Pembahasan Soal Matematika IPA SIMAK UI 2016 Kode 1

MATEMATIKA IPA SIMAK UI 2016 KODE 1

Author : Joni Parlindungan

©jagomatematika.com

SOAL

PEMBAHASAN

1. Jika O1S  4 cm dan O2Q  3 cm, dan TP  4 cm, maka Perhatikan gambar di bawah ini ! panjang tali busur QR adalah … cm

A)

3

1 3 3 C) 2 3 D) 3 E) 4

B)

Garis SR dan garis UQ menyinggung lingkaran O1. Akibatnya sudut 4 1 SPO1 = sudut UPO1. Misalkan sudut SPO1 = α, nilai sin    . Itu 8 2 berarti   30 . Sudut QPR = 600 karena bertolak belakang dengan sudut SPO1. Pada lingkaran O2, sudut QO2R adalah sudut pusat dan sudut QPR adalah sudut kelilingnya, yang berlaku QO2 R  2 QPR  120 . Dengan aturan cosinus pada segitiga QO2R, diperoleh

 3    3   2  3  3  cos120  1   3    3   2  3  3      2

QR 2  QR 2

2

2

2

2

QR2  3  3  3  9 QR  3 cm.




2. Misalkan  ,  berturut-turut adalah banyak bilangan bulat k Syarat berpotongan, f  x   g  x  , sehingga dan perkalian semua bilangan bulat k yang memenuhi f  x    k  2  x 2  kx  2 dan g  x   2 x 2  2 x  k  2 sehingga  k  2 x2  kx  2  2x2  2x  k  2 grafik kedua fungsi tersebut berpotongan di dua titik berbeda. Jika 3  k  1 , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya  2   dan  2   adalah … A) B) C) D) E)

x2  20 x  64  0 x2  42 x  117  0 x2  30 x  125  0 x2  48x  380  0 x2  50 x  400  0

kx2   k  2  x  k  4  0 Agar berpotongan di dua titik yang berbeda, D  0 D  b2  4ac  0 2  k  2  4  k  k  4  0 k 2  4k  4  4k 2  16k  0 5k 2  20k  4  0

Tetapi, karena ditetapkan dalam soal 3  k  1 , maka himpunan bilangan bulat k yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat tersebut yaitu {–3, –2, –1, 0}. 1 tidak memenuhi sebab 5  20  4  0 . Jadi,   4 dan   3  2  1 0  0 , sehingga  2    42  0  16 dan  2    02  4  4 . Lalu, persamaan kuadratnya adalah

x2  16  4  x  16  4   0

 x, y  yang memenuhi 2 2 x 2  xy  1  0 dan  4 x  y   y 2  8 adalah …

3. Banyak

A) B) C) D)

pasangan

0 1 2 3

x2  20 x  64  0 . persamaan Kemungkinan pertama yaitu asumsikan xy sebagai xy , artinya x

dan y sama–sama positif atau sama–sama negatif.

2 x 2  xy  1  0 2 x 2  xy  1  0



E) 4

©jagomatematika.com y

2 x2  1 x

Lalu, disubstitusikan ke persamaan  4 x  y   y 2  8 2

2  2 x 2  1   2 x 2  1    4x    8    x  x   2

2

2

 2 x2 1   2 x2  1      8  x   x  4 x4  4 x2  1  4 x4  4 x2  1  8x2 4 x4  8x2  2  0 2 x4  4 x2  1  0 x

Untuk x  

2 2 2 2 atau x   4 4

2 2 2 2 atau x   , maka nilai y juga positif. 4 4

2 2 2 2 atau x   , maka nilai y 4 4 juga negatif. Jadi, ada 4 solusi untuk kemungkinan pertama.

Begitu juga untuk x  

Kemungkinan kedua yaitu asumsikan xy sebagai  xy , artinya x dan y berbeda tanda.

2 x 2  xy  1  0 2 x 2  xy  1  0



©jagomatematika.com y

2 x 2  1 x

Terus disubstitusikan lagi ke persamaan  4 x  y   y 2  8 2

2  2 x 2  1   2 x 2  1    4x     8    x x    2

2

2

 6 x 2  1   2 x 2  1      8 x  x    4 2 2 2 36 x  12 x  1  4 x  4 x  1  8x2 36 x4  8x2  2  0 18x4  4 x2  1  0

Persamaan kuadratnya tidak ada solusi di bilangan real karena nilai D 0.

