Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS
(MATEMATIKA TKD SAINTEK)
Disusun Oleh : (http://pak-anang.blogspot.com http://pak-anang.blogspot.com))
1.
Titik dan A. B. C. D. E.
adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dengan sumbu- . Nilai adalah .... = +
Y
8
(0, )
O
8
X
O
Dari sketsa gambar kita akan segera tahu bahwa besar sudut , sehingga kita akan cepat tahu juga bahwa segitiga pada gambar siku-siku sama kaki, sehingga .
Ingat,
Jari-jari lingkaran dapat dihitung menggunakan jarak titik pusat ke garis singgung lingkaran. Misal lingkaran berpusat di dan garis singgung lingkaran dapat dinyatakan dalam , maka jari-jari lingkaran adalah:
Perhatikan, Terdapat dua lingkaran pada soal, yaitu: (i)
-
(ii)
-
Perhatikan ilustrasi berikut,
Y 8
O
8
X
Karena panjang jari-jari kedua lingkaran adalah sama, maka besar gradien dari garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah sama dengan besar gradien dari garis yang melalui kedua pusat lingkaran.
Sehingga, gradien garis singgung persekutuan dua lingkaran yang dimaksud sama dengan gradien garis yang melalui titik dan yaitu:
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 1
Titik adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran dengan sumbu- , maka persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran yang dimaksud adalah persamaan garis lurus dengan gradien yang melalui adalah:
Jari-jari lingkaran pusat lingkaran
yaitu dapat dihitung menggunakan jarak titik ke garis singgung , yaitu:
Sehingga, nilai Jadi, nilai
atau
.
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 2
2.
Segitiga dan A. B. C. D. E.
siku-siku di maka
. Titik pada ....
sehingga
dan
. Jika
Luas
dapat dicari dengan dua cara
menggunakan rumus
maupun rumus sinus: 3
= 26
26 5
1
2
= 5
Ingat,
Pada suatu segitiga
Perhatikan segitiga Karena segitiga
seperti pada gambar di samping berlaku aturan kosinus:
,
dan
Sekarang perhatikan segitiga
Nilai
siku-siku B maka berlaku teorema Pythagoras,
, berlaku aturan kosinus,
dapat dicari menggunakan identitas trigonometri,
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 3
,
Ingat, Rumus pengurangan dua sudut sinus:
Perhatikan segitiga
dan
serta sudut
dan ,
Maka diperoleh nilai-nilai trigonometri berikut,
Perhatikan baik-baik bahwa
.
Sehingga,
Nilai
dapat diperoleh dengan mengkuadratkan nilai
,
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 4
3.
Fungsi
untuk
dan
naik pada
interval ....
Perhatikan apa gunanya syarat berikut pada soal?????
A. B. C. D. E.
dan
Ingat,
Fungsi
Jelas pada nilai tersebut fungsi tidak terdefinisi, dan naik turunnya fungsi sudah semestinya akan terpotong pada nilai tersebut. Jawaban A, C, dan E pasti salah. Tersisa pilihan jawaban B atau D saja yang mungkin benar.
naik pada
Sekarang tinggal cek aja apakah fungsi naik atau turun menggunakan dua nilai pada interval jawaban:
Karena , maka pada interval 0 sampai fungsi turun. Karena yang d itanyakan interval fungsi naik, jadi jelas bahwa jawaban yang benar pastilah D.
apabila
Perhatikan,
Misal,
Maka,
Syarat fungsi
naik adalah
, sehingga:
Daerah yang memenuhi dapat dicek dengan menguji nilai pada garis bilangan berikut
Karena nilai pertidaksamaan
yang diminta adalah negatif, maka daerah
penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah
.
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 5
4.
Suatu transformasi terdiri dari pencerminan terhadap , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu . Jika dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, maka hasil transformasinya adalah .... A. B. C. D. E.
Titik potong dan sudut yang dibentuk oleh garis dan sumbu berturut-turut adalah dan , sehingga komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis dilanjutkan oleh sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat sebesar
.!
Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap di titik semula. Jadi, bayangan titik adalah tetap . S Gampang kan?
Ingat,
Apabila suatu titik dicerminkan terhadap garis , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Apabila suatu titik dicerminkan terhadap sumbu , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Perhatikan, apabila transformasi terdiri dari pencerminan terhadap garis dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
,
Sehingga,
Jadi, apabila titik dikenakan transformasi transformasinya adalah:
sebanyak 24 kali, maka hasil
f. H.
