OPERADORES DIFERENCIALES DIFERENCIAL ES VECTORIALES
Un ope operad rador or difere diferenci ncial al vector vectorial ial es un opera operado dorr linea lineall que que actúa actúa sobre sobre campo camposs vectoriales definidos sobre una variedad diferenciables diferenciables El operador vectorial nabla es un operador matemático matemático que tiene carácter vectorial; sin embargo, carece de algunas de las propiedades de las que gozan las magnitudes vectoriales, como por ejemplo el módulo.
En coordenadas cartesianas se expresar por
istema de coordenada cil!ndrica
istema de coordenadas coordenadas esf"ricas
Ejemplos#
operadores diferenciales
$os libros de f!sica e ingenier!a están repletos de operadores diferenciales que sirven para formular ideas relativamente sencillas. %os de los más importantes son la divergencia & el rotacional que actúan sobre campos vectoriales en ' ( , es decir sobre funciones ) ⃗* +), )-, )( que aplican puntos de tres coordenadas en vectores de
tres
coordenadas. $a divergencia de
)⃗se define como
El rotacional se define como un determinante formal
donde
se
supone que multiplicar por
ejemplo /& & )( significa 0acer la derivada parcial /)(1/& & lo mismo con las otras variables. 2demás, en el resultado debemos interpretar los coeficientes de i, j & 3 como la primera, la segunda & la tercera coordenadas, respectivamente. %esarrollando el
determinante se obtiene#
pero esta fórmula es más dif!cil de memorizar. 'ecordando que el gradiente es el vector formado por las derivadas parciales & se representa como
∇f,
no debiera resulta
extra4o que en muc0os textos se escriba ∇ 5 )⃗en lugar de div ) ⃗& ∇ 6 )⃗en lugar de rot )⃗.
Una propiedad del rotacional mu& importante en )!sica es que es capaz de detectar los gradientes, en el sentido de que, al menos en peque4os entornos, si rot ) ⃗ * 7 ⃗
entonces existe una función f, llamada potencial, que verifica
∇f
* )⃗. 8omo el nombre
sugiere, esta función está relacionada con la energ!a potencial. 'ec!procamente, si se toma )⃗ * ∇f, entonces rot )⃗ * 7 ⃗ . $a segunda notación introducida vuelve a ser mu& sugestiva porque dice algo as! como que ∇6∇ es nulo. $os campos que cumplen ) ⃗* ∇f se llaman conservativos, sobre todo en )!sica.
transformación de coordenadas.
$a transformación de coordenadas de un vector de posición 9r * +x, &, z expresado en coordenadas cartesianas a las nuevas coordenadas :u, v, < se lleva a cabo mediante las ecuaciones de transformación# u * u+x, &, z
v * v+x, &, z
* +x, &, z.
=ambi"n es posible realizar la transformación inversa# x * x+u, v,
& * &+u, v,
z * z+u, v, .
)recuentemente es de inter"s utilizar un sistema de coordenadas diferente a las rectangulares para campos escalares, f+u, v, , & vectoriales, )9 * fu+u, v, >eu ? fv+u, v, >ev ? f+u, v, >e, donde :e>u, e>v, e>< es un conjunto de vectores base en el sistema de coordenadas :u, v, <. @ediante la regla de la cadena, se obtienen las
siguientes expresiones para operadores diferenciales en sistemas de coordenadas ortogonales#
2 partir del vector de posición 9r * +x, &, z & las ecuaciones de transformación +-, se obtienen los coeficientes m"tricos +tambi"n llamados factores de escala & los vectores base en el nuevo sistema de coordenadas# El aco!iano.
En calculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. =anto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en 0onor al matemático 8arl Austav Bacobi.
