SESIÓN 9 DE ENERO 2015
ONDAS
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Estudio del MAS realizado por el corcho
Inicialmente está en equilibrio P = Empuje P = mg = d t.Vt.g = L3 dt g
E
E=P
(yo es la altura sumergida en equilibrio) Al introducir mediante una F externa 1 cm más, E aumenta en L2 10-2 da g y tiende a recuperar la posición inicial. La fuerza total ya no es cero, es E-P = L 2 y da g, donde y es la altura sumergida contada a partir de yo
y0
P F = L2ydag F
E = Volumen sumergido d ag = L2 yo da g
Ecuación dinámica: F = ma -L2 y da g =ma →
d2y/dt2 + L2 y da g/m = 0 Que corresponde a un MAS de frecuencia natural ω0 =( L2 da g/m)1/2 y T = 2π(m/L2 da g)1/2 = 2π(Ldc/gda)1/2 Ecuación del movimiento: X = 10-2 cos (ω0 t + π) La fase inicial es π puesto que en t=0 el bloque está en la posición más baja y=-10-2
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INTRODUCCI N
En la primera línea se representan una serie de corchos en el agua de un estanque En la segunda se ha sumergido por acción de una fuerza el primer corcho y comienza a realizar un MAS al ser dejado libre. En la tercera línea vemos que el 2º corcho realiza el mismo movimiento que el 1º Al rato todos los corchos realizan el mismo MAS La línea azul es el perfil del movimiento del agua: la superficie del agua se ha ondulado, es decir, el MAS originado en el foco, primer corcho, se ha propagado a todo el estanque → A esta propagación llamamos onda o movimiento ondulatorio. Hay un sincronismo entre el MAS y la Onda → En cada tiempo = Periodo T la propagación de la onda viaja una distancia llamada longitud de onda λ,
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Onda armónica
Es la propagación de un MAS en un medio (aire, agua, cuerda..) La ecuación de la onda propagándose hacia la derecha es:
Y(x,t) = A cos 2π(t/T - x/λ + δ) (*) (o sen) λ = distancia entre dos máximos/mínimos consecutivos.
λ = distancia que se propaga en 1T
Depende de dos variables: tiempo y la coordenada x Donde T es el periodo, λ es la longitud de onda V = λ/T es la velocidad de propagación de la onda y es la magnitud que oscila (distancia, presión, E, B...) δ es la fase inicial La gráfica de la onda en un instante to es:
V = λ /T λ y T aparecen explícitamente en la ecuación cuando se saca 2π fuera del
paréntesis (*) K = 2π/λ =nº ondas ω = 2π/T = frecuencia Si nos fijamos en un punto x1 y = A cos 2π(t/T + δ1) que es la ecuación de un MAS , donde δ1 = x1 /λ + δ
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Ejercicio
Una onda tiene la siguiente expresión: Y = 2 sen(5πt –3x + π/2), siendo Y la distancia vertical Halla T, λ, V, la velocidad máxima de Y Sacamos fuera 2π como en la expresión anterior (*) y = 2 sen 2π (5t/2 –3x/2 π + 1/4), podemos ponerla en forma de coseno (pero no es necesario para identificar T y λ)
Recuerda sen (A + π/2) = cos A cos (A - π/2) = sen A
y = 2 cos 2π (5t/2 –3x/2π + 1/4 – π/2) y comparamos con
y = A cos 2π(t/T - x/λ + δ)
→ T= 2/5 s; λ= 2π/3 m; Hablamos de 2 velocidades: propagación y oscilación
V = λ/T = 5π/3 m/s; se propaga de izda a derecha
Velocidad de oscilación de y: Vy = dY/dt = - 2.2π. 5/2 sen 2π(5t/2 –3x/2 π+ 1/4 – π/2) siendo
su valor máximo 10π m/s
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Onda en cuerda de longitud L, sujeta en extremos
Y(x,t) = A cos 2π(t/T-x/λ + δ)
masa específica: μ = m/L y tensada con una fuerza F
Se propaga a velocidad: V = √(F/μ) T = λ/V = λ/√(F/μ)
Problemas Tipler 41- 42 pag 529 12 pag 557
Es una onda de tipo transversal porque y oscila perpendicularmente al sentido de propagación de la onda. En el gráfico se han dibujado las 4 primeras ondas estacionarias, en ellas se ha indicado con los nodos o puntos de amplitud nula
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Onda del sonido
En el aire se propaga a velocidad:
Donde T es la temperatura kelvin, γ es el coeficiente de dilatación adiabática del aire. M es la masa del mol de aire 2
I = P o / t 4πr
Es una onda esférica y longitudinal, la magnitud que vibra es la presión del medio: en las crestas la P es alta y en los valles baja. La potencia media emitida por el foco (P ot) se reparte uniformemente por toda la superficie esférica de radio r. A la potencia por unidad de superficie se llama intensidad ( I) que se mide en W/m2 y a medida que aumenta R, la I decrece inversamente proporcional a r 2 La distancia al foco sonoro juega un papel importante: → estar a distancia doble suponer recibir la cuarta parte de intensidad.
