MAESTRÍA EN INGENIERÍA INGENIERÍA Y GESTIÓN GESTIÓ N AMBIENTA AMBIENTAL L CURSO: SIMULACIÓN DE SISTEMAS AMBIENTALES PROFESOR: M.I. Jorge Antonio Po!n"! P.
CONTENIDO INTRODUCCIÓN MÓDULO 1: TEORÍA GENERAL DE SISTEMAS MÓDULO 2: PROCESOS CON MATLAB
MÓDULO 3: PROCESOS CON SIMULINK
MÓDULO 4: APLICACIONES
MÓDULO 2: MÓDULO 2: PROCESOS CON MATLAB #. $. %. (.
POLINOMIOS GRAFICACIÓN C&LCULO NUM'RICO DIN&MICA DE SISTEMAS
1. POLINOMIOS &a integración de las ecnolog)as de $nformación y comunicación *$+ en las asignaturas de un curr)culo puede realizarse de varias formas. %na de ellas es el uso de las simulaciones. Estas se han convertido en una e!celente herramienta para me-orar la compresión y el aprendiza-e en áreas como las matemáticas, f)sica, estad)stica, finanzas, etc. &a simulación permite probar, analizar y descubrir cómo funciona o cómo se comporta un fenómeno.
Matlab es un programa interactivo de cálculo numérico y de visualización de datos basado en software de matrices, en un entorno de desarrollo totalmente integrado y orientado a proyectos que requieren un elevado cálculo numérico y visualización gráfica. En las universidades Matlab se ha convertido en una herramienta básica tanto para estudiantes, como para docentes e investigadores por su amplio abanico de programas especializados llamados oolbo!es que cubren casi todas las áreas del conocimiento. "ispone de un programa #$M%&$'( que es un entorno gráfico interactivo con el que se puede analizar, modelar y simular sistemas.
#.# )ARIABLES Y FUNCIONES OPERADORES %na variable se crea por asignación. &os operadores básicos son * +,
S-!
*/,
Di0eren1i!
*2,
Pro3-1to
*4,
Di5i6i7n
* 8,
Poten1i!
E9eo6: En la ventana de comandos de Matlab, e-ecutar
)ECTORES %n vector fila de n elementos se puede representar de dos formas / 0 1v2,v3,v4,5..vn6 7 con coma entre ellos, o / 0 1v2 v3 v4 5..vn6 7 con espacios entre ellos
E9eo: /ector 0 12 2.3 4.8 89: 3.3:6 %n vector se puede representar sin necesidad de e!plicitar todos los elementos,
E;PRESIÓN MATLAB
SIGNIFICADO
)e1tor < =! : >?
! , > 6on e riero , @tio eeento. Lo6 eeento6 intere3io6 6e 3i0eren1i!n en -n! -ni3!3
)e1tor < =! : 6 : >?
! , > 6on e riero , @tio eeento. Lo6 eeento6 intere3io6 6e 3i0eren1i!n en ! 1!nti3!3 6
)e1tor < ine6!1e=!>n?
! , > 6on e riero , @tio eeento. !, n eeento6 -ni0oreente e6!1i!3o6 entre 6"
)e1tor < og6!1e=!>n?
! , > 6on e riero , @tio eeento. !, n eeento6 og!r"ti1!ente e6!1i!3o6 entre 6"
E9eo6: ;;/ector2 0 1::4<6 7 elementos de : a 4< en pasos de : /ector2 0 : 2< 2: 3< 3: 4< ;;/ector3 0 1:2<6 /ector3 0 : = > ? @ 2< 7 elementos de : a 2< en pasos de 2 *por defecto %n vector columna se representa con sus elementos separados por punto y coma.
E9eo: ;;/ector 0 13A 4A 3.:A 8.:A ?6 /ector 0 3 4 3.: 8.: ?
#.$ MATRICES &as matrices se representan en Matlab introduciendo entre corchetes los vectores fila separados por punto y coma.
E9eo: ;;B 0 12 4 :A 8 > @A 8 3 2<6 B 0 2 4 : 8 > @ 8 3 2< Blgunas definiciones de variables matriciales
An
De0ine e eeento n 3e ! !tri A
B < A
De0ine ! tr!n6-e6t! 3e A
A!:>1:3
De0ine -n! 6->!tri 0or!3! or !6 0i!6 -e H!, entre ! !6i! , ! >6i! , or !6 1o-n!6 -e H!, entre ! 16i! , ! 36i!
