Capitulo-7-Pandeo-Lateral-Torsional-de-Vigas.pdf

7. PANDEO LATERAL TORSIONAL DE VIGAS. 7.1. Introducción Consideremos la zona en compresión de la viga de la figura. Con la carga en el plano del alma, de acuerdo a la teoría de vigas, los puntos A y B tienen el mismo esfuerzo. Las imperfecciones, excentricidad accidental, y esfuerzos residuales contribuyen a que los esfuerzos a través del ala no sean iguales a una distancia dada desde el eje neutro. Cualitativamente el ala comprimida se comporta como una columna, que se pandearía por flexión alrededor del eje 1-1. Sin embargo, el alma provee soporte continuo para prevenir este pandeo. A mayores esfuerzos de compresión el ala tenderá a pandearse por flexión alrededor del eje 2-2. Este repentino pandeo del ala con respecto a su eje fuerte en una distorsión lateral se conoce como pandeo lateral. Para evaluar el comportamiento de manera más precisa, se debe considerar que el ala comprimida no solo está arriostrada en su dirección débil por su conexión con el alma, pero también el alma provee una una restricción continua (rotacional y transversal) a lo largo de la unión del ala con el alma. Por lo tanto la rigidez flexural del alma hace que toda la sección se desplace lateralmente cuando el pandeo lateral ocurra.

Figura 1. Viga soportada lateralmente solo en sus extremos.

7.2. Soporte lateral Existen dos categorías de soporte lateral que son definidos y adecuados: - Soporte lateral continuo al estar el ala comprimida embebida en una losa de piso de hormigón (Figura 1a-b). - Soporte lateral a intervalos (Figura 1c-g) provisto por vigas cruzadas, marcos, puntales o tirantes, cuando el sistema lateral es en sí adecuadamente rígido y arriostrado.

1

Figura 2. Tipos de soporte lateral efectivo. Se debe examinar no solo la viga individual para asegurar el arriostramiento lateral, pero también de todo el sistema. En la Figura 3(a) se muestra la viga principal AB con una viga cruzada (conexión rotulada) en su mitad, pero el pandeo de todo el sistema es aún posible al menos que es sistema sea arriostrado como en la Figura 3(b).

Figura 3. Pandeo lateral de un sistema de techo o piso. Muchas veces hay situaciones de diseño en que es difícil decidir si el arriostramiento lateral es adecuado o no. Por ejemplo: a) Vigas robustas con cubiertas de acero liviana (delgada) soldadas 2

a ella. Ciertamente estas cubiertas proveen un grado de restricción a lo largo del miembro; sin embargo la rigidez y resistencia lateral relativa es cuestionable; b) Cuando vigas que son parte de un marco se conectan a la viga principal, pero cerca del ala en tensión; c) Sistema de piso de madera o cubiertas de acero liviana que se apoya no solidamente conectada a las vigas. En casos de dudas, es mejor asumir que no se provee soporte lateral al ala comprimida. También hay casos en que la etapa de la construcción define si existe o no suficiente arriostramiento lateral, ej: viga con losa colaborante.

7.3. Resistencia de vigas I bajo momento uniforme. En el desarrollo de ecuaciones de diseño, el caso de momento constante a lo largo de un tramo no arriostrado lateralmente se usa como el caso básico para pandeo lateral torsional (PLT). El momento uniforme provoca compresión constante en el ala comprimida sobre todo el largo no arriostrado. Cuando hay un gradiente de momento la fuerza de compresión en el ala varía en el tramo no arriostrado, resultando en una menor fuerza promedio de compresión y una menor posibilidad de PLT. PLT es un estado límite que puede controlar la resistencia de una viga. El comportamiento general de una viga se presenta en la Figura 4. El pandeo local del ala o alma puede limitar la resistencia de la sección. La máxima resistencia de una viga será su momento plástico M p.

Figura 4. Comportamiento de vigas. La falla será uno de los siguientes modos: 1. Pandeo local del ala en compresión. 2. Pandeo local de parte del alma en compresión. 3. PLT. Cuatro categorías de comportamiento se presentan en la Figura 4: 3

1. Se alcanza el momento plástico M p junto con grandes deformaciones. La capacidad de deformación, llamada en este caso capacidad de rotación como se muestra en la Figura 5, es esencialmente la habilidad de soportar grandes deformaciones en las alas sin inestabilidad. 2. Comportamiento inelástico donde se alcanza el momento plástico pero con poca capacidad de rotación, debido a la poca rigidez del ala y/o alma para resistir pandeo local, o insuficiente soporte lateral para resistir PLT, mientras que el ala es inelástica. 3. Comportamiento inelástico donde se alcanza o excede el momento M r, esto es, el momento por sobre el cual los esfuerzos residuales provocan el comportamiento inelástico. Sin embargo, el pandeo local del ala o alma, o PLT no permiten alcanzar el momento plástico. 4. Comportamiento elástico donde la resistencia a momento M cr es controlada por pandeo elástico; puede haber pandeo local del ala, pandeo local del alma o PLT. La mayoría de los perfiles W tienen bajas razones de esbeltez (b /2t f f para ala by h/t w para alma) de manera tal que se categorizan como compactos. Para estos casos, el alcanzar M p depende de la longitud no apoyada lateralmente L b. Esta longitud se define como la longitud entre puntos de amarre que restringen el desplazamiento lateral del ala comprimida o la torsión de la viga. Si L b es suficientemente “grande” el momento M cr estará controlado por PLT elástico.

Figura 5. Requerimientos de deformación para alcanzar resistencia plástica.

