9.1 INTRODUCCION El calor es la energía transferida de un sistema a otro debido a una diferencia diferencia de temperatura entre ellos. El calor no es el único tipo de transferencia de energía; por ejemplo, cuando se levanta un objeto del piso hasta encima de una mesa, se hace un trabajo sobre él y as¡ se incrementa su energía potencial relativa al piso. Cuand Cuando o se esti estira ra un resor resorte te,, se hace hace un traba trabajo jo ue produc produce e un incremento de la energía potencial el!stica del resorte. "simismo, cuando a una masa se le permite caer libremente, hay un incremento incremento en su energía cinética debido al trabajo hecho sobre él, por el campo gravitatorio. #or lo tanto$ El trabajo es también un mecanismo de transferencia de energía.
9.2
ENERGÍA INTERNA
%a energía interna de un sistema &i'(, es el total de toda la energía ue podamos asociar con todas las partes del sistema. #or ejemplo, la energía interna de un gas incluye la energía cinética rotacional de sus moléculas. Consideremos Consideremos un gas encerrado encerrado en un cilindro cilindro por medio de un pist)n m)vil, y supongamos ue en todo momento, la temperatura del gas es la misma ue la del medio ambiente, de tal manera ue no hay *ujo de calor.
Cuando el gas se e+pande contra el pist)n, hay una transferencia transferencia de energía hacia afuera del del gas en la forma forma de trabajo, trabajo, y la energía energía interna del gas decrece.
"unue nosotros probablemente no podemos calcular la energía interna del gas, antes y después de e+pandirse; no obstante, podemos calcular el cambio en su energía interna si sabemos calcular la energía transferida al pist)n.
"hora consideremos un gas encerrado en un cilindro por medio de un pist)n jo, y puesto en contacto con un cuerpo ". -i la temperatura del cuerpo " es mayor transferencia de energía hacía adentro del gas; esta transferencia ocurre en la forma ue llamamos calor.
-e puede calcular la cantidad en ue la energía interna del gas cambia, si sabemos la cantidad de calor ue *uye hacia él. osotros no reuerimos ningún conocimiento de la energía interna antes o después de la interacci)n, en orden a hacer estos c!lculos. /uchos procesos naturales implican ambos tipos de transferencia de energía; un *ujo de calor hacia adentro o hacia afuera del sistema, y trabajo hecho por o sobre el sistema. 0ales 0ales procesos son los ue se tratan en termodin!mica. termodin!mica.
"1 2 3 4 5
6enimos 6enimos como valor positivo positivo de Q, el calor comunicado al sistema y como negativo el calor cedido por éste.
"n!logamente, W es positivo cuando el pist)n efectúa trabajo sobre el medio e+terior, como ocurre cuando un gas se e+pansiona despla7ando el pist)n de un cilindro, y negativo cuando se reali7a un trabajo sobre el sistema, como sucede cuando se comprime un gas.
9.3 TRABAJO EN LOS CAMBIOS DE VOLUMEN
Consideremos un gas encerrado en un cilindro, por medio de un pist)n m)vil, como se muestra en la gura. ,
%a fuer7a total F ue actúa sobre el pist)n es F = p .A. Cuando el pist)n se despla7a hacia afuera una distancia innitesimal dx, el trabajo reali7ado por el gas es$ dW = F. dx = p.A.dx ; dV = A.dx dW = p.dV
-i el volumen varía de 8, a V 2 , el trabajo total se obtiene integrando
Esta integral tiene una interpretaci)n geométrica sencilla. En un sistema de ejes coordenados podemos dibujar una curva ue nos represente la relaci)n entre la presi)n y el volumen durante la e+pansi)n.
En el diagrama$ clW = p . dV viene a ser el !rea de la peue9a franja sombreada; y el trabajo total W reali7ado durante la e+pansi)n de 8, a
V 7 es el !rea total limitada por la curva y por las dos rectas v erti ca le s correspondientes a v, y v 2.
"hora bien, hay muchas maneras diferentes para hacer pasar un sistema de un estado inicial :, a un estado nal .