A:1:3
S->!tri 0or!3! or !6 0i!6 3e A , !6 1o-n!6 -e H!, entre ! 16i! , 3 6i!
A!:>:
S->!tri 0or!3! or !6 1o-n!6 3e A , !6 0i!6 -e H!, entre ! !6i! , > 6i!
6ieA
De5-e5e e t!Ko - or3en 3e ! !tri A
;; C 0 BD
;; eye*4
;; +0C*,34
C0
ans 0
+0
2 4 :
8 > @
8 3 2<
2 < <
< 2 <
< < 2
8 > @
8 3 2<
;; size*" ;; " 0 C*23, "0 ans 0 2 4
8 >
8 3
3
4
#.% FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOM'TRICAS
Dire1t!6
In5er6!6
6in*
!6in*
1o6*
!1o6*
t!n*
!t!n*
161*
!161*
6e1*
!6e1*
1ot*
!1ot*
FUNCIONES IPERBÓLICAS
6inH*
!6inH*
1o6H*
!1o6H*
t!nH*
!t!nH*
161H*
!161H*
6e1H*
!6e1H*
1otH*
!1otH*
FUNCIONES E;PONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
e!p*!
unción e!ponencial base e
log2<*!
&ogaritmo decimal
log*!
&ogaritmo natural
sqrt*!
Fa)z cuadrada
abs*!
/alor absoluto
NMEROS COMPLEJOS
abs*z
Módulo del comple-o z
angle*z
Brgumento del comple-o z
con-*z
+on-ugado del comple-o z
real*z
Garte real del comple-o z
imag*z
Garte imaginaria del comple-o z
factorial*n
nH 0 n*nI2*nI3*nI45..4.3.2
E9eo6:
b y 0 3sen*:! K 4cos*3! para ! 0 4<
+alcular las siguientes e!presiones en Matlab ;; ! 0 4
a
para ! 0 3.:
;; !03.:A ;; y 0 e!p*sqrt*!J3K3L!I:
;; y 0 3Lsin*:L! K 4Lcos*3L!
y0
y0 23.2?3:
3.:<<<
c) Para x=1.5 >> x=1.5; >> y = log10(x + 5)^(1/3) + log(x^2) y= 1.7442
#.( POLINOMIOS &os comandos usados por Matlab para traba-ar con polinomios son
< o,r
D! o6 1oe0i1iente6 3e oinoio P 1-,!6 r!"1e6 6on e 5e1tor r
, < o,5!*
E5!@! e oinoio en e 5!or 3e *
r < root61
6 < 6o5ee1-!1ion#e1-!1ion$
En1-entr! !6 r!"1e6 3e oinoio 1 Poinoio 3e or3en n -e !9-6t! o6 -nto6 *, Re6-e5e !6 e1-!1ione6
3 < 3etA
C!1-! 3eterin!nte 3e A
< o,0it*,n
E9eo6:
b Gara ! 0 3.: calcular y 0 !8 N 4!3 K :! I3.?
a ;; p0poly*1 3 4 86 p0 2
I@
3= I38
7 El polinomio es !4 N @!3 K3=! N 38
c Encontrar las ra)ces de !: N 4!4 K !3 I:! K 3 ;; c 0 12 < I4 2 I: 36A ;; r 0 roots*c
;; ! 0 3.:A ;; p 0 12 < I4 : I3.?6A ;; y 0 polyval*p,! y0 8.<>:< r0 I3.2>2= 2.?@<: I<.<:>: K 2.2<>=i I<.<:>: I 2.2<>=i <.4@=<
d +alcular el polinomio interpolador de segundo orden que pasa por los puntos *I2,8, *<,3 y *2,= ;; ! 0 1I2,<,26A y 0 18,3,=6A ;; p 0 polyfit*!,y,3 p 0 4.<<<<
2.<<<<
3.<<<<
El polinomio interpolador que más se a-usta es
4! 3 K ! K 3
f Fesolver el sistema de ecuaciones 3! K 4y 0: ! N 3y 0 I3 ;; 1!,y6 0 solve*D3L! K 4Ly 0 :D,D! I 3Ly 0 I3D 7 ! 0 89>, y 0 @9>
g +alcular el determinante de la matriz
;; B 0 13 8 I2A 4 I3 :A I2 4 =6A ;; d 0 det*B 7 d 0 I2:4
2. GRAFICACIÓN Matlab ofrece diversas formas de representación gráfica. COMANDO MATLAB
DESCRIPCIÓN
>!r,
Gr0i1! 3e >!rr!6 re!ti5o ! 5e1tor ,
>!r*,
Gr0i1! 3e >!rr!6 ! 5e1tor , * 3e0ine e e9e *
>!rH.
