Perambatan Kesalahan Pada Pengukuran Sudut Dan Jarak

PERAMBATAN KESALAHAN PADA PENGUKURAN SUDUT DAN JARAK Pengukuran sudut horizontal: •Kesalahan pembacaan σα •Kesalahan bidik •Kesalahan centering target •Kesalahan centering alat •Pengaruh kesalahan leveling alat

= σ α r + σ α p + σ αi + σ α t 2

2

2

2

Pengukuran jarak (EDM): •Kesalahan centering target •Kesalahan centering alat •Pengaruh kesalahan alat

σ D = σ αi + σ αt + a 2 + (D × b ppm ) 2

2

2

Bambang SETYADJI - April 2005

1

PERAMBATAN KESALAHAN PADA PENGUKURAN SIPAT DATAR D1

Pengukuran beda-tinggi: •Kesalahan sistematik •Salah kolimasi (kemiringan garis bidik) •Bias kelengkungan bumi dan refraksi

eC = D1α − D2α Μ eC = α (∑ DBS − ∑ DFS )  D  hcr = CR   1000 

→ Μ

D meter

α

∆h = (r1 − r2 ) − (D1α − D2α ) −

CR = 0.0675

CR D12 − D22 ) ( 2 1000 Μ CR 2 2 D D ( ) = − ∑ ∑ BS FS 2 1000 eCR =

eCR

2

r1

α

D2

CR D12 − D22 ) ( 2 1000

•Kesalahan acak •Kesalahan pembacaan rambu •Kesalahan leveling alat •Kesalahan leveling rambu Bambang SETYADJI - April 2005

2

r2

PERAMBATAN KESALAHAN PADA PENGUKURAN SIPAT DATAR Pengukuran beda-tinggi: •Kesalahan acak •Kesalahan pembacaan rambu •Kesalahan leveling alat •Kesalahan leveling rambu

d σ r = Dσ r D

(± x mm / km )× ρ d2 eLS r − r ′ = 2r Μ r eLS = sin 2 β 2

Bambang SETYADJI - April 2005

r r’ β

3

LINIERISASI BESARAN-BESARAN UKURAN LAPANGAN L = f (x, y )

Dengan uraian deret taylor:

L = f (x, y ) = f (x0 , y 0 ) +

n n ) L x dx ∂ 0 0 + n! 1! 2! (∂L ∂y )0 dy (∂ 2 L ∂ 2 y )0 dy 2 ( ∂ n L ∂ n y )0 dy n + +Λ + +R n! 1! 2!

(∂L ∂x )0 dx

( ∂ L ∂ x ) dx + 2

2

2

( ∂ +Λ +

n

 ∂L   ∂L  L = f (x, y ) = f (x0 , y 0 ) +   dx +   dy  ∂x  0  ∂y  0  ∂L   ∂L  L − f (x0 , y 0 ) =   dx +   dy  ∂x  0  ∂y  0 Bambang SETYADJI - April 2005

4

LINIERISASI UKURAN JARAK

[

]

2 2 12 ˆ Sij = (x j − xi ) + (y j − yi )

Jarak yang sudah diratakan:

 ∂Sij   ∂Sij   ∂Sij   ∂Sij  0 ˆ  dx +   dy +   dx +   dy Sij = Sij +   ∂x  j  ∂y  j  ∂x  i  ∂y  i  i 0  i 0  j 0  j 0 dengan

[

S = (x − x 0 ij

 ∂S ij   ∂x  j

0 j

) + (y

0 2 i

[

0 j

−y

)]

12 0 2 i

]

12  ∂ 0 0 2 0 0 2  = ( x j − xi ) + (y j − yi )   0 ∂x j −1 2 1 0 0 2 0 0 2 (2)(x 0j − xi0 )(1) = (x j − xi ) + (y j − yi ) 2 ( ( x 0j − xi0 ) x 0j − xi0 ) = = 12 0 2 2 0 0 0 0 S ij (x j − xi ) + (y j − yi )

[

[

]

]

Bambang SETYADJI - April 2005

 ∂Sij  ( y 0j − yi0 )   = 0  ∂y  S j ij  0 ( x 0j − xi0 )  ∂Sij   = −  Sij0  ∂xi 0 ( y 0j − yi0 )  ∂Sij   = −  Sij0  ∂yi 0

5

LINIERISASI UKURAN AZIMUTH

αˆij

Azimuth yang sudah diratakan:

x ( = arctan (y

− xi ) j − yi ) j

 ∂αij   ∂αij   ∂αij   ∂αij  0     ˆ    dyi dx j + dy j +  dxi +  αij = αij +       ∂xi 0  ∂yi 0  ∂x j 0  ∂y j 0

αˆij = arctan ∂ (arctan t ) = 1 2 ∂t 1 + t ∂x ∂x

(x (y

− xi ) j − yi ) j

 ∂αij  (y 0j − yi0 )   = 0 2  ∂x  ( S  j 0 ij )

( y 0j − yi0 )  ∂αij    = − 0 2 x ∂ ( S  i 0 ij ) Bambang SETYADJI - April 2005

 ∂αij  (x 0j − xi0 )   = 0 2  ∂y  ( S  j 0 ij )

( x 0j − xi0 )  ∂αij    = − 0 2 y ∂ ( S  i 0 ij ) 6

LINIERISASI UKURAN SUDUT

Sudut yang sudah diratakan:

x j − xi ) ( ( xk − xi ) ˆ θ jik = αˆik − αˆij = arctan − arctan ( yk − yi ) ( y j − yi )

 ∂θ jik 0 ˆ θ jik = θ jik +   ∂x j   ∂θ +  jik  ∂xi  ∂θ jik   ∂x j   ∂θ ij   ∂y  j

