Dr Obádovícs J. Gyula természettudí mányid műszaki doktor, a matemotik tudományok kandidátusa. A Gödöllői Agrártudományi Egyetem volt tanszékvezetője. 13 könyv, 30 egyetemi jegyzet, 52 tudo mányos pubíikáció szerzője. A magyar számítástechnika oktatás egyik megteremtője.- .
.
Dr. Szarka Zoltán műszaki doktor, egye,/ temi docens, 1950-től ' ; a miskolci Nehézipari Műszaki Egyeterri Mate matikai Tanszékén dolgozik, több évig tanszékvezetőként. Több alkalommal tüntették ki Kiváló eiond^ "atominf az £/őoc/ö/c eJoadójadirc módon a dí havaz ták meg az, mm. 26 könyv é í egyv.-- , ^-ét, 44 tudományos publikáció szerzője.
Obádovics J. Gyula - Szarka Zoltán
FELSŐBB MATEMATIKA
M á so d ik , ja v íto tt k iad ás
§ S
C 0
L A R
K i a d ó
TISZTELT OLVASÓ!
Dr. OBÁDOVICS J. GYULA, 1999 © Dr. SZARKA ZOLTÁN, 1999 © SCOLAR KIADÓ, 1999
A sokféle matematika könyv közül Ön jól választott, amikor a Dr. Obádovics J. Gyula, Dr. Szarka Zoltán szerzőpáros által írt könyvet vásárolta meg. Mindkét szerzőt sok évtizedes oktatási tapasztalat köti a matematikához. Egyetemi oktatóként hallgatók ezreit vezették be a matematikába és segítették át vizsgákon, szigorlatokon. Számos tudományos cikkükön, konferenciákon elhangzott előadásukon túlmenően jelzi ezt a mintegy 50 könyv és egyetemi jegyzet, amit pályafutásuk során írtak. Jól ismert például az Obádovics féle matematika könyv, amely 15 kiadásban, kb. 500 000 pél dányban jelent meg. A szerzők tudják és érzik, hogy mit kell és mit lehet megírni és azt milyen stílusban kell tálalni. Bízzunk bennük. Dr. Obádovics J. Gyula a Gödöllői Agrártudományi Egyetemről tanszékvezető egyetemi tanárként ment nyugdíjba, ahol több évig mint intézeti igazgató dolgozott. Dr. Szarka Zoltán a Miskolci Egyetemen volt egyetemi docens, ma már nyugdíjas. Több évig volt tanszékvezető. Mindkettőjüket a hallgatók több alkalommal is arany gyűrűvel tüntették ki. a Kiadó Budapest, 1999. augusztus havában
ELŐSZÓ ISBN: 963-9193-71-2
Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítást, a mű bővített, illetve rövidített változatának kiadási jogát is. Kiadja a SCOLAR ű KIADÓ, 2002 1114 Budapest, Bartók B. út 7. Tel ./fax: (06-1) 466-76-48 E-mail:
[email protected] Felelős kiadó és szerkesztő; Érsek Nándor A borítót tervezte: Máthé Hanga A könyv ábráit készítette: Bocsi Katalin, Szabó Béla
Készült a debreceni nyomdászat több mint négy évszázados hagyományait őrző ALFÖLDI NYOMDA Rt.-ben Felelős vezető: György Géza vezérigazgató
A matematika iránti érdeklődés, miként azt a tisztelt Olvasó is tapasztalhatta, az utóbbi néhány évtizedben jelentősen nőtt. Ezt a fokozott érdeklődést valós szükség letek váltották ki. Gondoljunk például a számítástechnikára, amely már mindennap jaink részévé vált. Ennek az „új” tudományágnak a matematika az egyik szülőanyja. Az alkalmazó is akarva-akaratlan használja a matematikát, az emberi agynak ezt a csodálatosan szép és alapjaiban példamutatóan szilárd termékét. De ez a rendkívül fontos és hasznos „segédeszköz” a matematikát alkalmazó hagyományos tudományterületeken kívül, mára már bevonult a biológiába, az irodalomba, a zenébe és más tudományokba is. Külön kiemeljük a fizikával és a műszaki tudományokkal való szoros kapcsolatát. Bátran kijelenthetjük, hogy matematika nélkül nem létezne a ma tudománya, az emberiség szegényebb lenne szellemi és anyagi téren egyaránt. Kérdezhetjük, hogy mi a titka ennek a szenzációs karriernek, hogyan válhatott a matematika a tudományok királynőjévé és hogyan játszhat ennyire meghatározó szerepet életünkben. A választ leegyszerűsíthetnénk arra, hogy a nagyfokú abszt rakció révén. Az ereje ebben van, ami egyúttal gyengéje is olyan értelemben, hogy sok embert elriaszt attól, hogy közel kerüljön hozzá. Ez a tartózkodás, sok esetben félelem azonban alaptalan. Nem szükséges különleges érzék és tehetség ahhoz, hogy a matematikának azokat a területeit megismerjük, amelyek az alkalmazások túl
Előszó
_6________ _______________ _________________
nyomó többségében előfordulnak. Természetesen el kell érni egy szintet ahhoz, hogy a felsőbb matematika egyes fejezeteibe betekintést nyerjünk, hogy olvasni tud junk egy ilyen témával foglalkozó könyvet. Ehhez azonban elegendő alapot ad a középiskola, sőt sok esetben az általános iskola is, ha az ottani ismereteket értve, átgondoltan sajátítottuk el. Ne féljünk tehát kézbe venni egy ilyen könyvet, és tanul junk meg figyelmesen és értelmesen olvasni. A Felsőbb Matematika című könyv anyagának összeállításánál a praktikusságot tartottuk szem előtt. Ez most azt jelenti, hogy az alkalmazások szempontjából lénye gesebbnek ítélt fejezeteket tárgyaljuk, nagyjából olyan mélységig és felépítésben, ahogy általában a műszaki felsőoktatásban meghonosodott. Elsősorban összefoglaló jellegű munkát szándékoztunk írni. Ennek következtében kevés szöveggel, lényegre törően, általában a bizonyítások mellőzésével igyekeztünk a tanulni akaró Olvasó dolgát megkönnyíteni. Ezt a célt szolgálja az a sok kidolgozott példa, amely remél hetően elősegíti egy-egy anyagrész megértését. Minden új fogalmat definiáltunk (értelmeztünk). Ezért javasoljuk az Olvasónak, hogy egy téma tanulmányozását a definíció gondos és figyelmes elolvasásával kezdje. Próbálja megérteni a leírtakat, egy-egy kikötés okát átgondolni. Ezután a tételt olvassa el, majd ismételje el ugyanazt saját szavaival is. Ne hagyja el a példák megoldását! Végül konstruáljon a kidolgozott példához hasonló feladatot és azt oldja meg, használva a könyvet. (Bőséges gyakorló feladat és megoldás található Obádovics: Felsőbb matematikai feladatgyűjtemény c. könyvben.) Eredménynek számít, ha így (vagyis „puskázva”) meg tud oldani egy feladatot. Ez azt jelenti, hogy már van egy kis rálátása a témára. Ha vizsgára készül, akkor ne sajnálja az időt a vizsgaanyag tartalomjegyzékének olvasgatására, hogy tájékozódni tudjon a könyv ben. Használja továbbá a név- és tárgymutatót! Érdemes. Az Obádovics: Matematika c. könyvet középiskolások többszázezren használták az elmúlt negyven év alatt ismereteik felfrissítésére vizsgákra való felkészülés so rán. A Felsőbb Matematikát ehősoxhm egyetemi és főiskolai hallgatóknak ajánljuk. Meg vagyunk győződve, hogy ezt a könyvet is az előzőhöz hasonló sikerrel fogják használni. A vizsgákra való felkészüléshez ideális segédeszköznek tartjuk. A köny vet a főiskolai és egyetemi hallgatókon kívül haszonnal forgathatják mérnökök, közgazdászok, számítástechnikát alkalmazók, és mindazok, akik a felsőbb matema tika iránt érdeklődnek. Jó tanulást és eredményes alkalmazást kívánnak a Szerzők. Balatonszárszó, Miskolc, 1999. június hava
TARTALOM JEGYZÉK ELŐSZÓ........................ TARTALOMJEGYZÉK. I. FEJEZET
17
EGY- ÉS TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK......................................................17 1.1. ALAPFOGALMAK................................................................................... 17 1.1.1, Halmazok........................................................................................ 17 1.L2. Kombinatorika................................................................................ 21 1.L3. A matematikai logika elemei..........................................................24 1.1.4. Relációk.......................................................................................... 27 1.1.5. Függvények..................................................................................... 28 1.1.6. Algebrai struktúrák......................................................................... 32 1.1.7. Valós számok.................................................................................. 33 1.1.8. Az «-dimenziós tér.......................................................................... 37 1.1.9. Komplex számok............................................................................ 40 1.1.10. Polinomok..................................................................................... 47 1.1.11. Koordináta-rendszerek.................................................................. 53 1.1.12. Koordinátatranszformációk...........................................................56 1.2. AZ EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY..........................................................57 1.2.1, Az egyváltozós függvény fogalma................................................. 57 1.2.2, Speciális tulajdonságú függvények................................................ 64 1.2.3, Az egyváltozós függvény határértéke és folytonossága.................. 67 1.3. ALAPFÜGGVÉNYEK, NEVEZETES GÖRBÉK.................................... 71 1.3.1. Szakaszonként egyenes vonalú függvények............... !...................71 1.3.2. Algebrai függvények....................................................................... 74 1.3.3. Elemi transzcendens függvények....................................................81 1.3.4. Interpolációs polinomok................................................................. 89 1.3.5. Nevezetes síkgörbék paraméteres egyenletei................................. 92 1.3.6. Nevezetes síkgörbék polárkoordinátás egyenletei.......................... 96 1.3.7. Másodrendű görbék........................................................................ 98 1.4. A TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY........................................................100 1.4.1, A két- és többváltozós függvény fogalma.................................... 100 1.4.2, Határérték, folytonosság...............................................................103 1.5. FELÜLETEK, FELÜLETI GÖRBÉK......................................................104 1.5.1. Felületek megadása....................................................................... 104 1.5.2. Nevezetesebb felületek................................................................. 105 1.5.3. Másodrendű felületek...................................................................109 1.5.4. Felületi görbék.............................................................................. 116
Felsőbb matematilia II. FEJEZET
123
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS............................................................. ..................123 2.1. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA.............................. 123 2.1.1. A differenciálhányados és a derivált fogalma.............................. 123 2.1.2. Differenciálási (deriválási) szabályok......................................... 126 2.1.3. Nevezetesebb függvények deriváltjai...........................................130 2.1.4. Jobb- és bal oldali derivált........................................................... 133 2.1.5. Magasabbrendü deriváltak...........................................................134 2.2. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALAPTÉTELEI.................................. 136 2.2.1. Középértéktételek......................................................................... 136 2.2.2. A differenciál............................................................................... 138 2.2.3. L’Hospital szabályai..................................................................... 141 2.3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA................ 144 2.4. ÉRINTŐ, NORMÁLIS............... .............................................................149 2.5. GÖRBÉK ÉRINTKEZÉSE ÉS GÖRBÜLETE...................................... 151 2.6. TAYLOR-POLINOM, TAYLOR-SOR................................................
157
2.7. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA........................... 161 2.7.1. Parciális differenciálhányados......................................................161 2.7.2. Magasabbrendü deriváltak...........................................................163 2.7.3. Teljes differenciál, érintősík.........................................................164 2.7.4. Összetett függvény és implicit függvény deriválása.................... 167 2.7.5. Paraméteres alakban adott függvény deriválása.......................... 169 2.7.6. Az iránymenti derivált.................................................................. 171 2.8. A KÉTVÁLTOZÓS TAYLOR-FORMULA...........................................172 2.9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY SZÉLSÖÉRTÉKE............................173 III. FEJEZET
185
INTEGRÁLSZÁMÍTÁS.........................................................................................185 3.1. A HATÁROZATLAN INTEGRÁL......................................................... 185 3.1.1. A határozadan integrál fogalma...................................................185 3.1.2. Integrálási módszerek................................................................... 187 3.1.3. Néhány függvénytípus integrálása.............................................. 190 3.2. A HATÁROZOTT INTEGRÁL.............................................................. 195 3.2.1. A határozott integrál fogalma, tulajdonságai............................... 195 3.2.2. Az integrálszámítás középértéktételei...................... ...................200 3.2.3. A határozott integrál mint felső (alsó) határának függvénye....... 202 3.2.4. Paraméteres integrál..................................................................... 203 3.3. A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI.............................. 205 3.3.1. A terület és a térfogat fogalma.....................................................205 3.3.2. Területszámítás............................................................................ 206 3.3.2. Ívhossz-számítás......... .................................................................209
Tartalomjegyzék
9
3.3.3. Forgástest térfogatának kiszámítása................................ .............211 3.3.4. Forgástest felszínének kiszámítása.............................................. 214 3.3.5. Mechanikai alkalmazások.............................................................215 3.4. IMPROPRIUS INTEGRÁLOK......... ...................................................... 223 3.4.1. Végtelen integrációs intervallum..................................................223 3.4.2. Nem korlátos integrandus.............................................................225 3.5. A HATÁROZOTT INTEGRÁL KÖZELÍTŐ KISZÁMÍTÁSA............... 227 3.5.1. A határozott integrál becslése...................................................... 227 3.5.2, Numerikus integrálás.................................................................... 229 3.6. A KETTŐS INTEGRÁL.......................................................................... 232 3.6.1. A kettős integrál értelmezése........................................................232 3.6.2. A kettős integrál kiszámítása........................................................234 3.7. A KETTŐS INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI......................................... 240 3.7.1. Területszámítás.... .........................................................................240 3.7.2. Térfogatszámítás.............. ............................................................ 241 3.7.3. Felszínszámítás.................... ........................................................ 243 3.7.4. Mechanikai alkalmazások.............................................................246 3.8. A HÁRMAS INTEGRÁL.............. ......................................................... 247 3.8.1. A hármas integrál értelmezése......................................................247 3.8.2. A hármas integrál kiszámítása......................................................249 3.8.3. A hármas integrál alkalmazásai.................................................... 252 3.9. VONALINTEGRÁL, FELÜLETI ÉS TÉRFOGATI INTEGRÁL..........255 3.9.1. Vonalintegrál................... ..................................... .......................255 3.9.2. Felületi integrál............................................................................. 259 3.9.3. Térfogati integrál.................. ....................................................... 263 IV. FEJEZET
267
VÉGTELEN SOROZATOK, SOROK ÉS SZORZATOK.................... ................ 267 4.1. SZÁMSOROZATOK....... .......................................................................267 4.1.1. A sorozat fogalma........................................................................ 267 4.1.2. Konvergens sorozatok...................................................................270 4.2. FÜGGVÉNYSOROZATOK....................................................................277 4.2.1 A függvénysorozat fogalma...........................................................277 4.2.2. Az egyenletes konvergencia............... .......................................... 278 4.3. NUMERIKUS SOROK...........................................................................280 4.3.1. A végtelen sor és a konvergencia fogalma................................... 280 4.3.2. Konvergenciakritériumok.............................................................283 4.3.3. Abszolút és feltételes konvergencia............................................. 288 4.3.4. Műveletek konvergens sorokkal...................................................290 4.4. FÜGGVÉNYSOROK.............................................................................. 293 4.4.1. A függvénysor fogalma.................................................................293 4.4.2. A függvénysor egyenletes konvergenciája................................... 294
Felsőbb matematika
10
4.5. HATVÁNYSOROK................................................................................ 296 4.5.1. A hatványsor értelmezése és konvergenciája............................... 296 4.5.2. Függvények hatványsorba fejtése................................................ 303 4.6. SOROK ÖSSZEGÉNEK SZÁMÍTÁSA, HIBABECSLÉS..................... 308 4.6.1. Sorok összegének számítása.........................................................308 4.6.2. Hibabecslés.................................................................................. 313 4.7. FOURIER-SOROK................................................................................. 316 4.8. VÉGTELEN SZORZATOK.................................................................... 320 4.8.1. Numerikus (állandó elemű) szorzatok......................................... 320 4.8.2. Függvényszorzatok....................................................................... 323 4.9 PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK................................................................... 325 4.9.1. Kamatos kamat számítás..............................................................325 4.9.2. Nominális és effektív kamatláb....................................................326 4.9.3. Diszkontálás, jelenérték...............................................................327 4.9.4. Az infláció figyelembevétele........................................................330 4.9.5. Járadékszámítás............................................................................ 331 4.9.6. Beruházások gazdaságossági mutatói......................................... 334 V. FEJEZET
Tartalomjegyzék___________________________________
11
5.6. TENZOROK.............................................................................................388 5.6.1. A tenzor fogalma.......................................................................... 388 5.6.2. Műveletek tenzorokkal................................................................. 390 5.6.3. A fötengelytétel............................................................................. 392 5.7. TÉRGÖRBÉK......................................................................................... 395 5.7.1. A vektor-skalár függvény.............................................................. 395 5.7.2. Térgörbék vizsgálata..................................................................... 397 5.7.3. Felületi görbék vizsgálata.............................................................404 5.8. A SKALÁR-VEKTOR FÜGGVÉNY......................................................409 5.8.1. Értelmezés, határérték, folytonosság............................................ 409 5.8.2. Differenciálás................................................................................ 410 5.8.3. Integrálás...................................................................................... 412 5.9. A VEKTOR-VEKTOR FÜGGVÉNY......................................................415 5.9.1. Értelmezés, határérték, folytonosság............................................ 415 5.9.2. Differenciálás................................................................................ 417 5.9.3. Integrálás...................................................................................... 420 5.9.4. Integrálátalakító tételek.................................................................426 5.9.5. A potenciálfüggvény..................................................................... 433
339
LINEÁRIS ALGEBRA, TÉRGÖRBÉK, VEKTORANALÍZIS........................... 339 5.1. VEKTORALGEBRA..................................................... .........................339 5.1.1. A vektor értelmezése.................................................................... 339 5.1.2. Műveletek vektorokkal.................................................................340 5.1.3. Vektorok lineáris függetlensége...................................................342 5.1.4. Vektorok megadása koordinátákkal............................................ 343 5.1.5. Néhány geometriai alkalmazás.....................................................346 5.1.6. Reciprok vektorhármas................................................................352 5.1.7. Az ^-dimenziós vektor................................................................. 353 5.2. A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI........................................................355 5.2.1. Lineáris tér, altér.......................................................................... 355 5.2.2. A lineáris tér bázisa, dimenziója..................................................356 5.2.3. Bázistranszformáció..................................................................... 358 5.2.4. Az euklideszi tér........................................................................... 361 5.3. MÁTRIXOK........................................................................................... 364 5.3.1. A mátrix értelmezése, speciális mátrixok.................................... 364 5.3.2. Műveletek mátrixokkal................................................................ 366 5.3.4. Mátrix rangja................................................................................ 373 5.4. DETERMINÁNSOK........................................................ .......................375 5.4.1. A determináns értelmezése...........................................................375 5.4.2. A determináns tulajdonságai........................................................377 5.5. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK............................................... 379 5.5.1. A lineáris egyenletrendszer fogalma és megoldhatósága.............379 5.5.2. Megoldási módszerek................................................................... 381
VI. FEJEZET
439
KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK...............................................439 6.1. ALAPFOGALMAK................................................................................. 439 6.1.1. A differenciálegyenlet fogalma.....................................................439 6.1.2. A differenciálegyenlet megoldása.................................................440 6.2. ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK................................... 442 6.2.1. Az elsőrendű differenciálegyenlet megoldhatósága..................... 442 6.2.2. Iránymező..................................................................................... 444 6.2.3. Görbesereg differenciálegyenlete.................................. ............... 445 6.3. SPECIÁLIS ELSŐRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK............... 446 6.3.1. Szétválasztható változójú differenciálegyenlet............................ 446 6.3.2. Szétválasztható változójúra visszavezethető diff.egyenletek...........448 6.3.3. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet................................... 453 6.3.4. A Bernoulli-féle differenciálegyenlet........................................... 456 6.3.5. A Riccati-féle differenciálegyenlet.............................................. 458 6.3.6. Egzakt differenciálegyenlet...........................................................459 6.3.7. Burkológörbe és szinguláris megoldás............................. ............464 6.3.8. A Lagrange- és a Clairaut-féle differenciálegyenlet..................... 467 6.3.9. Trajektóriák.................................................................................. 470 6.4. MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK...................... 472 6.4.1. «-edrendű lineáris differenciálegyenlet.................................. 473 6.4.2. Állandó együtthatójú differenciálegyenlet................................... 478 6.4.3. Az Euler-féle differenciálegyenlet............................................... 488 6.4.4. Másodrendű differenciálegyenletek............................................. 491
Felsőbb matematika
12
6.5. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK MEGOLDÁSA VÉGTELEN SOROKKAL.................................................................................... 497 6.5.1. Megoldás Taylor-sorral................................................................ 497 6.5.2. Megoldás a határozatlan együtthatók módszerével..................... 498 6.6. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLET-RENDSZEREK..........503 6.6.1. Megoldhatóság és visszavezetés differenciálegyenletre..............503 6.6.2. Lineáris differenciálegyenlet-rendszer........................................ 506 VII. FEJEZET
S17
PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK....................................................517 7.1. ALAPFOGALMAK................................................................................ 517 7.1.1. A parciális differenciálegyenlet fogalma..................................... 517 7.1.2. A parciális differenciálegyenlet megoldása................................. 518 7.2. AZ ELSŐRENDŰ PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLET............ 519 7.2.1. A kvázilineáris parciális differenciálegyenlet............................. 519 7.2.2. Cauchy-féle feladat (kvázilineáris differenciálegyenletre)..........521 7.2.3. Az általános elsőrendű parciális differenciálegyenlet................. 524 7.3. NÉHÁNY NEVEZETES MAGASABBRENDŰ PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLET.........................................................529 7.3.1. A hővezetés (és diffúzió) differenciálegyenlete........................... 529 7.3.2. A rezgő húr és membrán differenciálegyenlete........................... 533 7.3.3. A Laplace- és a Poisson-egyenlet.................................................537 7.3.4. A biharmonikus egyenlet.............................................................541 VIII. FEJEZET
547
KOMPLEX FÜGGVÉNYEK................................................................................ 547 8.1. A KOMPLEX FÜGGVÉNY FOGALMA...............................................547 8.1.1. A komplex függvény értelmezése.................................................547 8.1.2. Differenciálás............................................................................... 551 8.1.3. Elemi függvények........................................................................ 553 8.2. KOMPLEX FÜGGVÉNY INTEGRÁLJA............................................. 557 8.2.1. A vonalintegrál............................................................................. 557 8.2.2. A Cauchy-féle integráltétel..........................................................559 8.2.3. A Cauchy-féle integrálformula.....................................................562 8.2.4. Reguláris függvények tulajdonságai........................................... 563 8.3. KOMPLEX FÜGGVÉNY SORBAFEJTÉSE........................................ 564 8.3.1. Komplex tagú sorok..................................................................... 564 8.3.2. Hatványsorok............................................................................... 564 8.3.3. A Tayior-sor................................................................................. 565 8.3.4. Reguláris függvény zérushelyei....................................................566 8.3.5. A Laurent-sor............................................................................... 567 8.3.6. Izolált szinguláris helyek..............................................................569
Tartalomjegyzék
_____ _______ _____________________________ 13
8.3.7. A függvény viselkedése a végtelenben......................................... 570 8.3.8. A reziduum-tétel........................................................................... 571 8.4 LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ...........................................................575 8.4.1. A Laplace-transzformáció fogalma......................... .....................575 8.4.2. Függvény deriváltjának és integráljának transzformálása............577 8.4.3. Néhány elemi függvény Laplace-transzformáltja......................... 578 8.4.4. A függvényre és transzformáltjára vonatkozó tételek..................580 8.4.5. Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval....584 8.4.6. Laplace-transzformációs táblázat..................................................587 IX. FEJEZET
593
NUMERIKUS MÓDSZEREK............................................................................... 593 9.1. BEVEZETÉS........................................................................................... 593 9.1.1. Adat, kerekítés, műveletek és képletek hibái............................... 594 9.2. NEMLINEÁRIS EGYENLETEK MEGOLDÁSA.................................. 599 9.2.1. A gyökök elkülönítése..................................................................599 9.2.2. Intervallum-felezési eljárás...........................................................601 9.2.3. Az iterációs módszer..................................................................... 603 9.2.4. A Newton-Raphson-módszer........................................................607 9.2.5. Interpolációs módszerek...............................................................608 9.2.6. Nemlineáris egyenletrendszer megoldása.................................... 611 9.3. ALGEBRAI EGYENLETEK MEGOLDÁSA........................................ 613 9.3.1. Polinomokra vonatkozó alaptételek............................................. 614 9.3.2. A Bairstow-módszer..................................................................... 616 9.4. A LINEÁRIS ALGEBRA NUMERIKUS MÓDSZEREI........................ 617 9.4.1. A Gauss-féle módszer................................................................... 617 9.4.2. Az inverzmátrix elemeinek kiszámítása....................................... 621 9.4.3. Az egyszerű és a Gauss-Seidel-féle iterációs módszer..,.............. 623 9.4.4. Konvergenciatételek és hibabecslés............................................. 624 9.4.5. A Cholesky-Banachiewicz-féle módszer..................................... 627 9.4.6. Gyengén meghatározott egyenletrendszerek................................ 630 9.4.7. Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása..........632 9.5. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK NUMERIKUS MEGOLDÁSA.........637 9.5.1. Taylor-féle módszer......................................................................638 9.5.2. A Heun-módszer........................................................................... 640 9.5.3. A Runge-Kutta-féle módszer........................................................642 9.6. KERÜLETÉRTÉKFELADATOK...........................................................643 9.6.1. Differenciamódszer....................................................................... 646 9.6.2. A Galjorkin-féle eljárás.................................................................648 9.6.3. A kollokációs módszer..................................................................649 9.7. SAJÁTÉRTÉKFELADATOK.................................................................651 9.7.1. A sajátértékfeladatok osztályozása, megoldása............................ 652 9.7.2. Megoldás a diffegyenlet általános megoldásának ismeretében....656
14
Felsőbb matematika 9.7.3. Sajátértékek közelítő meghatározása differenciamódszerre!....... 657
9.7.4. A Ritz-Galjorkin-féle eljárás........................................................658 9.7.5. A kollokációs módszer alkalmazása sajátértékfeladatokra...........661 9.8. PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK MEGOLDÁSA.............662
9.8.1. Elliptikus típusú differenciálegyenlet megoldása rácsmódszerrel 662 9.8.2. A peremfeltételek közelítésének javítása..................................... 666 9.8.3. A rácsmódszer hibájának becslése.............................................. 667 9.8.4. Parabolikus típusú differenciálegyenlet megoldása..................... 668 9.8.5. Hiperbolikus típusú differenciálegyenlet megoldása................... 672 9.9, INTEGRÁLEGYENLETEK................................................................... 678 9.9.1. Integrálegyenletek osztályozása, elnevezése ................................ 678 9.9.2. Fokozatos közelítések módszere...................................................680 9.9.3. Véges összegek módszere............................................................ 684 9.9.4. A kollokációs módszer alkalmazása.............................................688 IRODALOMJEGYZÉK................................................................................. 691
.H alm azok K o m b in a to rik a .R elációk, függvények K o m p le x szám ok F \)lin o m o k
NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ......................................................................... 693
K o o rd in áta-ren d szerek E g y v á lto z ó s függvény, határérték, folytonosság A ia p fü g g v é iiy e k , nevezetes görbék; S z a k a s z o n k é n t e g y e n e s v o n a lú fü g g v é n y e k A lg e b r a i f ü g g v é n y e k E le m i t r a n s z c e i i d e i i s f ü g g v é n y e k
IIIteipoiác!ós polinomok ,M á s o d r e i i d ű g ö r b é k rö b b v á lto z íS s fü g g v é n ) N e v e z e te s fe lü le te i
.. ' 'm*
M a s o d r e i i d íi fe I ü 1e ie ii
ti
t >1 , t o n o s ; : .i g ^ i'k
I. FEJEZET
EGY- ÉS TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
1.1.
A LAPFOG ALM A K 1.1.1. Halmazok
a) A halmaz fogalma. A halmazt nem definiáljuk, hanem alapfogalomnak tekintjük. Szokás azt mondani, hogy a halm az bizonyos dolgok összessége. Ez nem definíció, hanem a halmaz más szavakkal való körülírása. A hal m azjelölése; A, B, H , ... A halmazt alkotó dolgok a halmaz elemei. Azt a tényt, hogy x a H hal maz eleme, így jelöljük; xeH. A halmazt meghatározzák elemei. Ennek megfelelően megadhatjuk elemeinek felsorolásával, kapcsos zárójelbe téve ezt a felsorolást. Például így; {1,3, 4,6, 10} vagy {a,b,c}. Sok esetben ez a megadási mód már kényelmetlen, esetleg lehetetlen. Ilyenkor a kapcsos zárójelen belül a halm az általános elemét és az elemek re jellem ző tulajdonságot vagy tulajdonságokat tüntetjük fel, rendszerint így: A = [x:T {x)] ill. A = [ x \T{ x )]. Ekkor az A halmaz azoknak az x elemeknek az összessége, amelyek T tulajdonságúak. Például A = {jc;.x e R ,|x| < l} jelenti az 1-nél kisebb ab szolút értékű valós számok halmazát. Egy halmazban egy elem csak egyszer fordulhat elő. Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üres halmaznak nevez zük. Jele; 0 . Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha elem eik ugyanazok. Jelölé se; A = B . Definíció. Az A halmazt a B halmaz részhalmazának (röviden részének) nevezzük, h a ^ minden eleme 5-nek is eleme. Jelölése: A ez B.
18
Egy- és többváltozós függvények
A definíció szerint minden halmaz részhalmaza önmagának. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Két halmaz egyenlőségét így is megfogalmazhatjuk: A = B akkor és csak akkor, ho. A ez B és B a A. Ha a halmaz elemeinek száma véges, akkor a halm azt végesnek (ide tartozik az üres halmaz is), ellenkező esetben pedig végtelennek mondjuk. Ha két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesít hető, akkor azt mondjuk, hogy a két halmaz számossága egyenlő (a két halmaz ekvivalens). Véges halmaz számosságán elemeinek számát értjük. A természetes számok halmazának (vagy a vele ekvivalens halmaznak) számosságát m egszámlálhatóan végtelennek vagy röviden megszáinlálhatónak mondjuk. A valós számok halm azának (vagy a vele ekvivalens halmaznak) a számossága nem megszámlálható, más szóval kontinuum számosságú. A halmazt szemléltethetjük (ábrázolhatjuk) körlappal, téglalappal eset leg más síkidommal. Az ilyen ábrát Venn-diagramnak nevezzük. Az 1.1. ábrán a //h a lm a z t egy körlap ábrázolja. Az 1.2. ábra azt szemlélteti, hogy A része 5-nek ( A c i B ) .
19
1.1.1. Halmazok b) M űveletek halmazokkal
Definíció. A z A és B halmazok A n B metszetén (közös részén) azt a halmazt értjük, amely A és B közös elemeit (és csak ezeket) tartalmazza (1.3. ábra). Ha két halmaznak nincs közös eleme, akkor metszetük az üres halmaz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a két halmaz (egymásra nézve) idegen (diszjunkt halmazok). Definíció. Az yí és B halmazok A k j B egyesítettjén (unióján) azt a halmazt értjük, a m e l y é s B minden elemét (és csak ezeket) tartalmazza (1.4. ábra).
A halmazok egyesítésének és közös rész képzésének tulajdonságai a kö vetkezők: 1. M indkét művelet kommutatív, azaz bárm ely/I, B halmazra A n B = B n A, 1.1. ábra. Halmaz Definíció. A z A és B halmaz A x 5 -v e l jelö lt Descartes-szorzatán az összes olyan rendezett (a,b) elempárok halmazát értjük, ahol a e A, beB. Példa Legyen A = [a,b,c], B = {x,y]. Ekkor Aés, B halmaz Descartes-szorzata: A x B = [{a,x), {a,y), {b,x), {b,y), {c,x), {c, j)}. }l?i B = A, akkor az A x A jelölés helyett használható A " . Például, ha a
A kj B = B u A .
2. M indkét művelet asszociatív, azaz bármely A, B, C halmazra {AnB)nC= An{BnC),
(A u B ) u C = A k j ( B u C ) .
3. Mindkét művelet idempotens, azaz bármely A halmazra A n A = A,
A u A - A.
4. Mindkét műveletre érvényes az elnyelési tulajdonság, azaz bármely A, B , C halmazra A n ( A u B ) = A, A u ( A n B ) = A. 5. Mindkét művelet disztributív a másikra nézve, azaz bármely A, B, C halmazra Au{Br^C)={AuB)n{AuC),
valós számok halmazát R jelöli, akkor R " a valós számokból alkotott számpárok halmaza, amely geometriailag azonos a sík (számsík) pontjainak
A r ) ( B u C ) - ( A n B ) u (A n C ) .
összességével. Ugyanígy az R x R x R = R “ x R = R^ halmaz a tér pont jaival szemléltethető.
Definíció. A z A és B halmaz A \ B különbségén A azon elemeinek összes ségét értjük, amelyek nem tartoznak 5-hez (1.5. ábra).
20
Egy- és többváltozós függvények
Definíció. Legyen A a H halmaznak részhalmaza. Ekkor A-nak a //-ra vonatkozó komplementerén értjük a H \ A halmazt (1.6 . ábra). Jelölése: Afj, vagy ha nem érthető félre, akkor A . H
21
1.1.2. Kombinatorika 1.1.2. Kom binatorika
A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Alapfeladata annak megállapítása, hogy egy véges halmaz elemeit hogyan és hányféleképpen lehet csoportosítani. a) Permutáció. Ha n különböző elemet valamilyen sorrendben helyezünk el (írunk le), akkor egy-egy ilyen elhelyezést az n elem egy-egy permutá ciójának nevezünk. E permutációk száma: P,r=n\
Tétel. A //h a lm a z te tsz ő le g e st és B részhalmazaira
(olv.: en faktoriális). A faktor iái is értelmezése: ;i!= l-2 -3 -...'« ,
A=A, AnA= 0, A nB -A uB ,
A u A = H, A uB -A nB .
1! = 1,
0!=1.
Ha az elemek között k elem megegyezik (ismétlődik), akkor az ún. ismétléses permutációk száma: n\
Az utolsó két azonosságot De M organ-féle azonosságoknak nevezzük. "
k\ ■
A halmaz elemei lehetnek halmazok is. így egy H halmaz összes rész halmazai egy újabb halmazt alkotnak, melyet H hatvány halmazának nevezünk. Jelölése: P( H) . Ha f/ele m e in ek száma n, akkor P{H) elemei
Ha az elemek között r-féle különböző elem szerepel úgy, hogy az egymással megegyező elemek száma rendre k^, k^, ..., k^., akkor az
nek száma 2” .
n elemnek
Példák 1. Legyen R a valós számok halmaza, továbbá legyen A - [x:x e R,|a'| < 2} , B = {x :x g R , x > O}. írjuk fel az A, B, A n B , A u B, A \ B halmazokat. Megoldás. A = { r x e R, |x-| > 2},
B = (x:x
g
R, x < 0}.
Mivel A és B közös elemei a kettőnél kisebb pozitív valós számok, ezért ^ n ő = {x:x e R, 0 < X < 2} . Mivel a két halmaz uniója e két halmaz valamennyi elemét tartalmazza, ezért u = {x:x e R, X> -2}. Az A \ B halmaz A-nak azokat az elemeit tartalmazza, amelyek nem tartoznak ő-hez, így ^ \ ő = {x: X e R , - 2 < X< 0}. 2. Igazoljuk, hogy A \ { B u C ) - A n B n C tetszőleges A, B, C halmazokra. Megoldás. Az A \ B = A n B és a De Morgan-féle második azonosságot felhasz nálva: A \ { B u C)= A n { B u C ) =- A n { B n C ) = A n B n C .
k^\ k 2 \. . . k, \ ismétléses permutációja van. Fontos speciális eset, ha n elem között csak kétféle különböző elem van. mégpedig az egyikféléből k, a másikféléből n - k darab. Ekkor az ismétlé ses permutációk száma: pk,n-k.._,
”
n\
k \{ n -k )\
Példák 1. 5 elem permutációinak száma: /5 = 5! = 1■2-3 -4-5 = 120. 2. Hány permutáció alkotható a MATEMATIKA szó betűiből? Megoldás. Az elemek (betűk) száma n = 10. Ezek között megegyezők is vannak; két M betű, három A betű, és két T betű. Tehát k^ =2, /c, = 3, k^ - 2, Az ismét léses permutációk száma: . 2,3,2 10! = 151200. 2!3!2
22
Egy- és többváltozós függvények
b) Variáció. Ha n különböző elem közül minden lehetséges módon kivá lasztunk k elemet, és ezek összes perm utációit vesszük, akkor megkapjuk n elem ^-adosztályú variációit. Ezek száma; v„ y.= n ( n - \ ) ( n - í ) . . . { n - k + l) =
1. 1. 2.
23
Kombinatorika
d) A binomiális tétel. Ez a Newtontól származó tétel a kéttagú kifejezések (binomok) pozitív egész kitevőre való hatványozási szabályát rögzíti. Tétel (binomiális tétel).
k
(n~kY
A tételben szereplő
Példák 1. Öt elem harmadosztályú (ismétlés nélküli) variációinak száma:
n(^n - l ) . . . ( n - ^ + l) k\
lo ;
''n + í^
2. Hány ötjegyű szám írható fel a 0, 1,2 számjegyekkel? Megoldás. A számjegyek ismétlődhetnek. E három elem ötödosztályú ismétléses variációi közül azok alkothatnak ötjegyű számot, amelyek nem nullával kezdődnek. Ezek száma: = 162 .
c) K om bináció. Ha n különböző elem közül minden lehetséges módon, de sorrendre való tekintet nélkül, kiválasztunk k elemet, akkor megkapjuk n elem ^-adosztályú kombinációit. Ezek száma:
k\{n - k)\ ’
k
(olv.: en alatta ká). Ha a kombinációban ugyanaz az elem többször is szerepelhet, akkor ismétléses kombinációról van szó. Ezek száma: n +k-\^ k Példa 90 elemből 5 elemet 5!o5!
n\ k \ [ n - k)\
\
rn~\ = 1. ^n )
Ezt felhasználva könnyen igazolható, hogy
(5-3)!
Í90^ 5
a"“ V + ...+
” alakú, ún. binomiális együtthatók értelmezése: \k )
(n^ \ k ,/
< * := « * ■
/„A v2y
vly
Ha egy-egy variációban ugyanaz az elem többször is szerepelhet (leg feljebb /c-szor), akkor n elem /c-adosztályú ismétléses variációihoz jutunk. Ezek száma:
C^-=
M-1,
a" +
= 90• 89 ■88■ 87;86 _ 43949268 -féleképpen választhatunk ki. 5!
f n ] fn ^ + , [kj ^k-l,
ill.
'' n \^ [n-k^
(*)
A binomiális együtthatók egy háromszög alakú táblázatban az ún. Pascal-féle háromszögben helyezhetők el az alábbi módon: 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
sor sor sor sor sor sor sor sor
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
E táblázat n-edik sorában rendre az / \ / \ 'n 'n^ ín'^ , .. 1 ? •• *9 í \^kj ^ n - \ J {n) lo ; együtthatók állnak. Például a 6. sorban ezek az együtthatók: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. E szerint {a + b f = a + 6 a% + \5a^b~ + 2 0 a b^ -f 1Sa^b'^ + 6 ab^ + b ^. Az első (*) összefüggés miatt a háromszög belsejében levő bármelyik szám, a közvetlen fölötte levő sorban a tőle balra és jobbra eső két szám
24
Egy- és többváltozós függvények
összegével egyenlő. A második (*) összefüggés pedig ezeknek az együttha tóknak azt a szimmetriáját fejezi ki, hogy a háromszög minden sorában a sor két szélső elemétől egyenlő távolságra levő számok egyenlők. Példák 1. ( \ - 2 x f = l -
4x" 3F - 4 lu = Í ~ l 0 x + 40x~ -8 0 a :^ + 8 0 / -32x^ +...+'
= 2"
Ez azt mutatja, hogy a Pascal-féle háromszög «-edik sorában levő együtthatók (számok) összege 2".
3. A z A és B ítélet diszjunkcióján azt az ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor hamis, ha A is és B is hamis. Jelölése: A v B (olv,: A vagy B). A diszjunkciót logikai összeadásnak is mondjuk. 4. A z A és B ítélet implikációján azt az ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis. Jelölése: A —>B (olv,: A impli kálja 5-t; vagy más szóval: ha A, akkor B). 5. A z A és B ítélet ekvivalenciáján azt az ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor igaz, h a ^ és B logikai értéke egyenlő, .íelölése: A ^ B (olv.: A ekvivalens i?-vel). A felsorolt műveletek eredménye kényelmesen megállapítható az alábbi táblázatok (igazságtáblázatok) segítségével:
1.1.3. A m atem atik ai logika elemei A logika a gondolkodás formáival, a helyes következtetések törvényeinek vizsgálatával foglalkozik. A matematikai logika ehhez matematikai eszkö zöket használ. a) A z ítélet fogalm a. ítéleten olyan zárt kijelentő mondatot értünk, amely egyértelműen igaz vagy hamis. Jelölése: A, B, .... Az ítélet szó helyett használatos a kijelentés vagy állítás szó is. Az ítélet (kijelentés, állítás) lehet igaz vagy lehet hamis (nem igaz). Ezeket az igaz vagy hamis ,jelző k et” logikai érték ek n ek nevezzük. Az igaz logikai értéket a továbbiakban i, a hamis logikai értéket pedig /z jelöli (szokásos jelölésük még; 1, ill. 0). Példák A: 2-3 = 6 B: A Föld forog C; 6 >13. Az A és B ítéletek igazak, ezért ezek logikai értéke egyaránt i, a C ítélet viszont hamis, ennek logikai értéke h. b) Logikai műveletek. A dott ítéletekből a következő műveletek segítségé vel újabb, összetett ítéletek származtathatók: 1. Egy ^ ítélet tagadásán, más szóval negációján azt az ítéletet értjük, amely igaz, ha A hamis, és hamis, ha A igaz. J e l ö l é s e : ( o l v . : nem A vagy non A). 2. A z A és B ítélet konjunkcióján azt az ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor igaz, ha A \s és B is igaz. Jelölése: A a B (olv.: A és B). A konjunkciót logikai szorzásnak is mondjuk.
25
1.1.3. A matematikai logika elemei
A i i h h
A
~iA
i h
h i
B
Aa B
i h i h
i h h h
A vB
A ^ B
h
i h i i
A
B i h h i
Megjegyezzük, hogy az implikáció „A hamis, B igaz” esetre vonatkozó szokatlan eredményét célszerűségi ok is indokolja. Az implikációt nem korlátozzuk azokra az esetekre, amikor a két ítélet között oksági kapcsolat van. Az előbb felsorolt logikai műveleteket értelmezzük az i és h logikai ér tékekre is. így írható például: - 1/ = h, i a í = i, i A h = h, i v h = i stb. Tetszőleges logikai értékek jelölésére a p, q, r stb, logikai változókat ve zetjük be. A logikai változó tehát i vagy h logikai értéket vehet fel. A p és q logikai változók közötti műveletek eredménye az előbbi táblázatok segítsé gével állapítható meg úgy, hogy például A helyett a. p, B helyett a q betűt írjuk be. Ha logikai értékeket és logikai változókat logikai műveleti jelekkel kapcso lunk össze, esetleg zárójeleket is használva, akkor logikai form ulát (logikai kifejezést) kapunk. Ennek az értékét a műveletek közötti elsőbbségi sorrend (precedencia) figyelembevételével kell kiszámítani. Elsődleges művelet a negáció. A további sorrend: konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekviva lencia. A legmagasabbrendű művelet a negáció, a legalacsonyabbrendű az ekvivalencia. Ha egy operandus két műveleti jel között áll, akkor először
Egy- és többváltozós függvények
26
a magasabbrendü műveleti jelhez tartozó műveletet kell vele elvégezni. A zárójel ezt a szabályt módosíthatja. Legyen a és p két logikai formula. H a az a p, ill. az a P logikai formulákban a bennük előforduló változókat a lehetséges / és h értékekkel helyettesítve mindig i-t kapunk eredményül (azaz a -> p s /, ill. = akkor azt mondjuk, hogy P következménye a -nak, ill. a és P egyenér tékűek. Jelölésük: a =» P, ill. a <=> p. Példák 1. Számítsuk ki a {-^p v q a r-> p) logikai kifejezés értékét, ha p=i, q~h, r =i . Megoldás. (—1/ w h / \ i - ^ i ) = h ' v { h Ai ) - ^ i = h v h - ^ i = h ^ i = i. 2. Igazoljuk, hogy p - ^ q egyenértékű -^pwq -v&\. Megoldás. Azt kell igazolni, hogy p és q minden lehetséges (logikai) értéke mellett a p - ^ q i - ^ - ^ p v q kifejezés értéke /. Ez akkor teljesül, ]\& p - ^ q értéke egyenlő —i p v q értékével mindenp és q érték esetén. Ezt célszerű táblázatosán kimutatni: p i i h h
q i h i h
p-^q i h i i
-^P h h i i
-^pvq i h i i
Mivel p - ^ q oszlopa megegyezik -^pvq oszlopával, ezért p - ^ q egyenértékű i f v q- v a l . c) Logikai függvények és kvantorok. V annak olyan ítéletek, amelyeknek igaz vagy hamis volta bizonyos változók értékétől függ. Az ilyen ítéletet logikai függvénynek (predikátumnak) nevezzük. A matematikában gyakran fordul elő a következő két típusú ítélet: „minden x - xq P{x) ” , ill. „van olyan j:, hogy P( x) ” . Ezek rövid leírására a V ill. 3 jeleket használhatjuk a következő módon: \f X P{x) [olv.: minden .x-re /"(.x)]; 3 x P(x) [olv.: van olyanX, hogy /*(.x)].
1.1.4. Relációk
1.1.4. Relációk a) A reláció fogalma. Gyakran vizsgáljuk azt, hogy valamely X halmaz jc eleme és valamely Y halmaz y eleme között van-e valamilyen kapcsolat. Legyen például X Baja, Y pedig Miskolc lakosainak halmaza, és az érdekel bennünket, hogy x és y ismerik-e egymást. Vagy ha X a tér egyeneseinek, Y pedig a sík egyeneseinek halmaza, akkor x és y párhuzamosak-e. Hasonló képpen, ha Y = X a valós számok halmaza, akkor x nagyobb-e mint y. Ezekben a példákban az ismeretség, a párhuzamosság a nagyobb kap csolat egy-egy reláció a z x é s y elemek között. Egy ilyen reláció megadása úgy történhet, hogy megadjuk az A" és Y halmazt és azokat az (x, y) elempárokat, amelyek relációban vannak egymással (azaz ismerik egymást, párhuzamosak, amelyekre x > y stb.). Az ( x, y) jelölés tehát azt jelenti, hogy.x relációban vany-nal. Ezek a rendezett {x, y) párok nyilván elemei az X x Y Descartes-szorzatnak. Mondhatjuk azt, hogy ezek a rendezett párok alkotják a relációt. Definíció. Bináris (kétváltozós) relációnak nevezzük az olyan halmazt, amelynek minden eleme rendezett pár. H a A és Y két halmaz, akkor A és Y fölötti relációnak nevezzük az X x Y halmaz bármely 7 részhalmazát. Ha Y = X , akkor a 7’relációt az A halmazon értelmezett homogén relációnak nevezzük. Az értelmezésből tehát következik, hogy ha T reláció, akkor (x, y) e T. Ez jelölhető x T y módon is, ami olvasható így: x r-relációban vanj;-nal. Az ( x, y) jelölésnél lényeges, hogy az x az első helyen j/ a második helyen áll, vagyis hogy {x, y) rendezett pár. E párok első komponenseinek halma za a reláció értelmezési tartománya, a második komponensek halmaza pedig a reláció értékkészlete. Legyen { x , y ) e T. A T reláció ábrázolható ^ a z x elemekből a z y elemekbe vezető nyilakkal (az ún. nyíldiagrammal) vagy a sík ( x, y)
A V jel neve univerzális kvantor, míg a 3 jel neve egzisztenciális kvantor.
koordinátájú pontjaival (ha minden egyes { x , y ) e T párhoz hozzárendeljük a sík egy-
Példák 1. Jelentse P(x) azt az ítéletet, hogy x hárommal osztható pozitív egész szám, P{x) igaz, ha például x = 12, viszont hamis, ha 11. P(x) egy logikai függvény. 2. A „... minden e > 0 számhoz van olyan 8> 0, hogy ...” helyett írható; Ve > 0 számhoz 38 > 0, hogy
egy pontját). Ez utóbbi ábra a reláció gráfja (1.7. ábra).
y
XxY, grafr U////Z.
~ ° 1.7. ábra. A T reláció gráfja
1. A valós számok halmazán értelmezett reláció például a < (kisebb vagy egyenlő) kapcsolat, Egy másik reláció az egyenlőség (=),
Egy- és többváltozós függvények
28
2. A valós számok halmazán értel mezett homogén T reláció jelentse azt, hogy A-" + y"< 25. Ennek a relációnak a grálja az x~ + y"=25 körvonal és annak belseje (1.8. ábra). 3. Legyen A'= {l,2,3,4}, a reláció 1,8, ábm. Az ,= + / < 25 reláció gráfja ^ ^ ■''1* " ' “ ‘‘l A relációt alkotó számpárok halmaza: {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)}. b) Inverz reláció. Az X és Y fölötti T reláció inverz relációjának
7.7.5. Függvények
zési tarto m án y a, az Y halmaz pedig a függvény képhalmaza. 7-nak azok az elemei, amelyek e hozzárendelésben részt vesznek (azaz képelemek), a függvény értékkészletét alkotják. Az értékkészlet tehát része a képhal maznak. Ha a fü g g v é n y t/jelö li és x e X , akkor az ,\'-hez rendelt )'-beli elemet /(A ')-szel jelöljük, amit az f függvény x helyhez tartozó helyettesítési értékének nevezzük. A függvény értelmezésekor szokás az a szóhasználat is, hogy az /f ü g g vény az X halmazt az Y halm azba képezi le. Ezért a függvényt leképezés nek is mondjuk. Ennek egyik jelölési módja: f\X
nevezzük azt a 7^* -gyei jelölt relációt, amelyre { y ,x ) G 7 ^ ' pontosan akkor, ha ( x ,y ) e T . Az értelmezésből következik, hogy ha T X és Y fölötti reláció, akkor 7 ^ ' nyilván 7 és X fölötti reláció. ( 7 ^ 'értelmezési tartománya egyenlő T értékkészletével, értékkészlete pedig T értelmezési tartományával.) Ha pedig rh o m o g én reláció X-en, akkor 7 ^ ' is homogén reláció X-en. Példa A valós számok halmazán értelmezett < (kisebb) reláció inverze a > (nagyobb) reláció. Az = (egyenlő) reláció inverze önmaga (vagyis az = reláció). c) Ekvivalencia, rendezés. Az X halmazon értelmezett T homogén reláció 1. reflexív, ha {x ,x ) e T ; 2. szimmetrikus, ha { x ,y ) e T esetén (>>,.x) g T ; 3. tranzitív, ha (x ,y ) g T és ( y ,z ) e T esetén { x ,z) e 7’; 4. antiszimmetrikus, ha { x ,y ) e T és { y ,x ) e T esetén x = y . Definíció. Egy homogén relációt ekvivalenciarelációnak nevezünk, ha az reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Rendezési relációnak nevezzük, ha reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus. Példák 1. Az egyenlőség, a hasonlóság, a párhuzamosság ekvivalenciarelációk. 2. A < (kisebb vagy egyenlő) ún. nagyságrendi reláció rendezési reláció.
1.1.5. Függvények a) A függvény fogalm a. Definíció. Legyen X és Y két nem üres halmaz. Ha az X halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük az Y halmaz egy-egy elemét, akkor az X halmazon egy függvényt értelmezünk. Az X halmaz a függvény értelme
29
Y.
A z/fü g g v é n y értelmezési tartományának, ill. értékkészletének szokásos jelölése D f / ú \ . R f . A z értékkészletet f ( X ) módon is szokták jelölni. A z X és Y halmazok igen változatosak lehetnek. Ha például Y a valós számok valamely részhalmaza, akkor azt mondjuk, h o g y /v a ló s függvény. Ha ezen belül X e R , a k k o r / egyváltozós valós függvény, ha X c R " , akkor/k étv á lto zó s valós függvény stb. A függvény m egadásához meg kell adni az értelmezési tartományt, a képhalmazt és azt a hozzárendelési szabályt, amelynek segítségével minden x e X elemhez meghatározható (kiszámítható) a hozzátartozó y e Y elem. Az esetek nagy többségében ezt a hozzárendelési szabályt az f { x ) helyettesítési érték kiszámítására alkalmas képlettel adjuk meg. Például az /v a l ó s függvény értelmezési tartománya legyen a [ - 2 ,2 ] zárt intervallum, a képlet pedig legyen f { x ) = -\l4 -x ~ . Ez a függvény így írható fel; /: { x :x e R , - 2 < X < 2 } -> R; / ( x ) =
.
Szokásos jelölés még: /■j(x)=4i
vagy
X
M egállapodunk abban, hogy e helyett a kényelmetlen felírás helyett gyakran csak az / ( x ) = V 4 - x “ képletet írjuk fel, vagyis ezzel a képlettel értelmezzük az/fü g g v én y t. Itt még abban is megállapodunk, hogy az értel mezési tartományt mindazok az x értékek alkotják, amelyekre a képlet értelmes. Ha eltérően rendelkezünk a helyettesítési értékről, akkor azt ter mészetesen külön ki kell írni. Ennek az egyszerűsített jelölésnek megvan az a hátránya, hogy a helyettesítési érték és a függvény jelölése megegyezik. Ez azonban általában nem okoz félreértést.
Egy- és többváltozós függvények
30
Megjegyezzük, hogy néha kényelmi okok miatt, a függvényt y = f { x ) régies írásmóddal is jelölik, írják. Az változó neve független változó, y neve pedig fü g g ő változó. A függvény a reláció segítségével is értelmezhető. Az eddigiek alapján ugyanis belátható, hogy az és Y fölötti T reláció függvény az X halma zon, ha minden x g X esetén pontosan egy y & Y található úgy, hogy ( x, y ) e T. Ekkor a T jei helyett a z /je le t használjuk, és a T reláció helyett/ függvényt mondunk. Ekkor y = f { x ) . Igen lényeges, hogy míg a relációnál egy X elemhez (értékhez) több (akár végtelen sok) y elem (érték) tartozik, addig a függvény esetén egy ^:-hez pontosan egy y. A függvény ábrázolható az értelmezési tartomány x elemeiből az értékkészlet f { x ) elemeibe vezető nyilakkal (1.9. ábra), vagy a sík { x , f { x ) ) koordinátájú pontjaival (1.10. ábra). Ez a ponthalmaz a függvény gráfja (görbéje, grafikonja).
1.1.5. Függvények
Az összetett függvény jele f o g , ahol / e t külső függvénynek, g-t belső függvénynek nevezzük. Az értelmezés alapján ( / ° á^)(^) = f { g { x ) ) . Példa A h{x) = ln(4 - x~) összetett függvény esetében a külső függvény / {u) = in m, a belső függvény g{x) = A- x ~ >0. A h függvény csak 4 - x ~ >0 esetén van értel mezve, azaz, ha - 2 < x <2 . Tehát a h függvény értelmezési tartománya ez a nyílt intervallum. c) Bijektív függvények. A függvények három jellegzetes osztályát említ jü k meg. Legyen f : X -» 7 . Az / függvény szű rjek tív , ha 7-nak minden eleme képelem, azaz ha f { X ) = Y ; injektív, ha X különböző elemeihez 7-nak különböző elmei tartoznak, azaz ha X\
X2 esetén f { x i ) ^ f i ^ j ) ' , bijektív, ha szűrj ektív és
injektív. A bijektív függvényt szokás kölcsönösen egyértelműnek, más szóval egy-egyértelműnek is mondani. (Lásd még a [9] 8.3. pontját.) Megjegyezzük, hogy az inj ektív függvény is kölcsönösen egyértelmíi. Legyen X, ill. 7 egy-egy intervallum. Erre az esetre szemléltet az 1.11. ábra egy szűrj ektív, egy inj ektív és egy bijektív függvényt.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1.9. ábra. Függvény nyíldíagramja
31
1.10. ábra. Az f{x )= 4 x + \ függvény
Példák 1. Legyen A '= {-1,0,1,2,3} az f ( x ) = 3 - 2 x függvény értelmezési tarto mánya, az egész számok halmaza pedig a képhalmaza. Ekkor az f ( X ) értékkészlet elemei rendre: 5, 3, 1, - 1 ,- 3 . A függvény nyíldiagramját az 1.9. ábra szemlélteti. 2. Az / (a:) = J x + l függvény értelmezési tartománya az x > - \ számok hal maza, mert a V x + 1 csak ott van értelmezve (megállapodás!). Értékkészlete az >^>0 számok halmaza. A függvény görbéje (grá^a, gráf/-fe! is szokás jelölni) az 1.10. ábrán látható. b) Összetett függvény. A matematikai gyakorlatban f { g ( x ) ) szerkezetű függvényekkel dolgozunk.
túlnyomórészt
Definíció. Az / é s g függvényekből f { g ( x ) ) módon konstruált függvényt összetett függvénynek nevezzük. Értelmezési tartománya azokból az x e Dg elemekből áll, amelyekre g ( x ) e D f .
y
X 1.11. ábra. a) Szűrj ektív b) injektív c) bijektív függvény gráfja d) Függvény megfordítjuk, re, akkor ez a hogy egy y e
inverze. Ha az f : X - ^ Y függvénynél a leképezés irányát vagyis az 7 halmaz elemeit képezzük le az X halmaz elemei fordított leképezés általában nem függvény, mert nem biztos, Y elemnek egyetlen x g X elem felel meg. Ha azonban /
bijektív, azaz kölcsönösen egyértelmű, akkor ez az ( / ” ' -gyei jelölt) fordí tott leképezés is függvény. Definíció. Ha az f ' . X - ^ Y
függvény kölcsönösen egyértelmű (azaz
bijektív), akkor az / ~ ' ; 7 —> X függvényt / inverz függvényének nevez zük. Ekkor a z / e t invertálható függvénynek mondjuk.
Egy- és többváltozós függvények
32
Példa Az / : R R ,/ ( x ) = x~ függvény nem kölcsönösen egyértelmű, hiszen minden ;c e R esetén / {-x) - f ( x ) , így /-nek nincs inverz függvénye. Legyen most az f függvény értelmezési tartománya Rq , azaz a nemnegatív számok halmaza, tehát / : R ^ - > R , / ( x ) = ^ -,
n
Ez az/függvény bijektív, tehát van inverz függvénye, éspedig az / “‘: R J - > R , / - ’(x) = V7 függvény, melynek görbéje az y = 4 x értékkészletéből vett tetszőleges >>-hoz
félparabola (1.33. ábra). Ui. az / értelmezési tartományában pontosan egy
olyan x tartozik, amelyre y - f { x ) , azaz amelyre y = x~ , t sQz?a x - f ~ \ y ) = y[y szám. Ebből következik, hogy / " ' az/ függvény inverze. 1.1.6. A lgebrai stru k tú rá k Az algebra a matematika fontos ága. Ennek egyik része az ún. klasszikus algebra, amelynek tárgya az algebrai egyenletek és egyenletrendszerek meg oldásainak, ül. megoldhatóságának vizsgálata. A másik része az absztrakt algebra (modem algebra), amely az algebrai struktúrákkal foglalkozik. A lgebrai s tru k tú rá n a k nevezünk egy halmazt, amelyben egy vagy több művelet van értelmezve. A legfontosabb algebrai struktúrák a követ kezők: a) Félcsoport. Elemeknek (pl. számoknak) egy halmazát félcsoportnak nevezzük, ha benne értelmezve van egy asszociatív, kétváltozós művelet. Ha a művelet kommutatív is, akkor kommutatív félcsoportról van szó. A m űvelet kétváltozós, ha az valamely A halmaz bármely rendezett elempárjához (tehát két elemhez) rendel A-he\i elemet. Kétváltozós műve let például az összeadás vagy a szorzás. b) C soport. Elemeknek (pl. számoknak) egy halmazát csoportnak nevez zük, ha benne értelmezve van egy asszociatív, invertálható kétváltozós művelet. Ha a művelet kommutatív is, akkor a csoport neve Abel-csoport. Ha a művelet összeadás, akkor ennek in vertál ása a kivonás. A szorzás invertálása az osztás. A fenti értelmezésből következik, hogy a csoportnak van neutrális ele me. H a a művelet összeadás, akkor a neutrális elem neve nullaelem (nulla, zérus), mert a + 0 = a . Ha a művelet szorzás, akkor a neutrális elem neve egységelem (egy), mert a \ = a . Például az egész számok halm aza az összeadásra nézve csoport. Ugyan csak csoport a pozitív racionális számok halm aza a szorzásra nézve.
1.1.7. Valós számok
33
c) G y űrű . Elemeknek (pl. számoknak) egy halmazát gyűrűnek nevezzük, ha benne értelmezve van két művelet, egy asszociatív, kommutatív, inver tálható összeadás és egy asszociatív szorzás, amely az összeadásra nézve disztributív. A gyűrűben tehát elvégezhető az összeadás, a kivonás és a szorzás. Ha a szorzás kommutatív is, akkor kommutatív gyűrűről beszélünk. Gyűrű például az egész számok halmaza az összeadás és szorzás műve letére nézve. cl) Test. Elemeknek (pl. számoknak) egy halmazát testnek nevezzük, ha benne értelmezve van két művelet: egy asszociatív, kommutatív, inver tálható összeadás és szorzás, ahol a szorzás az összeadásra nézve disztri butív. A szorzásnak a nullaelemre való invertálása (a nullával való osztás) természetesen nem megengedett. A testben mint algebrai struktúrában tehát elvégezhető az összeadás, ki vonás, szorzás és osztás, kivéve a nullával való osztást. Test például a racionális számok halmaza vagy a valós számok halmaza az összeadásra és a szorzásra nézve. (Lásd még a [9] 1. fejezetét.) 1.1.7. V alós szám ok a) Term észetes szám ok. Az egyesével való számlálás során keletkező 1, 2, 3, ..., n, ... számok a természetes számok. Ezt a számhalmazt N-nel jelöljük. Megjegyezzük, hogy szokás a 0 számot is a természetes számok közé sorolni. A természetes számok halmazában az összeadás és a szorzás mindig elvégezhető, azaz két természetes szám összege is, szorzata is természetes szám. Úgy is mondjuk, hogy a természetes számok halmaza zárt az össze adásra és a szorzásra nézve. A kivonás és osztás azonban nem mindig végezhető el (ui. az eredmények nem csak N-beli elemeket adnak). E halmazban van legkisebb elem, de nincs legnagyobb. A halmaz végte len, mert elemeinek száma végtelen. Az 1.1.1. pontban már említettük, hogy a természetes számok halmaza megszámlálható számosságú (megszámlálhatóan végtelen) vagy röviden: megszámlálható. A természetes számokra érvényes a teljes indukció axióm ája: Ha a természetes számok egy H részhalmaza tartalmazza az 1 számot és minden n számmal együtt az « +1 számot is, akkor H az összes természetes számot tartalmazza. Ezen az axiómán alapul a matematika egyik fontos bizonyítási módszere, a teljes indukcióval való bizonyítás. Ez a következőképpen fogalmazható meg: Tartozzék minden n természetes számhoz egy-egy állítás. Ha az 4 , állítás az n = \ számra igaz, továbbá, ha tetszőleges, de rögzített n esetén
Egy- és többváltozós függvények
34 az
állítás igaz voltának feltevéséből
igaz volta is következik,
akkor az állítás minden n-re igaz. Röviden úgy is fogalmazhatunk, hogy ha az állítás igaz volta n-ről {n + l)-re öröklődik, akkor az állítás minden természetes számra igaz. A teljes indukcióval való bizonyítást a következő három lépésben cél szerű elvégezni: 1. A bizonyítandó állítást igazoljuk n = 1 -re (igazoljuk, hogy igaz); 2. Feltételezzük, hogy az állítás «-re igaz (feltesszük, hogy
igaz);
3. Az előbbi feltételezést felhasználva bizonyítjuk, hogy az állítás {n + l)-re igaz (bizonyítjuk, hogy igaz). hq
Megemlítjük, hogy vannak esetek, amelyekben az állítás csak bizonyos ^ 1 természetes számtól igaz. Ekkor a bizonyításnál először az hq szám
ra kell igazolni az állítást. Példa
7 Bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy 1+ 3 + 5+.. ,+(2« - ! ) = «" .
Megoldás. A bal oldalon egy n tagú összeg áll. 1. Igazoljuk, hogy n = 1 esetén az állítás igaz (a bal oldal egyetlen tagból áll): 4 :1 = 1". 2. Feltételezzük, hogy az állítás «-re igaz: Ay,:í + 3 + 5+..,+(2n- ! ) = «“ . 3. Bizonyítunk {n + 1) -re: + 3 + 5+...+(2/j —1) + (2n +1) = «“ + {2n +1) = (n +1)” . Itt felhasználtuk azt, hogy a bal oldalon az első n tag összege n~. Mivel A„ igaz voltának feltételezéséből azt kaptuk, hogy 4,+i 's igaz, ezért az állítás minden n-re igaz. b) Egész számok. A természetes számokból kiindulva, alkalmas bővítéssel megalkothatók az egész számok: ...,- 3 ,- 2 ,- 1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,... Ezt a számhalmazt Z-vel jelöljük. A -1, - 2 , -3 , ... számok a negatív egész számok. Az 1, 2, 3, ... termé szetes számokat pozitív egész számoknak is mondjuk, 0 pedig a nulla (zérus). Az egész számok halmazában az összeadás és szorzás mindig elvégezhető, úgyszintén a kivonás is. Az összeadásnál a 0, a szorzásnál az 1 szám kitüntetett helyzetű, mivel a + 0 = ű és \ - a = a , ahol a tetszőleges egész szám. A nulla nevezetes tulajdonsága még: a • 0 == 0 .
1.1.7. Valós számok
35
Ebben a halmazban nincs legnagyobb és nincs legkisebb elem. A Z hal maz végtelen, számossága ugyanúgy megszámlálható, mint az N halmazé. c) Racionális számok. Két egész szám hányadosaként előállítható számot racionális számnak nevezzük. A racionális számok halmazát tehát a — , p és q egész számok, q ^ 0 alakú számok alkotják. Ezt a halm azt Q jelöli. Az értelmezésből következik, hogy minden racionális szám egyértelmű en felírható véges tizedes tört vagy (végtelen) szakaszos tizedes tört alak ban. Ennek fordítottja is fennáll, vagyis minden ilyen tizedes tört racionális szám. A szakaszos tizedes törtet periodikus törtnek is nevezik. Ez a halmaz magában foglalja (tartalmazza) az egész számok halmazát és így a természetes számok halmazát is. Q tehát a Z halmaz alkalmas bővítésével nyerhető. A racionális számok halmazában az összeadás, szorzás, kivonás és osz tás mindig elvégezhető, a nullával való osztást kivéve. Ezeknek a művele teknek az eredménye tehát ismét racionális szám. Mivel az összeadás és a szorzás kommutatív és asszociatív, továbbá a szorzás disztributív, ezért a racionális számok halmaza test. A racionális számok a számegyenesen ábrázolhatok. Minden racionális számnak a számegyenesen megfelel egy pont. Ez a hozzárendelés egyszerű szerkesztéssel megvalósítható. A racionális számoknak a számegyenesen való érdekes elhelyezkedésére rávilágít az a tény, hogy bármely két racio nális szám között mindig van racionális szám. Ennek következtében bár mely két racionális szám között végtelen sok racionális szám van. Ezt másképpen úgy mondjuk, hogy a racionális számok halmaza mindenütt sűrű. Ennek ellenére könnyen igazolható az a meglepő tény, hogy ennek a halmaz nak a számossága megegyezik az N halmaz számosságával, azaz a két halmaz ekvivalens. Tehát a racionális számok halmaza is megszámlálható. A racionális számok sűrűsége azért is fontos, mert bármely valós számot tetszőleges pontossággal közelíthetünk racionális számmal. d) Irracionális számok. Egyszerű algebrai és geometriai feladatok megol dása is szükségessé tette az irracionális számok, más szóval a végtelen nemszakaszos tizedes törtek bevezetését. Ilyen szám pl. a - J l . Könnyű igazolni, hogy valóban nem racionális szám (lásd [9] 2.24. pontját). Ebből viszont az következik, hogy bár a racionális számoknak megfelelő pontok a számegyenesen sűrűn helyezkednek el, mégsem töltik azt ki, így az „hézagos” . Az irracionális számok ezen „hézagoknak” megfe lelő pontokkal ábrázolhatók. A V2 szám helye például az 1.12. ábrán
Egy- és többváltozós függvények
36
bemutatott szerkesztéssel jelölhető ki a számegyenesen. Ez a pont a 0-tól jobbra, akkora távolságra van, amekko ra az egységnyi oldalú négyzet átlója. Ennek az átlónak nyilván van hoszszúsága, tehát valóban létezik a V 2 nek megfelelő pont a számegyenesen. Ugyanakkor ez a pont nem racionális 1.12. ábra. A V2 szám helyének szám képe, hiszen V2 irracionális szám. megszerkesztése A z irracionális számok halmaza is mindenütt sűrű, számossága nagyobb m int a racionális számoké, azaz nem megszámlálható. Az a irracionális számot algebrai szám nak nevezzük, ha van olyan raci onális együtthatójú n-edfokú egyenlet, amelynek a gyöke. Ha nincs ilyen egyenlet, akkor a transzcendens szám. Algebrai számok pl. 4 2 , \j \ + 4 5 , transzcendens számok pl. %, e. e) Valós számok. A racionális és irracionális számok együtt alkotják a valós számokat. Ezt a halmazt R jelöli. A valós számok és a számegyenes p o ntjai között kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető. Ez azt jelenti, hogy minden egyes valós számnak megfelel a számegyenesen egy pont és a számegyenes minden egyes pont jának megfelel egy valós szám. A valós számok halmaza nem megszámlálható, azaz kontinuum számosságú. Elvégezhető benne az összeadás és szorzás, és ezek a műveletek megfordíthatók (a nullával való osztást kivéve). Az R halmaz mint algebrai struktúra test. Gyakran valós számtestként említjük. A valós számok halmaza (nagyságrendileg) rendezett halmaz, mert ér telmezve van benne a < (kisebb vagy egyenlő) rendezési reláció. Ennek következtében bármely két a, b valós szám esetén az a < b , a = b, a > b
g) Intervallum. A valós számok igen egyszerű és gyakran előforduló részhalmaza az intervallum. Legyen a < b két valós szám. Ekkor interval lumnak nevezzük a valós számok következő részhalmazait: ]a,b[.= {x'.x e R , a < X < b ] , nyílt intervallum (1.13.a ábra); [a,b]. = {x'.x e R , a < x < b ] , zárt intervallum (1.13.6 ábra); ]a,b].= {x:x e R , a < x
b)
a< x< b
a
d)
a
1.13. ábra. a) Nyílt intervallum, b) Zárt intervallum, c) Balról nyílt, jobbról zárt intervallum, d) Balról zártjobbról nyílt intervallum Az ~\a,b\ nyílt intervallum pontjai a fenti négy intervallum bármelyi kének belső pontjai (a végpontok tehát nem tartoznak ide), míg b - a az intervallum hossza (mind a négy esetben). A definiált intervallumok korlá tosak, mert mindegyik hossza véges. Intervallumnak nevezzük a következő részhalmazokat is: ] c,o o l
[c,o o [,
]- o o ,c [,
] - o o ,c ];
cgR,
Ezek végtelen intervallumok, mert nem korlátosak.
1.1.8. Az rt-dimenziós tér
állítások közül pontosan egy teljesül. _/) Abszoiút érték. A valós számok körében igen fontos fogalom az abszo lút érték. Az X szám abszolút értéke: .X, ha jc > 0, -jc, ha jc < 0. Az abszolút érték legfontosabb tulajdonságai: a = a b b'
37
1.1.8. A z n-dimenziós tér
|a + Z>| < |a |+ |é |.
a) Az n-dimenziós tér. Mint láttuk, a valós számok a számegyenes pontja ival ábrázolhatók. Ennek fordítottja is igaz: az egyenes minden pontja egyegy valós számmal, a pont koordinátájával adható meg. Hasonlóképpen a sík, ill. tér pontjai valós számokból álló ( x , y ) rendezett számpárokkal, ill. rendezett ( x, y , z ) számhármasokkal jellemezhetők. Az jc, y, z számok a pont (derékszögű) koordinátái (lásd az 1.1.11. pontban). Az {x, y) rendezett párok az R ' , az ( x, y, z ) rendezett számhármasok pedig az R elemei. Ezt általánosítjuk most.
halmaz
Egy- és többváltozós függvények
38
Definíció. /í-dim enziós térn e k nevezzük az (x, ^-esekből álló R ” halmazt. Az (.x, ,a-, A', ,Xt
rendezett szám-
. .,x „) elemek a tér pontjai, az
valós számok a pont koordinátái.
Ennek megfelelően R “
k é t d i m e n z i ó s tér,
R"* pedig
b) M etrika. Természetesnek tartjuk, hogy az x és ságát az |x - y| abszolút értékkel értelmezzük. A
háromdimenziós
valós számok
d
tér.
távol
d(jc, y) = |x - y| módon értelmezett függvényt távolságfüggvénynek,
más szóval metrikának nevezzük. E függvény legfontosabb tulajdonságai: 1. d ( x , y ) > 0 ;
Definíció. Legyen A c z R , a G R . Azt mondjuk, hogy az a pont az A halmaz torlódási pontja, ha a bármely környezete A végtelen sok pontját tartalmazza. Az a G R pont az ^ c R halmaznak jobb, ill. bal oldali torlódási pontja, ha a torlódási pontja az A r\[a ,°°[, ill. az A n [ - ° ° , a [ halmaznak.
a^T~""”a
aT s
^
1.14. ábra. Az a szám ekörnyezete
A környezet fogalmát síkbeli és térbeli esetre is kiterjesztjük. A sík P{a, b) pontjának e-kör nyezetén a sík azon ( x , y ) pontjainak halmazát értjük, amelyek az { x - a y + ( y - b ) ~ = e"
2. d (x ,y ) = d (y ,x ); 3. d(x, y) = 0 akkor és csak akkor, ha x =
kör belsejében vannak (1.15. ábra). P {a,b,c) ^onÍ]mdik.z-környezete az
;
4. d (x ,y ) < d (x ,z ) + d(z, y) (háromszögegyenlötlenség).
( x - a ) ^ + { y - b ) ~ + { z - c ) ^ = £"
Ha egy halmazon értelmezhető az 1.-4. tulajdonságokkal rendelkező d távolságfüggvény, akkor a halmazt a d metrikával ellátott metrikus térnek nevezzük. Mindezek alapján a valós számok R halmaza metrikus tér a d(.x, y) = = IA '-y| metrikával. Természetesnek tűnik, hogy az R ' y = (y ,,y 2) pontjainak, ill. az R pontjainak távolsága legyen
tér (azaz a sík) x = {x^,x^_) és
tér x - {x^,x-,,x^) és y = (y i,y 2 ,y 3)
d (^ ,y ) = V u - y , ) ' +{x, -- y ,)- , d ( x , y ) = ^(x^
ill.
+{x, - y , ) ' +(^3 - y , 7 "-
Általánosítva: az R " tér x = (x,
és y = ( y ,, y^ ,• • •,y„) pont
jainak távolsága d (^ ,y ) = ’J(^i - y , ) ' +Ú% - y , ) - + ...+ ( x „ - y ^ ) - . Igazolható, hogy ezek a távolságok rendelkeznek a metrika tulaj donságaival. Ezért mondható, hogy az ^-dimenziós tér metrikus tér a d metrikával. c) Környezet, torlódási pont. Az a valós szám e-környezetén, más szóval E - s i i g a r ú k ö r n y e z e t é n az ] a - e , a + e[ nyílt intervallumot értjük (1.14. ábra). M egállapodunk abban, hogy a ]c,+ környezeteinek,
39
1.1.8. A z n-dimenziós tér
a ]-°«,c[ alakúakat pedig
alakú intervallumokat +°o környezeteinek
mondjuk.
A tér 15. ábra. A P pont ekörnyezete
gömb belsejében levő pontok halmaza. Nagyfokú általánosításra ad lehetőséget, ha a környezetet a következő képpen értelmezzük: Az n-dimenziós tér valamely P pontjának e-környezetén a tér mindazon pontjainak halm azát értjük, amelyeknek a P pont tól való távolsága kisebb mint e. Itt burkoltan mindkét esetben a távolságot (a metrikát) használtuk fel. Ugyanis a környezet pontjainak távolsága az adott {a, ill. P) ponttól kisebb mint E. Ezért a fogalom kiterjeszthető az ^-dimenziós térre, sőt bármely metrikus térre is. Legyen M az «-dimenziós tér egy részhalmaza, P pedig egy pontja. Ek kor azt mondjuk, hogy P torlódási pontja M-nek, ha P bármely környeze te A/-nek végtelen sok pontját tartalmazza. Ha viszont P-nek van olyan környezete, amely M-nek egyetlen P-tö\ különböző pontját sem tartalmaz za, akkor P izolált pont. Megjegyezzük, hogy M torlódási pontja általában nem pontja M-nek. Legyen ismételten M c R^’ és P g R ” (1.16. ábra). Azt m ond juk, hogy P belső pontja M-nek, ha P-nek van olyan környezete, amelyet az M halmaz tartalmaz (benne van M-ben); Q külső p o n tja M-nek, ha Q nem tarto zik M-hez, és van olyan környezete, amely egyetlen pontot sem tartalmaz M-ből; S határpontja
T
Q
1,16. ábra. P belső pont, Q külső pont, 5 határpont
Egy- és többváltozós függvények
40
M-nek, ha 5-nek bármely környezete tartalmaz M-hez tartozó és M-hez nem tartozó pontot is. A határpont nem szükségképpen pontja M-nek. Az M c R ” halmazt nyíltnak mondjuk, ha egyetlen határpontját sem tartalmazza, azaz ha minden pontja belső pont, és zártnak, ha minden határpontját tartalmazza. Az összefliggő nyílt halmazt tartománynak is szokták nevezni. Az M halmaz akkor összefüggő, ha bármely két pontja olyan folytonos görbével köthető össze, amelynek minden pontja M-ben van. Az összefüggőség szemléletesen azt jelenti, hogy egy darabból áll. A zárt halmaz így is jellem ezhető: Az M halmaz pontosan akkor zárt, ha minden torlódási pontját tartalmazza. Gyakran használatos fogalom a korlátosság. Az M c: R " halmaz korlá tos, ha van olyan ^ valós szám, hogy M bármely két pontjának távolsága nem nagyobb mint k, azaz d(P,Q)
P , Q e M.
Kétdimenziós esetben a korlátosság azt jelenti, hogy van olyan körlap, amellyel M lefedhető. Az analízisben alapvető fontosságú az alábbi tétel: Bolzano-W eierstrass-tétel: Az n-dimenziós tér bármely korlátos végtelen részhalmazának van torlódási pontja.
1.1.9. K om plex számok a) A komplex szám értelmezése. A komplex számok a valós számokból megalkotott { a , b ) alakú rendezett számpárok, A komplex számok halma zát C jelöli. Az egyenlőség értelmezése: {a,b) - {c, d) akkor és csak akkor, ha a = c és b = d . Az összeadás értelmezése: {a,b) + {c, d) = {a + c,b + d ) . A szorzás értelmezése: (a, b){c, d) = (ac - b d ,a d + be). A komplex számok halmaza test az értelmezett összeadás és szorzás műveletére nézve (komplex számtest). Nullaelem a (0 ,0 ), egységelem az (1,0). Ezeket a továbbiakban 0, ill. 1 jelöli. Megjegyezzük, hogy C (nagy ságrendileg) nem rendezett halmaz. Rendeljük hozzá minden (a, 0) alakú komplex számhoz az a valós szá mot. Ez a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, ezért az (a,0) komplex számot azonosíthatjuk az a valós számmal, vagyis írható: (a, 0 ) = a . A (0,1) elemet jelölje i. A szorzás értelmezése szerint = / - / = (0 ,l)(0 ,l) = ( - l,0 ) = - l .
41
1.1.9. Komplex számok
Az i számot képzetes egységnek nevezzük. Mivel i~ - -1 , ezért formáli san írható az is, hogy / = V=T. Az i nyilván nem valós szám. M indezek alapján az {a,b) komplex szám felírható a következő alakban is: (a,ö ) = (a,0 ) + {Q,b) = (a,0 ) + (0,1)(6,0) = a + /ö. A képzetes egységet i helyett gyakran j vel jelölik. A továbbiakban az {a,b) számpáros fel írás helyett az a + ib vagy a + bt írásmódot használjuk. Ezt az alakot a komplex szám algebrai alakjának nevezzük. Tekintettel arra, hogy az x + iy komplex szám nem más, mint az ( x, y) számpár, ezért a komplex számot a Descartes-íéXt koordinátarendszerben a P ( x , y ) ponttal vagy ehhez a ponthoz tartozó helyvektorral 1.17. ábra. A z = x + iy és a ábrázoljuk (1.17. ábra). Ennek a koordinátarendszernek a síkját z = x ~i y komplex szám komplex számsíknak nevezzük. Az x-, ill. ytengely neve valós, ill. képzetes tengely. A z = x + iy komplex szám valós része x, képzetes (imagínárius) része y. Jelölésük; R ez:=.x,
lmz:=y.
A valós szám olyan speciális komplex szám, amelynek képzetes része nulla. Az előzőek alapján két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha valós részük is és képzetes részük is egyenlő, azaz x i+ iy i= x 2 + iyi, ha x i = x 2 és y i = y 2 A z = x + iy komplex szám abszolút értékén az -.= \z\= = ^|7 számot értjük. Ez nem más, mint P helyvektorának hossza. E helyvektornak a valós tengely pozitív irányával bezárt szöge a komplex szám arkusza. Ezt rendszerint (p vagy arcz jelöli, és megállapodás szerint -7 r< (p < 71 vagy 0 < cp< 2 ti .
Egy- és többváltozós függvények
42
Az 1.17. ábráról leolvasható, hogy jc = rcoscp, nálva, dí z = x + iy komplex szám felírható
= r s in íp . Ezt felhasz
43
b) Az összeadás és a kivonás. A z\ és Z2 komplex szám összege: Zj +Z 2 = (xi + ÍV]) + (X 2 +
z = r( c 0s(p + is in 9 )
) = ^1 + .^2 + /(>■] + 3^2) ■
Az R halmaz testtulajdonságából következően az összeadás kommutatív és asszociatív. Az abszolút érték egyik nevezetes tulajdonsága:
ún. trigonom etrikus alak b a n is. A cos(p + í sin
1.1.9. Komplex számok
Euler-formula ismeretében a komplex szám
ki + ^2! - k i| + 1^2!■ A konjugáltakkal kapcsolatban megemlítjük, hogy
exponenciális alak jáh o z jutunk (lásd a 8.3.3. pontot). Itt e a természetes logaritmus alapszám a{e = 2,71828...). Összefoglalva, a komplex szám algebrai, trigonometrikus és exponen ciális alakja: z = x + iy ~ r(cos(p + i sin(p) = r e ' ^ . A z = x + iy komplex szám konjugáltja a
z + z - (x + íy) + (x —ly) = 2 x,
zj + Z2 = z-j + Z7 .
A Z2 és z-j komplex számok különbsége-.
^2 " ^1 = (^2 + ^>2) “ (-^1 +iy]) = X 2 - x^+ i{y2 ~ y\) ■ A Z] és Z2 komplex számoknak megfelelő pontok távolsága-.
z: = X —iy d = \z2 ~z^\ = ^ { x 2 - x { f +{ y 2 - y ^ f .
komplex szám, ami geometriailag z tükörképe a valós tengelyre (1.17. ábra). Ennek megfelelően z = x + i y - x - i y = r(coscp- i sincp)
c) A szorzás és az osztás. A zj és Z2 komplex számok szorzata valójában a többtagúak szorzási szabálya alapján kapható, figyelembe véve azt, hogy
Példák 1. A z = -1 + -J3i komplex szám (1.18. ábra) ab szolút értéke:
i~ = -1. Tehát Z]Z2 = (xi + />] ){X2 + />2) = -^1-^2 “ J^i>’2 + Kx]yi + -^lyi) •
\z \ = ^ÍT+3=2. Mivel coscp = - ^ és sincp = (p = ^
A szorzás kommutatív, asszociatív és érvényes a disztributív törvény. Trigonometrikus alakban:
, ezért az arkusz:
Z]Z2 =r|(cos(pi + /s in ( p i)’r2(cos(p2 +/sin(p2) =
, Tehát a komplex szám trigonometrikus és
= /'ir2(cos(p] cos(p2 -sincpi sincp2 +/(sin(p] cos(p2 +cos(p| sin 9 2 )) =
exponenciális alakja: 2| c o s -^ + /sin— ^ = 2 e
1.18. ábra. A z = - l + S i komplex szám
E komplex szám konjugáltja: z = -1 - -J3i. 2. A z = 8 komplex szám abszolüt értéke 8, arkusza 0, ezért a trigonometrikus alak: 8(cos0 + /sin 0). 3. Az i komplex szám arkusza y , abszolút értéke: 1. Trigonometrikus alakja: cosy + /s in y , cxponenciális alakja: e - . 4. A z = -5 komplex szám abszolút értéke 5, arkusza n .
= r,r2(cos((pi +(p2) + /sin((p| + 9 2 ))Exponenciális alakban: z^Z2 =ne' ^<-r 2e'‘<^^-=r^r2e^(^'^^^-\ Mind a trigonometrikus, mind az exponenciális alakból látható, hogy komplex számok szorzásakor az abszolút értékeket össze kell szorozni, az arkuszokat (szögeket) pedig össze kell adni. Ez geometriailag azt jelenti, hogy Z]-nek Z2-vel való szorzásakor a Z] vektorát [zj]-szeresére kell nyúj tani (rövidíteni) és 92 = arc Z2 szöggel el kell forgatni. A fentiek miatt az /-vei való szorzás 90°-os forgatást jelent.
Egy- és többváltozós függvények
44
A konjugáltakkal kapcsolatban megemlítjük, hogy zjz2 = Z\Z2 ,
1.1.9. Komplex számok
45
Megoldás.
zz = {x + iy)(x - i y ) = x^ +y ~ .
Az abszolút értékre érvényes: |Z]Z2| = |^i||22|-
b) Mivel rj =6, cpj
6
“
-
cpo " 4
ezért
Példa Számítsuk ki a zj = 2V3 + 2i és Z2 = 1+ ^ komplex számok szorzatát a) algebrai, b) trigonometrikus és c) exponenciális alakban. Megoldás.
c)
a) z,z2 = (2 V 3 + 2 0 (1 + 0 = 2 V 3 - 2 + /( 2 V 3 + 2).
Z») Mivel r^ = V12 + 4 =4, (p, =-|-,
Z-,
= V2, 92 = ~ , ezért
z,z, = 4V2 Í c o s ( f + ^ ) + í s in ( ^ + -^ )'| = 4 V2 (cos75°+f sin75°). V o 4 o 4 y ,YÍL+iL) /57t c) Z]Z2 = 4V2e ^ = 4V2e .
3 V2*
2V2
éO Hatványozás. A komplex szám egész kitevőre való hatványozását úgy értelmezzük mint valós szám esetében, azaz
1
z - z, z
«+l
—z
n
(« > 0 egész) és ha. z ^ 0 .
Negatív egész kitevő esetén A — hányados algebrai alakban való előállításához célszerű a számlá ul lót és a nevezőt szorozni a nevező konjugáltjával. így zx
zxz2
(xi +i yi ){x 2 ~ i y 2 )
X1X2 + y \ y 2 , -^l yi - ^ l y i
^2 ~ ^2 ^2 ~ (^2 + í>2 )(^2 ” % )
X2 + y Í
4 +y2
A komplex szám n-edik^ hatványa algebrai alakban kiszámítható a bi nomiális tétel segítségével. így n~k ,. s./
Ix
i~ = -1 ,
" Általánosan:
A r.
IL
íiL ^
^2 ’
^2
( n > 0 egész).
= 1,
i^ = i,
= -1
stb.
= / (m, l egész szám).
z” = (r(cos(p + /sin(p))” = r ” (cos«cp + /sinncp). Ennek alapján z” exponenciális alakja:
(Z2 56 0). ^2
Példa írjuk fel a — hányadost a) algebrai, b) trigonometrikus és c) exponenciális alakban, ha Zj = -3^/3 + 3/ és 23 = 2 + 2 i.
{ly)
Ha z = r(cos(p + /s in 9 ), akkor (Moivre-képlet):
Komplex számok osztásakor tehát a számláló abszolút értékét el kell osztani a nevező abszolút értékével, a számláló arkuszából (szögéből) pedig ki kell vonni a nevező arkuszát. A konjugáltakra és az abszolút értékre érvényes:
U 2;
0, n > 0 egész).
Itt figyelembe kell venni, hogy
n (c °s 9 l + -;sinyi) ^ A (e o s ( 9 i -.p,)+ .-sin(ip, r2(C0S(p2+ísm(p2) ^2
/CP2
(z
'
Trigonometrikus és exponenciális alakban; Z2
z -= -i
Ha r - \ , akkor z ” = (cos 9 + /sin (p)” = cos n(p + / sin n(p =
.
Példa Számítsuk ki (1 + /)'* értékét a) binomiális tétellel és b) Mo/vre-képlettel is.
Egy- és többváltozós függvények
46
1.1.10. Polinomok
47
Megoldás. a) (I + O"*-1 + 4/ + 6/ - + 4 / ^ = - 4 .
1.1.10. Polinom ok
b) M ivel r = ^ j 2 és (p = - j , ezért 1+ / = V 2 ( c o s - j + / s i n ^ ) , így
a) A polinom értelmezése.
(1 + /)"* = V y " * (c 0 s 4 '^ + 7 sin 4 --^ ) = - 4 .
Definíció. Az f { x ) \ =
e) Gyökvonás. A z komplex szám «-edik gyökén a w” = z ( n > 0 egész) egyenlet gyökeit értjük. Ha z = r(cos(p + f sincp), akkor (p + 2 kn . . (p + 2/cTC c o s - --------- + 1sm-^^----------
(/í = 0,1,2,.
Az n-edik gyökök az origó középpontú 'Vr sugarú körön vannak, egy szabályos n szög csúcspontjaiban. Nevezetesek az 1 komplex szám n-edik gyökei, az ún. egységgyököt. lk a . 2 kn = cos------- h ü'sm-----
Megoldás. A komplex szám abszolút ér téke r =4, arkusza pedig
6
azaz 150°.
Ml = V z =
5n ^ + 2kn f - + 2kn ;_D---------- k í sin —Ö-------1.19. ábra. Az ^-2-j3+ 2i komplex szám gyökei
(Á; = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,).
A gyökök: 6
6
Az aQ ,ai,...,a„ számok a polinom egyttó/jató/,
pedig va/tozó. Ha
0,
akkor / (x) n-edfokú polinom . Az n (nemnegatív egész) szám a polinom fo ka (fokszáma). Ha a,, = 1, akkor azt mondjuk, hogy a polinom normált. Megállapodunk abban, hogy minden 0-tól különböző számot 0-adfokú polinomnak tekintünk. Ha / (x) minden együtthatója 0, akkor / (x) = 0. Ezt zéruspolinomnak nevezzük, melynek nem tulajdonítunk fokszámot. Az aQ ,ai,...,a„ együtthatók lehetnek egész, racionális, valós vagy
A r[.x]-beli polinomok összege, különbsége, szorzata ismét r[x]-beli polinom, továbbá az összeadás és szorzás kommutatív, asszociatív és iga zolható a disztributívitás is. Ezért ezek a polinomok gyűrűt alkotnak, a T feletti polinom ok gyűrűjét, melyben zéruselem a zéruspolinom. Példa
így
COS-™4-/sin-7-
változós) polinomnak nevezzük.
komplex számok. Általában ha az együtthatók egy T (szám-) test vagy (szám-) gyűrű elemei, akkor T feletti polinomról beszélünk. Ezeknek a polinomoknak a halmazát r[.x] jelöli.
Példa ________ Számítsuk ki V-2V3 + 2/ értékeit.
k = Ö-, vi;,
+.. .+ a2X“ + a^x + űq kifejezést (egy
2
2
Az f { x ) = x‘^ - \ negyedfokú és g{x) = x~ +4x + \ másodfokú, normált poli nomok összege, ill. szorzata: f { x ) + g{x) = x^+x~+Ax, ill. / (x)g{x) = (x‘^ - l)(x" +4x + 1) = X®+ 4x^ +x"* -x~ -4 x - 1. b) Polinomok osztása. Az osztás a polinom ok körében általában nem végezhető el. M int ahogy az egész számok osztásánál, itt is keletkezhet maradék. Tetszőleges f { x ) és nullától különböző g{x) polinomhoz található olyan q{x) és r( x) polinom, amelyekre:
yt = 1 ;
W2 = V í ( c o s l 0 2 ° + / s i n l 0 2 °);
f ( x ) = q ( x ) g { x ) + r( x)
k = 2',
W3 = V 4 * (c o sl7 4 ° + /sin l7 4 ° );
és r( x) fokszáma kisebb mint g{x) fokszáma, vagy pedig r( x) = 0.
yt = 3; W4 = V T (cos 246° +i sin 246°); /t = 4;
W5 = ^ ( c o s 3 1 8 °+ / sin 318°).
A q ( x ) , ill. r{x) polinom az / W g (^ ) maradéka.
(*)
(maradékos) osztás hányadosa, ill.
Egy- és többváltozós függvények
48
alakban is felírható.
g{x)
Ha r( x) = 0, akkor fennáll az f (x) = q{ x) g( x) azonosság. E k k o r/(x ) osztható g(A')-szel (és í7(x)-szel is). Az osztás elvégzése a következőképpen történhet (feltételezve, hogy mind az osztandó mind az osztó a' fogyó hatványai szerint van rendezve): Az osztandó első tagját elosztjuk az osztó első tagjával. Ennek eredmé nye lesz a hányados első tagja. Ezzel szorozva az osztót, a kapott szorzatot kivonjuk az osztandóból. Ha ez a különbség alacsonyabb fokú mint az osztó, akkor az eljárást befejeztük és e különbség lesz a maradék. Ha nem alacsonyabb fokú, akkor az eljárást megismételjük úgy, hogy az osztandó szerepét e különbség veszi át. Az eljárást addig folytatjuk, amíg ez a kü lönbség alacsonyabb fokú nem lesz mint az osztó. Példa Legyen f { x ) = 2x‘^ alakban.
- 4 x + 3 és g(x) = x~ - 2 . Állítsuk elő /(.x)-et (*)
osztást,
Ha / ( a ) = 0 , akkor azt mondjuk, hogy a az / (x) polinom zérushelye. Ekkor a egyúttal az / ( x ) = 0 egyenlet gyöke. Tehát ami a polinomnál zérushely, az az egyenletnél gyök. Ennek ellenére szokás polinom esetén is gyököt mondani (a zérushely helyett). Ha a a polinom zérushelye, azaz / ( a ) = 0 , akkor az r maradék értéke is nulla ( r = 0 ). Ekkor tehát az / (x) polinom osztható (jc - a ) -val, így f{x) = {x-a)q{x).
Példa Legyen /( x ) = x"* +1. Számítsuk ki, hogy mi lesz az osztási maradék, ha /( x ) -et osztjuk (x -/)-vel. Megoldás. A tétel alapján: r ~ / ( a ) =
=
+\ - 2.
c) Az alg eb ra alaptétele. E Gausstól eredő igen fontos és szép tétel az
polinom zérushelyének létezését m ondja ki. Tétel. (Az alg eb ra alaptétele). Bármely, legalább elsőfokú, (valós vagy) komplex együtthatós polinomnak van zérushelye a komplex számtestben.
- x ^ + Ox- - 4 x + 3):(x" - 2) = 2x" - x + 4 -4x~}
Mivel a polinom zérushelye egyúttal a megfelelő algebrai egyenlet gyö ke, ezért a tétel így is megfogalmazható: Minden legalább elsőfokú
-x ^ + 4 x “ - 4 x + 3 -(-x ^
polinomot {x - a) -val osztjuk, akkor a maradék
f„{x')-=üy^x^ + ö „ _ lx ”~^+...+a2X~ +ű]X + ű!o
Megoldás. Előbb végezzük el az
-{2x^
49
Tétel. Ha az f { x ) egyenlő /( a ) - v a l .
Megjegyezzük, hogy a (*) azonosság formálisan g (x )
1.1.10. Polinomok
+ 4x" -
2
x)
6
x+ 3
-(4 x -
-
a„x” + 8
+.. .+Ö2X“ +ai x +ÜQ = 0
alakú egyenletnek van gyöke. A tétel szerint ez a gyök komplex szám is lehet.
)
- 6x + ll A hányados tehát q{x) = 2x~ - x + 4 , a maradék pedig r(x) = -6A' + ll. Ezek felhasználásával
d) Polinom gyöktényezős alakja. Az algebra alaptételének értelmében az f„ (x ) (n-edfokú) polinomnak van zérushelye. Ennek következménye, hogy
/ (x) = (2x“ -X + 4)(x' - 2 ) - 6 x + 11.
pontosan n zérushelye van. Legyenek ezek x j,x 2 ,...,x „ . Ekkor az f „( x)
írjuk fel az
g(^')
polinom felírható
törtet is:
f „( x ) = a „ ( x ~ x - i ) ( x ~ x 2 ) . . . i x - x „ ) alakban.
j . .- 4 x ,+ l ^ 2x- - X+ 4 + X--2
(1)
X--2
Az alkalmazásokban különösen fontos az a speciális eset, amikor a polinomot (x - a )-v a l osztjuk.
Az X|,X2 ,...,X „ zérushelyek között egyenlők is lehetnek. Ha s külön böző zérushely van, és az Xj zérushely szer fordul elő, akkor az (1) előállítás
-szer, az xj rj -szőr, ... az
r,. -
Egy- és többváltozós függvények
50
f n{ x ) = a „ i x - x ^ Y \ x - X 2 Y" . . . { x - x , ) alakú, ahol i\ +r 2 +...+r^ = n . A z
(2)
-szoros zérushelye.
n-edfokú polinom (1), ill. (2) előállítását a polinom gyöktényezős ala k já n ak nevezzük. Az { x - x i ) , { x - x 2 ) , . . . , { x - ^ n ) tényezők dLgyöktényezők. Példák 1. írjuk fel az f { x ) -
- 2x~ +5x polinom gyöktényezös alakját.
Megoldás. Először a polinom zérushelyeit kell megkeresni. Mivel x kiemelhető, azaz f { x ) = x { x ~ - 2 x + 5) alakban írható, látszik, hogy az egyik zérushely x, =0. A másik két zérushely az x“ - 2x + 5 = 0 egyenlet gyökei. Tehát ^2,3-
2 ± j 4 ^ 2±-vPT6 1 ± A ^ _ l ± A i 2 “ 2 “ 2 ~ 2 "
így a gyöktényezős alak: / ( x ) = x(x - (1 + 2/))(x - (1 - 2/)). 2. Az / ( x ) = 3( x - 2)^(x + l)(x -/)(x + 0 hatodfokú polinom gyöktényezös alakban van felírva. Innen leolvashatók a zérushelyek: Xj = 2 háromszoros, míg X, = - 1, JC3 = /, és X4 = - i egyszeres zérushelyek. 3. Az x"* - 3x^ + 3x“ + 3x + 2 = 0 egyenlet két gyöke: x, = 1 és Xj = 2. Ezért az egyenlet bal oldala osztható (x - l)(x - 2 )-vei. Az osztást elvégezve, az x^ - 3x^ + 3x- + 3x + 2 = (x - l)(x - 2)(x" +1) azonosságot kapjuk. Innen látható, hogy a harmadik és a negyedik gyök az x“ +1 = 0 egyenlet megoldásaként kapható. Ezért X3 = i és X4 = é) Az n-edfokú egyenlet. Tekintsük az + a „ _ ]x ”’" V ...+ a 2X "+ aiX + <3o = 0,
a „ { x - x i Y \ x - X 2 Y~ . . . { x - x , ) ' ^ = 0, ahol xi az egyenlet T|-szeres gyöke, xo 7-2 -szeres gyöke, ..., gyöke és
Definíció. Az f „{x) = a„x'^ +a„_ix'^ ^+ ...+ a2^ “ +a^x + üQ
a„ 7^0
n-edfokú egyenletet, ahol az aQ ,ai,...,a„ együtthatók komplex számok is lehetnek. Az /„ (x) polinom zérushelyeinek megkeresése az f„ (x) = 0 egyenlet gyökeinek megkeresését jelenti. Ezért a polinomoknál elmondottak az f„ {x ) = 0 egyenletre is vonatkoznak. E miatt fogalmazhatjuk az algebra alaptételét így is: minden, legalább elsőfokú, valós vagy komplex együtt hatós algebrai egyenletnek van gyöke a komplex számtestben. Ennek kö
51
vetkezménye az, hogy n darab gyök van. Az egyenlet gyöktényezős alakja pedig:
szám az x^ zérushely multiplicitása
(többszörössége) {k = \ , 2 ,---,s) ■Úgy is szokás mondani, hogy x,, a polinomnak
1.1.10. Polinomok
-szeres
+ 7^2+.. ,+ry = n .
A gyöktényezős alakból leolvashatók a polinom zérushelyei, ill. az egyenlet gyökei azok többszörösségével együtt. Ezért a polinom szorzattá alakítása igen lényeges az egyenletek megoldása szempontjából. A szorzat tá alakítás gyakran kiemeléssel és nevezetes azonosságok felhasználásával is végrehajtható. A gyöktényezős alakból az is látható, hogy az (x) polinom osztható bármelyik gyöktényezővel. Ezt a tényt az fy^{x) = 0 egyenlet megoldásánál úgy használhatjuk ki, hogy /„ ( x )-e t osztva valamelyik gyöktényezőjével, eggyel alacsonyabbfokú egyenlethez jutunk. Felmerülhet a kérdés, hogy az algebrai egyenlet gyökeit, egyúttal a poli nom zérushelyeit, hogyan kell megkeresni, kiszámítani. Erre a választ az alábbiakban adjuk meg. Az első- és másodfokú egyenlet egyszerűen (képlettel) megoldható. A harmad- és negyedfokú egyenlet is megoldható gyökképlettel, ennek hasz nálata azonban annyira bonyolult, hogy a gyakorlatban ritkán használják (lásd a [9] 3.27. pont b) alpontját). Az általános ötöd- és ennél magasabbfokú egyenlet nem oldható meg tisztán algebrai úton. Ez azt jelenti, hogy az ilyen egyenlet gyökei nem számíthatók ki az együtthatókból a négy alapművelet és a gyökvonás véges számú alkalmazásával (tehát gyökképlet nincs). Ezt a Ruffm i-Abel-tétel mondja ki. Az e területre vonatkozó átfogó elmélet alapgondolata Galois nevéhez fűződik. Meg kell azonban jegyezni, hogy speciális esetekben a negyedfokúnál magasabbfokú egyenletek is megoldhatók. Tudni kell azt is, hogy numeri kus módszerekkel a gyökök tetszőleges pontossággal számíthatók (közelít hetők, lásd a 9. fejezetet). Megjegyzés. A gyakorlati esetek többségében az algebrai egyenletek, ill. polinomok együtthatói valós számok. Ezért érdemes az ebből fakadó néhány következményt áttekinteni. Tekintsük az a„x" + a„_xx" '+.. .+02x~ + a^x + Og = 0, a„
0 «-edfokú egyenletet,
1. Ha az együtthatók egész számok, akkor az egyenlet minden egész gyöke az állandó tag (íZq) osztója. Pl. az x"* + 2x^ - 4x" - 5x - 6 = 0 egyenlet egész gyökeit (ha vannak ilyenek) a 6 osztói, vagyis a ±1, ±2, ±3 és +6 számok között kell keresni. Egyszerű próbálkozással megállapítható, hogy az x, = 2
Egy- és többváltozós függvények
52
és X2 = -3 számok gyökök, míg a többi szám nem gyök. Az egyenlet bal oldala, a negyedfokú polinom tehát osztható az {x - 2)(x + 3) szorzattal. Az osztás elvégzése után a bal oldal szorzattá alakítható. így x “^ + 2x^ - 4x" - 5 x ~ 6 = { x - 2)(x + 3)(x" + x + 1). 2. Ha az együtthatók egész számok és a„ = \, vagyis a polinom normált, akkor az egyenlet minden racionális gyöke egész szám. Ennek az a következménye, hogy ha egy ilyen egyenletnek nincsenek egész gyökei, akkor tört (racionális) gyökei sin csenek. 3. Ha az együtthatók valós számok és az a + ib komplex szám (6 0) gyöke az egyenletnek, akkor az a - i b komplex szám is gyöke annak. Tehát a komplex gyökök párosán fordulnak elő, konjugáltjukkal együtt. Ennek egyik következménye az, hogy minden, valós együtthatójú, páratlan fokszámú egyenletnek van legalább egy valós gyöke. Az a + ib és az a - ib gyökökhöz tartozó két gyöktényező szorzata: [ x - { a + ib)){x - { a - ib)) = x~ - 2 ax + a~ +b~. így az egyenlet bal oldala osztható ezzel a másodfokú kifejezéssel. Ez a másod fokú polinom nem bontható fel valós elsőfokú tényezők szorzatára. Az ilyen (másodfokú) polinomról azt mondjuk, hogy a valós számtestben irreducibilis. Ugyanakkor a komplex számtestben reducibilis, hiszen két komplex elsőfokú tényező szorzata (vagyis itt felbontható két elsőfokú tényező szorzatára). 4. Ha az egyenlet együtthatóinak összege nulla, akkor az egyenlet egyik gyöke 1. Ez érvényes akkor is, ha az együtthatók komplex számok. Példák 1. írjuk fel az
-1 = 0 egyenlet gyöktényezős alakját.
Megoldás. Először oldjuk meg az egyenletet. Mivel x^ = 1, ezért x = Vr = l í c o s - ^ ± |^ + /sin-0 + 2 te ^ 3 / A: = 0 => Xj =
* - 0 , 1, 2 .
cosO + ísinO = 1;
k - 1 =^ X2 = c o s ^ + i
= cos 120° + /sin 120°=
+
;
^ = 2 => X3 = c o s - ^ + /s in - ^ = cos240°+/sin240°=
1.1.11. Koordináta-rendszerek alakban írható fel. Ezért az egyik gyök x, = 0. Az
x^ - 4x^ + 4x“ - 4x + 3 = 0 egyenlet egyik gyöke i. Ennek konjugáltja, a komplex szám is gyök. így a ne gyedfokú polinom osztható az (x -/)(x + /) = x“ + 1 polinommal. Az osztást elvégezve: x'* -4x^ +4x“ -4 x + 3 = (x“ + l)(x" -4 x + 3). Az X" - 4 x + 3 = 0 egyenlet két gyöke: 1 és 3. Az öt gyök tehát; x, = 0, Xt = 1. X3 =3, X4 = /, X5 = - /. Valamennyi gyök egyszeres. A bal oldali polinom (vagyis az eredeti) szorzattá bontott alakja: x(x - l)(x - 3)(x" + 1). Az ötödfokú polinomot tehát a valós számtestben irreducibilis polínomok szorza taként írtuk fel,
1.1.11. Koordináta-rendszerek A koordinátageometriának, az analízisnek és a matematika más ágainak is nélkülözhetetlen segédeszköze a koordináta-rendszer. Egy-egy feladat jellegétől függően, a feladathoz illeszkedő, más-más koordináta-rendszert célszerű használni. Ebben a részben a leggyakrabban használt koordinátarendszereket tekintjük át. a) Síkbeli derékszögű Descartes-féle koordináta-rendszert kapunk, ha két számegyenest közös kezdőponttal (0 ponttal) egymásra merőlegesen helyezünk el a síkon (1.20. ábra). Ezeket a számegyeneseket koordináta tengelyeknek, a közös kezdőpontot pedig origónak nevezzük. Ebben a koordináta-rendszerben a P { x ,y ) pont helyzetét a két koordinátatengelytől mért (előjeles) távolságai, az x és derékszögű koordináták (az abszcissza és ordináta), egyértelműen jellem zik. A z x = konstans és y = konstans egyenesek a koordinátavonalak.
így a gyöktényezős alak: ( x - 1)
(
- \ + 4 3 í\ ( j rv
-l-V 3 /^
= 0.
2
/ Figyeljük meg, hogy a két komplex gyök egymásnak konjugáltja. r
2
2. Oldjuk meg az x^ -4x"^ +4x^ -4 x " +3x = 0 egyenletet, ha az egyik gyöke i, majd bontsuk a bal oldali polinomot valós tényezők szorzatára. Megoldás. A bal oldal x kiemelésével x(x'* -4 x ^ +4x" -4 x + 3)
53
P(x,y)
y
1 0
X í
>
1.20. ábra. Síkbeli derékszögű koordináta-rendszer
Egy- és többváltozós függvények
54
b) Polárkoordináta-rendszert kapunk, ha egy egységponttal ellátott irányított félegyenest veszünk fel a síkon (1.21. ábra). A félegyenest, amely egyúttal a kezdő irányt is kijelöli, polártengelynek, kezdőpontját pedig origónak vagy pólusnak nevezzük. Ebben a koordinátarendszerben a P(r,(p) pont helyzetét az origótól mért r távolság és az 1.21. ábrabeli (p szög egyértelműen jellemzi. Ezeket polárkoordinátáknak nevezzük. Itt a koordinátavonalak az r = konstans origó közepű körök és a (p == konstans félegyenesek. Ugyanannak a pontnak derékszögű és polárkoordinátái között (ha a két koordinátarendszer origója azonos és a polártengely egybeesik az jctengellyel) a következő összefüggések állnak fenn: ill.
+ r
c) Síkbeli görbevonalú koordináták. Vegyünk fel a síkon két görbesere get úgy, hogy a sík minden egyes pontján a két görbesereg egy-egy görbéje menjen át (minden ponton más-más görbepár). A két görbesereg egyenlete legyen u = f ( x , y ) , v = g{x, y) , ahol u és V seregparaméterek, x és y pedig derékszögű koordináták. Az u = konstans és v = konstans görbék (koordinátavonalak) metszik egymást egy pontban. Ennek a pontnak a görbevonalú koordinátái ii és v. A z /é s g függvényekre tett, a gyakorlatban legtöbbször fennálló feltételek mellett az w és V koordináták egyértelműen jellem zik a pont helyzetét. Görbevonalú koordináták a polárkoordináták is. d) T érbeli derékszögű (Descartes-féle) koordinátarendszert kapunk, ha három számegyenest közös kezdőponttal egy másra páronként merőlegesen helyezünk el a térben (1.22. ábra). A számegyeneseket koordinátatenge lyeknek, a közös kezdőpontot origónak nevezzük; két-két számegyenes által kifeszített sík elnevezése koordinátasík. A P { x , y , z ) pont helyzetét a koordinátasíkok tól mért (előjeles) távolságai, az x, y és z derékszögű koordináták, egyértelműen jellemzik. A z x = konstans, y = konstans és z = konstans sí 1.22. ábra. Térbeli kok a koordinátafelületek. Általában jobbsodrású derékszögű koordináta- rendszert használunk (mint azt az 1.22. ábra is rendszer szemlélteti).
l . l .11. Koordináta-rendszerek e) Hengerkoordináta-rendszert kapunk, ha egy rögzített síkban levő polárkoordináta-rendszert ki egészítünk egy, a póluson átmenő, a síkra merőle ges egyenessel, mint z-tengellyel, melynek kezdő pontja az origóban van. Az r, cp, z h e n g e r k o o r d i n á t á k és az Jí, y , z derékszögű koordináták közötti összefüggések: :í = rcos(p,
>' = 7"sin(p,
z = z.
Ekkor az r = konstans, (p = konstans és z = 1-23^351 a, Hengei^ koordinata-rendszer = konstans koordinátafelületek rendre z-tengelyű körhengerek, z-tengelyre illeszkedő félsíkok és z-tengelyre merőleges síkok (1.23. ábra). f ) G öm bi (térbeli polár-) koordinátarendszer. Vegyünk fel egy síkot, és benne egy egységponttal ellátott, irányított fél egyenest O kezdőponttal. Egy térbeli P pont hely P(r,(p,9) zetét egyértelműen jellem zi az OP = r távolság, az OP szakasznak a síkkal bezárt -ö szöge és a sza kasz síkra merőleges vetületének a félegyenessel bezárt (p szöge (1.24. ábra). így egy g ö m b i k o o r d i n á t a r e n d s z e r t kapunk. Ha a derékszögű és a gömbi koordinátarendszert az ábrán látható módon helyezzük egymásra, akkor az r, (p, "ö g ö m b i k o o r d i n á t á k és az x, y , z derékszögű 1.24. ábra. Gömbi koordináták közötti összefüggések: koordinátarendszer X = rcos'öcoscp, y = rcos'ösincp, z - r s i n ű . . Ekkor az r = konstans, (p = konstans és i3 = konstans koordinátafelüle tek rendre origó-közepű gömbfelületek, z-tengelyre illeszkedő félsíkok és z-tengelyű, origó-csúespontú körkúpfelületek. Megjegyezzük, hogy a fizikai alkalmazásoknál a i3 szög helyett annak pótszögét választják egyik koordinátának. g) Térbeli görbevonalú koordináták. Vegyünk fel a síkon három felület sereget úgy, hogy a tér minden egyes pontján a három felületsereg egy-egy felülete menjen át (minden ponton más-más felülethármas). Egyenletük legyen u = f{x,y,z),
v = g(x,y,z),
w = h(x,y,z),
ahol II, V, és w seregparaméterek, jc, y , és z pedig derékszögű koordináták. Az u = konstans, v = konstans és w = konstans felületek (koordinátafelü
Egy- és többváltozós függvények
56
letek) metszik egymást egy pontban. Ennek a pontnak a térbeli görbe vonalú koordinátái u, v és w. Ilyen koordináták a hengerkoordináták és a gömbi koordináták is.
1.2.1. A z egyváltozós fü g g vén y fogalm a
57
d) E ltolás (térben). Ha a térbeli ( x ,y ,z ) koordinátarendszer origóját a Q {a,b,c) pontba toljuk, akkor a P pont x, y, z régi és r\, ^ új koordinátái közötti összefüggések: x = a + ^,
y = b + r\,
z = c + ^,
^ =X -a ,
T] = y - b ,
=z-c.
ill,
1.1.12. Koordinátatranszformációk Analitikus geometriai vizsgálatok során sokszor célszerű a koordinátarend szert eredeti helyzetéhez képest eltolni, elforgatni, a tengelyeken a távol ságot megnyújtani stb, annak érdekében, hogy az új koordinátarendszerben egy-egy alakzat egyenlete egyszerűbb legyen. Az ilyen „műveletet” koordinátatranszformációnak nevezzük. A derékszögű koordinátarendszer legfontosabb transzformációi a következők:
P(x,y)=P(^,Ti)
d) E ltolás (síkban). Toljuk el az {x, y) koordinátarendszer origóját a Q (a,b) pontba. Az új koordinátarendszer ten gelyeit jelölje ^ és r\ (1.25. ábra). Ekkor a P pont régi és új koordinátái közötti összefüggések: x = a + '^, y = b + T\,
ill.
^ = X - a, r\ = y - b . 1.25. ábra. Koordinátarendszer eltolása
b) Forgatás (síkban). Forgassuk el az (x, y ) koordinátarendszert az origó kö
d) Forgatás (térben). Forgassuk el az ( x ,y ,z ) derékszögű koordinátarend szert az origó körül úgy, hogy az x-, y - és z-tengelyek (amelyek irányát az i, j, k egységvektorok adják meg) a t) - és ^ -tengelyekbe menjenek át, melyek rendre a következő egységvektorok irányába mutatnak: i' = a ,i + (3ij + y,k, j ' = a2Í + p2J + Y2k, k ' = a3Í + p3j + Y3k. Ekkor a régi és az új koordináták közötti összefüggések: x = a i^ + a9'n-i-a3C J = p i^ + |3 ;n + p3^ z ^ Y i^ + Y.ri + YsC,
X = ^ c o s (p - T) í / n (p
1,26. ábra. Koordinátarendszer elforsatása
= ^ s i n ( p + r\cos(^]
^ = X c o s (p +
y
T) = - X s i n (p +
ill.
s i n (p
y
c o s (p
c) Nyújtás. N yújtsuk meg az egységnyi távolságot az jc-tengelyen qszorosára, az ^-tengelyen r szeresére { q > 0 , r > 0 ). A P pont :x, y régi és ^ ,11 új koordinátái közötti összefüggések: x = g^, y = r(], Ha 0 <
ÜL
r <\, akkor nyilván zsugorításról (kicsinyítésről) van szó.
T| = 0C2 X +
4- y ^ z
C = 0C3^+P37 + Y3^_
A nyújtást ugyanúgy hajtjuk végre, mint síkbeli esetben. Természetesen ugyanazt a koordinátarendszert több transzformációnak is alávethetjük (pl. eltoljuk és elforgatjuk stb.).
rül (p szöggel. Az új koordinátarendszer tengelyeit jelöljük ^ -vei és r\ -val (1.26. ábra). A P pont régi és új koor dinátái közötti összefüggések: y
^ = a i^ + Piy + Yi2 il l.
1.2.
AZ EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY
1.2.1. Az egyváltozós függvény fogalm a Az 1.1.5. pontban általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyeknek az értelmezési tartománya is, képhalmaza is valós számokból áll. Ezeket egyváltozós valós függvények nek nevezzük. A továbbiakban képhalm aznak mindig az R halmazt tekint jük, ezért ezt már nem említjük külön. a) Értelmezés. Definíció. Az R R típusú függvényt, azaz amelynek értelmezési tar tománya is és értékkészlete is valós számokból áll, egyváltozós valós (valós-valós) függvénynek nevezzük. Az egyváltozós valós függvény értelmezési tartományát gyakran X ér tékkészletét Y, független változóját ;í, függő változóját;; jelöli.
Egy- és többváltozós függvények
58
A függvény sokféleképpen megadható. H a képlettel adjuk meg, akkor az 1.1.5. pontban tett megállapodás értelmében nem mindig írjuk ki az értel mezési tartományt. Ilyenkor az értelmezési tartományt mindazok a számok alkotják, amelyekre a képlet valós értéket vesz fel, és a függvény helyett csak a képletet adjuk meg. A szóhasználatban ezt mondjuk függvénynek. M egállapodunk abban is, hogy a valós jelzőt igen gyakran elhagyjuk. A függvény jelölésénél elsősorban a praktikusságot tartjuk szem előtt. Ezért az/fü g g v én y t / ( x ) , sőt néha y = f ( x ) módon is fogjuk jelölni. Ha az f { x ) képletbe &zx helyére az x\ számot írjuk, akkor az így nyert f { x \ ) számot a z / függvény X] helyen vett helyettesítési értékének ne
1.2.L A z egyváltozós függvény fogalm a
59
Példa 1. Legyen f{u)~?, mu, g{u)= e’‘. Ekkor i f ° g)(x) = f{g{x)) = s in e \ Itt a külső függvény a sin, a belső függvény pedig az e alapú exponenciális függ vény. Fordítva pedig: ( g ° / ) ( ^ ) = ^ (/(^ )) = e""". Itt az e alapú exponenciális függvény a külső, a sin pedig a belső függvény. 2. Az /( x ) = sin^x = (sinx)^ összetett függvény esetén külső függvény a har madfokú hatványfüggvény, míg a sin a belső függvény.
vezzük. H a f { x i ) = 0, akkor xi az /fu g g v én y (egyik) zérushelye. H a bevezetjük az f ( x ) = y jelölést, akkor az Példa Legyen f { x ) =
F(x,y) = 0 . Ekkor az értelmezési tartomány a - 2
vallum, mert a - j 4- x~ képlet csak ilyen x-ekre értelmes. Értékkészlet a 0 < y <2 zárt intervallum (y-nal jelölve az f ( x ) értékeket). Továbbá /(0 )-2 ,
/( - 1 ) ^ /( 1 ) := V 3 ,
/( V 2 ) = V2;
Példa
/( 2 ) = 0, ezért az jc = 2 a függvény zérushelye; =
egyenlet is értelmezhet (egy vagy több) függvényt. Ekkor azt mondjuk, hogy F ( x , y ) = 0 egy im plicit a lak b a n megadott függvény. A függvény nek ez a megadási módja praktikus lehet görbék vizsgálatánál, differen ciálegyenletek megoldásánál, de más esetekben is.
Az x~ +y~ - 1 = 0 implicit alakú függvény esetén y = ± ^ l - x ~ . Ezért az
f { xo + h) = ^ 4 - ( x o + h f -
x"+>’" - l = 0 implicit megadás jelentheti az f { x ) = yf\~x~ függvényt, de az /( 2 s in 0 = V4 - 4 sin“ t = 2-\/l-sin" t = 2-v/cos" t =2|cosí|; /ifit)) =
- V 4 -(4 -r ) =
= 14
b) A függvény áb rázo lása. A függvény vizsgálatánál igen hasznos lehet annak ábrázolása.
A z f é s g függvények egyenlők, azaz f = g, ha értelmezési tartományuk megegyezik és / (x) - g(.x) a közös értelmezési tartomány minden .x ele mére. Értelmezzük a z f é s g függvények összegét, különbségét, szorzatát, há nyadosát (értelmezési tartom ányuk közös részén): if ± g ){x) = f{x)±g{x), if -g){x) = f{x)-g{x), ha g (x ) ^ 0.
Az f { g { x ) ) szerkezetű függvényt az 1.1.5. pontban összetett függ vénynek neveztük. Jele:
f ° g , így ( / ° g) {x) = f [ g{x) ) .
függvény, g belső függvény.
/ (x) = - V l- x " függvényt is.
Itt / külső
Definíció. A P[x,f{x)), x e Dj- pontok halm azát a z / függvény görbéjé n ek (grafikonjának, ábrájának, g rá fá n a k) nevezzük. Ha bevezetjük az f { x ) = y jelölést, akkor az / függvény görbéjének egyenlete: y = f{x). A függvény ábrázolásakor sokszor megelégszünk egy ún. jelleggörbé vel, amelytől csupán azt kívánjuk meg, hogy helyesen tüntesse fel a függ vény előjelviszonyait, valamint a zérushelyek környezetében és a végtelen(ek) környezetében való viselkedését. Tájékoztató jellegű görbét kaphatunk úgy is, hogy elég sok xj^ helyen kiszámítjuk az f { x k ) = yi^ függvényértékeket, majd a Pk{xj^,yj^) pontokat ábrázolva, azokat (akár egyenes szakaszokkal) összekötjük. Gyakran előfordul, hogy két függvény ( f és g) összegét, különbségét, szorzatát vagy hányadosát kell ábrázolni, vagyis az
Egy- és többváltozós függvények
60 y = f { x ) + g{x),
y = f{x)-g{x),
y = f{x)-g{x), egyenletű görbéket. Az értelme zésből látszik, hogy ekkor az y ~ f ( ^ ) és y = g( x) görbék azonos abszcisszájú pontjainak ordinátáit kell összeadni, kivonni, szorozni vagy osztani. Példa Az 1.27. ábrán az / ( x ) = sinA: és g(x) = X függvények összegét és különbségét, az 1.28. ábrán pedig ezek szorzatát és hányadosát ábrázol
y=sinX “ .
1.2.1. A z egyváltozós fü g g vén y fogalm a
61
c) Függvény-transzformációk. A függvény ábrázolását sokszor megkönynyíti, ha a vázolandó görbe ismert függvény görbéjéből eltolással, nyújtással, tükrözéssel stb. módon, összefoglaló néven transzformálással származtatha tó. Ha az eredeti görbe egyenlete y = f (x), és a transzformáit görbe egyen lete y - g{x), akkor azt mondjuk, hogy g o z f függvény transzformált]a. A z y = f ( x - a ) , a > 0 görbe, egyúttal az f ( x - a) függvény ábrázolá sához az X változó helyett az x - a - ^ helyettesítéssel vezessük be a ^ változót, azaz toljuk el a koordinátarendszert az jc-tengely irányába a egy séggel jobbra. Ekkor a görbe új egyenlete y = / ( ^ ) lesz. Innen látható, hogy az 7 = / ( ^ ) = f ( x - a ) görbe az y = f (x) görbéből x-tengely menti, a egységnyi jobbratolással származtatható (1.30.a. ábra). A z y - f { x + a), a > 0 görbe pedig a egységnyi balratolással keletkezik.
függvény az x = 0 he 1.27. ábra. A sin^r + x és sin x -x függvény tuk. A görbéje lyen nincs értelmezve. A görbén ezt egy „üres köröcske” (nullkör) jelzi. Megjegyzés. Egy görbe egyenletén olyan egyenletet értünk, amelyet a görbe pontja inak koordinátái kielégítenek, de más pontok koordinátái nem. Az y ~ f { x ) , vagy akár a v = f ( u ) egyenletet csak a P{x, f (x) ) pontok koordiná tái elégítik ki. Tehát az / függvény görbéjének egyenlete valóban y = f ( x ) vagy akár v=f(u).
1.30.a. ábra. Görbe x-tengely menti eltolása
Hasonlóan látható be, hogy az y = f ( x ) + b görbe az y = f (x) görbe ytengely menti b egységnyi, b előjelével egyező irányú eltolásával rajzolható meg (1.30.b. ábra). Az y ~ f{cx),
Példa Alakhelyes grafikon I
\ /
1 \
Jelleggörbe
\lO I 0
1
1.29. ábra. A 6x~ - x
4
d
függvény görbéje
1.30.b. ábra. Az y = x~ görbe eltolása x majdy irányba
0 < c < 1 görbe jc-tengely irányú — -szeres nyújtással c
Az 1.29. ábrán az f { x ) =
(nagyítással), c > 1 esetén pedig - - s z e r e s zsugorítással (kicsinyítéssel)
= - x ^ függvényt, vagyis az y = 6 x~ - x^ görbét ábrázoltuk. Az ábra egy jelleggörbét (szag gatott vonal) és egy alakhelyesebb (pontosabb) grafikont mu tat be. Figyeljük meg azt is, hogy a jobb szemléltetés érde kében a tengelyeken nem azonos egységeket vettünk fel.
kapható (1.31. ábra). M ind a nyújtásnál mind a zsugorításnál a görbe ytengelyen levő pontja (ha van ilyen) helyben marad. Példák 1. A tengelyek menti eltolást jól szemlélteti az l.BO.b. ábra, ahol az y = ( x- 2) ~ -1 görbét ábrázoltuk. A 2 egységgel jobbra eltolt parabolát 1 egységgel „lejjebb” toltuk. 2. Az 1.31. ábrán három lépésben mutatjuk be a cos—x függvény ábrázolását.
Egy- és többváltozós jüggvények
62
1.2.1. A z egyváltozós függvény fogalm a 1.
cosa:
63
(Ábrázoljuk az >^ = cosx görbét);
2. cos2x (Az előbbi görbét azx-tengely mentén felére zsugorítjuk); 3. cos^2(x + y ) (Az előbbi görbét az x-tengely mentén y-vel balra toljuk. A görbe speciális szerkezete miatt ez most ugyanazt eredményezi, mintha a görbét Y -vei jobbra tolnánk el); 4. -icos|^2(x + -~)^ (Az előbbi görbét azjv-tengely mentén felére zsugorítjuk); 5. YC0s|^2(x4-y)^-l (Az előbbi görbét azj-tengely mentén negatív irányba A leggyakrabban előforduló függvény-transzformációkat és azok hatását a függvény görbéjére, az 1. táblázatban soroltuk fel.
1 egységgel eltoljuk). A görbe az 1.32. ábrán látható.
Az f { x ) függvény egyszerű függvény-transzform ációi (1. táblázat) Transzformáit függvény
Transzformáció hatása a függvénygörbére
f(- x )
tükrözés azjz-tengelyre
- fix )
tükrözés az x-tengelyre c> \
0
f{cx),
x-tengely irányú —-szeres zsugorítás c
x-tengely irányú —-szeres nyújtás
cf{x).
c> 0
jK-tengely irányú c-szeres nyújtás (zsugorítás)
/( x -a ),
a> 0
eltolás £ü-val az x-tengely mentén jobbra
f { x + a).
a> 0
eltolás a-val az x-tengely mentén balra
f{x ) + b
/(c x -fl),
eltolás 6-vel az j/-tengely irányába megfelelően)
(b
előjelének
x-tengely irányú —-szeres zsugorítás és eltolás c
c> \ , a> 0
-vei az x-tengely mentén pozitív irányba
Példa 1. Az /( x ) =yCOs(2x + 7i) -1 = ^cos^2(x + y ) )-1
függvényt célszerű az 1.32. ábra. Függvény-transzformáció több lépésben
alábbi sorrendben ábrázolni:
Egy- és többváltozós függvények
64
1.2.2. Speciális tulajdonságú függvények Az egyváltozós valós függvény értelmezési tartománya is és értékkészlete is valós számokból áll, tehát nagyságrendileg rendezett halmazok. Ennek következtében néhány olyan speciális tulajdonsága van, ill. lehet, amelyet az általános függvényfogalom elrejt. a) Korlátos függvények. Legyen f az X halmazon értelmezett függvény és legyen H c z X . Definíció. Az f függvényt a H halmazon korlátosnak mondjuk, ha van olyan K szám, hogy |/ ( ^ ) | ^ K a H minden x elemére. Ha minden x & X esetén f { x ) < K (ill. f (.x) > K), akkor azt mondjuk, hogy a függvény felülről (ill. alulról) korlátos. Példák 1. Az f { x ) = sinx függvény az egész értelmezési tartományán korlátos, mert |sinx| < 1.
7.2.2. Speciális tulajdonságú függvények
/(O) = 0, a lokális maximum értéke /( 4 ) = 32, Abszolút maximum, ill, abszolút minimum nincs. b) M onoton függvények. Legyen / olyan valós függvény, amelynek értel mezési tartománya nem egyelemü halmaz. Definíció. Az f függvényt növekedőnek, ill. csökkenőnek nevezzük, ha értelmezési tartományának bármely két a < b elemére f{a )< f{b ),
Megjegyzés. 1. Az / függvényt értelmezési tartományának valamely a helyén lokáli san növekedőnek, ill. lokálisan csökkenőnek mondjuk, ha létezik olyan e > 0 valós szám, hogy minden x e ] a - e , a ] n D f - esetén / (x) < / (a), ill, f(x )> f(a ), f{x )< f{a ).
ma, ill. abszolút minimuma van, ha az értelmezési tartományához tartozó bármely x esetén f { x ) < f { x , ) ill. f ( x ) > f ( x , ) . Az /( x q )
f{ a )> f{b ).
Ezeket a függvényeket közös néven monoton függvényeknek nevez zük. A függvény lehet értelmezési tartományának csak egy részén monoton (növekedő vagy csökkenő).
A~x~
Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az xq helyen abszolút maximu
ill.
Ha ekkor f { a ) < f ( b ) , ill, f ( a ) > f ( b ) akkor az / függvényt szigorúan növekedőnek, ill. szigorúan csökkenőnek mondjuk.
2. Az f { x ) = A~x~ az egész értelmezési tartományán felüiröi korlátos, mert a “ 2 < A' < 2 intervallumon, mert itt 0 < 4 - x" < 4.
65
és minden
x
e[a,a + e[ r ^ Df
mellett / ( x ) >
f(a ),
ill.
2. Legyen a a z f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy / szigorúan lokálisan növekedő az a helyen, ha léte zik olyan e > 0 valós szám, hogy “ ha a bal oldali torlódási pontja D f -nek, akkor Vx
n ] a - e , a[ esetén / (x) < f ( a ) ,
- ha a jobb oldali torlódási pontja
abszolút maximumot, ill. abszolút minimumot abszolút
szélsőértéknek, az .xq helyet pedig abszolút szélsőértékhelynek nevezzük.
Vx G
-nek, akkor
n ja,<3 + e[ esetén / (x) > f { a ) .
Ha /( x q ) csak az xq hely valamely környezetében maximális, ill. mi nimális, akkor lokális (helyi) maximumról, ill. minimumról beszélünk, xq pedig lokális maximumhely, ill. lokális minimumhely, közös néven lokális szélsőértékhely. Példa 1. Az f ( x ) = l - x ~ függvénynek az Xq = 0 hely abszolút maximumhelye. Az abszolút maximum értéke / (xq) = I, 2. Az f i x ) = 6x“ - x ^ függvénynek az X( = 0 hely lokális minimumhelye, míg az Xo =4 hely lokális maximumhelye (1,29, ábra), A lokális minimum értéke
Példa 1. Az /( x ) = sinx függvény a - y < x < y intervallumon szigorúan növekvő, a -?-
'
2
2. Az f i x ) =
X
sin —, ha X
0
, ha
függvény a 0 helyen lokálisan növekedő, de nem monoton növekedő a 0 hely egyetlen környezetében sem.
Egy- és többváltozós függvények
J.2.3. A z egyváltozós fü g g vén y határértéke és folytonossága
67
c) Páros és páratlan függvények. Legyen f az X halmazon értelmezett függvény.
pet cserélnek. Ennek következtében az y = f { x ) és y = f egymásnak tükörképei az = x egyenesre nézve.
(x) görbék
66
Definíció. A z/ függvényt páros függvénynek, ill. p á ra tla n függvénynek nevezzük, ha. x e X esetén - x is az értelmezési tartományban van és =
ill.
f( -x ) = -f(x).
Derékszögű koordinátarendszerben a páros függvény görbéje az ytengelyre, páratlan függvény görbéje pedig az origóra szimmetrikus. Két páros vagy két páratlan függvény szorzata és hányadosa páros, vi szont páros és páratlan függvény szorzata és hányadosa páratlan függvény.
Példák 1. Az f ( x ) = x~, x > 0 függvénynek van inverze, mert szigorúan növekvő. Az inverz függvény f ~^(x) = 4 x . A két függvény görbéje, vagyis az y = x~, X >0 és az y = ^íx görbék az 1.33. ábrán láthatók. Továbbá f - \ f ( x ) ) =/ J =x
és
/ ( / - ‘(x)) = V 7 "= x .
Példa Az x", cos X , j;:'cosx függvények párosak. Az X, X’’, sinx függvények pá ratlanok, míg Xsinx páros. d) Periodikus függvények. Definíció. A z / függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan p >0 szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére f ( x + p) = f { x ) . A p szám a függvény periódusa. Ha egy függvénynek p a periódusa, akkor kp is periódusa annak, ahol k pozitív egész szám. Ha a függvény periódusai között van legkisebb, akkor azt alapperiódusnak nevezzük. Ha f { x + p ) = f (jc), akkor azt is szokás mondani, hogy az /fü g g v én y p szerint periodikus. Példa A sin és a cos függvények 2tc szerint, a tg és ctg függvények K szerint periodiku sak (L50., 1.5L ábra). A törtrész (frac) függvény 1 szerint periodikus (1.40. ábra). e) Inverz függvény. Legyen az / függvény értelmezési tartománya X, értékkészlete Y. Legyen továbbá /k ö lc sö n ö se n egyértelmű (bijektiv). Pél dául a szigorúan növekvő vagy szigorúan csökkenő függvény ilyen. Definíció. Az / függvény inverz függvényének (röviden inverzének) nevezzük azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya Y és minden
1.33. ábra. Az x~, jc>0 és v T függvény görbéje 2. Az / ( x ) = 2^ függvény inverze az / az 1.34. ábrán látható.
1.34. ábra. A 2^ és log, x függvény görbéje (x) = log2 x. A két függvény görbéje
1.2.3. Az egyváltozós függvény határértéke és folytonossága á) Határérték. A határérték az analízis egyik alapvető fogalma. Ezen alapul többek között a differenciálhányados és a határozott integrál fogal ma is. Legyen az / függvény értelmezve az xq hely környezetében (esetleg az xq helyen nem).
/ (x) éltékhez az x számot rendeli. Jelölése / ” '. Az értelmezésből látszik, hogy a z / és / ^ ' által létesített hozzárendelé sek ellentétes irányúak. Továbbá ' '■-1,(x) = x. Mivel a z / é s / függvényeknél az értelmezési tartomány és az értékkészlet helyet cserél, ezért az ábrázolásnál a koordinátatengelyek is szere-
Definíció. {Heine) Azt mondjuk, hogy az / függvénynek az xq helyen a határértéke az A szám, ha a fenti környezetből vett tetszőleges x„ -> Xq sorozat esetén f ( x „ ) - ^ A . Jelölése: lim f ( x ) = A. X-^Xq
Egy- és többváltozós függvények
68
1.2.3. A z egyváltozós fü g g vén y határértéke és folytonossága
69
Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a függvényértékek tetszőlegesen meg közelítik az A számot, ha az ;c értékek elég közel kerülnek xq -hoz. Ezt
A határérték szempontjából az értelmezési tartománynak azok a torló dási helyei figyelemreméltóak, ahol a függvény nincs értelmezve.
pontosabban is megfogalm azhatjuk:
Példák
D efiníció. (Cauchy). Az f függvénynek az Xq helyen a határértéke az A
1.
szám, ha bármely e > 0 számhoz van olyan 5 > 0 0 < |jc -;c o | < 6, akkor
2.
\f{x)-A\
X -^ X
X -^ X
q
4.
lim(A:“ - 2 ) = 14; x-^4
6. 7.
3. lim i f ( x ) - g i x ) ) = lim f ( x ) - lim g(x); X -^ X
lim ^ÍnM = „;
X—
q
lim = 1 (Egyszerűsítünk (;c-2)-vel!). ^-^2 JC-+X-6 5
! i m i = ^ = 0; x-> 0
2 . lim { f ( x ) ± g { x ) ) = lim f { x ) ± lim g(x); q
■= 1 (lásd a [9] 603. oldalán);
3.
5.
