BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Psikologi pembelajaran matematika adalah suatu hal yang mutlak dikuasai oleh guru dan calon guru agar tujuan pembelajaran matematika yang telah direncanakan tercapai secara maksimal. Untuk mencapai pembelajaran tersebut, guru tidak hanya memperhatikan hakikat matematika tetapi juga psikologi pembelajaran matematika. Matematika sering dianggap sebagai ilmu yang hanya menekankan pada kemampuan berpikir logis dengan menyelesaikan yang tunggal dan pasti. Hal ini yang menyebabkan matematika sebagai pelajaran yang ditakuti dan dijauhi siswa. Padahal mamtematika dipelajari disetiap jenjang pendidikan dan menjadi salah satu pengukur (indikator) keberhasilan siswa dalam menempuh suatu jenjang pendidikan. Melihat kondisi ini berarti matematika tidak hanya digunakan sebagai acuan melanjutkan pendidikan yang lebih tinggi tetapi juga mendukung dalam karier seseorang. Untuk memahami matematika tidak hanya dilakukan dengan penguasaan konsep pembelajaran
saja,
melainkan
dapat
menggunakan
skema
pembelajaran
dengan
menggabungkan pengetahuan yang ada dan alat pikiran untuk mendapatkan pengetahuan yang baru. memberi pandangan sekilas dan singkat tentang kekayaan dan keragaman caracara konsep dan saling berhubungan dan menghasilkan struktur, dan kajian dari strukturstruktur itu sendiri adalah bagian yang penting dari matematika, dan studi tentang bagaimana struktur-struktur itu tersusun dan berfungsi adalah inti dari psikologi-psikologi umum untuk suatu struktur mental. Dalam hal ini fungsi gabungan dari sebuah skema, bagaimana skema menjadi alat untuk pembelajaran lebih lanjut, pemahaman dan kegunaan skema juga perlu untuk diketahui, agar pembelajaran matematika bisa menjadi mudah. B. Rumusan Masalah
Berdasaran latar belakang yang dikemukakan maka rumusan malasah dalam makalah ini: 1. Bagaimana perluasan skema lebih lanjut dalam pembelajaran matematika? 2. Apa saja jenis bilangan yang di uaraikan pada perluasan skema lebih lanjut ? 3. Bagaimana sifat-sifat dasar bilangan yang harus diketahui?
BAB II PEMBAHASAN
Mengetahui sebelumnya bahwa kita telah mengetahui contoh lebih lanjut dari konsep sistem bilangan, sekarang saatnya bagi kita untuk menentukan karakteristiknya, dimana kita bisa yakin apakah sistem matematika tertentu yang kita hadapi sebenarnya adalah sistem bilangan. Mungkin tidak mengherankan lagi bahwa lima sifat yang ditemukan dalam pelajaran sebelumnya menjadi penting seperti untuk perhitungan dengan bilangan asli, dan juga berlaku untuk angka pecahan, telah disetujui oleh ahli matematika untuk menjadi sifat ciri dari sistem bilangan. Definisi berikut juga membuat jelas beberapa persyaratan lebih lanjut yang sejauh ini dianggap biasa. Definisi. Definisi. Sebuah sistem bilangan adalah seperangkat konsep-konsep matematika, disebut angka, bersama-sama dengan dua operasi tertutup biner (lihat di bawah) , yang disebut penjumlahan dan perkalian, sehingga
Penambahan bersifat komutatif dan asosiatif Perkalian bersifat komutatif dan asosiatif Perkalian distributif terhadap penambahan.
Perhatikan bahwa definisi tersebut tidak menentukan apakah himpunan itu bilangan terbatas atau tak terbatas. Kami mendefinisikan definisi di atas memuat sedikitnya dua bilangan. Yaitu sistem bilangan yang akan diperkenalkan dalam makalah ini, seperti bilangan asli dan bilangan pecahan, yang tak terbatas. Operasi biner adalah operasi yang menggabungkan dua ide matematika untuk mendapatkan ide ketiga; penjumlahan dan perkalian menjadi contoh akrab. pada ‘himpunan' berarti bahwa Operasi biner dapat diterapkan untuk setiap dua elemen dari himpunan, dan 'tertutup' berarti bahwa ide ketiga yang diperoleh juga milik himpunan. Persyaratan ini bukan pengurangan biasa, pada himpunan bilangan asli, ini tidak tertutup, dan juga bukan pembagian; yang berarti bahwa selama ini kita hanya terbatas untuk sistem ini terdapat banyak masalah, dalam ranah 1 kami tidak memiliki model matematika. (Contoh: saya memiliki 100 euro di bank dan menarik 150 euro; berapa banyak sisa yang saya punya?, Bagilah 10 apel dengan 3 orang, Meskipun ada jawaban untuk kedua masalah ini, mereka hanya bisa didapatkan dengan mencari diluar bilangan asli. Dalam makalah ini kita akan melihat bagaimana jumlah skema asli dapat lebih ditampung untuk memasukkan tiga sistem baru bilangan: bilangan bulat, bilangan rasional,
dan bilangan riil. Jelas perlakuannya tidak bisa begitu menyeluruh seperti untuk kedua sistem sebelumnya: Tujuannya adalah untuk memberikan gambaran tentang perkembangan sistem baru, dengan syarat ide-ide matematika dan psikologis sudah ditetapkan; khususnya asimilasi, akomodasi, dan generalisasi matematika. Sebelum kita memulai ini, ada aspek lain dari proses bilangan asli menuju bilangan pecahan yang peranannya cukup penting.
