Otomatik Kontrol - Çözümlü Sorular II

1 Soru-1:

K1

G2(s)

G3(s)

C(s)

tla

G1(s)

ri. co

fonksiyonunu bulunuz.

R(s)

C s transfer R s

m

Aşağıda verilen kontrol blok diyagramını göz önünde bulundurarak, T  s  

Çözüm-S1:

G1(s)

K1

m de r

R(s)

sn o

Kontrol blok diyagram indirgemesi aşağıda sırası ile verilmiştir.

w

.e e

R(s)

G1(s)

K1

I G2(s)

G4(s)

K1

G3(s)

1/G3(s)

G2(s)G3(s) 1-G2(s)G3(s)

III C(s)

w

w

G5(s) 1/G3(s)

1 G4(s) R(s)

G1(s)

IV G4(s) K1 G5(s) 1/G3(s)

G2(s)G3(s) 1-G2(s)G3(s)

C(s)

II

G2(s)

G4(s) G1(s)

G3(s)

C(s) G6(s)

C(s)

2

G7(s) 1 G4(s)

m

C(s)

İndirgeme sonrası elde edilen transfer fonksiyonu aşağıda verilmiştir.

C s G1  s  G6  s  G7  s   R  s  1  G1  s  G6  s  G7  s  Soru-2: Aşağıda verilen kontrol blok diyagramını göz önünde bulundurarak, istenen transfer fonksiyonlarını bulunuz. İleri yol transfer fonksiyonu. Geri yol transfer fonksiyonu. Açık çevrim transfer fonksiyonu. Kapalı çevrim transfer fonksiyonu.

m de r

abcd-

sn o

tla

T s 

R(s)

H2(s)

K1

G1(s)

G2(s)

K2 G3(s)

C(s)

H1(s)

w

.e e

K2

w

w

G1(s)

G6(s) G4(s)G5(s)K1 1-G4(s)G5(s)K1

ri. co

R(s)

V

Çözüm-S2: Yukarıda verilen blok diyagramda R(s) ve C(s) arasındaki bloklar aşağıda sırası ile verildiği gibi düzenlenmiştir. R(s)

I K1

G7(s) H2(s)

G1(s)

K2 G2(s)

G3(s) H1(s)

K2

C(s)

3 düzenleme K1

m

II K2

C(s) G1(s)

G2(s)

G3(s)

ri. co

R(s)

H1(s)

G7(s)

tla

H2(s)+K2

G1(s)K1

G4(s)

sn o

K2

R(s)

III

G3(s)

G1(s)G2(s)

C(s)

H1(s)

G7(s)

m de r

H2(s)+K2

G1(s)K1

w

.e e

R(s)

G1(s)G2(s)

düzenleme

K2

IV G4(s) G3(s)H1(s) 1-G3(s)H1(s)

G7(s) H2(s)+K2

w

G5(s)

w

K2 G1(s)K1 R(s)

C(s)

G1(s)G2(s) G7(s) H2(s)+K2

K2

G4(s) G3(s)H1(s) 1-G3(s)H1(s)

V

C(s)

4

K2

ri. co

G3(s)H1(s) 1-G3(s)H1(s) G4(s)

G1(s)K1K2+G1(s)G2(s) G7(s)

G5(s) R(s)

G6(s)

G4(s)K2 1-G4(s)K2

C(s)

sn o

G1(s)K1K2+G1(s)G2(s)

tla

H2(s)+K2

G7(s)

H2(s)+K2

m de r

Sadeleştirme sonrası istenen transfer fonksiyonları sırası ile verilmiştir. a İYTF(s)=G5(s) G6(s) b GYTF(s)= G7(s)

c AÇTF(s)= G5(s) G6(s) G7(s)

G5  s  G6  s  G7  s  1 G5  s  G6  s  G7  s 

w

.e e

d KÇTF(s)=

w

w

G5(s)

R(s)

Soru-3:

G1(s) s+1 s+3 G4(s)

VI

m

G6(s)

G2(s) 1 2s+1 G3(s) 1

C(s)

0.5

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramına ait Cz a- Ayrık transfer fonksiyonu ’yi bulunuz. T=1sn alınız. R z b- r(t)=3u(t) giriş için c(kT) yi elde ediniz. c    ifadesini hesaplayınız. c- 3sn sonunda fonksiyon çıkış eğrisini bulunuz.