1. lim c f { x ) ~ c Hm f { x ) , c állandó; X-^Xo X-^Xq X -^ X
lim
szám, hogy ha
X
lim sinx nem létezik; lim
1
= +c
x -> 2 + 0 X - 2
X —> X q
q
lim f { x ) 4. lim
, , S( x)
lim g( x ) ^ 0. lim g{x) ’ X-^Xq X -^ X
9.
q
lim —L -= -oo;
x -4 2 -O X - 2
Előfordulhat az az eset, hogy az (/(:v:„)) sorozat oo-hez (olv.: végtelen hez) divergál, ha
tart xq -hoz. Ekkor azt mondjuk, hogy a függvény
határértéke az xq helyen °°, azaz lim / (x ) =
3 _ 1
10. 11.
lim -V = +o J-40 Jt;-
12.
lim
ges, hogy lim / ( jv) = - o ° . q
H a a H eine-féle definícióban xq környezete helyett az jcq bal oldali környezetét, vagyis egy ]a - 5 , a [ alakú intervallumot veszünk, akkor az A szám a függvény bal oldali határértéke. Jelölése:
f (a:) = A.
lim x
-^
xq
-^
xq
+Q
Ha a függvénynek az Xq helyen van határértéke, akkor az xq helyhez tartozó bal oldali és jobb oldali határértéke egyenlő. A határértéket a végtelenben is értelmezzük. Ekkor a Heine-féle definí cióban jq helyére formálisan °o, ill. -o<=jelet kell írni. Jelölése: lim f ( x )
ill.
lim f ( x ) . X -^ -o o
5’
13.
lim
= 1+ 1 . 1 2
2
’
= lim 1-cosx 1+ cosx = lim 1+ cosx x-^O x-*0
\ 14- c o s X
-O
Hasonlóan értelmezhető a függvény jo b b oldali határértéke. Jelölése: lim f { x ) . x
,5x + 2
lim -----
Hasonlóképpen lehetsé-
X -> X o
X -¥ X
lim
= l i m l i m — !— =1= 4 = 1 x-^0 x~ x-^0 1+ cosx 2 2 b) Folytonosság. A természeti folyamatokat leíró függvények nagy része folytonos. Definíció. Az f függvény az értelmezési tartományának Xq pontjában (helyén) folytonos, ha itt létezik határértéke és ez egyenlő a helyettesítési értékkel, azaz ha lim / ( x ) = / ( x o ) X-^Xq
Egy- és többváltozós függvények
70
Ez azt jelenti, hogy bármely e > 0 számhoz van olyan 6 > 0 szám, hogy ha 0 < |x - ;cq| < 5, akkor |/W - /( x o ) |<
Példák 1. Az f ( x ) - x ~ függvény mindenütt folytonos. 2. Az / (x) =
8.
H a egy függvény egy intervallum minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy a függvény az intervallumon folytonos. Az / függvény egy intervallumon egyenletesen folytonos, ha bármely E > 0 számhoz van olyan 5 > 0 szám, hogy / értelmezési tartományának bármely x^, X2 elemére, amelyek távolsága kisebb 5-nál, fennáll az
függvény az x = 0 helyen nem folytonos (1.28. ábra). De itt
van véges határértéke: lim — - = 1. Az x = 0 hely tehát megszüntethető szakadás. x-^O X 3. Az / (x) = —^
függvény az x = 2 helyen nem folytonos (minden más he
lyen igen). A függvénynek itt pólusa van, mert lim — = oo (1.35. ábra). x^2 X —2 1
4. Az f ( x ) = e^ függvénynek az x = 0 helyen lényeges szingularitása van, mert itt nincs határértéke (1.36. ábra).
/ ( ^ i ) - / ( j : 2 ) |< e egyenlőtlenség.
Yi
A folytonosság néhány nevezetes következménye: 1. Zárt intervallumon folytonos függvény ott egyenletesen folytonos; 2. Zárt intervallumon folytonos függvénynek itt van maximuma és mi nimuma (Weierstrass-téteV); 3. Zárt intervallumon folytonos függvény minden olyan értéket felvesz, amely a legnagyobb és legkisebb érték közé esik; 4. Ha a függvény a zárt intervallumon folytonos, és az intervallum két végpontjában az értékei különböző előjelűek, akkor az intervallum belsejé ben van zérushelye (Bolzano-téteV). Ha az/ függvény az Xq helyen nem folytonos, akkor
71
1.3.1. Szakaszonként egyenes vonalú függvények
1 1
1.36. ábra. Az f { x ) - e ^ görbéje
a függvény sza
kadási helye. Ilyenkor azt mondjuk, hogy xq a függvénynek
1. megszüntethető szakadása, ha a függvénynek itt létezik véges határ értéke; 2. pólusa, ha Hm \f (x)| = °o;
1.3.
X-^Xq
3. lényeges szingularitása, ha a függvénynek itt nincs (sem véges sem végtelen) határértéke. A megszüntethető szakadási helyet hézagpontnak is mondjuk, ha a függ vénynek itt nincs helyettesítési értéke. Ha két függvény folytonos egy adott helyen, akkor azok összege, kü lönbsége és szorzata is folytonos ott. K ét ilyen függvény hányadosa is folytonos ezen a helyen, ha a nevező nem válik itt zérussá. Megjegyzések. 1. A folytonosság Heine-fé\e és Cauchy-fék definíciója ekvivalens. 2. Az [a,b\ intervallum bal oldali, ill. jobb oldali végpontjában az/ függvény folytonos, ha Hm f { x ) = f { a ) ill. lim f { x ) = f { b ) . x-^a+O
x-=>b~0
ALAPFÜGGVÉNYEK, NEVEZETES GÖRBÉK
1.3.1. Szakaszonként egyenes vonalú függvények E függvények egyszerűségük ellenére nem elemi függvények. d) Az abszolút érték függvény. Az |a|, a G R abszolút érték értelmezése alapján az f { x ) = \x\ abszolút érték fü g g vény értelmezése: rf
II =
í X,
ha ha
x >0 ; c<0
Értelmezési tartománya: Dy=R; értékkészlete: í ?j =R q; a függvény grafikonja: y = x , ha x > 0 _y = - x , ha X < 0. (1.37. ábra).
és
72
Egy- és többváltozós függvények y;
b) Az előjel (vagy szignum) függvény. Az x előjelét megadó f { x ) = sgn^ (olv.; szignum iksz) szignum függvény értelmezése:
y = sg n x
ií
'~x
0 ---------- '-1
1, /( ;c ) = sgnx:= 0, -1 ,
ha x > 0 ha x = 0 ha x < 0
Értelmezési tartománya; ű ^ -R;
1.38. ábra. A szignum függvény grafikonja
értékkészlete; Ry - {-1,0, l};
a függvény grafikonja; y = l, ha x > 0 ; y ^ - 1, ha x < 0 és y = 0 , ha x = 0. (1.38. ábra.) c) Az egészrész (vagy entier) függvény. Az x g R egész részét megadó f ( x ) = [jí] egészrész vagy entier (olv.; antyié iksz) függvény értelmezése:
d) A törtrész (vagy frac) függvény. Az x e R tört részét megadó f ( x ) = - {x} törtrész (frac) függvény értelme-
/w={4 -
1.40. ábra. A törtrész függvény grafikonja
= jc - m a x |« e Z n < x
Értelmezési tartománya; Dj- = R; értékkészlete; R j = [O, l[ interval lumba eső számok; az /( jc ) = {x} függvény grafikonja két egész szám között az x-tengellyel 45°-os szöget bezáró egyenesszakaszokból áll, s végpontjaik közül csak az jc-tengelyen lévők tartoznak a grafikonhoz (1.40. ábra). Például {3,2} = 3,2-[3,2] = 3 ,2 -3 = 0,2;
{0,6} = 0,6 - [0,6] = 0,6 - 0 = 0,6;
Példák 1. Ábrázoljuk az / ( x ) = |sinx| függvényt.
függvény grafikonja két egész szám között olyan egyenesszakaszokból áll, amelyek párhuzamosak az jf-tengellyel, s végpontjaik közül csak a bal oldaliak tartoznak a grafikonhoz (1.39. ábra).
Isinx| = - sinX (1.41. ábra).
[-2 ,4 ] = - 3 ;
y /
zése:
vagyis [.x] jelenti az x-nél kisebb (vagy vele egyenlő) legnagyobb egész számot. Értelmezési tartománya; D f = R ; értékkészlete; R j = Z ; az f { x ) = [x]
[3,001] = 3;
y = x -[x ] = {x}
^
{-5,4} = -5,4 - [-5,4] = - 5 ,4 - (-6) = 0,6.
f { x ) = [jí];= m a x |« e Z n < x ^
Például [3,2] = 3;
73
1.3.1. Szakaszonként egyenes vonalú függvények
Megoldás. Az értelmezés szerint, ahol sin a: > 0, ott |sinx| = sinx, ahol sinx < 0, ott
[5] = 5.
y, -1
X
-2 1.39. ábra. Az egészrész függvény grafikonja
2. Ábrázoljuk az / ( x ) = 2sg n(x-3) függvényt. Megoldás. A szignum függvényt pozitív x irányba 3 egységgel el kell tolni és az ytengely mentén kétszeresére kell nyújtani (1.42. ábra). 3. Az / ( x ) = |x| + sgn(cosx) függ vény görbéjét az 1.43. ábra mutatja.
án. y = 2 sg ‘n (x-3) 0
é 3
„2 —---1.42. ábra. / ( x ) = 2sgn(x-3) függény grafikonja
Egy- és többváltozós függvények
74
1.3.2. Algebrai függvények
75
b) A racionális egészfüggvény (polinom). Általános (rendezett) alakja: / {x) = a,,x' +
+.. .+ a.X + a^x + üq\ n> 0 egész szám).
Gyöktényezős alakja: f ( x ) = a„
)'^ (^ - JC2
{x -
,
ahol az x^,x 2,...,x .. számok rendre a függvény r,, a - s z e r e s zérus helyei (/•'i + r, +.. ,+r^ = n ) . A függvény valós zérushelyeinek ismeretében, figyelembe véve a zérushelyek többszörösségét, felvázolhatjuk a függvénygörbe menetének jellegét, vagyis a függvény előjelviszonyait és végtelenbeli viselkedését feltüntető görbét.
1.3.2. Algebrai függvények
Példa 1. Definíció. Az
eR
x
R és F ( x , y ) = O} -t algebrai reláció
nak nevezzük a valós számhalmazon, ha F { x , y ) Jí-nek és >^-nak R[x, y]beli polinomja. 2. Definíció. Az / : £ ) —> R függvényt a D valamely a belső pontjában
Az 1.44. ábrán az /( x ) = x(x + 2 ) ( x - 5 ) " | ^ x " +
vényt ábrázoltuk, A /üggvénygörbe menetének jellege mellett /el rajzoltuk &függ vény alakhelyesebb gra/ikonját is. A /úggvény egyszeres zérushelyei: x = 0 és X - - 1 . Kétszeres zérushely; x = 5. Az utolsó másod/okú tényezőnek nincs (valós) zérushelye. A /úggvény a végtelenben úgy viselkedik, mint az hatvány/üggvény.
analitikusnak nevezzük, ha / az a körül hatványsorba fejthető, azaz, ha létezik egy ^ C j ^ ( x - a ) ^ hatványsor (lásd a 4.5.1. pontot), amely a egy k=o környezetében /( x ) - h e z konvergál. A D belső pontjait jelölje D*. Az / függvényt analitikusnak nevezzük D* -on, ha. f D minden belső pontjában analitikus. 3. Definíció. Egy analitikus függvényt, amely egy algebrai reláció rész halmaza, algebrai függvénynek nevezünk. Egyszerűbben fogalmazva, f algebrai függvény, ha benne a változók és az állandók véges számú összeadással, kivonással, szorzással, osztással, hatványozással és gyökvonással vannak összekapcsolva. a) A hatványfüggvény. Általános alakja: f ( x ) = x" A függvények görbéit lásd a [9] 8. fejezetében.
( n > 0 egész szám).
hatod/okú/úgg-
-500 1.44. ábra. Hatodfokú függvény jelleggörbéje
Egy- és többváltozós függvények
76
1.3.2. Algebrai függvények
77
A racionális egészfüggvény adott xq helyen vett helyettesítési értéke a Horner-féle elrendezés (séma) segítségével jól áttekinthetően számítható ki. Ez azon az elven alapszik, hogy a függvény átrendezhető a következő módon; f (jv) = ((■•■
■-+^2 )^ + a^'jx + ŰQ .
A z xq helyen vett helyettesítési értéket tehát úgy számítjuk, hogy az a„XQ+a„_i értéket szorozzuk .xg-val, majd ehhez hozzáadjuk
Az
így kapott értéket ismét szorozzuk .xg-val és hozzáadjuk a„_3-at. Ezt foly tatjuk
üQ
hozzáadásáig. Az utoljára kapott összeg az
/ ( xq)
helyettesítési
értéke. Példa Számítsuk ki az f ( x ) - 2 x ' ^ - x ^ + l l x - 8 9 függvény helyettesítési értékét az Xq = 3 helyen a //omer-elrendezéssel (a sémába a 0 együtthatókat is be kell írni). Megoldás 03 = - l
Ű4 = 2
ch = 0
a, = 11
ÜQ = -89
15
45
168
15
Xn =3
56
c) A racionális törtfüggvény. Két racionális egész függvény hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük. Általános alakja: +...+a^x + ÜQ
., , x ^ lx - 3)(jc + 2)(jc - 1) 2. Ábrázoljuk az f ( x ) = — ^ ^ — — függvényt. {x + l)-(x - 2 ){x - 1) Megoldás. A függvény nincs értelmezve az x = -1, x = 2 és x = l helyen. Ha x ^ l , akkor a tört egyszerűsíthető ( x - l ) -gyei. Az egyszerűsítés után osszuk el a számlálót a nevezővel. Ekkor 3x~
{a., ^ 0, b,„ ^ 0 ).
b , y + b„,,x'" ^+...+b,x + k Ha « > m, akkor/áltört-függvény, egyébként valódi törtfüggvény. (Lásd még a [9] 8. fejezetét.) Az ábrázolás technikai fogásait a következő példá kon mutatjuk be. Példák 1. Ábrázoljuk az f ( x ) = —2x~ függvényt. 1+ x ' Megoldás. A függvénynek egyszeres zérushelye van az x = 0 helyen. Szakadása nincs, ui. a nevező sehol sem zérus. Határértéke mind a +°o -ben mind a - 0° -ben nulla, ezért a görbéje a végtelenben az x tengelyhez simul (az x tengely az aszimptota). Ha x > 0, akkor /( x ) > 0 , míg x < 0 esetén /( x ) < 0 . A függvény páratlan, ezért görbéje az origóra szimmetrikus (1.45. ábra).
+X
+2
= x - l + r (x ).
x^ - 3 x - 2
79
A helyettesítés értéke tehát 79.
a„x
l + x“
A függvényt így felírtuk egy ra cionális egész (x - 1) és egy valódi tört (az r(x) maradék) összegeként. A valódi tört határértéke mind a + 0° -ben mind a -<» -ben nulla, ezért f ( x ) ~ x - l , ha |x| elegen dően nagy. Ez azt jelenti, hogy a függvény görbéje a végtelenben az j = x - l egyeneshez (az aszimptotához) simul. A függvény osztás előtti alakjából látható, hogy kétszeres zérushelye van az X = 0 helyen, míg x = 3 és X = -2 egyszeres zérus-helyek. Az X = -1 kétszeres, x =2 egyszeres pólushely. Itt a függvénynek szaka dása van és egyúttal \ f (x)| 00. Az X= 1 helyen megszüntethető szakadás (ún. hézagpont) van. A függvény görbéje az 1.46. ábrán látható.
1.46 ábra. + görbéje
fliggvény
Egy- és többváltozós függvények
78
1.3.2. Algebrai függvények
79
A z A , B é s C ismeretlenek meghatározása érdekében úgy is eljárhatunk, hogy az
Gyakran - főleg racionális törtfüggvények integrálásához - szükség van a (valós együtthatós) racionális törtfüggvény résztörtekre (parciális törtehe) bontására, amely tulajdonképpen a közös nevezőre hozás fordított művelete.
x~ +3 SS a {x + 2)(x - 5) + B{ x - 1 ) ( x - 5) + C{x - l)(x + 2) azonosság mindkét oldalába rendre behelyettesítjük a q(x) polinom gyökeit;
Ennek lényege az, hogy m inden
valódi törtfüggvény egyértelműen
x = l, x = -2, x = 5,
felbontható A
Bx + C
4 = -12y4 7 -2 1 Ő 28 = 285
Innen A, B és C lényegesen egyszerűbben határozható meg. Végeredményben a tört, és résztörtekre bontott alakja;
+ bx + (^ alakú résztö rtek összegére, ahol r, 5 pozitív egész. A, B, C, u, b, c valós számok, az x~ + bx + c másodfokú függvénynek pedig nincs valós zérus helye. Feltételezzük, hogy a p{ x) és q( x) polinomoknak már nincs közös zérushelye. Áltört-fíiggvény esetén a számlálót elosztjuk a nevezővel. így kapunk egy egészfüggvényt (polinomot) és egy valódi törtfüggvényt, mely utóbbi függvény résztörtek összegére bontható. A résztörtekre bontáshoz szükséges a q( x) függvény (a nevező) gyöktényezős alakjának ismerete. Ha q( x) zérushelyei között komplex számok is vannak, akkor a konjugált komplex gyököknek megfelelő két-két komp lex gyöktényezőt célszerű összeszorozni. Az (.X" ■¥bx + c) kifejezés éppen két ilyen komplex gyöktényező szorzata. A résztörtekre bontás általános négy esetét példákon mutatjuk be. Példák I. típus. A nevezőnek csak valós egyszeres gyökei vannak. q(x) "
X- + 3 _ x“ +3 ~ A x ^ - 4 x - - l x + l0 ( x - l) U + 2)(x -5 ) x - 1
i
+3
- 4 x - - 7 x + l0
-
'3 - + -Í.+ -
^ -1
*+2
‘
x + 5'
II. típus. A nevező gyökei valósak, de közöttük többszörös gyökök is előfordulnak. fU ) = £ Í ^ = - J L ± L . = A + . :-l)^
(x -l)“
■
Közös nevezőre hozás, majd a számlálók azonossága alapján, az ismeretlenek az együtthatók összehasonlításából felírt egyenletrendszerből határozhatók meg (mint az I.-es típusnál); A = -l; így
x{x~lf
B = 2;
^
C = l;
(x -l)'
D = 2.
(x - l)"
^ -1 ■
III. típus. A nevezőnek egyszeres komplex gyökei is vannak. B x +2
C _ x-5
A( x + 2)(x - 5) + B( x - l)(x - 5) + C(x - l)(x + 2) (x - l)( x + 2)(x -5 ) ■
A törtek azonosságából következik a számlálók azonossága; X - +3= A( x + 2)(x - 5) + b (x ~ l)(x - 5) + C(x - l){x + 2) = = {A + B + C) x ~ + { - 3 A - 6 B + C) x - l OA + 5 B - 2 C . Ennek viszont az a következménye, hogy az azonosság két oldalán x megfelelő hatványainak együtthatói egyenlők. így a következő háromismeretlenes lineáris egyenletrendszer írható fel; +5 +C= 1 -3A-6B +C =0 -10A + 5 B - 2 C = 3, melynek megoldása; A = - ^ \ B = ^ \ C = l .
X
f(x) =
p(x) q(x)
X +4x
. —-Á. ^ +C x\x~ + 4 ] X-+4
A közös nevezőre hozás után az együtthatók összehasonlítása alapján kapott egyenletrendszer; A + B = 0; C=^0; 4/í = 4. Innen A- 1 ; B = -1; C = 0, és így 4 _ 1 x^+4x ^
X x" +4
rV. típus. A nevezőnek többszörös komplex gyöke is van. _
3 x -l
_ A , B x+ C . Dx + E (x“- + 3)"■ X" ■+3
Az ismeretlen együtthatók az előbbiekhez hasonló eljárással számítók ki; A=
ö=
C = 3;
E =0
és így
Egy- és többváltozós függvények
80
x U "+ 3
-~x + 3
4-x
(x“ +3)“
X" +3
1
alakú függvényeket, ahol p > 0 tetszőleges valós szám. (1.47.
ábra). Ezek általában x > 0 esetén vannak értelmezve. Az algebrai függvény általános alakja; P „ (x)y’ +
81
ordinátáiból négyzetgyököt vonva és az így előálló görbét az x-tengelyre tükrözve kapjuk yx és y, jelleggörbéit. Az yj függvény az x = 2 hely környezetében úgy
d) Általánosabb algebrai függvények. Elöljáróban megemlitjük az f{x) =
7.3.5. Elem i transzcendens függvények
viselkedik, mint az / ( x ) = x - függvény az origó körül, tehát görbéje érinti az xtengelyt. Az x = \ pont a függvénynek izolált pontja. Az x = -1 hely környezeté1
ben pedig úgy viselkedik, mint az / ( x ) = x - függvény az origó körül, tehát érintője párhuzamos az j-tengellyel. Az és jelleggörbéit az 1.48. ábrán folytonos vonallal szemléltettük. 2. Ábrázoljuk az y^ -Ay'^ = x egyenlettel adott görbét.
. ■+Pi(x)y + Po(x) = 0 ,
ahol p„(x), p „ - \ ( x ) , P o ( x ) polinom ok (racionális egészfüggvények).
Megoldás. Az adott egyenletű görbe jellegét kényelmesebben szemléltethetjük az .. -.5 ^..3 egyenletű görbe y = x egye;nesre való tükrözésével (1.49. ábra).
H a jcj a függvény egyik zérushelye - vagyis az felírható f { x ) = = { x - x ^ Y g ( x ) alakban, ahol g ( ^ i ) ^ 0 - akkor a függvény az x, hely
Yi \ \
környezetében úgy viselkedik, mint az
függvény az origó környezetében.
\ \ \ d
l
l\ 1 -2 |
1.48. ábra.
1.47. ábra. Az x^’ alakú függvények görbéi
Az y~ = (x + l)(jí - l)~(x - l y ’ gráfja
y=x^-4x^
' ' ' ' ' ' ' ' ’ '
,
1
y^-4y^ =x
/ |
\
y
1 1 l2
/ 0^
y
\
1.49. ábra. Az y^ ~ 4y^ = x egyenletű görbe
Példák 1. Ábrázoljuk az y~ ={x + l)(x - 1)“ (x - i f egyenlettel adott görbét. Megoldás. Az y, = (x - l)(x + 1)^{x - 2) 2 és az függvények jelleggörbéit az
~ l)(^ + 0 ^(x - 2) 2
/ ( x ) = (x + l) ( x - l ) " ( x - 2 ) ' racionális egészfüggvény jelleggörbéjéből kiindulva ábrázoljuk. Az / ( x ) racionális egészfüggvény zérushelyei: x = -1 (egyszeres), x = 1 (kétszeres) és x = 2 (három szoros). Görbéjét az 1.48. ábrán szaggatott vonallal szemléltettük. Az /( x ) > 0
1.3.3. Elemi transzcendens függvények A nem algebrai függvényeket transzcendens függvényeknek nevezzük. a) Trigonometrikus függvények. A sin x , cosx, tg x és ctgx függvénye ket soroljuk ide. A sin és cos függvények értelmezési tartom ánya R , értékkészletük a [-1,1] intervallum. M indkét függvény 2 n szerint periodikus, azaz
Egy- és többváltozós függvények
82 sin(jc + 27i:) = sin;c,
cos(;c + 27c) = cosjí;
cosx = -J==^======r, V l + tg".X
a sin függvény páratlan, a cos függvény páros, azaz sin(-;c) = -sin jc ,
1.3.3. Elem i transzcendens függvények
c o s(-^ ) = cosx. (1.50. ábra) cosa : =
83 sin x
(0 < ; c < i ) , ^|\ + tg~ X
1 -tg -f 2 tg f ----------sinx = ------------------l + tg " f
A trigonometrikus összefüggéseket és függvényeket lásd még a [9] 5. és 8. fejezetében. b) Az exponenciális függvény. Általános alakja: (a > 0; a
állandó).
Értelmezési tartománya: R , értékkészlete: R"*”. A tg függvény értelmezési tar tománya R, kivéve ?l ~ + kK szá
Gyakorlati jelentőségük miatt kiemeljük az e^ és
J e J
nyékét (1.52. ábra).
mokat {k egész). A ctg függvény értelmezési tartománya R, kivéve a h i számokat {k egész). Mindkét függvény értékkészlete R. M ind két függvény n szerint periodi kus és páratlan (1.51. ábra), azaz tg(.x+7r) = tg X, ctg(x+7i) = ctg.x és tg(-JC) = - tg x , Ctg(-x) = - ctg A' . Ma
már
ritkán
S 6 C.X = — -—
cosx függvény.
használatos
es a cosecx =
a
sinx
Néhány gyakran előforduló azonosság; sin(.x + _y) = sin.xcosjv + cos.xsinj^,
1.52. ábra. Exponenciális és hiperbolikus függvények
1.53. ábra. Hiperbolikus függvények
cos(x + y ) = COS.X cosjv - s in x s in j^ , sin2.x = 2sinjccos;c,
cos2.x = cos" x - sin" x,
X __ - a:
cos" ;c + sin" x = 1, 1 + cos2x
sm" .X=
c) H iperbolikus függvények. Az exponenciális függvény segítségével értelmezzük az ún. hiperbolikus függvényeket (1.52. és 1.53. ábra). A szinusz hiperbolikusz függvény: sh jc = - — ;r^— .
linearizáló formulák,
Értelmezési tartománya: R és értékkészlete: R .
Egy- és többváltozós függvények
84
A koszinusz hiperbolikusz függvény: chx =
függvény inverze. Jelölése: arccosx . \ [O, l [ .
Értelmezési tartománya a [-1 , l], értékkészlete a [O, ti] intervallum.
A tangens hiperbolikusz függvény: X
85
Az arkusz koszinusz függvény a [0,7c] intervallumra szűkített cosx
e +e
Értelmezési tartománya: R , értékkészlete: ,
7.3.3. Elemi transzcendens függvények
Görbéje a cosx függvény [O, n] intervallumhoz tartozó görbéjének az -X
IX
^
_ shjt: _ e - e _ e - 1 chx e-^ + 1 e +e Értelmezési tartománya: R , értékkészlete: ] - l , l [ .
y = x egyenesre való tükrözésével állítható elő (1.54. ábra).
thx
Az arkusz tangens függvény a
A kotangens hiperbolikusz függvény: . X , -X 2x , 1 c th x * * - " - * ' +8 -e +1 2x , sh:)£: e -1
lí £ ”2 ’2
intervallumra szűkített tgx
függvény inverze. Jelölése: arctgx . Értelmezési tartománya a
Értelmezési tartománya; R \{o}, értékkészlete: R \ [ - l , l ] ,
oo[, értékkészlete a --1-, — intervallum. JL E.
Görbéje a tg x függvény
A hiperbolikus függvények tulajdonságai az értelmezésből következ nek, de részben leolvashatók az ábráról is (lásd még a [9] nyolcadik fejezet
'
2’ 2
intervallum hoz tartozó görbéjének az
y = x egyenesre való tükrözésével állítható elő (1.55. ábra).
S .lI.B .d ) pontját is). Megemlítjük, hogy az sh függvény páratlan, a eh függvény pedig páros. Néhány gyakran előforduló azonosság: eh" X - sh“ Jí = 1,
ch "x + sh“ x = ch2jc, ch“ ;c = sh“ ;c =
2 sh :tc h x = sh2x,
ch2x + l
2
linearizáló formulák.
c h 2 jc - l
rf) A rkuszfüggvények. A trigonometrikus függvények periodikusak, ezért a teljes értelmezési tartományukon nem invertálhatók. Bizonyos intervallu mokon azonban szigorúan monotonok, ezért ott invertálhatók is. Az ilyen módon értelmezett inverz függvényeket arkuszfüggvényeknek (vagy ciklometrikus függvényeknek) nevezzük. Ezek a következők: Az arkusz szinusz függvény a '= a rc c o s x V '"
n v= x
A y= arcsin x
-f
1.54. ábra. Az arcsin x és az arccosx függvények grafikonja
2 2J
intervallumra szűkített sin;c
függvény inverze. Jelölése: arcsin;)c. Értelmezési tartománya a [-1, l]. értékkészlete a
IL JL 2’ 2
intervallum.
Görbéje a sin függvény
_TC JX
2’2 intervallumhoz tartozó görbéjének az y = x egyenesre való tükrözésével állítható elő (1.54. ábra).
Az arkusz kotangens függvény a [O, Tc] intervallumra szűkített ctgx függvény inverze. Jelölése: a rc c tg x . Értelmezési tartománya a ]-<=<>, °°[, értékkészlete a
intervallum.
Görbéje a ctgx függvény ]0,7r[ intervallum hoz tartozó görbéjének az y = x egyenesre való tükrözésével állítható elő (1.3.16. ábra). Az ábrákból leolvasható két nevezetes összefüggés: arctgx + arcctgx = — . 2 ’ Az inverz függvény értelmezése alapján: |x| < 1; sin(arcsinx) = arcsin(sinx) = x, arcsm x 4-arccosx =
K 2' Innen kiolvasható, hogy arcsinx (ill. a rc tg x ) az a szög, amelynek a szi nusza (ill. tangense) x. Hasonló összefüggés érvényes a másik két arkuszfüggvényre is. E függvényeket lásd még [9] nyolcadik fejezet 8.1 l.B .c) pontjában is. tg(arctgx) = arctg(tgx) = x,
W<
Egy- és többváltozósföggvények
86
Példák 1. Ábrázoljuk a 4v^ = sin^(2arcsinx)
1.3. 3. Elemi transzcendens függvények Nevezetes összefüggések: logo ^ = logí, b • logh X
4y~ = sin"(2arcsin A-) egyen lettel adott görbét. Megoldás. Ez az egyenlet algebrai alakban is felírható. Ugyanis az arcsinx = a je
Inx = InlO-lg.x = 2,301gx Ig x = Ige • ln.x = 0,4341nx Az inverz függvény értelmezése alapján:
löléssel x = sina, és 4y~ = = sin"(2a) = 4sin‘ ac o s” a, amiből y~ =x~( l - x~) . Ezt ábrázoljuk, majd gyökvonás után kapjuk az egyenlettel adott görbét (1.56. ábra).
1.56. ábra. A 4y~ = sin"(2arcsinx) görbe
87
Ine'* =
= x,
(.x > 0).
Tetszőleges a > 0 alapszám esetén fennállnak a következő azonos ságok: ^oga(xy) = loga X + log„ y ^ogaj X = ^ o g ^ x - \ o g ^ y ..
( x > 0 , y > 0 ), ( ^ > 0, > ;> 0 ),
2. Számítsuk ki sin ^ 2 arctg -|-a rcc tg ^ ^ értékét. \ogaX.P ‘' = pXog^X
Megoldás. Legyen 2arctg-|- = a és arcctg-j^ = p. Innen
=
A logaritmusra vonatkozó további ismereteket lásd a [9] harmadik feje zet 3.13.-3.16. valamint a nyolcadik fejezet 8.1 l.B .b) pontjait.
Ezt felhasználva, 2 tg ^
tgP
sin (a -P ) = sinacos(3-cosasinp =
1+
25
144 25
Példák 1. Vázoljuk az / ( x ) = ln (^ l(x --l)
119 169'
függvényt. Megoldás. Előbb ábrázoljuk
e) A logaritmusfüggvény. A z log^x függvény az
exponenciális
függvény inverze. Értelmezési tartománya: R"*" , értékkészlete: R . \
( x > 0).
és ctgP = -j^.
y=lnx ^ >'='9''
y = -ln x 157 ábra. Az Inx és Igj; függvények grafikonja
A függvény görbéje: az függvény görbéjének az =X egyenesre való tükrözésével állítható elő. Az e alapú logaritmusfugg^ vényt (e^ inverzét) természetes logaritmusfüggvénynek nevez zük, jele: ln;c (olv.: logaritmus naturálisz iksz). A 10 alapú logaritmiisfüggvény (1 0 ^ inverze) jele: (1.57. ábra).
az -j(x~ - 1) racionális egész függvényt, majd az ordináták logaritmusát vesszük (1.58. ábra). A függvény nincs értel mezve a - l< x :S l interval lumon, mert itt az
függvény negatív, ill. nulla. 2. Számítsa ki
a:
1.58. ábra.
-1 )
Az f ( x ) = Iní •i(x" -1 ) ) függvény grafikonja V J
> 0 értékét, ha lg(3x + 9 9 7 )-lg x = 3. 3a:+ 997
Í v -4-907
Megoldás. Mivel 3 = lgl000, ezért lg-----------=lglOOO, vagyis ----------= 1000 , ahonnan x = 1.
Egy- és többváltozós függvények J) Az areafüggvények. A hiperbolikus függvények inverzeit areafüggvényeknek nevezzük. Ezek a következők: Az area-szinuszhiperbolikusz függvény a sh;c függvény inverze. Jelö lése: arsh;>£: Értelmezési tartománya és értékkészlete R . Görbéje a shjc függvény görbéjének az = egyenesre való tükrözésével állítható elő (1.59. ábra). Az
sh;?
definícióját
felhasználva,
az
y ~y x =^ ~ ~
vagyis
e ~ ^ - 2 x e ^ - \ = Q egyenlet j^-ra való megoldásával arsh;c alkalmas képlettel is kifejezhető:
az
számításra
arsh^- = \n[x + ylx~ + 1). Az area-koszinuszhiperbolikusz függvény a [0,oo[ szűkített chx függvény inverze. Jelölése: arch x .
Görbéje a eh x függvénygörbe [0,°o[ intervallumhoz tartozó ágának az y = x egyenesre való tükrözésével állítható elő (1.59. ábra). Az arch.x számításra alkalmas képlete: x > 1.
A ]-°o,0] intervallumra szűkített c h x függvény inverze: arch.x = ln(jc- V x“ - 1),
Értelmezési tartománya a ] - l , l [ intervallum, értékkészlete: R . Görbéje a th;c függvény görbéjének az y = x egyenesre való tükrözésé vel állítható elő (1.60. ábra). Az arthx számításra alkalmas képlete: arthx =-:^ln|--- —, 2 l-x Az area-kotangenshiperbolikusz függvény a cth.x függvény inverze. Jelölése: arcth;>£•. Értelmezési tartománya: R \ [ - l , l ] , értékkészlete: R \ { o } . Görbéje a cth:>c függvény görbéjének az y = x egyenesre való tükrözé sével állítható elő (1.60. ábra). Az arcthX számításra alkalmas képlete:
intervallumra
Értelmezési tartománya az [l, oo[ intervallum, értékkészlete R j .
archjc = ln(.>í + -Jx~ - l ) ,
89
1.3.4. Interpolációs polinom ok
jc> 1.
a rc th x = lln ü 4 , 2 x-l
> 1).
Az inverz függvény értelmezése alapján fennállnak a következő azonos ságok: sh(arshjc) s arsh(sh.x) s x; ch(archjc) s arch(chx) = X,
x > 1.
Hasonló összefüggés érvényes a másik két areafüggvény esetében is. Megjegyzés. Az algebrai és az eddig tárgyalt transzcendens függ vényeket, valamint ezekből a négy alapművelet, továbbá a hatványozás és gyökvonás véges számú alkalmazásával nyert függvényeket elemi függvé nyeknek nevezzük. 1.3.4. Interpolációs polinomok Empirikus függvények közelítésére vagy táblázatok sűrítésére (interpolá lására) gyakran meg kell határoznunk a Po(xo,yoX
1.59. ábra. Az arsh és arch függvények grafikonja
1.60. ábra. Az arth és az arcth függvények grafikonja
Az area-tangenshiperbolikusz függvény a th^: függvény inverze. Jelölése: arthjc.
P M „y„)
különböző abszcisszájú pontokon ( n + l számú ponton) átmenő n-edfokú racionális egész függvényt, az ún. interpolációs polinom ot, melynek érté kei szolgáltatják a különböző szám ításokhoz szükséges adatokat. Legegyszerűbb alkalmazása a lineáris interpoláció. Ilyenkor az interpo lációs polinom két adott ponton átmenő egyenes. Egyenlete y-yi=~-~^{x-x^), X2 “ ^1 amellyel helyettesítjük a táblázatosán adott függvényt a két pont között.
Egy^ és többváltozós függvények
90
Előfordul, hogy a táblázat értékei közé csak parabolikus interpolációval tudunk megfelelő pontosságú értékeket illeszteni. Ilyenkor három adott
1.3.4. Interpolációs polinom ok
A Cj {i = 0,1,2,...,«) együtthatókat abból a feltételből határozzuk meg, hogy a polinom görbéje átmegy a
ponton átmenő y = a 2X~ + a\x + üq alakú másodfokú polinomot (azaz parabolát) illesztünk a szóban forgó pontok közé. A PQ{xQ,yo), P\{xT^,yi),..., P,Xx,„y„) pontokon átmenő n-edfokú poli-
P\{xx,yx),..., P,Xx„,y„) pontokon. Ebből
nom együtthatóinak kiszámítására kétféle algoritmust ismertetünk.
7o=co 3^1 =co + Ci ( x i - x o )
a) L agrange-féle interpolációs polinom. Az n + \ számú Pi{xi,yj) pontra
y 2 =Cq+Ci {x 2 ~Xq) + C2 {x 2 - ^ o )(-^2 ~ ^ i)
illeszkedő n-edfokú polinomot
y n = C 0 +Ci {xn- XQ) + C2 {x„ -X o )(x „ - X ,) +
A,(^) = Po(^) + PÁ.x)+- ■-+PÁ^)
+ . . .+C „
alakban állítjuk elő, ahol - X,_,){x -
- ^o )(^ - ^i). ■
91
. .[ x - X,)
— Xq ) ( x „ -- X|
- X 2 ) . . . (x „ - X ,,_ | ).
Innen a Cq, c^ ,..., c„ együtthatók könnyen meghatározhatók. Ha az absz cisszák egyenközüek (ekvidisztansok), vagyis
vagyis Pj{x)
Xi - Xq = X, -
(/ = 0 , 1 , 2 , n) olyan polinom, amelynek zérushelyei az
= ... = x„ - x„_, = h ,
akkor
.X,, helyek, és Pj{x,)-=^ y^.Ezévi pj{x) görbéje át
= p „ ( t ) = y « + -2^ ** A' y<>+ —
megy a Pj{Xj,yj) ponton. Példa Egy folyamatot leíró függvény négy pontját mérések útján ismerjük. Legyenek ezek a pontok: Po(l;5,6), Pi(3;6,7), P3(12; 10,3). Határozzuk meg ezen a négy ponton átmenő harmadfokú interpolációs polinomot mint a folyamatot leíró függvény közelítő polinomját, majd ennek segítségével számítsuk ki a függvény értékét az x = 6,5 helyen. Megoldás. jyo(-^) = 5,6' _
(x -3 )(x -7 )(x -1 2 ) -132
_
py{x) = 6 ,l-
(x-l)(x-3)(x-12)
P 2 { x ) = % , \ --------------- .
Innen
[x-\)[x-l)[x-\2] ;
L-i{x) =
, ,
72 ( ^ , _ i )( ^-_3) ( x - 7 )
A keresett függvényérték: ^3(6,5) ~ 7,9.
ni
Megoldás. A differenciák kiszámítását táblázatba foglaljuk: X
y
Xo = 0,35
>^0 = 0,35713
X, =0,40
yi =0,41012
+c,,[x - .Xo)(x - x,)(x - Xo). ..(x - x„_,) alakban állítjuk elő.
Aj
aV
aV
Ayo = 5359 5471 :V2 =0,46543
b) A Newton-féle interpolációs polinom. Az n + 1 számú Pj {xj,yj) pont
= ^0 + Ci{x - Xo) + C^ix - Xo){x - X,)+...+
h
Példa írjuk fel azt a negyedfokú Newton-féle interpolációs polinomot, amelynek görbéje átmegy a Po(0>35; 0,35713), P,(0,40; 0,41072), A (0.45; 0,46543), ^3(0,50;0,52107), P4(0,55;0,57817) pontokon.
X2 =0,45 ra illeszkedő n-edfokú polinomot most
aVo +
A Ayo = y i ~ y o ! ^ y o = " Ayi ~ Ayo> ••• differenciák számítását a követ kező példán mutatjuk be.
f t W - 1 0 , 3 ------------------------------------------------------------ .
+/?o + P3 = 0,0039x^ - 0,076x" + 0,8Lx + 4,8 .
~
A>o = 112 aV o =19
5564 X3 = 0,50
aV o =72
093
>^3=0,52107
53 146
5710 X4 =0,55
74 =0,57817
(A táblázatban a differenciáknak csak az értékes jegyeit írtuk ki.)
Egy- és többváltozós függvények
92
1.3.5. Nevezetes síkgörbék param éteres egyenletei
93
c) A hiperbola kétféle paraméteres egyenlete:
így
^4(0 = 0,35713+ 0,05359/ +
-1 )
_ i)(, _ 2) + x = ach.t,
y = bsht.
coscp 1.3,5. Nevezetes síkgörbék paraméteres egyenletei Mozgó pont vizsgálatakor sokszor célszerű a pont koordinátáit paraméteres alakban, azaz valamilyen paraméter függvényeként megadni. Ezzel egyút tal a pályagörbe paraméteres egyenletét (egyenletrendszerét) is megadjuk. Megjegyezzük, hogy egy görbe paraméteres egyenletét többféleképpen is felírhatjuk, attól függően, hogy mit választunk paraméternek. A paraméter lehet pi. szög, távolság, ívhossz, idő stb. A következőkben felsorolt görbék némelyikének zárójelben megadtuk a görbe implicit alakú egyenletét is. a) Az origó középpontú a sugarú kör egyenlete: X = a c o sí, >• = ö sm í;
\x~+y~~a~j,
ahol a t paraméter az 1.61. ábrán levő t szöget jelenti.
a
2
ill.
,2
b
1.64. ábra. Csúcsos ciklois az origóból kiinduló kerületi pontja csúcsos cikloist ír le (1.64. ábra). Egyenlete: x = a { t - s \ n t ) , >» = ű ( l - c o s / ) . Ha az origótól b távolságra levő Q pont mozgását vizsgáljuk, akkor a keletkező ciklois egyenlete: b) A z a és b féltengelyü, origó középpontú ellipszis egyenlete (ha az ellip szis tengelyei a koordinátatengelyeken vannak);
x = a co st, y = bsint;
x =at-bs\nf,
y = a —b c o s t.
Ha b> a, akkor hurkolt cikloisról, ha b < a , akkor nyújtott cikloisról beszélünk.
X ^ b
ahol a t paraméter az 1.62. ábrán a í-vel jelölt szög.
J) Ha egy kör csúszás nélkül végiggördül (kívülről) egy másik körön, akkor a gördülő kör minden pontja (és minden hozzá mereven rögzített pont) epicikloist ír le.
Egy- és többváltozós függvények
94
J.3.5. Nevezetes síkgörbék param éteres egyenletei
1.66. ábra. Asztroida Legyen a rögzített kör origó középpontú és R sugarú. A mozgó kör le gyen r sugarú (1.65. ábra). Az (i?,0) pontból kiinduló (csúcsos) epiciklois egyenlete: x = {R + r) cost - r c o s ^ - ^ t ,
y = (R + r ) s ' m t - r s m ^ - ^ t .
A z r = R speciális esetben az epicikloist kardioidnak (szívgörbének) nevezzük (1.75. ábra). g) Ha a mozgó kör az állandó körön belül gördül végig, akkor az előbbiekhez hasonlóan keletkező görbe hipocikíois. Ha a körök a z /)-b en leírt módon helyezkednek el, akkor a (i?,0) ponton átmenő kerületi pont által leírt görbe egyenlete: X = ( R - r ) c o s t + r cos— ~
t,
y = (R-r)smt-rsin
t.
h) A cisszoid egyenletét az 1.67. ábra alapján (ahol a berajzolt kör és érintője rögzített) abból a feltételből kapjuk, hogy 0 P = AB: x = a sm ~ t,
y = a s m ~ ttg t.
i) A sztrofoid egyenletét az 1.68. ábra alapján abból a feltételből kapjuk, hogy MP[ = MPi = O M , ahol az M változó pont a rögzített ( - a , 0) ponton átmenő egyene seknek az _y-tengellyel alkotott metszés pontja: A: = ± ö sin /,
3^= a t g / ( l± s in /) .
D
speciális esetben a fenti hipocikloist asztroidának (csillag
Az r =
j) A Descartes-levél egyenlete:
görbének) ( 1.66. ábra) nevezzük; egyenlete: .X =
3at
_________
1 + /^
y =
M L i+ t^
x = Rcos^t, y = Rs'm^t;
n
Ha r = -y , akkor a kerületi pont által leírt görbe az álló kör x-tengelyen levő átmérője (egyenes szakasz), a mozgó körlap belső pontjai pedig ellip sziseket írnak le.
A görbe aszimptotája az x + y + a = 0 egyenes. Az origó kettős pont. A görbe az 1.69. ábrán látható.
1.67. ábra. Cisszoid
95
Egy- és többváltozós függvények
96
1.3.6. Nevezetes síkgörbék polárkoordinátás egyenletei
J.3.6. Nevezetes síkgörbék polárkoordinátás egyenletei
COS(p
{x = a).
illetve
97
sm(p
A következő görbéknél néhány helyen zárójelben megadtuk a görbe derék szögű koordinátás egyenletét is. a) Origó középpontú, a sugarú kör egyenlete: r = a;
( p
2 , 2
+y
= a 2 \ I.
Az A/(ro,(Po) középpontú, a sugarú kör egyenlete (1.70. ábra): r~+ rQ- 2 rrQ cos((p - (po) = 1.70. ábra. Kör
egyenes
egyenes
( { x - u ) - + ( y ~ v f = a -). c) A kardíoid (szívgörbe), olyan epiciklois, amelynél az alapkör és az alap körön gördülő kör sugara egyenlő (1.75. ábra, de lásd az 1.65. ábrát is). Egyenle te, ha a körök sugara a:
Ha a kör középpontja az x-, ill. az >'-tengelyen van és a kör az origón megy át (1.71. és 1.72. ábra), tehát (po = 0, ill. —, és kq = a, akkor egyenlete;
illetve
r = 2íí cos(p
(jc “ + r - 2 ö x
r ~ 2a sin (p
+ y~ -
2
= 0 ),
(p = 0
r = 2a (l + coscp).
ay = 0 ). d) Archimedesi spirális (1.76. ábra). Egyenlete: 1.75. ábra. Kardioid
r = a(p,
a állandó.
e) Hiperbolikus spirális (1.77. ábra). A görbe aszimptotája az y = a egyenes. A z origó aszimp totikus pont. Egyenlete: a
a állandó.
1.72. ábra. Az r = 2ű sin (p egyenletű kör
b) A polártengelyre merőleges, ill. azzal párhuzamos, az origótól a távol ságban haladó egyenesek egyenlete (1.73. és 1.74. ábra):
f ) Logaritmikus spirális (1.78. ábra). Az origó aszimptotikus pont Egyenlete: a és 6 állandó.
1.76. ábra. Archimedesi spirális
98
Egy- és többváltozós függvények
99
1.3.7. M ásodrendű görbék
ahol a másodfokú tagok együtthatói nem lehetnek mindannyian nullával egyenlők. Ha megállapodunk abban, hogy ai k=aki vagyis
2ö |2 =ű!}2 + 021,
(/,Á: = 1,2,3),
2űj3 =<313+ 03},
2023= ^ 23+^^32’
akkor a görbe jellemezhető az együtthatókból alkotott űii ai2 Ö13 A = Ü21 Ö22 023 _«31
g) Lemniszkáta (speciális Cassini-gövht) (1.79. ábra). Egyenlete:
tartozó D33 aldeterminánsra: ön öl 2 «13 a ,i "12 D = Ű21 <^22 "23 > ^33 = «21 022 <^31 «32 Ö33
r = a.^cos2(p, a állandó; Ha D
0 és í ^3 > 0, akkor a görbe ellipszis, ha D
kor hiperbola , ha D Az r -a ^ s \n 2 (p
egyenletű
görbe szintén lemniszkáta, de az előbbihez képest 45°-kai elforgatott helyzetben. h) „Négylevelű lóhere” (1.80. ábra). Egyenlete: (p = 0
1.80. ábra. „Négylevelű lóhere”
r = a c o s 2(p, Az r = asin2(p egyenletű görbe szintén négylevelű lóhere, de az előbbihez képest 45°-kai elforgatott helyzetben.
«33.
szimmetrikus mátrixszal. A másodrendű görbék osztályozásához szük ségünk van ennek a mátrixnak a D determinánsára, és az <333 elemhez
0 és D33 < 0, ak
0 és Ű33 = 0, akkor parabola.
Ha D = 0, akkor a görbe elfajuló (egyenes, egyenespár, pont). Ha a görbe egyenletében x y is szerepel, ez annak a jele, hogy tengelyei nem párhuzamosak a koordinátatengelyekkel. Ilyenkor a koordinátarend szert elforgatjuk olyan (p szöggel, hogy a görbe (a kúpszelet) tengelyei párhuzamosak legyenek a koordinátatengelyekkel. Ez azt jelenti, hogy az a: = ^coscp-risincp;
7 = ^sincp + rjcoscp
transzformáció eredményeképpen fy] együtthatója nulla lesz. Ezután eset leg elvégezzük a koordinátarendszer eltolását úgy, hogy a görbe egyenleté ben még előforduló lineáris, ill. állandó tagok kiessenek. Ha £^3 ^ 0, akkor célszerű ezt az eljái'ást a következőképpen alkalmazni: =0
Megoldjuk a ^21
^22 “ ^
karakterisztikus egyenletet, melynek gyökei legyenek Xj és X2 . A görbe 1.3.7. M ásodrendű görbék Másodrendű görbéknek nevezzük azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete derékszögű koordinátarendszerben másodfokú, vagyis általános alakjuk: a\
+ l a i i x y + fl22>’" + 2^ 13^: + l a ^ y + 033 = 0 ,
egyenlete elforgatás és eltolás után: D
= 0.
100
Egy- és többváltozós függvények
A görbe középpontja az M "12 ^22
pont, ahol «13 . ^23
íZli ^32=-
ŰJ3
021 <^23
A másodrendű görbéket lásd még a [9] ötödik fejezet 5.4.16 pontjában. Példa Vizsgáljuk meg a 2>x~-2xy-¥3y~ + \ Ox- \ Ay + \S = () egyenletű másodrendű görbét. Megoldás. 3 -1 D = -1
5
3 -7 = -32
5 -7
0,
Z)33 =
3 -1 = 8>0 .
-1
15
3
A görbe tehát nem elfajuló ellipszis. A karakterisztikus egyenlet: -1
-1
3-A.
= 0,
X“ - 6 X + 8 = 0.
=4, X2 =2. Mivel --“ = -4 , a görbe egyenlete eltolás és el A3
Ennek gyökei: forgatás után:
4 m" + 2v" - 4 = 0, u + ^ = \.
belső pontjának nevezzük. Ha a P pont olyan, hogy bármely környezete tartalmaz a ponthalmazhoz tartozó és ahhoz nem tartozó pontot is, akkor a P pont a ponthalmaz határpontja. Ha egy ponthalmaz csak belső pontok ból áll, akkor azt (nyílt) tartom ánynak nevezzük. A határpontok összessé ge a tartomány határa. A tartományt a határával együtt zárt tartománynak nevezzük. A tartomány összefüggő, ha „egy darabból áll”, azaz ha bármely két pontja összeköthető olyan görbével, amely teljes egészében a tartományban halad. A tartomány egyszeresen összefüggő, ha bármely keresztmetszete két részre bontja (keresztmetszeten itt a tartományban haladó, önmagát nem metsző, a tartomány két kerületi pontját összekötő folytonos görbét értünk). A tartomány n-szeresen összefüggő, ha két részre való bontásához n számú keresztmetszetre van szükség. Az 1.81. ábra egyszeresen, az 1.82. ábra kétszeresen összefüggő tartományt ábrázol. A tartományt (koordinátarendszer felhasználásával) rendszerint egyen lőtlenségekkel jelöljük ki. Példák Adjuk meg az 1.81. ábrán levő (vonalkázott) tartományt egyenlőtlensé gekkel kétféleképpen is. 1.
A TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY
y=x-2
Megoldás. i) Az X változik az y~ = x egyenletű parabolától az y = x - 2 egyenesig, mi közben jv változik -1-től 2-ig, azaz y~ < x < y + 2 -l< y < 2
1.4.
101
1.4.1. A két- és többváltozós fü g g vén y fogalm a
ii) A tartományt az jc = I egyenessel két részre bontjuk. Ekkor
1.81. ábra. Parabolagörbével és egyenessel határolt tartomány
1.4.1. A két- és többváltozós függvény fogalma A természetben lejátszódó folyamatok nagyfokú egyszerűsítések után is általában több tényezőtől (változótól) függnek. Leírásukhoz a többváltozós függvények analízise nyújt hathatós segítséget. a) Síkbeli ponthalmazok. (Lásd még az 1.1.8. pont c) alpontját.) A sík pontjainak egy halmazát síkbeli ponthalmaznak nevezzük. E halmaz korlá tos, ha van olyan kör, amelybe a ponthalmaz belefoglalható. Egy P pont 6 -környezete annak a 5 sugarú körnek a belseje, amelynek középpontja a P pont. Ha egy ponthalmaz P pontjának van olyan környezete, amelynek minden pontja a ponthalmazhoz tartozik, akkor a P pontot a ponthalmaz
-VT
x -2 < y < 4 x 1 < a:< 4
2. Adjuk meg az 1.82. ábrán vázolt gyűrűtartományt egyenlőtlenségekkel. Megoldás. A gyűrűtartomány kijelölésére célsze rű polárkoordinátákat használni:
(p = 0
\< r < 2 0 <(p < 2tc 1.82. ábra. Körgyűrűtartomány
102
Egy- és többváltozós függvények
1.4.2. Határérték, folytonosság
103
A fentiekhez hasonlóan beszélhetünk térbeli ponthalmazról, térbeli tartományról, ill. n-dimenziós ponthalm azról és tartom ányról (lásd az 1. 1.8. pontot). b) A két- és többváltozós függvény. Definíció. Kétváltozós valós függvényen olyan függvényt értünk, amely nek értelmezési tartománya része az R “ halmaznak, értékkészlete pedig része R-nek. Jelölése: f :R"
R.
/ értelmezési tartományát D j -M , értékkészletét pedig R j -fel jelöljük. Ha a függvény jele f , az ( x, y) számpár pedig eleme Dy -nek, akkor f ( x , y ) a függvény {x, y) helyen vett helyettesítési értéke. De ha nem 1.83, ábra, A 2z = x~ +y~ felület
okoz félreértést, akkor f { x , y ) a függvény jelölésére is használható. Ha bevezetjük az f ( x , y ) = z jelölést, akkor a P { x , y , z ) pontokból álló halmazt a függvény grafikonjának nevezzük. Ez a ponthalmaz a gya korlati esetek többségében egy felületet alkot (valamilyen, általunk válasz tott koordinátarendszerben). Ezért szokás azt mondani, hogy a kétváltozós függvény felülettel ábrázolható. E felület egyenlete z = f { x , y). A z x é s y
Definíció. Az /
változókat független változóknak, z-t pedig függő változónak is nevezzük. Ekkor nyilván { x , y ) & D f és z e R j - .
határértéke az A szám, ha akármilyen e > 0 számhoz van olyan S > 0 szám, hogy
A kétváltozós függvény formálisan megadható F ( x , y , z ) = 0, ún. imp licit alakban is. Hasonlóan értelmezzük az n-változós valós függvényt is. Ennek értel mezési tartománya része az R ” halmaznak, értékkészlete pedig része Rnek (R a valós számhalmaz). Jelölése:
1.4.2. Határérték, folytonosság kétváltozós függvénynek a
|/ ( ; c ,3 ^ ) - ^ |< e ,
hacsak a P{ x , y ) pont a io(-^o>>^o) P^nt 5 -környezetében van. A határérték jelölése: lim f ( x , y ) = A. X-^Xq
y~^yo
f ( x ^ , x 2 ,...,x „ ), vagy általánosan: / :R” -> R . A kétváltozós függvény felülettel való ábrázolását megkönnyíti a felület főm etszeteinek ábrázolása. Ezek olyan görbék, amelyek a felületnek a koordinátatengelyekre merőleges síkokkal való metszésekor keletkeznek. A z = konstans főmetszeteket szintvonalaknak nevezzük. Példa Ábrázoljuk a 2 z = x~ + y~ egyenlettel adott függvényt. Megoldás. A szintvonalak z = konstans, azaz x~ + y~ = 2c, egyenletű görbék, vagyis origó középpontú körök. Az x = konstans fömetszetek: 2z = c~ +y~ parabo lák, az y = konstans főmetszetek: 2z = x~ + szintén parabolák. A felület (forgási paraboloid) ezek alapján felvázolható (1.83. ábra).
pontban (helyen)
Ezt a határértéket kettős vagy totális határértéknek is nevezzük. A kettős határértéktől megkülönböztetjük a változónként egymás utáni, ún. kétszeres vagy iterált határértéket, melynek értelmezése: í \ lim lim f ( x , y ) ill. lim lim f { x , y ) y-^yo
X-^Xq y~^yo
A zárójelben levő határértékeket x szerinti, ill. y szerinti parciális határ értékeknek nevezzük. M egjegyzés. 1. Az egyik iterált határérték létezéséből nem következik a másik létezése, 2. Ha mindkét iterált határérték létezik, azok nem szükségképpen egyenlők.
104
Egy- és többváltozós függvények
3. Ha mindkét iterált hatái'érték létezik és egyenlők, akkor sem biztos, hogy a totális határérték létezik. Tehát a többváltozós függvény határértékét nem szabad változónkénti azaz kétszeres határértékképzéssel számítani. 4. A határérték létezéséhez nem szükséges, hogy a függvény a Pq pont ban is értelmezve legyen. Definíció. Az /
kétváltozós függvényt valamely
pontban foly
tonosnak mondunk, ha ott értelmezve is van, határértéke is van, és ez a határérték a / ’o(^O’J^o) pontbeli függvényértékkel egyenlő, azaz ha /(^o>>’o )= lim f { x , y ) . X-^Xq y-^yo Korlátos és zárt tartományon folytonos fóggvény itt egyenletesen folytonos. Korlátos és zárt tartományon folytonos függvény a tartományban felve szi maximumát és minimumát; sőt - ha a tartomány összefüggő akkor a függvény minimuma és maximuma közötti minden értéket felvesz. Az n-változós függvények esetén is hasonlóképpen értelmezzük a határ értéket és a folytonosságot.
105
1.5.2. Nevezetesebb felületek
Ez az egyenletrendszer a felület skaláris param éteres egyenletrendszere. Ha a paraméteres egyenletrendszerből kiiktatjuk a paramétereket, a felület F { x , y , z ) = 0 implicit alakú egyenletét kaphatjuk meg. A paraméteres egyenletrendszer ismeretében megadható a felület vektor egyenlete is: r ■=r{u,v) = [x{u,v), y{u, v), z{ i i , v) ) . A vektoregyenlet felírásakor azt az elvet követjük, hogy az origóból ki indulva „ismert” vektorokkal párhuzamosan haladva jussunk el a felület tetszőleges pontjába (lásd a következő pontban a henger- és kúpfelületnél). Példa írjuk fel az x~ + y ' + z" = a ' gömb paraméteres és vektoregyenletét. Megoldás. Válasszuk paraméterként az 1.102. ábrán levő Uq és Vq szögeket, de jelölje ezeket most u, 111, v. Ekkor a paraméteres egyenletrendszer; X = aco szíco sv
acoswsin V z - a sin u A paraméter kiiktatása itt annyiból áll, hogy mindhárom egyenletet négyzetre
1.5.
FELÜLETEK, FELÜLETI GÖRBÉK 1.5.1. Felületek megadása
emeljük és összeadjuk. A paraméterek ekkor kiesnek és a felület x" +y~ + -~ = a" egyenletét kapjuk. A vektoregyenlet: r = {acosucosv,acosusinv,asinu).
A gyakorlatban legtöbbször előforduló kétváltozós függvények képe a szó köznapi értelmében vett felület. Fogalmazhatunk úgy is, hogy a felület (felületdarab) kétváltozós függvény segítségével adható meg z = f ( x , y ) alakú egyenletével, ahol / a felület tulajdonságait hordozó függvény. A felület egyenletét gyakran F { x ,y ,z ) = 0 ún. implicit alakban írjuk fel. Ha az f
1.5.2. Nevezetesebb felületek a) A sík. Általános egyenlete: A x + By + C z - D = 0.
függvény egyszerűbb szerkezetű, akkor a függvény által meghatáro
zott z = f { x , y ) felület viszonylag könnyen vizsgálható. Bizonyos techni kai feladatok esetében célszerű a felület egyenletét param éteresen megad ni. A paraméter lehet szög, távolság stb. Felületek megadásához két paraméter szükséges. Legyenek ezek u és v. Ekkor a z = f { x , y ) egyenlettel adott felület egy lehetséges paraméteres egyenlete (egyenletrendszere): x = u, y = v, z = f ( u , v ) . Itt az u és V paraméterek az/fü g g v én y független változói. A felület álta lánosabb paraméteres megadása: x = x{u ,v),
y = y{u ,v ),
z - z { u ,v ) .
Vektoregyenlete: ( r - r o ) n = 0, ahol r a sík tetszőleges (x, y z) pontjához taitozó helyvektor, Tq a sík egy adott pontjához tartozó helyvektor, n pedig a sík normálvektora. Bővebben lásd az 5.1.5 pont d) alpontját és a [9] hatodik fejezet 6.8. pontját. b) Hengerfelület. Ha egy egyenest a térben egy görbe mentén önmagával párhuzamosan mozgatunk, akkor az egyenes hengerfelületet ír le. A görbét (mely lehet térgörbe is) vezérgöbének nevezzük, legyen ennek vektoregyenlete r = rg (w ).
Egy- és többváltozós függvények
106
Ha a mozgó egyenes (amely minden helyzetében alkotó) párhuzamos az e vektorral, akkor az 1.84. ábra szerint a hengerfelület vektoregyenlete: r = rg(w) + ve
1.84. ábra. Az e vektorral párhuzamos alkotójú hengerfelOlet
(-o o < v < + °o ).
Az egyenletben u és v paraméterek. E vektoregyenletnek megfelelő skaláregyenlet-rendszerből az w és v paramé terek esetleg kiiktathatók. H a a henger alkotói a z-tengellyel párhuzamosak, akkor a hengerfelület egyenlete; ^ ^ tetszőleges,
ahol az /(x,_y) = 0 egyenlet a hengerfelület és a z = 0 sík metszés görbéjének az egyenlete. Hasonló a helyzet, ha az alkotók az a:- vagy az ytengellyel párhuzamosak.
1.5.2. Nevezetesebb felületek
107
Ha a kúp csúcsának helyvektora a, vezér görbéjének egyenlete r = Vg{u), akkor az 1.85. ábra szerint a kúpfelület vektor egyenlete: r = a + v(rg - a) (-°o < v < +<=o). Példa írjuk fel annak a kúpfelületnek az egyenle tét, melynek vezérgörbéje az j;“+ (z-2 )"= 4 ; x = - 3 kör, csúcspontja pedig az ^(1,3,5) pont.
1.85. ábra. Kúpfelület
Megoldás. A kör egy lehetséges paraméteres egyenlete: x = -3; így
j^ = 2sin2w; z = 4sin"w.
= ^-3, 2sin2w, 4sin"wj, tehát a kúpfelület vektoregyenlete: r = (l, 3, 5) + v ^-4 ,2 sin 2w -3,4sin"w -5j.
Példák 1. Az X' + 2z~ =4 (y tetszőleges) egyenlet egy, azj-tengellyel párhuzamos al kotójú elliptikus henger egyenlete. 2. írjuk fel annak a hengerfelületnek az egyenletét, amelynek vezérgörbéje az x = t; y = ^ t ~ \ z = - l parabola, alkotói pedig párhuzamosak az e = (-l,2,4) vektorral. Megoldás. A t = u jelöléssel V g = ^ , ^ u ~ így a parabolikus hengerfelület vektoregyenlete: r = { u , ^ u ~ , - \ + v (-l,2 ,4 ). A paraméteres skaláregyenlet-rendszer: x =u -v ,
y = ~u~ +2v,
z = - l + 4v.
A paramétereket kiiktatva, a felület implicit egyenlete: 3 2 j-1 6 (z + l)~(4x + z + l)^ = 0 .
d) Csavarfelület. Ha egy félegyenes, amelynek kezdőpontja a z-tengelyen van, a z-tengely körül állandó Cü szögse bességgel forog és arra mindig merő leges, és közben a z-tengely irányába állandó c sebességgel emelkedik, akkor csavarfelületet ír le ( 1.86. ábra). (A z-tengely szerepét természetesen az a:- vagy az ;^-tengely is, sőt más egye nes is átveheti.) Az ábra alapján, az (üt = v jelöléssel, a felület vektoregyen lete'. r = MCOSV, MSmv, — V (0 vagyis a param éteres egyenletrendszer. x = ucosv;
v = wsinv;
z = — v. (0
A paraméterek kiiktatásával z = / (x ,y ) alakú egyenletet kapunk: c) KúpfelUlet. Ha egy egyenest egy görbe mentén úgy mozgatunk, hogy közben minden helyzetében állandóan átmegy egy rögzített ponton, akkor az egyenes kúpfelületet ír le. Az egyenest minden helyzetében alkotónak nevezzük. A rögzített pont a kúp csúcsa, a görbe pedig a kúp vezérgörbéje.
c
V
z = — arctg—. (0 E csavarfelület a csavarvonal normálisaiból alkotott felületként is szemlél tethető.
108
Egy- és többváltozós föggvények
1.5.3. M ásodrendű felü letek
A csavarvonal érintőiből alkotott felületet evolvens-csavarfelületnek nevezzük. Vektoregyenlete: r = (a(cosM - vsinw), a{sm u + vcosw), b{u + v)) (a és b állandók). M egjegyzés. Az eddig tárgyalt felületeket vonalfelületeknek is nevez zük, mert egyenes mozgatásával állíthatók elő. Általánosabb vonalfelületek egyenlete az előbbiekhez hasonlóan állítható elő.
109
1.5.3. M ásodrendű felületek Azokat a térbeli alakzatokat, amelyeknek egyenlete derékszögíí koordináták ban másodfokú, másodrendű felületeknek nevezzük. Általános egyenletük: ci\ \X~ + l a \ 2 x y + ci22y~ + 2öj3a:z + 2ü22,yz +
+
+2űíj4X + la o ^ y + 2a34Z + Ű44 = 0, é) Forgásfelületek. Ha egy síkgörbét egy, a síkjában fekvő egyenes körül íorg2Limk, forgásfelület keletkezik. Forgassuk az { x ,z) síkbeli z = / ( x ) görbét az-tengely körül (1.87. ábra). Az ábra szerinti (p, z) síkba forgatott görbe egyenlete z = / ( p ) . Mivel pedig p = ^lx^ + y ~ , ezért a keletkező forgásfelület egyenlete:
ahol a másodfokú tagok együtthatói nem lehetnek mind nullával egyenlők. Ha megállapodunk abban, hogy vagyis
^ik ~ ^ki 2űfj2 = űí]2 + 021; 2 a \ 2 —( ^ 1 2 + ci-i]
ih k = 1,2,3,4), stb.,
akkor a felület jellemezhető az együtthatókból alkotott z = f ^ x ' + y - ).
z= f{x)
^ y - +z~ = f i x ) . Hasonló összefüggés érvényes az _y-tengely körüli forgatás esetére is. A forgatott görbét meridián-görbének nevezzük.
1.87. ábra. Forgásfelület származtatása
^12 <^14 A = Ö2I ^22 ^23 ^24 ^31 <^32 ^^33 «34 .041 a 42 O43 Ö44
A z = f { x ) görbe jr-tengely körüli forgatásakor a keletkező felület egyen lete:
Példák 1. írjuk fel az y = x~ parabola a:- és ytengely körüli forgatásával keletkező felü letek egyenletét. Megoldás. A parabolát az :r-tengely körül forgatva, a kapott forgásfelület egyenlete; ^y~ + z~ =x~, az>^-tengely körül forgatva pedig: y=x~+z~ (forgási paraboloid). 2. Melyik görbe forgatásával keletke zett a (z + 1)‘ =x~ +y~ felület? Megoldás. A felület z-tengely körüli for gatással keletkezett. Ha a felületet elmetszszük az 3^= 0 síkkal, megkapjuk a meridi ángörbét; {z + \ f = x ~ , azaz z = ± x - \ . Ez egyenespár egyenlete és így a felület forgáskúp (1.88. ábra).
negyedrendű szimmetrikus mátrixszal. A felület osztályozásához szüksé günk van ennek a mátrixnak D determinánsára és az a 4 4 elemhez tartozó Ö44 aldeterminánsra: <^11 ^12 "13 "14 £) = "21 "22 "23 "24 "31 "32
" 3 3
" 3 4
"41 "42
" 4 3
" 4 4
"11 A i4 = "21
«I2
"13
" 22
"23
"31
"32
"33
Ha £>44 9Í 0, akkor a felület középpontos (ellipszoid, hiperboláid), ha pedig £>44 = 0, akkor a felület nem középpontos (paraboloid, henger stb.). Először azokat a másodrendű felületeket tekintjük, melyeknek közép pontjuk, ill. csúcspontjuk az origóban van, tengelyeik pedig egybeesnek a koordinátatengelyekkel. Ezeknek az egyenletét kanonikus (középponti, ill. csúcsponti) alakban adjuk meg. a) A gömb. Egyenlete: '? 9 9 9 x~ + y " + z~ = a ~ ,
ahol a a gömb sugara.
A z x ~ + y ~ + z ~ = Q egyenletet egyetlen pont (az origó) elégíti ki. Ezt az alakzatot pontgöm bnek mondjuk. Az x~ + y~ +z~ = - a “ egyenlettel definiált alakzatot képzetes gömbnek nevezzük (az egyenletet nyilván egyetlen pont sem elégíti ki).
Egy- és többváltozós függvények
110
b) A z ellipszoid. A háromten gelyű ellipszoid (1.89. ábra) egyenlete: 1 2 1 2C + 2L . + i 1 = i
a~
b~
c~
ahol az ellipszoid tengelyei nek hossza rendre la , 2b, 2c. H a két tengely hossza meg egyezik, akkor forgás-ellipszo1.89. ábra. Háromtengelyű ellipszoid
/í/ró/van szó.
1.5.3. M ásodrendű felületek
111
A kétköpenyű hiperboloid (1.91. ábra.) egyenlete: "> 2 7 ^ _ y ___2 i _ t 2 ,2 2 ’ a b c ahol a két negatív előjel bár melyik két változó előtt állhat. Ha é = c, akkor az egyen let kétköpenyű fo rg á si hiper boloid egyenlete. Forgásten gely a hiperbola valós tenge lye, egyúttal az ;c tengely.
1.91. ábra. Kétköpenyű hiperboloid
Példák Példa Az x~ + 2y~ + z“ - 8 = 0 egyenletű forgás-ellipszoid egyenlete. A kanonikus egyenlet ugyanis 4 tehát a tengelyek hossza rendre: 2VS = 4V2, 2V4 = 4, 2V8 = a J i . A forgásten gely azy-tengely.
1. Az x~ - y"^ + 2 z“ +2 = 0 egyenlet kétköpenyű hiperboloid egyenlete. A ka nonikus egyenlet ui.: - 4 - + 4 - - Z " = 1. 2 2 2. Az - 3y~ + 27 = 0 egyenlet egyköpenyű forgási hiperboloid egyenlete. Forgástengely az xtengely. A kanonikus egyenlet:
Itt is beszélhetünk pontellipszoidról, ill. képzetes ellipszoidról, melyek egyenlete: . a~
0
+ ^ = 0 , ill. ^ + ^ + - ^ = - 1. C a" 0 c"
c) Hiperboloidok. Az egyköpenyű hiperboloid (1.90. ábra) egyenlete: ^;c + Z l _ Z l = i a b b~ c
1.90. ábra. Egyköpenyü hiperboloid
ahol a tengelyek hossza rendre 2a, 2b, 2c (az egyetlen negatív előjel bármelyik másik változó előtt is állhat). Ha a = ö, akkor az egyenlet egyköpenyü fo rg á si hiperboloid egyenlete. Forgásten gely a hiperbola képzetes tengelye, egyúttal a z-tengely. A centrumon átmenő, a forgástengelyre merőleges metszetgörbét torok körnek nevezzük. Az egyköpenyü hiperboloid vonalfelület.
27
9
9
d) Paraboloidok. Az elliptikus paraboloid (1.92. ábra) egyenlete: ? 2 ^ +^ =Z 2 1.2 a b Itt a paraboloid tengelye a z-tengely. A z vál tozót akár az x-, akár az j^-tengellyel felcserélve, x-tengelyű, ill. ;^-tengelyü paraboloidhoz jutunk. Ha a = Z), akkor forgásparaboloidról van szó.
1.92. ábra. Elliptikus paraboloid
A hiperbolikus paraboloid (1.93. ábra) egyenlete:
^
r
a 2 bi 2 ~ ^ ' Ez a felület vonalfelület, melyet nyeregfelületnek is nevezünk.
1.93. ábra. A hiperbolikus paraboloid
Egy- és többváltozós függvények
112 Példa
A = egyenlet forgásparaboloid, az x~ + y - 2 z ~ =ö egyenlet pedig hiperbolikus paraboloid egyenlete. é) Elfajuló másodrendű felületek. Másod rendű kúp (1.94. ábra); ^
=0
+ Z___^ b
1.5.3. M ásodrendű felületek
113
Valós metsző síkpár (1.97. ábra); 9 y2 ^ = 0, z tetszőleges. a~ b~ Párhuzamos síkpár (1,98. ábra); 2
” = 1, y , z tetszőleges. a~ Képzetes párhuzam os síkpár.
c = -
1.
Ha a = í), akkor forgáskúpról van szó. Elliptikus henger (1.95. ábra): 2
“
2
+^
= 1, z tetszőleges.
b~
Kettős sík: — = 0 , y , z tetsz. o~ Parabolikus henger (1.99. ábra); y" = 2 p x ,
1.97. ábra. Metsző síkpár
z tetszőleges.
Képzetes elliptikus henger. 1.94. ábra. Forgáskúp
1
2
ö-
b~
Képzetes síkpár, mely egymást valós egyenesben, a z-tengelyben metszi; 9 2 a'
Hiperbolikus henger (1.96. ábra);
b~
^ - ^ = 1, ztetszőleges, a" b~ 1.98. ábra. Párhuzamos síkpár
1.99. ábra. Parabolikus henger
/ ) Általános helyzetű másodrendű felület. Ebben az esetben a felület alakjának és helyzetének megállapítása érdekében a koordinátarendszert el kell tolni, ill. el kell forgatni úgy, hogy a felület középpontja, 111. csúcs pontja a koordinátarendszer kezdőpontjába kerüljön és tengelyei párhuza mosak legyenek a koordinátatengelyekkel. Ha a felület egyenletében „vegyes szorzatos tag” is szerepel (xy, xz, yz), az annak a jele, hogy tengelyei a koordinátatengelyekkel nem párhuzamo sak. A felület tengelyeinek irányába mutató, egymásra merőleges egység vektorok legyenek; s, = a , i + p | j + Yik
s, = a 2 ’ + P2Í + Y2l^
S3 =a3Í + P3j + Y3k.
1.95. ábra. Elliptikus henger
Egy- és többváltozós függvények
114
Ezeket a vektorokat sajátvektoroknak nevezzük. A koordinátarendszert úgy akarjuk elforgatni, hogy a felület tengelyei az s^, St , s ^ vektorok irányába mutassanak. H a ez bekövetkezik, akkor a felület egyenletében „vegyes szorzatos tagok” már nem lesznek. A koordináta-transzformá cióknál (lásd az 1.1. l 2. pontban) az x, y, z régi és új koordináták közötti összefliggéseket felhasználva (behelyettesítve azokat a felület egyen letébe), az Sf sajátvektor tt], pj és Yj együtthatóira a következő homogén lineáris egyenletrendszert kapjuk;
+(Ö22 +<^2371 ~ 0 ajitt] + a^2 Pl + (<^33 “ ^)Yi “ 0-
Legyen a felület nem középpontos, azaz
= 0. Ekkor legalább egy
sajátérték nulla. Legyen X3 = 0. Ebben az esetben a forgatás után a másodfo kú tagok együtthatói X], Xi és 0 lesznek. Az új lineáris tagok együtthatóit a régi lineáris tagok együtthatóiból számíthatjuk úgy, hogy a forgatási transzformációt csak azokra nézve végezzük el. Az állandó tag nem változik. Ezu tán eltolást végzünk úgy, hogy esetleg csak egy lineáris tag maradjon.
Megoldás.
Teljesen hasonló egyenletrendszert kapunk 5, és s^ együtthatóira is. A X (egyelőre ismeretlen) számot sqjátértéknek nevezzük. Ennek a homo gén egyenletrendszernek akkor van a triviálistól különböző megoldása, ha a i2
II.
Példák 1. A 2x~ + 6 y~ +2z" + 8xz-4.x-8>’+ 3 = 0 milyen felület egyenlete?
(<3|] - / ^ ) a ] + ö i2p| +fli3Yi = 0
a ii~ X
15
1.5.3. M ásodrendű felületek
4 -2 0 -4 = -72 ^ 0. Ö 44 0 2 0 -2 -4 0 3 A felület tehát középpontos és nem elfajuló. A karakterisztikus egyenlet: 2
2 0 4 0 6 0 = -72; 4 0 2
0 D= 4
2 -X
a^
- 0. ^22 ^ ^23 <^32 ^33 “ ^ Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük, mely A-ra néz ve harmadfokú. Mivel a D 44 determináns szimmetrikus, mind a három
0
^21
gyök (X,i,X2,A,3) valós. Igazolható, hogy £>44 = X,i■A,, ■X3. Az egyik gyö köt visszahelyettesítve az egyenletrendszerbe, annak megoldásával meg
4
6
0 6
4 0 -X 0 =0. 0 2 -X
Ennek gyökei; X, = 6, X-, = 6, X^ = -2. Mivel
L'44
= 1, a felület egyenlete el-
forgatás és eltolás után: 6 u~ + 6v~- 2 w~ + 1 = 0 azaz - 6 u~ - 6v“+2w" = 1. A felület tehát ív-tengelyű, kétköpenyű forgási hiperboloid. Középpontja:
kapjuk tt], P] és Y] értékét. Ezeket úgy választjuk, hogy a ] +(3j +Yí =1 legyen. Ezzel megkapjuk í] koordinátáit. A másik két A értéket is visszahe lyettesítve az egyenletrendszerbe, ugyanígy kapjuk 5, és
koordinátáit. A
sajátvektorok ismeretében most már elvégezhetjük a koordinátarendszer elforgatását. Ezután elvégezzük a koordinátarendszer eltolását. E hosszadalmas eljárást lényegesen lerövidíthetjük: I. Legyen a felület középpontos, azaz Ű44 ^ 0 . A karakterisztikus egyenlet gyökei legyenek
X ,,
. Ekkor igazolható, hogy az elforgatott
és eltolt koordinátarendszerben a felület egyenlete: X-^lC A felület középpontja az M\
v” + X314’" +
a '44
D 4 ] DV42 a-j D'43 a^ ^ D^ aa aa D a 44 D i-'44
=0.
pont, ahol D4], Ű4, és Ű43 a
D deteimináns negyedik sorában levő elemekhez tartozó előjeles aldeterminánsok. Ebben az esetben tehát a sajátvektorokat nem is szükséges meghatározni.
2. Vizsgáljuk meg az x~-h2y" + 2 z~ + 2:g^+ 2xz+ 2x-2y-4z-l = 0 felületet. Megoldás. A karakterisztikus egyenlet; 1 1 -X 1 1 2-?^ 0 0 2~X 1
= 0.
Ennek gyökei; A,, =3, X, =2, X3 = 0. Innen látszik, hogy D44 =X, -X, ■A.3 = 0, tehát a felület nem középpontos (elliptikus paraboloid). A sajátvektor számítása; -2cti + Pi +Yi = 0 a i - p i =0 a ,- Y i =0
= 3 -hoz tartozó Sj
Innen a , =P, =Y[. Válasszuk ezek értékét - - n a k . így ugyanis s, egységvek tor lesz.
Egy- és többváltozós függvények
16
Ha az u és V paraméterek között egy összefüggést írunk elő, akkor az ennek megfelelően módosított egyenletrendszer olyan térgörbét definiál, amely rajta van a felületen. Ezt a görbét felü leti görbének nevezzük. H a például v = v{ií), akkor a felületi görbe param éteres egyenlet rendszere:
Tehát S] - - 7 = i + -L j4 --4 = k . Ugyanígy V I '’
. ---p-j 1 . -(---prk. 1 § =:--- J7=*ÍH ' Vő Vó-" Vő
V2
x = x (u ,v(u )),
A transzformációs egyenletek:
z = z{u,v{ii)),
r = r (« ,v (w )).
V6
V2 _ 1 í n+ _ L ^ ' V 3^ V2 76"Helyettesítsük be ezeket a felület eredeti egyenletében szereplő (csak) lineáris tagokba (a másodfokú tagok együtthatói ugyanis 3, 2 és 0):
’ ^ +- ^ r i + -^ C ^/2 ' V6
-4
-1
=
0.
3 ^ -+ 2 t|-
1 -0 .
1.5.4. Felületi görbék
y = y (u ( t),v ( t)) ,
z = z iu ( t) ,v ( t) ) ,
vektoregyenlete pedig r = r (w (0 ,v (0 ).
Ha a felület egyenletrendszeré ben az egyik paramétert állandónak tekintjük, vagyis pl. v = konstans,
pedig v-paramétervonalaknak is ne vezni. A param étervonalak a felü letet (végtelen sűrűn) behálózzák (1.100. ábra). Az r = r(«,v) felületen az paramétereknek megfelelő Pq Pont az
A felületi görbék elmélete nagy jelentőségű például a mérnök szerkesztői munkájában, de más területeken is. Szerszámok, fogaskerekek, csigák ter vezésekor szinte nélkülözhetetlen segédeszköz. Egymáshoz kapcsolódó gép elemek helyes kialakítása (a könnyű megmunkálhatóság, a kapcsolódás hatásfoka, a kenéstechnika stb. szempontjából) megköveteli a felületi gör bék elméletének ismeretét. Cl) Felületi görbék, param étervonalak (lásd még az 5.7,3. pontban is). Legyen a z = f ( x , y ) felület param éteres egyenletrendszere, ill. vektorz = z{ii,v),
x = x { u { t) ,v { t)\
z=f(x.y)
métervonalaknak, a v = vq görbéket
Most el kell tolni a koordinátarendszert úgy, hogy két lineáris tag és az állandó tag kiessen. Ezek után a felület egyenlete:
y = y{u, v),
A z u és V közötti összefüggést megadhatjuk param éteres alakban is, például így: u = u{t), v = v(/). Ekkor a felületi görbe egyenletrendszere:
akkor az így kapott felületi görbé ket param étervonalaknak nevezzük. Az u = uq görbéket szokás w-para-
Tehát a felület egyenlete elforgatás után:
x = x(u, v),
y = y{u,v{u)),
vektoregyenlete pedig V3
-2
117
L5.4. Felületi görbék
ill.
r = r(«,v)
u
= uq
l-lOO, ábra. Felület paramétervonalakkal
és v = Vq paramétervonalak metszéspontjában van.
Példa Az X' +y~ =a~ gömb egyik lehetséges vektoregyenletét kapjuk, ha para méterként az X és j változókat választjuk. Legyen x = u és y = v . Ekkor a gömb vektoregyenlete: r = r(w,v) = (w,v,± Va" -u~ -v ~ ). Az M= mq (konstans) paramétervonalak itt az x-tengelyre merőleges síkmetszetek (körök). A v = Vq vonalak pedig az >>-tengelyre merőleges síkmetszetek (LlOl. ábra). Legyenek most ugyanennél a gömbnél a paraméterek a geodéziában használatos u földrajzi szélesség és v hosszúság (a geodéziában ezt cp -vei és X -val jelölik).
118
Egy- és többváltozós függvények
119
1.5.4. Felületi görbék
r = (acosMcosv,acoswsinv,asin«).
Ezeket behelyettesítve akár a z = f ( x , y ) , akár g = g (x ,y ) egyenletbe megkapjuk a metszésgörbe paraméteres előállításában szereplő harmadik egyenletet. Legyen ez z = z(t). így a metszésgörbe vektoregyenlete:
A paramétervonalak most a szélességi és hosszúsági körök (1.102. ábra). Vq Az Mq = 4IL, V paramétereknek megfelelő Pq pont Tq helyvektora;
r = r(t) = { x ( t) ,y ( t) ,z ( t) ) .
Ekkor a gömb vektoregyeniete (lásd az 1.5.1. pontban);
ro = ' a J2 í . 2^ . a J2 Í . J2 Í .’ a J2 Í és vq = - j paramétervonalak tehát a Pq aV2 aVő a 4 l 4 ’ 4 ’ 2 metszik egymást. Az Mq=
pontban
Az így kapott görbe lehet a két felület érintkezési görbéje is, sőt lehet, hogy csak egyetlen pontból áll. Legyen most a két felület egyenlete vektorosan adva: r = ri(u ,v ), il!. r = r2((p,A,). A metszésgörbe pontjaira rj(w,v) = r2((p,?i). Ez a vektoregyenlet három skaláregyenletet ad, amelyben négy változó lép fel (u, V, cp és ). Elvileg bármelyik három változó kifejezhető a ne gyedik változó függvényeként. Ha pl. az u és v és cp változókat meghatá rozzuk A függvényében, akkor a z u é s v változókat visszahelyettesítve az r=r](w,v) egyenletbe, vagy a q> változót az r=r2((p,A.) egyenletbe, meg
1. 101. ábra. Gömb paramétervonalakkal
1.102. ábra. Gömb szélességi és hosszúsági körrel
írjuk fel most annak a felületi görbének az egyenletét, amelyre v = u. Ez a görbe azon pontok mértani helye, amelyek földrajzi szélessége és hosszúsága megegyezik (1.103. ábra). A görbe (az ún. Viviani-göxho) egyenlete; r = (a cos" w, acoswsinw, űfsinw).
kapjuk a két felület metszésgörbéjének egyenletét. Gyakran előfordul, hogy valamelyik koordinátatengellyel párhuzamos alkotójú hengerfelületnek és egy áhalánosabb felületnek a metszési görbé jét kell meghatározni. Ilyenkor a hengerfelületnek a koordinátasíkkal való metszésgörbéje egyúttal a keresett metszésgörbe vetülete. E vetületi görbé nek paraméteres alakját az általánosabb felület egyenletébe behelyettesítve, megkapjuk a metszésgörbe paraméteres előállításában szereplő harmadik egyenletet. Példák
L Határozzuk meg az x~ +y~ + z~ =a~ gömbfelület és az x~ -a x + y~ =0, z tetszőleges hengerfelület metszési görbéjét. Megoldás. Az x~ - a x + y~ =0 görbe, vagyis a hengerfelület metszésgörbéje az (x,y) síkkal, Y sugarú kör, melynek középpontja az (x, y) síkon, az
b) Felületek metszése. Legyenek adva a z = f { x , y ) és z = g ( x ,y ) felüle tek. A z f és g függvény értelmezési tartományának legyen nem üres közös része. A két felület csak itt metszheti (111. érintheti) egymást. Mivel a metszésgörbe rajta van mindkét felületen, pontjaiban a két függvényérték egymással egyenlő, azaz f { x , y ) = g { x ,y ) . Ez az egyenlet a metszésgörbe (.x,j^) síkra való vetületének az egyen lete. E vetületi görbe egyik paraméteres előállítása legyen: x = x {t),
y = y { t) .
pont. Ennek a paraméteres előállítása; x =acos~ t, y = a cos/sin/. Ezeket behelyet tesítve a gömb egyenletébe; ö"cos'*/ + a “ cos"/sin“/ + z" = fl", ahonnan z = a sm t. A metszésgörbe (1.103. ábra) vektoregyenlete tehát; r = r(t) = ^ízcos" acos/sin t, asin íj. 2. Határozzuk meg a 2z = x~ + y~ forgási paraboloid és a z = xy hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület) metszési görbéjét.
Megoldás. A vetületi görbe egyenlete; x~ + y~ = 2xy, azaz (x -> ’) '= 0 . Ebből y = x. Innen látszik, hogy a metszési görbe a szögfelezőre emelt vetítösikban van.
Egy- és többváltozós függvények
120
Az y = x vetületi görbe egyik paraméteres előállítása: x = t, y - t . Helyettesítsük
be ezeket pl. a z = xy egyenletbe. Ekkor z = r . A metszésgörbe vektoregyenlete tehát:
D
if f e r e n c iá l s z á m ít á s
Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez a görbe a két paraboioid érintkezési görbéje.
D ifr e re n c iá lh á n y a d o s , d éri váll M a g a s a b b re n d ü d e riv á lt K ö z é p é rté k té te le k D iíf e re n c iá l
L 'H o s p ita l szabályai
Függvények
v iz s g á la ta
Érintő, normális,
g ö rb ü le t
T a y io r poliiK'm, Taylor~sor P a r c !dl i > d !11<;reoc iálhányadós Telje*. Jiticí'.'oc
érintősík
Iranvnienti d-’nv :út 1.103. ábra. Gömb és henger metszési (áthatási) görbéje. F/v/űw/-görbe
K* Fv.ilitvti, ravL .r-form ula T ó b b t d í t i / 'í . íií.';2 \c n v
jlső érték e
II.
FEJEZET
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
2.1.
EGYVÁLTOZÓS FUGGVENYEK DERIVALASA
A matematikai analízisnek a differenciálhányadosokkal (deriváltakkal) és differenciálokkal (definíciójukkal, tulajdonságukkal, valamint konkrét meg határozásuk módszereivel) foglalkozó része a differenciálszámítás. Alap vető fogalmai, a differenciálhányados (derivált) és a differenciál a hatáiérték fogalmára épülnek. 2.1.1, A differenciálhányados és a derivált fogalma Legyen a valós /fü g g v é n y értelmezési tartománya Dj-, xq pedig az értel mezési tartomány valamely belső pontja. Az X -X
q
uj
alakú hányadost az f függvény .xq helyhez tartozó differenciahánya dosának, vagy különbségi hányadosának nevezzük. Definíció. Ha létezik az / függvény dósának
Xq hel yhez tart ozó kül önbségi h á n y
a-
Xq -bán véges határértéke, akkor ezt a Hm i W z i í í o ) X-^Xq X .Xq
határértéket a z /fü g g v é n y xq helyhez tartozó differenciálhányadosának nevezzük. Ekkor azt mondjuk, hogy f az xq pontban (vagy az xq helyen) diffe renciálható (deriválható).
Differenciálszámítás
124
A (*) határérték szokásos jelölése x ~ x q = h jelölés bevezetésével lim / ( ^ o + ^ ) - / ( ^ o )
(t.)
h
A differenciálhányados tehát a differenciahányados határértéke. Ha a (*) határérték nem létezik, akkor / n e k nincs jcq pontban differenciálhánya dosa. E k k o r/a z xq helyen nem differenciálható. H a / / / minden pontjában
2.1.1. A differenciálhányados fogalm a f i x ) = lim /í->o minden x esetén.
125
= lim h-^o h
n
= lim 0 = 0 h-^Q
2. Az f ( x ) = x" (n egész) függvény deriváltja: f ' ( x ) = n ■x"”‘, ui. y '“‘/í + 2n\IXit-2,2 h +...+ Ij~^o
,------- - l im n /,_>o
h"
h
differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy/ a. H halmazon differenciálható. x" '~h+ ...+
D efiníció. A nem üres H halmaz minden egyes xq e H pontjához rendel jü k hozzá/ XQ-beli differenciálhányadosát. Az így értelmezett valós függ vényt / deriváltfüggvényének (differenciálhányados-függvényének) vagy röviden deriváltjának nevezzük.
3. Az f { x ) = sin X függvény deriváltja: f ' { x ) = cosx, ui. (sin;t)' = lim
h-^0
+
^
h
2 sin |co sfrH -A ) ^
h-^0
H a a z / függvény deriváltja folytonos, az jcq helyen, ill. a H halmazon
/ '( . ) ,
fdx
,
2 Hasonlóan: (cosx)'= -sin x 4. A z/(.x ) = a''függvény deriváltja: f \ x ) = a''\na, ui.
dx ’
és az xq helyhez tartozó deriváltjának (vagyis / ' helyettesítési értékének) jelölései: lim
.= f \ x Q ) ,
h sin y
akkor azt mondjuk, hogy / az xq helyen, ill. a H halmazon folytonosan differenciálható. A z/fü g g v én y deriváltjának leggyakrabban használt jelölései:
= nx"
{a ^y = \im íL J l - a h-^Q h 5. Az előbbi példa alapján:
^X=Xq
dx
X=Xq
Igazolható, hogy h a / a z jcq pontban differenciálható, akkor ott folytonos is. A tétel megfordítása azonban nem igaz: a folytonosság nem elegendő a differenciálhatósághoz. Megjegyzés. 1. A differenciálhatóság értelmezésével egyenértékű az alábbi: Az/ függvény az xq helyen differenciálható, ha létezik olyan A állandó és olyan e függvény, hogy x e .D j esetén f { x ) - f { x Q ) = A{x-XQ) + t{x){x-XQ), és lim t{x) = 0. Ekkor nyilván A = /'( x q ) . 2. Konstruálhatók olyan folytonos függvények is, amelyeknek értelmezési tarto mányuk egyetlen pontjában sincs differenciálhányadosuk. Példák 1. Az f i x ) = c {c adott szám) függvény deriváltja: f ' ( x ) = 0, ui.
h
{e^)’ = e^\ne = e^ . \ ^ e \
ÉL
y \x Q ),
jj^ h^o
6. Az /(:c) = |x - Ij függvény az Xq = 1 helyen nem differenciálható, ui. a (**) alapján a l i m ^ ------ ü "
m
= H m h a tá r é rté k nem létezik. /)-40 n h~^o h
A differenciálhányados geometriai jelentése: Ha az / függvény grafikon
y^f(x)
jának (görbéjének) a P Í x q J í x q ) ) pont ban van érintője és az nem merőleges az abszcissza tengelyre, akkor a függvény nek az xq helyen van differenciálhányadósa, és az egyenlő a P pontra illeszkedő érintő iránytangensével, azaz /'(jc q ) =
2.1. ábra. Görbe érintője
= tgi3 (2.1. ábra). Megfordítva, ha az f ( x ) függvénynek van differenciálhányadosa egy ^0 helyen, akkor / grafikonjának van érintője a P{ xqJ { xq)) pontban, és ennek iránytangense / '( x q ) .
Differenciálszámítás
126
2.7.2. Differenciálási (deriválási) szabályok H a / = 1, akkor — _ = \g J
2.1.2. Differenciálási (deriválási) szabályok a) Állandóval szorzott függvény deriváltja. Ha / deriválható egy H halmazon, akkor annak állandószorosa is deriválható ott, és { c f) ' = c f '
tó ott, és
1. H a /( x ) =
2. Mivel tgX =
if+ g y = f'+ g ,
(tgJc) 3. Mivel
2. Ha /( x ) = x" sin X, akkor
, akkor
ezért deriváltja:
cosx
/_ (sinx)'cosx-(cosx)'sinx _ cos~x + sin~x (cosx)' cos“ x
1 cos" X
ezért deriváltja (th x )'- chx c h x -s h x -sh x _ ch“ x -s h ~ x ___ 1_ ch“ X eh" X c h 'x
Példák 1. Ha / ( x ) = 3x"+5sin;c + cosA', akkor / '( x ) = 3(;c“)' + 5(sinx)' + (cosA-)' = 3’2-x + 5cosA--sinx = 6A: + 5cosx-sin A-.
sinx + 3
f \ x ) = (^~)'(sinx + 3) - x“(sinx + 3)' ^ 2x(sinx + 3)-x~ cosx (sinx + 3)' (sinx + 3)"
i f g Y = f'- g +f- g ', vagyis összeg (különbség) tagonként deriválható, a szorzat deriváltját pe dig megkapjuk, ha az egyes tényezők deriváltját megszorozzuk a nem deri vált másik tényezővel és az így kapott részszorzatokat összeadjuk.
mi v e l / ' = (1 )'= 0.
Példák
(c e R ).
b) Összeg és szorzat deriváltja. H a / é s g értelmezési tartományuk közös részén deriválhatok, akkor az f + g összeg és az f ■g szorzat is deriválha
g
127
d) Összetett függvény deriváltja. Legyen a g függvény deriválható a H halmaz minden x p o n tjá b a n ,/ pedig minden g{x) helyen. Ekkor az f o g összetett függvény is deriválható a //h alm azo n , és
f ' ( x ) = (x~ y sin X+ X" (sin x)' = 2x sin x + x" cos x . U ° g ) ' = { f'° g )-g '. Kettőnél több tényező esetén ( / ■g- ■-vY = / ' •g-- • --v + / ■g '-.. •■v+.. . + / • g -.. .-v'.
A szabály rövidebb, formális és Leibniz-íüe írásmódja:
Az / = g =...= v esetében
{ f{ g { x ) ) ) ' = f ' { g ) ■g '( x ) = (n e Z ").
c) Hányados deriváltja. H a / és g értelmezési tartományuk közös részén deriválhatók, akkor az — hányadosfüggvény is deriválható ott (kivéve g azokat az x helyeket, ahol g ( x ) = 0 ), és ^f ]
ctg dx
Ezt az összefüggést láncszabálynak is nevezik. A szabály akárhány köz benső argumentumú összetett függvényre is érvényes, ha a differenciálha tóság feltételei teljesülnek. Példák 1. Ha h{x) = sinx'*, akkor f ( g ) = sin(g(x)) és g{x) = x \ akkor ^'(^) = f \ g ) •g \ x ) = cosg •4x^ = 4x^ ■cosx"*.
f'g -fg '
2. H a /( x ) = sin'* x = (sinx)'*, akkor / '( x ) = 4sin^ x•cosx. vagyis a számláló deriváltja szorozva a nevezővel mínusz a nevező deri váltja szorozva a számlálóval és e különbség osztva a nevező négyzetével adja a hányados deriváltját.
3. { e^ )' = e‘^ - a ^ a e ^ ^ 4.
=
=
Differenciálszámítás
128
2.J.2. Differenciálási (deriválási) szabályok
5. Mivel shx = y ( e ^ - e '"), ezért deriváltja;
2y
(shx)' = ~ (e " + e ~ ^ )- c h x .
Leibniz-íé\Q írásmódban;
Az összetett függvény deriválási szabálya alkalmazható az F { x ,y ) - 0 implicit (alakú) függvény deriváltjának meghatározásakor is. Ekkor azt kell figyelembe venni, h o g y y az x változó függvénye.
^ dy
l4 x
= — = —W • 2y 2vx
2. Ha j = Inx, akkor x = e^. A Leibniz-féh írásmódot használva; ^ = 4 - = — = - . tehát ( l n x f = l . dx ^ f,y X ' x dy
Példa Az {x~ +y~)~ ~ x “ + y ~ = 0 implicit függvényben y az x függvénye, tehát (y-y -2y'y'.
dx
129
3. Ha y = arcsin x, akkor x = sin
Az összetett függvény és a tagonkénti differenciálás szabályát al-
Az előbbi péJda mintájára
(arcsin xY = —^— = —= J = = = - = —...i ....... y ll - s i n ^ y
kahnazva; 2 (x^ + y ') - ( 2 x + 2 y y ') - 2 x + 2 y y ' = 0.
Ebből egyenletrendezéssel; ,
f ) L ogaritm ikus d eriválás. Legyen f az értelmezési tartományán pozitív és differenciálható fiiggvény. Ekkor a I n / fiiggvény is értelmezve van e halmazon és differenciálható is ott, deriváltja pedig
x(l~2x~ ~ 2y-) y(l + 2x~+y~)
(ln /W
e) In v erz függvény d eriv á ltja . H a / invertálható függvény és az a- helyen deriválható, továbbá f ' ( x ) ^ 0, akkor az / ható az = / (a) helyen és
inverz függvény is derivál
) '= ^ .
A I n / deriváltját az / függvény logaritmikus deriváltjának nevezzük. A logaritmikus deriválást olyan pozitív függvényeknél célszeríi alkalmazni, amelyeknek logaritmusa lényegesen egyszerűbb képletet ad. Például, ha az /fü g g v é n y többtényezős szorzat, törtkifejezés vagy {u{x)Y^^^ alakú. Ilyen esetben az f ' deriváltat a logaritmikus deriváltból fejezzük ki.
A szabály Leibniz-íé\Q írásmódban: dx dy
Példa 1
Ha f { x ) =
^ ' dx
és u pozitív az értelmezési tartományon, akkor ln /= v In u
és ( I n /) ' = = 1^ 1 = = (vlnw)' = v'lnw + v -^ , és így f
A fenti két formulát általában az
f ' = f - [ v ' \ n u + v — 1 = u { x ) v ' { x ) ' \ n u { x ) + v{x) • V
=
,
iü.
^
li J
^
H\ X)
= dy
g )
Ha az y{xy.==f{x) differenciálható függvény x~x{t), y=y{t) param éteres
alakban hasznosítjuk. Ekkor célszerű a függvényt y = f { x ) alakban felírni.
alakban adott, továbbá mindkét függvénynek van deriváltja ( - ^ , - ^ ) , me
Innen x = f ~ ^ { y ) .
lyeket paraméteres alak esetén többnyire x -tál és y -tál jelöljük, és ^ ^ 0 , dt akkor
Példák 1. A nemnegatív valós számok halmazán értelmezett f { x ) = f x
(azaz
y = J x ) függvény inverze x = f ~ \ y ) = y~. Mivel ( / \ y ) ) ={y~Y = 2y, ezért
Differenciálszámítás
130
2.1.3. Nevezetesebb függvények deriváltjai
131
Példa HaA: = acosí, y = bs\x\t, akkor x = -a ú n t , y = bcost, és így
2. táblázat m
/ 'W
= l._ ^ C O ^ :._ A c tg í, ^ ^ X -asm ? a ^ A derivált mindenütt létezik, ahol sin?
0. ( « > 0)
h) Polárkoordináta-rendszerben adott r=r((p) / dr deriválható függvény r = — állítja elő a (p=0
deriváltja nem
tengely és az érintő által
bezárt ű szög tangensét (2 .2 . ábra). Ha X és y a P(r,(p) pont derékszögű koor dinátái, akkor jc = r((p)coscp, 3^ = r((p)sin (p az
■= 1+ tg X
tgx ctgx
(x
Ic k )
paraméteres
shx
chx
egyenletrendszere és így az érintő iránytangense:
chx
sHa'
r = r({p) 2,2. ábra. Görbe érintője polárkoordináta-rendszerben
tgi3 =
függvény
görbéjének
y<9 _ y _ r'sincp + rcosíp _ r'tg(p + r X r'c0s(p-7'sin(p r'-rtg(p
Az érintő és az érintési pont rádiuszvektora által bezárt Cú szög tangensét a "ö = co + (p összefüggés felhasználásával kapjuk: _ yx >L£ = JL xx' + yy ' /
—
thx cthx
(x^O )
Inx
(x> 0)
log„x
(x> 0) (|x |< l)
_ asin(ptg(p + fl(l-cos(p) _ cos(p-cos2(p tg ű : ű s in ( p - a ( l- c 0s(p)tg(p sin2(p-sincp ’
asin(p
2sin 2 (p 2 _ = tg l 2■ • (0 O 2 sin ^co s-^
2.1.3. Nevezetesebb függvények deriváltjai A 2. táblázatban összefoglalóan megadjuk a legfontosabb elemi függvé nyek deriváltját. Ezek ismeretében, a deriválási szabályok felhasználásával, igen változatos összetételű függvények deriváltjai is előállíthatok.
= 1- th^ X
— ^ = 1- cth^ X sh^x
XIna
VT 1
Példa Az r = ű(l -coscp) kardioid egyenletéből r'-as'\na;>, és így
r
Ina
(N < i) arctgx
1+ x
arcctgx
1+ x^
arsh X = ln(x + Vx^ + 1) a rc h x s ln (x ± V x ^ -l) 2
1 -x
a rc th x s ^ ln -^ ^ 2 x -1
(x > l) (|x |< l) W > i)
±Vx^ - ; 1 -x ' í-x-
Differenciálszámítás
132
Példák Számítsuk ki az alábbi képletekkel megadott/függvények deriváltját! 1. f (x):= xyll + X' ; / '( x ) = Vl + x ' +x-
2x
_
2.1.4. Jobb- és bal oldali derivált
133
Innen f \ x ) = /( x ) ( ln /( x ) ) ' = (sinx)*^
- - s in x 'ln (s in x :)
l + 2x"
Vl + x ' 2. /(x ): =
■,
2.1.4. Jobb- és bal oldali derivált
X<1;
V l-x "
Legyen / egyváltozós valós fiiggvény, és tegyük fel, hogy az xq e Dj
-2x
pontnak van \ xq, xq + 5 [ jobb oldali, ill. ]xq ~5,a'o] bal oldali környezete,
/ 'W = 1 -x -
ahol 5 > 0. Azt mondjuk, hogy / az xq helyen jobbról, ill. balról derivál ható, ha
(x^kn^keZ):
3. /(x ); = ----- f - , 2 sin" X
X - Xo
_ -sinx'2sin~ x--cosx'4sinx cosx _ (2sin"x)“ 4. f ( x ) : = t g ~ - c t g ^ , f'(x) =
1
1
1+ cos~ x 2siir’ x
, { x >X q)
A' - .Xo
differenciahányadosnak létezik xq helyen (véges) jobb-, ill. bal oldali határértéke. A
(x* k ^ , k e Z y , 1
ill.
JC-^A'o+O
1
ill.
*^0
lim X—>.\'a—()
/(x )-/(x o ) X-A'o
alakban jelölt határértéket a z /fü g g v é n y xq pontbeli jo b b oldali-, ill. bal oldali differenciálhányadosának nevezzük. Az / függvény az xq e D f belső pontban akkor és csak akkor differen
S. f{xy. = ^ ^ J x ' +a~ + - ^ \n [ x + ylx~ +a~ 1+
ciálható, h a / Xq-beli jobb- és bal oldali differenciálhányadosai léteznek és
2x
-
egyenlők, azaz fl{x Q )= fl{x Q ). Ekkor ezt a közös értéket/ XQ-beli diffe 2yx~+cr 6.
/(x ):= a rc tg V x “
— JM = -,
x +yx~+a'
renciálhányadosának nevezzük:
( x > 1);
/_'(. xo) - / + ( xo) = / ' ( ao).
V x --1 Inx-
Ha fL{xQ) is és /+(a'o) is létezik, de
2x
2x
X In X
X --1 7. /(x ): = ^ - l n ( c t h f ) , (x>0); sh" X ^ sh X■sh~ X- eh X•2 sh X■cli x sh^ X
f{x)
y-m
az Xq helyen. Ilyenkor az
= f { x ) egyenle
tű görbének az xq helyen létezik jobb olda -1
e th | s h - | 2
sir X
8. /(x ): = (sinx)“ *’'', ahol az értelmezési tartomány azokból a valós számokból áll, amelyekre sinx nem negatív és x ^ { 2 k + \)n. Alkalmazzuk a logaritmikus deriválás szabályát. Mivel In /(x ) = cos x In sinx, így (In f ( x ) ) ' -
y
f l ( x Q ) ^ f+(xQ), a k k o r / nem deriválható
= - sin Xln(sin x) + cos X■ •cos x . smx
li, ill. bal oldali érintője és azok nem esnek egybe (2.3. ábra). Az ilyen pontot a görbe töréspontjának nevezzük. Megjegyzés. Ha az / fiiggvény xq hely
2.3, ábra. Görbe jobb oldali és bal oldali érintője (töréspont)
hez tartozó különbségi hányadosának határ értéke végtelen, azaz lim X->Xq
/(x )-/(X q ) _
X -X q
^_
vagy
/ ( x ) - / ( xq )
lim X -^ X
q
X -
X
q
Differenciálszámítás
134
2.1.5. M agasabbrendű deriváltak
akkor/ az ;co helyen nem deriválható. Geometriailag ez azt jelenti, hogy az / grafikonjához húzott érintő, ha létezik, merőleges az abszcissza tengelyre. Az / gráljának azon pontjait, amelyekben különböző előjelű, végtelen egyoldali differenciálhányadosok léteznek, visszatérőpontnak nevezzük (2.4. ábra).
jeleket, vagy a
d^f — dx^
135
d^f
d^f
dx^
dx^
dx''
szimbólumokat használjuk. Az «-edik derivált esetén az n számot a derivált rendjének is nevezzük. f{ n ) _
jelenti tehát / n-edrendű deriváltját, melyet
módon értelmezünk.
Állapodjunk meg abban, hogy a függvényt nulladik deriváltnak is, az / ' deriváltat pedig első deriváltnak is mondjuk. Ilyen módon az / függvény k-adik deriváltja. Azt mondjuk, h o g y /a z atq e Dj- helyen k-szor differenciálható, ha létezik f^ '^ \xQ ). H a az / függvény ^-adik deriváltja folytonos is az jcq helyen, akkor azt mondjuk, hogy / az xq helyen k-szor folytonosan differenciálható. 2.4. ábra.Görbe ;c-tengelyre merőleges érintővel (visszatérőpont) Példa
Példák 1. Ha f { x ) = a’‘, akkor
Az f ( x ) = ^ í ^ függvény Xq = 0 pontjában a jobb oldali különbségi hányados határértéke:
.=
Hm x->0+0 x - 0 a bal oldali különbségi hányados határértéke: lim
x-^xo+o
x->r()-0
X—>0-0
/ ' = cosx = sin(x + y ) ; / " = - sin X= sin(x + 7t); / ' " = -c o sx = sin(x + - ^ ) ;
X —0
2.1.5. M agasabbrendű deriváltak Tegyük fel, hogy a deriválható / egyváltozós valós függvény / ' derivált függvénye is deriválható. Ekkor f ' deriváltját f második deriváltjának nevezzük, és az
= sin X = sin(x + 27t);
/ " > = sin(x + ^ ) . 3. Ha := x(Ol (!■ paraméteres függvény, akkor v' = - ^ = = ^ , és y = y{0 j flfx dx x dt ayJ
vagy
dx~ szimbólummal jelöljük. (Az előbbit „ef kétvesszős”-nek, az utóbbit pedig „dé kettő e f per dé iksz a négyzeten”-nek olvassuk.) Hasonló módon értelmezzük a függvény harmadik, negyedik, ..., n-edik deriváltját, melyek jelölésére az K5)
/
In” a.
2. Ha /(jc) = sinX, akkor
Az/függvény grafikonjának P(0,0) pontja visszatérőpont.
/"
...; /^"^ =
=
X —Xq
X — Xq
/ ' = ű!*^lnű; f " = [a^ \nc^ =a^ln^a;
(«)
U (0 ; y =■ dx
U (o j dt
yx-yx X-
yx-yx
dt 4. Ha / ( x ) = «(x)-v(x), akkor f
= m'v + wv';
f " = u"v + u v ' + u v ' + uv" = u 'v + 2u'v' + uv".
Differenciálszámítás
136
2.2.1. Középértéktételek
137
Teljes indukcióval igazolható a szorzatfliggvény n-ediic deriváltját előállító ún. Leibniz-fé\e képlet:
Geometriailag a tétel azt fejezi ki, hogy a feltételt kielégítő / függ vényhez található ]a,6[-ben olyan
n'] (II) \uv^ . n)
^ hely, hogy az / grafikonjának a P ( ^ ,/ ( ^ ) ) pontban van érintője, és
V2.V
5. Ha f { x ) = e'^ , akkor =
rW
= 2e'®'......... / ' » “) « =
2.6. ábra. A Lagrange-féle középértéktétel geometriai jelentése
6. Ha f { x ) = x - \ akkor / '( x ) - 2 5 x “^
2.2.
ez az érintő párhuzamos az interval lum végpontjaihoz tartozó (ez,/(a)),
.
f''{x ) = 25-2A-x-\
f^-^\x)^2 5 \,
/< “ )(x) = 0.
(6 ,/ ( 6 ) ) pontokon átmenő szelővel (2.6. ábra). A tétel a helyett jc, b helyett j>c+ A, ^ helyett a' + 'dh helyettesítéssel az alábbi alakokban is használatos;
A DIFFERENCIÁLSZÁM ÍTÁS ALAPTÉTELEI 2.2.1. Középértéktételek ill.
a) Rolle-féle középértéktétel. Ha az egyváltozós v aló s/fü g g vén y az [a,b] zárt intervallumon folytonos és az ]a,b[ nyílt intervallumon differenciálha tó, továbbá az a és b helyeken egyenlő értékeket vesz fel, azaz f ( a ) = f ( b ) , akkor az ]a,b[ intervallumban van legalább egy olyan ^ hely, ahol/ deriváltja zérus, azaz / ' ( ^ ) = 0. Geometriailag a tétel azt fejezi ki, hogy a feltételt kielégítő /fü g g v é n y h e z található ]a,6[-ben olyan ^ pont, hogy az/ grafikon ^y=f{x) jának a P{i^,f{%)) pontban van érintője, és ez az érintő párhuzamos az x-tengellyel, egyúttal az ( a , / ( a ) ) , { b ,f( b ) ) végpontokat összekötő húrral is (2.5. ábra). A tétel következménye: Ha a Rolle2.5. ábra. ARolle-tétel tétel feltételeit kielégítő / függvényre geometriai jelentése f ( o ) = f { b ) = 0 is fennáll, akkor / két zérushelye között az f ' deriváltnak mindig van zérushelye. Ez a következ mény gyakran használható, az alkalmazások szempontjából igen fontos. b) Lagrange-féle középértéktétel. Ha az egyváltozós valós / függvény folytonos az [a,b\ zárt intervallumon és differenciálható az ]ű,ó[ nyílt intervallumon, akkor létezik legalább egy olyan ^ e \a,b\ hely. hogy f{b )-f{a ) h -a
^
f{x +h )-f{x ) = f'{ x +ű h \ h
0 < 'd < 1;
f{ x + h )= ^ f{ x )+ h n x + m .
0<Ű<1.
A tétel következménye: 1. Ha / kielégíti a tétel feltételeit és f \ x ) > 0, ill. f ' { x ) > 0 minden xe]a,b\ -re, a k k o r/a z ]a,b[ intervallumon növekvő, ill. szigorúan növelcvő. 2. Ha / kielégíti a tétel feltételeit és f ' { x ) < 0 , x e ]ű ',é [- re , a k k o r / az ]a,b[
ill. /'( .x ) < 0 minden
intervallumon csökkenő, ill. szigorúan
csökkenő. 3. H a /k ie lé g íti a tétel feltételeit és f \ x ) = 0 minden .x e]ű,Z)[-re, akkor/ ezen az intervallumon állandó. 4. Ha a tétel feltételeit kielégítő / függvény deriváltja korlátos az ]a,b[ intervallumon, a k k o r/is korlátos itt. 5. Ha a tétel feltételeit kielégítő két fü ggvény differenciálhányadosai minden x e [ a ,b '\ pontban egyenlők, akkor e két függvény csak egy állan dóban különbözik egymástól. c) Cauchy-féíe középértéktétel. Ha az egyváltozós valós f és g függvé nyek folytonosak az [a,b] zárt intervallumon és differenciálhatók az ]a,b[ nyílt intervallumon, továbbá g(a) ^ g(b) és g '{ x ) ^ 0 minden x e]a,b[-r
f'i^ ) g'(^) ■
Differenciálszámítás
138 2.2.2. A d ifferenciál
á) A differenciál fogalm a. A 2.1.1. pontban láttuk, hogy az ;ío helyen differenciálható / függvény f { x ) - f { x o )
megváltozása (növekménye)
felírható f { x ) - f( x Q ) = f'iX Q ) (x - xq) + e(j;)(.x - ;co) alakban, ahol
2.2.2. A differenciál
139
és R csúcspontokkal derékszögű háromszöget (ún. Ie//7níz-háromszöget) határoz meg, melynek befogói dx és dy (2.7. ábra). Mivel /'( .x ) = tg ű , ezért I y=f(x) d f = f { x ) d x = X g td x = dy. ' Innen látható, hogy az f \ x ) d x differenciál nem más, mint a függvény A y = f { x + d x ) - f { x )
j
növekményének az érintőig terje dő, azaz linearizált része. Ha \dx\ elég kicsiny, akkor Ay~dy,
lim e(x) = 0. A jobb oldal első tagja a változás „fő része”, a X-^Xq
második pedig az „elenyésző része”. A fő részt az / fiiggvény
helyhez
vagyis
tartozó differen ciálján ak nevezzük és d f vagy df{ xo ) módon jelöljük.
f { x + dx) - f { x ) - f \ x ) d x .
Ha bevezetjük az x - X Q = dx jelölést, akkor 2.7. ábra. Függvény differenciálja
d f = f'(x o )d x . A dx jelölést nem véletlenül vezettük be. Ui. az jí (identikus) függ vény differenciálja, azaz változásának fő része, bármely xq helyen: jr = 1-( j - a:o). Ezzel indokolható az /fü g g v é n y deriváltjának alakú (Leí6n/z-féle) jelölése, ill. a differenciálhányados elnevezés. Az előzőekből nyilvánvaló, hogy az / függvény .x helyhez tartozó diffe renciálja, amit egyszerűbben csak differenciálnak mondunk d f = f'{x )d x . A dx mennyiséget szokás a független változó növekményének mondani. A z/fü g g v én y magasabbrendű differenciáljait a d ' ^ f = d{d '^~^f) = /^^^ {x)dx'^
(k = 2,3,...)
c) A függvény közelítő érték én ek k iszám ítása. Gyakran előfordul, hogy az / függvénynek és deriváltjának az x = x q helyen könnyen kiszámíthat ju k az értékét, de az
xq
környezetében már e függvényértékek kiszámítása
nehezebb. Ilyenkor a A y ~ d y közelítést felhasználva az / függvény XQ+h helyen vett közelítő értéke f ( x o + h ) ^ f( x Q ) + f'iX Q )h
(*)
módon számítható, ha \h\ eléggé kicsi. Példák 1. Számítsuk ki V3654 közelítő értékét.
képlettel értelmezzük.
Megoldás. Meg kell határoznunk az f ( x ) = f x
Példák
helyen. Mivel f ( x ) és / '( x ) = -^-J=r értéke az Xq = 3600 helyen könnyen kiszá
1. Az / ( x ) = Vx függvény differenciálja: d f = —\=dx, második differenciál2Vx ja: d - f = 2.
1
dx".
Az X ^) = shx függvény differenciálja: d y ^ á i x d x , második differenciálja:
d^y = shxdx~. Használható a következő jelölés is: d(shx) = chxdx, d~{shx) = = shx(űtc)" b) G eom etriai jelentése. A z y = f { x ) egyenlettel adott görbe x abszciszszájú P pontjához húzott érintő, a P pontból az .x tengellyel párhuzamosan húzott egyenes, valamint az x + d x helyhez tartozó ordináta egyenes Q, P
függvény értékét az a: = 3654
mítható, ezért a (*) közelítő képletet használva, h = 54 helyettesítéssel: V3654 » 60 + y ^ ö " 5 4 = 60,45. (10“^ pontossággal: 60,44833) 2. Számítsuk ki a tg 46° közelítő értékét. M egoldás./(x) = tg x; Xo = 45°, tg45°=l, h = \° azaz 0,0175 radián: /(x ) = — cos" X
/ ' ( 45°) = ^ ^ ---- = 2, cos' 45°
tg46°» 1+ 2 0,0175 = 1,0350. A négy tizedesre pontos érték 1,0355.
tehát
Differenciálszám ítás
140
d) A függvény ill. a képlet hibája. M éréseink mindig tartalmaznak bizo nyos hibát, ami a mérőműszerek pontatlanságából is eredhet. Egy .x szám nak és xq közelítő értékének különbségét a közelítő érték hibájának nevez
2.2.3. L'Hospital-szabály
141
Az 5(x) függvény deriváltja dx
zük. Ha ismeretes, hogy \x - Xq] < d, akkor a d értéket az xg közelítő érték
Ax-^o Ax '
P ,/y = fM
A PRPi derékszögű háromszögből a
d abszolút hibakorlátjának, a -----hányadost relatív hibakorlátjának, s ennek
PPi húr hossza:
Xq
P P l= 4 (^ f+ {A y f.
100-szorosát: 1 0 0 - ^ értéket pedig százalékos hibakorlátjának nevezzük. ^o| Példa Egy vaspálca hosszát milliméter beosztású mérőléccel mérve 17,9 cm hosszú nak találjuk. A mérés hibáját nem ismerjük ugyan, de tudjuk, hogy az 0,1 cm-nél kisebb, tehát hibakorlátnak 0,1 cm -t vehetünk. A relatív hiba: ~
0,1
17,9
Bizonyítható, hogy a PPi ív és a PPi x + Ax
^
húr hányadosának határértéke 1. azaz fP i lim - 1. Mivel Ar->0 PP]
2.8. ábra. ívdifferenciál
0,1
= 0,56%. A százalékos hiba; =100' “ ............. 17,9
Ha a z /fü g g v é n y y .= f{ x ) helyettesítési értékét pontosan ki tudjuk szá mítani, de az .X érték mérési hibával adott, akkor a függvény |Ay| abszolút
As Ax
Ax
_ P P \ PP] _ PP\ PPi ' Ax PP^'
Ax
_ F p^ PP^
1+
Ax
ezért az s{x) deriváltja:
hibakorlátját közelítően a
|Ay| = \dy\ = 1/'(j:)||í/.x| = I/'W||Ax|
dx
képlettel számítjuk, ahol |Ax| az argumentum hibakorlátja. A relatív hibakorlát: =
Ay
y
amit a görbe ívdifferenciáljának nevezünk. Paraméteresen, azaz y = x(t), y = y { t) módon, ill. poiárkoordinátákkal, azaz r = r((p) módon adott görbe esetén:
A százalékos hibakorlát: - 1 0 0 ' Példa Számítsuk ki a kör területének meghatározásakor elkövetett relatív és százalékos hibakorlát közelítő értékét, ha r =76 és |Ar| = 0,2 cm. Megoldás. A függvény vagyis a kör területszámítási képlete t = ahol / a függő és r a független változó. A relatív hibakorlát: al
ÉL t
ds = ^ l + y' dx,
Innen
ÉL = |í/ln>^|, y
Ax->o Ax
alakban adott,
2 - 0,2
t r~K ^ A százalékos hibakorlát: 100 0,005 = 0,5%. é) ívdifferenciál. Az egyváltozós valós / függvény értelmezési tartomá
ds =
+(j>)“ dt,
ill.
ds = ylr~ +r'~ d(p .
2.2.3. L ’H ospital szabályai Két függvény hányadosának határértéke bizonyos feltételek esetén egysze rűen határozható meg az alábbi tételekben szereplő, űn. L 'Hospitaíszabályok segítségévei. 1. Tétel. Legyen / és g differenciálható a c hely valamely környezetében (kivéve esetleg a c helyet), és legyen itt g { x ) ^ 0 , ^ g \ x ) ^ 0 . Ha lim f (x) = lim g{x) = 0, akkor
nyán legyen folytonosan differenciálható. Görbéjének s=PPq ívhossza rögzített Pq esetén P-től és így a P pont x abszcisszájától függ, tehát 5'=s(a:). (2.7. ábra).
lim 4g{x) 4 = x--,c lim 4g 4ix)feltéve, hogy a jo b b oldalon lévő határérték létezik (L ’Hospital-szabály).
Differenciálszámítás
142
Ugyanez igaz, ha c bal oldali vagy jobb oldali környezetét tekintjük. Megjegyezzük, hogy ha a két szóban forgó függvény c-ben folytonosan differenciálható és akkor a jo b b oldalon lévő határérték létezik
2.2.3. L'Hospital-szabály 2. 3.
143
lim lim (lnA: In (l-x )) = ? x - > l- 0
n e ) -vei egyenlő. A tétel akkor is igaz, ha c a végtelenben van és g \c) lim / (x) = 0, Hm = 0. Ekkor tehát
Megoldás. A határérték 0 °o típusú, ezért pl. — típusúvá alakítva (az átalakítások közben létrejött típusokat zárójelben megadva): 1
Hm 4 4 = ;c^=o g (x )
lim (in x 'ln (l-x )} = lim ÍHÍl_iÖ.= üm -
lim iM , g ix )
;-> l-0
x - 4 1 -0
hacsak a jobb oldalon lévő határérték létezik.
=
Az ilyen típusú határértékeket, ha léteznek,
típusú határértékeknek
lim
x-41-0 \ - x
x(lnx)" ^ [4 ^ =
lim i l Ó E ± p l £ = o.
1 X --1 Megoldás. Formális behelyettesítéssel oo - oo típusú határozatlan alakot kapunk.
Megjegyzés. Az 1. tétel akkor is igaz, ha lim f { x ) = o<= (vagy - ° ° ) , és lim g{x) =
(vagy -o o ).
X-
Közös nevezőre hozás után ~ típusú alakra jutunk: lim
Ekkor — típusú határértékről beszélünk. oo
x - ^ c esetén, ha az
1
AT-^1-0
- 7
4. lim X-41
nevezzük.
M egjegyezzük, hogy az / ( ^ )
1
Inx
függvénynek akkor is lehet határértéke
5.
x -1
x“ - l
lim x^ = ? jr-4+0
Megoldás, A határérték 0° típusú. Legyen A - lim x^, akkor ;r->+0
fix ) ..hányadosnak nincs.
A tételeket kielégítő függvények esetén a L ’Hospital-szdbkXyi alkalmaz hatjuk minden olyan esetben, amikor formális behelyettesítéssel a követke ző ún. határozatlan alakok egyikét kapjuk:
ln .^ = lim ( x ln x ) = (0 (-o o )) = lim
x->+0
= lim — x->+0 I
x->+0 1
l i m (-x) = 0, x-^+0
tehát In ^ = 0 és így a függvény határértéke: A = e = 1. 0'
6.
0 ugyanis ezek mindegyike visszavezethető — típusú vagy — típusú ha tárértékek (határozatlan alakok) valamelyikére. A határérték kiszámításá hoz gyakran egymás után többször is alkalmazni kell a L ’Hospitalszabályt.
lim (ctgx)® x-»+0
=
?
Megoldás. Most oo típusú határozatlan alakról van szó, hogy használható alakra hozzuk, legyen A= lim (ctgx)®‘"^. Ekkor A--»+0 ln ^ = lim (sinx'Inctgx) = (0 ' °°) = l x->+0
i
x-^+0
m 1
= (—) = o°
Példák 1. i i m ^ = ? jr-40 X Megoldás. Mivel az x= 0 helyen a számláló és a nevező határértéke is 0, ezért: X—>0 ^
vO/
x~>0 (^)
x->0
cosx • = 1. 1
c tg x sin “ x 1 = hm ----------------- = hm x-)+0 -cosx J--4+0 ctg X ' cosx sin’ X
x-4+OcOS
X
Differenciálszámítás
144
2.3. Egyváltozós valós függvények vizsgálata
145
Monoton növekedés tétele. Legyen az / valós függvény az \a,b'\ zárt inter
7. lim x '-'^ = ? r->l
vallumon folytonos és az \a,b\_ nyílt intervallumon deriválható, továbbá
_L
Megoldás. A határérték 1“ típusú. Legyen A =
f ' { x ) > 0 i f ' { x ) > 0) minden x e ]a,6[-re. Ekkor / monoton (szigorúan
, akkor
monoton) növekvő az [a,b] intervallumon. M onoton fogyás tétele. Legyen a z / valós függvény az [a.b] zárt interval lumon folytonos és az ]a,b[ nyílt intervallumon deriválható, továbbá f ' ( x ) < 0 i f ' { x ) < 0) minden x e ]a ,/? [-re . Ekkor / monoton (szigorúan 2.3.
E G Y V Á L TO Z Ó S V ALÓS F Ü G G V É N Y E K V IZSG Á LA TA
Ebben a fejezetben a differenciálható egyváltozós valós függvények visel kedésére a függvény deriváltjaiból vonunk le következtetéseket. A középér téktételek következményeiként megemlített összefüggéseket is tételként fogalmazzuk meg. a) Függvény növekedése, fogyása, monotonitása.
monoton) fogyó az \a,b'\ intervallumon. Ha a differenciálható / függvény az 1 intervallumon szigorúan monoton növekedő (ill. fogyó), akkor / görbéjének minden olyan a e l helyhez tartozó érintője hegyes szöget (ill. tom pa szöget) alkot az .x tengellyel, amelyre f \ a ) ^ 0. b) Két függvény összehasonlítása. Legyenek az / és ^ valós függvények az [a,b] zárt intervallumon folytonosak, az ]a,b[ nyílt intervallumon diffe renciálhatók, továbbá f { a ) - g { a ) , és f \ x ) > g'(x), minden x e ]«,/)[-re.
Tétel. Legyen az f valós függvény differenciálható értelmezési tartománya valamely xq belső pontjában, és tegyük fel, hogy f'(x Q ) > 0, (/'(xq) < 0).
Ekkor f ( x ) > g{x) az '\a,b'\ balról nyílt jobbról zárt intervallumon.
E kkor/ az xq pontban szigorúan lokálisan növekedő, (szigorúan lokáli
Példa
san fogyó).
Hasonlítsuk össze az / ( x ) = ln(l + x) és g(x) = x - ^
Ebben a szigorú helyi növekedés (fogyás) tételében a megadott feltételek elegendők, de nem szükségesek. Például az f { x ) =
függvény az jcq = 0 helyen szigorúan lokálisan
növekedő, annak ellenére, hogy f ' i x ^ ) = 0.
fiiggvényeket a [O,fi]
intervallumon, ahol B tetszőleges pozitív valós szám, Megoldás. Mindkét függvény folytonos az adott zárt intervallumon, és differenciál hatók a ]0,5[ intervallumon, valamint /( 0 ) = g(0), A deriváltfüggvények: ,/'(x ) = Y ^ , g'(x) = 1-
X,
és mivel x >0 esetén l > l - x " = ( l- x ) ( l + x), így
A tételből következik, hogy h a / a z \x,b\_ nyílt intervallum valamely belső ^ helyén felveszi az intervallumbeli legnagyobb vagy legkisebb értékét, akkor / ' ( ^ ) = 0, hacsak/ differenciálható e pontban. Tétel. Legyen az / valós függvény differenciálható értelmezési tartománya valamely xq pontjában, és tegyük fel, hogy a)
f'{xo)> Q ,
f{ x )> f(x o ),
akkor létezik egy
minden xeK ^(xQ )-v a,
K^ÍX q)
környezet úgy,
hogy
és f ( x ) < f ( x Q ) ,
ahol
minden jc e K^(xQ)-ra, ahol x < .xq . b)
f'(x o )< 0 ,
f ( x ) > f(xo ),
akkor létezik egy
minden x e K ^(x Q )-ra ,
minden x e X’e(xo)-ra, ahol x > x q .
1+ x
■I - x minden xe]0,fi[-re, tehát a ]0,5[ nyílt intervallumon f ' ( x ) > g'(x),
ezért ln(l + x) > x - ~ -• c) Konvexitás, konkávitás, inflexiós pont. Definíció. A z / valós függvényt értelmezési tartománya \a,b\ részinterval lumán konvexnek mondjuk, ha / az ~\a,b\_ nyílt intervallumon folytonos és minden p , r & [a,ö]-re, p i ^ r esetén
K^(xq) ahol
x
környezet úgy, < xq,
hogy
és f ( x ) < f { x o ) ,
/ és konkávnak nevezzük, ha
p +r
/(p ) + / ( 0
146
Differenciálszámítás p + r
f
2
Geometriai szemlélet alapján az/ görbéje az ]a,b[ intervallumon alulról konvex ill. konkáv, ha tetszőlegesen választva ]a,6[-ben a p < q < r pon tokat, a grafikon megfelelő P, Q, R pontjai közül Q mindig a PR-húx alatt, ill. felett van. A függvény konvexitása, ill. konkávitása összefüggésbe hozható a görbéje „fölötti”, ill. „alatti” síkrész (ponthalmaz) konvexitásá val is. U i./k o n v e x az \a,b\ intervallumon, ha az y = f ( x ) , a < x < b görbe fölötti síkrész konvex (2.9. ábra). H a pedig ■.tó y=- f {x), a < x < b görbe alatti síkrész konvex, a k k o r/k o n k áv (2.10. ábra).
147
2.3. Egyváltozós valós függvények vizsgálata
A másodrendű derivált előjelváltásának vizsgálata helyett célra vezet a harmadik (esetleg magasabbrendű) derivált vizsgálata is. Erre vonatkozik a következő tétel. Tétel. Legyen az / valós függvény háromszor deriválható értelmezési tartománya egy jcq helyének valamely környezetében. Annak elégséges feltétele, hogy .xq inflexiós helye le g y e n /n e k : / " ( ^ o ) = 0 és / " '( ^ o ) ^ O Példák 1. Vizsgáljuk meg az f { x ) = ax"+ b x + c, a
0 függvényt.
Megoldás. f ' { x ) = 2ax + b. Ha a>0, akkor f \ x ) a ]-oo,+oo[ intervallumon szigorúan nő, tehát / görbéje alulról konvex, így a függvény is konvex. Ha pedig a < 0 , akkor f ' { x ) a ]-oo,+oo[ intervallumon szigorúan fogy, tehát ebben az esetben/ görbéje alulról konkáv, így a függvény is konkáv. f" { x ) = 2a 0, tehát a másodfokú racionális egész függvénynek nincs inflexiós pontja. 2. Vizsgáljuk meg az f { x ) = ax^ -\-b, függvényt. írjuk fel az inflexiós ponthoz tartozó érintő egyenletét is.
A differenciálható függvény konvexitásának, ill. konkávitásának szük séges és elegendő feltétele az első, ill. a második derivált segítségével is megfogalmazható. Tétel. Az \a,b\ zárt intervallumon folytonos és az ]a,6[ nyílt intervallumon differenciálható valós / függvény [a,Z?]-n akkor és csak akkor konvex, ha f'{x)'\a,b[-x\ szigorúan növekvő, ill. akkor és csak akkor konkáv [a,b]-n, ha f \ x ) \a,b[-n szigorúan fogyó. Tétel. Az \a,b] zárt intervallumon folytonos és az ]a,ö[ nyílt intervallu mon kétszer differenciálható/függvény konvex [a,b]-n, ha f " { x ) ]a,/)[-n
Megoldás. f' { x ) = 3ax~. H a a > 0 , akkor f ' ( x ) ]-°°,0[ intervallumon szigorúan fogy, tehát/ görbéje alulról konkáv, így a függvény is konkáv itt. / '( x ) a ]0,+o«[ intervallumon szigorúan növekvő, tehát/ grafikonja alulról konvex, így a függvény is konvex itt. Inflexiós pont ott lehet, ahol f" { x ) = 6ax = 0, vagyis az x = 0 helyen. Mivel f" '{ x ) = 6a¥=0, így x = 0 valóban/inflexiós helye és a P{0,f{0)]=P{0,b) pont /inflexiós pontja. Mivel /'( 0 ) = 3a 0“=::0, így az inflexiós érintő iránytangense 0. Az érintő tehát párhuzamos az x tengellyel,/görbéjének P(0,b) pontjára illeszkedik és ott metszi is a görbét. Egyenlete: y = b . A vizsgálatot hasonlóan végezhetjük a<0 esetben is. Megjegyezzük, hogy egy «-edfokú (n > 1) racionális egész függvény inflexiós helyeinek száma legfeljebb n - 2 .
mindenütt pozitív, ill. konkáv [<3,Z)]-n, ha f"{x)'\a,b\_-n mindenütt negatív. Definíció, Ha valamely görbének a P pontjában van érintője, és ez az érintő metszi is a görbét a P pontban, akkor a P pontot a görbe inflexiós pontjának, a P pontbeli érintőt pedig inflexiós érintőnek nevezzük.
d) Helyi szélsőértékek. Gyakori feladat, hogy egy függvény értelmezési tartományán vagy annak egy részén meg kell határozni a legnagyobb vagy a legkisebb függvényértéket. Definíció. Legyen / valós függvény, és xq e D f
egyben / értelmezési
Más megfogalmazásban azt mondjuk, hogy x^ d x f függvény inflexiós he
tartományának torlódási pontja. A zt mondjuk, hogy / az xq helyen szi
lye és / ’(xq,/(a:o)) a. görbe inflexiós pontja, ha az .xq helyen a görbe kon
gorú lokális (helyi) maximumot vesz f e l if-ndk. szigorú lokális (helyi) maximuma van), ha létezik olyan K környezete, hogy minden
vexből konkávba megy át vagy fordítva, vagyis, ha f " { x ) itt előjelet vált.
148 X G
Differenciálszámítás Dl' n^\{;>í:o} esetén
f{ x ) <
/(jcq)>
s z ig o r ú lo k á lis (helyi) m i n i m u m a
149
2.4. Érintő, normális így az /
y,
függvénynek az X]=2 helyen
16 3
maximuma, az Xo=-2 helyen minimuma
pedig akkor van, ha minden x e D f r \ K \ { x Q ] esetén / (a') > / (aq) •
y = 4x
van.
Ha a tételben f ( x ) < f ( x Q ) helyett f { x ) < f { x Q ) , ill. f { x ) > f { x Q ) helyett f { x ) > f { x o ) reláció szerepel, akkor azt mondjuk, hogy/-nek lokális
Inflexiós po n t^
/ ™ ,= / ( 2 ) = ' ' - 2 - y = - x ;
(helyi) nem szigorú maximuma, ill. minimuma van. A lokális maximum és minimum közös elnevezése lokális szélsőérték, xq pedig lokális szélsőértékhely. A lokális (helyi) jelzőt gyalci'an elhagyjuk. Legyen az / valós függvény értelmezési tartománya nem egyelemű halmaz. Azt mondjuk, hogy /-n ek valamely x q e D f helyen s z i g o r ú abszolút maximuma, ill. minimuma van, ha f { x ) < f { x Q ) , ill. minden A:GDyr\{A:o} esetén f { x ) > f { x Q ) . Az f i x ^ )
értéket az / függvény
\2 a/3^ Inflexiós pontok meghatározása: f" { x )= -lx . A - l x - 0 egyenlet gyö ke: x = 0. Mivel f ' " = - 2 * 0 , így az jc = 0 az/inflexiós helye. Az inflexiós pont ordinátája: / i n f = / ( 0 ) = 4 - 0 - - ^ = 0.
szigorú abszolút maximumának, ill. minimumának nevezzük. Tétel. Ha a valós / függvénynek az xq e D f helyen szélsöértéke van, akkor
2 . 1:
Az inflexiós érintő iránytangense:
ábra. Az /(x )= ^ 4 x - —
szélsőértékhelyei és inflexiós pontja
/'(0 )= 4 ;
/ V o ) = 0. A tétel megfordítása nem igaz. Az f ' ( x ) - 0 egyenlet valós gyökei akkor
az inflexiós érintő egyenlete: y = 4x (2.11. ábra).