4. Jika suku banyak

g  x f  x

Jadi, ada 4 pasangan bilangan yang memenuhi. g  x dibagi x 2  x bersisa x  2 dan jika  x  x  1 h1  x   x  2 *1 f  x

xf  x   g  x  dibagi x2  x  2 bersisa x  4 , maka f 1  3 4 1 B) 2 C) 0

A)

xf  x   g  x    x  2 x  1 h2  x   x  4

*2

Setting x  1 pada *1 dan *2 , sehingga diperoleh berturut–turut

g 1  3 f 1 dan f 1  g 1  3 . Lalu,

f 1  3 f 1  3 4 f 1  3

MATEMATIKA IPA SIMAK UI 2016 KODE 1 1 2 3 E)  4

D) 


©jagomatematika.com 3 f 1   . 4

x 1 2x 1 dan g  x   , maka nilai x yang Jika f  x   g  x   2 , maka 2  f  x   g  x   2 , sehingga diperoleh  2 2 3 memenuhi f  x   g  x   2 adalah … x 1  2x 1  2     2 2 2  3  A) 7  x  17 x 1 2x 1 2     2 B) x  7 atau x  17 2 2 3 3 C) x  7 atau x  17 x 1 2x 1  2   6        6   2   6 D) 7  x  17  2 2 3 3 E) 17  x  7 12  3x  3  4 x  2  12 12   x  5  12 12  5   x  5  5  12  5 17   x  7 7  x  17 6. Misalkan a, b, c berturut-turut adalah tiga bilangan asli yang b bilangan bulat, artinya r  1 sedangkan rata-rata dari a, b, c adalah b a membentuk barisan geometri dengan bilangan bulat. Jika abc a b  1 , artinya b  1  . 2 3 a b rata-rata dari a, b, c adalah b  1 , maka 4     a  1  b a Sangat mudah menebak barisan bilangan tersebut, yaitu 3, 6, dan 12. a  3, b  6, c  12 , Jadi, dan sehingga A) 2 2 2 a b  3 6 B) 1 4    a 1  4    3 1  1 2  3 1  1 . b a 6 3 C) 0 D) 1 Caranya sebagai berikut : E) 2

5. Jika f  x  




Misalkan b  ar dan c  ar 2 . Terus

a  ar  ar 2 ar  1  3 a 1  r  r 2  ar  1  3 2 a 1  r  r   3ar  3 a 1  2r  r 2   3

Karena 3 bilangan prima, berlaku teorema faktorisasi tunggal, yang artinya ada dua kemungkinan yang terjadi : (1) a  1 1  2r  r 2  3 (2) a  3 1  2r  r 2  1 Pada kemungkinan 1 : 1  2r  r 2  3 r 2  2r  2  0

Nilai r tidak bulat. Pada kemungkinan 2 :

1  2r  r 2  1 r 2  2r  0 r  r  2  0

r  0 atau r  2 Nilai r yang memenuhi hanya nilai r  2 . Jadi barisan bilangan tersebut adalah 3, 6, 12.



7. Untuk 0  x   , jika

2cos x  cos x  sin x   tan 2 x  sec2 x

penyelesaian dari

2cos x  cos x  sin x   sec2 x  tan 2 x

ba  2 8 3 B) 8 4 C) 8 6 D) 8 E) 

A)

x  R | a  x  b adalah himpunan 2cos x  cos x  sin x   tan 2 x  sec2 x . Maka


2cos2 x  2sin x cos x  1 2cos2 x 1  2sin x cos x  0 cos 2 x  sin 2 x  0   sin   2 x   sin 2 x  0 2     2cos sin   2 x   0 4 4    sin   2 x   0 4      Titik kritisnya sin   2 x   sin 0 atau sin   2 x   sin  yaitu 4  4   3 x   k atau x    k . 8 8

Untuk k  0 , maka nilai x yang memenuhi yaitu x 



8 5 Untuk k  1 , maka nilai x yang memenuhi yaitu x  8

Perhatikan gambar garis bilangan di bawah ini !


sin 6t  a 8. Jika lim  2  3   18 , maka a  t 0 t t cos 2 3t   A) B) C) D) E)

