UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DINÁMICA APLICADA GUÍA DE LABORATORIO No.6 OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLE - BARRAS
5.1 Objetivos Generales Determinar el momento masa de inercia de una barra horizontal, utilizada como sistema de péndulo simple, bajo vibración libre no amortiguadaen cada uno de los siguientes planos: x-y, y-z y x-z. Desarrollar y analizar el modelo matemático que corresponde a cada caso estudiado. Comparar resultados teóricos y experimentales. 5.2 Objetivos Específicos 5.2.1 Medir el periodo de un péndulo simple(barra horizontal) en un plano particular de oscilación. 5.2.2 Obtener la ecuación diferencial no lineal del movimiento de la barra horizontal como péndulo simple.Determinar las dimensiones de la masa oscilante. 5.2.3 Obtener la ecuación diferencial linealizada con respecto a la posición de equilibrio estático. 5.2.4 Encontrar la solución de la ecuación diferencial de movimiento desarrollada en el punto 2.3 para𝜃 0 = 𝜃0 y𝜃 0 = 0.Obtenga expresiones para la posición 𝜃 𝑡 , la velocidad 𝜃(𝑡) y la aceleración 𝜃 𝑡 . Grafique los resultados para dos ciclos de movimiento. Utilice el programa de su preferencia. 5.2.5 Calcule la frecuencia natural, el periodo del movimiento y la frecuencia natural angular de oscilación. 5.2.6 Comparar los resultados teóricos con los experimentales. Explicar la diferencia. 5.2.7 Analice la posición, velocidad y aceleración de la masa m. ¿Qué puede concluir respecto a la amplitud y ángulo de fase de cada movimiento? 5.2.8 Repita los puntos 5.2.1 a 5.2.7 para cada uno de los planos de oscilación requeridos. I Semestre 2015
6 Desarrollar y analizar el modelo matemático utilizando MATHLAB Y SIMULINK. 6.1 Equipos y materiales a utilizar 6.1.1 Hilo de monofilamento de pesca 6.1.2 Dos (2) Barras de acero 6.1.3 Marco para soporte 6.1.4 Balanza 6.1.5 Cinta métrica 6.1.6 Cronómetro 6.1.7 Micrómetro 6.2 Metodología 6.2.1 Utilice el Sistema Métrico de unidades. 6.2.2 Escoja una barra de acero, mida el diámetro y longitud de la misma, determine su masa y su momento masa de inercia respecto a su centro de gravedad, con respecto a los ejes de coordenadas x, y y z. 6.2.3 Fije los extremos dedos hilos monofilamento al marco, fije los otrosdos extremos a la barra de acero. Mida una longitud de 40 cm entre el extremo fijo de cada hilo y la barra de acero. 6.2.4 Desplace la barra de acero de la posición de equilibrio estático en el plano x-y y libere,Fig. 5.1 (a). Mida el periodo de oscilación de tres ciclos de movimiento. Obtenga el periodo promedio. 6.2.5 Determine la frecuencia circular natural y la frecuencia natural de oscilación a partir del periodo natural medido. 6.2.6 Obtener el modelo matemático del sistema péndulo simple para la oscilación de la barra en el plano x-y. 6.2.7 Resolver la ecuación diferencial de movimiento para la condición inicial del punto 5.4.3. 6.2.8 Obtener analíticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento. 6.2.9 Graficar la posición, la velocidad y la aceleración. Utilice el programa de su preferencia. EXCELL, MatLab, Simulink, etc. 6.2.10 Repita del punto 5.4.1 al 5.4.9 para la oscilación de la barra en el plano y-z. Fig. 5.5.1 (a). 6.2.11 Repita del punto 5.4.1 al 5.4.9 para la oscilación de la barra en el plano x-z. 6.2.12 Repita los puntos 5.4.1 a 5.4.11 para la barra de la Fig. 5.2. I Semestre 2015
6.3 Procedimiento 6.3.1 Seleccionelos parámetros (longitud y masa) de un péndulo simple. Para cada una de las dos barras. 6.3.2 Analice primero las oscilaciones de la barra en el plano x-y. Posteriormente, realice el análisis de oscilación en el plano y-z y finalmente estudie la oscilación en el plano x-z. 6.3.3 Especifique las condiciones iniciales indicadas en el punto2.4 de los objetivos específicos. 6.3.4 Mida el periodo natural de oscilación para tres ciclos de movimiento. Calcule el periodo promedio de la oscilación. Calcule la frecuencia natural y la frecuencia natural circular. 6.3.5 Obtenga la ecuación diferencial de movimiento en función de 𝜃. Obtener la posición, velocidad y aceleración para: 𝜃 0 = 𝜃0 y 𝜃 0 = 0. Graficar utilizando el programa de su preferencia. 6.3.6 Determine analíticamente el periodo, la frecuencia circular natural y la frecuencia natural del movimiento.
