DEDUCCIÓN DE LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ Ecuaciones que relacionan las coordenadas de espacio tiempo medidas por el observador de un evento, con las coordenadas medidas por otro observador del mismo evento. Aplicamos los postulados fundamentales de la teoría de la relatividad y, además, supondremos que el espacio y el tiempo son homogéneos, además en el instante en que los orígenes O y O´ coinciden, hacemos que los relojes marquen t =0 y t´=0, respectivamente.
x´ y´ z´ = t´
x y f z t
x´= a11 x + a12 y + a13 z + a14t y´= a21 x + a22 y + a23 z + a24t z´= a31 x + a32 y + a33 z + a34t t´= a41 x + a42 y + a43 z + a44t Los subíndices aij son constantes. Las relaciones deben ser lineales para no apartarnos de la suposición de la homogeneidad. Suponemos que no existe movimiento relativo en las direcciones y y z por lo que: y´= y z´= z
Entonces ya se eliminaron 8 coeficientes. Por razones de simetría, se supone que t´ no depende de y ni de z. En cuanto a la ecuación para x´ sabemos que un punto cuya x´ es igual a cero debe ser idéntica a la proposición x = vt de modo que: x´= a11 ( x − vt ) y´= y z´= z t´= a41 x + a44t
Para determinar los últimos tres coeficientes consideramos el principio de constancia de velocidad de la luz, entonces, supongamos que en el tiempo t = 0 una onda electromagnética esférica sale del origen S, que en ese momento coincide con el origen de S´. La onda se propaga a una velocidad c en todas las direcciones, en cada uno de x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ; x´2 + y´2 + z´2 = c 2 t´2
Sustituyendo
a11 ( x − vt ) + y + z = c (a 41 x + a 44 t ) ; Ordenando 2
2
2
2
2
2
(a11 − c 2 a 41 ) x 2 + y 2 + z 2 − 2(va11 + c 2 a 41 a 44 ) xt = (c 2 a 44 − v 2 a11 )t 2 2
2
2
2
2
1
los sistemas inerciales, entonces su marcha se describe mediante la ecuación de una esfera cuyo radio aumenta con el tiempo a la misma velocidad c, en los dos sistemas, entonces: Para que la ecuación concuerde con la ecuación de la onda electromagnética que supusimos en S: 2 2 2 2 2 a11 − c 2 a 41 = 1; va11 + c 2 a 41 a 44 = 0; c 2 a 44 − v 2 a11 = c 2 Se resuelve el sistema:
a −1 c 2 + a11 v 2 2 a 41 = 11 2 ; a 44 = c c2 a 2 − 1 c 2 + a 2v 2 2 11 =0 va11 + c 2 11 2 2 c c 2
2
2
va11 + a11 − 1 c 2 + a11 v 2 = 0 2
2
2
c2 a11 (v − c ) = −c ; a11 = 2 c − v2 1 c2 − v2 1 v2 = = − ; 1 ; a11 = 2 2 c2 c2 a11 a11 2
2
2
2
2
1 1−
v2 c2
Reemplazamos a11 en las ecuaciones y obtenemos: 1
a 44 =
1−
v2 c2
v
; a 41 = −
c2 1−
v2 c2
Con lo que las transformaciones de Lorentz que buscábamos: x´=
x − vt 1−
v2 c2
;
y´= y; z´= z; t´=
t − (v / c 2 ) x 1−
v2 c2
Tabla 3.1 Ecuaciones de Transformación de Lorentz x' =
t' =
x − vt 1− v / c 2
2
x=
x'+ vt '
y' = y
1− v2 / c2 y = y'
z' = z
z = z'
(
)
t − v / c2 x 1− v2 / c2
t=
(
)
t '+ v / c 2 x ' 1− v2 / c2
2
CONTRACCION DE LA LONGITUD Imaginaremos una varilla que está en reposo sobre el eje x ' del sistema S ' . Sus puntos extremos se miden como x ' 2 y x '1 , de manera que su longitud en reposo es x ' 2 − x '1 . Cuál es la longitud de la varilla según la mide el observador del sistema S, para quien la varilla se mueve a una velocidad relativa vt . Por convivencia haremos que v / c = β , como anteriormente. De la primera ecuación de Lorentz se tiene:
