Fisika Matematika II BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA A. Defenisi Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas. Persamaan diferensial ini dibagi menjadi dua yaitu, Persamaan Diferensial Biasa/PDB (Ordinary Differential Equation) dan Persamaan diferensial Parsial/PDP (Partial Differential Equation). PDB adalah persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Jika y(x) adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas. Persamaan Diferensial Parsial (disingkat PDP) adalah suatu persamaan diferensial yang mempunyai dua atau lebih variabel bebas. Orde persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut. Pada bagian ini, kita akan membahas persamaan diferensial orde satu dan orde dua. B. Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 1. Persamaan Diferensial Ruas Kanan = nol Dalam menyelesaikan persamaan diferensial dengan ruas kanan sama dengan nol dilakukan dengan teknik separasi variabel. Untuk memahami teknik separasi variabel ini, mari kita lihat contoh berikut. Diberikan persamaan diferensial tingkat satu seperti pada contoh berikut Contoh 4.1 Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan menggunakan teknik separasi variabel 𝑑𝑦 𝑥 2 𝑦 2 + 3 + =0 𝑑𝑥 𝑦(𝑥 3 + 1) Solusi: 𝑑𝑦 𝑥2 𝑦2 + 3 =− 𝑑𝑥 𝑦(𝑥 3 + 1) 𝑦 𝑥 3 + 1 𝑑𝑦 = −𝑥 2 𝑦 2 + 3 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑥 2 𝑑𝑥 =− 3 (𝑦 2 + 3) (𝑥 + 1)
Aryadi Nurfalaq, S.Si., MT
Fisika Matematika II 𝑦 𝑑𝑦 𝑥 2 𝑑𝑥 + 3 =0 (𝑦 2 + 3) 𝑥 +1 𝑦 𝑑𝑦 + (𝑦 2 + 3)
𝑥 2 𝑑𝑥 =0 𝑥3 + 1
ln(𝑦 2 + 3) ln(𝑥 3 + 1) + =𝐶 2 3 2. Persamaan Diferensial Eksak Misalkan suatu fungsi P(x,y) dan Q(x,y) dalam persamaan P(x,y) dx + Q(x,y) dy
...(4.1)
adalah diferensial eksak pada suatu fungsi diferensial F(x,y) jika 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥
… (4.2)
Jika persamaan di atas dipenuhi, maka persamaan (4.1) dapat ditulis P(x,y) dx + Q(x,y) dy = F(x,y) = 0 Persamaan di atas disebut eksak dan solusi dari persamaan tersebut adalah F(x,y) = konstan Contoh 4.2 Tentukan solusi dari persamaan diferensial berikut 3𝑥 2 − 2𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑥+𝑦 − 2𝑥 + 4 𝑑𝑦 = 0 Solusi: Uji persamaan tersebut apakah eksak atau tidak dengan menggunakan persamaan (4.2). 𝑃 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 2 − 2𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦
𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥+𝑦 − 2𝑥 + 4
𝜕𝑃 𝑥, 𝑦 𝜕 3𝑥 2 − 2𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦 = = −2 + 𝑒 𝑥+𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕 𝑒 𝑥+𝑦 − 2𝑥 + 4 = 𝑒 𝑥+𝑦 − 2 𝜕𝑥 Karena memenuhi syarat maka persamaan tersebut eksak. 𝑑𝐹 = 3𝑥 2 − 2𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝐹 = 3𝑥 2 − 2𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝑥 3𝑥 2 − 2𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦 + 𝐶 (𝑦)
𝐹= 𝑒
𝑥+𝑦
𝑑 𝑥 3 − 2𝑥𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝐶(𝑦) − 2𝑥 + 4 = + 𝑑𝑦 𝑑𝑦
Aryadi Nurfalaq, S.Si., MT
Fisika Matematika II 𝑒 𝑥+𝑦 − 2𝑥 + 4 = −2𝑥 + 𝑒 𝑥+𝑦 + 𝑑𝐶(𝑦) =4 𝑑𝑦
𝑑𝐶(𝑦) 𝑑𝑦
==> 𝐶 𝑦 = 4𝑦
Sehingga solusi umumnya persamaan di atas adalah 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥𝑦 + 4𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦 𝑥 3 − 2𝑥𝑦 + 4𝑦 + 𝑒 𝑥+𝑦 = 𝐶
Contoh 4.3 Selesaikan persamaan diferensial berikut 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑦 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 0 Solusi: Langkah pertama, lakukan pengujian persamaan eksak 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 + 1
𝑑𝑎𝑛
𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦
