Cap. 11B – Rotación de cuerpo rígido Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007
Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: Definir y calcular el momento de inercia para inercia para sistemas simples. • Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de Newton,, energía cinética rotacional, Newton rotacional, trabajo rotacional,, potencia rotacional y rotacional rotacional y cantidad de movimiento rotacional a rotacional a la solución de problemas físicos. • Aplicar principios de conservación de energía y cantidad de movimiento a movimiento a problemas que involucran rotación de cuerpos rígidos. •
Inercia de rotación Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de rotación se modele a partir de la ley de traslación. Inercia lineal, m
F = 20 N
24 N m = 4 m/s2 =
a = 4 m/s2
F = 20 N R = 0.5 m a = =
2
rad/s2
5 kg
Inercia rotacional, I I=
t a
(20 N)(0.5 m) = = 2.5 kg m2 2 4 m/s
La fuerza fuerza hace hace para la traslación lo que el momento de torsión hace torsión hace para la rotación:
Energía cinética rotacional Considere masa pequeña m:
v = w R
K = ½mv2 K = ½m( w R) 2 K = ½(mR 2 )w2
m
w
m 1
eje
m 4
m 3
m 2
Suma para encontrar K total: Objeto que rota a w constante.
K = ½(SmR 2)w2
Definición de inercia rotacional:
(½w2 igual para toda m )
I = SmR2
Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm? Primero: I = SmR 2 2 kg
m)2
I = (3 kg)(1 + (2 kg)(3 m)2 + (1 kg)(2 m)2 I = 25 kg m2
3 kg 1m
2m w
K = ½Iw 2 = ½(25
3m
w
1 kg
= 600 rpm = 62.8 rad/s
kg m2)(62.8 rad/s) 2
K = 49,300 J
Inercias rotacionales comunes L
L
I
I=
1
2
3
mL
I
R
R
mR 2
½mR 2
Aro
I=
Disco o cilindro
1 12
2
mL
R
I
2
5
mR
2
Esfera sólida
Ejemplo 2: Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm. Compare sus inercias rotacionales. I
mR
2
I=
R I=
½mR 2
Disco
(3 kg)(0.2 m)
0.120 kg m2
2
R
I = mR 2
Aro
I 12 mR2 12 (3 kg)(0.2 m) 2 I=
0.0600 kg m2
Analogías importantes Para muchos problemas que involucran rotación, hay una analogía extraída del movimiento lineal. m x
t w
w 50 rad/s R I t = 40 N m 4 kg Un momento de torsión resultante t produce aceleración angular a de disco con inercia rotacional I . o
f
Una fuerza resultante F produce aceleración negativa a para una masa m .
F ma
t
I a
Segunda ley de rotación de Newton ¿Cuántas revoluciones requiere para detenerse? t
= I a
F R 4 kg
0
FR = (½mR 2 ) a a
2 F mR a
2(40N) (4 kg)(0.2 m)
= 100 rad/s2
w
50 rad/s R = 0.20 m F = 40 N wo
2aq wf 2 - wo2 q
w 02 2a
(50 rad/s)2 2(100 rad/s 2 )
= 12.5 rad = 1.99 rev
q
Ejemplo 3: ¿Cuál es la aceleración R = 50 cm lineal de la masa de 2-kg que cae? M 6 kg
Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio: t Ia TR = (½MR 2 ) a a T = ½MR a pero a = a R; a = R a T = ½MR( ) ;
R
y
T = ½ M a
a=?
