PRÁ PR Á C TIC A
TRANSF RANSFO O RMADA DE LAPL LAPLA AC E
C UR URS SO 2014-2015 C ÁLCUL ÁLCULO O II
Prá Pr á c tic a s M a tla b Prá Pr á c ti tic c a 11 (1 (19/ 9/05 05// 20 2015 15))
Objetivos
o
Calcular transformadas de Laplace y transformadas inversas de Laplace, utilizando cálculo simbólico.
o
Comprobar propiedades de la transformada de Laplace.
Comandos de Matlab
1.‐ Obtener la Obtener la transformada de Laplace de una función una función utilizando cálculo simbólico
l apl ac e( f ) Obtiene la transformada de Laplace de la función f(t), utilizando cálculo simbólico. La función transformada, por defecto, depende de la variable s, es F(s). Ejemplo: f =sym sym( ' t ^3' ) ; F=l apl ace( ce( f ) o también syms t ; F=l apl ace( ace( t ^3) 2.‐ Obtener la Obtener la transformada inversa de Laplace de una función una función utilizando cálculo simbólico
i l apl ac e( F) Obtiene la transformada inversa de Laplace de la función F (s), utilizando cálculo simbólico. La función transformada inversa, por defecto, depende de la variable t . Ejemplo:
syms s; f =i l apl ace( ce( 1/ ( s^2+1) / ( s+1) ) 3.‐ Calcula el límite el límite de una expresión utilizando cálculo simbólico
l i mi t ( f , x, a) Obtiene el límite de la expresión f cuando la variable x tiende hacia a. Ejemplo: syms x; L=l i mi t ( sqr sqr t ( x^4+1) / ( x^2+1) , x, i nf )
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MATLAB: TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejercicios
Definición (Transformada de Laplace).‐ Sea f t una función definida para t 0 y tal que f t 0 para t 0 . Se llama transformada de Laplace de la función f t a la función:
L
f (t ) F (s ) f (t )e st dt 0
siempre que la integral anterior sea convergente.
Definición (Función de orden exponencial).‐ Una función f t , se denomina de tipo exponencial “ ” si existen M y t 0 tales que t t t 0 f (t ) Me
Si una función f t es de tipo exponencial , también será exponencial de tipo
1
1
para todo
(ver figura). El conjunto de todos los valores que satisfacen dicha condición está
acotado inferiormente, y su ínfimo
0
se denomina abscisa de convergencia de f t .
f (t ) Me
t
Me t , t t 0 0 1
TEOREMA (de existencia de la transformada de Laplace).- Sea f t una función definida para t 0 y tal que f t 0 para t 0 . Si f t es continua a trozos y además
f t es de tipo exponencial, entonces existe la transformada de Laplace para valores de s tales que Re(s) 0 , siendo 0 la abscisa de convergencia de f t .
TEOREMA.- Si f t verifica las condiciones del teorema de existencia anterior, entonces la función transformada F s tiende a cero a medida que s tiende a infinito, es decir lím F ( s ) 0 s
MATLAB: PRÁCTICA 10
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TRANSFORMADAS DE LAPLACE
f (t ) L -1 F (s )
F ( s ) L f (t )
1
1.
1
2.
t n
, s0 s n! , s 0, s n 1
t
3.
s 1 2 , s 0
t
1
at
5.
e
6.
t e
7.
sen a t
8.
cos a t
9.
t sen a t
n
a t
10.
t cos a t
11.
e bt sen a t
12.
e cos a t bt
s 3 2 , s 0
2
1
4.
n0
, sa sa n! , s a, ( s a ) n 1 a s a2 s 2
s2 a2 2a s
,
s0
,
s0
(s2 a2 ) 2 s a 2
,
s0
,
s0
n0
2
(s2 a2 ) 2 a
( s b) 2 a 2 s b
( s b) 2 a 2
,
sb
,
sb
Cálculo de transformadas de Laplace
1
Comprueba que para las funciones de la tabla se obtiene la transformada que se indica.
Indicaciones A modo de ejemplo se muestra cómo obtener la transformada de la función de la filas 1 a 3. Código Matlab:
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MATLAB: TRANSFORMADA DE LAPLACE
syms t di sp( ' f i l a 1' ) F=l apl ace( heavi si de( t ) ) %heavi si de( t ) es l a f unci ón escal ón uni dad di sp( ' f i l a 2 par a n=2' ) F=l apl ace( t ^2) di sp( ' f i l a 3' ) F=l apl ace( sqr t ( t ) )
Propiedad (Multiplicación por la exponencial).‐ Si a es un número real cualquiera, L e
2
at
siendo
f (t ) s L f (t ) s a F s a , s a
la abscisa de convergencia de f t .