#or ejemplo, p)dennos pasar de : a siguiendo la trayectoria curva; el trabajo est! dado por el !rea bajo la curva &!rea achurada( =tra posibilidad es seguir la trayectoria : > ? > ; el trabajo reali7ado es el !rea situada bajo la recta : > ? . = podemos seguir otros muchos recorridos, cada recorrido da un resultado diferente. #or lo tanto$ @El trabajo hecho por un sistema depende no s)lo de los estados inicial y nal, sino tamfet)a de los estados intermedios; es decir, de la trayectoria@.
9.4 FLUJO DE CALOR
E+iste una transferencia de energía en forma de calor entre un sistema y el medio e+terior, siempre y cuando e+ista una diferencia de temperaturas entre ellos. -e ha visto ue si se /eé pasar a un sistema de un estado inicial :, a un estado nal siguiendo distintas recorridos, el trabajo reali7ado en cada uno de ellos resulta diferente; veremos lo
ue sucede con el *ujo de .calor. Consideremos un gas encerrado en un cilindro por medio de un pist)n, el cual se desea calentar. , #odemos colocar el cilindro sobre una estufa, manteniendo jo el pist)n &volumen constante( o penmit)endo al pist)n despla7arse libremente &presi)n constante(.
En el segundo caso, el gas adem!s de calentarse, reali7a un trabajo al e+pandirse contra un pist)n por lo ue necesita mayor energía en forma de calor. %a cantidad de calor transferida cuando el pist)n est! despla7!ndose es distinta ue si se mantiene constante el volumen. Es decir$ @El calor también depende de la trayectoria al igual ue el trabajo@.
9.5 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
%a variaci)n de la energía interna de un sistema viene dada por$ AU = Q-W =tra manera de e+presar la ecuaci)n es$ Q = "1A W . Es decir, si se comunica a un sistema una cantidad de calor Q, parte de él se invierte en aumentar la energía interna y el resto abandona el sistema bajo la forma de un trabajo W, reali7ado por él. #uede parecer ue el concepto de energía interna es s)lo un articio del ue nos valemos para ue la energía se conserve en los procesos en los ue interviene el calor y el trabajo. B >
-in embargo, la energía interna tiene realmente una importancia fundamental, la cual radica en el hecho establecido e+perimentalmente de ue la variaci)n de la energía interna de un sistema termodin!mico cualuiera ue sea su estado, depende solamente de los estados inicial y nal, y no de los estados intermedios por los ue pasa durante su transformaci)n. "claremos esto, supongamos un sistema al ue se hace pasar del estado : al a lo. largo de una trayectoria determinada, y ue medimos el calor absorbido Q y el trabajo W; podemos calcular "U 2 Q-W. -i hacemos de nuevo lo mismo para muchas trayectorias, diferentes entre los mismos D estados : y , se obtiene el importante resultado de ue AU 2 Q-W es la misma para todas las trayectorias ue unen los puntos : y . Esto es, aunue Q y W separadamente dependen de la trayectoria seguida, AU no depende para nada de c)mo llevemos el sistema del estado : al si no s)lo de los estados inicial y nal. Es decir, la energía interna de un sistema termodin!mico depende solamente .del F estado en ue se encuentre y no de las transformaciones ue sufre antes.de alcan7ar este estado. Este principio se conoce como primera ley de la termodin!mica. -i nuestro sistema e+perimenta s)lo un cambio innitesimal en su estado, s)lo se absorbe una cantidad innitesimal de calor dQ y s)lo se hace una cantidad innitesimal de trabajo dW. %a variaci)n de energía interna dU, también ser! innitesimal. G la primera ley se escribe en forma diferencial así$ dU = dQ –dW
9.6 ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL
Consideremos la e+pansi)n de un gas ideal a temperatura constante.
Para mantener la temperatura constante hay que comunicar calor al sistema mientras dura la expansión; de lo contrario bajaría la temperatura.