7.4. Pandeo lateral torsional elástico. Ecuación diferencial. Refiriéndose a la Figura 6, se observa que el momento aplicado M 0 en el plano yz tiene componentes M x’, My’ y M z’ con respecto a los ejes x’, y’ y z’ respectivamente. Esto significa que habrá curvatura de flexión en los planos x’z’ y y’z’ además de curvatura torsional alrededor del eje z’. Asumiendo pequeñas deformaciones la flexión en el plano y’z’ (considerando que el coseno director es 1 entre los ejes y’-y, y z’’-z) puede escribirse como: d2v = M x' = M0 EI x 1 2 dz donde v es el desplazamiento del centroide en la dirección y. Además, la curvatura en el plano x’z’ es:

4

Figura 6. Viga I en posición levemente pandeada. d2u

= M y' = M 0φ 2 dz donde u es el desplazamiento del centroide en la dirección x. La ecuación diferencial de torsión se desarrolló en el capítulo anterior: dφ d 3φ M z ' = GJ − EC w 3 dz dz De la figura anterior y los cosenos directores, la componente de momento torsor la viga está levemente pandeada es proporcional a la pendiente de la viga en el plano xz: du M z' = − M0 dz lo cual da para la ecuación diferencial de torsión: du dφ d 3φ − − EC w 3 M 0 = GJ dz dz dz EI y

2

3 M 0 cuando 4

5

5

Dos supuestos son inherentes a las ecuaciones 1 y 2. Se asume que las propiedades I x’ y Iy’ son iguales a I x y I y. Además Ix es grande comparado con I y, de manera que la ecuación 1 no está acoplada a las ecuaciones 2 y 5 respectivamente. Entonces, el desplazamiento v en el plano de flexión no afecta el ángulo de torsión φ . Derivando la ecuación 5 con respecto a z da: d 2u d 2φ d 4φ − 2 M 0 = GJ 2 − EC w 4 6 dz dz dz De la ecuación 2, d 2u M0φ = EI y dz 2 Sustituyendo en la ecuación 6 da: EC w

d 4φ dz 4

− GJ

d 2φ dz 2

2

−

M0 φ EI y

=0

7

la cual es la ecuación diferencial para el ángulo de torsión. El valor de momento crítico M 0=Mcr que hace que esta ecuación tenga solución no trivial, para el caso de soporte torsional simple (los extremos de la viga no pueden torcerse pero están libres para alabearse) está dado por: 2

 πE  M cr = EI y GJ +   I yCw L  L  π

8

Esta ecuación es la resistencia al PLT para una sección I bajo la acción de un momento constante en el plano del alma sobre el largo no arriostrado L. Para ajustar por gradientes de momento, esta ecuación se multiplica por un factor C b. Por lo tanto, en general, 2

 πE  M cr = C b EI y GJ +   I yCw L  L  π

9

y el esfuerzo de PLT puede expresarse como: Fcr =

M cr Sx

=

Cb π LSx

2

 πE  EI y GJ +   IyCw L  

10

6

7.5. Diseño por AISC LRFD de vigas I sometidas a flexión en el eje fuerte

Si se quiere hacer análisis plástico, para gran capacidad de rotación (R>3 Figura 5)

Figura 7. Resistencia nominal de secciones compactas afectas a PLT.

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

7.6. Ejemplos de diseño de vigas W y soldadas compactas o no compactas. Ejemplo 1. Diseñar la viga de la figura. La carga uniforme es 15% DL y 85% LL, y la carga concentrada es 40% DL y 60% LL. La viga tiene soportes transversales en los apoyos y cada 7’6”. Fy=50 ksi.

wu =1.2*0.15*1.4+1.6*0.85*1.4=2.16 kips/ft Pu=1.2*0.4*48+1.6*0.6*48=69 kips 2 Mu=1/8*2.16*30 +1/4*69*30=761 kips-ft req Mn =Mu / φ =Mu /0.9=846 kips-ft

Probar W 18x97

19

Sección F2, perfiles laminados H bf tf tw ho

18.6 11.1 0.87 0.535 17.73

in in in in in

Ix Sx rx Zx

1750 188 7.82 211

in4 in3 in in3

J Cw

5.86 15800

in4 in6

E Fy Lb

29000 50 90

ksi ksi in

bf/2tf

6.41

ala compacta

h/tw

30

Iy Sy ry Zy

201 36.1 2.65 55.3

E Fy

in4 in3 in in3

24.083

λ p = 0 .38 E Fy

alma compacta

9.152

λ r = 1. 0 E Fy

24.083

λ p = 3 .76 E Fy

90.553

λ r = 5 .70 E Fy

137.274

Calculo de Lp, Lr c rts (F2-7)

1 3.079

Lp (F2-5) Lr (F2-6)

112.324 364.020

(sección I , F2-8b) in in

Comparación Lb con Lp y Lr Caso segun F2.2. a F2-1

(a): PLT no aplica, Ec F2-1

Mn

10550 kips-in

Mn req

10152 kips-in

(b): usar Ec F2-2

(c):usar Ec. F2-3

OK

20

Ejemplo 2. Diseñar la viga de la figura. DL=0.4 kips/ft; LL=1.0 kips/ft. Se provee apoyo lateral en los extremos y en el centro de la luz. F y=50 ksi.

Probar con W 18x97 wu =1.2*(0.4+0.097)+1.6*1.0=2.196 kips/ft 2 Mu=1/8*2.196*50 =686.25 kips-ft Calculo de Lp, Lr c rts (F2-7)

1 3.079

Lp (F2-5) Lr (F2-6)

112.324 364.020

(sección I , F2-8b) in in

Comparación Lb con Lp y Lr Caso segun F2.2. b Mu

Mmax MA B

MC

F2-2

(b): usar Ec F2-2

(c):usar Ec. F2-3

8235.0 kips-in

F2-2 Cálculo de Cb

Rm Cb (F1-1)


1 1.299 Mn φ Mn

8235.0 3602.8 6176.3 7720.3

kips-in kips-in kips-in kips-in

(para secciones I simetricas)

9856.9 kips-in 8871.2 kips-in

q L Lb xA

2.196 kips/ft 50 ft 25 ft 6.25 M

xB xC

12.5 18.75

M M Mmax

300.23 514.69 643.36 686.25

OK

21

Ejemplo 3. Diseñar la viga de la figura. Se provee soporte lateral en los apoyos, carga concentrada y extremo libre del cantilever. F y=50 ksi.

