Método de Newton Newton-En análisis numérico, numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton Raphson o el método de Newton-Fou Newton-Fourier rier ) es un algoritmo algoritmo eficiente eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada derivada.. Índice [ocultar •
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!7 Enla Enlaces ces exte externos rnos
Historia[editar El método de e-ton fue descrito por 8saac e-ton en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (9:obre infinitas (9:obre el análisis mediante ecuaciones con un n;mero infinito de términos9, escrito en !005 !005,, publicado en !2!! !2!! por por
en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito infinitarum (escrito en !02! !02!,, traducido > publicado como Método de las fluxiones en fluxiones en !2%0 por por =o?n =o?n olson). olson). :in embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba@ e-ton aplicaba el método solo a polinomios, > no consideraba las aproximaciones sucesivas x sucesivas x n, sino Aue calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíB x raíB x . Cinalmente, e-ton ve el método como puramente algebraico > falla al no ver la conexión con el cálculo. 8saac e-ton probablemente derivó su método de forma similar aunAue menos precisa del método de CranDois 4ite. 4ite. +a esencia del método de d e 4ite puede encontrarse en el traba1o del matemático persa :?araf alF$in alFTusi. alFTusi.
El método de e-tonF6ap?son es llamado así por el matemático inglés =osep? 6ap?son (contemporáneo de e-ton) se ?iBo miembro de la 6o>al :ociet> en !05! por su libro G'eAuationum HniversalisG, publicado en !057, Aue contenía este método para aproximar raíces. e-ton en su libro *étodo de las fluxiones describe el mismo método, en !02!, pero no fue publicado ?asta !2%0, lo Aue significa Aue 6ap?son ?abía publicado este resultado 0 aIos antes. 'unAue no fue tan popular como los traba1os de e-ton, se le reconoció posteriormente.
Descripción del método[editar
+a función ƒ es mostrada en aBul > la línea tangente en ro1o. 4emos Aue x nJ! es una me1or aproximación Aue x n para la raíB x de la función f .
El método de e-tonF6ap?son es un método abierto, en el sentido de Aue no está garantiBada su convergencia global. +a ;nica manera de alcanBar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíB buscada. 'sí, se ?a de comenBar la iteración con un valor raBonablemente cercano al cero (denominado punto de arranAue o valor supuesto). +a relativa cercanía del punto inicial a la raíB depende muc?o de la naturaleBa de la propia funciónK si ésta presenta m;ltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíB, entonces las probabilidades de Aue el algoritmo diver1a aumentan, lo cual exige seleccionar un valor puesto cercano a la raíB. Hna veB Aue se ?a ?ec?o esto, el método linealiBa la función por la recta tangente en ese valor supuesto. +a abscisa en el origen de dic?a recta será, seg;n el método, una me1or aproximación de la raíB Aue el valor anterior. :e realiBarán sucesivas iteraciones ?asta Aue el método ?a>a convergido lo suficiente. :ea f @ [a, b -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b. EmpeBamos con un valor inicial x 7 > definimos para cada n;mero natural n
$onde f 9 denota la derivada de f . ótese Aue el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos Aue permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos Aue extienden el método de e-ton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.
Obtención del Algoritmo [editar Tres son las formas principales por las Aue tradicionalmente se ?a obtenido el algoritmo de e-tonF6ap?son. +a primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en Aue si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia i nfinitesimal), entonces la secante se sustitu>e por la tangente a la curva en el punto. 'sí pues, si por un punto de iteración traBamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el e1e L). Esto es eAuivalente a linealiBar la función, es decir, f se reemplaBa por una recta tal Aue contiene al punto (
,
(
)) > cu>a pendiente coincide
con la derivada de la función en el punto, . +a nueva aproximación a la raíB, , se logra de la intersección de la función lineal con el e1e L de abscisas. *atemáticamente@
8lustración de una iteración del método de e-ton (la función f se muestra en aBul > la línea de la tangente en ro1o). 4emos Aue raíB
de la función
es una aproximación me1or Aue
para la
.
