Estabilidad II B – 64.12 Parcial Resuelto Parcial Resuelto: (18/06/2015) Problema (Tensiones-Deform (Tensiones-Deformaciones): aciones): Determina usando el diagrama de Mohr para el estado en tensión plana de la figura las tensiones y direcciones principales y la expresión del tensor de tensiones T en en el sistema x’y’ indicado indicado (NOTA: ( NOTA: las tensiones de la figura están en MPa). MPa).
Convención de la representación de Mohr
Resolución: En función de la convención para la representación del diagrama de Mohr podemos graficar en un par de ejes cartesianos (en una escala conveniente) los punto A representativo del par de tensiones ( 3MPa ; 2MPa) 2MPa) correspondiente a la cara positiva (con normal x ) del elemento de volumen (cara de la derecha) y B representativo del par de tensiones ( -1MPa ; 2MPa) 2MPa ) correspondiente a la cara positiva (con normal y ) del elemento de volumen (cara de la superior). Así, para el punto A llevamos A llevamos en escala 3MPa (positivo 3MPa (positivo pues es un esfuerzo de tracción) sobre el eje de abscisas y -2MPa - 2MPa (negativo pues las tensiones generan giros anti-horarios respecto del origen de coordenadas) sobre la vertical del punto así determinado. Mientras que para el punto B, llevamos en escala -1MPa -1MPa (negativo pues es un esfuerzo de compresión) sobre el eje de abscisas y 2MPa 2MPa (positivo pues las tensiones generan giros horarios respecto del origen de coordenadas) sobre la vertical del punto así determinado. Obtenemos el punto C (centro (centro de la circunferencia de Mohr) en el punto en el cual el segmento AB AB corta corta a eje de abscisas o calculando calculando la semi-suma de las tensiones normales:
C
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x y 2
3 1 2
hoja 1
MPa MPa 1 MPa MPa
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Estabilidad II B – 64.12 Problemas de Parcial Resueltos
El radio de la circunferencia de Mohr lo calculamos como sigue:
r
2 MPa 2 2 MPa 2 2
2 MPa
y las tensiones principales serán los puntos en que el eje de abscisas corta a la circunferencia de Mohr, por lo tanto:
1, 2 1 2 2 MPa Las direcciones principales (respecto de los ejes xy estarán representados por ½ del ángulo medido entre el segmento AB y el eje de abscisas. Por construcción este ángulo mide 45°, por lo tanto:
1 1 2 45 2230' 1 45 11230' 2 2
(medido en sentido anti-horario)
Para obtener el tensor de tensiones T en el sistema x’y’ indicado, llevamos a partir del segmento CA girando en sentido anti-horario un ángulo 2 x 30° y definimos los puntos: D correspondiente a las tensiones ( x’ ; - x’y’) y E correspondiente a las tensiones ( y’ ; x’y’) (NOTA: el signo de las tensiones en el diagrama de Mohr hacen referencia solamente al sentido de giro que generan las tensiones respecto del origen de coordenadas del elemento de volumen). Por lo tanto:
x 1 r cos15 3,73 MPa y 1 r cos15 1,73 MPa r sin15 0,73 MPa xy Curso: Ing. Gabriel Pujol
hoja 2
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Estabilidad II B – 64.12 Parcial Resuelto y el tensor de tensiones T en el sistema x’y’ será:
3,73 0,73 MPa 0 , 73 1 , 73
T xy Problema (Solicitación Axil):
Tenemos una barra rígida que está suspendida por dos cables de igual diámetro = 4 mm, y cuyos 5 módulos de elasticidad son: E 1=2.1·10 5 MPa y E 2= 0.7·10 MPa. La longitud de la barra es de 600 mm y la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra está sometida a una carga puntual P = 500 N . Calcular el esfuerzo axil en cada cable y la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.
Resolución: Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad de deformaciones.
