ONDAS REFLEJADAS. Actualizada: marzo, marzo, 2004
Concepto .-
De la ecuación 11, el término V 1 e -γ z representa representa una onda de tensión con valor fasorial V 1 cuando z = 0, avanzando en la dirección de incremento de z con una velocidad de fase v p = = ω / β , disminuyendo exponencialmente en amplitud a medida que avanza, de acuerdo al término e -αz. ste término de la ec !11" es referido como onda incidente . #imilarmente, el término de la forma V 2 2 e representa una onda de tensión con valor e +γ z representa fasorial V 2 2 cuando z = 0, avanzando en dirección decreciente de z, disminuyendo exponencialmente a medida que avanza, de acuerdo con el término e −α (−z" . ste término representa una onda reflejada. V 1 + V 2 = V in, es la tensión fasorial en las terminales de entrada de la l$nea. ste comportamiento 2 =
se aplica idénticamente a ondas de corriente.
xistir%n ondas refle&adas si en el extremo de la l$nea !z = ", la impedancia terminal de car'a () requiere relaciones de ma'nitud y fase entre la tensión y la corriente, diferentes de las relaciones que existen para las ondas que lle'an. *os valores fasoriales de las ondas refle&adas ser%n tales que cuando éstas se com+inan con los valores fasoriales de las ondas incidentes, se satisfacen las condiciones de +orde en l a terminación, impuestas por la impedancia ( ). uando una l$nea termina en una impedancia () distinta de (0 a+r% siempre ondas refle&adas y la impedancia en cualquier punto de la l$nea diferir% de ( 0.
Impedancia en cualquier punto de la LT .-
#e define como la impedancia de entrada de la sección de l$nea del lado de la car'a terminal del punto, cuando la porción de l$nea del lado del 'enerador se a eliminado. #a+emos que
----- !11" Derivando
/ tam+ién, !ec. "
----- !" 'ualando y despe&ando !z"
2or lo tanto
-----! 34 " *a ( en cualquier punto de la l$nea ser% la razón entre la tensión ec ! 11 " y la corriente ec ! 34 ". n el extremo terminal !z = ", esta relación ser% i'ual a la ( ). sto implica
-----! 35 " l término V3 e 6γ l representa el valor fasorial en z = , de una onda refle&ada que avanza en dirección decreciente de (. sta reflexión es función de la impedancia ( ).
Coeficiente de Reflexión ! )" .-
#e define como el cociente del valor fasorial de la tensión refle&ada y el valor fasorial de la tensión incidente, en el punto de reflexión, esto es, en la car'a terminal.
7s$ entonces
-----! 38 " Dividiendo los términos de la dereca de ! 35 " entre V 1 e-γ l se o+tiene
-----! 3 " *a relación () 9 (0 se denomina valor normalizado de (), y es el valor utilizado en los c%lculos mediante la arta de #mit. l oeficiente de :eflexión en función de la ( ) normalizada es
----- ! 3; " Razón de Onda Estacionaria de Tensión !:<" .-
n in'lés Volta'e #tandin' ave :atio !V#:"> se define como la relación entre la ma'nitud m%xima de la tensión a la ma'nitud m$nima, en referencia a la onda estacionaria de la tensión. sto es :< = ? V max ? 9 ? V
?