 ∂θ   dx j +  jik   ∂y j 0 

  ∂θ  dxi +  jik 0  ∂yi

  dy j  0

  ∂θ  dyi +  jik 0  ∂xk

  ∂θ  dxk +  jik 0  ∂yk

  dyk 0

 ( y 0j − yi0 )  =−  0 2 ( S 0 ij )

 ∂θ jik   ∂xi

 (y 0j − yi0 ) (y 0 − y 0 )  k i   =  − 0 2 (Sik0 )2   0  (Sij )

 ∂θ jik   ∂x k

 ( y k0 − yi0 )  = (Sik0 )2 0

 ( x 0j − xi0 )  =  0 2 ( S 0 ij )

 ∂θ jik   ∂yi

 (x 0j − xi0 ) (x 0 − x 0 )   = − − k 2i  2 0  (S 0 ) ( )  S 0 ij ik 

 ∂θ ij   ∂y k

 ( xk0 − xi0 )  = − 0 2 ( S 0 ik )

Bambang SETYADJI - April 2005

7

METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil) Dari sekumpulan pengamatan y diperoleh:

Dalam bentuk notasi matrik

vi = y − yi

v=y−y

Untuk perataan diterapkan syarat

φ = v Wv ⇒ minimum

Bentuk umum persamaan syarat

A (l + v ) + Bx = d

t

pengamatan

Parameter anu

Av + Bx = d − Al = f Bambang SETYADJI - April 2005

8

METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil)

φ = v t Wv ⇒ minimum

Av + Bx = d − Al = f k: konstanta pengali Lagrange (Lagrange multipliers)

φ ′ = v t Wv − 2k t (Av + Bx − f ) ∂φ ′ = 2 v t W − 2k t A = 0t ∂v ∂φ ′ = −2 k t B = 0 t ∂x Bambang SETYADJI - April 2005

9

METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil) ∂φ ′ = 2 v t W − 2k t A = 0t ∂v Transpose

∂φ ′ = −2 k t B = 0 t ∂x  v  − W A k  =  A 0    Bt  x   0

t

0  B 0 

−1

0  f    0

− Wv + Ak = 0 Bk = 0

− W A t  0  A t  0 B 

Bambang SETYADJI - April 2005

0   v  0      B k = f     0   x  0 10

METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil) − Wv + Ak = 0 Bk = 0

Av + Bx = f

v = − W −1A t k = QA t k

AQA t k + Bx = f

le = Al Q e = AQA

Q e k + Bx = f −1 k = Qe (− Bx + f ) = We (− Bx + f )

t

(B W B )x = (B W f ) t

t

e

e

atau t t −1 t t −1 B (AQA ) B x = B (AQA ) f

[

] [

Bambang SETYADJI - April 2005

]

11

METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil) v = − W −1A t k = QA t k

k = We (− Bx + f )

v = − W −1A t k = QA t We (− Bx + f )

[

x = B (AQA t

)

t −1

B

] [B (AQA ) f ] −1

t −1

t

[

]

−1

x = B PB B t Pf t

Bambang SETYADJI - April 2005

12

METODA-METODA HITUNG PERATAAN (Kuadrat terkecil)

Qll = Q t Q ff = (− A )Q(− A ) Q xx = N −1B t We BN −1 = N −1 Qkk = We − We BN −1Bt We Qvv = QA t We AQ − QA t We BQ xx B t WeQ Qlˆlˆ = Qll + Qlv + Qvl + Qvv = Q − Qvv

Bambang SETYADJI - April 2005

13

PERATAAN BERSYARAT

Dari sekumpulan pengamatan y diperoleh:

Dalam bentuk notasi matrik

vi = y − yi

v=y−y

Untuk perataan diterapkan syarat

φ = v Wv ⇒ minimum

Bentuk umum persamaan syarat

A (l + v ) + Bx = d

t

pengamatan

Parameter anu

Av + Bx = d − Al = f Bambang SETYADJI - April 2005

14

PERATAAN BERSYARAT

Av + Bx = d − Al = f Karena tidak ada unsur parameter, bentuk persamaan syarat linier menjadi:

B=0 →

Syarat minimum kuadrat residu  v  − W A k  =  A 0    Bt  x   0

t

0  B 0 

−1

0  f    0

A (l + v ) = d atau Av = d − Al = f −1

t −1

 v   − W A  0   f  k  =  A 0     

k = Qe Bx = Wef t −1 = (AQA ) k v = − W −1A t k = QA t Wef

Bambang SETYADJI - April 2005

15

PERATAAN BERSYARAT

Q ff = AQA t = Q e Q kk = WeQe We = We Q vv = QA t We AQ

Qlˆlˆ = (I − QA We A ) Q t

2

= Q − QA t We AQ = Q − Qvv

Bambang SETYADJI - April 2005

16

PERATAAN PARAMETER

Satu persamaan hanya mengandung satu pengamatan: kuadrat residu

A=I →

l + v + Bx = d atau v + Bx = d − l = f

φ = v t Wv = (f − Bx ) W (f − Bx ) t

= (f t − x t B t )(Wf − WBx ) = x t B t WBx − 2f t WBx + f t Wf

v=y−y

∂φ = 2x t B t WB − 2fWB = 0t ∂x (Bt WB )x = Bt Wf lˆ = l + f − Bx Bambang SETYADJI - April 2005

17

MATRIKS KOFAKTOR PERATAAN PARAMETER

Qll = Q Q ff = Q Q xx = N −1B t WQ ff WBN = N −1 Qvv = Q − BN −1Bt Qll = Q − Q vv

Bambang SETYADJI - April 2005

18