dy
y
2
2
Misalkan
y
x
, maka
v x
dy dx
2.55 x
dv dx
v
2.56
Akibatnya
diperoleh persamaan dalam fungsi v x dv v 2.57 v x 2
v 1
dx
x
dv dx
v
v 1
2.58
Dengan pemisahan variabel diperoleh v
1
dv
v
dx
2.59
x
Integrasinya menghasilkan v ln v ln x ln K v
ln Kxv
di mana adalah K adalah konstanta integrasi.
2.60 2.61
Hasil akhir diperoleh dalam bentuk y exp expv x Kx v y x
Persamaan ini merupakan fungsi implisit antara y dan x dengan tipe tidak linier.
2.62
Conto h 2.6
Cairan benzen diklorinasi dengan cara mengalirkan gas klorin ke dalam reaktor yang sebelumnya sudah diisi benzena. Seluruh klorin dianggap bereaksi sempurna dan gas keluaran hanya terdiri dari hidrogen klorida. Tentukan berapa banyak klorin yang harus ditambahkan untuk memperoleh monoklorobenzena secara.maksimum. Reaksi berlangsung secara isotermal pada 550C dan diketahui rasio konstanta reaksi
k 1 k 2
8,0
k 2 k 3
30,0
2.63
Mekanisme
C6H 6
reaksi adalah sebagai berikut k 1
Cl 2 C 6 H 5 Cl HCl k 2
C 6 H 5 Cl Cl 2 C 6 H 4 Cl 2 C 6 H 4 Cl 2
k 3
Cl 2 C 6 H 3Cl 3
(1)
HCl
HCl
(2) (3)
Penyelesaian
Ambil basis 1 mol umpan benzena dan tentukan variabel-variabel berikut pada waktu . p = Jumlah mol klorin q = jumlah mol benzena r = jumlah mol monoklorobenzena s = jumlah mol diklorobenzena t = jumlah mol triklorobenzena di mana 2.64 q + r + s + t =1 Jumlah klorin yang dikonsumsi adalah y
r 2 s 3t
2.65
Anggap volume reaksi konstan sehingga laju reaksi (1) memenuhi persamaan R1 k 1 pq dan akumulasi benzena adalah V dq d . Maka neraca massa untuk keempat senyawa aromatik dapat ditentukan sebagai berikut.
0
k 1 pq
V
dq d
k 1 pq k 2 pr V
k 2 pr k 3 ps
k 3 ps V
dt
V
dr d
2.66 2.67
ds d
2.68
d
2.69
Variabel
dapat dieliminasi dengan membagi persamaan 2.67 dengan persamaan 2.66 yang menghasilkan persamaan diferensial homogen orde satu. k 2 r
dr dq
Misalkanr
k 1q
vq,
1
r
8q
2.70
8q
maka dr v q dv dq
dq
2.71
Substitusi
persamaan 2.71 ke dalam persamaan 2.70 dan integrasinya menghasilkan 8 ln q ln K ln 7v 8 2.72 7
7r q K 8 q
8
7
2.73
di mana adalah konstanta integrasi. Pada , dan r 0 , diperoleh Maka K 88 7
0,
q
8 r
7
q
18
q
2.74
1
Dengan
cara yang sama, bagi persamaan 2.68 dengan persamaan 2.66 menjadi ds dq
s 240q
2.75
r 8q
Eliminasi r dengan menggunakan persamaan 2.74 menghasilkan persamaan diferensial orde satu yang dapat diselesaikan dengan metoda faktor integrasi sehingga diperoleh 240 s
7 x 29 x 239
29q
239q
18
1 240
210q
2.76
Dari
persamaan – persamaan di atas sebarang nilai q akan memenuhi untuk menentukan nilai r , s, dan t . Dengan demikian jumlah gas klorin yang dikonsumsi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan 2.65, dan untuk memperoleh produksi maksimum monoklorobenzen dibutuhkan 1 mol klorin per mol benzena yang ditambahkan .