x 2 − vt 2
x' 2 =
1− β
de manera que:
x' 2 − x'1 =
x1 − vt1
x'1 =
2
1− β 2
(x2 − x1 ) − v(t 2 − t1 ) 1− β 2
Ahora bien, la longitud de la varilla en el sistema S es simplemente la distancia entre los puntos extremos,
x 2 y x1 , de la varilla en movimiento, medida en el mismo instante en ese sistema. Por lo tanto, si t 2 = t1
se obtiene:
x 2 − x1 = ( x' 2 − x'1 ) 1 − β 2 de manera que la longitud medida de la varilla en movimiento,
x 2 − x1 se contrae por el factor,
1 − β 2 de su longitud en reposo, GRAFICO DL vs V DILATACION DEL TIEMPO El observador del sistema S registra los tiempos en que ocurren estos eventos como: (en la misma x’)
t1 = En tanto que
(
)
t1' + v / c 2 x1'
y t2 =
1− β 2
(
1− β 2
x' 2 y x'1 son iguales, de aquí resulta: t1 =
(
)
t ' + v / c2 x' 1− β 2
y t2 =
)
t 2' + v / c 2 x 2'
(
)
t ' + v / c2 x' 1− β 2
El reloj de S hubiera registrado el intervalo correspondiente:
t 2 − t1 =
t '2 −t '1
1− β 2
(3-11)
Un intervalo de tiempo medido en el reloj de S' se registra como más largo en los relojes de S. GRAFICO DT vs V Ejemplo 2. Por que el hecho de que la simultaneidad no es un concepto absoluto es un resultado imprevisto para la mentalidad clásica?. Pues, porque la velocidad de la luz tiene un valor enorme comparado con las velocidades ordinarias. Consideremos estos dos casos, simétricos por lo que se refiere a intercambio de las coordenadas de espacio y tiempo. Caso 1: S' observa que ocurren dos eventos en el mismo lugar. pero están separados en el tiempo; entonces, S declarará que los dos eventos acaecen en diferentes lugares. Caso 2: S' observa que ocurren dos eventos en el mismo instante, pero están separados en el espacio; entonces S, declarará que los dos eventos ocurren en tiempos diferentes. Por la experiencia diaria, el caso 1 se acepta fácilmente. Si un hombre (S') sobre un tren en movimiento enciende dos cigarrillos, uno diez minutos después del otro, estos eventos ocurren en el mismo lugar en su sistema de referencia (el tren). Sin embargo, un observador en tierra (S) afirmaría que estos mismos eventos ocurrieron en diferentes lugares en su sistema de referencia (la tierra). Aunque verdadero, el caso 2 no se puede sostener fácilmente atendiendo a la experiencia diaria. Supongamos que S', sentado en el centro de un vagón de tren en movimiento, observa que dos hombres, uno a cada extremo del vagón, encienden sendos cigarrillos simultáneamente. El observador en tierra S, al observar el paso del vagón afirmaría (si pudiera hacer mediciones lo bastante precisas) que el hombre en la parte trasera del vagón encendió el cigarrillo un poco antes que el de la parte delantera. El hecho de que la velocidad de la luz sea tan grande comparada con las velocidades de los objetos mayores conocidos hace que el caso 2 sea menos evidente que el caso 1, como se demuestra en seguida.