és csak akkor szélsöértékhelyek, ha e helyeken f ' előjelet vált; mégpedig / -nek maximuma van, ha f ' pozitívból negatívba, minimuma van, ha f negatívból pozitívba megy át. Ha / «-szer folytonosan deriválható, akkor inflexiós helyei és szélsőértékhelyei a magasabb rendű deriváltak segítségével is kiválaszthatók.
2. Vizsgáljuk meg az f { x ) - x ^ - x ^ függvényt. Megoldás. A szélsőérték meghatározása: f \ x ) = Ax^-5x^.
Tétel. Legyen az / valós függvény n-szer folytonosan deriválható az Xq pont valamely környezetében ( n > 2 ) , és
x^(4-5jc) = 0, Xi_2,3=0, ^ 4 = j - Ezek
/ ' ( xq) = f " ( x Q ) = f " '( x Q ) =...=
= 0, d e /^ ”^(xo)
0.
Ha n páros, vagyis az első zérustól különböző derivált párosrendü, akkor
A 4 x ^ -5 x " '= 0
egyenlet gyökei:
lehetnek / szélsőértékhelyei. Mivel f " i x ) = \2 x" -2 0 x^ és /" (0 ) = 0, f " '( x ) = 24x-60 x-, f'"(0 ) = 0, f^ '^ \x ) = 2 4 - U 0 x , / " ^ \ 0 ) = 24>0 továbbá
az /fü g g v én y n ek az xq helyen szélsőértéke van, mégpedig f^''‘\ x Q ) > 0
/ " ( - i ) = -2,56 < 0, így az/ függvénynek az x = 0 helyen minimuma van, az x = y
esetén minimuma, f ^ " \ x Q ) < 0
helyen pedig maximuma van. (2.12. ábra.)
esetén pedig maximuma. Ha n páratlan,
akkor jcq a függvénynek inflexiós helye. 2.4.
Példák
É R IN T Ő , N O R M Á L IS
3
L Vizsgáljuk meg az /( x ) = 4 x - ^ függvényt. Megoldás. Szélsöértékek meghatározása: f ' { x ) = A -x^. A 4 - x ~ - 0 egyeniet gyökei: X |=2, / szélsőértékhelyei. Mivel /" ( x ) - - 2 x
és
/" (+ 2 ) = -4 < 0 ,
a) É rin tő , norm ális. Legyen a valós / függvény differenciálható az Xq g D f helyen. A z y = f (x) egyenletű görbe P(xQ,yQ) pontjához tartozó Ezek lehetnek /" ( - 2 ) - + 4 > 0 ,
e érintőjének egyenlete (2.13. ábra): y-y Q = y \x Q ){x -X Q )
ahol
/( ^ o ) = /V o )-
150
Differenciálszámítás Ugyanehhez a P ponthoz tartozó n normális egyenes merőleges az érintőre. Ennek egyenlete (2.13. ábra): y-yo =-
1
Í X - X q)
b) Érintési paraméterek. A P pontbeli 2,13. ábra. Érintő, normális, érintési érintőnek T\ = P R irányított szakaszát tangensnek nevezzük, melynek előjeles paraméterek hossza a (2.13. ábra) alapján a PRQ háromszögből számítható (az Xq, koordináták helyett ,x-et és>>-t írva) y
T=
A T tangens tengelyre való Sj<=QR nevezzük, melynek előjeles hossza: '
tgi3
vetületét szubtangensnek
^
cosű
/•
és
rdip _ dr / (polárszubtangens),
S f = r •tgío
N* =
....
r r~ + r rd(p ds (polárnormális), sincű
S n = -tgcű
rd(p dr (polárszubnormális).
2,15. ábra. Leibniz-fék háromszög polárkoordinátás megfelelője
Példa egyenlettel adott görbe Xq - -1 abszcisszájú pontjához az írjuk fel az jv = — \ + x' érintő és a normális egyenesének egyenletét, és számítsuk ki e ponthoz tartozó érintési paramétereket. Megoldás. j^(-l) = i ; / = — ^ (l + x~)' Az érintő egyenlete:
Hasonló meggondolással a háromszögből a N:= P V normális és az S p ^ :-O V szubnormális irányított szakasz előjeles hossza:
151
2.5. Görbék érintkezése és görbülete
/(-!) =
= ^
y - ^ =^ ( x + l ) ,
ill, 3^= ^ x + l.
A normális egyenlete: y - ^ = -2(x + l),
=_y.tgi3 = j^ /.
y =-2 x -^ .
Érintési paraméterek:
Paraméteres alakban:
=
, S , = |. 2 = l;
N ^ * ' 2 ' 2 “ 4Polárkoordinátás alakban (2,14. ábra) az alábbi szakaszok hosszát vizsgáljuk:
T* = PR,
S*j=OR,
2.5.
GÖRBÉK ÉRINTKEZÉSE ÉS GÖRBÜLETE
N* = J V , S h = ÖV.
á) Görbék érintkezése. Tegyük fel, hogy a z f é s g valós függvények az xq
(A Leibniz-félQ háromszög polár koordinátás megfelelőjét a 2.15.
helyen (n + 1) -szer differenciálhatok. A z y = f (x) és y = g (x ) görbéknek az xq abszcisszához tartozó pont juk közös, ha /(^ o )= ^ (-^ o ); ha ezen kívül f'(xQ)= g'(xQ),
r r r I 2 , ,2 1 = ------- = —r - = — V r + r cosco ^ r ds rr*
2,14, ábra. Érintési paraméterek polárkoordinátás alakban
(polártangens),
akkor azt
mondjuk, hogy a két görbe ebben a pontban érinti egymást. Mégpe dig, ha / ( ^ o ) = g(^o)>
f ' ( x o ) = g'{xQ),
...,
=
de
Ti: g-*'”'*'^^(xo), akkor azt mondjuk, hogy a két görbe az xq
Differenciálszámítás
152
cisszájú közös pontban n-edrendben érinti egymást. (Lásd még a 2.6. pontot.) Ha n páros, akkor a görbék az érintkezési pontban átmetszik egymást. H a n páratlan, akkor az xq helyen a két görbe nem metszi egymást. Ha a két görbének a közös pontban van érintője és azok 5 szöget zár nak be egymással, akkor azt mondjuk, hogy a két görbe 5 szögben metszi egymást. Tehát két görbe metszési szögén a közös pontbeli érintőik által közrezárt szöget értjük. Ha a két görbe az ;co helyen metszi egymást és f ' ( x o ) = f»], g'(xQ) = W2, akkor metszési szögük tangense: tgS =
ffí2 - mi 14- m2/wi
yyt^ ffj. T- — 11. /ííjf/il
2.5, Görbék érintkezése és görbülete 2.
Számítsuk ki, hogy az jv =
milyen szögben metszi az kört (2.16. ábra).
görbe
+ y~ = l
Megoldás. A két görbe az origóban és az M (l,l) pontban metszi egymást. Az ori góban a metszési szög 90°. Az M pontban a kör érintője párhuza mos az X tengellyel, tehát =0. Az y = x^ görbe M pontbeli (vagyis az Xq = 1 helyhez tartozó) érintőjének iránytangense: m2 = 3 - r = 2. így fo ^— LgO — 3 -0
l + 3'O
= 3,
2.16. ábra. Két görbe metszési szöge
tehát 5 = 71°56'.
b) Sitnulókör, görbület. A gyakorlat számára érdekes az az eset, amikor két, egymást érintő görbe egyike kör.
egymást. Példák 1.
153
Vizsgáljuk meg, hogy az y = /, és y=gj valamint az y = f 2 és
görbék
az ;to = 0 helyen hányadrendben érintik egymást, ö) f\{x) = x^ és gi(x) = -;c^ 2 b) f 2 (x) = cosx és g2Íx) = \ - ^ . Megoldás. a) Mivel /i(0 ) = gj(0), ezért a két görbe 0 abszcisszájú pontja közös. A deriváltak; /i'= / , ' = 6x, f{"= 6 és gí = -3 x ', g"= -6x, g"'= - 6 , vagyis /i(0 ) = gt(0), fiXO) = gUO), f"(0) = g"(0), de /,T0) ^ gr(0) ■ Tehát a két görbe a 0 helyen másodrendben érinti egymást, azaz « =2. Mivel ez páros, ezért a görbék át is metszik egymást. b) Mivel /2(0) = g2(0), ezért a két görbe 0 abszcisszájú pontja közös. A deriváltak: /^'(x) = -s in x, f 2"(x) = -cosx, fi'ix) = sin;í:, f 2^^^{x) = cos a: és gí =
g'í =
g'íU) =
D efíníció. Az olyan kört, amely zz y = f (x) egyenletű görbét az xq absz cisszájú pontjában legalább másodrendben érinti, a görbe xq helyhez tar tozó símulókörének nevezzük. Tétel. H a a v aló s/fü g g v é n y az Xq helyen legalább kétszer differenciálha tó, és f " { x o ) ^ Q , akkor az y = f { x ) görbének a P{ xqJ { xq)) pontban egyértelműen meghatározott simuló köre van, melynek sugara:
• /l + / - ( x o ) P(^o) =
y
(^o)
középpontjának koordinátái'.
“ = ^ 0 ----- 7 ^(;co)
V = _y(xo) +
^
- psm i},
= y { X Q ) + p co sű ,
vagyis f'( 0 ) = 0 = g; (0), /,"(0) = -1 = g2(0). f{(0) = 0 = gr(0), de
/ 2W (0) = l ^ g 2("^(0) = 0.
Tehát a két görbe harmadrendben érinti egymást a 0 helyen, azaz « =3. Mivel ez páratlan, ezért a két görbe nem metszi át egymást.
ahol y{xo) = f(x Q ), y'(xQ) = f'{xQ ), y"(xQ) = f" (x Q ), ^ a P pontbeli érintő X tengellyel bezárt szöge (2.17. ábra). A P ponthoz tartozó simulókör a P pontbeli érintőnek ugyanazon olda lán van, mint a görbe.
Differenciálszámítás
154 A simulókört görbületi körnek, a kö zéppontját görbületi középpontnak, a sugarát pedig görbületi sugárnak is nevezik.
2.5. Görbék érintkezése és görbülete tebbnek mondjuk, minél nagyobb a Pq és P pontokhoz tartozó érintők által közrezárt A-ö szög (2.18. ábra). Definíció. A görbe P pontbeli g görbületén
Ha f " { x o ) = 0, akkor az y = f { x )
hányados (az ún. átlaggőrbület) ha
görbének az jcq helyen nincs simuló-
a
köre. Az x = x(t), y = y ( t ) paraméteres alakban adott görbe t = ÍQ paraméter
tárértékét értjük, ha a P pont a görbén tart a Pq ponthoz, azaz 2.17. ábra. Simulókör
hez tartozó simulóköre az . + v“ u = x - y — .— r:r xy-yx
2.18. ábra. As és A ű szemléltetése
g = lim A.v-»o Ay ' H a a görbe egyenlete y = f (x) és a
.2
y"M
. a: + V
3
(l +y'~ (xQ ))^ Innen látható, hogy a görbület abszolút értéke a simulókör sugarának reciprok értékével egyenlő, azaz
xy-yx
formulákkal határozható meg. Az x, y függvényeket és az x, y, x, y deri váltakat természetesen a íq helyen kell venni. A z r = r((p) polárkoordinátás alakban előállított görbék esetén pedig a formulák a következők: (r~ + r'~ )(r cosffl + r' sin cp) í/ = rco s(p --^ -------- 2 ^ — r + 2 r —rr ( r " + r '^ ) ( r s in ( p + r'cos(p) V = rsm 9--^=-------- --------- r-*-----------r~ + 2r'~ - rr"
Mivel a kör önmagának simulóköre, ezért a kör görbületének abszolút értéke (bármely pontban) sugarának reciprok értékével egyenlő. Példa Számítsuk kiaz y = x^ parabola P(2, 4) pontjához tartozó görbületét, írjuk t^l e ponthoz tartozó simulókör egyenletét is. Megoldás. y'(x) = 2x, y"(x) = 2, Xq = 2, így y'(xQ) = 4, y'\xQ) = 2. Tehát a görbület: g =
2,^/2 « r +2r - r r
c) G örbület. A görbület azt mutatja meg, hogy mennyire tér el a görbe az egyenestől. A görbe Pq és P pontok közötti As hosszúságú ívét annál görbül-
.....- =
(1+16)1 n t Mivel y{xo) = 2, ezért a simulókör középpontjának koordinátái: u = 2 - -^ ^ ^ ■ 4 = -32,
P=
Pq pont koordinátái jcq
f i x o ) = y{xQ), akkor
V = y + jv-------- r r xy-yx
p=
155
1 v = 4 + i = í ^ = - y , sugara pedig: P = | ^ = 172 2
Tehát a simulókör egyenlete: (x + 3 2 ) - + ( ; . - ^ ) - = i | Í . d) E voluta, evolvens. Tegyük fel, hogy az y = f { x ) egyenlettel adott g görbének minden egyes pontjában van görbületi köre. Azt a g görbe síkjá ban fekvő g* görbét, amely a g görbe görbületi középpontjainak mértani
Differenciálszámítás
156
^^ evolutájának, az eredeti g görbét pedig a g* görbe evolvensének nevezzük. Az evoluta a g görbe normáli sainak burkológörbéje, s így az evoluta érintői megegyeznek az evolvens nor málisaival.
Eredeti görbe, egyúttal g*evoivense
/"
^ 2,19. ábra. Evoluta és evolvens
Az evoluta paraméteres egyenletrendszere (a változókat ^ -vei és r\ -val, a paramétertx-szel jelöljük) (2.19. ábra):
14\+ ^ = jc - p s in -ö = :x----- ^ = y(-x) + pcos-d = y + ............................
■
2.6. Taylor-polinom, Taylor-sor , x~+y~ xy-yx
V = jy + - ^
157
•a{\ - cos?)
ű (l-c o s 0 +
= -2a.
-la " s,m~~
A görbületi kör egyenlete: {x - a n f+ {y + 2af=\6a~. Pa. evoluta egyenletét w és v ismeretében felírhatjuk; ^ = a(/ + sinO, T| = -a (l - cos/).
A z x = x(t), y = y ( t ) paraméteres előállítású görbe esetén:
,
^ -= x —
.7
.2 .2 .X + V .
.9
jc" + y xy-yx
...
xy-yx
.
Ez pedig az eredeti cikloissal azonos típusú ciklois, csak 2.1Q. ábra, Ciklois és evolutája az X tengely mentén - a n -vei, az y tengely mentén pedig -2a-val eltolt helyzetű (2.20. ábra).
A görbe r = r((p) polárkoordinátás alakú egyenlete esetén: .
(r " + r '" )(rc o s(D + r'sin(p)
^ = r c o s ( p - - -------- ^ r~ + l r ’~ - rr' ri = rsin(p
2.6.
,
9 9 / {r~ + r " ) ( r s i n ( p - r coscp) r “ + 2r “ - rr
Példa Számítsuk ki az x = a (t-sin t), y = a (\-c o s t) paraméteres egyenletű ciklois tQ = u paraméterértékű pontjához tartozó görbületét, majd írjuk fel görbületi köré nek, valamint evolutájának egyenletét! Megoldás.
x = asiní, y = acost.
i = ö(l-cosO , ^ = asiní;
.
tehát
3
4űfsin-j
.■2\2
TAYLOR-POLINOM , TAYLOR-SOR
a) Tayior poiinom. Gyakorlati számítási szempontból különösen jó tulajdonságúak a racionális egész függvények (polinomok). Sokszor célszerű nek látszik, hogy bizonyos feltételeknek eleget tevő függvényt - megadott feltételeket kielégítő pontossággal - polinommal közelítsünk, A 2.2.2. pontban bemutattuk, hogy miként lehet egy differenciálható / függvény értékét közelítően kiszámítani egy xq hely környezetében, az első deriváltat tartalmazó lineáris függvény felhasználásával. A közelítés hibája csökkenthető a függvény magasabbrendü deriváltjainak felhasználá sával. A legalább n-szer deriválható egyváltozós valós / függvénnyel az Xq helyen «-edrendben érintkezik a Pnix)=^CQ+Cx{x-XQ) + C2{x~XQ)-+...+C„{x-X Qf
S|/=jc
4a
n-edfokú poiinom, ha
A görbületi kör középpontjának koordinátái: c o = /(^ o ); . X +y u = x - y ——=” = ^ - y x
•űsin/
= ŰfTt,
tehát, ha
1
/!
n\
Differenciálszámítás
158
Definíció. Ha az egyváltozós valós / függvény az értelmezési tartományá nak egy belső ;cq pontjában legalább «-szer differenciálható {n e N),
2.6. Taylor-polinom, Taylor-sor
159
ahol a Lagrange-ít\Q maradéktag
akkor a alakú, a Cauchy-íé\Q maradéktag alakja pedig k=Q polinomot a függvény xq helyhez tartozó n-edfokú Taylor-polinomjának, az
ik = ^ x ) .
K (x ):= fix )-T „ (x ) b) T aylor-sor. Valamely akárhányszor differenciálható / függvénynek ra^o r-p o lin o m m al való közelítése akkor hasznos, ha n növelésével a közelítés hibája az ;ií:o ^ D j hely környezetében tetszőlegesen kicsinnyé
különbséget pedig n-edik Taylor-maradéktagnak nevezzük. Innen látható, hogy f { x ) = T„(x) + R„(x), azaz
tehető, azaz, ha ;c=o
k\
(x - xq)
lim R„{x) = 0.
+ R „ { x ).
Ezt a képletet Taylor-formulának nevezzük. A Taylor-polinomtól azt várjuk, hogy .xq környezetében jó l közeh'tse
Ilyen tulajdonság nem jellem zi a függvények mindegyikét, de egy, a gyakorlat szempontjából is fontos függvényosztályt jellemez. D efiníció. H a/ak árh án y szo r differenciálható az xq e D f helyen, akkor az
/ ( x ) - e t . Az xq helyen a közelítés pontos, hiszen f{xQ)=T„(xQ). A z Xqtól különböző X helyen a közelítés pontossága a maradéktaggal becsülhető. Ez ugyanis előállítható a függvény {n + 1) -edik deriváltja segítségével.
f(xQ ) + —
1!
(.X- jco ) + —
2!
( x - Xq ) ■+ ...+
Tétel. H a / az atq hely környezetében {n +1) -szer differenciálható, akkor ebben a környezetben minden :x-re
R„{x) =
(n + l)!
*=0 végtelen sort az / függvény .xq helyhez tartozó Taylor-sorának, a sor elő {x ~ X q)
«+l
(*)
állítását pedig a függvény sorbafejtésének nevezzük. Tétel. Ha / akárhányszor differenciálható az .xq e Dy hely valamely kör nyezetében és differenciálhányadosai abszolút értékben egy közös korlát alatt maradnak e környezetben, akkor / .Xq helyhez tartozó Taylor-sora
ahol ^ = a:o + 'ö ( x - x o ) , illetve
(**)
ebben a környezetben előállítja a függvényt, azaz
ahol ^ = a:o + ö (;c- a:o); ö és § pedig 0 és 1 közé eső valós számokat jelentenek. A (*) formulát az n-edik maradéktag Lagrange-féle alakjának, a (**) formulát pedig Cauchy-féle alakjának nevezzük. Az .xq = 0 speciális esetre felírt Taylor-íoxmvXkt Maclaurin-formuíának is nevezzük:
*=0 Ha a:o = 0, akkor a Taylor-sori Maclaurin-sornak nevezzük. Példák 1. Fejtsük sorba az f ( x ) = sinx függvényt az xq = 0 helyen és írjuk fel az nedik maradéktag Lagrange-fé\e alakját! Megoldás. A sin függvény értelmezési tartományán akárhányszor differenciálható. Képezzük a függvény és deriváltjai értékeit az Xq = 0 helyen;
Differenciálszámítás
160 f { x ) = únx,
/( 0 )= 0 ;
/'(jc) = cosx = sin(x + —),
/'( 0 ) = 1;
f ' { x ) = -s in x = sin(x + 2 -j),
/"(O ) = 0;
f" '{ x ) = “ Cosx = sin(x + 3-j),
/"'(O ) = -1;
2.7.7. Parciális differenciálhányados
161
Néhány elemi függvény Maclaurin-sorral való előállítása: 3
5
sinA: = x - - ^ + ^-j— ... (páratlan függvény),
f ^ ^ \ x ) = sinx = sin(x + 4Y ), 1!
/(" + ’>(X) = sin(^x + (« + !)
2!
(^) = sin[^ + (« + !)
Tehát - mivel sin minden x-re teljesíti az említett feltételt - így Taylor-soxa (egyúttal Maclaurin-sora) előállítja a függvényt, azaz
ln(l + :,) = ; c - 4 - + ^ - 4 + -
arcsm x = x +
S,nx = X -3x^ j- + ^x^- : ^x’ + ...
2-3
+ U í l + .I-3 -5 x ' 2 ’4-5 2 -4 -6 -7
(-l< x < l).
(W < 1).
A Lagrange-fé\e maradéktag: Rn(x) =
2.7.
Minthogy sin] ^ + {n + l) — < 1, ezért valóban teljesül, hogy tetszőleges x értékre lim R„(x) = 0. 2. írjuk fel /( x ) = In x függvény Xo = 1 helyhez tartozó Taylor-sorál Megoldás. Az In függvény értelmezési tartományán akárhányszor differenciálható. Képezzük a függvény és deriváltjai értékeit az xq = 1 pontban;
Az egyváltozós valós függvények deriválásával kapcsolatban elmondottak egy részét egyszerűen általánosíthatjuk két- vagy többváltozós valós függ vényekre. Megjegyezzük azonban, hogy az egyváltozós függvényekre megfogalmazott tulajdonságokra általában nem lehet egyszerűen visszave zetni a két- vagy többváltozós függvényekre vonatkozó hasonló tulajdon ságokat.
/(1 ) = 0;
/ ( x ) = In X,
2.7.L P arciális differenciálhányados
f " ( x ) = -x~-, r ' ( l ) = 2 = l-2;
f" '( x ) = 2 x ~ \
TÖBBVÁLTOZÓS FÜG GVÉNYEK DERIVÁLÁSA
A többváltozós valós / függvény változói közül egy kivételével az összes többit tekintsük állandónak. Az így keletkező egyváltozós függvény deri válható, ha a kiválasztott változóval a deriválhatóságra vonatkozó feltéte lek teljesülnek. A többváltozós függvény valamely változója szerinti deri váltját parciális deriváltnak nevezzük.
/ ^ \ x ) = -6x-^,
/W ( l ) = - 6 = -l- 2 -3 ;
f^ ^ \ x ) = 2 4 x ~ \
/( 5 ) ( 1 ) = 2 4 = 1 .2 - 3 - 4 ;
Definíció. Az f { x , y ) kétváltozós valós függvény (xoj^o) helyhez tartozó
/^ " ^ (1 ) = ( - 1 ) " ^ ‘ (7 J-1 )!
X szerinti parciális differenciálhányadosán a
f ^ ”\ x ) = ( - l ) " ^ \ n - i ) \ x ~ ”,
Tehát az In X függvény Xq = 1 helyhez tartozó Taylor-sora.: ( , - I) _ i i i
+ í i ^ - , ..+(-1)“ '
.
lim /i-^o
h
határértéket, y szerinti parciális differenciálhányadosán pedig a
Differenciálszámítás
162 lim /)->0
f { x Q , y Q + h ) - f{xQ,yQ)
Megjegyezzük, hogy a többváltozós valós függvény folytonossága va lamely pontban nem következik a minden változó szerinti parciális diffe renciálhányados létezéséből.
határértéket értjük, feltéve, hogy ezek léteznek (és végesek). A kétváltozós / függvény x szerinti, ill. y szerinti parciális deriváltján azt a kétváltozós függvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya mind azokból a pontokból áll, ahol létezik/-nek .x szerinti, ill. y szerinti parciális differenciálhányadosa és értéke itt egyenlő a parciális differenciálhányados e pontbeli értékével. A z/fü g g v én y ;c, ill. y szerinti parciális deriváltjának jelölésére az d f d/ ill. / ; vagy f x ''agy dx’ dy’ (olv.: ef vesszös iksz vagy parciális dé ef per parciális dé iksz stb.) szimbólu mot használjuk. A kétváltozós függvény grafikonjának egyenletét rendszerint z = f ( x , y ) egyenlettel adjuk meg. Ilyen esetben a parciális deriváltakat z ' , z'y, vagy gyakran rövidebben z^,
Példa 1. Számítsuk ki az f { x , y ) = ^ x ^ + 3 x ~ y - y ^ függvény (1, 2) pontbeli parciá lis differenciálhányadosait. Megoldás, f; .= x ^ ^ 6 x y ,
és
/;( l,2 ) = l" + 6 -b 2 = 13;
f ; =3 x--3 y\
és
/;( l,2 ) = 3 -l--3 - 2 - = -9.
2. Számítsuk ki az f ( x , y , z ) = si n(x~ + y ~ + z ~ ) háromváltozós ftiggvény par ciális deriváltjait. Megoldás. f ' = 2 x c o s ( x ~ + y ~ + z ~) ,
f ' = 2ycos{x~+y~+z~),
f ! = 2zcos{x~+y^+z~)
alakban is jelöljük.
A deriváltak helyettesítési értékét az egyváltozós függvényekhez hasonlóan: [dXj
163
2.7.2. Magasabbrendű deriváltak
X=Xq ’
9/ dx
y=yo
X=Xq
fx i^Q ,yo ),
2.7.2. M a g asa b b re n d ű d eriv áltak
stb.
y=yo
módon jelöljük. A kétváltozós függvény parciális deriváltjának geometriai jelentése a 2.21. ábrán látható. Messük el a z = f ( x , y ) felületet >' = >'0 síkkal. Ekkor
Tegyük fel, hogy a többváltozós / függvény első parciális deriváltjai / értelmezési tartományán vagy annak egy részhalmazán ismét deriválható függvények. Az f ^ és f y deriváltjait / második vagy másodrendű parciá lis deriváltjainak nevezzük. Ezek jelölése és értelmezése:
az fx(xQ,yo) parciális differenciálhányados a z = f { x , y o ) metszetgörbe (az ábrán a egyenlő,
azaz
görbe) .xq helyhez tartozó érintőjének iránytangensével fx{^Q ,yo) = tg a .
Hasonlóképpen
látható
be,
hogy
fyixQ^yo) a z = f{ x Q ,y ) metszet
(olv.: e f kétszer iksz szerint deriválva, ill. parciális dé kettő ef per parciális dé iksz négyzet);
görbe (az ábrán a g j görbe) y^ helyhez tartozó érintőjének irány tangensével egyenlő, azaz fy{XQ,yo) = ^g^-
2.21. ábra. A parciális deriváltak geometriai szemléltetése
A kétváltozós függvényhez ha sonlóan értelmezzük az n változós valós függvény parciális deriváltjait. A többváltozós függvény par ciális deriváltjait az egyváltozós függvény deriválási szabályainak alkalmazásával számítjuk ki.
,
dx-
ifx)y’
vagy
f;y= if;ry,
vagy
fxy
aV dydx
3 p / d y dx
^
dyvagy
d -f dxdy
dx
(d f dy
Itt fxx és f ^ 3ZX, ill. az>' szerinti ún. tiszta második parciális deriváltak, fxy és fyx ^táigdi vegyes második parciális deriváltak.
164
Differenciálszámítás
Tétel. Ha a kétváltozós v a ló s/fü g g v é n y f^ y és
vegyes parciális deri
váltjai egy pont környezetében folytonosak, akkor itt egyenlők, azaz fxy ~ fyx ■
Számítsuk ki az f { x , y ) = xy^+ x‘^ függvény első és második parciális deri váltjait. Megoldás.
fxy ~
fy=3,xy~\ >
fyx ~
>
ahol 8 i-> 0 és £2->0, ha A x->0 és A y -^0, azaz ha A p = /A x “ +A>^" -»0. A (*) jobb oldalának első két tagjából álló összeget (kétváltozós lineáris függvényt) az / függvény teljes (totális) differenciáljának nevezzük és í/z-vei jelöljük:
Példa
=
,
^ f(x ,y ) . d f(x ,y ) . dz = ' ^..Ax + ........ Ay őx dy
A z függvény (xq,>'o) pontbeli teljes differenciálját, a Ax = x~X q, Ay = y - y Q jelölés bevezetésével
fxy ~ fyx ’
dz =
f y y = (iXy.
fxx ~~
165
2.7.3. Teljes differenciál, érintősík
dx
.^y
' y=yo
y==yo
Hasonlóan jelöljük a magasabb rendű parciális deriváltakat is. Például fZ c^
f^y>
IL
alakra hozva a függvény teljes megváltozásának közelítő becslésére hasz nálhatjuk az iXo,yQ) pont környezetében, ha x - x q , y - y o valamint a
Stb.
dx^
parciális deriváltak elegendő kicsik. Felhasználva azt, hogy az ;c: (xQ,yo) ->
és
(^o>yo)
3^0 (-^o ^
jo e R ) függvények teljes differenciáljai:
2.7.3. Teljes differenciál, érin tő sík
ífe = 1•(jc - ^0) + 0 •(3^ “
^ - ■^o ’
A z=/(;c,;^) egyenlettel adott felület P { x , y , f { x , y ) ) pontjára illeszkedő és az.x, z-síkkal párhuzamos, ill. azj^, z-síkkal párhuzamos síkok által kimetszett görbék mentén az/fiiggvény ill. A^,z megváltozása (2.22. ábra):
cfy = 0 • (j: - x o ) +1 • ()^ - 3^0) = :>" - >"0 ’ a (**) formula rövidebb alakja:
= f { x + í ^ , y ) - f{x,y)-,
, 9z , dz , dz = - ^ d x + -=— dy dx dy
l^yZ = f { x , y + Ay) - f ( x , y ) . A függvény teljes megválto zása pedig a
A d~z = d{dz) értelmezésével képezhető a függvény második differen ciálja. E szerint ,2 d~z J..2 , ^ z , 9 'z a z —- ^ d x - + 1 - ^ d x d y + ^ d y ^ , dxdy-
ÍS z= f{x +A x,y + A>^) ~ f { x , y ) képlettel adható meg (Az = ^ ) .
melyet formálisan a) Teljes differenciál. Tegyük x+Ax fel, hogy az / függvénynek egy 2.22. ábra. A függvény teljes megváltozása ( x , y ) pont környezetében foly tonos parciális deriváltjai van nak. Ekkor a függvény teljes megváltozása kifejezhető a parciális derivál takkal: ^
A>; + El Ax + £2 A;;,
(*)
d~z =
dx
dx + - ^ d y dy
módon is jelölhetünk. Hasonlóan értelm ezhetők magasabbrendű differen ciálok is. A kétváltozós függvény teljes megváltozásának becslésére tehát hasz nálható a A z ~ d z = -z:--dx + -=— ay dx dy formula.
166
Differenciálszámítás
2.7.4. Összetett függvény és implicit fü ggvény deriválása___________
Ez a közelítés lehetőséget ad a függvény |Az| abszolút hibájának becslésére, hax, 'ú\. y hibakorlátja |Ax|, 111. |Ay|. Ekkor ugyanis
A l&l =
J^o) helyhez tartozó érintősíkjának egyenlete:
z = zo+ fx ( x o ,y o ) ( x - ^o) + fy{xQ,yQ){y - ;^o) • Példa írjuk fel a z = ^x~ +y^ kúpfelíllet Xq = 1, y o - - ^ helyhez tartozó érintősík jának egyenletét.
relatív hiba becslésére pedig a
Az| N =
n = [fx { x Q ,y Q ),fy { x Q ,y Q )-1) . így a felület
dz dz |Az|S dx M + S y M -
167
M +
A>^|
Megoldás, zg = z(l, VJ) = 2, z ; ( i .V 3 ) = i ylx-+y-
formula használható. Ha figyelembe vesszük, hogy dz dz dx
^
4 =
^ ^ , . 1 ^ - ^ .y.yfx-+
4 0 .^ ) = # .
tehát az érintősík egyenlete: z = 2 + - i ( x - l ) + ^ ( > '- V 3 ) ,
azaz
x + - / 3 y - 2 z = ö. akkor
Az
vagy rövidebben:
dx
|Ax| +
3ln|; dy
M , 2.7.4. Összetett függvény és implicit függvény deriválása
|5z| < |A ln|^
A fenti formulák hasonlóan írhatók fel «-változós függvény esetén is. Példa A henger térfogata V = r-nm, ahol r a henger sugara, m pedig a magassága. Leg feljebb mekkora relatív hibával kapjuk a térfogatot, ha 71= 3,14; r = 0,5cm; /M= 2cm, és az adatok hibakorlátjai: |Att| = 0,005, |A»2| = 0,01cm, |Aj"| = 0,02cm. Megoldás. A relatív hiba számításának formuláját most háromváltozós függvényre kell alkalmazni:
a) Összetett függvény deriválása. Az egyváltozós valós összetett függ vény deriváltja, mint láttuk, a külső és belső függvény deriváltjának szorza taként állítható elő. A többváltozós összetett függvények parciális derivált jainak kiszámítására is hasonló szabályt fogalmazunk meg. Tétel. Tekintsük a z:= f { u { x , y ) , v { x , y ) ) kétváltozós összetett függvényt. Ha w is és V is mindkét változója szerint parciálisán differenciálható az (xQ,yQ) h ely en ,/p ed ig differenciálható az '^'o(^o>>'o)) helyen, akkor a z összetett függvény is parciálisán differenciálható és szerint az helyen: Zx(xo,yo) = fú i^O ’^o)"^x(xo,yo) + fviuo,vo)-v'^{xo,yo),
mivel lnF = 21nr + ln7t + lnffí, így
Zy(xo,yo) = fú{uQ,VQ)- Uy{xQ,yo) + f'(uQ,VQ) ■Vy{xQ,yo). Ezt a differenciálási szabályt a kétváltozós összetett függvény láncsza bályának nevezzük, melynek rövidített alakja:
b) Felület érintősíkja. Tételezzük fel, hogy az /k étváltozós függvény az (.xq,>^o) helyen differenciálható. Ekkor a z = f { x , y ) felületnek az (:co,>'o) helyen van érintősíkja, amely a felületet az {x^,yQ,ZQ) pontban érinti, ahol ^0
/(-^o>>^o)- Ennek normálvektora
dz dx dz dy
dz du dz du
du ^ d z dv dx dv dx du d z dv dy dv d y
Ennek segítségével a kétváltozós összetett fiiggvény teljes differenciálja:
Differenciálszámítás
168 dz =
^
d z du ^ d z d v \ ^ d z dv dx + dy = du d y dv dv d x dz í dv , dv , \ du j du , dx + -rr-dy dx + ^ r - d y ~^dv d x dx dy
b) Im plicit függvény d eriv álása. Az F { x , y ) = 0 egyenlettel egy implicit függvényt értelmezünk, amelyben y az x függvénye. Tegyük fel, hogy
dz = ^ d u + ^ d v . au óv
vagyis
és Fy létezik, továbbá Fy
A z összetett függvény deriválási szabálya kettőnél több változós függ vény és többszörösen összetett függvény esetére is kiterjeszthető.
X
y 0). Legyen továbbá x~ +y~ =u, — = v. Ekkor X
z = Vm sinv. Képezzük a 2 függvény X- és szerinti parciális deriváltjait. Megoldás. Az x szerinti parciális derivált: dz dz du dz dv 1 . ^ , r~ — + t:^-:7- = — p^sinv-2x + Vw cosvdx du dx dv dx 2Vm
•y y rsin—~
0. Ekkor az összetett függvény deriválási
szabálya szerint dF dy , dx i - y = - j i
d F ^ d F dy ^ 97^ 9 7 ^ = 0 ’
Példa I 'y "v Legyen z = v;c“ + >'" sin— ( x
Fi
dy Ez az egyváltozós implicit függvény deriválási szabálya. Példa Képezzük a deriváltat, ha F{x,y): = ax~ +by~ +cx + dy + e = 0.
x~
Megoldás. Mivel ^ = 2ax + c, l ^ = 2by + d, ezért y = - l g - t £ ^x ’ dy ^ ^ 2by + d '
+y y — cos—.
X ^x~+ y A z y szerinti parciális derivált; dz dz du dz dv \ . 1 -z—- = -z:r-K~ + - ^ ^ r ~ = — 7=sinv'2v + vw cosv- —= dy du dy dv dy 2vm x
Hasonlóan nyerhető a kétváltozós F ( x , y , z ) = 0 egyenlettel adott imp licit függvény deriválási szabálya, amelyben x és>^ a független változó:
X
dx
>/, V x ^ T 7 y -cos—. rsm —+ X X + y-
y
Most mindkét parciális derivált közvetlenül is kiszámítható, mivel z x és vényeként is adott.
függ
dF dz
dF dz
deriváltját teljes deriváltnak is szok
Fr
Példa Számítsuk ki a z' és z'y deriváltakat, ha F{x,y,z)\ = ^
+ ~ +^ - \ = 0 . b-
Ha Més V csak az x változó függvénye, azaz u = u(x), v = v(x), akkor a z = f ( u , v ) egyváltozós függvény ~
169
Az ilyen típusú ún. exponenciális hatványfüggvényt a logaritmikus diffe renciálás szabályának felhasználásával is deriváltunk (lásd a 2.1.3. pontot).
du d x dz du
2 .7.5. Paraméteres alakban adott fü g g vén y deriválása ________
Megoldás. Mivel dx = ^ 2 ’ 4dy —= — ~ =— 1,2 , ^dz , 2 ’, igy 2^
ták nevezni: dz _ d z du ^ d z dv dx du dx dv dx Példa Képezzük az / ( x ) = (sinx)“ ^^ függvény teljes deriváltját. Megoldás. Legyen M= sinx, v = cosx. Ekkor ?az f = u alakú kétváltozós függ vény teljes deriváltja: du
^ J - v '= vu ’ •cosx + M*'•lnM(-sinx) = dv
= (s in x f“ ^~' -cos-x-C sinxr^^-"’ In(sinx).
'
a~ -
C~x
^
Ö^Z
-
b- _ 2 |. c~
c~y b^z
2.7.5. P a ra m é te res alak b a n a d o tt függvény deriválása Legyen z mint az x és 3^ változók függvénye paraméteres alakban (az u és v paraméterekkel) adott az alábbi módon: x = x{u,v),
y = y(u ,v),
z = z(u,v).
Számítsuk ki a z ' és Zy első parciális deriváltakat.
Differenciálszámítás
170
A z = z(w,v) függvényből, figyelembe véve, hogy u és v az x és vényei, kapjuk: ,
, _ d z du du d y
d z du d z dv du d x ^ dv d x ’
függ
171
Xo = [6 + 2 c o s |] c o s |- = (^6 + 2 . l ) ^ = ^
d z dv 3v ’
ahol azonban w és v parciális deriváltjai még nem ismertek. Ezek meghatáro zásához képezzük az x = x{u,v) és = y (u ,v ) fíiggvények ill. y szerinti parciális deriváltjait: du d x
2.7.6. A z iránymenti derivált
:t^o = (^6 + 2 cos ^ j sin
,
Z o = 2 -s in | = 2 - ^ = V3. Mivel =(-2sinwcosv)^,^
’
du d x
dv dx ’
= (-(6 + 2cosw)sinv)^^
du d y ^ 3v 3>' ’
dy du du d y
dy dv 3v d y '
=(-2sinMSÍnv)y.^ = - ^ ,
9v
{y'y)p^ =((6 + 2cosw)cosv)^^
A kapott két lineáris egyenletrendszerből w és v parciális deriváltjai egy értelműen meghatározhatók, feltéve, hogy a két egyenletrendszer azonos determinánsa - az ún.
«,)po = (2 cosm)^^ =1,
Jacobi-féle függvénydetermináns - nem
— d(u,v)
így a függvénydeterminánsok megfelelő értékei:
nulla, azaz
5 Í M 1 = _7V3 ;éO,
d (x ,y ) ^ d{u ,v)
d(u, v)
dz dy
d z dx dv du
dz dy
d {x,y) d{u,v)
dz d ^ du dv
d (^ ,y ) d(u,v)
, _ d(u, v) _
tehát
^ d(u, v)
d{u,v) d { ^ d{u,v)
/ "y-
d (z ,x ) d(u,v) d ( x ,y ) d(u,v)
Példa írjuk fel az X =
(6
+
2
cosm) c o sv ,
j^ = (6 + 2cosw)sinv, z = 2sinM = ‘j ’’ '‘'o = " j j paraméterpárhoz tartozó érintősíkjának egyenletét.
z = 4 í - ■ J 2 (^ 2V3
d{u,v)
7V 2^
V2 2V3
2.7.6. A z iránymenti derivált A parciális differenciálhányadosok a függvénynek a koordinátatengelyek irányában történő változását jellemzik. Tekintsünk most egy olyan irányt a sí kon, amely az tengely pozitív irányával fsina a szöget zár be (2.23. ábra). Az / kétváltozós függvény ezen irány menti változását a Fq pontban a
...
Megoldás. Az érintősík egyenletének általános alakja: z = zo + z'^(x-xo) + Z y(y-yo )
V2
2V 3’
vagyis az érintősík egyenlete:
A számlálóra is a rövid függvénydetermináns jelölést alkalmazva: ,
d(u,v)
d{z,x)
■
' _ ~
d{z,x) ^ l 4 l
TV? d( u , v )
Ennek figyelembe vételével
gyürüfelület
,
ds
/W -/(^ o ) PFn
2.23. ábra. Vázlat az iránymenti derivált értelmezéséhez
Differenc iá Iszám ítás
172
2.9. Többváltozós fü g g vén y szélsőértéke
hatái'érték jellemzi, amit az / függvény Pq pontbeli, a irányban vett iránym enti deri v á ltjá n a k nevezünk Itt P a két pontot össze kötő szakasz mentén tart Pq-hoz. Igazolható, hogy df df df . = ■ ^co sa + '^ s i n a . cls ax ay
2.24. ábra. Iránymenti derivált értelmezése Ekkor az/fíiggvény s
Háromváltozós függvény esetén az irányt célszerű egy egységvektorral megadni. Legyen ez = (co sa , cosP, cosy) (2.24. ábra).
irányban vett iránymenti deriváltja:
df df df n df / j 0 - ^ = —^ c o s a + - ^ c o s p + - ^ c o s y = ( g r a d /)s , ds dx dy dz ahol grad / =
(A gradienst lásd az 5.8.2. pontban.)
dx ’ d y ' dz
Példa Számítsuk ki az u = xy~ + z^ - x y z függvény Pq{\,\,1) pontbeli iránymenti deri váltját a tengelyekkel 60°, 45°, 60° szöget alkotó egyenes irányában.
173
T2 (x, y ) : = f ( x o , y o ) + f ' ( x o , y Q ) ( x - x o ) + f ' (xo,yo )(y - y o ) + "i /
')
“ J
+ - 2 Í \ f ^ ^ ^ O ’ y o ) i x - x q ) - + 2 f x y i X Q , y o ) ( x - X Q ) ( y - y o ) + f y y ( x Q , y Q ) ( y - >^q}“
Ha innen a második deriváltakat elhagyjuk, akkor az elsőfokú Taylorpolinomot kapjuk. A z = T i(x,y) egyenlet pedig a z = f { x , y ) felület (^o>>'o) helyhez tartozó érintősíkjának egyenlete. A Taylor-polinomot a maradéktaggal kiegészítve (úgy mint egyváltozós esetben), magát a függvényt kapjuk. így például, csak az elsőfokú esetre szorítkozva az f { x , y ) = f{xQ,yQ) + fxiXQ,yQ){x - xq) + fy{xQ,yQ){y ~ y o ) + R] Taylor-formulához jutunk, ahol = ^ (/;;(s )* -+
2/ "
( 6 ) M + / " < e )í^ ),
0=( a : o 0 < ' d < l , h = x-X Q , k = y -y Q . A fentiek kettőnél több változó esetére is kiterjeszthetők. Példa írjuk fel az f ( x , y ) = e’^siny függvény (0,0) helyhez tartozó másodfokú Taylor polinomját. Megoldás. Számítsuk ki a függvény valamint a parciális deriváltak /o(0>0) pont beli értékét: /(/>0) = e°-sin0 = 0;
( / ;) ^ =(e^sinj)_ =0;
if^)p^ = (e"smy)^^=0'
( f " ) ^ ^ = (e^cos y) ^^^ = V,
(e^cosjv),, = 1; ih
Megoldás. Mivel f e l - { i 2 x y - x z ) p = 0, [^yjp„ 1 cos[3 = cos45°= V2 és cosa = cos60°=—, ^
dsJp,
2.8.
=(3z--xy)^^ = n , ' -'p,
........ .......... 1
cosy = cos60°== Y ’ sálért
=-4"“4
A KÉTVÁLTOZÓS TAYLOR-FORM ULA
A Taylor-poVmom és Tioy/or-formula értelmezhető kétváltozós függvény esetén is. Ezeknek csak a legegyszerűbb alakját írjuk fel. Tegyük fel, hogy az f { x , y ) kétváltozós valós függvény második parciális deriváltjai léteznek és folytonosak valamely (xQ,yQ) pont környezetében. Ekkor a függvény (xq,>'o) helyhez tartozó másodfokú Tay/or-polinomja:
{f;;)
siny)
=
A másodfokú Taylor-\ío\\mm tehát T2 {x,y) = y + xy. Ha |x |« I és |> '|« 1 (olv. lényegesen kisebb, mint 1), akkor
2.9.
siny=^ y + xy.
TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNY SZÉLSÖÉRTÉKE
a) Feltétel nélküli szélsőérték. Az f ( x , y ) kétváltozós valós függvényre a helyi maximum és helyi minimum fogalmát ugyanúgy értelmezzük, mint az egyváltozós függvény esetében. Definíció. Az f ( x , y ) függvénynek a io(-^o>yo) helyen lokális (helyi) maximuma van, ha létezik Po'^iak olyan környezete, hogy minden, e kör nyezetbe eső ( x , y ) helyen f(x ,y )< f{x Q ,y o );
174
Differenciálszámítás
és lokális (helyi) minimuma van, ha ugyanazon feltételek mellett f{xQ,yQ). A lokális maximum és minimum közös elnevezése lokális szélsőérték, (•^o>>’o) pedig lokális szélsőértékhely. A lokális jelzőt gyakran elhagyjuk. A továbbiakban feltesszük, hogy / n e k az ( xq,;^o) hely környezetében léteznek másodrendű parciális deriváltjai és azok folytonosak. Tegyük fel, hogy a z/fü g g v én y n e k az (^o>>^o) helyen szélsőértéke van.
Azokon a stacionárius helyeken, ahol D < 0, nem lehet szélsőélték. A D = 0 értéket adó stacionárius helyeken további vizsgálatra van szükség. 4. Kiszámítjuk a függvény szélsőértékeit. Ezeket megkapjuk, ha az f { x , y ) függvénybe behelyettesítjük a szélsőértékhelyek koordinátáit. M egjegyzések. 1. Mivel feltettük, hogy a második parciális deriváltak folytonosak az ( jcq,>'o) hely környezetében, ezért fxyi^Q,yQ) = fyx{^Ü,yo)^
Ekkor mind az f { x , y o ) mind az f { x Q ,y ) egyváltozós függvénynek is
így D kiszámítására a könnyen megjegyezhető
szélsőértéke van itt, azaz fx (H ,y o ) = ^
és
fy{xQ,yQ) = 0.
D=
Ezzel megkaptuk a szélsőérték létezésének szükséges feltételét. Az (jco,>^o) helyet az / függvény stacionárius helyének (pontjának) mondjuk, ha
175
2.9. Többváltozós függvény szélsőértéke
= 0 és fy{xQ ,yo) = 0. A függvénynek szélsőértéke
fxx fxy fyx fyy p
determináns használható. 2. H a (.xo.^^o) stacionárius helye /-nek, akkor a z = f { x , y )
felület
tehát csak stacionárius helyen lehet. A szélsőérték létezésének elegendő feltételéhez a második deriváltak is szükségesek:
(a:o,>'o) helyhez tartozó érintősíkjának egyenlete:
Tétel. Az f { x , y ) függvénynek az (.x:o,>^o) helyen szélsőértéke van, ha
Példák 1. Vizsgáljuk meg szélsőértékre az f { x , y ) = l ^ x + A y -'ix ^ - 'iy ^ függvényt.
= ^ és fy{xQ,yQ) = 0,
valamint
f'^{xQ ,yQ )~ f'^y~(;co,>^0) > 0 • Maximuma van, ha f ^ { x Q ,y o ) < 0, minimuma van, ha fxxi^Q,yo) > 0 .
z = f(xo ,yo )-
Megoldás. Szélsöérték ott lehet, ahol az első parciális deriváltak nullával egyenlők, azaz ahol / ; = l - 9 x - = 0 és / ; = 4 - 9 / = 0 . Ennek az egyenletrendszernek négy megoldása van:
Ha
{xq,3^0) • f ^ (^0^ y o ) - fxy (^0=J'o) < 0>
akkor az (xq,>’o) helyen nincs szélsőérték, ha viszont nullával egyenlő, akkor lehet szélsőérték. M indezek alapján szélsőértékek meghatározása a következő lépésekben történik: 1. Meghatározzuk a stacionárius helyeket, vagyis megoldjuk az fx{,x,y) = QÍ\ fy {x ,y )^ Q \ egyenletrendszert. 2. Kiszámítjuk a második parciális deriváltakat és a D = f" -f;;-fx y kifejezés értékeit a stacionárius helyeken. 3. Azokon a stacionárius helyeken, ahol D > 0 , biztosan van szélső érték, éspedig maximum, ha f^x < 0; minimum, ha f" ^ > 0.
Ezeken a helyeken lehet szélsőérték. Fogalmazhatunk úgyis, hogy a stacionárius helyek (pontok) a következők: . I f i
3’3 /
‘ "V 3 ’ 3.
A második parciális deriváltak: / " = -18x, f'y = 0 , f ' y = - n y . Ezek felhasználásával Innen látható, hogy a
D(x,y) = l 8 - x y ~ 0 - ^ n - x y . és P3 pont koordinátáit helyettesítve ebbe a kifejezésbe,
annak értéke negatív, tehát ezeken a helyeken nincs szélsőérték. A P\ és P4 helyen viszont van, mert i4 > o .
>0.
Differenciálszámítás
176 Mivel pedig
a P] helyen maximum van.
Hasonlóképpen
= 6 > 0, ezért a P4 helyen minimum van.
A két szélsőérték: ym ax=/ T1 .T2 = 2 + -^ + ^ - 3 - ^ - 3 - ^ = 4, 27 3 3 27 3 ’3 1
1
2.9. Többváltozós függvény szélsőértéke
177
feltétel mellett keressük a szélsőértékeit, akkor feltételes szélsőértékszámításról beszélünk. A feladatot visszavezethetjük egyváltozós szélsöértékszámítási feladatra, ha a <^{x,y) = 0 feltételi egyenletből valamelyik változót ki tudjuk fejezni és azt behelyettesítjük az f ( x , y ) függvénybe. Ezután megkeressük az így kapott egyváltozós függvény szélsőértékét. A szokásos eljárás azonban az ún. Lagrange-féle módszer (multiplikátormódszer). Ennek az a lényege, hogy bevezetünk egy F (^,j;,A ,) = / ( x , y ) + ?.9(x,:K)
2. Az f ( x , y ) = xy függvény stacionárius helye a (0,0) pont, mert f x = y , f y = x és az >>= 0, x = 0 egyenletrendszer megoldása: x = 0, y^Q . De itt nincs
segédfüggvényt, ahol X egy új változó, az ún. multiplikátor. Ha az f ( x , y )
szélsöérték (és máshol sincs), mert /^ ' = 0, fyy=Q, f ^ = 0 és így
függvénynek a (p(x,>^) = 0 feltétel mellett az (xQ,yQ) helyen van szélsőéitéke, akkor van olyan Xq valós szám, hogy az F { x ,y , X ) háromválto-
i?( a:, 7 ) = Z)(0,0) = 0 •0 -1 " = -1 < 0. 3. Az / (x,y) = x"^ + y “^ függvény első és második parciális deriváltjai: f ; =4 x \
f;= 4 y \
f" = n x \
/ ^ = 12/ ,
/ " = 0.
zós függvény mindhárom parciális deriváltja az (jq.J^oA o) helyen zérus. Képezzük ezért az K = f x + M'x = 0’
A függvény stacionárius helye a (0,0) pont, mert a
F y = f y + X(P^ = 0,
4x^ = 0, 4 / = 0 egyenletrendszermegoldása: a: = 0, >>= 0. A D>0 feltétel azonban nem teljesül, mert
D(x,y) = 12~ x~y~,
és így
D(0,0) = 0 .
Ennek ellenére szélsőérték (mégpedig minimum) van a (0,0) helyen, mert / ( 0,0) = 0, és minden más helyen f ( x , y ) > 0 . 4. AiZ f { x , y ) - x ~ e ^ függvény stacionárius helyei a (0,>^) pontok, ahol 7 tet szőleges valós szám. Ugyanis az / ; = 2xe^ = o, / ; = x V = o egyenletrendszer megoldásai: x =0, y tetszőleges. Mivel /x x = 2e ^
f'^ = x -e \
/ " = 2xe^
ezért
D{x,y) = lx~e~^ - 4 x ^ e '^ = -2x~e~^. Ennek értéke x = 0 esetén D{0,y) = 0, akármekkora isy. A Z)>0 feltétel tehát nem teljesül. Ennek ellenére a (0,;^) helyeken, vagyis az y tengely mentén szélsöér ték van, mégpedig (nem szigorú) minimum és
= f{^,y ) = 0 .
A helyi minimum és maximum értelmezése, valam int ezek fennállásának szükséges feltétele teljesen hasonló többváltozós függvény esetében is. Az elégséges feltétel vizsgálata azonban nehézkesebb. b) Feltételes szélsőérték. H a azt tűzzük ki feladatul, hogy az f { x , y ) kétváltozós függvénynek a 9 (^ ,y ) = 0
F{--(S?{x,y) = Q egyenletrendszert, amelyet megoldva, megkapjuk X értékeit és a lehetséges szélsőértékhelyek jc és y koordinátáit. A módszer nem ad választ arra a kérdésre, hogy az így meghatározott helyeken van-e szélsőérték vagy nincs. Azt más meggondolásokkal döntjük el. (Lásd a példát.) Példa Határozzuk meg az x" - y ~ =4 hiperbolán azt a pontot, amely a (0,2) ponthoz a legközelebb van. Megoldás. Az (x,y) pont és a (0,2) pont távolságának négyzete: d- =x~ + (y-2)-. Mivel a távolságnak ugyanott van minimuma ahol a távolság négyzetének, ezért - kényelmi okok miatt - ez utóbbi f(x,y) =x-+ (y-2 )fúggvény minimumát keressük azon feltétel mellett, hogy az (x,y) pont a hiperbolán van, vagyis x~ - y~ - 4 = 0. Tehát az
F{x,y,X) = x~ + (y~ 2)^ +X,(x" - y ' - 4 )
segédfüggvényböl kiindulva, képezzük az x, y, X szerinti parciális deriváltakat: F ;= 1 x + 2 xX\
F y= 2(y-2)-2yX ;
A megoldandó egyenletrendszer:
Fx = x ~ - y - - 4 .
Differenciálszámítás
178
2.9. Többváltozós függvény szélsőértéke
179
2x + 2xK = 0 l{y -l)~ ly X = ^
x --/-4 =0 A z első egyenletből ~K - - 1 , ennek felhasználásával a m ásodik egyenletből ,v = 1 és így a harmadik egyenletből x = ±V S
adódik, azaz a hiperbola ( V 5 , 1) és
F (F )= '^ (y U ú -y k f k=\ függvény minimumfeltételéből határozza meg az alkalmas y{x) függvényt. 1. H a y {x ) - üqx + a-^ egyenlettel definiált lineáris függvényt választunk az
( - V 5 , 1) pontjai lehetnek a legközelebb a ( 0 ,2 ) ponthoz. A hiperbolát vázlatosan X
ábrázolva, látható, hogy ezek a keresett legközelebbi pontok, A m inim ális távolság négyzete: / ( V 5 ,l) = 6, így a m inim ális távolság V ó ,
A gyakorlati feladatokban sokszor előfordul, hogy n-váitozós (n > 2 ) függvény feltételes szélsőértékét kell meghatározni, több feltétel esetén. Ha az ) függvény feltételes szélsőértékét keressük a
y
y\
^2
X,
yi
y>i
értékpárokkal adott pontok „kiegyenlítésére”, akkor az n F i a o , a ^ ) = Y , ( a o ’^k + a \ - y k ) ~ k=] kétváltozós függvény minimumához tartozó üq és O] értékét kell kiszámíta
(?k(X],X2,---,Xn)=0^ {k < n) feltételek mellett, akkor a Lagrange-féle multiplikátor-módszer azt jelenti, hogy az k
ni. Mivel a gyakorlati feladatból nyilvánvaló, hogy kell olyan egyenesnek léteznie, amely ilyen értelemben a „lehető legjobban” simul a mérési értékek hez, ezért az F(aQ,ai) függvénynek van minimuma. A minimum helyén dF
dF fíjggvény feltétel nélküli szélsőértékét kell megkeresni.
” = 2 '^ X k {a Q X k + a \-y k ) = 0
= 2^{aoX /, + ö i - 7 ^ ) = 0 *=1
Ezt rendezve: c) A matematika műszaki és gazdasági alkalmazásaiban gyakran kell mé rési eredményekből valamilyen ismeretlen fúggvénykapcsolatot empirikus (tapasztalati) formulával kifejezni. A legegyszerűbb empirikus formulák a mérés során független változókként szereplő mennyiségekből alkotott polinomok. Ha egyetlen független változó van és ennek n különböző értékéhez tartozik egy-egy mért
érték, akkor az n számú {xj^,yj^) pont
hoz mindenkor található egy legfeljebb ( « - l) - e d f o k ú polinom, amelynek görbéje átmegy ezeken a pontokon. Ennek a polinomnak azonban nemcsak a meghatározása nehézkes, hanem a mérési hibákat sem szűri ki. Ezért mind elvi, mind gyakorlati szempontból általában olyan ( « - l)-edfokűnál alacsonyabb fokú polinomot célszerű meghatározni, amely ~ ha nem is megy át a pontokon, de lehetőleg jól simul a mérési eredményekhez. Ilyen számításra alkalmas a Gauss által kidolgozott ún. legkisebb négyzetek módszere, amely adott alakú, de ismeretlen paramétereket tartalmazó függvények közül az
ÜQ^XJ, +«1 ■ n = ' ^ y k k=\ k=\ Ebből az egyenletrendszerből kell az üq és a\ értékeket meghatározni. 2. H a az (xi^,y/^) pontrendszerbe egy y ( x ) = üqx~ + a^x + Ü2 alakú másodfokú parabolát kívánunk belesimítani, akkor az n F{aQ,a^,a2) = '^{aQX]^ +a-^xi, + ü2 - y ^ Y k=\
180
Differenciálszámítás
181
2.9. Többváltozós függvény szélsőértéke
az F függvénynek minimuma van. A szélsőérték létezésének szükséges feltételéből rendezés után a következő egyenletrendszert kapjuk: n
n
n
n
integrál minimumának feltételéből határozzuk meg a
+ a i^ X k + ü2^X k = Y ,4 y k k=\ k=l k=\
k=l n
n
n
n
a o ^ x l+ a iJ ^ x l-¥ a 2 Y ,X k = ^ X k y k k=\ k=\ k=\ k=l n
^
n
;=0
n
alakú, ahol a q)/(x) függvények ismertek, az a, paraméterek pedig megha-
üQ ^X k + a i^ X k + ü 2 ■ n = '^ y k k=\ k=l k=\ Ebből az (aQ ,ai,a 2 ) értékhármast kiszámítva, a keresett másodfokú polinomot egyértelműen meghatározzuk. Az egyenletrendszert normáiegyenletrendszernek szokás nevezni.
tározandók, akkor e paraméterek meghatározására egy n +1 egyenletből álló egyenletrendszert kapunk:
297“ = ^
Példa Határozzuk meg azt az egyenest, amely a legkisebb négyzetek elve alapján leg jobban kiegyenlíti a következő értékpárokkal meghatározott pontokat: X
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,29
0,81
1,26
1,85
2,50 3,01
3,5
A normálegyenletrendszer együtthatóit célszerű a következő táblázatos elrende zés segítségével számítani: 0 k Xk yt ^yk 1 2 3 4 5 6
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
0,29 0,81 1,26 1,85 2,50 3,01
1,00 2,25 4,00 6,25 9,00 12,25
0,29 1,22 2,52 4,62 7,50 10,54
I
13,5
9,72
34,75
26,54
A normálegyenletrendszer: 34,75ao +13,5a, =26,69] 13,50űo+ 6 a , -9 ,7 2 Az egyenletrendszer megoldása: = 1,101; a, = -0,858. A kiegyenlítő egyenes egyenlete: y = l,1 0 1 x -0,858. 3.
- J f(x)
a
a
(k = 0,1,2, Az rt + 1 paraméter kiszámítása után felírható a (p(jr) függvény. A (p(;c)-et leggyakrabban polinomnak vagy trigonometrikus polinomnak (lásd 4. fejezet 4.7. pontot) célszerű választani. Példa Közelítsük, a legkisebb négyzetek elvét alkalmazva, az f ( x ) = sinx függvényt a o , f intervallumon a (p(x) =
egyenessel.
0 Megoldás. Az 5 = J (sin x - ( űqX + a ,))" dx integrál minimumának meghatározá0 sához képezzük a parciális deriváltakat. Mivel itt a differenciálás és az integrálás sorrendje felcserélhető. dS 23 ŰQ dS 23űi
( űqX" + a,x)í£c -
xsin xt/x; 0
(aQX + a])dx- sinxí/x. 0
Az integrálás elvégzése után az
H a egy adott f { x ) valós függvényt egy adott \ci,b\ intervallum on
valamilyen előírt alakú, integrálható (p(.x) függvénnyel akarunk a „lehető legjobban” közelíteni, akkor a legkisebb négyzetek elve alapján az
=0 egyenletrendszert kapjuk, melynek megoldása:
182
Differenciálszámítás ,
_ 2 4 (4 -7 1 ) 7t
^ _ 8 (7 1 -3 ) TC"
így a keresett egyenes egyenlete: I
n t e g r á l s z á m
ít á s
Határozaíían integrál Határozott integrál Középértéktételek Paraméteres integrál Terület- és ívhossz-számítás Térfogat- és felszínszámítás Mechanikai alkalmazások Improprius integrálok H atározott integrál becslése Numerikus integrálás K ettős integrál és alkalmazásai Terület-, térfogat- és felszín,számítás Mechanikai alkalmazások H árm as integrál és alkalmazásai V onalintegrál Felületi integrál Térfogati integrál
III. FEJEZET
INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
3.1.
A H A T A R O ZA T LA N IN T E G R Á L
3.1.1. A határozatlan integrál fogalma a) A prim itív függvény és a határozatlan integrál fogalma. A differen ciálszámítás alapfeladata: adott H halmazon értelmezett függvényhez meg keresni a deriváltat (derivált függvényt). Az integrálszámítás feladata fordí tott: adott egyváltozós v aló s/ függvényhez kell olyan F függvényt meghatározni, amelyre minden XG H esetén F \ x ) = / (x). Definíció. Ha valamely H halmazon F ' - f , akkor az F függvényt az / függvény primitív függvényének nevezzük. Ha F primitív függvénye / n e k , akkor F + C is primitív függvénye annak, ahol C tetszőleges állandó (állandó függvény). Az f függvény pri mitív függvényeinek összességét /h a tá r o za tla n integráljának nevezzük. Jelölése: / {x)dx
esetleg
/
(olv. integrál ef iksz dé iksz). Az értelmezés alapján tehát ' f { x ) d x = F { x ) + C. Egy függvénynek tehát végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak állandóban (állandó függvényben) különböznek egymástól. Az f függvényt integrandusnak, a C állandót pedig integrációs állandónak nevezzük. Tétel. Ha f a H halmazon folytonos, akkor itt van határozatlan integrálja. Egyszerűbb esetekben a határozatlan integrált az elemi függvények deriváltjaiból kapjuk. Ezeket az ún. alapintegrálokat a 3. táblázatban soroljuk fel.
Integrálszámítás
186
3. táblázat
A lapintegrálok /w
3.1.2. Integrálási módszerek
f{x)dx
f(x)d x n+\ ^ -+ C n+\
(/ (^ ) ± g { x ) ) d x = J f { x ) d x ± j g { x ) d x ,
tehát összeg és különbség tagonként integrálható, feltéve, hogy a tagok integráljai léteznek.
Injxj + C
(n ^-\)
187
Példák 1. J(5x’^+sinx)í/x = ^ | — cosx + C ,
f - +C
e^'+ C
sina:
c o sx
-cosx + C
ln<7
2. J24űíx = 24x + C;
sinx + C
3. Jí/x = Jlí/x = x + C,
tg x + C
'y
3
-c tg x + C
4. ^tx~dx = ~
sin X
+ C, ás ^tx'dt = - ^ ~ + C .
sh x + C
sh“x arctg x + C
1 + X-
0 " a“ + x‘
-arcctg X + C arth X=
l-x -
3.1.2. Integrálási módszerek
-cth x + C
th x + C ch"jc
2
I
n + C; \-x U l< i
1 , 1+x „ a rc th x = —In-;------ hC;
2 1-x
1- x -
u v d x = uv -
arcsinx + C V l-x " archx =
arshx =
_____
= ln(x ± V.x“ - 1) + C; x>\
iiv'dx.
W >1 arccosx + C
y j\-x ~
a) Parciális integrálás. Ha az w és v függvények első deriváltjai folytonosak egy intervallumon, akkor a kéttényezős szorzat deriválási szabályának formá lis megfordításával kapjuk a parciális integrálás (szorzatintegrálás) szabá lyát:
V x -+ l
= ln(x + Vx" + 1 ) + C
Az integrandust általában úgy kell ii' és v tényezőkre bontani, hogy a jobb oldal kiszámítása lehetőleg egyszerűbb legyen. Egy integrál kiszámításához a parciális integrálás módszerét esetleg egymás után több ször alkalmazzuk. Példák 1. J x V d x = ? Legyen
Megjegyzések. 1. Az integrandus változója tetszőleges betűvel jelölhető. 2. Az integráljel (J ) és a dx jel összetartoznak.
u = 6^^ és
v = x^
ekkor
11 = e \
v' = 2 x,
így
jx'e''dx = x-e''-2jxe''dx. Az jxe^'áx kiszámítása érdekében ismét alkalmazzuk az előbbi szabályt. Legyen most u' = e"‘ és v= x. Ekkor u = e \ J x^^dx = xe^ - e ^ . Végeredményben
3. A dx jel azt is jelzi, hogy az x változó szerint történik az integrálás.
v' = l. így
I x'e^dx = x-e"" - 2xe^ + 2e'' + C .
b) A határozatlan integrál tulajdonságai. Ha k tetszőleges szám, akkor kf(x)dx =
/cj f ( x ) d x
tehát konstans szorzó kiemelhető az integrál jel elé, feltéve, h o g y /in teg rálj a létezik.
2.
-+ C (n + \) «+i (u' = x", u = ~ — n+ \
és
(x>0)
V = ln x ,
’
v' = —). x’
Integrálszámítás
188
3. íarcsinxdx = | 1•arcsinA:dr = ;carcsinx- 1 -j=^==úx =xaTCSÍnx+^j\-x~ +C. y l- x "
3.1.2. Integrálási m ódszerek 2. / = Jsin^xcosxííí = ? Helyettesítés: sinx = /, cosxdx=dt, tehát I = \j P d t = -4^ + C = ^ ^4 ^ + C.
{u =\, u = x; és V = arcsin x, v' =
3. J - ^ x = l j - ^ x l + x~ 2 i+ b) Integrálás helyettesítéssel. Legyen f az [a, b] zárt intervallumon foly tonos. Vegyünk fel egy olyan (p függvényt, amely vagy szigorúan növekvő vagy szigorúan csökkenő egy [a , |3] intervallumon. Tegyük fel, hogy (p' folytonos itt és ö < cp(0 < b. Ekkor az ;\: = (p(/), dx = (p'(t)dt formális he lyettesítéssel J ix ) d x = lf{ip (tW (t)d t.
f{ (p (x ))(p '(x )
4. f t g ; c A = í ^ x = - í ^ : : ^ í/x = -ln|cosx| + C. J
Fontos speciális esetek:
f ( x , n ) d x (n egész szám), ahol
f ( x , n ) adott alakú, egy - «-nel jelölt - paramétert tartalmazó függvény. Tételezzük fel, hogy az integrálás során /„-re olyan kifejezést kaptunk, jelenti, hogy az /„ integrál kifejezhető = 8 Í x ) + Kn)In+„, rekurziós alakban. Az integrál általában e rekurziós formula többszöri alkalmazásával hatái'ozható meg.
Mivel sin"x
, _ cosxsin""’ X , n - 1 , "" n n integrálja ismert, ezért «>2-re a rekurziós képlet alapján
j sin"xí/x meghatározható.
^ ^ ^ x = ln |/(x ) | + C , fix )
1 2. Ha /„ = J -------(és n >2 egész szám), akkor (1 + x-)"
+C
Ezeknél az / (a:) = t, f \ x ) d x = dt helyettesítést alkalmazzuk. J f { a x + b)dx =
J cosr
c) R ekurziós formulák. Legyen I„ =
J f{^ {xW {x)d x = J f{t)d t.
Az
J cn.«?Y
Példák L Legyen például /„ = J sin''xí/x: (n > 2, egész). Igazolható, hogy
alakú. Ekkor, a (p(;c) = t, (p'{x)dx = dt helyettesítéssel
{x )f\x )d x =
= l l n ( l + x-) + C. 2
amelyben az integrandus f ( x , n + m) alakú ( m ^ O egész szám). Ez azt
A cp függvényt úgy igyekszünk megválasztani, hogy a jobb oldali integ rál kiszámítása egyszerűbb legyen. Az integrálás elvégzése után a kapott eredményben visszatérünk az ere deti változóra. N éha az integrandusról ránézésre megállapítható, hogy
'r
189
+C
(a;^0)
formulában F az / primitív függvénye. Itt az ax + b = t helyettesítést alkalmazzuk. Példák 1. / = J H e l y e t t e s í t é s : x = r , dx = 2tdt, tehát
M ivel----- - integrálja ismert, ezért «>2-re J ----- ^dx meghatározható. 1+ x (1 + X - ) '' d) Egyéb m ódszerek. Az eddig megismert módszereket gyakran együtt alkalmazzuk. A rekurziós formulákban esetleg más függvények integráljai is szerepelnek rekurzív módon. N éha az integrál kiszámítása lineáris egyenletrendszer megoldására vezet. Sokszor célra vezető az integrandus „ügyes” átalakítása. Triviálisan egyszerű az J f \ x ) á x integrál számítása:
/ = 2tdt 1+ /
= 2 ( /- ln|l + /|) + C = 2(Vx - !n(l +
)) + C.
f \ x ) á x = éf(x),
így
f/'(;c)cb c= Í d ( / W ) = / W + C.
Integrálszámítás
190
Általában egy függvény határozatlan integrálja többféleképpen is elő állítható. Végül megjegyezzük, hogy sokszor még aránylag egyszerű függvények határozatlan integrálja sem fejezhető ki zárt alakban. Ez nem azt jelenti, hogy nincs primitív függvény, legfeljebb csak azt, hogy a határozatlan integrál nem állítható elő elemi függvényekből véges sok „művelet” alkal mazásával. A határozatlan integrálok megkeresését integráltáblázatok és számítógé pek könnyítik meg.
2. Legyen J
sinxdx = A és
és
=
sin X,
m=
^ ^-H x-u Y
har^V ,
r + C,
A ln|x - u\ + C,
B„ = x” sin x - nA„_].
ha r = 1.
II. A második alak esetében a számlálót rendezzük át a következő módon: Bx + D ^ ^ { 2 x + b) + D ~ ^
cosxdx = B.
- c o s j ; v = e^, v ' =
( x ^ + b x + c)'
alakú résztörtek összegeként írható fel, ahol r és 5 pozitív egész számok (lásd az 1.3.2. pontban). így elegendő csak az ilyen alakú törtek integrálját meghatározni. I. Az első alak esetében az x - u = t helyettesítést alkalmazva:
. Ekkor
( 2 x + b az x^ +bx + c polinom deriváltja!).
A = ^e^ ú n xd x = e^s\nx-^e^cosxdx, tehát A = e ^ sm x -B . m'
Bx+D
és (x-u)
Ekkor w' = e^, w= e^; v = sinx, v' = cosx helyettesítéssel:
Másrészt
191
A valódi törtfüggvény
-d;f =
Példák 1. Legyen j x ' únxdx = A„ és J x" cosxdx = A„ = - x " cos x + nB„_\
3.1.3. N éhány függvénytípus integrálása
Ekkor az x~ +bx + c = t helyettesítést alkalmazva: 5
helyettesítéssel:
A = je ^ sinxdx = -e ^ cosx + J
cosxdx,
1
j ( 2 x + b)
tehát
dx = A = -e^ COSX + B . Megoldva a két egyenletet A-xa. és 5-re:
{x~ +bx + c Y
A = Je^sinxc/x = -^e^(sinx-cosx) + C,
2
+ C,
ha 5 íé 1;
(x^ +bx + cY~^ B -In
x~ +bx-\-c + C,
ha 5 = 1.
£ )_ M Végül
B = je ^ cosA:í/x = - i e ’^(sinx + cosx) + C.
integráljának kiszámításához a nevezőt teljes négy{x~ +bx + c)''
3. f .
..... dx= ld{^|\ + x - ) = y|l + x- +C.
zetté kiegészítve, a t =
V I + x"
2x+b
4. Példák zárt alakban ki nem fejezhető integrálokra: J Vl + x"*dx,
j — dx,
jx t g x d x ,
stb.
3.1.3. Néhány függvénytípus integrálása a) Racionális függvények integrálása. Racionális egész függvényt tagon ként integrálunk. Racionális törtfüggvény határozatlan integrálja racionális (egész és tört-) függvényekből, logaritmus függvényekből és arkusztangens függvényekből állhat. Ha a számláló fokszáma nem kisebb a nevező fokszámánál, akkor az osztás elvégzése után a függvény egy polinom és egy valódi törtfüggvény összegeként írható fel.
1 át alakú integrálhoz jutunk. (1 + r)'^Ennek kiszámítását rekurzív módon végezhetjük el. Példák
>• í
X
- 6 x + l l x - 6 =1
-í
.r I
X+ 6 +
2 5 x --6 0 x + 36 dx = x“ - 6 x + 1 lx - 6
25x~ -6 0 x + 36 dx X+ ( x - l) ( x ^ 2 ) ( x - 3 ) =í(
=J
X + 6H-----—
x -1
16 x -2
6+
A x -1
M 2 dx = x -3
x -2
x -3
Wx =
Integrálszám ítás
192 =^
3.1.3. Néhány függvénytípus integrálása
+ 6x + yln|;c-l|-161nlA :-2| + - ^ ln |x -3 | + lnC =
193
Ha c > 0, akkor jc = a -t'
= 4 - + 6x + ln 2. \ J L ± L d x = \ - ^ - ^ d x = \ A4 . B3 . C2 . D . Ex+D dx = •’ Z + x ' ^ x \ x - + \) J\X X X J ___ 1 X
4
X
’
x + 1 ű?x = — ~- + —+ ^ ln (x " + l) + arctgx + C. , Ix X 2
Ha b~ - 4ac > 0, akkor ;c = — — ahol a és (3 az a x ' 4- + c = 0 a -t^ egyenlet gyökei. Speciális esetekben egyszerűbb helyettesítések is célra vezetnek. Binom integráloknak nevezzük az
X + ly
b) Általánosabb alakú algebrai függvények integrálása. Csak néhány egyszerűbb gyökös függvény integrálását mutatjuk be példákon keresztül.
.x”’ {a + éx” Y d x alakú integrálokat, ahol m, n és p racionális számok. Ez az integrál zárt alakban akkor állítható elő, ha a
Példák
i« ± I , n
1. / = í ----- 0 = = = ? Helyettesítés: ca + b = t~, dx = ~ td t és így / = - | J ^ = ^ ( í - l n |l + /|) + C = - |( V ^ + ^ - I n ( l + V ^ ^ ) ) + C. 2. 7 = í 7— - = ? Helyettesítés: x = í^, dx = 6t^dt és így •' (l + v x jv x /= f _ 6 í ^ = 6 f-0 !L = 6 Í i Í ± l ^ r f / = ■’ (1 + r)/^ • 'i + r ■' r + 1 = 6(í - arctgO + C = 6 ( ^ - a v c t g ^ ) + C.
számok valamelyike egész szám. Ekkor racionális függvény integráljára vezethető vissza. Példák 1. 7 = J .
]
= Jx ^ (1 - x~)"^dx. Itt w - 3 , « = 2 és p =
Mivel
m+1 = 2, ezért zárt alakú előállítás van. Az 1 -x " = r helyettesítést alkalmazva, xdx = -tdt, és így
3. 7 = JV a" - x ' d x = ? Helyettesítés: x = asin /, dx = acos/d/ és így 7 = a -J c o s “ íí* = - ^ [ / + ^
m + l +p n
/ = _ j í Lz í ! M = | ^ 1—T t~ .
+C=
2. / = fV l- x^d x = \x '^ { \ -x ^ ) -d x . \ii m = Q, n - 3 és p = ^ . Mivel p, ..... .J J 2 n
= - ^ ( í + sin/ V l-s in “ /) + C = Y^íz"arcsin-^ + xVa" - x " j + C . és
+
számok egyike sem egész, zárt alakú előállítás nincs.
4. 7 = |V x '+ 4 x + 6í/x = ? Mivel x" +4x + 6 = (x + 2)“ +2, a helyettesítés: c) Néhány transzcendens függvény integrálása. A Inx, arcsinx, arccosx,
x + 2 = V 2sh/, d x ^ ' J l chtdt és így 7 = jV (x + 2)-+2£/x = 2 jc h “ íí// = / + - ^ + C = = arsh^^^^ + ^ ^ V x " +4x + 6 +C . v2 2 Az R(x,ylax~ + bx + c) alakú függvények integrálása, ha R {x,y) racio nális függvény, a következő helyettesítésekkel racionális függvények integ rálására vezethetők vissza: Ha a > 0, akkor ;c =
t~ - c
arctg^:, arcctgx, arshjí, archx, a rth x , arcthx függvények határozatlan in tegráljai parciális integrálással határozhatók meg. Példa j arctgxí/x = J larctgxí/x = x a rc tg x -| — ^ -^ d x = xarctgx - ylnCl + x“) + C 1+ x“ Az integráláshoz a tényezőket u' = l, w=x; v=arctgx, v '= — ~ 1+ x ' választottuk meg.
módon
Integrálszámítás
194
d) Az R { e ^ ) alakú függvények integrálása. Ha R{x) racionális függ vény, akkor R{e^) integrálása az vény integrálására vezethető vissza.
= t helyettesítéssel racionális függ
f^
Ha az i?(cosx,sin.x) függvény cosx -nek páratlan függvénye, akkor cél szerű lehet a cosx = t helyettesítés (0 < x < 7t). Ha az /?(cosx,sinji:) függvény sin x -n ek páratlan függvénye, akkor al kalmazható a sinx = t helyettesítés ( - — < x < -—).
Példa ichx
3.2.1. A határozott integrál fogalm a, tulajdonságai_________________ 195
= f
= f
J e " + e -"
Ha az i?(cosx,sinx) függvény sin x -nek és cosx-nek páros függvénye,
= 2 í - : ^ = 2 arctgí + C = 2 arctge" + C .
■’ e-^ + l
•’ r + l
akkor célra vezet a tg x = t helyettesítés ( - y ^
Az integráláshoz e^= í, e^dx = dt helyettesítéseket alkalmaztuk. é) Az i?(sinx,cosA:) alakú függvények integrálása. Ha R {x ,y ) racioná
Példa dt
dx
lis függvény, akkor i?(sinx,cosx) integrálása a ^ = tg-|- helyettesítéssel
J -sin" T x -4 sin x co sx + 5cos"T X- - - hr - 4 / + 5
racionális függvény integrálására vezethető vissza. Ekkor tehát
Az integráláshoz tgx = í, dx =
sin^: =
2t
cosx =
1+ r
= arctg(tgx-2) + C.
helyettesítést alkalmaztuk. 1+ r
1 -r i+r 3.2.
A HATÁROZOTT INTEGRÁL
Példa 2 dt
1+r _ =i f _ 2 J .2 _6£___4 ( i - r ) l+r l+r
r
\
1 , r
3.2.1. A határozott integrál fogalma, tulajdonságai
1 2
Legyen/ az \a,b\ intervallumon korlátos függvény. Osszuk fel az interval
ta ^ -i 1 c/í = i l n ^ 2 2 + c . í+2 tg f +2 J
lumot az a = Xq < .Xj < X 2 < . . . < X f j = b
osztópontokkal n részre, és legyen
Sokszor az integrandus átalakításával egyszerűbben célhoz érünk.
az
{k = 1,2, ...,n ) részin
tervallum tetszőleges pontja (3.1. ábra). Példák
Képezzük a felosztáshoz és a
1. \sxxfxdx = ^ \ { \ - c o s 2 x ) d x = ^ [ x - ^ ^ ^ ^ + C. 2. J cos- xdx = y J (1 + cos2x)c/x =
+
pontokhoz tartozó
n •
k=l
űíx = j j ( l + 2cos2x + cos"2x)í/x = 4 l + cos4x -|-x + sin2j + sin4x + c = 4- íf l + 2 c o s 2 x + 4 JV
integrálközelítő összeget. V együk a felosztásoknak egy minden határon túl finomodó sorozatát és az ehhez tartozó / j , /2 . sorozatot. Ha
3. J cos** xdx = Y 1 ( ^ *^2 "
.
az (/„ ) sorozat a felosztástól és a
pontok választásától füg
getlenül konvergens, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az \a,b\ 4 . J cos^ xdx = J cos"* X cos xdx = | (l ~ sin" x) cos xdx =
= l ( l - t ^ f d t = t - ^ - ^ ^ + C = s m x - ^ ^ +^
+ C.
intervallumon Riemann szerint integrálható. Igazolható, hogy ekkor bármely ilyen (/„ ) sorozat határértéke (jelölése: lim /„ ) ugyanaz a szám. Ezt a közös határértéket az f függvény [a,Z»] intervallumra vonatkozó
Az integráláshoz a sinX = /, cosxdx=dt helyettesítést alkalmaztuk.
határozott integráljának, más szóval Riem ann-integráljának nevezzük.
Integrálszámítás
196
3.2.1. A határozott integrál fogalm a, tulajdonságai Ennek következtében f { x ) > 0
Jelölése: b f{x )d x
vagy
b \f
(olv. integrál ától béig e f iksz dé iksz). Az a szám az integrál alsó, b pedig a felső határa. Az értelmezés alapján tehát b f {x)dx = lim /„.
^ 1 X1^2 ^2
0'Xo = a
^/f-1
/„
annak a görbevonalú trapéznak (görbe alatti síkrésznek) a területét közelíti, amelyet az ;ctengely, wl y = f (x) egyenletű görbe, valamint az x = a és x = b egyenesek határolnak (3.2. ábra). A határozott integrál pedig e görbe vonalú trapéz területével egyenlő. trapéz Megjegyzések 1. Az értelmezés alapján mondható az is, hogy a határozott integrál egy integrálközelítő összegekből álló számsorozat határértéke, ha a felosztás minden határon túl finomodik. 2. A felosztást minden határon túl fmomodónak mondjuk, ha mindegyik részin tervallum hossza nullához tart. 3. Az alsó összeg is és a felső összeg is egy-egy integrálközelítő összeg. 4. Ha a függvény értékét véges számú helyen megváltoztatjuk, ez nem befolyá solja a függvény integrálhatóságát, sőt az integrál értékét sem. 5. A határozott integrál (értéke) egy szám. b) A határozott integrál és a primitív függvény kapcsolata. Ha f az [a,b] intervallumon folytonos függvény, akkor itt van primitív függvénye.
3.1. ábra Integrálközelítő összeg képzése
Legyen ez F. A differenciálszámítás középértéktétele szerint az
Az /„ integrálközelítő összeg helyett szokás az n
esetén
197
intervallumban van olyan
n
hely, hogy
ill- F n - = Y j ^ k i ^ k - X k - \ ) k^\
k=\
alsó összeget ill. felső összeget venni, ahol rnj^ ill. alsó ill. felső határa az
^k ~ ^ k - \
a függvényértékek
részintervallumon. Nyilvánvaló, hogy
A„ < Ifj< F„. H a az (A„) és (F„) sorozat bármilyen, minden határon túl finomodó felosztás esetén konvergens és határértékük egyenlő, akkor az / függvény az [ű,ö] intervallumon integrálható. Ez a közös határérték a
azaz F ( x i , ) - F { x k _ ^ ) = / { ^ j , )(x^ - ) .
F(b) - F i a ) = F(x„) - F ( xq) = ( F ( x ^ ) - F (xo)) + ( F i x , ) - F (xO ) + + { F i x , ) - F ( x 2 )) + { F i x , ) - F
Tétel. Ha a függvény valamely zárt intervallumon folytonos, akkor integ rálható is ott. Megjegyezzük, hogy a függvény akkor is integrálható az \a,b\ zárt in tervallumon, ha itt korlátos és véges számú hely kivételével folytonos. Az integrálközelítő összegben az f { ^k )i^ k ~ ^ k - \ ) szorzat f i ^ k ) > 0 esetén annak a téglalapnak a területével egyenlő, amelynek alapja xj^
magassága pedig / ( ^ ^ ) (3.1. ábra).
(^ 3
) ) + .. , + { F i x „ ) - F i x , _ , )) = fi
= ^ fi^ k ) (X k -Xk-])k=l
függvény \a,b\ intervallumra vonatkozó határozott integrálja. Nem minden függvény integrálható. Érvényes viszont a következő:
Ekkor
A jobb oldalon a felosztáshoz tartozó egyik integrálközelítő összeg áll, vagyis F ib ) - F i a ) = /„. Ennek határértéke a határozott integrál, tehát b
'fix )d x = F ib )-F ia ). 1 Ez az ún. Newton-Leibniz-szabály, amely nagyon megkönnyíti a határo zott integrál kiszámítását. Szokásos jelölése még: b
'f ( x ) d x = [F(x)-l = F ( b ) - F ( a ) .
Integrálszámítás
198
3.2.1. A határozott integrál fogalm a, tulajdonságai_______________ b
_ = i - 0 = i (3.3. ábra).
^ 3.3. ábra. Az y = egyenletű görbe alatti síkrész Ekkor az
b
199
b
± g {x))dx = J f { x ) d x ± J g { x ) d x ,
a
a
a
A határozott integrál kiszámításánál is alkalmazható a helyettesítés módszere. Legyen / az \a,b\ intervallumon foly
tehát összeg és különbség tagonként integrálható, ha a tagok kidön-külön integrálhatók. Ha a határozott integrálban az integrálási határokat felcseréljük, akkor az integrál értékének csak előjele változik meg:
tonos fíiggvény. Legyen továbbá (p az [oc,p] intervallumon differenciálható,
_ f{x )d x = - \ f { x ) d x .
szigorúan monoton és (p' itt folytonos függvény. Legyen végül (p(a) = ö és (p(P) = é.
Ebből következik, hogy a határozott integrál értéke nulla, ha az integ rálban az alsó és fe lső határ megegyezik:
a
b
= (p(í) helyettesítéssel: b
f { x ) d x = 0.
P
/W d * = |/( c p ( 0 ) < p '( í ) d < . x=a
}Asif zz [a ,6] intervallumon negatív és
t=a
A helyettesítés elvégzése (beleértve a határok helyettesítését is) felesle gessé teszi az X változóra való visszatérést.
ott integrálható, akkor a függvény [a,ö]
Helyettesítés: x = t~- 2 , (>0, dx = Itdt. Ha a: = -1, akkor í = 1; ha x = 1, akkor t = 4 ^ . Tehát VJ r .5 1 = 2 V3^- 1 V 3^-(1 - j ) j = -j(3V3 -2 ). 1=2 ^ { 3 - t- )t- d t = 2 ^ - V 5 1 ^
intervallumra vonatkozó határozott integ rálja is negatív. Ekkor a megfelelő görbe vonalú trapéz az x-tengely „alatt” van (3.4. ábra). Ilyenkor szokás „görbe fö lötti" sík részről is beszélni, az integrál értékét pedig (ezt a negatív számot) „előjeles” terület 3.4. ábra. Görbe vonalú trapéz nek mondani. M indezek következtében, ha a függvény az [a,b] intervallumon előjelet vált, akkor erre az intervallumra vonatkozó
c) A h a tá ro z o tt in teg rál tu lajd o n ság ai. A határozott integrál értelmezésé ből következnek az alábbi tulajdonságok: Ha a z /fü g g v én y az \a,b\ intervallumon integrálható, akkor k konstans
határozott integrálja a görbe „alatti” és a görbe „fölötti” síkrészek „elő jeles” területösszege (3.5. ábra). Ha a < b < c és az f függvény az a,c\ intervallumon integrálható, akkor
szorosa is integrálható és
az a,b és b, c intervallumon is integ-
Példa / = j( l- x ) V 2 + xctc = ?
6
b
k f {x)dx = k f {x)dx
Tehát konstans szorzó kiemelhető az integráljel elé. Ha az / és ^ függvények az \a,b\ intervallumon integrálhatók, akkor összegük és különbségük is integrálható itt és
ráiható, és
f {x)dx = I f { x ) d x + J f { x ) d x . a
a
b
Ez akkor is érvényes, ha b < a < c .
3.5. ábra. Előjeles területek
Integrálszámítás
200
3.2.2. Az integrálszámítás középértéktételei
Példák 1. Icos" xdx + sin" xdx = J(cos" x + sin" x)dx = J \dx - [x]^ 0
V3 2.
201
h
0
0
r ?
1
"^ = 0, tehát a 3.5, ábrán a vonalkázott előjeles te
J ( x " - l) í* c = ^
-^/3 L rületek összege nulla.
n
S
ha 0 < X< 1 3. Legyen f { x ) = ^ ^ , U x - 2 ) - , ha l < x < 2 Ekkor
a
0
I / {x)dx = | x^dx + ^ { x - 2 ) ' d x = — + — - — .
A jx közönséges integrál-középértéket felfoghatjuk az [a,b] intervallumbeli f { x ) függvényértékek átlagának. Geometriailag b az f { x ) d x területű, b - a alapú téglalap magasságát jelenti. Az >- = ju egyenes tehát területkiegyenlítőegyenes (3.7. ábra).
3.7. ábra. Középérték és területkiegyenlítő egyenes
Példa 3.2.2. Az integrálszámítás középértéktételei a) Az integrálszámítás első középértéktétele. Ha a z / függvény az intervallumon korlátos és integrálható, valamint ezen az intervallumon a függvényértékek alsó határa m, felső határa M, akkor b m(b - a ) < J / {x)dx < M (b —a ) . ű
Ha ^ értékére is szükségünk van, akkor az
=
egyenletet kell
megoldani, ahonnan ^ = ^ - 2 , 0 8 (csak a pozitív gyök jön szóba, mert 1 < ^ < 3).
A tétel geometriailag / ( x ) > 0 esetén derékszögű koordinátarendszer ben úgy szemléltethető, hogy a függvénygörbe alatti sikrész területe két olyan téglalap területe közé esik, amelyek közös alapja b - a , magasságuk pedig m ill. M {3.6. ábra). Következésképpen m és M között van egy olyan ji szám, amelyre h f {x)dx = [l(b - a ) . Ezt a (I számot az f függvény [a,b] in tervallumra vonatkozó közönséges integrálközépértékének nevezzük. Ha a függvény az [a,b\ intervallumon
3.6. ábra. A görbe alatti síkrész területe két téglalap területe közé esik
Számítsuk ki az y = j x ' függvény [j,3] intervallumra vonatkozó közönséges integrál-középértékét (3.7. ábra). Megoldás. A tétel alapján ez a középérték:
folytonos, akkor ezt a |i számértéket itt fel is veszi (lásd az 1.2.3. pontban). Ekkor a tétel más megfogalmazása: ha f az \a,b^ intervallumon folytonos, akkor az intervallum belsejében van olyan ^ hely, amelyre
A műszaki gyakorlatban használatos a z /fü g g v é n y [a,b] intervallumra vonatkozó négyzetes integrál-középértéke is. Ennek értelmezése: Q=
Példák 1. Határozzuk meg a 3.8. ábrabeli körcikk Q sugarát úgy, hogy az '■= K(p)> polárkoordinátákkal adott görbe szektorterülete egyenlő legyen a megfelelő körcikk területével. Megoldás. A területek egyenlősége folytán Y J ('■(
e=,
3,8. ábra. Szektor területkiegyenlítése
Integrálszámítás
202
3.2.4. Paraméteres integrál
Eredményül az r((p) függvény négyzetes integrál-középértékét kaptuk, Polárkoordinátákat használva tehát a négyzetes integrál-középérték ugyanúgy területkiegyenlítéssel kapcsolatos, mint a közönséges integrálközép derékszögű ko ordináták esetén. 2. Az / = /'oSÍn(ű/ váltakozó áram a fejlődő hőmennyiség szempontjából olyan hff egyenárammal egyenértékű, amelyre
203
Az integrálban a határokat felcserélve:
A dx^
f{t)d t = - f ( x ) .
Legyenek w és v differenciálható függvények. Ekkor v(x) í f ( t ) d t = f { v { x ) ) • v'{x) - f { u { x ) ) ■u ( x ) . dx
U) = |('oSÍncűO"dí,
u(x)
Példák Ebből adódóan
A
éppen a négyzetes integrálközép
a J /„ -s in -(0(d/ 1
n 2(0
1. A logaritmusfüggvényt értelmezhetjük az lnx = Jy í/í integrállal is ( jt>0). h 42'
Ekkor (inx) = —; ln(l) = J - í// = 0. 1
b) Az integ rálszám ítás második középértéktétele. H a az f függvény az [a,b] intervallumon korlátos és integrálható, a (p fiiggvény pedig ugyanitt
2.
\e^‘dt = e~^''^ — -e~^ -2x = x-2xe~^
dx J
r
(x>0).
folytonos, az ]a,b[ nyílt intervallumon differenciálható és ott (p'(x) > 0, akkor
3.2.4. Paraméteres integrál f ( x )(p ( x )d x = (p (a)j f ( x ) d x +
F(y)= f ( x , y ) d x
Az
ahol a < ^ < b .
3.2.3. A határozott integ rál mint felső (alsó) határának függvénye Legyen az f függvény az \a,b\ intervallumon korlátos és Riemann szerint
alakú határozott integrált, amely az y változó függvénye, paraméteres in tegrálnak, dizy változót paraméternek nevezzük. Ha f ( x , y ) az a < x < b , c < y < d négyszög alakú zárt tartományon folytonos, akkor az F ( y ) függvény is folytonos a c < y < d mon. Ekkor dfb
integrálható. Ekkor a
\
f { x , y ) d x dy = T(x) = l f ( t ) d t a függvény ezen az intervallumon folytonos (a < a < b ) . Ha pedig / még folytonos is itt, akkor T(x) az ]a,b[ nyílt intervallumon differenciálható, és ^ rW
= - ^ |/ ( 0 * = /W ,
vagyis T az f egyik primitív függvénye.
intervallu
bfd
f { x , y ) d y dx,
vagyis az integrálások sorrendje felcserélhető. Ha f y létezik és folytonos üz a < x < b , c < y < d négyszög alakú zárt tartományon, akkor az F { y ) paraméteres integrál differenciálható és b b A . f{ x ,y ) d x = \fy {x ,y )d x .
dy
Ekkor tehát a differenciálás és integrálás sorrendje felcserélhető. Ezeket a tételeket felhasználhatjuk integrálok kiszámítására.
Integrálszámítás
204
Példák 1. Legyen f { x , y ) = x^ (0 < x < l; a < y < b ; a >0). A függvény a zárt téglala pon folytonos, ezért A dx. 0 Integráljuk külön a jobb és külön a bal oldalt: b f\
\
br „0.1
h
a - J o
a
\ +b
\ u , ^ d x '== a V0
y
és
(h dx =
í
Inx
dx = \ ^- ~^— dx.
J 0
í
Inx
A két eredmény egyenlő egymással, azaz, 1 h
Tehát kiszámítottuk az
A HATÁROZOTT IN T E G R Á L ALKALM AZÁSAI 3.3.1. A terület és a térfogat fogalma
Síkidomok területéről ill. mértani testek térfogatáról van elképzelésünk. A geometriában egy síkidom területén olyan valós számot értünk, amely jellem zi (méri) az idom „nagyságát”. Egyszerűbb síkidomok (például háromszög, sokszög stb.) területét ki is tudjuk számítani. Természetesnek tartjuk, hogy két egybevágó síkidom területe egyenlő, továbbá ha egy síkidomot két részre vágunk, akkor a két rész területének összege egyenlő az eredeti idom területével. Hasonlóak mondhatók egy mértani test (azaz térbeli ponthalmaz) térfogatáról is. A fentiek alapján a területre, mint mé rőszámra, érvényesek a következők; 2. Egybevágó síkidomok területe egyenlő;
függvény [0,l] intervallumra vonatkozó határo
Inx zott integrálját, jóllehet ez a függvény zárt alakban nem integrálható. 2. A í = tgx helyettesítéssel könnyen kimutathatjuk, hogy
(a > 0, Z) > 0). 24ab
Ez az integrál az a és b paraméterek függvénye. Mivel az integrandus a és b sze rinti deriváltja folytonos a>0, b> 0 és x > 0 esetén, ezért mindkét oldalt a, ill. b szerint deriválva, az egyenlőség helyes marad. Tehát -dx = -
Aa-Jab ’
Q(űcos" x + fesin" x)'
ill.
dx - —
Q(acos'x + Z)SÍn" x)~
3.3.
205
L A terület nemnegatív valós szám;
^ -dx = In \ + b l+a
dx í öC0S“ x + Z)SÍn"x
3.3.1. A terület és a térfogat fogalm a
Ab4ab
Az egyenleteket (-1) -gyei szorozva és összeadva, újabb határozott integrált kapunk: íl
I _______ ^ _______ = _ J L _ f l + i \ Q(öcos"x + ésin" x)“ A^abK a b )
3. Ha egy síkidomot véges számú részre bontunk úgy, hogy a részeknek páronként ne legyen közös belső pontjuk, akkor a részek területének öszszege egyenlő az eredeti idom területével; 4. Az egységnyi oldalú négyzet (egységnégyzet) területe 1. Ezek a tulajdonságok értelemszerűen érvényesek a térfogatra is. Ekkor nyilván síkidom helyett testet, egységnégyzet helyett egységkockát kell mondani. A sík, ill. tér nem túl bonyolult részhalmazaihoz tehát hozzáren delhetünk a fenti négy tulajdonsággal rendelkező terü letet ill. té r fogatot (összefoglaló néven mértéket). A gyakorlat szempontjából nincs jelentősége olyan ponthalmazoknak, amelyeknek nincs területe ill, tér fogata. Sokszög területét úgy számíthatjuk ki, hogy a sokszöget háromszögekre bontjuk és ezek területét összeadjuk. Nem ilyen egyszerű a helyzet, ha a síkidomot görbe vonal (is) határolja. Ekkor azt az elvet követjük, hogy kiszámítjuk a síkidom területének közelítő értékét, majd e közelítés határér tékét vesszük, például úgy, ahogy ezt a 3.2.1. pontban leírtuk. Ez a hossza dalmas eljárás a határozott integrál segítségével rendkívüli módon lerövi díthető. Ez azt jelenti, hogy a határozott integrál felhasználható síkidomok területének kiszámítására. De felhasználható térfogatszámításra, görbék ívhosszának, felületek felszínének kiszámítására is. Ezeken túlmenően számos geometriai és fizikai alkalmazása van. A következő pontokban néhány ilyen alkalmazását mutatjuk be.
Integrálszámítás
206
J.3.2. Területszámítás
207
3.3.2. Területszámítás
T = {f{x)-g {x))d x.
a) Területszámítás derékszögű koordináták esetén. Az y = f { x ) > 0
Ez a formula akkor is érvényes, haf{x) és g{x) tetszőleges előjelűek. Összetettebb síkidomok területét esetleg alkalmas szétdarabolással dara bonként számíthatjuk.
görbe, az x = a és x = b> a egyenesek, valamint az x-tengely által határolt görbevonalú trapéz területe (3.2. ábra): b
b
T = f {x)dx = J y d x . a
(1)
a
Ha ebben az integrálban a felső határ változó, pl. x {x>a), akkor a T { x y ~ \f{ x )d x = ^f{t)d t a
a
függvényt joggal nevezhetjük területfiiggvénynek. Mivel T'{x) = f { x ) , ezért a T(x) függvény differenciálja, más szóval a területdifferenciál dT = f (x)dx = y d x . A d T differenciál geometriailag a dx alapú és y = f {x) magasságú tég lalap területét jelenti. Ezt nevezhetjük elemi területnek is (3.9. ábra). Ez utóbbi egyenlet mindkét oldalát integrálva az a és ö határok között, és figyelembe véve, hogy T{a) = 0, a görbe alatti síkrész területének kiszámítására alkalmas (1) for mulát kapjuk. Ezt az elvet, vagyis az isme retlen mennyiség (jelen esetben a terület) differenciáljának előállítását és annak integ rálását, nagyon előnyösen alkalmazhatjuk 3.9. ábra. Területfüggvény és más feladatokra (ívhossz, térfogat számítá területdifferenciál (elemi terület) sára stb.) is. Ha az [a,b] intervallumon /(x)<0, akkor
T=
f(x )d x .
Példák 1. Számítsuk ki a 3.11. ábrán vonalkázott területeket. Megoldás. T] = j lnxűfcc = [x ln x -x ]j = e - e + l = 1. 1 A 7^ terület számításához az elemi terüle tet vegyük fel az ábrán vázolt módon, azaz legyen dT, =xdy. Mivel y = \nx, ezért x = e^. Az integrálás változója tehát y, és így az integrálás határai az y változóra nézve 0 és 1. 1 1 , 7^ = I xdy = I e^dy = = e-\. _^)=0 _y=0 Ez az eredmény Tj ismeretében az ábráról is leolvasható. 2. Számítsuk ki az x~ + y~ = l és >>= görbék közötti vonalkázott síkrész területet (3.12. ábra.). Megoldás. A két görbe az x =1 és x = - l abszcisszájú pontokban metszi egymást. A terület, a szimmetriát kihasználva, I
T = 1 'yP)l -
x
^ - X 2 dx =
(3.4. ábra). , ^ 2 - x~dx-2
Legyenek most f és g az, [a,b] interval
3.10. ábra. Két görbe közé eső síkrész
lumon folytonos függvények és legyen f ( x ) > g(x). Ekkor a két függvény görbéje közötti, az x = a és x = b egyenesek által határolt sí/crész területe (3.10. ábra);
3.11. ábra. Görbe alatti és azt téglalappá kiegészítő síkrész
0
3.12. ábra. Kör és parabola közötti síkrész 1 3" 1 X ^ - 1 + 2 \2 -x~d x. 3 0 0
és X= -Jl sin/, dx = 4 l costdt helyettesítés után: r = - j + 4 J cos'/í// = - | + 2 t + sin2í
1=0
4 _ 1 JO
3
, JL
2
Integrálszámítás
208
b) T erületszám ítás paraméteresen adott görbék esetén. Ha a görbe paraméteres egyenletrendszere jc = x{t), y = y{t), akkor a területdifferen ciál dT = y d x = y{t)xd t, és így a görbe alatti síkrész területe:
c) T erületszám ítás p o lá rk o o rd in á tá k esetén. Legyen adva az r = r((p) görbe. Ekkor a 3.15. ábrabeli szektor területe:
(2)
Az a , ill. P határok az a = x{a ), ill. b = jc(P) összefüggésből szá míthatók. Itt tulajdonképpen helyettesítéses integrálásról van szó. Ha egy pont az x = x{t), y = y ( t ) görbe ívén az A ponttól a B pontig ha lad, akkor mozgás közben a ponthoz húzott x=x(t) rádiusz egy szektort súrol (3.13. ábra). Ennek y=y(t) területe: -
{x y~ xy)d t.
(3)
A t^ és tjj határok az A és B ponthoz tartozó paraméterértékek. Ez a képlet is előjeles területet ad. Ha a sugár forgásiránya pozitív, akkor T is pozitív, negatív forgás irány esetén T negatív.
Példa Számítsuk ki az x = a{t -sín t), y = a (l-c o s /) ciklois egy íve alatti síkrész terü letét (3.14. ábra). Megoldás, Mivel x - a { \ - cosí), a görbe alatti terület, a (2) formulát használva:
^= 2 í
1 —sm2/ 1 /-2 sm /+ —/+ 2 4
■
(4)
Ugyanis a területdifferenciál: d r = jr ~ d ( p . A (4) formula a (3) képletből is meg kapható az jc = rcosíp, y - r sincp
3.15. ábra. Szektor és poláris területdifferenciál
összefüggések felhasználásával, figye lembe véve, hogy r = r(cp). Példa Számítsuk ki az r - l a { \ + cos<^) kardioid területét (3.16, ábra). Megoldás. A szimmetriát kihasználva, a terü let felső felét számíthatjuk és ennek kétszeresét vehetjük. Ekkor az alsó határ 0, a felső határ n lesz. így 7C T = 2 -:~ j4 a "(l + cos9 )“í/{p = 6ű"7t.
cp = 0
3.16. ábra.Kardioid és az általa határolt síkrész
3.3.2. Ívhossz-szám ítás
T= ^a~{\-cost)~dt =
Tekintsük a 3.17. ábrán lévő görbeívet. A beírt poiigon hossza =3a"7t.
A határok megállapításához azt vet tük figyelembe, hogy A:=0-nál / = 0 és x = 2a7t-néi t = 2% A területet szektorterületként is kiszámíthatjuk a (3) formulát használva. Mivel ^ = asin/, ezért 0 ,0 -j I (íz"(í - sin /) sin / - a"(1 - cos t)~^t = ^ j (-2 + 2 cosí + í sin t)dt=3a~n. 3.14. ábra. Ciklois alatti síkrész mint szektor
2n
209
Vb
P T = y {t)m d t.
3.13. ábra. Szektor
3.3.2. ívhossz-számítás
2iz
A határokat itt fordítva választottuk, mert a sugár forgásiránya akkor pozitív, ha a mozgó pont az A(2an,0) pontból indul ki.
Sf^: =
+ h2+.. .+h,^.
Ha az s„ sorozatnak létezik véges határértéke, miközben n úgy tart a oo-hez, hogy a leg nagyobb húr hossza is tart a zérushoz, akkor ez a határ érték a görbe ívhossza. Ekkor azt mondjuk, hogy a görbe 3.17. ábra. Görbébe íit poiigon rektifikálható. A görbe ívhosszához az ívdifferenciál (ívelem) segítségével is eljutha tunk: a Leibniz-háromszög alapján (lásd a 2.2.2. pontot)
Integrálszámítás
210
3.3.3. Forgástest térfogatának kiszámítása 2jt I-------------
d s = ■\/d x^ +
.
=
így 2iZ y = f ( x ) egyenlettel adott, szakaszonként sima görbe a< x< b (ill. c < y < d ) határok közötti ívhossza: d d s= x-a
+
n
2 jt/
4fl j Jc o s'y í/(p = 4ű j cosyc/cp = 4ajcOS-^(p + 4ű I 0
0
\ -C O S -y
í/cp^lóű,
0
Itt nyilván célszerűbb lett volna -- a szimmetriát kihasználva - csak a 0 < cp < tc ív hosszát számítani és kettővel szorozni.
dy.
dx ill. s =
3.3.3. Forgástest térfogatának kiszámítása
y^c
x-a
lm
21
Ha a görbe az x = x(t), y = y ( t ) egyenletekkel paraméteresen van adva, akkor dx = xdt, dy = yd t, és így a görbe a < / < p határok közötti ívének hossza: P -J i" +y~ d t . Az r = r((p) polárkoordinátás alakban adott görbe (p^ < (p< [3^ ívének hossza: '9b + r ' “ c/(p.
A Leibniz-hóxomszög alapján ugyanis ds = \ + r'~ í/(p. Az ívhosszszámítási képletekben az integrandus mindig pozitív. Példák 1. Számítsuk ki az x~ +y ~ = a" kör kerületét. Megoldás. A felső félkör egyenlete: y = yla~ - x ~ . Innen y ' = —= M = = = , és így v a"-x “ 5 = 2 J 1+ — — -d x = 2 j —= = = = ^ x = 2a arcsin— a -ííV Cl —X —x"”
= 2a
Néhány egyszerűbb forgástest térfogatának számítását mutatjuk be. A tér fogatszámítást lásd még a 3.7. és 3.8. pontban M essük el a testet az .x-tengelyre merőleges síkkal az x helyen (3.18. ábra). Legyen a síkmetszet területe q (x ), vagyis a térfogatdifferenciál (ele mi térfogat) q{x)dx. Ekkor a test x = a és X = b metszősíkok közé eső részének térfogata: b V = q{x)dx. 3.18. ábra. Térrész metszete és térfogatdifferenciál Ezt az elvet felhasználhatjuk forgástest térfogatának kiszámítására. Ha diZ y ~ f { x ) görbe a < x < b ívét megforgatjuk az x-tengely körül (3.19. ábra), akkor egy forgásfelület, egyúttal egy forgástest keletkezik. A forgástest x-tengelyre merőleges síkmetszete körlap, melynek területe q (x ) = y-% = n { f { x ) f , a térfogatdifferenciál pedig y ' n d x . így a forgástest x = a és x = b síkok közé eső részének térfogata: b b (* 9 f 9 = TC y~dx = K f ~ ( x ) d x .
A kör x = acost, >’= asín/ paraméteres egyenletét használva, i = -a sin /, y = acost, s így
Ha az y = f (x) görbe c< y < d ívét az>>-tengely körül forgatjuk, akkor 2n
_________________________
2n
s= jv a " sin" t + a~ cos" tdt = a j d t = 2an. 0
az y-tengelyre merőleges síkmetszet területe
q{y) - x~% - 7 i(/~ '(y ))
0
2. Számítsuk ki az r = 2a(l + cosq>) kardioid ívhosszát (3.16. ábra). Megoldás. Mivel r '= -2ízsin(p, így
(3.20. ábra); az elemi térfogat pedig x~ndy. így a forgástest _y = c és y = d síkok közé eső részének térfogata: d
5 = j-y/4íz"(l + cos(p)" +4ű" sín" (pí/cp = 2 4 2 a j.^ l + cos(p£/(p =
d
2
Vy = Ttí x ^ d y = Ti \(/~ ' (j^)) d y .
Integrálszámítás
212
213
3.3.3. Forgástest térfogatának kiszámítása Megoldás.
=7r J x~dy - 7tJ ydy = y , ><=0 0
8171
4. Az x = a{t-s,mt), y = a (l -c o s/) ciklois 0< x < lan ívének x-tengely kö rüli forgatásával mekkora térfogatú forgástest keletkezik? Megoldás. Mivel x = a(l - cos/) és a határok / = 0 és / = 2tc, ezért a térfogat j. =% ^y~dx = Ti Ja" ( 1 - co s/)"ű(l-cos/)í// =
= a^n J (1 - 3cosí + 3cos" t - cos^ t)dt 3.20. ábra. Forgásfelület, forgástest, térfogatdifferenciál
3.19. ábra. Forgásfelület, forgástest, térfogatd ifferenci ál
Ha a görbe zz x = x{t), y = y ( t ) paraméteres egyenlettel adott, akkor a térfogat kiszámításához az ;c = .x(0, y = y(t), ül. dx = x d t, dy = y d t helyettesítéseket végezzük el. Hasonlóan járunk el polárkoordinátákkal adott függvénygörbe esetén is, ugyanis az r = r((p) egyenletű görbe paraméteres egyenletrendszere: X = r((p)cos(p,
_y = r((p)sin(p,
q{x) = 2 y z : ^ 2 4 R - - x A térfogat tehát V=
■^R--x~xdx = ^hR-. R ^ 3 0 (Itt célszerű az integrál kiszámítására az R~ - x ^ =t helyettesítést alkalmazni.)
2. Az y = sinX görbe 0 < x < ^ ívét forgassuk meg az x-tengely körül és szá mítsuk ki a keletkező forgástest térfogatát. Megoldás.
5. Az r =
görbe 0 < cp < -y ívét forgassuk meg a polártengely körül és cos" (p ^ számítsuk ki a keletkező forgástest térfogatát. Megoldás. A görbe paraméteres egyenletrendszere: X = rcos(p = tgcp,
j = rsin
ahol (p aparam éter.
Példák 1. Számítsuk ki a 3.21. ábrán vázolt test térfogatát. Megoldás. Az ábra szerinti síkmetszet területe:
3.21, ábra. Körhenger metszése ferde síkkal
Itt kihasználtuk azt, hogy a cos/ és a cos t függvények 0< / < 271 intervallumon vett integráljai egyaránt nullával egyenlők.
V^ = n
3. Az y = x~ görbe 0 < x < 3 ívét forgassuk meg az>'-tengely körül és számítsuk ki a keletkező forgásparaboloid térfogatát.
4 így
= 711 tg''
(p •(I + tg- (p)í/(p = 7t
7C 5■
Néha előfordul, hogy a forgástest térfogatát a felsorolt fonnulák segítségével nem számítliatjuk ki. Ilyenkor az elemi térfogatot igyekszünk kis ügyeskedéssel meghatározni. 6. Számítsuk ki azt a térfogatot, amelyet a 3.22, ábrán vonalkázott síkrész j^-tengely körüli forgatása kor súrol. Megoldás. Ha a dx alapú és y magasságú téglalapot (elemi területet) megforgatjuk az j^-tengely körül, a keletkező elemi térfogat (x sugarú, dx faivastag ságú, y magasságú csőfal térfogata) In x y d x . így a kérdéses térfogat: V = 2tc J^ xydx = 2 n ^j x^ dx = ■81k A 3. példában és az itt szereplő térrész együtt egy hengert alkot, melynek térfogata 8 Itt. így ez utóbbi térfogatot úgy is számíthattuk volna, hogy a henger térfogatából kivonjuk a 3. példában kiszámított térfogatot.
3.22. ábra. Síkrész forgatása, elemi térfogat
214
Integrálszámítás 7. Számítsuk ki a 3.23. ábrán vonalkázott sík rész X = e egyenes körüli forgatásával súrolt test térfogatát. Megoldás. Az elemi térfogat n ( e - x ) ' d y . így a
215
3.3.5. M echanikai alkalmazások
Példák 1. Az y = eh X görbe 0^-tengely körül és számítsuk ki a keletkező forgástestek palástjának felszínét. Megoldás. 1
1
1
z'
Fy. = 2njchx-J\ + s h 'x dx = In jc\C xd x = ttJ (1 + eh2x)dx = k 1 0
V = n j (e~ x)"dy = ttJ (e - e^)~dy 0 0 3.23. ábra. Síkrész forgatása az X = e egyenes körül
______ ^ ^
3.24. ábra. Görbe és ívelem forgatása az X-, ill. y-tengely körül
b F ^= 2 % \\y\ds,
ill.
ahol
__________ ds = J l + ( f ' i x ) f dx.
x =a
Az x-tengely
körüli forgatáskor ugyanis a ds ívelem y sugarú körön mozog, és így egy körülfordulás alatt keletkező elemi palástfelszín nagysága 2tc|>^|í/í'. Hasonlóan az j^-tengely körüli forgatáskor keletkező elemi palástfelszín nagysága lTí\x\ds. Ha a görbe egyenlete paraméteres egyenletrendszerrel adott, akkor ds = -\jx~ +y~ dt . Polárkoordináták esetén X = r((p)cos(p,
y = /'((p)sin(p
0
3. Az r~ =űf“ cos2(p lemniszkátát forgassuk meg a polártengely körül és szá mítsuk ki a keletkező forgásfelület felszínét. Megoldás. A szimmetria miatt elegendő csak a jobb oldali rész felszínét számítani és az eredményt 2-vel szorozni. Mivel , _ -a s in 29 r =ű7cos2(p, ezért r ' = és az ívelem: .^cos2(p ’
h Fy = 2 n \ \ x \ d s .
x-a
és így
ds = y r ~ + r'^ d(p. Ekkor természetesen a határok is megfelelően módosulnak.
^2;
2. Számítsuk ki az a sugarú gömb felszínét. Megoldás. Az x = acost, >' = ű!sin/ kör 0 < /< 7 t ívét kell az x-tengely körül forgatni. A keletkező palást felszíne: _________________ n 71 = 2 k j a sin t^J{-a sin t)~ + {a cos t)~ dt = 2a"7tJ sin/í// = 4ű“tc .
Ebben a pontban csak forgástestek palástjának felszínét számítjuk. (A felszín számítást lásd még a 3.7. pontban.) Yi Ha az _y = / (x) egyenletű rektifikálható y=f{x) görbe a < x < b ívét megforgatjuk azx -, Ili. / y-tengely körül, a keletkező f ó r gás test p a lástjának (azaz forgásfelületnek) a felszíne (3.24. ábra): y X
J~
0
1 Fy = 2 n j x-^l + sh'x dx = 2 n j x chxd x = 2n\x sh x - eh .x]|j = 2ti:( 1- —) = 3,97. 0
2 e - ^1( e - + l) jn.
3,3.4, Forgástest felszínének kiszámítása
a
0
1
ds =
a
-> ^
ű"sm"2(p ,
a
c o s 2 ( D + ----------= ......................
cos2cp
.^cos2(p
A teljes felszín: íl 4
F„,=o = 4 t: f öJcos2(p sin(p-7=£=-í/(p = 4a"n sincpt/cp = 2a'7i(2-V 2). cpio VC0s2(p
3.3,5. M echanikai alkalmazások A határozott integrál felhasználható tömegpontrendszer elsőrendű nyomatékának és tehetetlenségi nyomatékának számítására, ill. tömegközéppontjának (súlypontjának) meghatározására is. A továbbiakban feltételezzük, hogy a szóban forgó tömegpontrendszer homogén és folytonos, sűrűsége: p = 1. Ez azt jelenti, hogy nyomatéka, súlypontja az általa kitöltött geometriai alakzat (görbeív, síkrész, téirész, felület) nyomatékával, súlypontjával egyenlő. Egyetlen tömegpont valamely tengelyre vonatkoztatott elsőrendű (statikai) nyomatéka a pont tömegének és a tengelytől mért távolságának a szorzatával egyenlő.
Integrálszámítás
216
Egyetlen tömegpont valamely tengelyre vonatkoztatott másodrendű nyomatéba (a mechanikában használatos elnevezés: tehetetlenségi nyoma ték, ritkábban inercianyomaték) a pont tömegének és a tengelytől mért távolsága négyzetének a szorzatával egyenlő. Beszélhetünk pontra, ill. síkra vonatkoztatott nyomatékokról is. (Lásd még a 3.7. és 3.8. pontot is.) a) H om ogén síkrész elsőrendű (statikai) nyom atéka. A z y = f { x ) egyenletű görbe a < x < b íve alatti síkrész X-, ill. ^--tengelyre vonatkozó statikai nyomatéka (3.25. ábra): b b y"dx, ill. M y = xydx.
3.3.5. Mechanikai alkalmazások
217
My = J x^dx = 4.
= 0
0 2
A terület: T = ]x~dx = ^ . 0
Az 5', súlypont koordinátái: I j 2 ’ T 5 ’ A görbe fölötti síkrész statikai nyomatékai: 4
4
'* 3 .
M^ = ^xydy = ^ y ^ d y = \ y - d y = ^ - , 0
0
0
4
4
M y = - \ x - dy = ^ ^ y d y = A. 3.25. ábra. Síkrész statikai nyomatéka
Itt figyelembe vettük, hogy az ydx elemi terület statikai nyomatéka az .X, ill. j-tengelyre
V 1 dM^ = y d x ■^ = ~ y ~ d x ,
ill.
(3.26. ábra). Vagyis, ha a görbe polárkoordinátás egyenlete r=r(cp), az elemi terület ■yr"í/(p, akkor a (p^ < (p < (pg szektor jr-, ill. y-
/ 3.26. ábra. Szektor statikai nyomatékhez = 3
tengelyre vonatkozó statikai nyomatéka:
r^ sin(pí/(p,
ill.
0
3.27. ábra. Síkrészek és súlypontjuk
Aterület: r = 8 - | = ^ . Az S 2 súlypont koordinátái: M T
dM y - x y d x ..
Szektorszerü síkrész statikai nyomatékának számításához azt kell figyelembe venni, hogy az elemi szektor súlypontja a csúcsponttól 2 számítva a szektor magasságának -j-ában van
r=r((p)
0
4’
T
A két síkrész együtt téglalapot alkot, ennek súlypontja az 5(1,2) pont. Az és S2 tömegpontok közös súlypontja nyilván ez az 5 pont. Valóban, 8 . 1 + 1 6 .1
1 .6 ^ .1 6____ 12 ...5 3 5, ^ 2 .
=
2. Határozzuk meg az r~ =a-cos2(p lemniszkáta (1.51. ábra) x>Q levelének súlypontját. Megoldás. A szimmetria miatt (mivel cos\)/= cos(-\|/)) a súlypont a polártengelyen van, ezért y^ = 0. Elegendő tehát az My statikai nyomatékot kiszámítani. TZ
ü
My = j J V co s2 (p ^ co s(p d (p =
J-^l-2sin-(p^cos(pdcp.
Ha a síkrész területe T, akkor a síkrész súlypontjának koordinátái: My Xv = T Példák 1. Határozzuk meg a 3.27. ábrán különböző módon vonalkázott síkrészek súly pontjait külön-külön.
Helyettesítés: sincp = - ^ s i n í , cos(pí/(p = - ^ cos/ í/í , és így JL M , = ^ ^ ] c o é t d t =^ ! ^ . 16
218
Integrálszámítás
219
c) Hom ogén forgástest és fo rgásfelület elsőrendű (statikai) nyom atéka. Ha az j; = / {x) egyenletű görbe a < x
1 r = Y j ű-cos2(pű'(p = -Y -
A terület:
3.3.5. Mechanikai alkalmazások
A súlypont koordinátái:
Ha a forgástest térfogata
akkor súlypontjának abszcisszája:
Z>) H om ogén görbeív elsőrendű (statik ai) nyom atéka. Az 7 = f { x ) egyenletű görbe a < x < b ívének ;c-, ill. >^-tengelyre vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatéka: b b M x= yds, ill. M y = xds. x=a
x=a
Ugyanis a ds ívelem statikai nyomatéka az x-, ill. _K-tengelyre y d s , ill. xds (lásd a 3.24. ábrát). Figyeljük meg a forgástest felszínére vonatkozó formulákkal való hasonlóságot. H a a görbeív hossza 5, akkor súlypontjának koordinátái; xs= — \ y s^ — s s Példák 1. Számítsuk ki az a sugarú negyedkön'v súlypontjának koordinátáit. Megoldás. Célszerű az x = acost, y = asint paraméteres egyenletet használni. Vegyük az első negyedbeli ívet. Mivel ds = adt, ezért
My, = A súypont a forgástengelyen van. Ugyanezen görbeív x-tengely körüli forgatásakor keletkező forgásfelület iy, z) síkra vonatkozó statikai nyomatéka: h Sy- = 2 n ^ x y d s . X —ű
Ha a forgásfelület felszíne
akkor a súlypont abszcisszája: ^6' =
A súlypont a forgástengelyen van. Példa Határozzuk meg a íélgömbtest és féigömbtélület súlypontját. Megoldás. Az x'~ +y~ =a~ kör első negyedbeli ivét forgassuk meg az x-tengely
2
a~úntdt = a~',
xy~dx.
M y . = 71
... anV l .
My= ~ja~ costdt = a~ .
körül. Mivel y~ - a~ -x~, a félgömbtest statikai nyomatéka: a
A két nyomaték a szimmetria miatt nyilván egyenlő. A negyedkörív hossza
- . Xv = Vv = — ^ = —a ^ s n 2. Számítsuk ki a 3.28. ábrán vázolt homogén keret súlypontját. Megoldás. A statikai nyomatékok:
Xs
3.28. ábra. Keret és súlypontja
.
0
í = a y , a súlypont koordinátái tehát:
»S
4
My. = 71J x (a “ - x~)dx =
M , = b c + j b - ; My = j-c- + j a - . A keret ívhossza: s = a + b + c. A súlypont koordinátái: a~ +c~ 2{a + b + c )'
b-+2bc ys = 2(a + b + c ) '
A félgömbtest térfogata
9
^
, tehát a súlypont abszcisszája:
'-test
j/ X
A félgömbfelület statikai nyomatéka: = 27t j x V a " - x~
A félgömb felület felszíne
1+ —
— ~ d x = 2 a n j x dx = cPn .
- l a ' n , így a súypont abszcisszája: feliilel
^
2 ■
Integrálszámítás
220
A forgástestek felszíne, ill. térfogata és a forgatott görbeív, 111. síkrész súlypontja között az ún. Guldin-szabályok adnak összefüggést. I. Az {x, y) síkban levő görbe í ívdarabjának az :x-, ill. ;^-tengely körüli forgatásával keletkező forgásfelület F^, ill. Fy felszíne egyenlő az ív súlypontja által megtett útnak és az ív hosszának szorzatával, azaz F^ = 2ny^ ■s,
Fy = 2 tix^^ ■s .
ill.
3.3.5. Mechanikai alkalmazások b 1r 3 7 ;^ = — y dx,
221
Iy=
ill.
b ( ^ x~ yd x.
A 3.25. ábra alapján ugyanis az y d x elemi terület >’-tengelyre vonatko zó tehetetlenségi nyomatéka x~ydx. A z ly-ra vonatkozó képlet segítségé vel könnyen igazolható, hogy o z a és b oldalú téglalapnak a b oldalra mint ,3
II. Az {x, >>) síkban levő T területű síkrész x-, ill. j^-tengely körüli forga tásával keletkező forgástest V^, ill. Vy térfogata egyenlő a síkrész súlypont ja által megtett útnak és a síkrész területének szorzatával, azaz V^ = 2 % y s - T
V y^2% xs-T .
ill.
E két szabály segítségével görbeív, ill. síkrész súlypontjának koordinátáit és statikai nyomatékait is számíthatjuk. E szabályok temiészetesen akkor is éi-vényesek (értelemszerűen), ha a gör beívet, ill. a síki’észt az sík tetszőleges egyenese körül forgatjuk. Példák 1. Számítsuk ki az x~ + y~0\ y>0 negyedkörlap súlypontjának ko ordinátáit. 2 Megoldás. A forgatott síkrész területe: T = ^ ~ ^ - A keletkező forgástest térfogata: V = 2a K . A Gí//í//«-szabály segítségével
tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka
Ezt felhasználva most
már látható, hogy az y d x elemi terület x-tengelyre vonatkozó tehetetlen ségi nyomatéka —y^dx. Ha a síkrész területe T, akkor a két tehetetlenségi sugár (inerciasugár)-. /z ]l r
"V r ’ Példa Számítsuk ki az x" + X- és jv-tengelyre. Megoldás.
< a" (y SO) felső félkörlap tehetetlenségi nyomatékát az
3J
~a
.........
3
Helyettesítés: x = asin/, dx =acostdt. a
2nT
3n'
--------------
2
4
ly = j x ~ \a ~ - x ~ dx = a^ | sin" t cos' t dt =
Innen látszik, hogy a forgatott síkrész x-tengelyre vonatkozó statikai nyomatéka A két nyomaték egyenlő, ami nyilvánvaló. A két tehetetlenségi sugár: 2n
3
2. Számítsuk ki az x~+y~=2ax kör j-tengely körüli forgatásával keletkező forgástest felszínét. Megoldás. A kör sugara a, így a forgatott görbeív (kör) hossza: s = 2an. A körvo nal súlypontjának abszcisszája; x^ =a. Tehát a felszín;
é) Homogén görbeív m ásodrendű nyom atéka. Az y = f (x) egyenletű gör be a^-tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka:
Fy = 2n Xs -s = 4a~n~. y~ds, (I) H om ogén síkrész m áso d ren d ű (tehetetlenségi, inercia) nyom atéka. A z y = f (x) egyenletű görbe a < x < b íve alatti síkrész x-, ill. j^-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka:
ill.
F =
x~ds.
Ugyanis a d í ívelem tehetetlenségi nyomatéka az x-, ill. y-tengelyre y~ds, ill. x~ds.
222
Integrálszámítás
Példa Mekkora az x = acost, >^ = flsin/ kör 0 < /< - ^ ívének az x-tengelyre vonat kozó tehetetlenségi nyomatéka? Megoldás. Mivel ds = adt, ezért Jt 4 = j a - sin-
ahol M a tömegpontrendszer tömegét jelenti. A mi esetünkben az M tömeg geometriai megfelelője terület, ívhossz, térfogat, felszín lehet.
3.4. 34
223
3.4.1. Végtelen integrációs intervallum
IM PROPRIUS INTEGRÁLOK
3 cos2t)dt =
-1 ).
f ) Hom ogén forgástest és forgásfelület m áso d ren d ű nyom atéka. Ha az _y = f { x ) egyenletű görbe a < x < b ívét megforgatjuk az x-tengely körül, akkor a keletkező forgástest x-tengelyre (a forgástengelyre) vonatkozó te hetetlenségi nyomatéka: b I y'^dx. 2J Ugyanezen görbeív x-tengely körüli forgatásakor keletkező forgásfelület tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyre: b =2% J y ^ d s .
A határozott integrált csak korlátos függvényekre és véges integrációs in tervallumra értelmeztük. A határozott integrál értelmezése azonban kiter jeszthető olyan esetekre is, amikor az integrációs intervallum végtelen, vagy az integrandus nem korlátos, vagy mindkét eset egyszerre áll fenn. Ilyenkor improprius integrálokról beszélünk.
3.4.1. V égtelen integrációs intervallum Legyen az / függvény értelmezve az a < x < + <=° intervallumon, és tegyük fel, hogy bármely véges a < x < b intervallumon Riemann szerint integrál ható. Ekkor a függvény [a, + oo[ intervallumon vett improprius integrálját a következő határértékkel értelmezzük:
x=a
f(x)dx=
Hm
f(x )d x .
Példa Számítsuk ki az y = ^V3 ^ x egyenes 0 < x < a szakaszának x-tengely körüli forga tásakor keletkező forgástest és forgásfelület (kúp) tehetetlenségi nyomatékát a for gástengelyre vonatkozóan. Megoldás. A forgástest tehetetlenségi nyomatéka: O J Q^ Mivel ds = ^ I Ü ^ d x =
V3
QA •
Ha ez a határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy az im proprius integrál konvergens. Ha a határérték nem létezik, vagy végtelen, akkor az improprius integrál divergens. Teljesen hasonlóan értelmezzük az / függvény ]-°<>,a] intervallumon vett improprius integrálját, ha a függvény itt értelmezve van, és bármely c < x < a véges intervallumon szerint integrálható: / (x)dx =
dx, a forgásfelület tehetetlenségi nyomatéka:
3 2 I , = 2 n j V3 9 -x -^d x -
Végül ha az/függvény értelmezve van a f{x)d x
g) A Steiner-tétel. H a
egy töm egpontrendszer tehetetlenségi nyomatéka
a súlyponton átmenő tengelyre vonatkozóan, akkor az ezzel párhuzamos és tőle t távolságban levő tengelyre vonatkozó / tehetetlenségi nyomaték: I = Is + M t \
lim f(x )d x . /Í-4- 00J
és
00
f(x)d x
improprius integrálok konvergensek (c rögzített), akkor +00
f(x)d x=
c
+ °°
f(x )d x +
f ( x ) d x = lim
B
f(x)d x.
Integrálszámítás
224
1. Számítsuk ki az y = e~^ függvénygörbe alatti síkrész területét a 0<;r<+oo határok között (3.29. ábra). Megoldás. +== R T= \e~^dx= lim \e~^dx= lim + 1) = 1 .
R
/ (x)dx -R
határértéket, ha létezik és véges, az improprius integrál Cauchy-féle főérté kének nevezzük. Az improprius integrál is szemléltethető „végtelenbe nyúló” síkrész terü letével (3.29. ábra). y M egemlítjük a következőket:
+00
\f{x)\d x improprius
I. H a az a
3.29. ábra. Végtelenbe nyúló síkrész
improprius
logaritmikus spirális hossza a -<=0 < cp < 0 határok között'?
5= í
-00
+ e~^í/(p =
lim
í 4 le ^ d ^ - 4 l
lim [ \ - e ^ ] - y l 2 . >
3. Az J ......improprius integrál divergens, mert például •foo
konvergens.
/ {x)dx improprius integrált abszolút konvergensnek.
Ebben az esetben az
2. Mekkora az r =
Megoldás. A görbe végtelenszer csavarodik az origó köré. Ennek a „végtelen csa varmenetnek” a hossza:
4-00
integrál konvergens, akkor az f{x)d x / integrál is
225
Példák
la A és B egymástól függetlenül tart -°o -h e z, ill. +oo-hez. Ha ez utóbbi integrálban A = - R és B = R, akkor a Hm R-^+o
3.4.2. Nem korlátos integrandus
R
lim [ ^ ^ = 1 lim (ln(l + /? -)-0 ) = +oo , ^ K ^ + - [ \ + x- 2/í-^+cV !
[ \ + x-
Létezik viszont az eredeti improprius integrálnak főértéke, és ez nulla, mert +R
lim
f - í ^ =l
lim (ln(l + i? -)-ln (l + /?-)) = 0.
d z f függvényt pedig az a < x < +«> intervallumon abszolút integrálható nak nevezzük. lí . Legyen az a < x <
intervallumon g {x) > 0 és tegyük fel, hogy
3.4.2. Nem korláto s in teg ran d u s
+00
g{x)dx improprius integrál konvergens.
az a
Ha x > a esetén |/ ( x ) | < g{x), és /b á rm e ly véges a < x < b intervallu+00
mon Riemann szerint integrálható, akkor az J / (x)dx improprius integrál a
is konvergens. III.
H a /b á rm e ly a < x < b véges intervallumon Riemann szerint integ
rálható, és ha van olyan a > 1 szám, hogy minden x > a esetén x ^ f { x ) +00
f (x)dx improprius integrál konvergens. Ha pedig van
korlátos, akkor az a
olyan a < 1 és 5 > 0 szám, hogy valamilyen c (> a) értéknél nagyobb x értékek esetén x ^ \ f (a:)| > 6, akkor az im proprius integrál divergens.
Legyen az / függvény értelmezve az a < x < b félig zárt intervallumon (esetleg az a < x < b zárt intervallumon is), és legyen lim \f{x )\ - +«> .x-^b~Q Tegyük fel, h o g y /tetsző leg es kis e > 0 szám esetén minden [ a , b - z ] zárt intervallumon Riemann szerint integrálható. Ekkor a függvény \a,b\ inter vallumra vonatkozó improprius integrálját a következő határértékkel értelmezzük: b b-E f { x ) d x = lim f{x)dx. a
e->+0
a
Ha ez a határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy az improprius integrál konvergens. Ha ez a határérték végtelen vagy nem létezik, akkor az improprius integrál divergens. Teljesen hasonló a helyzet, ha a függvény az a hely környezetében nem korlátos (3.30. ábra). Ekkor
Integrálszámítás
226 h
X
3.30. ábra. Végtelenbe nyúló síkrész
Megjegyezzük, hogy a
b f {x)dx = lim \ f {x)dx .
Végül ha a z / függvény az a < x < c - z és c + E < x < b intervallumokon Riemann szerint integrálható, de a c hely környezeté ben nem korlátos (3.31. ábra), akkor b c-t b f { x ) d x = \ \ m í/(.x)ű6c + lim f{x)d x, e-->+0 •' -n-^+o o
a
c+y\
feltéve, hogy a jobb oldalon álló határérté kek külön-külön léteznek ( e és T) egymás tól függetlenül tartanak nullához). 'c-z b f{ x )d x + f(x )d x lim £->+0
határértéket szokás az előbbi improprius integrál Cauchy-féle főértékének nevezni. Megemlítjük a következőket: I. Ha az
|/(.x)|í/.x
improprius integrál konvergens, akkor az
b
az
f ( x ) d x improprius integrál konvergens. Ha pedig van olyan a > 1 és
6 > 0 szám, hogy b-hez elég közel eső x értékek esetén (b - x ) ^ \ f (x)| > 5, akkor az improprius integrál divergens. Példák 1. Számítsuk ki a 3.30. ábrán vonalkázott sík rész területét. Megoldás. T=
=
V x- 1
lim ] - ^ = e-^+O •' v x - 1 1+e
2 lim (V 2 -V e) = 2V2 . e-^+o'> ' 2. Vizsgáljuk meg, hogy az y = - 1 függ smx JL i£ intervallumon vett improprius in vény ' 3 ’ 4. tegrálja konvergens-e (3.31. ábra), ill. létezik-e Cauchy-féle föértéke? Megoldás. A függvény az x=0 pont környezeté ben nem korlátos. így
b f (x)dx improprius integrál is konvergens. Ekkor az
/ (x)dx integrált
sinx
a
abszolút konvergensnek, az / függvényt pedig az \a,b\ intervallumon abszolút integrálhatónak nevezzük.
3
e->+0 j smx n->+o-' sm x 11
lim e-^+o
3.31. ábra. Végtelenbe nyúló síkrészek tg^
+ lim
-JL ri->+0.