5

G2(s)

tla

G4(s)

C(s)

ri. co

D(s)

B(s)

G1(s)

G3(s)

Blok diyagrama ek değişkenler ilave ederek denklemleri türetelim.

B  s   A  s  G1  s 

sn o

A  s   R  s   C  s   G 4  s  C  s  D  s   B  s   G3  s  C  s 

m de r

C s   D s  G2 s 

A  s   R   s   C  s   G4  s  C s  B  s   A  s  G1  s 

D  s   B  s   G3  s  C  s  C  s   D  s  G2  s 

B  s    R   s   C  s   G4  s  C  s   G1  s 

D  s    R   s   C  s   G4  s  C  s   G1  s   G3 s  C s 

.e e

w

w

w

A*(s)

R(s)

A(s)

Çözüm-S3-a:

m

Çözüm-S3:

C  s    R   s   C  s   G4  s  C  s   G1  s   G3  s  C  s  G2 s 

C  s   R   s  G1  s  G2  s   C s  G1 s  G2 s   G4 s  C s  G1 s  G2 s   G3 s  C s  G2 s 

C  s   C  s  G1  s  G2  s   G4  s  C s  G1 s  G2 s   G3 s  C s  G2 s   R  s  G1 s  G2 s 

C  s  G1  s  G2  s   R   s  1  G1  s  G 2  s   G 4  s  G1  s  G 2  s   G 3  s  G 2  s  Cz G1  z  G 2  z   R  z  1  G1  z  G 2  z   G 4  z  G1  z  G 2  z   G 3  z  G 2  z 

6

ri. co

  s 1 z  z z   s 1   G1  z   Z   2    s   3    3  1 sT  3*1 s  3 z  e  s3  ze z  0.0498 s  3   

tla

 0.5 z  z z    1   0.5   G2  z   Z   0.5   Z    s   0.5   0.5 sT  0.5*1 s  0.5 z  e  s 0.5  ze z  0.6065  2s  1  s  0.5    

G 4  z   Z0.5  0.5

2z 0.5z z  0.0498 z  0.6065 2z 0.5z 2z 0.5z 0.5z  0.5 1 z  0.0498 z  0.6065 z  0.0498 z  0.6065 z  0.6065

m de r

Cz  R z 1

sn o

G3  z   Z1  1

w

.e e

z 2 Cz  z  0.0498 z  0.6065  2 z 0.5z 2 0.5z R z   1  z  0.0498 z  0.6065  z  0.0498 z  0.6065 z  0.6065

w

w

m

n   d m1  z   1 X z    s  si  X  s   m 1   z 1  i 1    m  1! ds  

Cz  R z

1

z 2  z  0.0498 z  0.6065

0.5z  z  0.0498   z  0.0498 z  0.6065  1.5z 2   z  0.0498 z  0.6065  z  0.0498 z  0.6065  z  0.6065 z  0.0498

Cz z 2  R  z   z  0.0498 z  0.6065   1.5z 2  0.5z  z  0.0498  Cz z 2  R  z  z 2  z0.6065  z0.0498  0.0302  1.5z 2  0.5z 2  0.0249z Cz z 2  2 R  z  z  0.6314z  0.0302 Cz z2  2 R  z  z  0.6314z  0.0302

7 Çözüm-S3-b:

1 bulunur, s n  d m1  z   1  rezüdü yöntemi X  z     kullanılarak da R(z) s  si  X  s  m 1  sT     m 1 ! ds z e     i 1     bulunur.

z bulunur. z 1

tla

R z  3

sn o

 1 z      1 R  z   Z 3   3  s   0   sT  s z  e  s 0   s   

ri. co

r(t)=3u(t)  R  s   3

Cz z2 z  T  z   C  z   T  z  C  z   C  z   2 3 R z z  0.6314z  0.0302 z  1

m de r

3z3 Cz   z  0.6761 z  0.4467  (z  1)

* c    ifadesi için son değer teoreminden c     limc  t   lim  z  1 C  z  faydalanarak, t 

z 1

3

3z 3*13 c     lim  z  1  z 1  z  0.6761 z  0.4467  (z  1) 1  0.67611  0.4467  c     3.2349 bulunur.

