Persamaan DIferensial dan AplikasiDeskripsi lengkap
Power point slides ITB teknik kimiaDeskripsi lengkap
Salah satu materi Perkuliahan Matematika III di Iniversitas Balikpapan yang membahas tentang langkah langkah penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu dan Dua.Full description
Persamaan Diferensial merupakan materi matakuliah matematikaFull description
rumus persamaan integralFull description
Persamaan Diferensial ParsialDeskripsi lengkap
hh
Persamaan Diferensial ParsialFull description
modul
Deskripsi lengkap
Silabus persamaan diferensialFull description
Pemodelan dengan Persamaan Diferensial Orde Satu Model Linear Model Nonlinear
Model Linear & Nonlinear Model Linear Pertumbuhan populasi Peluruhan zat radioaktif Hukum Newton tentang pendinginan/pemanasan Penyebaran penyakit Pencampuran cairan dalam tangki Rangkaian listrik • • • • • •
Model Nonlinear Dinamika populasi Persamaan logistik • •
1
Rangkaian Listrik
Persamaan diferensial linear untuk arus i (t ) pada rangkaian RL adalah
L
Rangkaian seri RL
di dt
Ri E (t )
dengan L dan R konstanta yaitu induktansi dan resistensi. Arus i (t ) disebut juga respon dari sistem.
2
Rangkaian Listrik
Persamaan diferensial linear untuk arus i (t ) pada rangkaian RC adalah
Ri
1 C
q E (t )
dengan C adalah kapasistansi dan q adalah muatan pada kapasitor. Rangkaian seri RC
Karena i = dq/dt maka
R
dq dt
1 C
q E (t ) 3
Rangkaian Listrik Contoh: Sebuah baterai 12 volt dihubungkan ke suatu rangkaian seri yang dengan induktansi ½ henry dan resistensi 10 ohm. Tentukan arus i(t) jika arus awal adalah nol.
Jawab: Persamaan diferensial:
1 di 2 dt
10i 12
dengan i(0) = 0. Masing-masing ruas dibagi dengan ½ diperoleh
di dt
20i 24 4
Faktor integral:
20dt e e20t
Maka kita peroleh
d
e20t i 24e20t dt Setelah diintegralkan didapat
i (t )
6 5
ce20t
Karena i(0) = 0 maka diperoleh c = -6/5 sehingga respon dari sistem adalah
i(t )
6 5
6
e20t 5
5
Rangkaian Listrik L
Persamaan diferensial:
di dt
Ri E (t )
mempunyai solusi umum:
i (t )
e ( R / L )t L
e
( R / L ) t
E (t ) dt ce
( R / L ) t
Jika E(t) = E0 adalah konstan maka
i (t )
E 0 R
ce ( R / L )t
Ketika t ∞ maka suku kedua menuju nol. Suku kedua ini disebut Sebagai suku transien atau arus transien. Sedangkan suku E0/R disebut sebagai suku steady-state atau arus steady-state. 6
Latihan 1. Sebuah electromotive force (emf)
120, 0 t 20 E (t ) t 20 0, digunakan pada rangkaian seri RL dengan induktansi 20 henry dan resistensi 2 ohm. Tentukan arus i (t ) jika i (0) = 0. 2. Persamaan diferensial untuk rangkaian RL adalah
L
di dt
Ri E (t ).
Selesaikan persamaan diferensial tersebut jika E (t ) E 0 sin ωt , dengan i (0) = i 0. 7
Jaringan Listrik Suatu jaringan listrik yang mempunyai lebih dari satu buah loop memberikan beberapa persamaan diferensial yang simultan. Perhatikan gambar di bawah ini, arus i 1(t) bercabang dititik B1. Berdasarkan hukum Kirchhoff I:
i1 (t ) i2 (t ) i3 (t ) Kita juga bisa menerapkan hukum Kirchhoff II untuk masing-masing loop.
8
Jaringan Listrik
Untuk loop A1B1B2A2A1:
E (t ) i1R1 L1
di2 dt
i2 R2
Untuk loop A1B1C1C2B2A2A1:
E (t ) i1 R1 L2
di3 dt
9
Jaringan Listrik Kemudian gunakan i1 = i2 + i3 untuk mengeliminasi arus i1. Jadi, kita peroleh persamaan diferensial dalam i 2 dan i3.