En la ilustración ad1unta del método de e-ton se puede ver Aue aproximación Aue para el cero ( x ) de la función f .
es una me1or
Hna forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Ta>lor , para un entorno del punto @
:i se trunca el desarrollo a partir del término de grado #, > evaluamos en
@
:i además se acepta Aue Aue el algoritmo.
tiende a la raíB, se ?a de cumplir
, luego, sustitu>endo en la expresión anterior, obtenemos
Cinalmente, ?a> Aue indicar Aue el método de e-tonF6ap?son puede interpretarse como un método de iteración de punto fi1o. 'sí, dada la ecuación de punto fi1o@
, se puede considerar el siguiente método de iteración
:e escoge ? (x) de manera Aue g9(r)M7 (r es la raíB buscada). $ado Aue g9(r) es@
Entonces@
omo ? (x) no tiene Aue ser ;nica, se escoge de la forma más sencilla@
Nor tanto, imponiendo subíndices@
Expresión Aue coincide con la del algoritmo de e-tonF 6ap?son
Convergencia del Método [editar El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo OP de 'itQen o el método de :teffensen.
Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíB, lo cual no siempre es posible. Nor ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g ( x ) M f ( x )Rf' ( x ), resultando@
:u principal desventa1a en este caso sería lo costoso Aue pudiera ser ?allar g ( x ) > g' ( x ) si f ( x ) no es fácilmente derivable. Nor otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más ?abitual sobre la base de tratar el método como uno de punto fi1o@ si g 9(r )M7, > g'' (r ) es distinto de 7, entonces la convergencia es cuadrática. :in embargo, está su1eto a las particularidades de estos métodos. ótese de todas formas Aue el método de e-tonF6ap?son es un método abierto@ la convergencia no está garantiBada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección. 'sí, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíB buscada para Aue el método conver1a > cumpla el teorema de convergencia local.
Teorema de Convergencia Local del Método de Newton[editar :ea
. :i
,
>
un r S7 tal Aue si sucesión x n con
, entonces existe , entonces la verifica Aue@
para todo n > x n tiende a p cuando n tiende a infinito. :i además , entonces la convergencia es cuadrática.
Teorema de Convergencia Global del Método de Newton[editar verificando@!
:ea !. #.
para todo
%.
para todo
.
Entonces existe un ;nico Aue converge a s.
tal
por lo Aue la sucesión
Estimación del Error [editar :e puede demostrar Aue el método de e-tonF6ap?son tiene convergencia cuadrática@ si es raíB, entonces@
para una cierta constante . Esto significa Aue si en alg;n momento el error es menor o igual a 7,!, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el n;mero de decimales exactos. En la práctica puede servir para ?acer una estimación aproximada del error@ Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas@
on lo cual se toma el error relativo como si la ;ltima aproximación fuera el valor exacto. :e detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor Aue una cantidad fi1ada previamente.
Ejemplo[editar onsideremos el problema de encontrar un n;mero positivo x tal Aue cos( x ) M x %. Nodríamos tratar de encontrar el cero de f ( x ) M cos( x ) F x %. :abemos Aue f 9( x ) M Fsin( x ) F % x #. a Aue cos( x ) U ! para todo x > x % S ! para x S!, deducimos Aue nuestro cero está entre 7 > !. omenBaremos probando con el valor inicial x 7M 7,/
+os dígitos correctos están subra>ados. En particular, x 0 es correcto para el n;mero de decimales pedidos. Nodemos ver Aue el n;mero de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde # (para x %) a / > !7, ilustrando la convergencia cuadrática.
