PENGANTAR TEORI UKURAN DAN INTEGRAL LEBESGUE
Disusun oleh : Kholida Khoirunnisa 12/331359/PA/14622
Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada 2015
DAFTAR LAMBANG x∈A A⊆X N R R A M inf A sup A → n X i=1 n [
: : : : : : : : : : : :
x anggota A A himpunan bagian (subset) atau sama dengan X himpunan semua asli himpunan semua bilangan real himpunan semua bilangan real digabung {−∞, ∞} koleksi semua himpunan terukur-µ∗ di himpunan X koleksi semua himpunan terukur-m∗ di himpunan R batas bawah terbesar himpunan A batas atas terkecil himpunan A akhir suatu bukti akhir suatu contoh menuju
ai
: penjumlahan a1 + a2 + · · · + an
ai
: gabungan a1 ∪ a2 ∪ · · · ∪ an
i=1
p⇒q ⇔
: jika p maka q : jika dan hanya jika
i
DAFTAR ISI
I
HIMPUNAN TERUKUR 1.1. Ukuran Luar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Himpunan terukur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 3
II ALJABAR HIMPUNAN 2.1. Aljabar Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Aljabar-σ Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ruang Ukuran Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6 6 13
III FUNGSI TERUKUR 3.1. Fungsi Terukur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Konsep Almost Everywhere dan Nearly Everywhere . . . . . . . . . . . . 3.3. Fungsi Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 14 18 19
IV INTEGRAL LEBESGUE 4.1. Integral Fungsi Sederhana . . . . . . . . . 4.2. Integral Fungsi Terukur dan Terbatas . . . 4.3. Integral Fungsi Terukur dan Nonnegatif . . 4.4. Integral Fungsi Terukur . . . . . . . . . . 4.5. Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue 4.6. Convergence in Measure . . . . . . . . . .
24 24 26 31 32 34 39
ii
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
BAB I
HIMPUNAN TERUKUR 1.1. Ukuran Luar Definisi 1.1. Misalkan X 6= ∅. Fungsi µ∗ : 2X → R yang mempunyai sifat-sifat : 1. µ∗ (A) ≥ 0 untuk setiap A ∈ 2X 2. µ∗ (∅) = 0 3. Jika A, B ∈ 2X dan A ⊆ B, maka µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) ! ∞ ∞ [ X ∗ X An ≤ µ∗ (An ) 4. Jika {An } ∈ 2 maka µ n=1
n=1
disebut ukuran luar (outer measure) pada X. (Catatan : R = R ∪ {−∞, ∞}) Contoh 1.1. Untuk memperjelas pemahaman dari Definisi 1.1, perhatikan contoh berikut. Diambil X = R. 2R merupakan koleksi semua himpunan bagian di dalam R. Fungsi m∗ : 2R → R dengan definisi m∗ (A) = inf
(∞ X i=1
l(Ii )|A ⊂
∞ [
) Ii dan Ii selang terbuka
i=1
dengan l(Ii ) merupakan panjang interval Ii , merupakan ukuran luar pada R. Bukti. Ambil sebarang A, B ∈ 2R . Cukup dibuktikan bahwa m∗ memenuhi keempat sifat pada Definisi 1.1. 1. Panjang interval Ii bernilai non negatif, maka jumlahannya juga non negatif. Lebih lanjut, infimumnya juga bernilai non negatif. Diperoleh bahwa m∗ (A) ≥ 0 2. ∅ ⊂ 2R . Menurut sifat pertama, m∗ (∅) ≥ 0. Andaikan m∗ (∅) > 0, tentu ada selang terbuka (a, b) sehingga ∅ ⊂ (a, b). Tetapi mengingat ∅ ⊆ A untuk setiap A ⊆ R, maka ∅ ⊂ (−ε, ε) untuk setiap bilangan real ε > 0. Jadi, m∗ (∅) = inf {l(−ε, ε)} ε>0
= inf {2ε} ε>0
=0 Terjadi kontradiksi, maka pengandaian diingkar. Jadi, m∗ (∅) = 0 3. Pembuktian ini dibagi menjadi 2 kasus. 1
(a) Jika m∗ (B) = ∞, maka jelas m∗ (A) ≤ m∗ (B) = ∞. Bukti Selesai. (b) Jika m∗ (B) < ∞, mengingat m∗ (B) = inf
(∞ X
l(Ii )|B ⊂
i=1
∞ [
) Ii dan Ii selang terbuka
i=1
maka untuk sebarang ε > 0, terdapat barisan selang terbuka {Ii } sehingga S B⊆ ∞ i=1 Ii dan ∞ X l(Ii ) < m∗ (B) + ε (1.1) i=1
Karena A ⊆ B, tentu A ⊆
S∞
i=1 Ii ,
yang berakibat
∗
m (A) ≤
∞ X
l(Ii )
(1.2)
i=1
Dari (1.1) dan (1.2), diperoleh m∗ (A) < m∗ (B) + ε Dengan kata lain, m∗ (A) ≤ m∗ (B) Jadi, terbukti bahwa jika A, B ∈ 2R dan A ⊆ B, maka µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) 4. Pembuktian ini dibagi menjadi 2 kasus : ∗
(a) Jika terdapat n ∈ N sehingga m (Ai ) = ∞, maka ! ∞ ∞ [ X m∗ An ≤ m∗ (An ) = ∞. Bukti selesai. n=1
∞ X
m∗ (An ) = ∞. Didapat
n=1
n=1 ∗
(b) Jika ∀n ∈ N, m (An ) < ∞, maka ada barisan {Ink } sehingga An ⊆
∞ [
Ink
k=1
dan
∞ X
l(Ink ) < m∗ (An ) +
k=1
Diperoleh
∞ [
An ⊆
n=1
∞ ∞ [ [ n=1 k=1
2
Ink
ε 2n
Oleh karena itu, m∗
∞ [
! An
≤
n=1
∞ X ∞ X
l (Ink )
n=1 k=1
<
∞ X
m∗ (An ) +
n=1
Dengan kata lain, terbukti bahwa m
∗
∞ [
! An
≤
n=1
ε 2n
∞ X
m∗ (An )
n=1
Jadi, m∗ merupakan ukuran luar pada R
1.2. Himpunan terukur Definisi 1.2. Jika µ∗ merupakan ukuran luar pada X, maka himpunan E ∈ 2X dikatakan terukur-µ∗ (µ∗ -measurable) jika untuk setiap A ∈ 2X benar bahwa µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C ) Teorema 1.1. E ⊆ X terukur µ∗ jika dan hanya jika untuk setiap A ⊆ R benar bahwa µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C ) Bukti. Syarat perlu : Cukup jelas bahwa 1.2 ⇒ 1.1 Syarat cukup : Diketahui bahwa untuk setiap A ⊆ X benar bahwa µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C )
(1.3)
Karena A = (A ∩ E) ∪ (A ∩ E C ), maka menurut Definisi 1.1 yang ketiga, diperoleh µ∗ (A) = µ∗ {(A ∩ E) ∪ (A ∩ E C )}
(1.4)
µ∗ (A) ≤ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C )
(1.5)
Dari (1.3) dan (1.5) diperoleh µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C ) Teorema 1.2. Diberikan himpunan X 6= ∅ dan E, F ⊆ X. Misalkan A adalah koleksi semua himpunan terukur-µ∗ di X, maka berlaku : 1. ∅, X ∈ A 3
2. Jika E ∈ A, maka E C ∈ A 3. Jika E, F ∈ A, maka E ∪ F ∈ A 4. Jika µ∗ (E) = 0, maka E ∈ A Bukti. Ambil sebarang E, F ∈ X, 1. Ambil sebarang A ∈ X, maka A ∩ ∅ = ∅ dan A ∩ X = A. Diperoleh µ∗ (A ∩ ∅) + µ∗ (A ∩ ∅C ) = µ∗ (∅) + µ∗ (A) = 0 + µ∗ (A) = µ∗ (A)
µ∗ (A ∩ X) + µ∗ (A ∩ X C ) = µ∗ (A) + µ∗ (∅) = µ∗ (A) + 0 = µ∗ (A) Jadi, terbukti bahwa ∅, X ∈ A. 2. Diambil sebarang E ∈ A, artinya E terukur-µ∗ . Ambil sebarang A ∈ A, benar bahwa µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C ) = µ∗ (A ∩ (E C )C ) + µ∗ (A ∩ E C ) = µ∗ (A ∩ E C ) + µ∗ (A ∩ (E C )C ) Jadi, terbukti bahwa jika E ∈ A, maka E C ∈ A. 3. Diambil sebarang E, F ∈ A, artinya E, F masing-masing terukur-µ∗ . Diambil sebarang A ∈ 2X , maka A ∩ E C ∈ 2X . Karena F terukur-µ∗ , maka µ∗ (A ∩ E C ) = µ∗ ((A ∩ E C ) ∩ F ) + µ∗ ((A ∩ E C ) ∩ F C ) µ∗ ((A ∩ E C ) ∩ F ) = µ∗ (A ∩ E C ) − µ∗ ((A ∩ E C ) ∩ F C )
Karena A ∩ (E ∪ F ) = (A ∩ E) ∪ (A ∩ F C ) = (A ∩ E) + (A ∩ F ∩ E C )
4
Jadi, µ∗ (A ∩ (E ∪ F )) ≤ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ F ∩ E C ) µ∗ (A ∩ (E ∪ F )) ≤ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C ) − µ∗ ((A ∩ E C ) ∩ F C ) µ∗ (A ∩ (E ∪ F )) + µ∗ ((A ∩ E C ) ∩ F C ) ≤ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C ) µ∗ (A ∩ (E ∪ F )) + µ∗ (A ∩ (E ∪ F )C ) ≤ µ∗ (A) Jadi, terbukti bahwa jika E, F ∈ A, maka E ∪ F ∈ A. 4. Diketahui µ∗ (E) = 0. Ambil sebarang A ⊆ X, diperoleh A∩E ⊆ E dan A∩E C ⊆ A. Maka diperoleh µ∗ (A ∩ E) ≤ µ∗ (E) = 0 µ∗ (A ∩ E C ) ≤ µ∗ (A) Diperhatikan bahwa µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C ) = 0 + µ∗ (A ∩ E C ) ≤ µ∗ (A) Jadi, E terukur-µ∗ . Terbukti bahwa jika µ∗ (E) = 0, maka E ∈ A.