2 kg R = 50 cm 6 kg
Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae: mg - T = ma
T T
mg - ½Ma T = ma
+a
(2 kg)(9.8 m/s2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a 19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a
a = 3.92 m/s2
2 kg mg
Trabajo y potencia para rotación Trabajo = Fs = FR q
t
FR q
Trabajo = tq Potencia =
Trabajo
t
tq
= t
s F
q
= t
w
F
s = R q
Potencia = t w Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio
Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene un radio de 40 cm y una masa de 6 kg. Encuentre el trabajo y la s potencia si la masa de 2 kg se q eleva 20 m en 4 s. F 6 kg 2 kg Trabajo = tq = FR q F=W s 20 m s = 20 m q = = = 50 rad R 0.4 m F = mg = (2 kg)(9.8 m/s 2); F = 19.6 N Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad)
Potencia =
Trabajo
t
J = 392 4s
Trabajo = 392 J Potencia = 98 W
El teorema trabajo-energía Recuerde para movimiento lineal que el trabajo realizado es igual al cambio en energía cinética lineal:
Fx ½mv ½mv 2 f
2 0
Al usar analogías angulares, se encuentra que el trabajo rotacional es igual al cambio en energía cinética rotacional:
tq
½ I
2 w f
½ I
2 w0
Aplicación del teorema trabajo-energía: ¿Qué trabajo se necesita para detener la rueda que rota? Trabajo =
F R
DK r
4
kg
w
60 rad/s R = 0.30 m F = 40 N wo
Primero encuentre I para rueda: I = mR 2 = (4 kg)(0.3 m) 2 2 = 0.36 kg m 0 tq
½ I
2 w f
½ I
2 w0
Trabajo = -½I wo 2
Trabajo = -½(0.36 kg m2)(60 rad/s)2
Trabajo = -648 J
Rotación y traslación combinadas vcm vcm vcm
Primero considere un disco que se desliza sin fricción. La velocidad de cualquier parte es igual a la velocidad v cm del centro de masa.
Ahora considere una bola que rueda sin deslizar. La velocidad angular w en torno al punto P es igual que w para el disco, así que se escribe: w
v R
O
v
R
P
v w R
Dos tipos de energía cinética Energía cinética de traslación: Energía cinética de rotación:
K = ½mv 2 v
R
P
K = ½I w2
Energía cinética total de un objeto que rueda:
KT mv I w 1 2
2
1 2
2
Conversiones angular/lineal En muchas aplicaciones, debe resolver una ecuación con parámetros angulares y lineales. Es necesario recordar los puentes: Desplazamiento:
Velocidad: Aceleración:
s q R
v wR v a R
q
w
a
s R
v R
a
R
¿Traslación o rotación? Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir todos los términos angulares a términos lineales: q
s R
w
v R
a
a
R
I (?)mR
2
Si debe resolver un parámetro angular, debe convertir todos los términos lineales a términos angulares: s q R
v w R
v a R
Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un disco dada su energía cinética total E . Energía total: E = ½mv2 + ½I w2
E mv Iw ; I mR ; 1 2
2
1 2
2
2
1 2
2 v 2 2 1 1 1 E 2 mv 2 2 mR 2 ; R
E
3mv2 4
or
v
w
v R
E 12 mv2 14 mv2
4 E 3m
Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular w de un disco dada su energía cinética total E . Energía total: E = ½mv2 + ½I w2
E mv I w ; I mR ; v w R 1 2
2
2
1 2
E m(w R) 2
1 2
E
3mR
2
4
1 2
2
1 2
1 2
mR
2
w
2
; E mR
2
w
or
w
1 2
4 E 3mR2
2
w
2
mR 1 4
2
w
2
Estrategia para problemas •
Dibuje y etiquete un bosquejo del problema.
Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar. • Escriba fórmulas para encontrar los momentos de inercia de cada cuerpo que rota. • Recuerde conceptos involucrados (potencia, energía, trabajo, conservación, etc.) y escriba una ecuación que involucre la cantidad desconocida. • Resuelva para la cantidad desconocida. •
Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares, cada uno con la misma masa y radio, ruedan con rapidez lineal v . Compare sus energías cinéticas. w w
Dos tipos de energía:
v
K T = ½mv2 K r = ½I w2 Energía total: E =
½mv2 +
2
½I w
2 v 2 2 Disco: E ½mv ½ ½mR 2 R 2 v 2 2 Aro: E ½mv ½ mR 2 R
v w = R E = ¾mv2 E = mv2
v
Conservación de energía La energía total todavía se conserva para sistemas en rotación y traslación. Sin embargo, ahora debe considerar la rotación.
Inicio: (U + K t + K R ) o = Fin: (U + K t + K R ) f ¿Altura?
mgh o
¿Rotación?
½ Iw o 2
¿Velocidad? ½mv o 2
=
mgh f
¿Altura?
½ Iw f 2
¿Rotación?
½mv f 2
¿Velocidad?
Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de 2 kg justo antes de golpear el suelo. R = 50 cm
mgh o
mgh f
=
½ Iw o 2
½ Iw f 2 ½mv f 2
½mv o 2 mgh0 12 mv 2 12 I w 2
(2)(9.8)(10) (2)v (6)v 2
2 kg h = 10 m
I 12 MR 2
2 v 2 2 1 1 1 mgh0 2 mv 2 ( 2 MR ) 2 R
1 2
6 kg
1 4
2
2.5v2 = 196 m2/s2
v = 8.85 m/s
Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 20 m? mgho = ½mv2 + ½Iw2
Aro: I = mR2
2 v 2 2 mgh0 ½mv ½(mR ) 2 R
mgho = ½mv2 + ½mv2; v
20 m
mgho = mv2
2 gh0 (9.8 m/s )(20 m)
Aro:
Disco: I = ½mR2 ; mgho = ½mv2 + ½Iw2 2 v 2 2 mgh0 ½mv ½(½mR ) 2 R
v = 14 m/s
v
4
3
gh0
v = 16.2 m/s
Definición de cantidad de movimiento angular Considere una partícula m que se mueve con velocidad v en un círculo de radio r .
Defina cantidad de movimiento angular L: L = mvr
m
w
m 1
eje
m 4
m 3
m 2
Objeto que rota con w constante.
Al sustituir v= w r, da: L = m( wr ) r = mr 2 w Para cuerpo extendido en rotación: r 2 L = ( Sm )
v = w r
w
Dado que I = Smr2, se tiene: L = I w
Cantidad de movimiento angular
Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de movimiento angular de una barra delgada de 4 kg y 2 m de longitud si rota en torno a su punto medio con una rapidez de 300 rpm. Para barra : I
1 12
2
mL
1 (4 kg)(2 m) 2 12
L
=2m
m
I = 1.33 kg m2
rev 2 rad 1 min w 300 31.4 rad/s min 1 rev 60 s L = I w (1.33 L =
kg m2)(31.4 rad/s)2
1315 kg m2 /s
= 4 kg
Impulso y cantidad de movimiento Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento lineal:
F Dt mv f mv0 Al usar analogías angulares, se encuentra que el impulso angular es igual al cambio en cantidad de movimiento angular :
t
Dt Iw f I w 0
Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al borde de una rueda libre para girar. La fuerza actúa durante 0.002 s. ¿Cuál es la velocidad angular final? I = mR 2 = I =
(2 kg)(0.4 m)2
t = 0.002 s 0 rad/s R R = 0.40 m F F = 200 N 2 kg
0.32 kg m2 Momento de torsión aplicado t FR Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular 0 t Dt = I wf Iw o FR Dt = I wf f =
0.5 rad/s
Conservación de cantidad de movimien En ausencia de momento de torsión externo, se conserva la cantidad de movimiento rotacional de un sistema (es constante). 0 I f w f I w o I f w f I w o = t Dt o
o
Io = 2 kg m2; w f
I 0w 0 I f
= 600 rpm
If = 6 kg m2;
(2 kg m )(600 rpm)
= ?
2
6 kg m
2
= 200 rpm
wf
Resumen – Analogías rotacionales Cantidad Lineal Desplazamiento Desplazamiento x Inercia Masa (kg) Fuerza Newtons N Velocidad
v
“
m/s ”
Rotacional Radianes q I (kgm2) Momento de torsión N·m Rad/s w
Aceleración
a
“
m/s2 ”
a
Cantidad de movimiento
mv (kg
m/s)
Rad/s2
I w (kgm2rad/s)
Fórmulas análogas Movimiento lineal
Movimiento rotacional
F = ma
t
= I a
K = ½mv2
K = ½I w2
Trabajo = Fx
Trabajo = tq
Potencia = Fv
Potencia = I w
Fx = ½mv f 2 - ½mvo2
tq
= ½I w f 2 - ½I wo 2
Resumen de K I w 1 2
tq
½ I
2
2 w f
2 I = S mR fórmulas:
Trabajo = tq
½ I
¿Altura?
mgh o
¿Rotación?
½ Iw o 2
¿Velocidad? ½mv o 2
2 w0
=
I owo I f w f
Potencia
tq
t
tw
mgh f
¿Altura?
½ Iw f 2
¿Rotación?
½mv f 2
¿Velocidad?