$a matri" #aco!iana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable. F$nción Vectorial.
upongamos es una función que va del espacio euclideo nCdimensional a otro espacio eucl!deo mCdimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales# 8uando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de ) es# Esta matriz es notada de diversas maneras# Dótese que la fila, iC"sima fila coincidirá dada con el gradiente de la función & i, para i * ,...,m. i p es un punto de ' n & ) es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por B)+p. En este caso, la aplicación lineal descrita por B )+p es la mejor aproximación lineal de ) cerca del punto p, de esta manera# ara x cerca de p. F con ma&or precisión#
Ejemplo. $a matriz jacobiana de la función ) # ' ( G '( definida como
laplaciano
,
operador
Laplaciano
%ectorial
nombrado as!
en
a ierreCimon
0onor
$aplace, es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial. El $aplaciano vectorial es similar al $aplaciano escalar . @ientras que el $aplaciano escalar actúa, se aplica sobre campos escalares & devuelve, da como resultado, una cantidad escalar, el $aplaciano vectorial se aplica sobre campos vectoriales & da como resultado otra cantidad vectorial. Un ejemplo del uso del $aplaciano vectorial son las ecuaciones de DavierCto3es para un flujo incompresible netoniano
donde el t"rmino con el laplaciano vectorial del campo de velocidad
representa
( ∇ v ) las tensiones viscosas en el fluido.
μ
2
Ftro ejemplo mu& usado en )!sica es la ecuación de ondas para el campo el"ctrico, que puede ser derivada a partir de las ecuaciones del @axell. En particular, en ausencia de cargas & corrientes, se tiene
&rons'iano
En matemática, el (rons'iano es un determinante introducido en H- por el matemático polaco Bózef IoeneCJroKs3i +LLMCHN( & nombrado en HH- - por el matemático escoc"s =0omas @uir +HOO P Q(O. e utiliza en el estudio de
las ecuaciones diferenciales ordinarias , donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente. %ado un conjunto de n funciones que son +nCCveces derivables, f 1, ..., f n, el rons3iano W(f 1, ..., f n ) está dado por#
El rons3iano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón +o fila, la primera derivada de cada función en el segundo renglón, & as! 0asta la derivada n-1, formando as! una matriz cuadrada, algunas veces llamada matri" f$ndamental. En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el rons3iano puede ser calculado por computadora más fácilmente por la identidad de 2bel.
D)Alam!ertiano
altar a navegación, búsqueda El operador D)Alam!ertiano es la generalización del operador laplaciano a un espaci o de @in3os3i, o, más engeneral, a un espacio de dimensión & m"trica arbitraria. e suele representar como
, o simplemente como
. ="cnicamente el %R2lambertiano
de una función escalar es el operador de $aplaceCSeltrami asociado a lam"trica de dic 0o espacio, operando sobre dic0a función. u definición es, por analog!a con el operador nabla ordinario de ar del vector dederivadas parciales consigo mismo.
, el producto escal
Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador frente a transformaciones de$orentz . En el espacio de *in'o(s'i
$a m"trica es la m"trica plana
, & por tanto el
%R2lambertiano es
En $n espacio c$r%o
e puede 0acer que el operador %R2lambertiano sea tambi"n invariante frente a una tr ansformación general decoordenadas si se define en relación a la derivada covariante#
E#emplos
Un ejemplo de utilización del %R2lambertiano ser!a la ecuación de TleinCAordon , que d escribe campos escalaresde spin cero#
Fbtenido de %V-L2lambertiano 8ategor!as# 'elatividad W 8álculo vectorial W Fperadores diferenciales
Introd$cción a tensor
En un sentido práctico un tensor es objeto matemático representado por un cierto conjunto de componentes. ara definir un tensor es necesario partir de un espacio f!sico o variedad diferenciable que define cuál es el espacio vectorial base X sobre el que se construirán tensores de diferente tipo & orden. En mecánica clásica por ejemplo el espacio es
isomorfo a
, aunque en la teor!a de la relatividad especial el espacio base es
& en la teor!a general de la relatividad es el espacio tangente a
una variedad lorentziana de cuatro dimensiones. En matemáticas lo más usual es