3
Mivel a két határérték végtelen, így az improprius integrál divergens. Létezik azonban Cauchy-féle föértéke. Ugyanis lim (ln tg -|-ln tg Y + lntg-f--lntg-|) = ln(V 6-V 3). E-^+o 2 6 8 2
ÍI. Legyen az a < x < b intervallumon g (jr)>0, a b pont környezetéb ben nem korlátos, és tegyük fel, hogy az g (x ) d x improprius integrál a
227
3.5.]. A határozott integrál becslése
3.5.
A HATÁROZOTT INTEGRÁL KÖZELÍTŐ KISZÁMÍTÁSA
konvergens. Ha a < x < b esetén \ f (jc)|< g (x), és a b pont környezetében nem korlátos /fü g g v é n y bármely a < x < b ' < b intervallumban Riemann b szerint integrálható, akkor az / {x)dx improprius integrál is konvergens.
A határozott integrál pontos kiszámítása sok esetben nehézkes vagy lehe tetlen. Éppen ezért a gyakorlati esetek egy részében közelítő módszereket használunk.
a
III. Via a b pont környezetében nem korlátos / függvény bármely a < x < b ' < b intervallumon Riemann szerint integrálható, és ha van olyan a < 1 szám, hogy az a < x < b intervallumon (b - x ) ^ f { x ) korlátos, akkor
3.5.L A határozott integrál becslése Legyen az/függvény az [a ,6] intervallumon korlátos és integrálható.
Integrálszámítás
228
a) A középértéktétel a lap ján (lásd a 3.2.2. pontban) a függvény \a,b\ intervallumon vett határozott integrálja az m { b - a ) és M { b - a ) értékek közé esik. így m és M ismeretében az integrál b m{b - a ) < f {x)dx < M{b - a) a módon becsülhető (3.6. ábra). b) M ajoráló függvénnyel: Ha f ( x ) < g ( x ) és g is integrálható az \a,b] intervallumon, akkor (3.32. ábra) ' ' J J
y=g{x) ry-f{x)
f ( x ) d x < \g ( x ) d x . "x 3.32. ábra. Terület (határozott integrál) majorálása
229
3.5.2. Numerikus integrálás
c) A Bur^akovszkij-Schwarz-fék egyenlőtlenség felhasználásával, f { x ) = 4\ g(x) = 1 választása mellett 1
li
............. 2
'
P /
\
'
j v l + x‘^dx< j v l + x ‘^ dxjl~dx = | ( l + x"')dtJí/x = -JÜ2 = 1,095. 0
! 0
0
í 0
0
3.5.2. Numerikus integrálás Legyen az / függvény korlátos és integrálható az [a,b] intervallumon. Mivel a függvény [a,b'\ intervallumon vett határozott integrálja geomet riailag az >» = f { x ) görbe, az x-tengely, az x = a és x= b egyenesek által határolt síkrész területével egyenlő (ha f ( x ) > 0 ), ezért a határozott integ
c) A B u nyakovszkij-S chw arz-féle egyen lőtlenség szintén alkalmas lehet integrálok becslésére. Ha / és g az [a ,6] interval
rál közelítő kiszámítására alkalmas, legegyszerűbb numerikus módszerek ehhez a szemlélethez kapcsolhatók.
lumon integrálható függvények, akkor
számú egyenlő részre (3.34. ábra).
a) Trapézformula (trapéz-szabály). Osszuk fel az \a,b\ intervallumot n
b f{x)g{x)dx
(/(x )fd x í(g (x )fd x .
Példa Becsüljük meg az
j Vl +
dx integrál érté-
0
két az a), b) és c) pontokban adott formulákkal (3.33. ábra). Megoldás. a) Az / ( x ) = Vl + x'* függvény a 0< < 1 intervallumon növekvő. A függvény legkisebb értéke m = /( 0 ) = l, legnagyobb értéke A/= = / ( l ) = V2 = 1,414. A középértéktétel alapján 3.33. ábra. Terület (határozott integrál) becslése
b) Mivel Vl + x'^ < l + 1
_________
l< jV Í+ /" í/jc < V 2 =1,414.
(
|V l + x V x < J 1+ 4 - d x 2 ^
a = Xq
ezért I
Mindegyik intervallum hossza legyen h. Az osztópontok legyenek:
r
51 10
= 1, 1.
b \ f { x ) d x ^ h y p + y n + y \ +y2+---'^yn-\
Integrálszámítás
230
23 :
3.5.2. Numerikus integrálás
párhuzamos sávokra bontjuk. A belső sávok területét a Simpson-fovm\x\éiVdi\ 2 számítjuk, a két szélső síkrész területét pedig a j g í képlettel (utóbbi azt
A trapézformula 5^ hibájának becslése:
jelenti, hogy a szélső síkrészeket parabolaszeleteknek tekintjük). ahol M l az \f ' \ x ) \ maximuma az \a,b\ intervallumon. H a tehát a h lépés közt fele akkorára vesszük, a hiba becsült értéke negyedrészére csökken. b) Simpson-formula (Simpson-szabály). Osszuk fel az \a,b\ intervallu mot I n számú (tehát páros számú) egyenlő részre. Legyen mindegyik részintervallum hossza h. A görbe alatti síkrész területét közelíthetjük h szélességű (alapú) trapézok területösszegével, úgy mint a trapézformulá nál, de közelíthetjük 2h szélességű, rendre magasságú trapézok területösszegével is. Ez utóbbi közelítés nyilván pontatlanabb mint az első. Vegyük a két összeg 2:1 arányú súlyozott átlagát. Ekkor kapjuk, az alábbi Simpson-formulát:
c) Határozott integrál közelítő kiszámítása az integrandus sorbafejtésével. Ha az integrandus függvénysora az integrációs intervallumon egyen letesen konvergens (lásd a 4.4. pontban), akkor tagonként integrálható. így az integrál értéke tetszőleges pontossággal számítható a sor első néhány tagjának figyelembe vételével. Példák 1,3
0,3
[0,3; 1,3 ] intervallumot 10 egyenlő részre osztva. Megoldás. A
b
közelítő értékét a trapéz- és a Simpson-formulával, a
1. Számítsuk ki
- függvény szükséges értékeit a következő táblázat tartalmazza:
^ /( x )t6 c - |(> - o + y 2 « +4(>^l +3^3+---+y2«-l)+2(y2 +y4+---+y2n~2))a
i
Xf
yi
i
Xj
A Simpson-íoxmvXdí lényegesen jobb közelítést ad, mint a trapézformula, mivel itt a görbét nem egyenesszakaszokkal, hanem - a súlyozott átlagkép zés következtében - parabolaívekkel helyettesítjük. Ha az \a,b\ intervallumot mindössze két egyenlő részre osztjuk, akkor a
0 1 2 3 4 5
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0,985066 0,973550 0,958860 0,941069 0,920313 0,896700
6 7 8 9 10
0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
Simpson-STSihdXy speciális esetét, az ún. Kepler-féle hordószabályt kapjuk:
y. 0,870366 0,841470 0,810190 0,776697 0,741199
9
f { x ) d x ^ ^ { y Q + A y i +>^2)-
=7,989215;
.^o.lZl.0 ^ q^863132; jvq+J"io = 1726265;
/=! A Simpson-formula.
hibájának becslése:
4(3^1 + y 2 +ys +yi +.V9) = 17,717942;
l{ y 2 +y^+ye +y%) - 7,119459
A trapézformulát alkalmazva: 180 ahol M4 az f
0,1(7,989215 +0,863132) = 0,885235,
(x) maximuma az
[a,b] intervallumon. Ha tehát a h lé
3.35. ábra. Zárt görbe által határolt síkrész feldarabolása
1,3 .
r (4 ),
péstávolságot fele akkorára vesszük, a hiba becsült értéke 16-od részére csökken. Megemlítjük, hogy zárt görbe által határolt síkrész területét úgy is szá míthatjuk, hogy a 3.35. ábra szerint
0,3
A Simpson-íorm\x\kX alkalmazva: = -^(1,726265+17,717942 + 7,119459) = 0,885456, 0 ,3 1
2. Számítsuk ki J
,
értékét sorbafejtéssel.
Integrálszámítás
232 Megoldás.
-A - .
1 -+...= 0,9461. 3 ’3! 5-5! 7-7! 7! ■■■ 0 0'^ A sor első három tagját véve figyelembe, az eredmény négy tizedesjegyre pontos,
3!
mivel
1-1\
233
sorozat határértéke (jelölése lim /„ ) ugyanaz a szám. Ezt a közös határ
A' I
1
3.6.2. A kettős integrál értelmezése
<510
5!
értéket az f függvény T tartományra vonatkozó kettős integráljának nevezzük. Jelölése: f(x,y)d xd y
vagy
f(x ,y )d T
vagy
/.
-5
Az értelmezés alapján tehát f { x , y ) d x d y = lim /„. 3.6.
A KETTŐS INTEGRÁL Az I„ integrálközelítö összeg helyett szokás az
3.6.1. A kettős integrál értelmezése A kettős integrál az egyváltozós függvény határozott integráljának általá nosítása kétváltozós fíiggvényre. Ezt az integrált olyan síkbeli ponthalma zon értelmezzük, amely korlátos, zárt és amelynek van területe (más szóval mérhető). Az ilyen ponthalmazt tartománynak fogjuk nevezni annak elle nére, hogy a matematikai szakirodalom a tartomány elnevezést kissé más értelemben használja. L egyen/kétváltozós függvény (az f ( x , y ) jelölést is használjuk), amely
ill. k=\
F„:= ^ k=\
alsó összeget ill. felső összeget venni, ahol
. ill.
az f { x , y ) függ
vényértékek alsó ill. felső határa a ^-adik résztartományon. Ha az (A„) és (F„) sorozat a tartomány bármilyen, és minden határon túl finomodó fel
integrálközelítő összeget. Vegyük a felosztásoknak egy minden határon túl finomodó sorozatát és az
osztása esetén konvergens és határértékük egyenlő, akkor az / fílggvény a T tartományon integrálható. Ez a közös határérték a függvény T tarto mányra vonatkozó kettős integrálja. A T tartományt integrációs tartománynak vagy alaptartománynak is nevezzük. Az integrált szokás T tartományon vett kettős integrálnak is mondani. A kettős integrál ilyen értelmezéséből következik, hogy korlátos és mér hető területű zárt tartományon folytonos függvény azon a tartományon Riemann szerint integrálható. Következik továbbá, hogy konstans szorzó kiemelhető az integráljel elé, és függvények összege ill. különbsége tagon ként integrálható, ha a tagoknak külön-külön létezik kettős integrálja. Az integrálható függvény több tartományból összetett tartományra vonat kozó kettős integrálját az egyes tartományokon vett kettős integrálok öszszege adja. Az integrálközelítő összegben szereplő tag annak a ha
ehhez tartozó /] , /2
sábnak a térfogatát jelenti, amelynek alapterülete A7^, magassága pedig
a T tartományon korlátos. Osszuk fel a T tartományt AT], /Slj ’ ■• •> területű résztartományokra (3.36. ábra). Legyen továbbá Q u i^ k ’^^k) ^ A:-adik résztartomány tetszőleges pontja (k = 1,2,...,«). Képezzük a felosz táshoz és a ö l , Ö2 >•• •’
pontokhoz
tartozó
■z=f(x,y)
3.36. ábra. Tartomány felosztása
A -=
. soroza
tot. H a az (/„ ) sorozat a felosztástól és
fi^ k ^ '^ k ) - Éppen ezért az így értelmezett kettős integrál f { x , y ) > 0 ese
a ö b 62 ’ • • •>ö/i pontok választásától
tén (a szemlélet alapján) annak a térrésznek a térfogatát adja, amelyet a z = f { x , y ) egyenletű felület, az { x ,y ) síkban fekvő T tartomány és az ennek határoló görbéjére emelt, a z-tengellyel párhuzamos alkotójú hen gerpalást zár közre. Ezt a térrészt felület alatti térrésznek is mondjuk. A kettős integrál tehát jó l használható térfogatszámításra. Ha f ( x , y ) = 1,
függetlenül konvergens, akkor azt mond juk, hogy a függvény a T tartományon Riemann szerint integrálható. Iga zolható, hogy ekkor bármely ilyen (/„ )
234
Integrálszámítás
akkor ennek kettős integrálja a T tartomány területével egyenlő. Ezen kívül a kettős integrálnak számos geometriai és technikai alkalmazása van. Ha az / függvény a T tartományon negatív és ott integrálható, akkor a T tartományra vonatkozó kettős integrálja is negatív. Ha pedig a függvény a T tartományon előjelet vált, akkor a T tartományon vett kettős integrálja a felület „alatti” és „fölötti” térrészek előjeles térfogatösszegével egyenlő. M egemlítjük még az integrálszámítás középértéktételét legegyszerűbb alakjában: Ha az f függvény a korlátos, zárt és mérhető területű T tartományon folytonos, akkor a tartományban van olyan Q(^,V[) pont, hogy a függvény T tartományra vonatkozó kettős integrálja egyenlő a tartomány T területé nek és az f (^,ri) függvényértéknek a szorzatával: f{x ,y )d x d y = T -f{^ ,r\). Geometriailag a tétel azt jelenti, hogy a z = f ( x , y ) felület alatti térrész térogata egyenlő a T alapterületű és / (^,ri) magasságú henger térfogatával. Az /(^,T i) függvényértéket az / függvény T tartományra vonatkozó kö zönséges integrálközépértékének nevezzük.
3.6.2. A kettős integrál kiszámítása A kettős integrál kiszámítása - értelmezése alapján - nagyon kényelmetlen. Éppen ezért azt két egyszeres integrál kiszámítására vezetjük vissza. a) D erékszögű koordináták használata. Legyen az / függvény integrálható a T tartományon, mely tartományt az y = ya{x) (alsó), y = y f ( x ) (felső) gör
3.37. ábra. Tartomány és annak határát alkotó görbék
bék, valam int az x = a és x = b egye nesek határolnak (3.37. ábra). Bebizo nyítható, hogy ha rögzített jc esetén y/(x) az f { x , y ) d y paraméteres integrál y-y d ^ ) létezik, akkor
y/(x) ^ b \f{x,y)d xd y= í l f ( x , y ) d y dx T x=a ^y^ya(x) ;
3.6.2. A kettős integrál kiszámítása
235
A kettős integrált tehát két egyszeres integrál egymás utáni kiszámításával kapjuk (először a belső - zárójelben álló - integráh számítjuk ki). A jobb oldali integrált kétszeres integrálnak nevez zük. Az ebben szereplő belső integrál geometriailag a 3.38. ábrán vonalkázott síkrész q{x) területével szemléltethető. Felülről a z = f { x , y ) felület határolja ezt a síklapot. Ha a r tartományt az x = xi,{y) (bal
3.38. ábra. Térrész metszetekor keletkező metszetlap
oldali), x = x j ( y ) (jobb oldali) görbék, valamint az y = c és y = d egyenesek határolják (3.39. ábra), akkor az előzőhöz hasonló feltételek esetén
f{x ,y )d x d y =
_ f { x , y ) d x dy. x^xhiy)
3.39. ábra. Tartomány és annak határát alkotó görbék
Gyakran előfordul, hogy a tartományt egyetlen zárt görbe határolja. Ilyenkor a görbét a 3.40. ábra szerint vagy egy alsó és felső görbeívre, vagy pedig egy bal oldali és egy jobb oldali görbeívre bontjuk, attól függően, hogy melyik változó szerint akarunk először integrálni.
x=xb(y)
( S
t
’( V
y=yaW
3.40. ábra. Zárt görbék által határolt tartományok Előfordul továbbá, hogy a tartományt több részre kell feldarabolni. Ilyenkor minden egyes résztartományra külön-külön ki kell számítani a függvény integrálját és ezeket az integrálokat össze kell adni. A kettős integrál határainak megállapítását megkönnyíti a következő formális szemléltető meggondolás: Tekintsünk a T tartományban egy P pontot (3.41. ábra).
Integrálszámítás
236 y
Derékszögű koordináták esetén az eh hez tartozó résztartomány legyen a dxdy területű téglalap (elemi terület). A kétsze res integrálásnak megfelelően a P pontot a hozzátartozó téglalappal együtt, először rögzített X mellett az ;^-tengellyel párhu zamosan az ya (x ) alsó görbétől az y / ix)
0
a X b ' 3.41. ábra. Tartomány lefedése
felső görbéig visszük. Ekkor lefedünk egy dx szélességű sávot a tartományból (az ábrán szaggatott vonalakkal jelölve). Majd elvégezzük ezt a sávlefedést a tartomány bal oldali szélső x értékétől a jobb oldali szélső x értékig. így a tartományt (pontosan egyszer) teljesen lefed tük. Ugyanez fordított sorrendben is végrehajtható. A kétszeres integrál kiszámításánál előbb mindig azt az integrált kell ki számítani, amelynek határai változók (általában ezt szoktuk „belülre” írni). Ha a határok állandók, akkor tetszőleges sorrendben integrálhatunk, feltéve, hogy az integrandus mindkét változójában Riemann szerint integrálható. Ha az integrandus / (x ) g { y ) alakú és a határok állandók, akkor d b b d f ( x ) g ( y ) dxdy = j / ( x ) d x - j g ( y ) d y . y=cx=a
x=a
y=c
3.6.2. A kettős integrál kiszámítása
237
-0 ,7 5 f' l+ V Í + 7
\ \ { \ - x + 2y)dxdy= | T
\ { \ - x + 2y)dx dy +
y = -\\x = ]-,fu ^ 0,5
+
í
A ^ { \ - x + 2 y)dx dy+
i
^=-0,751^ a-=0,5
y
j
( i+Ti+7 J { \ - x + 2 y)dx dy.
>'=0,5l^
x=y
2. Számítsuk ki az f { x , y ) = y függvény T tartományon vett kettős integrálját, ha a 7 tarto mány az x"+>»"-4x = 0 körvonal által határolt síkrész (3.43. ábra).
egyenlete a felső görbeív egyenlete y = ezért J ax- x^ ^ydxdy= j ydydx=^ ^=0■'y=--\l4x-x^ " 3. Számítsuk ki az y- = \ 2 - 2 x és
■Jax- x^
rdx=0 . -■Jax- x
/(x ,;^ ) s l
függvény kettős integrálját az y~ ~x,
= 0 görbék által határolt T tartományon (3.44. ábra).
Megoldás. Itt célszerű előbb x szerint integrálni: Példák 1. Számítsuk ki az f ( x , y ) = \ - x + 2y függvény T tartományra vonatkozó kettős integ rálját, ha a rtartomány az = x" - 2x; y = x és x = 0,5 vonalak által határolt jobboldali síkrész (3.42. ábra). Megoldás. Itt célszerű előbb az_y változó szerint integrálni. Tehát I
3.42. ábra. Parabola és két egyenes által határolt tartomány
(l - X + 2y)dxdy
= J
=
{ \ - x + 2y)dy dx =
x=0,5 \ y = x - - 2 x
0,5
b) Polárkoordináták használata. Bizonyos kettős integrálokat lénye gesen egyszerűbb kiszámítani, ha 3.44. ábra. Parabolák és azx-tengely által határolt tartomány Descartes-koordináták helyett az x = rcos(p, >^ = rsin(p egyenletekkel az r és cp polárkoordinátákat vezet jü k be. így az új területelem r d r d ^ (3.45. ábra) és J f{x ,y )d x d y =
3
= j[(l-x )y + y -
jdxcfy= J jdxdy= T >'=0 x=y^
dx = (3x - 7x“ + 5x^ - x'*)í/x =
192
= 2,995 .
0,5
Ha előbb az x szerint integrálunk, tehát az integrálás sorrendjét felcseréljük, ak kor a tartományt három részre kell feldarabolni (az ábrán ezt szaggatott vonallal jelöltük), és az integrálást három részben kell elvégezni a következőképpen:
T
f (r cos(p, r sin (p)rdrd(p, r
ahol T a T tartomány képe az (r,(p) síkon. A határok megállapításakor azt vegyük figyelembe, hogy r az origóból kiindulva sugárirányban változik, (p pedig a pozitív forgásiránynak meg-
Integrálszámítás
238
Tt
felelően. A 3.46. ábrán vázolt T tartomány esetében a P pont az rdrd(^ elemi területtel együtt az egész T tartományt (pontosan egyszer) akkor futja be, ha r változik az r = ri((p) görbétől az r = görbéig (ekkor rögzített (p mellett lefedtük a d
239
3.6.2. A kettős integrál kiszámítása j 2cos(p
JJ 4 ^ '+ y 'd x d y = 2 J
J (8cos^ (p - l)í/(p = 2Í V3 -
r •rdrdi^ = |
j
.
=0
=0 r= \
(p
2. Számítsuk ki az f{ x ,y ) = l + x y -Z x függvény x“ + j " < 5 tartományon vett kettős integrálját (3 .48 . ábra). Megoldás. Polárkoordinátákat használva, a tartomány határgörbéjének egyenlete r = VI. A tartomány szimmetrikus ugyan, de az integrandus nem, így a cp szög 0-tól 2tc -ig változik. Mivel a határok állandók, ezért tetszőleges sorrendben integrálha tunk. Célszerű előbb (p szerint integrálni. Tehát 27C S
J (2 + r “ cos(psin(p- 3/- cos(p)rí//'í/(p =
JJ(2 + x y - 3x)dxdy= j T
(p=0/-=0
=
rdr = An ^rd r = \Qn. r= 0
3.45. ábra. Területelem polárkoordinátákkal
3.46. ábra. Tartomány polárkoordinátás egyenletű görbékkel határolva
Példák 1. Számítsuk ki az f{ x ,y ) =
függvény kettős integrálját, ha az in
tegrálási tartomány az x ~ + y ~ = l és x ^ + y ^ = 2 x körök közötti, a 3.47. ábrán vonalkázott síkrész.
r= 0
Itt kihasználtuk azt, hogy a coscpsincp és eoscp függvények teljes periódusra vett határozott integrálja nulla. c) Általános görbevonalú koordináták használata. A kettős integrál kiszámítására most az x és derékszögű koordináták helyett az x = x(u,v) és az 7 = y(u ,v ) egyenletekkel vezessük be az w és v görbevonalú koordi nátákat. Ekkor
T
dudv, f{ x ,y ) d x d y = \\f{x{u ,v),y{u ,v)) d(u,v) r
ahol F a r tartomány képe az (w,v) síkon, d (M ) d(u,v)
3.48. ábra. Körtartomány Megoldás. A feladat megoldásához célszerű polárkoordinátákat bevezetni. Ha A:= rcos(p, y = r sin(p, akkor a görbék egyenlete 7j = 1, r2 = 2 cos(p. A dxdy területelem helyére az rJrí/cp területelem kerül. Mivel a tartomány is, és a -Jx~ +y~ függvény is szimmetrikus az x-tengelyre, a (p szög változzon 0-tól y ig, ezért az integrált szorozzuk kettővel. Tehát
=
yu
pedig az ún. Jacobi-féle függvénydetermináns. Feltételezzük, hogy ez a determináns nullától különböző. Az integrálban ennek abszolút értéke szerepel. Speciálisan, polárkoordináták bevezetése esetén pl. X = rcos(p,
y = rsin(p,
így a Jacobi-fé\Q determináns:
d(x,y) 3(r,(p)
x; y'r
•^(p
C0S9 -rsin(p sin(p rcoscp
Integrálszámítás
240
Példa Számítsuk ki az xyr' függvény T tarto mányon vett kettős integrálját, ha a f tar tományt az y~ ^’
=
“
3.7.2. Térfogatszámítás
241 A tartomány alakjától függő en természetesen itt is célszerű lehet polárkoordináták vagy ál talánosabb görbevonalú koordi náták bevezetése.
r^=cos2(p
y = 3x
(p=0 Példák
görbék határolják (3.49. ábra). Megoldás. Itt célszerű olyan u és v görbevonalú koordinátákat bevezetni, hogy a tartomány határgörbéi az w= konstans és y = konstans görbék seregébe tartozzanak. Legyen
3.49. ábra. Tartomány
Ekkor az j =
1. Számítsuk ki az r"-cos2(p lemniszkáta által határolt síkrész te rületét (3.50. ábra).
3.50. ábra. Lemniszkáta
Megoldás. A szimmetria miatt elegendő a terület negyedrészét számítani és 4-gyel szorozni. így az egész terület:
ill. y = 2ix
görbéknek az w= y , ill. w= 3 értékek fe
4 -Jcosltp lelnek meg. Hasonlóan y = ~ esetén az
y = -^ görbéknek a v = 1, ill.
dxdy-A
v = 4 értékek felelnek meg. Az integrálás határai tehát w= -|- és m= 3, ill. v = 1 és _1 1 i i v = 4. Az y = ia, y = ^ egyenletrendszerből x = u -v " , y = u~v~. ,l
-jU
AJacobi-fék determináns:
i-> 1l _1T _1■> T - V- u - V -
, _i 1
—u -
, 1 - 1
2
t= J
3.51. ábra. Parabola és egyenes által határolt tartomány 105
I I xy^dxdy=
3.7.
Megoldás. X 2u'
Az integrálban ennek a determinánsnak az abszolút értéke szerepel. Tehát
v=i„4
r=0
2. Mekkora az y = x~ és y = x + 2 görbék által közrezárt síkrész területe (3.51. ábra)?
— U~ V “
V-
rd r d ^ -2 | cos2(pí/(p=l.
9=0
r
jr+2
2
dxdy = j( x + 2 - x “)űtc = 4,5.
r = - l y=x^
x=~]
3.7.2. Térfogatszámítás
v=l„=l
A KETTŐS INTEGRÁL ALKALM AZASAI
Ha az / függvény a T tartományon pozitív és integrálható, akkor - mint láttuk - e tartományon vett kettős integrálja annak a testnek a térfogatát adja, melyet felülről a z = f ( x , y ) felület, alulról a T tartomány, oldalról pedig a tartomány határgörbéjére emelt, az alapsíkra merőleges alkotójú hengerfelület zár közre. Ennek a térrésznek a térfogata:
3.7.1. Területszámítás V = jjf( x ,y ) d x d y . Ha f { x , y ) = 1, akkor a függvény T tartományon vett kettős integrálja annak a hengernek (hasábnak) a térfogatát adja, amelynek alapja a T tarto mány, magassága pedig 1. A dim enziótól eltekintve tehát a kettős integrál ebben az esetben a T tartomány t területével egyenlő, azaz dxdy.
T
Könnyen belátható, hogy a z = f { x , y ) és z ~ g ( x , y ) felületek és a T határgörbéjére emelt hengerfelület által határolt test térfogata, ha f( x ,y ) > g ( x ,y ) : V = \\{ f{ x ,y ) - g { x ,y ) ) d x d y .
Integrálszámítás
242
Ez a formula akkor is érvényes, ha f ( x , y ) és g { x ,y ) tetszőleges előjelűek. A tartomány alakjától, ill. az integrandus jellegétől függően itt is célszerű le het polárkoordináták, vagy általánosabb görbevonalú koordináták bevezetése. Példák 1. Számítsuk ki a z = Ax~ + By^ {A> 0, B >0) elliptikus paraboloid és az {x,y) sík 0 < x < a ;
b
^{A x-+ B y-)dydx^
F=|
=2
í/cp = J (49 ■14" cos" cp- 7 •14^ cos'* (psin" (p) í/cp =
4 9 - ^ - - ^ s in " (p
r=0
= 49 ■14" J (cos^ (p - 2 cos'* cp+ 2 cos®(p) Jcp = 72 037t
=0
(p
3. Mekkora térrészt zár közre a z = sin'' x - y ~ és a z = 0 felület a 0 < x < n közben? Megoldás. Az alaptartományt a felü let ; ’". Innen >' = ± sinj. Tehát 7C
u
= J
243
3.7.3. Felszínszámítás
F=f
Abx- + B ^ dx=,
x
sin AT
j(sm -x ~ y -)d y d x = jjs i n ^ x d x = ~ .
=0 ^ = - s i n x
abc 3.7.3. Felszínszámítás ahol c az Aa~ + Bb~ helyettesítési értéket jelöli.
-= 4 9 _ y 2
2. A
z = 49 - y~,
z =0
és
x~ + y~ = l4x felületek egy térrészt zárnak közre. Számítsuk ki e térrész térfogatát. Megoldás. A körülzárt térrészt az xysíkra merőleges alkotójú körhenger ből egyrészt az ;g^-sík, másrészt az Józ sik fölé emelt z = 49-;^" paraboli 3.53. ábra. Henger alatti térrész kus henger metszi ki (3.53. ábra). Az alaptartomány az Ay-síkban a (7,0) középpontú, 7 sugarú körlap. Célszerű polárkoordinátákat bevezetni:
2
14
^{A 9-y")d yd x=
F= J =
14cosip
| (p=- i '•=0
Legyen valamely felület vektoregyenlete: r = (x(u,v), y (u ,v ), z(u,v)). A felületnek ezzel ekvivalens param éteres megadása: X = x(u , v),
y - y(u , v),
z = z { u ,v ) .
Tételezzük fel, hogy a korlátos és zárt T tartománynak megfelelő felü letdarab sima, ami azt jelenti, hogy a felületnek minden pontjában van érintősíkja. Osszuk fel a T tartományt n számú résztartományra. Jelöljünk ki mind egyik résztartományban egy-egy helyet. Mindegyik helyhez tartozik a felüle ten egy pont és ehhez a ponthoz egy érintősík. A résztartományoknak megfe lelő felületdarabokat vetítsük az egyes rintősík metszete érintősíkokra merőlegesen (3.55. ábra). Az így kapott vetületek (érintősíkFelület metszete darabok) területének összege legyen
(4 9 - r" sin" (p)/-í/r£/(p =
.
/„ := A 5 i+ A S 2 + ... + AS'„ = k=l
3.55. ábra. Felület és érintősík metszete
Integrálszámítás
244
Ha a felosztást minden határon túl finomítjuk, akkor az (/„)
A skaláris felületelem:
sorozat ha
d S = \df\ = ^ l u T f V f f d x d y .
tárértékét tekintjük a kérdéses felületdarab S felszínének. Bebizonyítható, hogy EG -
5= ahol E -
r'r';
G
= r'r';
és F =
r„r'
dudv,
245
3.7.3. Felszínszám ítás
A felszín tehát
(*)
az ún. G auss-íéle főmennyiségek.
Ehhez az eredményhez formálisan a következőképpen is eljuthatunk. Vegyünk fel a felületen egy F pontot két paramétervonal metszéseként (3.56. ábra). A param étervonalak P pontbeli érintővektorai és r ' . A P pontbeli két differenciálvektor r^du és r'í/v. E két vektor vektoriái is szorzatát felületelemvektornak nevezzük. Jele:
Látható, hogy a felszínt egy vektor (felületelemvektor) abszolút értéké nek integrálásával kapjuk. Ez tehát nem lehet negatív. Példák 1. Számítsuk ki az r = (ucosv,MSÍnv,v) csavarfelület azon darabjának felszí nét, amelyre 0 < m< 1; 0 < v < 2jt. Megoldás. Ez a felületdarab a csavarfelületnek a z-tengelyü, egységsugarú egyenes körhengeren belül egy teljes menetmagasságnyi része. r,' = (cosv, sinv, O),
d f = (r' X ry)dudv.
i J k cosv sinv 0 = (sinv, - cosv, u) -MSinV MCOSV 1
Ennek a vektornak az abszolút értéke a sk aláris felületelem (felü letdifferenciál). Jele:
A skaláris felületelem: dS = |r' X r^\dudv = V1 + w“ dudv.
dS = |r ' X r^\dudv.
Ezt a skaláris felületelemet a Gauss-féh fömennyiségekkel is kiszámíthatjuk:
3.56. ábra. Felület és felületelemvektor
. , ,, . , , , ,, , A ska la n s felületelem a két diffe renciálvektor által kifeszitett paralelogram m a területe. Ez nyilván a P pontbeli érintősík egy darabjának területe. Ennek alapján a teljes felszín'. S =
dS = T
E - r,'r,' = 1, G = r,>,'= M"+1,
dS = VEG -F ~ dudv = -Jl + u~ dudv .
|r 'x ry\dudv. j
S=
r„ r, sin a= -Jr'" r;“ (l-c o s^ oc) =>/r«“rv"-(r>v)" = y lE G - F ~ .
Ezt visszahelyettesítve az integrálba, megkapjuk a (*) formulát. H a a felület egyenlete z = f { x , y ) alakban adott, akkor a felület egy le hetséges vektoregyenlete: r = { x ,y , f { x , y ) ) . r^ = (1 ,0 ,/;);
•Jl + u~ dudv = 271 J -Jl+ u'du =TC^V2+ln(l +^2 j . v= O h = 0
2.
Innen
F = r,'r^' = 0,
A felszín:
A z integrandust alakítsuk át: r„x r.
= (-Msinv, mcosv, l ) ,
r' = (o ,l,/;).
A felületelem vektor. d f = (r; X r ' )d xd y = { - / ; , - / ' , \] d x d y .
Számítsa ki a felszínét a
z = %-x~ -y ~ forgási paraboloid azon darabjának, melyre z > 0 és y+x>Q. A paraboloid a z=0 síkot az x~ +y~ körben met szi. Az alaptartomány tehát e kör belsejének az y = - x egyenes fölötti része (3.57. ábra). A felszín: 5 = 1 -\jl + 4x~ +4y~dxdy = 3.57. ábra. Forgásparaboloid darab
246
Integrálszámítás
Ugyanennek a síkrésznek az origóra vonatkozó ún. poláris tehetetlen ségi nyomatéka:
4 Vi” =
I
247
3.8.1. A hármas integrál értelmezése
J y l l + 4 r - r d r d ( ? = 7t j ^ \ + A r - r d r = - ^ ( S S S S - I ) .
Közben polárkoordinátákat vezettünk be. A szimmetria miatt cp határait vehettük volna például 0-nak és 7t-nek.
3.7.4. M echanikai alkalmazások
c~ + y~ ) d x d y , ugyanis a P (x ,y ) pont origótól mért távolságának a négyzete ,2 2 ,2 t =x +y . Az ;c- és >>-tengelyre vonatkozó ún. centrifugális tehetetlenségi nyo maték: xydxdy.
A 3.3.5. pontban foglalkoztunk egy adott síkrész statikai és tehetetlenségi nyomatékával. Ezeket a fogalmakat itt már felhasználjuk. a) Homogén síkrész statikai nyomatéka. Jelöljük a korlátos, homogén (vagyis homogén tömegeloszlásúnak képzelt) síkrészt T-vel, e síkrész tetszőleges P (x ,y ) pontjához tartozó területelemet pedig dxdy-na\. Le gyen adva T síkjában egy egyenes. A dxdy területelem statikai nyomatéka erre az egyenesre (tengelyre) vonatkozóan t{ x ,y )d x d y , ahol t( x ,y ) a dxdy területelem távolsága (a P pont távolsága) az egyenestől. így a síkrésznek adott egyenesre mint tengelyre vonatkozó statikai nyomatéka: M=
Példa Számítsuk ki az origó középpontú, a sugarú körlap origóra vonatkozó poláris és az X, _y-tengelyre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékát. Megoldás. Polárkoordinátákat használva: j r ^ r d r d i ^ = 27t |
/q = j (p=Or
2n
le = j
dr =
.
r= 0
4 271
a
| r “ cos(psin(prí//-í/(p = - ^ Jsin9c0s(pc/cp = 0.
(p=
t{ x ,y ) d x d y .
=0
0/-=0
=0
cp
T
A kettős integrál kiszámításához célszerű lehet polár- vagy más görbevonalú koordinátákat használni. Ha az adott egyenes az x-tengely, akkor t{ x ,y ) =.y, ha pedig az ;^-tengely, akkor t( x ,y ) = x. Ezért az jí-, ill. y-tengelyre vonatkozó statikai nyomaték. M ^~
y d x d y , M y= x d x d y . r T A súlypont koordinátáit lásd a 3.3.5. pontban. b) Homogén síkrész tehetetlenségi nyomatéka. Az előbbi feltételnek eleget tevő síkrész tehetetlenségi nyomatéka az adott egyenesre (tengelyre) vonatkozóan:
3.8.
A HÁRM AS INTEGRÁL
3.8.1. A hármas integrál értelmezése A hármas integrált a kettős integrálhoz hasonlóan értelmezzük (lásd a 3.6.1. pontban). Legyen / a korlátos és mérhető K tartományon korlátos háromváltozós függvény (a háromváltozós függvényt f { x , y , z ) - \ d is jelöljük). A K tartomány mérhetősége itt azt jelenti, hogy van térfogata. A tartományt felosztva AF|, AF2 , ..., AF„ térfogatú résztartományokra, képezzük az
.2 ,
7 = 1 t^ ( x ,y ) d x d y . k=l így az j:-, ill. y-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyom atét. L =
y~dxdy,
x ~ d x d y.
integrálközelítő összeget. Itt
a ^-adik résztartomány egy tetsző
leges pontjának koordinátái. Ha a felosztás minden határon túli finomításá val keletkező (/„ ) sorozat a felosztástól függetlenül konvergens, akkor azt
Integrálszámítás
248
3.8.2. A hármas integrál kiszámítása
mondjuk, hogy a függvény a K tartományon R iem ann szerint integrálható. Ekkor bármely ilyen (/„ ) sorozat határértéke ugyanaz a szám. Ezt a közös határértéket az f függvény K tartományon vett h á rm as integráljának nevezzük. Jelölése: f { x ,y ,z ) d x d y d z
jf{ x ,y ,z )d V
vagy
f.
vagy
ahol dxdydz, ill. d V a térfogatelem. Az értelmezés alapján tehát f { x ,y ,z ) dxdydz = Hm /„ .
249
3.8.2. A hármas integrál kiszámítása Tételezzük fel, hogy a K tartományt határoló zárt felület (amely több felü letdarabból lehet összetéve) olyan, hogy az .x-, y- vagy z-tengellyel párhu zamos bármelyik egyenes ezt a felületet legfeljebb két pontban metszi. Ilyen feltétel mellett a hármas integrál gyakorlatilag három egyszeres integ rál segítségével számítható ki. Derékszögű koordinátákat használva, a K tartományt jelöljük ki a következő egyenlőtlenségekkel (3.58. ábra): a< x< b,
y^{x)
z^{x,y) < z < z j \ x , y ) .
Ez azt jelenti, hogy a térrészt alulról a z = z^,(x,jv) felület, felülről a z = Z f \ x ,y ) felület, oldalról pedig az y = y ^ ix ), y = y / (x) hengerfelület,
Az /„ integrálközelítő összeg helyett szokás az
ill. az x = a és X = b síkok határolják. Kimutatható, hogy ekkor \ " - f( x ,y ) ^ h J / {x,y, z) dxdydz = f{ x ,y ,z )d z dy dx .
n
^■ =
illk=\
Fnk=\
alsó összeget, ill. felső összeget tekinteni, ahol /n^, ill.
K
az / ( x ,y ,z )
függvényértékek alsó, ill. felső határa a A:-adik résztartományon. Ha az (A„) és {F„) sorozat a tartomány bármilyen, minden határon túl finom odó felosztása esetén konvergens és határértékük egyenlő, akkor az f függvény a K tartományon integrálható. Ez a közös határérték a függvény K ta rto m á n y ra vonatkozó hármas integrálja. Ha egy függvény folytonos a K tartományon, akkor integrálható is ott. A hármas integrál tulajdonságai közül megemlítjük, hogy konstans szor zó kiemelhető az integráljel elé, ill. összeg és különbség tagonként integ rálható, ha a tagoknak külön-külön létezik hármas integrálja. Továbbá az integrálható függvény több (mérhető és korlátos) tartományból összetett tartományon vett hármas integrálját az egyes tartományokon vett hármas integrálok összege adja. A középértéktétel legegyszerűbb alakjában, folytonos/ függvény esetén
x=a J=ya(>:)
J A jobb oldali három egyszeres integrált együtt háromszoros integrál nak nevezzük. Ha itt a z szerinti integrálást elvégeztük, akkor a megmara dó kétszeres integrál a 3.6.2. pontban leírtak szerint számítható ki (a T alaptartomány a K térrész vetülete az (x ,y ) síkon).
f{ x ,y ,z ) d x d y d z = V f{ ^ ,r \,Q ,
ahol V a K térrész térfogata és / ( ^ , r j , Q a tartományon belül valamely pontban felvett függvényérték, melyet az f ( x , y , z ) függvény K tartományra vonatkozó közönséges integrálközépértékének nevezzük.
Példa Számítsuk ki az / (x ,y ,z) - x~yz függvény K tartományon vett hármas integrálját, ha a K tartományt az x~ + y “+ z~=l gömbfelület első témyolcadban levő része, a z=l, X - 0, y=0 síkok, valamint az x~ + y~ =1 hengerfelület határolja (3,59. ábra).
Integrá Iszá m ítás
250
3.8.2. A hármas integrál kiszámítása
Megoldás.
251
A. Jacobi-fé\Q determináns:
jjjx~ yzd V = j J K x=0 ^=0
cos'öcoscp -rco s'd sin cp - r sini3cos(p ^ { x ,y ,z ) _ cos'ösincp rco s'ö co síp - r sin ű sin 9 = r co sű . d{r,(p,ű) sin'ö 0 rco s'd
I x~yzdzdydx = ^ ^
^ x 'y { \ - \ +x~ + y~)dydx=^ x=0 ;.=0
4 \-X -
4 1
1-XTehát göm bi koordináták esetén a térfogatelem (3.61. ábra):
+ X
d V = r~ cos'öí/r í/ípc/ií), A hármas integrál kiszámítása gyakran egyszerűbbé válik, ha az X = x{u ,v,w ), y = y{u ,v ,w ) és z - z { u , v , w ) egyenletekkel az x, y és z derékszögű koordináták helyett az u, v és w görbevonalú koordinátákat vezetjük be. Ekkor j j f ( x ,y ,z ) d x d y d z = K
I
f{ x { u ,v ,w ), y {u ,v ,w ), z(u ,v ,w ))
d (x ,y ,z ) dudvdw , d (u ,v,w )
Példa Számítsuk ki a f{ x ,y ,z ) = {x~+y~)z függvény K tartományon vett hármas integrálját, ha a Á' tartományt a z = x~ +y~ paraboloid és a z = 2 sík zárja közre (3.62. ábra). Megoldás. Az integrál kiszámításához célszerű hengerkoordinátákat használni. Mivel ekkor rcoscp, = rsincp, z = z, ezért f{ x ,y ,z ) - r ~ z , a paraboloid egyenlete pedig z - r ' . k térfogatelem rdrdc^dz, így jj{ x ^ + y ')zd x d y d zK
r~zrdzdrd(p = (p=07'=0r=/-^
VI 2 ^ V2 = 2 7 t| r^zdzdr - TI { 4 - r"^)dr - I tí .
z'u
az űn. Jacobi-féle függvénydetermináns. Az integrálban ennek abszolút értéke szerepel. Feltételezzük, hogy ez a determináns nullától különböző. K ' a K tartomány képe az u, v, w koordinátarendszerben. Hengerkoordináták esetén .X= r COS9 , y = r sincp, z = z. A Jacobi-félc determináns:
y
cosíp -rsin q ) d ( x ,y ,z ) . ..- — f = sm(p rcosffi d(r,(p,z) 0 0
2
2tc VJ 2
Xjj Xy x ^ d (x ,y ,z ) _ y'u yv yw d(u ,v,w )
ahol
Ti
2
/•=0-=,-2
r=Q
Mivel sem a z sem az r változó nem függ (p-től, ezért először 9 szerint is integ rálhatunk.
0 . 0 1
Tehát hengerkoordináták esetén a térfo gatelem (3.60. ábra); dV =
d { x ,y ,z ) drd(pdz = rd rd i^d z. 3(r,(p,z)
Gömbi koordináták esetén hengerkoordinátákkal
A:=rcos'öcos(p, ;^=r cosi3sin(p, z = rsin 'ö .
3.61. ábra. Térfogatelem gömbi koordinátákkal
3,62. ábra, Paraboloid és sík által közre zárt térbeli tartomány
Integrálszámítás
252
3.8.3. A hármas integrál alkalmazásai. A paraboloid egyenlete; 2z = 16r-cos-cp4-16r“ sin-(p, azaz z = 8/-" Mindezek felhasználásával:
3.8.3. A hármas integrál alkalmazásai. á) Térfogatszámítás. H a f { x , y , z ) = 1, akkor a függvény K tartományon vett hármas integrálja a tartomány V térfogatát adja, azaz
iir '* '~ 9 r
16
V= j
j
x= -1 6
d xd y d z -
253
I
2n
I
J (Sr -&r~)rdrd^> = 384-Sti j (r~ - r^)dr = 256n.
= 192 j
A tartomány alakjától függően célszerű lehet derékszögű koordináták helyett henger-, gömbi vagy más koordinátákat használni.
1 8r
7“ X 'l ■ 32
6
dV
2k
j dxdydz = j J jl92rdrd(pdz = (p=Or=0:=&r^ _._x
(p=Or=0
r= 0
2, Mekkora az (x~ + y~ + z~)^ = a^x (a>0) zárt felület által határolt térfogat?
Példák 4y-
el1. Számítsuk ki a 2z = ^ + “ elliptikus paraboloid és a + 16 9 liptikus kúpfelület által közrezárt térrész térfogatát. Megoldás. A kérdéses térrész (x,z) síkkal alkotott metszete a 3.63. ábrán látható.
Megoldás. Látható, hogy a felületet leíró függvény x > 0 esetben van értelmezve. Gömbi koordinátákat vezetve be (x = rcos'öcos(p, >’= rcosi^sin(p, z = rsinö), a felület gömbkoordinátás egyenlete: = a^cos'öcos(p. Ebből viszont azt látjuk, hogy a felü let cp = konstans metszetei zárt görbék.
3.63. ábra. Paraboloid és kúpfelület metszetének vetülete x“ y” A K térrész vetülete az (x,y) síkon, amely az — —+ — —= 1 ellipszis belseje, 16- 12ugyancsak a 3.63. ábrán van feltüntetve. A két felület egymást a z = 8 magasság ban metszi. Ha ezt az értéket akármelyik felület egyenletébe helyettesítjük, megkap juk az ellipszis egyenletét. Célszerű elliptikus hengerkoordinátákat használni. Legyen x = 16rcos(p, y = 12r sincp, z = z. Ekkor az r szerinti integrálás felső határa 1 lesz, mivel r = l esetén x = 16cos(p, = 12sincp, és ez éppen a szóban forgó ellip szis paraméteres egyenletrendszere. Az integrálás határait részletesen feh'rjuk derék szögű koordinátákkal is és elliptikus hengerkoordinátákkal is. E hengerkoordiná táknak megfelelő térfogatelem: 16cos(p -16rsin(p 0 drdi^dz = \ 92rdrd(fdz. 12sin(p 12r cos(p 0
0
A cp = 0 -nak megfelelő r = aVcos-ö met szetgörbét a 3.64. ábrán vázoltuk. A felületet egyébként ennek a görbé nek a szimmetria tengelye (x tengely) körüli forgatásával nyerjük. Minden egyes (p = konstans görbét teljes egészé ben leír a rádiusz végpontja, ha 9 változik
. r= a^cos9
/ A a
9 =(
- y - tő l y -ig , függetlenül attól, hogy (p mekkora. Valamennyi ilyen metszetgörbét
3.64. ábra. Az r -a V c o sű görbe
megkapjuk, ha cp változik - y - tő l y -ig . Mivel a térfogatelem dV=r~cos'ddrd(^d-&, így a térfogat: y
J
F= P=_i
2a'
a^cosöcosíp c Hr rím J r “' r.n cosűí/rí/(pí/T^ = ~^ '•=0
J
J /•- cos" ö cos cpí/(p
=
(p=-f
JcOS“ Ö í/Ű =yű^.
A kúpfelület egyenlete ebben a koordinátarendszerben: 2
16-^"cos“ (p
4-12"r" sin" {p
z = Sr.
b) M echanikai alkalmazások. Legyen K korlátos, V térfogatú homogén térrész (test), és jelölje a térfogatelemet d V .
Integrálszámítás
254
3.9.J. Vonalintegrál
255 jT jr
A térrész tömegközéppontjának (súlypontjának) koordinátái: 4
xd V
xy.s -- — K
-
„
K
-
-
In
I,= \\\{x ~ + y -)d V = \ K
h = K
(x - + z-)d V ;
j í / ( p = -y^TC. (p=0
/.=
=
2. Határozzuk meg az a sugarú, m magasságú, körhenger alakú test tehetetlen ségi nyomatékát a henger szimmetriatengelyére. Megoldás. Legyen a henger tengelye a z-tengely. Ekkor
a térrész :>c-, y - és z-tengelyre vonatkozó
Iy=
= ys =
A súlypont koordinátái:
tehetetlenségi nyomatékai'. (y~ + z^)d V ;
Sin-ÖCOS-ÖíZ-Öí/Cp = - ^
K
— V
A számlálókban szereplő hármasintegrálok a térrész (y ,z ), (x ,z ) és koordinátasíkokra vonatkozó statikai nyomatékai. Tekintettel arra, hogy a térfogatelem távolsága az a:-, y - és z-tengelytől ■Jy~ + z~ , -sjx^ + z ' ,
2
(p=Oű=0
ys- — V
V
2
= ■ ^ 1
zd V
ydv
a
m
2it
a
J \r-rdzdrdi^ = m \
(p = 0 r= 0 := 0
^
2n
4
d r d ( ? ^ ^ jd(p = ^ ^ .
(p=0r=0
tp=0
(x~ + y - ) d V .
K
3.9.
A térrész deviációs nyomatékai: ^xy ~
'^ x y d V \
I^_^ = f f j y z d V ;
4 .=
V O N A L IN TE G R Á L , F E L Ü L E T I IN T EG R Á L , TÉRFOGATI INTEGRÁL
xzd V . 3.9.1. Vonalintegrál
Általában a térrész egyenesre, vagy pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaté ka: / =
r { x ,y ,z ) d V ,
ahol t{ x ,y ,z ) jelenti a térfogatelem távolságát a tengelytől vagy a ponttól. Ennek alapján a térrész origóra vonatkozó poláris tehetetlenségi nyomatéka: (x-‘ + y - + z - ) d V
A szimmetria miatt x^ = ys =zs-
Tehát elegendő például a test {x,y) síkra vonatkozó nyomatékát számítani. Gömbi koordinátákat használva, amikoris .x = /-cosi>cos(p, y = rcos'ösin(p, z = rsin ^ , a térfogatelem dV = r~cos'&drd(^d'^, így a statikai nyomaték: 2 2 a M^y = J z d F = j j r s in ű ‘r~ cosűdrdűdcp = p=0ű=0r=0
sgy
Q i'^k^'^kX k)
pontot;
az
ehhez
tartozó
függvényérték
legyen
fik k ^ '^ k X k ) - Kimutatható, hogy a fenti feltételek esetén az
.
Példák 1. Számítsuk ki az első térnyolcadban levő, x~+y~ + z~ 0, y > 0 , z > 0 nyolcad gömbtest súlypontjának koordinátáit. Megoldás. A nyolcadgömb térfogata V
a) ívhossz szerinti vonalintegrál. Legyen az / háromváltozós függvény egy tartományon folytonos. Legyen továbbá g e tartományban haladó, rektifikálható, folytonos görbedarab. Osszuk fel a görbedarabot n számú ívre. A ^-adik ívdarab hosszát jelölje Asj^. Vegyünk fel ezen az ívdarabon
k =\ integrálközelítő összegek sorozatának van határértéke, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk. Ezt a határértéket az f függvény g görbe menti ívhossz szerinti vonalintegráljának nevezzük. Jelölése: f{ x ,y ,z ) d s . A g görbét integrációs útnak is nevezzük. Bebizonyítható, hogy ez a vonalintegrál akkor is létezik, ha az / (x ,y ,z ) függvénynek a g görbe mentén véges számú szakadása van, és a g görbe szakaszonként sima. Legyen a g görbe az r = (;c(/), y (t), z{t)) ( a < í < p)
Integrá Iszám ítás
256
3.9.1. Vonalintegrál
paraméteres vektoralakban adott. Ha az x{t), y { t) és z{t) függvények az [a , (3] intervallumon folytonosan differenciálhatok, akkor P f{ x ,y ,z ) d s =
f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ^ ( x ( t ) f + ( y ( t ) f + (z(t))
Az integrandusban az = x (t), y = y (t) és z = z{t) helyettesítés elvég zése nem más, mint a függvény leszűkítése a görbe pontjaiból álló halmaz ra. Ezt lokalizálásnak is nevezzük. Végeredményben tehát e vonalintegrál kiszámítását egy t szerinti integrál kiszámítására vezetjük vissza. Az ívhossz szerinti vonalintegrál tulajdonságai: Az értelmezésből kö vetkezik, hogy konstans szorzó kiemelhető az integráljel elé; összeg és különbség tagonként integrálható (ha a tagoknak külön-külön létezik ívhossz szerinti vonalintegrálja). H a a g görbe egymáshoz csatlakozó gj és
257 Sp =
zd s = J f { x , y ) d s .
8 8 Példák 1. Számítsuk ki az x ~ a c o st, y = asm t, z = ht (0< /
________
5' = J 0
+ h~ dt - -Ja^ + h 'T t.
A statikai nyomatékok: n --------Ixds - ^a cost ■^cr + ir dt = 0; TC
n j
______
= J a s in /•sja^ + h'dt = 2a^a~ + h' ;
______
______
I z d s = J h t - J a ~ + h~ d t - h ^ a ~ + h~ ~
g 2 görbékből áll, akkor / { x ,y ,z ) d s =
f ( x ,y ,z ) d s +
g g\ Három fontos alkalmazás:
f{ x ,y ,z ) d s .
A súlypont koordinátái: V - n- „ _ 2a , ^ hn xs-0 , y s - - ^ , =
82
I. Ha / (x ,y ,z) = 1, akkor az J ds integrál a g görbe ívhosszával
2.
Számítsuk ki annak a hengerpalástnak
a felszínét, amelyet az y - ^ x egyenlő. II. Homogén g görbeív súlypontjának koordinátái: sJ
ahol
s
8 a g görbe ívhossza.
y ^s = s^ J yds] g
^5 = — ^ zd s. g
III. Legyen a g görbe az { x ,y ) síkban és legyen z:= f ( x , y ) két változós függvény. Tekintsük az (x ,y ) síkban levő g vezérgörbéjü, az (x ,^ ) síkra merő leges hengert. Az / függvény g görbe menti ívhossz szerinti vonalintegrálja a hengerpalást azon darabjának Sp felszínét adja,
2
béjü, az {x,y) síkra merőleges hengerből a z - l - x sík az első témyolcadban kimetsz (3,66, ábra). Megoldás. Mivel ds = Vl + x dx, a kérdéses hengerpalást felszíne: = J ( 2 - x ) V m í / x = |( 3 V 3 -2 ) 0 ‘
ü
• ' 3.66, ábra. Hengerpalást
V) Koordináta szerinti vonalintegrál. A koordináta szerinti vonalintegrál értelmezése hasonló az ívhossz szerinti vonalintegrál értelmezéséhez, csak a g görbe irányított, és az integrálközelí tő összeg képzésekor a ívdarab helyett annak például jc tengelyre való
amely az ( x ,y ) sík és a z= f(x ,y ) felület
(előjeles) vetületét kell vennünk, legyen ez Ajc^ . Mindezek következtében az
közé esik. Ekkor ugyanis az
/ függvény g görbére vonatkozó jc koordináta szerinti vonalintegrálja:
szorzat a Asj^ ívdarabra emelt / magasságú hengerpalást felszínével egye zik meg (3.65. ábra). Az integrálközelítő összegek sorozatának határértéke tehát S p , 3.65. ábra. Hengerpalást darab
vezérgör-
^
azaz
P \f { x ,y ,z ) d x = ^f{x{t),yit),zit))x{t)dt.
Ezt az integrált vetület szerinti vonalintegrálnak is nevezzük.
Integrálszámítás
258
Teljesen hasonlóan értelmezzük az _y és z koordináták szerinti vonalin tegrálokat is. Jelölésük; \f{ x ,y ,z )d y ,
ill.
^ f{ x ,y ,z ) d z ,
g g paraméteresen adott görbe esetén dy = y{t)dt, ill. dz = z{t)dt . Az ívhossz szerinti vonalintegrál tulajdonságai itt is érvényesek. Ezen kívül megemlítjük, hogy ha a g görbét ellentétesen irányítjuk - jelöljük ezt - g - v e l - akkor f{ x ,y ,z ) d x = - \f{ x ,y ,z ) d x .
3.9.2. Felületi integrál
259
A vonalintegrált lásd még az 5.9.3. pontban. P éld a Szám ítsuk ki az j ( ( x - y ) d x + (x + y ) d y + xyzdz)
s vonalintegrált, ha a g görbét az x = c o st, y = sin?, z - 1 csavarvonal 0 < t < 2 n íve, A (],0 ,2 n )
és a hozzá csatlakozó, az 5 ( 1 ,0 ,0 )
pontokat
összekötő
és
egyen es
szakasz alkotja (3.67. ábra): M eg o ld á s. Itt f { x , y ) = x - y , =^x + y ,
H a / g és ha. g görbe mentén integrálható függvények, akkor az
h ( x , y ) = xyz.
Az
részletben számítjuk. A gj
( / dx + g d y + hdz)
g (x ,y )=
integrált
két
csavarvonalív
m entén x = c o s;, jt; = s in /, z = t, így x = - s i n í ,
j
C savaivonal > = c o s /,
i = 1. A függvényeket
lokalizáljuk a görbére:
integrált, általános v o n alin teg rá ln a k nevezzük. Ha a g görbe zárt, akkor az általános vonalintegrál jelölése:
x-j)v = c o s/-sin /,
x + y = cosí + sínt,
x yz = t cos t sin t .
Tehát
) ( / dx + g d y + h d z ), 1
/ , = J ( ( c o s / - s i n / ) ( - s í n O + ( c o s í + sin O co s? + ? c o s? sin ? )í/í =
és ilyenkor zárt görbe menti integrálról beszélünk. Legyen a K egyszeresen összefüggő tartományban f y = g'x, g 'z= hy, h'x = f i , azaz, f d x + g d y + hdz teljes differenciál, és haladjon a g görbe
0 A z egyen esszak asz m entén x = l, j = 0, z =
t, és így x = 0, y = 0 és z = :
A függvényeket lokalizáljuk a görbére: x-y= = l,
teljesen ^-ban. Ekkor az ( / dx + g d y + hdz)
,
^
x + y = l,
xyz = 0.
Í2 = j ( h 0 + l-0 + 0'l)dí = 0.
Tehát
y
vonalintegrál értéke független a g görbe alakjától, csak a kezdő- és végpont helyzetétől függ. Ebből következik, hogy ilyenkor a K tartományban hala dó bármely zárt görbe mentén a vonalintegrál értéke nulla: j { f dx + g d y + hdz) = 0,
ha
azaz
f dx + g d y teljes differenciál és haladjon a g görbe teljesen a T-ben. Ekkor ( / dx + g d y) vonalintegrál értéke független a g görbe alakjától, csak
g a kezdő és végpont helyzetétől függ és bármely zárt görbe esetén
/ = /,+ /.
3.9.2. Felületi integrál
f y = g ' x , g= = hy, h'^ = f i ,
g Teljesen hasonló a helyzet a kétváltozós esetben. Legyen az egyszeresen összefüggő T tartományon f y - g^,
az
A végeredm ény:
aj A felszín-integrál. Legyen a ű háromváltozós függvény egy tartományon folytonos. Legyen továbbá F e tartományban levő sima (vagyis minden pontjában érintősíkkal rendelkező) felületdarab. Osszuk fel a felületdarabot n számú részre. A ^-adik rész felszíne legyen Vegyünk fel ezen a rész felületen egy
pontot. Az ehhez tartozó függvényérték legyen Kimutatható, hogy a fenti feltételek esetén az n
^ { f dx + g d y ) = Q. g
k=\
Integrálszámítás
260
integrálközelítő összegek sorozatának van határértéke, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk. Ezt a határértéket a ö függvény F felületre vonatkozó felszín-integráljának nevezzük. Jelölése:
261
3.9.2. Felületi integrál
Példák 1. Számítsuk ki a ■ű{x,y,z) = x + yz függvény felszín-integrálját r = (wcosv,wsinv,v) csavarfelület 0< m< 1; 0< v < 7t darabjára. Megoldás, r', = (cosv,sinv,0), r ' =(-wsinv,wcosv,l);
ű ( x ,y ,z ) d S .
E = r,f = 1; F = r 'r ' =0; Legyen a felület egyenlete paraméteres vektoralakban:
\ \ { x + yz)dS= \ F
ű { x (u ,v ),y (u ,v ),z(u ,v ))d S ; dS = ^Íe G - 1 ^ d i i d v .
ahol T a felületdarabnak megfelelő alaptartomány, a gyökjel alatt álló E, F és G pedig a megfelelő G auíí-féle főmennyiségek. Az integrandusban az x = x (u ,v ), y = y (u ,v ) és z = z(u ,v) helyettesítés elvégzése nem más, mint a függvény leszűkítése a felület pontjaiból álló halmazra. Ezt lokalizálásnak is nevezzük. Végeredményben tehát a felszín integrál kiszámítását kettős integrál kiszámítására vezetjük vissza. Ha a felület egyenlete z = f { x , y ) alakban adott, akkor a lokalizálás annyiból áll, hogy a ű ( x ,y ,z ) függvény z változója helyére az f { x , y ) kifejezést helyettesítjük. Ekkor
j ( MCOSv + Mvsinv)Vl +
dudv =
v=0 !/=0
K 1 = J
T
dS =
= w' + 1;
dS = -JEG - F~ dudv = 4 l + u~ dudv .
Ekkor 'ö { x ,y ,z )d S =
G=
A felszín-integrál:
r = { x { u ,v ),y { u ,v ),z{ u ,v )} .
F
-------
J w vsin vvl + M^í/Mí/v = - j ( 2 V 2 ^ - 1).
2. Számítsuk ki az x~ + y~ + z~ - a~; z> 0 fél gömbfelület súlypontjának ko ordinátáit és az origóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát. Megoldás. A szimmetria miatt a súlypont a z-tengelyen van, azaz, x^ = y^ - 0, A félgömb felszíne: S = 2a~n. Mivel z =
-x ~ -y ~ , a felületelem:
dS = .^1 + 2' “ -^Zy dxdy = -j====£==== dxdy. ■Ja" —x~ -y ~ Az {x,y) síkra vonatkozó statikai nyomaték: \\z d S = j j ^ a - - x - - y - ■ y ^ ..^ d x d y = a jjd x d y = a \ . F r ■ y ja --x --y r
1 + z '“ + z'y d x d y .
A felszín-integrálnak hasonló tulajdonságai vannak, mint az ívhossz szerinti vonalintegrálnak. Három alkalmazás: I. Ha '^ { x ,y ,z ) = 1, akkor a felszín-integrál az F felület felszínével egyenlő.
Itt kihasználtuk azt, hogy a T tartomány ío. x “ -¥y~ = a~ körlap, melynek területe ^^dxdy = a~Tí. r A súlypont harmadik koordinátája:
II. Homogén felületdarab súlypontjának koordinátái: xs= -
1
xd S ;
zdS;
25
F
F
F
Mivel a felületelem távolsága az origótól t = -/x" + y~ + z~ , így a félgömbfelület origóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka: I q = II {x- + y - + z~)dS = \ \ a-dS = 2 a \ .
ahol S az F felületdarab felszíne. III. Az F felületdarab egyenesre vagy pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka:
F
F
Itt kihasználtuk azt, hogy z~ = a ~ - x ~ - y~, továbbá azt, hogy jj dS = 2a~n.
t~ ( x ,y ,z ) d S ,
/=
az
F
ahol t{ x ,y ,z ) a felületelem távolsága a tengelytől vagy a ponttól.
b) A felületi integrál. A felületi integrálhoz szükségünk van az irányított felü let fogalmára. A felü letet oly módon irányítjuk, hogy normálvektorát irányítjuk például „felfelé ” vagy ,, lefelé ”, zárt felü let esetén „ kifelé ” vagy
Integrálszámítás
262
„befelé”. Ezáltal a felület normálisaiból álló vektormezőt egyértelművé tehetjük. Az irányított felületdarab (x ,y ) síkra való vetülete pozitív, ill. negatív, attól függően, hogy a felületi normális (-vektor) a z-tengely pozitív irányával hegyes szöget alkot-e vagy tom pa szöget. Ugyanígy az {x,z) vagy (y ,z ) síkra való vetület is lehet pozitív vagy negatív. Legyenek adva ugyanazok a feltételek, mint a felszín-integrálnál és ezen kívül legyen az F felületdarab irányított. A felületi integrál értelmezése hasonló a felszín-integrál értelmezéséhez, csak az integrálközelítő összeg képzésekor ASj^ helyett annak a megadott koordinátasíkra való (előjeles) vetületét kell venni. A i5(.x,3^,z) függvénynek az F felületre vonatkozó, (x ,y ) síkra való vetület szerinti felületi integrálja: ű ( x ,y ,z )k d f = F
ű (x ,y ,z )d x d y , F
ahol d f a felületelemvektor. A felületi integrál kiszámítását tehát kettős integrál kiszámítására vezetjük vissza, miután a '& {x,y,z) függvényt lokalizáljuk a felületre. Az integrandus után álló dxdy = k í/f felfelé mutató normális esetén pozitív. Ha a í/f vektor lefelé mutat, akkor k c/f = - d x d y szerepel az integrálban. Ha a felület egyenlete az r = r(w,v) vektoregyenlettel adott, akkor a felületelemvektor d í = r' X r'^dudv . így a skaláris felületelem ( x ,y ) síkra való (előjeles) vetülete: d{u,v) Ekkor ^
t { x ,y ,z ) d x d y ~ \\- & { x { u ,v ) ,y { u ,v ) ,z { u ,v ) ) ^ ~ ^ d u d v . o{u,v)
Teljesen hasonlóan értelmezzük az (x ,z ) és ( y ,z ) síkra való vetület szerinti felületi integrálokat is. U & a z f g és h függvényeknek létezik az F felület menti felületi integrál juk, akkor az ( / dxdy + g d x d z + hdydz) integrált általános felületi integrálnak nevezzük.
3.9.3. Térfogati integrál
263
A felületi integrálnak hasonló tulajdonságai vannak, mint a koordináta szerinti vonalintegrálnak. A felületi integrált lásd még az 5.9.3. és 5.9.4. pontokban. Példa Szám ítsuk ki a ‘ű ( x , y , z ) = x ~ y ^ z fü ggvén y { x , y ) síkon vett felületi integrálját
I 9
9
~
a
alsó félgöm bfelületre vonatkozóan, lefelé mutató normális
esetén.
Megoldás. A felületelem vektor lefelé irányítva: ri
-X 2
■\ja —X —y
2" ’ r i
-7 2
-^ja — x —y
2
-1 d x d y .
A skaláris felületelem ( x , y ) síkra való előjeles vetülete: k d f = - d x d y . A loka lizálás annyiból áll, hogy az x ^ y ~ z fü ggvén ybe z helyére a —
-x' ~ y '
kifeje
zést helyettesítjük. A felületi integrál tehát / =
jj
x~y~zdxdy =
F
jj x ^ y ^ { - ^ J a~ -
x~ - y ~ ] { - d x d y ) .
T
A rtartom ány origó közepü, a sugarú kör. Célszerű polárkoordinátákat bevezetni:
2kci 7 105
r= 0 o = 0
3.9.3. Térfogati integrál A ű { x ,y ,z ) függvény K tartományon vett térfogati integrálján a 3.8.1. pontban értelmezett hármas integrált értjük. Annak tulajdonságait és ki számítását ugyanott részleteztük.
^ÍIIL E N S O R O Z A T O K , S O R O K t*'-
Szám sorozatok Függvénysorozatok, egyenletes 'k,oiivergeo-cia N uiiierikus sorok K o n v erg en ciakritériiiiT iok
M,ű'veletek konvergens sorokkal F ü g g v én y so ro k
Hatványsorok, hatványsort n 'p Sorok összegének számítás ' -* ■ » icslé F o iirier-so ro k
szo,rzaí:ok P c d ' -l:*'/ -
tN5C,J í:
Iv ««*1' f 1,1
<‘ .!í «;iív kamatláb
ir
s-
.1 Í5
••
r.íiiíatói
IV. FEJEZET
V É G T E LE N SO R O ZA TO K, SO RO K ÉS SZO R ZA TO K
4.1.
SZÁM SOROZATOK
A sorozat szót köznapi értelemben is liasználjuk. Szokás például azt mon dani, hogy egy autófajtát sorozatban gyártanak vagy egy egyenletet soroza tos közelítéssel oldunk meg stb. E szóhasználat mögött azt sejtjük, hogy ezek a dolgok (az autók, a közelítések) azért alkotnak sorozatot, mert meg lehet őket számozni (sorszámozni, indexelni). Sokszor ez a számozás meg is történik, vagyis a természetes számokat és ezeket a dolgokat egymáshoz rendeljük. A matematika egy kissé absztraktabb módon, de a lényeget megtartva - vagyis azt, hogy a természetes számokhoz bizonyos dolgokat (pl. számokat) rendel - értelmezi a sorozatot. 4.1.1. A sorozat fogalma a) A sorozat értelmezése. Definíció. Ha a természetes számok mindegyikéhez egy-egy számot rende lünk, akkor végtelen számsorozatot (röviden sorozatot) kapunk. Ezen értelmezés alapján úgy is fogalmazhatunk, hogy a sorozat a termé szetes számokon értelmezett függvény. Ha az U 2 , ..., n, ... természetes számokhoz rendre az ű |,í3 2 ,...,a „ ,... számokat rendeljük, akkor ezek a számok alkotják a sorozatot, mely szá mok a sorozat elemei (tagjai). A sorozat n-edik elemét, vagyis az szá mot, szokás a sorozat általános elemének is mondani. A sorozatot értelmezhetjük /;N \{ 0 } -> r
f i n ) ^a„ ,
«eN
módon is, mely helyett röviden az vagy
(a„)
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
268
jelölést használjuk. Ha nem érthető félre, akkor a zárójel el is hagyható. Ha r = R , akkor valós értékű sorozatról beszélünk. A sorozatot rendszerint általános elemével, n függvényeként felírt kép lettel adjuk meg. De megadható más módon is. A sorozatot ábrázolhatjuk a számegyenesen a sorozat elmeihez rendelt pontokkal.
269
4.1.1. A sorozat fogalm a
c) M onoton sorozatok. Bizonyos sorozatokra az a jellemző, hogy az n index növekedésével az elemek is növekednek vagy csökkennek. Definíció. Az («„) sorozat növekvő, ha bármely n esetén
míg csökkenő, ha bármely n esetén
Példák 1. írjuk fel az (a„) sorozat néhány elemét, ha a„ = Megoldás. A sorozat első, második,
ö«+l
2 n -\ n+\
^-adik elemét úgy kapjuk, hogy a
be az « helyére rendre az 1, 2, ..., k számot helyettesítjük. így a,
ln ~ \ n +\
A növekvő sorozatokat és a csökkenő sorozatokat együtt monoton soro zatoknak nevezzük. Ha > a„, ill. < <3„, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat szigo rúan növekvő, ill. szigorúan csökkenő.
03 = 1, Példák
Ű3 = - j, Ö4 = “ . A sorozat ^-adik eleme = ^ ^ ~ , a (A + l)-edik elem: = 4 5 k \ 2(k + 1) —1 2k +1 , -4. /I 1 'u 'u ' 1=— ——---- =----- —. A sorozat ai, a?, 03,... «o elemeit a 4.1. abra ábrázolj a. (A + l) + l k + 2 * - ^ ^ 0,5
1
2
4.1 ábra. Sorozat ábrázolása b) K orlátos sorozatok. A sorozatok között alapvetőek azok, amelyek korlátosak. Azt mondjuk, hogy az (a„) sorozat felülről korlátos, ha van olyan K szám, hogy bármely n esetén a„
1. Igazoljuk, hogy az a„ = 2 n - \ sorozat növekvő. n+\ Megoldás. Mivel a,
=1,
= —, azt sejtjük, hogy a sorozat növekvő.
Ez azonban nem bizonyíték, De ezt akkor sem fogadhatjuk ei igazolásnak, ha akár az első egymillió elemre igaz, hogy egy-egy elem nagyobb mint az előtte levő. Azt kell igazolni, hogy az (« + l)-edik elem nagyobb (vagy egyenlő) mint az n-edik, va gyis azt, hogy > a„, azaz 2(« + l ) - l ^ 2 n - l (« + 1) +1 n +\ Hogy ezt belássuk, az egyenlőtlenséget több lépésben át kell alakítani: 2 n + \ ,^ 2 n - \ n +2 « +1 ’ {2n + \){n + \)> {2 n -\){n + 2), 2n~ + 3n + l> 2 rf + 3 n -2 , l> - 2. ami már nyilvánvaló. Igaz tehát az a feltételezés, hogy növekvő (sőt szigorúan növekvő).
>a„, vagyis a sorozat
2. Vizsgáljuk meg az (a„) sorozatot monotonitásra és korlátosságra, ha a =4íLz9 " 2n + \Megoldás. A sorozat első négy eleme: űj =
^
1
3
7
= —. Ezek
alapján azt sejtjük, hogy a sorozat szigorúan növekvő. Tételezzük fel, hogy ez így is van, vagyis >a„. Ekkor 4 ( « + l) - 9 ^ A n -9 2{n + \) + \ 2n+ \ ’
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
270
1. Az a„ =
8 « --6 « -5 > 8 n “ -6 n -2 7 , -5 > -27 ,
Mivel a sorozat növekvő, ezért alulról korlátos, hiszen legkisebb eleme Tételezzük fel, hogy felülről is korlátos és legyen pl. egy felső korlát a„ < 10. Ekkor
= --j. = 10, azaz
4^< 10; 4 « -9 < 1 0 (2 « + l);
azaz
19 n > -— , 10
3. Az a„ = r? sorozat nyilvánvalóan nem korlátos (ugyanis felülről nem korlátos). 4. A b„ = (-l)"^2 + - i j sorozat nem monoton, de korlátos. Az első négy eleme: ^
Tétel. (Bolzano-Weierstrass-tétel.) Minden korlátos végtelen sorozatnak van torlódási helye. Definíció. A sorozat határértéke a véges A szám, ha ennek akármilyen kis környezete a sorozatnak majdnem minden elemét tartalmazza.
van olyan N természetes szám, hogy minden n > N esetén \a „ - A \ < e . Az N természetes számot küszöbszám nak (küszöbindexnek) nevezzük. A sorozatnak éppen N eleme nem esik az ] A ~ e , A + e[ intervallumba.
ami nyilvánvalóan igaz, tehát a sorozat felülről is korlátos.
A] = -3 , ^2 = 2 ’
A páratlan indexű elemek a -3 helyen torlódnak, a páros indexüek a 3 helyen.
galmazhatunk a következőképpen is: Az (a„) sorozat határértéke az A szám, ha tetszőleges e > 0 számhoz
4 « -9 < 2 0 « + 10;
Q
2. A b„ = (-1)"[ 3 + —) sorozatnak két torlódási helye van, a / = -3 és a í - 3.
Ez más szóval azt jelenti, hogy véges sok elem kivételével minden elem az ] A ~ e , A + e [ intervallumba esik, akármilyen kicsi is s (> 0). Ezért fo
2n + \
7
sorozatnak egyetlen torlódási helye van, a t = 2 szám.
Az előbbi 1. példában igazoltuk, hogy ez a sorozat növekvő és korlátos, amiből következik, hogy egyetlen torlódási helye van.
ami már nyilvánvalóan igaz. Helyes volt tehát az a feltételezés, hogy a sorozat növekvő. A korlátossághoz azt kell vizsgálni, hogy a sorozat alulról és felülről korlátos-e?
C
elemek váltakozó előjelűek, ezért a sorozat
nem monoton, viszont korlátos, mert |4„| = 2 + -i< 4 ;
Az (a„) sorozat határértékének jelölése: lim a„ = A
azaz
n > \, 2
ami Igaz.
vagy
lim a^ = A
vagy
a ^ -^ A.
n~~>oo
A határérték létezése szemléletesen azt jelenti, hogy a sorozatban min dig van olyan elem, melytől kezdve már a sorozat valamennyi eleme az ] A - e , A + e[ intervallumba esik (4.2. ábra). ai
—<2, n
271
Példák
(4« - 5){2n + 1) > 2{n + 3)(4n - 9),
-19<16«,
4.1.2. Konvergens sorozatok
83
a A/ A -e
a/v+2
®w+i A
A+z
4.2. ábra. Az {a„) sorozat határértéke A
4.1.2. Konvergens sorozatok a) A határérték fogalma. Definíció. A t számot a sorozat torlódási helyének (torlódási pontjának) nevezzük, ha t akármilyen kis környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. A torlódási hely tehát olyan szám, amely körül a sorozat elemei sűrű södnek (torlódnak). Egy sorozatnak több torlódási helye lehet.
A definíció szerint az A határérték is torlódási hely, mégpedig az egyet len. De míg egy sorozatnak több torlódási helye lehet, addig határértéke csak egy. Definíció. Egy sorozatot konvergensnek mondunk, ha van (véges) határér téke. Ha nincs, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat divergens. Konvergens sorozatnak egyetlen torlódási pontja van, a határérték. Az eddigiekből következik, hogy minden konvergens sorozat korlátos. A korlátosság tehát szükséges feltétele a konvergenciának. Ez azt jelenti, hogy ha egy sorozat nem korlátos, akkor az divergens.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
272
Ha a sorozat határértéke nulla, akkor a sorozatot nullasorozatnak (zérussorozatnak) is nevezik. Ha az (<3„) sorozat olyan, hogy akármilyen nagy pozitív P számot is adva meg, bizonyos n-től kezdve a sorozat valamennyi eleme nagyobb mint P, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat határértéke co (a sorozat a végtelenhez divergál). Jele: lim a„ = 0° . n~^oo
4.1.2. Konvergens sorozatok
273
Korlátos sorozatokra vonatkozó konvergenciatétel'. Minden konvergens sorozat korlátos (a korlátosság szükséges feltétel). Leibniz-kritérium: H a az a i,a 2 ,...,a „ ,... a j - a \ , ö3 - Ö 2, ö4 - 03,
a„
valós számsorozatban az
... különbségek váltakozó előjelű
ek és abszolút értékük monoton csökkenve nullához tart, akkor a sorozat konvergens (elégséges feltétel). Példa
Az ilyen sorozat nyilván nem korlátos, tehát divergens. Hasonlóan divergens az olyan sorozat is, amelynek határértéke - 00.
Az előző pontban igazoltuk, hogy a„
sorozat növekvő és korlátos. Ezért
«+l
konvergens. Példák 1. Az a„ = n~ sorozat nem korlátos, tehát divergens. 2. Tudjuk, hogy az a„ =
c) M űveletek konvergens sorozatokkal. Legyen az (a„) sorozat konver gens és határértéke A, a (b„) sorozat konvergens és határértéke B. Ekkor az
határértéke 2, azaz lim 2« - l • - 2 . «+ l
(ú!„ + byi),
Hányadik elemtől kezdve esnek a sorozat elemei a határérték 10 környezetébe? Megoldás. Itt azt kell kiszámítani, hogy milyen «-töl kezdve teljesül az \a „ -l\ < 10"^ egyenlőtlenség, azaz
n+ 1
(^ca^f),
{cinbn )>
sorozatok is konvergensek (ez utóbbi ha b„, B ^ O ) , és lim (a„ +b„) = lim a„ + lim b„ = A + B \
lim (ca„) = c lim a„ = cA,
W 1 10000 ’
bfj),
lim (a„ -b „ ) = lim a„ - lim b„ = A - B; n—>00 n— «—
ln ~ \ - 2 <10" n+ 1 2 n - \- 2 { n + \) n+\
(a^j
(c állandó);
lim (a„b„) = lim a„ ■ lim b„ = AB; azaz
30000
ahonnan n > 29999. A küszöbszám tehát: N = 29999. Az egyenlőtlenség ennél nagyobb «-ekre teljesül, ezért a 30000-ik elemtől kezdve esnek a sorozat elemei a határérték 10”^ környezetébe. Ugyanakkor jV = 29999 elem esik e környezeten kívülre. 3. Az a„ = 3 + « sorozat nem korlátos. Határértéke co, azaz lim (3 + «) = b) Konvergenciakritériumok. Hogy egy számsorozat konvergens-e vagy sem, azt sok esetben a következő tételek segítségével dönthetjük el. Cauchy-féle konvergenciakritérium: A (a„) számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha tetszőleges e > 0 számhoz található olyan N { t) > 0 szám, hogy \a„ - a „ ,| < e, ha «, m > iV (szükséges és elégséges feltétel). Monoton sorozatokra vonatkozó konvergenciatétel: Ha a sorozat korlá tos és monoton, akkor konvergens (elégséges feltétel).
lim a„ lim
B'
lim
Ha az f { x ) függvény folytonos az J helyen és az a , , 0 2 ,
-
he
lyeken értelmezve van, továbbá lim a„ = A, akkor a konvergens {a„) n
-^00
sorozat alapján képezett ( / ( a „ ) ) sorozat is konvergens és határértéke f { A ) , azaz lim f{ a „ ) = f i lim a„) = f { A ) . A felsorolt tételek felhasználhatók sorozatok határértékének kiszámítá sához. d) A határérték kiszámítása. Számsorozat határértékének kiszámításához - felhasználva ismert sorozatok határértékeit - gyakran alkalmazhatjuk az előbbi tételeket, esetleg előzőleg azonos átalakításokat végezve.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
274 Az
= f ( n ) sorozat határértékének számításához felhasználhatjuk az
4.1.2. Konvergens sorozatok
Megoldás. Az |a„ - A \< e egyenlőtlenségből «-et kell kiszámítani, ha e = 0,001. 2n - 2 < 0, 001; n+\
f { x ) , 111. /
—1 függvény végtelenbeli, ill. nulla helyen vett határértékét, \x J esetleg felhasználva a differenciálszámítást is (lásd L ’Hospital-szahály). Számsorozatok határértékének számítását néha egyenletmegoldásra vezethetjük vissza. A számsorozat határértéke független az elemek sorrendjétől. Ha az (a„), (b„) és (c„) sorozatok kielégítik a lim
= lim bfj = A
és
a „ < c„ < b„
(n = 1,2,3,...)
«-> oo
feltételeket, akkor a (c„) sorozat konvergens és
275
ahonnan « > 1999 = jV. Tehát a sorozat elemei a 2000. elemtől kezdve esnek a megadott intervallumba. 4. Számítsuk ki a ^/2, V i+V T , Vi+^TT+TT, ^1 + Vl + -\/l+...+v^^, ..., sorozat határértékét. Megoldás. Látható, hogy űf„+] =.JT+a„ , azaz af,+^ = l + a„. Ebből teljes indukció val igazolható, hogy >a„, vagyis a sorozat szigorúan növekvő. Az
= l + a„ egyenlőség és a monotonitás felhasználásával belátható, hogy
lim Cy, = A.
.TiL-< _i_4.1= i + 1 öl V2
«/,+! =• Cauchy-féle első határértéktétel: Ha az (a„) és (b„) sorozatokra l i m é n-^oo b„ - b„_i
s
2
és b „ + ° ° ,
akkor egyúttal
vagyis a sorozat felülről korlátos. A monotonitásból és a korlátosságból következik, hogy a sorozat konvergens. Legyen most lim =x. Nyilván a„ határértéke is x. így az
\im ^ = A . b„
=l + a„ egyenletből következik, hogy x~ =l + x.
Ennek a másodfokú egyenletnek a pozitív gyöke a sorozat határértéke, azaz lim a„ =
Cauchy-féle m ásodik határértéktétel: Az előző tételből következik, hogy ha az {a„ ) pozitív elemű sorozatban lim ««+l lim
akkor egyúttal
= A.
helyettesítéssel kapott) -^sin2x függvény nulla helyen vett határértékét (ugyanis, ha « —>
akkor x -> 0).
Megoldás. A L ’Hospital-szdbéXyi alkalmazva:
Példák
l
1. Az f — I sorozat csökkenő és korlátos, tehát konvergens. A sorozat nulla sorozat, mert határértéke nulla: lim —= 0. n-^oc n 2. Az
.
5. Az I nsin— •i,QiXOTjdH határértékének meghatározásához számítsuk ki az n
A,
n-^oo
< 0,001,
n+\
53 n +1 -8 ^/ sorozat határértékének meghatározása érdekében a számlálót és
nevezőt osztjuk «-nei, majd a számláló és nevező határértékének hányadosát képezzük:
3n + l
5 -^ lim -— ■3 + -
i m H m X x-^O (^)' (A szabály alkalmazása nélkül: lim sin2x = lim 2sinxcosx = iim llíl^ lim 2 co sx = l-2 = 2.) r->oo X X x->0 x-^O X 6. Az a„ = 'Va sorozat 0 < a < 1 esetén szigorúan monoton növekvő, a > 1 esetén szigorúan monoton csökkenő ( a = 1 esetén monoton = 1). Határértéke:
lim f s - - ^ '
sorozat határértéke 2. Hányadik elemtől kezdve esnek a sorozat 3. A ( 2n U +1 elemei a ]2 - 0,001,2 + 0,001[ intervallumba?
lim 'Va = 1. 7.
lim ’ijn = 1 (lásd Cauchy-íé\t második határértéktétel).
8. Az 1, -1, 1, -1, ..., (-1)", ... sorozat korlátos ugyan, de két torlódási pontja van (ezek +1 és -1), így divergens.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
276 9. Az
«+ l
sorozat nem korlátos, határértéke +°<=, tehát divergens.
Megoldás. Két megoldást is adunk: a) lim f ^ n-^oo\
10. Az «(l + (-l)" ) + —J sorozat nem korlátos, de van egy torlódási pontja (a 0 pont). A sorozat divergens. 11. A Cauchy-íÜQ első határértéktétel értelmében
= lim 1 + - ^ ^ n -l n-l+l = lim = lim l + - ~ n -l n —l
J
1+ i b) lim I
1 = lim
/ 'f 2 « n 12, Számítsuk ki az /; sorozat határértékét. Megoldás. A CöMc/y^-féle második határértéktétel értelmében:
277
4.2.1 A függvénysorozat fogalm a
4.2.
1_J. n
1+
n -l
1+
n -l
1 e 1. =e J. \=
1 4-i = lim ^---- -
FÜGGVÉNYSOROZATOK
'2« + 2"
lim h/I
I = lim
«+ l (2n n
(« + !)■
e) A z e szám. Az analízis egyik gyakran előforduló állandója az e szám, amelyet egy nevezetes sorozat határértékeként értelmezünk. Az
V
n
sorozatról kimutatható, hogy szigorúan növekvő és kor
látos, tehát konvergens. Határértékét e-vel jelöljük: lim 1 + 1 n— V n j
= £ = 2,718281823...
Az e szám az ún. természetes logaritmus alapszáma. Ezt £w/er jelölte evel. Bevezetése mesterkéltnek tűnik, de a természet rácáfol erre, ugyanis igen sok természeti folyamat törvényében és így a folyamatok leírásában is fontos szerepet játszik. Igazolható, hogy bármely valós x esetén
4.2.1 A függvénysorozat fogalma A számsorozathoz úgy jutottunk, hogy a természetes számokhoz számokat rendeltünk. Rendeljünk most ezekhez függvényeket. Definíció. Ha a természetes számok mindegyikéhez egy-egy függvényt rendelünk, akkor függvénysorozatot kapunk. Legyenek e sorozat elemei az függvények, amelyek mindegyike az 1 intervallumon értelmezve van. Rögzítsünk egy x e I helyet. Ekkor az számsorozat lehet konvergens vagy lehet divergens. H a konvergens, akkor létezik a lim fn { x ) = f { x ) « —>oo
lim n —>oo
n.
határérték. Ez azt jelenti, hogy akármilyen (kicsiny) £ > 0-hoz van olyan ( e -tói és jc-től fü g g ő )N természetes szám, hogy n > N esetén
Példák 1.
lim íl + ^ 1 = lim 1 + ^ 2n j n
l.
li m f i l ± i T = ?
= e- = 4 e.
Az N szám neve küszöbszám vagy küszöbindex. Definíció. Ha a függvénysorozat az I intervallum minden pontjában kon vergens, akkor a sorozatot az I intervallumon konvergensnek mondjuk, f pedig az ( / „ ) függvénysorozat határfüggvénye. Az így értelmezett konvergenciát pontonkénti konvergenciának is szokták nevezni. Azok az x
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
278
számok, amelyeknél a sorozat konvergens, a függvénysorozat konvergen c iatarto m án y át alkotják. A határfüggvény jelölései; lim /„ = /; lim /„ ( x ) = / ( x ) ;
fn { x )^ f{ x ).
n —><=0
A függvénysorozat konvergenciáját a határfüggvénytöl függetlenül is értelmezhetjük. Tétel. Az ( /„ ) függvénysorozat az / intervallumon pontosan akkor kon vergens, ha bármely e > 0-hoz és bármely x g I helyhez van olyan (8 -tói és j-tő l fiiggő) N természetes szám, hogy n > N és m > n esetén
Példa Az 1,^;, x~, x", függvénysorozat a ]-l, 1] intervallumon konver gens, minden más helyen divergens. Mivel lim f„{x) = lim^:" = 0, ha - l< x < l , továbbá lira/„(l) = l,
4.3. ábra. A függvénysorozat és határfüggvényének képe
ezért a határfüggvény fO, h a - l < x < l , ha x = l.
Az / határfüggvény tehát csak a ]-l, 1] intervallumon van értelmezve. Ez az intervallum a függvénysorozat konver genciatartománya (4.3. ábra).
4.2.2. Az egyenletes konvergencia A pontonkénti konvergenciánál láttuk, hogy az N küszöbszám függ £ -tói és x-től. Igen lényeges azonban az az eset, amikor N függetleníthető x-től, vagyis N minden x e l esetén küszöbszám. Ilyenkor a konvergenciát egyenletesnek mondjuk. Definíció. Az ( /„ ) függvénysorozat az / intervallumon egyenletesen konvergens, vagy más szóval egyenletesen tart az /határfüggvényhez, ha tetszőleges e > 0-hoz van olyan N = N ( e ) , hogy n > N esetén az I inter vallumban levő minden x-re \fn { x )-fix ) \< e .
4.2.2. A z egyenletes konvergencia
279
Egyenletesen konvergens soro zatnál tehát minden olyan / „ függ vény görbéje, melyre n> N , az / határfüggvény görbéje körüli 2e „szélességű sávban” halad (4.4. ábra). Ez azt jelenti, hogy f (x ) - e < f„ (x ) < f ( x ) + e. Tétel. Az (f„ )
függvénysorozat 4.4. ábra. A z y = f{ x ) görbe körüli pontosan akkor egyenletesen kon 2e szélességű sáv vergens az I intervallumon, ha minden e > 0 számhoz van olyan N szám, hogy n > N és m > n esetén az I intervallumban levő minden jc-re Példa Ha
akkor a függ
vénysorozat határfüggvénye a [0,-t^[ intervallumon: f ( x ) = lim
nx+ \
= lim
1
ha X > 0, ha X = 0. A 4.5. ábrán vázoltuk a sorozat 4.5. ábra. néhány elemét és az / ( x ) határ Függvénysorozat és határfüggvényének képe függvényt, amely a 0 helyen nem folytonos. Az ábra jól mutatja, hogy 0-hoz közeli x értékek esetén még a nagy indexű / 4o(x) elem is elég rosszul közelíti a határfüggvényt. Az —1 |/ „ W - / ( ^ ) | = nx + l - 1 < e , vagyis a mr + l egyenlőtlenséget megoldva, n> — x e Ha e = 0,1, akkor n > —. így x = 10 esetén a küszöbszám N -V, x = 1 esetén X
N = 9; ha X= 0,01, akkor N = 900; ha pedig x -> 0, akkor iV —>°<=. Látható, hogy X változásával N igen szélsőségesen változik (nem elég egyenletesen). Ez az oka annak, hogy még f^^ix) is rosszul közelít x = 0 közelében. Itt nem az a baj, hogy N függ x-töl is és e -tói is, hanem az, hogy x változásával tetszőlegesen nagy lehet.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
280
Ezért nem adható meg olyan N, hogy az egész [O,+ °°[ intervallumon küszöbszám lehessen. Ha viszont N korlátos lenne, akkor ennek felső korlátja az egész konver genciatartományra érvényes küszöbszám lenne. Ez a függvénysorozat tehát nem egyenletesen konvergens sem a [O, + o°[, sem a ]0, + °o[ intervallumon. Egyenletesen konvergens viszont minden ]c, + °°[ interval lumon, ha c > 0. így pl. a ]0,01; + o°[ intervallumon is, ahol N = 900 . Ha az ( /„ ) és (g„) sorozatok az I intervallumon egyenletesen tartanak
4.3.1. A végtelen sor és a konvergencia fogalm a
281
öl + ö 2 + ...+ a „ + ...= «=1
kifejezést űj, a j,
végtelen sornak vagy röviden ... számok a végtelen sor tagjai.
sornak
nevezzük.
Az
Ha ki akarjuk hangsúlyozni, hogy a sor tagjai számok, akkor numerikus sort mondunk. Az n összegezési index 0-tól is, esetleg más egész számtól is indulhat. A tagok közötti összeadás jele azt sugallja, hogy ezeket az aj, a j , ..., a „ ,... számokat esetleg össze kell adni, és így keletkezik egy
az f , ill. g határfüggvényhez, akkor e sorozatok állandószorosa, összege, szorzata és hányadosa is egyenletesen tart az / intervallumon a megfelelő határfüggvényhez. Az egyenletes konvergencia igen becses tulajdonsága a függvénysorozat nak. Abból, hogy egy függvénysorozat minden elemének valamilyen közös tulajdonsága van, még nem következik, hogy a függvénysorozat határfuggvénye is ilyen tulajdonságú. Az egyenletesen konvergens függvénysoroza toknál azonban az elemek néhány tulajdonsága öröklődik a határfüggvényre. Ha az (f„ ) függvénysorozat elemei az / intervallumon differenciálhatok,
sorozatot, az ún. részletösszegek sorozatát. Az s„ szám a sor /i-edik
továbbá (/„') itt egyenletesen konvergens és
részletösszege.
lim /„ = / akkor f i s differenciálható itt, és lim /; = / ' . Ha az (f„ ) függvénysorozat elemei az [a, b] intervallumon integrálhatók és a sorozat egyenletesen tart /-hez, akkor az / határfüggvény is integrálható itt, és
Hm f„ { x )d x = f{ x ) d x . n-^oo
4.3.
NUMERIKUS SOROK
összeg. Ez a kissé felületes szemléletmód hibás, mert végtelen sok tagot összeadni nem lehet. Képezzük ezért az = a], sj =<3i +ÜJ, S2 = ül + aj + a^, ...,s „ = a i + a j+ a^+.. .+a„ ,...
Definíció. A végtelen sort konvergensnek mondjuk, ha a részletösszegek sorozata konvergens. E sorozat határértékét, vagyis a lim s„ = s számot a végtelen sor összegének nevezzük. Ekkor használható az ü\ +Ö2+•••+««+•••= n=\ jelölés. A végtelen sor összegét tehát nem végtelen sok tag összeadásával, ha nem a részletösszegek sorozatának határértékeként értelmezzük. Ennek ellenére a sor összegét legtöbbször „elég sok” tag összeadásával közelítjük. Ha az (5„) sorozat divergens, akkor a végtelen sor is divergens. M egállapodunk abban, hogy a továbbiakban a lim jel helyett esetenn~^oo
ként csak a lim jelet használjuk. 4.3.1. A végtelen sor és a konvergencia fogalma A végtelen sort a végtelen sorozat segítségével értelmezzük. Formálisan végtelen sok tagú összegként tekinthetjük, amelyre azonban a véges sok tagú összeg tulajdonságai általában nem érvényesek. Definíció. Ha az öj, a j, ... számsorozat elemeit az összeadás je lével összekapcsoljuk, akkor az így keletkező
M egjegyzések. 1. Az öj +Ö2 +•■•+««+••• végtelen sort szokás
módon is jelölni és
hivatkozhatunk rá így is. 2. A z n összegezési index helyett természetesen más betű is használható.
így pl-
• n=\
k=\
/=1
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
282 Példák
1. A
^
4.3.2. Konvergenciakritériumok
283
Ezt a következőképpen igazolhatjuk. Vegyük a 2"-edik részletösszeget célsze rűen zárójelezve;
1 + 1)
1.2
2 •3
3 •4 ...... n{n + \)
1+J_+ +_L^ 9
végtelen sor «-edik részletösszege, vagyis az első n tag összege; . Itt felhasználtuk az
1 1'2
2 '3
+
3-4 ■■■ «(« + I)
1
1
1
k{k + \)
k
k +\
-J---- +,,.+-1 a " “' + i 2"j Mindegyik zárójelben levő összeg nagyobb mint -j, így V >(« + l ) i .
j = 1-
Mivel ez a határérték véges, ezért a sor konvergens, összege pedig 1. 2. Az a-\-aq+aq^ +.. .+aq'~^+... {a ^ 0) mértani sor (geometriai sor) részlet összegei: 51 =a, 52 = a + aq, s ^ - a + aq
16
1 n + \-
azonosságot. A sor összege tehát
s = lirní,, = lim|^l -
10
Mivel a jobb oldal határértéke +co, ezért a részletösszegek sorozata divergens. Ennek következtében a sor is divergens (összege -l-oo). A példa tanulságos, mert a sor divergens annak ellenére, hogy tagjai zérushoz tartanak. 4. Az 1--1 +1 -1 +1 - 1+... sor részletösszegeinek sorozata: = 1, S2= 0, í's = 1, 54 = 0, Í5 = 1,... Az (s„) sorozat divergens, mert két torlódási pontja van (1 és 0), ezért a sor is divergens.
,
Sf = a + aq + aq~+...+aq’' ~
' ' q
^
\ 4.3.2. K o n v erg en ciak ritériu m o k
Ha \q\ < 1, akkor limg" = 0, így a sor összege: s= lims,, = lima-^^— q -l l-q Ekkor tehát a sor konvergens. Ha ^>1, akkor limg" = +oo, így a> 0 esetén lim5„=+oo; <3<0 esetén pedig lims,, = -oo. A sor tehát ekkor divergens. H aq< -1, akkor lim^" nem létezik, így lim5„ sem. A sor ekkor is divergens. H a^ = l, akkor az a + a + a + ...+a + ... sor nyilván divergens. Ha ^ = -1, akkor az a - a + a - a + ... sor szintén divergens, mert lim s„ nem létezik. Ha a = 0, akkor a sor nyilván konvergens, és összege 0. Összefoglalva', az a + aq + aq~+... mértani sor konvergens, ha \q\ < 1, minden más esetben divergens. Konvergencia esetén az összege: a + aq + aq~+... = j ^ - ^ ,
kl < 1-
A mértani sornak később jelentős szerepe lesz. A q hányadost kvóciensnek is nevezik. 3. Az 1+ 4- + 4-+...+—+... = y — harmonikus sor divergens, mert részlet2 3 n ^ n összegeinek sorozata nem korlátos.
A részletösszegek sorozatának konvergenciájáról általában nehéz meggyő ződni. Ezért olyan kritériumokat adunk meg, amelyekkel az {s„) sorozat vizsgálata nélkül lehet eldönteni a sor konvergenciáját vagy divergenciáját. a) C auchy-féle konverg en ciak ritériu m . Tétel. Az
a
+02 +• • «=1
végtelen sor pontosan akkor konvergens, ha minden e > 0 számhoz létezik olyan N természetes szám, hogy n > N esetén ~
I“ hn+1
^n+2
• ■'^^n+k |
ahol k tetszőleges természetes szám. E nagyjelentőségű kritérium szerint a sor pontosan akkor konvergens, ha elég nagy indextől kezdődő akármilyen nagy „szeletének” az összege előírtan kicsiny. A tétel egyik következménye; A végtelen sor konvergenciájának szükséges feltétele, hogy lima„ = 0 legyen. Ez a feltétel azonban nem elégséges.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
284 Példák
1. Az előző pontban láttuk, hogy az l + y + -i-+...+-^+... harmonikus sor di vergens, jóllehet a konvergencia lima,, = 2. Az a + aq + aq^+...+aq''~'^+...,
= 0 szükséges feltétele teljesül, mértani sornál a konvergencia szük
4.3.2. Konvergenciakritériumok
285
próbáknak is mondjuk őket. Alkalmazásuknál a vizsgálandó sort ismert, vagy az adott sornál könnyebben vizsgálható sorral hasonlítjuk össze. M egjegyzés. Pozitív tagú konvergens sor majoránsa lehet konvergens is, divergens is. Pozitív tagú divergens sor m inoránsa szintén lehet konver gens is, divergens is. Ilyen sorok összehasonlítása tehát semmit nem mond a konvergenciáról vagy a divergenciáról.
séges feltétele csak akkor teljesül, ha \q\ < 1, mert csak ekkor lesz Példák lima„ = liműí?"”' = 0 . Minden más esetben lima,,
1,1,1
0, és ekkor a sor divergens.
A Cauchy-í€iQ konvergenciakritérium következménye, hogy véges szá mú tag elhagyása, vagy hozzáadása (beszúrása) a sor konvergenciáját vagy divergenciáját nem befolyásolja. A Cauchy-íé\Q konvergenciakritérium gyakorlati alkalmazása általában nehézkes. Ezért hasznosak azok a kritériumok is, amelyek ugyan csak szükséges vagy csak elégséges feltételt adnak a konvergenciához, vagy csupán a soroknak egy-egy speciális osztályára alkalmazhatók, alkalmazá sukkal azonban a konvergencia (vagy divergencia) könnyen kimutatható. A következő öt kritérium pozitív tagú sorokra alkalmazható. Egy végte len sor pozitív tagú, ha tagjai pozitív számok. b) M ajoráns, minoráns kritérium.
—+... pozitív tagú konvergens mértani sor iq = ~ )
+ -;J-T + T ^ + . ..+—L + . .. pozitív tagú sornak majoránsa, mert 2-4 3 ’ «.2" 1 « = 1,2,3,.., nii , 2 n- < -L 2 Ezért az utóbbi sor a tétel értelmében konvergens.
az 1+
2.
1-2
Korábban igazoltuk, hogy az l + y + y+...+-^+... harmonikus sor diver
gens. Ezért divergens az l +
+
sor is, mivel l-> i. ■Jn n
Ez utóbbi sor a harmonikus sornak majoránsa.
Definíció. Az ö 'i+ a2 + ‘^3+--- pozitív tagú sornak majoránsa (majoráló sora) a öj
4-Í3 -f... sor, ha valamilyen «-től kezdve a^
Ugyanakkor
c) Hányadoskritérium. Tétel. (Hányadoskritérium, D ’A lem bert-féle kritérium.) A pozitív tagú végtelen sor konvergens, ha bizonyos iV-től kezdve
az ay +a-) + 0 ^ + ... sor a by +02 +63 + ... sor minoránsa (minoráló sora). Szokás használni a majoráns sor, minoráns sor elnevezést is.
< q < \,
Tétel. (M ajoráns kritérium). Pozitív tagú sor konvergens, ha van konver gens majoránsa. Tétel. (M inoráns kritérium). Pozitív tagú sor divergens, ha van pozitív tagú divergens minoránsa. Ez utóbbi két tételt másképpen is megfogalmazhatj uk: Legyenek a és
pozitív tagú sorok, továbbá legyen minden n esetén
Ekkor ha gens, akkor
konvergens, akkor
is konvergens. Ha
. diver
A konvergencia eldöntéséhez tehát az
hányadosnak nem 1-nél,
hanem egy 1-nél kisebb q számnál kell kisebbnek (nem nagyobbnak) len nie. Ha a hányados (csak) 1-nél kisebb, akkor az még nem elegendő a döntéshez. Kényelmesebben használható a hányadoskritériumnak az alábbi változata: Ha a pozitív tagú sornál
is divergens. Ilyenkor fogalmazhatunk így is:
Konvergens sor minoránsa konvergens; divergens sor majoránsa divergens. Ezeket a tételeket szokás összehasonlító kritériumok néven is említeni, hi szen a tagok összehasonlításának elvén alapulnak. De majoráns-minoráns
n>N
lim ^n+\
< 1, akkor a sor konvergens > 1, akkor a sor divergens; = 1, akkor a sor egyaránt lehet konvergens vagy divergens.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
286
Példák 1. Vizsgáljuk meg a hányadoskritériummal, hogy a pozitív tagú
287
4.3.2. Konvergenciakritériumok 2. A harmonikus sor esetében ez a kritérium sem dönt, mert lim « /i = lim -i=-= 1-
sor konvergens-e? }1=\ ^
é) Integrálkritérium. Tétel. (Integrálkritérium.) Legyen / az [l, °°[ intervallumon pozitív,
n +\ Megoldás.
l i m ^ = l i m ^ ^ = i i m ^ . 1 = 1 4 = i < 1a„
Ji_
n
i
i
i
csökkenő függvény. Legyen továbbá / ( « ) = a„, « e N. Ekkor a
j Tehát a sor konvergens. 2. Az
=
^4-
^ son'a alkalmazva a hányadoskritériumot
01+02 + 03+ . . .
«=l pozitív tagú végtelen sor aszerint konvergens vagy divergens, ahogy az
1 f{ x )d x 1 n+2 n(n +1) Mivel a határérték I, ezért ezzel a kritériummal nem lehet eldönteni, hogy a sor konvergens-e vagy sem. Korábban kimutattuk, hogy a sor konvergens. 3. A y — harmonikus sor divergens. A hányadoskritérium itt sem dönt, mert ^ n 1 l,m ^ = = lim - ^ ^ l. 1
improprius integrál konvergens vagy divergens. A tétel igen hatékony. A konvergenciát (vagy a divergenciát) akkor is ki lehet mutatni vele, amikor a hányados- vagy a gyökkritériummal ez nem lehetséges. A tételben az 1 alsó határ helyett tetszőleges hq > 1 alsó határ vehető. Az / függvényről is elegendő azt feltételezni, hogy az
n+\
+
intervallumon
pozitív, csökkenő. Példák 1. Alkalmazzuk az integ rálkritériumot a harmonikus sorra. Az
d) Gyökkritérium. Tétel. (Gyökkritérium, Cauchy-féle kritérium.) A pozitív tagú végtelen sor konvergens, ha bizonyos A/^-től kezdve ^ < q < \, A konvergencia eldöntéséhez tehát
n> N
,+ i+ l+ „ .+ I + ..,= y ± 2 3 n ^ n n=\ harmonikus sor pozitív tagú.
-nek nem 1-nél, hanem egy
1-nél kisebb q számnál kell kisebbnek (nem nagyobbnak) lennie. Ha < 1, akkor ez még nem elég a döntéshez. Kényelmesebben használható a gyökkritérium alábbi változata: Ha a pozitív tagú sornál < 1, akkor a sor konvergens; limi^/o^S > 1, akkor a sor divergens; = 1, akkor a sor egyaránt lehet konvergens vagy divergens. Példák 1. A 2 ^— sorra alkalmazva a gyökkritériumnak ezt az alakját, n = lim J — = lim—= 0 < 1, tehát a sor konvergens. Vn" ^
Mivel 4.6. ábra. Integrálkritérium szemléltetése
ezért
A
Alkalmazva a kritériumot, +c»
R
f —dx= lim \ —d x - lim [inxlf = + 00, tehát a sor divergens, mert az improprius integrál divergens. (A 4.6. ábrán látható, hogy a sor tagjainak megfelelő vonalkázott területek majorálják a görbe alatti részterületeket. így nyilvánvaló, hogy a sor divergens.) 2. Az ! + -i- + 4r+...+-V +--- = X 4 ' pozitív tagú sor esetén /( x ) = 4 ^ , így 2” 3" rí n" x~
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
288 [ -\d x =
= lim
lim
= 1,
tehát a sor konvergens, mert az improprius integrál is konvergens (véges értékű). Mindkét feladatban eredményre jutottunk. Viszont ennél a két sornál sem a hánya dos-, sem a gyökkritérium nem vezet célra. f ) L eibniz-kritérium . A végtelen sorok egy speciális osztályát alkotják azok, amelyeknek tagjai váltakozó előjellel követik egymást. Definíció. A
sort le/ön/z-típusúnak mondjuk, ha
a) tagjai váltakozó előjelűek (azaz a„ ■
< 0);
b) az \a^\ számok csökkenő sorozatot alkotnak; c) \ima„ = 0. A váltakozó előjelű sort alternáló sornak is nevezzük. Egy végtelen sor tehát akkor Leibniz-típusű, ha alternáló és tagjainak abszolút értéke mono ton módon tart nullához. Tétel. (Leibniz kritérium.) Minden Leibniz-típusü sor konvergens. Ha a sor alternáló, de lima„
0, akkor nyilván divergens is, mert a kon
vergencia szükséges feltétele nem teljesül. Példák 1. A harmonikus sorból keletkező
l_i+l_l+i_l+
2 3 4 5 6 sor altemáló. Ez a sor a Leibniz-knitx'wxm szerint konvergens, mert alternáló és tag
4.3.3. Abszolút és feltételes konvergencia
289
Nyilvánvaló, hogy egy pozitív tagú konvergens sor abszolút konvergens, hiszen a tagjainak abszolút értékéből képzett sor ugyanaz a sor. Ugyancsak abszolút konvergens egy negatív tagú konvergens sor is. Tétel. Minden abszolút konvergens sor konvergens. M egjegyzés. A tétel fordítottja nem igaz: nem minden konvergens sor abszolút konvergens. Jó példa erre az alábbi 2. példában szereplő Leibniztípusú sor. Definíció. Ha egy végtelen sorban végtelen sok tag sorrendjét megváltoz tatjuk, akkor a sor átrendezéséhez j utunk. Feltételesen konvergens sor átrendezésekor a sor összege megváltozhat. : Tétel. (Riemann-tétel.) Bármely feltételesen konvergens sor átrendezhető úgy, hogy az új sor összege tetszőleges, előre adott C szám legyen. Van olyan átrendezés is, amelynél az összeg +°o, vagy akár Tétel. Bármely abszolút konvergens sort átrendezve, az új sor is abszolút konvergens lesz, és összege megegyezik az eredeti sor összegével. Fogalmazhatunk úgy, hogy abszolút konvergens sor összege független a tagok sorrendjétől. Mivel az abszolút konvergens sor következmények nélkül átrendezhető, ezért szokás azt feltétlenül konvergensnek is nevezni. A véges sok tagú összegre érvényes kommutatív törvény, az előzőek szerint, végtelen soroknál csak akkor érvényes, ha a végtelen sor abszolút konvergens. Ekkor tehát a tagok sorrendje felcserélhető. Példák 1. Az a+aq+aq~ +...+aq"~^+..., |^| < 1 mértani sor abszolút konvergens, mert az
jainak abszolút értéke monoton módon zérushoz tart (lim-^ = 0). |a| + |ű(5'|+ aq~ +...+ aq"~^ +... 2. Az 1-1 + 1-1 + 1 - 1+... végtelen sor alternáló ugyan, de divergens, mert nem teljesül a lima„ = 0 feltétel.
sor ismét mértani sor, melynek első tagja \a\ és hányadosa |g|. 2. Az l - y + j - —+ ...+ (-l)"'^’-i+ ... Leibniz-sor nem abszolút konvergens,
4.3.3. Abszolút és feltételes konvergencia A végtelen sort form álisan végtelen sok tagú összegnek is tekinthetjük. Ez azonban általában nem rendelkezik a véges sok tagú összeg kommutatív tulajdonságával még akkor sem, ha a sor konvergens. Bizonyos megszorí tásokkal azonban a kommutatív törvény érvényes. Definíció. A
sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a
sor konvergens. Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételesen konvergensnek mondjuk.
mert tagjainak abszolút értékeiből képzett 1 + Í + I + I + . . .+ !+ ... 2 3 4 n sor (harmonikus sor) divergens. A sor tehát csak feltételesen konvergens. 3. Később igazoljuk, hogy az előbbi Leibniz-sor összege In 2 , azaz +
-I n 2
.
Ez a sor feltételesen konvergens. Most átrendezzük úgy, hogy két pozitív tag kö zé két negatív tag kerüljön, megtartva a sorrendet külön a pozitív és külön a negatív tagok között:
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
290 l _
i _
2
l 4
4
. i _
3
i _
6
l 4
8
. i _
5
J ______ L 4 .
10
12
4_____1
2 n -\
^ 2
3
4
5
291
1
A n -2
'^ ca„= c'^ a„,
Feltételezve, hogy tagokat lehet összevonni (lásd a következő pontban), vonjuk össze az aláhúzottakat. Ekkor 1 , - i _ l + l _ Í 4 . 1 . + 4-. 1 2 4 6 8 10 4 « - 2 4« I _ l 4 . i _ l 4 . i 4 -
4.3.4. Műveletek konvergens sorokkal
4-
Tehát átrendezéssel a sor összege megváltozott, felére csökkent.
n=l
c g
R.
n=l
E szerint egy konvergens sort tagonként szorozva egy c számmal, ismét konvergens sort kapunk. Ennek összege az eredeti sor összegének c-szerese. De azt is mondhatjuk, hogy konvergens sort tagonként szorozhatunk egy konstanssal, ill. konstans szorzó kiemelhető a szumma jel elé. Példa Az 1+ 0,9 + 0,9~+.. .+0,9"”’+... mértani sor konvergens, összege:
4.3.4. M űveletek konvergens sorokkal A sort tagonként szorozva 0,5-del, a A végtelen sorokkal való számoláshoz tisztázni kell azt, hogy az algebrá ban megismert műveletek milyen módon és milyen feltételek mellett alkal mazhatók a végtelen sorokra. M indenekelőtt kimondjuk, hogy az asszociatív törvény konvergens vég telen sorokra is érvényes: Ha a
= 0 1 + 0 2 + a 3+ ...+ a „ + ... végtelen sor konvergens, akkor
«=l konvergens az
Definíció. Az + Ű9 + 03 + ...+
+ ...
+ b-> + ^3+ ...+
és
i p < q < ...< s< ...) sor összegével.
E szerint tehát konvergens sorban a tagok egy-egy csoportját szabad záró jelbe tenni, így érvényes az asszociatív törvény. Ennek megfordítása azonban nem igaz, zárójeleket általában nem szabad elhagyni. Ezt mutatja be a követ kező példa.
+...
sorok összegén az (öl + ö j) + (02 +£>2 ) + (03 + 63)+.. .+{ciyj +
(öl +Ö2+---+öp) + («;)4-1 +ap+2+---+aq)+---+{as+\ +«.v+2+---+'^/ )+■••
sor is, és összege egyenlő a
0,5 + 0,5 ■0,9 + 0,5 • 0,9-+.. .+0,5 ■0,9"“'+... sor összege az eredeti sor összegének 0,5-szöröse, azaz 5.
)+ ... sort értjük.
Két konvergens sor összege konvergens sor, melynek összege a két sor összegének az összege. Két abszolút konvergens sor összege abszolút kon\ ergens sor. Konvergens sorokat tehát tagonként össze lehet adni. Példa
konvergens végtelen sorok összege a
Példa Az ( l - l ) + ( l - l ) + (l-l)+ ...+ (l-l)+ ...= 0 + 0 + G+...+0+... végtelen sor kon vergens és összege 0. A zárójelek elhagyásával kapott 1 -1 +1 - 1 +1 - 1+... vég telen sor viszont divergens. Megjegyzés. Divergens sorokra a tétel semmit nem mond. Megemlítjük azonban, hogy divergens sorból zárójelezéssel konvergens sor kapható. Az előző példa 1-1 +1 -1 +1 - 1+... divergens sorából kiindulva, zárójelezéssel az (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1)+... = 0 + 0 + 0+... konvergens sort kapj uk. Konvergens sorokra érvényes a disztributív tönfény is a következő alakban: Ha a sor konvergens, akkor a ^ c a „ sor is konvergens, és
végtelen sor, melynek összege: 2 + In 2 Végtelen sorok szorzásakor felmerül a kérdés, hogy a disztributív tör vény általánosabb alakja érvényes-e, azaz minden tagot minden taggal szorozva végtelen sort kapunk-e és ha igen, akkor az milyen tulajdonságú? Rendezzük el a - <3] + ű!2 + 03+ ... «=1
és
^ n=]
= bi + bj + 63 +...
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
292
végtelen sorok tagjaiból készített a , bj ( i , j - 1 , 2 , 3 , . . . ) szorzatokat a kö vetkező, két irányban végtelen táblázatba: a^bi
01^2
01^3
^2^1
^2^2
^2^3 a^bj
...
E táblázat elemeit sokféleképpen csoportosíthatjuk. A 4.7. ábrán egy ilyen csoportosítást mutatunk be. A szorzat-sort úgy képezzük, hogy a bal felső sarokból kiindulva, két-két ferde vonal közötti a, szorzatok összege alkotja
4.4.1. A függvénysor fogalm a
293
3. Ha két konvergens sor Cauchy-féle szorzata konvergens, akkor öszszege egyenlő a két sor összegének szorzatával. Példák 1. Állítsuk elő az
konvergens sorok Cauchy-íé\Q szorzatát. Megoldás. A második sor abszolút konvergens, így a szorzatsor konvergens lesz, összege 1 ■In 2. A szorzatsor: l 1 ,1 1 I 1 1 1
a szorzat-sor egy-egy tagját. E csoportosításra vonatkozik a következő Definíció. A
és
végtelen sor Cauchy-féle szorzatának ne
vezzük az a^bi + (01^2 + cijbi) + (ajÖ3 + 02^2 + 03^1 )+• •• végtelen sort.
-I -
2. Az 1+
2+-T
.
T ) divergens sorok Cauchy-íélQ szorzata az
U
konvergens mértani sor.
4.4.
FÜGGVÉNYSOROK
4.4.1. A függvénysor fogalma A 4.3. pontban olyan végtelen sorokkal foglalkoztunk, amelyeknek tagjai számok voltak. M ost legyenek a sor tagjai függvények. Definíció. Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények függvény sornak nevezzük. Általános alakja Tétel. (M ertens-tétel.) H a a
és
végtelen sorok konvergensek,
és egyikük abszolút konvergens, akkor Cauchy-íé\e szorzatuk is konver gens, és ennek összege a két sor összegének szorzata, s itt a zárójelek el is hagyhatók. E tétel alapján nyilvánvaló, hogy ha mind a két sor abszolút konvergens, akkor a Cauchy-féle szorzatuk is konvergens, sőt abszolút konvergens. M egjegyzések. 1. Konvergens (tehát nem abszolút konvergens) sorok Cauchy-féle szor zata lehet divergens is. 2. Két divergens sor Cauchy-féle szorzata lehet konvergens, sőt abszolút konvergens.
+Uj +M3+...+W„+...=
. n=\
Az U\,U 2 ,U^,
... függvények a függvénysor tagjai.
Definíció. Az U\ +U2 +u^+...+u„+... függvénysor az xq pontban kon vergens, ha az U[{Xq) + U2 {xq ) + 1<3(jcq )+.. .+u„ (Xq )+... numerikus sor konvergens. Azoknak az x számoknak a halmazát, amelyek re a fenti sor konvergens, a függvénysor konvergenciatartományának nevezzük.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
294 Példa
295
4.4.2. A függvénysor egyenletes konvergenciája
Tétel (W eierstrass-féle kritérium). H a az a] + 02 + 03+ ... pozitív tagú
Az l+lnx+ln"x+...+ln" x+... függvénysor konvergenciatartománya az ~
numerikus sor konvergens, és minden n-re \u„{x)\
x e l,
intervallum. Az lnx = w helyettesítéssel ugyanis az 1+ m+ m é r t a n i sort kapjuk. Ez akkor konvergens, ha |m| < 1, azaz ha |lnx| < 1, vagyis -1 < In x < 1.
akkor az W| + W9 + 1/3 + ... függvénysor az 1 intervallumon egyenletesen
Ebből következik, hogy —< x< e. e
Példa
A függvénysor összege függvény. Ennek meghatározásához, a numeri kus sorokhoz hasonlóan, képezzük az í j = W j,
S2 = U i + U 2 ,
S„ = U i + Ü 2 + . . . + U i ^ ,
...
részletösszegfüggvények sorozatát. E sorozat határfüggvényét, a
A
r
, sin2x , sin3x , 2" 3"
, s'mnx +... függvénysor a -o o < x < + oo interval-
lumon egyenletesen konvergens, mert bármely x esetén
1
±+_L+_L+ +_L+ 2^
limí'„ = 5
3^
numerikus sor pedig konvergens.
fíiggvényt, a függvénysor összegfüggvényének nevezzük. Az ekkor hasz nálatosjelölés: «1 +Ü2 +W3 +...+u„ +...=
=s . n=l H a a konvergenciatartomány az / intervallum, akkor azt mondjuk, hogy a függvénysor konvergens az I intervallumon és öszszegfüggvénye itt í. Az w j+W2 +W3 + . . függvénysor n-edik m arad é k ta g já n a sor összegfüggvényének és «-edik részletösszegfüggvényének a különbségét értjük. Jelölése: R „ = S — Syi = Uy^+\ + Uy^J^2
konvergens.
A konvergens függvénysorok között az egyenletesen konvergensek kü lönös jelentőségűek. A sor tagjainak folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága ugyanis az egyenletes konvergencia következtében örök lődik az összegfuggvényre. Ezt pontosítjuk a következőkben. Ha a folytonos függvényekből álló W1+W2 +W3 + ... függvénysor egyenlete sen konvergens az I intervallumon, akkor ott a sor öszszegfüggvénye is folytonos.
llCs2Íx)
^ «+3 +• ' ' '
4.4.2. A függvénysor egyenletes konvergenciája
melynek hányadosa q = — 1+ xfüggvény
Definíció. Az u\ +U2 +W3+...+w „+... függvénysort az 1 intervallumon egyenletesen konvergensnek mondjuk, ha az {s„) függvénysorozat itt egyenletesen konvergens. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy a függvénysor az / interval lumon egyenletesen konvergens, ha akármilyen e > 0 számhoz van olyan N természetes szám, hogy n > N esetén /-ben mindenütt |i?„(x)| < e . Ha viszont van olyan e > 0 szám, amelyhez akármilyen n e 'H esetén található olyan x & I , hogy |i?„(.x )|> 8, akkor (az egyébként konvergens) függvénysor /-n nem egyenletesen konvergens. A függvénysor egyenletes konvergenciájára vonatkozó elégséges feltétel:
Példa Határozzuk meg az 0 9 9 2 t"" - f ------^t*..* ..-----------------------------x" X r + ... i + x- {\+ x -y (i + x“)""' függvénysor összegfüggvényét, majd vizsgáljuk meg, hogy a konvergencia egyenletes-e? Folytonos-e az összegfüggvény? Megoldás. Mivel a függvénysor mértani sor,
4.8. ábra. Függvénysor részletösszegeinek és összegfüggvényének képe
ezért az összeg-
ha xitO. • = l+ x ', 1 1+ xHa X = 0, akkor a sor összege 0, azaz j(0) = 0. Végeredményben az összegfüggvény: s(x) =-
1--
„/'„'i _ Jl + x", ha Xíí 0, ^ M ha x = 0, A 4.8. ábra szemlélteti az összegfüggvényt és bemutat néhány részletösszegfüggvényt. Az összegfüggvény az x = 0 helyen nem folytonos.
296
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
Az egyenletes konvergencia vizsgálatához tekintsük a maradéktag abszolút értékét:
I^/, (^)| =
(x)| =----- .
. állandók a sor együtthatói.
A cq , Cj, C9, . . . ,
amelyhez bármely n e N
esetén a ]0, + oo[ intervallumban található olyan x, hogy |jR„(x)|>e, Ehhez oldjuk
Cq + c i{ x - a ) + C j{ x -a )~ + .. .+c„ {x - a )” + ... sor, amely x - a hatványai szerint haladó hatványsor.
meg az |/?„(x)l > ~ egyenlőtlenséget x-re: 0 < x<
_______ 297
Szokás azt is mondani, hogy a felírt sor jc hatványai szerint haladó hat ványsor. Ennek általánosítása a
(1 + X - )
Megmutatjuk, hogy van olyan e > 0 szám (pl.
4.5.1. A hatványsor értelmezése és konvergenciája
n ^ l.
Tehát van ilyen x érték, ezért a függvénysor a ]0, + <=°[ intervallumon nem egyenletesen konvergens. Egyenletesen konvergens viszont minden olyan interval lumon, amely nem tartalmazza a 0 pont valamilyen környezetét. Ha az wj + ih + M3 + ... fiiggvénysor tagjai az I intervallumon differenci álhatok és a tagonkénti differenciálással kapott sor itt egyenletesen konver gens, akkor az s összegfüggvény is differenciálható az / intervallumon, és u[ + «2 +u'-^+...= s ' , tehát ilyen feltételek mellett a függvénysor tagonként differenciálható. Ha az W}+ÍÍ2 +M3+ ... fiiggvénysor minden tagja az [a ,b \ inter vallumon integrálható és a függvénysor itt egyenletesen konvergens, akkor az s összegfüggvény is integrálható ezen az intervallumon, és b b b b Ui{x)dx + U2 Íx )d x + u^{x)dx-\-.. s(x)d x , a a a a tehát az egyenletesen konvergens függvénysor tagonként integrálható.
A függvénysorokra vonatkozó megállapítások nyilván érvényesek a hat ványsorokra is. Ez utóbbiak azonban egyszerűbb szerkezetű sorok, ezért érdemes ezek néhány tulajdonságát külön is megvizsgálni. Tétel. Ha a cq + Cix + C2 X~
+. . .
hatványsor az jcq
0 helyen
konvergens, akkor abszolút konvergens minden olyan x helyen, amelyre jx| < |jco|. Ha viszont az xq helyen divergens, akkor divergens minden olyan .Xhelyen, amelyre |x| > A tétel következménye, hogy a cq+CiX + C2 X~+.. .+c„x" +... hatványsor konvergenciatartománya mindig olyan intervallum, amelynek középpontja a 0 pont. Ennek az intervallumnak a hossza lehet végtelen is. Ekkor a hat ványsor minden x-re konvergens. De az is előfordulhat, hogy az interval lum hossza nulla. Ekkor a hatványsor csak az x = 0 helyen konvergens. Definíció. Egy hatványsor konvergenciatartományát a sor konvergenciaintervallumának, ezen intervallum hosszának a felét pedig konvergencia sugárnak nevezzük. Ez utóbbit jelölje r. hatványsor a ] - r , r[ intervallumon, azaz
M indezek alapján a
|x| < r esetén abszolút konvergens, míg \x\ > r esetén divergens (4.9. ábra). 4.5.
HATVÁNYSOROK
4.5.1. A hatványsor értelmezése és konvergenciája Az alkalmazásokban leggyakrabban a függvénysorok speciális osztályával, a hatványsorokkal találkozunk. Előnyük, hogy e sorok tagjai egyszerű függ vények, értékük könnyen számítható, így közelítésekre jól használhatók. a) A hatványsor fogalma és konvergenciája. Definíció. A
cq+CjX + C2X“ +...+c„jc” + ...=
alakú függvénysort hatványsornak nevezzük.
Esetleg konvergens lehet a végpontok ( x = ± r ) valamelyikében is, vagy mindkettőben. divergens
konvergens
divergens
x<-r
X
x>r
------------- >+< .................. >+<--------------
-r
0
r
^
4.9. ábra. Hatványsor konvergencia- (ill. divergencia-) tartománya A hatványsor a konvergenciaintervallumon egy s függvényt értelmez (állít elő), melyet a hatványsor összegfüggvényének nevezünk. Ekkor írható; Cq + CiX + C2 X~ +.. .+c„x^^ +.. . = í(x),
- r < x < r.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
298 A
- íz)” hatványsorra ugyanezek a megállapítások érvényesek,
csak ekkor a konvergenciaintervallum középpontja az a pont. A sor tehát abszolút konvergens az ] a - r , a + r [ intervallumon, \x - - a \> r esetén pe dig divergens. A hatványsor konvergenciasugara a numerikus sorokra vonatkozó gyök kritérium, ill. hányadoskritérium alapján könnyen számítható. Ha a lim
és lim ^n+\
határértékek léteznek, akkor e két határ-
érték egyenlő és a konvergenciasugár: 1 lim «/|cJ
^n+\
(*)
A hatványsor \x\ < r esetén biztosan konvergens, |.x:| > r esetén biztosan divergens, az x = r és x = - r helyeken azonban külön kell vizsgálni a konvergenciát. Ha
lim
«— >00
= lim -w+l = 0,
1
/ -> o
akkor a konvergenciasugarat végtelennek tekintjük. Ekkor a hatványsor minden valós jc-re konvergens. H a ez a két határérték +«>, akkor a konver genciasugár 0. Ekkor a hatványsor csak az x = 0 helyen konvergens. Előfordulhat, hogy sem a lim ^n+l
4.5.1. A hatványsor értelmezése és konvergenciája
299
3. A konvergenciaintervallum középpontját szokás konvergenciaközép pontnak is nevezni. hatványsort 0 körüli, a Y ^ c „ ( x - b f sort pedig b körüli
4. A
hatványsornak is mondjuk. 5. A cq 4- C] (jc - a) + Cl { x -a )~ + ..
(x - a )” + ... hatványsor konver
genciasugarát ugyanúgy számítjuk mint a 0 körüli hatványsorét. Példák 1. Az 1+x+x"+...+x"+... mértani sor konvergenciasugara: r = 1, mert vala mennyi együtthatója 1. Tehát a sor a ]-l, l[ intervallumon konvergens. A baloldali végpontban a sor divergens, mert x - -1, akkor ezt behelyettesítve a sorba, az 1-1+1-1+... divergens sort kapjuk. Ugyancsak divergens a sor a jobboldali vég pontban. Ha ugyanis x=\, akkor az 1+1+1+... ugyancsak divergens sort kapjuk. Mindez nyilvánvaló, mert ez a mértani sor pontosan akkor konvergens, ha \x\ < 1, azaz ha -1 < x < 1. A sor összegfüggvénye: 5(x) = 1 l- x ’ (2x)’’ + Í ^M —K..+-— +-^‘ +... hatványsornál: n
2. A 2x + Í 2^
2" n+V
sem a lim í^/|c^ határérték nem
ezért a konvergenciasugár:
létezik. Ekkor a hatványsor konvergenciasugara az (í^/|c^) sorozat legna
r = lim-
gyobb torlódási értékének reciprokával egyenlő, azaz 1 lim su p í^ /l^ Mivel a hatványsor a konvergenciaintervallumon konvergens, annak belsejében abszolút konvergens, ezért a 4.3.4. pontban tárgyalt műveletek a hatványsorokra is értelmezhetők a konvergenciaintervallum közös részén. Ennek megfelelően a hatványsor tagonként szorozható egy számmal, két hatványsor tagonként összeadható, kivonható, szorzatuk az ott leírt módon képezhető. M egjegyzések 1. A konvergenciaintervallum végpontjaiban, vagyis az x = r és x - - r helyeken külön kell megvizsgálni, hogy a hatványsor konvergens-e. 2. A konvergenciasugár számításakor a zérus együtthatókat nem veszszük figyelembe. Ekkor célszerű közvetlenül a hányados- vagy a gyökkrité riumból kiindulni (lásd a 6. példát).
2
n
2
n+l A sor tehát a
1 1 —, Y intervallumon abszolút konvergens.
Ha x = - —, akkor a Ha X=
-1 + y - j + J - - J + . . .
1+ Í + 1+ 1+
, akkor az
2
amely divergens. Az adott sor tehát a
3
11 2’2
4 •••
konvergens sort kapjuk. harmonikus sorhoz jutunk,
balról zárt intervallumon konvergens.
3. Az 1+ -^ + ^ + . . . + ^ + . . . hatványsor konvergenciasugara: - = lim(« + l) = +o
r - lim(n + l)!
A konvergenciasugár végtelen, így a sor minden x-re konvergens.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
300
4. Az \-^x-¥l\x~+...+n\x'+... hatványsor konvergenciasugara; r = 0, teháta sor csak az x = 0 helyen konvergens. 5. Az 1 + - ^ ~- +
+... hatványsor konvergenciasugara:
4.5.1. A hatványsor értelmezése és konvergenciája
Mielőtt az egyenletes konvergencia előnyeit kiaknáznánk, megemlítjük, hogy a Cq + c^x + C2 X~+.. .+c„x”+... hatványsor és a tagonkénti differen ciálással, ill. integrálással kapott n -\ Ci+2c2X + 3c2,x"+...+nc„x^ + ... 2
r = lim—^
4
^
(x —3)” -- hatványsor konvergenciatartománya
6. Határozzuk meg az 1
+ ^ x ^ + .. .+ -^x^”+... hatványsor konvergen
ciaintervallumát. Megoldás. Itt az x, x ', x‘*, ... együtthatója nulla. Ezért a hányadoskritériumból kiindulva, a sor az x helyen konvergens, ha
lim
(n + 1)!
ill.
n+\
hatványsor konvergenciasugara egyenlő. A tagonkénti differenciálással kapott hatványsor tehát ugyanúgy abszolút konvergens a ] - r , r[ intervallumon, mint az eredeti sor, és ugyanúgy egyenletesen konvergens is, A hatványsor tagjai,
4.10. ábra. A
3
= l i m ^ = lim| 1+ -i- ] = 1.
Ennek a sornak a konvergenciaközéppontja 3. így a sor a ]2,4[ intervallumon abszolút konvergens. A bal oldali végpontban a sor konvergens, a jobb oldaliban di vergens. A sor tehát a [2,4[ intervallumon konvergens (4.10. ábra).
2
301
lim 1+ -Í-
=e
<1,
< ~ , 1x1 < -rFr. így a konvergenciasugár r A bal oldali végponte He ve bán a sor konvergens, a jobb oldaliban divergens. A sor tehát a [-/',/'[ intei-vallumon konvergens. azaz, ha
Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb az =y helyettesítést végezzük el, így egy jv hatványai szerint haladó sort kaptunk volna, amelyre alkalmazható a (*) foimula. b) A hatványsor tu lajd o n ság ai. Mint láttuk, a hatványsor konvergencia tartománya mindig intervallum, és ennek az intervallumnak a belsejében a sor abszolút konvergens. A számítások szempontjából ez igen előnyös tulajdonsága a hatványsornak. De ennél még többet is mondhatunk. Tétel. A hatványsor a konvergenciaintervallumába eső bármely véges zárt intervallumon egyenletesen konvergens.
alakú hatványfüggvények, mindenütt folyto
nosak, sőt differenciálhatók. Ennek következtében minden zárt intervallu mon integrálhatók is. Az egyenletes konvergencia miatt ezek az előnyös tulajdonságok öröklődnek az összegfúggvényre is, azaz: Bármely hatványsor összegfüggvénye - folytonos a konvergenciaintervallumon; - differenciálható a konvergenciaintervallum belső pontjaiban, és deri váltja a sor tagonkénti deriválásával kapható; - a konvergenciaintervallumba eső minden zárt intervallumon integ rálható, és annak integrálja a sor tagonkénti integrálásával kapható. Az utóbbi két állítás röviden úgy is fogalmazható, hogy a hatványsor tagonként differenciálható és integrálható. Említésre méltó, hogy ha a hatványsor a konvergenciaintervallum vég pontjában konvergens, akkor összegfüggvénye e végpontban folytonos {Abelféle folytonossági tétel). M egjegyzések 1. Az eddigiekből következik, hogy a hatványsor akárhányszor differen ciálható tagonként (és az összegfiiggvénye is). 2. A hatványsor egy primitív függvénye előállítható tagonkénti integrálás sal (integráljunk pl. 0-tól jc-ig, ahol jc a konvergenciaintervallumban van). 3. A tagonkénti differenciálás vagy integrálás a konvergenciaintervallum végpontjaiban megváltoztathatja a konvergenciát. Példák 1. Ismert, hogy 1+ x + x" + x^+.. .+x"+. ••=
|x| < I.
Ennek a mértani sornak a konvergenciasugara r = 1. Tagonként differenciálva mind a két oldalt: l+2x +3x" +..
+.. .=---- í—^ . E függvénysor konvergenciasugara szintén 1. (1 -x )-
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
302
2. Az l-x + x ^ -x ^ + ...+ (~ l)''x "+ ...= ------, |j: |< 1 egyenlőség mindkét olda1+ x lát integráljuk 0-tól x-ig:
4.5.2. Függvények hatványsorba fejtése
303
M egjegyzés Páratlan függvény (pl. sin és sh) hatványsora x-nek csak páratlan kitevő jű hatványait, páros függvény (pl. cos és eh) hatványsora pedig x-nek csak páros kitevőjű hatványait tartalmazza.
+...= ln(l + x). Egy másik függvénysort kaptunk másik összegfüggvénnyel. Mindkét sor konver genciasugara 1, de míg az eredeti sor a ]-l, l[ nyílt intervallumon, addig, az új sor
4.5.2. Függvények hatványsorba fejtése
a ]-l, l] jobbról zárt intervallumon konvergens. Ugyanis, ha elvégezzük az a' = 1
Az alkalmazások szempontjából igen nagy jelentőségű feladat függvények megadása végtelen sor alakjában, illetőleg adott függvények sorbafejtése. Az így kapott végtelen soroktól azt kívánjuk meg, hogy bizonyos interval lumban összegfüggvényük maga a sorbafejtett függvény legyen (a függ vényt állítsák elő). A kapott sor lehet hatványsor, de lehet általánosabb függvénysor is. A függvény végtelen sor alakjában való megadásakor azt is mondjuk, hogy a függvényt nem zárt alakban adtuk meg. A gyakorlatban sokszor megelégszünk a végtelen sor első néhány tagjá nak előállításával. Ez néha lényeges könnyítést jelent.
helyettesítést, akkor az In 2 összefüggéshez jutunk. A bal oldalon álló sor valóban konvergens a Leibniz-kntérium értelmében. Ezzel igazoltuk, hogy e nevezetes sor összege In 2. c) Nevezetes hatványsorok. A gyakorlati felhasználás miatt különös fi gyelmet érdemelnek a következő hatványsorok: -l< x < l;
1 -jc ’
-oo< x< + o= ;
3!
5!
7!
-oo < x < +oo;
2n 13
5
3!
5!
2
4
álható és a deriváltak xq környezetében abszolút értékben egy közös korlát alatt maradnak, akkor a függvény xq környezetében érvényes Taylor-sora
2n-\
^n+l X ■+...= sinjc, { 2 n ~ \)\
a) Függvény előállítása hatványsorral (hatványsorba fejtés). Egyik lehet séges mód a függvény Taylor-sorral, ill. Maclaurin-sorral való előállítása (lásd a 2.6. pontot). Ismeretes, hogy ha az xq hely környezetében f akárhányszor differenci
+ ...= cos:x:.