Considerar para verificar la propiedad anterior las funciones
f1 t tsen (5t )
f 2 t e
3t
tsen (5t )
Indicaciones Código Matlab: syms s t F=l apl ace( t *si n( 5*t ) ) F1=l apl ace( exp( - 3*t ) *t *si n( 5*t ) ) F2=subs( F, s, s+3)
Para comprobar la propiedad hay que observar que: F1 s
10 s 3
s
2
6s 34
2
F s 3
MATLAB: PRÁCTICA 10
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Propiedad (Trasformada de la integral).‐ Si existe L f (t ) para s 0 ,
3
t 1 L f ( x ) dx F s , 0 s
s
Considerar para verificar la propiedad las funciones t
f1 t x sen 2 x 3
f 2 t
(x
3
sen 2 x) dx
0
Indicaciones Código Matlab: syms s t x F=l apl ace( t ^3+si n( 2*t ) ) F1=l apl ace( i nt ( x^3+si n( 2*x), x, 0, t ) ) F2=1/ s* F
Para comprobar la propiedad hay que observar que: F1 s
1 s
F s
Propiedad (Traslación en el tiempo).‐ Si c es cualquier número real positivo, L U
t c f (t c ) e c s L f (t ) e c s F s , s
a) Obtener la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones, utilizando código Matlab:
4
F 1 s
( s 3) s ( s 2 1)
F 2 s
( s 3) e s s ( s 2 1)
F 3 s
( s 3) e s 2 s ( s 2 1)
Observa que las transformadas F 2 s y F 3 s se obtienen a partir de F1 s , multiplicando por una exponencial e
sc
, con c 0 .
b) Representar gráficamente sobre la misma figura las transformadas inversas obtenidas, f 1 , f 2 , f 3 , en el intervalo t 0,14 . c) ¿Qué relación observas entre las tres gráficas? ¿En qué propiedad de la transformada de Laplace se basa este resultado?
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MATLAB: TRANSFORMADA DE LAPLACE
Indicaciones Código Matlab %Apl i caci ón de l a pr opi edad t r asl aci ón en el t i empo syms s % Def i ne l a t r ansf or mada i ni ci al , F1( s) F1=( s+3) / ( s* ( s^2+1) ) ; % Cal cul a l a t r ansf or mada i nver sa de F1, l a f unci ón f 1( t ) f 1=i l apl ace( F1) f i gur e ( 1) % Di buj a l a f unci ón f 1( t ) en el i nt er val o [ 0, 14] con pl ot f 1num=subs( f 1, 0: 0. 01: 14) ; hol d on pl ot( 0: 0. 01: 14, f 1num, ' b' ) % Def i ne l a t r ansf or mada F2( s) =F1( s) *exp( - s*pi ) F2=exp( - s*pi ) *( s+3) / ( s*( s^2+1) ) ; % Cal cul a l a t r ansf ormada i nver sa de F2 f 2=i l apl ace( F2) % Di buj a l a f unci ón f 2( t ) sobr e l a mi sma f i gur a 1 f 2num=subs( f 2, 0: 0. 01: 14) ; pl ot( 0: 0. 01: 14, f 2num, ' r ' ) % Def i ne l a t r ansf ormada F3( s) =F1( s) *exp( - s*2) F3=exp( - s*2) *( s+3) / ( s*( s^2+1) ) ; % Cal cul a l a t r ansf ormada i nver sa de F3 f 3=i l apl ace( F3) % Di buj a l a f unci ón f 3( t ) sobr e l a mi sma f i gur a 1 f 3num=subs( f 3, 0: 0. 01: 14) ; pl ot( 0: 0. 01: 14, f 3num, ' g' ) t i t l e( ' t r ansf ormadas i nver sas' ) l egend( ' f ( t ) ' , ' f ( t - pi ) * U( t - pi ) ' , ' f ( t - 2) * U( t - 2) ' )
transformadas inversas
7
f(t) f(t-pi)*U(t-pi) f(t-2)*U(t-2)
6
5 4 3 2 1 0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
La solución obtenida es f1 t U (t ) 3 3cos t sen t ;
f 2 t U t 3 3cos t- +sen t- ;
f3 t U t 2 3 3cos t-2 sen t-2
Resumen de c omandos Se recogen aquí los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas
MATLAB: PRÁCTICA 10
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de evaluación. También se supondrán conocidos los comandos que fueron utilizados en prácticas anteriores y en las prácticas de Cálculo I.
Función escalón unidad:
heavi si de
Obtener la transformada de Laplace de una función simbólicamente:
l apl ac e
Obtener la transformada inversa de Laplace de una función:
il apl ac e
Calcular el límite de una expresión simbólica:
l i mi t