3
(a) En el caso 1, supongamos que la separación de tiempo en S' es de 10 minutos; ¿cuál es la separación de la distancia observada por S? (b) En el caso 2, supongamos que la separación de la distancia en S' es de 25 metros; ¿cuál es la separación de tiempo observada por S? Tomando v = 20.0 m/seg, que corresponde a 72 km/h ó
β = v / c = 6.6 x10 −8 x 2 − x1 =
(a) De las ecuaciones 3-8 Tenemos que
x' 2 = x'1
y
(x' 2 − x'1 ) + v(t ' 2 −t '1 ) 1− β 2
1− β 2
t ' 2 −t '1 = 10 minutos, de modo que: (20m / s )(10 min ) = 1200m = 12 Km x 2 − x1 = 2 1 − (6.6 x10 −8 )
éste resultado se acepta fácilmente. El denominador de la ecuación anterior es igual a la unidad para todo propósito clásico, por lo tanto, el resultado numérico todavía es el que esperaríamos de las ecuaciones galileanas. (b) De las ecuaciones 3-8
t 2 − t1 = Se nos da que
t ' 2 = t '1
y que x ' 2 − x '1 =
t 2 − t1
t '2 −t '1 1− β
2
(v / c )(x' − x' ) 2
+
2
1− β
1
2
25m , de modo que
[(20m / s) /(3x10 m / s) ](25m) = 5.6x10 = 2
8
(
1 − 6.6 x10
)
−8 2
−15
s
El resultado no es cero, valor que se hubiera esperado en física clásica, aunque el intervalo de tiempo es tan corto que sería muy difícil demostrar experimentalmente que este, en realidad, no fue cero. Si se comparan las expresiones para las x 2
− x1
y para los
t 2 − t1
anteriores, se ve que, mientras v aparece como
2
factor en el segundo término de la primera expresión v / c aparece en la última. Así, el valor relativamente grande de c pone al caso 1 dentro de los límites de la experiencia familiar, pero sitúa al caso 2 fuera de estos límites. Ejemplo 3. Entre las partículas de gran energía están los piones cargados, partículas de masa entre la del electrón y la del protón. y de carga electr6nica positiva o negativa. Estas partículas se producen en un acelerador, donde se somete un blanco adecuado a un bombardeo con protones de gran energía; así se obtienen piones que salen del blanco a velocidades próximas a la de la luz. Se sabe que los piones son radiactivos y que, en reposo, su vida media es de 1.77 x 10-8seg. Es decir, la mitad de los piones que haya en un momento se habrá desintegrado después de 1.77 x 10-8seg. Experimentalmente se encontró que si un haz colimado de piones sale del blanco del acelerador a una velocidad de 0.99c, entonces, al recorrer 39 metros, su intensidad decae a la mitad. (a)¿ Concuerda estos resultados? Si se considera que la vida media de los piones es de 1.77 X 10-8 seg. d y su velocidad de 2.97x108m/s (=0.99c), cuando hayan decaído la mitad de los piones de haz, la distancia recorrida será:
d = vt = 2.97 x10 8 m / s * 1.77 x10 −8 s = 5.3m Esto parece contradecir la medición directa de 39 metros. (b) Ahora se demostrara que la dilatación del tiempo explica las diferencias que hay entre las mediciones. Si no existieran los efectos relativistas, entonces la vida media sería igual para los piones en reposo como para piones en movimiento (suposición que e hizo en el inciso anterior). Sin embargo, en la relatividad las vidas medias impropias y propias están relacionadas por:
∆t =
∆τ
1− v2 / c2
-8
En este caso, el tiempo propio es 1.77 x 10 seg, intervalo de tiempo medido con un reloj fijo con respecto al pión, es decir, en un lugar de1 sistema en que el pión está en reposo. En el sistema laboratorio, sin embargo, los piones se están moviendo a altas velocidades y el intervalo de tiempo allí (impropio) será mayor (los relojes en movimiento parece que se retrasan). Entonces la vida media impropia, medida mediante dos diferentes relojes en el sistema laboratorio, sería:
∆t =
1.77 x10 −8 s 1 − (0.99 )
2
= 1.3 x10 −7 s
Esta es la vida media apropiada para el sistema de referencia del laboratorio. Los piones que vivan este tiempo, viajando a una velocidad de 0.99c, cubrían una distancia:
d = 0.99c * ∆t = 2.97 x10 −8 m / s * 1.3 x10 −7 s = 39m
Exactamente como se midió en el laboratorio.
