UNIVERSIDAD AUTONOMA DE OCCIDENTE
Facultad de Ciencias Básicas Laboratorio de Física 2 2 Periodo de 2016
Movimiento Armónico Simple Péndulo simple (matemático) G. Candamil 1, L. L. Correa 2, L. F. Motta 3 1
Ingeniería Biomédica, Facultad de ingeniería, Universidad Autónoma de Occidente, Ala norte, Cali Colombia Ingeniería Ambiental, Facultad de ingeniería, Universidad Autónoma de Occidente, Ala norte, Cali Colombia 3 Ingeniería Informática, Facultad de ingeniería, Universidad Autónoma de Occidente, Ala norte, Cali Colombia 2
Recibido: 9 de Septiembre del 2016
Resumen Con el desarrollo de la práctica Movimiento Movimiento Armónico Simple, se estudió el movimiento del péndulo simple para 3 masas diferentes, las cuales se suspendieron con un ángulo de 1 4° y a 7 longitudes diferentes, pero aplicando estas mismas 7 longitudes a cada masa. Mediante el uso del software Pasco Capstone, se generaron las gráficas de posición vs tiempo para cada ensayo, con el fin de d eterminar el valor del periodo y relacionarlo con la longitud, longitud, además se obtuvieron las gráficas gráficas de logaritmo natural del del periodo vs logaritmo natural de la longilongitud para calcular las constantes A y n con sus respectivas incertidumbres. incertidumbres. Comprobando que el péndulo se mueve con movimiento armónico simple. Palabras claves: Oscilación, Periodo, Longitud
Introducción En esta parte se comenta la importancia por la cual se realiza la práctica, la posible aplicación que pueda llegar a tener en el desempeño profesional y la aplicación de la práctica en algún tema de interés de acuerdo al programa.
El péndulo simple tiene muchas aplicaciones y permite observar el comportamiento físico de fenómenos tales como la rotación de la tierra, ya que en este caso es una esfera de gran masa sujeta a un cable largo y oscila en un plan fijo al igual que el péndulo simple. También funciona para medir el tiempo, el metrónomo y la plomada.
El péndulo simple es un sistema mecánico que muestra el movimiento periódico de una partícula de masa “m” sus pendida de una cuerda ligera de longitud “L”, “L”, que debe de estar fija en el extremo superior. El movimiento se presenta en el plano vertical y es impulsado por la fuerza gravitacional con un ángulo “Ф” menor a 15°, por 15°, por el cual es considerado como un oscilador armónico simple.
Modelo Teórico Si un objeto es desplazado de su posición de equilibrio estable y se se libera, su movimiento es oscilatorio y teniendo en cuenta que las fuerzas externas (disipatiavas), que actúan sobre él pueden ser despreciables, la energía total del oscilador se conserva, entonces su movimiento es armónico simple. Un cuerpo pequeño, que se encuentre suspendido por medio de una cuerda inextensible es un péndulo simple, si la masa de la cuerda es muy pequeña comparada con la masa del cuerpo. Además si la amplitud angular de las oscilaciones es menor de 15° su movimiento es armónico simple [1].
Figura 1. Sistema péndulo simple. 1
Movimiento Armónico Simple Péndulo simple (matemático)
Para llevar a cabo esta práctica se tuvo en cuenta el montaje del péndulo simple, mediante el uso de dos soportes uno para colocar la barra de suspensión del péndulo y en el otro el sensor de movimiento, de tal manera que el péndulo estuviera ubicado al frente del sensor y oscilara. Para ajustar lo anterior se midió una distancia aproximadamente de 15cm y se conectó el sensor de movimiento al Interfaz con una configuración de frecuencia de 40Hz permitiendo que el péndulo oscilara perpendicular sensor. Figura 2. Péndulo simple. A partir de lo anterior, la ecuación que me permite observar las oscilaciones que realiza el péndulo en el tiempo, es decir el periodo (T), suponiendo que este se desplaza con movimiento armónico simple es:
(1)
= 2
Figura 1: Montaje Péndulo Simple
Donde L, representa la longitud de la cuerda, g la gravedad y T el periodo. Para un movimiento armónico simple. Esta ecuación también se puede expresar como:
(2)
=
Donde A y n son constantes representadas como:
= √ = Y
Figura 2: Barra de suspensión del Péndulo y sensor de movimiento
Y las ecuaciones de velocidad y posición que definen el movimiento de péndulo simple son:
De acuerdo al montaje realizado se procedió a la toma de datos de las diferentes masas, en donde primero se seleccionó la masa de madera (0.01258Kg) y se suspendió a una longitud de 80 cm dejando oscilar por ocho segundos (procedimiento que se realizó hasta llegar a 20cm). Además se tuvo en cuenta el desplazamiento angular que debía ser menor a 15°,dado lo anterior se tomara los datos con un desplazamiento de 14° para las tres masas.