Gr0i1! 3e >!rr!6 Horiont!e6
>!r.1oor
Coor < r g , 1 Q
>!r,e6tio
E6tio
>!r%,
B!rr!6 en tre6 3ien6ione6
ot*,
Gr!0i1! , en 0-n1i7n 3e *
ot*,>o
Gr!0i1! , en 0-n1i7n 3e * on 1oor , 1!r!1ter
0ot0=*# *$?,2
Gr!0i1! 0-n1i7n 0 entre *# , *$
0ot=0#0$..?=*# *$?
Gr!0i1! !6 0-n1ione6 en e inter5!o 3!3o
tittete*to
T"t-o 3e ! gr0i1!
*!>ete*to ,!>ete*to
R7t-o6 en e e9e * , en e e9e ,
gri3
Pone re9i! en ! gr0i1!
!*i6=*# *$ ,# ,$?
De0ine "ite 3e o6 e9e6
egen3rot-o#rot-o$.
Coo1! egen3! en ! gr0i1!
te*t*,te*to
Coo1! te*to en 1oor3en!3!6 *,
6->otn
S->gr0i1!6 3e 0i!6 n 1o-n!6
E9eo6: a ;; y012 3 4 ? 3 2 8 =6A ;; bar*y
b Oráfico de barras para la función cuando ! var)a de I4 a 4 en pasos de <.3 ;; ! 0 I4<.34A ;; y 0 e!p*I!.L!A ;; bar*!,y
c barh*!,y
d E-ecutar ;; bar*!,y,PgP
y 012< ? =A 3 : ?A = < @A : ? >A @ 8 36
y= 10 2 6 5 9
8 5 0 8 4
6 8 9 7 2
>> bar(y!gro"#$%!)
;; bar*y,DstacQedD
;; bar4*y,DstacQedD
f E-ecutar ;; ! 0 <<.33
;; plot*!,y,PrLP
g E-ecutar ;; fplot*D1sin*!, sin*3L!, sin*4L!6D,1<,3Lpi6 ;; legend*Dsen*!D,Dsen*3!D,Dsen*4!D
h E-ecutar en la ventana de edición el programa
E9eo6: a Oraficar en dos subgráficas una fila y dos columnas ! 0 1<<.23Lpi6A y 0 sin*!A z 0 cos*!A subplot*232A plot*!,y title*Rsen*!P subplot*233A plot*!,z title*Rcos*!P
b Oraficar en dos subgráficas dos fila y una columna ! 0 1<<.23Lpi6A y 0 sin*!A z 0 cos*!A subplot*322A plot*!,y title*Rsen*!P hold on subplot*323A plot*!,z title*Rcos*!P
c Oraficar en cuatro subgráficas dos filas y dos columnas subplot *332A fplot*Rsin*!P,1I3Lpi 3Lpi6A subplot *333A fplot*Rcos*!P,1I3Lpi 3Lpi6A subplot *334A fplot*Rcsc*!P,1I3Lpi 3Lpi I2< 2<6A subplot *338A fplot*Rsec*!P,1I3Lpi 3Lpi I2< 2<6A
d Oraficar en diferentes escalas ! 0 <<.<24A y 0 abs*e!p*I<.:L!.Lsin*:L!A subplot*332A plot*!,y title*RnormalP hold on subplot*333 loglog*!,y title*RlogaritmicaP subplot*334 semilog!*!,y title*Rsemilogaritmico en e-e !P subplot*338 semilogy*!,y title*Rsemilogaritmico en e-e yP
Gr0i1!6 en tre6 3ien6ione6 plot4*!,y,z !, y ,z son las coordenadas de la función Gor e-emplo graficar !0sen*t, y0cos*t, z0t
Oraficar sen!, cos!, cos3! en tres planos diferentes
Gr0i1!6 3e !!: e6H*, Grimero hay que definir la re-illa con meshgrid que genera la matrices !,y E-emplo
Gr0i1!6 3e 1ontorno: 1onto-r%*,n "a una gráfica de dos dimensiones de los contornos de la gráfica.
Grafcar !"#a$ %# c&'&r& # ( )!a&
3. C*LCULO NUM+RICO %.# LÍMITES
%.$ DERI)ADAS
e f*! 0 log*sen*3! ;; syms ! ;; diff*log*sin*3L! ans 0 3Lcos*3L!9sin*3L!