construir la teor!a sobre una variedad riemanniana o variedad pseudoriemanniana nC dimensional roducto =ensorial l principal ejemplo de producto tensorial lo vimos en la entrada anterior para definir la m"trica. i tomamos dos vectores de un espacio de YDZ grados de libertad, cada uno de ellos covariante o contravariante a elegir, & desarrollamos todos los posibles productos de sus componentes, obtenemos un tensor de dos grados de libertad, con YDxDZ componentes distintas +todas las combinaciones de productos. egún la naturaleza de los vectores que 0a&amos usado, podremos obtener tensores covariantes, contravariantes o invariantes#
odemos generalizar este concepto para formar as! tensores con muc0os más grados de libertad, como represento en los siguientes ejemplos#
odemos tomarnos la libertad de denominar a distintos tensores por la misma letra dentro de una ecuación tensorial si el número de indices co+contravariantes que poseen los determina por completo. Es importante se4alar de nuevo que las letras que aparecen a un lado de la ecuación tienen que volver a aparecer en el otro lado & en la misma posición +arriba o abajo, porque si no la notación se volver!a inconsistente =ransformaciones $os tensores se transforman componente a componente según vimos en la entrada sobre la varianza, por lo que es fácil generalizar el concepto a un tensor pCq del
siguiente modo#
2s! pues, dado que las transformaciones lineales de coordenadas se representan por tensores de rango - +matrices, podemos decir que un tensor pCq se transforma con YpZ tensores de transformación covariantes
&
YqZ
tensores de transformación
contravariantes. 8oncretamente, en el caso de un tensor C#
, o en forma matricial#
imetrizador# %ecimos que un tensor es sim"trico en algunas de sus componentes si podemos intercambiarlas obteniendo el mismo resultado. Un claro ejemplo de ello es el tensor m"trico. ara indicar que unos conjuntos de componentes son sim"tricas las rodeamos de un par"ntesis. ongamos por caso un tensor (C7 de dimensión (
,
donde
0emos escrito todas
las posibles combinaciones de los números , - & (. i queremos simetrizar un determinado conjunto de componentes de un tensor, lo 0abitual es, para cada combinación de números, sumar todas las posibles combinaciones, & 0acer la media aritm"tica de las mismas. =omemos por caso el tensor#
i lo simetrizamos, sus componentes serán#
, lo que expresamos como#
En esta nueva versión del tensor, todas las componentes son sim"tricas respecto a la diagonal, tal & como en principio esperábamos que sucediese. i nos fijamos, al simetrizar nuestro tensor de Q componentes 0emos 0ec0o que realmente sólo M componentes sigan siendo independientes. upongamos un tensor de rango Y(Z & de dimensión Y(Z, sus combinaciones independientes serán# , -, (, --, -(, ((, ---, --(, -(( & (((. 8ualquier otra combinación de los ( números estará repetida. i nos fijamos, para garantizar que no repetimos ninguna combinación de !ndices nos podemos ir asegurando de que a medida que avanzamos 0acia la derec0a los números pueden ser iguales o ma&ores, pero nunca menores. 2s! pues, el número de combinaciones para un tensor sim"trico de rango YrZ & dimensión YDZ será la suma acumulada de posibles combinaciones de cada !ndice del tensor, bajo la condición de no ser menor que el anterior#
, cu&os valores según YrZ combinatorio#
& YDZ son análogos al número
2ntisimetrizador# %ecimos que un tensor es antisim"tricos en algunas de sus componentes si al intercambiar dos de ellas el tensor cambia de signo, al cambiar dos de ellas de nuevo lo recupera, & as! indefinidamente. or a0ora no 0emos visto ningún tensor de estas caracter!sticas, pero en futuras entradas veremos ejemplos de esto como el s!mbolo de $eviC8ivita o el tensor de campo electromagn"tico de @axell. ara indicar que un conjunto de componentes son antisim"tricas las rodeamos con un corc0ete, & de nuevo, pongamos por caso un tensor (C7 de dimensión (#
i a0ora queremos antisimetrizar un determinado conjunto de componentes de un tensor determinado el m"todo consiste en, para cada combinación de números, sumar todas las posibles combinaciones cambiando de signo según el criterio visto anteriormente, & 0acer la media aritm"tica de las mismas. =omemos por caso el tensor del apartado anterior por comodidad. i lo antisimetrizamos, sus componentes serán#