4
CAPITULO 3 TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS DE LORENTZ 3.9
De acuerdo con la perspectiva de O’, un rayo cae en x’=60m, y’ = z’ = 0, t’ = 8x10 -8 s. O’ se desplaza a una velocidad de 0.6c a lo largo del eje x de O. ¿Cuáles son las coordenadas espacio-tiempo del rayo determinadas por O?
Mediante las transformaciones de coordenadas de Lorentz, se tiene,
x=
x' + vt' 2 1- v
;
x=
60 + 0.6 × 3 × 10 8 (8 × 10 -8 ) 1 - 0.6 2
c2
v x' c2 t= 2 1- v 2 c t' +
;
t=
;
x = 93 m
0.6 (60) 3 × 10 8 -7 ; t = 2.5 x 10 s 2 1 - 0.6
(8 × 10 -8 ) +
-7
Entonces, las coordenadas para O son: (93 m, 0, 0, 2.5 x 10 s) 3.10 El observador O´ tiene una velocidad de 0.8 c con respecto a O, ambos ajustan sus relojes de manera que t = t´= 0 cuando x = x´=0. Si O determina que un flash se dispara en x = 50 m, y t = 2 x 10 -7 s. ¿ Cual es el tiempo de este evento determinado por O´?
v 0.8c 2 × 10 − 7 − 2 50 x 2 c c t´= = = 1.11 × 10− 7 s 2 2 0.8c v 1− 1− c c t−
3.11 Nuevamente en el problema 3.10, si un segundo flash se dispara en x’=10 m, y t’=2.10-7 s, según cálculos de O’, ¿cuál es el intervalo de tiempo entre los dos eventos medidos por O? -7
De acuerdo al problema 3.10, un flash es disparado en t = 2x10
s, y O’ se mueve a una
velocidad de 0.8c; en éste problema necesitamos el tiempo en que el segundo flash es disparado pero en O. Por lo tanto se hace uso de una transformación inversa de Lorentz de tiempo, lo que da:
5
t=
v 0 .8 x ′ 2 × 10 − 7 + .10 2 c c = = 3.777 × 10 − 7 [s ] 2 1 − 0.64 v 1− 2 c
t′ +
por ende ∆t = 3.778x10 – 2x10 = 1.778x10 -7
-7
-7
3.12 Regrese al problema 3.11 ¿cuál es la separación espacial de los dos eventos medida por a) O’ y b) O?
a)
b)
x' A − x' B = 10 −
x A − xB =
50 − 0.8c × 2 × 10 −7 1 − 0 .8 2
10 + 0.8c × 2 × 10 −7 1 − 0 .8 2
= 10 − 3.33 = 6.67[m]
− 50 = 46.7[m]
CAPITULO 4 CONTRACCIÓN RELATIVISTA DE LA LONGITUD 4.6. Un aeroplano se mueve con respecto a la tierra a una velocidad de 600 m/s. Su longitud propia es de 50m para un observador en la tierra ¿Cuánto parecerá haberse contraído?
L = L0
v2 1− 2 c
L = 50 1 − 4 * 10 −12 L = 49.99999 -10
Por lo tanto la contracción es = 50 – 49.999999 = 1*10 (m) 4.7 Calcule la contracción de la longitud de un tren de ½ de milla cuando viaja a 100 mi/hr.