.e e

w

w

w

m

* Tablo yöntemi kullanılarak

n   d m1  1   z  zi  X  z  z k 1   yöntemi * c(kT) ifadesi ters rezüdü x  kT     m 1  i 1    m  1! dz   kullanılarak bulunur.

  3z3   C  kT   Z1     z  0.6761 z  0.4467       z3 C  kT    z   0.6761 z k 1   z  0.6761 z  0.4467  z  1  z 0.6761    z3   z   0.4467  z k 1   z  0.6761 z  0.4467  z  1  z 0.4467    z3   z  1 z k 1   z  0.6761 z  0.4467  z  1  z1 

3   0.6761 k 1 C  kT     0.6761    0.6761  0.4467    0.6761  1



  0.4467   0.6761   0.4467   1 1

3

 1  0.6761  1  0.4467  k 1

1

 0.4467 

k 1

 0.1434  0.4467 

k 1

k 1

 1.0783

tla

C  kT   0.1642  0.6761

w

.e e

m de r

sn o

Çözüm-S3-c: 31 31 C  3  0.1642  0.6761  0.1434  0.4467   1.0783  0.5144

w

w

3

ri. co



 0.4467 

m

8

Soru-4: R(s)

G1(s) s+1 s+3 G3(s) 1

G2(s) C(s) 1 2s+1

C*(s)

G4(s) 0.5

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramına ait, Cz a- Ayrık transfer fonksiyonu ’yi bulunuz. T=0.1sn alınız. R z b- Kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisinden rezidü yöntemi kullanılarak C  kT  yi r(t)=tu(t) için elde ediniz. c- r(t)=tu(t) giriş için 1sn sonunda fonksiyon çıkış eğrisini çiziniz.

9

G1(s)

G3(s)

C(s)

C*(s)

ri. co

G2(s)

m

B(s)

A(s)

R(s)

G4(s)

A  s   R  s   C  s  G 4  s   B s  G3 s  C s   B s  G2 s 

sn o

B  s   A  s  G1  s 

tla

Blok diyagrama ek değişkenler ilave ederek denklemleri türetelim.

A  s   R  s   C  s  G 4  s   A  s  G1  s  G3  s 

m de r

A  s   R   s   C  s  G4  s   A  s  G1G3 s 

R   s   C  s  G 4  s  A s  1  G1G3  s  

C  s   A  s  G1  s  G 2  s 

C  s   A  s  G1G2  s  

.e e

w

w

w

A*(s)

Çözüm-S4:

R   s   C  s  G4  s  G1G 2  s   1  G1G 3  s 

C  s  1  G1G3  s    R   s  G1G2  s   C s  G4 s  G1G2 s 

C  s   R   s 

G1G2  s  1  G1G3  s   G4  s  G1G 2  s 

Cz G1G 2  z   R  z  1  G1G 3  z   G 4  z  G1G 2  z  * Rezüdü yöntemini kullanarak aşağıdaki Laplas fonksiyonları ayrıklaştırılır.

10

ri. co

   0.5  s  1   s 1     s 1 1  G1G 2  z   Z G1G 2  s   Z    Z   Z   s  3 2s  1   s  3 2s  1     s  3 s  0.5     

tla

   s 1 z  s 1 z    G1G 2  z   0.5  s   3  s   0.5       sT  sT  s  3 s  0.5 z  e  s3   s  3s  0.5  z  e  s0.5   

sn o

 3  1  z 0.5  1 z z z   G1G 2  z   0.5    0.2   0.5  0.8  3*0.1 0.5*0.1  z  0.7408 z  0.9512   0.5  3 z  e    3  0.5 z  e 

z z   0.4z  z  0.9512   0.1z  z  0.7408 G1G 2  z   0.5  0.8  0.2  z  0.7408 z  0.9512   z  0.7408 z  0.9512   0.1z  4z  3.8048  z  0.7408   z  0.7408 z  0.9512 

m de r

G1G 2  z  

0.5z 2  0.45456z G1G 2  z    z  0.7408 z  0.9512 

 s 1   s 1  G1G 3  z   Z G1G 3  s   Z  1  Z   s  3  s  3     3  1  s 1 z  z     G1G 3  z    s   3   sT  3*0.1   s  3 z  e  s3    3  0.5 z  e   