= ( +) = ( +)
(3) (4)
Teniendo en cuenta que la función de velocidad resulta de derivar la función de posición.
Después de haber tomado los datos para la primera masa las longitudes fueron registradas en Capstone y se elaboró una gráfica de posición vs tiempo con ajuste sinusoidal, el cual mostro el valor de la frecuencia angulas ( ω (rad/s)). Con el uso de la calculadora del programa y el la frecuencia angular se calcularon datos como: el periodo, el logaritmo natural del periodo y la longitud, cada una fue graficada.
Modelo Experimental Para el desarrollo del laboratorio se utilizaron las siguientes herramientas:
2 Soportes Varillas de 1 m Interfaz PASCO 850 Workshop 3 péndulos de diferente masa Sensor de movimiento Brazo de suspensión del péndulo Transportador
Resultados y Análisis A partir de la gráfica posición vs tiempo que se realizó para cada masa, se aplicó el ajuste sinusoidal, con el fin obtener el valor de ω (Frecuencia angular), el cual permitió calcular el valor de T (Periodo) haciendo uso de la formula (1) des2
crita en el modelo teórico y teniendo en cuenta el valor de la longitud de la cuerda y la gravedad.
aumenta la longitud, del mismo modo aumenta el valor del periodo. Teniendo en cuenta la gráfica 1, se presenta a continuación la gráfica de velocidad vs tiempo, en el cual se presenta la velocidad de un movimiento armónico simple.
Grafica 1. Posición vs Tiempo (Masa madera)
De acuerdo a lo anterior, se presenta a continuación la tabla 1 con los datos de periodo para cada masa donde;
Grafica 2. Velocidad vs tiempo (Masa de madera)
Masa 1: Masa de la madera Al comparar la gráfica 1 de posición vs tiempo y la gráfica 2 de velocidad vs tiempo, se puede observar que cuando la amplitud es máxima la velocidad es cero. Además se evidencia que las gráficas representan el comportamiento de sus respectivas funciones, ya que la gráfica 1 representa la función de coseno y la gráfica 2 la función de seno. Para finalizar la gráfica 2 muestra un comportamiento negativo debido a que esta representa la ecuación (4) del modelo teórico.
Masa 2: Masa del aluminio Masa 3: Masa del plástico Tabla 1. Valores de periodo para cada masa
Longitude(m)
Masa 1 (0.0128)kg
Masa 2 Masa 3 (0.12522)kg (0.0089)kg
Periodo(T)
Periodo(T)
Periodo(T)
1
0.8
1,77
1,82
1,79
2
0.7
1,68
1,66
1,66
3
0.6
1,55
1,56
1,54
4
0.5
1,42
1,41
1,41
5
0.4
1,27
1,27
1,25
6
0.3
1,09
1,10
1,08
7
0.2
0,89
0,92
0,88
Teniendo en cuenta que el periodo se describe como
2
A partir de la Tabla 1, se crearon las gráficas de Posición vs Longitud para cada una de las masas:
=
Grafica 3. Periodo vs Longitud (Masa de madera)
se puede evidenciar que éste no depende del valor de
la masa pero si se observa que su valor es directamente proporcional al valor de la longitud, es decir, a medida que 3
Movimiento Armónico Simple Péndulo simple (matemático)
Grafica 4. Periodo vs Longitud (Masa de aluminio)
Grafica 7. Ln(T) vs Ln(L) (Masa aluminio)
Grafica 5. Periodo vs Longitud (Masa de plástico)
Grafica 8. Ln(T) vs Ln(L) (Masa de plástico)
De acuerdo a las tres graficas de Posicion vs Longitud de cada una de las masas, se puede observar que describen un comportamiento cuadratico porque se asemejan a una parabola:
Para cada una de las gráficas presentadas anteriormente se, se realizó el respectivo ajuste lineal ( ), el cual esta descrito como .
