Parcial Matemáticas II resuelto

Parcia Parciall Matemáti Matemáticas cas II (2014) (2014) 1. Consider the following system of linear equations + + +

+ −

+

= =

=

+

Where i) Classify the system according to the values of a. ii)Solve the above system for a=-1 and a=3. ∗=

1 1 1 1 − 1 1 1

3 1 +2

1 1 = 1 1 − 1 1 1

1 1 | | = 1 1 − = + 1 − − (1 − + )  = 1 − 1 = 0 1 1 1 ,=> Por lo tanto | | = 0 siempre, ∀ ,= |

∗|

1 = 1 1 1 1

3 1 = +2

+ 2 + 3 + 1 − (3 + + + 2) =

= Caso 1:

( ) ≠ 3 siempre

+4−5 =

+ 2 +4 + 4 − (2 + 5)

=1 = −1

−1 = 0

≠ 1, ≠ −1 ( )  ≠ 3 =>¿2 ó 1? 1 = −1 =0 → 1 1 1 −   =1+ → 1 1

=1 = −1 −1

Si a=1 hay un determinante=0 menor, menor, si a=-1 a= -1 también. Pero no es común =>

(

∗|

|

=3

∗|

≠0

≠ 1, 1, −1

Por lo tanto el sistema es Incompatible Caso 2:

=1 ∗=

1 1 3 1 1 −1 1 1 1 1 3

( )  = 2 ( ∗) = 2 ≠ º

=3

( )  = 2

(

∗) ≠ 3

|

∗|

=0

=1

1 1  = −1 − 1 = −2 ≠ 0 1 −1

Sistema compatible indeterminado Caso 3:

= −1 ∗=

( ) = 2 =

−1 1 1 3 1 1 11 1 1 11 ( ∗)

−1 1 ≠0 1 1

Sistema compatible Indeterminado Para

= −1 − + + =3 + + =1 + + =1

La última ecuación está repetida, se puede quitar. Sumamos las otras dos.

− + + =3 + + =1 2 +2 =4 + =2→ = + =2 = 2− + + =1 +2− + = 1 =1−2 = −1 = −1 =2− = Para

=3 3 + + =3 + −3 =1 + + =5

Es incompatible, como habíamos demostrado. Veámoslo:

3 1 1 | | = 1 1 −3 = 3 + 1 − 3 −(1 − 3 + 3) = 0; 1 1 1 3 1   = 3 − 1 = 2 ≠ 0; 1 1

( ) = 2

( ) ≠ 3

1 1 3 1 −3 1 =−15+3+1+9−1−5=−12+4=−8≠0; 1 1 5 Sistema Incompatible

( ∗) = 3