Bisakah ki ta mencampur angka dari sistem yang berbeda? Dalam pemeriksaan apakah angka pecahan membentuk sistem bilangan sesuai dengan definisi kita sekarang, kita tidak hanya menemukan itu, tapi itu sifat yang diperlukan secara langsung yang disalurkan dari bilangan asli dengan bilangan pecahan dengan dua cara, yaitu + dan x. Notasi pecahan, juga memainkan peran penting dalam memungkinkan kita untuk memudahkan kebiasaan dalam menghitung pada bilangan asli untuk digunakan dengan hitungan lain. Sebagai contoh asimilasi bisa menjadi tidak benar; dan pertanyaannya sekarang muncul, adalah asimilasi sangat lengkap yang mana sistem baru dan sistem lama dapat bebas bercampur, karena kita sudah tahu bahwa itu sebenarnya praktik yang umum untuk melakukannya, kita bisa menanyakan sampai sejauh mana ini berlaku secara matemat is. Bilangan pecahan tertentu sudah nampak di kedua sisi. Ini adalah
, , , … masing
masing merupakan kelas kesetaraan dari pecahan itu akan sulit untuk membenarkan menyamakan ini dengan bilangan asli
1,2,3 ... Tapi
itu sepenuhnya benar untuk mencatat
kesepadanan. Dan untuk menjawab seberapa jauh korespondensi ini juga memegang kebenaran antara dua operasi dasar pada dua himpunan tersebut. Sistem bilangan asli
sistem bilangan pecahan = × =
32=5 3×2=6 Dan secara umum diperoleh :
↔ ↔ ↔ ×↔×
Korespondensi ini dinyatakan dengan mengatakan bahwa bilangan asli bersama-sama dengan
,× isomorfik (dari bentuk yang sama) dengan bagian tertentu dari angka pecahan bersamaan dengan ,×. Secara umum isomorfisme berarti bahwa jika kita melakukan sesuai operasi pada sesuai unsur-unsur dari dua set yang bersangkutan, maka hasil juga sesuai. Dalam konteks ini memungkinkan kita berfungsi di sistem mana yang lebih nyaman, tersedia yang kita gunakan metode untuk menambahkan dan mengalikan yang sesuai dengan sistem. Kita tidak bisa menghitung, mengatakan, 2
Karena kita tidak memiliki cara untuk menambahkan bilangan asli dan pecahan. Tetapi jika kita mengganti ini dengan Hasilnya adalah
Sebaliknya, jika kita menulis Sebagai
Dan mengganti ini dengan
3
Ini memberitahu kita bahwa, di ranah 1, membagi 10 apel menjadi 3 bagian dapat dilakukan dengan memberikan semua orang 3 buah apel dan satu per tiga bagian dari sebuah apel. Kita bisa menambahkan pecahan, baik dengan bekerja sepenuhnya dalam sistem bil angan pecahan atau dengan mengumpulkan bersamaan angka satu sistem yang sama. Pembaca mungkin harus memverifikasi bahwa angka pecahan campuran sesuai dengan jumlah pecahan. Ini adalah isomorfisma antara sistem bilangan asli dan bagian dari sistem bilangan pecahan yang tanpa kita mengetahui keberadaannya,; dengan cara yang sama seperti gravitasi membuat kita aman di tanah jauh sebelum kita menyadari hal itu. Jadi ketika kita menjelajahi lebih jauh sistem bilangan, isomorfisma adalah sifat lain yang, meskipun tidak sangat diperlukan untuk sistem bilangan seperti itu, diperlukan jika kita ingin melanjutkan pencampuran sistem. Ketika bekerja dengan angka campuran, dengan cara ini akan lebih mudah dan biasa menggunakan tanda
,×, untuk
penjumlahan dan perkalian di kedua sistem, menafsirkan
mereka sesuai dengan konteks langsung mereka. Pembenaran untuk ini , bagaimanapun, tetapi isomorfisma yang memungkinkan kita untuk bekerja dengan sistem bilangan campuran, bersamaan dengan kesadaran dari dua makna masing-masing simbol.
Berlawanan yang membatalkan. Bandingkan hasil dari kombinasi kedua jenis berlawanan, Jenis yang pertama. menggabungkan: Dua buah apel besar dan dua apel kecil. Tiga orang gemuk dan tiga orang kurus. Lima domba hitam dan lima domba putih. Jenis kedua, menggabungkan: Berjalan naik dua langkah dan berjalan turun dua langkah. Suhu turun
3℃ dan naik 3℃
Membayar lima pound ke bank dan menarik lima pound dari bank. Tiga hasil pertama adalah: empat apel, enam orang, sepuluh domba. Tiga hasil kedua adalah: diam, tidak ada perubahan suhu, tidak ada perubahan dalam saldo bank. Model matematika untuk pertama tiga adalah, dalam sistem bilangan,
2 2 = 4 ; 3 3 = 6 ; 5 5 = 1 0 Tetapi
jika kita akan terus menambah untuk model matematika kombinasi, kita akan membutuhkan berbagai jenis angka untuk kedua contoh. Ini semua adalah kombinasi, bukan dari himpunan benda-benda fisik, tetapi peristiwa reversibel, sehingga kombinasi dari dua peristiwa yang sama dan berlawanan memiliki hasil akhir yang sama. Jadi menggabungkan memiliki arti yang berbeda dalam dua konteks ini.
bilangan bulat Dalam dunia matematika, menambahkan dua dan mengurangkan dua adalah operasi berlawanan yang membatalkan. Jadi mari kita menyimbolkan operasi ini oleh
2 dan 2,
menggunakan tanda kurung di sini untuk menunjukkan bahwa atau tanda menyatu dengan 2 untuk mewakili jenis angka baru. Operasi biner
pada ini kita akan mendefinisikan
dengan hasilnya.