Sampai disini, kita harus dapat menemukan pola dari transformasi tersebut, karena akan ribet banget kalau sampe
Mari kita periksa,
Perhatikan, ternyata transformasi adalah berulang setiap 4 kali, sehingga hasil transformasi ke-24 terhadap transformasi adalah:
Jadi, bayangan titik
terhadap transformasi sebanyak 24 kali adalah
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
.
Halaman 6
Ingat,
Apabila suatu titik dicerminkan terhadap garis , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap garis :
Apabila suatu titik dicerminkan terhadap sumbu , maka pemetaan yang terjadi adalah sebagai berikut:
Sehingga, matriks transformasi pencerminan terhadap sumbu :
Misal,
.?
Perhatikan, apabila transformasi terdiri dari pencerminan terhadap garis dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu , maka:
Jadi, apabila titik dikenakan transformasi transformasinya adalah:
,
sebanyak 24 kali, maka hasil
Sampai disini, kita harus dapat menemukan nilai
Mari kita periksa terlebih dahulu,
Perhatikan, karena
, maka nilai
Maka, bayangan titik
terhadap transformasi sebanyak 24 kali adalah:
Jadi, bayangan titik
adalah berulang setiap 4 kali, sehingga:
terhadap transformasi sebanyak 24 kali adalah
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
.
Halaman 2
Ingat, Operasi dua pencerminan berurutan terhadap dua garis yang saling berpotongan akan menghasilkan rotasi, dengan:
Pusat rotasi adalah titik potong kedua garis. Sudut rotasi sebesar dua kali sudut yang dibentuk oleh garis pertama dengan garis kedua.
Perhatikan sketsa grafik di bawah,
.
Titik potong antara garis dan sumbu ( adalah titik Sudut yang dibentuk antara garis dengan sumbu adalah
.
Perhatikan lagi sketsa grafik di bawah,
Sehingga, komposisi dua pencerminan berurutan oleh garis sumbu akan menghasilkan rotasi dengan pusat sebesar
dilanjutkan oleh
.
Nah, karena transformasi sebanyak 24 kali, maka sama artinya dengan dikenakan sebanyak 24 kali rotasi tersebut. Namun, coba perhatikan: ;
Dan mengingat sifat sudut rotasi
, maka:
Apabila suatu titik dikenakan transformasi sebanyak 24 kali, ini sama artinya memutar titik tersebut sebesar , artinya titik tersebut tidak diputar sama sekali, sehingga bayangannya tetap di titik semula. Jadi, bayangan titik
adalah tetap
.
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 2
5.
.
Diketahui kubus . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga . Titik berada di rusuk sedemikian sehingga . Jika adalah sudut antara bidang dan garis maka nilai .... A.
Apabila kita geser FH ke dasar maka jelas terlihat bahwa sudut Perhatikan gambar berikut:
B.
H
G
Asumsi kita bahwa sudut , maka nilai sinus sudut pasti lebih
F
E
C.
P
besar dari
D. E.
.
D
M
N
C
Q
A
B
, dan hanya ada dua
jawaban yang mungkin benar, yaitu jawaban A dan B. Jawaban B hanya sedikit lebih besar dari dan bisa dipertimbangkan
S ..A.
Perhatikan gambar berikut, H
G F
E
Tantangan di soal ini adalah bagaimana mencari sudut yang dibentuk antara garis dan bidang, sedangkan tidak dapat dilihat secara langsung titik tembus garis pada bidang tersebut.
P
N
D M
C Q
A
B
Alternatif langkah penyelesaiannya adalah:
H
(i) Bidang diperluas dan garis diperpanjang sedemikian sehingga garis dapat menembus bidang di suatu titik tembus, sehingga sudut antara garis dan bidang dapat diamati dan dihitung yaitu sudut yang dibentuk antara garis dan proyeksi garis pada bidang. Perhatikan ilustrasi di samping!
G
E
F
P
N
D
C
M
Q
A
B
(ii) Bidang atau garis dapat digeser asalkan masih tetap sejajar dengan bidang atau garis semula.
a) Garis dapat kita geser ke bidang dasar, sehingga garis berhimpit dengan garis . Sehingga, sudut yang terbentuk antara garis dan bidang dapat diwakili oleh sudut antara garis dan bidang . Perhatikan ilustrasi berikut:
H
b) Bidang dapat kita geser menjadi bidang , ini dapat dilakukan karena bidang sejajar bidang . Sehingga, sudut antara garis dan bidang dapat diwakili oleh sudut antara garis dan bidang . Perhatikan ilustrasi berikut: H
G F
E
E
P
D M A
G R F
P
N M
Q B
N
D
C
C Q
A
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
B
Halaman 3
Kita menggunakan alternatif jawaban pada cara (ii) b), yaitu menggeser bidang MNP menjadi bidang ACH. Perhatikan gambar berikut, H E
G R F
P
N
D
C
M
Q
A
B
Sudut adalah sudut antara garis
dan bidang
.