-oo < ;c < +oo;
shx,
-o o < X < + °o;
konvergens és előállítja az / függvényt. Azt is mondhatjuk, hogy a függ vény ilyenkor Taylor-sorba (hatványsorba) fejthető. Ekkor a függvény és xq helyhez tartozó Taylor-sova. a konvergencia intervallumában egyenlő, azaz
2 n -l
x + — + ——h H—------- + ...= ( 2 n - l) ! 2n
+ ..= c h x . 1 + X + 4 ^ + ...+ .^ (2n)! 2! 4!
-oo < X < +oo;
/ ( x ) = / ( x o ) + ^ - 1! ^ ^ ( x - x o ) + A 2!^ ( ^ - ^ 0 )'+•■• (|x - Xo| < r). Az
x q
= 0
helyhez tartozó Taylor-sort Maclaurin-somdk nevezzük. Ekkor f i x ) = f ( Q ) + £ ^ x + J ^ x - + . . . , (H < r ) .
1+
x +
ra^
^a' 2 , X 4 -...+
x " + ...^ { l + x y
-l< ;c < l.
Ez utóbbi sor neve binomiális sor, amely bármely valós a esetén a -1 < x < 1 intervallumon konvergens., H a a > 0, akkor x = - l - r e is, ha a > -1 , akkor x = l-re is konvergens. Ha a nemnegatív egész szám, akkor a sor véges összeggé válik, így minden jx-re konvergens.
Mivel mind a Taylor-sor, mind a Maclaurin-sov hatványsor, ezért e sorok konvergenciatartományát a konvergenciasugár kiszámításával határozzuk meg. Konvergens hatványsorokból összeadással, kivonással, szorzással (az ered mény hatványkitevők szerinti elrendezését fenntartva), valamint tagonkénti deriválással és integrálással újabb függvények hatványsorai állíthatók elő. Ezeket példákon keresztül mutatjuk be.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
304
4.5.2. Függvények hatványsorba fejtése
Példák 1. A z /( x ) = e^ + cosx függvény sorát az szeadásával nyerjük:
x'’
r
e '+ c o s* = 2 + i + | j - + ^
+ | ^ + ^ + - |p + ...,
(- = - < x < + » ) ,
1+ —+ -i—+ ——t1! 2! 3!
"-0,5^ ^-0,5^ r-0,5^ X" + x^^ 2 , V 3 , l 1 ;
így megkaptuk az arcsinx függvény deriváltjának hatványsorát. Integráljuk az egyenlőség mindkét oldalát: 1 X . 1-3 X , 1 3-5 X arcsmx:^x4- — + 2 .4 5 2 4-6 7
és - —- sorának Cauchy-fé\e szorzataként
kapjuk: l- x
VT
1
X
2. Az ~ — függvény sorát az _e __ „
. = 1-.
és cosx sorainak tagonkénti ösz-
305
..+ c .
Az integrációs állandót abból a feltételből határozzuk meg, hogy arcsin 0 = 0; mindkét oldalon x helyére nullát helyettesítve azt kapjuk, hogy C = 0, Tehát
(l + x+x" + x^+...) = l+ 2 x + —
3
1
T
5
,
^
7
arcsin X = X+ 4-4r- + 4 -^ 4 r- + ~ 4 ™ ~ r-+ ..., (r = 1). 2 3 ' 2-4 5 2-4-6 7 Ha konvergens hatványsorba és összegfüggvényébe x helyére az ax^^ i p > 0 egész) hatványfüggvényt helyettesítjük, akkor újabb függvény hatványsorát kapjuk. Ekkor általában a konvergenciaintervallum megvál tozik. Az ÚJ sor konvergenciasugara
A sor X = 1 -re is konvergens, ezért 7t 2
, 1 1 , 1-3 1 , 1-3-5 1 , 2 3 2-4 5 2 -4-Ó 7
4. Integráljuk a geometriai sort és összegfüggvényét. Ennek eredményeként 2
r = P9
i
- ln ( I - x ) = X+ ^
r
-
Példák 1. Ha a geometriai sorba x helyére (-2x")-et helyettesítünk, akkor az \ + 2x= l - 2 x - + 4 x ^ - 8 xU ...+(-l)'’2"x-”+...
l + 2x“
Mivel az eredeti sor konvergenciasugara r = 1, ezért a kapott sor konvergencia sugara r= -X ^. A sor tehát az |x| < v2
v2
intervallumon konvergens.
2. Deriválva az függvény hatványsorát észrevehetjük, hogy ugyanazt a sort kaptuk vissza. Ez összhangban van azzal, hogy deriváltja e^. Hasonlóan tapasz talhatjuk, hogy a sin függvény sorának deriválásával a cos függvény sorát kapjuk. 3. Határozzuk meg az arcsin x függvény hatványsorát. Megoldás. Most célszerűbb a függvény deriváltját sorbafejteni. Mivel az arcsin a' függvény deriváltja az
függvény, ezért a binomiális sorból kiindulva,
V T ? 1 Ekkor helyettesítsünk Xhelyére ( - x ') -e té s legyen a = - —.
4
5
n
(|x|
(Az integrációs állandó 0.) írjunk mindkét oldalon x helyére -x-et és szorozzuk meg az egyenlőség mindkét oldalát -1-gyel:
a
E módszert általánosíthatjuk úgy, hogy a hatványsorba x helyére adott polinomot, sőt adott hatványsort helyettesítünk.
függvény sorát kapjuk: 1
3
+- ^ + ^ + ^ + ...+ ^ + ...,
ln(l + x) = x - ^ + ^ — ^ + -y-F...+(-!)" ‘^ + . . . , E két sort összeadva, újabb függvény hatványsorát kapjuk: .3 5 2«+l ^ ln l± ^ = 2
;|x|
:|x| < 1).
l-x
Az együtthatók összehasonlításának elvét is felhasználhatjuk függvények sorbafejtésére. Ennek az a lényege, hogy ha két konvergens hatványsornak (egy intervallumon) ugyanaz az összegfüggvénye, akkor a két hatványsor megfelelő együtthatói egyenlők. Példák 1. Határozzuk meg a thx =
függvény hatványsorát.
Megoldás. A sh és eh függvények hatványsorát a shx = -^—y — , ill.
chx = - - -y —
összefüggés alapján, sorából kiindulva határozhatjuk meg. Az e'*' függvény hatványsorába X helyére -x-et helyettesítve, 2
3
z= l - i + ^ ----+ 1! 2! 3!
és így
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
306
4.5.2. Függvények hatványsorba fejtése
307
= -5 + ^ ( x - l ) + ^ ( x - l ) - + ^ ( x - l ) ' + ^ ( x - l ) ' =
(minden x-vo).
= - 5 - 1 7 ( x - 1) - 1 8 ( x - 1)- - 4(x -1)^ +(x-1)"*. (minden x-re).
(2n)\ A th függvény hatványsora legyen th X= CjX+
zetében) elég sokszor differenciáihatók. A kapott sorok x-nek (x -XQ-nak)
+ c^x^+...
alakú. A páros indexű együtthatókat már eleve nullának vehetjük, mivel a th függ vény páratlan függvény. Feladatunk tehát a Cj, C3, C5, ... együtthatók meghatározása. A th X•eh X= sh X összefüggés alapján felírhatjuk, hogy = V4- ---\- .^43! 5!
qx + c^x^ + £5X^4-... j
b) Á ltalán o sab b sorfejtések. Az eddigiekben olyan függvények sorbafejtését láttuk, amelyek az x = 0, esetleg az x = xq helyen (és annak környe
A bal oldalon Cauchy-fé\s szorzást végezve, a bal- és jobboldalon szereplő meg felelő együtthatóknak egyenlőknek kell lenni. így adódik: c, =1;
csak pozitív kitevőjű hatványait tartalmazták. Találkozunk azonban olyan függvényekkel is, amelyeknek az x = 0 helyen valamilyen szingularitásuk van. Ilyenkor a függvény x = 0 hely környezetében érvényes sora esetleg x negatív kitevőjű hatványait is tartalmazza. Előfordulhat az is, hogy a függvényt nem x hatványai szerint fejtjük sor ba. Néhány egyszerűbb példát mutatunk be, amelyekben lényegében a hatványsorba fejtést alkalmazzuk. Legyen a függvény olyan, hogy az x = 0 helyen nincs ugyan értelmezve, de ezen a helyen van véges határértéke. Vegyük itteni függvényértéknek ezt a határértéket. Ha ezzel a kiegészítéssel a függvény az x = 0 helyen elég sokszor differenciálható, akkor ott esetleg hatványsorba fejthető. Példa Az /( x ) = -
függvény az x = 0 helyen nincs értelmezve, de lim ■ y-T.0
Innen Cj = 1; C3 = - ^ í C5
Tehát a th függvény hatványsora:
- = 1. X
Ha a függvényértéket az x = 0 helyen 1-nek vesszük, akkor az így kapott függvény hatványsora:
thx = x - j1x + j2j x 3 - + . . . ,
X — ---- f-
3!
5!
7!
= 1 - ^ + 2^__ 3! 5! 6!
Ha polinomot fejtünk hatványsorba, akkor a kapott hatványsor nyilván véges számú tagot tartalmaz. Polinom ok x - xq hatványai szerinti sorba-
Legyen az f függvénynek az x = 0 helyen pólusa. Ekkor van olyan leg
fejtését (átrendezését) legcélszerűbb a Taylor-fovmulával elvégezni (lásd a 2.6. pontot), esetleg felhasználhatjuk a H orner-elrendezést is.
kisebb n természetes szám, hogy a (p(x) = x”/ ( x ) függvény 0 helyen vett határértéke véges. E (p(x) függvény hatványsorát előállítva, majd e hat
Példa Az / ( x ) = x'* - 8x^ -i-3x-l függvény hatványsora önmaga. A függvény x - 1 hatványai szerint átrendezett alakja:
ványsort x” -ne! tagonként osztva, az / függvény x = 0 környezetében érvényes sorát kapjuk (x ^ 0). E sor nyilván tartalmaz negatív kitevőjű
/( x ) = - 5 - 17(x- 1 ) - 18(x-1 )- - 4 (x -1)^ + (x -1 )^ Ugyanis / ( l ) = -5,
=
/ ^ \ l ) = 24,
/ " ( l ) = -36,
f" '{ l) = -24,
/ ') ( ! ) = /® )(l)= ..,= 0
és így 1!
2!
3!
4!
hatványokat is. Példa A etgx függvénynek az x = 0 helyen pólusa van. Viszont limxctgx = l, Fejtx-^O sük hatványsorba tehát a cp(x) = xctgx függvényt. Ezt célszerű a cos és sin függvé nyek sorainak felhasználásával, az együtthatók összehasonlítási elve alapján elvé gezni. Végül a kapott hatványsort tagonként osszuk el x-szel. így ctg X ~ ____ — - ^ X ^ — ^ r ^ — ^ X 3 15 945 A kis szögek kotangens értékei ezzel a sorral számíthatók.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
308
Hatványsorokat használva, általánosabb függvények szerinti sorfejtést is elvégezhetünk.
309
4.6.1. Sorok összegének számítása
- a ^ + a ^ + ö 2 +...+a„_i sorozat határ
sor összege definíció szerint az értéke, azaz
Példák
s - lim (a o +
1. Fejtsük
hatványai szerint haladó sorba az j - L függvényt. ezért ha ezt a határértéket sikerül kiszámítani, akkor feladatunkat megol dottuk. Sajnos ez a határérték közvetlenül a legritkább esetben számítható. Ha azonban a sor tagjai előállíthatók a „ = b „ - b„+x (/7 = 0,1,2,3,..,)
Megoldás. A geometriai sort felhasználva, 1 1 1 _ 1 1 == T "”J + ~3 1+ x X
alakban, ahol {b„) egy olyan konvergens sorozat, amelynek határértéke
< 1, azaz |x| > 1.
A sor ott konvergens, ahol
ismert, akkor 2. Fejtsük sinx hatványai szerint haladó sorba az f { x ) = ^ \-k ~ s \n ~ x függ vényt. Megoldás. Ha k~ <\, akkor k~úyC x is kisebb mint 1. Felhasználva a binomiális sort, J l - k~ sin~ X
=
.1
C
6
C
1
^
2jc- 1 )------1 ^
= -1 + 2(e")-(l - (e^)- +
=
/ 1x
i\/i
-l)(l-e
+e
s = b Q - lim b„ n —>oo
A módszer általánosítható arra az esetre, ha a„ előállítható
l-™ ^"sin"x--^Á:"’sin"'x-... 2 o
alakban, ahol p természetes szám. Ekkor s = bQ-\-b-^+.. -+b,j__] - p lim
3. Fejtsük e* hatványai szerint haladó sorba a thx függvényt. Megoldás. A geometriai sort használjuk fel egy kis átalakítás után. thx = — — — = -:5- ---- = (e e +e e +\
= (^0 - b i ) + {h - ^ )+ - ■’+ibn-x - K ) = ^ k -b „ miatt
-e
\
+.,.) =
l +e
1. Az l + q + q~+...+q'''^^+... geometriai sor «-edik részletösszege: S„ = l + q + q-+ ..
.
Ha 1^1 < 1, akkor a sor konvergens, és összege s
4.6.
.
Példák
..).
A sor X < 0 esetén konvergens.
= b„ -b^+p
~ lim
= lim
s,,
/- ] _ q -\
1 q -\
SOROK ÖSSZEGÉNEK SZÁM ÍTÁSA, HIBABECSLÉS
Sorok konvergenciájának vagy divergenciájának, ill. konvergenciainter vallumának meghatározása mellett másik lényeges feladat konvergens sorok összegének kiszámítása, ill. közelítése adott hibával.
4.6.1. Sorok összegének számítása
2. Számítsuk ki a Y - — 7- 7-^— :----- - végtelen sor összegét. f^^{a. + k){a + k + p) Megoldás. A sor tagjait résztörtekre bontva: 1 1 (a + n )(a + « + p)
Tehát Z>o lim b„ = lim
Konvergens numerikus sor összege racionális, vagy irracionális szám (a sor tagjai valós számok). Ennek a számnak meghatározása sokszor igen körülmé nyes és változatos lehet. A következőkben néhány módszert ismertetünk.
1
_■ b, =
1
a+n
1 a+ n+ p
. = ■1 JL+. 1 P a a +1 p = l,
a + p -\
akkor
a) A részletösszegek határértékének szám ítása. Mivel az 1-3
+
2 '4
+
~^II
^n+p-
1 ^p- \ ~ p { a + p - \ ) , és
’ ^2 -
1 - 0. így a sor összege: p{a + n)
Ha például a = 1 és ŰQ + Ű J + Ö 9 + . . .+ ö ^ + . . .
p
3-5
=3 4'
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
310
b) Függvénysorok alkalm azása. Ha adott numerikus sor összegét keres sük és találunk egy olyan függvénysort, amelynek ismerjük az összegfúggvényét és e függvénysor „helyettesítési értéke” valamilyen helyen éppen az adott sor, akkor a numerikus sor összege könnyen számítható. Legtöbbször hatványsort, esetleg Fourier-sort alkalmazunk. A numerikus sor összegének számításához felhasználhatjuk továbbá függvénysorok deriváltjait, vagy integráljait. Ilyenkor néha differenciál egyenlet megoldására vezetjük vissza a feladatot. Példák 1, A,
1
+
+... numerikus sor összegének számí-
tásához használjuk fel az 2n + l hatványsort, amelyből az eredeti sort x - í helyettesítéssel kapjuk ( x = 1 -re a sor a Leibniz-kritévium értelmében még konvergens). Tagonkénti deriválással az l~ x - + x - x ° + ... = - ‘ 1+ x"
(H < i)
geometriai sort kapjuk (ahol q = -x~). Mindkét oldalt integrálva, r’ ^ - ■ y + ^ - ^ + . . . = arctgx
(|x| < 1).
Az integrációs állandó itt most 0. Mivel a sor az x - \ helyen konvergens, ezért az^Ae/-féle folytonossági tétel értelmében
Ezt a függvényt sorbafejtve, és az így kapott sort az eredeti hatványsorral egyenlővé téve: 2
3
5
7
x-»i-o
2. Számítsuk ki az -x + 4 - ~ + 4 - ~ + . . . + - ---- ~ + . . . numerikus sor összegét. 4 2 8 3 16 n 2"+' Megoldás. Ennek számításához használjuk fel az 2
3
4
U
X" + X + . . . =
1 -x
(Ixl < 1).
Ennek a differenciálegyenletnek (lásd a VI. fejezetet) a megoldása az eredeti hat ványsor összege. Mindkét oldalt integrálva: ^ = - l n ( l - x ) + C, ;t^= C x - x ln ( l- x ) .
ahonnan
4
U 1 1
4-
-
1 In 1 -
1 In ?
c) Sorok összegének közelítő szám ítása. Igen gyakran a sor összegét nem tudjuk zárt alakban meghatározni. Sőt, sokszoi' a zárt alakú összeg helyett a jó közelítő értéket előnyben részesítjük. Ha a sor összege irracionális szám, akkor a sorösszeg közelítő értékét ezen irracionális szám egyik közelítő tört jének tekinthetjük. Néha éppen az a célunk, hogy egy irracionális számot racionális számmal közelítsünk, és ezt úgy hajtjuk végre, hogy alkalmasan választott végtelen sor valamelyik részletösszegét (szeletét) számítjuk. A sor összegének közelítő kiszámításában nem lényegtelen, hogy a sor „milyen gyorsan” konvergál: Két sor közül arra a sorra mondjuk, hogy gyor sabban konvergál, amelynek kisebb szeletét (kevesebb tagját) is elegendő kiszámítani ugyanolyan pontosság eléréséhez. Hogy a konvergencia gyorsasága mennyire lényeges kérdés, arra példa képpen megemlítjük, hogy ha In 2 értékét 5 tizedesjegy pontossággal az 3
4
5
6
sor szeleteiből akarnánk számítani, akkor kb. az első 200000 tagot kellene összeadnunk. Éppen ezért a lassan konvergáló sorok esetében a konver genciát igyekszünk j avítani. A konvergencia javításának egyik lehetséges módja azon alapszik, hogy ha a
= 1+ X +
3
lyettesítéssel kapjuk, így tehát
hatványsort, amelyből az eredeti sort az x = -|- helyettesítéssel kapjuk (itt konver gens a sor). Az egyenlet mindkét oldalát x-szel osztva, majd mindkét oldalon deri válva, a jobb oldalon mértani sort kapunk:
2
Innen látható, hogy C=0, tehát >^=-xln(l-x). A sor összegét az x - — behe
2
4
4
Cx + 4 - + — + 4 ^ + .,. = 4 - 4 - ~ + 4 - +
1-4 - + -|--4 -+ ...= lim arctgx = ~ . 3
311
4.6.1. Sorok összegének számítása
és k=o
konvergens sorok megfelelő tagjai jó közelítésben k=o ~ ^ k ) sor gyorsabban konvergál, mint az
megegyeznek, akkor a k=o adott sorok. = B, akkor
Ha k=0
^< ^k k=0 k=0
k=0
- B + ^ { a i ^ -b k )k=0
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
312
Másik lehetséges mód a konvergencia javítására a sortranszformáció. Annak egyik változatát, az Euler-féle sortranszformációt mutatjuk be. Legyen adva az ü Q -a i +Ü2 - 0 3 + ..• + ( - ! ) ” a „ + ...- ^ ( - 1 ) cik k=o konvergens sor (nem kell, hogy ez a sor alternáló legyen). Bizonyítható, hogy oo a . V" A Uq .n+l ’ k=0 n=0 ^ ahol a A”űo értékek az öo>
számok differenciatáb
4.6.2. Hibabecslés
313 1 _■ 1 I 1 , 1 , 1 , + 1 ,Í5 (« + 1)2"^' 2 2 4 3 .8 ^ 4 1 6 + -
Látható, hogy ez a sor sokkal gyorsabban konvergál, mint az eredeti. 3. Számítsuk ki VTT közelítő értékét a binomiális sor felhasználásával, a sor első három tagjának figyelembevételével. Megoldás. VTT-et k(l + x)°^ alakban írhatjuk fel, ahol jx| < 1. Egyik lehetőség: V n = V 9 T 2 = 3 ^ = 3(l + | f . Másik lehetőség:
lázatából olvashatók ki, vagy
A.n
I\ +1^2
A flo
n
V9
a 3 + ...+ (-l)'
v3y
3
3 V
100
A második lehetőséget választjuk, mert ott x = —
3V
100
(az elsőnél x = ~ ), és így
módon számíthatók. ez a sor sokkal gyorsabban konvergál, mint az első, nem beszélve 7^
Példák 1. Számítsuk ki 3 tizedesjegy pontossággal az 2
3
100
kényelmes
hatványozásáról. Tehát
«
1 - - L > = 1 1-41- 1 1 1 100 J 3 2 100 81002
)fc=i«
sor összegét a sor konvergenciájának javításával. Megoldás. Mivel a konvergencia nem elég gyors, vonjuk ki a sorból a
= 3,316625.
A sor első három tagja kb. 6 tizedesjegy pontossággal adja az eredményt.
y ___\---- = 1 sort (amely a 4.6.1. pont a) bekezdés 2. példájának speciális esete
4.6.2. H ibabecslés
a = l és p = 1-re), majd adjuk is hozzá annak összegét (1-et). Ugyanis az — és
Sor összegének közelítő szám ításához elengedhetetlen a közelítő érték hibájának becslése, mert enélkül a közelítő érték semmitmondó.
1 értékek majdnem egyenlők. Tehát k{k + 1)
Ha az űQ + ö | + ü 2 +...+a„_i +a„ + a„ ^i+ ... konvergens numerikus sor 1
1 ^ x k ~ (k + l)
A kapott sor gyorsabban konvergál mint az eredeti sor, mert a tagok nevezője itt nem másod-, hanem harmadfokú. Az eljárást lehetne tovább folytatni. Ha a sor első 13 tagját összeadjuk, akkor a kívánt pontossággal megkapjuk az összeget: 5 = 1,645. 2 A sor összege egyébként: s = ^ . oo 2. Javítsuk meg az Megoldás.
k
= sor konvergenciáját. k~0 Az Euler-fé\e sortranszformációt használjuk. Igazolható, hogy ky
+
összegét az s„ = ag + oj + 02 +• ••+ö„_j szelettel közelítjük, akkor a hiba (abszolút értéke): H = ja„+ a„+ i+ a„^2+■■■!■ A továbbiakban feltételezzük, hogy s„ számításában a kerekítési hibák elhanyagolhatók. A / / hiba pontos értékét általában nem ismerjük. Rendszerint megelég szünk azzal, ha meg tudjuk határozni H egy felső korlátját. Ilyen felső korlátot többféleképpen megadhatunk: 1. Ha egy alternáló sor összegét s„ -nel közelítjük, vagyis elhagyjuk az a„, a„+i stb. tagokat, akkor H <\a„\.
314
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
Tehát ilyenkor a hiba kisebb, mint az első elhagyott tag abszolút értéke. Ez a hibabecslés rendkívül egyszerű. 2. Ha a sor pozitív tagú, akkor H értékét becsülhetjük úgy, hogy az +ÖM+2 + -" sort majoráljuk egy ismert S összegű sorral. Ekkor
4.6.2. Hibabecslés
2. Mekkora pontossággal kapjuk Ve értékét az a sor első 6 tagját vesszük csak figyelembe? Megoldás. Mivel
H < S. 3. Ha az / fliggvény az x > n - \ intervallumon pozitív, csökkenő, folytonos függvény és Uk = f { k ) {k = n ,n + \ , ...), akkor 4.
f (x)dx n-\ Hibabecslésre néha felhasználhatjuk a Taylor-sor maradéktagját.
315 sorának felhasználásával, ha
sora minden x-nél konvergens, így x helyébe -j-et helyettesítve,
4e = e~ = \ + \ 2
1 2--2!
1 2^-3!
1 2''.4!
1 2^-5!
Ha csak a kiírt 6 tagot vesszük figyelembe, akkor a H hiba: H =2^6 !
2 -7 !
2 •!
2-7
2‘’-6!
2 - .7 ’8
2-7S-9
f (x)dx < H <
Előfordul, hogy egy sor összegét m számú tizedesjegy pontossággal kell kiszámítani, vagyis szükséges, hogy a H hiba kisebb legyen, mint Ilyenkor tehát adott a hiba (annak felső korlátja), és ennek alapján meg kell határozni, hogy hány tagot kell a sorból összeadni. A kerekítési hibák kiküszöbölése érdekében s„ tagjait több tizedesjegy
2 -6 !
14
14-
Itt a maradéksort egy mértani sorral majoráltuk. Látható, hogy a hiba kisebb, mint 2,3 -10“^. Tehát 4 tizedesjegy pontossággal közelíthető Ve értéke az első 6 tag összegével. A hibát itt a Lagrange-féle maradéktaggal is becsülhetjük. Ugyanis a maradék tag
pontossággal számítjuk, mint ahány tizedesjegyre szükségünk van. Ezeket a fölös tizedesjegyeket tartalékjegyeknek nevezzük. Ha tagjainak száma « < 1 0 , akkor elég 1 tartalékjegy, ha 1 0 < n < 1 0 0 , akkor 2 tartalékjegy szükséges. Példák 1. Számítsuk ki sin 0,2 értékét 7 tizedesjegy pontossággal. Hány tagot kell fi gyelembe venni a Madaurin-soxhóX ilyen pontosság eléréséhez? Megoldás. A kívánt értéket a sin 0 í = 0 , 2 - : ^ . i | l - 4 + , . . sor segítségével számítjuk. Mivel 7 tizedesjegy pontosságot kívánunk, így H < 5 -10~^. A sor alternáló, tehát meg kell nézni, hogy melyik az első olyan tag, amelynek abszolút 0l ’ értéke már kisebb, mint 5 -10 . Egyszerű próbálgatással azt kapjuk, hogy —p mái' kisebb ennél. Ezt a tagot tehát már figyelmen kívül hagyhatjuk, így elegendő az első három tag. Az egyes tagok értékét 8 tizedesjegy pontossággal számítva (1 tartalékjegy): 0,20 000 000
+0,00 000 267 0,20 000 267 -0,00 133 333 0,19 866 934 A 8. tizedesjegy most kerekítést nem ad, tehát sin0,2 = 0,1986693.
- J -------- L _ ^ I 1 ,^ _ _ = = 2 ,3 - 1 0 “^ 2^-6! 1__ L 13 2®'6! 14
14"
^
1 ahol0<^<-;^. 2
---2®-6!
Mivel az
függvény szigorúan növekvő, ezért helyett vegyük annak lehető 1 legnagyobb értékét, e--et. De mivel ezt sem ismerjük, vegyük helyette a nála nagyobb 2-t. Ekkor //< ^ ^ - 4 ,3 5 - 1 0 " ^ 2^-6! Látható, hogy ez a becslés egy kicsit durvább, mint az előbbi, de a 4 tizedesjegy pontosság még ezzel is elérhető. 3. Milyen pontossággal kapjuk az 2
3
n
k
sor összegét, ha a sorból az első 10000 tagot adjuk össze? Megoldás. A hiba ekkor
H-
^ yt=10001 k~
Az f ( x ) = - \ - függvény értékei az x = 1,2,3,... helyeken éppen a sor tagjaival x" egyenlők. így - mivel a sor tagjainak indexelése 1-től és nem nullától megy J - \d x < H <
j
-Ldx.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
316 Innen
10001
akkor a 10"^ nagyságrendű hiba meglepően nagy. A hiba tehát most nem becsülhe tő az első elhagyott tag abszolút értékével.
FOURIER-SOROK
rf X 2 k n , , 2 f /•/ X • 2 k n , „ f ( x ) c o s ------ x d x , bk = — / ( x ) s m ------ x d x (yt=0,l,2,...) . P P Q P Legyen a 2n szerint periodikus f függvény korlátos és legyen a [0,27t] intervallum véges számú olyan részre bontható, amelyek mindegyeikének belsejében f monoton. Ekkor f Fourier-sora mindenütt konvergens és öszszege a folytonossági jr helyeken / (x), a szakadási helyeken pedig a függ vény bal oldali és jobb oldali határértékének számtani közepe. Tehát a szakadási helyek kivételével
A függvénysorok között különösen nagy jelentőségűek a Fourier-soxok, amelyek elsősorban periodikus jelenségek vizsgálatánál alkalmazhatók. Definíció. Az
cosAx + bj^ sin kx)
•^ + k=\
alakú függvénysort trigonometrikus sornak nevezzük. A sor tagjai 2ti szerint periodikus függvények. Ezért összegfüggvénye is (ha létezik) 2 n szerint periodikus. H a a sor egyenletesen konvergens, akkor összegfüggvénye folytonos is. A Weierstrass-knXév'wxm. értelmében a trigonom etrikus sor egyenletesen konvergens, ha az együtthatókból képzett
X (K I+ K I) k=\ sor konvergens. Legyen az f függvény 2% szerint periodikus, korlátos és Riemann szerint integrálható függvény. H a a fenti trigonometrikus sor együtthatóit az 2n f{ x )c o s k x d x ,
f{ x ) s m k x d x
módon képezzük, akkor a sort az/ függvény Fourier-sorának, az a^, {k = 0,1,2 ,...) együtthatókat pedig Fourier-együtthatóknak nevezzük. Tekintettel f periodikus voltára, az együtthatók számításához a 0 és 2n integrációs határok helyett tetszőleges a és a + 2% határok választhatók. Ezt gyakran célszerű is kihasználni (lásd pl. az 1. példát). H a az/ függvény periódusának hosszap , akkor Fourier-sora: c o s-^ ^ Jc + 6^ s i n - ^ ^ x k=i
317
ahol 10000'
A hiba tehát lO'^-nél alig kisebb, ezért elvileg az összegre csak 3 tizedesjegy “8 pontosságot garantálhatunk. Ha meggondoljuk azt, hogy a 10000. tag értéke 10 ,
4.7.
4.7. Fourier-sorok
f{ x ) =
cosfcc + 6^ sin^x).
Ha ezen túlmenően / mindenütt folytonos, akkor Fourier-sora. egyenlete sen konvergens és előállítja az/függvényt. A Fourier-sor szeleteinek nevezetes minimumtulajdonsága van; Legyen f a [O, 2tc] intervallumon korlátos és integrálható függvény, és keressük azt az ün F „(x) = -— + flj cosx + ^i sin.x+...+ö„ cosnx + b„ sinm: n-edrendű trigonometrikus polinomot, amelyre az 2% { f{ x ) -F ^ { x ) fd x ) integrál a lehető legkisebb. Itt tehát egy olyan szélsőértékfeladatról van szó, amelyben az ismeretlenek az a^, a^, b\, ..., a„ és b„ együtthatók. A fenti feltételnek éppen a Fowr/er-együtthatók tesznek eleget. Az összes azonos rendű trigonometrikus polinom közül tehát a Fourier-sor részletösszegei közelítik az / függvényt a legjobban abban az értelemben, hogy az f függvény és a F„ Fowr/er-polinom eltéréseinek négyzetintegrálja minimum. Vagyis F„ nem egy pont környezetében közelít jól, mint a Taylorpolinom, hanem egy intervallumon: F„ görbéje „rátekeredik” az f függvény görbéjére (4.11. ábra). Az
^0 — + Oi cosx + 02 cos2x+...+a„ cosnx+ ...
alakú trigonometrikus sort koszinusz-sornak, a bi sin;)c +Z?2 sin2x+...+6„ sin nx+... alakú sort pedig szinusz-sornak nevezzük. H a az/fü g g v é n y páros, akkor Fourier-sora koszinusz-sor, azaz bk= 0
ik = \,2 ,...y
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
318
Ha az/ függvény páratlan, akkor Fowrzer-sora szinusz-sor, azaz (A = 0,1,2,...). Példák 1. Határozzuk meg az/ függvény Fourier-somi, ha í-1, ha -TC
4 .7. Fourier-sorok
319
Ebből egy nevezetes sort és összegét kapjuk: =JL 4'
l_ i +i_ l+ 3 5 7
2. Határozzuk meg az/ függvény Fourier-sorát, ha I tt,
ha 0 < x < n , ha n < x < 2 n
(4.12. ábra).
és f ( x + 2%) = f { x )
Megoldás. Mivel a függvény páratlan, ezért Faurier-sora tiszta szinusz-sor, tehát = 0 {k = 0,1,2,...). A együtthatók számítása: X 0 íz T 1_ = — J f (x) sin kxdx = — j (-l)sin/cc(5fe + —J l-sinkxdx= —— —.. ^ -71
-7t
0
(^ = 1,2,3,...) Innen néhány együttható értéke: = ^^ , b.= é, =0, bk ,= 0, / * 7 1 “ A függvény Fourier-som tehát: 4 f sinx ■ +^ — sm nV
b ,= 0 ,
b, = 0.
+^ + . . .
Az/ függvényt, valamint a sor f ,W = ^ sin x.
=
& F ,W = -i(sin
Megoldás. Az együtthatók számítása: n 2k aQ ^—jxc/x-i--^ J7tdx = - ^ , 0 n 7t 2n = ~ íxcoskxafx + — fncoskxc/x = ~ 7tJ n ■> 7t n
szeleteit (részletösszegeit) a 4.11. ábrán vázoltuk.
in
bj,=— [ xú n kxd x + — í -Ksmkxdx- — nJ n J k 0 n Néhány együttható értéke: 01 = - —, ‘ K =
Ö7 = 0, ~
<33 = - — — , ^ Ti: 3“
^ =- i
Í3 = - i
Ö4 = 0, b, = -
4’
űc = - —•— , ^ 5" bs— T ,
A függvény Faurier-sora: ^ cosjy- GÍnx 4 tc
2 cos3a: 2 7 1 3 2
sin3x 3
sin4x 2 cos5x 4 7 1 52
síuSa:
5
’"
3. Fejtsük Fourier-sorha az/ függvényt, ha f ( x ) = x~,
Mivel az / függvény az x = y helyen folytonos és értéke itt 1, ezért a kapott Fourier-sor összege x = y -n él szintén 1, azaz
- 1< X < 1,
és f ( x + 2) = f( x ) . (4.13. ábra.) Megoldás. A függvény 2 szerint periodikus, azaz p = 2. A függvény páros, ezért bi^=0 (k = 1,2,3,...). Az együtthatók kiszámításánál célszerű -1-től 1-ig integrálni;
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
320 2 f 2, a o = j j x dx = - . -1
4.8.1. Numerikus (állandó elemű) szorzatok
321
Ha ennek a (/?„) sorozatnak nullától különböző véges határértéke van,
2
1 akkor az uiU2 Ut,...u„... végtelen szorzatot konvergensnek mondjuk, és az -1
ü k - ^ ^ x 'c o s ^ ^ x d x =
1
0
U = Y l ^ k = UIU2 U3 ...U„, • Hm p*„
4 .1 3 . ábra. A 3. példa függvényének ábrája
k=i
valós számot a végtelen szorzat értékének nevezzük.
X ' c o s k n x d x = - - : : ^ { - l ) , (^ = 1 , 2 ,. .. ) .
Ha az u i,u 2 ,u 3 , M ivel a fü ggvén y m indenütt folytonos és a [ - 1 , l] intervallum on szakaszonként
számok mindegyike nullától különböző véges
érték, akkor konvergencia esetén a végtelen szorzat értéke:
m onoton (a [ - 1 , 0] intervallum on csökkenő, a [O, l] m tervallum on növekvő), ezért
U=
Fo urier-sora előállítja azt. íg y írható:
/(x ) = ^ - A n~
cosnx
c o s ln x ^ cos37ir
= lim p„ . k=í
;c g R.
A végtelen szorzat konvergenciájának szükséges feltétele:
2-
Hm 4.8.
= 1.
Ezért általában célszerű a szorzat tényezőit u„ = l + a„ alakban meg
V ÉGTELEN SZORZATOK
adni. Ekkor 4.8.1. N um erikus (állan d ó elem ű) szorzatok [/ = n ( l + a ^ ) = (l + a i) ( l + a 2 )...( l + a „ )... k=\
H a az ui,u-y,u3, . . . , u „ , . . . számsorozat elemeit a szorzás jelével kap
és így a konvergencia szükséges feltétele, hogy a„ nullasorozat legyen.
csoljuk össze, akkor az így kapott
Ha a ( p *) sorozat nem konvergens, vagy ha határértéke nulla, akkor a Ui -U2 ■U3'..--U„-...= Y \u k k=\
kifejezést végtelen szo rzatn a k rievezzük. Itt A
= W], P 2 = uiU2 ,
Pn = U^U2113...U„, ..., szorzatok a végtelen szorzat
részletszorzatai. Hagyjuk el a végtelen szorzatból az wi, hogy az
a szorzat n-edik tényezője.
•••’
tényezőket úgy,
tényezők között már ne legyen zérus. Ekkor az
Um+\Um+2 ■■■Un--- végtelen szorzat részletszorzatai; P \ ~ ^ni+b P l = % + l “m +2’
végtelen szorzatot divergensnek mondjuk. így a végtelen szorzat divergens akkor is, ha végtelen sok 0 tényezője van: ekkor ugyanis akárhány tényezőt hagyunk el a szorzat elejéről, a (/?*) sorozat határértéke nulla. Véges számú tényező elhagyása vagy beszúrása a végtelen szorzat kon vergenciáját vagy divergenciáját nem befolyásolja. Továbbá 1-gyel egyenlő tényezők elhagyása vagy beszúrása (akár végtelen számban is) a végtelen szorzat konvergenciáját és értékét, ill. a szorzat divergenciáját ugyancsak nem befolyásolja. A végtelen sorokra vonatkozó Cauchy-féle általános konvergencia kritériumnak itt a következő felel meg: A
n o
+ ü k ) = i\ +
a i)(\ + a 2 )...{ \+ a „ )...
k=l P n ~ ^m+\ ^m+2 ■■■^m+n
végtelen szorzat akkor és csak akkor konvergens, ha bármely £ > 0 szám hoz van olyan N (z ) szám, hogy n > N esetén
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
322
4.8.2. Függvényszorzatok Érvényes a következő tétel;
< e, ahol p tetszőleges természetes szám.
A n o + üi^) végtelen szorzat akkor és csak akkor konvergens, ha bizo-
A r i ( > + i3^ ) végtelen szorzatot abszolút konvergensnek mondjuk, ha a k=\
k=\
nyos m +1 indextől kezdve a tényezők között nincs zérus, és az S=
J ^ ( l + a ^ ) végtelen szorzat konvergens. Az ilyen szorzat értéke független k=\
a tényezők sorrendjétől. H a a végtelen szorzat konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor átrendezéssel megváltozhat az értéke, sőt divergenssé is tehető. Legyenek a i,a -,,...,a „ ,... nemnegatív valós számok. Ebben az esetben a f l ( l + ak)
sor konvergens. Ekkor a szorzat értéke U = f l ( l + a k ) = il + a O (l+ a 2 )...(\ + a „ y . k=l Példák
,
k=l
végtelen szorzatok akkor és csak akkor konvergensek, ha a
sor k=l
konvergens. Konvergens végtelen szorzatokat szorozhatunk, ill. oszthatunk egymással úgy, hogy az azonos indexű tényezőket szorozzuk, ill. osztjuk egymással (természetesen osztás esetén feltételezzük, hogy egyik nevező sem 0). ill. k=l
| ; i n ( l + a i) k=m+l
1. Vizsgáljuk meg az
és n ( l - a j
k=]
k=\
323
3-,
Megoldás. A szorzat konvergens, mivel a szorzat; Pn =
'- i k" _ l - 3 2 '4 3-5 4-6 { n -2 )-n ( « - l)o + 1) _ +1 0 0 9 «... A 2- 3“ 4- 5(tt-I )n
Mivel minden tényező nullától különböző, ezért a végtelen szorzat értéke: U= \ i m p „ = \ i m ^ = l . n->oo
^
—
= n
\ +b
sor konvergens. Az «-edik részletk=\k-'
k=l
1 + a^
1 - - V .. végtelen szorzatot. n~ .
^k -bh = n 1 + \ + bh k=\
2. Az
íll + i]ufl+f (\ l U3J)
zn
l
.. végtelen szorzat divergens, mert
n íi+ ii) k =\
Végül megemlítjük, hogy a
no +a]^)
amelynek nincs véges határértéke, bár a konvergencia szükséges feltétele végtelen szorzat konvergen-
k=\
lim (1+—)=1
teljesül. A divergencia onnan is látszik, hogy a V s o r divergens. k=\
ciájának vizsgálatakor, ill. értékének számításakor vizsgálhatjuk a tényezők logaritmusából álló 4.8.2. Függvényszorzatok X l n ( l + öyt) k=\
végtelen sort, amit fonnálisan a végtelen szorzat logaritmálásával kapunk (va lós esetben természetesen ez csak akkor lehetséges, ha a tényezők pozitívak).
Egy végtelen szorzat elemei lehetnek függvények is. Ekkor végtelen fü g g vényszorzatról beszélünk. Ha a szorzat tényezőit 1 + fk ( x ) alakban adjuk meg, akkor e szorzat általános alakja;
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
324
325
4.9.1 Kamatos kamat számítás Példaként említjük, hogy minden x-re
n c + /íW )k=i Azoknak az ;c számoknak a halmaza, ahol ez a szorzat konvergens, a szorzat konvergenciatartománya. Ezeken a helyeken ez a végtelen szorzat egy függvényt értelmez. A n o + szorzat akkor és csak akkor konvergens egy interval^=1 lumon, ha akármilyen e > 0 számhoz található olyan N > 0 szám, hogy n > N esetén az intervallum bármely helyén
ahol p tetszőleges természetes szám. Ha az N szám az .x helytől függetlenül is megadható, akkor a szorzat a kérdéses intervallumon egyenletesen kon vergens. Az egyenletes konvergenciára két elégséges kritérium'. 1. A
no + fk { x ) )
végtelen szorzat egy intervallumon egyenletesen
k=l konvergens, ha itt a ^ | A ( ^ ) | végtelen sor egyenletesen konvergens. k=l
k~Tr )
4xcosx = |~J 1 -{2k - 1)-7C/t=i
4.9 PÉNZÜGYI SZÁM ÍTÁSOK
4.9.1 Kamatos kamat számítás A kamat a kölcsön (kölcsöntőke) használatáért fizetendő összeg. A ka matláb 100 pénzegység meghatározott időre (ún. kamatidőre) vonatkozó kamata, amit százalékban adunk meg. A kamatidő általában 1 év, de lehet más időtartam is (pl. 1 hónap, 1 nap stb.). Ha nem mondunk mást, akkor a kamatidő I év. Legyen a kamatláb (az évi kamatláb) P %. Ekkor a T kölcsön (a tőke) K kamata annak P százaléka, azaz K = T P =T p , (1) 100 ahol P - ~ ^ - A K kamat tehát a T tőke 1-évi kamata. Az 1-napi kamat ennek 365-öd (vagy 360-ad) része. így a kamat m napra
2. Ha \f„ (x)\< a„ (n= \,2 ,3 ,...) egy intervallum minden pontjában, és a
no + ö^) végtelen szorzat konvergens, akkor a no + / j t W ) függvény-
k=] k=\ szorzat egyenletesen konvergens az intervallumon.
Az egyenletes konvergencia egyik következménye, hogy ha az fj^ függ vények egy intervallumon folytonosak, akkor ott folytonos az / W ; = n ( l + /* W ) k=\ szorzatfuggvény is. Ha ezen kívül az
függvények ezen az intervallumon
differenciálhatók és a ^ | / / ( j c ) | sor itt egyenletesen konvergens, akkor az k=\ f függvény logaritmikus deriváltja:
(y a )
=
A fentiekből következik, hogy pl. a bankban elhelyezett T tőke 1 év alatt T^ = T + T - p = T -{l + p ) értékre növekszik. Ha a további évek mindegyikében a tőke csak a kamat időre vonatkozó kamattal növekszik, akkor egyszerű kamatozásról van szó. Ebben az esetben a T tőke n év alatt T, = T -{ \ + n - p ) (2) értékre növekszik. H a a kamatot minden kamatidő végén a tőkéhez csatolják, azaz tőkésítik és így a továbbiakban már az is kamatozik, akkor kamatos kamatozásról beszélünk. A T tőke az első kamatidő (első év) végére T^ = T { l + p ) = T - r , {r = \ + p) értékre növekszik. Az r = \+ p
tényezőt kamattényezőnek nevezzük.
A második kamatidő végére a T tőke felnövekedett értéke T 2 = T y r^ T -r~
.
326
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
Hasonló meggondolással látható be, hogy az «-edik év végére a T tőke Tn = T - r ^
(3)
értékre növekszik. Példák 1. Mekkorára növekszik fel 500000 Ft 6 év alatt 15% kamatláb mellett egysze rű, ill. kamatos kamatozással? Megoldás. T = 500000,« = 6, P 15%. Tehát /) = 0,15,r =: 1+ p = 1,15, így egy szerű kamatozással a (2) képlet szerint
- 500000 ■(1 -t- 6 ■0,15) = 950000.
Kamatos kamatozással pedig, a (3) képletet használva Tg = 500000-1,15^ = = 1156530,38 forintra növekszik fel. 2. Hányszorosára növekszik a tőke 10 év alatt, ha az évi kamatláb 18%? Megoldás. (3) szerint a töke r"-szeresére nő. P = 18%, így r = l+ 0 ,18 = 1,18, n = 10 , így r" = 1,1S'° = 5,2338 . Tehát a tőke 5,2338 -szorosára növekszik.
4.9.2 Nominális és effektív kamatláb Legyen most a kamatidő 1 hónap és a havi kamatláb 1,2 %. Ez a havi ka matláb nem azonos évi 12-1,2% = 14,4% kamatlábbal. Ui. 100 Ft egy év alatt évi 14,4%> kamatláb esetén 114,4 Ft-ra, míg havi 1,2% kamatláb mellett 100 • (1 -t- 0,012)^- = 115,40 Ft-ra növekszik. Tehát havonkénti tőkésítés esetén havi 1,2% kamatlábnak évi 15,4% kamatláb felel meg. Általánosan, ha évente egyenlő időközökben m-szer történik a tőkésítés — % "kai, akkor az évi kamattényező m
327
4.9.3 Diszkontálás, jelenérték
Ha a kamatidő tart a nullához, azaz m minden határon túl nő, akkor folytonos kamatozáshoz jutunk. Ekkor az effektív kamatláb: \m - 1 100 = (e-^ - 1 ) 1 0 0 P = lim 1 4 - ^ (7) m Innen látható, hogy ekkor az évi kamattényező e-' . Példa Havi tőkésítés esetén m = 12. Ha az évi nominális kamatláb 12% (azaz J = 12 ), akkor j = 0,12 , így az effektív évi kamatláb az (5) alapján \12
P=
12
-1
100 = (l,0l‘- -1)-100 = 12,6
százalék. Negyedéves tőkésítés esetén m = 4 . Ha az effektív évi kamatláb 16% , akkor a nominális (évi) kamatláb: J = 100 ■4 •(VÜ6 -1 ) = 15,12% . A negyedévi konform kamatláb: ^ = 3,78% . 4 Ha az évi nominális kamatláb 16%, akkor y = 0,16 , így a folytonos kamatozás hoz tartozó évi kamattényező = 1,1735 = 1+ 0,1735 . Innen megállapítható, hogy ekkor az effektív évi kamatláb 17,35%.
4.9.3 Diszkontálás, jelenérték A kamatos kamat számításnál láttuk, hogy a T tőke a kamatozás követ keztében n év alatt r ” -szeresére (r > 1) növekszik, azaz
r = \ + p = {\ + 2 - f ^
m
(4)
J ahol j = ----- .A P = 100 • /?, azaz a 100 P =
Fogalmazhatunk úgy, hogy T forint n év múlva 7^ forintot ér. De mond hatjuk azt is, hogy az n év múlva esedékes 7^ forint jelenlegi értéke, ún. ■100
(5)
kamatlábat effektív évi kamatlábnak, míg a 7 = 100- j kamatlábat nomi nális kamatlábnak nevezzük, — pedig a konform kamatláb. m A (4) felhasználásával
T„ = T - r ” .
J = 100 ■m • ("^1 + p - 1 ) .
jelenértéke T forint. Az n év múlva esedékes pénzbevétel jelenértéke tehát az az összeg, amely n év alatt kamatos kamatozással az esedékes összegre növekedne. A (3) alapján 7^ jelenértéke T, azaz r= r„ .- V = r „ .v " ,
(6)
(8)
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
328
4.9.3 Diszkontálás, jelenérték
329
2. Egy telket akarunk vásárolni, amelyre az alábbi két ajánlatunk van: ahol V = — . A V számot diszkonttényezőnek nevezzük. A jelenérték r kiszámítása (megállapítása) a diszkontálás. A diszkontálás tehát a kamatos kamatoztatás (a felkamatoztatás) fordítottja. A jelenértéket diszkontált értéknek is mondjuk. Ha a kamatláb P% és így r = 1 +
100
1------E— = \ - d = \ - - ^ , v = l = -------= ' \ +p \+p 100’ r
A másodiknál a diszkonttényezö v =
ahonnan (9)
Ezzel a jelöléssel a T jelenérték D
100
( 10)
A D kamatlábat diszkontlábnak nevezzük. A P, ill. a D kamatlábat szokás hitelkamatlábnak, ill. diszkontkam atlábnak is mondani. Ha különböző időpontokban esedékes pénzösszegeket akarunk össze hasonlítani, akkor célszerű azokat valamely közös időpontra „konvertálni”. Ez lehet például a jelenlegi időpont. Ekkor a pénzösszegeket diszkontáljuk, így azok jelenértékeit kapjuk, amelyek már összehasonlíthatók. De eljárha tunk úgy is, hogy a „lekamatoztatás” helyett az összegeket felkamatoztat juk egy közös időpontra és e felkamatoztatással nyert értékeket hasonlítjuk össze. Ezekre a „konvertálásokra” azért van szükség, mert egy mai forint többet ér mint egy holnapi, ill. egy holnapi kevesebbet ér mint egy mai. A pénz jelenlegi értéke diszkontálással, jövőbeli érték pedig kamatos kamatoztatással határozható meg. . Példák 1. Mekkora a 3 év múlva esedékes 2000000 forint jelenértéke, ha a kamatláb 20%. Mekkora a diszkontláb? Megoldás. Ha ? = 20% , akkor p = 0,2 , így r = 1+ p = 1,2 . A diszkonttényezö: V= 1 =
. A (8) formula szerint a
2. A vételár 2300000 forint, és a vételár felét a szerződés megkötésekor, a má sodik felét pedig 2 év múlva, kamatmentesen kell fizetni. Melyik a kedvezőbb ajánlat, ha 16% kamatlábat veszünk figyelembe? Megoldás. Számítsuk ki a két ajánlatban szereplő pénzösszegek jelenértékét. Az elsőnél a jelenérték nyilván 2000000 forint,
= 1 + p , akkor
1+ P
1. A vételár 2000000 forint és a szerződés megkötésekor kell fizetni;
=2000000 forint 3 évre diszkontált értéke:
1150000+1150000-v- =2004637,34. Tehát az első ajánlat a kedvezőbb, mert a jelenérték ott kisebb. De eljárhatunk úgy is, hogy minden értéket felkamatoltatunk 2 évre. Az első ajánlat ban szereplő 2 000 000 forint felnövekedett értéke 2 691 200 forint. A második aján latban szereplő egyik 1 150000 forint 2 év alatt 1 547440 forintra növekszik fel. A má sik 1 150000 forint nem növekszik, hiszen azt 2 év múlva fizetjük. E két érték összege 2697 440 . Tehát így is az első ajánlat a kedvezőbb. 3. Egy 5000000 forint névértékű váltót szeretnénk az esedékesség napja előtt 120 nappal eladni. A bank hajlandó azt megvásárolni azzal a feltétellel, hogy a névértékből levonja a 120 napra eső kamatot (mivel ő is csak 120 nap múlva juthat az 5000000 forinthoz). Mennyit kapunk a váltóért évi 20% diszkontláb esetén? Megoldás. A váltóért kapható összeg a névérték diszkontált értéke lesz. Ki kell tehát számítani 5000000 forint 120 napra vonatkozó jelenéitékét, ha az évi disz kontkamatláb 20%. A levonandó kamat kiszámításánál használjuk az (l/a) képletet. Ekkor a névérték jelenértéke (egészre kerekítve): 5 000 000 -
000 0 3 . 1 2 0 ^ 4671233. 365 A váltóért tehát 4671233 forintot kapunk. Megjegyezzük, hogy a névérték ilyen módon való csökkentését a váltó leszámítolá sának, az alkalmazott diszkontkamatlábat pedig leszámítoló kamatlábnak nevezik. M egjegyzés. A diszkont kincstárjegyek valamint az államkötvények árfolyam és hozamszámítását a 41/1997. (III.5.) sz. rendeletben meghatá rozott képlet alapján kell számolni. Diszkont kincstárjegyek esetén
= 1157407,4 forint. U>2 A diszkontláb kiszámításához használjuk a (9) formulát: r = 2000000
D = | | = 16,67% .
így a jelenérték:
\[
r>s365
ahol á az árfolyam, h a hozam, rövidítése.
á(°/o) pedig a hátralévő napok számának
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
330 Államkötvények esetén ^áéb~
4.9.5 Járadékszámítás értékre növekszik, ahol p =
h-hjnsz J 1+ 365
y-edik kamatfizetés mértéke (%), pok száma,
bruttó árfolyam éven túl, k j a
bruttó árfolyam éven belül,
a >edik kamatfizetésig hátralévő na
az utolsó kamatfizetésig hátralévő napok száma, t pedig a
ahol A:„ a névleges kamat,
f = =
P
100
. Ha F > P , akkor a vásárlóér-
Példa Legyen P = 16 %, F -1 2 % . Ekkor p = 0 ,l6 ,f = 0,12 , így kamatozó pénzünk vá =1,036 -szorosára növekszik, ami 3,6 százaléknak felel
meg (tehát a növekedés kevesebb mint P - F
százalék). A vásárlóérték 4 év alatt
^ 116^^ = 1,15 -szőrösére növekszik, ami 17,5 százalékos növekedésnek felel meg. U,17
tőketörlesztés. Felhalmozott kamat { f k ) '■ fk -
P 100
ték csökken. 365
sárlóértéke 1 év alatt I ahol
331
4.9.5 Járadékszámítás 365 az előző kamatfizetés óta eltelt napok
száma, sz szökőnap (szökőnapra nem jár kamat). nettó árfolyam = bruttó árfolyam - felhalmozott kamat. Nettó árfolyam: az állampapír felhalmozott kamatokat nem tartalmazó ára, névérték százalékában kifejezve. Felhalmozott kamat: az állampapír éves kamatának, a legutolsó ka matfizetéstől az aktuális napig eltelt időre jutó arányos része. Bruttó árfolyam: a nettó ár és a felhalmozott kamat összege. Hozam: százalékos formában adott mutatószám, mely megmutatja, hogy milyen arányban gyarapszik befektetett pénzünk a lejáratig. Értéke a különböző futamidejű befektetések összehasonlíthatósága miatt egy évre arányosított.
Az egyenlő időközökben fizetett összegek sorozatát járadéknak nevez zük. A járadék fizetésének (ennek a pénzmozgásnak) a célja lehet pénzgyűjtés, törlesztés, fix összegű jövedelem biztosítása. Ennek megfelelően a járadék lehet gyűjtőjáradék, törlesztőjáradék, életjáradék. Az életjára dék lehet meghatározott évre szóló, vagy örökjáradék. A továbbiakban feltételezzük, hogy a be- vagy kifizetési időközök meg egyeznek a kamatidővel, és minden alkalommal ugyanakkora a fizetett összeg. Ha a kamatidő 1 év, akkor az egy-egy alkalommal fizetett összeget an nuitásnak nevezzük. a) Gyűjtőjáradék. Évi P százalékos kamatláb mellett n éven át minden év elején befizetünk C összeget. Kérdés, hogy az utolsó befizetés után 1 évvel mennyi pénzünk van? Jelölje ezt . A feladat megoldásához minden befizetett összeget kamatoztassunk fel az n-edik év végére. Az első évben befizetett C összeg n éven át
4.9.4 Az
infláció figyelem bevétele
Kamatos kamatozással a tőke n év alatt r” -szeresére növekszik (/■>!). Ha nem lenne infláció, akkor a bankba tett pénzünk vásárlóértéke is r ” -szeresére növekedne. De mivel van, ezért a vásárlóérték növekedése kisebb lesz. Legyen a kamatláb P %, az infláció pedig F százalékos. Ekkor a tőke vá sárlóértéke n év alatt csak /1.
(kamatos) kamatozik, tehát ennek felnövekedett értéke C • r” , ahol r = \ + P = l + P . A második évben befizetett összeg már csak n - \ 100 éven át kamatozik, így annak felnövekedett értéke C • . Hasonlóan kapható a többi befizetett összeg felnövekedett értéke is. Az utolsó évben ez C r , mert az ekkor befizetett összeg csak 1 évig kamatozik. így S„ = C - r ^ +
1+ /
..+ C - r ^ + C - r = C
- r
- .
(1 1 )
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
332
4.9.5. Járadékszámítás
Itt felhasználtuk azt, hogy a C r + C r"+ ...+ C r ” összeg tagjai mér tani sorozatot alkotnak, és így C •r + C •r~+...+C • 7"” = C • r • (1 + /'+...+ r” ') = C ■r
r"-l
Ha az 1 forint annuitás ( C = 1 ) n év alatt felnövekedett értékét . r - \ r -1
akkor
tással n év alatt
r-1 jelöli,
■. Fogalm azhatunk úgy is, hogy C forint annui 1-t- P 100 összegű kölcsönt törleszthetünk le (fizethetünk vissza)
P % kamatláb mellett. Ha C = 1, akkor legyen a kölcsön összege
( 12 )
Példák 1. 15 éven át minden év elején 100000 forintot teszünk a bankba. Mennyi pén zünk lesz a 15, év végén, ha az éves kamatláb 14 %? Megoldás. Itt C=100000, «=15, r= l + j^ = l,1 4 , (1 l)-et alkalmazva, a 15, év végén
-V
Megoldás. Itt n = 10,
15 % kamatláb mellett az utolsó év végén legalább 2000000 forintunk legyen? Megoldás. Itt S„ =2000000, r = 1,15, C = 200000 , n pedig ismeretlen. A (11) kép letet használva, 2 000 000 = 200 000 1,15 •
1,15"-1 0,15
. Ebben az esetben
1 -v "
1
1
1-v
P
p{\ + p)'
- 1500000, p = 0,2, C = ? A (13) formulát használva, 1 0,2'1,2'®
1500000 = C
Innen C = 357784,14 . Összesen tehát lO-C = 3577 841,4 forintot kell befizetni. Ebből 1500000 forint a kölcsönösszeg a többi a kamat. c) É letjárad ék . Az életjáradék olyan törlesztőjáradékként kezelhető, amelynél [/„ összegű kölcsönt n éven át, évente C összeggel törlesztenek. Ezért az ezzel kapcsolatos számításoknál használható a (13) képlet.
1,15 ■‘ ' 1,15 ■’............ Tehát 6 évig kell évi 200000 forintot fizetni. b)
lg 1,15
matra, amelyet n évig C annuitással törlesztünk. Az első törlesztő részletet a kölcsön felvétele után 1 évvel fizetjük be. írjuk fel a fenti adatok közötti összefüggést. A feladat megoldásához minden befizetett összeget diszkontáljunk a kölcsön felvételének időpontjára. Legyen a diszkonttényező v. Ekkor a C annuitások jelenértéke rendre: C -v , , azaz ha
(7 = C -v + C -v -+ ...+ C -v '' = C -v -
=c
1 P
1 p {\ + p f
Ö rö k já ra d é k esetén (elvileg) végtelen éven át történik a C annuitás fo2 3 lyósítása. Ekkor a járadék jelenértéke a C - v + C - v + C -v +... végte len sor összege lesz. Ez a végtelen sor konvergens, mert |v| < 1. Legyen az összeg U. Ekkor U - Hm
=
(13)
Cv 1- V
lO O C P
(15)
ahol P az évi kamatláb. Ebből a képletből látható, hogy ^
11 - V 1 -v
az
életjáradék jelenértéke.
T ö rlesztő járad ék . Ll„ összegű kölcsönt veszünk fel P százalékos ka
A törlesztés akkor ér véget, ha ezek összege
(14)
Példa 1500000 forintot 10 évig akarunk törleszteni 20 % kamatláb mellett. Mekkora lesz a törlesztörészlet? Mekkora összeget kell összesen befizetni?
5,5 = 100000 - 1 , 1 4 - = 4 998 035,2 forintunk lesz, 2. Hány évig kell minden év január 1-jén 200000 forintot a bankba tenni, hogy
333
100
(16)
vagyis az Í7jelenérték P százaléka. Lehetséges olyan örökjáradék is, amelynél a folyósított pénzösszeg évenként meghatározott százalékkal növekszik. Legyen az első évben folyósított összeg C, amely évenként G százalékkal növekszik. Ha P százalékos kamatlábat (P > G) tételezünk fel, akkor ennek az örökjáradéknak ajelenéitéke
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
334 U
-
C
-V
+ C ■s - v
+ C -S '
C -v _ 100-C 1-ív P -G
;i7)
100’ “
nuitású életjáradékot biztosít 10 éven át, ha az e lső részlet kifizetése a betét elhelye zése után 1 évvel történik? M eg o ld á s. H asználjuk a (13) képletet. M ost [/[o - 5 0 0 0 0 0 0 , P = 20% , C = ? Ekkor /? = 0,2 , így
\
0,2
0,2 ■ 1,2
Innen C = 119 2 6 1 3 ,8 . 2. M ekkora annak az örökjáradéknak a jelenértéke, am ely évente 4 0 0 0 0 0 forint jöved elm et biztosít, ha az évi kamatláb 16 %? M ennyi a jelenérték akkor, ha az első év végén 4 0 0 0 0 0 forintot, utána évenként 6 százalékkal többet jövedelm ez? M eg o ld á s. Feltételezzük, hogy az első részlet kifizetése a jelen id ö (pl. a szerző dés m egkötésének ideje) után 1 évvel történik. A (1 5 ) képletet használva, 1 0 0 '4 0 0 0 0 0
U =-
16
■r + Cfj > B ■r ” .
+ C2 ■
‘ ' 100 ■
P éld á k 1. Egy 5 0 0 0 0 0 0 forintos bankbetét, am elynek hozam a évi 2 0 % , mekkora an-
5 000 000 = C
335
A beruházás akkor gazdaságos, ha H nagyobb (vagy egyenlő) mint a befektetett B összeg n évre felkamatolt értéke, azaz ha C \- r
1 ahol v = \+
« = 10,
4.9.6. Beruházások gazdaságossági mutatói
Ha ennek az egyenlőtlenségnek mindkét oldalát osztjuk r^^-nel, és be vezetjük az -^ = V jelölést, akkor C] ■V+ C~) • v” +...-l-C^_| • V
+
•V > 5 .
Most az egyenlőség bal oldalán a hozamok jelenértékének összege áll. Tehát mondhatjuk azt, hogy a beruházás akkor gazdaságos, ha a hozamok jelenértékeinek összege nagyobb mint a beruházások összege, ahol a jelenidő a beruházás időpontja. n Az E= -B (18) ;= 1 különbséget a beruházás nettó jelen érték én ek nevezzük. Ha ez pozitív, akkor a beruházás gazdaságos. Ha a beruházás k évig tart, és az évenként befektetett összegek rendre B^, B t , , akkor a beruházás nettó jelenértéke
■= 2 5 0 0 0 0 0
/-I
Tehát egy olyan kötvényért (befektetésért), am ely évente 4 0 0 0 0 0 forint örökjá
(19)
i=\
radékot biztosít, 2 5 0 0 0 0 0 forintot szabad adni. A z évente 6 százalékkal több jöv ed elm et biztosító örökjáradék jelenértékének kiszám ításánál használjuk a (1 7) képletet. Ekkor
(7 =
1 0 0 '4 0 0 0 0 0 -
16-6
• = 4 0 0 0 0 0 0 forint.
Az
R = /=] k
lA /= 1 4.9.6 B eruházáso k gazdaságossági m utatói A beruházások értékelésére különböző gazdaságossági mutatókat dol goztak ki. Ezek közül néhányat mutatunk be. Egy beruházásnál a befektetett összeg legyen B, amelyet az év elején fi zettek be. Tételezzük fel, hogy a befektetés az első év végétől kezdve n éven át, évenként rendre Q , C2, ...,Q hasznot (jövedelmet) eredményez. A B összeg az n-edik év végére P% kamatláb mellett B ■r ” -re növekedne fel a bankban
r =\+
P . Ugyanakkor a hozamok felnövekedett értéke: 100
( 20 ) /-I
hányadost megtérülési rá tá n a k nevezzük. A beruházás akkor gazdaságos, ha R > \ . E z az R hányados megmutatja, hogy a beruházott összeg n év alatt hányszor térül meg. Ennek következtében az
hányados a beruházás megR térülési ideje években kifejezve. Ha például n= \2, R = 3, akkor 12 év alatt a beruházás költsége háromszor térül meg, így a megtérülési idő 4 év. Egy másik gazdasági mutató az ún. belső m egtérülési ráta: az az r ka mattényező, amelynek reciprokával (azaz v = -^ -rel) diszkontálva a hoza mokat és beruházott összegeket, a diszkontált bevételek éppen fedezik a diszkontált befektetéseket, vagyis amely mellett a (18), ill. a (19) nettó jelenérték nulla.
Végtelen sorozatok, sorok és szorzatok
336
Példa. Az alábbi két (ALFA és BÉTA) beruházási program közül válasszuk ki a kedve zőbbet, ha csupán a két nettó jelenérték összehasonlításával döntünk. Az évi kamat láb legyen 20%. Beruházás csak az 1. évben történik. Számítsuk ki a megtérülési rátákat is. Program
ALFA
2500000
\m m
lOOOíDO
3000000
0
0
lODOX)
2000000
3000000
Megoldás. Mivel P = 20% , ezért v = ~ =
. így az ALFA program Jelenértéke
(egytizedesre kerekítve) a (18) képlet alapján: 1000000
1000000
3000000
1,2
1,2-
1,2^
+ 0 -2 5 0 0 0 0 0 =
A BÉTA program jelenértéke: £(BÉTA) = 0 + l «
^
1,2"
+i
^
1,2^
+^ ^ ^ -3 0 0 0 0 0 0 =
1,2^
Mivel az A LFA program jelenértéke a nagyobb, ezért azt célszerű választani. A megtérülési ráták;
^
2500000
,
;oralgebra Műveletek ve.ktorokkal; Lineáris függetlenség Geometriai alkalmazások; n-dim enziós vektor L ineáris algebra eieniei
M ,átrixok
De4:eriiiiiiáiisok Determináns tiílajcioiiságai Lineáris egyenletrendszerek
= 1,31 > 1,
Megoldási m ódszerek
3000000
T eiizo ro k
tehát mindkét beruházás gazdaságos. Ez egyébként onnan is látható, hogy mindkét
Műveletek teiizorokkal
jelenérték pozitív. Az ALFA program megtérülési ideje
Főteiigelytétel
BÉTA programé ^ : = 3 , 6 4
g ö r b é k
M űveletek mátrixokkal; M'átrix rangja
= 3298611,2-3000000 = 298611,2.
3263888,9
;r
Lineáris tér, altér, diiiieiizicS; Bázislraiiszfcírmáció Euklideszi tér
= 3263888,9 - 2 500000 = 763888,9.
i?(A L FA ) = ■
a l g i
T O R A N A L ÍZ L S
1 . évben
£(A L F A )=■
in e á r is
4. évben
3 . évben
2, évben
1 . évben
3000000
BÉTA
L
H o za m o k
B er u h á zá s
y| y =
2,29 év, míg a
év. Itt figyelembe vettük, hogy az ALFA program 3
évig tart ( « = 3) , a B É T A program pedig 4 é v ig ( « = 4) .
T érg ö rb ék V ektor-skakir fíiggvén,y
Térgörbék, felületi görbék vizsgálata S k ak ir-v ek to r függvény V ektor- vektor függ vény
Határérték, folytonosság, differenciálás, inlegrákís IntegráiátaJakító tételek Potenciál függvény
V . F E JE Z E T
LINEÁRIS ALGEBRA, TÉRGÖRBÉK, VEKTORANALÍZIS
5.1.
VEKTORALGEBRA
A matematika egyik igen fontos fogalma a vektor. A fizikában, a geometri ában és a matematika számos ágában szinte nélkülözhetetlen segédeszköz. Az értelmezését az 5.1.1. és az 5.1.4. pontban is megadjuk. Az alábbiakban térbeli vektorokkal foglalkozunk. Ezeknek a vektoroknak a halmazát geo metriai vektortérnek is nevezzük.
5.1.1. A vektor értelmezése Definíció. Vektoron irányított szakaszt értünk. A definíció értelmében tehát a vektort akkor ismerjük, ha ismerjük a hoszszát és az irányát. Az irány térben két számadattal jellemezhető. így a vektor megadásához három számadat szükséges: az irányt megadó két szám és a szakasz hossza. Ezek helyett a vektor más számhármassal is megadható, pl. a koordinátáival (lásd az 5.1.4. pontban). A vektorokat a, b stb. módon fogjuk jelölni, megkülönböztetésül az a, b stb. számoktól, amelyeket skalároknak (skaláris mennyiségeknek) is neve zünk. Az 5.1. ábrán az a, b és v vektort ábrázoltuk.
5.1. ábra. Vektorok
340
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
Ha a vektor kezdőpontja a térnek egy meghatározott pontja, akkor kötött vektorról, ellenkező esetben szabad vektorról beszélünk. Ha a kezdőpont az origó, akkor gyakran helyvektort mondunk. A továbbiakban általában szabad vektorokkal foglalkozunk. Az irányított szakasz hosszát a vektor abszolút érték én ek nevezzük. Az a vektor abszolút értékének jelölése: |a |. H a ja| = 1, akkor az a vektort egységvektornak nevezzük. Jelölése: a°. Ha jaj = 0, akkor a zérusvektor (nullavektor), melynek jele: 0. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással egymásba átvihetők (fedésbe hozhatók), azaz ha eltolás után kezdőpontjuk egybeesik, úgyszintén végpontjuk is.
5.1.2. M űveletek vektorokkal a) Összeadás, kivonás. Az a és b vektorok összegét, ill. különbségét az 5.2. ábrán látható módon értelmezzük (paralelogramma szabály). Az összeadás kommutatív és asszociatív, azaz a + b = b + a és ( a + b ) + c = a + (b + c).
5.1.2. M űveletek vektorokkal
341
c) S kaláris szorzás. Definíció. Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolút értékének és az általuk közrezárt szög koszinuszának a szorzatát értjük. Az a és b vektorok skaláris szorzatának jelö lése ab. A definíció értelmében ab = |a||bjcos(p, ahol cp a két vektor által közrezárt szög (5.4. ábra). Innen cos9 (és ezáltal (p) is számítható, ha ismert az ab skaláris szorzat értéke: C0S9 = Az értelmezésből látható, hogy a skaláris 5.4. ábra. Két vektor által szorzás eredménye egy szám (skalár). H a két közrezárt szög vektor merőleges egymásra (cp = 90°), akkor skaláris szorzatuk nulla. Ennek fordítottja is igaz. H a két vektor skaláris szorzata nulla, akkor a két vektor merőleges egymásra. A skaláris szorzás kommutatív és (az összeadásra nézve) disztribiitív, azaz ab = ba és ( a + b)c = ac + b c . d) Vektoriális szorzás. Definíció. Az a és b vektorok vektoriális szorzatán azt az a x b vektort értjük, amely merőleges mindkét vektorra, hossza |a||b|sin(p, továbbá a, b és a x b ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak (5.5. ábra).
/
\\\\^
b A |b|sin(p\ \ '\ \ \ \ y /v \ b) Vektor szorzása számmal. Az a vektornak a X számmal (skalárral) való szorzata az a Xa vektor, melynek abszolút értéke [?i||a|, iránya pedig a
A? \\
irányával megegyező ha X pozitív, és ellentétes ha X negatív (5.3. ábra).
5.6. ábra. Két vektor által kifeszített paralelogramma
H a X = - ^ , akkor |?ia| = |X|-|a| = j^ |a | = 1, vagyis az • i a vektor egya| |a |a| ségyektor. Tehát egy vektor egységvektorát megkapjuk, ha a vektort oszt juk az abszolút értékével: a°= ^ a
Az értelmezésből látszik, hogy a vektoriális szorzás eredménye vektor. Továbbá a x b hossza, azaz |a x b | = |a||b|sin(p, geometriailag a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területével egyenlő (5.6. ábra).
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
342
Ha a és b párhuzamosak (cp = 0), akkor |a x b| = 0, amiből következik, hogy a x b = 0. Tehát két párhuzamos vektor vektoriális szorzata nulla (vektor). A vektoriális szorzat nemkommutatív, ugyanis a Xb - - b x a . Az a X (b X c) szorzatot kétszeres vektoriális szorzatnak nevezzük. Iga zolható az ún. kifejtési tétel: a X (b X c) = (ac)b - (ab)c. e) Vegyes szorzat. Definíció. Két vektor vektoriális szorzatának egy harmadik vektorral kép zett skaláris szorzatát vegyes szorzatnak nevezzük. Az a, b, c vektorok ilyen sorrend bxc ben vett vegyes szorzata: abc:= (a x b ) c . A z abc vegyes szorzat abszolút ér téke a három vektor által kifeszített |a|cosy paralelepipedon (paralelogramma ala pú hasáb) térfogatával egyenlő. (5-7. ábra) Ha a vegyes szorzat értéke nulla, akkor a három vektor egy síkban van (komplanáris) Három vektor által kifeszített Az értelmezésből következik, hogy paialelepipedon a tényezők ciklikus cseréje esetén a vegyes szorzat értéke nem változik, viszont két egymás melletti tényező cseréje előjelváltást eredményez:
5.1.4. Vektorok megadása koordinátákkal
343
Vektorok lineáris függetlensége azt jelenti, hogy egyik vektor sem állítható elő a többi vektor lineáris kombinációjaként. Ha a vektorok lineárisan össze függők, akkor közülük legalább az egyik előállítható a többi vektor lineáris kombinációjaként. A kétdimenziós térben (síkban) maximum kettő, a háromdimenziós térben maximum három lineárisan független vektor adható meg. Ha az a, b, c vektorok egy síkban vannak, vagyis a vegyes szorzatuk nulla, akkor azok lineárisan összefüggők.
5.1.4. Vektorok megadása koordinátákkal á) A v ek to r k o o rd in átái. Vegyünk fel a térben egy O pontot és e pontból kiinduló, páronként egymásra merőleges egységvektort. Jelölje ezeket rendre i, j , k úgy, hogy ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkossa nak, akárcsak a térbeli derékszögű koordinátarendszer tengelyei (5.8. ábra). Nevezzük ezeket a vektorokat b ázisvektoroknak. Ha a v vektor az O pontból a P(V|,V2,V3) pontba mutat, akkor v előállítható a vji, V2Í, V3k vektorok összegeként (5.9. ábra), azaz ekkor V = V]i + V9j + V3k .
abc = bca = cab = -a c b = -c b a = - b a c . A Vj,V2,V3 számokat a vektor koordinátáinak nevezzük, pontosabban ki 5.1.3. Vektorok lineáris függetlensége Definíció. Az a ] , a 9,...,a ^ vektorok lin eárisan függetlenek, ha az ccja j + 0X939+.. ,+cCy^a ^ = 0 egyenlőség csak
= a 2 = ...= a ^ = 0 esetben áll fenn. Ellenkező eset
ben a vektorok lineárisan összefüggők (nem függetlenek). Az t t ] a i + a 2a 2+ ...+ 0C;^a^ vektor az a | , a 2,...,a ^ vektorok lineáris kombinációja ( a ] , a 2 ,...,a ^ valós számok).
fejezve, az i, j, k bázisra vonatkozó koordinátáinak. A vektort megadhatjuk koordinátáival. Használhatjuk az alábbi jelöléseket: V = vji + V2j +V3k = (vj,v9,v3). A vektor koordinátákkal való megadása azt jelenti, hogy rendezett számhármasként is értelmezhető. Ez lehetővé teszi a vektor bizonyos irá nyú általánosítását. Definíció. Vektoron rendezett számhármast értünk. M egjegyzések. 1. A vektornak az itt megadott és az 5.1.1. pontban megadott értelmezé se ekvivalens.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
344
2. Bázisvektoroknak nemcsak í, j, k vektorhármas választható, hanem három olyan tetszőleges b i,b 2,b 3 vektorhármas is, amelyek nincsenek egy síkban. Ekkor a tér tetszőleges v vektora felírható V
5.1.4. Vektorok megadása koordinátákkal
345
Az a, b, c vektorok vegyes szorzata: öl Ü2
abc = = ?ib| + \ib2 + vb3
62 63 C]
C2
C3
alakban. A X ,|i,v számok a v vektor b |, b 2,b 3 bázisra vonatkozó koor dinátái.
Példák 1. írjuk fel a V = (-2, V J,3) vektor egységvektorát.
Példa
Megoldás. Mivel |v| = V4 + 3 + 9 = VTö = 4, ezért
A V = 2i + 4j + 3k = (2,4,3) vektor az 5.9. ábrán látható. b) M űveletek ko o rd in átás alakban. Legyen a = (a], 02,03),
b = (61,62,
c = (ci,c2,c3).
A vektor x-tengeliye! bezárt szögének a koszinusza: cos a =
Az a vektor abszolút értéke: I I r? 7 T |a| = y a f + « 2 + <33 .
4
2
, ahonnan
a = 150°. 2. Legyen a = (5,-8,3), b = (10,4,2). Ekkor ab = 5 0 -3 2 + 6 = 24.
Az a és b vektorok akkor és csak akkor egyenlők, ha aj =
,
Ü2 =l>2,
3. Számítsuk ki az a = ( ^ , j , V 2 ) és b = ( y , ^ , 0 ) vektorok által közrezárt
a ^ -b ^.
Az a és b vektor összege, ill. különbsége: a + b = {a]+bi,a2 +b2 , a 2+b^), ill. a - b = (a j-^ i, a 2 -Ö 2 , <3 3 -
63
).
szöget. Megoldás. Mivel w = i/l4 ^ = v 3 ,
Az a vektornak a X számmal való szorzata: Xa = (Xű!j,?uí2’^ 3) • Az a vektor egységvektora: a {a
ezért
9 9 h =-\/űF + 02+^3
öl aj ű3 a{ ’ ja ’
Ha az a vektor a koordinátatengelyekkel rendre a , p, J szögeket zár közre, akkor
V3 , cos(p = T ^ = -j= — = ~ ab V3-1 2
ib|= ^ 1 + 1 + 0 = 1.
(p = 60°.
4. Az u = (5 ,-2 ,7 ) és v = (4,10,0) vektorok merőlegesek, egymásra, mert uv = 2 0 -2 0 + 0 = 0. 5. Az a = (2,-1,3) és b = (1,0,7) vektorok vektoriális szorzata:
öl cosa = — , a
a-) cosB = -=r, aj
Ű3 cosy = -j-4. |a|
o
Innen látható, hogy ezeknek az iránykoszinuszoknak a négyzetösszege; 9
9 „
9
,
cos" a + cos" p + cos 7 = 1.
ab = üib\ + aobi + <3 3 6 3 . Az a és b vektor vektoriális szorzata: j
k
a X b = ö| Ö2 ^3 ■ h
A két vektor által kifeszített paralelogramma területe: 7’ = |a x b | = V49 + 121 + l = V m .
Az a és b vektor skaláris szorzata:
i
i j k a x b = 2 - 1 3 = - 7 i - l l j + k = ( - 7 ,- ll ,l) . 1 0 7
h
h
6. Az a =(-1,3,2), b = (4 ,-6 ,2 ), c = (-3,12,11) vektorok vegyes szorzata: -13 2 abc = 4 - 6 2 = 90-150+ 60 = 0. -3 12 11 A három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogata nulla, ezért a három vektor egy síkban van (azok lineárisan összefüggök).
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
346
5.1.5. Néhány geom etriai alkalmazás
347
akkor 5.1.5. Néhány geometriai alkalmazás
x
A vektoralgebra eredményei kiválóan alkalmazhatók bizonyos térgeomet riai feladatok megoldásánál (lásd még a [9] 6.8. pontját). a) Két pont távolsága. A Px{xx,y>i,zi) és
pontok távolsága
- X q ^ >^-70 ^ Z -Z q
(3) a b c ' Az egyenesnek ez az egyenletrendszere nem tartalmaz paramétert. Tekintettel arra, hogy az r - rg vektor párhuzamos a v vektorral, azok vektoriális szorzata nullavektor, azaz (r-ro )x v = 0 .
az t i - v x különbségvektor abszolút értékével egyenlő, ahol V i~ {xx,y\,zi),
Ez ugyanannak az egyenesnek egy másik vektoregyenlete. Ha az egyenes két pontjával van adva, akkor v-nek választhatjuk a két ponthoz tartozó helyvektorok különbségvektorát, rp-nak pedig akár az
Y2 = {x2^y2’^i)^ azaz (/;=|r2 - r i | = V(^2 ” ^ i)“ + (^ 2 - y \ f +(^2 ~ ^ \ f ■ b) Vektor vetületvektora. Az a vektornak a b vektorra eső v vetületvektora: / u O)b muO V = (ab . Az 5.10. ábrán látható, hogy a b vektorra me rőleges vetületvektor: u = a - v .
5.10. ábra. Az a vektor vetülete a b vektorra
Példa Az a = (3,5,-2) vektornak a b = (2 ,-2 ,l) vek torra eső vetületvektora:
egyik, akár a másik helyvektort. Példa írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a íPo(3,-1,1) pontra, és párhuzamos a v = (-1 ,3 ,-4 ) vektorral. Megoldás. Az (1), (2), (3) alakú egyenletek rendre: r = ( 3 ,- 2 ,l) + / ( - l , 3,-4); x = 3 ~ í, y = -2 + 'it, z = \-A t\ x -3 -1
v = (ab°)b° = -~ (a b )b = - | ( 2 , -2 ,1 ). b3
y
+2 ^ z - 1 3 -4 '
d) A sík egyenlete. A Po(xo,yo,zo) c) Az egyenes egyenlete. Legyen a Pq{xq,}>q,zq) pont helyvektora ro = (;co>3^o>-^o)- ^ pontra illeszkedő és a v = {a,b,c) vektorral, az ún. irányvektorral párhuzamos egyenes egyenlete: r = r o + ív ,
(1)
ahol a t valós paraméter az összes valós számon végig fut, r pedig az egye nes tetszőleges P { x ,y ,z ) pontjának helyvektora (5.11. ábra). Ezt az egyenletet szokás az egye nes param éteres vektoregyenletének is nevezni. A bal oldalon és a jobb oldalon álló vektorok megfelelő ív = r - r koordinátái egymással egyenlők, azaz x = XQ+at, y = yo + bt, z = ZQ + c t .
5.11. ábra. A Pq pontra illeszkedő
Ez az egyenes skaláris paraméte res egyenletrendszere. H a az a, b, c koordináták egyike
és a v vektorral párhuzamos egyenes
sem nulla.
pontra illeszkedő, az n = (A ,B ,C ), ún. normál vektorra merőleges sík egyenlete: (r -r o )n = 0 , ahol ro a
Pq
pont helyvektora, r pe
dig a sík tetszőleges P ( x ,y ,z ) pont jába mutató helyvektor (5.12. ábra). Felírható r n - r o n = 0 alakban is. A skaláris szorzást elvégezve, a sík
5.12. ábra. A Pq pontra illeszkedő és az n vektorra merőleges sík
A x + By + C z - D = 0 alakú általános egyenletéhez jutunk. Itt D = rQn = A xq + ByQ 4- Czq. A sík H esse-féls normál egyenlete: 1
u -
= ( Ax + B y + C z - D) = 0.
Lineáris algebra, térgörbék, vektomnalízis
348
Legyen a sík három pontjával megadva, melyekhez tartozó helyvektorok legyenek rj, Y2 , r^. Ekkor a normálvektor
5:1.5. N éhány geom etriai alkalmazás
f ) P o n t és sík távolsága. A P |(x i, ji ,Z |) pont és az A x ^ B y + C z - D = Q sík d távolsága:
n = (r2 -ri)x (r3 -ri) módon vehető fel, ro-nak pedig r^, Vj, r3 közül bármelyik vektor választható.
349
d =
IAx^ + By-^ + Czj —£)|
+ V + C" Ha a Pl pont az origó, vagyis x i = y i = z i ~ 0, akkor
Ha a sík illeszkedik a Pq pontra, és párhuzamos mind az u mind a v vek torral, akkor n = u x v . Egyenlete ekkor a normálvektor nélkül is felírható
^1
d =
+ B~ + C “
r = r + ÍU + t v
ami nem más, mint a sík Hesse-félo normálegyenletében szereplő állandó tag abszolút értéke.
alakban, ahol t és % valós paraméterek. Példa írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a Pq{-\,3,2) pontra, normálvektora pedig az n = (5,-4,1) vektor. Megoldás. Mivel D = ron = - 5 - 1 2 + 2 = -15, ezért a sík egyenlete:
Példa Számítsuk ki a 2 x - 4 y + 5 z - l0 = 0 síknak az origótól, ill. a ?i(3 ,I,-2 ) ponttól való távolságát. A ' +B~ + C~ = V45. Ezért a sík Hesse-fék
Megoldás. Mivel n = (2,-4,5), így normálegyenlete:
5 jc-4>^ + z + 15 = 0 .
A Hesse-ft\Q normálegyenlet: 1 (5 x -4 j^ + z + 15) = 0.
V45
V42
tehát az origótól való távolság
( 2 x - 4 y + 5 z - l0 ) = 0. A P i(3 ,l,-2 ) ponttól való távolság:
é) Egyenes és sík döféspontja. Az x = XQ-
y = yQ + bt,
z
^ j 2 . 3 - 4 - l + 5 -(-2 )-1 0 |
= z q + cí
V45 egyenes és az A x + By + C z - D = 0 sík döféspontjának meghatározásához azt a / értéket kell kiszámítani, amelyhez tartozó x = XQ+at,
y = yQ + bt,
z = z q + cí
értékek kielégítik a sík egyenletét. Ezért ezeket az .x, y, z kifejezéseket helyettesítsük be a sík egyenletébe, majd az így kapott egyenletet oldjuk meg (/-re). H a egyetlen megoldás van, akkor van döféspont. Ha nincs megoldás, akkor nincs döféspont. Ha végtelen sok megoldás van, akkor az egyenes benne fekszik a síkban. Példa Határozzuk meg az r = (3,-2,1) + / ( - l , 3 ,-4 ) egyenes és a 2 x - 5 y + 2z + 7 - 0 sík döféspontját. Megoldás. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x = 3 - t , y = -2 + 3t, z = \ - 4 t . Behelyettesítve ezeket a sík egyenletébe, a 2 ( 3 - O - 5 ( - 2 + 3O + 2 ( l- 4 /) + 7 = 0 egyenletet kapjuk. Innen t = 1. így a döféspont koordinátái: ;c = 3 - l = 2, y = -2 + 3 = l, z = l - 4 = -3. Tehát a döféspont: M (2 ,l,-3 ).
18 ^ 6 V45
V5 ■
g) K ét sík szöge. Két sík egymással közrezárt szöge egyenlő a normálvek toruk által közrezárt szöggel, vagy annak kiegészítő szögével (e kettő közül a kisebbikkel). Példa Számítsuk ki a 4x + 2 y - 2 z + 5 = 0 és x + 3y + 5z~ 2 = 0 síkok szögét. Megoldás. A két normálvektor: Uj = (4 ,2 ,-2 ), H2 =(1,3,5). A két normálvektor által közrezárt szög koszinusza n,n-, A + f._ ]o „ cos (p = i— I = -T- ° 1 =0, |nj||ii2| |nj||ií2| tehát
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
350
Megoldás. Az első egyenes irányvektora: Vj = A második egyenes (amely átmegy az origón) felírható x = t, y - - 2 t , z = -2 t alakban, ahonnan az irányvektor kiolvasható: v, = (1 ,-2 ,-2 ). A két irányvektor által közrezárt szög koszinusza:
5.1.5. Néhány geom etriai alkalmazás
351
k) Két egyenes távolsága. Legyen a két egyenes irányvektora V], ill. vo. Legyen továbbá az egyik egyenes, valamint a másik egyenes egy tetsző leges pontjának helyvektora F], ill. r^. Ekkor a két (kitérő) egyenes d távolsága (normáltranszverzálisa):
coscp = V1V2 __ - 1 - 4 + 2 _ -1 V6-3 V6 ■
(F 2 - ■ri)(vi XV2) Vi XV2
Innen (p « 114°6'. így a két egyenes szöge kb. 65° 54'. /) Egyenes és sík szöge. Egyenes és sík szöge egyenlő a sík normálvektora és az egyenes által közrezárt (hegyes) szög pótszögével. Példa Számítsukkiaz r = (3 ,l,-7 ) + /(2 ,l,-2 ) egyenes és az x + 2>^ + z = 0 sík szögét.
Példa Számítsuk ki az r = (2 ,-l,0 ) + /( l,3 ,-l) és r = (1 ,-3 ,2) + /( - 2 ,1,0) egyenesek távolságát. Megoldás. A két irányvektor: v ,= (l,3 ,-l), Vj =(-2,1,0). Ezek vektoriái is szorzata:
Megoldás. A sík normálvektora: n = (1,2,1). Az egyenes irányvektora: v = (2,1,-2). E két vektor által közrezárt szög koszinusza: ___ nv 2 + 2 -2 2 ^ “ H l v r V6 .3 " 3 V 6 Innen (p~74°12'. Ennek pótszöge kb. 15°48' a keresett szögérték. j ) Pont és egyenes távolsága. A
i j k = 1 3 -1 =(1,2,7). -2
1 0
Legyen r, = (2 ,-1 ,0 ), r2 = (l,-3 ,2 ). A különbségvektor: V2 - r , = (-1 ,-2 ,2 ). A két egyenes távolsága: - 1 - 4 + 14 9 3 d= Vl + 4 + 49 V54 Vó
pontnak az r = Tq + fv egyenestől való I) K ét sík m etszésvonala. Legyen a két sík normálvektora n j, ill. n^.
d távolsága: , _ |v X (ri - rp)| í/ = ahol rj a
V, XV2
ponthoz tartozó helyvektor.
Példa Számítsuk ki a P i(l,2,-1) pont és az r = (- l,3 ,-5 ) + í( 3 ,-7 ,ll) egyenes távol ságát. Megoldás. Az egyenes irányvektora v = (3,-7,11), továbbá ro = (-l,3 ,-5 ),
r ,= ( l,2 ,- l) ,
r ,- T q = (2 ,- l,4 ).
i j k v x ( r i- r o ) = 3 -7 11 = (-17,10,11). 2-14
A metszésvonal rajta van mindkét síkon, ezért merőleges mindkét normál vektorra, így irányvektora v = nj x n 2- Szükség van még a metszésvonal egy pontjára. Ennek koordinátáit úgy határozzuk meg, hogy azok kielégít sék mindkét sík egyenletét. Ennek érdekében rögzítsük az egyik koordiná tát (tetszőlegesen). Legyen például z = 0. Ezt behelyettesítve mindkét sík egyenletébe, két kétismeretlenes egyenletet kapunk. Ennek megoldása lesz a másik két koordináta. Példa írjuk fel az x + 2 y -3 z + 4 = 0 és 2 x - y + z - l = 0 síkok metszésvonalának egyenletét. Megoldás. A két normálvektor: Hj = (1 ,2 ,-3 ), n, = (2,-1,1). A metszésvonal irányvektora: i j k v = n, x n , = 1 2 -3 = ( - l ,- 7 ,- 5 ) .
Ennek abszolút értéke VsTÖ. így a keresett távolság:
.7
V M _ Vslo |v| VT79 ■
2 -1
1
Ha z = 0, akkor x + 2;^ + 4 = 0 2 x -y - l^ 0
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
352
5 .1 .7. A z n-dimenziós vektor
2 9 Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: x = ~ j , y = - —.
353
5.1.7. Az n-dítnenziós vektor
A metszésvonal egy pontja tehát a P o ( - j , - j , 0 ) pont. így a metszésvonal A háromdimenziós vektor fogalmát általánosítjuk.
vektoregyenlete:
a) Az n-dímenziós vektor fogalma.
5.1.6. Reciprok vektorhármas Legyenek a, b és c nem egy síkba eső vektorok, azaz abc ^ 0. Ekkor ehhez az a, b, c vektorhármashoz hozzárendelhető egy r^, r^, r^, reciprok vek torhármas a következőképpen: abc
Definíció, /i-dimenziós vektoron rendezett szám-n-est értünk. A vektort alkotó számok a vektor koordinátái. Az «-dimenziós vektort szokás n elemű vektornak is mondani. Ha a számokat egymás mellé írjuk, akkor sorvektorról, ha egymás alá írjuk, akkor oszlopvektorról van szó. Jelölésük: a, b, v, stb. Példa Az alábbi a vektor ^-dimenziós sorvektor, b pedig «-dimenzi6s oszlopvektor:
a xb abc
abc ’
a = {a^,a2,...,a„), b =
Az r^, r^, r^ vektorhármas reciprok vektorhárm asa az eredeti a, b, c vektorhármas. Az í, j, k vektorhármas reciprok vektorhármasa önmaga. Tekintsük most a gi, g2, gs nem egy síkba eső vektorhármast; jelölje g \ g", g^ ennek reciprok vektorhármasát (kényelmi okokból használunk alsó, ill. felső indexelést). Tetszőleges x vektor nyilván kifejezhető a gj, g2 , g3 bázisvektorok segítségével:
Azt a vektort, amelynek minden koordinátája 0, nullavektornak nevez zük. Jele: 0. Tehát 0 = ( 0 ,0 ,...,0 ) . Az Cl = ( 1 , 0 , 0 , e 2 = (0,1,0,...,0), e „ - ( 0 ,0 ,0 ,..., 1 ) alakú vekto rokat egységvektorokn a k nevezzük. A V = (v j, V2,...,
) vektor abszolút értéke:
X = Jí’gi+ X "g2+ ;c^g3. I
Az
X",
f~2
|= yvi
számokat az x vektor gj, g2 , g3 bázisra vonatkozó kont
2
2
~
+ V + . . .+V„
=
ravariáns koordinátáinak nevezzük. Fejezzük most ki az x vektort g \ g", g^ reciprok vektorok - mint bá zisvektorok - segítségével: \ = Xig +X2g +X^g
,
Az Xi, xo, JC3 számokat az x vektor g |, g2 , g3 bázisra vonatkozó kovariáns koordinátáinak nevezzük. Ezek a g \ g", g^ bázisra vonatkozóan nyilván kontravariáns koordináták. Egy vektor koordinátáin - ha mást nem mondunk - a kontravariáns ko ordinátákat értjük. Ha bázisvektorokként az i, j, k egységvektorokat választjuk, akkor a kontravariáns és kovariáns koordináták azonosak. Ezek a jól ismert derék szögű koordináták.
Z v?. ;=1
Két vektor egyenlő, ha a megfelelő koordinátáik egyenlők. Példa A v = (5,-1,3,0,1) vektor abszolút értéke: |v| = V25 + 1+ 9 + 0 + 1 = V36 = 6. b) M űveletek n-dimenziós vektorokkal. Szorzás skalárral (számmal). H a X tetszőleges valós szám, akkor Xa = X (a^,a2,...,a„ ) = (X ai,X a2,...,X a„ ) . A skalárral való szorzás tulajdonságai: M\:
X(a + b) = Xa + A,b;
My.
(X + |4.)a = l a + |ia;
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
354 M3:
5.2.1. Lineáris tér, altér
355
(A,ji)a = ?t(jia);
M4;
5.2.
l-a = a .
Ö sszeadás, kivonás. Az a és b vektorok összege, ill. különbsége'.
A LINEÁRIS ALGEBRA ELEMEI 5.2.1. Lineáris tér, altér
a + h = {a^,,ü2 , . . -,a„) + {bx,b2 , . .. ,bn) = (ű] + b^,a 2 + b2 ,...,a„ + b ,,), a - b = {a^^,a2 ,-.-,a „ )-{b i,b 2 ,...,b„) = (a| - b i , a 2 - b 2 ,...,a„--b„). Az összeadás tulajdonságai: Ay.
a + b = b + a;
A2 .
(a + b ) + c = a + (b -f- c);
a) Lineáris tér. Legyenek az 1, a , p, a, b, c pedig egy X halmaz elemei.
számok egy T számtest elemei,
Definíció. Az X halmazt lineáris térnek nevezzük, ha értelmezve van benne az összeadás és a számmal való szorzás, továbbá L az összeadás
Ay
Tetszőleges a és b esetén van olyan c, hogy a + c = b.
kommutatív, azaz a + b = b + a, asszociatív, azaz (a + b) + c = a + (b + c), létezik nullaelem ( 0 ), azaz a +
A z M l, M 2 , M3, M ^, A^, Á 2 , /Í3 tulajdonságokkal rendelkező szám «-esek összességét vektortérnek nevezzük (lásd még az 5.2.1. pontban). Skaláris szorzás. Legyen
0
= a minden a-ra,
minden a-hoz létezik a - a inverz elem, azaz a + ( - a ) = 0 ,
2. a számmal való szorzás esetén pedig l a = a,
a = (a i,ü 2 ,...,af^),
b = (bi,b 2 ,...,b „ ) .
Ekkor
oc(pa) = (a p )a , ( a + p)a = a a + Pa,
ab = aibi + aobj +.. ,+a„bf^. A skaláris szorzás tulajdonságai: Si'. 8 2
'.
53;
ab = ba; (a + b )c = ac + be; (Xa)b = M ab); aa > 0. Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a = 0.
A z M l, M 2 , M3, M ^, Ai, A 2 , A^, Si, S 2 , S 2 , 54 tulajdonságokkal rendelkező vektorteret euklideszi térnek nevezzük (lásd még az 5.2.4. pontban). Példák 1. Az a = ( 5 ,- 2 ,0 ,- 7 ) és b = (-3,4,1,-2) vektorok skaláris szorzata: ab = - 1 5 - 8 + 0 + 14:=-9 . 2. Az (űi,a9,...,a„) és (1,1,...,1) azonos méretű vektorok skaláris szorzata űj +a-,+...+a„. Az eredmény az a vektor koordinátáinak az összege. E miatt az (1,1,..., 1) vektort összegező vektornak nevezzük. Jelölése: 1.
a ( a + b) = aa + a b . Az X lineáris tér a, b, c ... elemeit vektoroknak, az X teret pedig lineáris vektortérnek is nevezzük. Ha a r számtest elemei valós számok, akkor X neve valós lineáris tér, ha pedig T elemei komplex számok, akkor X komplex lineáris tér. Mi a továbbiakban csak valós lineáris terekkel foglalkozunk. Szokás az így értelmezett lineáris teret a T számtest feletti lineáris térnek is nevezni. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a lineáris tér elemei nem feltétlenül olyan vektorok, amilyenekkel az 5.1. pontban találkoztunk. A lényeg csak az, hogy az X halmaz elemeire az összeadás és a számmal való szorzás fenti tulajdonságai teljesüljenek. A lineáris teret - függetlenül attól, hogy milyen elemek alkotják - vek tortérnek is nevezzük. Példák L A háromdimenziós vektorok halmaza lineáris tér, hiszen ebben a térben ér telmezve van az összeadás és a számmal való szorzás, és e két művelet rendelkezik a fenti tulajdonságokkal.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
356
2. A legfeljebb «-edfokú polinomok halmaza szintén lineáris tér, ugyanis két ilyen polinom összege és számmal való szorzata szintén ilyen polinom. 3. A pontosan «-edfokú polinomok halmaza viszont nem lineáris tér, hiszen két «-edfokú polinom összege «-nél alacsonyabb fokú polinom is lehet. 4. Az [a,b\ zárt intervallumon folytonos függvények halmaza lineáris tér.
5.2.2. A lineáris tér bázisa, dimenziója
2. Lineárisan összefílggő vektorokhoz egy további vektort hozzávéve, az új rendszer lineárisan összefüggő marad. 3. Lineárisan független vektorok közül tetszőleges vektort elhagyva, a rendszer lineárisan független marad. 4. Az a ],
b) Altér. Definíció. Az X lineáris tér nemüres M részhalmazát lineáris altérnek (röviden altérnek) nevezzük, ha M maga is lineáris tér az X-ben értelmezett összeadással és számmal való szorzással. Az X halmaznak nemvalódi részhalmaza az üres halmaz és maga X. Ezek nemvalódi alterek. Péida A háromdimenziós vektoroknak minden olyan részhalmaza altér, amelynek vek torai egy, az origón átmenő síkban vannak. Ha a sík nem megy át az origón, akkor az origóból a sík pontjaiba mutató vektorok nem alkotnak alteret, mert például két ilyen vektor összege nincs a síkban. Továbbá ebből a halmazból hiányzik a nulla vektor, azaz nem létezik nullaelem.
357
a2,
a^^ vektorok akkor és csak akkor lineárisan össze-
fíiggők, ha van közöttük olyan vektor, amely a többi vektor lineáris kombi nációjaként előállítható. Példák 1, Az e, = (1,0,0,0), C2 = (0,1,0,0), 63 = (0,0,1,0) vektorok lineárisan függet lenek. Ugyanis az ttiCi + 0-2^2 + 0363 = (tt], 0, 0,0) + (0, 0.2 , 0,0) + (0,0, tt3,0) = ( a i, a , , tt3,0), és ez a vektor csak akkor lesz 0, ha aj = U2 = a 3 = 0 . 2. Az a = (2,-1,5), b = (0 ,3 ,-l), c = (6,0,14) vektorok lineárisan összefüg gök (azaz nem függetlenek), mert c = 3a + b, vagyis a c vektor előállítható a másik kettő lineáris kombinációjaként. Definíció. Az a j, 32, ..., a^ vektorrendszert az X lineáris tér generáló rendszerének mondjuk, ha minden x g X vektor előállítható az a j, a^,
5.2.2. A lineáris tér bázisa, dimenziója
..., a^ vektorok lineáris kombinációjaként, azaz ha x = a j a j + a 2a 2 +...+tt;t^A: •
a) Vektorrendszer. Tekintsük az ^-dimenziós vektorokból álló
Ha a generáló rendszert egy h e X vektorral bővítjük, akkor újra gene ráló rendszert kapunk.
a i,a 2 ,...,a ^
vektorrendszert. Az 5.1.3. pontban már láttuk, hogy a lineáris tér a |, 32, ...,
b) A lineáris tér bázisa és dimenziója.
vektorai lineárisan függetlenek, ha az ttja]+ o t2 a2 + -..+ o c^ a^ = 0
egyenlőség csak ttj = «2 = ...= tti, a j ,
(*)
= 0 esetben áll fenn. Ha viszont az
ttjt számok között van nullától különböző és a (*) egyenlő
ség fennáll, akkor az aj,
a 2 , ..., a^t vektorok lineárisan összefüggők
(nem függetlenek). Definíció. Vektorrendszer rangján a rendszerből kiválasztható lineárisan független vektorok maximális számát értjük. Néhány tétel: 1.
Ha az a j, 3 2 ,
a^ vektorok között van nullavektor, vagy kettő kö
zülük egyenlő, akkor a vektorrendszer lineárisan összefüggő.
Definíciója. A bj, b 2 ,
b^ vektorok a lineáris tér bázisrendszerét
(röviden bázisát) alkotják, ha lineárisan függetlenek és a lineáris tér min den vektora előállítható e vektorok lineáris kombinációjaként. A bj, b 2 , ..., b^ vektorokat bázisvektoroknak nevezzük. Szokás azt mondani, hogy a bázisvektorok előállítják (kifeszítik, gene rálják) a lineáris teret. Egy lineáris térnek általában végtelen sok bázisa van. A bázisvektorok száma azonban mindegyik bázisban egyenlő. Ha egy lineáris térnek van véges sok Vektorból álló bázisa, akkor a line áris teret véges dimenziósnak, a báziselemek számát pedig a lineáris tér dimenziójának nevezzük. A k dimenziós térben ^-nál több vektor lineárisan összefüggő. A k dimenziós teret k-nk\ kevesebb vektor nem generálhatja.
Lineáris algebra, térgörbék, vektor analízis
358
Tétel. Legyen az X lineáris tér egy bázisa b j,
h j,
b^. Ekkor tet
5.2.3. Bázistranszformáció
359
A tétel tehát azt jelenti, hogy ha a
szőleges x g X vektor egyértelműen állítható elő a bázisvektorok lineáris kombinációjaként.
b = p ib j + p 2Í>2 +• ■-+P,tb^ +.. .+p„b„ előállításban |3^
0, akkor a
vektor kicserélhető b-re. Az új bázis tehát:
X = ^]bj
Az
előállításban szereplő ^i, %k számokat az x vektor b], b2, bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
b ], b 2 ,
b^
M egjegyzések 1. Ne tévesszük és ne keverjük össze a lineáris teret alkotó vektorok dimenzióját a lineáris tér dimenziójával. Ezt elkerülendő, helyesebb lenne az n-dimenziós vektor helyett n elemű vektort mondani. 2. Valamely lineáris alteret generáló vektorrendszer vektorainak száma nem kisebb, mint a lineáris altér lineárisan független vektorainak száma {Steinitz-XéXtX). Példák 1. A b, = (1,-2,3) és b2 = ( 2 ,- l,l) vektorok egy síkot feszítenek ki (egy sík vektorait generálják). Mivel az x = (-3,0,1), y = (3,-3,4), z = (4 ,l,-3 ) vektorok ebben a síkban vannak, ezért ezek mindegyike előállítható b, és ho lineáris kombi nációjaként. Valóban
X= I b] - 2 b2, y = 1-bi + l-b2, z = -2-b] +3-b2.
kombinációjaként. Ezek viszont lineárisan függetlenek, tehát bázist alkotnak és számuk n.
..., b„ .
Amikor a bázisnak csak egyik vektorát cseréljük ki, akkor elemi bázis transzformációt hajtunk végre. Egy adott bázisból egy másik bázisba való áttérést bázistranszformációnak nevezünk. Példaképpen, egyúttal az előbbi tétel bizonyításaként is, legyen a tér egy tetszőleges vektora a = cxjbj + 0('>b') +.. .+0Cy^b^ +.. .+oc^b^ . Állítsuk elő ezt a vektort a b i, b 2 , ...,
b, byt+i, ..., b„
új bázisvektorokkal, ha b = P ib i + P 2b 2 +.. .+P^b^ +.. .+p„b„
és
0.
Innen
2. Az előző példában szereplő b, és b, háromdimenziós vektorok egy kétdi menziós lineáris alteret generálnak. 3. Az «-dimenziós, azaz n elemű vektorok tere n-dimenziós. Ez látható onnan, hogy a tér minden vektora előállítható az CjjCo ,...e„ egységvektorok lineáris
b^_i, b,
b* = - r ! - b - | L b , - £ 2 _ b , - . . . - £ = - b „ . Pt
P*
'
Pt
-
Ezt helyettesítve az a előállításában szereplő
P*
"
helyére, kis átrendezés
sel az ak a = ( o c i P i ) b i + (tt2 - ^ p 2 ) b 2 + - - - + “
Uk b + ...+ ( a „ - - ^ p „ ) b „
5.2.3. Bázistranszformáció Tekintsük az ^-dimenziós vektorokból álló ^-dimenziós lineáris teret. Jelölje ezt L„. Az L„ térnek végtelen sok bázisa van. Egyik bázisból át lehet térni egy másikba. Ez azt jelenti, hogy adott bázisvektorokkal előállí tott vektort (vagy vektorrendszert) más bázisvektorokkal is elő lehet állí tani. Érvényes ui. az alábbi tétel. Tétel. Legyen az L„ térnek egy bázisa b j, b 2, ..., b„, és legyen b a tér egy tetszőleges, nullától különböző vektora. A b vektor bevihető bármelyik olyan vektor helyére, amelynek együtthatója a b előállításában nem nulla.
eredményre jutunk. Ha bevezetjük az ~ = 5 jelölést, akkor az a vektor az Pk új bázisban: ( a i - 5 p i , a 2 - 6 P 2 , 5 ,a ^ + i-5 p ^ + i,...,a „ - 5 p j . Példa Vegyük a háromdimenziós térben a b,
=e, = ( 1, 0,0), b2 = e 2 = ( 0,l ,0), bj = Cj = (0,0, 1)
bázist. Cseréljük ki a bázis ej vektorát a b = (2,3,5) = 2 e ,+ 3 6 ,+ 5c3 vektorra, és írjuk fel az a = (1,4,6) = ei + 4c2 +663 vektort az új bázisban.
360
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
Megoldás. Itt =
=l
11 2 1 2 9 2
ei
Alkalmazva a fenti képletet, az a vektor az új bázisban: (5,a2 -8p2,ot3 -S P s) =
= -jb + -|-e2 + ^ 03. ^3
Az e/emí bázistranszformációt pivotálásnak, a
84
32
Bázis
a , = l , a , =4, a 3 = 6, p ,= 2 , P2 = 3, P3 = 5, 8 =
361
5.2.4. A z euklideszi tér
5
0
0
1
-7
0
63
C]
1 2 1 2 1 2
1 0 0
7 2 1 2 1 2
0 0 1
elemet generáló elem
nek vagy plvotelem nek is szokás nevezni. M agát a transzformációt célsze rű táblázatosán elvégezni, különösen akkor, ha több vektor új koordinátáit kell meghatározni, vagy ha az eljárás ismétlésével újabb és újabb bázisvek tort akarunk kicserélni. A következő példával ezt szemléltetjük. Példa Legyenek egy vektorrendszer elemei ai = (2 ,-l,5 ),
e, = (1,0,0),
a, = (5,0,-7),
C2 = (0,1,0),
a 3 = (7 ,2 ,-l),
C3 = (0,0,1),
Ezzel a feladatot megoldottuk. 11
1 9
Például az a, vektor új bázisra vonatkozó koordinátái: ~ 2 ’~ 2 ’ 2 ’ 8i = ~
e
, +
Hasonlóképpen például 62 = - “ 6] + —0 3 + - - 63.
Látható, hogy célszerű soronként számolni. Igazolható, hogy az elvégzett műve letsor megfelel a tétel igazolásaként bemutatott eljárásnak. Ha több bázisvektort akarunk kicserélni, akkor az előbbi eljárást, a bázisvekto rok egyenkénti kicserélésével többször meg kell ismételni.
5.2.4. Az euklideszi tér
84 = (4,1,0), ahol C], 62, 63 a bázisvektorok (az aj, a ,, a3, 34 vektorok koordinátái erre a bázisra vonatkoznak.) Cseréljük ki az e, vektort az vektorra, majd számítsuk ki mindegyik vektor e,, t j új bázisra vonatkozó koordinátáit. Megoldás. írjuk fel előbb a vektorrendszer ún. bázistáblázatát, amely az alábbi elrendezésben tartalmazza a vektorokat és azok koordinátáit;
Jelölje az X (valós) lineáris tér két tetszőleges vektorát x és y. E két vektor (x ,y ) skaláris szorzatát úgy értelmezzük, hogy az (valós) szám legyen és a következő tulajdonságai legyenek: 1. (x ,y ) = (y,x); 2. (a x ,y ) = a (x ,y ) (ahol a valós szám);
Bázis
ai
Cl
2
€2 C3
^3
»4
e,
5
7
4
1
0
0
-1
0
(2)
1
0
1
0
5
-7
-1
0
0
0
1
«3
A generáló elem (pivotelem) most 2, amelyet bekarikáztunk. Ezt a kezdőtábláza tot módosíthatjuk a következőképpen; 1. A pivotsort (a második sort) osztjuk a pivotelemmel, vagyis 2-vel; 2. Az első sorból kivonjuk a pivotsor y-szeresét; 3. A harmadik sorból kivonjuk a pivotsor - - j -szeresét. A következő táblázat e műveletek eredményét tartalmazza (az új bázis természe tesen az Cj, 83, e3 vektorokból áll);
3. (x + y,z) = (x,z) + (y,z); 4. (x,x) > 0, ha X 0 és (x ,x ) = 0, ha x = 0. Érdemes megfigyelni, hogy a geometriai vektortérben értelmezett skalá ris szorzat is rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Ott a skaláris szorza tot xy jelölte. Itt azonban igazodva az e területen általánosan elfogadott jelöléshez, az (x ,y ) jelölést használjuk. Ha (x ,y ) = 0, akkor azt mondjuk, hogy az x és y vektorok ortogonálisak. Példák 1. Legyen x = ( x ,,x 2 ,...,x„), y=(ji,>^2>■■->'//)• E két vektor skaláris szorzata: (x, y) = x , y , + %2y 2+■ ■■+x„y„ .
2. Az [a,b] zárt intervallumon értelmezett folytonos függvények terében az X = f ( t ) , y = g{t) elemek skaláris szorzatát az
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
362
5.2.4. A z euklideszi tér A C3 vektort keressük
3. Igazoljuk, hogy az x
és y
(c3,Ci) = (b3,Ci) + X,(ci,Ci) + A-2(c2,Ci)=0,
0) vektorok ortogonálisak.
(c3, C9) = (bj, Co ) + Xj (cj, C2 ) 4- A,2 (c, , C2 ) = 0.
Megoldás. Képezzük a két vektor skaláris szorzatát: X--
C3 = bj + ^iCj +
alakban. A X] és X2 együtthatók értékét abból a feltételből határozzuk meg, hogy C3 ortogonális Cj -re is és C2 -re is, vagyis
integrállal értelmezzük.
^
363
Kihasználva a Cj, C2 vektorok ortogonalitását, tehát azt, hogy (01, 02) =
(x,y)
= (c2,Ci) = 0, a fenti egyenletek megoldása; tehát a két vektor valóban ortogonális. (b3.ci; A skaláris szorzat segítségével értelmezzük az euklideszi teret. Definíció. Az olyan lineáris teret, amelyben skaláris szorzat van értelmezve, euklideszi térn ek nevezzük. Példa A geometriai vektortér euklideszi tér. Az n-dimenziós euklideszi térben lehetséges olyan bázist felvenni, amelynek vektorai páronként ortogonálisak. Az ilyen bázist ortogonális bázisnak nevezzük. Ha az ortogonális bázis vektorai egységnyi hosszúsá gúak, akkor azt ortonormált bázisnak mondjuk.
Most már A,, X,, ismeretében a c, és C3 vektor felírható. Megjegyezzük, hogy ha a tér «-dimenzíós («>3), akkor a c,, c,, ..., c„ új bá zisvektorok első három vektorát ugyanúgy határozzuk meg mint előbb. A negyedik vektort C4 = b 4 + a,C] + tt2C2 + tt3C3 alakban keressük. Az tt], ttj, o.^ együtthatókat abból a feltételből határozzuk meg, hogy C4 ortogonális Cj-re, C2 -re és C3*ra. AA:-adikúj bázisvektort +p]C, +(32C2+---+pA-i‘=yi-i
Tétel. Minden ^-dimenziós euklideszi térben létezik ortonormált bázis. Egy konkrét példán keresztül bemutatjuk, hogy hogyan lehet egy tetszőle ges bázisból kiindulva egy ortogonális, ill. ortonormált bázist konstruálni. Példa A háromdimenziós euklideszi tér egy tetszőleges bázisa legyen bi, b ,, b3. Eb ből kiindulva konstruáljunk egy ortogonális bázist, vagy ahogy mondani szokás, ortogonalizáljuk a bj, b ,, b3 bázist. A bemutatandó eljárást Gram-Schmidt-féle ortogonalizálási eljárásnak nevezzük. A feladatot oldjuk meg arra az esetre is, ha bi = (2,0, 1), bo = ( - 1, 1, 1), b3 = ( l ,- 2,2). Megoldás. Legyen az új bázis Ci, C2, C3, amely ortogonális. Válasszuk Cj -et úgy, hogy az legyen egyenlő a b, vektorral: Cj = b,. A Ct vektort keressük: C2 = b
2
+A.C,
alakban. A A, együttható értékét abból a feltételből határozzuk meg, hogy c, ortogonális Cj -re, vagyis (c2,ci) = (b2,ci) + x(c,,ci) = 0 . Innen
(b2,Ci)
(b3,C2; (C2,C2)
(ci.ci)
alakban keressük. A konkrét esetben
c, = ( 2, 0, 1), X = - -2 + 0 + 1 4 + 0+1
1
5’
es Így
C 2 = (-l,l,l) + |( 2 ,0 ,l) = i( - 3 ,5 ,6 ) . 2+ 0+ 2 Ennek ismeretében A., = - = 5
1 i ( - 3 - 1 0 + 12) A-2 = —------------------= 5 1 /z\ 70 ^ 1( /n 9 +i oc 25 +I 36)
4
Ezek felhasználásával, C3 = (1 ,-2 ,2 ) - | ( 2 , 0,1) + : ^ - i ( - 3 , 5,6) = ^ (-9, -27,18). A (C1,C2), (ci,C3) és (02,03) skaláris szorzások elvégzésével érdemes meg győződni arról, hogy Cj, C2, C3 valóban ortogonális vektorok. Ezzel az ortogonalizálást befejeztük. Ortonormált bázist úgy kapunk, hogy a Oj, o,, C3 vektorok helyett azok egységvektorát vesszük. Jelölje ezeket rendre g,, g ,, g3. Ekkor
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
364
5.3.1. A mátrix értelmezése, speciális mátrixok
365
Ha az A kvadratikus mátrix megegyezik a transzponáltjával, azaz ha
5.3.
A = a ', akkor A szimmetrikus. Szimmetrikus mátrix elemei a főátlóra nézve
M ÁTRIXOK
=ciki- A főátlót az
szimmetrikus elrendezésűek, azaz elemek alkotják.
5.3.1. A mátrix értelmezése, speciális mátrixok
Ha az A kvadratikus mátrix esetében Definíció. Elemeknek egy téglalap alakú táblázatban, azon belül sorokban és oszlopokban elrendezett rendszerét mátrixnak nevezzük.
a = - a ', akkor A ferdén szimmetrikus (antiszimmetrikus). Ekkor tehát
« /* = " % /
A mátrix általános alakja; üli
ai2
^21
^22
P^nú Az
a\n •••
^ 2n
■■• ‘^nm
számok (esetleg függvények) a mátrix elemei. A
kettős indexelés az elemek helyét mutatja. Az
elem az /-edik sor /c-adik
eleme. A fenti mátrixnak m sora és n oszlopa van, ezért szokás azt monda ni, hogy m x n típusú. A mátrix jelölése általában A, B, C stb. módon (tehát félkövér nagybe tűkkel) történik. Ha a mátrix típusát (méretét) is fel akarjuk tüntetni, akkor azt A(„, módon jelöljük, ahol m a sorok számát, n az oszlopok számát
és
% =0.
Ha a D kvadratikus mátrix főátlóján kívül valamennyi eleme nulla, akkor D átlós (diagonális) mátrix. Ha egy diagonális mátrix főátlójában álló valamennyi elem 1, akkor azt egységm átrixnak nevezzük. Jele; E. A csupa nulla elemből álló mátrixot zérusm átrixnak (nullamátrixnak) nevezzük és 0 -v a l jelöljük. A mátrixok körében kitüntetett szerepük van az egyetlen oszlopból vagy egyetlen sorból álló mátrixoknak. Ezeket oszlopmátrixoknak, ill. sormát rixoknak nevezzük és legtöbbször félkövér kisbetűkkel jelöljük. Szokás oszlopvektornak, ill. sorvektornak is nevezni az ilyen mátrixot. Egy ilyen oszlopvektor p l;
jelöli. De más jelölések is használatosak. A fenti mátrix jelölése lehet pl.; A vagy A vagy A/„ (»!,«)
vagy
vagy [a^^] .
Két mátrix egyenlő, ha mindkettő ugyanolyan típusú (méretű) és a megfelelő helyeken álló elemeik egyenlők, azaz ^(m,n) =
ha
= b^. , (i =
Ennek transzponáltja egy sorvektor; a^ = ű j,
a j,
a„
Mivel a mátrix sorokból és oszlopokból áll, ezért az A(„, k = 1,2,...,n) .
Ha az A mátrix sorait felcseréljük az oszlopaival, a mátrix tran szp o n áltját kapjuk. Jelölése; A* vagy A^ vagy A^ vagy A '. Ebből következik, hogy m X n típusú mátrix transzponáltja n x m típusú.
= [üjk\ mát
rix felírható “
A = ai
a2
...
,1
a„ =
Nyilvánvaló, hogy ( a ^) = A . H a a mátrixnak ugyanannyi sora van mint ahány oszlopa, akkor azt négyzetes (kvadratikus) mátrixnak nevezzük. Az n sorból és n oszlopból álló kvadratikus mátrixról azt mondjuk, hogy n-edrendű.
alakban is, ahol aj, a 2 , ..., a„ oszlopvektorok, a', a", ..., a ”’ pedig sor vektorok,
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
366
5.3.2. Műveletek mátrixokkal
367
Az értelmezés alapján látható, hogy az összeadás kommutatív és asszo ciatív, azaz A + B - B + A,
a\k au =
A + (B + C ) = (A -fB ) + C. Belátható továbbá, hogy
^mk A gyakorlatban előforduló mátrixok nagy méretűek is lehetnek. Ilyenkor célszerű blokkokra bontani (particionálni), mint ahogy az a 2. példában látható. Példák 1. Az alábbi A mátrix negyedrendű és szimmetrikus; B harmadrendű és ferdén szimmetrikus; C átlós mátrix; E harmadrendű egységmátrix; O másodrendű zérus mátrix: 7■ ■2 0 -5 0 ■5 0 0 ■ 5 -8 1 -4 0 3 ; B = -5 0 1 ; c = 0 2 0 A= 1 0 10 -5 _0 0 -8 8 -1 0 7 -4 10 6 "l
0 o" '0
0'
E= 0 1 0 ; 0 = 0 0 0 0
1
A=
2 7
10 1
2 I0 7 ' 5_i 4 __1 - 4 [5 1 !9
3 -2
'2
_5
-3 11
o' ■-1 + 7 _3
2 -9
"1 -1 8 2
4' 13_
b) M átrix szorzása szám m al. Definíció. M átrixot egy számmal úgy szerzünk, hogy a mátrix mindegyik elemét szorozzuk a számmal. Legyen A =
]. Ekkor
Az A és B mátrix különbségét A - B = A -I- ( - l) B módon értelmezzük, ami azt jelenti, hogy kivonásnál a mátrixok azonos helyen álló elemeit kivonjuk egymásból. Az összeadás és a számmal való szorzás értelmezése alapján az m x n típusú mátrixok lineáris teret alkotnak Legyenek az A mátrix elemei valós számok. Ekkor érvényes a következő tétel:
All
a
A 21
4' 6
Tétel, Bármely A négyzetes mátrix előállítható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrix összegeként:
2, Az alábbi 4 x5 típusú mátrix egy lehetséges particionálása: '3 -6 0 0
(A + B)' = a ' + b '. Példa
‘■22
= í ( a + a ') + | ( a - a '),
ahol A -I- A^ szimmetrikus, A —A ‘ pedig ferdén szimmetrikus. Példák
a) Összeadás. Két mátrix csak akkor adható össze, ha azonos típusúak (méretűek). Definíció. M átrixok összegét úgy képezzük, hogy az azonos helyen álló (azonos indexű) elemeiket összeadjuk. Legyen A =
-1 _4
3 7 2■ 10 0 - 6 j
-5 20
50
3 2. írjuk fel az A = 0
-5 4
2 7
10
8
1
1. 5
5.3.2. M űveletek mátrixokkal
Cik - ^ik + ^ik ’
^ - 1,2,
Megoldás. Mivel k=
harmadrendű mátrixot egy szimmetrikus és
egy ferdén szimmetrikus mátrix összegeként.
], B = [% ] egy-egy m x n típusú mátrix. Összegük
(A + B) olyan C = [qi^], szintén m x n típusú mátrix, amelyre
15 35 10 ■ 0 -30 _
■3 A ' = -5 2
0 10 4 8 7 1
ezért
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
368 ■6 a
0 -5
12'
-5
+ a ' = -5
8
15 , a - a ' = 5
0
12
15
2
_8
1
-8"
0_
369
A szorzás asszociativitása folytán értelmezhető a kvadratikus mátrix pozitív egész kitevőjű hatványa'.
-1
Ezeket felhasználva,
A ” = A A ...A , ahol a jobb oldalon n darab tényező áll. A zéruskitevőjü hatványt egységmátrixként értelmezzük: A° = E.
_5
-4
~2
Igazolható, hogy (A B )' = B ' a '
4
A=
5.3.2. Műveletek mátrixokkal
2
il 2
Ennek ismeretében könnyen belátható, hogy az A A ' mátrix szimmetri kus. Ui.
0
( a a ')' = ( a ' ) ' a ' = a a '. c) M á trix o k szorzása. Az A mátrixnak a B mátrixszal való AB szorzata csak akkor értelmezhető, ha A-nak (a bal oldali tényezőnek) ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora van B-nek (a jobb oldali tényezőnek). Ebből következik, hogy az A(„, és B(^ „) mátrixok AB szorzata értelmezhető. D efiníció. Az A =
Cjk = 0 ,1% + a n h k +• ■■+^ipt>pk ’
i = \, 2 ,. .. ,m ; k = \, 2 ,---,n.
Ez a képzési szabály úgy jegyezhető meg, hogy
nem más mint az A
mátrix i-cdik sorának és a B mátrix A:-adik oszlopának (mint két vektornak) a skaláris szorzata. A C szorzatmátrix m x n típusú. Példa 1.
A 0=0A =0.
és B = [6,^] mátrixok ilyen sorrendben vett szorza
ta az a C = [cjk] mátrix, amelyre
4
Itt felhasználtuk azt, hogy ( A ')' = A . Ha A négyzetes mátrix és E, ill. O vele azonos rendű egységmátrix, ill. zérusmátrix, akkor A E = EA = A ,
2
-1
2
3 -7 2 4
1
-8
-3
1
"2
3
-3 1 3
0 5 1_
M egjegyzések 1. H a a mátrixok elemei valós (vagy komplex) számok, akkor az nedrendű négyzetes mátrixok körében elvégezhető az összeadás (amely invertálható) és a szorzás. Az összeadás kommutatív és asszociatív, a szor zás asszociatív, de nem kommutatív. A nullaelem az n-edrendű nuilamátrix. M indezek alapján az «-edrendű négyzetes mátrixok halmaza olyan algebrai struktúra, amely gyűrű, az ún. mátrixgyűrű. Ebben a halmazban van egységelem is, az «-edrendű egységmátrix. 2. A szorzással kapcsolatban megemlítjük, hogy AB = O lehet akkor is, ha egyik tényező sem nulla(-mátrix), azaz ha A O és B O. Az ilyen tulajdonságú A, ill. B elemeket zérusosztóknak nevezzük. A mátrixgyűrű ben tehát vannak zérusosztók. Példa
Pl, a szorzatmátrix első sorának első eleme így számítható: c ,,= 4 -2 + 2 - ( - 3 ) - M + 2-3 = 7.
Legyen
'3 A = -2 0
Az értelmezés alapján nyilvánvaló, hogy a szorzás nem kommutatív, azaz A B ? iB A ,
(A + B )C = A C + BC
és
A (B + C) = AB + A C .
,
b =
0 7
írjuk fel az Au = b egyenletnek megfelelő lineáris egyenletrendszert. Számítsuk ki az u^Au szorzatot is.
viszont asszociatív és érvényes a disztributív törvény: (A B )C = A (B C ),
0 r X 1 4 , u= 0 5 z
Megoldás. Mivel
3x + z Au - - 2 x + y + Az 5z
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
370
ezért az Au = b egyenletből következik, hogy 3x + z = 2 -2 x + >’+ 4z = 0 5z = l^ Ez a lineáris egyenletrendszer felel meg az Au = b egyenletnek. A feladat második részének megoldása: n‘X\x = x{'ix + z) + y{-2x + y + ^z) +z{5z) = 'ix--¥y- +5z~-2xy + xz + ^yz. Az u^Au alakú kifejezést k vadratikus alaknak nevezzük. Most számítsuk ki egy sormátrixnak (sorvektomak) egy oszlopmátrixszal (oszlopvektorral) való szorzatát:
fl],
= a^bi + a j b i +• ■-+a„b„ .
ao.
Az eredmény egy 1x1 típusú mátrix, amit számnak tekintünk. Az ér telmezés alapján ez várható is, hiszen egy 1 x n típusú mátrixot szoroztunk egy n x 1 típusú mátrixszal. Ez a szorzat a skaláris szorzatnak felel meg. Példa
5.3.2. Műveletek mátrixokkal
371
d) Négyzetes mátrix inverze. M átrixok körében az osztás általában nem végezhető el. Bizonyos négyzetes mátrixoknak azonban van inverze (reciproka). Ilyen esetben a négyzetes A mátrixszal való osztást úgy értelmezzük, mint A inverzével való szorzást. A skaláraritmetikában ennek az felel meg, hogy az a 0 számmal való osztás ekvivalens az a reciprok értékével való szorzással. Definíció. A négyzetes A mátrix inverzén olyan A~*-gyel jelölt mátrixot értünk, amely kielégíti az A A “^ = E
és
A “'a = E
egyenletet. Igazolható, hogy az A ^ inverzmátrix akkor és csak akkor létezik, ha az A mátrix determinánsa nem nulla (1. az 5.4. pontot), azaz ha d etA 0. Ha detA 0, akkor azt mondjuk, hogy az A mátrix reguláris. Ellenkező esetben szinguláris. Inverze tehát csak reguláris mátrixnak van. (A determi nánst lásd a következő pontban.)
Definíció. Az
ö ii
ÜX2
A = ^21
^22
Ofji
a„2
■■■ ^ 2n
' 3 = 1 5 -2 + 0 - 3 6 + 42 = 19.
[5, -1, 0, 9, 7]
négyzetes m átrix adjungáltja Gelölése: adjA) az
Tekintsük most oszlopvektornak és sorvektomak a szorzatát, az ún. diadikus szorzatot: öl 02
bi,
b2 ,
..
b„] =
ü 2 bi
•••
a^bj
■..
aib„
«2^2
..
ajbn
(^mh
■
adjA: =
All
^21
•. .
A„i
Ai
^22
..
A „2
An
^ 2n
■..
A„„_
mátrix, ahol 4 ^ az A mátrix
eleméhez tartozó előjeles aldetermináns.
Az adjungált ismeretében az inverzmátrix-. üm_
..
a„,b„_
Ennek a szorzásnak az eredménye egy ún. diád, ami jelen esetben egy
A -’ =
6 -10 4
-2 1 ' 35 -14
adjA
ami részletesebben felírva:
Példa ■ 24 ■3 1 -5 [8, 2, - 1 = -40 16 2
1
detA
A “^ =
^
A\
^21
Ai
^22
••
^«2
A \n
^2n
■..
A„„_
•
detA
Lineáris algebra, térgörbék, vektor analízis
372
5.3.4. Mátrix rangja
373
Innen az is következik, hogy 5.3.4. M á trix rangja
A • adjA = (det A )E , ahol E az A-val azonos rendű egységmátrix.
A mátrixelmélet egyik legfontosabb fogalomalkotása a mátrix rangja. Az A(„, „) mátrixot m sorvektor, ill. n oszlopvektor alkotja. Igazolható, hogy
Példa 2 0 7 Számítsuk ki az A = - 1 4 5 mátrix inverzét. 3 1 2
a lineárisan független sorvektorok száma megegyezik a lineárisan független oszlopvektorok számával.
Megoldás. A mátrix reguláris, mert determinánsa, det A = -8 5 ^ 0 . Az adjungált mátrix elemei: 0 7 0 7 4 5 = -28, A-)] — = 7, Ao-i —— = 3, 4 5 1 2 5 2 -1 5 = 17, 3 2 -1 4 ^13 ~ 3 1 = -13,
2 7 = -17, A-)', — 3 2
A .,= -
2 0 = -2, 3 1
^33 =
^23 = -
2
1
-1 5
= -17,
Definíció. M átrix rangja egyenlő a mátrix lineárisan független sorvekto rainak vagy oszlopvektorainak számával. Ha a mátrix minden eleme nulla, akkor rangja is nulla. A mátrix rangjá nak jelölése: rang A (esetleg r(A)). A mátrix rangjának egy másik, az előzővel ekvivalens értelmezését is megadjuk. Definíció. A m átrix rangja egyenlő a mátrixból kiválasztható, nem zérus értékű determinánsok rendszámának maximumával.
2 0 4
Nyilvánvaló, hogy egy m x n típusú mátrix rangja nem lehet nagyobb sorainak vagy oszlopainak számánál, azaz
Tehát az inverzmátrix;
0 < rang A < mm{m,n). A -*=-
-85
3 17
7 -17
-28 -17
-13
-2
8
A mátrix rangjának meghatározása általában hosszadalmas feladat. Ezéit hasznos lehet az az észrevétel, hogy a mátrix rangja az alábbi átalakítások során nem változik: 1. egy sorának vagy oszlopának nullától különböző számmal való szor zásakor;
Szorzással érdemes meggyőződni arról, hogy AA ’ = A ’a = E. Az inverzmátrix ismeretében most már megoldható az AX = B mátrix egyenlet (az X ismeretlenre). H a létezik A ’"^ akkor X = A “ ^B. Ehhez úgy jutunk, hogy szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát balról az A
inverz
mátrixszal. Hasonlóképpen az XA = B egyenlet megoldása: X = B A “ ' . Az AB szorzatmátrix inverze: (AB)~^ = B~^A“ ' ha az A ”^ és B “ ' inverzek léteznek. Erről úgy győződhetünk meg, ha mindkét oldalt szorozzuk AB-vel. Ehhez kapcsolódóan jegyezzük meg, hogy det(A B ) = (det A )(detB ).
2. két sorának vagy oszlopának felcserélésekor; 3. valamely sorához (vagy oszlopához) egy másik sorának (oszlopának) hozzáadásakor. Példák 2 0 1. Állapítsuk meg A rangját, ha A = - 1 3 3 -9
4 2 -6
Megoldás. Előbb célszerű kiszámítani A determinánsát: 2 0 4 detA = -1 3 2 = 2(-18 + 18) + 4 (9 -9 ) = 0. 3 -9 -6
Lineáris algebra, térgörbék, vektomnalízis
374
5.4. J. A determináns értelmezése
Mivel a determináns értéke nulla, ezért rang A <3. Most azt kell megvizsgálni, hogy kiválasztható-e a mátrixból olyan másodrendű determináns, amelynek értéke nem nulla. Ilyen pl. a bal felső sarokdetermináns: 2
0
-1
3
2. Az A =
1 - 1 2 1
4
-2
3
2
3
1 1
1 - 4 2 - 3 2 2 5 -4 6 -2
0
B=
4
1 - 1 2
2
3
1 - 2
-1 1
-2 2
-5 4 5 - 4
3
0
2 -6 6 -2
Most a harmadik sort adjuk hozzá a negyedik sorhoz. Ennek eredménye az alábbi C mátrix: " 1 2 1 - 1 2 4' C=
2 -1
3 -2
1 -5
0
0
0
-2 3 4 - 6 0
0
0 2 0
Ezek az átalakítások nem változtatják meg a mátrix rangját, azaz rang A = rang B = rang C. A C mátrix rangja kisebb mint négy, mert ebből a mátrixból zérustól különböző, negyedrendű determináns nem választható ki, hiszen minden ilyen determináns negyedik sorának minden eleme zérus. Viszont a bal felső sarokban kialakítható 1
2
Definíció. Az a, b, c, d elemekből képzett m ásodrendű determinánson az a d - b e különbséget értjük, és ezt így jelöljük; a b c d
= ad - b e .
Az a d - be különbséget a determináns értékének is mondjuk. mátrix rangjának megállapításához a
harmadik sorból vonjuk ki a második sort (a harmadik sorhoz adjuk hozzá a 2. sor (-1) -szeresét). Ekkor a következő B mátrixot kapjuk: 1 2
D ETERM INÁNSO K
5.4.1. A d eterm in án s értelm ezése
Tekintettel arra, hogy másodrendű az a legmagasabbrendü, nem zérus értékű de termináns, amely a mátrixból kiválasztható, a mátrix rangja 2, azaz rang A = 2. Ez onnan is látható, hogy a mátrix harmadik sora (-3) -szorosa a második sor nak, így a mátrix sorai lineárisan nem függetlenek. Viszont az első és második sor lineárisan függetlenek. Mivel két független sor van, ezért rang A = 2. 1 2
5.4.
375
1
2 3 1 „1 „2 -5 determináns értéke 4 ^ 0 , ezért rangC = 3 = rangA. Ui. a mátrixból kiválasztható, nemzérus értékű determinánsok között harmadrendű a legnagyobb rendszámú.
A harmadrendű d eterm in án s jelölése és értelmezése: ö n a i 2 Ö13 Ö21 Ö23 Ö21 022 «22 «23 ^21 ^22 ^23 = a ii •«12 + ^13 ^32 <^33 "31 «33 «31 «32
«31 "32 Ö33
Az a ji, ai 2 ,
033 elemek kettős indexelése olyan, hogy
a deter
mináns /-edik sorának /:-adik eleme (ugyanakkor a ^-adik oszlop /-edik eleme). A z a u , <322’ ^33 elemek a determináns főátlóját alkotják. Látható, hogy a harmadrendű determinánst másodrendű determinánsok segítségével értelmeztük. A jobb oldali kifejezés értéke kiszámítható, és ez lesz a determináns értéke. A jobb oldali kifejezés a determináns (egyik) kifejtése, az ott szereplő másodrendű determinánsok rendre az a u , 0 ^2 , o n elemekhez tartozó aldeterminánsok. Az a,^ elemhez tartozó aldeterminánst ügy kapjuk, hogy a determinánsból töröljük az z-edik sort és a ^-adik oszlopot (az elem sorát és oszlopát). így keletkezik egy másodrendű (al)determináns. A jobb oldali kifejezésről szokás azt mondani, hogy az a harmadrendű determinánsnak az első sora szerinti kifejtése. Az eddigiek alapján iga zolható, hogy akármelyik sor vagy oszlop szerint is fejtjük ki a determi nánst, annak értéke mindig ugyanaz lesz. Ezt röviden úgy mondjuk, hogy a determináns akármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető. A kifejtésnél az az előjelszabály érvényes, hogy az 0,7^ elemhez tartozó aldetermi nánst meg kell szorozni ( - l ) '‘*’'^-val (sakktáblaszabály). így pl. az előbbi D determináns második oszlop szerinti kifejtése: D = —ÍZ12-D12 +^22D22 ~ ^32^32-
376
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
A sakktáblaszabálynak megfelelő előjellel ellátott aldeterminánst előjeles aldeterminánsnak nevezzük. így az elemhez tartozó, ^^^-val jelölt
377
5.4.2. A determináns tulajdonságai Legyen A egy «-edrendű mátrix, melynek általános eleme
akkor
A determinánsán a
előjeles aldetermináns: « il det A: =
Például A-x, = - "ll «13 Ű21 ^23 Ennek megfelelően az előbbi kifejtés így is felírható:
A harmadrendű determinánshoz hasonlóan értelmezzük az n-edrendű determinánst. Ennek n sora és n oszlopa van.:
D =
a„
ÍZ12 ^22
^n\
^n 2
^ 2n
£> = ai]£ )ji -<312^2 + 0 1 3 ^ 3 - 014A 4 +•••+("■ az <3,^ elemhez tartozó aldetermináns, amit úgy kapunk, hogy a D
determinánsból töröljük az /-edik sort és a A:-adik oszlopot. Ugyanez a kifejtés: Z) = a i l ^ j i + ű i2 ^ i2 + .. .+<3]„ ahol Ajj^ az
<^22
•
a „2
.