= + = +
Las siguientes graficas corresponden a los logaritmos naturales del Periodo vs logaritmos naturales de Longitud para cada una de las masas:
Donde Ln T es el eje y, LnA el intersecto, n la pendiente y Ln L el eje x. a partir de esto, se hallan los valores de las constantes con sus respectivas incertidumbres. Dado que el valor de la constate A se encuentra dentro de la función logaritmo natural, es necesario multiplicar este valor por la función exponencial parta obtener el valor natural de A. este procedimiento se puede realizar, gracias a que existe una propiedad de los logaritmos que permite despejar el valor de A, por lo tanto:
ln = ln = = 2.003 = = || ∆A = A ∆b
Grafica 6. Ln(T) vs Ln(L) (Masa madera)
Para obtener el valor de la incertidumbre absoluta de A, es decir ∆A, fue necesario derivar :
4
∆A = 0.00881
Teniendo en cuenta que A se expresa como 2, 3 y 4 se aproximan al valor teórico de A.
De igual forma se observó el mismo comportamiento de la constante n la cual tiene un valor teórico 0.5.
Tabla 2. Constantes del ensayo “masa de madera” con sus respectivas incertidumbres A
n
Valor
2.003
0.505
Incertidumbre Absoluta (∆)
±0.00881
±0.0048
Incertidumbre Relativa
∆ ∗ 100
0.439
De lo anterior, se puede despejar la constante A para encontrar el valor de la gravedad:
= 2 = 2 = 4
0.950
Para encontrar la incertidumbre absoluta de la gravedad, fue necesario derivar con respecto a ella la expresión
Tabla 3. Constantes del ensayo “masa de aluminio” con sus respectivas incertidumbres Masa de aluminio
A
n
Valor
1.991
0.486
Incertidumbre Absoluta (∆)
±0.017
±0.0093
Incertidumbre Relativa
0.854
∆ ∗ 100
= 4 ∆ = ∆
=
:
A partir de lo anterior se calculó el valor de la gravedad con sus respectivas incertidumbres para la masa de madera y análogamente para las demás masas, estos valores se registraron en la tabla 5.
1.918
Tabla 5. Gravedad con sus respectivas incertidumbres. Masas
Tabla 4. Constantes del ensayo “masa de plástico” con sus respectivas incertidumbres Masa de plástico
A
n
Valor
2.003
0.512
Incertidumbre Absoluta (∆)
±0.0016
±0.0018
Incertidumbre Relativa
0.079
∆ ∗ 100
y esto es
igual 2.010 ( )− , los valores de A obtenidos en las tablas
El cálculo realizado anteriormente se tomó para la masa de madera y análogamente se realizó este mismo proceso para cada una de las masas. Y se registró en las respectivas tablas correspondientes a cada ensayo.
Masa de madera
√
Gravedad
Incertidumbre Absoluta (∆)
Incertidumbre Relativa ∆/valor*100
Masa de Madera
9.840
/
0.0432
/
0.439
Masa de Aluminio
9.96
/
0.0850
/
0.853
Masa de Plástico
9.840
0.0079
0.079
0.351
/
/
De acuerdo a la tabla 5 se puede observar que el valor de la gravedad para cada masa se aproxima al valor de la gravedad en la ciudad de Cali (9.77 ).
/ 5
Movimiento Armónico Simple Péndulo simple (matemático)
Conclusiones En conclusión se puede decir que el movimiento de un péndulo simple es un movimiento armónico simple, si la amplitud angular de las oscilaciones es menor a 15 °. Ya que en la practicar el péndulo simple se sometió a estas condiciones y se pudo evidenciar que si se cumplía el movimiento . Por otro lado se observó que el ángulo de fase y la frecuencia angular representan valores muy pequeños ,por lo tanto el periodo depende únicamente del valor de la longitud y se relacionan de forma que son directamente proporcionales. De igual forma, se evidencio que al varia la masa no se produjo un cambia significativo en el valor del periodo, ya que este no depende del valor de la masa.
Referencias [1] Movimiento Armónico Simple, Péndulo Simple (matemático) (Public Access Computer Systems Forum) [en línea].Cali (Colombia): Universidad Autónoma de Occidente 2014-3 [citado 5 Septiembre, 2016]. Disponible en Internet:http://augusta.uao.edu.co/moodle/file.php/434/GUIAS_ DE_LABORATORIO_DE_FISICA_2_PERIODO_20163_/LAB_3._Oscilaciones._Pendulo_Simple._2016-3.pdf.
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