2 2 = 0 3 3 = 0 Angka-angka baru yang disebut bilangan bulat. Penggunaan untuk penambahan mereka, seperti sebelumnya, bahwa kedua menyerupai dan berbeda Dari penambahan bilangan asli. Namun tidak mengidentifikasi penambahan bilangan bulat dengan itu dari angka pecahan: tanda baru mungkin berguna, tetapi tidak tersedia tanpa pemilihan tipe khusus.
Metode untuk menambahkan bilangan bulat dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan yang diwakili dengan melompat maju atau mundur. Dalam dunia nyata kita dapat melakukan suatu tindakan, dan (kadang-kadang) kita bisa membatalkannya. Jadi mari kita wakili. Do once by (+1) Do twice by (+2) Undo once by (-1) Undo twice by (-2) Untuk membatalkan suatu tindakan, kita harus melakukan tindakan yang sama dan berlawanan, Batalkan sekali (turun tiga langkah) Artinya sama dengan (Naik tiga langkah) Anda akan bisa menciptakan contoh lebih lanjut untuk diri sendiri, dan merumuskan secara eksplisit metode umum untuk mengalikan bilangan bulat.
Apakah kita membangun sistem bilangan? Sekarang saatnya untuk melihat apakah bilangan bulat, diabstraksikan dari peristiwa reversibel kuantitatif, bersamaan dengan operasi dan ×, yang dikembangkan seperti di atas, adalah sistem bilangan. Penambahan bilangan bulat memiliki sifat komutatif dan assosiatif begitu pula dengan perkalian. perkalian yang komutatif adalah bukan hal biasa, karena bilangan bulat kedua merupakan suatu tindakan atau peristiwa, sedangkan yang pertama merupakan lakukan atau pebatalan dari tindakan ini, bagaimanapun, kita dapat dengan mudah memverifikasi bahwa, misalkan Lakukan dua kali (turun tiga langkah) Memiliki hasil yang sama seperti Batalkan tiga kali (naik dua langkah) Dalam setiap kasus (turun enam langkah)
Metode umum untuk mengalikan bilangan bulat diberikan oleh empat pernyataan berikut, di mana
, adalah
bilangan asli, sementara
, , , adalah
bilangan bulat. Pada tahap ini akan lebih mudah untuk memperkenalkan banyak digunakan singkatan untuk
× , untuk menghindari tanda kurung dalam kurung × = × = × = × =
perkalian bilangan bulat adalah komutatif berikut langsung dari atas. Ada empat kasus yang perlu dipertimbangkan; di sini adalah salah satu;
× = × = = × = × Seperti pecahan, milik bilangan bulat berikut langsung dari yang bilangan jika kita setuju untuk mendefinisikan
× pada
bilangan bulat seperti di atas. Demikian pula untuk
assosiatif dari perkalian, yang lebih mudah dipahami secara abstrak dari dalam perwujudan nyata; pembaca mungkin peduli untuk membangun bukti sendiri. Sebuah bukti umum bahwa perkalian adalah distributif lebih penambahan rumit, mungkin karena banyak kasus. Berikut adalah salah satu dari mereka:
= [ ] Di atas terlihat lebih sulit daripada yang sebenarnya, terutama karena tanda-tanda
,
melakukan tugas ganda. Mereka berdiri untuk penambahan dan pengurangan dari angka asli, dan juga ketika menulis demikian
, untuk
membedakan antara bilangan bulat
positif dan negatif..
Pencampuran bilangan bulat dan bilangan asli Jelas ada isomorfisma antara bilangan bulat positif bersamaan dengan nol, dan bilangan asli. Jadi itu adalah praktek umum untuk menulis bilangan bulat positif hanya sebagai menjatuhkan tanda
1,2,3, dll,
.
Hal ini tentu lebih nyaman untuk menulis 2 + 3 = 5 Dari
2 3 = 5
Dan karena hasilnya adalah sama dalam kedua sistem angka, adalah wajar untuk bekerja di salah satu lebih sederhana. Tapi apa yang kita maksud dengan ini?
2 5 = 3 pengurangan ini tidak dapat dilakukan dalam bilangan asli, sehingga harus :
2 5 = 3 2 5 = 3 Kami belum membahas pengurangan bilangan bulat, untuk alasan yang sama seperti pembagian dengan pecahan dihilangkan - keduanya melibatkan gagasan terbalik, yang diperlukan untuk kelengkapan tetapi tidak untuk gambaran. Mengurangkan didefinisikan sebagai menambahkan
5 sehingga
5 sebenarnya
kita mendapatkan hasil yang sama yang
mana dari dua makna di atas kita pilih. Namun demikian pernyataannya.