.e e

w

w

w

m

n   d m1  z   1 X z    s  si  X  s  m 1  sT   z  e  i 1    m  1! ds  

G1G 3  z  

0.8z z  0.7408

G 4  z   ZG 4  s   Z0.5  G 4  z   0.5 0.5z 2  0.45456z Cz  z  0.7408 z  0.9512   0.8z 0.5z 2  0.45456z R z 1  0.5 z  0.7408  z  0.7408 z  0.9512 

11

ri. co

m

0.5z 2  0.45456z Cz  z  0.7408 z  0.9512   0.8z  z  0.9512  R  z   z  0.7408 z  0.9512  0.25z 2  0.2272z    z  0.7408 z  0.9512   z  0.7408 z  0.9512   z  0.7408 z  0.9512 

Cz 0.5z 2  0.45456z  R  z   z  0.7408 z  0.9512   0.8z  z  0.9512   0.25z 2  0.2272z

Çözüm-S4-b:

m de r

* Tablo yöntemi kullanılarak 1 Tz r(t)=tu(t)  R  s   2  R  z   bulunur, 2 s  z  1

w

.e e

n   d m1  1 k 1    * c(kT) ifadesi ters rezüdü x  kT      z z X z z     i m 1    yöntemi i 1    m  1! dz   kullanılarak bulunur.

w

w

sn o

Cz 0.2439z 2  0.45456z  T z  R z  z  0.9429  z  0.3645

tla

Cz 0.5z 2  0.45456z 0.5z 2  0.45456z  2  R  z  z  0.9512z  0.7408z  0.7046  0.8z 2  0.76096z  0.25z2  0.2272z 2.05z 2  2.68016z  0.7046

Cz  T z R z 

0.2439z 2  0.45456z Tz  z  0.9429  z  0.3645  z  12

2  Tz   0.2439z  0.45456z  c  kT   Z1 C  z   Z1  2     z  0.9429  z  0.3645  z  1 

  0.2439z 2  0.45456z  Tz   k 1  c  kT    z   0.9429  z 2   z  0.9429  z  0.3645 z  1   z 0.9429   0.2439z 2  0.45456z  Tz  k 1    z   0.3645  z 2      z 0.9429 z 0.3645 z 1       z 0.3645    0.2439z 2  0.45456z  Tz  2 k 1    z  1  z   2     .9429 z  0.3645 z 1 z 0        z 1 

12

  0.2439z 2  0.45456z  Tz  k 1   z   z  0.9429  z  12    z 0.3645



sn o

tla

 d 21  0.2439z 2  0.45456z  Tz     21 z k 1    dz  z  0.9429  z  0.3645      z 1 

ri. co

  0.2439z 2  0.45456z  Tz   k 1  c  kT    z 2    z  0.3645  z  1  z 0.9429



 0.2439 0.9429 2  0.45456 0.9429 Tz      k 1   c  kT     0.9429   2      0.9429   0.3645    0.9429   1  z 0.9429 





m de r

 0.2439  0.3645 2  0.45456  0.3645  Tz  k 1     0.3645     0.3645   0.9429    0.3645   12    z 0.3645  d  0.2439z 2  0.45456z  Tz    z k 1    dz  z  0.9429   z  0.3645      z 1 



c  kT   112.2921*T * z  0.9429 

.e e

w

w

w

m

* katlı kök olduğu için son ifadenin önce türevi alınması gerekir.