El oído humano es sensible a un amplio intervalo de valores de la intensidad: -12 2 desde I0 = 10 w/m , se toma como umbral
Imax = 1 w/m2 , produce sensación dolorosa.
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Nivel de Intensidad sonora, el dB
Problemas 54-55- 56-65 pag 530 Tipler
En lugar de utilizar la potencia ( I) definida anteriormente, se utiliza la escala logarítmica en la definición del Nivel de intensidad
sonora β = 10 log I/I0, siendo la unidad el decibel (dB)
Si el sonido es de 60 dB significa que nos llega al tímpano una intensidad 106 veces la umbral, es decir 10 -6 w/m2 (=106 . 10-12)
En esta escala, los sonidos que tienen un nivel de intensidad de 120 dB nos producen dolor y corresponden a intensidades de 10 12 veces la umbral, es decir 1 w/m 2 (=1012 . 10-12)
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Sonoridad
Sonoridad es una magnitud subjetiva que permite al oyente ordenar los sonidos en una escala que va de débil a fuerte. Depende de dos factores: frecuencia, (frecuencias bajas/graves, altas/agudos) y nivel de intensidad. La unidad de sonoridad es el fon En la gráfica se representan los sonidos de igual sonoridad jugando con la frecuencia y la intensidad:
Líneas isofónicas
Las f utilizadas en el habla están entre 500 y 2000 Hz
Vemos que un sonido de 100Hz y 56 dB produce la misma sonoridad que otro de 1000 Hz y 30 dB (línea azul) A medida que aumenta el nº de decibelios la influencia de la frecuencia en la sonoridad es menos intensa (curvas con menos panza) La frecuencia de 4000 Hz es la que produce mayor sonoridad con menor intensidad o nivel de intensidad, o bien nuestro oído es más sensible a sonidos de esta frecuencia. La línea azul marca el umbral de audición para la mayoría de las personas y en la frecuencia de 4000 Hz se requiere un nivel de 24 dB, que equivale a I = 251 I0
Efecto Doppler
Es la variación entre la frecuencia percibida y la emitida debido al movimiento relativo entre emisor y receptor. Se puede mover el emisor, el receptor, los dos y el medio (aire)
Tanto el acercamiento del emisor al receptor como de este al emisor producen aumento de frecuencia percibida, pero a igualdad de velocidad no producen el mismo efecto: la velocidad del receptor va al numerador y la del emisor va al denominador de la fórmula final. f´= f percibida f = f emitida
Criterio de signos para la expresión f´ : v es la velocidad del sonido. Si nos la dan respecto al aire y este se mueve con va hay que sumarla o restarla a v según se acerque o aleje del receptor. v O es la velocidad del receptor: se tomará el signo + si se acerca al emisor y – si se aleja del emisor. v s es la velocidad del emisor: se tomará el signo + si se aleja del receptor y – si se acerca al receptor
Ejemplo 1 ¿Qué f¨ percibe el conductor del coche?