W1u=115 kips

W2u=59.2 kips

Probar W33x118

22

Tramo A H bf tf tw ho

32.9 11.5 0.74 0.55 32.16

in in in in in

Ix Sx rx Zx

5900 359 13 415

in4 in3 in in3

J Cw

5.3 48300

in4 in6

E Fy

29000 50

ksi ksi

bf/2tf

7.76

ala compacta

h/tw

54.5

Iy Sy ry Zy

187 32.6 2.32 51.3

E Fy

alma compacta

in4 in3 in in3

24.083

λ p = 0.38 E Fy

9.152

λ r = 1.0 E Fy

24.083

λ p = 3 .76 E Fy

90.553

λ r = 5 .70 E Fy

137.274


1 2.893

Lp (F2-5) 98.33648 Lr (F2-6) 281.670 Mu Lb

16200.0 288

(sección I , F2-8b) in in kips-in in

Comparación Lb con Lp y Lr c Caso segun F2.2. Mn=Mp F2-1 F2-2 Cálculo de Cb


(b): usar Ec F2-2

20750.0 kips-in Mmax MA MB MC

16200.0 4050.0 8100.0 12150.0


Mmax Lb xA xB xC

Rm Cb (F1-1)

F2-3

1 1.667

Fcr Mn φ Mn

(c):usar Ec. F2-3

1350 kips-ft 24 ft 6 M 12 M 18

M

337.50 675.00 1012.50


56.039 ksi 20118.2 kips-in 18106.4 kips-in

OK

23

Tramo B Mu Lb

16200.0 336

kips-in in

Comparación Lb con Lp y Lr c Caso segun F2.2. F2-1

Mn=Mp φ Mn

F2-2 Cálculo de Cb


20750.0 kips-in 18675.0 kips-in

Mmax MA MB MC

16200.0 11244.0 6288.0 1332.0

(b): usar Ec F2-2

OK


M1 M2 Lb xA xB xC

Rm Cb (F1-1)

F2-3

1 1.959

Fcr Mn φ Mn

(c):usar Ec. F2-3

1350 kips-ft -302 kips-ft 28 ft 7 M 14 M 21

M

937.00 524.00 111.00



OK

Ejemplo 4. Determinar el momento último que la viga soldada de la figura puede soportar si DL=0.15 kips/ft incluyendo el peso propio de la viga. F y=65 ksi.

24

Perfil soldado H bf tf tw h ho A Ix Sx rx Zx

27.25 16 0.625 0.3125 26.00 26.63 28.125 4002.8 293.8 11.9 319.1

in in in in

in4 in3 in in3

J Cw

2.869 75627

in4 in6

E Fy

29000 65

ksi ksi

bf/2tf kc

12.8 0.439

in

ala no compacta

Iy Sy ry Zy

426.7 53.3 3.9 80.3

E Fy

in4 in3 in in3

21.122

λ p = 0.38 E Fy

8.026

λ r = 0.95 k c E FL

15.882 45.500

(ver nota tabla B4.1) FL =0.7Fy

h/tw

83.2

alma no compacta

λ p = 3.76 E Fy

79.420

λ r = 5.70 E Fy

120.397

25

Diseño por AISC F4 Lb 180 Mu 3037.5

in kips-in

Cálculo de Rpc Mp 20739.1 kips-in Myc 19096.0 kips-in λ pw 79.420 λ rw 120.397 hc/tw 83.2

Rpc

1.078

1. Compression flange yielding F4-1 Mn 20587.5 2. Lateral torsional buckling Calculo de Lp, Lr aw (F4-11) 0.8125 rt (F4-10) 4.335 (user note page 52) Lp (F4-7) 100.71 in Lr (F4-8) 359.88 in Comparación Lb con Lp y Lr Caso segun F4.2. b Cálculo de Cb

Rm Cb (F1-1)

1 1.014

Mmax MA MB MC

(a): PLT no aplica, Ec F4-1 3037.5 2953.1 3037.5 2953.1



F4-2

Mn φ Mn

18627.0 kips-in 16764.3 kips-in

F4-3

Fcr Mn φ Mn


(b): usar Ec F4-2

(c):usar Ec. F4-3

q L Lb xA

1 kips/ft 45 ft 15 ft 18.75 M

xB xC

22.5 26.25

M M Mmax

246.09 253.13 246.09 253.125

3. Compression Flange Local Buckling Para alas no compactas F4-12 Mn 16200.2 kips-in φ Mn 14580.2 kips-in 4. Tension flange yielding Si Sxt≥Sxc no se aplica Mn Mn φ Mn

16200.2 kips-in 1350.0 kips-ft 1215.0 kips-ft

26


in kips-in

Cálculo de Rpg Rpg aw (F4-11) 0.8125 rt (F4-10) 4.335 (user note page 52) 1. Compression flange yielding F5-1 Mn 19095.9862

1.000

kips-in

2. Lateral torsional buckling Calculo de Lp, Lr Lp (F4-7) 100.71 in Lr (F5-5) 343.79 in Comparación Lb con Lp y Lr Caso segun F5.2. b Cálculo de Cb

Rm Cb (F1-1)

1 1.014

F5-3 F5-2

Fcr Mn φ Mn

F5-4 F5-2

Fcr Mn φ Mn

Mmax MA MB MC

(a): PLT no aplica, Ec F5-1 3037.5 2953.1 3037.5 2953.1



59.43 17460.2 15714.2

(b): usar Ec F5-3

(c):usar Ec. F5-4

q L Lb xA

1 kips/ft 45 ft 15 ft 18.75 M

xB xC

22.5 26.25

M M Mmax

246.09 253.13 246.09 253.125

ksi kips-in kips-in


3. Compression Flange Local Buckling Para alas no compactas F5-8 Fcr 53.15 ksi Mn 15614.98 kips-in φ Mn 14053.48 kips-in Para alas esbeltas F5-9 Fcr 69.86 ksi Mn 20523.32 kips-in φ Mn 18470.99 kips-in 4. Tension flange yielding Si Sxt≥Sxc no se aplica Mn Mn φ Mn

15615.0 kips-in 1301.2 kips-ft 1171.1 kips-ft

27

Ejemplo 5. Del Manual ICHA para estudiantes, capitulo 3 pag. 111).

Diseño viguetas. Probar IN 350x200x10x5.

28

Sección F2, perfil soldado H bf tf tw h ho A Ix Sx rx Zx

350 200 10 5 330.00 340.00 5650 130607083 746326 152.0 816125

mm mm mm mm mm mm mm4 mm3 mm mm3

J Cw

147083 385432677083

mm4 mm6

E Fy

200000 248.2

MPa MPa

bf/2tf kc

10 0.492

Iy Sy ry Zy

13336771 133368 48.6 201031

E Fy

(1)

66

28.387

λ p = 0.38 E Fy

ala compacta

λ r = 0.95 k c E FL (ver nota tabla B4.1)

h/tw

mm4 mm3 mm mm3

alma compacta

FL =0.7Fy

10.787 22.617 173.740

λ p = 3 .76 E F y

106.734

λ r = 5.70 E Fy

161.804

(1) ver AISC F13.2. para limites de h/tw, para almas esbeltas.