min
n función del oeficiente de :eflexión
----- ! 3@ " omo ) tendr% valores entre cero y uno, la :< los tendr% entre 1 e ∞ . *a :< es función de la ma'nitud del oeficiente de :eflexión, mientras que l a localización de los m%ximos y m$nimos de tensión son función del %n'ulo de fase de dico coeficiente. &ercicio 1.Ana *) con una (0 de 50 6 & 0 <ms, est% terminada en una impedancia de car'a de 35 B & 5 <ms. Cu%l es el coeficiente de reflexión de las ondas de tensión en la terminal de car'a de la l$nea ncuentre tam+ién la :<. :esolución.De la ec.! 3; "
De la ecuación !3@"
&ercicio 3.on los datos del e&emplo anterior encuentre el valor normalizado de la impedancia terminal y encuentre el coeficiente de reflexión. :esolución *a impedancia normalizada es
De ! 3; "
, como anteriormente. :esolver aora utilizando arta de #mit, empleando el valor de ( ) normalizada. &ercicio E.l coeficiente de reflexión producido por una impedancia terminal es de B 0.85 6 & 0.35. *a impedancia caracter$stica es de 53 6 & 0 <ms. ncuentre el valor de la impedancia de car'a. De la ec ! 3 "
:esolver mediante arta de #mit ρ = -0.85 6& 0.35 = 0.8@8 ∠15;.@8° > aprox=0. ∠15@° . 7l 'raficar se o+tiene una ( ) normalizada
de 0.1; 6 & 0.1; <ms....... Impedancia de entrada de una LT.-
De las ecuaciones !11" y !34", la impedancia de entrada en cualquier punto se expresa mediante
Dividiendo numerador y denominador entre V 1, sustituyendo después ρ e -3 γ = V3 9 V1 y multiplicando después por eγ 9 eγ , se o+tiene la si'uiente expresión para la impedancia de entrada en cualquier coordenada de la *) medida desde la terminal de car'a
----- !E0" #ustituyendo ρ de la ec.!3;" se o+tiene
7plicando las identidades
> se tiene ----- !E1" < tam+ién
----- !E3" *a impedancia de entrada se encuentra en una coordenada d medida desde la terminal de car'a, as$ entonces cualquiera de las expresiones anteriores !E0", !E1" y !E3", e xpresar% la (in normalizada si la coordenada d se sustituye por . 7s$ entonces, de la ec !E3" se tiene
----- ! EE " *a expresión anterior determina entonces la mpedancia de entrada normalizada de una l$nea de transmisión de cualquier lon'itud .
eterminación de la Impedancia Caracter!stica a partir de las mediciones de " sc # "oc.-
7 partir de la ecuación anterior, se puede determinar la impedancia de entrada para los casos de terminación en corto y circuito a+ierto, de la si'uiente manera on terminación en corto circuito, es decir ( ) = 0, se tendr%
#i aora se terminara en circuito a+ierto con ( ) = infinito, la ecuación quedar$a
#i am+as impedancias se miden a la misma frecuencia, entonces ( 0, α, β y valores en am+as ecuaciones. Fultiplicando am+as ( sc (oc = (03
tendr%n los mismos
sto es --- !30" omo se a+$a expresado anteriormente en la parte 3 de estos apuntes. 7 continuación veremos otra aplicación interesante de la misma expresión.
eterminación del $actor de %ropa&ación a partir de las mediciones de " sc # "oc.-
7l dividir las expresiones correspondientes a (sc y (oc se tiene
y como
se o+tiene
de aqu$ tenemos
y finalmente despe&ando γ mediante lo'aritmo natural
----- ! E4 " 7s$ se o+tiene el factor de propa'ación a partir de lecturas de impedancias en corto y circuito a+ierto. #e tiene cierta complicación para el c%lculo del factor de fase, como se ver% en el e&emplo si'uiente. &ercicio 4. 7 30 FGz, la impedancia de entrada de una sección de *) coaxial flexi+le de E3 mts. se a medido terminada en corto y en circuito a+ierto, o+teniendo los si'uientes valores ( sc = 1 6 &
[email protected] Ω , y (oc = 115 B & 1E; Ω . ncuentre la (0, el factor de atenuación y el factor de fase. :esolución
onsiderando queln 7 e &θ = ln 7 6 & !θ 63nπ "
l coeficiente de atenuación es i'ual a α = .1@5 x 10 -E Héper9metro.
l coeficiente de fase es i'ual a
7s$ entonces, de acuerdo a la ecuación anterior, tenemos varios valores posi+les para β, como se indican en la si'uiente ta+la para distintos valores de n.
n
β
0.00925 0 1
0.107
2
0.205
3
0.303
4
0.402
5
0.5
6
0.598
7
0.696
8
0.794
2odemos descartar al'unos valores considerando que β = 3π9λ. 7unque no se conoce la lon'itud de onda en la l$nea, a partir de la lon'itud de onda en el espacio li+re se puede acer una estimación para β λ0 = c 9 f = E x 10 ; 9 30 x 10 8 = 15 metros.