f del silbato del tren: 600 Hz v S = 25 m/s v = 340 m/s v O = 40 m/s f¨ = 600 [340 + 40)]/ (340 -25) =723,8 Hz
A veces el problema tiene dos fases, cuando la onda emitida rebota y vuelve al emisor, en estos casos hay que emplear la fórmula dos veces. Esto ocurre en el problemas siguientes:
El submarino emite la señal cada 2 s, por tanto, la frecuencia es f e = 1/2 y se acerca a A con velocidad V sub, por tanto la frecuencia recibida en A es: f A = f e Vsonido/(Vsonido - Vsub) El punto A actúa como fuente emisora en reposo con frecuencia f A y el receptor es el submarino en movimiento acercándose a A, por tanto la frecuencia que percibe el submarino es: f sub = f A (Vsonido + Vsub)/Vsonido Si relacionamos f sub con f A obtenemos: f sub = f A (Vson+Vsub)/Vson = f e Vson/(Vson-Vsub)(Vsoni+Vsub)/ Vson f sub = f e (Vson + Vsub)/(Vson - Vsub); (donde f e = 1/2 y f sub = 1/1,98)
Problema 67 del cap 2 del Tipler
Problema 85 pag 531
De 1/1,98 = 1/2 (V soni + Vsub)/(Vson - Vsub), obtenemos la solución 85-Un globo arrastrado por un viento de 36 km/h emite un sonido de 800 Hz cuando se aproxima a un edificio. a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido por un observado situado en el edificio? b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido reflejado en el edificio que oirá un viajero del globo? La solución que da el Tipler es la siguiente: f 1 = 800 *340/(340-10) = 824,2 Hz; f 2 = 824,2*(340+10)/340 = 848,5 Hz Resuelve el problema sin tener en cuenta la velocidad del viento. Sin embargo, existe viento que arrastra al globo e introduce una mayor complejidad. Se puede suponer que la velocidad del viento es al menos 36 km/h (10 m/s) y por tanto la respuesta sería la siguiente: f 1 = 800(340 +10)/(340+10 -10) = 823,5 Hz; f 2 = 823,5*(340-10 + 10)/(340-10) = 848,5 Hz Como se aprecia hay una ligera variación.
Superposición de ondas coherentes
Ondas coherentes en un punto son las que llegan en todo momento con una diferencia de fase constante:
y1 = A sen(ωt –kx +δ1) y2 = A sen(ωt –kx +δ2) En este caso la diferencia de fase es constante: (ωt –kx +δ1) - (ωt –kx +δ2) = δ1 - δ2 = Cte [La superposición de estas ondas es la onda suma que tiene los mismos ω, k que las incidentes, por tanto los mismos valores de T, λ, V] Para hallar la suma tenemos que recordar algo de trigonometría porque se trata de sumar senos o cosenos:
Expresión equivalente cuando se trabaja con la forma coseno
YS = A [sen(ωt –kx +δ1) + sen(ωt –kx +δ 2)] YS = 2Acos[(δ1- δ2)/2] sen[ωt - kx + (δ1+ δ2)/2] La onda resultante tiene amplitud constante de valor = 2Acos[(δ1- δ2)/2] que depende de la diferencia de fases, dándose varios casos de interés: a) Llegan en fase: δ1- δ2 =2nπ (n = 0, 1, 2, 3…)
AS= 2A y se cuadruplica la potencia, la superposición es constructiva. b) Llegan en oposición de fase: δ1- δ2 =
(2n+1)π
AS= 0 Se anulan las ondas, la superposición es destructiva. c) Llegan con una diferencia de fase ø intermedia a los casos anteriores. A es intermedia entre los casos anteriores y dependerá del valor concreto de ø