1 55.117

(sección I , F2-8b)

Lp (F2-5) Lr (F2-6)

2427.3 6675.8

mm mm

DL LL wu Mu Lb

100 kg/m2 450 kg/m3 1.2*(44.4*9.8+1.875*DL)+1.6*LL 112198.7 N-m 7500.0 mm

DL LL

980 4410 15957.1

N/m2 N/m2 N/m

29

Comparación Lb con Lp y Lr c Caso segun F2.2.

F2-1

(a): PLT no aplica, Ec F2-1 (b): usar Ec F2-2 (c):usar Ec. F2-3

Mn=Mp

202562.2 182306.0

φ Mn

F2-2 Cálculo de Cb

Rm Cb (F1-1)

Mmax MA MB MC

1 1.136

N-m N-m

7031250.0 5273437.5 7031250.0 5273437.5

Mn φ Mn

131279.0 118151.1

F2-3

Fcr Mn φ Mn

164.198 MPa 122545.2 N-m 110290.6 N-m 122545.2 110290.6

Diseño al corte. AISC G2 Alma no atiesada. kv (G2.1.b) 5 h/tw G2-3 G2-4 G2-5

(1)

Caso G2-3 G2-1

Vu

q L Lb xA xB xC

1 N/m 7500 ft 7500 ft 1875 M 3750 M 5625 M


F2-2

Mn φ Mn


N-m N-m

Mmax

5273438 7031250 5273438 7031250

N-m N-m

cambiar

1.1 k v E Fy

69.82

1.37 k v E Fy

86.96

Mu/ φ Mn

1.017

66 Cv Cv Cv

1 1.058 1.397

Cv Vn φ Vn

1 260610 234549

N N

φ =0.9 segun G1

59839

N

OK

OK

30

Diseño de vigas maestras. Probar H 400x200x14x6 DL LL

100 kg/m2 450 kg/m3

DL LL

980 4410

N/m2 N/m2

ancho tributario = 7.5/2+1.875/2 =4.6875m (aproximacion para cargas puntuales de las viguetas)

wu Mu Lb

1.2*(61.5*9.8+4.6875*DL)+1.6*LL*4.6875 275073.0 N-m 7500.0 mm

39310.5

N/m

31

H bf tf tw h ho A Ix Sx rx Zx

400 200 14 6 372.00 386.00 7832 234425291 1172126 173.0 1288376

mm mm mm mm mm mm mm2 mm4 mm3 mm mm3

J Cw

392651 695564085971

mm4 mm6

E Fy

200000 248.2

MPa MPa

bf/2tf kc

7.14 0.508

ala compacta

peso Iy Sy ry Zy

61.48 18673363 186734 48.8 281674

E Fy

1)

62.00

alma compacta

28.387

λ p = 0.38 E Fy


h/tw

kg/m mm4 mm3 mm mm3

FL =0.7Fy

10.787 22.973 173.740

λ p = 3 .76 E F y

106.734

λ r = 5.70 E Fy

161.804

(1) ver AISC F13.2. para limites de h/tw, para almas esbeltas.


1 55.450


Lp (F2-5) Lr (F2-6)

2439.5 7136.7

mm mm

32

Comparación Lb con Lp y Lr Caso segun F2.2. c

F2-1


Mn=Mp φ Mn

F2-2 Cálculo de Cb

319774.9 287797.4

Mmax MA MB MC

Rm Cb (F1-1)

1 2.069

N-m N-m

275073.0 138534.0 138867.0 998.0


F2-2

Mn φ Mn

319774.9 287797.4

F2-3

Fcr Mn φ Mn

334.021 MPa 319774.9 N-m 287797.4 N-m

Mn φ Mn

319774.9 287797.4


1)

Caso G2-3 G2-1

Vu

N-m N-m N-m N-m

N-m N-m

N-m N-m

Mu/ φ Mn

OK

1.1 k v E Fy

69.82

1.37 k v E Fy

86.96

0.956

62.000 Cv Cv Cv

1 1.126 1.583

Cv Vn φ Vn

1 357408 321667

N N

φ =0.9 segun G1

184091

N

OK

OK

33

Ejemplo 6. Del Manual ICHA para estudiantes, capitulo 3 pag. 117).

Sección F3, perfil soldado H bf tf tw h ho A Ix Sx rx Zx

350 250 8 5 334.00 342.00 5670 132510210 757201 152.9 823445


J Cw

99250 609289234313

mm4 mm6

E Fy

200000 248.2

MPa MPa

bf/2tf kc

15.63 0.489

ala no compacta

peso Iy Sy ry Zy

44.51 20836813 166695 60.6 251044

E Fy

1)

66.80

alma compacta

28.387

λ p = 0.38 E Fy


h/tw

kg/m mm4 mm3 mm mm3

FL =0.7Fy

10.787 22.549 173.740

λ p = 3 . 76 E Fy

106.734

λ r = 5.70 E Fy

161.804

34


1 68.597


Lp (F2-5) Lr (F2-6) Lb

3028.7 7962.8 3500.0

mm mm mm

Seccion F3. PLT segun F2.2 Comparación Lb con Lp y Lr b Caso segun F2.2.

F2-1

Mn=Mp φ Mn

F2-2 Cálculo de Cb

Rm Cb (F1-1)

(a): PLT no aplica, Ec F2-1 (b): usar Ec F2-2 (c):usar Ec. F2-3 204379.0 183941.1

Mmax MA MB MC

1 1.667

N-m N-m

1750.0 437.5 875.0 1312.5

Mn φ Mn

204379.0 183941.1

F2-3

Fcr Mn φ Mn

1311.995 MPa 204379.0 N-m 183941.1 N-m 204379.0 183941.1

1 7000


F2-2

Mn por PLT φ Mn

N-m N-m N-m N-m

P L

N-m N-m

N-m N-m

#REF!

(min de 329038 y Mp)

Mu/ φ Mn

#REF!

