LAB. FISICA I
U.M.S.A
Facultad de Ingeniería Ingeniería
G - 10
INFORME N° 8
PENDULO SIMPLE OBJETIVOS.-
I.
Determinar experimentalmente el valor de la aceleración de la ravedad ! determinar la ec"ación emp#rica de la o$cilación del p%nd"lo.
FUNDAMENTO TEORICO.-
II.
&l p%nd" p%nd"lo lo $imp $imple le con$i con$i$t $tee en "na "na ma$a ma$a de dime dimen$ n$io ione$ ne$ pe'"e pe'"e(a (a$$ $"$p $"$pen endi dido do de "n )ilo )ilo inexten$i*le carente de pe$o. C"ando La ma$a e$ apartada de $" po$ición de e'"ili*rio ! l"eo a*andona+ el p%nd"lo o$cila alrededor de e$ta po$ición en "n plano vertical con movimiento '"e a la ve, e$ periódico. &l p%nd"lo o$cila con "n periodo / '"e viene a $er el tiempo empleado en eect"ar "na o$cilación completa. Se deine la rec"encia / como el nmero de o$cilacione$ en "na "nidad de tiempo+ por lo tanto la rec"encia e$ la inver$a del periodo. f
P
L
T
W W
1
T
213
4ara 4ara inicia iniciarr el an5li$i an5li$i$$ eleir eleiremo emo$$ do$ e6e$+ e6e$+ "no en direcc dirección ión tanente a la tra!ectoria ! el otro en dirección radial. &n el plano a$# ormado $e repre$entaran toda$ la$ "er,a$ '"e actan $o*re la ma$a del p%nd"lo en el in$tante '"e e$ apartado de $" po$ición de e'"ili*rio de "n pe'"e(o 5n"lo /. Si de$componemo$ el pe$o en la dirección del e6e tanente a la tra!ectoria tenemo$7 Wx mgSin
x
283
y
4or lo tanto el 5n"lo en m"! pe'"e(o7 W
Fig. 1 La "er,a rec"peradora $er57
Sin F Wx F mg
293 2:3
&l $ino neativo indica '"e e$ta "er,a tiende a rere$ar al p%nd"lo a $" po$ición inicial. Como el 5n" 5n"lo lo / e$ m"! m"! pe'" pe'"e( e(o+ o+ $e a$"m a$"mee '"e '"e el arco arco '"e '"e de$c de$crri*e i*e la ma$a a$a al o$ci o$cila larr e$ aproximadamente "n de$pla,amiento lineal7
X L
4or lo tanto tenemo$7 F
mgx L
Donde $e p"ede o*$ervar '"e la F"er,a rec"peradora/F/ para pe'"e(o$ de$pla,amiento$ e$ directamente proporcional a la elonación x/. F Kx
Siendo '"e K
mg L
+ la denominada con$tante rec"peradora del p%nd"lo.