25 = 3 Adalah salah satu yang ambigu, dan masih lebih ambigu orang-orang seperti
4 × 2 5 = 4 × 3 = 12 Sebuah pernyataan yang akurat dari yang terakhir ini
4 × [2 5] = 4 × 3 = 12 Kami mendapatkan hasil yang tepat dari perhitungan dari jenis sebelumnya karena bilangan bulat berperilaku sehingga mirip dengan bilangan asli yang kita dapat mencampur dua sistem yang agak bebas. Tapi 'campuran' bisa berarti 'berbaur', atau 'bingung'; dan ketika sebagai pemula kita mencampur angka alami dan bilangan bulat, itu lebih sering dengan arti yang terakhir. Namun, struktur matematika biasanya membenarkan kita dari yang salah; dan ketika kami datang untuk melihat lebih dekat pada perangkap yang telah menyelamatkan kita, sebagian dari kita mungkin memutuskan bahwa ketidaktahuan adalah kebahagiaan.
Angka rasional Seperti bilangan asli dan bilangan bulat, bilangan rasional dan pecahan yang banyak bingung; dan sebagian besar untuk alasan yang sama; mereka berperilaku begitu mirip bahwa kita bisa lolos dengan itu. asal-usul mereka di ranah 1 Namun sangat berbeda. angka pecahan adalah properti kelas kesetaraan dari fraksi, yang disarikan dari tindakan mengumpulkan dan berbagi. bilangan rasional adalah properti kelas kesetaraan rasio, yang disarikan dari jenis tertentu korespondensi antara himpunan. Pertimbangkan tabel berikut;
Pertama memberi jarak berjalan oleh pejalan kaki di waktu yang berbeda, Jarak dari awal (km) Waktu di jam
5 2
10 4
15… 6…
kedua memberikan volume menyebarkan beton dalam satu jam, dengan memvariasikan jumlah buruh.
5 10 15… 2 4 6…
Volume dalam meter kubik Jumlah laki-laki
Ketiga mengacu pada ketinggian di atas titik awal dari jalan miring Jarak sepanjang jalan (meter) Tinggi (meter)
5 2
10 4
15… 6…
model matematika yang sama, dengan unit dihilangkan, berfungsi untuk tiga situasi fisik yang berbeda ini, dan bagi banyak orang lain. Fitur penting adalah cara di mana angka dari dua himpunan
{5,10,15,…} dan {2,4,6,…}dipasangkan, demikian: 5:2 10:4 15:6
Ini dibaca sebagai '5 ke 2', '10 ke 4 'dll, yang berarti kira-kira' dari 5 kita pergi ke 2 ',' dari 10 kita pergi ke 4 'dll (makna ini akan mengembangkan gagasan kelas kesetaraan dimana rasio yang tercantum. Melihat contoh di ranah 1, kita lihat dari tabel yang pejalan kaki berjalan pada tingkat yang stabil - dua kali waktu, ia mencakup dua kali jarak, dan sebagainya. Dalam contoh kedua, para buruh semua bekerja pada tingkat yang sama dengan satu sama lain: dua kali jumlah laki-laki tergeletak dua kali volume beton dan sebagainya. Pada contoh ketiga, jalan naik pada tingkat yang stabil. Jadi, dalam model matematika umum untuk semua contoh ini, kita memiliki satu himpunan rasio yang setara bahwa mereka semua mewakili tingkat yang sama.
Menambah dan mengalikan bilangan rasional Menambahkan. Misalkan seorang pria berjalan di eskalator pada tingkat yang diberikan oleh tabel ini. Langkah
5
10
15
20 ...
Detik
2
4
6
8 ...
Pada saat yang sama eskalator bergerak naik pada tingkat ini. Langkah
3
6
9
12
15
18 ...
Detik
1
2
3
4
5
6 ...
Tingkat totalnya pendakian diberikan oleh tabel ini. Tentu saja, hanya menambah jumlah langkah-langkah yang sesuai dengan waktu yang sama. * Ini adalah satu-satunya jenis kesetaraan antara rasio yang digunakan secara umum, jadi kita tidak perlu menentukan lebih lanjut
Langkah
5+6
Detik
2
10 + 12
15 + 18
4
6
Hal ini menunjukkan bahwa penambahan bilangan rasional mungkin berguna (dalam hal menjadi model yang masuk akal) didefinisikan sebagai jumlah dari dua rasio, sehingga:
5 : 2 6 : 2 = 5 6: 2 10:412:4= 1012: 2 : : = :
Secara umum diperoleh
Pertimbangkan
sekarang
dua
tabel
tersebut,
yang
menunjukkan
masing-masing
korespondensi antara kilometer perjalanan dan liter bensin yang dikonsumsi oleh mobil, dan antara bensin yang dikonsumsi dan waktu.
Jarak di km
9
18
36
54
72
90
108 ...
BBM di liter
1
2
4
6
8
10
12 ...
BBM di liter 3
6
9
12 ...
Waktu di jam 1
2
3
4 ...
Kita bisa menggabungkan tabel ini untuk memberikan korespondensi antara jarak yang ditempuh dan waktu. Dalam hal ini, kita harus memilih pasangan angka yang sama dengan bahan bakar.
Jarak di km Waktu di jam
54
108 ...
2
4 ...
Ini menunjukkan bahwa perkalian bilangan rasional mungkin cukup dibuat untuk sesuai dengan produk dari dua tingkat. Pada kasus ini,
54:6×6:2=54:2 108: 12 × 12: 4 = 108: 4 :×:=:
Dan secara umum
Jika kondisi kedua dari rasio pertama dan kondisi pertama dari rasio kedua tidak sama, kita harus mengganti rasio ini dengan yang setara, yaitu.