𝑑𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑑(𝑦 + 𝑥 + 1) = =1 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑(𝑥 − 𝑦) = =1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Persamaan tersebut eksak 𝑑𝐹 =𝑦+𝑥+1 𝑑𝑥 𝑑𝐹 = 𝑦 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥 𝐹=
𝑦 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥
𝑥2 𝐹 = 𝑥𝑦 + + 𝑥 + 𝐶(𝑦) 2 𝑑𝑄 𝑑𝐹 𝐶(𝑦) = + 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑥−𝑦 =𝑥+
𝐶 𝑦 𝑑𝑦
𝐶 𝑦 = −𝑦 𝑑𝑦
→𝐶 𝑦 =−
𝑦2 2
Sehingga solusi umumnya 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 +
Aryadi Nurfalaq, S.Si., MT
𝑥2 𝑦2 +𝑥− 2 2
==> 𝑥𝑦 +
𝑥2 𝑦2 +𝑥− =𝐶 2 2
Fisika Matematika II 3. Persamaan Diferensial Orde 1 ruas kanan ≠ 0 Persamaan diferensial orde 1 ruas kanan tidak sama dengan nol dapat ditulis ke dalam bentuk 𝑑𝑦 +𝑃 𝑥 𝑦 =𝑄 𝑥 𝑑𝑥
… (4.1)
Dimana P dan Q fungsi dari x. Untuk memperoleh solusi dari persamaan (4.1), maka persamaan tersebut disederhanakan dengan menganggap ruas sama dengan nol (Q(x) = 0), sehingga persamaan di atas dapat menjadi 𝑑𝑦 +𝑃 𝑥 𝑦 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −𝑃 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 =− 𝑑𝑦 ln 𝑦 = − 𝑦 = 𝑒−
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 +𝐶
𝑦 = 𝐴𝑒 −𝐼 𝑦𝑒 𝐼 = 𝐴
= 𝑒𝐶 𝑒−
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
Dimana 𝐴 = 𝑒 𝐶 dan 𝐼 =
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 .
… (4.2)
Kita tulis kembali persamaan 𝐼=
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝐼 =𝑃 𝑥 𝑑𝑥
… (4.3)
Jika persamaan (4.2) dideferensialkan terhadap x dan menggunakan persamaan (4.3), maka kita peroleh 𝑑(𝑦𝑒 𝐼 ) 𝑑𝑦 𝐼 𝑑𝐼 = 𝑒 + 𝑦 𝑒𝐼 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑(𝑦𝑒 𝐼 ) 𝑑𝑦 𝑑𝐼 = 𝑒𝐼 +𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑(𝑦𝑒 𝐼 ) 𝑑𝑦 = 𝑒𝐼 + 𝑦 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑(𝑦𝑒 𝐼 ) = 𝑒 𝐼 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥
Aryadi Nurfalaq, S.Si., MT
Fisika Matematika II 𝑦𝑒 𝐼 = 𝑦 = 𝑒 −𝐼
𝑒 𝐼 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 𝐼 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 −𝐼
… (4.4)
Contoh 4.4 Selesaikan persamaan diferensial berikut 𝑥2
𝑑𝑦 1 − 2𝑥 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥
Solusi: Untuk menyelesaikannya, persamaan di atas diubah ke dalam bentuk persamaan (4.1), maka diperoleh 𝑑𝑦 1 − 2𝑥 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 2𝑦 1 − = 3 𝑑𝑥 𝑥 𝑥
𝑥2
Dari persamaan di atas diperoleh 𝑃 𝑥 = −
2 𝑥
𝐼= − 𝑦 = 𝑒 −𝐼 𝑦 = 𝑒 2 ln 𝑥
𝑑𝑎𝑛 𝑄 𝑥 = 2 𝑑𝑥 = −2 ln 𝑥 𝑥
𝑒 𝐼 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 −𝐼
𝑒 −2 ln 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 2 ln 𝑥 𝑥3
𝑦=𝑥
2
𝑥 −2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥 2 = 𝑥 2 𝑥3
𝑦 = 𝑥2 −
1 𝑥3
𝑁𝑜𝑡𝑒: 𝑒 𝑎 ln 𝑥 = 𝑥 𝑎 , 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥2 𝑥5
1 1 2 + 𝐶 𝑥 = − + 𝐶 𝑥2 4 2 4𝑥 4𝑥
Contoh 4.5 Selesaikan persamaan diferensial berikut 𝑑𝑦 + 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 Solusi: 𝑃 𝑥 =1 𝐼=
Aryadi Nurfalaq, S.Si., MT
𝑄 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥
Fisika Matematika II 𝑦 = 𝑒 −𝐼
𝑒 𝐼 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 −𝐼
𝑦 = 𝑒 −𝑥
𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 −𝑥
𝑦 = 𝑒 −𝑥
𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 −𝑥
𝑒 2𝑥 𝑦=𝑒 + 𝐶 𝑒 −𝑥 2 𝑒𝑥 𝐶 𝑦= + 2 𝑒𝑥 −𝑥
Persamaan Diferensial Orde 2 a. Persamaan diferensial Orde 2 dengan Ruas kanan = 0 Persamaan diferensial orde 2 dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 +𝑃 𝑥 +𝑄 𝑥 𝑦=𝑅 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Dimana R(x) = 0. Sehingga 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 +𝑃 𝑥 +𝑄 𝑥 𝑦=0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥
… (4.5)