OK

35

Compression Flange local buckling Para alas no compactas F3-1 Mn 174424.6 Para alas esbeltas F3-2 Mn 273221.9 Controla

h/tw G2-3 G2-4 G2-5

Caso G2-3 G2-1

N-m

Compression Flange local buckling Mn 174424.6 N-m φ Mn=Mu 156982.1 N-m Pu 89704.1 N-m

Diseño al corte. AISC G2 Alma no atiesada. kv (G2.1.b) 5 1)

N-m

1.1 k v E Fy

69.82

1.37 k v E Fy

86.96

66.800 Cv Cv Cv

1 1.045 1.363

Cv Vn φ Vn

1 260610 234549

N N

φ =0.9 segun G1

Vu

44852

N

OK

36

7.7. Vigas armadas

En general, este tipo de vigas puede sufrir pandeo local del alma. El estado límite de pandeo local del alma se trata en AISC F4 y F5. El efecto del pandeo inelástico de un alma no compacta se considera multiplicando el momento que causa fluencia en el ala comprimida o traccionada por un factor de plastificación del alma R pc o Rtc. El pandeo elástico de almas esbeltas se considera con el factor de reducción R pg. Este momento ajustado se usa como la máxima capacidad de la sección en vez del momento de fluencia M y. En vigas con alma compacta y alas no compactas o esbeltas se aplica AISC F2 y F3. Cuando el alma es no compacta o esbelta, AISC F4 y F5 dan las indicaciones para considerar el pandeo local y pandeo flexural del alma. AISC F4 para almas no compactas permite que estas secciones sean conservadoramente diseñadas de acuerdo a AISC F5, que es específica para almas esbeltas. En general, las almas de vigas soldadas son esbeltas. La resistencia a la flexión y corte de vigas soldadas se relacionan con la esbeltez del alma, la cual puede causar varios problemas: 1) El pandeo por flexión en el plano del alma reducirá la eficiencia del alma para soportar su parte del momento flector. 2) Pandeo del ala comprimida en la dirección vertical debido a una rigidez insuficiente del alma para prevenir este pandeo. 3) Pandeo debido a corte. En vigas armadas relativamente altas, es común utilizar atiesadores para incrementar la resistencia al corte del alma. La resistencia al pandeo elástico o inelástico del alma no representa la máxima resistencia al corte. Habrá bastante resistencia post-pandeo si se utilizan estos atiesadotes. La viga se comportará como un enrejado con el alma soportando las tensiones diagonales y los atiesadores tomando las fuerzas de compresión. En la Figura 8 se muestra la resistencia nominal M n para los estados límites básicos: PLT, pandeo local del ala y pandeo local del alma.

37

Figura 8. Estados límites en flexión para secciones I simétricas.

38

7.8. Estado límite de pandeo vertical del ala El límite máximo para esbeltez del alma se basa en la rigidez necesaria en el plano del alma para prevenir el ala comprimida de pandearse verticalmente. Además se requiere rigidez flexural de parte del alma a lo largo de la conexión entre ala y alma para evitar PLT del ala. Para el siguiente desarrollo, nos podemos imaginar que el ala es un miembro en compresión independiente del resto de la viga. Cuando la viga de flecta, como se muestra en la Figura 10, las fuerzas en las alas tienen una componente de compresión en el alma. Cuando el alma permanece estable bajo estas fuerzas, el ala no puede pandearse verticalmente.

Figura 9. Pandeo vertical del ala comprimida.

39

Figura 10. Fuerzas en las alas debido a la curvatura de la viga. La deformación acumulada sobre la distancia dx es: h ε f dx = dθ 11 2 2ε dθ = f dx 12 h Como se muestra en la Figura 11a, la componente que causa compresión es σ f A f dθ . Luego de dividir por el área t wdx para obtener el esfuerzo de compresión f c (Figura 11b), se puede sustituir en la ecuación 12 para dθ :

Figura 11. Efecto de la componente normal al plano del ala de la fuerza del ala. f c =

σ f A f dθ

=

2σ f A f ε f

13 t w dx twh De las ecuaciones de pandeo de placas, k π 2 E Fcr = 14 2 2 b 12(1 − ν ) t donde b=h, t=t w y k=1 para el caso de una placa de Euler con bordes libres paralelos a la carga y simplemente apoyada arriba y abajo. Igualando ecs. 13 y 14 2σ f A f ε f π2 E = 15 2 twh  12(1 − ν 2 )  ht   w 

( )

Definiendo A w = t w h da: h tw

π 2 E  A w  1     = σ f ε f  A f  12(1 − ν 2 ) 

16

Se asume conservadoramente que σ f debe alcanzar el esfuerzo de fluencia en el ala F y para alcanzar la resistencia del ala. Además, si existen esfuerzos residuales F r en el ala como se

40

muestra en la Figura 12, entonces la deformación total del ala será la debida a la suma de los esfuerzos residuales más el esfuerzo de fluencia; por lo tanto:

Figura 12. Efecto de los esfuerzos residuales.

ε f = Fr + Fy / E

17

Interesa la deformación adyacente al alma; en dicho caso el cambio de F r en tensión a F y en compresión. Sustituyendo σ f = Fy , ε f de ec. 17, ν =0.3, en ec. 16 da: h tw

=

0.672E A w A f Fy (Fy + Fr )

18

Si se utilizan valores recomendados para A w A f ≥ 0.5 , y Fr=0.3Fy. Sustituyendo da: h tw

=

0.475E Fy (Fy + 0.3Fy )

19

Cuando se simplifica esta ecuación da la expresión del AISC F13-4 para límite de esbeltez. h 0.42E = 20 tw Fy La presencia de atiesadores transversales permite usar mayores esbelteces. Ver AISC F13

7.9. Resistencia nominal al corte. Pandeo elástico e inelástico. Consideremos un panel de largo a entre atiesadores transversales y altura h entre planchas longitudinales (sea entre alas, ala y atiesador longitudinal o atiesadores longitudinales), como se muestra en la Figura 13. En una región de alto corte y bajo momento flector, la resistencia al pandeo del panel se puede investigar asumiendo existe un estado de corte puro.

41

Figura 13. Teoría clásica de corte aplicada a un panel del alma de una viga.

Pandeo elástico bajo corte puro.

Figura 14. Primer modo de pandeo determinado a través de MEF, placa simplemente apoyada.

