INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES III INGENIERÍA INDUSTRIAL PARCIAL I
1.
(1,5 puntos) Jorge ha recibido muchas multas por violaciones al reglamento de tránsito. Desafortunadamente para Jorge, la tecnología moderna puede seguir el rastro de sus multas anteriores. En cuanto acumula 3 infracciones, su licencia de manejo es revocada hasta que completa una nueva clase de educación vial en cuyo caso comienza con un historial limpio. Jorge es más imprudente inmediatamente después de completar la clase de educación vial, e invariablemente la policía lo detiene con 50% de probabilidades de ser multado. Después de cada nueva multa, trata de ser más c uidadoso, lo cual reduce la probabilidad de una multa en 0.1. a) Exprese el problema de Jorge como una cadena de Markov. b) ¿Cuál es el promedio de veces que Jorge es detenido por la policía antes de que su licencia sea revo cada de nuevo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que Jorge pierda su licencia? d) Si cada multa es de $100, ¿cuánto, en promedio, paga Jorge entre suspensiones sucesivas de su licencia?
2.
(1,5 puntos) Un pequeño hotel opera a las afueras de la cuidad de Montería. Cada tarde puede llegar un nuevo cliente solicitando una habitación, lo cual ocurre con probabilidad p=0.6, o bien puede no llegar ninguno (con probabilidad q = 1 − p). Una fracción α=0.3 de los clientes se va del hotel en la mañana siguiente, mientras que una fracción β = 1 −α, decide quedarse una noche más disfrutando del hermoso paisaje. Nadie pasa más de 3 noches en el hotel. a) Modele el estado de ocupación del hotel para cada noche (cuántas habitaciones están ocupadas) como una cadena de Markov. Defina adecuadamente los estados, e indique las probabilidades de transición entre ellos. Justifique la existencia de probabilidades estacionarias y calcúlelas. b) Suponga que el hotel le cobra a sus clientes $1000 por la primera noche de estadía y $800 por noche adicional. ¿Cuál es el valor esperado del ingreso por noche en el largo plazo?. c)
3.
¿Cuál es el número promedio de habitaciones ocupadas?.
(Dos puntos)Una tienda vende un artículo especial cuya demanda diaria puede ser descrita por una distribución de Poisson de media 1. La tienda está comparando dos políticas de colocar pedidos: (1) Pedir 3 unidades cada día si el nivel de las existencias es cero, de lo contrario, no pedir. (2) Pedir 5 unidades cada dos días si el nivel del inventario es menor que 2; de lo contrario, no pedir. El costo fijo por ordenar por envío es de $300, y el costo de retener las unidades excedentes por unidad por día es de $3. Se espera una entrega inmediata. d) ¿Cuál política debe adoptar la tienda para minimizar el costo diario esperado total de pedir y retener? e) Para las dos políticas, compare el promedio de días entre agotamientos sucesivos del inventario. Nota:
{+ } ()!−
PUNTO EXTRA VERSIÓN SENIOR (1 punto extra) Se dice que una matriz de transici ón P es doblemente estocástica si l a suma de los elementos de cada c olumna es igual a 1; esto es,
∑ 1 =0
Si esta cadena es ergódica y co nsiste en M + 1 estados, demuestre que
+
para j =0, 1, . . . , M.
Nombre: Jhan Faider Rivero Jaimes
Solución 1. a) Estados: HL: Jorge tiene el Historial limpio 1M: Jorge recibe una multa 2M: Jorge recibe dos multas 3M: Jorge recibe tres multas C: Jorge realiza la clase de educación vial Matriz de transición P: HL HL
1M
2M
3M
C
0,5
0,5
0
0
0
1M
0
0,6
0,4
0
0
2M
0
0
0,3
0,7
0
3M
0
0
0
0
1
C
1
0
0
0
0
Probabilidades: x1
0,25225225
x2
0,31531532
x3
0,18018018
x4
0,12612613
x5
0,12612613
b) como para que le revoquen la licencia lo tienen que multar 3 veces y la probabilidad de que lo multen cada vez que lo detienen es de 0,5 entonces el promedio de veces que Jorge es detenido por la policía antes de que su licencia sea revocada de nuevo es: 3/0,5= 6
c) la probabilidad de que Jorge pierda su licencia corresponde a la probabilidad de x3= 0,18018018
3)
Matriz de transición P: política 1 0 0.0803014 0.63212056 0.26424112 0.9196986
0 1 2 3
1 0.18393972 0.36787944 0.36787944 0.18393972
2 0.36787944 0 0.36787944 0.36787944
3 0.36787944 0 0 0.36787944
Probabilidades: X0
0.28581247
X1
0.28471134
X2
0.26313999
X3
0.1663362
Costo diario de política 1: COSTO I0
I1
I2
I3
TOTAL
$85.7437403
$0.85413403
$1.57883995
$1.49702579
$89.6737401
Costo cada dos días: $179.34748
Matriz de transición P: política 2
0 1 2 3 4 5 6
0 0.05265302 0.01656361 0.59399415 0.32332358 0.14287654 0.05265302 0.01656361
1 0.09022352 0.03608941 0.27067057 0.27067057 0.18044704 0.09022352 0.03608941
Probabilidades: X0
0.2085509
X1
0.1597201
X2
0.18528468
X3
0.17955352
X4
0.15142628
X5
0.0904655
X6
0.02499901
2 0.18044704 0.09022352 0.13533528 0.27067057 0.27067057 0.18044704 0.09022352
3 0.27067057 0.18044704 0 0.13533528 0.27067057 0.27067057 0.18044704
4 0.27067057 0.27067057 0 0 0.13533528 0.27067057 0.27067057
5 0.13533528 0.27067057 0 0 0 0.13533528 0.27067057
6 0 0.13533528 0 0 0 0 0.13533528
Costo de política 2 cada dos días: I0
I1
62.5652695
47.9160313
I2 2.22341617
I3 3.23196338
I4 3.63423083
I5 2.71396491
I6 0.89996451
TOTAL 123.184841
$123.184841 a) se debe escoger la política 2 para minimizar el costo de pedir y retener ya que su costo es de $123.184841, mientras que la política 1 cuesta $179.34748 b) sabemos que:
Por lo que la política 1 el promedio de días entre agotamientos sucesivos del inventario es de 3 días Y la política 2 el promedio de días entre agotamientos sucesivos del inventario es de 4 periodos de dos días, es decir, 8 días