^nn
= ^(-l)^a]/t,Ö 2A :2
permutációja, K pedig e permutációban levő inverziók száma. Az összege zést az 1, 2, ..., n elemek valamennyi perm utációjára ki kell terjeszteni. A determinánsnak ez az értelmezése gyakorlatilag nem alkalmas a tényle ges számításra.
5.4.2. A determináns tulajdonságai
Ez a determináns szintén kifejtéssel, (« - 1 ) -edrendű aldeterminánsok segítségével írható fel. Pl. a D determináns első sor szerinti kifejtése:
ahol
^In ^ 2n
számot értjük, ahol k^, k i, ..., k„ az 1, 2 , ..., n oszlopindexek valamely
D = 012^12 + 022 -^22 + Ö32 ^32 •
^21
<^21
•••
«12
,
elemhez tartozó előjeles aldetermináns.
Innen látható, hogy a determináns értékének kiszámítása igen sok szorzási és összeadási művelettel jár, hiszen az (n - 1) -edrendű aldeterminán sok kiszámítása újabb, mostmár (n - 2 ) -edrendű aldeterminánsok kiszámí tását teszi szükségessé. Példa Az alábbi determinánst az első sor szerint fejtjük ki: 2 -3 1 4 -2 -3 -2 -3 4 D = -3 4 -2 = 2 +3 + 0 4 5 4 5 0 5 0 4
= 6.
A determinánst szokás úgy is értelmezni, hogy az nem más, mint egy négyzetes mátrixhoz rendelt szám.
A determináns kiszámítása számításigényes, fáradságos feladat. Emiatt is érdemes a determináns néhány tulajdonságát áttekinteni. Ezek ismerete és felhasználása ugyanis lényegesen lerövidítheti ezt a számítási munkát. 1. A determinánst bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejtve, ugyan azt az értéket kapjuk. 2. Ha a determinánst főátlójára tükrözzük, értéke nem változik. 3. Ha a determináns főátlója felett (vagy alatt) csupa nulla áll, akkor a determináns értéke a főátlóban álló elemek szorzatával egyenlő. 4. Ha valamelyik sor (vagy oszlop) mindegyik eleme zérus, akkor a de termináns értéke is zérus. 5. Ha valamelyik sor (vagy oszlop) mindegyik elemét ugyanazzal a szám mal szorozzuk, akkor a determináns értéke ugyanannyiszorosra változik. 6. Ha az /-edik sorban csupa kéttagú összeg szerepel, akkor a determi náns előállítható két olyan determináns összegeként, amelyek közül az egyiknek az /-edik sorában e kéttagú összegek első tagja, míg a másiknak az /-edik sorában az összegek második tagja áll, a két determináns többi sora pedig ugyanaz mint az eredetié. Ugyanez érvényes az oszlopokra is. 7. Ha a determinánsban két sor (vagy oszlop) egyenlő, akkor a determi náns értéke zérus. 8. Ha a determináns két sorát (vagy oszlopát) felcseréljük, akkor a de termináns értéke előjelet vált. 9. Ha a determináns egyik sorához (oszlopához) hozzáadjuk egy másik sorát (oszlopát) vagy annak többszörösét, akkor a determináns értéke nem változik meg.
378
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
Az 1. tulajdonság alapján célszerű a determinánst olyan sor vagy oszlop szerint kifejteni, amelyben sok nulla(elem) van. Az 5. tulajdonság egyik következménye, hogy egy determinánst egy számmal úgy szorzunk, hogy csupán egyik sorának (vagy oszlopának) elemeit szorozzuk a számmal. Továbbá a determinánsból egy számot úgy emelünk ki, hogy csupán valamelyik sorának (vagy oszlopának) elemeiből emeljük ki a számot. H a az n-edrendű determináns mindegyik elemét szo rozzuk a c számmal, akkor a determináns értéke c” -szeresére változik. A 9. tulajdonság lehetővé teszi a determináns olyan átalakítását, amely nek következtében valamelyik sorban vagy oszlopban sok nulla lesz elem ként, anélkül, hogy a determináns értéke megváltozna. Elérhető az is, hogy valamelyik sorban (vagy oszlopban) egyetlen elem kivételével mindegyik elem nulla legyen. Ha az átalakítás során valamelyik sorban vagy oszlop ban mindegyik elem nulla lesz, akkor a determináns értéke nulla. Példák 1. A 3. tulajdonság alapján 2
0
0
5.5.1. A lineáris egyenletrendszer fog a lm a és megoldhatósága
379
Az első átalakításnál a 2. sor kétszeresét hozzáadtuk a 3. sorhoz. A következőnél az első sorból kivontuk a 2. sor háromszorosát. Ezután kifejtettük a determinánst a 4. oszlop szerint. A következő átalakításnál a 3. sor négyszeresét kivontuk a 2. sorból, majd a 2. sor szerinti kifejtés után másodrendű determinánst kaptunk. Rövidebben érhetünk célba, ha a 2. oszlop kétszeresét kivonjuk az első oszlop ból, a négyszeresét pedig a 3. oszlopból. Az így kapott negyedrendű determinánst a 4. sora szerint kifejtve, harmadrendű determinánst kapunk.
5.5.
L IN E Á R IS EGYENLETRENDSZEREK
5.5.1. A lineáris egyenletrendszer fogalm a és m egoldhatósága a) Értelmezés. Lineáris egyenletrendszeren olyan egyenletrendszert értünk, amely véges sok elsőfokú egyenletből áll. A lineáris egyenletrendszer általános alakja'. öilX] + a i 2X2 +...+ai„x„ = é]
0
7 0 0 = 2 '7 -(- l)- 3 = ~42. 0-10 8 4 3
021-^1 + a 2iX 2 +..-+a 2 nXn = ^2
,
2. A 4. tulajdonság alapján 2 10 -3 0
0
0
4
7
1
ahol m az egyenletek száma, n az ismeretlenek száma, x^, X2 , ..., x„ az =
0.
3. A 7. tulajdonság alapján
..., b^ az egyenletrendszer állandói (a jobb oldal),
ö jj, a j2, ..., a„j„ az egyenletrendszer együtthatói. A lineáris egyenletrendszer homogén, ha a 6], l>2 ,
0 3 0 -6
7 10 5 4 -0 . 7 10 2 3
4. Az alábbi determináns kiszámításánál próbáljuk nyomon követni az átalakí tásokat; 2 0 4 3 2 0 4 3 5 “ 6 -14 0 5 -6 -14 -12 6 1 -1 2 -12 6 1 6 1 = 8 7 16 10 3 4 -2 8 7 16 0 8 7 16 0 2 1 4 2 1 4 0 2 1 4 0 2 14 0 5 -6 -14 0 3 0 2 1 4
ismeretlenek, bi,
-14 = 144. 4
állandók
mindegyike zérus. Ha ezek közül akár csak egy is különbözik zérustól, akkor az egyenletrendszer Inhom ogén. Az (1) egyenletrendszer megoldása minden olyan ( a j,a 2 ,...,a „ ) szám-n-es, azaz n-dimenziós vektor, amely az xi = a i ,
X2 = a 2 ,
x„ = a„
helyettesítés után az (1) egyenletrendszer mindegyik egyenletét kielégiti. Az együtthatókból álló mátrixot jelölje A, azaz legyen ö li A =
Ü2 \
«12 a-yj
a^n
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
380
5.5.2. M egoldási módszerek
Ez az egyenletrendszer mátrixa. Kiegészítve ezt a jobb oldalon szereplő állandókból álló oszloppal, az egyenletrendszer bővített mátrixához jutunk. Jelölje ezt B. Tehát
B=
ö li
«12
^1
«21
ÍZ79
^9
381
5.5.2. M egoldási módszerek a) Cramer-szabály. Tekintsük az előző pontban szereplő (1) egyenlet rendszert, amelynek mátrixos alakja: Ax = b Legyen ebben az egyenletrendszerben az egyenletek száma és az isme retlenek száma egyenlő, azaz m=n. Ekkor az A együtthatómátrix négyze
Az ismeretleneket és a jobb oldali állandókat foglaljuk egy-egy oszlop vektorba. Legyenek ezek x és b: Xi ^2
,
b=
tes, éspedig «-edrendű. Tételezzük fel, hogy A reguláris, vagyis az egyen letrendszer determinánsa; det A 0. Ekkor az A mátrix rangja n. De ugyanennyi a bővített mátrix rangja is, hiszen ebből a mátrixból is csak legfeljebb n-edrendű determináns választ ható ki. Mivel az ismeretlenek száma is n, ezért az előbbi tétel szerint az egyenletrendszernek egyértelmű (tehát egyetlen) megoldása van. Mivel det A 9^ 0, létezik az A~^ inverz mátrix. Az Ax = b egyenlet
Pm.
mindkét oldalát balról szorozva A ” *-gyei, az egyenlet megoldását kapjuk; Ekkor az (1) egyenletrendszer felírható Ax = b
X = A~^b.
ún. mátrix alakban.
Felírva ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát részletesen, igazolható a következő tétel:
b) M egoldhatóság. A lineáris egyenletrendszernek - lehet egyetlen megoldása, - lehet végtelen sok megoldása, - lehet, hogy nincs megoldása, függetlenül attól, hogy mennyi az egyenletek száma és mennyi az ismeret lenek száma. M indenekelőtt az egyenletrendszer megoldhatóságát rögzítjük az alábbi tételben.
Tétel. (Cramer-szabály). Ha a lineáris egyenletrendszer determinánsa nem zérus, akkor egyértelmű megoldása van. Ekkor az (1) egyenletrendszer meg oldása:
Tétel. A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha mátrixának rangja megegyezik bővített mátrixának rangjával.
maztatható, hogy annak /-edik (i = l, 2 ,...,n ) oszlopa helyére a jobb oldali
A rangszámvizsgálattal tehát (ami nem egyszerű feladat) eldönthető, hogy van-e ellentmondás az egyenletrendszerben vagy nincs. Egyébként a lineáris egyenletrendszer mátrixának rangja legfeljebb akkora, mint az ismeretlenek száma. Természetesen nem lehet nagyobb az egyenletek számánál. A következő tétel a megoldás egyértelműségét rögzíti.
Példa Oldjuk meg Crawer-szabállyal a 2x] - 3x2 + ^ 3 = 0 lineáris egyenletrendszert. --3X] +4^2 “ 2x3 ~ ^ 5^1 + 4x3 = -3 Megoldás. Az egyenletrendszer determinánsa; 2 -3 1 det A = -3 4 -2 = 2-l6 + 3 ( - 2 ) + l-(-20) = 6 * 0 . 5 0 4
Tétel. A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg egyér telműen, ha mátrixának és bővített mátrixának rangja megegyezik az isme retlenek számával.
A A ^1 = ' det A ’ “ det A ’ " " ahol D], Eh, ..., D„ a módosított determinánsok.
a det A ’
( d e t A / 0 ),
A Dj módosított determináns az A mátrix determinánsából úgy szár b oszlopot írjuk.
382
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
tehát az egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van. A módosított determinánsok: 0 -3 1 2 0 1 2 -3 0 A = 1 4 -2 = 6, D ,= -3 1 -2 = 0, D3 = -3 4 1 = - 12 . -3 0 4 5 -3 4 5 0 -3 Tehát az egyenletrendszer megoldása: Xi _ =
A det A
-§. = \ 6
detA
6
’
X3 = A detA
-1 2
6
= -2.
A Cramer-szdbdXy alkalmazható akkor is, ha az egyenletrendszer de terminánsa nulla. Ekkor azonban az egyenletrendszert át kell alakítani. Ezt az alábbi példákon mutatjuk be. Példák 1. Oldjuk meg a 3 x - y + 5z = 0 x + y - 2 z=A 5x + y + z = ^
lineáris egyenletrendszert.
Megoldás. Az egyenletrendszer determinánsa: 3 -1 5 det A = 1 -2 = 3-3 + M l + 5(-4) = 0. 1
1
Mivel ez a determináns nulla, ezért A rangja kisebb mint 3. Jelen esetben rang A = 2, mert pl. az G33 elemhez tartozó aldetermináns 3 -1 =3+l=4^0. 1
1
A bővített mátrix: 3 -1 5 B = 1 1 -2 5 1 1 amelynek rangja szintén 2, tehát rangB = 2. Mivel rang A = rangB, ezért az egyen letrendszer megoldható (azaz nincs az egyenletek között ellentmondás). Mindez onnan is látszik, hogy a harmadik egyenlet az első kettőből úgy származtatható, hogy az elsőhöz hozzáadjuk a második egyenlet kétszeresét. Tehát a harmadik egyenlet az első kettőnek lineáris kombinációja. Ez azt jelenti, hogy a harmadik egyenlet el hagyható, hiszen az nem ad új információt, ezért fölösleges. Ezt elhagyva, és a ma radék egyenletrendszert átrendezve: 3x-_y = -5z x + y = 4 + 2z '' Ez formailag két egyenlet két ismeretlennel, ha a z ismeretlent állandónak (vagy paraméternek) tekintjük. Erre az egyenletrendszerre már alkalmazható a Cramerszabály. 3 -1 -5z -1 3 -5z = 4?i0, D,= = 4 -3 z , A = = 12 + llz. 1 1 4 + 2z I 1 4 + 2z
383
5.5.2. Megoldási módszerek A megoldás:
z tetszőleges. 4 D 4 Mivel z-re semmi kikötés nincs, az tetszőleges lehet. E miatt az egyenletrend szernek végtelen sok megoldása van. 2. Oldjuk meg a 3 x ~ y + 5z - 0 x+ y-2z= 4 lineáris egyenletrendszert. 5x + y + z = 3 Megoldás. Az előző egyenletrendszerhez képest annyi a változás, hogy a harmadik egyenlet jobb oldalán nem 8, hanem 3 áll. Ez viszont azt jelenti, hogy az egyenlet rendszer ellentmondó, mert a harmadik egyenlet bal oldala az első egyenlet bal oldalának és a második egyenlet bal oldala kétszeresének az összege. Ugyanez nem áll a jobb oldalakra. Ez egyúttal azt jelenti, hogy rang A = 2 ^ rang B = 3. Ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása. b) A Gauss-féle módszer. A Cra/ner-szabály elvileg nagyon egyszerű módszer, alkalmazása azonban nehézkes. Ugyanis ha az egyenletek (és az ismeretlenek) száma nagy, akkor gyakorlatilag nem alkalmazható, mert a determinánsok kiszámítása hosszadalmas, esetleg nem is lehetséges. Ezért több módszert is kidolgoztak, amelyek a gyakorlat számára előnyösebbek a Cra/ner-szabálynál. Egyik ilyen a Gauss-féle m ódszer. Magát a módszert nem részletezzük (lásd a 9.4.1. pontot). A lényege úgy foglalható össze, hogy az egyenletrendszert, és így annak mátrixát is átalakítjuk. Ez egy-egy egyenlet számmal való szorzásával, majd két vagy több egyenlet összeadásával (kivonásával) valósítható meg. Ha ezeket az átalakításokat alkalmas módon végezzük el, akkor elérhető, hogy bizonyos számú lépés után az egyenletrendszer mátrixa, és egyúttal az egyenletrend szer is olyan speciális szerkezetű lesz, amelyből az ismeretlenek igen egy szerűen számíthatók ki. Ilyen mátrix pl. a háromszögmátrix (azaz olyan, amelynek minden olyan eleme zérus, amely a főátló alatt van). Vagy ilyen mátrix az átlós mátrix. De más, speciális mátrixok is keletkezhetnek. Elő nye a módszernek, hogy sem az egyenletek sem az ismeretlenek számára semmilyen megkötést nem kell tenni. c) Homogén lineáris egyenletrendszerek. Az 5.5.1. pontban már említet tük, hogy az egyenletrendszer homogén, ha minden bi állandója nulla. Tekintsük az alábbi lineáris homogén egyenletrendszert: a\\Xx -t-012^2 +---+a\n^n = 0 ű") jX j + ü'yT X') + ..
= 0
amiXi + a „ 2 ^ 2 +---+^mnXn = 0
384
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
Mivel a jobb oldalon minden állandó nulla, ezért a bővített mátrix rangja megegyezik az egyenletrendszer mátrixának rangjával. Ennek kö vetkeztében a lineáris homogén egyenletrendszer mindig megoldható. Megoldása: xi = 0, .^2 = 0, jc„ = 0. Ezt triviális m egoldásnak nevezzük. A gyakorlatban inkább az az érdekes, hogy van-e ezenkívül más, ún. nem triviális megoldás. Könnyű belátni, hogy nemtriviális megoldás akkor és csak akkor van, ha a rendszer mátrixának rangja kisebb az ismeretlenek számánál. Legyen most m = n vagyis az egyenletek száma és az ismeretlenek szá ma legyen egyenlő. Erre az esetre vonatkozik a következő tétel. Tétel. Az n egyenletből álló n-ismeretlenes homogén lineáris egyenlet rendszernek akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha az egyen letrendszer determinánsa nulla. Ha létezik ilyen megoldás, akkor végtelen sok van. Ha w = n esetben az egyenletrendszer determinánsa nulla, ez azt jelenti, hogy az egyenletek nem függetlenek egymástól. Az egyenletek között tehát van olyan (egy vagy több), amely a többi egyenlet lineáris kombinációja. Az ilyen egyenlet fölösleges a rendszerben, így az elhagyható. A gyakor latban persze azt nem könnyű megtalálni. Ha azonban ez sikerült és elhagy tuk a fölösleges egyenlet(ek)et, akkor a maradékrendszer átrendezhető úgy, hogy a bal oldalon csak annyi ismeretlen legyen, ahány egyenletünk ma radt. A többi ismeretlent a jobb oldalra gyűjtjük, és úgy tekintjük azokat, mintha állandók lennének. Lényeges, hogy az így keletkező egyenlet rendszer determinánsa ne legyen nulla. Ekkor ez az egyenletrendszer meg oldható a Cramer-szabállyal is. A Gauss~íé\Q módszer ezen átalakítás nélkül is alkalmazható.
5.5.2. Megoldási módszerek
385
(a második egyenlet kétszeresének és az első egyenletnek az összege), akkor ezt a harmadik egyenletet, mint fölöslegest, hagyjuk el: X| - 3x 2 -X3 = Ol Xj +2x2 + X3 = OJ '
Rendezzük ezt át úgy, hogy a bal oldalon két ismeretlen maradjon: X] - 3 X2 =•^3 1 X| + 2 x j = - X 3 j ■
Ezt a rendszert megoldjuk a Crawer-szabállyal. Az egyenletrendszer determinán sa és a módosított determinánsok: detA =
1 -3 1 2
= 5, D, =
X3 -3 1 X3 ——X3, Dt — = - 2x. -X3 2 1 -Xj
A megoldás: -Z íl
” 2x' X, =■
X3 tetszőleges.
d) M egoldás bázistranszformációval. A módszer az egyenletek és az ismeretlenek számától függetlenül alkalmas homogén és inhomogén lineá ris egyenletrendszerek megoldására. Az 5.5.1. pontban szereplő (1) egyen letrendszer aiXi + a2X 2+...+a„x„ = b vektoralakban is felírható, ahol
^k =
^\k
b\
^ 2k
b= h
(k = 1,2,...,«),
_^nk. A b = x j a j + X 2a 2 + ...+ x „a„ felírásból látható, hogy az Ax = b lineáris
Példa Oldjuk meg az homogén lineáris egyenletrendszert.
egyenletrendszernek akkor van megoldása, ha a b vektor előállítható az A mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként, azaz ha b benne fekszik az A oszlopvektorai által generált altérben. Ha A rangja n, akkor az a], a 2, ..., a„ vektorok lineárisan függetlenek, ezért bázist alkotnak, és
Megoldás. A triviális megoldás Xj = = X3 = 0. Az egyenletek száma és az isme retlenek száma megegyezik. A rendszer determinánsa: 1 -3 -1
ekkor az X], X2,..., x„ ismeretlenek a b vektor a j , 32,..., a„ bázisra vonat kozó koordinátái. Legyenek b eredeti bázisvektorai az ej, 62, ..., e„, egységvektorok, azaz
Xi - 3x2 - X3 = 0 + 2x, +X3 = 0 3x| + X2 + X3 = 0
1
2
1 = 0.
3 1 1 Mivel az egyenletrendszer determinánsa nulla, ezért létezik nemtriviális megoldás is. Ha észrevesszük, hogy a harmadik egyenlet az első kettőnek a következménye
b = 6jei +Z?2e2+...+Z?^e^
.
Ekkor az egyenletrendszer megoldása abból áll, hogy a b vektor
ej, 62,
e„, bázisvektorait egymás után cseréljük ki az a j, a 2, ..., a„ vektorokkal.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
386
A báziscserét mindaddig folytatjuk, amíg az lehetséges. H a rangA = r, akkor r bázisvektor cserélhető ki. Az eljárást táblázatosán hajtjuk végre úgy, ahogy azt az 5.2.3. pontban leírtuk. Lényeges megjegyezni, hogy nincs szükség a mátrix rangjának (és így a független egyenletek) számának megállapítására. Ugyanis az A mátrix rangja egyenlő a bázisba bevonható, vagyis csereként felhasználható vekto rok maximális számával. így az eljárás alkalmas mátrix rangjának megál lapítására is. Példa Oldjuk meg bázistranszforraációval, azaz báziscserékkel, az X] + 2x, + X3 -- X4 + 2x5 = 4 2X] + 3^2 + X j - 2x4 + 3x5 = 0 X] + Xt - 4x3 + 2x4 - 3x5 = 2 X] + 2xo + 5x3 - 4x4 + 6x5 = -2
5.5.2. Megoldási módszerek
A következő lépésben az e, vektort cseréljük ki az a, vektorral. Ennek eredmé nye a 3. táblázat:
83
0
1
1
ai
1
1
0
63
0
64
0
lineáris egyenletrendszert.
b
- 1
2
4
1
-2
3
0
1
_4
2
-3
2
2
5
_4
6
-2
1
2
2
3
63
1
€4
1
Cl
35
34
Jelen esetben Xia, +X2a 2 + % a3 +X4H4 +x^a^ = b, ahol b = 4C] + 0c2 + 2c3 - 2c4 . Az első lépésben cseréljük ki az e, vektort az 83 vektorral. A megfelelő gene rálóelemet (pivotelemet) az indulótáblázatban bekarikáztuk. A cserét az 5.2.3. pont ban leírtak szerint végrehajtva, kapjuk a 2. táblázatot:
83
3i
82
33
34
as
1
2
1
- 1
2
4
1
0
- 1
1
-4
^2
b
63
5
9
0
-2
5
18
64
-4
-8
0
1
-4
-22
Innen látható, hogy b = 4 3 3 -4e2 + 18c3 -
2 2 c4
.
-4
b
34
^5
0
1
8
1
_4
-
1
0
3
0
38
0
-3
0
-3 8
b = 8a 3 - 4 a , +3863 - 3864. A következő lépésben az 63 vektort kicseréljük az a , vektorral. Ennek eredmé nye a 4. táblázat:
83
84
»5
b
1
- 0,75
1
- 1,5
0
0
- 1,75
1
- 13,5
»2
83
0
0
1
8
33
33
*2
Innen látható, hogy
Megoldás. Mindenekelőtt írjuk fel az indulótáblázatot, vagyis azt, amely tartalmaz za az egyenletrendszer együtthatóit: Induló táblázat Hl
387
l
®2
0
1
0
0,75
0
9,5
C4
0
0
0
0
0
0
Innen látható, hogy b = - I , 5a3 - I3,5aj + 9,5h2 + 064. Az 64 vektort már nem kell (és nem is lehet) kicserélni, hiszen a b vektor ezen utolsó előállításában már nem szerepel. Látható továbbá, hogy a4 = -0,75a3 - l,75aj + 0,75a 2 és 85 =33 + a,. Ezzel a bázistranszformációt befejeztük. Tekintettel arra, hogy Xiai-t-X2a2 + X3a3 = b -x 4 a4 -x 5 a5 = = - l , 5 a 3 - 1 3 , 5 a j + 9,5a2 - x ^ { - 0 ,1 5 & 2 - 1,75a] + 0,75a 2) - X 5 (aj +
3 3
)=
= ( - 13,5 +1,75x4 - xs)a 1+ (9,5 - 0,75x4)3, + (-1,5 + 0,75x4 - Xs)a3, az együtthatók összehasonlításával az egyenletrendszer megoldása felírható: X( = - 13,5+ 1,75X4 -X 5, X2 = 9 ,5 -0 ,7 5 x4, X3 = -
1,5
+
0
, 7 5 X4
és X5 tetszőlegesek. Ezek az értékek a 4. táblázatból közvetlenül is leolvashatók. Látható, hogy az eredeti 3 ], 3 2 , 3 3 , 3 4 , 3 5 vektorrendszer lineárisan nem füg getlen, hiszen 84 és 3 5 kifejezhető a,, 3 2 és 3 3 segítségével. A vektorrendszerben 3 független vektor van, így annak rangja és az A mátrix rangja is 3. A táblázatok felírásánál néhány oszlopot elhagyhattunk volna. A teljesség és a könnyebb érthetőség kedvéért ezt nem tettük. X4
5.6.1. A tenzor fogalm a
389
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
388
5.6.
b) Az A ten zo r k o o rd in átái. A tenzort akkor ismerjük, ha annak A r hatá sát ismerjük bármely r vektorra. Ehhez elegendő három, alkalmasan vá lasztott vektorral való szorzatának ismerete. Legyenek ezek az i, j, k, vagy más jelöléssel az ei, e2, e3 vektorok. Ha
TENZOROK
Aei = aj,
5.6.1. A tenzor fogalma
Ae2 = a2, Ae3 = 33,
r = xei+>>e2+^63,
akkor a) É rtelm ezés. Emlékeztetünk rá, hogy az / függvényt lineáris függvény nek nevezzük, ha értelmezési tartományának tetszőleges x, x \ , x j elemeire
Az A r függvényérték kiszámításához tehát elegendő ismerni az a j, 32,
és c valós számra f { x i + ^2) = /( ^ i) + /( ^ 2 )
83 vektorokat. Ezeket a vektorokat az A tenzor v ek to rk o o rd in á táin ak
és f { c x ) = c f ( x ) .
Definíció. Az A vektor-vektor függvényt lineáris leképezésnek, más néven tenzornak nevezzük, ha az lineáris, és értelmezési tartománya a háromdi menziós vektortér. Legyenek r, r^, V2 a háromdimenziós tér vektorai, c pedig valós állandó. Ekkor A(T] + T2) = A (ri) + A (r2)
A r = A(jcej + ye 2 + z e 3) = .xAe] +_yAc2 + zA c3 = jcH] +ysi 2 + z a 3.
és
A (c r) = cA r.
nevezzük. Mivel az a j,
83 vektorok mindegyikének három (skalár) koordiná
tája van, ezért az A tenzor kilenc skaláradattal, az ún. skalárkoordinátákkal adható meg. Ha 01 = ajiC] + ö21®2 + Ö31®3>
(*)
^ 2 ~ ^12®1 + ^ 2 2 + <^32^3’
Az A tenzor az r vektort az A (r) vektorba képezi le. Például megnyújt ja, elforgatja, tükrözi stb. M egállapodunk abban, hogy a továbbiakban A (r) helyett az egyszerűbb Ar jelölést használjuk. Ezért mondható az, hogy az Ar vektor az A tenzornak és az r vektornak a szorzata.
^3~^13®1 + <^23®2 ■*'^33®3’
M egjegyzések 1. A tenzor értelmezhető úgy is, hogy értelmezési tartománya az n-á\menziós vektortér legyen. 2. A lineáris függvény kifejezést más értelemben is használják. 3. A (*) feltételeknek eleget tevő függvényt lineárisnak és homogénnak is mondják. Példák 1. Az Ar = 3r függvény tenzor, mert teljesülnek rá a (*) összefüggések. Ez a tenzor (leképezés) a tér vektorait háromszorosra nyújtja. 2. Az Ar = a X r leképezés szintén tenzor (a adott állandó vektor). A tér vekto rait az a vektorra merőleges síkba képezi le. 3. Az Ar = (re)e leképezés is tenzor, ahol e adott egységvektor. Ez a tenzor minden r vektorhoz annak e irányú vetületvektorát rendeli. 4. A v(r) = 3r + a leképezés nem tenzor (a adott vektor). 5. Az Ar = - l r = - r tenzor minden r helyvektort tükröz az origóra. 6. Az Ar = 1■r = r tenzor a tér minden vektorát változatlanul hagyja. 7. Az Ar = O r = 0 tenzor a tér minden vektorát a nullavektorra, vagyis a teret egyetlen pontra képezi le.
akkor az A tenzor vektor-, ill. skalárkoordinátákkal a következőképpen írható fel: A = [ a i ,82,33
«12 «13 «21 <^22 «23 «32 «33
Az itt szereplő mátrix az A tenzor mátrixa. De az a szóhasználat is meg engedett, hogy ez a mátrix maga a tenzor. így a tenzort számkilencesként is értelmezhetjük, mint ahogy a háromdimenziós vektort számhármasként. Az a j, a 2, a 3 vektorok koordinátái a mátrix oszlopait alkotják. Könnyű belátni, hogy ö/t = e,-a^ = e,A e^,
i,k = 1,1,3.
Ha a tenzor skalárkoordinátákkal van megadva, akkor az r vektor A r képét formálisan az ^11 «12 «13 X A r = «21 ^22 «23 y .031 ^32 «33. z mátrixszorzás eredményeként kapjuk.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
390 Példák 1. Az A =
3 2
0 -1 7 0
-5
4
Ar =
■3 2 -5
tenzor az r = (2,-1,5) vektort az
9 0 - f ■2 ■ 7 0 -1 = - e i - 3 c 2 + 3163 = (-1 ,-3 , 31) 4 9 _5
5.6.2. Műveletek tenzorokkal
391
b) Összeadás. Az A és B tenzorok összege az a C = A + B tenzor, amelyre minden r vektor esetén Cr = (A + B )r = A r + B r. C mátrixa A és B mátrixának összege. A z összeadás kommutatív és asszo ciatív: A + B = B + A, A + (B + C) = (A + B ) + C . Az összeadás megfordítható, vagyis elvégezhető a kivonás is. A - B mátrixa A és B mátrixának különbségével egyenlő. c) Szorzás számmal. A X skalár és az A tenzor szorzata az a C = XA tenzor, amelyre minden r esetén
vektorba képezi le. 2. Az Ar = 3r tenzor mátrixa:
C r = (?iA)r = X (A r). 3 0 0 0 3 0 0 0 3 c) Speciális tenzorok. Az tenzort az A tenzor transzponált tenzorának (adjungáltjának) nevezzük, ha bármely két u és v vektorra u(A v) = v(A ^ u ). Az értelmezésből következik, hogy A^ mátrixa A mátrixának transzpo nált] ával azonos. Az A tenzor szimmetrikus, ha A = A^ Szimmetrikus tenzor mátrixa is szimmetrikus.
C mátrixa A mátrixának A-szorosa. Az összeadás és a számmal való szorzás értelmezését is felhasználva belátható, hogy minden tenzor felírható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus tenzor összegeként a következő módon: A = 1 (A + A ') + 1 ( A - A ') . d) Szorzás. Az A és B tenzorok (ilyen sorrendben vett) szorzata az a C = AB tenzor, amelyre minden r esetén Cr = (A B )r = A (B r). C mátrixa A és B mátrixának szorzata.
Az A tenzor ferdén szimmetrikus, ha A = - A ^ Ferdén szimmetrikus tenzor mátrixa is ferdén szimmetrikus.
A szorzás nem kommutatív, de asszociatív és érvényes a disztributív törvény: AB ^ BA;
Az E tenzort egységtenzornak nevezzük, ha bármely r esetén E r = r. M átrixa az egységmátrix.
(A + B )C = AC + BC.
A O tenzort nullatenzornak (zérustenzornak) nevezzük, ha bármely r esetén 0 r = 0. M átrixa a nullamátrix. A C r = ( a o b ) r = a (b r) módon értelmezett C = a ob tenzort diádnak (az a és b vektorok diadikus szorzatának) nevezzük. M átrixa c,^ = Ojbi^ alapján írható fel.
A (B C ) = (AB)C;
e) Vektor és tenzor szorzata. Az a vektor és a B tenzor vektoriális szor zata az a C = a X B tenzor, amelyre Cr = (a X B)r = a x (B r ). Az a vektor és a B tenzor aB alakú szorzatát az (aB )r = a (B r) egyenlő séggel értelmezzük.
5.6.2. M űveletek tenzorokkal á) Egyenlőség. Az A és B tenzorok egyenlők, azaz A = B , ha a tér min den r vektora esetén Ar = B r. Ekkor A és B m átrixa is egyenlő.
/ ) Tenzor reciproka. Az A tenzor A
-1
reciprokát (inverzét) az
AA ’ = A ’a = E egyenlőséggel értelmezzük.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
392 Az
reciprok tenzor csak akkor létezik, ha mátrixának determinánsa
nullától különböző.
mátrixa A mátrixának inverzmátrixával egyenlő.
Az AB szorzattenzor inverzére érvényes az alábbi összefüggés: (A B )"’ = B ’a ^
5.6.3. A főtengelytétel A tenzorok vizsgálatánál központi szerepet játszik az a kérdés, hogy egy tenzor a tér mely vektorait képezi le úgy, hogy azokat csak „megnyújtja”. Ezt a feladatot sajátértékfeladatnak nevezzük. Definíció. Azokat az s vektorokat, amelyek párhuzam osak az As képvekto rukkal, azaz teljesül rájuk az As = Xs,
X GR
egyenlőség, az A tenzor sajátvektorainak nevezzük. A sajátvektorok által meghatározott irányok a sajátirányok, a A számok pedig az A tenzor sajátértékei.
5.6.3. A főtengelytétel
Ez a A-ra nézve harmadfokú egyenlet az A tenzorhoz tartozó karakte risztikus egyenlet, amelynek alakja a determináns kifejtése, majd rendezése után: 7^ - ö / A r - a j j X - a j j j = 0 . Ennek az egyenletnek szimmetrikus tenzor esetén 3 valós gyöke van. Legyenek ezek a gyökök, vagyis a sajátértékek. A.|, X2, X3. Ilyen X érté kek mellett kell tehát az előbbi homogén egyenletrendszert megoldani mindhárom gyökre külön-külön. így megkapjuk a három sajátvektort. Ha két gyök, pl. X 2 és A3 egyenlő, akkor a X j-hez és X j-h ö z tartozó két sajátvektort meghatározunk, és e két vektor vektoriális szorzata lesz a harmadik sajátvektor. Ha mindhárom sajátérték megegyezik, akkor a tér bármely vektora sajátvektor. A sajátvektorokat célszerű úgy meghatározni, hogy azok egységvektorok legyenek. A karakterisztikus egyenlet a j, ajj, a ^ együtthatói függetlenek attól, hogy az A tenzor koordinátái milyen koordinátarendszerre vonatkoznak. Éppen ezért ezeket az együtthatókat a tenzor skalár invariánsainak nevez zük, melyek értéke: ^33 = Aj + X j + A,3 ;
= öl 1 + ű22
Különösen nagy jelentőségű a sajátvektorok létezése szimmetrikus ten zorok esetén. Erre vonatkozik a következő tétel.
« 1 1
« 1 2
« 2 1
^ 2 2
a II =
Tétel (főtengelytétel). Minden szimmetrikus tenzornak van három (síkbeli esetben kettő), páronként egymásra merőleges sajátvektora.
+
au
"1 3
<^31 « 3 3
+ <^22 ^2 3 "3 2
«33
ö]] öl 2 Ö13 ajii = Ö21 022 «23
Adott A tenzor esetén az s sajátvektort az As - A,s = 0 egyenlet megoldásaként kapjuk. Ha s = a i + Pj + y k , akkor ez a vektor egyenlet az alábbi homogén lineáris egyenletrendszerrel ekvivalens:
393
"31
«32
«33
Itt említjük meg, hogy az A tenzor vektorinvariánsán azt a v vektort értjük, amelyre ^ (A -A ')r = v x r ,
( ö j ] — X )Q L + Ű Í 1 2 P + ÍÜ13Y = 0
~ ^)P + <323Y = 0 úÍ3jOC + a-^'}^ + (í?33 ~ ^)Y “ 0
a2]0C 4- ( ö 2 2
ahol r tetszőleges vektor. A z értelmezés alapján belátható, hogy V
Ennek az egyenletrendszernek a triviálistól különböző megoldását ke ressük. Ilyen akkor létezik, ha az egyenletrendszer determinánsa nulla, azaz ha 0]]
— A,
^21 Ö31
a
^2
ö ]3
^22 “ ^ <^23 ~ 0ÍÜ32 ÍÜ33 —X
= l( ( a 3 2 - Ö 2 3 ) ‘ + ( a i3 - « 3 l ) j + ( « 2 1 - « 1 2 ) k ) .
Ha A szimmetrikus tenzor, akkor vektorinvariánsa nullavektor. Egy nevezetes előállítás: Legyenek a szimmetrikus A tenzor sajátértékei Aj, X 2 , Xt„ sajátvektorai pedig az Sj, $2 , S3 egységvektorok. Ekkor A elő állítható A = A,]Sj o sj + X2S9 °S9 + A3S3 oS3 alakban. Ezt az alakot A spektrálelőállításának nevezzük.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
394
Legyen A szimmetrikus tenzor. A tér tetszőleges r velctorát írjuk fel mind az i, j, k, mind pedig az Sj, $2, S3 egységvektorok rendszerében,
5.7.1. A vektor-skalár függvény
így S[ =Oi + ^ j - ^ k . Hasonlóan kapjuk a A,, = 0 sajátértékhez tartozó 83 sajátvektort: s,
vagyis legyen r = xi +
+ zk = wsj + VS7 + WS3.
395
v6
(-2i + j + k). Végül a ^,3 = 3 felhasználásával 83 = —— (i + j + k). v3
Ekkor az 5.7.
rAr = ül ix~ + 2 ai 2 xy + ö22>’” + 2aT,\xz + 2 üT,2 y z + Ű33Z" kvadratikus alak (amely most az i, j, k egységvektorrendszerben, vagyis az ;c, y, z koordinátarendszerben van felírva) az S], S2, S3 egységvektorrend szerben (vagyis az u, v, w koordinátarendszerben) így írható fel: 9 7 9 rAr = (wsi +VS2 +>vs3)(mAsi +vA s2 +WAS3) = X]U~ +A,2V“ +A.3W". Itt felhasználtuk azt, hogy As, =A,yS,, valamint s,s , = 1 és s,s^ = 0 {i,k = 1,2,3; i ^ k ) . Látható, hogy a sajátvektorok által meghatározott koordinátarendszer ben felírt kvadratikus alakban bilineáris tagok (uv, uw, vw) már nem szere pelnek. Ez a tény a másodrendű felületek transzformációjánál (lásd az 1.5.3. pontban) jól használható.
TÉRGÖ RBÉK
5.7.1. A vektor-skalár függvény a) Értelmezés, határérték, folytonosság. Definíció. Az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya valós számokból, értékkészlete vektorokból áll, vektor-skalár függvénynek nevezzük. Legyen a függvény jele r, t pedig az értelmezési tartomány egy eleme. Ekkor r (0 a függvény í helyen vett helyettesítési értékét jelöli. Ha nem érthető félre, akkor alkalmanként magát a függvényt is r(/)-vei jelöljük. Ha r koordinátái x, y, z, akkor ezek a koordináták t függvényei. így r( 0 = x (0 i + M 0 j + z (0 k .
Példa Határozzuk meg az A =
"1
I
1
1
2
0
1 0
2
Az r vektor-skalár függvény határértéke a íq helyen Tq, ha bármely szimmetrikus tenzor sajátvektorait.
|r(0 - r o | < 8 ,
Megoldás. A karakterisztikus egyenlet: 1
e > 0 számhoz van olyan 5 > 0 szám, hogy
hacsak 0 < |/ - /o| < 5. A határérték jelölése:
1
2 -;^ 0 = (2 -? i)(^ --3 ?.) = 0. 0 2 -X Ennek gyökei, vagyis a sajátértékek: tékhez tartozó homogén egyenletrendszer;
=2, Xt =0, A-3 =3. A Xj =2 sajátér
lim r( 0 = ro. t-^ÍQ Az r vektor-skalár függvény a t^ helyen folytonos, ha e helyen vett ha tárértéke egyenlő a helyettesítési értékkel, azaz ha lim r ( 0 = r(ío).
-a+P+Y=0 a + 0(3 + Oy = 0 >.
a+0p + 0y = 0
b) A derivált. A vektor-skalár függvény deriváltját differenciahányados határértékeként értelmezzük (5.13. ábra):
Innen a = 0, P = -y , Y tetszőleges. Ha azt akarjuk, hogy Sj egységvektor legyen, akkor az a" + P" + y" = 1 feltétel nek teljesülni kell. Egy ilyen megoldás: a = 0,
P=
V 2’
Y= -
V 2'
. Ar r{t + h ) - r { t ) r( 0 = hm — = hm ------------— . h /i->0 h Az r(/) derivált
módon is jelölhető.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
396
Az értelmezésből következik, hogy a deriválás általános szabályai vektor-skalár függvényekre is érvényesek. Ezért — Ckr) = Xr,
— (ri+r2) = ri+r2; dt 4 -( (p (0 r) = 9»* + (pn dt 4 - ( r iX r 2 ) = ri Xr 2 + r j X r 2 ; dt
d t _ dr d t . dx dt d l '
c = 0, c állandó vektor. Az előzőek szerint értelmezhetők magasabbrendű deriváltak is. A határozatlan integrál értelm ezése; r{t)dt,
ha
v (í) = r(t).
Ennek ismeretében b r{t)d t = \ { b ) - \ { a ) . Példák 1. Az r(/) = cos2íi + sin2í j + 0,05/k = (cos2/, sin 2t, 0,05/) vektor-skalár függ vény első és második deriváltja: r(0 = (-2 sin 2 í, 2cos2í, 0,05), r(/) = (-4cos2/, -4 sin 2 í, 0). 2. Az r( 0 = (cos" t, ^sin2<, sin<) vektor és deriváltja merőlegesek egymásra. Igazoljuk ezt. Megoldás. Mivel r( 0 = (-2cos/sin t, cos2/, cos/) = (- s in 2/, cos2/, c o s/), és így r(/)r(/) = -cos" / sin2/ + -j s i n 2 /cos2/ + sin/ cos/ = = - COS" / sin2/ + —sin2/ cos2/ + —sin2/ = sin2/(-cos" /+ ~ c o s2 /+ -^ ) = 2, 2. Á. A . . , 1+ cos2/ cos2/ + l, -
= s in 2 /(----- ------+ ----- ------) = 0,
ezért a két vektor merőleges egymásra.
397
5.7.2. Térgörbék vizsgálata
X állandó
d , , . — (rir2 ) = r,r2 + rif2 ; dt
\{t) =
5.7.2. Térgörbék vizsgálata
a) A térgörbe m int a vektor-skalár függvény képe. Ha r(/) helyvektor, akkor r(/) végpontja t változása közben egy térgörbén mozog. Ezért azt is mondjuk, hogy az r{t) = x{t)\ + y{t)] + z{t)k egyenlet egy térgörbe vektoregyenlete. Ennek a térgörbének a skaláris egyenletrendszere; x = x{t), y = y{t), z = z ( t). M indezek alapján mondható, hogy a vektor-skalár függvény térgörbével ábrázolható (a függvény képe egy térgörbe). Ugyanakkor egy térgörbe vek tor-skalár függvénnyel írható le. A térgörbe egyenletei pontmozgás jellem zésére is használhatók. Ilyen értelemben a térgörbét a pontmozgás pályagörbéjének is mondjuk. Ha a pontmozgást leíró r = r(/) egyenletben a t = f{%) helyettesítést hajtjuk végre (/ helyett f { x ) - t írunk), akkor egy másfajta pontmozgást kapunk, de a mozgó pont pályagörbéje ugyanaz a térgörbe marad (esetleg szűkülhet). M egállapodunk abban, hogy a továbbiakban csak olyan térgörbékkel foglalkozunk, amelyeket előállító r(/) vektor-skalár függvényeknek min denütt létezik r{t) deriváltjuk és az sehol sem 0. Sőt, ahol szükséges, magasabbrendű deriváltak létezését is feltételezzük. Példa Igazoljuk, hogy az r = (acos"/, acos/sin/, asin/), a > 0 vektor-skalár függ vény képe olyan térgörbe, amely rajta van az x" + j" + z" = a" gömbfelületen. Megoldás. A térgörbe skaláris egyenletrendszere: x - a cos" /,
y - a cos/sin/,
z-a sm t.
Ezeket az x, y, z kifejezéseket behelyettesítve a gömbfelület egyenletébe, az a" cos'' / + ö" cos" / sin" / + a" sin" t = a~ azonosságot kapjuk. Tehát a görbe pontjainak x, y, z koordinátái kielégítik a gömb felület egyenletét, így a görbe valóban rajta van a gömbfelületen (Viviani-görbe, 1.103. ábra). b) A kísérő triéder. Az 5.13. ábrán a P é s Q pontokat összekötő
vektor
párhuzamos a Ar húrvektorral. H a h tart nullához, vagyis a Q pont tart a rögzített P ponthoz, akkor -4^ tart az r(/) vektorhoz. Ebből következik, n hogy r(/) párhuzamos a térgörbe P pontbeli érintőjével.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
398
5.7.2. Térgörbék vizsgálata
399
Az r(t) derivált tehát a térgör
Megoldás. Az első és második derivált:
be érintő irányú vektora. Ennek t egységvektora az ún. érintő egy ségvektor:
r = i + 2/j + 2 rk , f = 2j + 4/k, Az érintő egységvektor:
r(3) = i + 6j + 18k; f(3) = 2j + 12k.
r Az r ( 0 függvény második de riváltja: r ( 0 = ^ ( 0 ' + K 0 j + z (0 k 5.13. ábra. Térgörbe érintövektora
Az r X r vektor a térgörbe bi nomiális vektora, ennek b egységvektora pedig a binomiális egységvektor: rx r b= rx r A b és t egységvektorok vektoriális szorzata a térgörbe n főnormálls egységvektora: n = bxt. A t, n, b egységvektorok a térgörbe minden pontjában páronként merő legesek egymásra, és ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak, akárcsak az i, j, k egységvektorok.
A binormális egységvektor:
A főnormális egységvektor: n(3) = b(3) x t(3) = r1^ i - 6 i -17J + 6k). A t = 3 paraméterű pont helyvektora: ro = r(3) = 3i + 9j + 18k. A simulósik normálisa a binormális vektor. Nem kell, hogy egységvektor legyen, lehet pl. a 1 8 i-6 j + k vektor. így a simulósik egyenlete: 1 8 (A :-3 )-6 (y -9 ) + (z -1 8 ) = 0, azaz 18x-6>^ + z -1 8 = 0. Az érintő egyenes vektoregyenlete: r = 3i + 9j + 18k + X(i + 6j + 18k). A skaláris egyenletrendszer: x = 3 + X, y = 9 + 6X,
z=18 + 18A,.
Definíció. A t, n, b vektorhármas a térgörbe kísérő triéderét alkotja. A kísérő triéder pontonként más és más helyzetű, de annak vektorai egymáshoz képest mindig ugyanúgy helyezkednek el. Úgy képzelhető el, hogy a pontnak a görbén való elmozdulásával a kísérő triéder is merev rendszerként mozog (kíséri a pontot). A görbén való előrehaladása közben forgó mozgást is végez. A t, n, b vektorok páronként egy-egy síkot feszítenek ki. A t és n vekto rok síkját sim ulósíknak nevezzük (S) (5.14. ábra). Ennek normálisa tehát a b vektor. Mivel ir is a simulósíkban van, ezért azt is mondhatjuk, hogy ezt a síkot az r és f vektorok feszítik ki. A t és b vektorok síkja a rektifikáló sík (R). Ennek normálisa az n vektor. A b és n vektorok síkja a normálsík (TV), melynek normálvektora a t vek tor. A norm álsík a görbét az adott pontban merő legesen vágja ketté. E síkok páronként egymásra merőlegesek (5.14. ábra). Példa Határozzuk meg az r = /i + r j + — 5 14 ábra A kísérő triéder síkjai
térgörbe í = 3
paraméterű pontjához tartozó kísérő triéder t, n, b egységvektorait. írjuk fel e pontbeli simulósik és érintő egyenes egyenletét.
c) A térgörbe ívhossza. Valamely térgörbe ívhosszán - úgy mint síkgör bék esetében - a beírt poligonok hosszának felső határát értjük. H a létezik ívhossz, akkor a görbét rektifikálhatónak mondjuk. Az r = r{t) térgörbe a < í < P ívének hossza:
P + y~ + z ~ d t .
r{t)^t =
Jelölje a görbe [a ,/] intervallumra eső ívhosszát s{t), azaz legyen t s{t) =
.
Az így értelmezett s{t) függvény szigorúan növekvő, ezért van inverze. Legyen ez t{s). Ha a görbe r = r(í) egyenletébe t helyére a t{s) kifejezést helyettesítjük, akkor a térgörbe egyenletében az s ívhossz lesz a paraméter, amit természetes paraméternek nevezünk. Főleg elméleti vizsgálatok során célszerű a görbének ilyen r = y { s ) alakú megadása, azaz ilyen paramétere zése. így pl. az érintő egységvektor és a főnormális egységvektor:
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
400
5.7.2. Térgörbék vizsgálata
401 d t,
után a - - t = 0 egyenlethez jutunk, ahonnan látszik, hogy a — és t vék ái dt torok merőlegesek egymásra.
,t '|’
ahol r ' , ill. r" az í-szerinti deriváltat jelöli.
Példa Példa Számítsuk ki az r = (/ - sin 1- cos/, 4 sitiy) térgörbe 0 < í < b ívének hosszát,
vektorát, gyorsulásvektorát, továbbá a gyorsulásvektor érintő irányú és arra merő leges komponensét. Megoldás. A sebességvektor és a gyorsulásvektor:
írjuk fel a görbe egyenletét természetes paraméterrel. Megoldás. Mivel r = (l-c o s í, sin /,2 c o s~ ), ezért
V = r = (1,2t, 2t~), a = r = (0, 2, A t). A sebességvektor abszolút értéke (a pályasebesség):
* I---------- ----- —---------- — \r\fit = J(1 - cos t f + sin" t + 4 cos" —dt = 0
0
h ----------------- ------b ------ ------------ -— b = J J 2 “ 2 cos í + 4 cos^ ~ d t = J j 4 sin" ^ + 4 cos" ^ d t = ^ 2 dt = 2 b. 0
0
0
A görbe [0,í] intervallumra eső ívhossza: s = 2 í . Innen / = -|-. így a görbe egyenlete természetes paraméterrel: r = (-|--sin -f ,l-c o s-|-,4 sin -|-). ^2 ^'"2 d) Sebesség, gyorsulás. H a a térgörbe r = r(í) egyenletében a t paraméter az időt jelenti, akkor fizikailag az r ( 0 deriváltvektor a térgörbén mozgó pont V sebességvektorát, r{t) pedig a pont a gyorsulásvekto rát jelenű, azaz V = r, a = r .
5.15. ábra. Sebességvektor és gyorsulásvektor
Határozzuk meg az r = (í, t~ , ~ t ^ ) egyenlettel jellemzett pontmozgás sebesség-
A sebességvektor érintő irá nyú, a gyorsulásvektor pedig, amely a simulósíkban fekszik, a görbe „homorú” oldala felé mu tat (5.15. ábra). H a bevezetjük a v = r = = |r|t = vt jelölést, akkor az
egyenlet mindkét oldalát deriválva, a gyorsulásvektor
módon írható (ill. bontható) fel. Innen látható, hogy a gyorsulásvektor egy érintő irányú (a, = - ^ t ) és egy főnormális irányú ( a „ = v - ™ ) kompo nensből áll. Ui. a tt = 1 egyenlet mindkét oldalát deriválva, egyszerűsítés
|v| = |r| = V= Vl + 4 r + 4 / = 1+ 2 r . Az érintő egységvektor: t = -Ír = — ^ - ( 1 , 2 t, 2 r ) .
M i+ 2r A gyorsulásvektor érintő irányú komponense: a = É L t - At -(1+, 2 t, 2f ) . d t^ l + 2r
A gyorsulásvektor főnormális irányú komponense: dt
" “" ^ ( “4^ 2 - 4 / ^ 4/). l+2 r
é) Görbület, torzió. A görbülettel a görbének az egyenestől való eltérését mérjük. Legyen az r = r{t) térgörbe P és Q pontok közé eső ívének hossza A s , a P é s Q pontbeli érintők által közrezárt szög A a , a binormálisok által bezárt szög pedig A P . H a a görbén haladva Q tart a rögzített P ponthoz és a g = lim A a As-^O A? határérték létezik, akkor ezt a térgörbe P pontbeli görbületének, ennek reciprokát pedig görbületi sugárnak nevezzük. Igazolható, hogy rxr |.|3
r
A térgörbe P\, Pi, P3 pontjain átmenő kör határkörét, midőn mindhárom pont a görbén haladva tart a görbe rögzített P pontjához, a görbe P pont beli simulókörének nevezzük. A simulókör benne fekszik simulósíkban, érinti a görbét, sugara
középpontjának helyvektora: R = r + -!-n
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
402
A torzióval a térgörbének a síktól való eltérését mérjük. A térgörbe P pontbeli to rz ió já n a k (csavarodásának) abszolút értékén a II Ap c = hm —' ' A.v-^0 As
5.7.2. Térgörbék vizsgálata
403
g) A té rg ö rb e alak ja, egy p o n tjá n a k környezetében. Legyen a térgörbe egyenlete r = r ( í) , ahol 5 a természetes paraméter. Ha r ( í) az 6' = 0 hely környezetében akárhányszor deriválható, akkor itt Taylor-soxhd. fejthető, és ..
r( í) = r(0) + r'(0 )s +
határértéket értjük. Igazolható, hogy c=
r'r'Y "
rff
T.
H=M.
rXf
M egjegyzések 1. A görbület az érintövektor ívhossz szerinti szögsebessége. 2. A torzió a binormális vektor ívhossz szerinti szögsebessége. 3. Az egyenes görbülete mindenütt nulla. 4. Síkgörbe torziója mindenütt nulla, az egyenesnek nincs torziója. 5. A görbület nemnegatív, a torzió előjeles mérőszám. Példa Igazoljuk, hogy az r = (/, / \
Ha a koordinátarendszer kezdőpontja az s = 0 -nak megfelelő pont, ak kor r ( í) koordinátái kis |í| értékekre (közelítően) az alábbiak: 1 2
x^s,
y-^-s
,
cg
3
.
E közelítő térgörbének a simulósíkra, normálsíkra és rektifikáló síkra eső merőleges vetületei rendre (5.16. ábra):
térgörbe görbülete és torziója ugyanakkora.
Megoldás. Mivel r = {\,2 t,lr),
r = (0,2,4í),
r = (0, 0, 4),
ezért a görbület; |r x r | ^ 2(1+ 2 r ) _ '
Irp
(l + 2 r ) '
2 (i + 2 r) -
5.16. ábra. Térgörbe vetületei
4(i + 2 r r
2 (i + 2 r r
h) A csavarvonal. Az a sugarú és a z tengelyű körhengeren fekvő csavar vonal (5.17. ábra) vektoregyenlete;
A torzió; Irxff
r = (ö cost, a sínt, bt). J) A Frenet-képletek. A Freneí-képletek a t, n, b egységvektorok természetes paraméter (ívhossz) szerinti deriváltjait adják meg ezekkel az egységvekto rokkal, továbbá a görbülettel és a torzióval. E képletek az alábbiak:
A csavarmenetek magassága 2 b n . A gör be 0 és í paraméterű pontok közötti ívének hossza:
t' = gn, n ' = - g t + eb, b' = - cn.
í = J \t\ix - -^a~+b~'dx= yja' + b ~ t .
Bevezetve a d = ct + gb Darboux-vektort, a Frenet-formulák a követke zőképpen alakulnak: t' = d x t, n ' = d X n, b' = d x b .
/ 0
\ bk ~~ —
0
Áttérve ívhosszparaméterre (azaz termé szetes paraméterre), a csavarvonal egyenlete:
J
1 J
r ( í) = {a cos p s , a sin ps, bps) , ahol
1 +b^
1
5.17. ábra. Csavarvonal
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
404
A kísérő triéder egységvektorai rendre: t = r ' = (~apsinps, ap cosps, bp), n = ^-rr = -— = ( - c o s ps, - sin ps, 0), t h = t x n = (bps\n ps, - bp cos ps, ap). A főnormális egyenes merőlegesen metszi a z tengelyt. A csavarvonal görbülete, ill. torziója állandó, ui. a Ml . b ill. c = 2 ,2 a +b a +b A Darboux-vokXox'. d = ct + gb = (0, 0,
T>-
5.7.3. Felületi görbék vizsgálata
405
Itt nyilván feltételezzük, hogy mn ^ 0, vagyis az illető pontban a felület érintősíkja nem esik egybe a felületi görbe simulósíkjával. A görbület ilyen előállításából belátható, hogy a P pontban közös simulósíkkal rendelkező felületi görbék e pontbeli görbületei megegyeznek egy mással és a simulósík által a felületből kimetszett síkgörbe görbületével is. Az Lx~ + 2 Mxy + Ny~ kvadratikus alakot szokás a felület m ásodik alap fo rm ájá n ak nevezni. b) M eusnier tétele, E u le r tétele. Legyen m a felület P pontbeli normálisa és legyen e a felület P pontján átmenő egyik érintője (5.18. ábra). Az e és m síkját nevezzük normálsíknak. A normálsík által kimetszett görbe - a normálmetszet - P pontbeli görbülete legyen g„ = — , a normálsíkkal ^^öget bezáró sík által kimetszett görbe P pontbeli görbülete pedig
5.7.3. F elületi g ö rb ék vizsgálata
legyen g =
R
. Ekkor érvényes az alábbi tétel:
a) Felületi görbe ívhossza, görbülete. Az 1.5.4. pontban láttuk, hogy ha az r = r{u,v) felület egyenletében az u és v paraméterek között egy u = «(/), V = v{t) összefüggést írunk elő, akkor az így keletkező
r = r(«(0,v(0) egyenlet egy felületi görbe egyenlete. Vezessük be az E = r > ', F = r X , G = r > ; ún. Gauss-féle első főmennyiségeket. Felhasználva azt, hogy r = r'w + r'v , a felületi görbe a < í < (3 ívének hossza: P P Y\it = I ^Ie ú ~ + 2FÚV + Gv~ dt . Az Ex~ + l F x y + Gy~ kvadratikus alakot szokás a felület első a lap fo rm á já n a k nevezni. Legyen a felület adott P pontbeli normális egységvektora m, a felületi görbe (ugyanazon pontbeli) fönormális egységvektora pedig n. Az L = r"„m,
M = r'^m ,
N = r'^m
ún. (Gauss-féle) második főmennyiségekkel, a felületi görbe görbülete: 1 Lü~ + 2 Miiv + N i r E ú ' + 2 F ü v + Gv-
5.18. ábra. Felület normálmetszete és általánosabb metszete
5.19. ábra. A Meusnier- tétel szemléltetése
Tétel (M eu sn ier tétele). g =- ^ , c o sa
ill.
R = R„cosa. ”
Ebből következik, hogy a ferde síkmetszetek görbületi középpontjai egy R„ átmérőjű körön helyezkednek el (5.19. ábra). Ez a tétel lehetővé teszi, hogy ferde síkú metszetek görbületét a normál metszet görbülete segítségével kiszámítsuk. A normálmetszet görbülete: Lü~ + 2 Müv + Nv~ Eü~‘ + 2FÜV + Gv~ Ha a normálsíkot az m vektor körül forgatjuk, akkor különböző nor málmetszeteket kapunk.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
406
5.7.3. Felületi görbék vizsgálata
407
Tétel (Euler tétele). Van a P ponton áthaladó, egymásra merőleges két olyan normálmetszet (amelyek P pontbeli görbülete g\ és g j ), hogy a P
elliptikus,
ha /„ ( jc q ,yQ)fyy{xQ,yo)- f"y~{x^,yo) > 0 ,
ponton áthaladó bármely normálmetszet P pontbeli görbülete
parabolikus,
ha f^{xQ ,yo)f^{.XQ ,yQ )- f " f {x^, ^q) = 0,
hiperbolikus,
ha f;!^{xQ,yQ)f"y{xQ,yQ) -
g = g\ cos“ a + ^2 s'ii" oc.
(;co, >^o) < 0 .
Itt a jelenti a g és gj görbületű normálmetszetek P pontbeli érintőinek (e-nek és ej -nek) egy mással bezárt szögét (5.20. ábra). A
és g i görbületeket főg ör
bületeknek, a hozzájuk tartozó görbéket főmetszeteknek, az ej és €2 érintők irányait főirányok nak nevezzük. Ha g \ < g j, akkor a P ponton áthaladó normálmet szetek P pontbeli görbületei közül gj a legkisebb, g j a legnagyobb. Ha gj = g2 > akkor minden normálmetszet P pontbeli görbülete egyenlő, azaz g = g \= g i-
d) A Dupin-féle indikátrix. A felület P pontján átmenő minden érintőegye nesre a P pontból mérjük fel az egyeneshez tartozó normálmetszet görbületi sugara abszolút értékének négyzetgyökét (a
L x- +2 Mxy + N y - = ± \ Ez a másodrendű görbe ellipszis, párhuzamos egyenespár, ill. konjugált hiperbolapár aszerint, hogy a P pont elliptikus, parabolikus, ill. hiperbolikus. Ha a felület P pontbeli érintősíkját kis mértékben önmagával párhuzamo san eltoljuk (kissé „benyomjuk” a felületbe), akkor a sík által a felületből kimetszett görbe „hasonlíf ’ a Dupin-fél^ indikátrixhoz. A Dupin-íéXc indikátrix tengelyeinek irányai a főirányok, melyeket a ^ r ' + T j r ' alakú vektorok jelölnek ki, ahol ^ és T] értékeit (arányait) a következő egyenletből kapjuk:
c) A felület pontjainak osztályozása. A felület pontjai a főgörbületek
Tl“ E L
előjelétől, ill. L N - M~ előjelétől (és nulla értékétől) függően három osz tályba sorolhatók. Ezt az osztályozást az alábbi táblázatban foglaltuk össze. Felületi pontok osztályozása Második fő mennyiségek
Főgörbületek
A pont típusa
Példa
G = 0. N
K:= g ig i szorzatgörbületét (Gauss-féle görbületét), ill. H:= g^+ g 2 öszszeggörbületét. Az ^ ( g ] + g j ) mennyiséget szokás középgörbületnek is
eliipszoidfelület, gömbfelület pontjai
szférikus
gömbfelület pontjai
g\g 2 < 0
L N - M - <0
hiperbolikus
nyeregfelület pontjai
^1^2 = 0
LN -M ~ = 0
parabolikus
hengerfelület pontjai
speciális eset: gi = g2 = 0
L = N= M =0
planáris
sík pontjai
speciális eset: g, = g2
F M
A P pontbeli főgörbületek segítségével értelmezzük a felület P pontbeli
elliptikus
L N -M ~> 0
g\g 2 > 0
Megemlítjük, hogy ha a felület egyenlete z = f ( x , y ) és P pontjának koordinátái xq,
= l / ^ g | értéket). Az érin
tősíkban így kapott P centrumú görbe a Dupin-féle indikátrix. Egyenlete al kalmas koordináta rendszerben:
/ (-^OjJ^o)’ akkor a P pont
nevezni. Igazolható, hogy L N -M -
ill. H = E N - 2 F M + GL E G -F E G -F Ezek segítségével a főgörbületeket a K =
g --H g +K =0 egyenlet gyökei adják. Példa Számítsuk ki a z = 4x~y-2xy~ felület P( 1,0,0) pontbeli főgörbületeit, és hatá rozzuk meg a pontbeli főirányokat.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
408
5.8.1. Értelmezés, határérték, folytonosság
409
Megoldás. Célszerű a felület egyenletét az x = u, y = v választással r(w ,v) = wi + vj + (4w"v - 2 u v ~ ) k
5.8.
alakban felírni. Ekkor az adott pontban u = l, v = 0, r ' - i , r^ = j + k, E = r,;- = 1, F = r X = 0, G = t ' i = \ l . A felületi normális: m = 0 i-- 4 : , 1 K így L = r" m - 0,
M = r,,.m =
A szorzatgörbület és összeggörbület: j. L N - M 64 £ G -F " 17- ’ A és g2 görbületeket a r+ -
o
VÍ7’
N = r"m = -
E N - 2 F M + GL E G -F„
nVT?'
5.8.1. Értelmezés, határérték, folytonosság
VÍ7-
nVT? ■
64 ■= o 17-
egyenlet gyökei adják: -1 -4 W Í \i4 rf ’ A főirányok meghatározása;
0
17 4
VÍ7
VÍ7
A SKALÁR-VEKTOR FÜGGVÉNY
_- 2 + 4 m i \i4vf
Innen, ha rj = 4, akkor = 1+ V273 és V273. A két főirányba mutató vektor: ^ir,; + Ti,r; = (1 + V273)i + 4 j + lók, ^2'*,', + % r; = (1 - V273 )i + 4 j +16k. é) Geodetikus vonalak. A felületi görbék között nevezetesek a geodetikus vonalak. Ezek olyan görbék, melyeknek minden pontjában a fönormális egységvektor és a felületi normális egy egyenesbe esik; simulósíkjuk a felületre merőleges. Egy r = r(í') felületi görbe P pontbeli geodetikus görbülete a görbe P pontbeli érintősíkra vetett vetületének görbülete. Ennek értéke: y:= g(bm ) = r'r"m ahol b a felületi görbe binormális egységvektora, m pedig a felület normá lis egységvektora. Innen látható, hogy a geodetikus vonal geodetikus gör bülete minden pontban nulla (mivel b merőleges m-re). A felület két adott pontját összekötő, legrövidebb ívhosszúságú felületi görbét stacionárius görbének nevezzük. A stacionárius görbe egyúttal geo detikus vonal is, a geodetikus vonal azonban nem mindig stacionárius görbe.
a) Értelmezés. A háromváltozós függvény felfogható olyan függvényként is, amely a tér pontjaihoz egy-egy valós számot rendel. A tér pontjai vi szont vektorként kezelhetők. így a háromváltozós függvény vektorhoz valós számot rendel. Definíció. Az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartom ánya vekto rokból, értékkészlete valós számokból áll, skalár-vektor függvénynek nevezzük. Az u skalár-vektor függvény r helyen vett helyettesítési értékét, a szoká sos módon, u{r) jelöli. De néha magát a függvényt is így jelöljük. Ha r = (x ,y ,z ) , akkor u(r) felírható u ( x , y , z ) alakban is. Legtöbbször ezt a felírási módot használjuk. A skalár-vektor függvényt szokás skalártérnek vagy skalármezőnek is nevezni. Példa Skalár-vektor függvényt adunk meg, ha a tér minden egyes pontjához az illető pontbeli hőmérsékletet rendeljük. b) Á brázolás. A skalár-vektor függvényt szintfelületeivel ábrázoljuk. Az u függvény egy szintfelületét azok az { x , y ,z ) pontok alkotják, amelyek ben u { x ,y ,z ) = uq, ahol uq állandó. Egy-egy szintfelület egyenlete tehát u ( x ,y ,z ) = UQ. Példák 1. Ha u hőmérsékletet jelent, akkor sa.u{x,y,z)= = iiq szintfelület azokból a pontokból áll, ahol a hőmér séklet Uq . 2 . Ábrázoljuk szintfelületeivel azt a skalár-vektor
függvényt melynek egyenlete: u = z - ~ { x ~ + y ~ ) . Megoldás. A szintfelületek egyenlete: U(j = z-~~{x~+y^), amiből z =Uq+ ^ ( x^ +y~). Innen látható, hogy a szintfelületek z-tengelyű for gási paraboloidok (5.21. ábra).
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
410
c) Határérték, folytonosság. Az u skalár-vektor függvény határértéke az rg helyen a véges A szám, ha bármilyen £ > 0 számhoz van olyan 5 > 0
5.8.2. Differenciálás
411
Ha bevezetjük a
szám, hogy ún. nablavektort, akkor gradw formálisan a V vektornak és az u skalámak a szorzataként írható fel az alábbi módon:
\ u { r ) - A\ < e , hacsak 0 < |r - ro| < 5. A határérték jelölése;
gradw = Vw.
lim u{r) = A. r-H>ro Az u skalár-vektor függvény folytonos az Vq helyen, ha itt van helyet tesítési értéke, és az megegyezik a határértékével, azaz ha
A V jelet (szimbolikus vektort) a továbbiakban úgy használjuk, hogy az a mögötte álló mennyiségre hat. Mégpedig úgy, hogy a formális szorzás elvégzése után a kijelölt deriválások elvégzésére ad utasítást. A gradiens segítségével felírható az w függvény teljes differenciálja:
w(ro) = Hm w (r). r—>ro
du = ^ d x + ^ d y + ^ d z = (grad u)d r, ahol dr = dxi + dy] + d z k - (dx,dy,dz).
5.8.2. Differenciálás Definíció. Az u skalár-vektor függvényt az r helyen differenciálhatónak mondjuk, ha annak Aw = w(r + Ar) - u{r) növekménye előállítható Aw = g •Ar + h(r,Ar)Ar alakban, ahol h(r,A r) -> 0, ha Ar -> 0. A g vektort az u függvény deriváltjának vagy gradiensének (gradiens vektorának) nevezzük. A gradiens jelölései: , du gradw vagy u vagy — . dr A derivált értelmezéséből következnek az egy- és többváltozós függ vények analíziséből ismert deriválási szabályok megfelelői: grad(cw) = c gradw,
c állandó;
grad(w + v) = grad u + gradv;
grad(p(w) =
Vgrad u - u grad v ........................
grad u
szont következik, hogy adott P pont beli gradiensvektor merőleges a P ponton átmenő szintfelület P pont Szintfelület beli érintősíkjára (5.22. ábra). Rövi den fogalmazhatunk úgy, hogy a 5.22. ábra. A gradiensvektor gradiens merőleges a szintfelületre. merőleges a szintfelületre A gradiens ezen tulajdonságánál fogva felhasználható felület normálvektorának meghatározására. Az u { x ,y ,z ) = 0 felület ugyanis nem más, mint az u = ii(x ,y ,z) skalár-vektor függvény w = 0 szintfelülete. így a felület normálvektora: n = gradw = 4 ^ i + ^ j + - ^ k . dx őy ŐZ
grad(wv) = v grad u + u grad v; , í u'\
Ha a dr elmozdulásvektor érintő leges a szintfelülethez, akkor du = 0 (ui. ha w=konstans, akkor du = Q). A í/w=(grad u)dr=0 egyenletből vi
v?í:0;
Ha a felület egyenlete z = f { x , y ) alakú, akkor ezt az egyenletet w = z - f { x , y ) - 0 alakba írva, a normálvektor:
gradw.
A gradiens tehát vektormennyiség. A Au előbbi előállításából követke zik, hogy
Az u függvény adott e irányban vett iránymenti deriváltja:
ahol e = cosai + cospj + cosyk (tehát e egységvektor!).
Lineáris algebra, térgörbék vektoranalízis
412
A (gradw)e iránymenti derivált értéke akkor a legnagyobb, ha e iránya és gradw iránya megegyezik, azaz ha e =
Ekkor tehát
|gradw|
5.8.3. Integrálás
413
míg a koordináta szerinti vonalintegrálok: u{r)dx = u (x ,y ,z )d x ;
u (r)dz = u { x , y ,z ) d z .
m a x ^ = ( g r a d „ ) | ^ = |g rad „|. Innen látható, hogy (adott pontbeli) gradiens abszolút értéke egyenlő az (adott pontbeli) iránymenti derivált maximumával.
u ( r ) d y = u (x,y ,z )d y;
g Ezeknek az integráloknak az értéke skalár (szám). Értelmezhető a függvény vektor értékű vonalintegrálja is: w (r)í/r:= i u {r)d x-¥ ]^ u {r)d y + k ii(r)dz.
Példa 1 — skalár-vektor fiiggvény P (l,l,-V 8 ) Számítsuk ki az u = —1 ~ r x~ + y~+ z pontbeli, a = 2 i - j + 2k irányban vett iránymenti deriváltját és ennek maximumát. Megoldás. Mivel du __ dx
- 2x
_ -Ix
du _ - 2 z dz ^4 ^
du _ - 2 y
[x~+y~ + z~)
'
A P pontbeli gradiens: , , -2(M + l - j - V 8 k) 1 g rad „l^= ---------- iöö---------- = - ^ ( U , - V 8 ) . Az a vektor irányába mutató egységvektor;
e = a«=f- = i (2 i- j + 2k) = i(2,-l,2). |a
3
3
Az iránymenti derivált: f
g
g
g
M indegyik integrál kiszámításához a függvényt, vagyis az u (x ,y ,z ) integranduszt lokalizálni kell a görbére. Példa Számítsuk ki az u(r) = x y - z skalár-vektor függvény vektor értékű vonalinteg rálját, ha a g görbe az r = (cos/,sin t,t) csavarvonal 0 < í < 2Jt íve. Megoldás. Lokalizáljuk a függvényt a görbére. Mivel X = co st, = sin/, z =
ezért [x~+y~ + z'')
g
t,
ezért a lokalizált függvény: c o s/sin /- / . A differenciálok: d x = -sin/ö?/, d y = cos í d i , d z =d t. így a vonalintegrál: 2tc 2rt J w(r) í/r = IJ (cos / sin/ - / ) ( - sin/) űf/+ j J (cos / sin/ - / ) cos / í//+ « 0 0 2n +k J (cos / sin / - /) í// = -2jc(i + Tck) = -27c(l,0,7r).
= (grad„)e = - i ( U , - V 8 ) 4 ( 2 , - l , 2 ) = ^
Az iránymenti derivált maximuma: max
50
ds
50
b) Felületi in teg rál. A 3.9.2. pontban értelmeztük a háromváltozós függ vény felületi integrálját. Ugyanazt az értelmezést használva, az u függvény F felületmenti felszín-integrálja (ha dS a skaláris felületelem): I w(r) dS = F
5.8.3. Integrálás
u ( x , y ,z ) dS F
A különböző vetületek szerint vett felületi integrálok: a) V onalintegrál. A 3.9.1. pontban értelmeztük a háromváltozós függvény vonalintegrálját. Ugyanazt az értelmezést használva, az u függvény g görbe menti ívhossz szerinti vonalintegrálja'.
j j w ( r ) k j f = ‘^ u {x ,y ,z)d x d y , F F
J J u { Y ) \ d í = j{ u ( x ,y ,z )d x d z ; F F
u {r)\d i = u (r )d s =
u ( x , y ,z ) d s ,
F
u (x ,y ,z )d y d z. F
Ezeknek az integráloknak az értéke skalár (szám).
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
414
Értelmezhető a függvény vektor értékű felületi integrálja, más szóval a skaláris tér fluxusa is a következőképpen:
J u{r)dí = F
5.9.1. Értelmezés, határérték, folytonosság
415
c) Térfogati integrál. Az u skalár-vektor függvény térfogati integrálján a 3.8.1. pontban megismert hármas integrált értjük.
u {x ,y ,z)d í, F
5.9.
ahol d f az F felület felületelem-vektora. Ha a felület egyenlete z = f {x,y) alakban van adva, akkor
A VEKTOR-VEKTOR FÜGGVÉNY
5.9.1. É rtelm ezés, határérték, folytonosság df = vagy ennek ( - 1 ) -szerese attól függően, hogy a felületet hogyan irányítjuk. Ha pedig a felület egyenlete r = r{u,v) alakú, akkor
a) Értelmezés. A fizikai alkalmazásoknál jelentősek az olyan függvények, amelyek vektorhoz vektort rendelnek. Definíció. Az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya is és értékkészlete is vektorokból áll, vektor-vektor függvénynek nevezzük,
d f - (r ^xr^ )d u d v, vagy ennek a ( - 1 ) -szerese. M indegyik integrál kiszámításához a függvényt, vagyis az u {x ,y,z) integranduszt lokalizálni kell a felületre. Ez azt jelenti, hogy ha a felület egyenlete z = f { x , y ) , akkor az u ( x , y ,z ) függvénybe z helyére az f { x , y ) kifejezést kell beírni. H a pedig a felület egyenlete
A v vektor-vektor függvény r helyen vett helyettesítési értékét, a szoká sos módon, v (r) jelöli. De néha magát a függvényt is így jelöljük. A v(r ) felírható koordinátáival is
r = r(w,v) = x{u,v)\ + y{u ,v)\ + z(w,v)k
alakban. De használható az egyszerűbb v = (V|,V2 ,V3) jelölés is. Látható,
alakú, akkor a függvénybe x, y, z helyére rendre az x(u,v), y(u,v), z(u,v) kifejezéseket kell helyettesíteni. E helyettesítések elvégzése után a felületi integrálok kettős integrálokká válnak. Példa Számítsuk ki az w(r) = r “ = x" + + z“ skaláris tér fluxusát a z = x~ + y" felü let z < l darabjára vonatkozóan, felfelé - vagyis növekvő z értékek irányába mutató normális (dí vektor) esetén. Megoldás. A függvényt lokalizáljuk a felületre. Ez most a z = x ' + y~ helyettesí tésből áll. Tehát a lokalizált függvény: + y~ + {x~ + y~)~. A felfelé mutató dí vektor: d í = {~ lx,-2y,\)dxdy. A felületdarab egy olyan forgási paraboloid, amely az x~ +y~
-=0
(p=Oí
4
6
■v{Y) = v^ {x,y,z)i + V2 { x , y , z ) \ + v - i { x , y , z ) k
hogy a vektor-vektor függvény megadása három skalár-vektor függvény, , V9, V3 megadásával történhet. A vektor-vektor függvény elnevezés helyett használatos a vektortér vagy vektormező elnevezés is. A fizika igényeihez igazodva, ebben a téma körben gyakran mi is a vektortér elnevezést használjuk, annak ellenére, hogy ez más értelemben is használatos. Példa Vektor-vektor függvénnyel írhatjuk le pl. egy áramló folyadék sebességviszo nyait. Itt a tér minden pontjához egy-egy sebességvektort rendelünk. Ilyenkor sebességtérről beszélünk. Hasonlóan beszélhetünk erőtérről is. A lineáris vektor-vektor függvényt tenzornak nevezzük (lásd az 5.6. pontban).
Áramvonalak
• k =. 5?: ^k. 6
Itt kihasználtuk azt, hogy a coscp és sin 9 függvény [0,2tt] intervallumra vo natkozó határozott integrálja nulla.
5.23. ábra. Áramvonalak
b) függvény ábrázolása nehézkes. Egyik lehetőség az áramvona lakkal (erővonalakkal) való áb rázolás. A vektortér áramvona lai azok a görbék, melyeknek minden pontjában az érintő irá nya megegyezik az illető pont hoz tartozó v(r) vektor irányá(5.23. ábra).
Ábrázol
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
416
Ha az áramvonal egyenlete r = r(t), akkor a <^r = c/xi + dyj + dzk vek tor az áramvonal érintő irányú vektora. Mivel ez a v = vji + V2j+ V 3IÍ I
j
k
d r XV = dx dy dz = 0. Vi
2 V3
V
Innen az áramvonalak differenciálegyenlet-rendszere dx _ d y _ dz V|
V')
V
A határérték jelölése: lim v(r) = a . r-^ro alkotó vj, V2, V3 függvényeknek is van határértékük az fq helyen. Ez fordítva is igaz. A V vektor-vektor függvényt az Tq helyen folytonosnak mondjuk, ha itt van helyettesítési értéke, és az megegyezik a határértékével, azaz, ha v (ro )= lim v (r ). r->ro
3’
melynek megoldása az áramvonalak egyenletét adja. Egy másik ábrázolási mód az áramcsővel való ábrázolás. Egy zárt gör bén áthaladó áramvonalak áramcsövet alkotnak (5.24. ábra). Példa Határozzuk meg a v(r) =yzi + xz} + xyk vektortér áramvonala inak egyenletét. Megoldás. Az áramvonalak differenciálegyenlet-rendszere: dx _ d y _ dz yz xz xy ’ mely a következő három differenciálegyenletből áll: xdx ~ ydy, xdx ~ zúfe; ydy - zdz . Az egyenletek megoldásai: ' > ' 1 0 x - + C f = r ; x - ^ C i = z ~ - y - + C i = z-. A C[, C2, C3 integrációs állandók nem függetlenek egymás
5.9.2. D ifferenciálás a) A derivált. Definíció. A v vektor-vektor függvényt az r pontban differenciálhatónak nevezzük, ha a függvény Av = v (r + A r ) - v ( r ) növekménye előállítható Av = DAr + h(r,A r) alakban, ahol D csak az r-től függő lineáris leképezés, és lim h = 0 . Ar->0 Ar A D lineáris leképezést a v vektor-vektor függvény differenciálhányado sának, vagy deriválttenzorának nevezzük. Jelölései;
5.24. ábra. Áramcső
tól: a második egyenletből kivonva az elsőt, az y “ + c | - C f = z“ egyenlethez jutunk. Ezt összehasonlítva a harmadik egyenlettel, azt kapjuk, hogy C3" = c | - Cf. Bevezetve pl. az x = Cj sh / paraméterezést, az áramvonalak (mint térgörbesereg) egyenlete: x = C, sh/, y = ±C^cht, z = ±-/5 " + C fs h ^ . c) Határérték, folytonosság. A v vektor-vektor függvény határértéke az tq helyen az a vektor, ha akármilyen e > 0 számhoz van olyan 5 > 0 szám, hogy
417
Ha a V függvénynek az rg helyen van határértéke, akkor a vektorteret
vektorral párhuzamos, ezért
^
5.9.2. Differenciálás
lv ( r ) - a |< 8 ,
D = - ^ = G radv = v ' dr Ha
V
= vii + V2j + V3k , akkor 3v| dx dvj D= dx dv 2 dx
3vi dz dvo dz 9 v3 3 v3 dz dy
dy dv 2
A vektortér teljes differenciálja (iránydifferenciálja): d \ = B d r = {dr ■V)v, adott e irányban vett iránymenti deriváltja pedig
hacsak az r pont az tq pont 5 -környezetébe esik, azaz ha 0< |r-ro|< 5.
ahol e egységvektor, V pedig a nablavektor.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
418
Differenciálási szabályok: (u + v )' = u ' + v ' , (m v )' = V o u
5.9.2. Differenciálás d
(u = gradw)
+ u \',
d
d ^
419
deriválást kijelölő jellegét. így számítottuk egy skaláitér
gradiensét, ill. egy vektortér divergenciáját és rotációját. Néhány formális szabály;
(uv)' = vu' + u v',
div(u + v )= V(u + v) = Vu + Vv = divu + divv;
(u X v ) ' = - V X u ' + U X v ' ,
rot(u + v) = V X (u + v) = V x u + V X v = rőt u + rőt v; div(wv)= V(uv) = mV v + vVw = wdivv + vgradw; b) A divergencia és a rotáció. A v vektortér deriválttenzorának első skalárinvariánsát a vektortér divergenciájának, vektorinvariánsának kétszeresét pedig a vektortér rotációjának nevezzük. Jelölésük és értelmezésük: T7 divv = Vv i j k rotv=Vxv = A A A dx dy dz Vi V2 V3
rot(wv) = V X (uv) = u (V x v) + (Vu) x v = w r o t v - v x grad u\ div(u x v) = V(u X v) = V (ux v) + V(u x v) =
3vi 3 v9 Bv3 + + dx őy őz
= (V X u)v - u (V x v) = v rőt u - u rőtv; rot(u X v) = V X (u X v) = V X (u x v) + V x (u x v) =
dv-i dy
3v:! dx
dv-, dz
dv J+ dz
dx
dy
k.
= (v V )u -( V u )v + u ( V v ) - ( u V ) v = = v(V ou) - vd ivu + u d ivv - u(V ov).
Ha a V vektortér divergenciája nulla, akkor a teret forrásmentesnek, ha rotációja nulla(vektor), akkor örvénymentesnek nevezzük.
Itt felhasználtuk az a x ( b x c ) = (a c ) b -(a b )c kifejtési tételt, és az (ab)c = a(b oc) összefüggést. A felső nyíl (-i) azt jelenti, hogy a V vektor
Példa Határozzuk meg a v =xyi +yz}+xzk vektortér deriválttenzorát, divergenciáját és rotációját. Megoldás. Mivel vj = xy, V2 = yz, V3 = xz, ezért
csak a nyíllal jelzett vektorra hat.
dvj 9vi 3v] dz dx dv2 dv2 dv2 D= dz dy dx dv^ dv^ dv^ dz dy dx 9vi divv = Vv = dx i
dv2 dy
y x 0 0 z y z 0 X
A nablavektor segítségével értelmezhető a Laplace-operátor. VV = V- = A = X - + ^ + -^' dy~ dz~ amely, mint látható, skaláris differenciáloperátor. Néhány további alkalmazás: rőt rőt v = V X (V X v) = V (V v) - (V V)v = grad divv - Av; rotgrad w = V x (Vw) = (V x V)u = 0w = 0;
d v’3
dz
_ = _y+ z + x;
j k
rotv = V x v = ±
A A =-y i-z i-x k .. dy dz xy yz xz
c) M űveletek a nablavektorral. A V (jelképes) vektorral formálisan úgy számolhatunk, mint más vektorral, figyelembe véve a koordináták
div ro tv = V(V X v) = (V X V)v = Ov = 0. Példák 1. Alkalmazzuk a Laplace-operátort az u = u{x,y,z) függvényre. Megoldás.
Am= ^ dx~
+ - ^ + - ^ = V( Vw) = divgrad u. dy~
dz~
2. Számítsuk ki divr, rotr, grad|r| és d iv -í^ értékeket, ha r = ;ci + k i"
+ zk.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
420 Megoldás.
i j k rotr = V x r = A . A A = 0; d x dy dz X y z
divr = Vr = | ^ + ^ + - ^ = 3; őx
ay
óz
grad|r| = V|r| = v V i^ = — ^ • 2r = | ^ = r°; 2V r IM d i v ^ = V Jl= : r' r
5.9.3. Integrálás
421
Ezek a vonalintegrálok akkor is léteznek, ha a v függvénynek a g görbe mentén véges számú szakadása van. A zárt görbe menti vonalintegrálok jelölése.: o \( r )d r ;
|v ( r )x c /r .
á?
g
Ha a g görbe egyenlete r = r(í), a < í < [3, akkor az integrálok kiszámí tásának módja: P v (r ) í/r = fv (r (0 )r(0 í/í
5.9.3. Integrálás I v(r) X c/r = J v (r (0 ) x r{t) dt a) Vonalintegrál. Legyen a v vektor-vektor függvény egy tartományon folytonos, g pedig e tartományban haladó, szakaszonként sima, irányított görbedarab. Osszuk fel a görbedarabot n számú ívre. A k-aáik ívnek megfe lelő húrvektort jelölje Ar^. Vegyünk fel ezen az ívdarabon egy pontot, melynek helyvektora
(5.25. ábra). A fenti feltételek esetén mind a
A v ( r ) integranduszba itt r helyére az r(t) kifejezést helyettesítettük (lokalizáltunk). Ez egyenértékű azzal, hogy a v függvény x, y, z változói helyére a görbe egyenletét alkotó x (í), y{t), z(t) kifejezéseket helyettesítjük. Ha V erőtér, akkor a skalárértékű vonalintegrál munkát jelent. Ha a g görbe zárt és v sebességtér, akkor az o v t/r vonalintegrált cirkulációnak
n
Jv (q ^ )A r^ , k=\
® mind pedig a n
g nevezzük. A V = V]i + V2J +V3IÍ vektortér skalárértékű vonalintegrálja koordináta szerinti vonalintegrálokra visszavezetve:
Sv(q^)xAr^
5.25. ábra. Irányított görbe és felosztása
integrálközelítö összegek soroza tának van a felosztástól független határértéke, ha a felosztást
minden határon túl finomítjuk. Az első sorozat határértékét a v vektortér, azaz vektor-vektor függvény g görbe menti skalárértékű vonalintegráljá nak nevezzük. Jelölése és értelmezése: n y{v)dr= lim Yv(q^)Ar^. ^
m a x |A ry ^ | -»0
A második sorozat határértéke a v vektortér g görbe menti vektorértékű vonalintegrálja. Jelölése és értelmezése: v(r)Xí/r= lim ^ v ( q ^ ) x A r ^ . max|Ari|-^O^^j
{v]dx + v^ dy + v^^dz) ,
ydr =
k=]
g
g
vektorértékű vonalintegrálja pedig V X c/r = i {vidz - v^dy) + j (v^dx - vjc/z) + k {v\dy —v2dx). g
g
g
g
Az itt értelmezett vonalintegrál tulajdonságait lásd a 3.9.1. pontban. Mind az elmélet mind a gyakorlat szempontjából igen fontosak azok a vektor-vektor függvények, amelyek skalárértékű vonalintegrálja független a vonal (a görbe, integrációs út) alakjától. Erre vonatkozik az alábbi tétel. Tétel. Az egyszeresen összefüggő tartományban értelmezett v vektortér skalárértékű vonalintegrálja akkor és csak akkor független az úttól, ha a vektortér örvénymentes, azaz ha ro tv =
0
.
422
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
Ekkor a vonalintegrál értéke csak az út kezdő- és végpontjától függ. Ha tehát rotv = 0, akkor a tartományban haladó bármely zárt görbe
5.9.3. Integrálás
423
Innen iA = 0, dy = Q, í/z = í/í. A lokalizált v vektor: V = (t,a ,-a ),
Így
v d r = 0 + 0 - a d í = -a d t.
mentén
0
')v(r)í/r = 0. Ennek fordítottja is igaz. Ha a vektortér bármely zárt görbe menti integ rálja nulla, akkor rotv = 0, és így a vonalintegrál független az úttól. Ha az egyszeresen összefüggő tartományban a vektortér örvénymentes ( rotv = 0 ), akkor itt létezik egy olyan u skalártér, ún. potenciálfüggvény, amelyre )v{r)dr = u { B ) - u { A ) , ahol A, ill. B ?Lg görbe kezdő-, ill. végpontja. Ilyenkor tehát a vonalinteg rált úgy számítjuk, mint az egyváltozós függvény határozott integrálját (lásd még e fejezet 5.8.5. pontjában a potenciálfüggvényt). Példa Számítsuk ki az r = (ízcos/,asiní, — ) csavarvonal 0 < (< 2 n íve és az ív 271 két végpontját összekötő egyenes szakasz alkotta zárt görbe mentén (5.26, ábra) a v=zi + xj + (y -x )k függvény vonalintegrálját. Megoldás. A zárt görbét a
z =4 ~ , 2 %’ A lokalizált v vektor: (-^ ,
dz = ~ d t . 2tc
T
pontban a felületre merő
leges vektor, amelynek abszolút értéke a it-adik rész területével egyenlő. Irá nyítása F irányításának megfelelő. Kimutatható, hogy a fenti feltételek esetén mind a n
^ v (q ^ )A f^ , k=l
mind pedig a
5 ^v(qjt)xAfjt k=\ integrálközelítő összegek sorozatának 5.27. ábra. van a felosztástól független véges határ Irányított felület és felosztása értéke, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk. Az első sorozat határértékét a v vektortér F felület mentén vett skalárértékű felületi integráljának (skaláris fluxusnak) nevezzük. Jelölése és értelmezése: n
Ív ( r)í/f = l i m Y v(q^)A f;t. F
ahol 5 jelenti a részfelületek átmérőinek maximumát. A második sorozat határértéke a v vektortér F felület mentén vett vektorértékű felületi integrál j a (vektoriális fluxusa). Jelölése és értelmezése: n í v(r) x d f = lim y v(q^) x Af^ . o-^O, 1
v d r= (—^ /s in /+ ű " cos" t+— ú n t —~cost)dt. 2n 2n 2n Ennek integrálja: -7
pontot (5.27. ábra). Legyen továbbá Af^ a
űcos/, asin / - acos/) .
2n Ezt felhasználva,
"V
b) Felületi integrál. Legyen egy tartományon v folytonos vektor-vektor függvény, F pedig mérhető felszínű, irányított felületdarab. Osszuk fel F-et n számú részre. Vegyünk fel a /:-adik részfelületen egy helyvektorú
és g, ívekre bontva,
| v í / r = ívúfr + (pví/r. g gl g2 A gj görbe esetében x = acost, dx = - a sin tdí, y = asint, dy = acostdt,
V
l y d r = j ( - a d t ) = a. gl ' A zárt görbe menti vonalintegrál értéke: ^ \ d r = a~n + 2 a. Ennek integrálja:
A
J ví/r = J Í- - ^ / s in / + a"cos"/ + -^(sin/-cosOjű^/ =
0 A g2 görbe (egyenes) paraméteres egyenletrendszere: x = a,
+
y-0,
F
z = t.
^=1
Ezek a felületi integrálok akkor is léteznek, ha a v függvénynek az F felület mentén véges számú szakadása van.
424
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
Ha az F felület egyenlete r = r{ u ,v ), akkor az integrálok kiszámításának módja (a vektortér lokalizációjával): v ( r ) í/f =
v(r(M ,v))í/f,
ill.
5.9.3. Integrálás
425
Példák 1. Számítsuk ki a v =yzi + x zj+ x yk vektortér skaláris fluxusát a z = xy felület azon darabjára nézve, mely a 0 < j < VT; 0 < x < 1 tartomány fölött van. Megoldás. A felületi normálist irányítsuk felfelé. A felületelemvektor felfelé irányítva:
J v (r)x jf= ^
ahol
d f = ( - z 'i - Zyi + k)dxdy = {-yi - x i + k)dxd y.
v ( r ( w ,v ) ) x c / f , T'uv
az F felületdarabnak megfelelő tartomány az {u,v) síkon, d f
pedig a felületelemvektor.
A vektortér lokalizálva a felületre: V l=xy 2i. + x 2yj. + x y,k . A skaláris fluxus:
1
d f = ( r ' X r'y)dudv.
F
Ha a felület egyenlete r = f ( x , y ) , akkor a vektortér lokalizálása annyi ból áll, hogy a vektorteret alkotó vj, V2 , V3 függvényekbe z helyére az f { x , y ) kifejezést helyettesítjük. A felületi norm álist (a felületelemvektort) irányíthatjuk lefelé is, felfelé is, ill. kifelé vagy befelé. A kettős integrál tulajdonságai öröklődnek a felületmenti integrálokra. Ha V sebességtér, akkor az F menti skaláris fluxus azt az anyagmennyi séget jelenti, amely az időegység alatt a felület egyik oldaláról a másikra áramlik át. H a F zárt felület, akkor a felületi integrál jelölése:
§ )v (r)í/f. Ez az integrál sebességtér esetén az időegység alatt a felületbe beáramló és onnan kiáramló anyagmennyiségek különbségét, az ún. áramlási feles leget jelenti. Valóságos folyadékáramlás esetén ez az érték nyilván nulla. Könnyű azonban olyan vektorteret találni, melynek zárt felületre vett felü leti integrálja nullától különböző. Ekkor a felület által határolt térrészben új áramvonalak (erővonalak) keletkeznek, vagy vesznek el. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a tér forrásos. Az olyan pontot, amelyben új áramvonal keletkezik, forrásnak, ahol áramvonal vész el, nyelőnek nevezik. Forrás mentes vektortér divergenciája nulla. c) Térfogati integrál A V vektor-vektor függvény térfogati integrálját a háromváltozós függ vények hármas integráljai segítségével számíthatjuk ki: J \ { r ) d V = i J V i{x ,y ,z)d x d y d z + \ V
1
-Jx
J J v (r)í/f= j
Jv/í/f = J
x = 0 y= 0
1 _ _/ X __ 3 x 4 . 2X 4 2 2
=J
-Jx
j ( - x y ^ - x ^ y + xy)dxdy =
x= 0y= 0
dx = 1 240'
2. Számítsuk ki a zárt felület menti integ rálját a v = (x -2 > ’)i+(z + x)j+3k vektortér nek, ha a felület az x~+y~+z~ =4, z > 0 fél gömbfelület és az azt lezáró z = 0, x~ +y~
V2 ( x , y , z ) d x d y d z + /,=
V
+k
V2Íx ,y , z)dxdydz.
Jv/í/f = J v=0
J (8cos^M•cos"v- 1 6 cos^M•sinV•cosV +8cos'w•sinm•sinv +
í(=Ov=0
+8 cos^ w•sin V■cos V+12 sin w•cos«) dudv =
+ 1271.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
426
A körlap a z = 0 síkon van. A z = 0 síkra lokalizált vektortér: V/ = (x-2_y)i + xj + 3 k . A z = 0 sík normálisa a k vektor. Ez befelé mutat, ezért a felületelemvektort el lentétesen irányítjuk; d í =-kdxdy.
5.9.4. Integrálátalakító tételek
h) A Stokes-tétel. Ez a tétel a vektor-vektor függvény zárt görbére vonat kozó integrálját felületi integrállá alakítja át. Tétel (Stokes-tétel). Legyen v folytonosan differenciálható az irányított, korlátos és sima F felületdarab pontjaiban. Ekkor \d r =
A körlapra vonatkozó felületi integrál: 2 lt
(p=0/-=0
T
A keresett integrált a két integrál összege adja: gv(r)c/f=/,+/2 = F
3 ■
á) A G auss-O sztrogradszk ij-tétel. A tétel segítségével a vektor-vektor függvény zárt felületre vonatkozó felületi integrálja térfogati integrállá ala kítható, vagy fordítva. Tétel (Gauss-Osztrogradszkij-tétel). Legyen v folytonosan differenciálható az F felület által határolt V térrészben. Ekkor \d í
=
A tételből látható, hogy forrásmentes vektortér ( divv s 0 ) zárt felületre vonatkozó ^ ’Vűff átáramlási feleslege nulla. Példa Számítsuk ki a v = (2;c + z)i + (x“ + 5 y - 3z)j + {xy~ + z)k vektortér skaláris flu xusát az x~ +y~ + z~ =4 gömbfelületre, kifelé mutató normális mellett. Megoldás. A Gauss-Osztrogradszkij-i
menti integrálja (cirkulációja) nulla. Látható továbbá, hogy a jobb oldalon álló felületi integrál értéke minden olyan - a feltételeknek egyébként eleget tevő - felületre ugyanaz, amelynek határgörbéje a g görbe. Ezt felhasznál va, lényegesen megkönnyíthetjük a felületi integrál kiszámítását. Ha a vektortér v = P { x ,y )i + Q {x,y)] alakú (tehát síkbeli), akkor ro tv = 4 ” -
a>-
|k. Legyen az F felület az { x ,y ) síknak egy zárt része (7),
melyet a g görbe határol. Ekkor d f= k d x d y . Ebben a speciális esetben a Stokes-tétQl alakja —amit Green-formulának neveznek - a következő: dx
,
feltéve, hogy F korlátos és van felszíne, d í pedig kifelé mutat.
F
ahol g az F felület határgörbéje. Feltételezzük továbbá, hogy g sima, irá nyítása pedig olyan, hogy F normálvektorával szembenézve, a görbén kijelölt haladási irány pozitív (az óramutató járásával ellentétes). A tételből látható, hogy örvénymentes vektortér ( r o t v = 0 ) zárt görbe
1Ő71
5.9.4. Integrálátalakító tételek
Jl, á i w d V
ro tv í/f
2
U _ = ^^ s,d í = -\ \3 d x d y = -3 J \ r d r d ^ = -\lTZ. T
427
dy
dxdy =( )(Pdx + Q dy).
M egjegyzés. A formula természetesen csak akkor érvényes, ha P és g folytonosan differenciálható a T zárt tartományon. Példák 1. Igazoljuk a Stokes-léXQli a benne szereplő integrálok kiszámításával, ha a vektortér v = (x + y + z)i + xz j + y k, az F felület pedig a z = x~ + y~ paraboloid z < 4 és >^<0 része (5.29. ábra). Megoldás. Először kiszámítjuk a felületi integrált. Irányítsuk a felületi normálist felfelé. Ekkor d f = ( - 2x i - 2 y j + k)dxdy. Mivel rőtV = VxV = (2;^-x)i + j+ ( z - l ) k , ezért a rotv vektor lokalizálva a felületre: (rotv)^ = (2 y - x)i + i + (x^ + y~ - l)k.
V
Tehát Itt felhasználtuk, hogy jjJ dV a V térrész, jelen esetben a 2 sugarú gömbtest térfogatával egyenlő.
/ = Jrőtví/f =J (-4xy + 2 x ~ - 2 y + x~ + y~-l)dxdy,
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
428
ahol a T tartomány az F felületdarab vetülete az (x, y) síkon. Ez egy origó közép pontú, 2 sugarú körlap „alsó” fele. Célszerű az ;c=rcos(p, >’= rsin(p transzformá cióval polárkoordinátákat bevezetni: 2)1
1= j
5.9.4. Integrálátalakító tételek
429
A go görbe irányítása folytatólagos a g, görbéhez viszonyítva (5.29. c ábra). így a g2 görbementi integrál:
2
j(-4r~sin(pcos(f + 2r~cos~(p-2rsin(p + r'-l)rd rd (p = 6 n + — . A teljes zárt görbére vett integrál:
(p=n r= 0
| v í / r = ^ví/r+ I vdr = 7, + / , = 6tc + 1 6 - - ^ = 6k+ 32 ^ S
-2
b)
Sl
gl
A 5'/o^es-tételben szereplő bal oldali és jobb oldali integrálok valóban meg egyeznek. Számítsuk ki most rőt v felületi integrálját az 5.29. d ábrán látható és F^ sík felületekre, tehát olyan felületdarabra, amelynek határgörbéje ugyanaz a görbe, mint az előbbi paraboloid határgörbéje. Az F| felület egyenlete: z = 4; a felületelemvektor: d f - d x d y k . A rőt v vektor lokalizálva az F\ felületre: (2j^-x)i + j + 3k. így JJ ro tv í/f = j j Idxdy = 6n, F,
5.29. ábra. Paraboloid darab és határgörbéje Most kiszámítjuk a zárt görbementi integrált. A g görbe most két darabból áll: egy g] jelű félkörből, és egy g 2 jelű parabolaívböl (5.29. a ábra). A gi görbe skaláris egyenletrendszere: .x = 2cos/, j = 2sin<, z = 4. Vektoregyenlete: r = 2 cos í i + 2 sin / j + 4 k . c/r = (-2 sin / i + 2 cos tj)d/.
Innen
A vektortér lokalizálva a gj görbére: V/ = (2 cos/ + 2 sin / + 4)i + 8 cos/ j + 4 sin" t k . Mivel a felületi normálist felfelé irányítottuk, ezért a g, görbét az ábrán jelölt módon kell irányítani (5.29. b ábra). így a g, görbementi integrál: 271
/, = jv í/r = J(-4 c o s/sin í-4 sin " í - 8 s i n / + 16cos" t)dt = óTt +16. A g2 görbe skaláris egyenletrendszere: x = t, Vektoregyenlete: Innen
y = Q, z = r .
r = /i + r k. dr = {i + 2 t k ) d t .
A vektortér lokalizálva a go görbére: v/ = (2/ + r ) i + í^j.
T
mivel a T tartomány (a félkörlap) területe 2tc . Az Fj felület egyenlete: y = 0; a felületelemvektor: d í -d xd z \. A rőt v vektor lokalizálva az F2 felületre: - x i + j + ( z - l ) k . így 4
JJro tv í/f = J P'i
jdxdz = ^ .
x = - 2 : = x ‘‘
E két integrál összege valóban megadja a paraboloidra vonatkozó felületi integrált. 2. Számítsuk ki az |(( 5 x " - y + 2)dx + (x~ +y~ -x ) d y ) görbementi integrál értékét a Gree/j-formula segítségével, ha a g görbe az 5.30. ábrán vázolt T tartomány határgörbéje. Megoldás. Mivel P = 5x" - y + 2; Q = x~ + y~ - x , ezért §{Pdx + Qdy)=jl
(dQ
dp]
^ dx
dy ^
4 •fx
4
x = 0 y =0
0
dxdy = J J 2 xdxdy = J J 2xdxdy= ^2x4xdx = 128 T
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
430
c) G reen-tételek. A Gauss-Osztrogradszkij-tétQlhen vegyük fel a v vektor teret V = (pgradd alakban, ahol és skalárterek. Ekkor
5.9.4. Integrálátalakító tételek
A Gauss-Osztrogradszkij-XéitVoöX hasonló gondolatmenettel kapjuk a v vektortér P pontbeli divergenciáját:
divv = Vv = V(ípV'ö) = VípV-ö + (pA'ű = grad
divv = lim v -->q V
Ezt felhasználva kapjuk az első Green-tételt: (grad (p grad "ö + (pAi5)í/K = iDcpgrad-öí/f V
F
H a (p s 1, akkor gradcp = 0, így A ű d V = O g ra d -d í/f. V
((pA-ö - M (p) c/K = <:) ((p grad
- -ö grad cp) í/ f .
d fx y . ro tv = lim v-^ oV n Ebből látható, hogy mind a divergencia, mind a rotáció szintén függet len a koordinátarendszertől.
M egjegyzés. A v vektortér más módon való választásával a GaussOsztrogradszkij-iéicVoöl újabb tételeket kapunk. d) A gradiens, divergencia és rotáció koordinátam entes értelmezése. A skalárterek és vektorterek integráljai a koordinátarendszertől függetlenek, bár kiszámításukat kényelmi okokból rendszerint valamilyen koordinátarend szerhez kötöttük. Mivel a skalártér gradiense, ill. vektortér divergenciája és rotációja kifejezhetők az említett integrálok segítségével, ezért ezek szintén függetlenek a koordinátarendszertől. Utóbbiakat koordinátamentesen értel meztük a deriválttenzor első skalárinvariánsaként, ill. vektorinvariánsaként, de kiszámításukhoz idáig derékszögű koordinátákat használtunk. Ha a Gauss-Osztrogradszkij-XéXúhcn v = we, ahol e tetszőlegesen vá lasztott állandó vektor, akkor gradw í/F =
^ d f.
A hármas integrálra vonatkozó középértéktétel felhasználása után, ha a V térrészt az F felület belsejében levő P pontra zsugorítjuk, az u skalártér P pontbeli gradiensét kapjuk: g rad u = lim v -^ q V JJ t
.
A gradiensnek ez az értelmezése tehát független a koordinátarend szertől.
y d f.
E miatt mondható az, hogy a vektortér adott pontbeli divergenciája a térfo gategységre eső átáramlási felesleget adja meg. H a a divergencia nulla a pontban, akkor ott nincs átáramlási felesleg, tehát ott nincs forrás vagy nyelő. A Gauss-Osztrogradszkij-iétcVocn a v vektor helyébe a v x e vektort helyettesítve, az előbbiekhez hasonló gondolatmenettel a v vektortér P pontbeli rotációját kapjuk:
F
Az első Green-tételben (p és 'ö szerepét felcserélve, és az így kapott egyenletet kivonva az első tétel egyenletéből, a második Green-tételt kapjuk:
431
^ y a - Ei
Példák 1. Határozzuk meg az u = x~z + y~ skalártér P(a,b,c) pontbeli gradiensét, a koordinátamentes értelmezést fel használva. Megoldás. Vegyük körül a P{a,b,c) pontot egy 2e élhosszúságú kockával az 5.31. ábrán feltüntetett módon (a kocka középpontja a P pont). A kocka 3 térfogata: V = 8e . A j^uc/f integrált a kocka teljes
xi
felszínére kell számítani; minden lap jára kiszámítjuk u felületi integrálját és ezeket az integrálokat összeadjuk. Rendre felírjuk mind a hat oldallap (/],F 2,...,Fg) egyenletét, az oldallapokhoz tartozó, kifelé mutató felületelemvektorokat, majd az u skalárteret lokalizáljuk az egyes oldallapokra: 5.31. ábra. A P pont kocka alakú környezete
x = a + e.
d í = dydzi,
u = {a + E)~z +y~
Fi-
x = a-E,
d f = -dydzi.
u = { a - e ) ~ z +y~
Fv
y = b + e.
d f - dxdz'i.
u = x~z + (b + E)~;
F4 :
y = b-E ,
d t = -dxdz].
u = x~z + {b-t)~\
Fy
Z = C+ £,
d f = dxdyk.
M= x"(c + e)+_v"
Fe-
Z = C-E,
d f = -dxd yk.
u = x ' { c - z ) + y~.
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalízis
432
Jelölje TJ az F, és a vele szemközti F2 oldallap vetületét az (y,z) síkon, 7^ az és a vele szemközti F4 oldallap vetületét az (x,z) síkon, az F5 és a vele szemközti Fq oldallap vetületét az (x, j ) síkon. Mindezeket felhasználva; ^ u d { = ijj[(a + e ) 'z + y ~ - ( a - e f z - y ~ ) d y d z + F
ri
■^]\\[x~z+{b + t f - x - z - { b - z ) - ] d x d z + \í^^ [x -{c ^ z)+ y ~ -x ~ {c -z)-y -)d x d y =
5.9.5. A potenciálfüggvény
433
5.9.5. A potenciálfüggvény A vektortér skalárértékű vonalintegrálja kapcsán (lásd az 5.8.3. pontban) említettük, hogy ha az egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett vektortér rotációja nulla, akkor az integrál értéke nem függ a görbe alakjá tól. Ekkor ui. a V = V]i + V2j + V3k vektortér \ d r = {v]dx + Vidy + v-^dz) ,
= 16ace^i + löte^j + (8a"e^ +|-e^)k. Ha a kocka térfogata tart a nullához, akkor e is tart nullához. így a P pontbeli gradiens; 1
gradw = lim , lóűíce^i + 16ie^j + (8űr“e^ + |-e^)k \ = 2 aá + 2 b\ + a~k. e-^oge^
vonalintegráljában szereplő v-^dx + vjdy + v^dz kifejezés valamilyen u skalártér teljes differenciálja, azaz v^dx + v^dy + v^dz - du. Ekkor a v vektortér vonalintegrálja a g görbe A és B pontok közötti íve mentén B
\d r=
Ha aza, b,c koordináták helyett x, y, z koordinátákat írunk, akkor grad u = 2 xzi + l y j + x~k. Látható, hogy valóban a Vm = 2xzi + 2y\ + x~k vektort kaptuk. 2. Számítsuk ki a v = r = xi + j j + zk vektortér divergenciáját és rotációját az origóban, a koordinátamentes értelmezést felhasználva. Megoldás. Vegyük körül az origót egy e sugarú gömbbel. Ennek térfogata V = 4e Tt A ^ y d i integrál az időegység alatt a gömbfelületen kiáramló folyadék (anyag) F
térfogata. Mivel a gömbfelületen átáramló folyadék sebességének abszolút értéke |v| = -<[x~ +y~ + z~ = e, az egész gömbfelület felszíne pedig 4e"n, ezért a gömbfe lületen az időegység alatt 4e^7C térfogatú folyadékmennyiség áramlik át. Ha a gömb térfogata tart a nullához, akkor e is tart nullához. így az origóban a divergencia; divv = lim- 1
•4e"k = 3.
e->o 4 e TI
g
{vidx + vjdy + V2,dz) g
du = u(B) - u{A). A
Látható, hogy ilyenkor a vonalintegrál értéke csak a kezdőpont és a vég pont helyzetétől függ. Az u függvényt a vektortér potenciálfüggvényének (potenciáljának) nevezzük. A vonalintegrál értéke (a munka) pedig a potenciálkülönbséggel egyenlő. A potenciálfüggvénynek a vonalintegrállal kapcsolatban az a szerepe, mint az egyváltozós függvény határozott integráljával kapcsolatban a pri mitív függvénynek. Ha ro tv s 0, akkor a vektorteret potenciálosnak (erőtér esetén konzer vatívnak) nevezzük. Ekkor v = grad u és így du dx
du = V9, dy
Ebből a d ifferenci ál egy en 1et-rendszerbő 1 a V|, vj és V3 függvények isme retében az u függvényt egy állandó erejéig meghatározhatjuk. Mivel a gyakorlatban legtöbbször a potenciálkülönbségre van szükségünk, ez az állandó a különbségképzésnél kiesik. A potenciálfüggvény előállításához az \ v d r = u { B ) - u { A ) egyenlőséget
A rotáció kiszámításához vegyük figyelembe, hogy a v = r vektor az origóból a tér pontjaiba mutató vektor. Az origó középpontú gömbfelület felületelemvektora párhuzamos ezzel a vektorral, így í/f x v = 0. Ebből következik, hogy
i’ is felhasználhatjuk. Ha a 5 végpont helyett a P { x ,y ,z ) pontot vesszük fel, és u(A) értékét C-vel jelöljük, akkor
rőt v = 0 .
u { x , y , z ) - \ d r +C . g
Lineáris algebra, térgörbék, vektoranalizis
434
Ebben az integrálban a g görbét tetszés szerint választhatjuk, mert az integrál értéke független a görbe alakjától. Célszerű ^ -t a koordináta tengelyekkel párhuzamos egyenesekből összeállítani úgy, hogy végpontja a tér tetszőleges P { x ,y ,z ) pontja legyen, a kezdőpont pedig tetszőleges,
5. 9.5.
A potenciálfüggvény
435
Most határozzuk meg a potenciálfüggvényt vonalintegrállal. Válasszuk útként az 5.32. ábrán vázolt töröttvonalaí, kezdőpontként az origót. A g] görbe mentén x változik 0-tól x-ig, és ezért d x ^ Q , viszont y = 0 , z=0, igy dy= 0, A vektortér, lokalizálva a
útra:
rögzített pont.
dz= 0.
Példa Van-e potenciálja a v = (2x>’- z ~ 2 ) i + (x" + l)j + ( 2 z - x ) k vektortérnek? Ha van, akkor határozzuk meg a potenciálfüggvényt, mégpedig mind a gradiens, mind a vonalintegrál alapján, majd számítsuk ki a vektortér skalárértékü vonalintegrálját
V = -2i + (x" + l ) j - x k . A gj menti integrál: ;r /] = j(v^dx + v2dy + vjdz) = j (- 2 dx) = -2x. 0 A g2 görbe mentén az y változik 0-tól yig, s így d y 0, x nem változik, z = 0, így Jx = 0 és d z - ( } . A vektortér lokalizálva a & útra:
y
az r = 2 cos/■i + sin/•j + —/• k térgörbe 0 < / < - ^ íve mentén. Ti
2
Megoldás. Potenciál akkor van, ha a vektortér rotációja nulla. Ezért kiszámítjuk a rotációt: i j k J _ ± A = (0 - 0)i - (-1 +1) j + (2 x - 2 x)k = 0. rotv = dx dy dz 2 x y - z - 2 x" + l 2 z - x Mivel a rotáció nulla, ezért van potenciál. Határozzuk meg az u potenciálfüggvényt a V = gradi/ egyenlőség alapján. Felírjuk u deriváltjait; f
V
= (2x>^ - 2)i + (x" +1)j - x k .
A g 2 menti integrál: .y
h ~ \ i'V\dx + V2dy + v-^dz) - j(x~ + \)dy = x~y + y. Sí 0 A gj görbe mentén z változik 0-tól z-ig, vagyis dz^Q, x és y nem változik, így dx = 0, dy = Q. A vektortér lokalizálva a útra:
=2 ^ -z -2 ,
V = ( 2 x y - z - 2)i + (x~ + l)j + ( 2z- x)k. A g3 menti integrál:
-TÍ = í" + l, dy ^ = 2z - x . őz Integráljuk az első egyenletet x szerint: u = x~y - z x - 2 x + C] (y, z). A C] integrációs állandó nyilván csak>^-nak és z-nek lehet a függvénye. Deriváljuk az u függvénytszerint. A kapott derivált egyenlő kell hogy legyen ( + 1 ) -gyei: Dl/ ay
5.32. ábra. Töröttvonal mint integrációs út
. dy
Innen Ci = y + C2 (z). A integrációs állandó már csak z-töl függ. C, értékét felhasználva: u = x"y - zx - 2 x + y + C2 ( z ) . Deriváljuk ezt a függvényt z szerint és használjuk fel a harmadik egyenletet is: ^ = _jc + ^ = 2z - x . óz dz Innen C2 = z“ + K. Tehát a potenciálfüggvény: u = x “y - z x - 2 x-^y-\-z + a .
/s - I (vidx + V2dy + Vjdz) - j (2z - x)dz = z~ - xz. 0 A teljes út menti integrál adja a potenciálfüggvényt: M= I v í/r = /] + A + 73 = -2x + x~y + y + z~ - xz. s Látható, hogy a K állandótól eltekintve az előbbi potenciálfüggvényt kaptuk. Ezek után kiszámítjuk a vektortérnek az adott görbedarabra vonatkozó vonalinteg rálját. A kezdőpont helyvektora: r(0) = 2i, a végpont helyvektora: r|^Yj = J+2k, az integrál értékét tehát az J(2,0,0) és B (0 ,1,2) pontok közötti potenciálkülönbség adja. Használjuk az u = x ~ y - z x - 2 x ^ y +z~ + K függvényt: \ \ d r = u{B)-u{A) = 5 + K - { - A + K) = 9.
k ö z ö n s é g e s
LEHLETEK
A dlffereiiciálegyerilet fogalm a, m egoldása E iső reiiíííi differenciálegyenletek M e g o ld h a tó s á g
Irá ü y m e z ő G ö fix 'sc re g
B iirk tiió g ö r l’C, S7Ífigiifár!> iiicgolda>. L a g ra n g e - lís C iaira tií-fé ie Jii'íe re n c iá lc g y e iile t f rajcklfsriak M H g a sa b b re tid ű d iffereiscí-d cg y cn íetek ÁJIaiidí) e g y iiíih a tó jit d iííe M ii-iá ie g y c o ie i Etiler- féle clifferen cialcg y eiílei M áso clien d ű íH ffcrericiaiogyen letek D i f i e re iic iá le g y c n lc i iiie g o id ása v é g leten so ro k k a l T a y !o !-so r, h a iá m z a tla n cgyütlfiatólv m ó d s z e re D iffc íc iic iá ie g y e n lc í-re iid s z e rc k
V I. F E J E Z E T
K Ö Z Ö N S É G E S D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T E K
6.1.
A LA PFOG ALM A K
A differenciálegyenletek a természetben lejátszódó folyamatok, műszaki, fizikai, kémiai stb. problémák matematikai leírásának nélkülözhetetlen eszközei. Ebben a fejezetben a differenciálegyenletekre vonatkozó általá nos alapfogalmak után, az egyváltozós valós függvényekkel leírható jelen ségek nevezetesebb differenciálegyenleteit és azok megoldásait tárgyaljuk. 6.L L A differenciálegyenlet fogalma Általában differenciálegyenletnek az olyan egyenletet nevezzük, amelyben ismeretlen függvények, ezek deriváltjai, valamint független változói for dulnak elő. Legyen F és G valamely adott többváltozós függvény, továbbá y(x) egyváltozós valós függvény, u (x ,y ,z ,...) pedig többváltozós valós függ vény. Akkor az F ( x , y , y ',y " ,. .. ,y ^ ^ ^ ) = 0
(*)
egyenlőséget közönséges differenciálegyenletnek, a f
G
du du d I I
d~ u d~
lí
-0
(**)
egyenlőséget pedig parciális differenciálegyenletnek nevezzük. Az egyenletben előforduló ismeretlen függvény legmagasabb rendű de riváltjának rendjét a differenciálegyenlet rendjének nevezzük. így a diffe renciálegyenlet lehet elsőrendű, másodrendű, ..., n-edrendű. Azt a differenciálegyenletet, amelyben az ismeretlen függvény és annak deriváltjai csak első hatványon fordulnak elő és ezek szorzatai sem szere-
440
Közönséges differenciálegyenletek
pelnek az egyenletben, lineárisnak, ellenkező esetben pedig nemlineáris nak nevezzük. A (*) és (**) alakban adott differenciálegyenleteket implicit előállítású differenciálegyenleteknek is nevezzük. Ha egy közönséges differenciál egyenlet
alakú, akkor ezt n-edrendű, explicit előállítású közönséges differenciál egyenletnek mondjuk. Egyetlen változó több ismeretlen függvényének meghatározásához anynyi differenciálegyenletre van szükség, amennyi az ismeretlen függvé nyek száma. E függvényekre vonatkozó differenciálegyenletek együtt kö zönséges differenciálegyenlet-rendszert alkotnak. Ha mind a függvények száma, mind pedig a független változók száma egynél több, akkor az is meretlen függvények parciális differenciálegyenlet-rendszerből határoz hatók meg.
6.1.2. A differenciálegyenlet megoldása A differenciálegyenlet m ego ld ásán ak nevezünk minden olyan függvényt, amelynek a differenciálegyenletben előforduló deriváltjai léteznek és foly tonosak valamely tartományon, és e függvények deriváltjaival együtt a dif ferenciálegyenletbe helyettesítve, azt azonossággá teszik. A közönséges differenciálegyenlet megoldásfüggvényének görbéje a differenciálegyenlet integrálgörbéje (megoldásgörbéje). A közönséges differenciálegyenlet megoldásai között általános, partiku láris és szinguláris megoldásokat különböztetünk meg. Általános megoldásnak nevezzük azt a függvényt, amely amellett, hogy azonosan kielégíti a differenciálegyenletet, pontosan annyi - egymás tól független - tetszőleges állandót tartalmaz, ahányadrendü a differenciál egyenlet. P a rtik u lá ris megoldásnak nevezzük azt a megoldást, amely az általá nos megoldásból úgy származtatható, hogy az abban szereplő állandó(k)nak meghatározott értéke(ke)t adunk. Ez tehát már nem tartalmaz tetszőleges állandót. Általánosabban partikuláris megoldásról beszélhetünk akkor is, ha a megoldásfüggvény legalább eggyel kevesebb, egymástól független állandót tartalmaz, mint ahányadrendü a differenciálegyenlet. Szinguláris m egoldásnak nevezzük a differenciálegyenlet olyan meg oldását, amely egyik pontjában sem tesz eleget az ún. unicítási feltételnek (lásd a 6.2. pontot). Ez azt jelenti, hogy általában nem kapható meg az általános megoldásból az állandók megfelelő választásával.
6.1.2. A differenciálegyenlet megoldása
441
Gyakran az n-edrendű differenciálegyenlet olyan megoldását kell ke resni, amely kielégíti az y ÍH ) = yo, y'(xo) = y'o, y"(xo) = yő, kezdeti feltételeket, ahol jcq, yQ, yó, ■■■,
= adott számok. Ezt a fel
adatot a differenciálegyenletre vonatkozó kezdetiérték feladatnak nevez zük. Ennek a feladatnak a megoldása a differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása. Elsőrendű differenciálegyenlet esetében nyilván csak egyetlen kezdeti feltétel van: >'(^o) = >'0- Ekkor a differenciálegyenletnek azt a meg oldását, vagyis azt az integrálgörbéjét keressük, amely átmegy a P(xQ,yQ) ponton. A differenciálegyenletek vizsgálatánál egyrészt arra kell választ adnunk, hogy milyen feltételek mellett van megoldás, ill. egyértelmű megoldás, más részt arra, hogy milyen módszerrel lehet meghatározni a megoldást. Példák 1. Tekintsük az y ' - y c t g x = 2xsinx elsőrendű lineáris differenciálegyenletet. Az y = x~sinx, }^ = sinx + x"sinx, j^ = 5sinx + x"sinx, j = Csinx + x"sinx függvények mindegyike megoldása a differenciálegyenletnek, amiről behelyettesí téssel könnyen meggyőződhetünk. így pl. az y = x~sinx függvény azonosan kielégíti a differenciálegyenletet. Ugyanis a függvényt és annak = 2x sin X+
cos X
deriváltját behelyettesítve a differenciálegyenletbe, a 2x sin X+
cos X- x“ sin X•ctg X = 2x sin X,
vagyis a 2xsinx = 2xsinjc azonosságot kapjuk. A differenciálegyenlet általános megoldása. y = Cs\nx + x~sxxix, ahol C tetszőleges állandó. A többi megemlített függvény a differenciálegyenlet partikuláris megoldásai. 2. Tekintsük az y" + y = Q másodrendű lineáris differenciálegyenletet. Az j = 2sinx, j = 4cosx, j = 5 sin x -7 co sx, y = C]%\nx, j- C ^ c o s x függ vények partikuláris megoldásai a differenciálegyenletnek. Az általános megoldása: y = Ci sinx + Ct c o s x . A megoldások helyességéről behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk.
Közönséges differenciálegyenletek
442
3. Tekintsük dz y - x y ' -y '~ = 0 elsőrendű nemlineáris differenciálegyenletet. Az y = x + l, y = 2x + 4, y = - x + l függvények partikuláris megoldásai az egyenletnek. Általános megoldása: y = Cx + C~, ahol C tetszőleges állandó. A dif2
ferenciálegyenletnek megoldása az y = ~ ^ függvény is, amiről behelyettesítéssel egyszerűen meggyőződhetünk, de ez nem kapható meg az általános megoldásból. Ez a függvény a differenciálegyenlet szinguláris megoldása, egyúttal az y = Cx + C~ egyenletű egyenessereg burkológörbéjének egyenlete. Megjegyzés. Kényelmi okok miatt gyakran az integrálgörbét (azaz a megoldás görbéjét) is megoldásnak mondjuk.
6.2.]. A z elsőrendű differenciálegyenlet megoldhatósága_________
443
tonos az jí>’-sík valamely zárt D tartományán, amelynek (xQ,yQ) egy tetsző leges belső pontja, akkor a differenciálegyenletnek egy és csak egy olyan y = 9(-^) megoldása létezik, amely eleget tesz az y(xo) = yQ kezdeti felté telnek. A tétel azt jelenti, hogy D minden pontján pontosan egy megoldásgörbe megy át. Definíció. Az f függvényről azt mondjuk, hogy a D tartományon az y változóra nézve kielégíti a Lipschitz-feltételt, ha létezik olyan M e K ^ szám, hogy minden ( x , y 2 ), (x ,> 'j)e D esetén \ f { x , y 2) - f { x , y ^ ) \ < M -\y 2
6.2.
E LSŐ R EN D Ű D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T E K
Az elsőrendű közönséges differenciálegyenlet általános alakja: F { x , y , y ' ) = 0, ahol y az ismeretlen függvény, y ' a deriváltja, x a független változó, F { x , y , y ' ) pedig adott háromváltozós függvény. Ha a fenti egyenletből y ' kifejezhető, akkor az elsőrendű differenciál egyenlet
y ' = f ( x ,y ) explicit alakjához juthatunk. Az y ' = f ( x , y ) , azaz ^
= f ( x , y ) elsőrendű differenciálegyenlet for
málisan f{x ,y )d x - d y = Q alakban is felírható, amely a P { x ,y ) d x + Q { x ,y )d y = 0 differenciálegyenlet speciális esete.
A
parciális derivált folytonosságánál gyengébb feltétel is elegendő
a megoldás egzisztenciájához és unicitásához. Ha / D-ben folytonos és kielégíti a Lipschitz-feltételt D-n, akkor létezik egyértelmű megoldás. Ha az f függvényről csak a folytonosságot kötjük ki, akkor csak azt mondhatjuk, hogy a differenciálegyenletnek van legalább egy olyan meg oldása, amely átmegy az {xQ,yQ)&D ponton (Peano tétele). Kimondható tehát, hogy f folytonossága minden kezdetiérték feladat megoldásához elégséges, de az egyértelmű megoldhatósághoz nem. A megoldás egyértel műségéhez a Lipschitz-feltétel az f folytonosságával együtt nem szükséges, de elegendő. Az y ' = f ( x , y ) közönséges elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldásának azt a tetszőleges C paramétertől függő y=-i^{x,C ) függvényt nevezzük, amely eleget tesz a következő feltételeknek: L a C paraméter tetszőleges értékére azonosan kielégíti a differen ciálegyenletet; 2.
tetszőleges { x Q ,y o )e D pont esetén, az y{xQ) = yQ, kezdeti feltétel
hez található olyan C = Q szám, hogy (p(xo,Co) = Az általános megoldást gyakran
6.2.L Az elsőrendű differenciálegyenlet megoldhatósága A megoldással kapcsolatban, mint említettük, az egzisztenciára (létezésre) és az unicitásra (egyértelműségre) kell választ adnunk. Egzisztencia és unicitás tétel (Cauchy-tétel). H a az y ' = f ( x , y ) differen ciálegyenletben az f { x , y ) függvény és y szerinti parciális deriváltja foly
G { x ,y ,C ) = Q alakban kapjuk, m ely^-ra nem fejezhető ki minden esetben. Ezt az alakot a differenciálegyenlet általános integráljának is mondjuk. Az általános megoldás egyparaméteres görbesereget állít elő, melyet a differenciálegyenlet integrálgörbéinek nevezünk. A partikuláris megoldás e görbesereg egyik görbéje, amely a sík adott (a'q,7o) pontján megy át.
Közönséges differenciálegyenletek
444
elsőrendű differenciál-
egyenlet általános megoldása
=
c
amiről az egyenletbe való behelyettesí téssel meggyőződhetünk. Határozzuk meg az y(l)=^2 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást. Megoldás. Behelyettesítve az általános megoldásba x helyére 1-et, y helyére 2-t, f 2 ^ - y , ahonnan C = 2. így a kezdeti feltételt kielégítő paitikuláris megoldás: 6.1. ábra. Integrálgörbék =
445
Példa
Példa Az v' =
6.2.3. Görbesereg differenciálegyenlete
y = — , amely másként fogalmazva, az
, y{\) = 2 kezdetiérték feladat megoldása.
Az általános megoldás olyan görbesereget állít elő, melynek aszimptotái az x- és j-tengely. A meghatározott partikuláris megoldás a görbesereg azon görbéje, amely átmegy az (1,2) ponton (6.1. ábra).
Vázoljuk az y = - ^
elsőrendű differenciálegyenlet iránymezőjét és néhány
megoldásgörbéjét. y=-4x K = 4«
Megoldás. D minden /o(^o>JVo) pontjában a differenciálegyenletből ki számítható az y(xq) =
y>x = 0
iránytan-
gens és így megrajzolható a Pq pont beli vonalelem. Például a J°i(-1,1) pontban y'(l) = — ^ =
vagyis a Pj
pontban tgi^ = l, ahonnan i^ = 45°. Ezért a Pj pontra egy 45° -os kis egye nesdarabot rajzolunk (illesztünk). A szá mítást a további pontokra hasonlóan végezhetjük. Kényelmesebb és áttekinthetőbb az eljárás, ha megkeressük az izoklinákat. Legyen y ' = K, ahol K állandó. így
V
\ y
- . K=1
6.2. ábra. Iránymező, izoklinák, megoldásgörbe
K = — , vagyis az j ' = -K x egyenessereg alkotja az izoklinákat. Ha y ' = K = \, 6.2,2. Iránym ező Az y ' = f ( x , y ) differenciálegyenlet megoldása geometriailag a következő képpen szemléltethető. Az / függvény értelmezési tartományának minden egyes ( x , y ) pontjához rendeljük hozzá a rajta átmenő, y ' ~ f {x,y) iránytangensü egyenesnek a pontot tartalmazó „kicsiny” szakaszát. E szakaszok öszszessége a differenciálegyenlet iránymezőjét alkotja. A szakaszokból elég so kat ábrázolva, kapjuk a differenciálegyenlet megoldásának geometriai képét. A z X és. y koordinátákat a kérdéses pontbeli y ' - f ( x , y ) értékével ki egészítve, az ( x , y , y ' ) értékhármast kapjuk. Ezt vonalelemnek nevezzük, így mondható az is, hogy az iránymező vonalelemek összessége, halmaza. Az (jc,3^) ponthoz tartozó vonalelem geometriailag e ponton átmenő in tegrálgörbe (megoldásgörbe) érintőjének a pontot tartalmazó „kicsiny” darabja (6.2. ábra). Ebből következik, hogy az integrálgörbék „bele simulnak” a vonalelemek sokaságába. Ezért az iránymező valóban a differenciálegyenlet megoldásairól ad szemléletes képet. Azt a görbét, amelynek pontjaihoz azonos irányú, azaz párhuzamos vo nalelemek tartoznak izoklinának (izoklin görbének) nevezzük. Tehát az izoklina olyan vonal, amelynek minden pontjában y ' éitéke ugyanaz (6.2. ábra).
akkor tg ű = y ' = 1, vagyis ű = 45°. Tehát az y = - x egyenes minden pontjára 45°os irányú vonalelem illeszkedik. Ha y' = K = - l , akkor tg i^ = ;v '= -l, vagyis ű = 135°, tehát az y = - ( - l ) x = x egyenes minden pontjára 135°-os vonalelem illeszkedik. Hasonlóan látható be, hogy az y = V3x izoklinán 120°-os vonalelemek „ülnek”. Az izoklinák segítségével ábrázolt iránymezöt valamint néhány megoldásgörbét a 6.2. ábra szemlélteti.
6.2.3. G ö rb esereg differenciálegyenlete Legyen
7 = (p(jc,C) olyan egyparaméteres görbesereg egyenlete, hogy a sík vagy annak egy tartománya bármely pontján a görbeseregnek pontosan egy görbéje megy át (C a seregparaméter). Azt a differenciálegyenletet, amelynek általános megoldása y = (p(x,C), a görbesereg differenciálegyenletének nevezzük. Ennek meghatározása érdekében deriváljuk az y függvényt jc szerint: y ' = <^'^{x,C). (*) Mivel a sík bármely pontján a görbeseregnek csak egyetlen görbéje megy át, ezért tetszőleges {x ,y) számpárhoz az ;/ = (p(.x,C) egyenletből
Közönséges differenciálegyenletek
446
egyetlen C határozható meg. Ezt behelyettesítve a (*) egyenletbe, kapjuk a görbesereg differenciálegyenletét. Formálisan tehát az 3^-(p(x,C ) / = c p ;(jí,c)j egyenletrendszerből kiküszöbölve a C paramétert, kapjuk a görbesereg differenciálegyenletét. Ha a görbesereg egyenlete F ( x , y , C ) = 0 alakban adott, akkor az F (^,> ;,C ) = 0] F ; ( x , y , C ) + F ; { x , y , C ) y ' = Ol egyenletrendszerből kell a C paramétert kiküszöbölni, hogy a görbesereg differenciálegyenletét megkapjuk. Kétparaméteres görbesereg esetén a görbesereg egyenletét kétszer deri váljuk, majd az így kapott két egyenletből és az eredeti egyenletből mind két paramétert kiiktatva kapjuk a görbesereg (másodrendű) differenciál egyenletét. Példa Határozzuk meg az j = -^ (x
6.3.1. Szétválasztható változójú differenciálegyenlet Mivel y '
^zért az egyenlet dy
alakra hozható. A két oldal határozatlan integrálja csak egy additív kons tansban különbözhet egymástól, azaz
í
J g(y)
= Íh {x)d x + C.
Elvégezve az integrálást, a differenciálegyenlet általános megoldását kapjuk. A fenti szétválasztott változójú differenciálegyenlet F { x )d x + G { y )d y = 0 alakban is felírható. Általános integrálja; F {x)dx + ^G {y)dy = C . Ha g {y ) = 1, akkor a fenti differenciálegyenlet speciális eseteként az / = h{x)
y -
X
A görbesereg egyenletéből behelyettesítve ide C = xy-t, kapjuk a görbesereg
6.3.
g(y) ^ 0
differenciálegyenletet kapjuk. Ebben az esetben h minden primitív függvé nye a differenciálegyenlet egy megoldása:
Megoldás. Az egyenletet :c szerint deriválva,
v“
~ h(x)dx,
g{y)
0) görbesereg differenciálegyenletét.
y =
447
X
differenciálegyenletét.
S PE C IÁ L IS ELSŐ R EN D Ű D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T E K
Határozzuk meg az y' = l - x y
6.3.1. S zétválasztható változójú differenciálegyenlet Az olyan y ' = f { x , y ) differenciálegyenletet, amely y ' = h (x)-g{y) alakra hozható, szétválasztható változójúnak (röviden szétválaszthatónak, vagy szeparábilisnak) nevezzük. Itt feltételezzük, hogy h valamely 1^, g pedig valamely ly intervallumon folytonosak.
diffe
renciálegyenlet általános és az y(l )=2 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris meg oldását. Megoldás. Felhasználva, hogy y'
Ebben a pontban olyan elsőrendíi differenciálegyenlet-típusokat tárgya lunk, amelyek megoldhatók elemi integrációs módszerekkel.
h{x)dx + C.