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hoja 3
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Estabilidad II B – 64.12 Problemas de Parcial Resueltos F V 0 R A R B P M B 0 R A L P L x L L A B Por la tercera ecuación resulta:
L A L B
R A L A S E 1
R B L B S E 2
L A L B R B E 1 R A 3 R B R A E 2
Por la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales será:
P 500 N 125 N R B F R R P R R P 0 3 4 4 V A B B B R A 3 R B 375 N y por la ecuación de equilibrio de momentos resulta:
M
B
0 R A L P L x R A L P L P x
x
L P R A P
600 mm 500 375 N 500 N
150 mm
Problema (Solicitación por Torsión): En la figura se ha representado una viga ABC de sección tubular de 5 cm de diámetro exterior y 2 mm de espesor en cuya sección central se ha soldado una ménsula BD de sección cuadrada de 2x2 cm y 1,5 m de longitud, todo ello en el plano horizontal XZ . En el extremo de la ménsula se aplica una carga vertical de 20 N . Se pide: 1) Dibujar el diagrama de momentos torsores en la viga ABC . 2) Calcular el giro según el eje de la viga en la sección central B. 3) Calcular las tensiones tangenciales máximas debidas a la torsión. 4) Repetir los cálculos para una viga ABC de sección también cuadrada de 2x2 cm. Analizar que sección resulta más conveniente. Dat os: E = 2x10 5 MPa; G = 8x10 4 MPa; los coeficientes , y , que permiten calcular tensiones y rotaciones en secciones rectangulares, son funciones de la relación de la relación de lados h/b son:
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hoja 4
Estabilidad IIB – 64.12
Estabilidad II B – 64.12 Parcial Resuelto
Resolución: El momento aplicado será:
M T P BD 20 N 1,5 m 30 N m 3000 N cm 3 KN cm Por tratarse de un sistema con simetría geométrica y simetría de cargas, será: M TA = M TC , por lo tanto:
x 2,5 m M T 1,5 N m x 2,5 m M T 1,5 N m Las características de la sección anular son:
D 5 cm 50 mm e 2 mm d D e 48 mm 4,8 cm m d 48 0,96 D 50 El giro de la sección central B será: L
B
2
M T G J 0
0
32 M T
L
dx 2 0
G D 4 1 m 4
dx
32 1,5 KN cm
B 8 10
4 KN
4 4 5 1 0 , 96 cm cm
2500 cm 0,00507 rad
2
En cuanto a las tensiones tangenciales máximas, estas serán:
max
16 M T
d 4 3 D 1 D
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16 M T
D 3 1 m
4
hoja 5
16 1500 N cm
N 406 3 4 cm2 5 cm 1 0,96 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Estabilidad II B – 64.12 Problemas de Parcial Resueltos Considerando ahora una viga ABC de sección de sección cuadrada de 2x2 cm será: = 4,80 ; = 7,11 y = 1, y el giro de la sección central B será:
B
M T
L
B
J t
siendo
G J t 2 *
*
M T
L
G J T * 2
a4
2 cm4 7,11
1,5 KN cm
KN 4 8 10 2 2,25 cm cm
2,25 cm4
2500 cm 0,02083 rad
4
En cuanto a las tensiones tangenciales máximas, estas serán:
max R
M T W T *
max R
siendo
M T W T *
W T *
a3
2 cm3 4,80
3,333... cm3
1500 N cm
N 450 3 cm2 3,333... cm
Calculamos las relaciones entre la sección anular y la sección cuadrada:
K
Cuadrado Anula r
0,02083 rad 0,00507 rad
4,11 y K
Cuadrado Anula r
1,11 406 N cm
450 N cm
2
2
Las tensiones en la sección cuadrada son un 11% may or que en la sección anular, mientras que las rotaciones son may or es a al 40 0 0% . Problema (Solicitación por Flexión): Una columna tiene la sección en cruz indicada en la figura. La fuerza resu ltante es de compresión ( 50 Tn) y pasa por el punto A. Hallar la tensión normal en B y dibujar el eje neutro.
Resolución: Trasladando la fuerza al centro de gravedad G de la sección, los esfuerzos equivalentes son: Curso: Ing. Gabriel Pujol
hoja 6
Estabilidad IIB – 64.12
Estabilidad II B – 64.12 Parcial Resuelto
N 50 Tn M y 50 Tn17,5 cm 875 Tn cm M Tn cm 5 250 Tn cm z 50 Por lo que las tensiones serán:
1 N A M y M z P M z z y y 2 x 1 2 3 J z F J z J y M 3 y z J y donde:
A 10 35 2 15 15 800 cm2 1 1 3 3 4 J z 15 15 10 15 2 10 10 81667 cm 12 12 1 1 3 3 4 10 10 15 10 2 15 15 44167 J cm y 12 12 Por lo tanto resulta:
x
50000 kg
800 cm
2
250000 kg cm
81667 cm
4
y
875000 kg cm
44167 cm
4
z
x 62,50 3,06 y 19,81 z kg cm2 La tensión en el punto B será: Estabilidad IIB – 64.12
hoja 7
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Estabilidad II B – 64.12 Problemas de Parcial Resueltos B 5; 17,5cm
x 62,50 3,06 5 19,81 17.5kg cm2 300 kg cm2 B
El eje neutro lo calculamos como sigue:
x 62,50 3,06 y 19,81 z kg cm 2 0
y
19,81 3,06
z
62,50 3,06
y 6,47 z 20,42
20,42 3,15 cm y 0 z 6,47 z 0 y 20,42 cm
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hoja 8
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