 0.5706Tz  0.3645 

k 1

k 1

 d  0.2439z 2  0.45456z  Tz    z k 1    dz  z  0.9429  z  0.3645      z 1 



c  kT   112.2921*T * z  0.9429   0.5706Tz  0.3645 

k 1

k 1

 d   0.2439z 2 k  0.45456z k 1    2  dz z  0.3645z  0.9429z  0.3436  z 1 

13



c  kT   112.2921*T * z  0.9429 

          z 1 



c  kT   112.2921*T * z  0.9429  k 1

sn o

 0.5706Tz  0.3645 

k 1

tla

ri. co

  z 2  0.3645z  0.9429z  0.3436 '  0.2439z 2 k  0.45456z k 1     2 2    z  0.3645z  0.9429z  0.3436       '   z 2  0.3645z  0.9429z  0.3436  0.2439z 2 k  0.45456z k 1     2 2   z  0.3645z  0.9429z  0.3436    

m de r

  2z  0.3645  0.9429   0.2439z 2 k  0.45456z k 1       2 2     z  0.3645z  0.9429z  0.3436         2 1 k k    z  0.3645z  0.9429z  0.3436    2  k  0.2439z   k  1 0.45456z    2    2   645z 0.9429z 0.3436 z  0.3       z 1 



w

.e e

c  kT   112.2921*T * z  0.9429 

w

w

k 1

m

 0.5706Tz  0.3645 

k 1

 0.5706Tz  0.3645 

k 1

k 1





  2*1  0.3645  0.9429  0.2439 12 k  0.45456 1k 1  2 2  1  0.3645 1  0.9429 1  0.3436          2 1 k k   1  0.3645 1  0.9429 1  0.3436  2  k  0.2439 1   k  1 0.45456 1 2  2 1  0.3645 1  0.9429 1  0.3436   





c  kT   112.2921*T*  0.9429





k 1

c  kT   112.2921* 0.1*  0.9429



 0.5706T  0.3645

k 1



k 1

 111.3390  0.9182  5.82

 0.5706* 0.1 0.3645

k 1

 111.3390  0.9182  5.82



          

 0.0570*  0.3645

k 1

Çözüm-S4-c:

 106.4372

* kT=t  k=t/T=1sn/0.1sn  k=10  c(0), c(1), …. c(10) için fonksiyon değerleri hesaplanarak grafiği elde edilecektir. 61

 0.0570*  0.3645

61

 106.4372  -118.1900

w

.e e

m de r

sn o

tla

c  6   11.2292*  0.9429

w

w

k 1

ri. co

c  kT   11.2292*  0.9429 

m

14

15

C(s)

G2(s) G3(s)

D(s)

B(s)

G1(s)

m de r

R(s)

A*(s)

A(s)

Çözüm-S5:

sn o

tla

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramına ait ayrık transfer fonksiyonunu Cz ’yi bulunuz. R z

G2(s)

C(s)

G3(s)

Blok diyagrama ek değişkenler ilave ederek denklemleri türetelim. A s   R s   C s 

B  s   A  s  G1  s 

D  s   B  s   C  s  G3  s   D  s   A  s  G1  s   C  s  G3  s 

.e e

w

w

w

G1(s)

ri. co

R(s)

m

Soru-5:

C  s   D  s  G 2  s   C  s   A  s  G1  s   C  s  G3  s  G 2  s   C  s   A  s  G1  s   C  s  G3  s  G2  s  

C  s    R   s   C  s   G1  s   C  s  G3 s  G2 s  

C  s   R   s  G1  s  G2  s   C  s  G1  s  G2  s   C s  G3 s  G2  s  

G1  s  G2  s  C s   R s   1  G1  s  G2  s   G3  s  G 2  s  



Cz G1  z  G 2  z   R  z  1  G1  z   G 3  z   G 2  z 

C(s)

G2(s) G3(s)

D(s)

B*(s)

B(s)

G1(s)

m de r

R(s)

A(s)

Çözüm-S6:

sn o

tla

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramına ait ayrık transfer fonksiyonunu Cz ’yi bulunuz. R z

G2(s)

C(s)

G3(s)

Blok diyagrama ek değişkenler ilave ederek denklemleri türetelim. A s   R s   C s 

B  s   A  s  G1  s 

D  s   B  s   C  s  G3  s   D  s   A  s  G1  s   C  s  G3  s 

.e e

w

w

w

G1(s)

ri. co

Soru-6: R(s)

m

16

C  s   D  s  G 2  s   C  s   A  s  G1  s   C  s  G3 s  G 2 s   C  s   R  s  G1  s   C  s  G1  s   C  s  G3 s  G 2 s  

C  s   RG1  s   CG1  s   C  s  G3  s  G2  s 

C*(s) eşitliğin içinde R(s) ve C(s) örnekleme sonrası G1 ile kaynaşmıştır. Bu örnekleme yöntemi ile C*(s)/R*(s) transfer fonksiyonu çıkartılamaz.