El enfriamiento de los gases en una e+pansi)n es un fen)meno normal. -e puede medir la cantidad de calor ue hay ue comunicar al sistema durante la e+pansi)n de un gas ideal para mantener constante la temperatura. -e comprueba e+perimentalmente, mediante mediciones efectuadas con la mayor precisi)n posible, ue la cantidad de calor comunicada al sistema, es e+actamente igual al trabajo reali7ado por el gas durante su e+pansi)n. #or consiguiente$ Q 2 W "1 2 Q-W 2H =tros e+perimentos similares, reali7ados con gases cuyo comportamiento se apro+ima al de un gas ideal, ha demostrado ué en todos los casos en ue la temperatura se mantiene constante, la energía interna también permanece constante &" U 2 H ( @%a energía interna de un gas ideal, depende solamente de su temperatura, y no de la presi)n o del volumen@.
EXPANSIÓN LIBRE
1na caja aislada térmicamente, est! dividida en partes de igual
volumen por medio de un tabiue ue se puede uitar.
Cuando se uita el tabiue, el gas se e+pansiona ocupando todo el volumen del recinto .
Como las paredes de la caja permanecen inm)viles el mis no efectúa trabajo sobre el medio e+terno durante su e+pansi)n. &%a e+pansi)n ue se reali7a sin ue se efectúe un trabajo se llama e+pansi)n libre(. Como también la caja est! aislada térmicamente, no e+iste intercambio de calor con el medio e+terior. #or consiguiente$ W=Q2H "1 2 Q-W = H
-i el gas es ideal, U depende solamente de T; como U es constante, T también debe ser constante. @%a temperatura de un gas ideal, no varía durante una e+pansi)n libre@ En la mayoría de los gases reales, la temperatura disminuye.
9.7 CAPACIDADES CALORÍFICAS DEL GAS IDEAL
%a temperatura de un gas se puede elevar bajo condiciones muy distintas. -e puede mantener el volumen constante; la presi)n constante o permitir ue ambos varíen. -e ha visto ue el *ujo de calor depende de la trayectoria ue sigue el sistema, por lo tanto en cada uno de estos casos es distinta la cantidad de calor por mol, necesaria para producir la elevaci)n de una unidad de temperatura. > En otras palabras$ una sustancia posee muchas capacidades calorícas molares, aunue s)lo dos son de uso pr!ctico para los gases. Capacidad caloríca molar a volumen, constante C. y la capacidad caloríca molar a presi)n constante Entre estas dos capacidades calorícas molares de un gas perfecto e+iste una relaci)n sencilla e importante -upongamos ue se tiene dos cilindros, ue contienen masas iguales de un gas ideal en las mismas condiciones de presi)n, volumen y temperatura. En el primer cili ndro se mantiene constante el volumen mediante un pist)n jo, mientras ue en el segundo el pist)n puede despla7arse manteniendo el gas a presi)n constante.
Cada cilindro se pone en contacto con un cuerpo a una temperatura ligeramente superior 0A dT. En ambos casos se producir! un *ujo caloríco dQ hacia el gas. Consideremos primero el proceso a volumen constante. F El *ujo caloríco est! dado por$ dQ = n , C v . d T G según la primera ley$ dU - dQ –dW Como el volumen es constante no se reali7a trabajo dW 2 H se tiene$ dU = n. C v . d T Como la energía interna de un gas ideal s)lo depende de la temperatura y en cada cilindro tiene lugar la misma elevaci)n de temperatura, la variaci)n de energía interna dU, es por consiguiente la misma, en ambos procesos. Consideremos ahora el proceso a presi)n constante El *u o caloríco est! dado or$ dQ 2n . C p . d T
El trabajo dW ser!
d W 2 p . dV
-egún la ecuaci)n de estado de un gas ideal p.V * n.R.T @ B; p .dV n . R . d T dW = n. R. dT y según la primera ley$ dU = dQ-dW n.Cv .dT 2 n..C p.dT- n . R . d T C p-CV = R Este resultado muestra ue la capacidad caloríca molar ! presi)n constante de un gas ideal es mayor ue a volumen constante, siendo la diferencia igual a la constante universal de los gases, R, apro+imadamente cal/mol. K -e ha encontrado ue la variaci)n de energía interna en ambos procesos est! dada por dU 2 n.Cv . dT generali7aremos diciendo ue dU, es la misma para cualuier tipo de proceso ue se emplee para elevar la temperatura de un gas ideal de T a T dT, aunue no se veriue a volumen constante.