La condición nece$aria para '"e el movimiento de "n c"erpo $ea cataloado como moviendo armónico $imple 2M. A. S.3 e$ '"e $e )alle $ometiendo a "na "er,a rec"peradora '"e $ea directamente proporcional a la elonación ! de $entido op"e$to. &n n"e$tro ca$o el moviendo anali,ado c"mple con e$ta$ condicione$. Si Aplicamo$ la $e"nda Le! de ;e
a L
2=3 2>3
8
a
?empla,ando en la ec"ación 2=3
d 8 8
dt
d 8
dt
g
L
0
2103
2113
Se o*tiene la ec"ación caracter#$tica del movimiento armónico Simple. &l $e"ndo de la ec"ación repre$enta la rec"encia an"lar
dt
Como7
8
8 0
g L
8
T
2193
L
T 8
g
2183
g
:
8
T
8
L
21:3
21@3
La ec"ación 21@3 no$ permite determinar la aceleración de la ravedad local previamente conocido$ el periodo ! la lonit"d del p%nd"lo. Como e$ po$i*le experimental con el p%nd"lo $imple+ '"e no e$ nada ma$ '"e "n modelo ideal ! como el de$arrollo a) Máximo ángulo de separación ( ):
Ante$ de iniciar la practica e$ nece$ario determinar c"an pe'"e(o p"ede $er con$iderado el 5n"lo $e $eparación. Si la amplit"d de o$cilación no e$ pe'"e(a. &l periodo del p%nd"lo e$ta en "nción del 5n"lo de $eparación $en la $i"iente expre$ión7 T 8
L g
1 1: $in 8
> $in 8 ................3 A: 8
8
213
Si depreciamo$ lo$ t%rmino$ de potencia $"periore$ por $er valore$ m"! pe'"e(o$ ! con$ideremo$ nicamente lo$ do$ primero$ t%rmino$+ tenemo$7 T 8
Si $e de$arrolla la $erie $in
8
L
1 1: $in 8 g 8
213
! $e de$precian lo$ t%rmino$ $"periore$7 8
T
8
L g
1
8
1A
................3
21=3
De$pe6ando de la ec"ación 21=3 la aceleración de la ravedad adem5$ de$precian lo$ t%rmino$ $"periore$ $e tiene. g 1
:
L
8
T 8
1
=
8
21>3
Adem5$7 g
:
8
T
8
L
&l error cometido en la determinación de la Aceleración de la ravedad por la inl"encia del 5n"lo de $eparación $er57
g g 1 g g g g
8
=
8
=
2803
4ara '"e e$te error relativo $ea de$precia*le e$ nece$ario el valor
8
=
$ea m"! pe'"e(o comparado
con el error relativo prei6ado para la determinación de la aceleración de la ravedad. 4ara c"mplir e$ta condición $e $"iere '"e $ea por lo meno$ la d%cima parte del error relativo prei6ado.
8
=
E r g 10
2813
Con la ec"ación 2813 podemo$ calc"lar el m5ximo valor '"e p"ede adoptar el 5n"lo de reparación en radiane$7 ) Máximo radio de la es!era:
Como el p%nd"lo '"e $e "tili,a en el experimento e$ en realidad "n p%nd"lo real+ $" movimiento tam*i%n p"ede $er anali,ado mediante la din5mica del c"erpo r#ido. &l periodo de o$cilación del p%nd"lo #$ico+ e$ decir el p%nd"lo real e$ta dado por7
P
T
8
I P mgL
2883
I P Momento de inercia re$pecto al e6e de $"$pen$ión p/. L
R
Sen el teorema de Steiner. I P I O mL8
R R
2893
I o Momento de inercia re$pecto al e6e '"e pa$a por el centro
de ravedad de la e$era. ig. 2 I o
8 @
mR 8
28:3
?empla,ando en la ec"ación 2883 $e tiene7
T 8
8 R 8 L 8 1 @ L
28@3
g
De$pe6ando la aceleración de la ravedad7 :
g 8
8
8 R 8 8 1 @ L 8
T
283
&l error '"e $e comete en la medida de la aceleración de la ravedad al con$iderar $e la ma$a de la e$era como la ma$a p"nt"al $er57
8 R 8 g g 8 g g 8 @ L
g 8 R 8 g @ L8
283
8 R 8 E r g 8 @ 10 L
28=3
Utili,ando la i"aldad $e p"ede calc"lar el radio m5ximo '"e de*er#a tener la e$era para '"e el p%nd"lo en e$t"dio $ea con$iderado p%nd"lo $imple7 c) Medidas del periodo:
4ara no $o*re pa$ar el error relativo prei6ado en la determinación de la aceleración de la ravedad+ $e de*en eect"ar "n n"mero m#nimo $e o$cilacione$ para la medida del periodo. &l valor medido del periodo $e lo p"ede expre$ar como7 T T T
Donde7
T
&l valor ma$ pro*a*le del periodo
T &rror del periodo T
t n n
am*i%n en e$te ca$o7 T
Donde7
e n
n ;"mero de o$cilacione$. e &rror del cronometri$ta 2e 0.8 $e"ndo$3
&l error relativo del periodo $er5. E r T
T T
e Tn
De$pe6ando el nmero de o$cilacione$7 n
e E r T T
28>3
III.