L1 L2
di2 dt di3 dt
( R1 R2 )i2 R1i3 E (t )
R2i2 R1i3 E (t )
10
Latihan Tentukan sistem persamaan diferensial orde satu yang menggambarkan arus i 2(t) dan i 3(t) dalam jaringan listrik yang ditunjukkan dalam gambar berikut ini.
11
Pertumbuhan dan Peluruhan Persamaan diferensial yang merepresentasikan pertumbuhan dan peluruhan adalah
dx dt
kx,
x(t0 ) x0
- Dalam aplikasi biologi laju pertumbuhan suatu populasi (bakteri, sekelompok hewan) dalam periode pendek adalah sebanding dengan jumlah populasi pada saat t . - Dalam aplikasi fisika dan kimia dapat dilihat sebagai bentuk dari reaksi orde satu, yaitu reaksi dengan laju atau kecepatan dx/dt sebanding dengan jumlah zat yang tersisa pada saat t. 12
Pertumbuhan Bakteri Suatu populasi bakteri pada awalnya berjumlah P0. Pada saat t = 1 jam jumlah populasi bakteri adalah (3/2)P0. Jika laju pertumbuhan sebanding dengan jumlah populasi bakteri P(t) pada saat t, tentukan waktu yang dibutuhkan ketika populasi bakteri menjadi tiga kali lipatnya. Jawab:
13
Waktu Paruh Dalam fisika, waktu paruh mengukur kestabilan zat radioaktif. Waktu paruh adalah waktu yang dibutuhkan oleh setengah dari atom-atom dengan jumah awal A0 untuk meluruh kedalam atomatom jenis lain. Contoh: Suatu reaktor mengubah uranium 238 yang relatif stabil menjadi isotop plutonium 239. Setelah 15 tahun dapat ditentukan bahwa 0.043% dari plutonium dengan jumlah awal A0 telah meluruh. Tentukan waktu paruh isotop jika laju peluruhan sebanding dengan jumah sisa zat.
14
Pendinginan/Pemanasan Hukum Newton tentang pendinginan/pemanasan: Laju perubahan temperatur T(t) dari suatu benda sebanding dengan perbedaan antara temperatur benda T dan temperatur sekitar A, ditulis
dT dt
k ( A T )
dengan k adalah konstanta positif. Contoh: Ketika sebuah kue dikeluarkan dari oven temperaturnya adalah 300 oF. Tiga menit kemudian temperaturnya adalah 200 oF. Berapa lama kue tersebut mendingin menjadi suhu ruang yaitu 70 oF. 15
Pencampuran Laju suatu zat dalam tangki adalah
dx dt
rc i i ro co
dengan x adalah massa zat, ri dan ro adalah laju larutan yang masuk dan keluar, ci dan co adalah konsentrasi larutan yg masuk dan keluar. Contoh: Sebuah tangki berisi 200 liter air dimana 30 gram garam terlarut di dalamnya. Air asin yang mengandung garam 1 gram/liter dipompa masuk ke dalam tangki dengan laju 4 liter/menit. Larutan yang teraduk dengan baik dipompa keluar dengan laju yang sama. Tentukan banyaknya garam dalam tangki pada saat t. 16
Latihan 1. Populasi suatu kota tumbuh pada laju yang sebanding jumlah populasi sekarang saat t. Pada awalnya populasi berjumlah 500 orang dan meningkat 15% setelah 10 tahun. Berapa banyak populasi setelah 30 tahun? Seberapa cepat pertumbuhan populasi pada saat t = 30? 2. Suatu isotop radioaktif timah, Pb-209, meluruh pada laju yang sebanding dengan jumlah zat pada saat t dan mempunyai waktu paruh 3.3 jam. Jika pada awalnya isotop ini adalah 1 gram, tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan agar 90 % dari timah meluruh?
17
Latihan 3. Sebuah termoter diambil dalam ruangan kemudian dibawa keluar ruangan dimana temperaturnya adalah 5 oF. Setelah satu menit, termometer menunjukkan angka 55 oF dan setelah 5 menit menunjukkan angka 30 oF. Berapakah temperatur awal di dalam ruangan? 4. Sebuah tangki diisi 500 galon air murni. Air asin yang mengandung 2 pon garam per galon dipompa masuk ke dalam tangki dengan laju 5 galon per menit. Larutan yang teraduk dengan baik dipompa keluar dengan laju yang sama. Tentukan banyaknya garam dalam tangki pada saat t.