Soru-7:

h  t   u  t     u  t  2  fonksiyonuna ait grafiği çiziniz. Laplace dönüşümünü elde ediniz.

17 Çözüm-S7:



2

t



2

t



2

t

u  t  2 

ri. co

m

u  t  

sn o

tla

h(t)

H(s)’i bulalım:

* Laplace dönüşüm tablosundan

m de r

es L u  t     L f  t    u  t     s L u  t  2   L f  t  2  u  t  2  

e2 s s

bulunur.

es e2 s  s s

Soru-8:

R(s)

w

w

.e e

H s  

E(s)

Td(s) G1(s)

G2(s)

G3(s)

540

1.2 s 1

1 2s  0.5

w

G4(s) 0.1

Yukarıda verilen kapalı çevrim kontrol blok diyagramında, a- E(s) hata fonksiyonunu bulunuz. b- Td  t   2u(t) için eTd    değerini hesap ediniz. Çözüm-S8:

C(s)

18

1- Td(s)=0 için

ri. co

Çözüm-S8-a:

G5(s) G1(s)

G2(s)

540

1.2 s 1

G3(s)

1 2s  0.5

tla

E(s)

R(s)

sn o

G4(s) 0.1

G6(s)

E(s)

G1(s) 540

G2(s)G3(s)G4(s) 1+G2(s)G3(s)G4(s)

m de r

R(s)

G6(s)

E(s) G1(s)G2(s)G3(s)G4(s) 1+G2(s)G3(s)G4(s)

w

.e e

R(s)

w

w

E(s) ifadesi

m

Kapalı çevrim kontrol blok diyagramında iki adet giriş olduğundan, süperpozisyon teoremi kullanılarak elde edilecektir.

E s   R s   C s 

C  s   E  s  G5  s  E s   R s   E s  G6 s 

E s   R s 

1 1  G6 s 

C(s)

C(s)

C(s)

19

1.2 s 1

G3(s)

1 2s  0.5

m

G2(s)

C(s)

ri. co

540

Td(s)

B(s)

G1(s)

E(s)

G4(s) 0.1

A  s   C  s  G1  s   C  s  G 4 B  s   A  s  G 2  s   Td  s 

sn o

C  s   B  s  G3  s 

tla

E s   C s 

A  s   E  s  G1  s   E  s  G 4

B  s   E  s  G1  s   E  s  G 4  G 2 s   Td s 





m de r

C  s   E  s  G1  s   E  s  G 4  s  G 2 s   Td s  G 3 s 

E  s   E  s  G1  s  G 2  s  G3 s   E s  G 4 s  G 2 s  G 3 s   Td s  G 3 s  E  s  1  G1  s  G 2  s  G3  s   G 4  s  G 2  s  G3  s   Td  s  G3  s 

E  s   Td  s 

G3  s  1  G1  s  G 2  s  G 3  s   G 4  s  G 2  s  G 3  s 

E s  G3  s   Td  s  1  G1  s  G 2  s  G 3  s   G 4  s  G 2  s  G 3 s 

.e e

w

w

w

A(s)

2- R(s)=0 için

Girişler için E(s) çıkış ifadesi aşağıda verilmiştir.