-upongamos ue deseamos hallar la variaci)n de energía interna de un gas
ideal ue es llevado a lo largo de la lí> nea :> proceso en el ue ni la presi)n, ni el volumen, ni la temperatura permanecen constantes.
%a variaci)n de energía interna a lo largo de la trayectoria : > ? &a volumen constante( est! dada evidentemente por$ dU$ 2 n . C v . d T %a variaci)n de energía interna a lo largo de la trayectoria ? > es cero, ya ue se verica a temperatura constante &la energía interna s)lo depende de la temperatura, se mantiene constante si la temperatura no varía(. #or lo tanto$ dU 2 n . Cv . dT!" la misma para todas las trayectorias ue unan : y .
9.8 ALGUNAS APLICACIONES DE LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA
PROCESO ADIABÁTICO: Es todo proceso durante el cual no hay *ujo
de calor hacia o desde el sistema. #ara conseguir un proceso adiab!tico es necesario rodear al sistema de una gruesa capa de material aislante, o bien conseguir ue el medio e+terior esté siempre a la misma temperatura ue el sistema. "plicando la primera ley$ dU = dQ-dW dQ = # dU = -dW
-egún la ecuaci)n de estado de un gas ideal$ p ,V = n.R.T
p V
R!!mpla$ando% n.Cv .dT 2 - n . R . T dT = T & n T & n V = & n ' c o n" ( a n ( ! )
I'Cv2 Cp>Cv'Cv = - + domnado
; en donde
Cp/Cv "! a
En el caso de un gas monoat)mico ideal, 2 J'? ; para un gas diat)mico ideal, G 2 K'J ln-T-l (lii V 2 ln &constante( T. 8yL: 2 constante
-i nos referimos a dos puntos del proceso$ Combinando esta ecuaci)n con la ecuaci)n de estado de un gas ideal$ P ,-V l = P2 .V 2
T,
T 2
Magamos en el primer término K - p2-V 2 y en el segundo "0 2 p x . 8
;
"
resulta así$
021 V 2-0 ,- V + :>G
W =
El trabajo también se puede calcular a partir de la siguiente ecuaci)n$ dU = -dW = n . C v . d T W
∫
T2
-n.Gv . dT= n . C v { T x -T 2 )
PROCESO ISOCORO:
Un proceso durante el cual, el volumen permanece constante. dU = dQ - dW Si el volumen no varía, no se realia trabajo ! dW = " # dU = dQ $ sea todo el calor trans%erido a la sustancia sirve para aumentar su ener&ía interna. Si el sistema es un &as ideal' dU = dQ = n . C v .d T *U.= Q = ∫Tl n . C v . d T = n . C v ( T 2 - T l ) PROCESO ISOTÉRMICO: Un proceso isot(rmico tiene lu&ar a temperatura constante.
dU = dQ-dW )n &eneral, nin&uno de los t(rminos es nulo. Si el sistema es un &as ideal, la ener&ía interna depende sólo de la temperatura, y como la temperatura no varía, la ener&ía interna se mantiene constante dU = " Por lo tanto' dQ = dW Q = W Q = W = ∫Tl p.dV ; p.V =n.R.T
R!!mpla$ando% Q = W = ∫v2 n . R . T d V / V = n . R . T. l n V / V
PROCESO ISOBARICO: 1n proceso ue se verica a presi)n constante
d1 2 d3 4 d5 ; d5 2 p.d8
5 2 ∫v2 p.d8 2 p. ∫v2 d8 2 p&82 > 8,!