5
BAB II
ALJABAR HIMPUNAN 2.1. Aljabar Himpunan Definisi 2.1. Diberikan himpunan X 6= ∅. A ⊆ 2X disebut Aljabar Himpunan pada X jika memenuhi 1. ∅, X ∈ A 2. Jika E ∈ A, maka E C ∈ A 3. Jika E, F ∈ A, maka E ∪ F ∈ A Menurut Teorema 1.2, koleksi semua himpunan terukur-µ∗ di X merupakan Aljabar Himpunan. Selanjutnya akan didefinisikan Aljabar Himpunan yang lebih khusus, yaitu Aljabar-σ Himpunan. 2.2. Aljabar-σ Himpunan Definisi 2.2. Diberikan himpunan X 6= ∅. A ⊆ 2X disebut Aljabar-σ Himpunan pada X jika memenuhi 1. ∅, X ∈ A 2. Jika E ∈ A, maka E C ∈ A 3. Jika {En } ∈ A, maka
∞ [
En ∈ A
i=1
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa A koleksi semua himpunan terukur-µ∗ pada X merupakan Aljabar-σ Himpunan. Namun terlebih dahulu akan dipaparkan lemma dan teorema untuk membuktikannya. Teorema 2.1. Jika {An } ⊆ A, maka terdapat {Bn } ⊆ A yang saling asing dan ∞ [
Bn =
n=1
∞ [
An
n=1
Bukti. Dibentuk B1 = A1 B2 = A2 − A1 = A2 ∩ AC 1 .. . C C Bn = An − An−1 − An−2 − · · · − A1 = An ∩ AC n−1 ∩ An−2 ∩ · · · ∩ A1
6
Jelas bahwa Bn ⊆ An dan Bn ∈ A. Didapat, ∞ [
Bn ⊆
n=1
∞ [
An
(2.1)
n=1
S S∞ Selanjutnya diambil sebarang x ∈ ∞ n=1 An , akan ditunjukkan x ∈ n=1 Bn . Tentu ada Ak sehingga x ∈ Ak . Dipilih k terkecil, yaitu i, sehingga x ∈ Ai , Bi = Ai − Ai−1 − · · · − A1 S Jadi, x ∈ Bi . Hal ini berakibat x ∈ ∞ n=1 Bn . Jadi ∞ [
An ⊆
n=1
∞ [
Bn
(2.2)
n=1
Diambil m 6= n. Tanpa mengurangi keumuman, dianggap m < n Bm ∩ Bn ⊆ Am ∩ Bn = Am ∩ (An ∩ Acn−1 ∩ · · · ∩ AC 1) =∅ Jadi, {Bn } saling asing. Jadi terbukti bahwa terdapat {Bn } yang saling asing dan ∞ [
An =
n=1
∞ [
Bn
n=1
Teorema 2.2. Jika E1 , E2 , . . . , En ∈ A yang saling asing, maka untuk setiap A ∈ 2X benar bahwa ! n n [ X ∗ µ A∩ Ek = µ∗ (A ∩ Ek ) k=1
k=1
Bukti. Bukti dengan induksi matematika : 1. Untuk n = 1, jelas berlaku karena ruas kanan sama dengan ruas kiri.
7
2. Dianggap benar untuk n − 1, akan dibuktikan benar untuk n. Diperhatikan bahwa, A∩ A∩
n−1 [ k=1 n−1 [
! ∩ En = A ∩ En
Ek !
∩ EnC = A ∩
Ek
k=1
n−1 [
Ek
k=1
Selanjutnya, µ∗
A∩
n−1 [
! Ek
! + µ∗
∩ En
A∩
k=1
n−1 [
!
! ∩ EnC
Ek
= µ∗ (A ∩ En ) + µ∗ (A ∩
k=1
n−1 [ k=1
= µ∗ (A ∩ En ) +
n−1 X
µ∗ (A ∩ Ek )
k=1
=
n X
µ∗ (A ∩ Ek )
k=1
Karena Ek terukur-µ∗ , maka µ∗
A∩
n−1 [
! Ek
! ∩ En
+ µ∗
A∩
n−1 [
! Ek
! ∩ EnC
= µ∗ A ∩
n [
! Ek
k=1
k=1
k=1
Didapat µ
∗
A∩
n [
! Ek
=
n X
k=1
Terbukti bahwa µ∗ A
Ek
µ∗ (A ∩ Ek )
k=1
!
n \[
=
n X
µ∗ (A ∩ Ek )
i=1
k=1
Teorema 2.3. Untuk sebarang {Ak } ⊆ A, benar bahwa ∞ [
Ak ∈ A
k=1
Bukti. Telah dibuktikan bahwa jika {Ak } ⊆ A maka ada {Ek } ⊆ A yang saling asing sehingga ∞ ∞ [ [ Ak = Ek k=1
k=1
8
Ek )
S S∞ ∗ Jadi, untuk membuktikan ∞ k=1 Ak terukur-µ sama dengan membuktikan bahwa k=1 Ek terukur-µ∗ . S S Ditulis Fn = nk=1 Ek , sehingga didapat Fn ⊆ ∞ k=1 Ek = E. Hal ini mengakibatkan E C ⊆ FnC , yang berarti µ∗ (E C ) ≤ µ∗ (FnC ). Diambil sebarang himpunan A ∈ 2X , maka µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ Fn ) + µ∗ (A ∩ FnC ) µ∗ (A) ≥ µ∗ (A ∩ Fn ) + µ∗ (A ∩ E C ) n [ ∗ ∗ µ (A) ≥ µ (A ∩ Ek ) + µ∗ (A ∩ E C ) k=1
µ∗ (A) ≥
n X
µ∗ (A ∩ Ek ) + µ∗ (A ∩ E C )
k=1
Persamaan di atas berlaku untuk setiap n ∈ N. Oleh karena itu, berlaku pula untuk n → ∞. Didapat, µ∗ (A) ≥
∞ X
µ∗ (A ∩ Ek ) + µ∗ (A ∩ E C )
k=1
µ∗ (A) ≥ µ∗
A∩
∞ [
! + µ∗ (A ∩ E C )
Ek
k=1 ∗
µ (A) ≥ µ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E C )
Jadi,
S∞
k=1
∗
S∞
Ek terukur-µ∗ . Dengan kata lain,
k=1
Ak terukur-µ∗ . Terbukti.
Dari teorema di atas, terbukti bahwa koleksi semua himpunan terukur-µ∗ pada X merupakan aljabar-σ himpunan. Akibat 2.1.
1. Jika {Ak } ⊆ A, maka µ
∗
∞ [
! ≤
Ak
k=1
∞ X
µ∗ (Ak )
k=1
2. Jika {Ek } ⊆ A, maka µ
∗
∞ [
! Ek
k=1
=
∞ X k=1
Teorema 2.4. Setiap selang (interval) terukur-m∗ .