De aqu$ β = 3π€9 15 = 0.41;@ rad9metro.
/ como λ I λ0 , el valor de β de+e ser mayor que 0.41; rad9metro. De esta forma se descartan los valores de n desde 0 asta 4. 7ora +ien, considerando una lon'itud de onda de la l$nea entre un E0 y 50 J menores a λ0, se tendr$an valores entre 0.545 y 0.83;5 para β. 2ara lo'rar un me&or criterio se de+en efectuar mediciones so+re otra sección de l$nea m%s corta. #uponiendo otra medición para una sección d e 1.5 metros con los si'uientes valores ( sc = 0 6 & ;; Ω y (oc = 0 B & 53 Ω, se efectKan los mismos c%lculos, o+teniendo •
An valor de 8.84 Ω€para (0, pr%cticamente i'ual al c%lculo anterior.
•
An valor α = 0, pues la l$nea es muy corta para o+tener un valor relevante. sto se puede apreciar del si'uiente desarrollo
2ero aora el factor de fase ser% i 'ual a
7 partir de esta nueva ecuación, se tendr$a una ta+la similar a la anterior n β
0
0.61
1
2.704
2
4.798
l valor de 3.04 !y mayores" para β no son facti+les pues el primero implicar$a una lon'itud de onda de 3.E3 metros, con una velocidad de fase de solamente el 15.5J de la velocidad de la luz. 7s$ entonces el Knico valor posi+le de esta ta+la es el de β = 0.81> el valor correspondiente m%s cercano que se o+serva de la primera ta+la es β = 0.5@;, que es el valor correcto, para n = 8. n este caso, λ = 10.5 metros y v p = 3.1 x 10; metros9se'. Lineas '(tu)' con terminaciones en corto circuito # circuito a)ierto.-
De la ecuación !30", para una l$nea de lon'itud atenuación desprecia+le !α = 0" se tiene {Recordando que : tanh j β
= j tan β
}
terminada en corto circuito !( ) = 0" y con
----- !E5" #imilarmente para la misma l$nea, pero con una terminación en circuito a+ierto !( ) = ∞ "
----- !E8" Hormalmente (0 es una resistencia pura, por lo tanto de las ecuaciones anteriores se puede o+servar que las impedancias de entrada de secciones de l$nea de +a&a pérdida, con terminaciones en corto o en circuito a+ierto, son reactancias puras. De la relación β = 3π/λ !ec. 15", se deduce que en el ran'o de lon'itudes desde = 0 asta = λ 9 3, las reactancias de entrada de esas secciones de l$nea, con cualquiera de las terminaciones, a+arcan el ran'o desde - ∞ asta 6∞ , proporcionando as$ el equivalente de todos los valores posi+les de inductancia y capacitancia.
sto se o+serva en la si'uiente ta+la para distintos valores de una l$nea terminada en corto.
, partiendo de la ec. !E5", para
0
λ /8
λ /4
3/8λ
λ /2
5/8λ
Reactancia Normalizada
0
an π /4
an π/2
an ! π
an π
an 5/4 π
"#alor$
0
1
∞
%1
0
1
&m'edancia Normalizada
0 (
) "inductor$
∞
%) "ca'acitor$
0 (
) "inductor$
Longitud de línea
((
L 2ara lon'itudes de l$nea de cero y mKltiplos pares de λ94, la respuesta es de un circuito resonante serie. LL 2ara mKltiplos impares de λ94, se tiene una respuesta de circuito resonante paralelo. 2ara lon'itudes de l$nea cortas !atenuación desprecia+le" entre cero y λ94 y con terminación en corto circuito se tendr%n valores correspondientes a un inductor, como se deduce de la ta+la anterior, y se o+serva en la si'uiente 'r%fica de la función tan'ente.