3Ε8
m 3600 s 1m = 6.7Ε8 mi / h s 1h 1609m
6
v2 L − Lo = Lo 1 − 2 − 1 c 100 2 L − L o = 0 .5 1 − c 2 L − L o = 5 . 58 * 10 −15 mi // 4.8 ¿A qué velocidad se debe mover un observador más allá de la Tierra, de manera que esta parezca una elipse cuyo eje mayor es seis veces su eje menor? Debido a la contracción de la longitud, el eje x se constituye en el eje menor de la elipse y sufrirá una contracción de acuerdo a la siguiente fórmula:
lx ' = lx 1 −
v2 c2
Sabemos que:
4.9
l y = 6l x 7290 = 6 ∗ 7290 1 −
v2 c2
1 v2 = 1− 2 36 c v = 0.986c
Un observador O’ sostiene una regleta de un metro en un angulo de 30 grados respecto al eje x’ positivo. O’ se mueve en direccion x - x’ positiva a una velocidad de 0.8C respecto al observador O.¿Cuál es la longitud y el angulo de la regleta medidos por O?
Ly = 1 * sen(30) = 0.5 m Lx = 1 * cos(30) = 0.866 m
Lx ' = 0.866 1 − (0.8) 2 = 0.721 m
0 .5 = 43.9 o 0.721
θ = tan −1
Ly = Ly '= 0.5 m 4.10 Un área cuadrada de 100 cm2 está en reposo en el marco de referencia de O. El observador O’ se mueve en relación con O a 0.8c y paralelo a un lado del cuadrado. Desde la perspectiva de O’, ¿Cuánto mide el área?
L0 ' = L0 1 −
v2 c2
L0 ' = 10 1 − 0.8 2 L0 ' = 6[cm]
[ ]
A0 ' = 10 × 6 = 60 cm 2
7
4.11. Un área cuadrada está en reposo en el marco de referencia de O. encuentre el área medida por O’ si éste se moviera a una velocidad de 0,8 c a lo largo de la diagonal del cuadrado. Solución: cambiamos el eje O de tal manera que el área cuadrada tenga la forma de un rombo cuya diagonal va en la dirección de x’, y el área a calcular no sea más que la de dos triángulos. Longitud de la diagonal en O:
x 0 = 10 2 + 10 2 x 0 = 14,14
v2 x' = x0 1 − 2 c x' = (14,14)(0,6) x' = 8,485
cm
cm
Por lo tanto la diagonal en O’:
El área del rombo =diagonal en x’ * la diagonal en y’/2,donde la diagonal en y’ es igual ala de y:
Dx'*Dy 2 (14,14)(8,485) Area = 2 Area = 60 cm 2 Area =
4.12
Repita el problema 4.5 considerando ahora que O’ se mueve a la misma
velocidad, paralelo a una diagonal de una cara del cubo.
L = 2 * 10 2
L = 14.14 Lx = 14.14 * cos(45) Lx = 10 Ly = 14.14 * sen(45)
Ly = 10 = Ly ' Lx' = 10 1 − (0.8) 2 = 6 L = 10 *10 * 6 L = 600 cm 3 CAPITULO 5 DILATACIÓN RELATIVISTA DEL TIEMPO 5.7. Un átomo se desintegra en 2 x 10-6 s. ¿Cuál es el tiempo de desintegración medido por un observador en un laboratorio cuando el átomo se mueve a una velocidad de 0.8c? DATOS:
S :t = ?
t ′ = 2 x 10 −6 [s ] S′ : x′ = 0
v = 0.8c
8
t=
5.8
t ′ + x′ v c 2 1− v c 2
[s ] 2
2 x 10 −6
t=
1 − 0.64
[s ]
t = 3.3 x 10 −6 [s ]
¿Qué tan rapad tendría que viajar un cohete espacial si un observador en él
envejeciera la mitad que uno sobre la Tierra?
∆to 1 v = 1− c v = 1 − c v = 0.866 c ∆t 2 2
2
5.9. Un hombre con una expectativa de vida de 60 años quiere viajar a una galaxia distante, la cual se encuentra a una distancia de 160 000 años luz. ¿Cuál deberá ser su velocidad constante?