-i el sistema es un gas ideal$
dQ = n.C p. dT
dU = n. Cv .
dT "1 2
n. C v
∫T2 dT= n. C v . T 2 -T x )
Q = n.C p ∫T2 d T = n . C p . T 2 - T x ) W = p V 2 - V + ) = n . R . T 2 -T + )
#I=N%E/" O :$ 1n cilindro en cuyo interior se despla7a un pist)n contiene ,P 3 de nitr)geno a una presi)n de :,H + :HB 4/m a una temperatura de K5C.
a# -i se calienta el gas isob!ricamente hasta una temperatura de ?KQC. 6eterminar el calor ue recibe, el trabajo ue reali7a y la variaci)n de energía interna.
b# -i en ve7 de a presi)n constante, se calienta el gas a volumen
constante hasta la temperatura de ?KQC y a continuaci)n, se le permite e+pansionarse isotérmicamente hasta recuperar el volumen del apartado a. 6eterminar en cada transformaci)n Q, W AU, y los valores totales de Q, W "1.
S"#$%&'(:
a) TRAYECTORIA 1 - 2
Q= n-C p- AT =6 2.3 / 23/mol ) '7 cal/mol. K)'82T-2+5) 2:H cal Q 2 & :H cal ( & R,:PS 9o:l!"/cal ) 2 PKT 9 W = p ' V 2 - V ) = p.V 2-p.V l = n . R . T 2 - n . R . T l W = n.R 'T 2-T ( 2 &H,: mol) & cal/mol. K) &?KQ >KQ( 2 SH cal W = & SH cal ( & R,:PS 9o:l!"/cal ( 2 J: 9
"1. 2 Q -W = PKT K>J: 9 = SP 9
TRAYECTORIA 1 + 3
Q = n . C v. AT = ! " , m o l # ! - cal/mol . K) !/01 +/01# = -" cal Q = !-" cal) { 2,34 o!l"#/cal) = 4/3 5 W = " !el volumen se mantiene constante# *U = 6+7 = 4/38
TRAYECTORIA 3-2
* U = " !proceso isot(rmico# *U =6+7=" P ,-V l = P2 .V 2
T,
;
6 = 7 = n.9.: ln /5
p:2 p 2 :+ :H 'm
T 2
6 = 7 = 3./ cal = !3./cal# !2.34 8oules5 cal# = 23 8
El cambio de energía interna del gas est! dado por$
" U = n . Cv . AT
&v!lido para todo tipo de proceso(
AU = &JHH'K (& J cal/mol. K ( 2 JHH'K cal
y
AU = Q-W W = Q -AU 2 JHH> JHH'K 2 : HHH'K cal W =< &:HHH'K cal) &R,:PS'' cal ( 2 JTP o:l!".
PROBLEMA <1 3: * ""1 y 1 atm, el calor latente de a!or"#ac"$n del a&ua es %&'cal/g. La den("dad del a!or de a&ua, en las mismas condiciones es ",->0 $%/m&. *+, racc"$n del calor latente se invierte en trabajo realiado por el vapor, y qu( %racción en aumentar su ener&ía interna?
Sol+c"$n: onsideremos un &ramo masa de a&ua. Q m m .' = ! %) ! -2" cal/% # = -2" cal )s decir, para vaporiar un &ramo de a&ua, se necesita proporcionar -2" cal . )l trabajo realiado por el vapor estar@ dado por' W = p ! , -V. #
Proceso a presión constante a*m = ," x +, /m2
El ol+.en inicial V v de un &ramo de a&ua es m& /0en("dad del a&ua &5cm #. El ol+.en %inal V 2 de un &ramo de vapor ser@'
P = ",->0 A&5 m& = ->0 x ,-0 &5c m& P= m5 V 2
; m = %
V 2
=
%
= 01 cm&
->0 x " -0 &0 cm&
Por lo tanto' 7 = !, " x " <5m2 # !40 x "-0 m& B x " -0 m& # 7 = 4>.4 8 !4>.4 8 # 5 !2.34 85 cal # = 2".- cal C el cambio de ener&ía' U 1 = 6 B 7 = -2" cal B 2",- cal = 2>>,- cal
Por con("+"ente' De las -2" cal de calor latente (e invierte 2",- cal."n trabajo !0,-E# y 2>>,- cal"n aumentar su ener&ía interna !>/,-E#.