2.5. Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli adalah suatu persamaan diferensial tak linier dengan bentuk: dy dx
P( x) y
n
Q( x) y ;
n
1
2.77
dapat diselesaikan dengan cara mengubahnya ke dalam bentuk persamaan linier.
Persamaan
2.77 dapat ditulis dalam bentuk:
dy y n dx
Misalkan
v
1 P( x) y n
Q x
2.78
dy
2.79
1 n
y
dv
, maka
dv dy
atau
dx
dy dx
dy dx
1 1 n
1
y
n y
n
dx
n dv
2.80
dx
Persamaan 2.77 dapat ditulis ulang menjadi 1
dv
1 n
dx
2.81 Persamaan ini merupakan persamaan diferensial orde satu linier dan dapat diselesaikan dengan faktor integrasi.
P x v
Q x
2.6. Persamaan Riccati
Persamaan Ricatti adalah persamaan tidak linier dengan bentuk: dy dx
P ( x) y 2
Q( x) y R x
2.82
P x
Bentuk yang sering dijumpai adalah jika dy dx
Misalkan
y
y 2 Q( x) y R x 1
2.83
du
u dx
, maka
du 2 2 dx u dx u dx
dy
1
d 2u
1
2
2.84
1
Substitusi
persamaan 2.84 ke dalam persamaan 2.83 menghasilkan: 1
2
d u
1
du
2
1
du
2
1
du
R x Q x u dx u dx u dx u dx u 2
2
2
d u dx
2
Q x
du dx
R x u
0
2.85
2.86
Persamaan 2.86 merupakan persamaan diferensial orde dua linier dengan koefisien tidak konstan dan dapat diselesaikan dengan metode Frobenius.
Contoh 2.7 Pada
reaktor batch dengan volume konstan terjadi reaksi: A
B
C
dengan konstanta laju reaksi adalah k 1 dan k . 2 Pada keadaan awal: C A
C A0
;
C B
C C
0
Sedangkan laju reaksi (R) adalah : R A
k 1C A
n
R B
k 1C A
n
k 2C B
m
Ada
beberapa kasus yang biasa ditemukan:
n=1 m=2 n=2 m=1 n=1 m=1 Penurunan untuk kasus a R A
dC A
R B
dt
dC B dt
k 1C A
2.87 k 1C A k 2C B 2
2.88
Penyelesaian untuk C A C A C A0 exp k 1t
adalah
Persamaan laju reaksi untukC B menjadi dC B
dt
Misalkan
k 1C A0
2.89 dapat ditulis
exp k 1t k 2 C B
k 2t t
2
2.90
k 2
, maka
k 1 k 1 C A0 exp k 2 C B 2 k 2 d k 2 k 2 dC B
dC B d
k 1 k 2
k 1 2 C A0 exp C B k 2
2.91 2.92
dC B d
dC B d
Misalkan 2
C B
k 1
2
C B
C B
1
2
R
R k 2 k 1
2.93 2.94
du
, maka diperoleh
u d
k 1 C A0 exp 1 k 2 k d 2 2 d u
k
k 2
C A0 exp
0
u
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial biasa orde dua linier yang bisa diselesaikan.
2.95
2.7 Persamaan Orde Satu Pangkat Dua Suatu
persamaan tidak linier dy
2
dy
2 y x 1 dx dx
2.96
merupakan persamaan tidak linier orde satu pangkat dua. Penyelesaian persamaan 2.96 dapat dijabarkan: Misalkan p
p dy dx
dy dx
, maka diperoleh:
1
x y
2.97
Misalkanu x du dy
dx
1
dx
y
, maka: du
atau
dx
u
2.98
Integrasinya menghasilkan: 2
u
x c
Dengan mensubstitusi u
2.99 x
4 y 4 x c x
2
y
, diperoleh: 2.100
Persamaan ini merupakan bentuk implisit yang biasa ditemukan dalam persamaan tidak linier.