E n el p ro b lem a se h acen m ed id as en d o s o b servato rio s: O b servato rio S : d eterm in a la lo n g itu d a la g alax ia ∆ x = 1 6 × 1 0 4 a ñ o slu z O b servato rio S ′ : es el o b servato rio q u e aco m p añ a al viajero co n u n a velo cid ad v p o r d eterm in ar. E n este o b servato rio se d a el tiem p o p ro p io : ∆ t ′ = 6 0 a ñ o s. C o m o las m ed id as tien en q u e h acerse en u n so lo o b servato rio , ten em o s q u e tran sfo rm ar alg u n a d e ellas. P ero n o tam o s, q u e u n d ato d el p r o b lem a es: ∆x′ = 0 P o rq u e ten em o s d o s even to s: salid a d e la T ierra(S ) y lleg ad a a la g alax ia. E n to n ces, p asan d o a S : v ∆t′ + 2 ∆x′ 60años c ∆t = = v 1− c ∆x = v∆t
2
v 1− c
2
ca ñ o s 60años =v 2 1a ñ o lu z v 1− c 60
1 6 × 1 0 4 a ñ o slu z ×
16 × 10 4 c = v
v 1− c
2
16 × 10 4 1 − (λ ) = 60λ 2
2 .5 6 × 1 0 1 0 − 2 .5 6 × 1 0 1 0 ( λ ) = 3 6 0 0 ( λ ) 2
2
λ = 0 .9 9 9 9 9 9 8 5 9 4
9
CAPITULO 6 MEDICIONES RELATIVISTAS DE ESPACIO TIEMPO 6.24 Una partícula inestable con un promedio de vida de 4 µs se forma en un acelerador de alta energía y se proyecta a graves de un laboratorio a una rapidez de o.6 c a) ¿Qué promedio de vida le atribuirá un observador ubicado en el laboratorio? ¡ b) Cuál es la distancia promedio que la partícula viaja en el laboratorio antes de desintegrarse ? c) Si el observador se encuentra en reposo con respecto a la partícula ¿Qué tan lejos podrá desplazarse él antes de que la partícula se desintegre?
∆t ' = 4 µs
a)
∆t =
∆t = ?
v = 0.6c v ∆x ' 2 c
∆t ' +
1−
∆t =
∆x ' = 0
v2 c2
(4 × 10 −6 ) 1−
Pero
(0.6c) c2
= 5 × 10 −6 [s] = 5 µs
2
b)
∆x = v∆t = (0.6c)(5 × 10 −6 ) = 900 m
c)
∆x ' = ∆t ' v = (4 × 10 −6 )(0.6c) = 720 m
6.26 Una regleta se mueve a lo largo del eje x a una velocidad de 0.6c. El punto medio de la regleta pasa a O en t = 0. En función de O, ¿Dónde están los extremos de la regleta en t = 0?
S:
∆x ' =
∆x − v∆t 1 − (v / c )2
ya que el intervalo de tiempo es instantáneo tenemos
1 − (v / c )2 ∆x ' = ∆x ya que la regleta mide 1 m
10
∆x = 1 ⋅ 1 − (0.6 c / c )2 m = 0.8 m entonces las coordenadas de x1 y x2 son x1 = -40 cm, t = 0 x2 = 40 cm, t = 0 6.27 El observador O calcula el área de un círculo en reposo en su plano XY igual a 12 cm2 También la mide O` quién se mueve con respecto a O a 0.8c. ¿Qué medida obtiene O` del área?
