Física I
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Contenido
Desplazamiento, Desplaza miento, Velocida Velocidad d y aceleración angular Cinemática rotacional Relaciones angulares y lineales Energía rotacional cu o e os mome moment ntos os e nerc nerc a Ejemplos Ejemplos de momento de inercia Teorema de los l os ejes paralelos pa ralelos Momento de torsión Momento de torsión y aceleración aceleración angular angul ar Trabajo, potencia pote ncia y energía
2
Analizaremos el movimiento movimiento de rotación de muchos muchos objetos que vemos a diario, como el de discos compactos, compactos, una sierra circular, circular, la tierra y un ventilador. Todos implican un cuerpo que que gira sobre un eje fijo en algún marco marco de referencia inercial. Los Los cuer cuer os reale realess uede ueden n ser ser más com com licad licados os la fuer fuerza za ue actúa actúan n sobr sobree ellos pueden deformarlos: estirarlos, estirarlos, torcerlos y aplastarlos. Por facilidad ignoraremos ignoraremos todos esto por el momento momento y supondremos que el cuerpo tiene una forma y tamaño perfectamente definidos e inmutables. A un cuerpo que tiene estas condiciones (modelo (modelo idealizado) se conoce como cuerpo rígido 3
Desplazamiento angular Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo que pasa por O.
El punto P se mueve a lo largo de un círculo de radio r . El arco que describe esta dado por:
s r
y
P r O
x
s
(1)
r
Donde θ se le conoce como coordenada de rotación rotación y está medido medido en radianes.
4
Velocidad angular La velocidad angular promedio se define como:
f i
t f t i t
La velocidad angular instantánea es:
d lim t t dt
(2)
(3)
0
La unidad de la velocidad angular es: radian por segundo
rad/s.
En cualquier instante, todas las partes del cuerpo rígido en rotación tienen la misma velocidad angular. angular. 5
Aceleración angular La aceleración angular promedio se define como:
La aceleración angular instantánea es:
a un a
2 1
t
(4)
d t dt
(5)
t 2 t 1
lim t 0
e ace erac n angu ar es e ra r a an por segun o (rad/s²)
segun o
Si la ace acelera leracción ión angul ngulaar es posi positi tiva va la velo veloci cida dad d angu angula larr aum aumenta enta.. Si la ace acelera leracción ión angul ngulaar es nega negati tiva va,, la velo veloci cida dad d angu angula larr dism dismin inuy uyee Al rotar rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula sobre sobre un cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración angular. 6
Cinemática rotacional Las ecuaciones de cinemática se cumplen para movimiento rotacional sustituyendo x por θ, v por ω, a por α. De esta forma si ω = ω0 y θ = θ0 en t 0 = 0 se tiene: (6)
i t
i i t 12 t 2
(7)
i 2 i
(8)
7
Relaciones angulares y lineales La velocidad tangencial (de un punto) se relaciona con la velocidad angular (del cuerpo) de la siguiente sig uiente manera:
v
ds dt
dr dt
v r
r
d dt (9)
8
La aceleración se puede representar en termino de la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta
atan
dv dt
dr dt
r
atan r
arad
v
dt
(10)
2
r
d
r
arad r 2
2
r (11) 9
La velocidad v siempre es tangente a la trayectoria
La aceleración lineal en un punto es a = at +ar y
y
a
v
O
P
ar
P r
at
x
r
x
O
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Ejemplo 1 En un disco compacto el láser barre la superficie del disco desde un radio de 23 mm a 58 mm a una velocidad velo cidad lineal de 1.3 m/s. Calcule: a) la rapidez angular en las pistas interior y exterior. El tiempo de reproducción es de 74 min y 38 s b) ¿Cuántas revoluciones realiza el disco durante ese tiempo? c) ¿Cuál es la longitud total de la pista del disco? d) ¿Cuál es la aceleración an ular ular dur duran ante te todo todo el inte interva rvalo? lo?
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Ejemplo ¿Que relación hay entre las velocidades angulares de las ruedas dentadas de una bicicleta y el numero de dientes de cada rueda?