IV.
MATERIALES Y MONTAJE.
&$era Met5lica.
ilo inexten$i*le.
Cronometro.
ornillo Microm%trico.
?ela rad"ada en Emm.
PROCEDIMIENTO.-
") De#erminación de la aceleración de la gra$edad:
a3 &l Docente a$inara el error porcent"al prei6ado para la determinación de la aceleración de la ravedad. *3 Medir el di5metro de la e$era ! la lonit"d del )ilo 2aproximadamente 0Ecm. del e6e $"$pen$ión p/ al centro de ravedad de la e$era3. c3 Utili,ando la ec"ación 2813+ calc"lar la amplit"d m5xima / ! le de$pla,amiento lineal/x/. X L d3 Mediante la ec"ación 28=3 determinar el radio m5ximo ! compararlo con el radio de la e$era para veriicar $i el p%nd"lo en e$t"dio p"ede $er con$iderado p%nd"lo $imple. e3 &mpleando la ec"ación 21@3+ reali,ar el proce$o inver$o de la propaación inver$a de errore$ ! determinar el error relativo '"e $e de*e cometer en la medida del periodo. 3 4ara 10 o$cilacione$ medir el periodo aproximado /+ repetir el procedimiento tre$ vece$ ! $acar el promedio. t T 10 10
3 Con la ec"ación 28>3+ calc"lar el valor de n/. )3 Medir el tiempo para la$ n/ o$cilacione$ cinco vece$+ $acar el promedio ! determinar el periodo ! $" corre$pondiente error %) Ecuación emp&rica del periodo:
a3 Con$iderando el n"mero n/ de o$cilacione$ determinado+ medir el per#odo de o$cilacione$ para dierente$ lonit"de$ del )ilo. *3 Con$tr"ir "na ta*la de lo$ valore$ de7 T
L
V.
CALCULOS Y ANALISIS DE DATOS.-
") De#erminación de la aceleración de la gra$edad:
Con lo$ valore$ o*tenido$ calc"lar la aceleración de la ravedad "tili,ando la$ ec"acione$ 21@3+ 21>3 ! 283. 8 8 : B0 cm : L g g >@A.88cm H s 8 &CUACI; 21@3 g 8 8 1.A s T
&CUACI; 21>3
g 1
L
:
8
T
8
1 g 1 =
8
:
&CUACI; 283
g 9
8
8
8
8
8 g 1 >@B.ABcm H s
8 R 8 8 1 @ L T
: B0 cm 0.11 1 8 = 1 .A
:
8
g 9
8 1.1@cm 8 1 8 @ cm B0 1.A
8
g 9 19.BAcm H s 8
Determinar en cada ca$o lo$ corre$pondiente$ errore$. Comentar lo$ re$"ltado$ ! comentar al re$pectó.
%) Ecuación emp&rica del periodo:
a3 Con$tr"ir la raica T ver$"$ o*tener la pendiente B/. T
L + a6"$tar la recta por el metido de m#nimo$ c"adrado$ !
L
1,64 1,58 1,50 1,44 1,38 1,31
70 65 60 55 50 45
1
T
L8
Si lineali,amo$ la anterior ec"ación7 " Log! n Logx
" i ! i n xi
Donde7 n pendiente de la recta Ci inter$ección con la ordenada
a3 A6"$tar la recta por el m%todo de m#nimo$ c"adrado$/ ! determinar lo$ valore$ de n/ ! C/.