Jadi,
Nah, berarti kita tinggal mencari panjang adalah panjang rusuk kubus, dan merupakan sisi miring pada segitiga siku-siku .
Misalkan terlebih dahulu panjang rusuk kubus adalah . Maka panjang
Perhatikan, titik
merupakan titik potong antara diagonal .
Panjang
dapat dicari pada segitiga siku-siku
dan diagonal
.
, maka
, yaitu:
Jadi,
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 2
6.
Jika sisa pembagian
oleh
oleh
A. B. C. D. E.
adalah
adalah
, dan sisa pembagian
, maka
= ....
33 43 53 63 73
dibagi oleh dibagi oleh
bersisa bersisa
dibagi oleh dibagi
Karena Maka
bersisa bersisa , sehingga
,
Ingat, Rumus pembagian suku banyak,
dimana,
yang dibagi;
pembagi;
hasil bagi;
sisa pembagian
Perhatikan,
Sisa pembagian
oleh
adalah
, maka:
“ ” Perhatikan juga bahwa yang akan dicari adalah sisa pembagian oleh dalam bentuk , maka kita harus dapat menemukan bentuk terlebih dahulu. Perhatikan uraian berikut:
Perhatikan bentuk
berikut,
Jadi, sisa pembagian sisa pembagian terlebih dahulu bentuk
oleh sama artinya juga dengan mencari oleh . Oleh karena itu, mari kita jabarkan sehingga diperoleh:
Sehingga, sisa pembagian dapat diperoleh dengan pembagian bersusun
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
:
Halaman 3
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai
S “”
sisa pembagian oleh pembagi derajat berapapun, khususnya pembagi yang tidak bisa difaktorkan, juga dapat diperoleh dengan Horner Modifikasi.
Caranya adalah perhatikan bentuk pembagi berikut:
Maka,
Angka kita susun dari bawah ke atas di bagian kiri bagan Horner Modifikasi. Lalu koefisien dari fungsi yang dibagi ditulis seperti biasa pada Horner Biasa.
Hasil sisa pembagian perhitungan Horner Modifikasi berikut:
oleh
dapat dilihat pada
Langkah-langkah Horner Modifikasi: Kolom pertama dijumlahkan, hasilnya 9. 9 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 27, Kolom kedua dijumlahkan, hasilnya 6. 6 dikalikan dengan 0, 3, masing-masing hasilnya 0, 18, (Perkalian berhenti kalau kolom terakhir sudah terisi, yaitu Kolom ketiga dijumlahkan, hasilnya 16. Kolom keempat dijumlahkan, hasilnya . Kolom kelima dijumlahkan, hasilnya .
Hasil
Sisa Pembagian
Jadi,
Sisa pembagian
oleh
adalah
Dengan kesamaan suku banyak diperoleh:
Jadi, nilai
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 4
. .
.)
7.
v .
Grafik A. B. C. D. E.
berada di bawah grafik
Karena untuk maka jelas
dan dan
nilai , tidak bisa
jika ....
,
Jadi jawabannya adalah jelas C. Sudah gitu aja, gampang kan?
Untuk
, maka
Untuk
, maka
Ingat, Pada pertidaksamaan eksponen, berlaku:
Untuk
, maka:
.
Perhatikan, Grafik
f H f f f
Jadi, grafik
berada di bawah grafik
, maka:
berada di bawah grafik
jika
Pemfaktoran bentuk
menggunakan metode Horner.
Perhatikan, karena jumlah semua koefisien maka salah satu faktornya adalah , sehingga:
adalah
.
,
Jadi,
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 5
Karena batas interval di pilihan jawaban hanya memuat , , dan . Tidak terlalu banyak dan rumit untuk diperiksa satu per satu untuk menguji jawaban mana yang benar. Nah, waktu yang diperlukan mungkin bisa lebih singkat ketimbang membuktikan jawaban benar dengan menguraikan menggunakan sifat pertidaksamaan eksponen.
Oke, mari kita coba. Ada dua alternatif cara TRIK SUPERKILAT yang bisa dilakukan pada soal ini. Jadi, sebenarnya kita cukup mengecek hal berikut:
Pertama, cek nilai setiap interval yang disediakan pilihan jawaban. Ambil sebarang nilai pada setiap interval, lalu substitusikan dan periksa interval mana saja yang menyebabkan
0
bernilai benar.