(a) (b) Figura 5.1Barra que oscila con respecto a puntos fijos
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Fig. 5.2 Barra con apoyo asimétrico oscilando con respecto a puntos fijos 6.4 Preguntas 6.4.1 ¿Qué concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales y periodos naturales de oscilación, para los sistemas de péndulo simpleestudiados? 6.4.2 ¿Cómo se comparan los resultados teóricos con los experimentales del modelo de las dos barras? 6.4.3 ¿Qué concluye respecto al momento masa de inercia de las barras y el plano de oscilación? 6.4.4 ¿Cómo obtendría el momento masa de inercia de una barra a partir de los valores medidos? 6.5 Fundamentos Un sistema de péndulo simple vibrará libremente al desplazarse de su posición de equilibrio estático y liberarse. El sistema es conservativo, no está sujeto a fuerzas no-conservativas ni a excitaciones externas. La ecuación gobernante del movimiento oscilatorio es una ecuación diferencial de segundo grado, homogénea con coeficientes constantes. La solución de dicha ecuación corresponde a la solución complementaria en donde las constantes dependen de las condiciones iniciales del sistema. I Semestre 2015
Utilizando la Segunda Ley de Newton: ∑𝑀0 = 𝐽0 𝜃 −𝑚𝑔𝑟𝐺 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝐽0 𝜃 𝐽0 𝜃 + 𝑚𝑔𝑟𝐺 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0
(5.1) (5.2) (5.3)
Para oscilaciones pequeñas 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ≈ 𝜃 (5.4) 𝐽0 𝜃 + 𝑚𝑔𝑟𝐺 𝜃 = 0
(5.5)
𝐽0 = 𝐽 + 𝑚𝑟𝐺2
(5.6)
Asumimos la siguiente solución 𝜃 = 𝐶𝑒 𝑠𝑡
(5.7)
𝜃 = 𝐶𝑒 𝑠𝑡 𝑠 2
(5.8)
𝐽0 𝑠 2 + 𝑚𝑔𝑟𝐺 𝐶𝑒 𝑠𝑡 = 0
(5.9)
𝐽0 𝑠 2 + 𝑚𝑔𝑟𝐺 = 0
(2.10)
𝑠12 = ± 𝑚𝑔𝑟𝐺 /𝐽0
(5.20)
𝜔𝑛 =
(5.11)
𝑚𝑔𝑟𝐺 /𝐽0
𝜃 𝑡 = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐴2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑛 𝑡
(5.12)
Las constantes 𝐴1 y 𝐴2 se determinan a partir de la condiciones iniciales 𝜃 0 y 𝜃 0 . Remplazando
𝐴1 = 𝛩 𝑐𝑜𝑠 𝜙y𝐴2 = 𝛩 𝑠𝑖𝑛 𝜙
(5.13) I Semestre 2015
Resulta 𝑥 𝑡 = 𝛩 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜙 + 𝛩 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜙
(5.14)
𝑥 𝑡 = 𝛩 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛 𝑡 + 𝜙) (5.15) Donde la amplitud 𝛩 y el ángulo de fase 𝜙 se determinan a partir de las siguientes ecuaciones: 𝛩=
𝐴1 2 + 𝐴2 2
𝜙 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐴2 𝐴1
(5.16) (5.17)
5.8 Referencias 5.8.1 Vibraciones Mecánicas. Singiresu S. Rao. Quinta edición. PEARSON EDUCATION, México, 2012. 5.8.2 Vibraciones. BalakumarBalachandran, Edward B. Magrab. CENGAGE Learning, Primeraedición, 2008. 5.8.3 Modeling, Analysis and Control of Dynamic Systems. William J. Palm III. John Wiley & Sons, 1983. 5.8.4 Mecatrónica, Sistemas de Control Electrónico en la Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Quinta edición. Alfaomega Grupo Editor, S.A. 2013. 5.8.5 Modeling and Analysis of Dynamic Systems. Charles M. Close, Dean K. Frederick, Jonathan C. Newell. Third edition, Wiley, 2001. 5.8.6 Vibraciones Mecánicas. William W. Seto. Serie Schaum, 1968. 5.8.7 http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia
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