42

Similar a la ecuación 14, para el caso de corte puro se tiene: k v π 2 E

τ cr =

lado corto  12(1 − ν )  t  

2

21

2

Para el caso de bordes simplemente apoyados, de la teoría de placas se tiene:

 lado corto   lado l arg o  

k v = 5.34 + 4.0

22

Escribiendo la ecuación en términos de h y a, se tienen dos casos: 2  π 2 E 5.34 + 4.0 a h   1. Si a/h≤1: τ cr = 2 12(1 − ν 2 ) a t

( ) ( ) π E 5.34 + 4.0(h )  a   = 12(1 − ν )(h ) t 2

2

2. Si a/h≥1: τ cr

τ cr =

2

2

24

Se puede escribir las ecuaciones 23 y 24 como: π 2 k v E 12(1 − ν

k v = 4.0 + 5.34 k v = 4.0

23

(a h )

2

2

)(h t )

2

( h) a

2

para a/h≤1

+ 5.34 para a/h≥1

25

AISC-G2 reemplaza estas ecuaciones teóricas por las siguientes

Nota: límite h/t w<260 viene de AISC F13-2, para vigas sin atiesadores

43

La ecuación 25 se puede escribir de manera adimensional, definiendo C v como la razón entre el esfuerzo de corte crítico y el de fluencia. τ cr π 2 k v E = 26 Cv = 2 2 h τy τ y ⋅12(1 − ν ) t Reemplazando ν =0.3, τ y =0.6Fy, se llega a la ecuación AISC G2-5.

( )

Cv =

1.51k v E

 Fy   ht   w 

2

Pandeo inelástico Los esfuerzos residuales e imperfecciones provocan pandeo inelástico a medida que los esfuerzos críticos se aproximan al esfuerzo de fluencia. Se ha propuesto la siguiente curva de transición entre pandeo elástico y la fluencia: τ cr =

τ lim . prop τ cr . Se toma el limite proporcional

como 0.8 τ y . Dividiendo τ cr por τ y para obtener C v y usando ecuación G2-5 se obtiene la ecuación AISC G2-4. Cv =

1.1 k v E / Fy 1.51k v E τ cr = 0.8 ⋅ = 2 τy  h    h  t  Fy   t  w   w 

Finalmente, la resistencia nominal alm corte está dada por (Ec. G2-1): Vn=0.6FyAwCv

27

44

G2-4

G2-5

Figura 15. Coeficiente C v como funcion de h/t w.

7.10.

Resistencia nominal al corte incluyendo acción del campo de tensiones.

La resistencia al pandeo elástico e inelástico del alma sometida a corte se representa por ABCD en Figura 16. Una placa rigidizada por las alas y atiesadores transversales tiene una resistencia post-pandeo considerable. De estudios teóricos y experimentales se ha probado que la placa del alma se comporta de manera similar a un enrejado. Como se muestra en la Figura 17, las fuerzas de tensión son soportadas por la acción de membrana del alma, lo cual se conoce como acción del campo de tensiones (tension-field action), mientras que las fuerzas de compresión son tomadas por los atiesadores transversales. El incluir la acción de enrejado aumenta la resistencia al corte hasta aproximarse a la resistencia a fluencia en corte. La resistencia nominal al corte V n se puede expresar como la suma de la resistencia al pandeo Vcr y al post-pandeo V tf (tf: tension field). V cr está dado por ec. 27. Vn=Vcr+Vtf

28

45

Figura 16. Capacidad al corte considerando resistencia post-pandeo.

Figura 17. Acción del campo de tensiones. La resistencia al corte V tf desarrolla una banda de fuerzas de tensión que ocurre luego que el alma se ha pandeado bajo compresión diagonal. El equilibrio se mantiene por transferencia de fuerzas a los atiesadores verticales. A medida que la carga aumenta, el ángulo del campo de tensiones cambia. En la Figura 18 se muestra un panel de alma 1.3x1.3 m y 6.4 mm de espesor que se ha pandeado bajo compresión diagonal cuando se somete a corte puro. El anclaje donde el campo de tensiones intersecta el atiesador y el ala debe ser adecuado.

Figura 18. Campo de tensiones en un ensayo de viga armada. 46

Figura 19. Modelación numérica de la deflexión de una placa sometida a corte puro al llegar a su capacidad post-pandeo.

Figura 20. Modelación numérica del estado de tensiones para carga de post-pandeo. Tensiones de von Mises en ambas cara de la placa. Las zonas principales resistentes de la lámina entran en fluencia. La expresión para las tensiones de von Mises es la siguiente:

σ VM =

(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 2

≤ Fy

Dirección óptima del campo de tensiones. Considerar los esfuerzos de tensión de membrana σ t que se desarrolla en el alma a un ángulo γ, como se muestra en la Figura 21. Si dichos esfuerzos pueden desarrollarse sobre toda la altura del alma, entonces la fuerza total diagonal T sería:

47

Figura 21. Esfuerzos de membrana en el campo de tensiones. T = σ t t w h cos γ

29

La componente vertical es la fuerza de corte: V = T sin γ = σ t t w h cos γ sin γ

30

Si estos esfuerzos de tensión diagonales pudieran desarrollarse a lo largo de las alas, se requeriría rigidez vertical de estas. Ya que las alas tienen poca rigidez vertical y además resisten la flexión de la viga, el campo de tensiones solo se desarrolla sobre un ancho de banda tal que la componente vertical pueda transferirse a los atiesadores verticales. Estos atiesadores se diseñan para soportar dicha fuerza vertical. Se asume que el campo de tensiones puede desarrollarse sobre un ancho de banda s, como se muestra en Figura 22a.

γ

Figura 22. Fuerzas provenientes del campo de tensiones. La fuerza de tensión de membrana tributaria a un atiesador es σ t st w , y la fuerza parcial de corte ∆Vtf desarrollada por compresión en el atiesador es:

∆Vtf = σ t st w sin γ

31

El ángulo γ debe dar la máxima componente de corte. De la geometría de la Figura 22b, S=hcosγ-asinγ a: distancia entre atiesadores.