1
3
Untuk
, maka
Untuk
Untuk
, maka
, maka
Untuk
maka
Dari pengujian nilai setiap interval, jelas diperoleh interval yang menyebabkan adalah
Kedua, cek apakah nilai
Lihat pada
, dan
pada pilihan jawaban menyebabkan
.
Kedua, cek apakah nilai
,
.
,
, dan
.
di bawah ini:
pada pilihan jawaban menyebabkan
Mari kita periksa:
Untuk
, maka
Untuk
, maka
Untuk
, maka
v.
Jadi, karena untuk
dan
nilai
, maka sangatlah
jelas bahwa dan Perhatikan pilihan jawaban yang tersedia,
Untuk
Jadi jawabannya adalah jelas C. Sudah gitu aja, gampang kan?
, maka
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 6
8.
....
Abaikan dan coret sin terlebih dahulu. Dan keluarkan
A.
pada pembilang.
B. C.
D. E.
Ingat, Konsep dasar limit trigonometri:
Perhatikan,
Bentuk
Padahal,
mungkin akan banyak disalahpahami menjadi
bukanlah sudut dari sinus.
Jadi, biar tidak salah paham maka Sehingga,
dipindah ke depan .
.
.
Maka, bentuk limit akan menjadi,
Jadi,
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 7
9.
Jika dalam suatu barisan geometri
....
dan
, maka
A. B. C. D. E.
Karena
dan
, maka
Maka
Ingat,
S
Rumus suku ke- dan jumlah suku pertama barisan geometri adalah:
Perhatikan, Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250, yang tak lain adalah nilai dari rasio .
f H f
Jadi,
Pemfaktoran
Perhatikan karena
menggunakan metode Horner.
.
Jadi, kemungkinan nilai adalah
jelas tidak mungkin, sehingga kita pilih
.
,
Jadi,
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 8
Ingat,
S
Rumus suku ke- dan jumlah suku pertama barisan geometri adalah:
Perhatikan, Pada soal diketahui nilai suku pertama dan jumlah delapan suku pertama deret geometri. Dan yang ditanyakan adalah perbandingan suku ke-251 dengan suku ke-250, yang tak lain adalah nilai dari rasio .
. S . .
Jadi,
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 9
10.
Misalkan A. B. C. D. E.
. Jika nilai minimum dan maksimum berturut-turut adalah dan , maka ....
3 19 20 83 100
2
+
1
0
2
2 1
Ingat,
pada selang
Nilai minimum pastilah , dan nilai maksimum di antara dua nilai atau . Setelah diperiksa ternyata, dan , jadi nilai maksimum adalah
Dari uji turunan pertama, dan batas interval diperoleh garis bilangan:
′
2
Sehingga, Jadi,
Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi interval adalah sebagai berikut:
dan
pada
(i) Menentukan nilai fungsi pada batas interval yaitu dan . (ii) Menentukan nilai pada interval yang menyebabkan nilai maksimum atau minimum dengan syarat stasioner serta menentukan nilai fungsinya. (iii) Membandingkan nilai fungsi pada langkah (i) dan (ii), lalu dipilih sesuai yang diinginkan. Apakah mencari nilai maksimum atau nilai minimum.
Perhatikan,
Pada soal diberikan batas interval
, maka hitung nilai
Perhatikan lagi
dan
, maka turunan pertama dan kedua
Lalu, tentukan nilai dari syarat fungsi stasioner, yaitu
adalah:
,
Kemudian menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua Periksa jenis stasioner di Untuk
atau
,
, maka
memiliki titik belok di
, maka
memiliki titik balik minimum di
Jadi, dari syarat stasioner hanya diperoleh nilai minimum
Sehingga dengan membandingkan nilai
Jadi,
.
, maka
Karena
.
, maka
Karena
Untuk
.
yaitu
.
:
, diperoleh:
Nilai minimum, Nilai maksimum,
.
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 10
Untuk sementara 10 soal dulu ya... Hehe nanti kalau sempat dilanjutin lagi... Pembahasan soal ini selalu diupdate setiap saat, jadi selalu kunjungi http://pakanang.blogspot.com untuk mendapatkan update terbaru pada pembahasan soal ini.
Untuk pembahasan soal-soal SBMPTN dan SNMPTN yang lain silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com. Untuk download rangkuman materi, kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT dalam menghadapi SBMPTN dan SNMPTN serta kumpulan pembahasan soal SBMPTN dan SNMPTN yang lainnya jangan lupa untuk selalu mengunjungi http://pak-anang.blogspot.com. Terimakasih, Pak Anang.
Bimbel SBMPTN 2017 Matematika IPA by Pak Anang ( http://pak-anang.blogspot.com )
Halaman 11