6 12 18 24 30



 5   Himpunan penyelesaiannya adalah  x  R |  x   , sehingga 8 8   5  4 . a b    8 8 8 sin 6t  a  a 2sin 3t cos3t  lim  2  3   lim  2 3  2 t 0 t t  0 t cos 3t  t cos 2 3t   t sin 6t  a  a 2sin 3t  lim  2  3  lim  2  3   2 t 0 t t cos 3t  t 0  t t cos3t   sin 6t  a  a 2 tan 3t  lim  2  3  lim  2    2 t 0 t t cos 3t  t 0  t t3   sin 6t  a  at  2 tan 3t  lim  2  3   lim   2 t 0 t t  0 t cos 3t  t3    Lalu, aplikasikan teorema L’Hospital, sehingga diperoleh

 a  6sec2 3t  sin 6t  a lim  2  3  lim    t 0 t t cos2 3t  t 0  3t 2  

 a  6 1  tan 2 3x   sin 6t  a  lim  2  3   lim  t 0 t  t cos 2 3t  t 0  3t 2   




 a  6  6 tan 2 3x  sin 6t  a lim  2  3  lim    t 0 t t cos 2 3t  t 0  3t 2    6 tan 2 3x  sin 6t  a  a6 lim  2  3  lim  lim      t 0 t t cos2 3t  t 0  3t 2  t 0  3t 2   sin 6t  a  a6 lim  2  3  lim  2   18  2 t 0 t t cos 3t  t 0  3t    a6 18  lim  2   18 t 0  3t   a6 lim  2   0 t 0  3t  Jadi, nilai a yang memenuhi hanya nilai a  6 sebab c 9. Jika 3x5  3   g  t  dt , maka g '    2 c x

A) B) C) D) E)

15 2 15 4 15 8 15 16 15 32

0 0. 3t 2

x

Pada persamaan 3c5  3   g  t  dt , setting x  c , sehingga c

c

3c5  3   g  t  dt c

3c  3  0 3c5  3 c5  1 c 1 5

x

Lalu, kedua ruas pada persamaan 3c5  3   g  t  dt diturunkan c

terhadap variabel x



©jagomatematika.com x  d d  5 3 x  3      g  t  dt  dx dx  c  4 15x  g  x 

60 x3  g '  x  3

c 1 1  1  15 Sehingga nilai dari g '    g '    60    60    . 2 2 2 8 2 10. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a . Di Perhatikan gambar di bawah ini ! dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat 1 beraturan P.ABCD dengan tinggi a . Perbandingan volume 3 kubus dengan volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan BCFG adalah …

A) B) C) D) E)

6:1 9:4 5:2 6:3 9:6

Volume ruang yang dibatasi oleh bidang PBC, PAD, dan BCFG maksudnya adalah volume ruang yang berada di luar limas PABCD dan limas PEFGH, volume ruang yang diarsir.




a a3 Volume limas PABCD  3  3 9 a2

Volume limas PEFGH 

a2

2a 3 3  2a 3 9

Volume kubus  a3 Volume ruang yang diarsir  a3  Jadi, perbandingannya 9 : 6. 11. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 24. Di Perhatikan gambar di bawah ini ! dalam kubus tersebut terdapat sebuah limas segiempat beraturan P.ABCD dengan tinggi 5. Titik Q terletak pada rusuk EF sehingga QF = EQ. Jarak antara titik Q dan bidang PAB adalah … A) B) C) D) E)

288 5 288 7 288 9 288 11 288 13

2a 3 a 3 6 3   a 9 9 9




Jarak titik Q ke bidang PAB adalah panjang garis QS. Segitiga

PR 

siku–siku

 RO    OP  2

Segitiga

QP 

POR

QTP

di

siku–siku

 QT   TP  2

2

titik

O,

sehingga

panjang

T,

sehingga

panjang

 122  52  13 .

2

di

titik

 122  192  505 .

Perhatikan gambar di bawah ini !

