Trabajo de Física Augusto Díaz Pedro Martínez
Péndulo de Newton Se trata de un instrumento que consta de cinco bolas en suspensión rigurosamente alineadas que hacen un movimiento poco presente en nuestra vida cotidiana, este instrumento demuestra que "la energía ni se crea ni se destruye, que esta se transforma" y que la cantidad de movimiento que se produce depende de dos valores: masa y velocidad.
El péndulo es uno de los sistemas oscilantes más sencillos. Consiste en una masa m sujeta a una varil rilla que se entiende como indeformable y carente de masa y sujeta en la cima a un punto de apoyo. Es uno de los ejemplos clásicos de oscilador armónico simple. simple.
Las Las prop propie ieda dade des s fund fundam amen enta tale les s de las las osci oscila laci cion ones es del del pénd péndul ulo o fueron descubiertas empíricamente por Galileo Galilei en 1581, en ciert cierta a ocas ocasió ión n Gali Galile leo o obse observ rvó ó cómo cómo las las corr corrien iente tes s de aire aire de la cate catedr dral al hací hacían an osci oscila larr los los enor enorme mes s cand candel elab abro ros s colg colgad ados os que que existían, la amplitud de las oscilaciones eran eran distintas y sin embargo a Galil alileo eo le parec areció ió que que el perí períod odo o era era el mismo ismo y real realiz izo o un experimento de medición de las mismas llegando a las siguientes conclusiones: Los péndulos casi alcanzan la altura inicial desde la que fueron dejados caer Todos los péndulos eventualmente se detienen El período del péndulo es independiente de la masa que oscila El período del péndulo es independiente de la amplitud •
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El cuadrado del período es proporcional a la longitud del péndulo. •
Supongamo amos s que en un moment momento o Explicació Explicación n del movimient movimiento: o: Supong determinado el péndulo está desviado respecto al eje de reposo (el eje vertical) un ángulo α. Veamos el razonamiento que se aplica para determinar las fuerzas que actúan en el sistema. En primer lugar está claro que sobre la masa actúa la fuerza de la gravedad, dirigida hacia abajo:
La fuerza de la gravedad, además, es igual según la segunda ley de Newton a G = mg donde m es la masa y g es la aceleración de la gravedad terrestre (9.81 m/s2) Sin embargo la pelota en el siguiente instante no se va a desplazar hacia abajo, sino lateralmente, en particular porque está unida a la varilla. Esto significa por tanto que entre la varilla y la pelota hay una inte intera racc cció ión n que que hay hay que desc descri ribi bir, r, podem odemo os anal analiz izar ar esto sto si desc desco ompo mponemos emos la fuer fuerza za de la grav ravedad edad como como suma uma de los los siguientes dos vectores:
Util Utiliz izan ando do esta esta desc descom ompo posi sició ción, n, tene tenemo mos s una una fuer fuerza za
que que es es
perpendicular a perpendicular a la varilla y una fuerza que es paralela a la varilla e intenta alejar a la bola justo en dirección opuesta a la varilla. Puesto que que la masa masa est está unida nida a la vari varill lla, a, est esta fuer fuerz za se tran ransmit smite e íntegramente sobre la varilla, es decir, que la masa por acción de la gravedad "tira" del extremo de la varilla intentando escaparse. Sin embargo la varilla es indeformable, es decir, no se puede estirar ni acortar, por lo que ejerce una fuerza en sentido contrario a la masa que equilibra esta parte de la fuerza de la gravedad. A esta fuerza habitualmente se la denota con T y se la denomina "tensión" (no la tensión de la electricidad, sino la del verbo tensar). Con esta fuerza, nuestro sistema queda como sigue:
Como Como úni única ca fue fuerz rza a desc descom ompe pens nsad ada a qued queda a por por lo tan tanto to , que que es la la que hace que el péndulo péndulo intente volver volver hacia el eje vertical. Puesto Puesto que la varilla fuerza a la masa a movers erse a lo largo de una circun circunfer ferenc encia ia con un radio radio igual igual a la longit longitud ud de la varill varilla, a, realmente una fuerza que actúa tangencialmente: tangencialmente:
es
Por desgracia a partir de este punto es necesario recurrir a derivadas para deducir las ecuaciones del movimiento. Si calculamos la magnitud de esta aceleración podremos ver que se cumple:
Donde es la segunda segunda derivada derivada del ángulo ángulo respecto respecto al tiempo, tiempo, o lo que es lo mismo, la aceleración angular. Esto Esto es una una Ecuación Ecuación Diferencial Diferencial cuya cuya soluc solución ión analít analítica ica es muy superior al nivel de este artículo (sin embargo, si te interesa puedes mirar en el artículo de nivel avanzado sobre el mismo tema), por lo que es necesario recurrir a lo que se conoce como aproximación de pequeños ángulos. ángulos . Bajo esta aproximación, podemos decir que:
con lo cual nuestra ecuación se queda en
Básicamente buscamos una función α(t) que cumpla esa relación. Una función de este tipo es la siguiente:
Se puede comprobar que efectivamente:
que es precisamente la ecuación que teníamos.
Para Para ver ver lo que que sig signi nifi fica ca la la mag magni nitu tud d , rec recor orde demo mos s que que el el per perío íodo do de la función seno es 2π. Entonces si llamamos a T al instante en que se cumple ese período tenemos:
o lo que es lo mismo,
Se puede así llegar a las mismas conclusiones que Galileo, siendo estas: •
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El período del péndulo es independiente de la masa que oscila (ya que sólo depende de g y de r) El período del péndulo es independiente de la amplitud (id.) El cuad cuadra rado do del del perí períod odo o es prop propor orci cion onal al a la long longit itud ud del del
péndulo. En efecto, El término de la derecha es precisamente la definición de frecuencia angular ω, con lo que
Bibliografia: Alexander Hristov (c) ciencia.net. http://www.ciencia.net//VerArticulo/fisica/Péndulo,-ecuaciones-delmovimiento-(según-Newton)?idArticulo=42
