PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB)
Definisi PDB •
•
•
Persa ersama maan an dif diferen erensi sial al bias biasa a meru merupa pak kan per persama samaan an dif diferen erensi sial al yang ang terdi erdiri ri atas fun fungsi gsi turu turun nan satu satu buah buah varia ariabe bell beba bebas. s. Contoh: Persamaan gaya geser (shea shearr stre stress ss)) pada aliran fluida dirumu dirumusk skan an sebaga sebagaii berik berikut: ut:
Perhatikan PDB hanya memiliki satu buah variabel bebas yaitu x dan satu satu vari variab abel el teri terik kat yaitu aitu τxz.
Aplikasi PDB PDB banyak ditemukan pada pemodelan-pemodelan teknik reaktor, kinetika reaksi kimia, peristiwa-peristiwa perpindahan dan lain-lain.
Klasifikasi PDB
Berdasarkan ordenya PDB terdiri atas tiga jenis (paling umum ditemukan dalam permasalahan teknik kimia). Orde 1
Orde 2
Orde 3
Klasifikasi PDB lanjutan....
Berdasarkan ordenya, PDB terdiri dari dua jenis, yaitu:
Linier Persamaan umum PDB linier dirumuskan sebagai berikut:
Taklinier
PDB yang tidak memenuhi persamaan umum PDB linier dikelompokan ke dalam PDB tak linier
Klasifikasi PDB lanjutan....
Berdasarkan kondisi batasnya, PDB terdiri dari dua jenis, yaitu:
PDB bernilai awal
PDB bernilai batas
Transformasi ke Dalam Bentuk Kanonikal •
•
•
Persamaan diferensial biasa linier orde 1 bernilai awal dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matrik eksponensial dan metode eigen. PDB linier orde 2, 3 bernilai awal dapat pula diselesaikan dengan metode-metode tersebut, asalkan PDB tersebut ditransformsikan terlebih dahulu ke dalam PDB orde 1. Berikut ini penjelasan teknik transformasi dari PDB berorde tinggi menjadi PDB berorde 1
Contoh 1: Transformasi PDB orde 4 linier berikut menghasilkan 4 buah PDB linier orde 1
Misalkan:
Maka PDB orde 4 dapat dituliskan
Dalam bentuk Matrik
Contoh 2: Transformasi PDB orde 4 linier berikut menghasilkan 5 buah PDB linier orde 1
Misalkan:
Maka PDB orde 4 dapat dituliskan
Dalam bentuk Matrik
Contoh 3: Transformasi PDB orde 3 tak linier berikut
Misalkan:
Maka PDB orde 3 taklinier
PDB taklinier tidak dapat dituliskan dalam bentuk matrik
Contoh 4: SIMULASI REAKTOR BATCH Reaktor partian (batch) adalah reaktor yang digunakan secara sekali tempuh. Artinya umpan dimasukkan satu kali di awal reaksi dan produk yang dikeluarkan pada akhir reaksi. Selama reaksi tidak ada umpan yang masuk ataupun keluar. Kecepatan proses biasanya diukur dari kecepatan pengurangan umpan: -dCA/dt = -rA Apabila kecepatan reaksi dapat didefinisikan sebagai: -ra = kC A/K+CA Maka persamaan diferensial diatas menjadi
Jika harga k = 0,1menit-1 ; K = 1,03 dan C A pada t = 0 (awal reaksi) adalah 0,5 mol/liter, maka konsentrasi A setiap waktu dapat ditentukan melalui menyelesaikan persamaan diferensial diatas dengan menggambarkan profil konsentrasi CA hingga t = 50 menit Catatan: persamaan diferensial tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitik karena
Langkah pertama, buatlah fungsi yang dapat mengevaluasi ruas kanan persamaan diferensial tersebut. function dcdt = L2001a(t,Ca) % menghitung fungsi ruas kanan dari persama an neraca massa reaktor batch dcdt = -0.1*Ca/(1.03 + Ca);
