Exámen Parcial (1) Mc-361 2016-1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

PERIODO: 2016-1 FECHA: 12/05/2016

CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES MC 361 EXAMEN PARCIAL

Duración: 1 hora 50 minutos. Utilice regla para sus esquemas y trazos Problema 1. La figura muestra un tubo de D int = 40 mm y D ext = 50 mm de aleación de Magnesio  AM1004-T61, con (Sy) Sy)Mg = 152 MPa unido en su extremo a un disco rígido de mayor diámetro; y una barra cilíndrica maciza de Al-6071-T6 de d  =25  =25 mm con (Sy) Sy)Al = 255 MPa. A 25°C existe un espacio libre de 0.2 mm. Mg= 26 x 10-6  1/°c EMg =44.7 GPa.  Al = 24 x 10 -6 1/°C E Al = 68.9 GPa Para calcular la temperatura máxima a calentar de todo el sistema teniendo como limites los esfuerzos de f luencia. luencia. Se pide: a) De acuerdo a los datos de ambas barras, ¿cuál es la más débil?.¿Por qué? b) Considerando el límite de fluencia Sy de la barra más débil, trace el diagrama de cuerpo libre y su respectiva ecuación de equilibrio. c) Cálculo de fuerzas en cada barra cuando se alcanza el límite de fluencia seleccionado en (b) d) Diagrama de cada barra que muestre deformaciones deformaciones por fuerza y por temperatura. e) Ecuación de compatibilidad que relaciona las deformaciones por fuerzas (obtenidas en (c)), las deformaciones por calentamiento y el espacio libre. f) Calcular la Temp Temp máxima a calentar calentar al sistema sistema teniendo como como límite la falla por por fluencia. Problema 2. La probeta de la figura ensayada en el Laboratorio N°4 de la FIM, falló según el ángulo indicado con una carga axial P = 18950 Lb. Considere: Lo = 2.05 pulg. Do = 0 .5015 pulg. Calcule para el plano de falla: a) Esfuerzo normal promedio. promedio. b) Esfuerzo cortante promedio promedio c) El esfuerzo normal sobre la sección transversal recta. d) Trace un esquema de un elemento de material mostrando los esfuerzos calculados en (a) y (b)

Problema 3. El motor eléctrico ejerce un par de torsión de 800 N-m sobre el eje de acero ABCD cuando gira a una velocidad constante. Las especificaciones de diseño requieren que el diámetro del eje sea uniforme desde A hasta D y que el ángulo de giro entre A y D no exceda 1.5°. Si se sabe que max = 60 MPa y que G = 77 GPa para determinar el diámetro mínimo requerido en el eje, se pide:

a) Diagrama de momento torsor b) Diámetro del eje por cortante c) Diámetro del eje por ángulo de giro. d) Diámetro seleccionado para el eje. Problema 4. Una viga cuya sección transversal se indica en la figura soporta las cargas indicadas. Si para la sección transversal su centroide se localiza a 6.833 pulg del borde inferior e Iz = 862.667 pulg 4. Se pide: a) Diagrama de cuerpo libre y cálculo de reacciones. b) Diagrama de fuerza cortante y momento flector c) Localización de la sección de mayor momento flector. d) Ecuación del esfuerzo normal en función de  y en dicha sección e) Esfuerzos máximos, a tracción y compresión en dicha sección. f) Esquema de la distribución del esfuerzo normal indicando eje neutro.