Példa
dy
^
változók szétválaszthatók: ydy = (l~ x)dx. Mindkét oldalt integrálva, az általános megoldás: 6.3. ábra. A y' = —— differenciálegyenlet Rendezve: {x-\)~ +y ~ . Jelöljük a 2C, +1 tetszőleges állandót C-vel, akkor az {x ~ i y +
“ partikuláris megoldása =C
Közönséges differenciálegyenletek
448
általános megoldás, a C > 0 értékekre az M{\, 0) középpontú koncentrikus körse reg (6.3. ábra). A kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldáshoz az xq = 1, jo = 2 behelyettesítéssel meghatározzuk C értékét:
6.3.2. Szétválasztható változójúra visszavezethető diff-egyenletek
Példa Határozzuk meg s i y = y - 5 x + 2 differenciálegyenlet általános megoldását. Megoldás. Alkalmazzuk a z(x) = y - 5 x + 2 helyettesírést. Ekkor
(1 -1 )- + 2“ = C, C = 4, s így a P íl, 2) ponton átmenő integrálgörbe egyenlete;
és
( x - l f +y~ = 4, vagyis a keresett partikuláris megoldás görbéje az r = 2 sugarú, M(1,0) közép pontú kör. Az
=
igya dx egyenletet kapjuk. A változókat szétválasztva és integrálva: = dx-,
F i(x)G i(y)d x + F 2 Íx)G 2 Í y ) d y = 0
típusú szétválasztható differenciálegyenlet, Gi(y) ■/^2W kifejezéssel osztva,
449
vagyis
z - 5 = Ce^
In|z-5| = x+ln|C|,
azaz
y - 5 x + 2 - 5 = Ce''.
Tehát az általános megoldás explicit alakja: y - C e ^ +5x + ?>.
az alábbi szétválasztott alakra hozható: G i(^)
6.3.2. Szétválasztható változójúra visszavezethető differenciálegyenletek Az elsőrendű differenciálegyenletek néhány típusa visszavezethető szétvá lasztható változójú differenciálegyenletre. Általában arra törekszünk, hogy az adott differenciálegyenletet új változó (függvény) bevezetésével olyan differenciálegyenletté alakítsuk, amelyre már ismert megoldási módszert alkalmazhatunk.
b) A változóiban homogén differenciálegyenlet. Az f ( x , y ) függvényt a z x é s y változók k-adrendű homogén függvényének nevezzük, ha tetsző leges nullától különböző t értékre fennáll az f{ tx ,ty )^ t'" f{ x ,y ) azonosság. A nulladrendű homogén fü ggvény az f{tx ,ty ) = f { x , y ) azonosságnak tesz eleget, mely o. t = ~ helyettesítéssel
a) A z y ' = f {ax + by + c) típusú egyenlet, ahol a, b é s c állandók, a
f{x ,y ) = f
= (p
1 ,^
z{x) = ax + by + c új függvény bevezetésével visszavezethető szétválasztható változójú diffe renciálegyenletre. Ugyanis ekkor y '= f(z )
és ^
= a + b y ',íg y
amely valóban szétválasztható. A változókat szétválasztva,
^
= a + b f(z),
alakban is felírható. Az / = f{ x ,y ) elsőrendű differenciálegyenletet változóiban homogén differenciálegyen letnek nevezzük, ha az f { x , y ) függvény az jc és változók nulladrendű homogén függvénye, azaz ha
dz ■= dx. a + b fiz) Az integrálás elvégzése, ül. kijelölése után dz •+ C , a + b fiz) majd felhasználva, hogy z = ax + by + c, kapjuk az általános megoldást.
/ =/ alakban írható fel. Ebből u{x) =
1 ,^ X
vagyis y = u - x helyettesítéssel és y =ux+ u
felhasználásával az u'x + u = f ( l , u ) alakra jutunk.
Közönséges differenciálegyenletek
450 A változókat szétválasztva:
6.3.2. Szétválasztható változójúra visszavezethető diff-egyenletek c) Az
du
=/
ttlX + b^y + Cl a 2X + b2y + C 2
451
típusú differenciálegyenlet ű], ü 2 , b\, th,
Cl, C2 tetszőleges állandók értékeitől függően visszavezethető a) vagy b) tí pusú egyenletre.
mindkét oldalt integrálva: du
Ha Cl = C2 = 0, akkor nyilvánvaló, hogy változóiban homogén differen ciálegyenletről van szó, azaz b) típusúról.
+ InC = ln|x|, f
du
Ha a Cl, C2 konstansok közül legalább az egyik zérustól különböző, akkor
J f{ \,u )-u
azaz
az
Integrálás után visszahelyettesítve u helyébe ~ e t , a változóiban homo gén differenciálegyenlet általános megoldását kapjuk.
. =^+
=^
helyettesítéssel az alábbi egyenletet kapjuk:
Példa
f(
Határozzuk meg m. y' =
±
, =„ +
~ differenciálegyenlet általános megoldását. X" +y~
Megoldás. Osszuk ei a jobb oldal számlálóját és nevezőjét x"-tel ( xt ^O):
+ ^\P + 0 2^ -I- ^ T | + Ü 2P + 1>2(] 4- C2
1. eset:
öl bi Ö2 th
M eghatározzuk p és q értékét úgy, hogy az a ip + b^q + ci = 0 ] a i p + biq + cj = 0 j
1+ Végezzük el az — = m;
dx
helyettesítéseket:
egyenletrendszer teljesüljön; ekkor a differenciálegyenlet a
u +x ^ = - “ dx
=/
i +u -'
rendezzük az egyenletet és válasszuk szét a változókat: du _ dx {\ + u ~ )d u _
dx
^ ’
- változókban homogén - differenciálegyenletté alakul. Megoldva ezt az egyenletet és visszatérve az eredeti és _y változókra, megkapjuk az eredeti egyenlet megoldását.
i? , 1 + ^2 ’ Í _ L + 1^
■ l u^
du = - ^ .
»
2. eset:
a\ h = 0.
a-) bo
Integrálva: — L - + I n lu l = - l n j x | + ln |C j,
a z a z -------^ = ln
2 u"
Ö2^ +62 T|
Ekkor az együtthatók között az
2 u"
n «}
=
h Z>1
A:, azaz aj =kai, -
összefüggés áll fenn, tehát az eredeti egyenlet
Visszahelyettesítve u helyébe -^-et: = ln
{aix + biy) + ci ^ ÉL = f dx ^ yk{aiX + biy) + C2
.y ’
alakra hozható ( / = f { a x + by + c) típusú). A
ebből x-Qt kifejezhetjük;^ függvényeként: x = ±y 2 In X
c
z = aix + b\y. helyettesítéssel az
69 = kh -
Közönséges differenciálegyenletek
452
6.3.2. Szétválasztható változójúra visszavezethető diff-egyenletek
453
Z + Cj
2. Határozzuk meg az y = - J ^ ^ ^ ^ differenciálegyenlet általános megoldását. bx+ 2 y + \
kz + C2 j egyenletet kapjuk, amely szétválasztható változójú differenciálegyenlet.
Megoldás. A z x = %-\-p, y = y\ + q helyettesítés elvégzése utánp-x^ és ^-ra a
Példák
3/? + ^ - 3 = 0
1, Határozzuk meg az
Megoldás. Helyettesítés: x = í + p; y = r\ + q ,‘
ax
oq
tehát
így a z = 3x + j helyettesítéssel az egyenletet szétválasztható differenciálegyenletté alakíthatjuk:
p + 2q - 8 = 0 2 p - q - 1=0 1 2
egyenletrendszer determinánsa:
2 -1
dx
= -5y^0.
g _
^ 2 ^ ~ ^ = ldx\
2 z+ ln |z|= 7 x + C.
A z = 3x + ;^ visszahelyettesítése után: 2(3x + j^) + ln|3x + y| = l x + C.
6.3.3. A z elsőrendű lineáris differenciálegyenlet
+ w helyettesítéssel Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános alakja
du ^ + u = _ l +2u A változókat szétvál asztva: Integrálva:
cfe _ Íz dx 2 z+ \ '
2 -ü
változóiban homogén differenciálegyenletet kapjuk. =
-3 . 2z+r
Az általános megoldás implicit alakja: 2 j - j c + ln|3x + j | = C.
1 + 2-3
É R - i U l L - ____ L H -n
dz T dx ’ c6c
A változókat szétválasztva és integrálva:
Az egyenletrendszer megoldása: p = 2 ] q = 3, vagyis az x = ^ + 2 , y = ri + 3 transzformációs képlet alkalmazásával a ,
egyenletrendszert kapjuk, melynek determinánsa 3 1 = 0, 6 2
dt} _ ^ + 2 t}+ p + 2 g —8 ~d^~ 2 ^ - n + 2 p - q - y
A z-^ = w, ill. ri =
6p - 2 q + \ = 0
differenciálegyenlet általános megoldását.
l +u
a { x ) y ’ + b {x )y = g { x ), amely az a{x) ^ 0 együtthatóval osztva,
^ . s
/ + p ( x ) y = r( x )
2arctgM -yln(l + «") = ln|^| + lnC,
melyből 2arctgw = In C^Vl + w" j ,
(1)
ill.
Az u helyébe -3 -t helyettesítve:
Végül a ^ = x - 2 , r\ = y - ' i helyettesítéssel visszatérünk azx ésváltozókra:
(2)
alakban írható fel; p {x ) és r(;s) valamely I intervallumon értelmezett folytonos függvények. Az r(x ) és a g(x) függvényt zavarófüggvénynek (zavarótagnak) nevezzük. Ha r{x) az egész I intervallumon zérus, akkor a differenciálegyenlet homogén, ellenkező esetben inhomogén. a) Homogén differenciálegyenlet. Az elsőrendű lineáris homogén diffe renciálegyenlet általános alakja: / + p W >' = o Ez mindig szétválasztható, így a változók szétválasztása után integrálható.
Közönséges differenciálegyenletek
454
455
így az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása
Szétválasztva és integrálva; -
6.3.2. Szétválasztható változójúra visszavezethető diff-egyenletek
= -p{x)dx\
Inl^l = -
y==yh-^yi,p
p { x ) d x -\-\nC . alakban írható fel.
Tehát az általános megoldás explicit alakja: -
p {x)d x
Megjegyzés. 1. Az elsőrendű inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása az eredeti függvényekkel és a kijelölt integrálokkal
y = Ce ^ b) Inhom ogén differenciálegyenlet. Az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletet az állandó variálásának módszerével (Lagrangeféle módszerrel) oldjuk meg. Az y ' + p { x ) y = r{x) inhomogén egyenletből az r{x) zavarófuggvényt elhagyjuk (azaz helyére zérust írunk), majd az egyen lethez ilyen módon hozzárendelt y' +p { x ) y = 0 homogén egyenletet megoldjuk. Legyen ennek megoldása C • Y{x), aminek következtében C -Y'+ pC -Y = Q . Az inhomogén differenciálegyenlet megoldását y= -C {x)Y {x) alakban keressük, ahol C (x) egyelőre ismeretlen függvény. Ennek megke resése érdekében a C {x)Y{x) függvényt helyettesítsük be a (2) egyenletbe. Mivel y ' = C '{x)Y{x) + C { x ) Y \ x ) ,
p {x)d x
p { x )d x
Cl + r{x)e
dx
alakban is felírható. 2. Az (1) differenciálegyenlet megoldásakor nem szükséges az a{x) együtthatóval osztani. 3. Tekintettel arra, hogy az inhomogén egyenlet általános megoldása a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összege, vagyis y = y h + y t p, ezért ha már ismerjük az y^^ függvényt, akkor elegendő az inhomogén egyenlet egyetlen partikuláris megoldását megkeresni. Ez többféle módon történhet. Például a zavarótag alakjából próbálunk következtetni e partikuláris megoldás alakjára (lásd a 6.4.2. pontban). De alkalmazható az állandó variálásának előbb leírt módszere is. Vagyis az yj^p partikuláris megoldást y^^p =C (x)Y(x) alakban keressük. Ekkor a Q integrációs állandót 0-nak választhatjuk. így
a behelyettesítés után a
r (x)
C 'Y + CY' + p C Y ^ r ( x ) egyenletet kapjuk. Tekintettel arra, hogy C Y' + p C • F = 0, ezért C 'Y = r{x). Ez pedig C-re nézve szétválasztható differenciálegyenlet. Ennek megol dása r{x) C{x) = dx + Ci . Y{x) így a (2) inhomogén egyenlet általános megoldása r{x) dx + C Y{x)
Y{x).
A megoldás Qy(:)c) része nem más, mint a homogén egyenlet általános megoldása (y/,). A többi rész pedig az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása
Példák 1. Határozzuk meg az jv'sinx->^ cosa: = 3x" sin"x inhomogén differenciál egyenlet általános megoldását a ]0,7t[ nyílt intervallumon. Megoldás. Először az y' - y c t g x = 3x"síha: inhomogén differenciálegyenlethez tartozó y - ;^ c íg x = 0 homogén egyenletet old juk meg; = ctgxdx',
ln|j| = ln|sinx| + lnC,
amelyből a homogén differenciálegyenlet általános megoldása; y = Csín a:. Az inhomogén egyenlet megoldását az állandó variálásának módszerével keres sük meg. A megoldást y = C(^:)sin jc alakban felvéve, y' = C'sinx + Ccosx,
Közönséges differenciálegyenletek
456
Ezeket az eredeti egyenletbe behelyettesítve, a C'sinx + Cc o sj c- Cs i n x c t g x = 3x“ sin;)c
6.3.4. A Bernoulli-féle differenciálegyenlet és az eredeti egyenletbe helyettesítve majd rendezve, a z + ( l - n )p { x ) z = (1 - n)r{x)
egyenletet kapjuk. Innen C'sin;ic = 3x"sinx, dC = 3x~dx, C{x) = x^ +C^, tehát az inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása: y = (x^ + C])sinx = Q sinx + x^ sinx.
alakra jutunk, mely valóban lineáris. Ezt megoldva, kapjuk a Bernoulli-féle differenciálegyenlet megoldását. A megoldást a 6.3.3. b) 1. általános megoldó képlete alapján:
2. Oldjuk meg az y' - 4 x y = 8x differenciálegyenletet.
(n-1) p(x)dx
Megoldás. A hozzátartozó homogén egyenlet y' ~4xy = 0, melynek általános megoldása:
y = yf, =
457
f
e .
. (l-«) p(x)dx C ,+ (! -« )_ r{x)e dx
alakban kapjuk, melyből
Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása szinte ránézéssel is meghatá rozható: y^p = - 2 .
- p{x)dx
l-w
p{x)dx
y =e
dx
Tehát az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása: y = yh+yi,p^Ce-'‘ - i .
Ha tt > 0, akkor az y = 0 függvény is megoldás.
A differenciálegyenlet egyúttal szétválasztható is. Ugyanis ™ = 4 x ( j + 2),
azaz
Példa Határozzuk meg az
= xy^ differenciálegyenlet általános megoldását.
Megoldás. A lineáris egyenletre való visszavezetés kényelmesebben elvégezhető, ha y~ -mai szorozzuk az egyenletet (_y 0):
Integrálva mindkét oldalt, ln|;^ + 2| = 2x“ + lnC, =
+
ahonnan
= x.
Az y~~ = z{x) helyettesítést alkalmazva:
-2.
- 2 j;- V = z ,
igya
- ~ z +z = x
6.3.4. A B ernoulli-féle differenciálegyenlet
lineáris differenciálegyenletre jutunk. Az
y ' + p { x ) y = r{x)y'^
(n ^ 0,1)
alakú elsőrendű nemlineáris differenciálegyenletet Bernoulli-féle differen ciálegyenletnek nevezzük, ahol p{x), r{x) ugyanazon az intervallumon értelmezett folytonos függvények, továbbá itt r{x) ^ 0. Ezt az előbbiekben tárgyalt lineáris differenciálegyenletre lehet vissza vezetni a l-n z = :v helyettesítéssel, feltéve, hogy y ^ O ; ebből ui.
A ~ —z' + z = 0 homogén egyenlet általános megoldása: z = C e -\ Az állandó variálásával
+2Ce"^. dx A lineáris inhomogén egyenletbe való behelyettesítés és összevonás után: ^dC = -2 x e' és így dx C = xe
+ y e “^ + C),
vagyis az inhomogén egyenlet általános megoldása:
Közönséges differenciálegyenletek
458 Mivel 2l z = y
ezért:
6.3.6. Egzakt differenciálegyenlet
459
amiből C = ±2, tehát a differenciálegyenlet egyik partikuláris megoldása: y\= — . ~ = x +^ + C / - \ y-
^
amely az adott Bernoulli-féle differenciálegyenlet általános megoldása implicit alakban. A megoldás explicit alakja: 1 j; = .
Vezessük be az
= - + — helyettesítéssel a z{x) új ismeretlen függvényt; ekkor y = - 4 -4 .
Behelyettesítve és rendezve: vagyis
Ix + f + QeMivel most « = 3 > 0, ezért az
= 0 függvény is megoldás. Általános megoldás z-re:
6.3.5. A Riccati-féle differenciálegyenlet
és így az eredeti egyenlet általános megoldása:
Az
y =-----^---- + —. y '+ p (x )y = r(x)y-+ h(x)
alakú elsőrendű nemlineáris differenciálegyenletet Riccati-féle differenciál egyenletnek nevezzük, ahol p{x), r(x), h{x) ugyanazon az intervallumon értelmezett folytonos függvények. Ez a nem lineáris differenciálegyenlet általában integrálással nem oldha tó meg. H a r{x) = 0 2l vizsgált intervallumon, akkor lineáris, ha h{x) = 0, akkor pedig Bernoulli-fé\e differenciálegyenletet kapunk. Az általános Riccati-féle differenciálegyenlet megoldását akkor tudjuk integrálással előállítani, ha ismerjük egy partikuláris megoldását. Legyen az egyenlet egy partikuláris megoldása y = yi (x), akkor az 1 z(x) új ismeretlen függvény bevezetésével a z{x) függvényre már lineáris differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható. Példa Határozzuk meg az y + ^ = - ^ - y ~ differenciálegyenlet általános megoldását, ha tudjuk, hogy egy partikuláris megoldásának alakja:
Megoldás. Mivel a partikuláris megoldás n ti, így yx és yi = —— behelyettesítésével x" __c , x" X"
a differenciálegyenletet azonosan kielégíC meghatározható: J__ci X''
M egjegyzés. Az y = z{x) + yx{x) helyettesítés a Riccati-íi\e differen ciálegyenletet Bernoulli-féle differenciálegyenletre redukálja.
6.3.6. Egzakt differenciálegyenlet Egy P { x ,y ) d x - \ - Q ( x ,y ) d y = 0 alakú differenciálegyenletet, melyben a P é s Q függvények R " valamely D tartományán folytonosak, egzaktnak nevezzük a D tartományon, ha itt Pnek y szerinti, Q -na kx szerinti parciális deriváltjai léteznek, folytonosak és azonosan egyenlők, azaz ha d P jx ,y ) ^ d Q (x ,y ) dy dx Ekkor a P { x ,y ) d x + Q { x ,y )d y kifejezés teljes differenciál. Ha a feltéte lek teljesülnek, akkor van olyan kétváltozós F { x , y ) függvény, amelynek ;c szerinti parciális deriváltja /*-veI, y szerinti parciális deriváltja 0-val egyenlő, vagyis d F { x ,y ) _ d F ( x ,y ) = P ( x , y ) és dx " Ekkor a differenciálegyenlet általános megoldása F (x,y) = C alakban írható fel, ahol C tetszőleges állandó.
Közönséges differenciálegyenletek
460
Az F függvény előállítását a két egyenlet bármelyikének integrálásával kezdhetjük. Például az első egyenletet ;ic szerint integrálva,
6.3.6. Egzakt differenciálegyenlet
461
A Ct állandó választható nullának, hiszen elegendő egyetlen F függvényt venni, így a differenciálegyenlet általános megoldása: x 'y + 3xy +y^^ +4y = C .
F ( x , y ) = ]P (.x ,y ) d x + C M , ahol Ci(j^) ismeretlen függvény. Ez abból a feltételből határozható meg, hogy az integrálással kapott F ( x , y ) függvény 3/ szerinti parciális deriváltja egyenlő Q-\al. Az így felírt egyenletből C ,(y ) =
- | ; ( J P U .y)cb fjd y
Megoldás. P{x,y) = \ + ^ , X-
= 0 differenciálegyenlet általános
Q(;c,y) = - ^ . ^
Mivei ~ = ^ 3;^ X-
vagyis teljesül a feltétel, ezért ^ -=1, + ^7 -, X" Integrálva az első egyenletet,
adódik és így az általános megoldás: F (x ,y ) = J P (x,y)dx +
Határozzuk meg az1 + z l dx x" megoldását. 2.
.
es
és 3^
X-
™ ay
- - | j( j P (x,y)d xfjd y = C j. F ( x ,y ) =
Ha a második egyenletből indulunk ki, akkor az általános megoldást F ( x , y ) = J Q (x ,y )d y +
- - ^ ( j Q (x ,y )d y y j d x = Cj
X"
ahonnan dF dy
alakban kapjuk. Példák 1. Oldjuk meg a {2xy + "iy)dx + {4y^ +
Innen + 3;c + 4)dy = 0 differenciálegyenletet.
1+ 2 1 dx = x - ^ + C(y),
^ dC _ X dy dC = 0. dy
2y x ' azaz C = konstans.
Tehát az általános megoldás:
Megoldás. Itt P(x,y) = 2xy + 3y, Q{x,y) = Ay^+ x~+ 'ix^A. A differenciálegyen let egzakt, ugyanis
F ( x , y ) ^ x - ^ = C.
^ = 2 x + 3 = ^ = 2 x + 3. őy dx
a) In teg ráló szorzóval egzaktra visszavezethető differenciálegyenlet. A P ( x ,y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0
Keressünk olyan F ( x , y ) függvényt, amelyre
Az első egyenlet integrálva, F { x ,y ) = J ( 2 xy + 3y)dx = x~y + 3xy + C, { y ) .
alakú differenciálegyenlet általában nem egzakt, vagyis a bal oldala nem teljes differenciál, azaz d P {x,y) dQ {x,y) dy dx
dF Használjuk ki azt, hogy -3— = Q ; őy
Ilyen esetben kísérletet tehetünk egy olyan M { x ,y ) ^ 0 függvény meg keresésére, amellyel a differenciálegyenlet szorozva, az
^ ~ = 2xy + 3y, ■^■ = 4y^ + x~+3x + 4.
x~ + 3x + ~ ^ = Ay^ + x~ + 3x + A, dy
azaz
M ( x , y ) - P ( x , y ) d x + M { x ,y ) • Q ( x ,y ) d y = 0 új differenciálegyenlet egzakt lesz, vagyis
dy
= 4 / + 4.
Innen Q(>') = / + 4>' + Q , amit visszahelyettesítve a (*) egyenletbe, F { x ,y ) = x~y-\-3xy + y^ -\-Ay + C2 .
d { M P) _ d ( M Q ) , dy dx vagy részletesebben kiírva és átrendezve: P ^ - Q ^ +
dy
dx
=
Közönséges differenciálegyenletek
462
Az M ( x , y ) függvényt integráló szorzónak (tényezőnek) (vagy Eiilerféle multiplikátornak) nevezzük. Az integráló szorzót ez utóbbi elsőrendű parciális differenciálegyenlet ből kell meghatározni, ami látszólag nehezebb feladat, mint az eredeti egyenlet megoldása. Elegendő azonban egyetlen partikuláris megoldást ismernünk ahhoz, hogy az eredeti egyenlet integrálását elvégezhessük.
6.3.6. Egzakt differenciálegyenlet
Példa Határozzuk meg az + xy)d x-xd y - 0 differenciálegyenlet általános meg oldását. Megoldás. P =■y{\ + xy)-, Q = -x . Vizsgáljuk meg, hogy egzakt-e a differenciál egyenlet! ^ = \ + 2 xyőy
Néhány speciális esetben az integráló szorzó könnyen meghatározható. Mivel
= 0, akkor
Ilyen eset pl., amikor az csak jc-től függ. H a
a differenciálegyenlet nem egzakt. Vizsgáljuk meg, lé-
r.
„■
'
Mivel — ^ — = ..........^------ , Így nmcs csa k x-t ol fuggo mtegraio tenyezo.
^ Q
dP
-^=-1 dx
tezik-e csak x-től függő integráló tényező. A/T' I ~ l + 2 xy + l , .
M . M
463
■
Vizsgáljuk meg, létezik-e csak_y-tól függő integráló tényező.
Ennek bal oldala csak az jc változó függvénye, ezért a jobb oldalnak is függetlennek kell lenni y-tól. Ha ez valóban így van, vagyis a jobb oldal csak az x változótól függ, akkor az integráló szorzó:
, Qx~Py - l - ( l + 2 xy) - 2 (l + xy) - —^ Í P y(l + xy) y(l + xy) integráló tényező, melyet ...
2
M i v e l ----- = ------------- 77 ........X
y
,
, 2így V lélétezik csak j^-tól függő
—dy
M = e^
~
Teljesen hasonló meggondolással határozható meg néhány további eset ben az integráló szorzó. Ezeket táblázatosán foglaljuk össze. Speciális integráló tényezők
Szorozzuk a differenciálegyenletet -^ -te i Integráló szorzó
Feltétel
Az integráló szorzó típusa Csak x-töl függ
P -Q .......... . csak X függvénye
Csakj-tól függ
Q ~P .--p... csakjy függvénye
Csak xy-tól függ
alakban kapunk, azaz
\ + xy y
eJ
0_
Ellenőrizzük az egzaktságot. Most n
(Qx-Pv , e'‘
Q - P ^ csak xy = z függvénye
í* c - ^ í/y = :0 . J'"
p
‘y
Q^-Py . xP-yÖ '
1+ ^
0 =-
= -- L ’
Q -
'xix —
0
_LT •
Mivel most már P =Q^, tehát a kapott differenciálegyenlet valóban egzakt. így Csak Y -tői függ
Csak {x~ + y~)-töl függ
xP + yQ
csak ü = z függvénye x
Qx-Py 2(yP + xQ)
J
dF ^ 'í + xy ^ dx y ’
xP+y(J
3F dy
tehát - az első összefüggésből kiindulva -^2] yP+xO
F(x,y) = j
csak x~ + y~ = z függvénye Megjegyzés. Minden Pdx + Qdy = Q alakú differenciálegyenletnek van integráló szorzója.
•l + xy y
Ebből
dF dy
X
dx = — + ^ + Q { y ) ; y 2 dG dy
= ----- _ +
X
y-
= ----- vagyis
dCy =0, dy
Közönséges differenciálegyenletek
464
6.3.7. Burkológörbe és szinguláris m egoldás
465
y ~ c ={x-cy.
és így C, = konstans. Legyen C, = 0. Ekkor F {x,y) = ^ + ^ , így az eredeti diffe
(*)
Helyettesítsük ezt a görbesereg egyenletébe:
renciálegyenlet általános megoldása:
{ x - C f - ^ { x ~ c f = 0,
^ + ^ = C. y 2
( ^ _ C ) ' í ( x - C ) - | l = 0,
6.3.7. Burkológörbe és szinguláris megoldás a) Görbesereg burkológörbéje. Tekintsük a
G{x,y,C) = ^ egyenlettel adott, egyparaméteres görbesereget (C a seregparaméter). A görbesereg burkoló]a az a görbe, amelyik a görbesereg mindegyik görbéjét érinti és amelynek mindegyik pontja érintkezési pont. A görbesereg burkolójának egyenlete a
amelyből - aszerint, hogy a bal oldal melyik tényezője válik nullává - C-re két érték és ennek megfelelően két megoldás adódik. Egyik megoldás: C = x. A (*) egyenletbe helyettesítve, az y - x egyenest kapjuk. Másik megoldás’. A (*) egyenletbe helyettesítve, az 2 y~x- — egyenest kapjuk.
G { x ,y ,C ) = Q\
A két egyenest megvizsgálva azt látjuk, hogy az y=x egyenes a görbesereg csúcs
G'c{x,y,C) = Q\
pontjainak mértani helye, az y = x - ~
egyenletrendszerből, C kiküszöbölésével állítható elő. Az így nyert E { x ,y ) = 0 egyenlet lehet a burkoló egyenlete, de lehet hogy nem az, vagy a burkológörbén kívül még más görbéket is megadhat. Ha pl. a görbeseregnek vannak kettőspontjai vagy csúcspontjai, akkor az egyenlet megadja e pontok mértani helyét is. Ebben az esetben a görbese reg B(x, _y) = 0 burkolóját az E ( x , y ) = 0 egyenlet tényezőként tartalmazza. Az E { x ,y ) = 0 egyenlet előállítása után tehát meg kell győződnünk, hogy az már valóban burkológörbe egyenlete-e vagy sem. Példák 1. Határozzuk meg az {x-C)~ +
~y~''
+ y ' - r ' = 0 egyparaméteres görbese reg burkolóját. .y= _r 6.4. ábra. Körsereg és burkolója
Megoldás. Deriváljuk az egyenletet C szerint: - 2 ( x - C ) = 0 , és a két egyen letből küszöböljük ki C-t: y 2 _ ^2 _ ^^az y ~ ±r.
Az y - r és y = - r egyenespár valóban a körsereg burkolója (6.4. ábra). 2. Határozzuk meg az { y - C f ~ { x - C f = 0 görbesereg burkolóját. Megoldás. Deriváljuk az egyenletet C szerint: - 2 ( j - C ) + |-- 3 (x -C )" = 0,
és ebből
egyenes pedig a görbesereg burkolója. (6.5. ábra). i>) S zinguláris m egoldás. Az
F (x ,y ,y ') = 0 differenciálegyenletnek lehet olyan y = y { x ) megoldása is, melynek pont jaiban - vagyis az ( x ,y ( x )) pontokban - az egyértelmű megoldást garantáló feltételek nem teljesülnek. Az ilyen megoldást szinguláris megoldásnak nevezzük. Ha a differenciálegyenlet megoldásainak (integrálgörbéinek) van burkoló görbéje, akkor az szinguláris megoldás. A szinguláris megoldás általában nem származtatható az általános meg oldásból az integrációs állandó (a seregparaméter) alkalmas megválasztá sával. M eghatározható viszont a differenciálegyenletből. Ugyanis a szingu láris megoldás pontjaiban d F {x,y,y) F { x , y , y ' ) = Q, = 0. dy Ezt a két egyenletet kielégítő (x ,y ) pontok halmazát a differenciál egyenlet diszkrimináns görbéjének nevezzük. A két egyenletből kiiktatva az y paramétert a diszkrimináns görbe E { x , y ) - 0 alakú egyenletéhez juthatunk. Az E { x , y )
melyből
6.5. ábra. Görbesereg és burkolója
kifejezés tényezőként tartalmazhatja a B {x,y)
kifejezést, ahol B ( x , y ) = 0 a burkológörbe egyenlete.
Közönséges differenciálegyenletek
466
Példa Határozzuk meg az (x - c f + { y ~ c f = r" körsereg a) differenciálegyenletét, b) burkológörbéjét, c) majd a differenciálegyenletből közvetlenül a szinguláris megoldást. Megoldás. d) A differenciálegyenletet a körsereg egyenletéből x szerinti deriválással, majd a két egyenletből a C paraméter kiküszöbölésével kapjuk. Tehát 2 { x - C ) + 2 { y - C ) y ' = 0, ebből
6.3.8. A Lagm nge- és a Clairaut-féle differenciálegyenlet Behelyettesítve ezt a differenciálegyenletbe. 1+
[{y -x f-r -\ \
.(y - x ) '- r - )
{y-xT -r-
{ y - x f - r = r-, melyből y - x ± 42r. Látjuk, hogy az eredmény megegyezik a burkológörbe egyenletével. Ellenő rizzük, hogy kielégíti-e ez a differenciálegyenletet: y=i, [ { x ± j 2r - x f
Helyettesítsük ezt a körsereg egyenletébe: ■ x + yy
= 2 r/
Rendezve:
r-£ ± i2 L 1+y •
+
= 2 r~ - l ,
azaz 2r" = 2 r~,
tehát a differenciálegyenlet szinguláris megoldása az
x + yy'
1+ y
' 1+ y
467
y==x± f l r
egyenespár.
Átalakítások után a differenciálegyenletet az alakban kapjuk.
( ( y - x f - r } ( l +/ ^ ) = 2 r y ' rX+^I 2 r
6.3.8. A Lagrange- és a Clairaut-féle differenciálegyenlet
b) A görbesereg burkolójának meg a) A Lagrange-féle differenciálegyenlet alakja: határozásához a görbesereg egyenletét y = x ( p ( /) + / ( / ) C szerint deriváljuk és a két egyenletből ahol (p és/differenciálható függvények. / ~ x - 4 2 r kiküszöböljük C-t. ^ - 2 ( x - C ) - 2 ( : v - C ) = 0, sebből Az egyenlet x-ben és y-ban lineáris. Megoldását lineáris inhomogén differenciálegyenlet megoldására vezetjük vissza. 2 ■ A z y ' = p helyettesítés elvégzése után kapott X Helyettesítsük ezt a görbesereg y = x (p (p )+ fip ) egyenletébe: egyenletet deriváljuk x szerint; így x +y -_£±Z 2 p-~(?(p) = ix(?Xp) + f \ p ) ) ^ ,
6.6. ábra. Körsereg és burkolója
amelyből
y =x± 4 ír.
amelyből átrendezés után a
A kapott egyenespár valóban a körsereg burkolója (6.6. ábra). c) A fenti differenciálegyenlet szinguláris megoldását közvetlenül megkaphatjuk, ha y szerint deriválunk és a két egyenletből kiküszöböljük y -t, majd ellenőrizzük, hogy a kapott egyenlet a burkológörbe egyenlete-e, ill. kielégíti-e a differenciál egyenletet. A differenciálegyenlet y szerinti deriváltja: { { y - x f - r ) 2 y' = 2 r-, alionnan
y =
dp
p -i^ip )
p-(p(p)
elsőrendű lineáris differenciálegyenletet kapjuk. Legyen ennek megoldása x = x ( p ,C ) . Ezt felhasználva, az eredeti Lagrange-féle differenciálegyenlet általános megoldása x = x (p ,C ), y = x(p(p) + f ( p ) paraméteres alakban írható fel. Ebből az egyenletrendszerből, a p paramé tert kiküszöbölve, az általános megoldást F {x,y,C ) = Q
(y -x f-r -
alakban kapjuk.
Közönséges differenciálegyenletek
468
A fentiek akkor érvényesek, ha p - ( ^ { p ) ^ 0 . H a viszont, p - 9 ( p ) = 0 , azaz lia van olyan p = p Q konstans, amelyre pq - (p(po)
6.3.8. A Lagrange- és a Clairaut-féle differenciálegyenlet A z y ' = p jelölés bevezetésével
akkor y ' = pQ,
melynek megoldása y=pQX + K. Figyelembevéve, hogy Pq=^(?{pq) és
469
y ^ x p +f{p ), s ebből jc szerinti deriválással a
hogy y = x<^{p) + /( /? ) , egy újabb megoldást kapunk: p = p + {x + f ' { p ) ) ^ ,
y = x(^{pQ) + f { p o ) . H a ezt a megoldást az általános megoldás nem tartalmazza, akkor ez szinguláris megoldása a differenciálegyenletnek.
azaz
Példa Határozzuk meg az y = xy'~-hy'~ differenciálegyenlet általános és szinguláris megoldását. Megoldás. Az y' = p helyettesítéssel kapjuk az
differenciálegyenletet kapjuk.
f(.+ r(p ))= o
Két eset lehetséges: az első esetben
dp
= 0, azaz p = y ' = C. Ezt behe
lyettesítve az eredeti differenciálegyenletbe,
y = xp- + p-
y = Cx + f ( C )
alakot. X szerint deriválva;
alakban kapjuk az általános megoldást. Ez geometriailag egyenessereg. p = p~ +{2 xp + 2 p ) ^ .
Szinguláris megoldást adhat a p - p~ - 0 egyenletet kielégítő
x + f ' ( p ) = 0,
A második esetben
x = - f'{ p ),
= 0 és Pq - 1
érték, amelyre y = x-ö~ + 0 ~, azaz y = 0 , és >- = x • 1“ +1" , azaz y = x-\-\. A két megoldás vagy szinguláris, vagy partikuláris megoldása a differenciál egyenletnek; ennek eldöntését majd az általános megoldás alapján végezzük. A p{x)-xQ vonatkozó egyenletet átrendezve:
és így
vagyis a megoldást az y = xp + f { p ) \
x--f'(p )
J
paraméteres egyenletrendszer adja, amelyből a p paramétert kiküszöbölve, az F (x,y) = 0
dp
p_p2
l-p ’
amely az x (p ) ismeretlen függvényre vonatkozó lineáris inhomogén differenciál egyenlet. Általános megoldása: x = ~l + — (p -iy Ebböl az y= xp~+p~ összefüggés felhasználásával a p paraméter kiküszöbölhető és
y = ( c + Vl + x)
alakban áll elő az általános megoldás. Az y = 0 függvény a differenciálegyenlet szinguláris megoldása, mert az általá nos megoldásból C semmilyen értéke mellett sem állítható elő, az y = x + ] függ vény pedig a C = 0 értékhez tartozó partikuláris megoldás. b) A Clairaut-féle differenciálegyenlet. A Lagrange-félt differenciál egyenletnek azt a speciális esetét, amikor (p(y') = y ', vagyis az
szinguláris megoldást kapjuk. A szinguláris megoldás az egyenessereg burkolója. A burkoló egyenletét úgy is megkaphatjuk, hogy az y = Cx + f { C ) álta lános megoldást C szerint deriváljuk {x + f ' ( C ) — 0) és a két egyenletből kiküszöböljük a C paramétert. Példa Határozzuk meg az y - xy' + y'~ differenciálegyenlet általános és szinguláris megoldását. Megoldás. A differenciálegyenlet Clairaut-típusü. Általános megoldása: y = Cx +C~. Az y' = p helyettesítéssel y = xp + p ^ . X
szerint deriválva: p ^ p + {x + 2 p ) ^ ,
y = xy ' + f ( y ' ) alakú differenciálegyenletet Clairaut-féle differenciálegyenletnek nevezzük.
f ( , + 2p) = 0
ebből
K özönséges differenciálegyenletek
470 Tehát a szinguláris megoldás:
6.3.9. Trajektóriák
471
Ennek általános megoldása adja a görbesereget ü) szögben metsző trajektóriák egyenletét.
y = xp + px + 2 p =0 Az egyenletrendszerből a p paramétert kiküszöbölve;
Ez parabola egyenlete, mely parabola da. y ~ C x + C egyenessereg burkolója.
Az ortogonális trajektóriák esetében y ' - — V, így azok differenciál jai egyenlete \ í 1 F x ,y t. - 0 alakú. yi Példák
6.3.9. Trajektóriák
1. Határozzuk meg az
Egy görbesereg izogonális trajektóriája olyan görbe, amely a görbesereg minden görbéjét egyenlő szögben metszi. Ha a szög derékszög, akkor ortogonális trajektóriáról beszélünk. A G { x ,y ,C ) = ^ egyenletű görbesereget adott co szögben metsző trajektóriák egyenletét a következőképpen határozhatjuk meg. 1. Előállítjuk a G { x ,y ,C ) = 0 egyparaméteres görbesereg differenciál egyenletét (lásd a 6.2.3. pontot), vagyis azt az F ( x , y , y ' ) = 0 differenciál egyenletet, amelynek általános megoldása G(jc,>;,C) = 0. 2, Legyen a görbesereg P {x ,y) ponton átmenő görbéjének egyenlete y = y (x ) , e ponton átmenő trajektó-
+ = 1 ellipszissereg ortogonális trajektóriáit, 4C*- 2CMegoldás. Az ellipszissereg differenciálegyenletének előállításához deriváljunk x szerint: ^ +^ = 0 . 4C“ 2CC kiküszöbölésével az y y '+ j =^ differenciálegyenletet kapjuk. Ebből az ortogonális trajektóriák differenciálegyenle te az y = yi ts y = - - K helyettesítéssel áll elő, azaz yt 2 A továbbiakban célszerű a t indexet elhagyni. A differenciálegyenletet a változók szétválasztásával oldjuk meg: dy ^ 2dx y X ’
ria egyenlete pedig y = yt(x). Jelölje a , ill. (3 a görbe, ill. a trajektória P pontbeli érintőjének az .x tengely pozitív irányával bezárt szögét (6.7. ábra). Ekkor tga=;^'(.x:) és tg^=y',(x). Az a = p - ( ű összefüggés alapján
6.7. ábra. Izogonális trajektória tg a = tg(p-(ű)
tgp-tgCű 1 + tg p tg c o ’
vagyis
tg tű
3. Az izogonális trajektóriák differenciálegyenletét megkapjuk, ha ez utóbbi kifejezést behelyettesítjük a görbesereg F { x , y , y ' ) = 0 differenciál egyenletébe: F x,yt
’ l + >^;tgco
-0 .
ln|>;| = 2ln|x|+ln|C |, és így az y = Cx~ parabolasereg adja az ellipszissereg ortogonális trajektóriáit. 2.
Határozzuk meg az y = C x egyenessereget 60°-os szögben metsző görbesereget.
Megoldás. Az egyenessereg differenciálegyenlete (mivel / = C): y - y ' x = ö. Az izogonális trajektóriák differenciálegyenlete (mivel tg 60°- V J ):
Rendezve és
y t - - ^ - .^ . x = 0 . l + S y 't helyett _y-t írva: , ^ x +y ^ ~ x -^ y ’
ill.
X 1 -V 3 ^ X
Közönséges differenciálegyenletek
472
A differenciálegyenlet változókban homogén; általános megoldása implicit alakban: l n - / ? T ^ = -^ a rc tg -^ + I n C . y
A kapott görbesereg polárkoordinátás alakja ismertebb. Ezt az — = tg(p, ■Jx~ + y~' = r helyettesítéssel írhatjuk fel: Inr = ~ ^ ( p + \ n C ,
vagyis
r =C e ^ . Tehát az izogonális trajektóriák logaritmikus spirálisok.
6.4.1. A z n-edrendű lineáris differenciálegyenlet függvényt nevezzük, amely a Q ,
C2,
473
C„ paraméterek tetszőleges
értéke mellett kielégíti a differenciálegyenletet, továbbá adott fenti alakú kezdetifeltételek esetén a Q , Cj, C„ paraméterek meghatározhatók úgy, hogy kielégíti ezeket a kezdetifeltételeket is. Azok a függvények, amelyek az általános megoldásból a Q , Ct , ..., C„ paraméterek konkrét értékeivel állíthatók elő, a partikuláris megoldások. A partikuláris megoldások által meghatározott görbék a differenciálegyenet integrálgörbéi.
6.4.1. Az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet Általános alakja:
6.4.
M A G A SA B B R EN D Ű D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T E K + ... + Ű1(^ )y '+ flo i x ) y = g(x) ,
Ha az «-edrendű differenciálegyenlet ahol a „ ( x ) ^ 0 , g (x ) és aj^{x) implicit alakja az n-edik deriváltra megoldható, akkor az egyenlet felírására az (n) rí / // >= f { x , y , y ,y , . . . y >)
mányuk közös részén folytonos függvények. A g(x) jobb oldal az ún. zavarófüggvény (zavarótag). Ha s 0, akkor az egyenlet homogén, ellenkező esetben inhomogén. A fenti egyenlet változó együtthatójú, mert az együtthatók függvé
explicit alakot is használjuk.
nyek (nem állandók). Az általános alakot az
Egzisztencia- és unicitástétel. Ha az
egyenlet normálalakját kapjuk:
y^('0’ = ff{i x , y , y ' ,...,y^
{k = 0 ,l,...,n ) adott, értelmezési tarto
(a;) ^ 0 függvénnyel osztva, a differenciál
’) {x)y'+Po M y = K^)>
differenciálegyenletben az f { x , y , y ' , . . . , y ^ ’^'^^^) függvény és annak az >», y', y", valamely
argumentumok szerinti parciális deriváltjai folytonosak
^ = ^ 0 . y = yo’ y
/
/
.y
(rt-l)
ahol pic(x) = "
(k = 0 , \ , ..., n - \ ) és r(x) = ^ ^ a„{x)
A normálalak bal oldalát jelöljük az Ly\y\ szimbólummal, vagyis legyen
-^ o
értékeket magába foglaló tartományban, akkor az egyenletnek pontosan egy olyan y = y { x ) megoldása létezik, amely kielégíti az
L„[y] =
+ Pn-i(x)y^"~^^ +.. .+Pi(x)y' + p q (x ) y .
Ekkor a differenciálegyenlet normálalakja:
X^o) = yoi y'(xo) =
4 b] =
•
kezdeti feltételeket. Az n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldásának azt az n paraméteres y = i^{x,C^,C 2 ,...,C„)
a) Homogén differenciálegyenletek. Előzetesen két fogalmat vezetünk be. Definíció. Egy közös intervallumon legalább {k - l)-szer differenciálható y\(x),
yiix),
y k (x )
Közönséges differenciálegyenletek
474 függvényekből és deriváltjaikból felírt y i( x )
y{ix)
w{xy.=
y2 Íx) y ó ix )
6.4.1. A z n-edrendű lineáris differenciálegyenlet A fenti két tételből következik, hogy ha az mindegyike megoldás, akkor a
ykM y'k(x)
475 72 > •••> y/c függvények
Q>'l + Q +• • ■+Q>’A: is megoldása a differenciálegyenletnek. Definíció. Legyenek az yi, y 2 , ..., y„ függvények lineárisan függetlenek
Á:~adrendü determinánst Wronski-féle determinánsnak nevezzük.
és megoldásai az I„ [y ] = 0 egyenletnek. Ekkor az _yj, y 2 , ..., y„ függvé
Definíció. Egy közös intervallumon értelmezett
nyek az L„[y] = 0 differenciálegyenlet (egyik) alaprendszerét alkotják.
függvények (függvényrendszer függvényei) ezen az intervallumon lineári san függetlenek, ha a
Tétel. Ha az y^, y 2 ,
C\y\{x) + C2y 2 Íx)+-■■+Cj^yj^{x) s 0 azonosság ezen az intervallumon csakis a Q - C 2 = ...-C i^ fe n n (C j, C j,
Az JL„[jk] = 0 differenciálegyenletnek (mégpedig végtelen sok).
esetben áll
mindig
van
alaprendszere
y„ függvények az L„[y] = Q differenciálegyenlet
(egy) alaprendszerét alkotják, akkor a differenciálegyenlet általános meg oldása y{x) = C^yi (x) + C 2y 2 (^)+. • -+C„y„ (jc) ,
Cj^ állandók). Ellenkező esetben a füg g v én y ek /m eám an
függők.
ahol Q , C2,
A lineáris függetlenség azt jelenti, hogy egyik függvény sem fejezhető ki a többi függvény lineáris kombinációjaként. H a viszont a függvények lineárisan függők, akkor közülük legalább az egyik előállítható ilyen mó don. Például ha a függvényrendszer lineárisan függő és pl. Q ^ 0, akkor
Tétel. Ha az y ( x ) = u(x) + iv(x) alakú komplex függvény megoldása az L„\y\ = 0 egyenletnek, akkor az u{x) valós függvény is és a v(.x) valós
y i( x ) előállítható a többi függvény lineáris kombinációjaként A y k (x) k=2
Cfj tetszőleges állandók.
függvény is megoldása annak. Tétel. Ha az Z„[_y] = 0 differenciálegyenletnek ismerjük egy y^ partikulá ris megoldását, akkor az y = y iz { x )
alakban, ahol Aj^ = -
transzformációval, majd a = p ( x ) helyettesítéssel a differenciálegyenlet rendszáma - a linearitás megtartása mellett - eggyel csökkenthető.
A Wronski-íéle determináns felhasználható valamely függvényrendszer lineáris függetlenségének vizsgálatára. Ugyanis ha egy intervallumon W(x)^0, akkor ott a determinánst alkotó függvények lineárisan függetlenek.
A tétel következménye, hogy ha k darab, lineárisan független par tikuláris megoldás ismert, akkor a rendszám /c-val csökkenthető.
Az
4 b ] =o
lineáris homogén differenciálegyenlet megoldásához jelentős segítséget adnak az alábbi tételek: Tétel. H a az yi és y^ függvények megoldásai az L„[j/] = 0 differenciál egyenletnek, akkor
+ y^ is megoldása annak.
Példák 1. A Wronski-féle determináns felhasználásával igazoljuk, hogy az függvények a ]-oo,oo[ intervallumon lineárisan függetlenek. Megoldás. Mivel
W(x) = 5e^
ezért a függvények lineárisan függetlenek.
Tétel. H a az_y függvény megoldása az L y \ y \ - Q differenciálegyenletnek,
2. A sin"x, cos" a: és 1 függvények lineárisan függök.
akkor Cy is megoldása annak (C tetszőleges állandó).
Ugyanis a
C] sin” X + C2 cos" a: + C3 •1s 0
és
Közönséges differenciálegyenletek
476
azonosság C[ = 1, Co = 1 és C3 = -1 esetén is minden x e R értékre fennáll (vagyis nemcsak Cj = C, = C3 = 0 esetén). Ezért a függvények lineárisan függök, 3. Az y" + 4y = 0 másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet két füg getlen megoldása, vagyis egyik alaprendszere: y\ - coslx, használásával az általános megoldás: y = Cx coslx + Co sin2x . 4. Az
y i - sin2x. Ennek fel-
+y" - 0 negyedrendű lineáris homogén differenciálegyenlet (egyik)
6.4.1. A z n-edrendű lineáris differenciálegyenlet
477
b) Inhomogén differenciálegyenletek. Az
változó együtthatójú 17-edrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet r{x) zavarófuggvényét zérussal helyettesítve, az inhomogén eg)fenlethez rendelt homogén egyenletet kapjuk. Ha ismerjük a homogén egyenlet yh{x) = C^yi +C2:^2+---+C„3^«
alaprendszere: = 1, y 2 = x,
>>3 = cosx, y^ = smx.
általános megoldását és az inhomogén egyenlet egy y, ^(x) partikuláris
így az általános megoldás: jy = C]+C2X+ C3 C0SX + C4 sinx.
megoldását, akkor az inhomogén differenciálegyenlet y{x ) általános meg o ld ását megkapjuk az y, ^ és y^ megoldások összegeként:
5. Az y " - 4 y ' + I 3 y = 0 másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet egyik megoldása: ^(2+3i)x _ Ix + / sin 3 x ) . Ekkor ennek valós része is és képzetes része is, vagyis cos3x
és
y2= e^^sit\3x
is megoldás, és ezek lineárisan függetlenek, tehát alaprendszert alkotnak. így a dif ferenciálegyenlet általános megoldása: y=
cos 3x 4-
sin 3x.
6. Oldjuk meg az x y " - ( l + x)y' + y = 0 differenciálegyenletet, ha egy partiku láris megoldása y \ = e ^ . Megoldás. Mivel ismert egy megoldás, ezért az egyenlet rendszáma eggyel csök kenthető. Alkalmazzuk az y = e^z helyettesítést. Ekkor y' = e^z +
z , y" =
z+
y { x ) = yh{x) + y i p { x ) Ha az inhomogén egyenlethez rendelt homogén egyenlet általános megoldása ismert, akkor az inhomogén egyenlet általános megoldása meg határozható az állandók variálásának módszerével is. Feltesszük, hogy ez a megoldás C\ {x)y^ (^) + Co (x ) y 2 (jc)+. ■-+C„ (x)y„ ( x ) , n ül. rövidebben jelölve y = ^ C , ( x ) > ’,(jc) alakú, ahol a C, (x) új ismeretlen függvényeket úgy határozzuk meg, hogy a z y függvény kielégítse az inhomogén egyenletet. A feltételeinket kielégítő n számú C, (x) függvény a
z + e^z",
X c ;W > - ,= 0 ; /=1
amit behelyettesítve az eredeti egyenletbe, rendezés és összevonás után az xz" + / ( x - l ) = 0 differenciálegyenletet kapjuk. A z ' - p{x) helyettesítés után az egyenlet alakja:
/ =1
xp' + p { x - 1 ) = 0 , amely elsőrendű és szétválasztható. Általános megoldása
X c ;W :v ,'" --> = 0; 1=1
p = C x e ~^,
így, mivel z - p(x), z -
= H x)
j C x e ~ ^ d x = Ce~^ (x +1) + AT.
'=1
Felhasználva azt, hogy y=e^z, az eredeti differenciálegyenlet általános megoldása: JV =
(c e ~ "
(x +
1) + k ) = C,e'^
+
C2 (x
+ 1 )
.
n egyenletből álló differenciálegyenlet-rendszer megoldásával nyerhető. Az egyenletrendszer a C/(x) ismeretlenekre egyértelműen megoldható,
Közönséges differenciálegyenletek
478
mivel a rendszer determinánsa fV(x) 7^0. A C'(x) függvények ismeretében integrálással kapjuk a Q ( x ) függvényeket (i = l,2,...,n), amelyek mind egyikében egy integrációs konstans is szerepel. Ezeket behelyettesítve az általános megoldás feltevés szerinti alakjába, megkapjuk az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldását. Lényeges megjegyezni, hogy ha a Q ( x ) függvények meghatározásánál az integrációs állandókat rögzítjük - például nullának vesszük azokat, akkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását kapjuk. így mondható az, hogy az állandók variálásának módszere alkalmas az inho mogén egyenlet egy partikuláris megoldásának megkeresésére is (lásd a 6.4.2. b) pont példáját). Az inhomogén differenciálegyenlet megoldásához néha felhasználható az alábbi tétel is: Ha csak a zavarófüggvényekben különböző
L„[y]=^r^{x) egyenletnek 7 i(.x), ill.
L „ [y]^r2{x)
ill.
6.4.2. Állandó együtthatójú differenciálegyenlet
479
Ha g(x)= 0, akkor az egyenlet homogén, ellenkező esetben inhomogén. Az általános alakú egyenletet az a„ ^ 0 állandóval osztva, megkapjuk a differenciálegyenlet normálalakját: Ln[y] = y^"^ ah o lé^ = —
+
=
,
(k = 0,\,---,n) és r{x) = - ^ - ^ , Cly,
a) Az állandó együtthatójú homogén lineáris differenciálegyenlet normál alakja tehát Ln [y =
+ ^n~\y^’^
+■ ■■’^ h y ' + ^ ^y ~ o
Ennek a differenciálegyenletnek általános megoldásához, minthogy a 6.4.1. pont tételei erre is igazak, elegendő az egyenlet n lineárisan függet len partikuláris megoldását ismerni. Az egyenlet partikuláris megoldásait az Euler-eljárás szerint
partikuláris megoldása, azaz
L „ [ y \{ x )] ^ i\{ x ),
ill.
L„[y 2 Íx)] = r2 Íx),
akkor
alakban keressük, ahol r állandó. Ennek deriváltjai: / = re
yi(x)+y2(x)
Ezeket behelyettesítve a homogén egyenletbe,
partikuláris megoldása az e''-*' ( r ” +
ahol e'^ ^ 0 . A bal oldal második tényezőjét, a
differenciálegyenletnek, vagyis 4, b l
(x) + yi (^)] = n (^) + (x) •
A gondolatmenet megfordítása is igaz. Megjegyzés. A differenciálegyenlet megoldása során nem szükséges a normálalakra áttérni.
6.4.2. Állandó együtthatójú differenciálegyenlet Az állandó együtthatójú n-edrendű lineáris differenciálegyenlet általános alakja: ■■+a^y' + ciQy = g { x ) , ahol
(k = 1 ,2,...,«) valós állandók, a„ ^ 0 , é s g folytonos a megoldási
intervallumon.
+.. ,+bir + Öq ) = 0,
K„(ry.= r^ +b„_,r^-^+...+b,r + bo polinomot a differenciálegyenlet karakterisztikus poiinomjának, az r ” + by^_\r^ ^+.. ,+b^r + bQ — 0 egyenletet pedig karakterisztikus egyenletének nevezzük. Ennek az nedfokú algebrai egyenletnek n gyöke van (amelyek nem feltétlenül külön bözőek). A gyökökkel képzett e ^ függvények az egyenlet partikuláris megoldásai. A karakterisztikus egyenlet gyökei alapján négy esetet különböztetünk meg: 1. Az /], rj, r„ gyökök mind különbözőek, és mindegyik egyszeres valós gyök. Ekkor a megfelelő partikuláris megoldások: y^{x) = e ’'^\
y2Íx)=^e’'^-\
...,
y„(x) = e ''« \
Közönséges differenciálegyenletek
480
Ezek alaprendszert alkotnak, mert egyrészt kielégítik a differenciál egyenletet, másrészt egymástól lineárisan függetlenek, mivel a Wronskiféle determinánsuk
6.4.2. Állandó együtthatójú differenciálegyenlet
481
4. A karakterisztikus egyenletnek van többszörös komplex gyöke is; le gyen például rj = M+ /v, t > 1 multiplicitású. Akkor ennek konjugáltja, Á\=M-/v, szintén /-szeres gyök. E komplex gyökpámak megfelelő valós, lineárisan független, partikuláris megoldásrendszer:
W (x) =
r^e
roj
^0; n~\
n-\
+.. . + C , y
2. A karakterisztikus egyenletnek többszörös valós gyökei is vannak. Legyen például r^ í-szeres gyök. Ekkor igazolható, hogy az
függvények mindegyike megoldás és lineárisan függetlenek is. A többi gyök mindegyikéhez hasonlóan felírva a partikuláris megol dásokat, n számú megoldást kapunk, amelyekről bebizonyítható, hogy alaprendszert alkotnak. 3. A karakterisztikus egyenletnek egyszeres komplex gyökei is vannak. Ismeretes, hogy minden rj^ = u + iv komplex gyök ^ = u - i v konjugáltja is gyöke a (valós együtthatójú) egyenletnek. így minden konjugált komplex gyökpárhoz g{u+iv)x
g (« -'v )x
alakban írható fel két egymástól lineárisan független partikuláris megoldás. Felhasználva az Euler-féle összefüggést, g ( “ + 'v ) ^ = e * "
(cos VJC + isin
= e^{co svx-iú n vx),
V.X);
és így az alaprendszerben minden konjugált gyökpárhoz az yj^ = e ^ cos vx;
y jix ) = xe^co svx,
y,(x) = x ‘ ^e^co svx;
_y*(;v) = e*“ si n vx,
y l(x ) = x e ^ s in v x .
y*(x) = x ‘~ ^e ^ sm v x .
A karakterisztikus egyenlet minden gyökéhez felírva a megfelelő parti kuláris megoldásokat, megkapjuk az állandó együtthatójú homogén diffe renciálegyenlet alaprendszerét, amelyhez a Q (k = \,2,...,n) együtthatókat is valósnak választva, felírhatjuk az általános megoldást is (valós alakban).
ui. az utóbbi determináns az ún. Vandermonde-féle determináns, amelynek értéke zérustól különböző. A differenciálegyenlet általán o s m egoldása tehát: j;(jc) =
y\{x) = e ^ c o s v x ,
y\ =
sin v j
valós függvénypár szerepelhet két egymástól lineárisan független partiku láris megoldásként. Itt ugyanis felhasználható az a tétel, hogy a komplex alakú megoldás valós része is és képzetes része is megoldás.
Példák Oldjuk meg az alábbi lineáris állandó együtthatójú homogén differenciálegyenle teket: 1. y " + y ' - 2y = 0; 2. y " ' - 2 y " - 3 y ' = 0; 3. y" + 2y' + y = 0; 4 . y"' + y" = 0; 5. y" + 6y' + l3y = 0; 6. y^‘*^+4y"' + 5y" + 4y' + 4y = 0. Megoldás. Mindegyik egyenlet (partikuláris) megoldásait y = e'^ alakban keressük. 1. A karakterisztikus egyenlet: r" + r - 2 = 0. Ennek gyökei: r, = 1, r, = -2. Ezek egyszeres valós gyökök, ezért a megoldások: yi = e X , y 2 = e - 2 x . E két megoldás a differenciálegyenlet alaprendszerét alkotja. Ezért az általános megoldás: y = C y + C2e~~^. 2. A karakterisztikus egyenlet: r ^ - 2 r ^ - 3 r = 0. Ennek gyökei: r^ = 0, ^2 = r^ = 3. Az alaprendszer: =6 y, = e^^ = l, y, = e-^ >-^3 ~ Az általános megoldás: 3r y = C, + + Cje""". 3. A karakterisztikus egyenlet: r~ + 2r + \ = 0.
Közönséges differenciálegyenletek
482 Ennek gyökei: alaprendszer:
=
/2 = “ 1- Kétszeres valós gyökök esete áll fenn, ezért az y\ =
V2 = xe~^.
Az általános megoldás: y = Cxe~^ + C2xe~^. 4. A karakterisztikus egyenlet: r^ + r ' = 0,
azaz
y^ = l,
/'"(/• + 1) = 0.
y , = x,
,
5. A karakterisztikus egyenlet: /•-+ 6r + 13 = 0. Ennek gyökei: r| = -3 + 2/', r2 = - 3 - 2 i . Komplex gyökökről lévén szó, az alaprendszer: yj = e cos2x, y 2 = e sin2:c. Az általános megoldás: y=
cos2x +
sin 2x .
6. A karakterisztikus egyenlet: r'* + 4r^ + 5r" + 4r + 4 = 0,
= Az általános megoldás: y=
.
általános megoldását a hozzá
homogén egyenlet y ^ i x ) általános megoldásának és az inhomogén egyen let egy yj ^ {x ) partikuláris megoldásának összegeként kaphatjuk meg; y { x ) = yh{x) + y i p { x ) .
= ^1 (^) + Q (x)cos X+ C3(x) sin X
Ennek az egyenletrendszernek a megoldása:
együtthatók valós állandók és r folytonos a megoldás intervallu
mában. Az inhomogén differenciálegyenlet rendelt 4 ,M = o
;^3 = sinx.
Cj' •1+ Ct cosx + C3 sinx = 0, Q' •0 - C2 sin X+ C3' cosx = 0, C,' •0 - C, cosx - C3 sinx = tgx
b) Az állandó együtthatójú inhomogén lineáris differenciálegyenlet normálalakja
ahol a
y\ = ^, j 2 = cosx,
>^4 = sinx.
•-+ h y ' +
r(r" + l) = 0.
alakban. A Q , C2, C3 függvények meghatározásához alkalmazzuk az állandók variálásának módszerét. E szerint
+ C2xe~^^ + Cj cos :<:+ C4 sin x.
Ln [j^] = 3^^”^ +
azaz
A homogén egyenlet általános megoldása: yij = C^ + C2 cosx + C3sin x.
azaz
= -2, ^3 = j, 74 = -i. Az alaprendszer: y2 = xe~^^, y3 = cosx,
r^ + r = 0,
Ennek gyökei: ^1= 0, r2 = i, r^ = -i. Az alaprendszer:
Az inhomogén egyenlet egy yj ^ partikuláris megoldását keressük
( r - +4 r + 4)(r- + l) = 0.
Ennek gyökei: rj = -2,
A homogén egyenlet általános megoldását az a) szerint, az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását pedig vagy a határozatlan együtthatók módszerével (lásd a c) pontban), vagy az állandók variálásának módszeré vel a 6.4.1. b) pontban leírtak szerint állítjuk elő.
Megoldás. Az egyenlet harmadrendű, lineáris, állandó együtthatójú és inhomogén, r(x) = tg;í. A hozzárendelt homogén differenciálegyenlet: / " + / = 0. A karakterisztikus egyenlet:
y j = e~''.
y = C^+ C2X +
483
Példa Oldjuk meg az y ' " + y " = tg^: differenciálegyenletet.
Ennek gyökei: rj = 0, ^2 = 0, /3 = -l. Az alaprendszer: Az általános megoldás;
6.4.2. Állandó együtthatójú differenciálegyenlet
C{ = tgx. Cl = -sinx,
.9 C3 = - sm“ x
Innen (integrálással) Cl = - In cosx,
C2 = cosx,
C3 = -lntg^-|- + - j j + sinx.
Az integrációs állandókat nullának választottuk, mivel csak egyetlen partikuláris megoldásra van szükségünk. Tehát yj p = -ln c o sx + co s^x-lntg -|- + -~]-sinx + sin“ x = 2 4 = 1-ln c o s x -s in x ln tg Z. + ÍL U 4. így a differenciálegyenlet általános megoldása y = yi, +yij, = Q +C2 C0SX+ C3 sinx + 1 -ln c o sx -s in x •lntg|^y + -^ ].
Közönséges differenciálegyenletek
484
c) P a rtik u lá ris m egoldás közvetlen keresése a h a tá ro z a tla n eg y ü tth a tó k m ódszerével (próbafügg v én y m ódszere). Az Ln[y] = f { x ) állandó együtthatójú inhomogén lineáris differenciálegyenlet egy partiku láris megoldását az állandók variálásánál lényegesen egyszerűbben előál líthatjuk az ún. határozatlan együtthatók módszerével az alábbi speciális r{x) zavarófúggvények esetén: 1. A zavarófüggvény alakja r{x) = P { x ) e '^ , ahol P{x) az X változó polinomja. Itt két esetet kell megkülönböztetni: а) ha u nem gyöke a K„{r) = 0 karakterisztikus egyenletnek, akkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását yp= ^Q {x)e^ alakban keressük, ahol Q{x) ismeretlen együtthatós polinom, melynek fokszáma megegyezik a P{x) polinom fokszámával. б) ha w a Ky^{r) = 0 karakterisztikus egyenletnek'í-szeres gyöke, akkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását yp = xQ {x )e "“ alakban keressük, ahol a Q{x) ismeretlen együtthatós polinom fokszáma megegyezik a P{x) polinom fokszámával. Az ismeretlen együtthatókat az K [ y p \ = ^ ix ) egyenletből úgy határozzuk meg, hogy az egyenlőségjel két oldalán az azonos fokszámú tagok együtthatóit egyenlővé téve, az így kapott algebrai egyenletrendszert megoldjuk. Ez utóbbi esetben, a fizikából vett analógia alapján, azt mondjuk, hogy rezonancia esete áll fenn. 2. A zavarófüggvény alakja r(x ) = M cosvx + N s in v x ,
6.4.2. Állandó együtthatójú differenciálegyenlet b)
485
ha iv a K„{r) = 0 karakterisztikus egyenletnek í-szeres gyöke (rezo
nancia), akkor a partikuláris megoldás alakja: y p = x \ A COSV.X+ B sin v x ). 3. A zavarófüggvény alakja r(x) = P { x ) e ^ COSVX + Q { x ) e ^ sin v x , ahol P{x) m-edfokú és Q{x) n-edfokú polinom. Ekkor a) ha u + iv nem gyöke a K„{r) = 0 karakterisztikus egyenletnek, akkor az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása yp = S { x ) e ^ cosvx + Z { x )e ^ s m v x alakú, ahol az S {x) és Z {x) polinomok m ax(/«,«) fokúak. b) ha az u + iv szám /-szeres gyöke a K^{r) = 0 karakterisztikus egyen letnek (rezonancia), akkor az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása y p = x ‘ (5 (x )e “* cos vx + Z ( x ) e ^ sin vx) alakú, ahol S{x) és Z (x) fokszámát az a) bekezdés szerint választjuk. M egjegyzések. 1. H a a 2. és 3. zavarófíjggvény-típusokban csak sinvx vagy csak cosvx lép fel, akkor is a megadott alakban kell keresnünk a partikuláris megol dást, azaz mind a cosvx mind a sinvx tényezőt tartalmazó tagnak kell sze repelnie. 2. A fentiek alapján mondható az is, hogy a partikuláris megoldást (a próbaíüggvényt) olyan alakban vesszük fel, mint amilyen alakú a zavaró függvény, rezonancia esetén kis módosítással. Példák Oldjuk meg az alábbi inhomogén differenciálegyenleteket: 1. y" + y' - 6 y = 15e"^; 2. y" - i’ y ' - A y = x~ -5x\ 2L 3. y " + 4y = 5e- cos3x; 4. y"' + y" = l + x- + 3xe^.
ahol M és N állandók. Ekkor az inhomogén egyenlet partikuláris megoldá sát az alábbi módon keressük: a) ha iv nem gyöke a K„(r) = 0 karakterisztikus egyenletnek, akkor a
Megoldás 1. Az y " + y '- 6 y = 0 homogén egyenlet karakterisztikus egyenlete: r ' + r - 6 = 0.
partikuláris megoldás alakja yp = A cosvx + B sin v;\:,
Ennek gyökei: r^ = 2, = -3. Az alaprendszer: y^ = A homogén egyenlet általános megoldása:
ahol az A és B együtthatók határozatlanok.
+ C,e~^\
y^ =
Közönséges differenciálegyenletek Az r{x) - I5e~^ zavaró függvény most egy nulladfokú polinomnak és e"'^-nek a szorzata. Mivel u - 2 és ez egyszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, (rezonancia van), ezért az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását yi,p = alakban keressük. Az A együttható kiszámítása érdekében ezt az Axe'^^ próbafügg vényt helyettesítsük be az inhomogén egyenletbe. Felhasználva, hogy = A[e'^ + 2 xe~^), y'^, = /í
+ 2 e'^ + 4xe"^),
6.4.2. Állandó együtthatójú differenciálegyenlet Az r{x) = 5e-cos3x zavarófüggvény e"^cosvx alakú, vagyis « =
v = 3, és
az y + 3/ komplex szám nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, a P (x )s5 polinom pedig nulladfokú. Ezért az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását (a próbafüggvényt) L yj p = e-(^ c o s3 x + ősin3x) alakban vesszük fel. Ezt behelyettesítve az eredeti differenciálegyenletbe, az
a behelyettesítés és összevonás után az
ír
5Ae-^ = l5e-^ azonosságot kapjuk, ahonnan A = 3. így yj ^,= 3xe~^. Tehát az inhomogén differen
\ - - A + 3B cos3x- 3A +— B sin 3x s 5 e - cos3x 4 4
azonosságot kapjuk. Innen
ciálegyenlet általános megoldása: y ^ y h + yt,p = Természetesen ugyanezt az eredményt kapjuk az állandók variálásával is. 2. A karakterisztikus egyenlet: r “ - 3r - 4 = 0, melynek gyökei: r, = 4, Az alaprendszer:
487
y 2 = e^^, így a homogén egyenlet általános megoldása: 4x , — X yf, = C[e + €26 .
A zavaró függvény x~ - 5 x = (x~ -5x)e'^^, ahol 0 nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek. Ezért az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását = Ax~ + Bx + C
- ^ ^ + 35 = 5, - 3 A - ^ B = 0. 4 4 Ennek az egyenletrendszernek a megoldása 76 B = 48 101 ’ lo r így a keresett partikuláris megoldás: X .
-
2 Í _ 2 í -cos3x + - ^ s in 3 x 101 101 Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása: y = C\ coslx + C js in lx + e -
alakban keressük. Ezt behelyettesítve az eredeti inhomogén egyenletbe (miközben felhasználjuk, hogy y'^^ = 2Ax + B, y''p- 2 A), a -4Ax" + i - 6 A - 4 B ) x + 2 A - 3 B - 4 C = x~ - 5x azonosságot kapjuk. Az együtthatókat összehasonlítva, a - 4 A = l, - 6 A - 4 B ^ - 5 , 2 A - 3 B - 4 C = 0 egyenletrendszerhez jutunk. Ennek megoldása: 4’
Ö-1 3 8 ’
így a keresett partikuláris megoldás:
4.
^ = - ~1x „2 ~ +, 13
43
^ 48 . -cos3x + ---- sin 3x 101
A karakterisztikus egyenlet: r +r~ = 0, melynek gyökei: rj= 0 , ?2=0,
r3 = - l. Az alaprendszer: >’] = 1, >"2= x, y^ = e~’^, így a homogén egyenlet általános megoldása: = Cj + CtX + C^e ^ . A
32 ■
76
101
zavarófüggvényt bontsuk két részre r(x) = ri(x)+/2(x)
módon, ahol
ri(x) = 1+ x", rnix) = 3xe^. Keressük a partikuláris megoldást az y"' + y " = l + x~
32'
y'" + y " = 3xe^
és az
Tehát a differenciálegyenlet általános megoldása: 4x + J3^_43 y = yh+y/,p = Q^ + 4 ^ + 8 ^ 32'
egyenletekhez külön-külön. Az első esetben a partikuláris megoldást
3.
alakban vesszük fel, mert a 0 szám kétszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek.
A karakterisztikus egyenlet: /•■' + 4=0, melynek gyökei: r] =2/, r2= -2/. Az
alaprendszer: y^ = cos2x, y 2 - sinlx, így a homogén egyenlet általános megoldása: >>/, = C[ cos2x + C2 sin2x.
yfp = x~{Ax~ + Bx + C) Ekkor a z A , B , C ismeretlenekre az ^ megoldás:
a
^
I
-j ^
1
.
^ partikuláris
Közönséges differenciálegyenletek
488 y,P = ^
’>Í3
489
r ( r - l ) . . . ( r - « + l)+ 6 „ _ jr(r“ l ) . . . ( r - n + 2 )+ ...+ 62r ( r - l ) + 6ir + 6o = 0
l ^
1
6.4.3. A z Euler-féle differenciálegyenlet
ún. karakterisztikus egyenletet kapjuk. Ez «-edfokú, tehát n gyöke van. Ha mindegyik gyöke egyszeres, akkor az
A második esetben a partikuláris megoldás alakja: y,p = e^{C x + D).
y x = x ’’^-,
Behelyettesítve ezt az y"'+y"=3xe^ egyenletbe, a C = -|-, D = - ^
eredmény
re jutunk, Tehát ez a partikuláris megoldás:
lineárisan független függvények alkotják a homogén egyenlet alaprendsze rét, s így a homogén egyenlet általános megoldása: yi^ —C\X * + C-yx ~ +.. .+C„.x^” .
yi,P=^ Az eredeti differenciálegyenlet partikuláris megoldását e két megoldás összege adja. így az általános megoldás:
Az Euler-féle differenciálegyenletet, mint arról egyszerű behelyettesítés sel meggyőződhetünk, x > 0 esetén az x = e‘ ,
A partikuláris megoldást tennészetesen kereshettük volna yjp =x~(Ax~ + Bx + C) + e^ (Ex + D)
alakban is.
6.4.3. Az Euler-féle differenciálegyenlet Az «-edrendű Euler-féle differenciálegyenlet a változó együtthatójú n-edrendű lineáris differenciálegyenletek speciális típusa; általános alakja: a„x"y^'^'> +
. .+a^xy' + a^y =^g{x),
ahol minden a^. állandó és a„ ^ 0. Osztva az egyenletet a„ -nel, a nor málalakot kapjuk:
.. ^ h , x y ahol
+ b^y = r ( x ) ,
Ha g azonosan egyenlő zérussal, akkor az Euler-féle differenciálegyenlet homogén: + b ,v ''+ * 0 / = 0
.
Könnyen belátható, hogy a homogén egyenlet partikuláris megoldásait x > 0 esetén
hatványfüggvény alakban kereshetjük. Ugyanis az x ’' függvényt és az y " = r{r-l)x''~ ~ ,
transzformációval állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletté alakíthatjuk, amit a 6.4.2. pontban ismertetett módon oldhatunk meg. Igazolható, hogy ennek a differenciálegyenletnek ugyanaz lesz a karakte risztikus egyenlete, mint az eredetinek. Mindezek következtében ha például a karakterisztikus egyenletnek ^-szoros gyöke, akkor a transzformáit homogén egyenlet e gyökhöz tartozó lineárisan független megoldásai: /k t , te'’k \ t-e''k\ . Mivel e‘ =x, azaz / = ln.x, ezért az eredeti homogén egyenlet ugyaneh hez a gyökhöz tartozó megoldásai: x ''n n x ,
x ’'> ‘{ln x f,
...,
;c " ^ (ln x )^ -',
Komplex gyök esetén hasonló módon járunk el. Ha például u + iv a ka rakterisztikus egyenletnek egyszeres gyöke, akkor az cosvt és e"' sin vt függvények a transzformáit homogén egyenlet lineárisan független megol dásai. így az eredeti homogén egyenlet megoldásai:
= ^ és r(x) = a„ a„
y ' = rx''~^,
t = ln.x
azaz
...,
y^'^^= r ( r - l ) . . . ( r - « + l)x '’" ”
deriváltakat az egyenletbe helyettesítve és jí^-rel egyszerűsítve, az
x “ cos(vlnx),
x “ sin(vln.x).
Az inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldását az állandók variálásával vagy közvetlen kereséssel határozzuk meg, ahogy azt a 6.4.2. pontban leírtuk. Példák Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket: 1. x^y'" - 2 x y ' = 0; 2. x 'y " -3 x y ' + 5y = x~] 3. x^y'"+ 2 x ~ y " - 6 x y '= x^ + X.
Közönséges differenciálegyenletek
490
6.4.4. M ásodrendű differenciálegyenletek
Megoldás 1. A megoldást y = x ' alakban keressük. A karakterisztikus egyenlet
491
6.4.4. M ásodrendű differenciálegyenletek
r ( r - l ) ( r - 2 ) - 2 r = 0.
Ennek gyökei:
= 0,
= 0, 73 = 3. így az alaprendszer:
y, = Az általános megoldás:
= 1, ;V2 = í ■í”
^3 =
•
y = C-^+C2 Inx + Cjx^ . 2. Először az x~y" - 3 x y ' + 5y = 0 homogén egyenletet oldjuk meg. A karakte risztikus egyenlet /-(r -1 ) - 3r + 5 = 0. Ennek gyökei: r^ = 2 + i, /^ = 2 - i. Az alaprendszer: >'1 = X" coslnjx:, J 2 =
^■
A homogén egyenlet általános megoldása: y/, = CjX" cos In a: + C2X" sin In x . Ha az x = e‘ helyettesítéssel visszavezetnénk az inhomogén egyenletet állandó együtthatójúra, akkor annak zavarófüggvénye x~ = e~‘ lenne. Ehhez pedig Ae~' alakban keresnénk partikuláris megoldást. Ennek az x változóban az
Ebben a pontban néhány hiányos másodrendű differenciálegyenletet, valamint egy nevezetes másodrendű differenciálegyenletet, az űn. rezgési differenciálegyenletet és a másodrendű differenciálegyenletre vonatkozó peremérték-feladatot tárgyaljuk. a) H iányos másodrendű differenciálegyenletek. Az általános y " = f { x , y , y ' ) explicit vagy F { x , y , y ' , y " ) = Q implicit alakú másodrendű differenciálegyenletet hiányosnak mondjuk, ha abból az ^5 y, y ' változók közül legalább az egyik hiányzik. Az alábbi eseteket tárgyaljuk: 1. Ha a másodrendű differenciálegyenletből és y ' hiányzik, akkor an nak explicit alakja: = /(^ ) ■ Az általános megoldás két egymás utáni integrálással nyerhető. Az első integrálás után
yi,P =
y = f(x)d x + Q ,
függvény felel meg. Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe, az ^ = 1 ered
majd újabb integrálással az
ményt kapjuk, azaz yj p = x~. Tehát az általános megoldás:
>" =
y = yh +yi,p = ^ i x ' cos In X+ C2X^ sin In x + x“. 3. A karakterisztikus egyenlet: r ( r - l ) ( r - 2 ) + 2 /'( r - l) - 6 /- = 0. Ennek gyökei: = 1, y 2 = x^, y^ = x~~. A homogén
r, = 0, /*2= 3, ^3 = -2. Az alaprendszer: egyenlet általános megoldása:
/ (x)í£x)c6c + Qjc + C2
általános megoldást kapjuk. Ha az egyenlet F ( x , y " ) = 0 implicit alakú, akkor azt _y"-re feloldva, az előző esetre vezetjük vissza (ha ez lehetséges). Példa Határozzuk meg az y" = 5sin2x differenciálegyenlet általános megoldását.
X~ Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását keressük
Megoldás. Az első integrálással adódik: y ' = —j c o s 2 x + C l.
yj p = Ax^ \nx + Bx
A második integrálás eredménye, s egyben az általános megoldás: alakban. A zavarófüggvény x = e^ részéhez ugyanis Ae^' ■( = Ax^ Inx alakban keresünk partikuláris megoldást, mert a 3 szám egyszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek. Az y^ ^ függvényt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe, a két
A megoldás helyességéről az egyenletbe való behelyettesítéssel győződhetünk meg. 2. Ha a differenciálegyenletből y hiányzik, vagyis
ismeretlenre az A = -;^, B = —7 értéket kapjuk. így 15 0 yh
y = --|-sin2x + C]X + C2.
y" = f ( ^ , y ' X iii. F ( x y , y " ) = o
In x -^ x .
alakú, akkor az / = p (x )
Az általános megoldás: y = C i + C 2 X ^ + ^ + - ^ x ^ ln x --|-x . x“
o
új ismeretlen függvény bevezetésével elsőrendű differenciálegyenletre jutunk.
Közönséges differenciálegyenletek
492 Ekkor ugyanis
y
ff
6.4.4. M ásodrendű differenciálegyenletek 3. Ha a differenciálegyenletből
f/\
493
hiányzik, vagyis alakja
y" = f { y , y \ íH- F { y , y ' , y " ) = 0,
és ezeket behelyettesítve az eredeti egyenletbe, a
y = p {y )
akkor az
p ' = f { x , p ) , m . F { x ,p ,p ') = 0 elsőrendű differenciálegyenletet kapjuk. A p ' = f { x , p ) egyenletből a p = p (x ,C i) függvényt meghatározzuk,
új ismeretlen függvény bevezetésével elsőrendű differenciálegyenlethez ju tunk. Ekkor ugyanis
majd utána az y = p {x,C i) elsőrendű differenciálegyenlet integrálásával
dx
megkapjuk az eredeti egyenlet általános megoldását:
dy dx
dy
dy
Behelyettesítés után a y=
p {x,C i)d x + C2-
^ p = f ( y , p ) , ill. F ( y . p . ^ p ) = 0 Példa Határozzuk meg az y" = - - J l + y'~ differenciálegyenlet y(0) = a; jv'(0) = 0
egyenletet kapjuk. Ha ebből az elsőrendű egyenletből meghatározzuk a p ( y ) függvényt
kezdetifeltételeket kielégítő megoldását. Megoldás. Az y' = p{x) helyettesítéssel y ' = p' és így a
p = p{y,C\) alakban, akkor az eredeti differenciálegyenlet általános megoldását a
dx a elsőrendű differenciálegyenletre jutunk. A változókat szétválasztva: dp ■ /T f/ ebből
ln(/? + -\jl + p~) = — + C],
melyből p-t kifejezve;
^= p (yA )
a azaz
arsh/? = —+ C|,
szétválasztható változójú elsőrendű differenciálegyenlet megoldása adja meg F (x,y,Q ,C 2 ) = 0 alakban. Példa
/7 = s h U + C, ).
„ 2{y')Határozzuk meg az y = — j—— differenciálegyenlet általános megoldását.
Mivel azonban p = y ' , ezért y = sh^—+ Cj j, ahonnan integrálással kapjuk az y = a - chj — i-Cj )+
általános megoldást.
A kezdetifeltételeket kielégítő partikuláris megoldáshoz C, és értékét kell még meghatároznunk. Kihasználva az y{0)=a és >''(0) = 0 azaz p(0) = 0 feltétele ket a Cl és C2 állandók meghatározására az a = a c h C i +C 2 0 = shC| egyenleteket kapjuk. Innen C i= 0 , € 2 = 0 . Tehát a kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldás: y =a c h ^ =f a 2
{láncgörbe).
Megoldás. Mivel x hiányzik az y'=p(y) helyettesítést alkalmazzuk. Ekkor y"= ^ p , dy s igya dy
\-y
elsőrendű differenciálegyenlethez jutunk. Ha dp p
akkor
Idy 1-;^ ’
ln|/>| = 21n|l->'| + lnC|, P =C ,{ \ - y f .
ahonnan azaz
Közönséges differenciálegyenletek
494
6.4.4. M ásodrendű differenciálegyenletek
495
Ezt a mozgást csillapított rezgésnek nevezzük. Ha ez utóbbi esetben a = 0, vagyis súrlódó erő nincs, akkor (3 = co, így
Felhasználva, hogy p = y'
.X= C] cos&t + C2 sincoí dy
_
Ha a pontra külső erő (gerjesztés) is hat, akkor a rezgés differenciál egyenlete
(1 -y ) 1
az általános megoldás;
i-j
“
C\X "f Co 5
x + 2 a x + (í?x = r{t)
1
explicit alakban:
(csillapítatlan rezgés esete).
alakú (tehát inhomogén), ahol r{t) az ún. gerjesztő függvény.
C^X H"C2 Példa
b) A rezgési differenciálegyenlet. Egy egyenes (az x tengely) mentén mozgó m tömegű pont mozgását a t idő függvényében az mx = - D x ~ Iá differenciálegyenlet írja le, ahol ;c a pont elmozdulását (kitérését), - D x az elmozdulással arányos és azzal ellentétes irányú rugóerőt, - k x pedig a sebességgel arányos és azzal ellentétes irányú súrlódóerőt jelenti ( m > 0 , D > 0 , k > 0 állandók). Az egyenlet mindkét oldalát osztva w-mel,
Oldjuk meg az x + (0"x = 0,1 sinpt rezgési differenciálegyenletet, majd keressük meg azt a partikuláris megoldást, amely kielégíti az x(0) = 0, x(0) = 0 kezdeti fel tételeket. Megoldás. A homogén egyenlet általános megoldása X/, = C] cos Cú? + C2 sin co?, Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását Xj^p = A cos pt + 5 sin pt alakban keressük (ha p ^ ( ü ). Ezt behelyettesítve az inhomogén egyenletbe
2 a = — , co" = — jelöléssel, az m m
1
jc + 2 a i + (ö“x = 0 alakú, állandó együtthatójú, lineáris, homogén egyenletet kapjuk, melyet rezgési differenciálegyenletnek nevezünk, ahol x = x (t) az ismeretlen függvény. A karakterisztikus egyenlet r~ + 2 a r + co" = 0 , melynek gyökei:
9
(s)~-p~
értékeket kapjuk. Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása: x = C\ C0SCŰÍ + C2 sinco/ + - 0,1 — ?,mpt. CO" - p “
A kezdeti feltételeket kielégítő megoldás megkereséséhez számítsuk ki az x deriváltat:
rj 2 = - a ± Va~ - (ű" .
Í = -C;cosinco/ + G co co sco í----- -- ■cosp? . C0“ - p~
1. Ha a > (0, akkor mindkét gyök negatív és egymástól különböző. így az általános megoldás: jc = C ie^‘ + € 2 6 ^-
{kritikus csillapítás esete).
3. Ha a < (O, akkor mindkét gyök komplex, és rj 2 = - a + /p,
ahol (3 = Víű~ - a" .
Ekkor az általános megoldás: ;c = e ' ^ ‘ (Q cosP? + C2 sin(3/)
0 = Q,
{erős csillapítás esete).
2. Ha a = co, akkor n = ^2 = “ Oc, így az általános megoldás: X=
Az x(0) = 0 és x(0) = 0 feltételek következtében
{gyenge csillapítás esete).
Innen
C
2
0 = C20ű
=
- ^
,
I
OJP
CÚ" -
p~
C i = 0 ,
p"-co" Í 0,1/7 . 01 . így ez a megoldás: x = ----- — -y-smco í ---- —^sm p t (£>{p~ -CÚ“) p -(Ü~ Mind az általános, mind ez utóbbi partikuláris megoldásból látható, hogy ha a gerjesztöfüggvény frekvenciája tart a rezgés sajátfrekvenciájához (azaz /? -> co ese tén), akkor a megoldás amplitúdója tart a végtelenhez (rezonancia lép fel).
Közönséges differenciálegyenletek
496
Ha p = (ü, akkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását
497
A peremértékek miatt 0 = C |,
í(^coscű/ + Bsincú/) alakban keressük (lásd a 6.4.2. pontot). Ekkor A =
6.J.J. Megoldás Taylor-sorml
1 = C ,.
Ez nyilván ellentmondás, tehát ennek a feladatnak nincs megoldása. 5 = 0.
3. Az általános megoldás itt is y = Q C0SX+ C2 sinx.
c) A másodrendű differenciálegyenletre vonatkozó peremértékfeladat.
A peremértékeket felhasználva:
y " = f { x , y , y ' ) vagy F ( x , y , y ' , y " ) = 0
0 = C, • 1 + Co ■0,
másodrendű differenciálegyenletet. Az [a,b] intervallumon keressük ennek
0 = C, -l + Co O.
Tekintsük az
az egyenletnek azt a megoldását, amely kielégíti az y (a ) = yi
és
y{b) = y 2
Innen C, = 0, C, pedig tetszőleges állandó. így a feladatnak végtelen sok megol dása van. A megoldás: y - C i sinx.
ún. peremfeltételeket, ahol y^ és y 2 adott állandók. Magát a feladatot peremértékfeladatnak nevezzük. A kezdetiértékfeladat és a peremértékfeladat között tehát az a különb ség, hogy a kezdetiértékfeladatnál azt írjuk elő, hogy a megoldás (görbéje) menjen át egy adott ponton és az érintő iránytangense itt megadott érték legyen, míg a peremértékfeladatnál azt írjuk elő, hogy a megoldás (görbéje) menjen át két adott ponton. A fenti peremértékfeladatnak, amely általánosabb alakban is felírható, vagy egyértelmű megoldása van, vagy nincs megoldása, vagy végtelen sok megoldása van. Példák Oldjuk meg az alábbi peremértékfeladatokat: 1. = y(0) = 0,y{l) = 22. y " + y = 0, >^(0) = 0, y(2n) = 1; 3. y" + y = 0, y(0) = 0, y(2n) = 0. Megoldás 1. A differenciálegyenlet általános megoldása:
6.5.
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK MEGOLDÁSA VÉG TELEN SOROKKAL
Az rt-edrendű közönséges differenciálegyenletek megoldását általában nem sikerül elemi függvények közötti véges sok „m űvelef’ segítségével előállítani. Ha azonban a differenciálegyenlet y^"^^ = f{ x ,y ,y \ y " ,...,y ^ ''~ '^ ^ ) explicit alakban kifejezhető, akkor adott
kezdetifeltételeket kielégítő partikuláris megoldása esetleg végtelen sor alakjában előállítható. Gyakran megelégszünk adott pontosságú közelítő megoldással, amit a sor néhány tagjának összegezésével kaphatunk. A következőkben erre mutatunk be eljárásokat. További közelítő módsze rek ismertetését tartalmazzák a 9.5.1.-9.5.3. pontok és a [3], [7], [16], [22], [24], [25] munkák.
y = Cje'' + C2e~\ A peremfeltételeket figyelembe véve, 0 = Cj + C2,
6.5.1. M egoldás Tayior-sorral
1 = Cie + C2e~\ Innen Cj = - ^ , Co = - 7 ^ 5 így a peremértékfeladat egyértelmű megoldása: shl 2 shl ■
2. Az általános megoldás:
y = Cj cosx + C2sin x .
Az adott kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldást keressük y = y Q {x Q )+ ^ ^^ {x -X Q )+ ^^ -^{x -X Q )-+ ... Taylor-sov alakban. A kezdeti feltételekből az y{^ o ) = yQ,
y '( x o ) = y],
...,
j;^«-’)(xq) =
Közönséges differenciálegyenletek
498 értékek adottak. Az
érték magából a differenciálegyenletből
számítható: y ^ " ' \ x Q ) = f Í H ^ y Q ’y h y i ’---’y n - \ ) ■ A további deriváltak a differenciálegyenlet mindkét oldalának deri válásával állíthatók elő. Bizonyos feltételek teljesülése esetén az így előállított sor a megoldás Taylor-sora.. Példa Határozzuk meg az y " + a~y = 0 differenciálegyenletnek az y{0) = k,-, y \ 0 ) = ak, kezdeti feltételeket kielégítő megoldását. Megoldás. Képezzük a deriváltakat: Mivel
y" = - a ' y ,
így
y'" = - a ~ y ',
6.5.2. Megoldás a határozatlan együtthatók módszerével
499
alakban vesszük fel, ahol q tetszőleges valós szám. A megoldás menete abból áll, hogy a megfelelő alakú sort - egyelőre ismeretlen együtthatókkal (és q kitevővel) - a differenciálegyenletbe helyettesítjük és megköveteljük, hogy a differenciálegyenletet azonosan kielégítse. E feltétel teljesülésekor az együtthatók (és esetleg a q kitevő) meghatározható. Példák 1. Határozzuk meg az y " - x y = 0 differenciálegyenlet megoldását. Megoldás. Feltesszük, hogy a megoldás hatványsor alakban előállítható, és hogy az tagonként kétszer deriválható. Képezzük hatványsorából y" hatványsorát: y = X v ” ; / ' = J^ (m + 2)(m + l)c„,+2'X”\ m=0
m-Q
Helyettesítsük a differenciálegyenletbe y és y ” helyébe a megfelelő hatványsort, majd az együtthatókat válasszuk meg úgy, hogy teljesüljön az alábbi azonosság;
y,
y^^^ = a ‘^ y',
^ (f fí + 2 )(m 4 -l)c „ ,+ 2 -^ '" -^ S v "' sO .
y^^^ = a'^y" = -a ^y,
y^"^^ = -a ^ y '.
Ebből az azonos fokszámú tagok együtthatóira az alábbi egyenletek írhatók fel:
y^^^ = -a~y" = Általánosan:
C2=0; 3-2c3-Cq= 0; 4'3c4-q= 0;
A kezdeti feltételeket felhasználva: A kapott deriváltakkal meghatározott végtelen sor (egyúttal a megoldás): 2
y = k^ + k^ax - k^a' ^
3
- k^a^
...; (« + 2)(n + l)c„_^2“ ‘^;?-i
•••>
sígy
4
5
+ k^a‘*
-
<^3;í+1 -
3'4-6-7-.,.'3«(3« + l)
a Cq és Cl együtthatók tetszőleges állandók. A differenciálegyenletet kielégítő végtelen sor:
A hányadoskritérium alkalmazásával könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a végtelen sor minden ;c-re konvergens, s ha a ^j-hez, ill. ^2’höz tartozó tagjait külön-külön tekintjük, akkor látjuk, hogy két elemi függvény ismert sora áll elő. így y = kxC0sax + k2Únax, amelyet most a differenciálegyenlet közvetlen megoldásával is előállíthattunk volna. 6.5.2. M egoldás a határozatlan együtthatók módszerével Az
a 2 { x ) y " + a i { x ) y '+ üQ{x)y = 0
típusú homogén lineáris differenciálegyenlet megoldását most is végtelen sor alakjában keressük, csak most a végtelen sort >'= m=0
ill. y = x^^'^c„,x"' m=0
y = co 1+
2-3
-+■ 2-3.5-Ó
2 -3 .5 ’6-...<3«-l)-3«
f +c,i x + V
3-4
-+
3-4-Ó-7
3'4.6'7-,..-3«-(3« + l)
Könnyen belátható, hogy a sor minden x-re konvergens és tagonként kétszer de riválható, tehát a differenciálegyenlet megoldását e sor valóban megadja. 2. Határozzuk meg az x~y” -\-xy' - r f ' ) y = Qi ún. Bessel-féle differenciál egyenlet megoldását, ahol n tetszőleges valós szám. Megoldás. A 5e55e/-egyenletet
-tel osztva:
Y + y // + — 1 - - ^ >^ = 0. X Ez mutatja, hogy az x = 0 helyen az együtthatókként szereplő függvények szakadásosak, s így a megoldást nem kereshetjük hatványsor alakban.
Közönséges differenciálegyenletek
500
6.5.2. Megoldás a határozatlan együtthatók módszerével
sorral. Először a q értékét határozzuk meg.
Kísérletezzünk az m =0
Feltéve, hogy a 5esjel-féle differenciálegyenletnek van ilyen sor alakú megoldá sa és az tagonként kétszer deriválható, a következőt kapjuk; / = Coqx‘‘~^ + C]{q + \)x^+.. .+c^(^ + y"= Co
+k +
..;
+ Ci(q + l)qx‘^~'^+.. ,+c^ (q + k)(q + k - l)x‘^^*"'+....
Behelyettesítve az eredeti egyenletbe: x~{c(fl{q -
501
Teljesen azonos módon kapjuk q - - n feltevéssel a
oo
+ Cxiq + \)qx'~^+...+c^{q + k){q + k -
“^2^+1 =0; C2k=
(—l)^c 2--------------2“ k\(-n + l)(-n + 2)...{-n + k)
együtthatókat.
Tehát ha n nem egész szám, akkor két lineárisan független megoldást kapunk: (-1)^ yi = coX k!(n + l)(n + 2)...(n + k) k)’
^2 -C oX yt!(-n ( - n + !)(-« +2)...
+
ahol Cq és Cq két tetszőleges állandó. Ha a szokásos módon Cq és Cq értékét az ún. gammafüggvény segítségével az alábbi alakban adjuk meg:
..j +
+x[cQqx‘’~^ +c^{q + l)x^+.. .+c^{q + k)x‘‘'^'^~^ + c^+i(^ + k + \)x‘^'‘-\-.. .j +
2'T(« + 1)’
2 ~ ' T ( l- « ) ’
akkor a gammafüggvényekre vonatkozó (lásd pl. [35], [43]) +{x~ - n~)(cQx‘’ + c^x^*^+...+qx‘^'''^+...j = 0 , amelyből az alábbi egyenleteket kapjuk: Co[q~-n~) = 0,
((^ + 4) " -« ")c4 + C2 =0,
Cifo + l)"-«“) = 0,
............................... .
[{q + l f -n~ )c2 + co = 0,
[{q + k f - n~ )c,, +
((^ +
.......................................................................................... ..
3) - - « - ) c3 +
c, =
0 ,
= 0,
Minthogy q alkalmas választásával a cq kezdő együttható nem zérus, így az első egyenletből q~=tt~, ül. q = ±n. A második egyenletből, q = n feltevéssel, a Ci((n + l) ~ - « -) = 0
(n+ l)r(« + l) = r(n + 2); (« + 2)r(« + 2) - r(« + 3); ... és n egész értékeire a T{n) = { n -\)\ összefüggések figyelembevételével a két megoldás: -n+2k (-1)' (-1)' u ^ ^ k \ T ( n + k + \ ) \ 2 ,5o/:!r(«+A: + l ) U J alakban írható fel. A J,Xx) függvényt n-edrendű, elsőfajú Bessel-függyénynek nevezzük. E két függvény felhasználásával, a Bessel-fék differenciálegyenlet általános megoldása j = c,y„(x) + c2j_„(x) alakban írható, ahol C] és Co állandók, n pedig nem egész szám. A 5ejíe/-függvények értékeit táblázatok tartalmazzák [43]. Ha n egész szám, akkor a J„(x) és ./_„(x) függvények lineárisan függőek, így más alakban kell keresnünk egy lineárisan független megoldást. Az y^ = J„{x) függvénytől lineárisan független partikuláris megoldás az alábbi alakban kereshető: yi -
egyenletet kapjuk, melyből Cj = 0 adódik, továbbá Co
C-, =
[n + l f - n -
_
Cq 2-(« + l ) ’
C2
Cq
2-{n + 2)-2
l \ n + \){n + 2)-\-2
C4 = -
>
ahol z'{x) = u{x),
y 2 =J„(x}lu(x)dx.
azaz
A őeííeZ-egyenletbe való behelyettesítés után az u{x) függvényre egy lineáris elsőrendű differenciálegyenletet kapunk, melyből M(x)-et integrálással meghatároz hatjuk. Ha az így kiszámított y 2 (x)-hQn az állandót a szokásos módon választjuk, akkor a számítás végeredményeként az alábbi függvényt kapjuk: N„{x) = ^ { c + \ n ^ y „ { x ) -
'yir
2 -“k\{n + \){n + 2)...(n + k)
A páratlan indexű együtthatók mind zérussal egyenlők: C2kA-\ =0.
(-1)' ^^Q k \{n + k)\
Y ,m ^+ %rn \m = \
m=l
2)
k\
Közönséges differenciálegyenletek
502
6.6.1. M egoldhatóság és visszavezetés differenciálegyenletre
503
Ezt a függvényt n-edrendű másodfajú Besselfüggvénynek, vagy Neumann-függvénynek nevezzük, ahol C = lim í 1+ i2 + 4-+' 3 • n
. . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLET-RENDSZEREK
6 6
V 0:5772.,.
Ebben a pontban felhasználjuk a differenciálegyenletekre valamint az algebrai egyenletrendszerekre vonatkozó ismereteket.
az ún. Euler-állandó ([43]). A differenciálegyenlet általános megoldása tehát egész n esetén y ^ Q J „ { x ) + C2N„{x) alakban írható fel, ahol a Cj és C2 tetszőleges állandó.
. .L M egoldhatóság és visszavezetés differenciálegyenletre
6 6
3. Határozzuk meg a Tekintsük a következő alakban adott elsőrendű differenciálegyenlet rendszert: y \= f\{x,yh y i,--;y n ) y 2 = f2 { ^ ^ y h y 2 ^ -- -^ y n ) [
differenciálegyenlet általános megoldását. Megoldás. Vezessük be az x - 2 t helyettesítést. Ekkor dt
dx dt
dx ’
’
ahol y\, y 2 ,
tehát a differenciálegyenlet az új változóra:
ilyen differenciálegyenlet-rendszert, amelynek bal oldalán az ismeretlen függvények első deriváltjai vannak és jobb oldala nem tartalmazza az ismeretlen függvények egyetlen deriváltját sem, Cauchyféle normálalak ban adott közönséges differenciálegyenlet-rendszernek nevezzük.
d~y dy x --—^ + x - f - + dx~ 2
1 azaz Bessel-fÜQ, melyre n = — , s így általános megoldása
3
Definíció. A z/fü g g v é n y az |x - x o |< a , |y i - y i o |< 6 , . ..,|: F „ - y „ o N ^
3
y = C^J^{2t) + C2J_i{2t)
alakú.
tartományon (jelölje e z t ű ) az y^, y 2 , ..., >"„ változókra nézve kielégíti a Lipschitz-íúXt\Q\X, ha létezik olyan K > Q szám, hogy
3
3
y n = fn i^,y \,y i,--;y n ). y„ a keresendő függvények és x a független változó. Az
9 4. Határozzuk meg a P ' ^ ~ ^ + t ^ + { 5 r - 9 ) y - Q differenciálegyenlet általános dr megoldását. Megoldás. Vezessük be az x = f S t helyettesítést. Ekkor
\f { x ,y ^ + L y x ,...,y n ahol
^(|A;^i|+...+|Ay„|),
+Ayj,...,_y„ + A^„) és (x ,yi,...,yy,) a tartomány tetszőleges
pontjai. Egzisztencia és unicitástétel; H a az f (i = \,2,...,n) függvények mind
dt
dx dt
dx
’
tehát a differenciálegyenlet az új változóra nézve + xy' + {x~ - 9)y = 0
alakú, azaz fie^seZ-féle, amelyre n = 3 - vagyis n egész -, így az általános megol dás y = CiJ-^{x) + C2N 2Íx), y = C^J^(f5t) + C2N^{yÍ5t).
azaz
egyike a D tartományon folytonos és itt kielégíti a Lipschitz-fdtétdt, akkor a (*) egyenletrendszernek egy és csakis egy olyan yi, y j , ..., y„ megoldása / L\ van, amely értelmezve van az w - ; c o ^ m i n a , - ^ intervallunon és kiV MJ elégíti az >'i(^o)=:>^io;
>^2 (^0)=>^20;
•••;
ynM = yno
kezdeti feltételeket (\fj\< M , M > 0, (i = l , 2 , . . . , n ) .
Közönséges differenciálegyenletek
504
6.6.1. M egoldhatóság és visszavezetés differenciálegyenletre
M egjegyzés. H a a kérdéses tartományban léteznek és folytonosak a
y 2 = q 2 { x ,y \,y { ,- - - ,y \ ''
r)f.
< K, akkor a Lipschitz-
(i,k = \,2,...,n) parciális deriváltak és
^yk ^yk feltétel teljesül. A Caiichy-féle normálalakú, n egyenletből álló elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer - a benne előforduló függvények tulajdonságaitól függő en - visszavezethető egyetlen n-edrendű differenciálegyenletre. Ui. derivál juk a rendszer első egyenletét jc szerint: ^
dx
és helyettesítsük a
dy\ dx ...,
'"
dy^^ dx
deriváltakat rendre az f \ , f ^ , ..., f„
yn = (ín(^’yhyí>---’yi''~^^l és behelyettesítjük ezeket a kifejezéseket az egyenletrendszer utolsó egyenletébe, akkor az yj ismeretlen függvényre
dx alakú n-edrendű differenciálegyenletet kapunk. Ennek megoldása szolgál tatja >^]-et:
kifejezésekkel; ekkor
j;, = G i (x ,C j ,C 2 ,...,C „ ) .
,2 — ^= F 2 {x ,y ^,y 2 ,...,y „ ) dx-
Ezt a függvényt {n - 1) -szer deriválva és a
alakú egyenletet kapunk. Ezt az egyenletet deriváljuk ismét .x szerint és újból az előbbi helyettesítést alkalmazzuk; ekkor ,3
~ ~ ^ = F 2{x,y^,y2,...,y„ ) dx alakú egyenletet kapunk. Ezt az eljárást ismételve, végül a ^ -^= F „ (x ,y i,y 2 ,...,y „ ) dx alakú rt-edrendü differenciálegyenletet kapjuk. Ha az így nyert
dy\
dx~ dx”~^ kifejezéseket q i, q^, ..., ^„-be helyettesítve, rendre megkapjuk az y 2 , ys, ..., y„ ismeretlen függvényeket. Legyenek ezek y2 =G2 (x,C i,C 2,...,C „),
A z yi, y 2 , y^, ..., y„ függvények alkotják a differenciálegyenlet rendszer általános megoldását. A kezdetifeltételek felhasználásával ebből meghatározhatjuk a Q , C^, ..., C„ állandók értékeit. Megemlítjük, hogy ha az eredeti elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer lineáris, akkor az annak megfelelő n-edrendű differenciálegyenlet szintén lineáris.
^ -^= F 2 {x ,y ^ ,y 2 ,...,y n ), dx~
Példa
-^ = F „ {x ,y ^ ,y 2 ,...,y n )
Határozzuk meg a egyenletrendszer első n - \ egyenletéből (ha lehet) kifejezzük az y 2 , y-^, ..., y„ függvényeket .X, y^ és ennek d ~ yi dx^
űf" V i n-] dx
d~yi
y„ =G„ix,C l,C2,...,Cn)■
~ = M x ,y i,y 2 ,--;y n \ dx
dy\ dx ’
505
deriváltjai segítségével:
differenciálegyenlet-rendszer általános meg
oldását. Megoldás. Deriváljuk a második egyenletet x szerint: y " = 3 z '- 5 y '. Helyettesítsük be ide az eredeti egyenletrendszerből a z' és y ' kifejezéseket: y" = 3(2 - x) - 5(3z - 5j^).
K özönséges differenciálegyenletek
506 Rendezés után:
507
6.6.2. Lineáris differenciál-egyenletrendszer
ahol :ki=>'i(x), y 2 = y 2 ( ^ l •••> y n = y n (x ) az ismeretien függvények, f ( x ) ,
y " = -12z + 16y-3x.
f 2 Íx), ..., fnix), valamint ai j(.x), aijix), ..., a„„{x) adott függvények.
Helyettesítsük ebbe az egyenletbe a második egyenletből a 1 z = JL^y'-Sy)
H a fi(x ) = ö (i = \,2,...,n), a k k o r l i n e á r i s differenciálegyen
kifejezést. Ekkor az y" = - \ 2 - ^ { y ' + 5y) + \ 6 y - ' i x ,
azaz
y " + Ay' + Ay = -3;c másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapjuk. A hozzárendelt homogén egyenlet: y ” + Ay' + Ay = Q. Ennek megoldása:
let-rendszerről beszélünk; ha ez nem minden /-re áll fenn, akkor az egyen letrendszer inhomogén. A lineáris differenciálegyenlet-rendszerre teljesül az egzisztencia- és unicitástétel, h a a z a < x < b zárt intervallumon minden aij(x) együttható és /y ( x ) függvény folytonos. Az egyenletrendszer áttekinthetőbbé válik, ha azt mátrix alakban írjuk fel. Legyen a ,i «12 • .. ai„ «21 ^22 •■■ ^2n A = ,
yh=^{C^ + C2x)e~-\ Az inhomogén differenciálegyenlethez keresünk egy partikuláris megoldást yp = Ax-\-B
>^1 72 , y=
^n2 ■•• ^nn _
yn.
f =
~ /r fi fn_
alakban. Az együtthatókra az ^=
0 =1 4 4 értékeket kapjuk. Az inhomogén másodrendű differenciálegyenlet így kapott általá nos megoldása az eredeti egyenletrendszer egyik ismeretlen függvényét állítja elő: = (C, +
■■■’ yn,l(^) a lineáris homogén rendszer megoldá
sa, akkor Cyi i(x), Cy 2^\{x),
rálás nélkül, y' képzése után behelyettesítéssel állítható elő: - 2(Ci + C2x)e"-^ -
Behelyettesítéssel igazolható, hogy 1. ha >'j j(.x), >^2,1
“ f ^+f •
A másik ismeretlen függvény a z = ^ ( y ' + 5y) összefüggés alapján, tehát integ
/ =
alakban írható fel.
ekkor a rendszer
,
s így a behelyettesítés és összevonás után:
Cy„ i(x) is megoldása a homogén rend
szernek, ahol C tetszőleges állandó. V ektoros alakban, ha
megoldás,
akkor Cyi is megoldás. 2. ha
y 2 ,i(x),
és yxi{x), yip_{^),
ynpÁ^) két
partikuláris megoldása a homogén differenciálegyenlet-rendszernek, akkor >^1,1(^) + >"1,2
72,1 (^) + >^2,2
•••=yn,\ (^) + yn,l (^)
szintén megoldása annak. Vektoros alakban, ha yi és y2 megoldás, akkor 6.6.2. Lineáris differenciálegyenlet-rendszer A változó együtthatójú, lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános alakja:
yi + y i is megoldás. A fentiekből következik, hogy a homogén rendszer k darab megoldásá nak bármilyen Q , C 2 , ..., Q állandókkal képzett lineáris kombinációja
dy] — = öl 1 (^ )yi -I- a i 2 (x ) y 2 +.. .+öi„ ix)y„ + / , (x)
szintén megoldása a homogén rendszernek. Ha a homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer n partikuláris meg oldására teljesül az
dyi _ = a2\{x)yi + 022 (x)}^2 +• • ’+öl/i i^)yn + h (^) dx
y\,i J^2,i yn,\ y \,2 y ia ••• yn,i ^ 0 ,
= ö„i (x):fi + a „2 {x)y 2 +■•
(x)y„ + / „ (x)
y\,n yi,n feltétel.
yn,n
508
Közönséges differenciálegyenletek
akkor a tetszőleges Q , C2,
6.6.2. Lineáris differenciál-egyenletrendszer
509
C„ állandókkal képzett lineáris kombiná
ciókból kapott
yj =
/=i
alakban vesszük fel, majd a C'{x) függvényeket a ;=1 % C 'i{ x )y jj= fk {x ) ;=1
y 2 , h i^ ) = '^ Q y 2 j( x ) , /=!
k = \,2,...,n)
0 ' = 1,2,
egyenletrendszerből kapjuk, amely mindig megoldható a C/(ji:)-ekre, mivel determinánsa zérustól különböző. A C)'(.x)-ek meghatározása után a Cj{x) függvényeket integrálással nyerjük. Az elmondottak érvényesek az állandó együtthatójú {üj{x) állandó)
yn,h(^)='E^iyn,i(x) i=l
függvények a homogén rendszer általános megoldását adják. Vektoros alakban: y/, = C iy i + C 2 Y 2 +---+C„y„ . A Cj állandók alkalmas megválasztásával ui. kielégíthetők az >^1(^0) = 3^1,0= >^2(^o) = :‘'2,o.
y , Á ^ ) = ynfi
homogén, valamint inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerre is. Az állandó együtthatójú homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer egy partikuláris megoldását kx .kx. y \ ,p = s \ ^ ; y2 ,p = s2 ^ ;
•••;
.kx
yn,p = ^n^
alakban keressük, ahol az Sj (i = í , 2 , . . . , n) és a k állandók úgy határozandók
kezdetifeltételek, ahol >>, 0 megadott állandók. Az inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános megol dása felírható a hozzárendelt homogén egyenletrendszer általános megol dása és az inhomogén rendszer egy y^ p, yj^p, ..., yn p partikuláris meg
meg, hogy az yj^p(x) függvények a homogén differenciálegyenlet-rendszert azonosan kielégítsék. Ezeket a függvényeket behelyettesítve a homogén rendszerbe, majd az e
kx
0 tényezővel való egyszerűsítés és rendezés után, az
oldása összegeként:
(«! 1 - k)sx + 01252 +.. .+ai„s„ = 0
n
<32151 +(022 -k)S2+---+Cl2nSn = 0
y \i^ ) = Y ,C iy \,ii^ )+ y \,p ^ i=\
dnl^X + a„2^2 +• • H ^ n n ”
n
yi(.x)=Y^Qy2,i(?^)+y2,p^ i=\
yÁ ^)^^C iy „ j{x ) +y
= 0.
algebrai egyenletrendszert kapjuk. Ez az Sj ismeretlenekre nézve homogén lineáris algebrai egyenletrendszer, melynek a triviálistól különböző megol dása csak akkor van, ha feltesszük, hogy az egyenletrendszer A:-tól függő determinánsa zérussal egyenlő, azaz ha
„p .
i=\
Vektoros alakban: y = y/, + y ,-^. H a az inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerhez hozzárendelt homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása ismert, akkor az inhomogén rendszer általános megoldása az állandók variálása módszerével is előállítható. Ehhez a homogén rendszer általános megoldá sában a tetszőleges állandókat a független változó függvényének tekintjük, vagyis az általános megoldást
Z) =
a \\-k <^21
a\2 Cl22 — k
•••
a„i
a„2
...
•••
ö'i/i = 0. a„ „ -k
A triviális megoldás számunkra érdektelen, hiszen az y i p { x ) = Ö,
y 2,p{x) = 0,
...,
y„jj{x) = 0
partikuláris megoldások a rendszerből közvetlenül is kiolvashatók.
Közönséges differenciálegyenletek
510
A D = 0 karakterisztikus egyenlet k-va nézve gyöke van. Legyenek ezek A:j, k 2 , k^.
n-edfokú, így annak n
H a a karakterisztikus egyenlet k j gyökei valósak és mind különbözők, akkor az algebrai egyenletrendszerből a kj behelyettesítésével számított
A karakterisztikus egyenlet: k - \ -4 = 0, vagyis k~ - 2 k - ' i = Q. -1 k - 1 A gyökök: k^ = -1,
= 3. j] ] + 2 í 2_i = 0;
y 2 , p ji ^ ) = S2je^-’'';
s ebből (y = l ,2,...,n )
megoldásokat kapjuk. H a a karakterisztikus egyenlet k^. gyöke t multiplicitású, akkor az ál landó együtthatójú /z-edrendű lineáris differenciálegyenletnél megismert módon a megoldást Kx, , , , í-l\ e ( í'i ^ +^2 ^^+••■+>5'; ) alakban keressük. Itt előfordulhat, hogy a zárójelben levő polinom (í - 1)nél alacsonyabb fokú, minthogy az 5, együtthatók kiszámításakor derül het ki, hogy néhány közülük zérussal egyenlő. H a a karakterisztikus egyenlet gyökei között egyszeres vagy többszörös komplex gyökök is előfordulnak, akkor az előbbieket és az n-edrendü differenciálegyenlet komplex gyökeire vonatkozó megállapításokat együt tesen, értelemszerűen alkalmazzuk. Az állandó együtthatójú inhomogén lineáris differenciálegyenlet rendszer általános megoldása a hozzárendelt homogén rendszer általános megoldásának ismeretében az állandók variálásának módszerével vagy partikuláris megoldás közvetlen keresésével állítható elő. Példák 1. Határozzuk meg a dy\ dx ~ y \ - 4>^2 = 0 dy. y i-y2 = 0 dx differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását. Megoldás. A megoldást Ekkor
511
A k \ = - \ gyököt az algebrai egyenletrendszerbe behelyettesítve majd egyszerűsítve:
Sj j értékekkel az y \ , p j i ^ ) = S \ j e ''' '\
6.6.2. Lineáris differenciál-egyenletrendszer
be = s^e , >>2 = s^e" alakban keressük.
] = - 2^2,b tehát az első megoldás:
y\,p,i = ahol 52,1 tetszőleges állandó.
A A:, = 3 gyököt helyettesítve az algebrai egyenletrendszerbe és egyszerűsítve: 5] 2 - 2 í2 ,2
vagyis S| 2 = 2^2 2; ^hát a második megoldás:
y\,p,2 ~ ~~^^2,2^ > y2,p,2 ~
PíZ egyenletrendszerbe való behelyettesítés, egyszerűsítés és rendezés után a ka pott algebrai egyenletrendszer; (/: - l) j] -4^2 = 0] -5] +(Á:-l)j2 =0]
’
ahol az ^2,2 tetszőleges állandó. Az általános megoldást az első és második megoldás összege adja: y i = —2s2\S
+2s2 2^ ; y2 ~ ^2
^^■‘S'2 2^^*’
ahol 52 1 és ^2,2 tetszőleges állandók. 2. Határozzuk meg a ^ '^ ^ y \+ y 2 =^
differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását és az yi(0) = ]; j,( 0 ) = l kez deti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását. Megoldás. Behelyettesítve az y^= rendezve, a
= ^2^ ^ függvényeket a rendszerbe, = 0}
egyenletrendszert kapjuk.
A karakterisztikus egyenlet: k +3 1 = 0, vagyis ^" + 4^ + 4 = 0. -1 k + l A gyökök:
yj = S]ke^, y ’2 = Soke’^ .
y2,p,\ = ■^2,1^
2 = -2 , tehát a megoldást a két egybeeső gyök miatt
y^ = (Ai + alakban keressük. Eszerint
y2 = (Á2 + B2x)e~~^
y; = (B j- 2 (4 + B ,x ))e - " ^ ; y2 —(B2 ~2(A2 + B2x))e
Közönséges differenciálegyenletek
512
A differenciálegyenlet-rendszerbe helyettesítve és rendezve, az alábbi azonossá gokat kapjuk: /íj + J5j + A') + (fi| + B') )x = Ol —A^~ A2 + B2 “ (őj 4- B'j )x = Oj Ebből következik egyrészt, hogy 5| + Ő2=0, (_S[ + i?2 = 0 figyelembevételével): A^ + B] + At = ol - 4 - A + 5 2 = 0J’
A k-, = - i esetben - J'2,2 = 0> vagyis
B i = - B 2 - Másrészt
azaz
513
6.6.2. Lineáris differenciál-egyenletrendszer
52_2 = “-'^1,2 >
tehát A homogén differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása:
amiből adódóan Aj = Bo - A2 . Az általános megoldás tehát y\ - i^2 - A2 - B2x)e~~^;
J 2 -(-^2 + B2x)e'~'^,
ahol A2 és B2 tetszőleges állandók. A kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldáshoz x = 0, >■] = 1, >^2-1 behe lyettesítésével meghatározzuk A2 és B2 értékét: ■ 4 -1 , Ő2 = 2 . Tehát a keresett partikuláris megoldás;
1
illetve valós alakban; y\
J 2 p - ~ t^ \ Sinx + AT2C0SA:. Az inhomogén differenciálegyenlet-rendszer megoldását y^ = Arj(:ic)cosx + Á'2(;c)sin x, y 2 = ~Ki(x) sin x + K 2(x) cosx
y 2 p = { \ + 2x)e''-'‘ .
^ ./;
p = Kj cosx + K2 sin a:;
alakban keressük. A Ki(x) és K^ix) együtthatófüggvények a
3. Határozzuk meg a
K[{x) cos X+ A^2(x) sin ;c = 0
dy\
l í (2*+ l)^,
( t = 0,± l.± 2....) dx ' ' cosx. inhomogén differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását az állandók variálá sának módszerével. Megoldás. Az inhomogén rendszerhez hozzárendelt homogén rendszer: dy\ -y2-0 dx dx
+ 71=0
A megoldás alakja: y^ = s-^e^, J 2 = S2e^. A behelyettesítés után kapott algebrai egyenletrendszer; Sjk-Sn = 0 í'l 4-^2^ = 0 A karakterisztikus egyenlet: k -1 = 0, vagyis k" + \ - 0 . 1 k A gyökök: k^-v, k^ = -i. A k]=i esetben az egyenletrendszer: í1,]/-52,1 =0 ■^1,1 +'^2,1' = 0
-ATÍ(x)sinx +
1
(x) cosx = —-— cosxJ
egyenletrendszerből határozhatók meg. Az első egyenletet sin x -szel, a másodikat cosx -szel szorozva és a kettőt össze adva: /Í2(x) = l, és így K 2Íx) = x + C2 . Ennek felhasználásával az első egyenletből K{ = -
s így
Kj (x) = ln|cosx| -l- C,,
tehát az inhomogén differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása: y, = Cl cosx-t- Ct sinx + cosxInjcosx| + xsinx, yn = -Cj sin X+ C2 cos x - s in x Injcos x| + x cos x.
P
a k c r l is
d if f e r e n c iá l e g y e n l e t e k
P a rc iá lis d ifferenciálegyeniet fogalm a, m egoldása E lső re n d ű parciális differenciálegyenlet C aiichy-féle feladat K vázilineáris differenciálegyenlet M a g a sa b b re n d ű parciális differenciálegyenletek H ővezetés, rezgő húr és m em brán d ifferen ciál egyenlete Laplace- és P oissoii-egyenlet Biliarm oíiikiis egyenlet
V II. F E J E Z E T
PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
7.1.
A LA PFOG ALM A K
7 .L L A p arciális differenciálegyenlet fogalm a Parciális differenciálegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben egy ismeretlen többváltozós függvény, ennek parciális deriváltjai és esetleg a független változók fordulnak elő. Számos műszaki és fizikai jelenség par ciális differenciálegyenletekkel írható le. Az egyenletben előforduló legmagasabbrendű parciális derivált rend száma szerint beszélünk elsőrendű, másodrendű, ..., «-edrendű parciális differenciálegyenletről. Az elsőrendű parciális differenciálegyenlet általános alakja pl. egy u{x,y) kétváltozós függvényre: F
=0
a másodrendű parciális differenciálegyenlet általános alakja ugyancsak egy u {x,y) kétváltozós függvényre: F
du du d~u
d~ii
d~u
= 0.
A parciális differenciálegyenlet lineáris, ha az ismeretlen függvényben és annak deriváltjaiban lineáris, míg kvázilineáris, ha az ismeretlen függ vény legmagasabljrendű deriváltjaiban lineáris. Az u ( x ,y ) kétváltozós függvényre vonatkozó elsőrendű lineáris p a r ciális differenciálegyenlet általános alakja'. a\ {x, y)u^ + a 2 (x ,y ) u y + a ^ { x ,y ) u + g ( x , y ) = 0 a másodrendű lineáris parciális differenciálegyenlet általános alakja: a {x,y )u f^-¥ b {x ,y )u ^y + c { x ,y )u y y + d { x ,y )u ^^ + e { x ,y ) u y + f { x , y ) u + g { x ,y ) = 0.
518
Parciális differenciálegyenletek
Ezekben az egyenletekben az együtthatók adott függvények, és értelmezési tartományuknak van közös része. A lineáris parciális differenciálegyenlet homogén, ha g { x ,y ) = 0, külön ben inhomogén. Az együtthatók lehetnek az x, y változóktól független állandók is. Az ilyen állandó együtthatós lineáris, parciális differenciálegyenletek megol dása egyszerűbb.
A differenciál egyenlet típusa a T tartományon
ha T minden pontjában
hiperbolikus
b--Aac> Q
parabolikus
b --A a c = Q
7.1.2. A parciális differenciálegyenlet m egoldása Általában egy «-változós parciális differenciálegyenlet m egoldásának ne vezünk egy Í7 e R ” —> függvényt a T c z R ” tartományon, ha [/ parci ális deriváltjai az egyenletnek megfelelően léteznek, T-n folytonosak, és az ismeretlen u függvény helyébe U-t helyettesítve, az egyenlet azonossággá válik. A parciális differenciálegyenletnek is, miként a közönséges differenciál egyenletnek, általában végtelen sok megoldása van. Azonban olyan formu lát megadni, amely az egyenlet valamennyi megoldását tartalmazza, csak ritkán sikerül. Amennyiben létezik ilyen formula, akkor azt a parciális dif ferenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük. Az előző fejezetben láttuk, hogy a közönséges differenciálegyenletek általános megoldása egy, ill. több állandót tartalmaz. A parciális differenciálegyenletek általános megoldása - ha létezik - tetszőleges függvényt, ill. függvényeket tartalmaz. Kétváltozós esetben a megoldást szokás integrálfelületnek is mondani, A parciális differenciálegyenleteknél a gyakorlat szempontjából általá ban nem az általános megoldás, hanem az ún. mellékfeltételeknek (kezdetiés peremfeltételeknek) eleget tevő megoldás a fontos. A matematikai fizika számos parciális differenciálegyenlete másodrendű és lineáris. A kétváltozós ismeretlen függvényre vonatkozó másodrendű lineáris parciális differenciálegyenleteket együtthatóik alapján is osztályozzuk. (Ezt a kövtetkező oldali táblázatban foglaltuk össze). A parciális differenciálegyenletekre vonatkozó feladatok három típusát szokás megkülönböztetni a mellékfeltételek szerint (kezdetiérték-, peremérték-, vegyes feladat). A parciális differenciálegyenletre vonatkozó feladat korrekt kitűzésű, ha az adott mellékfeltételek mellett létezik egyetlen megoldása és ez folytono san függ a megadott adatoktól. A hiperbolikus, parabolikus és elliptikus feladattípus azokban a mellékfeltételekben is különbözik, amelyekkel a feladat kitűzése korrekt.
519
7.2.1. A kvázilineáris parciális differenciálegyenlet
elliptikus
—Aac < 0
Példa
v" egydimenziós hullámegyenlet u'xx=^^i't egydimenziós hővezetési egyenlet + kétdimenziós Laplace-egyenkt (potenciálegyenlet)
E három feladattípus kitűzése általában akkor korrekt, ha a mellékfelté telek a következők: - hiperbolikus egyenletek esetében a kezdeti időpontban az ismeretlen függvény (általában t-v d jelö lt idő függvénye), valamint időszerinti deri váltjának értéke (egy bizonyos nagyságrendig) adott {kezdetiértékfeladat vagy Cauchy-feladat); - elliptikus egyenletek esetében a megoldásfüggvénynek (parciális de riváltjainak) értékei adottak egy korlátos tartomány peremén {peremértékfeladat vagy Dirichlet-feladat)', - parabolikus egyenletek esetében az előbbi két feltétel együtt, vagyis a megoldásfüggvényre vonatkozó kezdetiértékek is és a peremértékek is adottak (vegyes feladat).
7.2.
AZ ELSŐRENDŰ PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLET 7.2.1. A kvázilineáris parciális differenciálegyenlet
Tekintsük az
-f- ajUy = g
parciális differenciálegyenletet, ahol most az ismeretlen függvény u{x, y), ü l , ü 2 és g pedig az x , y é s u változók adott függvénye.
A \ = \ ( a i ,a 2 ,g ) vektor a differenciálegyenlet értelmezési tartományának minden P { x ,y ,z ) pontjában egy irányt határoz meg, amit karakterisztikus iránynak ne vezünk. Ezek összessége a differenciálegyenlet iránymezőjét alkotja. Ha feltesszük, hogy a differenciálegyenlet megoldása (integrálfelülete) az u = u {x,y) függvény, akkor az n = { u ^ ,U y ,- \ )
Parciális differenciálegyenletek
520
vektor (lásd az 5.7.2. pontot) megadja az integrálfelület normálisának irányát. Ekkor a differenciálegyenlet a következő alakban írható fel; a j z ' + a 22y - g = V ■n = 0 . Mivel a V és n vektor skaláris szorzata zérus, azok merőlegesek egy másra. Ebből következik, hogy a differenciálegyenlet értelmezési tartomá nyában az integrálfelületek normálisai minden pontban merőlegesek a ponthoz tartozó karakterisztikus irányra, vagyis a karakterisztikus irány az integrálfelületek érintősíkjában fekszik. A v karakterisztikus irányt a P {x,y,u) pontra illeszkedő integrálfelületek P pontbeli érintősíkjai mind tartalmazzák. Ez úgy képzelhető el, hogy a P pontbeli érintősíkok mind egyike illeszkedik a P ponton átmenő, a v vektorral párhuzamos egyenesre (7.1. ábra). Az iránymezőre illeszkedő görbék (érintőjük érintősík iránya minden pontban meg egyezik az illető pontbeli ka rakterisztikus iránnyal), az ún. karakterisztikák. Ezek differenciálegyenlet-rendszere: karakterisztika ____ _ ÜX _ _ du ü li ao g ü] 7.1. ábra. Ha az ü], Ü2 , g együtthatófiiggvények eleget tesznek az 1 kitevőjű Lipschitz-ídtétclnek, akkor minden olyan karakterisztika, melynek valamelyik integrálfelülettel közös pontja van, teljesen rajta fekszik az integrálfelüieten és megfordítva, min den integrálfelületet karakterisztikák egyparaméteres sokasága alkot. Az a]u'x+a 2 U y - g elsőrendű lineáris parciális differenciálegyenlet megoldását a karakterisztikák differenciálegyenlet-rendszeréből kapjuk. Ha a (*) rendszer két egymástól független integrálja (^{x,y,u) - Cj
és
'^ {x,y,u ) - Cj
akkor a differenciálegyenlet általános megoldása; (s;>{x,y,u) = ^{\if{x,y,u)) , ahol í> folytonosan differenciálható, egyébként tetszőleges függvény. Ha a <3> függvényt megadjuk, akkor ez geometriailag azt jelenti, hogy a karakterisztikák közül egy sereget úgy fűzünk össze, hogy azok egy felüle tet alkotnak (1. a 7.2. ábrán). Más 0 függvény esetén más megoldásfelüle tet kapunk. Igazolható, hogy így az összes integrálfelület előállítható, tehát valóban általános megoldást kaptunk. Ez az eljárás kettőnél több változó esetére is kiterjeszthető.
7.2.2. Cauchy-féle fela d a t (kvázilineáris differenciálegyenletre)_______ 521
Példa Oldjuk meg a u^y -
u'yX =
y~ - x ~ elsőrendű parciális differenciálegyenletet.
Megoldás. Az egyenlethez tartozó karakterisztikák differenciálegyenlet-rendszere: dx _ d y _ du .
y y--x- ’ ennek az egyenletrendszernek két integrálja: 9 9 x “ + _ y "= Q ;
u - x y = C2-
Tehát a differenciálegyenlet általános n\egoldása; u - x y = {x~-\ry~), azaz u = xy+(i>{x' + y~ ), ahol O tetszőleges függvény.
7.2.2. Cauchy-féle feladat (kvázilineáris differenciálegyenletre) A gyakorlati alkalmazások során a parciális differenciálegyenletek végtelen sok megoldása közül egyetlen megoldást kell kiválasztani. Tekintsük az , du du a ^ { x , y , u ) - ^ + a 2 Í x , y , u ) - ^ = g{x,y,u) (i; kvázilineáris parciális differenciálegyenletet, ahol u ( x ,y ) az ismeretlen függvény, ct| , ü 2 és g valamely háromdimenziós T tartományon értelme zett adott függvények. Az általános Cauchy-íé\Q vagy kezdetiérték feladaton az (1) egyenlet olyan u = u (x ,y ) integrálfelületének meghatározását értjük, amely illesz kedik a T tartományban fekvő adott C térgörbére. A C görbe, amit kezdeti görbének nevezünk, megadható az x = x(t),
y = y{t),
u = u{t)
paraméteres egyenletrendszerrel, ahol x{t), y(t), u{t) valamely / interval lumon értelmezett adott függvények. Az (1) egyenletnek azt a megoldását keressük, amely keresztül halad a kezdeti görbén. Tehát azt az u = u{x,y) integrálfelületet keressük, amely t minden értékére kielégíti az u {t)^u {x{t),y{t)) azonosságot. Ehhez úgy jutunk hozzá, hogy megoldjuk az (1) egyenlethez tartozó (*) karakterisztikus differenciálegyenlet-rendszert, és a kezdeti görbe minden pontján át egy-egy karakterisztikát fektetünk. Ezek a karakterisztikák teljes egészében rajta fekszenek egy integrálfelületen, mely illeszkedik a kezdeti görbére. Ez az integrálfelület, a feltételek értelmében az (1) egyenlet integ-
Parciális differenciálegyenletek
522
rálfelülete lesz. Ezek alapján az integrálfelület analitikus előállítása a kö vetkezőképpen történik: Ha a karakterisztikus differenciálegyenlet-rendszer ^(^o) =
a 2{ x , y , u ) = - \ ,
g{x,y,u) = 4.
A karakterisztikák differenciálegyenlet-rendszere:
kezdeti feltételnek eleget tevő megoldása:
f
x = x{t,xo,yo,uo),
f
ds
= - 1. ^ = 4, ds
ds
y = y(t,XQ,yQ,UQ),
A második és harmadik egyenlet a változók szétválasztásával integrálható: y = ~s+yo, u = 4 s + uq.
u = u{t,xo,yo,uo),
Az első egyenletbe helyettesítve ^
akkor a kezdeti görbe { x { s ) , y { s ) , n { s ) ) pontján átmenő karakterisztikus görbe egyenletrendszere: ^ = x(t,x{s),y{s ),u (s)) = x{t,s),
X =
Fejezzük ki az első és második egyenlet felhasználásával z. t és s válto zókat az X és j változókkal, majd az így kapott 5(x,:v), t{ x ,y ) kifejezé seket a harmadik egyenletbe helyettesítve, kapjuk a Cauchy-íéXo, feladat u = w(í(;c,>^),í(x,7 )) alakú megoldását (7.2. ábra). A kezdetiérték feladatnak akkor van egy és csak egy megoldása, ha az x = x{t,s), y - y ( t , s ) függvényekből kép zett fúggvénydetermináns zé rustól különböző, azaz ds dy ds
dx dt ^0. dy dt
H a a fúggvénydetermináns zérus, akkor nincs megoldás, ha pedig azo nosan egyenlő nullával, akkor a kezdeti görbe is karakterisztika, ami azt jelenti, hogy végtelen sok integrálfelület halad rajta keresztül, azaz a Cauchy-fé\c feladatnak végtelen sok megoldása van. Példa Határozzuk meg az uux~uy= 4 elsőrendű kvázilineáris parciális differenciál
^0 =
yo = t> “0 = 1
s
+ uq
egyenletet kapjuk, melynek integrálja:
^ {4s ■¥ Uo)ds = 2s~ +
x ^ 2 s ~ + U qS + X q ,
u = u{t, ;c(5), 7 (5), u{s)) = u{t, s).
egyenlet
= 4
UqS + X q .
(Az Xq, yo, Uq integrációs állandók.) A karakterisztikák paraméteres előállítása:
y = y{t,x{s),y{s),u {s)) = y{t,s),
Karakterisztikák
523
kezdeti görbére illeszkedő megoldását 1. a 7.2.2 pont szerint; 2. a 7.2,1 pont szerint előállított általános megoldás felhasználásával. 1. Megoldás. Az (1) egyenletnek megfelelően; a ^ { x , y , u ) = u,
= Uq
;^(^o) = >^0=
7. 2.2. Cauchy-féle fela d a t (kvázilineáris differenciálegyenletre)
y = - s + yQ,
u
= 4 s + Uq .
A kezdeti görbén átmenő karakterisztikákat pl. az s - 0 helyettesítéssel választ hatjuk ki, mivel x(0)=XQ=-t, j;(0) = >^o=^ «(0) = «o = 1. ez pedig a kezdeti görbe egyenlete. Tehát a kezdeti görbén keresztülhaladó karakterisztikák sokaságának kétparamé teres rendszere: X =2s~ + s - t ,
y = - s + t,
u = 4 s + \.
A függvénydetermináns: 45 + 1 -1 -1
=4s^0.
1
Az első két egyenletből s és t kifejezhető x és függvényében: x +y - 2 s ~ . Innen
x +y
A második egyenletbe helyettesítve, majd rendezve t =y +.
x +y
A harmadik egyenletbe helyettesítve 5 és t értékét, kapjuk a kezdetiértékfeladat megoldását, azaz a kezdeti görbére illeszkedő integrálfelületet: u(x, y) = 4 ^ ^ ^ + 1= yl8(x + y) + 1= 2yj2(x + y) +1. Az u, u^, Uy behelyettesítésével meggyőződhetünk, hogy u valóban megoldása a kvázilineáris parciális differenciálegyenletnek. A kezdeti görbe egyenletét helyet tesítve a megoldásba pedig, azonosságot kapunk, vagyis az u(x,y) keresztül halad a kezdeti görbén.
Parciális differenciálegyenletek
524
2. Megoldás. A karakterisztikák (*) differenciálegyenlet-rendszere dx _.dy _ du u -l 4 ' X ÉL = ^ azaz Adx = udu differenciálegyenlet megoldása: u 4 2
2
4x + C, = - y , vagyis Q = Hasonlóképpen a
— 4x = (?{x,y, u).
differenciálegyenlet megoldása:
= -M + C2 , vagyis C2=^4y + u - ^ { x , y , u ) 2 Az általános megoldás: ^ - A x = Q>{Ay + u). Az ismeretlen O függvényt abból a feltételből határozzuk meg, hogy a kezdeti görbe rajta van az integrálfeelületen. Ez azt jelenti, hogy az X= x{t), y = y{t), u = u{í) értékeket helyettesítve az általános megoldásba, az egyenlőség változatlanul fennáll. Tehát az x = - t , y = t,u = \ helyettesítéseket elvégezve az y + 4í = 0(4í + 1) egyenletet kapjuk. Legyen 4í + l = v. Ekkor 0(v) = v - l + y = v - - i . A függvény ismeretében most már felírható a kezdeti görbére illeszkedő megoldás. Mivel
7.2.3. A z általános elsőrendű parciális differenciálegyenlet______
525
pontjához tartozó érintősík egy alkotója mentén érinti az e ponthoz tartozó Monge-kxx^oX. (A kvázilineáris differenciálegyenletek esetén a Monge-féle kúp minden pontban egyenessé fajul.) Az integrálfelületek minden pontjához rendeljük hozzá a pontbeli Monge-kúp azon alkotójának irányát, mely benne fekszik a ponton átmenő érintősíkban. Az így definiált iránymezőre illeszkedő görbéket az általános elsőrendű parciális differenciálegyenlet karakterisztikáinak, más néven karakterisztikus görbéinek nevezzük. A karakterisztikák mentén teljesül a dx _ d y _ Fp
Pq
dz p F p+ qFq
differenciálegyenlet-rendszer. Egy-egy karakterisztikus görbe mentén általában végtelen sok in tegrálfelület érintkezik. Ha a karakterisztikus görbék minden pontjában megadjuk az integrálfelület érintősíkját, akkor a görbe és a rá illeszkedő érintősík-sereg együttesen megadja az ún. karakterisztikus sávot (7.3. ábra). A pont és az érintősíkdarab (síkelem) alkotja a karakterisztikus sáv elemét. A karakterisztikus sáv azt a szerepet tölti be az általános elsőrendű parciális differenciálegyenlet esetében, mint a karakterisztikus görbe a line áris egyenlet esetében. Ha a karakterisztikus sáv egyetlen eleme rajta van az integrálfelületen, akkor az egész karakterisztikus sáv is ezen az integrál felületen van.
d>{Ay + u)-=4y + u -~ 1,Q z é r t ^ — 4x = 4y + u - —.