PROBLEMAS DEL TIPPLER Problema 41 pág 529 41- La función de onda en una cuerda es y(x,t) = 0,001sen(62,8 x + 314 t) a) La onda se propaga de derecha a izquierda (signo +) b) La onda se puede escribir así y(x,t) = 0,001sen2π(62,8 x/2π + 314 t/2π), que nos permite identificar T = 2π/314; λ = 2π/62,8 V= λ/T = 5 m/s c) V máxima de oscilación de un segmento: v= dy/dt = 0,001* 314cos(62,8 x + 314 t); v max = 0,314 m/s
Problema 42 pág 529 42- Una onda armónica de frecuencia 80 Hz y A = 0,025 se propaga hacia la derecha a lo largo de una cuerda a velocidad de 12 m/s a) La ecuación sería y(x,t) = 0,025 cos2π (t/T – x/λ) T = 1/f = 1/80 Hz; λ = vT= 12* 1/80 = 3/20 m y(x,t) = 0,025 cos2π (80t – 20x/3) b) V máxima de oscilación de un pundo de la cuerda: v= dy/dt = - 0,025*160π sen2π (80t – 20x/3) vmax = 0,4 π m/s
Problema 54 pág 530 54- Un foco esférico radia el sonido uniformemente en todas las direcciones. A una distancia de 10 m, el nivel de intensidad del sonido es 10 -4 W/m2 a) ¿A qué distancia del foco el nivel de intensidad es 10 -6 W/m2 b) ¿Qué potencia está radiando el foco? Solución a) I = Pot/4πr 2 2
I1/I2 = r 22/r 12 → 10-4/10-6 = r 22/102 → r 2 = 100 m 2
-4
-2
Problema 56 pág 530 56- Cuando un alfiler de 0,1 g se deja caer desde una altura de 1 m, el 0,05 % de su energía se convierte en un pulso sonoro de duración 0,1 s. a) Estimar el intervalo en el que puede oírse la caída si la intensidad mínima que puede llegar a oirse es de 10-11 W/m2 Energía sonora = 0,05 mg h = 5 10-7 J; → Pot = 5 10-6 W; I = 5 10-6 /4πr 2 I = 5 10-6 /4πr 2 >10-11 W/m2 → r< 200 m
Problema 62 pág 530 62- Marta y Hugo están sentados en lados opuestos de la grada de un circo cuando un elefante emite un sonido fuerte. Marta detecta un nivel de intensidad sonora de 65 dB y Hugo de 55 dB, deducir el cociente de las distancias entre ellos y el elefante.
β Marta =10 log [Pot /4πr 12 ]/Io= 65 → log [Pot /4πr 12 ]/Io = 6,5 β Hugo =10 log [Pot /4πr 22 ]/Io= 55 → log [Pot /4πr 12 ]/Io = 5,5 log [Pot /4πr 12 ]/Io - log [Pot /4πr 12 ]/Io = 1 → [Pot /4πr 12 ]/Io /[Pot /4πr 12 ]/Io = 10 → r 1/r 2 = √10 = 3,16
Problema 65 pág 530 65-Todas las personas de una reunión hablan igual de ruidosamente. Si solo hablara una de ellas, el nivel de sonido sería 72 dB. Calcular el nivel sonoro cuando las 38 persona de la reunión hablen a la vez Hallamos la I de cada persona: 72=10 log I/Io → I = Io 107,2 ; I de las 38 = 38 Io 107,2 Intensidad sonora total = 10 log (38 Io107,2 )/ Io = 72 + 10*log38 = 72 +15,8 =87,8 dB
Problema 12 pág 557 12-Una cuerda fija por ambos extremos resuena con una frecuencia fundamental de 180
Hz…. La acción para reducir la frecuencia fundamental a 90Hz es la c) Mantener fija la T y la μ y duplicar la longitud de la cuerda
RESUMEN Las ondas Parámetros de una onda Ondas en la cuerda. Modo fundamental y armónicos El sonido. Intensidad y nivel de sonido. Sonoridad Efecto Doppler Superposición de ondas Problemas
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