Langkah berikutnya menggunakan fungsi ODE45 yang telah tersedia dalam MATLAB untuk menentukan konsentrasi A setiap waktu % Integrasi persamaan kinetika menggunakan metode ODE45 dengan: Clear Clc clf tspn = [0 50]; % selang waktu reaksi, menit Cai = 0.5; % Konsentrasi awal CA [t,Ca] = ode45(@L2001a,tspn,Cai) % Plot profil konsentrasi Ca plot(t,Ca); xlabel('t,menit'); ylabel('mol/liter');
Hasil: t=0 0.7686 1.5373 2.3059 3.0745 4.3245 5.5745 6.8245 8.0745 9.3245 10.5745 11.8245 13.0745 14.3245 15.5745 16.8245 18.0745 19.3245 20.5745 21.8245 23.0745 24.3245 25.5745
26.8245 28.0745 29.3245 30.5745 31.8245 33.0745 34.3245 35.5745 36.8245 38.0745 39.3245 40.5745 41.8245 43.0745 44.3245 45.5745 46.8245 48.0745 48.5559 49.0373 49.5186 50.0000
Ca = 0.5000 0.4753 0.4515 0.4285 0.4063 0.3720 0.3399 0.3100 0.2821 0.2562 0.2323 0.2102 0.1899 0.1712 0.1542 0.1387 0.1245 0.1117 0.1000 0.0895 0.0800 0.0715 0.0638
0.0569 0.0507 0.0451 0.0402 0.0357 0.0318 0.0282 0.0251 0.0223 0.0198 0.0176 0.0156 0.0138 0.0123 0.0109 0.0096 0.0085 0.0076 0.0072 0.0069 0.0066 0.0063
0.5 0.45 0.4 0.35 0.3
r e t i l / l 0.25 o m
0.2 0.15 0.1 0.05 0
0
5
10
15
20
25 t,menit
30
35
40
45
50
Contoh 5:
Serangkaian persamaan diferensial biasa menjelaskan perubahan tiga jenis konsentrasi (ca, cb, dan cc) dalam sebuah reaktor. Reaksi yang terjadi adalah: A → B → C Konstanta laju reaksi k1 dan K2 menunjukan laju k1
K2
reaksi: A → B dan B → C
Persamaan diferensial yang dihasilkan adalah: dca dt dcb dt dcc
k1ca
k1ca k c
k 2cb
Jika harga k1 = 1 jam-1 , k2 = 2 jam-1 dan pada t = 0 (awal reaksi) c a = 5 mol dan cb = cc = 0 mol. Gambarkan profil perubahan konsentrasi ca, cb, dan cc hingga t = 5 jam
Program MATLAB: sub rutin reaksia.m function dcdt = reaksia(t,c); % c(1) = ca, c(2) = cb, c(3) = cc k1 = 1; k2 = 2; dcdt = [-k1*c(1);k1*c(1)-k2*c(2);k2*c(2)];
Program MATLAB: rutin utama reaksi.m clc clf clear % PD biasa bernilai awal k1 = 1; % konstanta laju reaksi-1 per jam k2 = 2; % konstanta laju reaksi-2 per jam tspn = [0 5]; % selang waktu reaksi co = [5 0 0]; % konsentrasi awal ca,cb,cc [t,c] = ode45(@reaksia,tspn,co); plot(t,c(:,1),'+',t,c(:,2),'*',t,c(:,3)) xlabel('waktu reaksi') ylabel('konsentrasi') legend('ca','cb','cc') grid
Program MATLAB: Grafik 5
ca
4.5
cb cc
4 3.5 3 i s a r t n 2.5 e s n o k 2 1.5 1 0.5 0
0
1
2
3
4
5 6 waktu reaksi
7
8
9
10
Sistem PDB tak linier bernilai awal banyak ditemukan pada kajian-kajian teknik kimia berikut: •
Neraca massa dan energi yang melibatkan reaksi kimia.
•
Sistem dinamik nyata (tak ideal).
•
Hampir seluruh peristiwa perpindahan dalam teknologi proses.
•
Metode Euler
•
Metode Runge-Kutta orde ke-2 (Crank-Nicholson)
•
•
Metode Runge-Kutta orde ke-3
Metode Runge-Kutta orde ke-4
•
Metode Runge-Kutta orde ke-5
•
Metode Runge-Kutta -Fehlberg
Tugas: Studi terhadap kinetika proses fermentasi berhasil dimodelkan secara matematis sebagai berikut:
Dengan k1 = 0.03120; k2 = 47.70; k3 = 3.374 ;k4 = 0.01268 serta nilai pada t = 0, y1=5, y2=0. Evaluasi harga y1 dan y2 dalam interval waktu 0 sampai dengan 10 jam setiap jamnya!