PROBLEMA
Gallar' . Gallar la cantidad de calor recibido por el &as. /. )l trabajo realiado por el &as al expandirse. . Ha variación de la ener&ía interna del &as.
9esolver este problema para los casos si&uientes' Io# uando el paso del &as desde el primer al se&undo estado se produce si&uiendo el camino AC. 23) uando esta transición se realia si&uiendo el camino A4. Solución:
Primero calcularemos las coordenadas de estado (p V T # de todos los puntos. A ! 3,/ x "- /m2 , x $F m, "" K # ! 4,/ J I $ /m2 2,- x "K LM T # P A -V A = PB .V B
T
T B
A
!3,/ x "- # ! x $F# = !4, / J I $# !2, - x " +# :N = />, O "" :N
)l nmero de moles (n) se puede obtener a partir de la ecuación de estado de un &as per%ecto. 5. V = n. R.T ; n = p.V = (62 x , /m2 )(& x ,- & m & ) = 7 . mol R.T cal 6 2 cal8 (&,, K) 9ol .K 1) TRAYECTORIA ACB Q* = n. v . U 0 &proceso a volumen constante( Q* =
2, 8. mol cal
-
cal Qol . O
!/>,- O B "" O# = + 4-" 8
Q* = n. p. U 0 &proceso a volumen constante( Q* =
2, 8. mol cal
0
cal Qol . O
!/>, O B />,- O# = - 8
**N = + 4-" 8 R - 8 = -" 8
7* = " !el volumen no varía# 7N = p/ !/ B # !la presión se mantiene constante# 7N = !4 x "- <5 m/# !2,- x " + m + x "+ m# = >"" 8 7 *N = >"" 8 > U = Q AC - W AC = , : ,, = 0,
/) TRAYECTORIA A0B Q*D = n. P . U 0
Q DB =
2, 8. mol cal
0 cal Qol . O
!2-" O B "" O# = 2"- 8
2, 8. mol cal
-
!/>, O B 2-" O# = + /202 8
cal Qol . O
Q*DN = 2"- 8 B /202 8 = 3 8
7*D = p !/ B # = !3,/ x " - <5 m/# !2,- x " + m + x "+ m# = +/202 8 7ND = " 7*DN = /" 8 > U = Q A4 - W A4 = 6& : 2&, = 0,
)s el mismo resultado obtenido si&uiendo la otra trayectoria. FHa variación de la ener&ía interna de un sistema, es independiente de la trayectoriaF PROBLEMA <1 %: uando un sistema pasa del estado A al a lo lar&o de la tray toria AC !ver %i&ura# recibe /" """ cal y realia 0 -"" cal de trabajo.
a#u@nto calor recibe el sistema a lo lar&o de la trayectoria A4. Si el trabajo es /-"" cal b# uando el sistema vuelve de a A a lo lar&o de la trayectoria curva, el trabajo es - """ cal. u@nto calor absorbe o libera el sistema? c# Si U A = " y U 4 = $$$$ca5, h@llese el calor absorbido en los procesos A4 y 4. Solución' a# :rayectoria AC <
Q = /" """ cal W = 0 -"" cal >U = Q -W = /" """ cal +0 -"" cal = / -"" cal = / -"" cal
Q = U > W = 2,, cal :rayectoria*DN,.' W = / -"" cal F )l cambiodeener&ía inter nanodependedela trayectoria,solodependedelesta+
do inicial y del estado %inalF. T Porlotanto' b# :rayectoria curva A ; W = +- """ cal !es una compresión#. )l cambio de ener&ía interna entre ? A es ne&ativo e i&ual al existente entre A ?... U -U A = / -"" cal
T
U = U*+ U = +/ -"" cal AU = Q-W
;
Q = AU > W = + / -"" cal+- """ cal 6 = +0 -"" cal
)l si&no ne&ativo indica que el sistema libera calor c) U - U A= 2 ,, cal u A = o
U 4 = , ,,, cal U 4 - U A = , ,,, cal
:rayectoria A4 ' W = / -"" cal 9ecordando que el trabajo est@ dado por el @rea bajo la curva. Deducimos que en el proceso 4 el sistema no realia trabajo, por lo tanto W = / -"" cal corresponden al proceso A4 exclusivamente. :rayectoria A4<
*U = " """ cal W = / -"" cal U = Q-W Q = U R 7 = " """ cal R / -"" cal = / -"" cal . Q A4= Q A4 > Q 4
:rayectoria 4<
Q A4= ,,, CA' Q A4= 2 ,, cal Q A4 = Q A4 - Q A4 = 2,,
CA'
P9$NH)Q*
P . C = P/ . /C
;
P
=
P/
/
C
.. !#
Un &as monoatómico se calienta ,/ veces m@s que un &as diatómico.