LOS PROFESORES

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

PERIODO: 2016-1 FECHA: 12/05/2016

CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES MC 361 EXAMEN PARCIAL

Duración: 1 hora 50 minutos. Utilice regla para sus esquemas y trazos Problema 1. La figura muestra un tubo de D int = 40 mm y Dext = 50 mm de aleación de Magnesio AM1004-T61, con ( Sy)Mg = 152 MPa unido en su extremo a un disco rígido de mayor diámetro; y una barra cilíndrica maciza de Al-6071-T6 de d  =25 mm con (Sy)Al = 255 MPa. A 25°C existe un espacio libre de 0.2 mm. Mg= 26 x 10 -6  1/°c EMg =44.7 GPa.  Al = 24 x 10 -6  1/°C E Al = 68.9 GPa Para calcular la temperatura máxima a calentar de todo el sistema teniendo como limites los esfuerzos de fluencia. Se pide: a) De acuerdo a los datos de ambas barras, ¿cuál es la más débil?.¿Por qué? b) Considerando el límite de fluencia Sy de la barra más débil, trace el diagrama de cuerpo libre y su respectiva ecuación de equilibrio. c) Cálculo de fuerzas en cada barra cuando se alcanza el límite de fluencia seleccionado en (b) d) Diagrama de cada barra que muestre deformaciones por fuerza y por temperatura. e) Ecuación de compatibilidad que relaciona las deformaciones por fuerzas (obtenidas en (c)), las deformaciones por calentamiento y el espacio libre. f) Calcular la Temp máxima a calentar al sistema teniendo como límite la fluencia. SOLUCIÓN a) Para identificar la barra más débil, debemos comparar los esfuerzos en cada barra considerando el límite de fluencia para cada material. Consideramos primero Sy del tubo de magnesio: (Sy) Mg =152 MPa. Sea  P 1 la fuerza que genera el esfuerzo de fluencia en el tubo de magnesio.   P 1



Reemplazando valores:

( Sy) Mg   Atubo

 P  1 152  ((   / 4)  (50

2



402 ))  152  706.86  107442.7  Newtons

Debido a que por equilibrio la fuerza es la misma en la barra circular de aluminio:

  

 Al 



 P  1  Abarra



  

 Al 



107442 .7 (   / 4)  25 2



218.88  MPa

Se puede observar que debido a  P 1 :    Al   (Sy) Al   

(1)

Consideramos ahora Sy de la barra de aluminio: (Sy) Al = 255 MPa. Sea P2 la fuerza que genera el esfuerzo de fluencia en la barra de aluminio  P 2



 P 2



Reemplazando valores:

(Sy) Al   Abarra

255  ((   / 4)(252  )  255  490.875  125173  Newtons

Con este valor de P 2, el esfuerzo en la barra tubular de magnesio   

 Mg 



 P 2  Atubo



125173   

 Mg 



706.86



Se puede observar que por la acción de P 2:

177.08  MPa

  

 Mg 



( Sy) Mg 

(2)

Es decir que se produciría falla por fluencia en el tubo de magnesio  Se concluye que la barra tubular de magnesio es la más débil.

b) Al calentar todo el sistema, ambas barras se dilatan y como los apoyos son rígidos se generan esfuerzos internos de compresión. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura siguiente: R

R

Equilibrio:

Fx =0 

R A = RC = R . . . (1)

c) En cada barra actúa la fuerza P1 cuando se alcanza el límite de fluencia del magnesio. La reacción R es igual a  P 1



d) Diagrama de deformaciones en cada barra:  L)Mg

Posición inicial Posición final

Al L)Al

R = 107442.7 N

d)

Ecuación de compatibilidad que relaciona las deformaciones por fuerzas (obtenidas en (c)), las deformaciones por calentamiento y el espacio libre.

. . . (3)

   Mg      Al   ( L) Mg   (L) Al   0.2

e) La Temperatura máxima a calentar al sistema. Por Hooke, tenemos en (3):  P 1  K  Mg 



 P 1  K  Al 

 K  Mg   K  Al 





(3 a)

 0.2  T ((  L) Mg   (  L) Al )

 E  Mg  Atubo  Ltubo

 E  Al  Abarra  Lbarra





44700  706.86 300 68900  490.875 450



105322.14



75158.417

(  L) Mg   0.000026  300  0.0078

( L) Al )  0.000024  450  0.00108

Reemplazando valores: en (3-a): 1.02013+1.42955 + 0.2 =  T×(0.0186) 

T   142.46 C 

Problema 2. La probeta de la figura ensayada en el Laboratorio N°4 de la FIM, falló según el ángulo indicado con una carga axial P = 18950 Lb. Considere: Lo = 2.05 pulg. Do = 0 .5015 pulg. Calcule para el plano de falla: a) Esfuerzo normal promedio. b) Esfuerzo cortante promedio c) El esfuerzo normal sobre la sección