E  s   E r  s   E Td  s   R  s 

G3  s  1  Td  s  1  G6 s  1  G1  s  G 2  s  G 3  s   G 4  s  G 2  s  G 3  s 

Çözüm-S8-b:

E  s  fonksiyonuna ait sonsuzdaki değeri son değer teoremi kullanılarak çözülür.

eTd     limeTd  t   limsE td  s   t 

s0

20

s 0

Td  t   2u(t) için laplace dönüşümü Td  s  

2 dir. s

m

s 0

G3  s  1  G1  s  G 2  s  G 3  s   G 4  s  G 2  s  G 3  s 

ri. co

eTd     limsE td  s   limsTd  s 

tla

1 2 2s  0.5 eTd     lims  s 0 s 1.2 1 1.2 1 1  540  0.1 s  1 2s  0.5 s  1 2s  0.5

m de r

sn o

1 2 4 2* 0  0.5 eTd     lims   0.00308 s 0 s 1.2 1 1.2 1 1  1296  0.24 1  540  0.1 0  1 2* 0  0.5 0  1 2* 0  0.5

.e e

Soru-9:

trabzan sürükleyici

trabzan

YÜRÜYEN MERDİVEN ELEKTROMEKANİK SİSTEMİ

dişli

basamak

ac asenkron motor

220 2 sin t

~

w

~

asenkron motor sürücü

w

0-10V

w

takometre

dış ray dönme güzergahını belirler

dişli

iç ray

Vcc

R

sürücü kontrol analog girişi 0-10V DC

takometre çıkışı

osilaskop

Yukarıda verilen düzenekte yürüyen merdiven sistemini harekete geçiren motor hızı ayrıkzaman sayısal tabanlı olarak kontrol edilmek istenmektedir. Kontrol edilmek istenen sistem

21

10

6.3

Vtakometre(t)

tla

5.5 4 5.0 4.0 7 3.4

sn o

3.0 1.8 1.0

zaman (ms)

m de r

a- 1. Dereceden transfer fonksiyon parametreleri K ve  ‘yu grafikten belirleyiniz. b- Ayrık-zaman Kapalı çevrim kontrol blok diyagramını çiziniz. c- r  t   3u(t) referans giriş ve c  t  çıkış işareti olmak üzere c    elde ediniz. Ayrıkzaman kapalı çevrim Kontrol diyagramında D1  z   1  periyodunu T 

 alınız. Sonucu tartışınız. 10

z 1 2z , D2  z   ve örnekleme z 1 z 1

Çözüm-S9-a:

.e e

w

w

w

Vref(t)

7.9 7.0 7

ri. co

m

modeli, Motor+yürüyen merdiven+diğer mekanik aksamlar, 1. dereceden sistem olduğu kabul edilecektir ve deneysel olarak basamak cevabından model parametreleri olan kazanç ve zaman sabiti elde edilecektir. Bu amaç için sürücü girişine DC 10V genlikte basamak işaret uygulanmıştır. Motor hızını ölçmek amacı ile rotor miline takometre bağlanmıştır. Takometre motor hızı ile orantılı 0-10V arasında gerilim üretmektedir. Takometre çıkışı ve referans giriş işaretleri osiloskoba bağlanmış ve ilgili eğriler aşağıda verilmiştir.

1. dereceden ölü zamansız sistem transfer fonksiyonu genel olarak, C s K  verildiği gibidir. R  s  s  1

Şekilden, K :açık-çevrim kazancı. Vtakometre 7.9V   0.79 elde edilir. Vref 10V Şekilden,  : açık-çevrim zaman sabiti. K

v  vo    *0.632  vtakometre    *0.632  7.9V*0.632  5V t v  t 5V    50ms 

elde edilir.

Parametreler, transfer fonksiyonunda yerine koyulur ise, C s K 0.79   olarak elde edilir…… R  s  s  1 0.05s  1

22 Çözüm-S9-b:

Aşağıda kontrol düzeneği ve kontrol düzeneğine ait kapalı çevrim blok düzeneği verilmiştir. Vcc

sürücü kontrol analog girişi 0-10V DC

Vref

mikrokontrolör 0-10V

adc0 adc1

mux

adcX

1

z 1 z 1

dişli

Vkontrol 0-10V

Kontrol algoritması

m de r

X bit ADC

mikrokontrolör

D(z)

R(z)

R(s)

1

w

.e e

T

z 1 z 1

trabzan sürükleyici trabzan basamak

sn o

T/H

buf dac0

X bit DAC

~220V

YÜRÜYEN MERDİVEN ELEKTROMEKANİK SİSTEMİ ac asenkron motor

tla

R

w

w

ri. co

m

Motor rotor hızı sayısal işlemci ile kontrol edileceğinden burada ayrık-zaman sayısal kontrol söz konusudur. Kontrol blok diyagramı aşağıda verilmiştir.

