Solucion a Los Problemas de Energia Del Oscilador Armonico-Serway

Ejercicios de la Física Para Ciencias E Ingeniería Raymond Serway, Jhon Jewett (Volumen  S!"tima Edici#n$ %ec&nica$ 'scilaciones y ermodin&mica$ )**+

Otras fórmulas para el MAS

Recordando Recordand o que la energía total del oscilador armónico es :

ET = Ec + Ep =

1 2

mv

2

1

1

2

2

+ k x 2= k A 2

de aq aquí uí de desp spej ejam amos os el va valo lorr de la

velocidad, con un poco de álgebra llegamos a la expresión: 1 2

→

2

1

2

1

mv = kA − kx 2

m⋅v

2

2

2

entonces, m⋅v 2= kA 2−kx 2

=k ( A 2− x 2)

y recordando que

w=

→

√

√

v =±

k √ ( A2− x 2 ) m

→

*

k la expresión * es equivalente a m

v =±w √ ( A

2

− x 2 ) ** ,

ambas expresiones nos dan la velocidad como una función de la posición para el oscilador armónico simple, por lo tanto tanto * y ** son equivalentes, equivalentes, y las usamos según nos convengan los datos que el problema nos plantee

Problemas capitulo 15 Sección 15.3 pag. 442 14. Un bloque de 200 g se une a un resorte horizontal y ejecuta movimiento armónico simple con un periodo de 0.250 s. a energ!a total del sistema es de 2.00 ". #ncuentre a$ la constante de %uerza del resorte y b$ la amplitud del movimiento. &olución'

a ) la masa del objeto ( 0)200 *g). +eriodo . , ( 0.250 segundos. Com"ilado "or Cosmo-loyd$ Curso de 'ndas y Partículas "ara Ingeniería.


#nerg!a ( 2 julios como

1

2

1

2

E= k A = w m A 2

2

2

y recordando que w =

de energ!a ) masa y * dados. -omo T = ,( 0)250(

2π

w

2π

w

√

k con los valores m

y con el valor del periodo) periodo)

despejando) obtenemos ( 25)1/ radseg 2

2

como k =w m ) entonces

rad ) x 0,200 kg k =(25.13 seg

entonces k= 12!33"#m

b ) con la %órmula 1

E= k A

2

2

reemplazando valores)

2 julios =

1 2

(126,33 N / m ) A2

despejamos el valor de la amplitud que nos da un valor de

$ = %!1& metros

15. Un automóvil que tiene 1 000 *g de masa se conduce hacia una pared de ladrillo en una prueba de seguridad. a de%ensa del automóvil se comporta como un resorte con constante de 5.00 10  3m y se comprime /.1 cm mientras el auto se lleva al reposo. -ul %ue la rapidez del automóvil antes del impacto) si supone que no hay p6rdida de energ!a mecnica durante el impacto con la pared7

&olución' +or supuesto aqu! usamos el teorema de conservación de trabajo y energ!a que nos dice que ) Ud. vio en su curso anterior anterior de mecnica' #p1 8 #*1 ( #p2 8 #*2

Com"ilado "or Cosmo-loyd$ Curso de 'ndas y Partículas "ara Ingeniería.


donde los subindices nos dicen a energ!a antes y despu6s del choque. 08

1 2

2

1

2

m v = k x +0 2

donde dond e / es la velocidad inicial del automóvil) antes del impacto) los dems datos ya los tenemos del problema ) despejando / ) nos da'

√

√

6

2

2 ( 5∗10 N / m)∗( )∗( 0,0316 m) kx = v= m 1000 kg

( 2!234

m s

1. Un sistema bloque9resorte oscila con una amplitud de /.50 cm. a constante de resorte es 250 3m y la masa del bloque es 0.500 *g. :etermine a$ la energ!a mecnica del sistema) b$ la rapidez mima del bloque y c$ la aceleració aceleración n mima. &olución. 1

a) -on los datos dados usamos la %órmula E= k A 2 2

1

2

E= ( 250 N / m)∗(0,035 m ) 2

( %!153 'ulios

eloc ocid idad ad y ac acel eler erac ació ión n m mi ima ma se ob obti tien enen en co con n la lass b) y c) a vel epresiones ) V m&0 m&01 w2 3 a m&01w 2

donde w donde w es ) w =

√

k ) entonces m

w=

√

250 N / m 0,5 kg

( 22)/ radseg

V m&0 m&01 ()),45 rad6seg (*,*47m 1 0,78 m/s am&01()),45 rad6seg ) (*,*47m 117,5 m/s2



1;. Un objeto de 50.0 g) conectado a un resorte con una constante de %uerza de /5.0 3m) oscila sobre una super%icie horizontal sin %ricción con una amplitud de 4.00 cm. #ncuentre a$ la energ!a total del sistema y b$ la rapidez del objeto cuando la posición es de 1.00 cm. #ncuentre c$ la energ!a cin6tica y d$ la energ!a potencial cuando la posición es de /.00 cm. &olución' 1

E= k A

a) Usamos la %órmula

2

) donde

2

1

2

E= ( 35 N / m)( 0,04 m)

(%!%2& (ulios

2

b) para el clculo de la velocidad usamos la epresión que enunciamos al principio de la actividad'