Do

transversal recta. d) Trace un esquema de un elemento de material mostrando los esfuerzos calculados en (a) y (b) Problema 3. El motor eléctrico ejerce un par de torsión de 800 N-m sobre el eje de acero ABCD cuando gira a una velocidad constante. Las especificaciones de diseño requieren que el diámetro del eje sea uniforme desde A hasta D y que el ángulo de giro entre A y D no exceda 1.5°. Si se sabe que max = 60 MPa y que G = 77 GPa para determinar el diámetro mínimo requerido en el eje, se pide:

e) f) g) h)

Diagrama de momento torsor Diámetro del eje por cortante Diámetro del eje por ángulo de giro. Diámetro seleccionado para el eje. SOLUCIÓN

y  A 300 N-m

TC 4 00    m  m 

500 N-m

B 6 00    m m 

x 

C 3 00    m  m 

800

D

DMT (N-m)

500

0

b) Cálculo de diámetro por cortante:

  

máx

T   AB



 J 

16  T  AB

(d  / 2) 



   

3

d 

Por dato máx = 60 MPa 60

800000 

3



d   40.8 mm

3.1416  d 

c) Cálculo de diámetro por giro angular máximo:   máx



T   L  AB  AB  J   G



T   L  BC   BC   J   G



T   L CD CD  J   G

Por dato: G = 77 000 MPa; y del DMT, TCD = 0  J  G 



((3.1416 / 32) * d 4 ) 77000 



7559.475 d4

Por dato máx = 1.5° = 0.02618 radian Reemplazando valores y despejando d: 1/ 4

 (800000  400)  (500000  600)  0  d     0.02618  7559.475    

 35.67 mm

i) Selección del diámetro para el eje: El diámetro obtenido por cortante máximo es el que satisface las condiciones de max y max.

 d eje

= 41 mm

Problema 3. Una viga cuya sección transversal se indica en la figura soporta las cargas indicadas. Si para la sección transversal su centroide se localiza a 6.833 pulg del borde inferior e Iz = 862.667 pulg 4. Se pide: g) h) i)  j) k) l)

Diagrama de cuerpo libre y cálculo de reacciones. Diagrama de fuerza cortante y momento flector Localización de la sección de mayor momento flector. Ecuación del esfuerzo normal en función de  y en dicha sección Esfuerzos máximos de tracción y de compresión en dicha sección. Esquema de la distribución del esfuerzo normal indicando eje neutro.

SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo Libre y reacciones: y 1800 Lb

800 Lb/pie

B

2100 Lb

C

x

 A E

D 7 pies

3 pies

4 pies

RD

R A

M A = 0: Fy = 0:

4 pies



 R D





(2100  18)  (1800  10)  ((800  7)  3.5) 14



5385.714  Lbs

R A =(800×7)+2100+1800-5385.714 = 4114.29 Lbs

b) Diagrama de fuerza cortante y momento flector

y 1800 Lb

800 Lb/pie

B

2100 Lb

C

x

 A D 7 pies

3 pies

4 pies

E

4 pies

RD

R A 4114.29

DFC (Lb)

2100

5.14 m 1485.71 3285.71 10579.6 9200

DMF (Lb-pie) 4742.85

-8400

c) Del DMF se observa que el mayor momento flector actúa en la sección a 5.14 m del apoyo articulado A y tiene una magnitud de 10579.6 Lb-pie equivalente a 121955.102 Lb-pulg. d) Ecuación del esfuerzo normal en función de y  en dicha sección

  

 x

 

 M  z   I  z 



 y

 121955.102 

  

 x

 



862.667

 y

 147.165 

 y

e) Esfuerzos máximos de tracción y de compresión en dicha sección. El esfuerzo normal varía linealmente

con la

distancia “y”.

(   x ) max

 

147.165  C 1



(   x ) máx

 

760.406  psi

(compresión)

(   x ) max

 

147.165  C 2

(   x ) máx



1005.584  psi



  

 x

  

 x

147.165  5.167

 

147.165  (6.833)

 

(tracción )

y

z

       7         6         1  .        5

        3         3         8  .         6

f) Esquema de la distribución del esfuerzo normal indicando eje neutro. Se tiene esfuerzo de tracción sobre el eje centroidal z y esfuerzo de compresión por debajo del mismo eje.