T

Vtako 0-10V

iç ray

dişli

dış ray dönme güzergahı nı belirler

takometre kablosu

DAC Gs(s)

ZOH(s)

1 e s

sT

0.79 0.05s  1

C(s)

ADC T

Çözüm-S9-c:

Cz Ayrık-zaman kapalı çevrim transfer fonksiyonu bulunması gerekir. R z Bunun için kapalı çevrim blok diyagram aşağıda verildiği gibi düzenlenebilir. * İlk önce T  z  

R(z)

D(z)

1

z 1 z 1

ZOHGs(z)

C(z)

23 * ZOHGs(z) transfer fonksiyonunu elde edilsin: T

ve

 0.05   0.005s 10 10

ri. co

   1  esT 0.79  1 1 ZOHG s  z     ZOH  s  G s  s      1  z 1        0.79* 0.05  s 0.05s  1   s  s  20  

tla

 1  z 1   ZOHG s  z   15.8       z   s  s  20  

* Kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisinden rezidü yöntemi kullanılarak z-dönüşümü yapılacaktır.

  s   20  

sn o

1 z  z 1   ZOHG s  z   15.8     s  0  s  s  20  z  esT  z 

s 0

1 z s  s  20  z  esT

   s 20 

m de r

 1 z 1 z z z  z 1    z  1   ZOHG s  z   15.8    15.8 0.05  0.05      0T 20*0.005   20 z  e z 1 z  0.9048   z    0  20  z  e  z  

z 1  z  0.9048  z  1  ZOHG s  z   0.79 1     0.79 z  0.9048  z  0.9048  ZOHGs  z   D1  z   1 

0.0752 z  0.9048

z 1 kontrol algoritması için çözüm z 1

.e e

w

w

w

esT

m

z

0.1504z  z  1  0.0752 1   Cz D  z  ZOHG s  z   z  1 z  0.9048 z  1  z  0.9048     0.1504z R  z  1  D  z  ZOHG s  z   z  1  0.0752 1 1  1    z  1 z  0.9048  z  1  z  0.9048

Cz 0.1504z  T z  R z  z  1 z  0.9048  0.1504z

c     limc  t   lim  z  1 C  z   t 

z 1

c     lim  z  1 T  z  R  z   lim  z  1 z 1

z 1

0.1504z z 3  z  1 z  0.9048  0.1504z z  1

24

2z kontrol algoritması için çözüm z 1

m

D2  z  

0.1504z  2z  0.0752   Cz D  z  ZOHG s  z   z  1 z  0.9048 z  1  z  0.9048     0.1504z R  z  1  D  z  ZOHG s  z   2z  0.0752 1 1    z  1 z  0.9048  z  1  z  0.9048

tla

Cz 0.1504z  T z  R z  z  1 z  0.9048  0.1504z t 

z 1

sn o

c     limc  t   lim  z  1 C  z  

c     lim  z  1 T  z  R  z   lim  z  1 z 1

z 1

0.1504z z 3  z  1 z  0.9048  0.1504z z  1

0.1504*1 3*1 1  11  0.9048  0.1504 *1

m de r

c  

c     1.3239

* Çıkış cevabının sonsuza gitmesi, kapalı çevrim kontrol sisteminde seçilmiş olan ayrıkz 1 zaman kontrol kuralı D1  z   1  ‘in doğru bir seçim olmadığını göstermektedir. z 1 2z kontrol kuralının koşturulması sonucunda çıkışın sürekli rejimdeki değerinin * D2  z   z 1 sabit bir değere denk gelmesi, kontrol kuralının sistemi kontrol etmeye çalıştığı göstermektedir.

.e e

w

w

w

0.1504*1 1 3  1  0.9048  0.15041 1  1

ri. co

c  

Gördüğünüz hataları, mail yolu ile yada sözlü olarak itiniz…………….