(.% INTEGRALES
(.( ECUACIONES DIFERENCIALES: 36o5e
dsolve*D"3yKy08D ans 0 +3Lcos*t K +4Lsin*t K 8
#i se conocen condiciones iniciales y*<02, yP*<0< dsolve*D"3yKy08D,Dy*<02D,D"y*<0
, variable independiente es ! dsolve*D"3yKy08D,D!D ans 0+?Lcos*! K +@Lsin*! K 8
Gara un sistema de ecuaciones , 1!,y60dsolve*D"!04L!K8LyP, R"y0 I >L!K=LyR, R!*<03D,Dy*<02D
USO DE: o3e(
APLICACIÓN: EL BIOREACTOR El uso de células vivas para la producción de productos qu)micos crece anualmente con ritmos asombrosos. anto microorganismos *bacterias, hongos, algas como células humanas, vegetales o animales se utilizan para la producción varios productos qu)micos, como por e-emplo insulina, antibióticos, biosurfactantes. #on responsables también de la producción de alcohol v)a fermentación, producción de quesos, vinos, champagne, etc. ambién los procesos biológicos son muy usados en el tratamiento de residuos y efluentes. +uando una pequeSa cantidad de células vivas es adicionada en una solución l)quida que contiene los nutrientes esenciales, y que se encuentra a una temperatura y un GT adecuado, las células crecerán. El agua es el componente principal de las células, por lo tanto un suministro de agua adecuado es indispensable para lograr el mantenimiento y crecimiento microbiano y es medio de transporte de los sustratos *o contaminantes hacia el interior de las células, y también el transporte de los compuestos que se producen dentro de la célula y que son devueltos al medio de cultivo.
&a figura muestra la utilización de los sustratos para la obtención de los productos de la reacción biológica.
Monod en 2@83 desarrolló una ecuación muy simple para representar los procesos biológicos que funciona en general muy bien.
"onde, Uma!0velocidad espec)fica de crecimiento má!ima, hI2 (s0constante de saturación, g9l #0concentración de sustrato limitante, g9l
E1-!1ione6 3ini1!6.
E-emplo +ondiciones iniciales V*<0<.<: g9l, G*<0< g9l, #*<028.: g9l Uma!02 9h, (s0>, Wp!0<.:, W!s0<.8:
MATLAB >io3ig.
MATLAB Re!1tor$.
4. DIN*MICA DE SISTEMAS (.#. SISTEMAS %n sistema es una combinación de componentes que actXan con-untamente para alcanzar un ob-etivo espec)fico. %n sistema es dinámico cuando la salida presente depende de las entradas pasadas y es estático cuando la salida presente depende solamente de las entradas presentes .
&os componentes básicos de un sistema son a b c d e
Elementos que son las partes del sistema Estructura. #e refiere a las interrelaciones entre las partes del sistema. Bmbiente. Felaciona el sistema con el todo. Es su entorno Entradas. #on las fuentes de energ)a, recursos e información #alidas. #on los productos o resultados.
&os sistemas pueden clasificarse de las siguientes maneras a #istemas de lazo abierto y b #istemas en lazo cerrado, que son los que realimentan parte de su salida a la entrada.
(.$ MODELO MATEM&TICO Es la descripción matemática que predice el funcionamiento del sistema. En los sistemas f)sicos el modelo matemático se describe por ecuaciones diferenciales. &os sistemas lineales se modelan con ecuaciones diferenciales lineales y son aquellos que se les aplica el principio de superposición, esto es, la respuesta de un sistema a varias entradas simultáneas es la suma de las respuestas individuales.
Gara elaborar un modelo a b c
#e debe dibu-ar un diagrama esquemático del sistema y definir las variables. Escribir las ecuaciones utilizando las leyes f)sicas de cada componente, combinándolos de acuerdo al diagrama y obtener el modelo matemático /erificar la validez del modelo comparando la predicción de las ecuaciones del modelo con los resultados e!perimentales. El modelo se debe a-ustar hasta que haya una buena concordancia entre lo teórico y lo práctico.
En general, la construcción de modelos se basa en la observación del sistema. E!isten algunos caminos básicos para obtener un modelo
Mo3e!iento 3e Si6te!6 Esta estrategia consiste en descomponer *abstractamente el sistema en subsistemas más simples, cuyos modelos sean factibles de obtener gracias a la e!periencia previa. %na vez obtenidos estos submodelos, se buscan las relaciones que e!isten entre ellos, para interconectarlos y obtener el modelo del sistema original. Esta estrategia busca una descripción desde adentro del sistema, generalmente basada en el conocimiento de las leyes que rigen los sistemas simples.