Pada segitiga PQR,



505



2

  24   13  2  24 13 cos  2

2

505  576  169  2  24 13 cos 

240  2  24 13 cos  cos  

240 2  24 13

cos  

5 13



©jagomatematika.com sin  

12 13

Sekarang, pada segitiga RSQ, 12 13 QS 12  24 13 288 QS  13

sin  

x

x

12. lim x 0



1  cos t dt

0

x



Misalkan f  x    1  cos t dt . Maka f '  x   1  cos x . 0

Dengan menerapkan teorema L’Hospital, diperoleh

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 1 E) 2 2

x



1  cos t dt

lim 0 x 0

 lim

f  x x

 lim

f ' x 1

x 0

x

x

 lim

1  cos t dt

0

x 0

x 0

x x

 lim

1  cos t dt

0

x 0

x

 f '  0

x

 lim x 0

1  cos t dt

0

x

 1  cos 0  1  1  2



13. Jika f  x    x3  3x 2  9 x  6 terdefinisi pada  1,  , maka …


Terdefinisi pada  1,  artinya domainnya 1  x  

f  x    x 3  3x 2  9 x  6

(1) f selalu turun (2) f tidak pernah naik

f '  x   3x 2  6 x  9

(3) f cekung bawah pada 1,  

f ''  x   6 x  6

(4) f cekung atas pada  ,1

Syarat fungsi f  x  turun pada domain 1  x   adalah f '  x   0 3x2  6 x  9  0 x2  2 x  3  0

Karena nilai D   2   4 1 3  8  0 , maka setiap nilai x pada 2

domainnya memenuhi pertidaksamaan kuadrat tersebut. Jadi f  x  fungsi turun. Pernyataan (1) BENAR. Syarat fungsi f  x  tidak pernah naik pada domain 1  x   adalah

f '  x   0 . Sama alasannya dengan pernyataan (1). Pernyataan (2) BENAR. Syarat fungsi f  x  cekung ke bawah pada domain 1  x   adalah

f ''  x   0 6 x  6  0 6 x  6 x 1


Author : Joni Parlindungan Jadi,


f  x  cekung ke bawah pada interval x  1 atau

1,   .

Pernyataan (3) BENAR. Syarat fungsi f  x  cekung ke atas pada domain 1  x   adalah

f ''  x   0 6 x  6  0 6 x  6 x 1

Jadi, f  x  cekung ke atas pada interval x  1 atau  ,1 . Pernyataan (4) BENAR. 14. Bentuk identitas trigonometri berikut yang BENAR adalah … 1  (1) sin 6 x  cos6 x  cos 2 x  sin 2 2 x  1 4   1  cos 2 x (2) sin x  2 4 4 (3) cos x  sin x  2cos2 x 1 1  cos 2 x (4) cos x  2

Jadi, jawabannya E. Uji setiap persamaan dengan nilai x  30 atau x  60 . Bisa juga diuji dengan nilai x yang lain. Cara ini lebih menghemat waktu daripada harus menggunakan identitas trigonometri. Pernyataan (1) BENAR 1  sin 6 30  cos 6 30  cos 60  sin 2 60  1 4  1 27 1  1 3       1 64 64 2  4 4  13 1  13      32 2  16  13 13   32 32




Pernyataan (2) BENAR 1  cos 60 2 1 1  2 4 1 1  2 2

sin 30 

Pernyataan (3) BENAR cos4 30  sin 4 30  2cos2 30  1 9 1 3   2  1 16 16 4 8 6  1 16 4 1 1  2 2

Pernyataan (4) BENAR 1  cos120 2 1 1  2 4 1 1  2 2

cos 60 

Jadi, jawabannya E.



15. Misal u   u1 , u2 , u3  dan v   v1 , v2 , v3  , dengan  sudut antara


u v  u v cos 

u  v  u v sin 

u dan v , k skalar. Pernyataan berikut yang BENAR adalah … u  v  v  u

(1) Jika u v  0 , maka tan  

  (3)  u  v    u  v   2  v  u 

uv

u v 

(2) u  kv  v  u  v

(4) Jika u v  0 , maka u  0 atau v  0

u u  v v  0

u  v  w  u  w  v  w Pernyataan (1) BENAR uv tan  

u v uv sin    cos  u v u v u v

Pernyataan (2) BENAR

u  kv   v  u  v  kv  v  u  v  0  u  v Pernyataan (3) BENAR

u  v   u  v   u  u  u  v  v  u  v  v u  v   u  v   0  v  u  v  u  0  2 v  u  Pernyataan (4) SALAH Jika u v  0 , maka belum tentu u  0 atau v  0 . Sebagai contoh

u  2i  3 j  4k dan v  5i  6 j  2k .


Author : Joni Parlindungan Jadi, jawabannya A.


Pembahasan Soal Matematika IPA SIMAK UI 2016 Kode 1

Recommend Documents