9
µ∗ (Ek )
Bukti. Karena (a.b) = (a, ∞) ∩ (−∞, b) (a.b] = (a, ∞) ∩ (−∞, b]
Cukup dibuktikan bahwa (a, ∞) terukur-m∗ . Ambil sebarang A ∈ R, akan ditunjukkan m∗ (A) ≥ m∗ (A ∩ (a, ∞)) + m∗ (A ∩ (−∞, a]) Jika m∗ (A) = ∞, maka jelas terpenuhi sehingga tidak perlu dibuktikan. Jika 0 ≤ m∗ (A) < ∞, tulis A1 = A ∩ (a, ∞) dan A2 = A ∩ (−∞, a]. Sehingga A1 ∪ A2 = A A1 ∩ A2 = ∅ Ambil sebarang ε > 0 maka ada barisan selang terbuka {Ik } sehingga A ⊆ dan ∞ X m∗ (Ik ) < m∗ (A) + ε k=1 0
00
Jadi, {Ik } terpecah menjadi dua bagian yaitu {Ik } = {Ik } ∪ {Ik } dengan
A1 ⊆
∞ [
∞ [
0
Ik dan A2 ⊆
k=1
k=1
0
0
00
Ik
Ik = Ik ∪ Ik” dan ∅ = Ik ∩ Ik” 0
Jadi, Ik dan Ik” saling asing untuk setiap k ∈ N. Didapat 0
m∗ (Ik ) = m∗ (Ik ∪ Ik” ) 0
= m∗ (Ik ) + m∗ (Ik” )
Karena m∗ (A1 ) ≤
∞ X
0
m∗ (Ik )
k=1
m∗ (A2 ) ≤
∞ X k=1
10
m∗ (Ik” )
S∞
k=1 Ik
maka didapat ∗
∗
m (A1 ) + m (A2 ) ≤ m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) ≤ m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) ≤
∞ X k=1 ∞ X k=1 ∞ X
∗
0
m (Ik ) +
∞ X
m∗ (Ik” )
k=1 0
m∗ (Ik ) + m∗ (Ik” ) m∗ (Ik )
k=1 ∗
∗
m (A1 ) + m (A2 ) < m∗ (A) + ε m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) ≤ m∗ (A) Jadi, terbukti bahwa (a, ∞) terukur-m∗ . ∗ C ∗ Lebih lanjut, karena (a, ∞) terukur-m , maka (a, ∞) = (−∞, a] terukur-m . Dengan cara yang sama pula, dapat dibuktikan bahwa (−∞, a) dan [a, ∞) terukur-m∗ . Hal ini mengakibatkan (a, b), [a, b], (a, b] dan [a, b) juga terukur m∗ . Akibat 2.2. Untuk setiap a, b ∈ R, interval 1. (a, b) terukur-m∗ 2. (a, b] terukur-m∗ 3. [a, b) terukur-m∗ 4. [a, b] terukur-m∗ Teorema 2.5. Diberikan E ∈ X. Tiga pernyataan di bawah ini ekuivalen. 1. E ∈ A 2. ∀ε > 0 terdapat himpunan terbuka O sehingga E ⊂ O dan µ∗ (O − E) < ε 3. ∀ε > 0 terdapat himpunan tertutup F sehingga F ⊂ E dan µ∗ (E − F ) < ε Bukti. 1. Dari 1 ke 2. Diketahui E terukur-µ∗ . Oleh karena itu, diambil sebarang ε > 0, maka terdapat barisan selang terbuka {Ik } sehingga E⊆
∞ [ k=1
11
Ik
dan ∞ X
µ∗ (Ik ) < µ∗ (E) + ε
k=1 ∞ X
µ∗ (Ik ) − µ∗ (E) < ε
k=1
Diambil O =
S∞
k=1 Ik .
Maka O merupakan himpunan terbuka dan O terukur-µ∗
Diperhatikan bahwa O = E ∪ (O − E) dan ∅ = E ∩ (O − E). Jadi, E dan O − E saling asing, sehingga µ∗ (E ∪ (O − E)) = µ∗ (E) + µ∗ (O − E) µ∗ (O) = µ∗ (E) + µ∗ (O − E) µ∗ (O − E) = µ∗ (O) − µ∗ (E)
Berdasarkan Akibat 2.1 yang pertama, ∗
µ (O) = µ
∗
∞ [
! Ik
≤
∞ X
µ∗ (Ik )
k=1
k=1
Diperoleh µ∗ (O − E) ≤
∞ X
µ∗ (Ik ) − µ∗ (E)
k=1 ∗
µ (O − E) ≤ ε Terbukti. 2. Dari 2 ke 3, Oleh karena E terukur-µ∗ , maka E C juga terukur-µ∗ . Menurut 2, ∀ε > 0 terdapat himpunan terbuka O sehingga E C ⊂ O dan µ∗ (O − E C ) < ε. Dipilih F = OC , maka F merupakan himpunan tertutup dan E − F = E ∩ F C = E ∩ O = O ∩ E = O − EC Jadi, µ∗ (E − F ) = µ∗ (O − E C ) < ε. Terbukti. 3. Dari 3 ke 1, Diketahui ∀ε > 0 terdapat himpunan tertutup F sehingga F ⊂ E dan µ∗ (E − F ) < S ε. Oleh karena F tertutup, maka F C terbuka. Misal O = F C . Didapat O = ∞ k=1 Ik C C dengan Ik selang terbuka. Karena F ⊂ E, maka E ⊂ F = O. 12
Diperoleh E C ⊂
S∞
k=1 Ik
dan
µ∗ (O) − µ∗ (E C ) = µ∗ (O − E C ) = µ∗ (E) − µ∗ (OC ) = µ∗ (E − F ) <ε Sehingga µ∗ (O) < µ∗ (E C ) + ε Di pihak lain,
∗
µ (O) = µ
∗
∞ [
! Ik
k=1
=
∞ X
µ∗ (Ik )
k=1
Didapat ∞ X
µ∗ (Ik ) < µ∗ (E C ) + ε
k=1
Dengan kata lain, E C terukur-µ∗ . Oleh karena itu, E terukur-µ∗ . Terbukti.
2.3. Ruang Ukuran Lebesgue Definisi 2.3. Misal A merupakan koleksi semua himpunan terukur-µ∗ pada X. Fungsi m : A → R dengan definisi m(E) = µ∗ (E) untuk setiap E ∈ A, disebut ukuran Lebesgue (Lebesgue Measure) Lebih lanjut, (X, A) disebut ruang terukur (Measurable Space), serta sistem (X, A, m) disebut ruang ukuran (Measurable Space) Lebesgue. Definisi 2.4. Diberikan (X, A, m) yang merupakan ruang ukuran dan E ∈ A. Dibentuk AE = {E ∩ D|D ∈ A} (E, AE , m) disebut Ruang Ukuran Relatif atas E.
13
BAB III
FUNGSI TERUKUR 3.1. Fungsi Terukur Teorema 3.1. E ∈ A dan f : X → R. Empat pernyataan di bawah ini ekuivalen untuk setiap α ∈ R : 1. {x ∈ E|f (x) > α} ∈ A 2. {x ∈ E|f (x) ≤ α} ∈ A 3. {x ∈ E|f (x) < α} ∈ A 4. {x ∈ E|f (x) ≥ α} ∈ A Bukti. Karena himpunan (i) dan (ii) saling komplemen di E, seperti halnya himpunan (iii) dan (iv), dan komplemen suatu himpunan terukur adalah terukur, maka (i) dan (ii) ekuivalen, seperti halnya (iii) dan (iv). Jadi, cukup ditunjukkan bahwa (ii) ⇔ (iii). 1. Akan dibuktikan (ii) ⇒ (iii). Diperhatikan {x ∈ E|f (x) < α} =
∞ [
{x ∈ E|f (x) ≤ α −
n=1
1 } n
Karena α − n1 ∈ R, maka {x ∈ E|f (x) ≤ α − n1 terukur-µ∗ . Lebih lanjut, gabungannya terukur-µ∗ . Jadi, {x ∈ E|f (x) < α} terukur-µ∗ . 2. Akan dibuktikan (iii) ⇒ (ii). Diperhatikan {x ∈ E|f (x) ≤ α} =
∞ \
{x ∈ E|f (x) < α +
n=1
1 } n
Karena α + n1 ∈ R, maka {x ∈ E|f (x) < α + n1 terukur-µ∗ . Lebih lanjut, irisannya terukur-µ∗ . Jadi, {x ∈ E|f (x) ≤ α} terukur-µ∗ . Berdasarkan teorema di atas, didefinisikan fungsi terukur pada himpunan terukur E. Definisi 3.1. Fungsi f : X → R dikatakan terukur pada E ∈ A jika salah satu dari pernyataan di dalam teorema di atas terpenuhi. Akibat 3.1. Jika ∀x ∈ E ∈ A, f (x) = α untuk suatu α ∈ R, maka f terukur µ∗ pada E. 14
Bukti. Ambil sebarang λ ∈ R. Diperhatikan {x ∈ E|f (x) > λ} =
E
, jika λ ≤ α
∅
, jika λ > α
Masing-masing E dan ∅ merupakan himpunan terukur-µ∗ . Jadi, f fungsi terukur.