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Energía rotacional Un objeto rígido gira alrededor del eje z con velocidad angular ω. La energía cinética de la partícula es:
K i 12 mi vi2 Como vi
r i i
2
1
2
i i
2
La energía total de rotación es la suma de todos los K i:
m r
K R K R
K i
2
1
2
mi vi 2
1
2
1 2
2
2
mi r i
2
i i
13
La energía total del objeto es: 1
(12)
K I 2 2
Donde I es el momento de inercia (inercia rotacional) definido como: (13) 2
I
m r i i
y
vi mi r i
x
O
14
Ejemplo Considere una molécula de oxígeno que gira en el plano xy alrededor del eje z. el eje de rotación pasa por el centro de la molécula, perpendicular a su longitud. La masa de cada átomo de oxigeno es mO = 2.66 x 10-26 kg, y a temperatura ambiente la separación promedio entre los átomos es d = 1.21 x 10-10 m. calcule: a) Calcule el momento de inercia de la molécula alrededor del eje z. b) Si la rapidez angular de la molécula alrededor del eje z es 4.60 x 1012 rad/s ¿Cuál es la energía cinética rotacional?
z
Calcular I , K R
d x y
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Ejemplo Cuatro pequeñas esferas se sujetan a los extremos de dos varillas de masa despreciable que se encuentran en el plano xy xy.. Supondremos que los radios de las esferas son pequeños en comparación con las dimensiones de las varillas. a) si el sistema gira alrededor del eje y con una rapidez angular ω, encontramos el momento de inercia y la energía cinética rotacional alrededor de este eje. b) suponga que el sistema gira en el plano xy alrededor de un eje que pasa por O. calcule el momento de inercia y energía cinética rotacional alrededor de este eje.
m b
M
M
a
a
Calcular I y e I z
b m
16
17
Cálculo de los momentos de inercia El cálculo de momentos de inercia puede hacerse mediante la integral:
I
lim mi 0
r i 2 mi r 2 dm
(14)
Para un objeto tridimensional es conveniente utilizar la densidad de volumen:
m dm V 0 V dV lim
Entonces:
I r 2 dV 18
ejemplo momento de inercia de un aro uniforme Aro uniforme: Determine el momento de masa M y radio R en torno de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por su centro
I r 2 dm r 2 dm R 2 M
19
Ejemplo Barra rígida uniforme: calcule el momento de inercia de una barra rígida uniforme de longitud L y de masa M alrededor de un eje perpendicular a la barra (el eje y) y que pasa por su centro de masa.
L
I r dm 2
L
L
M M 2 x dx x dx L L L
2
2
I
2
1 12
ML2
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Ejemplos de momento de inercia
Aro o cascarón cilíndrico I CM MR 2
Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el centro. I 1 ML2 CM
12
Cilindro sólido Cilindro hueco I CM 12 MR 2
I CM 12 M R12 R22
Barra delgada larga con eje de rotación ue asa or el extremo. I 13 ML2
Placa rectangular
I CM 121 M a 2 b 2
Esfera sólida I CM 52 MR 2
Esfera hueca I CM 32 MR 2
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Teorema de los ejes ejes paralelos
El teorema de los ejes paralelos establece que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuentra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masa es I = I CM + MD2
(15) 22
Momento de torsión Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que gira alrededor de un un eje, el objeto tiende a girar en torno a ese eje. La tendencia de la fuerza a hacer girar se le llaman momento de torsión . El momento de torsión asociado con la fuerza F es:
τ rF Donde r es el brazo de momento (o brazo de palanca) de F. F1
d 1
F3
O d 2
F2
23
La fuerza F1 tiende a hacer girar contra las manecillas del reloj y F2 a favor de las manecillas del reloj. El momento de torsión es: τneto = τ1 + τ2 = F 1d 1 − F 2d 2
24
F F sen φ r
O
d
φ F cos φ
φ Línea de acción
F r Frsen
(16) 25
Ejemplo
y
1
2
R F R F 1
1
2
2
F1 R1 R2 x
Calcular momento de torsión neto
z
F2
F 1 = 5 N, R1 = 1 m, F 2 = 15 N, R2 = 0.5 m
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Momento de torsión y aceleración angular Una partícula de masa m gira alrededor de un círculo de radio r , el momento de torsión alrededor del centro del círculo es:
τ = F t r = (mat )r = (mαr )r = mr 2α O bien: τ
= I α
Ft
(17)
m
El momento de torsión que actúa sobre la partícula es proporcional proporcional a su aceleración angular.