Solusi umum dari persamaan di atas adalah 1) Jika akar – akar karakteristiknya berbeda, (D – a)(D – b) y = 0, a ≠ b, maka solusinya adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑎𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑏𝑥 2) Jika kedua akar karakteristiknya sama atau akar kembar, (D – a)(D – a) y = 0, maka solusinya: 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑒 𝑎𝑥 3) Jika akar karakteristiknya merupakan bilangan kompleks (α ± iβ), maka solusinya adalah 𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑐1 sin 𝛽𝑥 + 𝑐2 cos 𝛽𝑥 Contoh 4.6 1) Selesaikan persamaan diferensial berikut 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 3 + 2𝑦 = 0 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 Solusi: Langkah pertama menentukan akar – akar karakteristiknya
Aryadi Nurfalaq, S.Si., MT
Fisika Matematika II 𝐷+2 𝐷+1 𝑦 =0 𝑑
Dengan 𝐷 = 𝑑𝑥 , maka (D+2)y = 0 dan (D+1)y=0. Setelah diperoleh akar – akar karakteristiknya, maka langkah selanjutnya adalah menyelesaikan integralnya 𝑑𝑦 + 2𝑦 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −2 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 = −2 𝑦
𝑑𝑦 +𝑦 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑦 =− 𝑦
𝑑𝑥
ln 𝑦 = −2𝑥 + 𝑐1
𝑑𝑥
ln 𝑦 = −𝑥 + 𝑐2
𝑦1 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥
𝑦2 = 𝑐2 𝑒 −𝑥
Sehingga diperoleh solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑥 2) Selesaikan persamaan diferensial berikut 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 +2 +𝑦 =0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Solusi: Menentukan akar – akar karakteristiknya (D +1) (D+1)y = 0 a = 1 Karena akar – akar karakteristiknya kembar, maka kita gunakan solusi kedua 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑒 𝑎𝑥 𝑦 = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 𝑥 + 𝐶2 ) 3) Selesaikan persamaan diferensail orde dua berikut 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 2 + 2𝑦 = 0 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 Solusi: Untuk memperoleh akar – akar karakteristiknya tidak dapat digunakan cara pemfaktoran. Untuk itu digunakan cara yang lain yaitu 𝑥1,2
−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 2𝑎
Aryadi Nurfalaq, S.Si., MT
dimana 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 2
Fisika Matematika II 𝑥1,2 =
−2 ± 4 − 8 −2 ± −4 −2 ± 4 −1 −2 ± 2𝑖 = = = = −1 ± 𝑖 2 2 2 2 𝑥1 = −1 + 𝑖
𝑥2 = −1 − 𝑖
Karena akar – akar karakteristiknya berupa bilangan kompleks (α ± iβ), maka kita gunakan solusi yang ketiga (α = -1 dan β = 1), 𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑐1 sin 𝛽𝑥 + 𝑐2 cos 𝛽𝑥 𝑦 = 𝑒 −𝑥 𝑐1 sin 𝑥 + 𝑐2 cos 𝑥 Latihan 1. Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan menggunakan teknik separasi variabel a. b.
𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
−𝑦 =0 = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 5
𝑑𝑦
c. 𝑥 𝑑𝑥 = 5𝑥 3 + 4 𝑑𝑦
d. 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 4 2. Selesaikanlah persamaan diferensial berikut, ujilah terlebih daerah persamaan tersebut apakah eksak atau tidak a.
3𝑥 2 + 4𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 2 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0
b.
𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 2 − 2𝑥 𝑑𝑦 = 0
3. Selesaikan persamaan diferensial berikut 𝑑𝑦
a.
𝑥2 + 1
b.
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑑𝑥
+ 4𝑥𝑦 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
+3 𝑥+1 𝑦 = 𝑥−1
4. Slesaikanlah persamaan diferensial orde dua berikut a. b. c.
𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
+ 2 𝑑𝑥 − 3𝑦 = 0 𝑑𝑦
+ 3 𝑑𝑥 + 3𝑦 = 0 𝑑𝑦
+ 6 𝑑𝑥 + 9𝑦 = 0
Aryadi Nurfalaq, S.Si., MT