P9$NH)Q* <1 0' Dos moles de helio se encuentran inicialmente a la temperatura de /0 3C y ocupan un volumen de /" litros . )l &as se expande primero a presión constante hasta duplicar el volumen, y despu(s adiab@ticamente hasta que la temperatura vuelve a su valor inicial. a# Dibjese un dia&rama del proceso en un plano p -V
b# u@l es el calor total suministrado durante el proceso? c# u@l es la variación total de ener&ía interna del helio? d# u@l es el trabajo total realiado por el &as? e# C el volumen %inal?
Solución'
: = : =
"" O / . : P . = P/ . / : :/ :/ = /. : = 2" dm "" O /" dm b# :ramo +/' Q = n.C AT !proceso a presión constante# )l helio es un &as monoatómico' C = - cal/mol. K Q = !/mol) !- cal/mol. K) !4"" O +"" O# = """cal :ramo / + ' / = " alor total Q = """ cal
c# F)l cambio de ener&ía interna de un sistema sólo depende de su estado inicial y de su estado %inal; es independiente de la tra+ yectoriaF.
omo las temperaturas T l y T & son i&uales, cabe ima&inar un proceso isot(rmico ! T = cte # que una estos dos puntos ! y #
V
.
)l cambio de ener&ía interna se&n la trayectoria +/+ es el mismo, que si&uiera si se la trayectoria +; es independiente de la trayectoria. )n un proceso isot(rmico de un &as per%ecto, la ener&ía interna no varía. U = " d# U = Q-W *U=" ;
Q = W = """ cal W = (& ,,,cal) ( 7 6 0 o!l"#/cal) = /,--3 8
e# olumen %inal = ? Proceso adiab@tico /+' P/ . /y+ = P . y P/ = P
/
y
y
p/ = . :/ ' p / . :
P/ . / = P . :/ :
y
De donde'
. :/ = / . :
/
:/ . /y+ = : . +
: = p = v
(0,, K) (7, dm@)/&- = ! "" K)V &/&- = !/5/# !2"# = dm& PROBLEMA
COMPRESI ISOTÉRMICA
p. = n.9.: ; p. = constante = ; p = 5 7isot = W p . d = Wv/v d5 = .in /5
COMPRESI A0IAB4TICA p . C = K !constante#
7ad = Wp . d = Wvv/ O . d = O y
+y +y
v/ v
= O By
V/+y + +yW
P . y = O ; 7ad = p . y V/+y + +yW By 7ad = p . y+ V/+y + +yW 2 p By yB 7ad = 7isot
# y + / !y+# in /
+
B!
B!