32

48

Sustituyendo 32 en 31

 h  ∆Vtf = σ t t w (h cos γ − a sin γ ) sin γ = σ t t w  sin 2γ − a sin 2 γ   2  Para el máximo ∆Vtf se tiene:

33

d(∆Vtf )

 h  = σ t t w  2 cos 2γ − 2a sin γ cos γ = 0  dγ  2  h cos 2 γ − a sin 2γ = 0

34

De la trigonometría, tan 2 γ = h

a

= 1

a h

; sin 2γ =

1

( h)

1+ a

2

 a 1 − cos 2 γ 1  2 h ; sin γ = = 1 − 2 2  1+ a h 

( )

2

    

35

Se debe agregar a ∆Vtf la contribución al corte de la parte de la sección que cae fuera de la banda s (área achurada Figura 22). El estado de esfuerzos en estos triángulos es desconocido. Para resolver este problema, se corta un diagrama de cuerpo libre como el mostrado en la Figura 23. Se toma la mitad del área entre atiesadores adyacentes y hasta la mitad de la altura. El corte a la mitad de la altura permite usar un valor del esfuerzo del campo de tensiones que es conocido, y el corte resultante en cada cara vertical es V tf /2 por simetría.

Figura 23. Por equilibrio de fuerzas horizontales, σt a ∆Ff = σ t t w a sin γ cos γ = t w sin 2γ 36 2 No se considera un incremental de fuerza en el alma ∆Fw ya que el alma apenas contribuye a la Resistencia a flexión de la viga. Haciendo equilibrio de momentos con respecto al punto O se tiene:

49

∆Ff

h

V tf a

=0 2 2 Resolviendo para ∆Ff y sustituyendo en ec. 36 da: V tf a

−

= σt

t wa

sin 2 γ h 2 Resolviendo para V tf y usando ec. 35:

V tf = σ t

ht w 2

1

( h)

2

1+ a

37

38

39

Condición de falla El estado de esfuerzos en el alma involucra esfuerzos de corte τ y normales σt. Por lo tanto, se debe considerar la interacción de estos esfuerzos para determinar su falla. Se asumirá que el esfuerzo crítico τcr permanece constante desde el pandeo hasta la carga última y por lo tanto el campo de tensiones σt se suma al esfuerzo principal τcr. Además el ángulo γ se tomará o conservadoramente como 45 (ver Figura 24)

Figura 24. Estado de esfuerzos. Si se utiliza el criterio de fluencia de von Mises (ver pag. 47), con σ1 = τ cr + σ t , σ 2 = 0 y σ 3 = −τ cr , en la condición de falla se tiene que: 2

2

σ t + 3σ t τ cr + 3τ cr = Fy

40

Resolviendo para σ t en términos de τ cr da:

50

2

σt =

− 3τ cr ± 4Fy − 3τ cr

2

41 2 Considerando sólo los valores positivos de σ t , se puede graficar en función de τ cr .

σt Fy

τ cr Fy

1 3

Figura 25. Esfuerzo del campo de tensiones como función del esfuerzo crítico de pandeo bajo corte puro. Se puede observar que si bien la curva es una hipérbola, para el tramo considerado se puede aproximar por una línea recta. Entonces,

σt Fy

= 1−

τ cr Fy

= 1− Cv

42

3 Fuerza en el atiesador De la Figura 23 la fuerza en el atiesador es: Ps (σ t t w a sin γ )sin γ

43

Usando la ec. 35 da:

 a  at w   h Ps = σ t   1 −  2   1+ a h 

    

( )

2

44

Sustituyendo ec. 42 en ec. 44 da:



Fy (1 − C v )at w  Ps = 1 − 2

 

  h 2  a  1+ h  a

( )

45

51

Esta es la fuerza en el atiesador cuando la resistencia nominal al corte se alcanza, incluyendo la acción del campo de tensiones.

Resistencia nominal al corte incluyendo pandeo y post-pandeo. De ec. 28 se tiene:

 σt  Vn = ht w τ y C v +  2 1+ a h 

  2    Sustituyendo ec. 42 y usando τ y = Fy

46

( )

 1 − Cv C Vn = Fy ht w  v +  3 2 1+ a h 

( )

Factorizando

2

3 da:

    

47

3 del denominador y aproximando Fy

 1− Cv  Vn = 0.6Fy A w C v +  1.15 1 + a h 

( )

2

    

3 por 0.6Fy da:

48

que es la fórmula G3-2 del AISC. La ecuación AISC G3-3 da los requerimientos de diseño de los atiesadores sometidos a campo de tensiones. Considera la posibilidad que los atiesadores estén en un solo lado o si se usan ángulos. Además incluye el área tributaria del alma al atiesador.

7.11.

Interacción flexión-corte

De acuerdo a Comentarios AISC G2, no se requiere considerar el efecto en la resistencia al corte de la flexión ya que su efecto es despreciable.

7.12.

Atiesadores transversales

- AISC G2-2 indica cuando no se requieren atiesadores, y provee requerimientos de rigidez. - Conexión del atiesador al alma. AISC J2.2 indica filete de soldadura requerido. -Conexión del atiesador al ala. La soldadura en el atiesador a lo largo del ala provee estabilidad y lo mantiene perpendicular al alma; además dicha soldadura restringe el PLT. En el ala en tensión, la concentración de esfuerzos aumenta la fragilidad y las posibilidades de fractura por fatiga. Por lo tanto, no se debe soldar al ala en tensión. AISC permite cortar el atiesador antes del ala en tensión siempre que no se requiera transmitir una reacción o fuerza concentrada por aplastamiento. Para situaciones donde el atiesador sirve como plancha de conexión para el arriostramiento lateral, la soldadura en el ala comprimida se diseña para transmitir el 1% de la fuerza de compresión del ala (regla práctica).

52

Figura 26. Conexión de atiesador intermedio a ala y alma.

7.13.

Cargas puntuales. Atiesadores de carga.

La sección J10 del AISC se aplica a fuerzas concentradas simples o dobles. Una fuerza concentrada simple puede ser tensión o compresión. Las fuerzas concentradas dobles forman un par en el mismo lado del miembro cargado, como por ejemplo en las conexiones de momento de una a viga a columna. Cuando la resistencia requerida exceda la resistencia disponible determinada de los estados límites de J10, se deberán colocar atiesadores para la diferencia entre la resistencia requerida y disponible. Figura aclaratoria para sección J10.2. Web local yielding (fluencia local del alma).

