TUGAS METEMETIKA TEKNIK II :
PENERAPAN DIFERENSIAL ORDE SATU DAN ORDE DUA DALAM KEHIDUPAN SEHARI HARI DOSEN : DR. IR. MAHMUD ACHMAD, MP
Tugas MATEMATIKA TEKNIK II
1
NAMA
: HASLINDA GAFFAR
NIM
: G41114303
PRODI
: KETEKNIKAN PERTANIAN
PENERAPAN DIFERENSIAL ORDE SATU DAN ORDE DUA DALAM KEHIDUPAN SEHARI HARI A. Pengertian Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial adalah persamaan yang didalamnya terdapat suku – suku diferensial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberpa variabel bebas, dengan turunan – turunannya melalui variabel – variabel yang di maksud. PD digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi – fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain. Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari fungsi yang tidak diketahui nilai dari satu atau beberapa variabel yang saling Tugas MATEMATIKA TEKNIK II
2
berhubungan, nilai-nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari berbagai operasi matematika. Persamaan diferensial memainkan peran penting dalam aplikasi matematika pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya. Persamaan diferensial kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya setiap kali terdapat hubungan deterministik yang melibatkan beberapa elemen yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika dengan menggunakan fungsi) dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut dalam ruang dan / atau waktu (dinyatakan sebagai turunan) . B. APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU DAN ORDE DUA Dalam penerapanya Persamaan Diferensial ini dalam matematika adalah pencarian nilai fungsi turunan untuk memudahkan perhitungan, sedangkan untuk penerapan lain ilmu yang dipengaruhi oleh Persamaan diferensial ini adalah Ilmu Fisika misal dalam hukum newton, Percepatan dan Kecepatan, Perhitungan Radio Nuklir dan masih banyak lagi. 1) Penerapan Persamaan Diferensial dalam Ilmu Fisika ( Hukum Newton) Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan masalah fisika dalam bentuk persamaan diferensial, termasuk dalam pembahasan Hukum Newton, untuk menentukan percepatan dan kecepatan, dan waktu dari benda jatuh bebas dsb. Contoh : a. Tentukan bentuk persamaan gerak dari sebuah benda bila kepadanya dikerjakan gaya F yang tetap dalam arah sumbu x. Jawab: H. Newton II F = m.a dx v dv dt dx 2 a = percepatan a= = = = 2 t dt dt dt maka,
F=m.
dx 2 F dt 2=m dx2 2 dt
Tugas MATEMATIKA TEKNIK II
3
b. Tentukan posisi sebagai fungsi waktu dari sebuah benda jatuh bebas. Diketahui percepatan pada gerak jatuh bebas sama dengan percepatan gravitasi bumi g. Jawab: a=g d2Y d dy =g =g 2 dt dt dt
( )
dy d dy =g . =g . t dt dt dt dy = g.t.dt
1
∫ dy =∫ ¿+Cdt y= 2 g t2 +Ct Hukum fisika gerak jatuh bebas
Tugas MATEMATIKA TEKNIK II
1 y= g t 2 2
4
2) Aplikasi Persamaan Diferensial
pada Persamaan Bernoulli
Adalah pengembangan dari Persamaan Diferensial Biasa Linier . Persamaan Diferensial
Biasa Bernoulliini ruas kirinya samadengan ruas kiri PDB Linier danruas kanannya n
adalah ruas kanan PDB Linier yang dikalikan dengan y , jadi bentuk PDB Bernoulli : dy n + P ( x ) y=Q ( x ) y dx dari rumus diatas ini bukan PDB Linier orde satu, tapi dapat diubah menjadi persamaan linier orde satu dengan melakukan substitusi ∶ Z= y
1−n
dz 1−n−1 =( 1−n ) . y dy ¿ ( 1−n ) y−n −n
dz=( 1−n ) y dy
∴
dy + P ( x ) y=Q ( x ) y n dikali ( 1−n ) y−n dy dx
( 1−n ) y −n dy + ( 1−n ) y 1−n P ( x ) dx=( 1−n ) Q ( x ) dx
atau
dz + ( 1−n ) Z P ( x ) dx= (1−n ) Q ( x ) dx 3) Persamaan Diferensial dalam Rangkaian Listrik Hukum Ampere menyatakan bahwa medan magnet dapat ditimbulkan melalui dua cara, yaitu lewat arus listrik ( perumusan awal hukum Ampere ), dan dengan
mengubah medan listrik ( tambahan Maxwell ). Koreksi Maxwell terhadap hukum Ampere cukup penting. Dengan demikian, hukum ini menyatakan bahwa perubahan medan listrik dapat menimbulkan medan magnet, dan sebaliknya. Dengan demikian, meskipun tidak ada muatan listrik atau arus listrik, masih dimungkinkan buat memiliki gelombang osilasi medan magnet dan medan listrik yang stabil dan dapat menjalar terus
menerus. Persamaan Maxwell
mendeskripsikan gelombang ini secara kuantitatif, dan lebih lanjut lagi meramalkan bahwa gelombang ini mestilah memiliki laju tertentu yang universal. Laju ini dapat dihitung cukup dari dua konstanta fisika yang dapat diukur ( konstanta elektrik dan konstanta magnetik ).
4) Aplikasi Persamaan Diferensial dalam Kecepatan Penurunan Temperatur Seperti yang kita bisa duga, turunnya temperature atau suhu pada makanan tidak linear. Misalnya Kecepatan penurunan suhu/temperature pada ayam bakar yang nya tergantung selisih suhu ayam dengan suhu ruang. Makin tinggi selisihnya, makin cepat laju penurunannya. Oleh karena itu pada awalnya suhu ayam turun begitu cepat dari 200 derajat menuju 140 derajat hanya dalam 10 menit. Tetapi, makin mendekati suhu ruang, maka selisih suhunya menjadi lebih kecil dan laju penurunannya makin berkurang. Dalam matematika hal ini bisa dituliskan dalam persamaan differential sbb:
5) Aplikasi Diferensial dalam Peluruhan Untuk menentukan kereaktifan suatu zat. Seperti pada pembahasan berikut
6) Aplikasi Diferensial dalam Perkiraan Pertumbuhan Populasi
Jadi solusi Khususnya adalah