# y + /
",2
x "+/ / x "+
=
= ,2
7ad X 7isot
!,2 B # in / x " + x " +/
Por ló tanto, es m@s conveniente realiar la compresión por vía isot(rmica. P9$NH)Q* ' Un &as se expansiona hasta que su volumen se duplica. )s mayor el trabajo realiado por el &as si la trans%ormación es isot(rmica o si es adiab@tica? )xplicarlo. Solución:
)n la &r@%ica se muestran los dos procesos. 9ecordando que el trabajo est@ dado por el @rea bajo la curva tenemos'
)s decir; el trabajo en una expansión isot(rmica es mayor que en una expansión b@tica. )l problema resulta muy sencillo, si se dibujan los dia&ramas correctamente; por lo tanto veremos con m@s detalle ello. :racemos las tan&entes a las curvas en el punto . Si los dia&ramas est@n correctos la pendiente de la tan&ente a la curva adiab@+ de la isot(rmica !est@ m@s empinada#.
tica, es mayor en valor absoluto que la
Para la curva adiab@tica' p .V ? = cte Di%erenciando, p .y CY .dV > C .dp = "
d p d
= + y p
ad
Para la curva isoterma p . V = constante Di%erenciando p . d V > V . d p =- "
d p
p isot
d
d p
9ecordemos que nos da precisamente la pendiente de la tan&ente a la curva. d )l si&no ne&ativo se debe a la inclinación de las tari&entes, que es hacia la iquierda. !Gacia la derecha es positiva#. A nosotros nos interesa el valor de las pendientes en valor obsoluto.
d p
p
ad
d
d p d
isot
= p
Por lo tanto' Ha pendiente a la curva adiab@tica es mayor que la pendiente a la curva isot(rmica. ! ? &eneralmente es mayor que #; lo cual comprueba que los dia&ramas se han dibujado correctamente. )n &eneral, las curvas adiab@ticas tienen pendientes m@s pronunciadas que las curvas isot(rmicas, que tienen pendientes m@s suaves. P9$NH)Q* <1 "' Ha %i&ura muestra tres procesos realiados por un &as per%ecto. Ha temperatura en el punto,2, es de 4"" K la presión 4 a*m ? el volumen dm . )n el punto el volumen es d" 7dm . Uno de los procesos A o A C es isot(rmico y el otro adiab@tico. 0 = ,-
a# u@l de los procesos A AC"# isot(rmico y cu@l es adiab@tico? )n qu( se basa su respuesta? b# alclese la presión en los puntos N y c# G@llense las temperaturas "n ? C , B d# $bt(n&ase el volumen en el punto C.
Sol+c"$n: a) A es adiab@tico. !Su pendiente es mayor en valor absoluto; ver problema anterior# b# onsideremos el proceso A !adiab@tico#.
P* . * = PN . Ny PN = P*
* N Pc = PN = / atm
C
= !4 atm#
2
,-
= /atm
c#P* . * = PN. N ; !4 atm# ! dm# = !/ atm# !2dm# ; :N = ""O :* :N :N 4"" O : = :* = 4"" O !el proceso * es isotermico# P9$NH)Q*
$bservando los dia&ramas de las tres trans%ormaciones deducimos que 7 tiene el mayor valor en un proceso isob@rico, y en el menor valor en un proceso adiab@tico.
PROBLEMA <1 12- )l cilindro de una bomba que comprime aire dentro de un tanque de &randes dimensiones, desde la presión atmos%(rica hasta la presión manom(trica de 2,- $%/cm2 tiene /- cm de lon&itud. a# )n qu( posición de la carrera comenar@ a penetrar aire en el tanque? Supón&ase que la compresión es adiab@tica.
b# Si el aire penetra en la bomba a /-1. u@l es la temperatura del aire comprimido?
Sol+c"$n:
)stado inicial en el cilindro' = ," $%/cm& !presión atmos%(ricaT# , = (2 cm) ; T x = /01 = ""[ * = sección transversal del cilindro.
5l
)stado %inal en el cilindro' p2 m !2, -R, " # + -,- $%/cm2 V 2 = A.h
uando la presión del aire en el cilindro se i&uale a la presión del aire dentro del tanque, empiea a penetrar aire al tanque.
P . y = P/ . /y ! , " # ! / - * # , 2 = !-,-# !*. h# ,2
b# p. = p/ . / : :/
!,"# !/- *# = ! -, - # !0 ,- *# :/ "" :/ = !" "# !-,-# !0,-# = 23/ !,"# !/-#