Fr r
Análogo rotacional de la segunda ley de Newton 27
Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleración angular at . Entonces dF t = (dm)at
El momento de torsión será: d τ = rdF t = (r dm)at = (r 2 dm)α y
El momento de torsión total es la integral de este diferencial: d Ft
neto
r dm r dm
neto I
2
dm
r
2
x O
28
Ejemplo Una varilla uniforme de longitud L y masa M, esta unida en un extremo a un pivote sin fricción y esta libre de rotar alrededor del . posición horizontal. Cual es la aceleración angular, y cual es la aceleración lineal de su extremo derecho
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El momento de torsión es: L /2) τ = Fd = Mg( L
La aceleración angular es
pivote
M g
I
MgL / 2 2
1 / 3 ML
3g 2 L
La aceleración lineal del extremo es a = Lα = 3/2 g 30
Ejemplo Una rueda de radio R, masa M momento de inercia I esta montada sobre un eje horizontal sin fricción. Una cuerda ligera enrollada alrededor de la rueda, sostiene un cuerpo de masa m. calcule la aceleración angular de la rueda, la aceleración lineal del cuerpo, y la tensión de la cuerda
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I
TR
I
La 2a ley de Newton M
T
F y
R
a
mg T ma
mg T
1
m
a 1
M = 2 kg, R = 30 cm, I = 9.90 kg m2, m = 0.5 kg
R
mg
T
T
TR 2
a R
mR 2 I g I mR 2
g R
I mR 32
Máqu Má quin ina a de Atw twoo ood d Dos bloques que tienen masas m1 y m2 están conectados entre si por una cuerda ligera que pasa sobre os po eas n cas s n r cc n, ca a una e as cua es tiene un momento de inercia I y y radio R. encuentre la aceleración de cada bloque y las tensiones T1, T2 y T3 en la cuerda.
33
Segunda ley
T 2
m1g – T 1 = m1a
+ T 1
T 3 – m2g = m2a
T 3
Momento de torsión sobre las poleas m1
m2
(T 1 – T 2) = I α
+
(T 2 – T 3) = I α T 1 m1 m1g
T 3
n1
T 2
T 2
n2
m2 m2g
T 1
mPg
mPg
T 3
Resolviendo se obtiene para la aceleración
a
m m g 1
2
m1 m2 2
I R
2
34
Trabajo, potencia y energía El trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rígido es: dW = F · d s = (F sen φ) r d θ = τ d θ
La tasa a la cual se hace trabajo es: dW d P
F
dt
φ
ds dθ
r
(18)
dt
(19)
Es fácil mostrar que: P
W
0
d
0
I d 12 I 2 12 I 02
(20)
O
El trabajo realizado por las fuerzas externas al hacer h acer girar un objeto rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energía rotacional del objeto. 35
Ejemplo E i = U = MgL /2
3g
L
E f = K R = I 2 /2
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Ejemplo R
∆K = K f – K i = (½m1v f 2 + ½m2v f 2 + ½ I ω f 2 ) – 0 ∆K + ∆U 1 + ∆U 2 = 0 ∆U 1 = m1gh m2
h
∆U 2 = m2gh h
m1
2 m m gh v f I m m R 2
1
1 / 2
1
2
2
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Rodamiento de un cuerpo rígido Considere un objeto que gira sobre una superficie sin resbalar. resbalar. La velocidad y aceleración del centro de masa son:
s s θ a a
R
a’
R
aCM
’
Q
vCM
CM
vCM
ds dt
R
dvCM
d dt R
R
d
R
(22)
2vCM Q’
La energía total del cilindro es: 1
K I P 2
(23)
2
P
(21)
Donde I P es el momento de inercia alrededor del eje que pasa por P. Aplicando el teorema de ejes paralelos: 1
2
K I CM 2
1
2
2 MvCM
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Se puede concluir que: La energía cinética total de un objeto sujeto a movimiento de rodamiento es la suma de la energía cinética rotacional alrededor del centro de masa y la energía cinética traslacional del centro de masa. Empleando el hecho que vCM = Rω:
vCM
2
K 12 I CM
2 12 MvCM R
2
I
R
2
vCM
Si un objeto se desliza sobre una pendiente de altura h, la velocidad con que llega al final de la pendiente es: M