A = πr A = πr = πx L y L → x L = x2 − x1 ; y L = y 2 − yA1 = πx l ' y l ' A = π (1.172)(1.9544) → x L = y L = 1.9544 cm A = 7.2 cm 2 // A = 12 cm 2 2
v2 ( x2 '− x1 ' ) = ( x2 − x1 ) 1 − 2 c ( x2 '− x1 ' ) = 1.9544 * 1 − 0.82 ( x2 '− x1 ' ) = 1.172 = xL '
yL ' = yL 6.28 El observador O percibe el destelo de una luz roja, y 10-6 s más tarde el de una luz azul a una distancia de 600 m sobre el eje x. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la velocidad de un segundo observador O’, si él estima que los destellos rojo y azul ocurren simultáneamente? Para O se tiene:
∆t = 10-6 s
∆t' =
∆x = 600 m ∆t’ = 0 (eventos simultáneos para O’) ∆x’ = ?
0=
v ∆x c2 2 1- v 2 c
∆t −
v (600) c2 2 1- v 2 c
(10 -6 ) −
Entonces;
0 = (10 -6 ) −
v (600) c2
11
v 10 −6 = c = 0.5 c 600
c
→ entonces: v = + 0.5
6.29 En el problema 6.28 ¿cuál es la separación espacial de los destellos rojo y azul determinados por O´? v = 0.5 c
∆x´=
∆x − v∆t v 1− c
2
=
600 − 0.5c × 10 −6 1 − (0.5)
2
= 519.6 m
6.30 Un cohete espacial de 150 m de longitud viaja a una rapidez de 0.6c. Cuando la cola del cohete pasa a una persona en la plataforma espacial estacionaria, ésta hace destellar una linterna en dirección de la nariz del cohete. a) ¿Qué tan lejos de la plataforma se encuentra la nariz del cohete cuando la luz le llega?; b) Medido por el observador en la plataforma espacial, ¿cuánto tiempo transcurre entre la emisión y la llegada de la señal luminosa?; c) ¿Cuál es el intervalo entre la emisión y la recepción de la señal determinado por un observador en la nariz del cohete? a) Como c es la misma en los dos sistemas entonces en el cohete la luz recorre la longitud propia del mismo, o sea: t’= l0/c = 150/c, que es el tiempo que transcurre en S’ desde la emisión de la señal luminosa. Entonces en la plataforma se tiene un tiempo:
t=
v 150 90 x′ + 2 c c = 240 [s ] = c 1 − 0.36 0.8c v2 1− 2 c
t′ +
y la distancia de la plataforma a la nariz de la nave será: d = c.t = 240/0.8 = 300 [m] b) El tiempo que el observador en la plataforma percibe es el ya calculado en el literal anterior -6
con la transformación de Lorentz, o sea: t = 240/0.8c ó t = 10 . c) El tiempo que percibe un observador en la nariz del cohete fue también calculado ya en el -7
-6
literal a y es t’ = 150/c ó t’ = 5x10 = 0.5x10 .
12
6.31
Dos eventos ocurren en el mismo lugar y están separados por un intervalo de 4s, según los cálculos del observador. Si de acuerdo con un segundo observador tal separación es de 5s, ¿en cuánto determina que es su separación espacial?
t' = 5=
t 1 − (v / c ) 2 4 1 − (v / c ) 2
(
)
4 = 1 − (v / c ) 5 16 1 − (v / c ) 2 = 25 16 c 1− =v 25 3 v= c 5
Datos : 1.{t = 4 s t ' = 5s 2. x' = ?
2
2
2
x' t' 3 x' = c(5) 5 x' = 3(3 x108 )
v=
respuesta : x' = 9 x108 [m]
6.32 Un observador dispara dos flashes que están en su eje x. él registra que el primero se dispara en su origen a la 1:00 , y que el segundo lo hace 20s más tarde en x = 9x 8
10 m. Un segundo observador se mueve a lo largo del eje común x-x’ a una velocidad de -0.6c con respecto al primero. ¿Cuáles son las separaciones de tiempo y espacio entre los dos flashes medidas por el segundo observador?