I3enti0i1!1i7n 3e Si6te!6 Esta estrategia consiste en acumular un nXmero suficiente de observaciones sobre las seSales de entrada y salida del sistema, con el propósito de emplearlas para construir un modelo del mismo. 'o se centra en lo que e!iste al interior del sistema, sino en su comportamiento respecto al entorno.
E6tr!tegi! H">ri3! E!iste una tercera estrategia, que realmente es una combinación de las anteriores Bl igual que en la estrategia de modelamiento, se emplea el conocimiento que esté a la mano acerca de la estructura interna del sistema y las leyes que rigen su comportamiento, y se emplean observaciones para determinar la información que haga falta.
Gara un sistema continuo de una Xnica entrada y una Xnica salida, el modelo empleado corresponde a una ecuación diferencial ordinaria de coeficientes constantes
Ytro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearán relacionan vectores de variables mediante matrices.
(.% LAPLACE CON MATLAB LAPLACE DIRECTA Gara calcular la ransformada de &aplace de una función se usa el comando
!!1e0t E9eo6: +alcular la transformada de &aplace de
a f*t 0 cos*wtKsen*wt
b f*t 0 4t K 3t 3
;; syms w t ;; laplace*cos*wLtKsin*wLt
;; laplace**4LtK3LtJ3
ans 0
ans 0
s9*sJ3KwJ3Kw9*sJ3KwJ3
49sJ3K89sJ4
c f*t 0 4eI3t I3e:t ;; laplace*4Le!p*I3LtI 3Le!p*:Lt ans 0 49*sK3I39*sI:
LAPLACE I N)ERSA "ada la ransformada de &aplace *s, la ransformada $nversa de &aplace es f*t. El comando o función matlab para obtener la función en el tiempo es
i!!1e06
>> &y'& & >> &=(&+2)/(&^2+2&+2); >> *la#lac$(&) a& = $x#(,-)(co&(-)+&*(-))
(.( ECUACIONES DIFERENCIALES CON MATLAB Gara resolver o solucionar una ecuación diferencial a #e aplica transformada de &aplace a la ecuación b #e despe-a *s c #e halla la transformada inversa
c Bplicando ransformada inversa de &aplace,
(. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA &a función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial, se define como el cociente de la ransformada de &aplace de la salida y la ransformada de &aplace de la entrada.
El método para encontrar la función de transferencia de un sistema es el siguiente 2. Escribir la ecuación diferencial del sistema 3. Bplicar la ransformada de &aplace de la ecuación diferencial con condiciones iniciales cero 4. #acar el cociente entre la variable de salida y la entrada
(. DIAGRAMA EN BLOUES &a estructura de un sistema se representa por un diagrama en bloques segXn el siguiente procedimiento a
"efinir la entrada y la salida
b Escribir las ecuaciones que describa el comportamiento de cada elemento del sistema c Bplicar transformada de &aplace a cada elemento d $ntegrar los elementos en un diagrama completo *estructura
a Entrada ei , salida eo
TIPOS DE ESTRUCTURAS &os diagramas de bloques mediante los cuales se estructura un sistema son comple-os y son generalmente combinaciones de los siguientes tipos de estructuras
M!t!>: ;; Gla = Gs*Hs >> Glc = feedback (Gs,Hs (Gs,Hs
7 *2 Grimera realimentación O20tf*2,12 86 T20tf*2,12 <6
7 *4 #egunda realimentación T30293 Olc30feedbacQ*O8,T3
7 Fealimentación de O2 y T2 Olc20feedbacQ *O2,T2
7 *8 #egunda estructura serie O40tf*2,12 <6 O:0Olc3LO4
7 *3 Estructura serie O30tf*2,12 36 O80Olc2LO3
7 *: ercera realimentación Olc0feedbacQ*O:,2
RESPUESTA DE UN SISTEMA Oeneralmente se conoce como respuesta de un sistema la salida en el dominio del tiempo que tiene el sistema cuando a su entrada se le aplica una función escalón unitaria. ambién se conoce como respuesta al paso unitario. Gara el e-emplo anterior la respuesta al paso unitario se adicionando la instrucción
obtiene
;; step*Olc Esta respuesta tiene como caracter)stica importante la amplitud de pico, el sobreimpulso *overshoot y el tiempo de establecimiento *setting time.