Teorema 3.2. Jika fungsi f, g terukur pada himpunan terukur-µ∗ E, maka 1. Untuk setiap λ ∈ R, λf terukur pada E ∈ A. 2. f + g terukur pada E. 3. f 2 terukur pada E. 4. f g terukur pada E. Bukti. 1. Akan dibuktikan λf terukur pada E. (a) Jika λ = 0, maka (λf )(x) = 0 untuk setiap x ∈ E. Fungsi λf menjadi fungsi konstan. Menurut akibat 3.1 di atas, maka λf terukur pada E. (b) Jika λ > 0. Ambil sebarang α ∈ R, maka {x ∈ E|(λf )(x) > α} = {x ∈ E|f (x) >
α } λ
Karena αλ ∈ R, maka himpunan {x ∈ E|(λf )(x) > α} terukur. Jadi, λf terukur pada E. (c) Jika λ < 0. Ambil sebarang α ∈ R, maka {x ∈ E|(λf )(x) > α} = {x ∈ E|f (x) <
α } λ
Karena αλ ∈ R, maka himpunan {x ∈ E|(λf )(x) < α} terukur. Jadi, λf terukur pada E. Jadi, λf terukur pada E. 2. Akan dibuktikan f + g terukur pada E, {x ∈ E|(f + g)(x) > α} = {x ∈ E|f (x) > α − g(x)} Karena x ∈ E ⊂ X dan α ∈ R, maka f (x), α − g(x) ∈ R. Di antara kedua bilangan real tersebut, pasti terdapat bilangan rasional r ∈ Q, yaitu α − g(x) < r < f (x) 15
Didapat {x ∈ E|(f + g)(x) > α} = {x ∈ E|f (x) > α − g(x)} = {x ∈ E|α − g(x) < r < f (x)} = {x ∈ E|f (x) > r ∧ g(x) > α − r} = {x ∈ E|f (x) > r} ∩ {x ∈ E|g(x) > α − r}
Masing-masing {x ∈ E|f (x) > r} dan {x ∈ E|g(x) > α − r} terukur-µ∗ , maka {x ∈ E|(f + g)(x) > α} terukur-µ∗ . Jadi, f + g fungsi terukur. 3. Akan dibuktikan f 2 terukur pada E. Diperhatikan {x ∈ E|f 2 (x) > α} = {x ∈ E|f (x) > = {x ∈ E|f (x) >
√
√ α ∨ f (x) < − α}
√
√ α} ∪ {x ∈ E|f (x) < − α}
√ √ Karena masing-masing {x ∈ E|f (x) > α} dan {x ∈ E|f (x) < − α} terukur, maka {x ∈ E|f 2 (x) > α} terukur. Jadi, f 2 terukur pada E. 4. Akan dibuktikan f g terukur pada E. Diperhatikan 1 f g = ((f + g)2 − f 2 − g 2 ) 2 Oleh karena masing-masing f + g, f 2 dan g 2 terukur-µ∗ , maka f g juga terukur-µ∗ . Jadi, f g terukur pada E.
Teorema 3.3. Diketahui fn fungsi terukur pada himpunan terukur-µ∗ E, ∀n ∈ N. Untuk setiap x ∈ R, fungsi-fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: 1. maxk≤n fk (x) = max{f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)} 2. mink≤n fk (x) = min{f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)} 3. supk≥n fk (x) = sup{fn (x), fn+1 (x), · · · } 4. inf k≥n fk (x) = inf{fn (x), fn+1 (x), · · · } 5. lim fk (x) = inf n≥1 supk≥n fk (x) 6. lim fk (x) = supn≥1 inf k≥n fk (x) merupakan fungsi terukur pada E. 16
Bukti. 1. Untuk maxk≤n fk , {x ∈ E| max fk (x) > α} = {x ∈ E| max{f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)} > α} k≤n
= {x ∈ E|f1 (x) > α ∨ f2 (x) > α ∨ · · · ∨ fn (x) > α} n [ = {x ∈ E|fk (x) > α} k=1
Karena masing-masing {x ∈ E|fk (x) > α} terukur-µ∗ , maka gabungannya juga terukur-µ∗ . Jadi, maxk≤n fk terukur pada E. 2. Untuk mink≤n fk , {x ∈ E| min fk (x) > α} = {x ∈ E| min{f1 (x), f2 (x), · · · , fn (x)} > α} k≤n
= {x ∈ E|f1 (x) > α ∧ f2 (x) > α ∧ · · · ∧ fn (x) > α} n \ {x ∈ E|fk (x) > α} = k=1
Karena masing-masing {x ∈ E|fk (x) > α} terukur-µ∗ , maka irisannya juga terukurµ∗ . Jadi, mink≤n fk terukur pada E. 3. Untuk supk≥n fk (x), {x ∈ E| sup fk (x) > α} = {x ∈ E| sup{fn (x), fn+1 (x), · · · } > α} k≥n
= {x ∈ E|fn (x) > α ∨ fn+1 (x) > α ∨ · · · } ∞ [ = {x ∈ E|fk (x) > α} k=n
Karena masing-masing {x ∈ E|fk (x) > α} terukur-µ∗ , maka gabungannya juga terukur-µ∗ . Jadi, supk≤n fk terukur pada E. 4. Untuk inf k≥n fk (x), {x ∈ E| inf fk (x) < α} = {x ∈ E| inf{fn (x), fn+1 (x), · · · } < α} k≥n
= {x ∈ E|fn (x) < α ∨ fn+1 (x) < α ∨ · · · } ∞ [ = {x ∈ E|fk (x) < α} k=n
Karena masing-masing {x ∈ E|fk (x) < α} terukur-µ∗ , maka gabungannya juga terukur-µ∗ . Jadi, inf k≤n fk terukur pada E. 17
5. Untuk lim fk (x) = inf n≥1 supk≥n fk (x), {x ∈ E| lim fk (x) > α} = {x ∈ E| inf sup fk (x) > α} n≥1 k≥n
=
∞ [ ∞ \
{x ∈ E|fk (x) > α}
n=1 k=1
Karena masing-masing {x ∈ E|fk (x) > α} terukur-µ∗ , maka gabungan dan irisannya juga terukur-µ∗ . Jadi, lim fk terukur pada E. 6. Untuk lim fk (x) = supn≥1 inf k≥n fk (x), {x ∈ E| lim fk (x) < α} = {x ∈ E| sup inf fk (x) < α} n≥1 k≥n
=
∞ [ ∞ \
{x ∈ E|fk (x) < α}
n=1 k=1
Karena masing-masing {x ∈ E|fk (x) < α} terukur-µ∗ , maka gabungan dan irisannya juga terukur-µ∗ . Jadi, lim fk terukur pada E.