h
R x
vCM
ω θ
2 gh 1 I CM
MR 2
vCM 39
Ejemplo: Se hace un yoyo burdo enrollando un cordel varias veces alrededor de un cilindro solido de masa M y radio R. se sostiene el extremo del cordel fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposo. El cordel se desenrolla sin resbalar ni estirarse al caer y girar el cilindro. Use consideraciones de energía para calcular la rapidez v del centro de masa del cilindro solido después de caer una distancia h. CM
vCM
4 3
gh
40
Tarea Calcular velocidades de cuerpos que bajan por pendiente Aro o cascarón cilíndrico I CM
MR
Esfera sólida
2
I CM 52 MR 2
Cilindro sólido o disco
Esfera hueca
I CM 12 MR 2
vCM
I CM 32 MR 2
Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el centro.
2 gh 1 I CM
MR
2
I CM
2 ML 12 1
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Momento angular de una partícula El momento angular instantáneo L de la partícula relativa al origen O es definido por medio del producto cruz del vector de posición instantáneo de la partícula y su momento lineal instantáneo p:
Lrp La magnitud de L es:
O m
L = mvr sen φ
De la definición de momento de torsión, τ = rF senφ senφ, en términos vectoriales: d p (25) τ rF r dt d L d d p d r d p r p r p r τ (26) dt dt dt dt dt
Lrp
r
(24)
φ
p
El momento de torsión que actúa sobre una partícula es igual a la tasa de cambio en el tiempo del momento angular de la partícula.
42
Momento angular de un sistema de partículas El momento angular de un sistema de partículas es la suma vectorial de los momentos angulares de cada partícula:
L = L1 + L2 + ... + Ln = Li
τ
ext
d L i dt
d dt
Li
d L dt
La tasa de cambio en el tiempo del momento angular total del sistema alrededor de algún origen en un marco inercial es igual al momento de torsión externo neto que actúa sobre el sistema en torno a ese origen. 43
Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo La magnitud del momento angular de un elemento mi del cuerpo rígido es: Li = mir i2ω La componente z del momento angular será la suma de estos elementos: L z
z
L
m r m r I
Derivando:
2
dL z dt
r
vi mi
x
y
2
i i
i i
I
d dt
I ext
El momento de torsión externo neto que actúa sobre un objeto que gira alrededor de un eje fijo es igual al momento de inercia alrededor del eje de rotación multiplicado por la aceleración angular del objeto relativo a ese eje. 44
Ejemplo Un padre de masa m1 y su hija de masa m2 se sientan en extremos opuestos de un sube y baja a distancias d istancias iguales del pivote del centro. El sube y baja de modela como una barra rígida de masa M y longitud l y hace pivote sin fricción. En un momento dado, la combinación gira en un plano vertical con una rapidez angular ω. a) encuentre una expresión para la magnitud de la cantidad de d e movimiento angular del sistema b) encuentre una expresión para la magnitud de la aceleración angular del sistema cuando el sube y baja forma un ángulo θcon la horizontal
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Conservación del momento angular El momento angular total de un sistema es constante si el momento de torsión externo resultante que actúa sobre el sistema es cero. Si xt
d L dt
Entonces L = constante o I iωi = I f ω f El momento de torsión resultante que actúa sobre un cuerpo alrededor de un eje que pasa por el centro de masa es igual a la tasa de cambio en el tiempo del momento angular independientemente del movimiento del centro de masa. 46