√

v =±

k √ ( A2− x 2 ) luego) m

√

v =±

35 N / m 0,05 kg

(( 0,04 m)2−( 0,01 m)2 ) ( ±1,025 m √ (( s

1

energ!a cin6ti cin6tica ca es c) a energ!a

2

mv

2

aqu! nos piden la energ!a cin6tica y

√

potencial cuando la posición es de / cm ) usamos usamos v =±

√

v =±

k √ ( A2− x 2 ) m

35 N / m 0,05 kg

m (( 0,04 m)2−( 0,03 m)2 ) ( ±0,7 √ (( s

de esta %orma calculamos la energ!a cin6tica #*(

1 2

mv

2

(

1 2

( 0,05 kg )( 0,7 m / s )2 ( 12!25  1%*3 (ulios

) la energ!a potencial es de la %orma #p(

1 2

kx

2

(

1 2

1 2

kx

2

( 35 N / m )( 0,03 m)2 ( 15!,5  1%*3 (ulios



si sumamos sumamos estos os os -ltimos alor alores es / como la energ0a energ0a es una constante! entonces nos uele a ar %!%2& (ulios! la energ0a se consera . Ek + Ep = 12!25  1%*3 (ulios + 15!,5  1%*3 (ulios= %!%2& (ulios

1<. Un objeto de 2.00 *g se une a un resorte y se coloca sobre una super%icie horizontal uni%orme. &e requiere una %uerza horizontal de 20.0 3 para mantener al objeto en reposo cuando se jala 0.200 m desde su posición de equilibrio =el origen del eje $. >hora el objeto se libera desde el reposo con una posición inicial  i ( 0.200 m y se somete a sucesivas oscilaciones armónicas simples. #ncuentre a$ la constante de %uerza del resorte) b$ la %recuencia de las oscilaciones y c$ la rapidez mi m ima ma de dell ob obje jeto to.. : :ón ónde de se pr pres esen enta ta la rap apid idez ez m mi ima ma77 d$ #ncuentre la aceleración mima del objeto. :ónde se presenta7 e$ #ncuentre la energ!a total del sistema oscilante. #ncuentre %$ la rapidez y g$ la aceleración del objeto cuando su posición es igual a un tercio del valor mimo. mimo. &olución'

a) &i se requiere una %uerza de 2 neton para mantenerlo estirado 0)20 0) 200m 0met etro ross de la po posi sici ción ón de eq equi uili libr brio io ent enton once cess apl aplic icam amos os la dinmica de 3eton que nos dice ' ?( @* ) usamos la ley ley de Aoo*e Aoo*e = el signo solo nos dice que se opone a la causa eterna$ ) de %orma que despejamos * F 20 Nw k = = ( 1%% "#m x 0,200 m

b) para hallar la %recuencia primero hallamos el valor de w, as!' w=

√

√

k 100 N / m ( w= ( ;)0; radseg 2 kg m

y como

f =

w 2π

tenemos

f =

7,07 rad / s 2π

=1,125 hz



para a halla hallarr la vel velocid ocidad ad y acele aceleraci ración ón mim mima a usam usamos os las c) y ) par epresiones' ) V m&0 m&01 w2 3 am&01w 2

a velocidad mima se da cuando la part!cula pasa por su posición de equilibrio) es decir en ( 0m ) la aceleración se da en las mimas) amplitudes es decir en ± A con estos datos obtenemos

V máx máx = (7,07 rad/seg) (0,200m) = 1,414 m/s amáx =(7,07 =(7,07 rad/seg ) 2 (0,200m) =10 m/s2 e) +ara la energ!a total de nuestro sistema oscilante usamos' 1

E= k A 2

2

1

( E= ( 100 N / m)( 0,200 m )2 ( 4 julios 2

aceleración y velocidad velocidad de la part!cula cundo es es  ) y g) para hallar la aceleración un tercio de su amplitud usamos para la velocidad'

√

v =±

k √ ( A2− x 2 ) m

B

√

v =±

100 N / m 2 kg

√((

2

0,200 m)

−(

0,200 3

2

m ) ) (1!33m#s

para la ace para aceler leraci ación ón en cua cualqu lquier ier pos posici ición ón en par partic ticula ularr us usamo amoss la %órmula' a1 $w) 0 , de aqu! usamos el valor valor absoluto= el signo negativo negativo nos nos dice que la aceleración es opuesta al desplazamiento.$ a1 w) 0

a1 (7,07 rad/seg )2 (0,200m/3) = 3,33 m/s2

1C. Un 1C. Una a pa part rt!c !cul ula a ej ejec ecut uta a mo movi vimi mien ento to ar armó móni nico co si simp mple le co con n un una a amplitud de /.00 cm. #n qu6 posición su rapidez es igual a la mitad de su rapidez mima7



&olución' &oluci ón' aqu aqu!! ten tenemo emoss un man manejo ejo de lg lgebr ebra a par para a dem demost ostra rarr una cantidad canti dad num6rica) num6rica) par para a ello usamos la %órmula) %órmula) que epresamo epresamoss al principio de este documento. 2

2

2

m⋅v = k ( A − x ) :e aqu! )

v

2

k m

= ( A 2− x 2) ( v 2= w2 ( A 2− x 2) D

el prob problema lema nos dice que la rapidez rapidez es igual igual a la mitad de su rapidez mima ) esto se epresa as!. &i V m&0 entonces , /1 /1 w2 w2 6) 6) , de esta esta %o %orm rma a el valo valorr de / se m&01 w2 reemplaza en la epresió epresión n 8

(

wA 2

A

2

por w) toda la epresión ) = w2 ( A 2− x 2) dividimos todo por w

2 2

2

2

2

de 0, x =( A − ( ) =( A − x ) despejamos el valor de 0, 2

A 4

2

3

) 1 x 2= A 2 4

sacamos ra!z cuadrada a este resultado ) nos interesa una longitud positiva positiv a as! obtenemos el valor valor de la posición que nos preguntan. preguntan. x =

√

3 4

A ) como > ( / cms. #ntonces) x =

√

3 4

(3 cm ) ( 2! cm


Solucion a Los Problemas de Energia Del Oscilador Armonico-Serway

Recommend Documents