3.2. Konsep Almost Everywhere dan Nearly Everywhere Definisi 3.2. Suatu pernyataan P (x) dikatakan berlaku/benar hampir di mana-mana (h.d) atau almost everywhere (a.e) pada himpunan terukur-µ∗ E, jika terdapat A ⊂ E sehingga µ∗ (A) = 0 dan P (x) berlaku benar untuk setiap x ∈ E − A. Contoh 3.1. Diberikan f : [a, b] → R 1 , x ∈ [a, b] irasional f (x) = 0 , x ∈ [a, b] rasional Diambil A =koleksi semua bilangan rasional di dalam [a, b], maka m∗ (A) = 0. Lebih lanjut, f (x) = 1 untuk setiap x ∈ [a, b] − A. Jadi, pernyataan f (x) = 1 dikatakan hampir di mana-mana pada [a, b]. Definisi 3.3. Suatu pernyataan P (x) dikatakan berlaku/benar nyaris di mana-mana (n.d) atau nearly everywhere (a.e) pada himpunan terukur-µ∗ E, jika terdapat A ⊂ E sehingga P (x) berlaku benar untuk setiap x ∈ E − A. Terlihat bahwa definisi nearly everywhere lebih lemah daripada almost everywhere. Teorema 3.4. Jika pernyataan f (x) = g(x) almost everywhere pada himpunan terukurµ∗ pada E dan f terukur pada E, maka g terukur pada E. 18
Bukti. Karena f (x) = g(x) h.d pada E, maka terdapat A ⊂ E sehingga µ∗ (A) = 0 dan f (x) = g(x) untuk setiap x ∈ E − A. Diperhatikan {x ∈ E|g(x) > α} = {x ∈ E − A|g(x) > α} + {x ∈ A|g(x) > α} = {x ∈ E − A|f (x) > α} − {x ∈ E|f (x) 6= g(x)}
Karena µ∗ (A) = 0 maka µ∗ ({x ∈ E|f (x) 6= g(x)}) = 0, maka {x ∈ E|g(x) > α} terukurµ∗ . Jadi, g terukur pada E.
3.3. Fungsi Sederhana Definisi 3.4. Diberikan E ⊆ X. Fungsi χE : X → R dengan rumus 1 , x ∈ E χE (x) = 0 , x ∈ /E disebut fungsi karakteristik (characteristic function) pada E. Teorema 3.5. Jika E ⊂ X terukur-µ∗ , maka χE merupakan fungsi terukur pada X. Bukti. Ambil sebarang α ∈ R, 1. Jika α < 1, maka {x ∈ E|χE (x) < α} = {x ∈ E|χE (x) < 1} = {x ∈ E|χE (x) = 0} = ∅ Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan terukur-µ∗ , maka χE fungsi terukur. 2. Jika α ≥ 1, maka {x ∈ E|χE (x) < α} = {x ∈ E|χE (x) = 1 ∨ χE (x) = 0} = E Himpunan E merupakan himpunan terukur-µ∗ , maka χE fungsi terukur. Terbukti.
Definisi 3.5. Jika E terukur-µ∗ , {cn } ∈ R, {En } ∈ A sehingga E =
n [ k=1
ϕ:R→R n X ϕ(x) = ck χEk (x) k=1
19
Ek , maka fungsi
disebut fungsi sederhana (simple function) pada E. Teorema 3.6. Jika ϕ dan ψ masing-masing fungsi sederhana, maka αϕ, ϕ + ψ dan ϕ · ψ juga fungsi sederhana. m n [ [ Pm Pn Bukti. Katakan ϕ = Ek = Fj . k=1 ck χEk dan ψ = j=1 dj χFj dengan E = k=1
Dibentuk Ak j = Ek ∩ Fj . Diperoleh n [
Akj =
n [
(Ek ∩ Fj ) = Ek ∩
n [
j=1
j=1
j=1
m [
m [
m [
k=1
Akj =
(Ek ∩ Fj ) = Fj ∩
k=1
Fj = Ek ∩ E = Ek
Fj = Fj ∩ E = Fj
k=1
maka 1. αϕ = α
m X
ck χEk =
m X
(ck α)χEk
k=1
k=1
Karena ck α ∈ R, maka αϕ merupakan fungsi sederhana. 2. ϕ+ψ =
m X
ck χEk +
n X j=1
k=1
= =
m X
dj χFj
ck χSnj=1 Akj +
k=1 n m X X
n X
dj χSm k=1 Akj
j=1
(ck + dj )χSnj=1 Akj ∩Sm k=1 Akj
k=1 j=1
merupakan fungsi sederhana. 3. ϕψ = = =
m X k=1 m X
ck χEk
n X
dj χFj
j=1
ck χ
k=1 m X n X
Sn
j=1
n X Akj
dj χ S m k=1 Akj
j=1
(ck · dj )χSnj=1 Akj ∩Sm k=1 Akj
k=1 j=1
20
j=1
merupakan fungsi sederhana. Teorema 3.7. E ⊂ X merupakan himpunan terukur-µ∗ . Untuk setiap n ∈ N didefinisikan fungsi terukur pada E , fn : X → R. Jika {fn } almost everywhere konvergen ke suatu fungsi f , maka f fungsi terukur pada E. Bukti. Berdasarkan definisi almost everywhere, dapat dianggap bahwa {fn } konvergen ke f pada E. Dengan kata lain, ∀x ∈ E∀ε > 0 ∃nx ∈ N sehingga ∀k ≥ nx berlaku |fk (x) − f (x)| < ε Oleh karena {fk } fungsi terukur-µ∗ maka himpunan {x ∈ E|fk (x) < λ − n1 } terukur-µ∗ untuk setiap λ ∈ R. Didapat {x ∈ E|f (x) < λ} =
∞ ∞ \ [
{fk (x) < λ −
n=k k=1
1 } n
merupakan himpunan terukur-µ∗ . Jadi, f fungsi terukur pada E.
Akibat 3.2. Fungsi f : X → R terukur pada himpunan terukur-µ∗ E jika dan hanya jika ada barisan fungsi sederhana {ϕn } pada E yang konvergen ke f almost everywhere pada E. Bukti. 1. ⇐ Syarat cukup jelas terpenuhi, berdasarkan Teorema 3.7 2. ⇒ Dibentuk komponen-komponen En = {x ∈ E|f (x)f (x) ≤
1 } 2n
f terukur pada E, sehingga En terukur-µ∗ . Dibentuk Ei = {x ∈ E|
i−1 1 ≤ f (x) ≤ n } n 2 2
untuk i ≥ 1, maka Ei terukur-µ∗ . Tulis ci =
i−1 2n
dan di =
i , 2n
maka di − ci = n1 . Dibentuk fungsi-fungsi sederhana 2n
X 1 ϕn = n χEn + ci χEi 2 i=1 2n
X 1 di χEi ψn = n χEn + 2 i=1 21
Terlihat bahwa ϕn (x) ≤ f (x) ≤ psin (x) dan ϕn (x) ≤ ϕn+1 (x) ≤ f (x) ≤ ψn+1 (x) ≤ ψn (x) 1 ϕn (x) − ψn (x) = n 2
(3.1) (3.2)
Berdasarkan hasil (3.1) dan (3.2) diperoleh bahwa barisan fungsi sederhana naik monoton {ϕn } dan barisan fungsi sederhana turun monoton {ψn } yang konvergen ke f h.d pada E. ϕn − ψn konvergen ke f pada E. Jadi, barisan fungsi sederhana {Φn } dengan Φn = 2
Akibat 3.3. Jika fungsi f : X → R terukur pada himpunan terukur-µ∗ E maka ∀ε > 0 terdapat fungsi sederhana ϕε sehingga |f (x) − ϕε (x)| < ε almost everywhere pada E. Bukti. Berdasarkan bukti teorema sebelumnya, ϕn (x) ≤ f (x) ≤ ψn (x) ψn (x) − ϕn (x) =
1 2n
Didapat 1 2n 1 fn (x) − ϕ(x) ≤ n 2
ψn (x) − fn (x) ≤
Diambil sebarang ε > 0, menurut Archimedean properties, terdapat bilangan asli n0 sehingga 1 <ε 2n0 Diambil φε = ϕn0 atau φε = ψn0 , didapat φε (x) − f (x) = ψn0 (x) − f (x) ≤
1 <ε 2n0
f (x) − φε (x) = f (x) − ϕn0 (x) ≤
1 <ε 2n0
22
Jadi, |f (x) − φε (x)| < ε Terbukti.