: × : = : × : = :′ Pada tahap ini, itu akan menjadi latihan yang berguna bagi pembaca untuk memverifikasi bahwa prinsip pertukaran berlaku, menggunakan beberapa contoh numerik di atas.
rasio negatif Dalam contoh eskalator, tidak ada alasan mengapa pria dan eskalator harus bergerak ke arah yang sama. Jika pria itu berjalan ke bawah, sementara eskalator bergerak naik, baik pada kecepatan yang sama seperti sebelumnya, kita sekarang memerlukan bilangan bulat positif dan negatif untuk model matematika. Keatas adalah arah yang lebih biasanya dipilih untuk diwakili oleh bilangan bulat positif, tetapi tidak ada yang sulit tenteng aturan cepat ini. Pria
Eskalator
Langkah (-5)
(-10)
(-15)
(-20) ...
Detik
(+2)
(+4)
(+6)
(+8) ...
Langkah (+3)
(+6)
(+9)
(+12) ...
Detik
(+2)
(+3)
(+4) ...
(+1)
Kedua proporsi yang diwakili oleh (-5) : (+ 2) dan (+6) : (+2) dan jumlah mereka, mewakili tingkat total pencapaian manusia. Dalam contoh otomotif, jarak mungkin juga diukur dari beberapa titik di rute, di mana jarak kasus sebelum dan setelah melewati itu akan diwakili oleh bilangan bulat positif dan negatif. Dan, secara umum, sejak mengurangkan sama baiknya dengan menjumlahkan, jika rasio bertindak sebagai model untuk keperluan umum untuk semua jenis tingkat. Mereka harus memilih pasangan bilangan bulat, bukan dari bilangan asli. Melihat kembali sekarang untuk contoh eskalator pertama, kita dapat melihat cukup kasus yang kuat untuk menggunakan bilangan bulat ada juga, daripada bilangan, karena realitas diwakili adalah peristiwa reversibel daripada benda dihitung. Namun, karena bilangan asli dan bilangan bulat positif (atau lebih tepatnya bilangan bulat non negatif) adalah sistem isomorfik, kita biasanya menyimpan masalah dengan bekerja di salah satu yang sederhana.
Adakah sistem nomor rasional?
Definisi provisional dari + dan
× pada bilangan rasional didasarkan pada kesesuaian mereka
untuk model matematika untuk set tarif setara. penerimaan akhir tergantung pada mereka memenuhi lima persyaratan untuk sistem bilangan, yang mereka dengan mudah dapat dilihat untuk melakukan. Untuk kesederhanaan menambahkan, kita harus memilih rasio yang memiliki jabatan kedua yang sama. Mari
,,,,,, berdiri untuk setiap bilangan bulat.
Penjumlahan adalah komutatif Penjumlahan adalah asosiatif Perkalian bersifat distributif dengan penjumlahan. Pilihan huruf yang berbeda untuk rasio pertama adalah hanya membuatnya terlihat berbeda, dan dengan demikian menunjukkan pola yang lebih jelas .
Seperti dengan angka pecahan dan bilangan asli, sehingga dengan bilangan rasional dan bilangan bulat: sistem baru memiliki lima sifat karena sistem bilangan sebelumnya juga memiliki lima sifat.
bilangan rasional dalam notasi pecahan Meskipun asal-usul mereka begitu berbeda, bilangan rasional yang berasal dari bilangan bulat positif isomorfik dengan angka pecahan, Bandingkan, misalnya,
5: 2 6: 2 = 11: 2 = Dan kasus umum
: : = :
=
Sebuah isomorfisma sama ada untuk X. apalagi, kondisi untuk kesetaraan rasio, dan untuk kesetaraan fraksi yang sesuai, yang hampir sama
: ≅ : ′ ′ ≅ ′ Jika = ′ Satu-satunya perbedaan adalah bahwa dalam rasio,
,, ′, ′,
mewakili bilangan bulat
positif, sementara di fraksi mereka mewakili bilangan. Jadi untuk perhitungan, kita dapat mengambil keuntungan dari notasi pecahan sederhana.