53

Diseño de atiesador de carga. Los atiesadores se diseñan como columnas de acuerdo a J10.8. El largo efectivo KL se considera 0.75h por la restricción provista por las alas. La razón de esbeltez se calcula como 0.75h/r, donde h es la altura del alma y r es el radio de giro de la porción sombreada de la figura, con respecto a la mitad del espesor del alma. La capacidad del atiesador P n se calcula usando E3. Se recomienda que el pandeo local no reduzca la capacidad del atiesador, esto es, que Q=1. Para esto, la razón ancho/espesor del atiesador debe cumplir el límite de esbeltez para elementos esbeltos no atiesados de tabla B4.1. w t ≤ 0.56 E Fy .

Ejemplo 7.

1 Ton = 9.80665 KN

54

55

Tramo central: H bf tf tw h ho A Ix Sx rx Zx

1500 500 45 8 1410.00 1455.00 56280 25692939000 34257252 675.7 36713700


J Cw

30615640 4.9621E+14

mm4 mm6

E Fy

200000 345

MPa MPa

bf/2tf kc

peso acero Peso seccion Iy 937560160 Sy 3750241 ry 129.1 Zy 5636280

E Fy

λ p = 0 . 38

5.555555556 ala compacta 0.350

176.25

λ p = 3 . 76

alma esbelta

Limite F13.2: h/tw ≤260

OK


mm kN-m

Cálculo de Rpg aw (F4-11) 0.501333333 rt (F4-10) 141.1 mm

E Fy FL =0.7Fy

E Fy

λ r = 5 . 70 E F y

Rpg

N/mm3 N/m

24.077


h/tw

0.000077 4333.56 mm4 mm3 mm mm3

9.149 16.174 241.500 90.530 137.240

0.986

(d es la altura de la s eccion, H en este caso)

56

2. Lateral torsional buckling Calculo de Lp, Lr Lp (F4-7) 3737.56 mm

Lr (F5-5)

Comparación Lb con Lp y Lr Caso segun F5.2. b


Cálculo de Cb

Rm Cb (F1-1)

Mmax MA MB MC 1 1.081

10450.0 8781.9 9532.1 10088.1

12758.40

mm

kN-m kN-m kN-m kN-m


F5-3 F5-2

Fcr Mn φ Mn

344.81 11641.2 10477.0

MPa kN-m kN-m

F5-4 F5-2

Fcr Mn φ Mn

1180.15 39843.3 35859.0

MPa kN-m kN-m

3. Compression Flange Local Buckling No aplica para alas compactas Para alas no compactas F5-8 Fcr 397.95 Mn 13435 φ Mn 12092 Para alas esbeltas F5-9 Fcr 2041.20 Mn 68913 φ Mn 62022

MPa kN-m kN-m MPa kN-m kN-m

4. Tension flange yielding Si Sxt≥Sxc no se aplica Mn φ Mn Mu/φ Mn

11641.2 kN-m 10477.0 kN-m 1.00

57


1)

Caso G2-5 G2-1

1.1 k v E Fy

59.22

1.37 k v E Fy

73.76

176.250 Cv Cv Cv

1 0.336 0.141

Cv Vn φ Vn

0.141 350.0 315.0

kN kN

φ =0.9 segun G1

Vu

1565

N

NO CUMPLE

Se debe colocar atiesador en el extremo. Según G3, para este caso no se puede considerar la resistencia del campo de tensiones (post-pandeo). Por lo tanto, se debe determinar la distancia a desde el extremo al primer atiesador de manera de k v y Cv aumenten. Diseño al corte. AISC G2 Alma atiesada, sin considerar campo de tensiones 133.18 1. 1 k E F v

h/tw a (mm) a/h

176.3 700 0.496

kv (G2.1.b)

25.29

G2-3 G2-4 G2-5 Caso G2-5 G2-1

y

1.37 k v E Fy

 260   (h t w )  

165.87

2

2.176

Cv Cv Cv

1 0.756 0.713

Cv Vn φ Vn

0.713 1770.0 1593.0

kN kN

φ =0.9 segun G1

Vu

1565

N

OK

⇒ Colocar primer atiesador a 700 mm del apoyo. Se propone la siguiente distribución de atiesadores. Verificar.

58

Segundo panel Resistencia nominal con accion del campo de tensiones

  1− Cv   V n = 0 . 6 Fy A w  C v + 2   1 .15 1 + (a )  h 4 14 4 4  4 24 4 4 3 α 1.1 k v E Fy 1.37 k v E Fy

89.27 111.19

h/tw a (mm) a/h

176.3 1250 0.887

kv (G2.1.b) G2-3,4,5 Cv α Vn φ Vn

11.36 0.320 0.763 1894.1 1704.7

 260   (h t w )  

2

2.176

kN kN

La demanda al comienzo del 2 panel es: Vu=159.6-8.8*0.7=153.44 T = 1504.73 kN ⇒ OK do

Tercer panel: 1.1 k v E Fy 1.37 k v E Fy

76.05 94.72

h/tw a (mm) a/h

176.3 1750 1.241

kv (G2.1.b) G2-3,4,5 Cv α Vn φ Vn

8.25 0.232 0.651 1617.5 1455.7

 260   (h t w )  

2

2.176

kN kN

La demanda al comienzo del 3

er

panel es: Vu=159.6-8.8*1.95= 1396.86 kN ⇒ OK

59

Cuarto panel: 1.1 k v E Fy 1.37 k v E Fy

69.46 86.52

h/tw a (mm) a/h

176.3 2300 1.631

kv (G2.1.b) G2-3,4,5 Cv α Vn φ Vn

6.88 0.194 0.560 1391.6 1252.4

 260    h t ( )  w 

2

2.176

kN kN

La demanda al comienzo del 4 panel es: Vu=159.6-8.8*3.7=153.44 T = 1245.84 kN ⇒ OK to

Paneles centrales 1.1 k v E Fy 1.37 k v E Fy

65.44 81.50

h/tw a (mm) a/h

176.3 3000 2.128

kv (G2.1.b) G2-3,4,5 Cv α Vn φ Vn

6.10 0.172 0.478 1188.0 1069.2

 260   (h t w )  

2

2.176

kN kN

Corte a 6m del apoyo: Vu=159.6-8.8*6=1047.4 kN ⇒ OK

60

Capitulo-7-Pandeo-Lateral-Torsional-de-Vigas.pdf

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