Pn Sn Teorema 3.8. Jika φ = k=1 αk χEk fungsi sederhana pada E = k=1 Ek maka ada Pm Sm fungsi sederhana ψ = i=1 βi χFi pada E = i=1 Fi sehingga Fi ∩ Fj = ∅ untuk i 6= j, dan φ=ψ Bukti. Diambil {β1 , β2 , . . . , βm } ⊂ {α1 , α2 , . . . , αn } dengan βi 6= βj untuk i 6= j dan P Fi = {x ∈ E|ϕ(x) = βi }. Diperoleh ψ = m i=1 βi χFi
Definisi 3.6. Fungsi sederhana ψ = Fungsi Sederhana bentuk Kanonik
Pm
i=1
βi χFi dengan Fi ∩ Fj = ∅ untuk i 6= j disebut
23
BAB IV
INTEGRAL LEBESGUE 4.1. Integral Fungsi Sederhana Definisi 4.1. Diberikan ϕ =
n X
αi χEi fungsi sederhana berbentuk kanonik.
i=1
Z ϕ= E
n X
αi µ∗ (Ei )
i=1
disebut integral fungsi sederhana pada E. Lebih lanjut, jika dikatakan terintegral Lebesgue. Teorema 4.1. Diberikan ϕ = terukur-µ∗ , maka
n X
R E
ϕ berhingga, maka ϕ
αi χEi fungsi sederhana kanonik pada E. Jika A ⊂ E
i=1
Z ϕ= A
n X
αi µ∗ (A ∩ Ei )
i=1
Bukti. A=A∩E n [
A=A∩
! Ei
i=1
A=
n [
A ∩ Ei
i=1
Karena ϕ =
n X
αi χEi , maka
i=1
ϕA =
n X
αi χEi ∩A
i=1
merupakan fungsi sederhana pada A. Sehingga Z n X ϕ= αi µ∗ (A ∩ Ei ) A
i=1
24
Akibat 4.1. Jika fungsi sederhana kanonik ϕ terintegral pada E, maka ϕ terintegral pada A ⊂ E yang terukur-µ∗ Teorema 4.2. ϕ =
n X
m X
αi χEi dan ψ =
i=1
βj χFj fungsi sederhana kanonik pada E dan
j=1
a ∈ R, maka R R 1. E αϕ = α E ϕ R R R 2. E (ϕ + ψ) = E ϕ + E ψ R 3. Jika ϕ ≥ 0, maka E ϕ ≥ 0 R R 4. Jika ϕ ≤ ψ, maka E ϕ ≤ E ψ Bukti. 1. Z aϕ = E
n X
aαi µ∗ (Ei )
i=1 n X
=a
αi µ∗ (Ei )
Zi=1 ϕ
=a E
2. Diperhatikan bahwa ϕ + ψ =
n X
αi χEi +
i=1
m X
βj χFj . Dibentuk Aij = Ei ∩ Fj . Ambil
j=1
sebarang i, j, k, l, dengan 1 ≤ 1, k ≤ n dan 1 ≤ j, l ≤ m, maka Aij ∩ Alk = (Ei ∩ Fj ) ∩ (Ek ∩ Fl ) = ∅ ∩ ∅ = ∅. ϕ+ψ = =
m X n X j=1 i=1 m X n X
(αi + βj )χAij αi χAij +
j=1 i=1
m X n X
βj χAij
j=1 i=1
Didapat Z (ϕ + ψ) = E
=
m X n X
∗
αi µ (Ei ∩ Fj ) +
j=1 i=1 n X
j=1 i=1
αi µ∗ (Ei ) +
i=1
=
Z ϕ+
E
m X j=1
Z
m X n X
ψ E
25
βj µ∗ (Fj )
βj µ∗ (Ei ∩ Fj )
3. Jika ϕ ≥ 0, maka ϕ =
n X
αi χEi ≥ 0, didapat
i=1
Z ϕ= E
n X
αi µ∗ (Ei ) ≥ 0
i=1
4. Diketahui ϕ ≤ ψ, artinya ψ−ϕ ≥ 0. Menurut teorema poin 3, didapat Selanjutnya menurut teorema poin 1 dan 2, didapat
R E
ψ−ϕ ≥ 0.
Z 0≤ ZE 0≤
ψ−ϕ Z ψ− ϕ
ZE
Z ϕ≤ E
E
ψ E
4.2. Integral Fungsi Terukur dan Terbatas Teorema 4.3. Diketahui E ⊂ X dengan X himpunan terukur µ∗ . Fungsi f : X → R terbatas h.d pada E. Fungsi f terukur pada E jika dan hanya jika Z
Z ϕ
ψ
ϕ = inf
sup
f <ψ
E
E
Bukti. ⇒ Diketahui f terbatas pada E, maka ∃m, M ∈ R sehingga m = ess inf x∈E f (x) dan M = ess supx∈E f (x). Ambil sebarang n ∈ N, dibentuk Ei = {x ∈ E|
i−1 i (M − m) ≤ f (x) ≤ (M − m), 1 ≤ i ≤ n} n n
Untuk i − n
n−1 (M − m) ≤ f (x) ≤ (M − m) n Karena f terukur pada E, maka Ei merupakan himpunan terukur-µ∗ . Tulis En = {x ∈ E|
i−1 (M − m) n i di = (M − m) n 1 di − ci = (M − m) n ci =
26
Dibentuk fungsi sederhana ϕn (x) = ψn (x) =
n X i=1 n X
ci χEi (x) di χEi (x)
i=1
Jadi jelas bahwa ϕb (x) ≤ f (x) ≤ ψn (x) dan ψn (x) − ϕn (x) ≤ di − ci Diperoleh Z 0≤
n X ϕn = (di − ci )µ∗ (Ei )
Z ψn −
E
E
i=1 n
X 1 µ∗ (Ei ) = (M − m) n i=1 =
1 (M − m)µ∗ (E) n
Untuk n → ∞ diperoleh 1 (M − m)µ∗ (E) = 0 n→∞ n Z Z lim
ψn −
lim
n→∞
E
ϕn = 0 E
Dengan kata lain, ∀ > 0∃n0 sehingga untuk setiap n ≥ n0 benar bahwa Z
Z ψn −
E
ϕn < E
Karena {ϕn } naik monoton dan {ψn } turun monoton, dapat diambil kesimpulan Z
Z
sup ϕn ≤f
ϕn = inf Z
E
Z
sup ϕ≤f
ψn
f <ψn
E
ϕ = inf E
27
f <ψ
ψ E
⇐ Diketahui f terbatas h.d pada E dan Z
Z
sup
ϕ = inf
ϕ≤f
f <ψ
E
ψ E
Berdasarkan yang diketahui, untuk sebarang bilangan asli n, ada fungsi sederhana (lebih lanjut, merupakan fungsi terukur) ϕn dan ψn pada E sehingga ϕn (x) ≤ f (x) ≤ ψn (x) dan
Z
Z
0≤
ψn − E
ϕn < E
Z 0≤
ψn − ϕn < E
1 n
1 n
Karena {ϕn } naik monoton, {ψn } turun monoton dan masing-masing konvergen ke f pada E, maka f terukur pada E. Dari teorema di atas, selanjutnya didefinisikan integral fungsi terbatas dan terukur pada himpunan terukur-µ∗ E. Definisi 4.2. Jika f : X → R terbatas h.d pada E dan terukur pada E, maka nilai Z sup ϕ f = ϕ≤f ZE E ψ inf
Z
f ≤ψ
E
disebut integral Lebesgue fungsi f pada E dengan ϕ dan ψ fungsi-fungsi sederhana pada E. R Jika nilai E f bernilai finite, maka f dikatakan terintegral. Teorema 4.4. Jika f : X → R terbatas h.d pada E dan terukur pada E dengan µ∗ (E) < ∞, maka f terintegral pada E. Akibat 4.2. Jika fungsi f : [a, b] → R terintegral Reimann pada [a, b], maka f terintegral Lebesgue pada [a, b] Bukti. Domain [a, b] merupakan himpunan terukur dengan m∗ ([a, b]) = b − a < ∞. Fungsi f terintegral Reimann pada [a, b], maka f terbatas pada [a, b]. Menurut teorema di atas, f terintegral Lebesgue pada [a, b]
Teorema 4.5. Diketahui f dan g masing-masing fungsi terukur dan terbatas h.d pada himpunan terukur-µ∗ E dan α ∈ R, maka 28
1.
R
2.