Código en MatLab [editar Nrograma escrito en *atlab para e1ecutar el método e-tonF 6ap?son. %Método Newton-Raphson % %Es un método para aproximar la solución de una ecuación de una sola %variable por medio de la aproximación de su derivada y con un punto fijo %cercano a la ra!"# % %f$unción previamente definida en consola &use el si'uiente comando en consola (f $ )&x*&escriba a+u! su función*(*,
%ff$derivada anal!tica de la función f &difinida previamente con el mismo comando anterior*, %a$punto cercano a la ra!", e$mar'en de error, n$numero de %iteraciones maximo permitido % %El in'reso de datos es de la forma np&fffaen* % %by rancisco e.a /allardo &e.ovs0y reeman* %1M2N3 %
function np(f,ff,a,e,n) fprintf('Método de Newton-Raphson\n'); fprintf('by Peñovsy !ree"an\n');
for"at #on$
%&a; i&; error;
fprintf('ter*
\t
" \n');
while error>e ++ in
f&feva#(f,%&);
ffeva#(ff,%&);
%%&-(f&f);
ii;
errorabs((%%&)%);
fprintf('.d \t .d \n',i,%)
if feva#(f,%)&
sprintf('Nos
a#e$ra"os por/0e en1ontra"os #a ra23')
return end %&%;
end w feva#(f,%&); fprintf('\n4a ra23 apro%i"ada es5\t \t .f\n',%&); fprintf('\n6on 0na to#eran1ia de5\t \t .f\n',e); fprintf('N7"ero de ter5\t \t \t \t .d \n',i); disp('!0n1i8n5'); disp(f); fprintf('9# va#or de f(%) en .f es5 f(%) .f\n',%&,w)
return end
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 9ste "étodo, e# 10a# es 0n "étodo iterativo, es 0no de #os ":s 0sados y efe1tivos* diferen1ia de #os "étodos anteriores, e# "étodo de NewtonRaphson no traba
a #a ra23
ra3a"os #a re1ta tan$ente a #a 10rva en e# p0nto a# e
en 0n p0nto
de
,
; ésta 1r03a
/0e ser: n0estra si$0iente apro%i"a1i8n a #a
*
Para 1a#10#ar e# p0nto , 1a#10#a"os pri"ero #a e10a1i8n de #a re1ta tan$ente* =abe"os /0e tiene pendiente
? por #o tanto #a e10a1i8n de #a re1ta tan$ente es5
@a1e"os
5
? despe
5
A0e es #a f8"0#a iterativa de Newton-Raphson apro%i"a1i8n5
para 1a#10#ar #a si$0iente
, si
Note /0e e# "étodo de Newton-Raphson no traba
en nin$7n
"is"o es 0na ra23
C
Ejemplo Dsar e# "étodo de Newton-Raphson, para apro%i"ar #a ra23 de
, 1o"en3ando 1on
Solución
9n este 1aso, tene"os /0e
Be a/02 tene"os /0e5
y hasta /0e
*
6o"en3a"os 1on
y obtene"os5
9n este 1aso, e# error apro%i"ado es,
6ontin0a"os e# pro1eso hasta red01ir e# error apro%i"ado hasta donde se pidi8* Res0"i"os #os res0#tados en #a si$0iente tab#a5
Aprox. a la raíz
Error aprox.
1
1.268941421
21.19%
1.309108403
3.06%
1.309799389
0.052%
Be #o 10a# 1on1#02"os /0e , #a 10a# es 1orre1ta en todos s0s d2$itosC 4a "is"a idea p0ede ap#i1arse para 1rear a#$orit"os /0e apro%i"en ra21es
-ési"as de n7"eros rea#es positivos*
Ebserve /0e 10ando e# "étodo de Newton-Raphson 1onver$e a #a ra23, #o ha1e de 0na for"a "0y r:pida y de he1ho, observa"os /0e e# error apro%i"ado dis"in0ye a pasos a$i$antados en 1ada paso de# pro1eso* 0n/0e no es n0estro ob
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@e"os ter"inado de ana#i3ar e# "étodo de #a Newton Rapshon, en este e