Datos : v = −0.6c t = 20 s 1. ;2. x' = ? 8 9 x 10 m t ' = ? a)
b)
t' =
t 1 − (v / c ) 2
20 27.25 20 2 v = c 1− ( ) 27.25 v = 0.68c x' v = ⇒ x' = 0.68(3 x10 8 )(27.25) t' respuesta : 1 − (v / c ) 2 =
∆t ' =
∆t ' =
v ( xB − x A ) c2 1 − (v / c ) 2
∆t0 −
20 −
− 0.6c (9 x108 ) 2 c 1 − (0.6) 2
respuesta : ∆t ' = 27.25m
x' = 5.6 x10 9 m
La suma relativista de velocidades
13
En física clásica, si un tren se mueve a una velocidad v con respecto a tierra y un pasajero en el tren se mueve a una velocidad u' con respecto al tren, la velocidad del pasajero con relación a tierra u es precisamente la suma vectorial de las dos velocidades, esto es: u = u'+ v (3-15) Este es simplemente el teorema clásico de la adición de velocidades ¿Cómo se suman las velocidades en la teoría especial de la relatividad? Por el momento, consideremos el caso especial donde todas las velocidades están en la dirección común x-x' de dos sistemas inerciales S y S', Sea S el sistema tierra y S' el sistema del tren, cuya velocidad relativa a tierra es v (véase Fig. 3.7). La velocidad del pasajero en el sistema S' es u', y su posición en el tren mientras pasa el tiempo, puede describirse por x ' = u ' t ' . ¿Cuál es la velocidad del pasajero, observada desde tierra? Utilizando las ecuaciones de transformación de Lorentz (ecuaciones 3-6), se tiene:
x' =
x − vt 1− v / c
Combinándolas se tiene: que puede escribirse como:
2
2
= u' t'
y t' =
(
)
t − v / c2 x 1− v / c2 2
v x − vt = u ' t − 2 x c (u '+v ) t x= 1 + u' v / c 2
(
)
Si se llama u a la velocidad del pasajero con respecto a tierra, al pasar el tiempo, su posición en tierra está dada por x = ut. Comparando esto con la ecuación 3-16 se obtiene:
u=
u '+ v 1 + u' v / c 2
(3-17)
Este es el teorema Relativista de Einstein de la suma de velocidades. Ejemplo 4. En el ejemplo 2 del capitulo uno, se vio que cuando dos electrones salen de una muestra radiactiva en direcciones opuestas, cada una a velocidad 0.67c con respecto a la muestra. la velocidad de un electr6n con respecto al otro es 1.34c. de acuerdo con la física clásica. ¿Cuál es el resultado relativista? Podemos considerar a uno de los electrones como el sistema S, la muestra como el sistema S' y el otro e1ectr6n como el objeto cuya velocidad buscamos en el sistema S. Entonces:
y
u ' = 0.67c v = 0.67c u '+ v (0.67 + 0.67 )c = 1.34 c = 0.92c u= = 2 2 1.45 1 + u' v / c 1 + (0.67 )
La velocidad de un e1ectr6n con respecto al otro es menor que c. Ejemplo 5. Demostrar que el teorema de Einstein de la suma de velocidades conduce al coeficiente de arrastre observado por Fresnel. En este caso vω es la velocidad del agua con respecto al aparato, y c/n es la velocidad de la luz relativa al agua. Esto es, en la f6rmula tenemos:
u' =
c n
y v = vω
Entonces, la velocidad de la luz con respecto al aparato es:
c / n + vω 1 + vω / nc Cuando la relación vω / c es pequeña (en los experimentos vω / c = 2.3 X 10-8) podemos despreciar términos de segundo orden en vω / c , de modo que, utilizando el desarrollo binomial, se tiene: u=
1 c v c u ≅ + vω 1 − ω ≅ + vω 1 − 2 n nc n n que es precisamente el efecto de primer orden observado. Debe notarse que no hay necesidad de suponer ningún mecanismo de “arrastre”, o de inventar teorías sobre la interacción entre la materia y el "éter". El resultado es una consecuencia inevitable del teorema de la suma de velocidades se ilustra la poderosa simplicidad de la relatividad.
14