R
αf = α E E
R E
(f + g) =
f
R E
R
f+
E
3. Jika f ≤ 0, maka
R
4. Jika f ≤ g, maka
R
g
f ≥0
E
f≤
E
R E
g
5. Jika a ≤ f (x) ≤ b h.d pada E, maka Z
∗
a · µ (E) ≤
f ≤ b · µ∗ (E)
E
Bukti. 1. Untuk α ≥ 0 maka ϕ ≤ ψ ⇔ αϕ ≤ αψ, didapat Z
Z
Z
αf = sup
αϕ = α sup
αϕ≤αf
E
Z
ϕ≤f
E
ϕ=α
f
E
E
Untuk α < 0 maka ϕ ≤ ψ ⇔ αψ ≤ αϕ, didapat
αf ≤αψ
f ≤ψ
E
f
ψ=α
αψ = α sup
αf = inf E
Z
Z
Z
Z
E
E
2. Ambil sebarang fungsi sederhana ϕ1 , ϕ2 , ψ1 dan ψ2 dengan ϕ1 ≤ f ≤ ψ1 dan ϕ2 ≤ f ≤ ψ2 , jadi ϕ = ϕ1 + ϕ2 ≤ f + g ≤ ψ1 + ψ2 = ψ Didapat Z
Z (f + g) = sup ϕ≤f +g
E
E
ϕ Z
ϕ1 + ϕ2 Z Z = sup ϕ1 + ϕ2 ϕ1 +ϕ2 ≤f +g E E Z Z ≤ sup ϕ1 + sup ϕ2 ϕ2 ≤g E ϕ1 ≤f E Z Z = f+ g =
sup
ϕ1 +ϕ2 ≤f +g
E
29
E
E
Sedangkan Z
Z (f + g) = inf
f +g≤ψ
E
=
ψ Z
E
inf
ψ1 + ψ2 Z = inf ψ1 + ψ2 f +g≤ψ1 +ψ2 E Z ZE ≥ inf ψ1 + inf ψ2 f ≤ψ1 E g≤ψ2 E Z Z f+ g = f +g≤ψ1 +ψ2
E
Jadi terbukti bahwa
R E
(f + g) =
R E
ZE
E
R
f+
g
E
3. Karena f (x) ≥ 0 h.d pada E, maka terdapat fungsi sederhana ψ sedemikian hingga 0 ≤ f ≤ ψ h.d pada E. Jadi Z
Z ψ≥0
f = inf
f ≤ψ
E
4. Karena f ≤ g h.d pada E, maka g(x) − f (x) ≥ 0 h.d pada E. Didapat R R R R R R R g − f ≥ 0 dan E g − f = E g + (−f ) = E g + E (−f ) = E g − E f Diperoleh E Z
Z g−
f ≥0
E
E
sehingga Z
Z g≥
f
E
E
5. Dibentuk fungsi sederhana aϕE dan bψE serta ϕ = aϕE dan ψ = bψE . Karena a ≤ f (x) ≤ b maka Z Z Z ϕ≤ f ψ E
E
Z
E
Z
Z
aϕE ≤
f
bψE
E
E
E
Z
Z
Z
ϕE ≤ b
a E ∗
f E
Z
aµ (E) ≤
ψE E
f ≤ bµ∗ (E)
E
Teorema 4.6. Jika f fungsi terukur dan terbatas h.d pada E dan ada himpunan terukurµ∗ D ⊂ E sehingga µ∗ (D) < ∞ dan f (x) = 0 h.d pada E−D, maka f terintegral Lebesgue 30
pada E. Bukti. Karena E = D ∪(E −D) dan D ∩(E −D) = ∅ serta µ∗ (D) < ∞ maka Didapat Z
R D
f < ∞.
Z f=
E
f D∪(E−D)
Z
Z
=
f+
f
ZD =
E−D
Z f + sup ϕ≤f
D
ϕ E−D
Z =
f +0 ZD
=
f D
Karena
R D
< ∞ maka
R E
< ∞. f terintegral Lebesgue.
Contoh 4.1. Jika E = [0, ∞) dan D = [0, 5] maka E − D = [5, ∞). DIberikan fungsi
f (x) =
1 ,0 ≤ x ≤ 3
2 ,3 < x < 5 0 , h.d pada [5, ∞)
Maka f terintegral Lebesgue. 4.3. Integral Fungsi Terukur dan Nonnegatif R R Definisi 4.3. Jika f terukur dan nonnegatif h.d pada E, maka f = sup n∈N E fn = E f (x) , f (x) ≤ n R disebut integral Lebesgue fungsi f supfn ≤f E fn dengan fn (x) = 0 , x yang lain pada E. Jika
R E
f < ∞, maka f dikatakan terintegral pada E.
Teorema 4.7. Jika f fungsi terukur dan nonnegatif h.d pada E serta ada n0 ∈ N sehingga R R f = f dengan µ∗ (E) < ∞ maka f terintegral Lebesgue pada E E E n0 Teorema 4.8. Jika f fungsi terukur dan nonnegatif h.d pada E dan ada n0 ∈ N, D ⊂ E sehingga µ∗ (D) < ∞, fn0 (x) = 0 h.d pada E − D, maka f terintegral Lebesgue. Bukti. Karena E = D ∪ (E − D) dan D ∩ (E − D) = ∅ serta µ∗ (D) < ∞ maka Z
Z f=
E
Z fn0 =
E
Z fn0 +
D
fn0 = E−D
31
Z fn 0 D
Jadi, f terintegral Lebesgue. 4.4. Integral Fungsi Terukur Diketahui f fungsi kontinu pada himpunan terukur-µ∗ E. Didefinisikan fungsi f + dan f − sebagai berikut f (x) , f (x) ≥ 0 f + (x) = 0 , f (x) < 0 −f (x) , f (x) ≤ 0 f − (x) = 0 , f (x) > 0 Jadi diperoleh f + dan f − fungsi terukur dan nonnegatif pada E dan f = f + − f − serta |f | = f + + f − . Definisi 4.4. Jika f fungsi terukur pada himpunan terukur-µ∗ E maka nilai Z
Z
Z
+
f +
f=
E
E
E
f−
R disebut integral Lebesgue fungsi f pada E. Jika E f < ∞ maka f dikatakan terintegral Lebesgue pada E. Teorema 4.9. Diketahui f terukur pada himpunan terukur-µ∗ E. Tiga pernyataan di bawah ini ekuivalen. 1. f = f + − f − terintegral pada E. 2. f + , f − terintegral pada E. 3. |f |f + + f − terintegral pada E. Teorema 4.10. f dan g fungsi terukur pada himpunan terukur-µ∗ E dan α ∈ R, maka 1.
R
2.
R
R
αf = α E
E
f +g = E
3. f ≤ g ⇒
R
f
R
f+ E
f≤ E
R
R E
E
g
g
4. A, B ⊂ E dan A ∩ B 6= ∅, A ∩ B = E dengan A, B terukur-µ∗ , maka Z
Z f=
A∪B
f+ A
Bukti.
32
Z f B
1. Untuk α ≥ 0 maka αf = (αf )+ − (αf )− , diperoleh Z
Z
(αf )+ − (αf )− EZ Z + = α (f ) − α (f )− ZE Z E = α( (f )+ − (f )− ) E ZE =α f
αf = E
E
Untuk α < 0 maka αf = (αf )+ − (αf )− = (−αf )− − (−αf )+ , diperoleh Z
Z
(−αf )− − (−αf )+ Z ZE − −α(f ) − −α(f )+ = EZ Z E = α( (f )+ − (f )− ) E ZE =α f
αf = E
E
2. (f + g) = (f + g)+ − (f + g)− = f + + g + − (f − + g − ) = (f + − f − ) + (g + − g − ) Didapat (f + g) + f − + g − = f + + g + Sehingga Z
−
−
Z
(f + g) + f + g = f + + g+ E Z Z Z ZE Z − − + (f + g) + f + g = f + g+ E E Z E ZE ZE Z Z + − + (f + g) = f − f + g − g− E E ZE ZE Z E (f + g) = f+ g E
E
33
E
3. Diketahui f ≤ g maka f + − f − ≤ g+ − g− f + + g− ≤ f − + g+ Z + − f +g ≤ f − + g+ ZE Z Z E Z + − − f + g ≤ f + g+ ZE ZE ZE ZE f+ − f− ≤ g+ − g− EZ E E E Z f≤ g Z
E
E
4. Diperhatikan f = f + − f − , maka Z
Z
f − f− ZA∪B Z E Z Z + + − = f + f −( f + f −) A BZ Z ZB ZA f −) f −) + ( f + − = ( f+ − B B ZA Z A = f+ f
f= A∪B
Z
+
A
B
4.5. Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue 1. Teorema Kekonvergenan Integral Fungsi Terukur dan Terbatas Teorema 4.11. Diketahui µ∗ (E) < ∞. Jika barisan fungsi terukur {fn } pada E konvergen ke suatu fungsi f h.d pada E dan |fn (x) < M ∀x ∈ E, untuk suatu M ≥ 0 maka f terintegral pada E dan Z
Z f = lim
n→∞
E
fn E
Bukti.Berdasarkan yang diketahui, • {fn } terukur dan terbatas pada E dengan µ∗ (E) < ∞, maka fn terintegral Lebesgue pada E untuk setiap n ∈ N. • {fn } barisan fungsi terukur dan konvergen h.d ke f pada E. Maka f terukur dan terbatas pula pada E.