Gr!ica para la" i#pedancia" de entrada de l$nea" ter#inada" en corto % circuito a&ierto, ecuacione" ' ()* % '(*.
7 frecuencias de cientos de FGz, una lon'itud de onda se convierte en una lon'itud f$sica suficientemente pequeMa, la cual puede ser incorporada en equipos. *a atenuación de tales secciones de l$nea es muy pequeMa ! α II β". stas secciones de l$nea pueden contri+uir con sus capacitancias e inductancias como si fueran componentes de circuito, para adaptar impedancias y se conocen como l$neas N#)AON &ercicio 5.Ana sección de *) de +a&a pérdida tiene una lon'itud de 0.40 lon'itudes de onda y est% terminada en corto circuito. *a ( 0 es de E 6 & 0 <ms. *a frecuencia de operación es de 300 FGz. Determine la reactancia de entrada de dica sección de la l$nea y el valor de la inductancia o capacitancia a la cual ésta es equivalente. :espuesta (in = - 5E.0E & !representa un capacitor, por el si'no ne'ativo", y la capacitancia = 1 5 pP. &ercicio 8.Ana *) de +a&a pérdida tiene una = 53.5 x 10-13 P9m, una * = 3.4E x 10 - G9m y una resistencia y conductancia distri+uidas desprecia+les. #e opera a una frecuencia de 500 FGz. Cu%l es la lon'itud m%s corta de l$nea, terminada en circuito a+ierto, que tendr% una suceptancia de entrada i'ual a 6 0.035 #iemens :espuesta #e requiere calcular β = 11.33 rad9metro. *a impedancia caracter$stica es ( 0 = 8;.0E <ms. omo se trata de una l$nea terminada en circuito a+ierto, se utiliza la ecuación E8, de donde se despe&a , la cual es i'ual a = 0.0@38 metros 6 n λ93. *a distancia m%s corta ser% entonces de 0.0@38 metros.
&ercicio .:esolver los pro+lemas anteriores mediante arta de #mit. :epetir la resolución empleando valores de 7dmitancias en la arta. &ercicio ;.:esolver mediante arta de #mit Ana *) sin pérdidas termina en una car'a con impedancia d e 1;0 6 50 & <ms. #i la admitancia caracter$stica de la l$nea es de 0.1 #iemens, C7 qué distancia de la car'a se tiene una admitancia normalizada de /9/0 = 1 6 & O Cu%l ser% el valor para la #uceptancia :espuesta l desplazamiento correspondiente es de 0.1;3 λ. *a suceptancia ser% de 0.5 positiva !capacitor". &ercicio @.:esolver mediante arta de #mit Ana *) sin pérdidas tiene una impedancia caracter$stica de 100 <ms y est% terminada con una car'a comple&a de 130 6 & ;0 <ms. #e desean evitar las reflexiones acia el 'enerador acoplando la car'a con un equili+rador reactivo. ncuentre la posición m%s cercana a la car'a donde de+e conectarse el Nstu+N y o+ten'a la lon'itud del mismo. :espuesta 7dmitancia )erminal Hormalizada = 0.5 B & 0.E;48. 7 un desplazamiento de d = 0.3E3λ se encuentra una 7dmitancia Hormalizada = 1 6 & 0.5 #iemens. *a lon'itud del stu+ terminado en corto circuito !7dmitancia nfinita", con valor de B & 0.5, es de = 0.14; λ.
Definiciones y onceptos.