Perbandingan ditulis sebagai pecahan desimal Ketika pertama kali membangun sebuah model, notasi perbandingan asli memiliki keunggulan yang ditunjukkan lebih jelas pasangan bilangan dalam himpunan yang saling terkait. Salah satunya dapat beralih ke notasi pecahan, yang banyak terkait untuk perhitungan. Yang terakhir juga mengarah langsung ke jalan lain yang mewakili bilangan rasional, yang membentuk sebuah awal yang penting untuk system bilangan berikutnya. Jika kita menulis sebuah perbandingan, katakanlah (+5) : (+2), dalam notasi pecahan adalah
+ , dan mengganti ini dengan pecahan bilangan , kita dapat menambahkan istilah +
2 ∙ 5, sama bilangan (pecahan) dituliskan dalam gunakan 2 ∙ 5 sebagai sebuah notasi alternative untuk
keempat rantai korespondensi: dinamakan notasi decimal. Dapatkah juga kita
perbandingan bilangan asli (+5) : (+2)?dan, secara umum, notasi decimal adalah salah satu kemungkinan dari bilangan rasional, termasuk perhitungan kah? Pecahan decimal berarti sama dengan
. Sekarang kita setujui bahwa ( 2 ∙ 5) 2 ∙ 5 sama dengan pecahan
+ , sebuah perbandingan yang ditulis dalam bentuk notasi pecahan . +
lalu kita setujui bahwa ( 2 ∙ 5) berarti sama dengan
− + dan , ini adalah perbandingan + −
yang ekuivalen. Karena perhitungan dengan bilangan pecahan dapat dilakukan dengan baik dalam pecahan atau notasi decimal, kita sekarang dapat mengatakan sama untuk bilangan rasional. Pembuktian bahwa ketika diperlukan kita mengganti operasi untuk bilangan asli dengan bilangan bulat. Untuk contoh,
2 ∙ 5 ⊕ 1 ∙ 2 =1∙3 2 ∙ 5 ⊗ 1 ∙ 2 = 3 ∙ 00 Sebagai sebuah pengecekan, mari kita kerjakan krdua produk dari bilangan rasional dalam notasi pecahan pada umumnya. Kita memiliki bentuk akurat ini:
25 12 25 ⊗ 12 300 ⊗ = = 10 10 10 ⊗ 10 100 Catat bahwa
⊗ di kiri mewakili perkalian dati bilangan rasioanl, ketika mewakili bilangan
bulat. Kita dapat benar-benar menggunakan tanda, tetapi kesesuaian satunya tidak sesuai dalam tipe yang ditampilkan. Catat juga bahwa kesamaan terakhir untuk ini tidak sama dengan
3.
− , tetapi bentuk +
Sebuah perbandingan memiliki dua bentuk , jadi jika kita
menemukan sebuah bilangan bulat melakukan operasi bilangan rasional, ini berarti (+1) istilah keduanya telah tersesat , kemungkinan digunakan notasi yang disebut sebelumnya. Jadi dari sekarang kami memiliki tidak kurang dari 3 cara untuk mewakili perbandingan yang sama, contohnya:
3: 4 =
3 =0∙75 4
Bilangan Real Sebuah lukisan dinding mesir tiga ribu tahun yang lalu menunjukkan seorang pengukur membawa tali yang berjarak sama 12 knots. Ketika tali ditarik ke dalam sebuah segitiga dengan panjang sisi 3,4,5 unit, segitiga nya adalah siku-siku. Hasil ini digunakan teorema yang kita kenal sebagai teorema Pytagoras.
Bahwa dalam segitiga siku-siku, jika kita menggambar persegi dalam tiga sisi, area persegi dalam hipotenusa (sisi di depan sudut siku-siku) adalah sama dengan jumlah kuadat dua sisi lainnya. Dalam kasus ini segitiga 3,4,5 yang ditunjukkan dibawah, daerah dapat ditemukan dengan mengitung kesatuan persegi.
Kita dapat juga menemukannya dengan menghitung, daerah nya menjadi masing-masing
3, 4 × 4, 5 × 5, kesatuan persegi yaitu: 9,16,25 satuan persegi.
3×
c b
a
Dalam kasus umum, jika panjang sisi a,b,c teoremanya dapat dinyatakan dengan
= Dimana
= × dan begitu juga untuk b dan c. ( Jika sebuah persegi memiliki panjang satuan, lalu daerahnya adalah × satuan luas, sehingga × , atau , biasanya dibaca sebagai ‘ kuadat’ daripada ‘ pangkat 2’.) Ini menarik tetapi teorema ini terlihat tidak dirusak, dan mempunyai beberapa konsekuensi yang mengejutkan.
h meter 1 meter
1 meter
Misalkan kita memiliki segitiga siku-siku yan g kedua sisinya memiliki panjang 1 meter. Lalu kita akan menghitung panjang sisi miring dengan menemukan bilangan h sebagaimana yaitu :
ℎ = 1 1 ℎ = 2 1 = 1. Tetapi dalam system bilangan rasional, kita tidak dapat menemukan sebuah bilangan yang ketika dikuadratkan (dikalikan dengan bilangan itu sendiri) memberi hasil 2. Apalagi, sulit membuktikan bahwa tidak ada angka rasional yang ada, meskipun kami tidak akan menyimpang untuk melakukannya disini. Pengguna phytagoras, yang membuat matematika mereka kedalam budaya semi religious, tahu pembuktian ini dan
keberadaannya dan
bilangan non rasional lain sulit untuk membangun jalan berfikir yang me reka sebut sebagai ‘bilangan yang tidak bias disebutkan’ dan menyakini anggotanya dirahasiakan. (contoh lain sulit di fasilitasi satu skema)
Bilangan irasional, sebagaimana yang kita katakan, telah dimasukkan pada sebuah bunyi matematika berdasarkan oleh Dedekind (1831-1916) dan oleh Cantor (1845-1918). Hasil system ini disebut sistem bilangan real. Dia mengantung himpunan bagian yang isomorphic dengan system bilangan rasional, juga bilangan rasional dan irasional yang bercampur sebagaimana dengan system bilangan terdahulu.