34
• {fn } terukur dan terbatas pada E serta konvergen ke f h.d pada E, maka ∀ > 0∃δ = 4M dan ∃n0 ∈ N sehingga ∀n ≥ n0 berlaku |f (x) − fn (x)| <
2µ∗ (E)
∀x ∈ E − A. Dan Z Z Z fn | = | f − fn | | f− E E Z E ≤ |f − fn | E Z Z |f − fn | + |f − fn | = E−A A Z Z Z ≤ + |f | + |fn | ∗ E−A 2µ (E) A A < ∗ µ∗ (E − A) + M · µ∗ (A) + M · µ∗ (A) 2µ (E) < ∗ µ∗ (E) + M · µ∗ (A) + M · µ∗ (A) 2µ (E) +M · +M · = 2 4M 4M
2. Teorema Kekonvergenan Fungsi Terukur dan Nonnegatif (Lemma Fatom)
Teorema 4.12. Jika ,{fn } barisan fungsi terukur dan nonnegatif pada E himpunan terukur µ∗ dan {fn } konvergen ke f pada E, maka f terintegral Lebesgue dan Z
Z
Z f ≤ lim
fn = sup inf
E
fn E
E
Bukti. Berdasarkan yang diketahui, ada fungsi terukur dan terbatas h pada E sehingga h(x) ≤ f (x) h.d pada E. Dibentuk hn (x) = min{h(x), fn (x)} ∀x ∈ E, maka h(x) hn (x) ≤ f (x) n
sehingga Z
Z hn ≤ lim
h = lim E
n→∞
Z
E
n→∞
fn E
Selanjutnya Z
Z
Z h ≤ lim n → ∞
f = sup E
h≤f
E
fn E
35
3. Teorema Kekonvergenan Monoton Teorema 4.13. Jika {fn } barisan fungsi terukur dan nonnegatif serta naik monoton pada himpunan terukur-µ∗ E dan konvergen ke f h.d pada E maka Z
Z
fn
f = lim E
E
R R Bukti. Berdasarkan Lemma Fatom 4.12, diperoleh E f ≤ lim E fn . Selanjutnya karena {fn } naik monoton dan konvergen ke f maka fn (x) ≤ fn+1 (x) ≤ f (x) h.d pada E. Sehingga didapat Z Z fn ≤
lim
f
E
E
. Diperoleh Z
Z fn ≤
lim
f ≤ lim
E
Akan tetapi mengingat lim
R E
Z
E
fn ≤ lim
R E
fn , maka
Z lim
fn E
Z
Z
fn =≤ lim E
fn = E
f E
4. Teorema Kekonvergenan Lebesgue Teorema 4.14. Diketahui barisan fungsi terukur {fn } pada himpunan terukur-µ∗ E dan fungsi terintegral Lebesgue g pada E. Jika {fn } konvergen ke suatu fungsi f pada E dan |fn (x)| ≤ g(x) h.d pada E maka f terintegral Lebesgue pada E dan Z
Z f = lim
n→∞
E
fn E
Bukti. Diperhatikan bahwa (a) Karena {fn } barisan fungsi terukur pada E dan konvergen h.d ke f pada E, maka f terukur pada E dan |f (x)| ≤ g(x) (b) Karena |f (x)| ≤ g(x) h.d pada E dan g terintegral Lebesgue maka fn terintegral Lebesgue (c) Karena fn terintegral Lebesgue maka f terintegral Lebesgue. Selanjutnya diperhatikan bahwa |fn (x) ≤ g(x) 36
−g(x) ≤ fn (x) ≤ g(x) diperoleh g(x) − fn (x) ≥ 0 dan fn (x) + g(x) ≥ 0. (a) Diketahui g(x) − fn (x) ≥ 0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonvergenan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh Z
Z
g−f Z Z g− f ZE ZE g− f E ZE − f ZE f
≤ lim g − fn E Z Z ≤ g + lim −fn ZE ZE ≤ g − lim fn E E Z ≤ − lim fn Z E ≥ lim fn
E
E
E
(b) Diketahui g(x) + fn (x) ≥ 0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonvergenan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh Z
Z
g + f ≤ lim g + fn E Z Z Z Z g+ f≤ g + lim fn E E Z E ZE f ≤ lim fn E
E
E
Dari hasil kesimpulan di atas, didapat Z
Z fn ≤
lim E
Z f ≤ lim
E
fn E
Selanjutnya karena selalu berlaku Z
Z fn ≤ lim
lim
fn
E
maka lim
R E
fn = lim
R E
fn =
R E
E
f . Jadi, Z
Z f = lim
n→∞
E
fn E
37
5. Generalisasi Teorema kekonvergenan Lebesgue Teorema 4.15. Diketahui barisan fungsi terukur {fn } pada himpunan terukurµ∗ E dan barisan fungsi terintegral Lebesgue {gn } yang konvergen ke suatu fungsi terintegral Lebesgue pada E. Jika {fn } konvergen ke suatu fungsi f pada E dan |fn (x)| ≤ gn (x) h.d pada E maka f terintegral Lebesgue pada E dan Z
Z f = lim
fn
n→∞
E
E
Bukti. Diperhatikan bahwa (a) Karena {fn } barisan fungsi terukur pada E dan konvergen h.d ke f pada E, maka f terukur pada E dan |f (x)| ≤ gn (x) (b) Karena |f (x)| ≤ gn (x) h.d pada E dan {gn } konvergen ke suatu fungsi terintegral Lebesgue sebut g pada E maka fn terintegral Lebesgue. (c) Karena fn terintegral Lebesgue maka f terintegral Lebesgue. Selanjutnya diperhatikan bahwa |fn (x) ≤ gn (x) −gn (x) ≤ fn (x) ≤ gn (x) diperoleh gn (x) − fn (x) ≥ 0 dan fn (x) + gn (x) ≥ 0. (a) Diketahui gn (x) − fn (x) ≥ 0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonvergenan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh Z
Z
g − f ≤ lim gn − fn Z ZE Z g− f ≤ lim gn + lim −fn E E Z Z ZE ZE g− f ≤ lim gn − lim fn E E E E Z Z Z Z g− f g ≤ − lim fn E E E E Z Z f ≥ lim fn E
Z
E
E
(b) Diketahui gn (x) + fn (x) ≥ 0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonver-
38
genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh Z
Z ≤ lim
g+f Z Z g+ f E E Z Z g+ f E ZE f E
gn + fn ZE
Z
≤ lim gn + lim fn E E Z Z ≤ g + lim fn E E Z ≤ lim fn
E
E
Dari hasil kesimpulan di atas, didapat Z
Z fn ≤
lim E
Z f ≤ lim
E
fn E
Selanjutnya karena selalu berlaku Z
Z fn ≤ lim
lim
fn
E
maka lim
R E
fn = lim
R E
fn =
R E
E
f . Jadi, Z
Z f = lim
n→∞
E
fn E
4.6. Convergence in Measure Definisi 4.5. Diberikan E himpunan terukur-µ∗ . Barisan fungsi terukur {fn } pada E dikatakan konvergen in measure ke fungsi f pada E jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat n0 ∈ N sehingga ∀n ≥ n0 berlaku µ∗ {x ∈ E| |fn (x) − f (x)| ≥ } < Teorema 4.16. Diberikan E himpunan terukur-µ∗ . Jika barisan fungsi terukur {fn } konvergen in measure ke f h.d pada E, maka ada barisan bagian {fnk } yang konvergen ke f h.d pada E. Bukti. Ambil sebarang bilangan asli n, karena {fn } konvergen in measure pada E, maka µ∗ {x ∈ E| |fn (x) − f (x)| ≥
39
1 1 }< n n 2 2
Selanjutnya dibentuk En = {x ∈ E| |fn (x) − f (x)| ≥
1 } 2n
maka µ∗ (En ) < 21n . / E. Jika x ∈ / En maka |fn (x) − f (x)| < 21n yang berarti lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ n→∞ T∞ S∞ Jika x ∈ / A = n=1 k=n Ek diperoleh lim fn (x) = f (x) pada E − A, dengan n→∞
∞ [ ∞ \
µ∗ (A) = µ∗
! Ek
n=1 k=n ! ∞ [
≤ µ∗
Ek
k=n
≤
∞ X
µ∗ (Ek )
k=n ∞ X 1 < 2k k=n
1 1 n 2 1 − 21n 1 = n 2 −1 =
Didapat µ∗ (A) < 2n1−1 ∀n ∈ N. Artinya µ∗ (A) = 0. Dengan kata lain, terdapat barisan bagian {fnk } ⊂ {fn } yang konvergen ke f h.d pada E.
40
DAFTAR PUSTAKA Royden, H. L., 1997, Real Analysis. Fourth Edition, Pearson Education Asia Limited and China Machine Press, China.
41