N
T
1 2 3 4 5 6
1,64
70
1,58
65
1,50
60
1,44
55
1,38
50
1,31 8,85
L
X i = log T
Yi = log
X i 2
X i * Y i
L
45
0.81: 0.1>= 0.1 0.1@= 0.1:0 0.11
1.=:@ 1.=19 1.= 1.:0 1.01 1.@9
0.0: 0.09> 0.091 0.08@ 0.01> 0.019
0.9>@ 0.9@> 0.919 0.8@ 0.89 0.1>9
345
1,003
10.530
0,173
1,772
n
X " X " A 1.BB8 1.009 10.@9 0.0B 8.1= 0.098 A 0.1B9 1.009 # X X
#
i
i
i
i
8
8
i
$ ! i
8
i
" X i
i
#
A Ci 1.9>
10.@9 8.1> A
1.9>
C antilo 21.9>3 8:.@
La ecuaci%n final es& ' ( *+,-. x+/0
8 g
g
:
8
8
Utili,ando la relación anterior determinar la aceleración de la ravedad.
g =.90 m H s 8
De lo$ valore$ o*tenido$ para la aceleración de la ravedad. JC"al cree '"e e$ el m5$ conia*leK J4or '"eK Se podr#a decir '"e la ma$ conia*le e$ en la "$amo$ el raico T ver$"$ varia$ mediada$ ! $e )ico ma$ conia*le pro la raica mi$ma. VI.
L !a '"e $e "$aron
CUESTIONARIO.-
a3 &n"nciar la$ le!e$ del p%nd"lo &l periodo e$ independiente de la amplit"d de o$cilación. &l periodo e$ independiente a la ma$a. &l periodo e$ proporcional a la lonit"d del p%nd"lo. *3 4ara "na o$cilación del p%nd"lo. Jen '"e po$ición $on m5xima$ la aceleración ! la velocidadK &xplicar con "n di*"6o.
Sen el raico $e p"ede decir '"e c"ando la ma$a del p%nd"lo tienen la aceleración ! velocidad m5xima e$ c"ando $e enc"entra en el centro del $i$tema !a c"ando menor e$ el 5n"lo $e $eparación la aceleración e$ ma!or en con$ec"encia la velocidad tam*i%n.
L
c3 Con$tr"ir "n *o$'"e6o entre la amplit"d ver$"$ tiempo para "na o$cilación completa del p%nd"lo.
d3 La "er,a rec"peradora '"e acta $o*re el p%nd"lo Je$ con$tante o varia*leK Ar"mente $" re$p"e$ta ;o e$ con$tante !a '"e. Donde $e p"ede o*$ervar '"e la F"er,a rec"peradora/F/ para pe'"e(o$ de$pla,amiento$ e$ directamente proporcional a la elonación x/. F Kx
Siendo '"e K
mg L
+ la denominada con$tante rec"peradora del p%nd"lo.
e3 Jinl"!e la rotación de la tierra en el valor de la aceleración de la ravedad J4or '"%K Si inl"!e la rotación de la tierra !a '"e la aceleración de la ravedad e$ dierente en dierente$ p"nto$ de la tierra 3 Inve$tiar el valor de la aceleración de la ravedad parta la ci"dad de La 4a,. >. mH$8 VII.
CONCLUSIONES.-
&n concl"$ione$ $e podr#a decir '"e )a! varia$ orma$ de medir la manit"d de la aceleración de la ravedad en e$ta oport"nidad "$amo$ "n p%nd"lo $imple para medir la aceleración de la ravedad '"e no "eron n"e$tro$ re$"ltado$ tan exacto$ !a '"e en el mi$mo experimento $e pre$entan vario$ tipo$ de error ! e$o$ errore$ no de6aron $acar el valor re'"erido. $e p"do o*$erva el Movimiento Armónico Simple en el p%nd"lo $imple ! a $" ve, $e p"do e$t"diar al p%nd"lo ! $"$ caracter#$tica$ $e p"do determinar la ec"ación experimental del p%nd"lo $imple. Mediante e$te experimento $e p"do determinar la aceleración de la ravedad de dierente$ orma$ con la$ ec"acione$ '"e planteamo$ anteriormente el la practica.