Kumpulan interval Dua pendekatan, Cantor’s kemungkinan dahulu mengerti dari pembaca umum. Kami dapat mengasumsi sebuah pengetahuan
perkalian bilangan rasional dalam notasi decimal, dan
mengilustrasikan metodenya dengan mencoba menemukan angka yang merupakan hasil kuadratnya adalah 2.(angka ini disebut akar dari 2, dituliskan
√ 2.) jika kita menandai dalam
sebuah garis dalam kesatuan yang panjang, lalu untuk setiap bilangan rasional dihubungkan pada sebuah garis pada garis. Jika semua panjangnya diukur dari titik nol, lalu untuk tiap bilangan rasional disana ada sebuah titik pada garis. Disini titik-titik itu adalah 0.7,1.0,1.5,2.16. (dalam bagian ini kita akan menyederhanakan menjadi bilangan rasional postitif). Kita menemukan bahwa dalam sebuah panjang dan juga sebuah titik, untuk bilangan rasional, dan masalahnya adalah menciptakan sebuah bilangan yang sesuai pada titik ini. Menyebutnya sebuah bilangan pada tahap ini adalah menyederhanakan dugaan sementara dan
√ 2 adalah menyederhanakan dipenuhi bahwa √ 2 × √ 2 = 2. Jadi 1 terlalu kecil, untuk 1 × 1 = 1 Dan 2 terlalu besar untuk 2 × 2 = 4 menulis sebagai
Jadi kita tahu bahwa titik yang sesuai untuk Ayo kita temukan interval terkecil
sebuah jalan singkat dari kondisi tetap yang
√ 2 terletak antara 1 dan 2 pada garis.
√ 2
1∙1×1∙1=1∙21 1∙2×1∙2=1∙44 1∙3×1∙3=1∙69 1∙4×1∙4=1∙96 1∙5×1∙5=2∙25
terlalu kecil
Jadi titik yang sesuai dengan
√ 2 terletak antara 1 ∙ 4 dan 1 ∙ 5
terlalu kecil terlalu kecil terlalu kecil terlalu besar
Sekarang temukan lagi interval yang lebih kecil lagi
1∙41×1∙41=1∙9881
terlalu kecil
1∙42×1∙42=2∙0164
terlalu besar
Jadi titik yang sesuai dengan
√ 2 terletak antara 1 ∙ 4 1 dan 1 ∙ 4 2
Sekarang diperoleh yang terkecil. Tidak akan pernah kita dapat menghitung banyak pasangan bilangan rasional yang sesuai titik yang kita masukkan dalam interval pada garis. Sela njutnya ketiganya kita kuadratkan
1∙414 dan 1∙415 1∙4142 dan 1∙4143 1∙41421 dan 1∙41422 Butuh waktu, kesabaran dan fasilitas perhitungan yang memadai, kita dapat melanjutkan dengan mempersempit proses selama kita suka. Urutan interval dalam garis mempunyai dua sifat menarik : 1. Tiap interval terletak pada satu sebelum nya. 2. Bagaimanapun bilangan yang kecil kita harus pedulikan namanya, kita dapat menemukan interval seperti nilai interval dan semua letaknya lebih kecil dari bilangan lainnya. Misalnya nilai dari nama interval terakhir adan semua yang mengikutinya lebih kecil dari 0∙0001. Urutan seperti interval itu disebut kumpulan interval dan mudah untuk membuktikan bahwa disana hanya ada satu titik yang pada setiap interval dari kumpulan. Jika ada dua titik, mereka harus membuat beberapa jarak, bagaimanapun kecilnya: dan kita dapat menemukan sebuah interval yang ukuran nya sangat kecil dari jaraknya ini. Ini akan kita masukan kedalam titik diluar interval. Dibawah ini, dalam contoh, ukuran pasangan yang tidak terbatas
1 dan 2 1 ∙ 4 dan 1 ∙ 5 1 ∙ 4 1 dan 1 ∙ 4 2 1∙414 dan 1∙415 1∙4142 dan 1∙4143 Dll. Jika kita sekarang mengganmbar persegi panjang dengansisi
√ 2 dan √ 3 satuan, daerah
ini
akan berada diantara dua daerah yang harus diperhitungkan. Jadi itu terlihat masuk akan untuk memasukkan bahwa bagaimanapun kita definiskan yang seharusnya terletak antara
2 ∙ 3 8 dan 2 ∙ 7 0
√ 2 ⊗ √ 3 ini adalah bilangan real
Tetapi pernyataan ini valid jika kita mengganti dua buah persegi panjang dengan dimensi
1∙
4 1 × 1 ∙ 7 3 dan 1 ∙ 4 2 × 1 ∙ 7 4 satuan, atau 1 ∙ 4 1 4 × 1 ∙ 7 3 2 dan 1 ∙ 4 1 5 × 1 ∙ 7 3 3 satuan. Karena √ 2
dan √ 3
√ 2 ⊗ √ 3
Diantara
Diantara
Diantara
1 dan 2 1 ∙ 4 dan 1 ∙ 5 1 ∙ 4 1 dan 1 ∙ 4 2 1∙414 dan 1∙415
1 dan 2 1 ∙ 7 dan 1 ∙ 8 1 ∙ 7 3 dan 1 ∙ 7 4 1∙732 dan 1∙733
1 dan 4 2 ∙ 3 8 dan 2 ∙ 7 0 2∙4393 dan 2∙4708 2 ∙ 449048 dan 2 ∙ 452195
Terlihat bahwa kita mempunyai kumpulan interval lain dalam kolom sebelah kanan, ada definisi lain dari bilangan real. Juga, definisi perkalian dalam cara ini komutatif dan asosiatof. Untuk menunjukkan distributih perkalian terhadap penjumlahan lebih sulit, dan kita tidak akan bahas disini. Pembaca bagaimanapun bias mengecek sendiri metode persamaan bilangan real negative. Tetapkan dengan kumpulan interval antara bilangan rasional negative.
Campuran bilangan real dan r asional Kumpulan interval adalah cara rumit untuk mewakili sebuah bilangan yang tidak pernah kita temui. Kita dapat menyederhanakan nya berdasarkan notasi berikut, sebut saja notasi ‘desimal tak berhingga’
1 ∙ 4… 1 ∙ 4 1… 1∙414…
berarti 1 ∙ 4 dan yang mendekati misalnya antara
1 ∙ 4 dan 1 ∙ 5
berarti antara 1 ∙ 4 1 dan 1 ∙ 4 2 berarti antara 1∙414 dan 1∙415
Ini berarti bahwa bilangan real dan rasional dapat digabungkan untuk tujuan perhitungan, mengganti bilangan real dengan pendekatan bilangan rasional. Misalnya mengganti
√ 2 = 1 ∙
414… dengan 1∙414 tanpa tanda lanjutan. Tetapi kita harus hati-hati dalam menilai tingkat akurasi dari jawaban kita. Itu dapat dituliskan
(√ 2 ⊗ √ 3) = 1∙414… × 1∙732… = 2 ∙ 449048 Tetapi ini dapat berarti bahwa hasil terletak antara 2 ∙ 449048 dan 2 ∙ 449049, yang kita tidak dapat ketahuui. Lihat kembali kumpulan interval menetapkan √ 2 ⊗ √ 3, semuanya dapat dikatakan secara pasti bahwa hasilnya berada diantara 2 ∙ 449048 dan 2∙452195. Untuk alasan yang sama kita tidak dapat menuliskan
(√ 2 ⊗ √ 3 ) = 2 ∙ 4 4 9 …
Pembaca dapat memeriksa sendiri bahwa pada kenyatannya semua dapat dikatakan dalam notasi decimal tidak terbatas,
(√ 2 ⊗ √ 3 ) = 2 ∙ 4 … Kita juga akan menjelaskan untuk kepuasaan paradox yang terlihat rasional 1 ∙ 414 × 1 ∙ 732 = 2 ∙ 449048 1∙414… × 1∙732… = 2 ∙ 4 … real
Tetapi
Bilangan I rasional Beberapa akar kuadarat dapat di hitung dengan tepat. Contohnya
√ 4, yang hasilnya adalah 2.
Untuk menghindari kesenjangan bilangan real , kita dapat mewakilinya dengan decimal tak berhingga 2∙000…, atay dengan kumpulan interval.
√ 4
diantara
2 dan 3
2 ∙ 0 dan 2 ∙ 1 2 ∙ 0 0 dan 2 ∙ 0 1 2∙000 dan 2∙001 Dll Dalam kumpulan ini, bilangan real
√ 4 bertepatan
dengan bilangan terendah dalam setiap
interval; jadi ‘antara’ harus memperbesar arti untuk memasukkan titik akhir sebuah interval. Bilangan real tidak mempunyai kecocokan dengan bilangan rasional yang disebut irasional. Meskipun akar kuadrat sumber aslinya bilangan irasional, masih banyak lainnya. Termasuk decimal tak berhingga yang berulang mewakili sebuah bilangan irasional; dan Cantor juga menunjukkan bahwa ada banyak bilangan irasioanl daripada rasional.
Lihat kembali Dalam dua bab terakhir kami merangkum dasar yang akan diberikan secara normal pada anak 10 tahun di sekolah, dan diambil pada abad 23 dalam sejarah matematika. Lihat kembali, kita dapat melihat peningkatan yang besar contohnya merangsang asimilasi dan akomodasi pada tiap tingkatan dimana sebuah system bilangan baru diperkenalkan.
Asimilasi
Akomodasi
Tiap system baru dilanjutkan menggunakan
Bersama dengan tanda seperti pecahan, titik
penamaan bilangan Hindu-Arab pada system
decimal, tanda positif /negatif
bilangan asli Tiap sistem baru dilanjutkan dengan operasi Memberi arti baru penjumlahan dan perkalian Metode
baru
mengalikan
untuk
menjumlahkan
dilanjutkan
dan
dengan
Mneyesuaikan penjumlahan sederhana untuk sistem baru
menggunakan hasil yang diingat untuk sistem bilangan asli Lima sifat dari sistem bilangan dipertahankan
Dengan operasi baru
Dalam tiap sistem baru ada himpunan bagian yang isomorfik dengan sitem yang sudah ada. Ini memungkinkan kita untuk bebas merubah dari satu sistem ke sistem lainnya, dan juga untuk mengabungkan sistem yang mendukung pada tiap operasi berdasarkan metodenya . secara keseluruhan hasil konsep merupakan kekuatan besar sebuah sistem.
BAB III
KESIMPULAN
Pengertian Skema Bilangan
Skema bilangan ialah suatu pengelompokan bilangan dari muali pusat bilangan (Bilangan kompleks) sampai dari anak-anak atau sub bilangan seperti (Bilangan Komposti, Bilangan Asli, Bilangan cacah, dan lain lain).
Manfaat Skema Bilangan
Apabila kita sudah memahami Skema Bilangan kita dengan mudah untuk mempelajari matematika seperti himpunan, pertidaksamaan linear dan sebagainya. Dan juga kita semakin menyukai pelajaran Matematika.
Skema Bilangan
Dari gambar di atas sudah sangat jelas saya paparkan mengenai urutan Skema Bilanganya. Namun ada pun penjelasan lebih rincinya sebagai berikut :