Rendezés után a feladat megoldása: &x + 8 y-u ~ + 2 u - l = 0. Az w-ra másodfo kú egyenletet u-va meegoldva: u = \ + 2-j2(x + ^
a kezdeti görbére illeszkedő
megoldást az 1. megoldással azonos alakban kapjuk. 7.2.3. A z általános elsőrendű p arciális differenciálegyenlet A kétváltozós elsőrendű parciális differenciálegyenlet általános alakja: F (x,y,z,p ,q ) = 0
(F “ +
^ 0),
ahol p = 4 ; q = Zy és z = z ( x ,y ) az ismeretlen kétváltozós függvény. A differenciálegyenlet értelmezési tartom ányához tartozó minden egyes P { x ,y , z ) ponton végtelen sok megoldásftiggvény megy keresztül. A meg oldásfüggvények (az integrálfelületek) érintősíkjai egyparaméteres síksere get alkotnak, melyek egy általános kúpot - az ún. Monge-féle kúpot burkolnak. Az általános elsőrendű parciális differenciálegyenletnek csak olyan z = z { x ,y ) függvény lehet megoldása, melynek bármely ( x ,y ,z )
Az
x = x{t),
y = y{t),
z = z{t),
p = p (t),
q = q(t)
deriválható függvények együttesen sávelemet határoznak meg, ha kielégítik az ún. sávfeltételt: dt
P dt ^
d f
Parciális differenciálegyenletek
526
A karakterisztikus sáv közönséges differenciálegyenlet-rendszere'. dx =F„ dt
7.2.3. A z általános elsőrendű parciális differenciálegyenlet Ha
D:=
jí, yt
^0, y% akkor az első két egyenletből kiszámíthatjuk a t = t{ x ,y ),
ÉL = f dt
527
és
x = x ( x ,y )
függvényeket, amelyekkel felírhatjuk a keresett integrálfelületet a harmadik egyenletbe való helyettesítéssel:
dz „ ~=pFp+qFq,
z = z ( t( x ,y ) , x(x,y)). Az integrálfelület egyenlete mindig megadható z = z ( x ,y ) explicit alakban, ha D j^O. Teljes integrál. Az általános elsőrendű parciális differenciálegyenlet ún. teljes integrálján a z - z ( x ,y ,a ,b )
F(xo,yo,Zo,po,qo) = 0. A differenciálegyenlet-rendszer megoldása csak akkor karakterisztikus sáv, ha a kezdetifeltétel kielégíti ennek a közönséges differenciálegyenletrendszernek utolsó egyenletét és a harmadik egyenletét, a sávfeltételt. A par ciális differenciálegyenlet integrálfelületei a karakterisztikus sávokból illeszt hetők össze. Cauchy-féle feladat. Az általános kétváltozós elsőrendű parciális diffe renciálegyenletre vonatkozó speciális Cauchy-féle, vagy kezdetiérték-feladat az egyenlet olyan z = z { x ,y ) integrálfelületének meghatározását jelenti, amely illeszkedik egy adott x = x(x),
y^y(x),
dx
dx
dx
egyenletek felhasználásával kezdeti sávvá egészítjük ki (7.3. ábra), majd a kezdeti sáv minden elemére egy karakterisztikus sávot illesztünk. A sávvá alakított kezdeti görbe a r paramétertől függő öt kezdetiértéket ad. A ka rakterisztikus sáv differenciálegyenlet-rendszerének megoldása az öt kez detiérték felhasználásával: y=y{t,x),
z=z{t,x),
p = p(t,x),
A teljes integrálnak megfelelő integrálfelületek burkolója is integrálfelü lete a parciális differenciálegyenletnek. A teljes integrált Lagrange-Charpit szerint megkaphatjuk a dx _ d y _
dz _ dp _ dq pFp+qF' -{ F '- p F ') ~{F;+qF:)
dx-.dy.dz^F'p-.F'-.ipF'p+qF'). A vonalelemek folytonos görbévé egyesítve adják a parciális diffe renciálegyenlet karakterisztikáit. Ha a Lagrange-Charpit-félo rendszer egy
dx
F (x ,y ,z,p ,q )^0
x ^ x { t,x ),
^xa ^yb ~ ^ya ^xb ^ 0-
differenciálegyenlet-rendszer felhasználásával. Ez a rendszer a tér P { x ,y ,z ) pontjaihoz egy-egy vonalelemet rendel, amelyre teljesül:
z = z{x)
egyenletű, ún. kezdeti görbére. E célból a kezdeti görbét a dz
alakú megoldását értjük, ahol az a és b egymástól független paraméterek, ami azt jelenti, hogy
q=q{t,x),
vagyis két paramétertől függő rendszer, mely analitikusan leírja azokat a karakterisztikus sávokat, amelyekből az integrálfelület összetevődik.
Parciális differenciálegyenletek
528
7.3.1. A hővezetés (és diffúzió) differenciálegyenlete
529
tetszőleges függvényt és a z - z { x , y , a , b { a ) ) = Q,
7.3.
4 + 4 4 = 0 egyenletekből kiküszöböljük az a paramétert. Az egyparaméteres integrálfelület-sereg burkolója az általános elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása, amelyben a b = b{a) tetszés szerinti függvénykapcsolat szerepel. A parciális differenciálegyenletek általános megoldásának ez az alaptulajdonsága. Példa Határozzuk meg a z > +
- z ^ z y = 0 differenciálegyenlet teljes integrálját.
Megoldás. A p = z'x, q = Zy jelölésekkel F; = x - q ,
F^ = y ~ p
+
és így a Lagrange-Charpit-fé\e differenciálegyenlet-rendszer (figyelembe véve, hogy px + q y - p q = 0): dx _ dy _ dz dp _ dg x-q y-p ~pq - p -q' Az első és ötödik tagból qdx + xdq - qdq = 0, melyből integrálás után:
= Ixq -q~ = a.
NÉHÁNY NEVEZETES M AGASABBRENDŰ PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLET
A továbbiakban néhány olyan differenciálegyenletet mutatunk be, melyek a mechanika és a fizika, ill. a műszaki alkalmazások szempontjából lényege sek. E differenciálegyenletekben z = z{ x ,y ), ill. z = z { x , y ,t ) az ismeretlen függvény. Már most rámutatunk arra, hogy a bemutatandó eljárások sok közös vo nást tartalmaznak, esetleg az eljárás több differenciálegyenlet megoldására is alkalmazható. Ennek ellenére azt az utat követjük, hogy egy-egy eljárást egy konkrét differenciálegyenlet megoldásakor ismertetünk. Megjegyezzük, hogy a felsorolt differenciálegyenletek megoldásában mind nagyobb szerep ju t a gépi numerikus módszereknek, melyekkel itt nem foglalkozunk. [1], [19], [34],
7.3.1. A hővezetés (és diffúzió) differenciálegyenlete a) A lineáris hővezetési problém a. Ebben az esetben a z hőmérséklet csak az .X hely és a t idő függvénye: z = z{x,t). Erre a problémára vezet pl. az / hosszúságú rúd hőmérsékletének meghatározása, amit megkapunk a
Ezt és a differenciálegyenletet összekapcsolva:
„
z
2
y{x^^
q = x + -\Jx~-a.
A teljes integrál pedig
differenciálegyenletnek a későbbiekben részletezett kezdeti- és peremfelté teleket kielégítő megoldásaként. Gyakran alkalmazott eljárás az ún. F ourier-m ódszer, amelynek az a lényege, hogy a z{x,t) partikuláris megoldást z = u{x) ■v{t)
z = xy + y ^ x ~ - a + b. Az általános megoldást megkapjuk, ha a Z) = (p(a) bevezetésével keressük a z = xy + y^x~ - a + (p(a) felületek burkolóját. Deriváljuk a felületek egyenletét a szerint: r+
(p'(a) = 0.
szorzat alakban keressük. Behelyettesítve ezt a szorzatot a differenciálegyenletbe, az / ^ // uv - a'^ii V, majd a változókat szétválasztva, a ^ = a-!Í^
A két egyenletből a kiküszöbölésével megkapjuk az általános megoldást.
V
u
egyenletet kapjuk. Mivel ez utóbbi egyenlet (azonosság) bal oldala csak ttől, jobb oldala csak .x-től függ, ezért egyenlőség csak úgy állhat fenn, hogy
Parciális differenciálegyenletek
530
az eredeti differenciálegyenletből a következő két közönséges lineáris differenciálegyenletet kapjuk: v' + X,"v = 0,
a~u" +
ill.
7.3.1. A hővezetés (és diffúzió) differenciálegyenlete lineáris és homogén, ezért a szintén megoldás, sőt a
=0.
^
531
partikuláris megoldások véges összege . a^k~n~ sin ^x
E differenciálegyenletek megoldásai; k=\
v=
^
ill.
w = yícos—-x + ^ si n— . a a
így az eredeti differenciálegyenlet megoldása: z =e
-X-t A c o s— x + B s m — x a a
ahol A é s B tetszőleges állandók. Keressük most meg a differenciálegyenletnek azt a partikuláris megol dását, amely kielégíti a z(0 ,í) = z{ l,t) = 0 z{x,Q) = f { x ) kezdetifeltételt ( / (x) adott függvény). A peremfeltételek fizikai jelentése, hogy a rúd két végét állandóan nulla hőmérsékleten tartjuk; a kezdetifeltételé pedig az, hogy a kezdőpillanatban a rúd hőmérsékletét adott f (jc) függvény írja le a hely függvényében. Az első peremfeltételt felhasználva: -X-t = e ^ ‘(AcosO + BsinO) = Ae
Innen A = 0. Ennek ismeretében a második peremfeltétel: 0 = e“ ^ ''5 s i n ^ / . a A 5 = 0 megoldást elvetjük, hiszen ekkor z = 0 lenne, ami triviális megoldás. A sin—/ = 0 egyenletből X = ~ k K , ahol k legyen 1, 2, 3, ...; a A, értékeit így választva, a második peremfeltétel teljesül. így tulajdonkép pen végtelen sok partikuláris megoldást kapunk. Ezt felhasználva, egyenle tünk partikuláris megoldásai: a~k~K'
Zk = B^e
/-
SÍH“
kíi _ z { x ,ö ) = Y ,B k S m ^ x = f( x ) . k=l H a/folytonos és Fourier-sorha fejthető, akkor a 5^ együtthatókat / f(x )s m ^ x d x szerint választva, a kezdetifeltétel is teljesül. így e végtelen sorral előállí tott függvény a differenciálegyenletnek olyan megoldása, amely a peremfeltételeket és a kezdetifeltételt egyaránt kielégíti.
perem feltételeket és a
0
végtelen sor is megoldás, ha ez a sor egyenletesen konvergens, ami pedig az exponenciális tényező következtében szintén teljesül. Most vegyük figyelembe a z(x ,0 ) = f { x ) kezdetifeltételt is:
X
A kapott partikuláris megoldások olyanok, hogy t - ^ + °° esetén z —> 0. B helyett B^. állandókat vettünk. Mivel az eredeti differenciálegyenlet
b) A síkbeli hővezetési p roblém a a -.2 d z
:j2 a z dt
differenciálegyenletre vezet. Polárkoordinátákat vezetve be, a differenciál egyenlet alakja: " .9 .... . ^9 \ 1 3z , 1 d z = a d~z dt dr r - d(pTekintsük azt a speciális esetet, amikor a folyamat körszimmetrikus. Mivel ebben az esetben a hőmérséklet nem függ a cp szögtől, ezért a diffe renciálegyenlet egyszerűsödik: d~z , 1 dz rd r Kdr
dt
Keressük ennek partikuláris megoldását z = u { r)-v (t) szorzat alakban. Behelyettesítve a szorzatot az egyenletbe, kis átalakítás után a következő differenciálegyenletet kapjuk: 9 ö “V
U
+ —U
r
Parciális differenciálegyenletek
532
Mivel a bal oldal csak í-töl, a jobb oldal csak r-től függ, ezért az egyenlőség (azonosság) csak akkor állhat fenn, ha mindkét oldal konstans.
7.3.2. A rezgő húr és membrán differenciálegyenlete ahol Aj^ értékeit az rf(r)jQÍXi^r)dr
Legyen ez a konstans -A
(A: = 1,2,3,...)
így két közönséges lineáris differenciálegyenletet kapunk: v' + Jc a “v = 0,
és
r(Jis0 ^ kr)y dr
u + —u + Xr H —0. r
Ezek megoldásai:
) formulának megfelelően kell választanunk.
v=
ill.
u= AJQ(kr) + BNQ{Xr),
ahol JoCkr) elsőfajú, NQ(Xr) másodfajú nulladrendű Bessel-függvény (lásd pl. [43]), A és B pedig tetszőleges állandók. így az eredeti egyenlet egy partikuláris megoldása: z = e^"'^~\A JQ (X r) + BN^iXr)). Keressük meg most azt a partikuláris megoldást, amely kielégíti a
7.3.2. A rezgő h ú r és m em b rán differenciálegyenlete a) A rezgő h ú r differenciálegyenlete. A D'Alembert-fé\c differenciálegyen let egyszerűbb esetében az ismeretlen függvény kétváltozós {z = z{x,t)), és az egyenlet 2
z
z(r,0 ) = / ( r )
kezdetifeltételt és a
dt^~
dx^
z{R ,t) = Q peremfeltételt, ahol / (r) adott függvény. Ha feltételezzük, hogy a hőmérséklet minden r értékre, így az r = 0 he lyen is véges érték, akkor 5 = 0 kell, hogy legyen, mivel az N^iXr) függ
Erre az egyenletre vezet a két végpontjában rögzített homogén rugalmas húr, ha kilengései (rezgései) kicsinyek és egy síkban játszódnak le. Ekkor z jelenti a húr .x abszcisszájú pontjának kitérését a t időpontban. Keressük a differenciálegyenlet megoldását a következő vegyes mellékfeltételekkel:
vény az r = 0 helyen végtelenné válik. A peremfeltételt felhasználva:
z(0,t) = z ( l,t) = 0 z(x ,0 ) = (p{x);
- 0.
V Ot
A z A = 0 esetet elvetjük, mert ekkor a z = 0 triviális megoldást kap nánk. Ezért a J q(XR) = 0 egyenlet gyökeit keressük meg. Legyenek a J q B essel-függvény zérushelyei
Ekkor a J q{XR) = Q
|Í2, •••,
A: = 1, 2 , . . . . Ha így választjuk meg X értékeit, K akkor a peremfeltétel teljesül. A differenciálegyenlet partikuláris megoldá sai tehát: l Zk=Ake ^Vo(A,^r)
egyenlet gyökei
533
=
alakúak. Alkalmazva az összegezési tételt, a kezdeti és a peremfeltételt is kielégítő partikuláris megoldás alakja: —Cl k=\
,t
.
=\if{x) -Y v -/
(peremfeltételek), (kezdetifeltételek)
A peremfeltételek fizikai jelentése most az, hogy az l hosszúságú húr egyik végpontját az origóban, másik végpontját az x-tengely / koordinátájú pontjában rögzítjük. Az első kezdetifeltétel azt jelenti, hogy a kezdő időpil lanatban a húr alakját az adott (p függvény írja le, a második kezdetifeltétel pedig azt, hogy a kezdő időpontban a húr pontjainak sebességét az adott \\j függvény írja le. A differenciálegyenlet kétféleképpen is megoldható. D'Alembert-féle megoldás. A differenciálegyenlet megoldása céljából először végrehajtjuk a t = a t transzformációt. Ezzel a d -z
d~2 dx^
differenciálegyenletet kapjuk. M ost alkalmazzuk az a: +
X= ^
és
.X- 1 = T)
transzformációkat. Ezek eredményeképpen a
Parciális differenciálegyenletek
534
7.3.2. A rezgő húr és membrán differenciálegyenlete
535
M egoldás F o u rier-m ó d szerrel. Keressünk partikuláris megoldást =0
z = u{x)-v{t)
egyenletet kapjuk. Ennek általános megoldása:
szorzat alakban. Ekkor az uv" = a~ii"v egyenletet kapjuk. A szétválasztás után kapott két másodrendű közönséges differenciálegyenlet megoldása; u= AcosXx + BsinXx,
ahol f és g tetszőleges differenciálható függvények. Figyelembe véve az előbbi transzformációkat, az eredeti differenciálegyenlet általános megoldása; 2 = f { x + at) + g { x - a t ) .
v = C cosaXt + DsmaXt. Az első peremfeltétel alapján z(0 ,0 = i/(0)v(0= 0, amiből i i ( 0 ) = A = ^ 0 . így u=Bsin'kx. A második peremfeltétel alapján u(l) = BsinXl=0. Innen
M ost használjuk ki a peremfeltételeket; 0 = f{ a t ) + g{-at),
X= ^
Q = f { l + at) + g { l - a t ) . Ha a második egyenletbe t helyére a í ^ + —1 kifejezést helyettesítjük, V
ö /
( A - 1 ,2 ,3 ,...).
Ha tehát X értékeit így választjuk meg és A = 0 , akkor a peremfeltéte lek teljesülnek. Vagyis az Ir'YT
akkor az f { l l + at) + g { - a t ) = 0 egyenletet kapjuk. Ezt vonjuk ki az első
uj, = B s m ^ x
(yt = 1,2,3...)
egyenletből. így: f { a t ) = f { a t + 2l).
függvények mindegyike megfelelő, ahol B tetszőleges. Legyen B =
A peremfeltételek következményeként tehát az / függvény periodikus, periódusa 21. Könnyű belátni, hogy ugyanilyen periódussal periodikus a g függvény is. M ost használjuk ki a kezdetifeltételeket;
Mindezek figyelembevételével a Zk = ^ 7 ^ in - y
cosa^t +
sin a ^t
függvények mindegyike a peremfeltételeket kielégítő megoldása a diffe renciálegyenletnek. A linearitás és homogenitás miatt az összegezési elv alapján feltételezhetjük, hogy a
f { x ) + g{x) = (p(x), a f \ x ) - a g { x ) = ^{x). Integráljuk a második egyenletet;
k= \
JCO
függvény is a peremfeltételeket kielégítő megoldása a differenciál egyenletnek. Kihasználva az első kezdetifeltételt.
ahol jco tetszőleges állandó a [0,l] intervallumban. M indezek alapján /
X
, ^0
Z J f Q s i n - ^ x = (p(x). k=r
\ \|/(C)t/C
g(x) = ^
)
V
Xq
J
Ebből az f { x + at), ill. g { x - a t ) függvényeket formális behelyettesí téssel kapjuk. így a peremfeltételeket és kezdetifeltételeket kielégítő parti kuláris megoldás; x+at
(?ix + at) + ( ? ( x - a t ) + ^
Ez az egyenlőség teljesül, ha Q
9(-^)sin-yX í/.x 0
A második kezdetifeltétel felhasználásával
jv (C )^ C k= i
( ^ - 1 ,2 ,3 ,...) .
Parciális differenciálegyenletek
536
421 \ ^ { x ) s m ^ x d x kan
és
537
Ha a membrán a g zárt görbére van kifeszítve, akkor a peremfeltétel
Ez az egyenlőség teljesül, ha
A Q
7.3.3. A Laplace- és a Poisson-egyenlet
(it = 1,2,3,...).
a g görbe mentén z = 0 függetlenül a t időtől. A kezdetifeltételek pedig
együtthatók kiszámítása során azt használtuk ki, hogy a
kezdetifeltételek felírásakor a (p és ¥ függvények Fourier-sorm állnak az egyenlőség bal oldalán. A (p és ^ függvények értelmezését kiterjesztettük a (” /,0) intervallumra úgy, hogy ezek a függvények páratlanok legyenek, így Fourier-somk tiszta szinusz-sor. Feltételeztük továbbá, hogy a sor egyenletesen konvergens. Végül a megoldás (Euler-félo megoldás): C kcosa^t +D ksm a ^t k=:\ Kimutatható, hogy a kétféle úton kapott megoldás azonos, feltéve, hogy a (p és 'F függvények egyenletesen konvergens Fowr;er-sorba fejthetők.
- 1 ^
z{ x ,y ,0 ) = (p{x,y),
A végtelen sor összegezése alapján, továbbá felhasználva a kezdeti- és peremfeltételeket, elég hosszadalmas számítás után kapjuk a kívánt partiku láris megoldást. Ha a membrán egy origó közepű körre van kifeszítve, akkor célszerű polárkoordinátákat bevezetni. H a z nem függ a cp szögtől, vagyis a rezgő lap körszimmetrikus, akkor feladatunk a a -z ar
b) A rezgő membrán differenciálegyenlete. Vizsgáljuk most a rezgő memb rán differenciálegyenletét. Itt z = z { x , y ,t ) jelentse a membrán (x,jf) koordi nátájú pontjának kitérését az (x ,^ ) síkból a t időpontban. Ez a feladat a 3“z ^2 TT =« dx~ dr By
..
= cosmx + is m m x ,
= cosnx + i sin /u , e^^ -
c o s ( űía/
rrf +
t) + i sin(a-\//n“ + n “ t).
Mivel a differenciálegyenlet lineáris és homogén, ezért e függvények valós és képzetes részeiből képzett háromtényezős szorzatok megoldások lesznek (mindegyik tényezőben más-más változó szerepel). Egy ilyen megoldás például cosmx cos ny sin[a-^
a) A síkbeli Laplace-egyenlet a következő alakú:
yt
r = a ~ { a - ). Periodikus megoldást keresve, az a és yő mennyiségeket képzetesnek választjuk. Legyen a = im és (3 = in. Ebből azt kapjuk, hogy
fVV
differenciálegyenlet megoldása. A megoldást ugyanúgy szorzat alakban keressük, mint például a síkbeli hővezetési egyenlet megoldását.
7.3.3. A Laplace- és a Poisson-egyenlet
szorzat alakban. Behelyettesítve ezt a függvényt a differenciálegyenletbe,
e
^ d~ z . 1 dz rdr dr-
a /J
differenciálegyenlet megoldására vezet. Keressünk partikuláris megoldást ojc
= ^ (x ,y ).
+n~t).
dx~
dy"
Számos mechanikai és fizikai problém a ilyen alakú differenciál egyenletre vezet. A Laplace-egymletet kielégítő függvényeket harmonikus függvényeknek nevezzük. Korrekt kitüzésüvé válik a feladat, ha peremfeltételt adunk meg: Ha azt a z ( x , y ) függvényt keressük, amely valamely adott tartományon harmonikus és e tartományt határoló zárt görbén adott értékeket vesz fel, akkor a feladatot elsőperemérték-feladatnak, vagy Dirichlet-féle feladatnak nevezzük. A feladat megoldási eljárását most azon mellékfeltétellel mutatjuk be, hogy a z = z { x ,y ) függvény értékei a 7.4. ábrán vázolt téglalap alakú tartomány peremén legyenek a következők: z (^ ,l) = z ( ^ , - l ) = l;
z(0,j;) = z(l,>-) = 0.
Ezek a peremértékek az ismeretlen z { x ,y ) függvényt meghatározzák a téglalap belsejében.
Parciális differenciálegyenletek
538
K eressük a megadott speciális peremfeltéte leket kielégítő partikuláris megoldást z^u{x)-v{y) szorzat alakban. Ebből két másodrendű közön séges differenciálegyenletet kapunk (lásd a hőezetés egyenleténél), melyeknek a megoldásai: u = u{x) = Q cosXx + Co sin k’ x, V = v{y) = Kie^y +
.
Mivel z = u ( x ) -v (y ), ezért a z(0 ,y) = 0 feltételből most azt kapjuk, hogy u(0)v(y) = 0. Ebből u(0) - 0, így Q = 0. Tehát
7.4. ábra. Téglalap alakú tartomány pereme
7.3.3. A Laplace- és a Poisson-egyenlet
539
Ekkor
Így
ö /t= 0 ,
l'S Ín ^ 7aíix: = - ^ ( l “ (- l) ^ ) ,
k=\ Összevetve ezt a sort az előző két sorral, a következő egyenletrendszert kapjuk; . n .-kn 2 i kK (^ = 1,2,3,...). Innen
u = u{x) = C2 sinXjf. tK c h k H
A 2(1,;;) = 0 feltételből w (l)v (j) = 0, ami
M indezeket felhasználva, a feladat megoldása:
ből u{\) = 0, azaz Co sinX. = 0. Innen X = kK
(^ = 1,2,3,...).
Felhasználva ezt az eredményt, látható, hogy a Zk fíiggvény minden
(k = 1,2,3,...).
+ B/^e~^^)smk7U
és Bj^ állandóra olyan megoldása a differenciál
= 2 l kK eh kK ■áikKysmkKx. k =\ Ha a peremfeltételek kör alakú tartomány peremére vonatkoznak, akkor célszerűbb polárkoordinátákra áttérni. A síkbeli Laplace-egyenlet polárkoordinátás alakja, amely az eredeti egyenletből az x = r coscp, = r sin 9 transzformációval kapható:
egyenletnek, amely az.x-re adott peremfeltételt kielégíti. Az összegezési elvet felhasználva, keressük a teljes peremfeltételt ki elégítő megoldást
ahol z = z(r,(p) Ennek két megoldása:
+ Bi^e~^^^')únkKx
z=
z = A + BXnr k ikm z =r e
k=\ alakban. M ost használjuk fel a z { x ,\) = z ( x , ~ 1) = 1 feltételeket. Ekkor ' ^ [ A j ^ e ^ + Bj^e~^^) sin knx = 1, k=l ^{A jf-e
^ + Bj^e ^^)sinkiix -
Fejtsük Fourier-sovha az f ( x ) = í függvényt a ]0,l[ intervallumon. (Ehhez egészítsük ki az f függvényt úgy, hogy a ] - l,0 [ intervallumon f ( x ) = - l legyen; ezáltal / páratlan függvénnyé válik, így Fourier-sora tiszta szinusz-sor lesz.)
(k állandó).
Legyenek most a z = z(r,(p) függvény értékei az origó közepű, R sugarú kör kerületén a z = / (\j/) függvénnyel megadva, ahol f a \\i szög kétszer folytonosan deriválható függvénye. Ekkor a Laplace-egyenlet megoldását az ún. Poisson-féle formula adja: 271
1.
k=\
(A és B állandók),
z = z(r,(p) = ^ Q i?" - Ir R cos((p - \|/) + A harmonikus függvény egyik nevezetes tulajdonsága: Ha a harmonikus függvény értékei egy zárt görbe mentén zérussal egyenlők, akkor a függvény a görbe által határolt tartomány minden pont jában zérus.
Parciális differenciálegyenletek
540
7.3.4. A biharmonikus egyenlet
541
b) A Poisson-egyenlet alakja: -~ x A, = B , = ^
ch kK
ay~
Most a megoldás menetét az / ( x , y ) = 1 esetén mutatjuk be. Keressük a Pom on-egyenletnek azt a partikuláris megoldását, amely az előbbi téglalap (7.4. ábra) kerületén mindenütt nulla. A feladatot a Laplace-egymlet megoldására vezetjük vissza. A keresett megoldást Z = Zi+Zj
\smk'Kxdx
így a keresett partikuláris megoldás; z=—
~ ^ x 2 ^ Aj^ eh.kTiysinkiix. k=\
7.3.4. A biharmonikus egyenlet
alakban vesszük fel, ahol zi a Poisson-egyenlcí tetszőleges partikuláris meg oldása, amit általában könnyen találunk. Jelen esetben például ilyen par2 tikuláris megoldás z i = ^ . Ez a fiiggvény a téglalap x = 0 oldalán nulla. Célszerűbb lenne a z^ függvényt úgy megválasztani, hogy értéke a téglalap jc = 1 oldalán is nulla legyen. Ennek a feltételnek megfelel például a
függvény, amely szintén megoldása a Poisson-egyenleinek. Az utóbbi zj függvény a téglalap peremén a következő értékeket veszi fel: zx{Q>,y) = zi{ \,y ) = Q,
A A t/-^ +2 dx^ dx~dy~
alakja a biharm onikus
=0 dy'^
A szilárdságtan problémái közül azok, amelyek síkbeli feszültség! állapot tal jellem ezhetők, biharmonikus egyenlet megoldására vezetnek. Ezt az egyenletet kielégítő U függvényt biharmonikus függvénynek (Airyféle feszültségfüggvénynek) nevezzük. Ezek segítségével a feszültségkompo nensek a következőképpen fejezhetők ki:
ill. dx'
z^{x,\) = z i { x , - \ ) = ^ x - - ^ x . M ost a zi függvényt úgy igyekszünk megválasztani, hogy elégítse ki a Lop/ace-egyenletet, a téglalap kerületén felvett értékei pedig legyenek Z] felvett kerületi értékeinek ( - 1 ) -szeresei. Ezáltal a z = z x + z i függvény kerületi értékei nullával lesznek egyenlők, amit a z függvényre előírtunk. Ha Z2 kielégíti a Lap/ace-egyenletet, akkor z^ + z j nyilván kielégíti a Poú'5on~egyenletet. K eressük tehát azt a zj harmonikus függvényt, amelynek kerületi értékei a következők: z2 Í^,y) = z2 Í \,y ) = ^,
A parciális differenciálegyenletek nevezetes egyenlet:
ill-
Z2 Í X,l ) = Z2 Í X ~ \ ) = - ~ ~ x - + ~ x .
A megoldás menete teljesen megegyezik az a) alatti megoldás meneté vel, csak itt
dxdy
A biharmonikus egyenlet megoldása néha két D/Wc/z/eí-feladat egymás utáni megoldására vezet. H a a peremfeltételek egyszerűbbek, akkor a meg oldást esetleg polinom alakban kereshetjük. A megoldási eljárás bemutatására keressük meg a biharmonikus egyen letnek azt a megoldását, amely a Q 0 oldalain a következő peremfeltételeket elégíti ki: ha y = ± ^ , akkor ^ =^ =0 2 3^2 dxdy ha x = a, akkor ^ - ^ = 0.
Parciális differenciálegyenletek
542
A peremfeltételeket gondosan szemügyre véve, megállapíthatjuk, hogy egy
73.4. A biharmonikus egyenlet
543
Igazolható, hogy ha t/j és U j valamely tartományban biharmonikusak, akkor az
U = { x - a ) - { A y ^ + By- + C y + D)
U = {r--rÍ)U ^+ U 2
alakú polinom megoldás lehet. Ez a függvény ugyanis egyrészt kielégíti a AAt/ = 0 biharmonikus egyenletet, hiszen a AAÍ7 = 0 egyenletben szerep lő negyedik deriváltak nullával egyenlők, másrészt a peremfeltételek ki-
függvény is biharmonikus a tartományon, azaz eleget tesz a biharmonikus egyenletnek, ahol tq állandó. Ezt gyakran felhasználhatjuk a biharmonikus egyenlet megoldásában. Ennek bemutatására keressük meg az origó közepű, egységsugarú kör ben biharmonikus U függvényt, ha a kör kerületén
rí~Tí elégítése is biztosítottnak látszik. A ^ - — = 0 peremfeltétel eleve teljesül
U = sin(p és
= 0 feltétel is nyilván teljesül, ha x= a . Mivel
(akármennyi is;;). A
= coscp.
Keressük az U = U(r,<^) függvényt ^ ^ = 3A y- + 2 B y + C, őxdy ezért a további két peremfeltétel ( y = y , ill. y =
U = ( r ~ — l)L /j + U ')
helyettesítéssel);
alakban, ahol f/j és U2 harmonikusak. így az U függvény értéke a kör kerületén, azaz r = l esetében egyenlő az Uj függvény értékével, vagyis
3 A ^ + B b + C = 0, 4
3 A ^ - B b + C = 0. 4
sin (p-vei. Mivel Uj harmonikus és t/2 ( l’9 ) = sincp, ezért U2 meghatáro
A két egyenletet egymásból kivonva, egyrészt látszik, hogy B = 0, más,2 részt C = ~ 3 A ^ , ahol A tetszőleges állandó. így a keresett biharmonikus 4 függvény:
zása a Dirichlet-fdeidai megoldását jelenti. Felhasználva a Poisson-fék formulát. 2k (l-r')sin\j/ t/,= í/,(,,< p ) = X — íAj/ = rsincp. 0
l-2rcos((p-\j/) + r"
U 2 ismeretében U = (r~ - \)Ui 4 - rsincp. M ost használjuk fel a második peremfeltételt:
U = A {x-a) Tulajdonképpen még D is tetszőleges, de figyelmen kívül hagyhatjuk, mert a megoldáshoz tetszőleges (x-ben és j^-ban) lineáris függvényt hozzá adhatunk, mivel ezek a lineáris tagok nincsenek befolyással a peremfeltéte lekre és egyúttal biharmonikusak. Ez a megoldás tehát a lehetséges megol dások közül a legegyszerűbb. A megoldásban szereplő A állandó meghatá rozásához még újabb feltételre lenne szükség. Gyakran felhasználhatjuk azt a nevezetes tényt, hogy ha Ui és Uj va lamely tartományban harmonikusak, akkor az
dr
=
+ ( ^ ” - l ) - ^ ^ + sincp|^^j = l U i +sincp = coscp.
Innen 1 Ui = —(c o scp -sin cp). Mivel Ui harmonikus és Í7i(l,cp) = - ( c o s c p - s in cp), ezért Ui megha tározása ismét a Dirichlet-Maáat megoldását jelenti. Felhasználva a Poisson-íé\t formulát.
U = xU ^+ Uo függvény a tartományban biharmonikus. A biharmonikus egyenlet megoldása néha egyszerűbbé válik, ha polárkoordinátákat vezetünk be; a polárkoordinátás alak:
t /,= í/] (r ,c p ) = _ L
2n
2k ( l - r " ) - ( c o s \ j / - s i n \ ) / ) ----------------------------- = -^(coscp-sincp).
l-2rcos(cp-\j/)+r-
U\ és 1/2 ismeretében a keresett függvény: AAU = 3 r-
r
2
09
2
r ar
= 0,
U = (R~ - l)-^(coscp - sincp) + sincp.
2
544
Parciális differenciálegyenletek
Az ( x ,y ) síkban elhelyezett, a szélein alátámasztott rugalmas lemez U = U { x ,y ) lehajlásának meghatározása a AAIJ = f { x , y ) inhomogén egyenlet megoldására vezet. Az egyenlet megoldását általában U = U i+ U 2
K
o m p l e x
f ü g g v é n y e k
alakban keressük, ahol Ui az egyenletnek egy partikuláris megoldása. így Uj biharmonikus, azaz A AU j = 0, ezért a feladatot az előbbi feladatra vezethetjük vissza.
A függvény értelm ezése D iffe re n c iá lá s E le m i függvények
K om plex függvény integrálja Vonalintegrál Cauctiy-fele integráltétel R e g u lá ris fil.ggvények tulajdonságai
K r-niplex függvények sorbafejtése Hatványsorok, Taylor-sor Líii r rí \>
í/r,í íit
H..5;ijJáris helyek it!
!
\ i: i!<
-dó
^ dr i[ / fi t _ hii gráJ traiiszibrmálása s'ijf / í. I *'.aplace-traiiszforniáltja A 1 -iíy. - • -*-.)'/ •(
‘
VIII.
FEJEZET
KOMPLEX FÜGGVÉNYEK
8.1.
A K O M P L E X FÜ G G V ÉN Y FO G A LM A 8 .L L A kom plex függvény értelm ezése
A komplex számok halmazát C-vel jelöljük. Mivel C és R~ ugyanaz a halmaz, C-ben ugyanúgy értelmezünk távolságot mint R “ -ben. így C metrikus tér a közönséges metrikára nézve. A komplex számokat a komp lex számsíkon ábrázoljuk, ezért C -t azonosítjuk a komplex számsíkkal. A C halmazt szokás kiegészíteni a végtelen távoli ponttal (jele oo). A C u |o o } halmaz neve kibővített komplex számsik. A C halmazt nyílt síknak, a C u
halmazt pedig zárt síknak is mondjuk.
a) K om plex szám sorozatok. Az olyan számsorozatot, amelynek elemei komplex számok, komplex számsorozatnak nevezzük. A (valós) számsoro zatnál (lásd a 4.1. pontban) említett fogalmak egy része, mint pl. a korlá tosság, torlódási pont, határérték komplex számsorozatok esetén is létez nek. Fontossága miatt ismételten értelmezzük a sorozat határértékét. Definíció. A
zj,
zo,
z„, ..., sorozat h a tá ré rté k e a
z
komplex szám, ha
tetszőleges e > 0 számhoz van olyan N természetes szám, hogy |z„ - z| < e,
hacsak n > N .
A határérték jelölése: lim z„ = z
n->oo
vagy
limz„ = z.
Az értelmezésből látszik, hogy z pontosan akkor határértéke a (z„) so rozatnak, h a z és z„ távolsága kisebb mint s, hacsak n > N . Az olyan sorozatot, amelynek van határértéke, konvergensnek mond juk. Ellenkező esetben a sorozat divergens.
Komplex függvények
548 b) A komplex függvény értelmezése.
Definíció. Az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya is és értékkészlete is komplex számokból áll, komplex függvénynek (vagy komplex változás föggvénynek) nevezzük. A komplex függvény tehát komplex számhoz komplex számot rendel. Ha a függvény jele f, akkor annak helyettesítési értéke a z helyen w . = / ( z ) . A függvény szó helyett gyakran használjuk a leképezés szót. Szokás azt mon dani, h o g y /a z komplex számot a w komplex számra képezi le (z képe w). Az inverz függvényt és az összetett függvényt ugyanúgy értelmezzük mint valósban. Jelölje / ( z ) valós részét u, képzetes részét v. A z komplex szám x + iy algebrai alakjára gondolva nyilvánvaló, hogy az f ( z ) komplex szám függ x-töl is és 3^-tól is, azaz / ( z ) = f i x + iy) = u (x ,y ) + iv(x, y ) .
8 .1.1. A komplex függvény értelmezése
549
Az alábbi példa tipikus atekintetben, hogy egy leképezés lényeges tulaj donságait hogyan lehet megállapítani. Példa Vizsgáljuk meg, hogy az / ( z ) = z ' függvény milyen görbékre képezi le az origó középpontú köröket és a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyeneseket. Megoldás. írjuk fel a z komplex számot exponenciális alakban, azaz legyen z ==re^. Ekkor w = z“ = (re'‘P )2 = rV “^ Innen látható, hogy a z-síkon felvett, (p arkuszú és r abszolút értékű komplex számnak a képe a w-síkon a 2(p arkuszú és r~ abszolút értékű komplex szám. Ebből pedig az következik, hogy például az origó középpontú, r sugarú és az első síknegyedben fekvő negyedkörív képe a w-sík felső felén levő, origó középpontú, r~ sugarú félkörív lesz (8.1. ábra).
Az u, ill. V kétváltozós függvény a z /k o m p le x függvény valós, ill. képze tes része. Példa írjuk fel az / ( z ) = z~ függvény valós és képzetes részét. Megoldás, f (z) = z~ = (x + iy)~ = x~ - y~ + i 'Ixy. Tehát u{x,y) = x - - y ~ ,
v(x,y) = 2xy.
c) A komplex függvény által létesített leképezés. A komplex függvény „hagyományos” szemléltetése (ábrázolása) nem lehetséges. E helyett rend szerint úgy járunk el, hogy adott z számok esetén a w = f ( z ) számokat próbáljuk ábrázolni. Ehhez célszerű két komplex számsíkot felvenni. Ne vezzük az egyiket z-síknak, a másikat w-síknak. A z-síkon ábrázoljuk a z számokat, a w-síkon pedig az / ( z ) függvényértékeket (8.1. ábra). Ilyen kor nemcsak néhány z értéket és annak képét vizsgáljuk, hanem felveszünk a z-síkon egy görbét vagy egy egyenest vagy egy tartományt, és ezek képét rajzoljuk meg. A z/ függvény tehát a z-sík pontjait a w-sik pontjaira képezi le. Ezt hangsúlyozandó, a leképezést w = /(z ) alakban is jelölik. A leképezések között különösen fontosak azok, amelyek megtartják a szögeket (és a forgásirányt). Ez azt jelenti, hogy ha a z-síkon levő két görbe egymást bizonyos szögben metszi, akkor azok képe a w-síkon ugyanolyan szögben metszi egymást. Az ilyen leképezést konformisnak mondjuk. H a / reguláris a z pontban és / '( z ) i=- 0, akkor a w - f { z ) leképezés a z pontban konformis (a regularitást lásd a 8.1.2. pontban).
8.1. ábra. A m' = z" leképezés a komplex szám abszolút értékét négyzetre emeli, szögét megkétszerezi Mivel ez a leképezés az origónál levő cp szöget megkétszerezi, ezért a z-sík felső felén levő z komplex számok képei a teljes w-síkot kitöltik (pl. a 170° -os komplex számok a 340° -os komplex számokra képződnek le). Rövidebben fogalmazhatunk így: a w = z" leképezés a z-sík felső felét a teljes w-síkra képezi le. Ennek következ tében a felső félkör képe egy teljes kör lesz. Az alsó félsík pontjai ismét a teljes w-síkra képződnek le. Hogy a leképezést köl csönösen egyértelművé tegyük, két, a valós tengely pozitív fele mentén bemetszett w-síkot képzelünk el, melyek egymás fölött helyezkednek el. A cp = 0 félegyenesnek a bemetszés jobb oldala (szembe fordulva az w-tengellyel) felel meg, a (p = tc fél egyenesnek pedig a bemetszés bal oldala. Megállapodunk abban is, hogy a z-sík felső felét a felső w-síkra, alsó felét pedig az alsó w-síkra képezzük le. A két w-síkot úgy helyezzük egymás fölé, hogy az azonos koordinátájú pontok fedjék egymást. Mindezek következtében az origó középpontú, r sugarú kör képe két olyan, szin tén origó középpontú, de r~ sugarú kör lesz, mely körök egyike a felső w-síkon, másika pedig az alsó w-síkon van. A felső körről az alsóra az átmenetet úgy képzel jük el, hogy a felső sík bemetszésének bal oldalát (bal partját) összeragasztjuk az
Komplex függvények
550
alsó sík bemetszésének jobb oldalával. Majd összeragasztjuk a bemetszések szaba don maradt széleit is. Ezzel a leképezést mindenütt folytonossá tettük. A fenti módon konstruált két w-síkot Riemann-feiületnek (a leképezés Riemannfelületének, kétlevelű Riemann-feiületnek) nevezzük. Összefoglalva: a w = z" leképezés a z-síkot a kétlevelű Riemann-Müktre képezi le (kölcsönösen egyértelműen). A w = 0 és a pontok a leképezés elágazási pontjai. Most nézzük meg, hogy a leképezés mibe viszi át a z-sík x = C és y = C egyeneseit. Tekintettel arra, hogy
8.1.2. Differenciálás
551
d) Határérték, folytonosság. Komplex függvény határértékét és folyto nosságát hasonlóan értelmezzük mint az egyváltozós függvény határértékét és folytonosságát. Legyen zq az /k o m p le x függvény értelmezési tartomá nyának torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f határértéke a
helyen A, ha
minden e > 0 számhoz van olyan 5 > 0 szám, hogy ha 0 < |z - z o |< 5 , akkor \f(z)-A \< e . Ha a zq helyen a függvénynek van helyettesítési értéke, és az megegyezik a Zq helyhez tartozó határértékkel, akkor a függvény a zq helyen folytonos.
w = f { z ) = z~ =(x + iy)~ = x " - y - ^ -i- lx y , e) Valós változós komplex függvények. Az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya valós számokból, értékkészlete pedig komplex számokból áll, valós változós komplex függvénynek nevezzük. Ha íjelö li a független változót, akkor a z(t) helyettesítési érték z(t) ==x (t) + iy(t) alakban írható fel. H á z folytonos egy intervallumon, akkor t változásával a z(t) pont a síkon egy görbét ír le, amelyet a z(t) vektor hodográjjának nevezünk. A z függvény deriváltja a t helyen: z{t) - x{t) + iy{t).
a függvény valós, ill. képzetes része: u = x~-y~,
ill. v = lxy.
A z y = C (= konstans) egyenes képének paraméteres egyenletrendszere: u =x^-C ~,
v = 2Cx.
Az a: paraméter kiiktatása után a képgörbe egyenlete:
Példa
u =- ^ - C ~ , 4C-
A z - Z q + Re“ ( 0 < í < 2n) egyenletű hodográf egy zq középpontú, R sugarú
vagy v-re megoldva; v = ± C~ . Ez parabolasereg egyenlete. A z y = konstans egyeneseket tehát ez a leképezés parabolákba viszi át (8.2. ábra). Hasonlóképpen kapjuk az ;c = C egyenesek képét. A képgörbék paraméteres egyenletrendszere: u = C - - y ~ , v = 2Cy. 2 A zparam éter kiiktatása után az w= C" egyenletet kapjuk, mely szintén parabolasereg egyenlete. A 8.2. ábrán az 3 ^ = C egyenes, valamint az és X= -C , y > 0 félegyenesek és azok képe látható.
.x ^ C ,
y>Q
kör. Mondható az is, hogy ennek a körnek az egyenlete Z-ZQ + Re". Az origó középpontú, R sugarú kör egyenlete pedig z = R e " .
8.1.2. Differenciálás a) A derivált. Komplex függvény deriváltját ugyanúgy értelmezzük mint egyváltozós valós függvényét. A z /k o m p le x függvény a z helyen differenciálható (deriválható), ha lé tezik az / ' ( , ) : = lim / ( " + ' ■ ) - / ( " )
h-^Q
h
határérték. Az f ' { z ) határértéket a függvény z helyen vett differenciál hányadosának, az f ' függvényt pedig az f függvény deriváltjának ne vezzük. Az / ' függvény deriváltját második deriváltnak nevezzük és / " - v e i jelöljük. Hasonlóan értelmezhetünk magasabbrendü deriváltakat is. Érvényesek a valós analízisből ismert deriválási szabályok: 8.2. ábra. A w = z~ leképezés a tengelypárhuzamos egyeneseket parabolákba képezi le
( / + g)'
{'kf)'= % f',
XeC;
Komplex függvények
552 {fg) = f g + f g ' \
^ /Y _ f g - f g
8.1.3. Elemi függvények
553
Példa g (z )^ 0 ;
Az f { z ) = z~ = {x +í y f = x~ ~y~+2ixy függvény mindenütt reguláris, mert u = x~-y~, V= 2xy, a Cauchy-Riemann-egyenletek (2x - 2x, 2y = 2 y ) mindenütt teljesülnek és a parciális deriváltak mindenütt folytonosak. A derivált:
b) Regularitás. Definíció. A z /fü g g v én y a zq helyen (pontban) reguláris, ha van olyan zq középpontú kör, amelynek belsejében / differenciálható. H a /v a la m e ly D tartomány minden pontjában reguláris, akkor azt mondjuk, h o g y /reg u láris a D tartományon. Nevezetes tény, hogy egy tartományon reguláris függvény ott akárhány szor differenciálható. Ugyancsak említést érdemel, hogy h a /re g u lá ris a D tartományon, akkor az általa létesített leképezés D minden olyan z pontjá ban konformis, ahol f \ z ) ^ 0. A reguláris függvényt analitikus függvénynek is mondjuk. H a /re g u lá ris a zq helyen, akkor azt mondjuk, hogy zq reguláris pontja /-nek. H a /n e m reguláris a zq helyen (amely / értelmezési tartományának torlódási pontja), akkor zq szinguláris pontja (másképpen szingularitása vagy szinguláris helye) /n e k . A zq szinguláris p o n to t/iz o lá lt szinguláris pontjának nevezzük, h a/d iffe ren ciálh ató zq valamely környezetében, de a Zq pontban nem. c) A Cauchy-Riemann-egyenletek. Legyen f = u + iv, ahol u és v két
mint ahogy az várható volt, hiszen [z~) = 2 z . d) Harmonikus függvények. A Cauchy-Riemann-cgymltlck x szerinti, ill. .y szerinti deriválásával ahhoz az érdekes eredményhez jutunk, hogy ha a vegyes parciális deriváltak egyenlők, akkor az w és v függvény kielégíti a d~u _ Q dx^
dy~
=0 dx~
dy~
parciális differenciálegyenleteket, az ún. Laplace-egyenleteket. Definíció. A kétváltozós függvényt a D tartományon harmonikusnak nevezzük, ha parciális deriváltjai (a másodrendűekig bezárólag) itt folyto nosak és kielégítik a lap/ace-egyenletet. Egy D tartományon reguláris / = u + iv függvény valós és képzetes ré sze ezen a tartományon harmonikus. A z u és v függvényeket harmonikus társaknak nevezzük. Ezeket a Cauchy-Riemann-egyenktsk kapcsolják össze. Ezért az egyik harmonikus társ megadásával egy állandó erejéig meghatározható a másik harmonikus társ.
változós függvények. Tétel. Ha az f = u + iv komplex függvény differenciálható a
z
= x + iy
helyen, akkor
8.1.3. Elemi függvények a) Az elsőfokú függvény. Az
Innen a valós, ill. képzetes részek egyenlőségéből kapjuk az ún. Cauchy-Riemann-egyenleteket: du _ ^ dx dy
dv „ dx
du dy
A függvény differenciálhatóságához szükséges, (de nem elégséges) ezeknek az egyenleteknek a teljesülése. Ha viszont az u és v függvények elsőrendű parciális deriváltjai egy tartomány minden pontjában léteznek és folytonosak, akkor a Cauchy-Riemann-egyenletek fennállása nemcsak szük séges, hanem elégséges feltétel is / regularitásához (és így a differenciálha tóságához is).
f { z ) = az + b,
a^O
alakú függvényt elsőfokú függvénynek (elsőfokú polinomnak) nevezzük. A függvény reguláris, és f ' ( z ) = a . b) A hatványfüggvény. Az f{ z ) = z \ alakú függvényt hatványfüggvénynek nevezzük. M indenütt reguláris és f \ z ) = nz''~\ A függvény a z-síkot kölcsönösen egyértelműen képezi le az n levelű Riemann-Mn\e\XQ.
Komplex függvények
554 c) A lineáris törtfüggvény. Az
555
f ) A logaritmusfüggvény. A logaritmusfuggvényt az exponenciális függ
az + b / ( 2 ) = cz + d ’
ad - bci^O
alakú függvényt lineáris törtfüggvénynek nevezzük. Speciális esete az
y
--1-
x~+y"
vény inverzeként értelmezzük és az In jellel jelöljük. Mivel az e~ függvény a 0 < y < 2 n sávot kölcsönösen egyértelmű módon képezi le a C \{ o } hal mazra, ezért e halmazon értelmezett és e halmazt a {z :0 < Imz < 2tc} hal mazra leképező függvényt logaritmusfüggvénynek nevezzük, ha
x^+y~^
függvény, amely a z sík x~+y~ = r~ köreit a w sík u~ +v~ =
köreire r~ képezi le. Innen az is látható, hogy az origó középpontú, egységsugarú kör belsejét annak külsejére, külsejét pedig a belsejére képezi. Megállapodva abban, hogy a z = 0 pont képe a w = °° pont, a z=o<> pont képe pedig a w = 0 pont, belátható, hogy a leképezés körtartó, azaz kör képe ismét kör (az egyenest is körnek tekintve). d) Racionális függvények. A p{z) =
8.1.3. Elemi függvények
Inz = Inr+ ü'(p,
z g C \{ o},
ahol r = |z|,(p = arcz. Itt Inr az r > 0 valós szám (valós) logaritmusát jelöli. A logaritmus azonosságai természetesen itt is fennállnak, azaz In(ziz^) = Inz] +l nz9, ~
l n ~ = Inzj -Inz^. Zi
A logaritmusfüggvénynek a 0 hely nem izolált szinguláris pontja. Szokás értelmezni olyan logaritmusfüggvényt is, amely a C \ { o } hal
+.. .+<322“ +a-[Z + QQ
alakú függvényt racionális egész függvénynek (polinomnak) nevezzük. Ha a„ 0, akkor p{z) n-edfokú. Két racionális egész függvény hányadosa racionális törtfüggvény. Álta lános alakja:
mazt a 2kn < y < 2{k + 1)tc sávra képezi le {k egész). Ennek jele: Ln. Ezzel a logaritmusfüggvények egész osztályát állíthatjuk elő, és ekkor Lnz = Inr + /(p + 2 k %i
(k egész).
A k = 0 eset a logaritmus főértéke. Példa Számítsuk ki In(-l) és ln ( l- /) föértékét.
b m z'" + . . .+bo Z~ + b ]Z + bn
e) Az exponenciális függvény. Az exponenciális függvényt az expz:= e" = e'*(cos>’ + i siny),
Innen következik, hogy
z = x + iy
Megoldás. A z = -1 komplex szám abszolút értéke 1, arkusza n. így ln (-l) = lnl + /7r = /'7t. A z = l - i komplex szám abszolút értéke f i , arkusza pedig
egyenlőséggel értelmezzük.
így
ln ( l-/) = l n V 2 + ^ / .
Nevezetes tulajdonsága, hogy periodikus, alapperiodusa In i. Ugyanis ^-+2m _
_ g -(co s27t + i sin 27i;) = e " .
g) Trigonometrikus függvények. A trigonometrikus függvényeket az exponenciális függvények segítségével értelmezzük az alábbi módon:
A függvény mindenütt reguláris, és [e~ ] = e ~ . A függvény a z-sík 0
cosz:=
minden további 2kK < y < 2{k +1)71,
k egész
sávot ugyanarra a w-síkra képezi le. A leképezés kölcsönösen egyértelmű lesz, ha az végtelen sok ilyen w-síkra (ún. végtelen soklevelü Riemannfelületre) történik.
ahol z e C , k egész.
smzz:= ■
2i
tgz;= sm z cosz
(z^ (2^ -l)|),
c tg z := ^ sm z
(z^kK ),
Komplex függvények
556
A sin és cos függvény 2% szerint, a tg és ctg függvény pedig % szerint periodikus, úgy mint valósban. Példák 1.
c o s / tc =
■= chTr = 11,59195.
■
2. Oldjuk meg a cos z = 2 egyenletet. Megoldás. Keressük azt a z = a; + ;> komplex számot, amelyre Az addíciós tételek ugyanúgy érvényesek mint valósban. így cosXcosiy -ú n x s in iy - 2 . Mivel cosíV = ch>^, sinzj = ;sh>’, ezért cos Xeh j
arsh z: = ln(z + Vz^ + 1),
arch z = ln(z + V z“ - l). arcthz =
j ) Az általános hatványfüggvény. Az /-/ X a f{z) = z
a\nz
2
z -1
z, a e C, z
0
módon értelm ezett/ függvényt általános hatványfüggvénynek nevezzük. Megjegyezzük, hogy
cos(x + i y ) - l .
Innen
557
arthz:= - ^ l n | ^ , 2 1 -z
Számítsuk ki cosm értékét.
Megoldás,
8.2.1. A vonalintegrál
értelmezhető z“^ =
módon is.
Példa Számítsuk ki i ' értékét. Megoldás. Az előbbiek alapján
/ sin Xsh >" = 2 + Oz.
,/
i —e
,\ni
—e
'(Inl+'f)
~ =e
- —e - .
cosxch>^ = 2 és sinxshj^ = 0.
A második egyenletből 3^= 0, x = kn (k egész). Az y = 0 esetet kizárhatjuk, mert ebből cosx: = 2 következne, ami lehetetlen (hiszen x valós). Az x = kn értékek közül csak azok jöhetnek szóba, ahol k páros, azaz x = 2rm (n egész). Ezt behelyet tesítve, ch>^ = 2, ahonnan j = arch 2. Mindezek alapján z = 2nn + iarch2,
e" +e Y'
shz thz:= chz ’
shz: =
KOM PLEX FÜGGVÉNY INTEGRÁLJA 8 .2 ,L A vonalintegrál
n egész.
h) Hiperbolikus függvények. A hiperbolikus függvényeket úgy értelmez zük mint a valósban. Jelölésük és elnevezésük is ugyanaz, mint ott. így chz:=
8.2.
Legyen / a komplex számok valamely korlátos tartományán értelmezett folytonos függvény. Legyen továbbá g e tartományban haladó, rektifikálható, irányított görbe. K ezdőpontja legyen a zq = a , végpontja pedig a. z „ = b pont. Osszuk fel a görbét a tetszőlegesen választott zj, Z2,
2
chz cth z: = shz ’
Az exponenciális függvény periodikus volta miatt a hiperbolikus függ vények is periodikusak. A eh és sh függvény 2%i szerint, a th és cth függ vény pedig n i szerint. í) A z arcus- és area-függvények. Ezeket a függvényeket, megtartva a valósban használatos elnevezésüket és jelölésüket, az alábbi módon értel mezzük: a rc c o s z := y ln (z + -\/z“ - 1),
arcsinz:= y - arccosz.
arctg z ;= -;f:ln -^ -^ , 2i i + z
a r c c t g díxctgz,
z„_] osztópontokkal n részre (ivdarabra). Mindegyik ívdarabon ve gyünk fel egy-egy
pontot, és alkossuk meg az
k=] integrálközelítő összeget, ahol
= z^ - z^_j.
A felosztást finomítva, az integrálközelítő összegek {S„) sorozatához jutunk. Ha a felosztást minden határon túl finomítjuk, vagyis úgy, hogy max|Azj;.| -> 0, akkor az (5 „) sorozatnak van határértéke, melyet az/ függ vény g görbementi vonalintegráljának nevezünk. Jelölése; f(z)dz.
Komplex függvények
558 Ha f (z) = u {x,y) + iv(x,y), akkor f(z)d z=
8.2.2. A Caiichy-féle integráltétel Ekkor z = R i e \ z~=R~e~'\ így
( u d x - v d y ) + i (vdx + udy).
(1)
g g g Látható, hogy a komplex függvény vonalintegrálja, valós vonalinteg rálok segítségével számíthatók ki. H a a görbe paraméteres egyenlete z = z(t), ahol t valós paraméter, to vábbá a = z ( a ), b = z((3), akkor
z~dz = R~e~'‘ ■Rie‘dt =
f{z{t))z{t) dt.
ie^’^dt = R^
ML 3 ■
Mivel a függvény reguláris, használhatjuk a (3) képletet is: z^dz =
3
P /( z ) dz =
559
R
-2R^ 3 ■
(2) 2. Számítsuk ki az
H a /re g u lá ris függvény, akkor létezik F primitív függvénye. Ekkor al kalmazható a valós analízisből ismert Newton-Leibniz-szahkly. jf(z ) d z = F ib )-F (a ).
(3)
cfe vonalintegg
rált, ha a g (zárt) görbe az x~+y~ = R~ kör, pozitív irányítással (8.4. ábra). Megoldás. A görbe egyenlete: z = Re”, így z = R ie‘. Ezek felhasználásával
y,
-R
0
R
Példák 1. Számítsuk ki az f { z ) = z~ függ vény g görbementi vonalintegrálját, ha a g görbe az x^+y~ = R~, y ^ O félkör, amelyet jobbról balra irányítunk (8.3. ábra). Megoldás. A feladatot háromféleképpen ^ is megoldjuk. Mivel
2t:
In
{ —dz = f---- -R ie 'd t = i \dt = 2%i.
Jz g
J n it 0
J
0
Az eredményben figyelemreméltó, hogy az nem függ 7?-töl. 3. Az előző példa felhasználásával könnyen igazolható, hogy J
+
;'2 0 fé lk ö r
ezért u -x~ -y~ , A görbe egyenletét célszerű paraméteres alakban felírni: x = Rcost, y = Rsint, dx = - R ú n t d t ,
Ekkor
+ 2 ,^ . v = 2xy.
v = 2R~ sint cos t = R~ sin 2 1
Az (1) képletet alkalmazva, n n j z^dz = - J R^ (sin/cos2í + cos/sin2/)í// + / | R^ (cos2/cos/ - sin2/ sint)dt n
3
= -R^ J sin3tdt + íR^ J cos3tdt = -y[cos3/ + i sin 3/]^ = - 2i?" A (2) képlet alkalmazásához a görbe egyenletét írjuk fel z = i?(cos / + /sin/) = Re alakban.
ahol a g görbe ismét az x~+y~ =
kör, n pedig egész szám.
4. Számítsuk ki az j —^ d z vonalintegrált, ha g a z a középpontú, R sugarú kör.
dy = Rcostdt,
M= i?"(cos"/ - s i n ' / ) = R~cos2t,
n
{2111, ha « = -1,
s
0
Megoldás. A kör egyenlete felírható z = a + R e ' alakban. Ekkor dz ^ Rie'dt. így 2it 2% I -------dz = í ----- -- Rie'dt = i ídt = 2ni. Í R e ’‘
I
8.2.2. A C auchy-féle integráltétel E fundamentális tételt a függvénytan főtételének vagy Cauchy-féle alapté telnek is nevezik. A tétel és annak következményei megkönnyítik bizonyos integrálok kiszámítását, de más területen is nagy szerepe van.
Komplex függvények
560
Tétel. (Cauchy-féle integráltétel). Ha / az egyszeresen összefüggő tarto mányon reguláris, és g e tartományban levő tetszőleges, rektifikálható, zárt görbe, akkor | / ( r ) J z = 0.
(1)
Kihangsúlyozzuk, hogy ha a g zárt görbén vagy azon b elül/-nek szingu láris pontja van, akkor a tétel már nem érvényes, mert f regularitási tarto mányának az a része, amelyben g halad, nem egyszeresen összefüggő. Erre az esetre viszont érvényes a tétel alábbi következménye: Legyen g és két, azonos irányítású, zárt görbe olyan helyzetű, hogy
8.2.2. A Cauchy-féle integráltétel
561
Példák 1. Az (1) tételt alkalmazva, |( z " + sinz)ífe = 0, ahol g tetszőleges zárt görbe. g Ugyanis az f( z ) = z" + sin r függvény mindenütt reguláris. 2. Számítsuk ki az ^ —dz vonalintegrált, ahol g s a) az x~+2y^ = 4 ellipszis; b) olyan tetszőleges, zárt görbe, amely nem megy át az origón, és belsejében sem tartalmazza azt.
teljes egészében g belsejében van (8.5. ábra). A két görbe közötti gyűrű szerű kétszeresen összefüggő tartomány (és a két görbe is) tartozzék f regularitási tartományához, míg gj belsejében / esetleg nem reguláris. Ekkor j/(z)d z = jf(z)d z.
(2)
8.7. ábra. Az x~ + 2y~ = 4 ellipszis és belsejében egy szinguláris pont
8.8. ábra. A g görbe és belsejében két szinguláris pont
Megoldás. Az f { z ) = ~ függvény nem reguláris a z = 0 pontban, amely most az 8.6. ábra. A go, g„ görbék a g belsejében vannak
ellipszis belsejében van. Ezért vegyük körül a z = 0 szinguláris pontot egy g^ körrel a 8.7. ábrán vázolt módon. Ekkor érvényes a (2) tétel. így a 8.2.1. pont 2. példája szerint ^ —dz = ^ —dz = 2ni. 8 gi
A tételnek ez a következménye általánosítható arra az esetre is, amikor g belsejében több zárt görbe van, pl. g j, g 2 , g„ (8.6. ábra), és a görbék közötti, (n -H1) -szeresen összefüggő tartomány (a görbékkel együtt) tartoz zék / regularitási tartományához. Ekkor
b) Mivel/reguláris a g zárt görbén és annak belsejében, alkalmazható az (1) tétel. így ^ —dz = 0.
<>f { z ) d z = i) f{ z ) d z + o f{ z )d z+ ...+ o f { z ) d z . 8
g]
82
(3)
8n
Ezekben a tételekben igen figyelemreméltó, hogy a görbék alakjáról semmit sem tételezünk fel (a rektifikálhatóságon kívül). Ez azt jelenti, hogy a belső görbék akár körök is lehetnek. Ekkor pedig az esetleg nehe zen kezelhető g menti integrál helyett kör (ill. körök) menti integrált kell kiszámítani (kör mentén általában egyszerűbb integrálni).
3. Számítsuk ki az f{ z ) = - z -1 függvény vonalintegrálját olyan zárt g görbe z(z + l) mentén, amelynek belseje tartalmazza a függvény z = 0 és z = - \ szinguláris pontjait (8.8. ábra). Megoldás. Vegyük körül a két szinguláris pontot a g, és a gj körrel az ábrán feltüntetett módon (gi középpontja a z = 0, gj középpontja a z = - l pont).
Komplex függvények
562 Ekkor a (2) szerint
8.2.4. Reguláris függvények tulajdonságai
563
Ekkor a ^ f{ z ) d z = ^ f { z ) d z + ^ f{ z)d z . 2%i J ^ - z g
Résztörtekre bontás után
aiakú integrált Cauchy-típusú integrálnak nevezzük. z (z+ i)
z
z+ r Példa
Ezt felhasználva _ I +. 2
i - j ^ d z =^ j z(z + l) J
z
z+1
Sí
z
z+1
A dz = -2ni + 0~Q+l-2m - I n i .
Számítsuk ki a .függvény g görbementi vonalintegrálját, ha g a pozitív z{z —i) irányítású (x - 3)" +
= 1 kör.
Megoldás. A (2) formula szerint 8.2.3. A Cauchy-féle integrálformula A reguláris függvény értékei oly szorosan függnek egymástól, hogy egy rektifikálható, zárt görbén megadott függvényértékek egyértelműen megha tározzák a görbe belsejében felvett függvényértékeket. Ezt fejezi ki a híres Cauchy-féle integrálformula.
mert az / (z) = -- - --- függvény reguláris a körön és annak belsejében, továbbá az a = 3 pont a kör belsejében van és /(3 ) = -|-.
Tétel. (Cauchy-féle integrálformula). Legyen f reguláris a D tartomá nyon. A pozitív irányítású, rektifikálható zárt g görbe belsejével együtt le gyen D-ben. Ekkor a görbe belsejében levő tetszőleges z pontban /(z ) =
1 m 2%i J ^ - z
A reguláris függvények legfontosabb tulajdonságait az alábbi tételekben foglaljuk össze:
ahol l^&g görbe pontja. Ez a formula tehát lehetőséget ad arra, hogy egy zárt görbén és annak belsejében reguláris függvényt előálh'tsunk csupán a görbén felvett értékei ismeretében. Az (1) formulával értelmezett függvény (mint általában a reguláris függ vény) akárhányszor differenciálható. A deriváltak az (1) integrálnak a z változó szerinti deriválásával nyerhetők. így pl. f\^ ) =
1 2ni
m
(C -^ )
Tétel (Moréra tétele). H a / az egyszeresen összefüggő D tartományon folytonos függvény, és ha bármely, a D-ben fekvő g zárt görbére f { ^ ) d z = 0, a k k o r/a D tartományon reguláris. Tétel (középértéktétel). Ha / valamely zárt körlapon reguláris, akkor a függvénynek a kör középpontjában felvett értéke egyenlő a körlap kerüle tén felvett függvényértékek integrálközepével.
m n+\
Az (1) formula integrálok kiszámítására is használható. Ekkor célszerű azt ^ ^ d z = 2 n i-f(a ) z-a
8.2.4. Reguláris függvények tulajdonságai
(1)
(2)
alakban felírni (z helyett az a paramétert, a ^ integrációs változó helyére pedig a z -t írtuk változóként, majd szoroztuk mindkét oldalt 2tc/ -vei). A Cauchy-íé\Q integrálformulának akkor is van értelme, ha a g (nem feltétlenül zárt) görbén/ csak folytonos.
Tétel (maximumelv). Ha az f függvény korlátos a D tartományon és annak határán reguláris és nem állandó, akkor |/( z )|-n e k csak D határán lehet maximuma. Tétel (Liouville tétele). H a / az egész komplex számsíkon reguláris és korlátos, akkor az konstans.
Komplex függvények
564
8.3.
K O M P L E X FÜ G G V ÉN Y S O R B A F E JT É S E
565
8.3.3. A Taylor-sor
esetén van összege. Úgy is mondjuk, hogy a hatványsor a konvergenciakör belsejében egy függvényt állít elő, melyet összegfüggvénynek nevezünk. Ha e z t/je lö li, akkor írható, hogy f{z)
Co + C i z + C2 z “ + . . . + c „ z " + . . . =
8.3.1. Komplex tag ú sorok
A hatványsor egyenletesen konvergens minden olyan A komplex számokból álló végtelen sort ugyanúgy értelmezzük mint va lósban. Ha {n = 1,2,...) komplex szám, akkor a X ” "l +“2 +■ • +• • • «=l alakzatot (komplex tagú) végtelen sornak vagy röviden sornak nevezzük. Képezzük az ^1 =wi, S2=Ui+U'),
(| z | < |z|
R).
< r körlapon,
amelynek sugara r < R . Tétel. A hatványsorral előállított/ függvény a konvergenciakor belsejében reguláris, és f ' ( z ) = C l + 2 c 2 Z + ...+ n c „ z^
V ....
Ezt úgy is mondjuk, hogy a hatványsor tagonként differenciálható. Ebből következik, hogy a hatványsor és az általa előállított (reguláris) függvény akárhányszor differenciálható. A hatványsor tagonként integrálható is. A ^ c „ { z - a)" végtelen sor is hatványsor, melynek konvergenciaköre az a középpontú, R sugarú kör.
Sfj —U\
U'} +..
,
részletösszegek sorozatát. A végtelen sort konvergensnek mondjuk, ha az {s„) sorozat
A hatványsorok között kitüntetett szerepe van az l
+z
mértani sornak. Konvergenciasugara 1, összegfuggvénye:
+ z " + . . . + z ” ~ ^ + ...
így írható:
konvergens. Ekkor a lim Sy, = lim í„ = s
1 -z ’
z < 1.
határértéket a sor összegének nevezzük. H a az (í„) sorozat divergens, akkor a
8.3.3. A Taylor-sor
végtelen sor is divergens.
8.3.2. Hatványsorok
Tétel. Ha f reguláris a \ z - a \ = R kör belsejében, akkor itt Ta^/or-sorba
A valós analízisből ismert, hogy a
fejthető, és
=Cq +CjZ + C2Z~+...+C„z "+... n=0 alakú végtelen sort hatványsornak nevezzük. E hatványsor konvergencia sugara az R = lim
JJ—>00
Egy körlapon reguláris függvény itt Taylor-sorba fejthető (a Taylor-soú. lásd a 2.6. pontban).
= lim - ~ í?/ c.
szám. Az origó középpontú, R sugarú kör, az ún. konvergenciakör belsejé ben a hatványsor konvergens (sőt abszolút konvergens), ezért itt minden z
m -m + ^ (z -a )+ ^ { z -a )-+ ...+ í^ ^ { z -a )" + ... 1! 2!
(I)
Ezt a hatványsort a függvény a hely körüli Taylor-sorának is mondjuk. Gyakori az az eset, amikor a = 0. Ekkor 0-körüli Taylor-'&onóX, vagy más szóval z hatványai szerint haladó sorról beszélünk. A Tűj^/or-sorfejtés egyértelmű, azaz bármilyen módon is jutunk az (1) alakú hatványsorhoz, az mindig / Taylor-sox?i lesz. A z/ függvény (1) alakú előállítását az/ függvény a körüli Taylor-kifejtésének is mondjuk.
566
Komplex függvények
Példák 1. Könnyen igazolhatók (akárcsak valósban) az alábbi 0-körüli sorfejtések: 2
3
e - = l + í + ^ + 3 j - + .. . .
R = oo
’
1 -z
,
’’
3
= I + Z + Z + z +...,
Nevezetes tény, hogy ha a z = a pont a (nem azonosan nulla)/ reguláris függvénynek zérushelye, akkor létezik ennek a pontnak olyan környezete, amelyben /-n ek nincs több zérushelye. Vagyis a zérushelyek ebben a kör nyezetben nem torlódhatnak. Példa Az / (z) = zsin^z függvénynek a z = 0 hely háromszoros zérushelye. Ugyanis a függvény ray/or-kifejtése
R = oo
sinz = z - - |^ + | i - - ^ + . . . ,
567
8.3.5. A Laurent-sor
R = oo
zsin-z = z ( z ~ ~ + ...) ( z - — +...) = z +...
R=l
alakú, vagyis kezdötagja harmadfokú. 2.
Állítsuk elő az / ( z ) = Inz függvény i hely körüli Taylor-sorál
Megoldás. A függvény deriváltjai rendre: rx z)= \, ^
z"
8.3.5. A Laurent-sor ....
z
A függvény és deriváltjainak értéke az i helyen: / ( 0 = ln/ = / f , z
f \ i ) = \ = -i, I
Körgyűrűben reguláris függvény „hatványsora” z - a
/" (/) = 4 = 1 >
hatványait is tartalmazhatja. Tétel. Ha f reguláris az r < \ z - a\< R körgyűrűben, akkor itt Laurent-
Igy a függvény Taylor-som\
sorba fejthető, ami azt jelenti, hogy / i t t előállítható
A sor konvergenciasugara: ^ = 1. így ez a Taylor-sor a |z - /I < 1 körben konvergens.
8.3.4. Reguláris függvény zérushelyei A z = a pontot az/fü g g v én y zérushelyének nevezzük, ha / ( a ) = 0. Definíció. A z = a pontot az f reguláris függvény /i-szeres zérushelyének
f iz)
C_') {z-ay
+
^ + cq + C| (z - a ) + C2 (z ~ a)~ +...
(1)
alakban. A jobb oldalon álló végtelen sor az / függvény r <\z —a\< R gyűrűbeli Laurent-sora. Azt a legszélesebb körgyűrűt, amelyben az (1) sor konver gens, a Laurent-sor konvergenciagyűrűjének nevezzük. H a / a \ z - a \ < R körlapon mindenütt reguláris (tehát az a pontban is), akkor a Laurent-sor Taylor-sorrá redukálódik, azaz c_„ = 0 (n = 1,2,...).
nevezzük, ha m
negatív kitevőjű
= 0,
f\a )= 0 ,
=
de
/^ \a )^ 0 .
Ekkor a függvény a-körüli TajK/or-kifejtése
= c „ { z - a ) " + c „ + i ( z - a ) ”'*'* + c„+ 2(z -ű í)" '^ "+ ... alakú. Innen látható, hogy ekkor a függvény a-körüli Taylor-sorának kez dőtagja «-edfokú. Ennek fordítottja is igaz. Ha a függvény a-körüli sorának kezdőtagja «-edfokú, akkor a z = a pont a függvénynek n-szeres zérus helye.
Ha f a \ z ~ a \ < R körlapon mindenütt reguláris, kivéve az a pontot, akkor a konvergenciagyűrű a középpontjától megfosztott körlappá válik (r = 0). Ekkor tehát a Laurent-sor ezen „kilyukasztott” körlapon állítja elő a függvényt. Az ilyen sort a függvény a pont körüli Laurent-sorának nevezzük. Mivel ez a pont a függvénynek izolált szinguláris pontja, ezért mondhatjuk azt, hogy reguláris függvény izolált szinguláris pontja körül is sorbafejthető. Az izolált szinguláris pont körüli Laurent-sornak azt a ré szét, amely z - a negatív egész kitevőjű hatványait tartalmazza, főrésznek, a nulla és pozitív egész kitevőjű hatványokat tartalmazó részt pedig szabá lyos vagy reguláris résznek nevezzük. A Laurent-sorÍQ]Xés egyértelmű, azaz bármilyen módon is jutunk az (1) sorhoz, az m in d ig /Laurent-sora. lesz.
568
Komplex függvények
8.3.6. Izolált szinguláris helyek
Megjegyezzük, hogy a Laurent-sov együtthatóira érvényes a
A c) esetben
1 2%i
1
1
z -2
z -1
m (C -« )
n+\
« = 0 ,± 1 ,± 2 ,... formula, ahol k olyan tetszőleges kör (vagy zárt görbe), amely a körgyűrű belsejében van és (egyszer) megkerüli az a pontot. Péidák 1. Állítsuk elő az f { z ) = -— — — függvény alábbi tartományokon (gyü(z -l)( z -2 ) fűkben) konvergens Laurent-soxhV. a) \z\ < 1 körlap (körbelső); b) 1<|z| <2 körgyűrű; c) |z| > 2 körkülső.
z 1^2
z
1 -i
569
1+ 1 + ( 1 ) V ... z
_ Í ( i + 1 + _ L + ...) - - V + - 4 - + - t + " ’ ^ ^ z" z~ z z A sor a függvénynek a |z| >2 tartományban, azaz a |z| =2 kör külsejében kon vergens Laurent-som. i 2. Állítsuk elő az e" függvény a = 0 pont körüli Laurent-soráX. Megoldás. Az e' hatványsorába helyettesítsünk — -t. Ekkor e- =1 + 1
l!z 2!z- 3!z" A kapott Laurent-soT főrésze végtelen sok tagból áll, míg a reguláris rész csupán egyetlen tagot tartalmaz.
Megoldás. Mindhárom esetben felhasználhatjuk a függvény résztörtekre bontott alakját, mely szerint 1 _ 1_____ L_ ( z - l) ( r - 2 ) z - 2 z - 1 '
8.3.6, Izolált szinguláris helyek Az izolált szinguláris helyek három típusát különböztetjük meg.
Mindhárom „gyűrű” középpontja az a = 0 pont, ezért a Laurent-sor z hatványai ból áll. Az a) esetben 1 1 „ 1 1 , 1 1 l + f+ ( f ) - + ...| + z - 2 z -1 2 , z 1 -z '2 _2 + I + Z+ z"+...= ^ + 4 z + ”7 z“+... 2 4 8 A sor a függvény a = Q körüli 7qy/or-sora, amely a |z| < 1 körlapon konvergens.
Definíció. A reguláris/ függvény a izolált szinguláris helyét (pontját) a) megszüntethető szingularításnak nevezzük, ha a lim f ( z ) határérték létezik
és véges;
b) pólusnak nevezzük, ha lim / ( z ) = o o ; z~^a c) lényeges szingularításnak nevezzük, ha nem létezik a lim / ( z ) határérték.
Ugyanis a —— 1+ •-■+...j sor ^
vagyis |z| <2 esetén, míg az 1+ z+.., sor
|z| < 1 esetén konvergens.
függvény a hely körüli Laurent-sora nem tartalmaz főrészt. Pólus esetén a főrész véges számú tagból áll, lényeges szingularitás esetén pedig végte len sok tagot tartalmaz. Ezek fordítottja is igaz. Ha ez a Laiirent-sox
A 6) esetben 1
1
z -2
z -1
l_ _ i 2
1
H a a z = a hely a függvénynek megszüntethető szingularitása, akkor a
1
1 1 1 1
_ £ z « — -I-...4{z-af
—4-Cn + c i { z ~ a ) + C'){z-a)~+...
alakú, akkor az a pont m-edrendűpólus. A sor a függvénynek az l< |z |< 2 gyűrűbeli Laurent-sora. Itt ugyanis a i í l + i + . . . ^ sor 1 < 1, azaz |z| > 1 esetén konvergens. z\ Z J z
H a az f (z) függvénynek a z - a ugyanez a hely a g (z) =
hely «í-szeres zérushelye, akkor
j függvénynek w-szeres pólus helye. J \^)
Komplex függvények
570
Példa Keressük meg az alábbi függvények izolált szinguláris helyeit (C-ben), majd ál lapítsuk meg, hogy ezek milyen szingularitások: a)
b) e -;
c)
d) -----^
2
e) sinz. z ( z - l) '
Megoldás. a) A függvénynek (C-ben) csak a z = 0helyen van szingularitása. E pont kö rüli Laurent-sora: 3 1
+
1!
2!
3!
- 1
Mivel a sor nem tartalmaz főrészt, ezért a z = 0 pont megszüntethető szingularitás. Ezt úgy is megállapíthatjuk, hogy kiszámítjuk a függvény 0 helyen vett határértékét (ami most 1). b) Itt is a z = 0 pont az egyetlen szingulaiitás. A függvény 0-körüli Laurent-sora: l+ -rf- + - ~ - + —L -+ ... . 2!z" 3!z Mivel a sor főrésze (a negatív hatványkitevöjü tagokat tartalmazó rész) végtelen sok tagot tartalmaz, ezért a z = 0 pont lényeges szingularitás. c) Itt is a z = 0 pont az egyetlen szingularitás. A függvény 0-körüli Laurent-sora: ^ _ L + J _ + x + i_ 4 . J 3\z 5\ 7\
.
Mivel a sor főrésze véges számú tagot tartalmaz, ezért a z = 0 pont a függvénynek pólusa. Az
kezdőtag miatt pedig harmadrendű pólus.
8.3.8. A reziduum-tétel
571
tében. Ezért a függvény \z\ > R tartományon konvergens Laiirent-sorát a függvény végtelen körüli Laurent-sorának nevezzük. E sor főrészét a pozitív hatványkitevőjű tagok alkotják, a többi tagok a szabályos részt. A végtelen körüli Laurent-sov alapján a végtelennek, mint izolált szingulá ris helynek, a jellege ugyanúgy állapítható meg mint ahogy azt az előző, 8.3.6. pontban leírtuk. Példák 1. A sinz függvénynek a végtelenben lényeges szingularitása van. Ugyanis sinz végtelen körüli (egyúttal 0-körüli) Laurent-sora: 7! Mivel a sor főrésze, most a pozitív hatványkitevöjü tagokat tartalmazó rész, vég telen sok tagot tartalmaz, ezért a oo lényeges szingularitás. Megjegyezzük, hogy a sin függvény 0-körüli Laurent-sora azért lesz egyúttal végtelen körüli Laurent-sor is, mert ez a sor minden z-re konvergens, így a\z\> R tartományon is, vagyis a végtelen távoli pont környezetében is. 1 2. Az e- függvénynek a oo-ben megszüntethető szingularitása van, mert a függ vény végtelen körüli Laurent-sora 1 I 1+ 1 l!z 2!z" 3!z' és ez a sor nem tartalmaz főrészt. 1 3. Az / ( z ) = z sin— függvénynek a oo másodrendű pólusa, mert végtelen kö rüli Laurent-sora
d) A függvénynek a z = 0 és a z - 1 helyen van szingularitása. A z = 0 hely egyszeres pólus, a z = 1 hely pedig háromszoros pólus. e) A sinz függvény mindenütt reguláris, ezért szinguláris pontja nincs (C-ben).
3!z"
5!z-
és ennek főrésze z" (amely másodfokú). 3
8.3.7. A függvény viselkedése a végtelenben M egállapodunk abban, hogy a végtelen távoli pont R sugarú környezetén a\z\> R tartományt, vagyis az origó közepű, R sugarú kör külsejét értjük. L egyen/ reguláris a \z \> R tartományon. Ekkor a végtelen távoli pont a függvénynek izolált szinguláris helye. Ez a szinguláris hely aszerint megszüntethető szingularitás, pólus vagy lényeges szingularitás, hogy a függvény végtelenben vett határértéke véges, végtelen vagy nem létezik. Az f ( z ) függvény a szingularitás szempontjából úgy viselkedik a végte len távoli pont környezetében, mint az / í ~ l függvény a 0 pont kömyeze-
4. A z + 2 z " -z + 5 függvénynek a végtelenben harmadrendű pólusa van, A függvény végtelen körüli (egyúttal 0-körüli) Laurent-sora ugyanis önmaga. Ennek főrésze z^+2z“- z , amely harmadfokú.
8.3.8. A reziduum-tétel Legyen az a pont az f függvénynek izolált szinguláris helye, a-körüli Laurent-kifejtésc pedig f { z ) = . ..H----------+
(z-a )~
^
+ C i { z — a ) + c-y(z
—a ) ~ + . . . ,
(1)
^ {< d< \z-a \< R )
Komplex függvények
572
D efiníció. A Laurent-sor c_i együtthatóját az f függvény z = a helyhez
8.3.8. A reziduum-tétel
573
H a /k é t reguláris függvény hányadosa, azaz
tartozó rezid u u m án ak nevezzük, és r e s (/,a ) -v a l jelöljük, azaz r e s ( / ,ö ) - c _ i.
Integráljuk a (1) egyenlet mindkét olda lát tagonként olyan zárt g görbe mentén, amely a \z ~ a \ = R kör belsejében van és
és 9 (a ) ^ 0, \\f(a) = 0, \i/'(<3)
r e s ( / ,a ) = c _ , = - ^ .
egyszer kerüli meg az a pontot (8.9. ábra). Itt felhasználjuk a következőt:
Ennek következtében () f { z ) d z = 2ni-c_] = 2ni ■r e s (/,a ) .
ahol c_i a végtelen körüli Laurent-sox —1 hatványkitevős tagjának 1 —- n e k j az együtthatója.
g
Látható tehát, hogy a reziduumnak milyen nagy szerepe van bizonyos integrálok kiszámításánál. Az előbbi eredményt általánosítva jutunk a komplex függvénytan másik híres tételéhez. Tété! (reziduum -tétel). Legyen f reguláris a g önmagát nem metsző zárt görbén és annak belsejében, kivéve a görbén belül levő véges sok a ,, ü 2 , a„ izolált szinguláris pontot. Ekkor I / ( z ) c / z = 27iz(res(/,ű!i) + r e s ( / ,a 2 ) + ...+ r e s ( / ,a „ ) ) .
(3)
A tétel alkalmazásához tehát ki kell számítani a görbe belsejében levő izolált szinguláris pontokhoz tartozó reziduumokat. Ennek egyik kézenfekvő módja az lehet, hogy mindegyik szinguláris pont körül Lanrent-soxhdi fejtjük a függvényt, és mindegyik sorból kiolvassuk a c_|
A reziduumokkal kapcsolatban még egy tételt említünk meg: Tétel. H a az / függvénynek a komplex számsíkon (a nyílt síkon) véges számú szinguláris helye van, akkor a függvény reziduumainak összege (beleértve a végtelenbeli reziduumot is) nullával egyenlő. Példák 1. Számítsuk ki a következő függvények z = Q helyhez tartozó reziduumát: e" -1 a) b) e -; c) shz d) chz z z z Megoldás. A reziduumokat a Laurent-soxdkhó\ olvassuk ki:
r e s ( /,a ) = c_i = l i m ( ( z - a ) / ( z ) ) , r—><7
(4)
Ha a z = a m-szeres pólus, akkor 1
Mivel ~ együtthatója
dz
ezért res(/,0) = ~ .
e- = l + - j ^ + —
c)
shz _ 1
d) chz _ 1
,m -\
d
i + z + | r + | r + . . . - i = _ L + 4 _ + J ,+ ,„ 2!z 3!
a)
együtthatót. Pólus-szingularitás esetében azonban ennél egyszerűbben is eljárhatunk. Ugyanis ha a z = a ^ ° o pont egyszeres pólus, akkor
re s(/,a )-c _ i =
(6)
Definíció. A |z| > R tartományon reguláris / függvény végtelen távoli ponthoz tartozó reziduuma: res(/,o o ) = -c _ i,
0, h a n ? í:- l, 2ni, ha n = -1.
8.9. ábra. A \ z - a \ - R kör és a belsejében levő g görbe
0 (tehát a z = a pont /-nek egyszeres
pólusa), akkor a (4) formulát alkalmazva.
z+
21
tehát res(/,0 ) = l.
, tehát r e s ( / , 0 ) = ^ = i
+ 5, +•••
2
4
6
2!
4!
6!
'
—
2!z“
+^ + 4!
6!
.
(5) Mivel itt nem szerepel -j, ezért annak együtthatója nulla. így res(/,0) = 0.
Komplex függvények
574
2. Szám ítsuk ki a következő fü ggvén yek adott szinguláris pontjaihoz tartozó reziduumait: a)
b)
c)
z -2 z+ 1’
Z
d)
3
azonban csak a 0, n i , 2 n i ,
M eg o ld á s. a) A z = i pont elsőrendű pólus. A lkalm azzuk a (6) formulát. Itt (p(z) = e"', \|/(z ) = z - + l. így i
cosTC + ís in n 2i
2i
b) A z = 2 n i szintén elsőrendű pólus. A (6) form ula szerint: R e s(/,2 7 iz ) =
-afe vonalintegrál értékét, h a g a z x~ +
4. Számítsuk ki az / =::
r e s (/,0 ) = c) A z = - 1 elsőrendű pólus. A lkalm azzuk m ost a (4) formulát: z -2 '
1
1
i cos 0
i ’
r e s (/,7 i:/) =
= -3 .
A függvénynek más szinguláris helye nincs a kom plex szám síkon (a nyílt síkon). V iszon t a reziduum ok összeg e nulla, beleszám ítva a végtelenbeli reziduum ot is. így r e s ( / , - l ) + res(/,'= o) = 0 ,
-n i,
- 2 ni
pontok esnek a g görbe belsejébe (8.10. ábra). E helyekhez tartozó reziduum okat a (6) form ula segítségével célszerű szám í tani. E szerint - k n i +1 res(f,-lcn i) = i cos k n A fentiti öt helyen a reziduum:
= -4 7 1 - .
tehát
r e s (/,2 7 t;) =
8.10. ábra. A z x~ + y~ = 50 kör belsejében öt szinguláris ponttal
™ 1 i COS(-TC)
(1 + 71/) = - - - 7 1 , i
2ni +1 i c o s ( - 2 tt)
(l + 2 n i ) = - + 2tc, i
r e s ( / ,- 7t/) = - n i + 1
i COS TC
r e s ( / , ° o ) = : - r e s ( / , - l ) = 3. d) A z = \ hely m ásodrendű pólus. A lkalm azzuk az (5) formulát:
res(/,-27iO =
3
(z-1)^
= 5 0 kör.
z = - k n i helyeken (k egész). Ezek közül
(r-ir
R e s ( / , / ) = c_, =
575
M eg o ld á s. A feladatot ismét a reziduumtétellel oldjuk meg. A z integrandusznak egyszeres pólusai vannak az i z - k n , azaz
e' - \
z '+ r
8.4.1. A Laplace-transzformáció fogalm a
= lim 3 z “ = 3 .
1
- 2 n i +1 icos2n
A reziduum ok összege - , így a
(1 -T C ? ) = - y + 7t,
(l-27t0= j-27t.
,
(3) felhasználásával
(z -1 )I = 2 n i - — = 2 n. fü ggvén y zárt g görbe menti vonalintegrálját, ha a g
3. Szám ítsuk ki az z -1 görbe az ~
+ y~ - I ellipszis.
8.4.
M eg o ld á s. A feladatot a reziduum -tétel segítségével oldjuk meg. A függvénynek az ellip szisen belül két szinguláris helye van: z = l és z = - l . M indkettő elsőrendű pólus. Ezeken a helyeken a reziduum: = lim
R e s ( / ,1 ) = lim ( z - 1 ) Z--1
r->l
= lim
R e s ( / , - l ) = lim
r-1
Z
+ 1
- d z - 2%i
A differenciálegyenletek megoldására kidolgozott módszerek között jelen tős szerepet töltenek be azok, amelyekkel bizonyos típusú differenciálegyen letek megoldását algebrai egyenletre lehet visszavezetni. Ilyen módszer a lap/ace-transzformáció, melyet széles körben alkalmaznak az elektrotechni ka, mechanika, automatika differenciálegyenleteinek megoldására.
z -1
8.4.1, A Laplace-transzform áció fogalma
A (3) felhasználásával Z- - 1
2’
LAPLACE-TRANSZFORM ÁCIÓ
= 27c ;s h l.
Legyen f { t ) a 0 < / < komplex értékű is lehet.
intervallumon értelmezett függvény, amely
576
Komplex függvények
8.4.2. Függvény deriváltjának és integráljának transzformálása_______577
(1)
M ondható tehát, hogy összeg tagonként transzformálható (additív tulaj donság), konstans szorzó pedig kiemelhető a transzformálás jele elé (ho mogén tulajdonság).
Definíció. Az
módon értelmezett F komplex változós függvényt az f függvény Laplacetranszformáltjának nevezzük, feltéve, hogy a jobb oldalon szereplő improprius integrál létezik. H a/ szakaszonként folytonos és létezik olyan M és a pozitív szám, hogy t > 0 esetén f [ t ) <
8.4.2. Függvény deriváltjának és In teg rálján ak transzformálása Az f \ t )
derivált Laplace-transzformáltjának előállításához alkalmaz
zuk a szorzat integrálási (a parciális integrálás) szabályát. E szerint
akkor az/ függvénynek létezik Laplace-transzA f V ) ] = J ^~^‘f V ) d t = [e“ ^ 7 ( 0 ] ^ + p \ e~P^f{t)dt .
formáltja. Szokás azt mondani, hogy ekkor f Laplace-transzformálható. Kimutatható, hogy ekkor F{^p) ana litikus függvénye a p komplex válto zónak, hacsak R e p > a . Azok a p komplex számok, amelyekre R e /? > a , ^ „, ' , , y f 8.11. abra A Laplace-transzformacio koiivergencia-félslkja
a komplex számsíkon az x = a egyerizstől jobbra helyezkednek el. Ezt a félsíkot a Laplace-transzformáció kon. ,, ., , ... , vergencia felsikjanak nevezzük (8.11 ábra).
Az / függvény és Laplace-transzformáltja közötti kapcsolatot szimboli kusan j> [ f{t)] = F { p ) vagy J f ( t ) = F Í p ) alakban szokás jelölni.
0
lim
0
fit)-
lim e~P‘f i t ) =
lim f ( t ) = - f ( o ) ,
ahol /(O ) most a 0 helyen vett jobb oldali határérték. Az összeg második tagja pedig pFi^p). így ^ {fV )}= p F (p )~ f{ 0 ).
(3)
Ha a függvénynek a t = 0 helyen szakadása van, akkor feltétlenül kü lönbséget kell tenni a helyettesítési érték és a jobb oldali határérték között. Ha ezek egyenlők, vagyis a függvény jobbról folytonos, akkor /(O ) a he lyettesítési érték. Gyakori eset, hogy / ( 0 ) = 0 . Ekkor
4 / '( ') } = P Í '( p ) .
Definíció. Az F [p ) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevez zük azt az f { t ) függvényt, amelyre
°
A jobb oldali összeg első tagja
(4 )
A (3) formula ismételt alkalmazásával látható, hogy
= F (p).
• ^ { /" (í)} = p [ p F ( p ) - /(O )] - /'( O ) = p^-F{p) - p f ( 0 ) - r ( 0 ) . (5)
Jelölése: J ' ^ { F ( p ) ] ^ f { t ) .
továbbá Az (1) értelmezésből kiindulva igazolható, hogy ^ { / W / } = p ” F ( p ) - p ' ’- ' / ( 0 ) - p ”- V ' ( 0 ) - . . . - / " ' ' ’( 0 ) .
c+iR
f { t ) = — : lim
(2)
\ e ^ ‘F { p )d p . c -iR
A Laplace-transzformáció és annak inverze lineáris művelet, azaz mind az Á mind az
operátor lineáris. Ez azt jelenti, hogy
A függvény integráljának transzformálásához vezessük be az t . / ( t y t = g(t) 0 jelölést. Ekkor g'{t) = f ( t ) és g (0) = 0 . A (4) felhasználásával
és
I - ' {C|/i (I) + c , / j ( 0 } =
{/i ( 1)} +
{/2 (0 }.
^ { /( O } =
{ ^ '(0 } = P ^ { s { t ) }
azaz
F { p ] = p jl[g (t) - .
(6)
Komplex függvények
578
8.4.3. Néhány elemi függvény Laplace-transzformáltja
579
Tehát d) Felhasználva azt, hogy sin í = ■ f{ % )d x \ = - F { p ) . P
21
(7) ^ { s in A = — ^ 2i p ~ i
Mindezekből látható, hogy a Laplace-transzformáció a deriválás és az integrálás műveletét algebrai műveletté, szorzássá illetve osztássá alakítja.
/+ l
p +i
e) Mivel c o st = (sin t) és sinO = 0 , (4) felhasználásával 8.4.3 N éhány elemi függvény L ap la c e-tran sz fo rm á ltja
-c?{cos t] = p j l \ s m r} = —Y +1
Függvények lap/ace-transzformáltjának és az inverz Laplace-lranszformáltaknak a meghatározását táblázatok könnyítik meg. (A leggyaki'abban előforduló függvények lap/ace-transzform áltjait a 8.4.6 pont tartalmazza). Gyakorlásképpen kiszámítjuk néhány függvény Lap/ace-transzformáltját. a) Legyen u{x) = 1, jc > 0 és u(x) = 0, ha jc < 0 . Ennek az űn. egységug
f ) Legyen most f oű periódusú függvény, azaz f { x + (ü) = f { x ) . Az (1) formula használatához felbontjuk a ]0,+°o[ intervallumot cú hosszúságú részintervallumokra. így + ~
rás függvénynek a jLap/öce-transzformáltja: +00 -p x jí[u(x)] =
J e^l>‘ f ( x ) d x = ^ = 0 k(Ü
+00 CO
1 • e"^^dx = -p
0
+ 0 0 ( ^ + 1)CŰ
= J e->”‘f ( x ) d x = 5 ;
Felhasználva azt, hogy konstans szorzó kiemelhető a transzformálás elé, ^ { a \ = aJl{\\ = a — - — .
p
+00
= X J k=Oo
+ k(ü)dt = X k=0
1
-Cúp
e~P‘f { t ) d t ,
ha
j e -P ‘ f { t ) d t =
0
<1.
\-e -^ P 0
p
+00
b) H a f { x ) = x , akkor parciálisán integrálva ( Re jC> 0 ): 4 . } = L - - . x d x = - l 'xe-P^'
0
P ;
Ekkor ugyanis a ^ k=Q f {x) Cű periódusú, akkor
\ 'e-P^'
\e-P ^dx= )
sor konvergens és összege \-e
öxl ^ = le-P^e^’^ d x ^ i 1
^ p-a
\-{p -a )x '
+00
1 p-a
0
(8) Példák 1. Számítsuk ki az /w =
ö, ha 0 < X < Cú , O .a,< ;t< 2 (o “
- . ., . / ( » + 2ío) = / W
Ebből következik, hogy ^|^/(cox+(p) J ^
l
J
, g/cüx I ^
p
p +a
° ... p i p + a)
^
■így, ha
P~
P"
c) Tekintsük az függvényt, ahol a tetszőleges komplex szám, mely kielégíti a R eá < Re/? feltételt. Ekkor JL- e
-íú p
függvény Lap/ace-transzformáltját (8.12. ábra). Megoldás. A (8) képlet alkalmazásával: 2(ü 1 je-P^adx+jodx
a
' e-px' -P _
Komplex függvények
580
8.4.4. A függvényre és transzform áltjám vonatkozó tételek
_______ 581
A tétel f(x)
á
(a> 0)
F{ap) = - J l f alakban is felírható.
01
cű
2(ö
3(ű
A tétel segítségével a táblázatokban megadott /( .x ), ill. F ( p ) függvé nyek könnyen átírhatók más argumentumú függvényekre. Pl. ha ismert,
8.12. ábra. f ( x ) periodikus függvény 2. Számítsuk ki az sinx, ha 0< X< 7t ha 7t < X< 271
hogy -áfsin;c = —~ — , akkor sinoix függvény lap/ace-transzform áltja: p^+l
/ w = 0,
rt
2 tc
f ( x + 2n) = f ( x ) periodikus függvény (egyenirányí tóit váltóáram) Laplace-transzíormáltját(8.12. ábra)
37t
8.13. ábra. f ( x ) periodikus függvény
Megoldás. A (8) képlet alkalma zásával:
^ sin tű x =
1
(ű
1
(0
+1
p-+ (ú~
2. Eltolási tétel. Ha / (x) Lapiace-transzformáltja F ( p ) , akkor f ( x - k ) Zap/ace-transzform áltja e~ ^^ F [p ),
cpfxj^
ahol k > 0 pozitív szám. e ^^^(psinx + cosx) p-+ \
0
Bizonyítás. Tekintsük a ( \_
1
/J- + 1
^
/;“+l
haO < x< k [ fix -k ), hax> k
8.4.4. A függvényre és tra n sz fo rm á ltjá ra vonatkozó tételek
J^{x)=
Lap/ace-transzformáltj a
-px (p(x)dx = j e P ^ f ( x - k)dx .
e~P^(^{x)dx= e~P^(p(x)dx + 0
1. Hasonlósági tétel. Ha f (a:) La/?/ace-transzformáltja F { p ) , akkor / (Ax)
0
k
k
Az x - k - t helyettesítést bevezetve, dx = dt , az integrál határai 0-ra és +00 -re változnak: J
ahol k > 0 .
/(O rfI = e - l * T « - 'V ( 0 < * ,
azaz
Bizonyítás. Az (1) formula értelmében
J f { x - k ) = e ^^F (p).
J f{ k x ) = \e~P ^f{kx)dx . 0
Tehát az eredeti függvény .x-tengelymenti pozitív k-va\ való eltolása a
Az integrálban a kx=t, d x = ^ d t helyettesítések elvégzése után: k +00 _£^ Jíf{kx) = e *
8.14. ábra. k > 0 -val eltolt függvény
függvényt (8.14. ábra). Ekkor
{ k >Q) .
Z-ap/flce-transzformált e~^^ -val való szorzásának felel meg. A tétel megfordítása is igaz: e - í ’* F ( p ) = ^ í ° ’ \ f { x - k ) , hax> k
582
Komplex függvények
8.4.4. A függvényre és transzformáltjára vonatkozó tételek__________ 583 A definíció értelmében a konvolúció kom m utatív művelet:
A hasonlósági és eltolási tételből következik, hogy
f^ ^ g = g ^ f ■ Jíf{ax - k)
a ,k > 0
Ui. x - t = z helyettesítéssel, dz = - d t , a (*)-ból: X 0 f { x ) * g { x ) = J f { t ) g { x - t)dt = - J f { x - z)g{z)dz = 0 X
ahol f { a x - k ) - 0 , ha ax - k < 0, azaz h a x < — a Példa. Határozzuk meg a Laplace-trmszformáltját az f ( x ) = u(x) - u{x - k), k > 0 függvénynek (8.15. ábra), ahol u az egységugrás függvény, azaz
f(x)
=
Igazolható, hogy a konvolúció asszociatív művelet is, azaz {f* g )* h = f ^ { g ^ h ) .
8.15. ábra.
/
Megoldás.
k (x) = u { x ) függvény
Tétel. H a /é s g lap/ace-transzform áltja létezik, azaz u{x - k ) , k > 0
J f{ x ) = F{p)
4 f (x) = j ( u { x ) - u{x - k ) ) - J u { x ) - J u ( x - k ) .
De Ju{x) = — , és az eltolási tétel értelmében: P
4 f i x ) * g i x ) ) = F (p)-G {p). -kp
P
,
Jg (x) = G {p),
és
akkor a két függvény konvolúciójának Laplace-tvanszformáltja is létezik és egyenlő e két függvény Zap/ace-transzform áltj ának szorzatával, azaz
1
Ju{x-k) =e
z)dz = g { x ) * f { x ) .
0
0
. , ÍO, h a x < 0 ”‘*>= I. h a ,> 0
J g {z)f{x -
ezért J f{x) = - — p
Bizonyítás. A z f é s g konvolúciójának lap/ace-transzform áltja:
— = -— p p
+00
+00
X
A f ( x ) * g { x ) ) = j e - ^’‘{f(x)*g(x))dx= J e-P^jf(t)g{x-t)dídx 3. Csillapítási tétel. Legyen X komplex szám, akkor
0
0
^ [ e - ^ f { x ) ] = F { p + X). Bizonyítás. A definíció szerint
+00
= ^ e - P \ - ^ f { x ) d x = ^ \e < P ^ ^ ^ ^ f{ x )d x 0
0
A kettős integrálokra és az improprius integrálokra vonatkozó tételek értel mében az integrálás sorrendje felcserélhető és az így kapott integrál két integrál szorzataként kiszámítható: X
-^ (/W *S'(^))= J
,
0
0
^f{t)e~i”'g{x-t)dxdt
0
0
+00 +00
amiből az állítás már következik.
+00 +OÖ
j fi t )g{ x - t)dtdx = J 0
+00 +00
f{t)e~^^‘*"'>g{z)dzdt = J ^(f{t)e~P‘ 0
4. A Laplace-transzform ált konvolúció tétele. Definíció. A
[0,+°o[ intervallumon értelmezett f és g függvények
konvolúciójának nevezzük és f * g -vei jelöljük a következő függvényt: f( x )* g { x ): = j f { t ) g ( x - t ) d t , ( x > 0 )
(*)
0
ha a jobb oldali integrál létezik. Erre a függvénymüveletre a faltung és a kompozíció elnevezés is használatos.
f{t)e ^'dt V0
=
g(z))dzdt =
0
j e ^'g(z)dz A 0
(Az integrál átalakításához az x - t = z új változót vezettük be). Ebből pedig az állítás következik. A tétel megfordítása felhasználható kéttényezős szorzat inverz Laplacetranszformáltjának a kiszámítására. Nevezetesen J-\F ( p )-G (p )) = f ( x y g ( x )
(**)
584
Komplex függvények
Példa.
8.4.5. Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval Ebből az egyenletből
Határozzuk meg a (p(x) függvényt, ha La/?/űce-transzformáltj a:
N (n\
r(p -i) Megoldás. Tekintsük -4 r és — pP -1 Mivel a táblázatból
szorzatának az adott transzformáit alakot.
[p-\
Példa. Számítsuk ki az y " + 5 y'+ 4y = differenciálegyenlet y(0) = 0, j'(0 ) = 0 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását. Megoldás. Az egyenlet Laplace-transzformáltja:
e\x-
cp(x) = J.
A (*) egyenlet inverz í,ap/ace-transzform áltja szolgáltatja a differenciál láris megoldását. A (*) jobb oldala p racionális törtfüggvénye. A visszatranszformálást résztörtekre bontás után táblázatok segítségével és a megismert tételek felhasználásával végezzük. (Az általános kifejtési tételekkel nem foglalko zunk).
1 IJ7-1
ezért (**) értelmében I ’■f ■ \ i •= x*e'' , tehát [i- p - i j (p(x) = /(x)*g(x) = x*e'^=
(*)
M (p)
egyenlet j^(0), >>'(0), > ^ " ( 0 ) , kezdet i értékeket felvevő partiku I
azaz
585
1
p -r (p ) + 5pV(p) + 4Y(p) =
r(p -l)
1
p -2 ’
. Kiemelve Y{p) -t:
mivel 8.4.5 Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval
Y{p)i^p'-+5p + 4 = 1
. /i-edrendű állandó eg y ü tth ató jú lineáris differenciálegyenlet: o o / ”*
=
és így
■
Képezzük mindkét oldal Lap/ace-transzformáltját: ^o (p ”^ (p ) -
Y{p) =
( p - 2 ) ( p - +5/7 + 4)
A jc>"+5/? + 4 = 0 egyenlet gyökei; p^ = - l , p 2 = - 4 ,
• --J
tehát
+ai{p”~^Y(p) - p"‘~-y(0) - / " V ' ( 0 ) - ■
+
1
Y(p) = ( p - 2 ){ p + í)(p + 4)
p-2
p +l
p +4 ■
I s A(p + \){p + 4) + B{p - 2)(/? + 4) + C(p - 2){p +1)
+.. .+a„_,pY(p) - y(0) + a j ( p ) = F ( p ) , melyből mely Y{p) -re elsőfokú algebrai egyenlet. Y{p) = 1 1 18 p - 2
Ha bevezetjük az M (p ) = üqp” + a^p^^^ +.. .+a„ és az N {p) = F{p) + ö ! o ( /“ V (0) +
'(0)+..
+ai(p''~-y{0) + /7 ""V '(0 )+ ..
(0)) + . .+a„_iy(0)
jelölést, akkor a Zap/ace-transzform ált egyenlet M i p ) - Y ( p ) = N (p )
Mindkét oldal inverz Lap/űce-transzformáltját képezve, megkapjuk a differen ciálegyenlet kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását: = l V '" Felhasználtuk az £
alakú.
1 1 1 .^ .1 9 p + l 18 p + 4 '
- 2 p-a
= e‘^ összefüggést.
«
- '
.
Komplex függvények
586
2 . Á llandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer. A megoldás lépéseit egy példán szemléltetjük. Példák. 1. Számítsuk ki a
8.4.6. Laplace-transzformációs táblázat
587
3. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszereket az adott kezdeti felté telek mellett: ^ ) / - í = 2}
z '- ^ z
+y = Q
/-2 z =0 b) „ z - ' i z - y =e
z" - z + 2y' - 2y = 2 lineáris differenciálegyenlet-rendszer z(0) = 0, z'(0) = 0, j(0) = 0 kezdeti feltétele ket kielégítő megoldását. Megoldás. Képezzük az egyenletrendszer La/)/ace-transzformáltját;
z(0) = 0, 3;(0) = 0,z'(0) = 0.
x(0) = l,X 0) = 0,z(0) = 0.
C )f =
{p ~ ^)Z {p ) + Y{p)^Q {p- -\)Z {p) + l{ p - \)Y { p ) = ^ Megoldás Ez Z{p) -re és Y{p) -re nézve, lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer.
-2
Z{p) =
p ~ - 3 p +2
p ( p - l) ( p - 2 ) ’
P -í ^ p --n {p -\)
b)
p -\0 2p-l
8.4.6. Laplace-transzform ációs táblázat
2 p-\
Y{p) =
PÍP-'^)ÍP-^)
/- 3 / 7 +2
p --\2 {p -\) Résztörtekre bontás után előállítva az inverz Lö/>/ace-transzformáltakat, a megoldás:
, fix ) =
. lim
z(x) = 2 e ^ - e '^ - l ,
c+íR fe ^ ^ F (p )d p c-iR
± P
a
£. P 1 n+\ P 1
n
// / ^ a) y +3>' +3>' = x";
_y= l ( 7 - 6 x + 2 x - - í
b) y " - 3 y '+ 2y = e~~^
1
1
.’' — r
y =2 -cosx-~ le^+ e d) y" + y = e^;
j =
-c o s x - s in x j .
+e ,
1
* i2 ‘
-2 x
«!
+00 je-^y(x)d x 0
1
y{x) = -e^ + ^ e - ^ 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket Laplace transzformációval, ha a kezdeti feltételek: j(0) = 0, ;^'(0) = 0 .
F (p )=
(n = 0 ,l,2 ,...) 1 iJ % X
1 p4 p
Komplex függvények
588
S.¥.(5. Laplace-transzformációs táblázat
+00
C+/7?
589
c+;7?
F { p ) = I e~P''f{x)dx
/ w =—
Hm
F (p )=
2 to /í->+oo •'
0
C-/7Í
0
p +a ^ = ( 1 + 2“ ) V7U sin ax
2a
sinűijc
p4p
—sin ax a:
arctg™ P
2
—sm a x X
/ X sinax
^ V nx 7U
cV2 tw
~ ( l -c o s ű a )
shajc
9 9 p-^-a-
-shax
7 7\2 r +a" j
1 9 p~ +a~
•
2ap arctg— ----- f — T /?“ - a " +ö~
1 0 p~ +a~
cosax
1
~ sinaxcos/)x
(R ep > R eá)
p -ö
Aa~ -In 1 -
1 u2 ax —sh
± ± 2 y fx
s
1+
í'"
2
eP j i
■Jp' - a '
■shax
^P~ + ö " chflA: ÍT 9 ~T ■yy/7 + a
In
p
9
4
: +ö‘
9 9 p ~ -a~
L=rCh2VJ 7ÜX
p Vp
+ /7
•chaa 1
1
™(siníxx: - a x c o s a x ) 2a ^ ’
—(cosbx - cosox)
£
•cosax
2
P -a
2
- ^ s in o x s h o x 2a“ In
9 9 /7" + a " 9 7?” /?" +Z?"
yfp~ + « “ + P
— (sin axdaax + cosax sh ax) -(sinaxchox - cosaxshox) 4 a'
p ^ +4a"^
Komplex függvények
590 c+iR
f(x ) = — lim \e P ^ F { p )d p 2tc/ r —>■+•«>C"iR cosaxchax -^ (sh a x : - sinax) 2a —K r[cha x - cosax) 2a~
H p )= je -P ^f{x )d x
p
4 , .
+4ű
4
4
4
^
4
4
P -a
N u m e r ik u s m ó d s z e r e k
4
Hiba, liibakoiiát p -a
■ ^ (sh ö x + sinax)
P -a
N em lineáris egyenletek megoldása Intervalium-felezési eljárás; Iterációs módszer Newton-RaphsoiHTiódszer; Interpolációs módszerek
Algebrai egyenletek megoldása ^ [ c h a x + cosax)
p
4
-a
Polinomokra vonatkozó tételek Bairstow-módszei
4
L ineáris algebra numerikus nickiszerei
p +a
í ( - “) W ' ~ " ) 1 ~ ax e
!n
In P - ^ P -b
D ifferenciálegyenletek numerikus megoldása ^JJ+a
ax
Tayior-féle, Hauii- és Rímge-Kiitta-féle módszer Kerti Iété rték fe kidatok Differencianiódszer; Galjorkin-féle eljárás
P
VT e
Inverzmátrix eleriieieek kiszámítása Konvergeiiciatételek, hibabscslés Ctiolesky-Banachjewicz-féie módszer Gyengén meghatározott egyenlelreodszerek
p-a
1
” 1 sinbx
arctg
p
i
r
-a p +b ap
S ajátértékfeiadatok Megoldás az általános megoldás ismeretében Kollokációs módszer Parciális differenciálegyenletek megoldása Rácsmódszer Ellipükus, parabolikus és hiperbolikus típusú Iiitegrálegyenietek Fokozatos közelítések niódszere Véges összegek módszere; Kollokációs módszer
IX.
FEJEZET
N U M E R IK U S M Ó D S Z E R E K
9.1.
BEVEZETES
A műszaki, gazdasági és tudományos számítások eredményei különböző módon származtatott pontos vagy ismert, de nem elhárítható hibakorláttal rendelkező adatokkal végzett véges számú művelettel állíthatók elő. Egyes feladattípus hatékony megoldásához összeállított műveletek összességét algoritmusnak nevezzük. Más szóval az algoritmus olyan egyértelmű előírás, amely megmondja, hogy egy adott típusú feladat megoldásakor milyen műve leteket milyen sorrendben kell elvégezni. Ez természetesen nem pontos de finíciója az algoritmusnak, mindössze értelmére, jelentésére mutat rá. A numerikus módszerek számértékű eredmények előállítására és azok pontosságának ellenőrzésére is alkalmas számítási módszerek, eljárások vizsgálatával és kidolgozásával foglalkozik. A számítógépek elterjedése a numerikus módszerek tudományterületé nek igen gyors fejlődését idézte elő, amelynek eredményeként a korábban használt számítási eljárások újra értékelése mellett azoknál hatékonyabb módszerek és algoritmusok kidolgozása valósult meg. A tudományok fejlődését figyelve azt tapasztaljuk, hogy egyesek osztó dása, mások integrációja egyidőben megy végbe. így a numerikus módsze reket a számítástudomány, a numerikus analízis, a számítógéptudomány, valamint az informatika részterületeként is felfoghatjuk. Az informatika fogalmait használva mondhatjuk, hogy a numerikus mód szerek numerikus kezdőadatokból - mint input információkból - numerikus végeredményeket, azaz output információkat előállító számítási eljárások, algoritmusok alkotásával és felhasználásuk módjával foglalkozik. Az input információk általában mért, számított vagy empirikus adatok, s így csak köze lítő értékei a műszaki-gazdasági folyamatokat jellemző pontos adatoknak. Az adatok hibái öröklődnek és befolyásolják az adatok feldolgozásával előállított információk pontosságát. Az eredmény becsülhető hibáját az
Numerikus módszerek
594
egyes módszerek ismertetésekor fogjuk megvizsgálni. A számítások során felmerülő h ib afo rráso k : 1. a valóságot leíró modell fizikai, műszaki, gazdasági elhanyago lásokkal készül; 2. az alkalmazhatóság feltételei nem- vagy csak részben teljesülnek; 3. az adatok pontossága korlátozott; 4. az alkalmazott matematikai módszer és az azt leíró algoritmus pon tossága korlátozott; 5. az elemi műveletek és a kerekítés hibái; 6. a számítógépes feldolgozás hibái; 7. az emberi tévedések. Ebben a könyvben az 1. és 7. pont hibaforrásaival nem foglalkozunk.
9.1,1. A dat, kerekítés, m űveletek és képletek hibái Azt a q számot, amelyet a numerikus módszer algoritmusában a pontos Q szám helyett használunk, Q közeh'tő értékének nevezzük, és ennek kifejezésére a q -Q
9.1.1. Adat, kerekítés, m űveletek és képletek hibái
Az adatok közül rendszerint csak a q közelítő érték és az A{q) hibakorlát ismert, ezért a relatív hibakorlát kiszámítására az A(q) R(q): közelítő képletet használjuk. Példa Számítsuk ki az abszolút és a relatív hibát, ha Q = y -e t a g = 0,86, ill. g' = 0,85 közelítő értékkel helyettesítjük. Megoldás. Ha g = 0,86, akkor az abszolút hiba: a{q) = \Kq)\ = \ Q - q \ = 6^ ~ Tehát az abszolút hiba:
100
= y -1 0 ”- < y ’10"-=5-10"
a(0 ,8 6 )< 5 1 0 ’ 1-10-^
A relatív hiba: Ha 0,85 közelítő értékkel számolunk, akkor az abszolút hiba:
jelölést használjuk (olv.: kis q közelítőleg egyenlő nagy 0-val). A hiba, h{q) a pontos érték és a közelítő érték különbsége:
a(0,85) =
Kq) = Q - q , az abszolú t hiba, a{q) a hiba abszolút értéke:
595
A relatív hiba:
85 = y-10"- >5-10“
100
5 1-10-^ K 0 ,8 5 )= ^
a {q )^ \h {q )\ = \ Q - q \ , a h ib ak o rlát, A{q) minden olyan pozitív szám, amelynél az abszolút hiba nem nagyobb: \Q -q \< A {q ). A ^ + A{q) számérték a Q adat egyik felső közelítő értéke, a q - A{q) pedig a Q adat egyik alsó közelítő értéke. A relatív hiba, r{q) az abszolút hiba és a pontos adat abszolút értékének hányadosa:
Minthogy y = 0,857142857142... végtelen szakaszos tizedes tört, így látható, hogy a kerekítéssel adott 0,86 közelítő érték abszolút ill. relatív hibája kisebb a „jegyelvágással” adott 0,85 közelítő érték abszolút ill. relatív hibájánál. (A szá mok kerekítési szabályát lásd a [9] 2.22. pontban.) A kerekítési hiba, ha betartjuk a kerekítési szabályt, nem nagyobb a meghagyott utolsó jegy helyi értékének felénél. így például 10“" nagyságrendű helyi értékre kerekítve egy számot, a kerekítési hibakorlát: ~ 1 0 “" =5-10~^"^^\
a relatív h ib ak o rlát, R{q) olyan pozitív szám, amelynél a relatív hiba
Valamely közelítő érték minden jegye helyes, ha abszolút hibája nem haladja meg a kerekítés hibakorlátját.
nem nagyobb: Például, ha az M egész szám közelítő értéke m, és | M - m| < y • lO”, akkor r(q) = ^ < R ( q ) > 0 . az m közelítő egész szám utolsó helyes jegye a lO” nagyságrendű helyen áll.
Numerikus módszerek
596
9.1.1. Adat, kerekítés, m űveletek és képletek hibái
Ha az X valós szám közelítő értéke x (és a tizedesvessző után is van jeI I 1 —k —k gye), és |X - :>c| < — ■10 , akkor az jc közelítő értéknek a 10 nagyságrendű helyén van az utolsó helyes jegye, más szóval a tizedesvessző után k számú helyes jegye van. Megjegyzés. A közelítő érték minden nullától különböző jegyét értékes jegynek nevezzük, valamint a nullát is, ha két nullától különböző jegy között áll vagy nullától különböző jegy után helyi értéket képvisel. Pl. a 0,867020 szám tizedesvessző utáni jegyei értékesek, de a y tört közelítő értékeként használva az utolsó helyes jegye a 6. Az algoritmusok alapműveletekből épülnek fel. Az alapműveletekben szereplő adatok abszolút és relatív hibakorlátjának ismeretében megbe csülhetjük a műveletekkel előállított eredmények abszolút és relatív hiba korlátját. a) Összeg h ib ak o rlátja. Legyen Xj közelítő értéke Xj, (/ = 1 , 2 , 3 , , és az abszolút hibakorlátok közül a legnagyobb A{x), akkor az s = összeg yí(s)-sel jelölt hibakorlátja:
-+R{y) képlettel számítjuk. M egjegyzés. Ha \d\ nagyon kicsi szám az x > 0, y > 0 számokhoz vi szonyítva, pl. X és y egymástól alig eltérő számok, akkor a különbség rela tív hibakorlátja lényegesen nagyobb lehet az x és relatív hibakorlátjának összegénél. c) Szorzat hibakorlátja. Legyen X > 0 és 7 > 0 közelítő értéke jc és y, akkor a P =X Y szorzat közelítő értéke p =x-y. Ha a tényezők relatív hibakorlátja R{x) és R{y), akkor a szorzat relatív hibakorlátja: X - Y - : 'í'.y < R { x ) + R{y) + R { x ) - R { y ) . R {p) = Mivel általában R{x) ■R{y) lényegesen kisebb az R{x) + R{y) összeg hez képest, ezért a szorzat relatív hibakorlátját
Megjegyzés. Nagyszámú összeadandó esetében a hibák részben vagy egészben kiegyenlítik egymást, mivel az adatokat hol alsó-, hol felső közelítő értékükkel helyettesítjük, a kerekítési szabálynak megfelelően. A hibakorlát, tehát nem nő arányosan az összeadandók n számával, hanem, miként az a valószínűségszámítás elméletében bizonyítható, csak a tagok száma háromszorosának négyzetgyökével vehetjük arányosnak s így, ha n > 3, akkor az J ( s ) = V3n • A (x),
597
(n > 3)
képlet használható az összeg abszolút hibakorlátjának becslésére. Az összeg R(s) -sel jelölt relatív hibakorlátja nem nagyobb a tagok leg nagyobb relatív hibakorlátjánál R (x) -nél:
R { p ) < R { x ) + R{y) képlettel becsüljük. A szorzat A {p ) abszolút hibakorlátját a relatív hibakorlát felhaszná lásával az A {p ) <\p\ -R {p) képlettel becsüljük. Példa Hány helyes jegy garantálható a p ^ x ^ y szorzatban, ha az x = 81,67 és jk - 13,3 tényezők minden jegye helyes? Megoldás. Mivel ^(x) = 5-10~^ és A{y) = 5-\Q~- így R{p) <
- 0,003 8.
R (s)< R (x). b) Különbség hibakorlátja. Legyen X, ill. Y közelítő értéke .x, ill. y és jelölje az X - Y = D különbség közelítő értékét x - y - d . A különbség A{d) hibakorlátja nem nagyobb a kisebbítendő A (x) hibakorlátja és a kivonandó A (y ) hibakorlátja összegénél; A (d) < A (x) + A ( y ) . A különbség R (d ) relatív hibakorlátját az
Ennek figyelembevételével a /? = 1086,211 szorzat abszolút hibakorlátja A{p)< < p - R(p) ~ 4,3. Ez azt mutatja, hogy csak három helyes jegy garantálható a szor zatban, és az eredmény p = 1086 ± 4 alakban adható meg. d) Hányados híbakorlátja. Egy számnak és reciprokának relatív hibakor látja közelítőleg egyenlő egymással. Ui., ha X > 0 közelítő értékex, akkor az ~ reciprok érték hibakorlátja A ^ ^
Numerikus módszerek
598 1 ;c
1 X
1 X
1 x + A (x)
A (x)
A (x)
képlettel becsülhető. Az R{x) elhanyagolásával
9.2.1. A gyökök elkülönítése
599
Például, a határozott integrál értékét trapézformulával vagy Simpsonformulával számítva, a hibát az ún. maradéktaggal becsüljük. Egy konver gens végtelen sor összegét gyakran előre meghatározott pontossággal, véges számú tag összegével közelítjük. Az ilyen hiba a képlet- vagy más szóval csonkítási hiba. Ilyen esetben a tényleges hibát a csonkítási hiba és a kerekítési hiba összegével becsüljük.
A ( h < ^ ^ x~ 9.2.
és így — relatív hibakorlátja
képlettel becsülhető. Ennek felhasználásával a q = — hányados R{q) relatív hibakorlátja a o = y •— szorzat alakból az .X R {q)< R {y)^R {x) képlettel, a hányados A{q) abszolút hibakorlátja pedig az A {q )< \q \-R {q ) képlettel becsülhető. M egjegyzés. Ha az osztó az osztandóhoz képest kicsi, akkor a hányados abszolút hibakorlátja lényegesen nagyobb lehet az operandusok hibakor látjánál. Példa Legyen >' = 314 pontos érték és ;c = 3,14 a 7t szám 5-10"^ hibakorláttal adott közelítő értéke, akkor 9 = 1 ^ = 100; i ? ( 3 , 1 4 ) < ^ ^ ^ = 0,0016. A hányados relatív hibakorlátja: /?(g)< 0 + 0,0016 = 0,0016, és abszolút hiba korlátja: ^ (^ )< 100 0,0016 = 0,16. Ez pedig az osztó 5 1 0 “^ hibakorlátjának 32szerese. é) Képlet, ill. csonkítási hiba. A numerikus módszerekben gyakran alkal mazunk olyan képletet, amely a pontos érték kiszámítására alkalmas mate matikai kifejezést helyettesíti, és előre meghatározott pontosságú közelítő érték kiszámítására alkalmas.
N E M L IN E Á R IS E G Y E N L E T E K M E G O LD Á SA
A matematika alkalmazása során előálló, a valóságos folyamatokat leíró egyenletek pontos gyökeit csak kivételes esetben lehet meghatározni. A gyökök közelítő pontosságú meghatározására azonban a numerikus mód szerek hatékony algoritmusai közül a célnak megfelelő rendszerint kiválaszt ható. Ebben a fejezetben azokat a numerikus módszereket ismertetjük, amelyek segítségével az /W - 0 (1) egyismeretlenes egyenlet gyökeit határozhatjuk meg. A z / adott folytonos függvény valamely a < x < b véges (végtelen) intervallumon. Definíció. Minden olyan Xp érték, amelyre az / függvény helyettesítési értéke nulla, azaz f ( X p ) = 0, az (1) egyenlet gyöke, egyúttal az/fü g g v én y zérushelye. Az (1) egyenlet gyökeinek m eghatározására alkalmazható numerikus módszerek kezdő adatként a keresendő gyököt tartalmazó intervallum, ill. tartomány megadását igénylik. Az ilyen, egyetlen gyököt tartalmazó inter vallum vagy tartomány kijelölését a gyök elkülönítésének nevezzük.
9.2 .L A gyökök elkülönítése Az (1) egyenlet gyökeinek elkülönítéséhez használható grafikus vagy analitikus módszer. a) G rafik u s m ódszer. Az (1) egyenlet valós gyökei, egyúttal az y = f (x) görbe x-tengellyel való metszéspontjai (közös pontjai), s az ezeket közre fogó intervallumok a gyökök elkülönítését adják (9.1. ábra). A görbe fel rajzolásával, ezek az intervallumok gyakran közelítően meghatározhatók.
Numerikus módszerek
600
9.2.2. Intervallum-felezési eljárás
601
Továbbá, ha f ' { x ) létezik és előjeltartó az ]íz,^[ intervallumon, azaz ha itt f'{x)>
(2)
egyenletben minden komplex számot a + ib alakban, z-t pedig x-¥iy alak ban írva, / ( z ) - t valós és képze u(x,y) = 0 tes részre szétválasztjuk. Ekkor
x^-x.
m
(4)
Megjegyzés. 1. A (4) képlettel becsült hibakorlát durva is lehet, ezért a gyakorlatban az x^ - Xp < b - a becslés is megfelelhet.
f { z ) = u {x,y) + iv{ x,y),
yo v{x,y) = 0
0
gyöke
tervallumban xmn\f'{x)\=m, akkor
X0
^
9.2. ábra. Komplex gyökök grafikus elkülönítése
és így a (2) egyenlet ekvivalens az u {x,y ) = Q\ v { x ,y ) = 0\
2. Az |/(.x;^)| > 0 nagyságából ne következtessünk az x^ közelítő gyök pontosságára, mert téves eredményre vezethet (9.4. a), b) ábra).
egyenletrendszerrel. A két egyenlethez tartozó két görbét felrajzolva, azok metszés pontjait a komplex sík
Z k = X k + iy k
(^ = 0,1,2,...)
pontjainak tekintve, kapjuk a (2) egyenlet közelítő komplex gyökeit. így kijelölhetjük a gyököket elkülönítő tartományokat is (9.2. ábra).
9.4. a), b) ábra. |/(x ^ )| szemléltetése
b) A nalitikus módszer. 1. Tétel. Ha az f folytonos valós függvény helyettesítési értékei az \a,b\ intervallum végpontjaiban különböző előjelűek, azaz f{ a )-f{ b )< Q , akkor az (1) egyenletnek legalább egy gyöke van az ]a,b\ intervallumban. vagyis található legalább egy olyan /( ;c ^ ) = 0 (9 .3 . ábra).
x„
szám
a,b -ben, amelyre
9.2.2. Intervallum -felezési eljárás Az intervallum-felezési eljárás a legegyszerűbb algoritmus az (1) egyenlet valós gyökeinek meghatározására. Tegyük fel, hogy az (1) egyenlet egyik gyökét az [a,ö] intervallumban elkülönítettük és f ( a ) - f (b) < 0. Felezzük az intervallumot és képezzük a függvény helyettesítési értékét a felező pontban.
Numerikus módszerek
602
0, akkor a
Ha / gyök az
a+b
ill. az
ű,
,b
intervallumok közül abban van,
amelynek végpontjaiban az / függvény helyettesítési értékei ellentétes előjelűek. A felezés -> ellenőrzés intervallum kiválasztás lépéseit ismé telve egymásba ágyazott [ai,bi],[a 2 ,b2 ], ■..,[a„,b„],... intervallumok vég telen sorozata állítható elő úgy, hogy fM -f(b „ )< 0 , és
=
(5)
(6)
bn-^n = - " ( b - a ) Az ö], Ű2 ,
a„,
monoton nem csökkenő, a bi, bj,
b„,
pedig
monoton nem növekedő korlátos sorozat, ezért a (6) alapján = lima„ = limé„,
ha
—> <>o.
M ivel/folytonos függvény így (5) határértékére áttérve
9.2.3. A z iterációs módszer
603
értéket írjuk az a„ oszlopba, ha / a„ 4 - b„
a„+b„
> 0, és b„ oszlopba írjuk, ha
< 0.
n 0 1 2 3
10 11 12
bn 0,0 0,75
1,5 1,125
0,937
1,0212 1,0217
a„ + b„ 2
/
0,75 1,125 0,937 0,984
0,90188 - 0,40327 0,30645 0,13914
1,0217 1,0215
- 0,00004 0,00066
í a„+b„\ l 2 J
1,0215
Agyökértéke: ;cq
1,0216±MO“^.
<0 adódik, amelyből 9.2.3, Az iterációs módszer
f{x p ) = 0 következik, azaz Xp valóban gyöke az (1) egyenletnek, és a hibakorlát 0 < X p-a„ < -~ (b-a)
Tekintsük az (1) egyenlettel ekvivalens (7)
egyenlőtlenséggel becsülhető. Megjegyzés. 1. A módszer csak akkor használható, ha a gyök páratlan multiplicitású. 2. Előfordulhat, hogy valamelyik lépésnél a felezési pont egybeesik a gyökkel, 3. Ha az \a,b\ intervallum az (1) egyenletnek több gyökét tartalmazza, akkor az intervallum felezési eljárással ezek közül valamelyik gyök közelítő értékét kapjuk. Példa Határozzuk meg az f { x ) = 2Q,osx-x~=Q egyenlet legkisebb pozitív gyökét fe lezési eljárással M 0"‘’ pontossággal. Megoldás. A gyököket grafikusan elkülöníthetjük az >>j = 2cosx és y>2 = a:' görbék metszéspontjai behatárolásával. Könnyű belátni hogy, a legkisebb és egyetlen po zitív gyök a
intervallumban van. A számítást üq = 0, bQ = \,5 értékekkel
kezdjük és az alábbi táblázat szerint végezzük. Mivel / ( öq) > 0, / (io) < 0, ezért az
x = g{x)
(8)
egyenletet, ahol g{x) lehet például .x + f { x ) . Helyettesítsük az (1) egyenlet valamely gyökének jcq közelítő értékét a (8) jobb oldalán levő függvénybe, s a helyettesítési értéket jelölje xj, azaz .^i=^(;co). Az jcj értéket helyet tesítsük ismét (8) jobb oldali függvényébe s a kapott helyettesítési értéket jelölje X2 - Az eljárás folytatásával, azaz az ^ n = g ( X n - l)
(« = 1,2,3,...)
(9)
algoritmussal végtelen számsorozat állítható elő. Ha ez a sorozat konver gens, azaz létezik egy h = lim Xy, határérték, és feltéve g folytonosságát, a (9) határértéke lim x„ = g{ lim Xn-i), h = g(h).
vagyis
Numerikus módszerek
604
Ebből következik, hogy h a (8) egyenlet gyöke, s ezt a gyököt a (9) algo ritmussal tetszőleges pontossággal kiszámíthatjuk. Ha a gyököt x^-vel je löljük, akkor xp= g{xp) A (9) algoritmust fixpont-iteráció vagy fokozatos közelítés módszeré nek nevezzük. Az iterációs eljárás konvergenciája a g megválasztásától is függ. Az ite rációs eljárás konvergenciájának vizsgálatához felhasználható a következő elégséges tétel. Tétet. Legyen a (8) egyenlet g függvénye differenciálható az
\a,b\
9.2.3. A z iterációs módszer A 4. esetben az x„ =
x"'
605
—8 — , « = 1,2,3,... algoritmus az |x| < 1 intervallumban
konvergens sorozatot állít elő, de ebben az inteivallumban az adott egyenletnek nincs gyöke. A gyököt tartalmazó intervallumbeli kezdőérték megadása esetén divergens sorozatot kapunk. (Az Xq 0 helyettesítéssel azonban két lépésben megadja az x^, = 4 gyököt.) Az iterációs módszerrel számított «-edik közelítő gyök hibakorlátját a tétel feltételeinek teljesülése esetén az < q ''(b -a )
( 10)
interval
( 11)
X p-x,
lumon, és értékkészlete is tartozzék az [a,6]-hoz. Tegyük fel, hogy létezik egy q < \ konstans, amelyre \ g { x ) \ < q minden xe\a,b\_-xt. Ekkor bár
X „ ~ X.
mely xq e \ a , b \ kezdőértékkel képzett (9) sorozat a (8) egyenlet [a,ö]-beli egyetlen megoldásához konvergál. Példa Az / ( x ) = X' - 2jc - 8 = 0 egyenlet gyökei: x, = -2, 1.
2.
\-q
( 12)
képletekkel becsülhetjük, amelyekből látható, hogy a konvergencia sebes sége annál nagyobb, minél kisebb a q értéke. = 4. A g függvény lehet
Megjegyzés
g(x) = V 2 x + 8; =
p vagyis
3. g(x) = 2 +j ;
ahol A{x„) a kiszámítandó gyök előre megadott hibakorlátja, pl, 10
4. g ( x ) - ^ . Az 1, esetben az x„ =
+ 8, n - 1,2,3,... algoritmus pozitív elemű, mono
ton növekvő konvergens sorozatot állít elő, ha x>-3,5. Ui. ekkor |g'(^)| < 1A [0,5] intervallumot megadva, iterációs eljárással 1 5 - 1 6 lépésben 10 ^ pontos sággal megkaphatjuk az x^^ - 4 gyököt. Ezzel az algoritmussal a -2 gyök közelítő
2. A konvergens iterációs eljárásnál a gyök minden x„ közelítő értéke pon tosabb az előző közelítő értéknél, vagyis az x^ - x„ hiba monoton tart a zé rushoz. Ebből következik az iterációs eljárás egyik jó tulajdonsága, mely szerint, ha elegendő jegyszámmal végezzük a számítást, akkor csak az utolsó iterációban előálló kerekítési hiba terheli a közelítő gyököt.
értéke nem állítható elő.
O A 2. esetben az x„ ------ « = 1,2,3,... algoritmus váltakozó előjelű konX„_5 - 2
vergens sorozatot állít elő x < 2 - V ^ , ill. x > 2 + Vs kezdőértékekre, ui. ekkor |g'(x)| < 1, de csak a -2 gyökhöz konvergál. (A g függvénynek x - 2 helyen pó lusa van.) O A 3. esetben az x „ = 2 + — « = 1,2,3,... algoritmus váltakozó előjelű konX//-1 vergens sorozatot állít elő |x |> V ^ kezdőértékekre, ui. ekkor |g '(x )|< l, A sorozat oszcillálva tart az x^ = 4 pontos gyökhöz. A sorozat csak a pozitív gyök előállí tására alkalmas.
(13)
X„ —X
9.5. - 9 .6 . ábra. Konvergens iterációs sorozatok
Numerikus módszerek
606
3. Az iterációs eljárásnál a lépésenként megjelenő hiba közelítőleg az előző lépés hibájával arányos, azaz elsőrendűen (lineárisan) konvergál az x^, pontos gyökhöz. 4. Mivel a (8) egyenlet gyökét geometriailag dci y = x egyenes és az y = g(x) görbe metszéspontjának abszcisszája szolgáltatja, így a konvergens és a divergens iterációs sorozatot a 9.5., 9.6., 9.7. és a 9.8. ábrák szemléltetik.
9.2.4. A Newton-Raphson-módszer
607
A ^ < ^ |x ]2 -Xiil < 10 ^-ből következik az
X„ - X n
=
x ^ ,- 1,93456 <10"
egyenlőtlenség teljesülése.
9.2.4. A N ew ton-R aphson-m ódszer Tegyük fel, hogy az (1) egyenlet / függvénye kétszer deriválható. Ekkor f ( x ) felírható az alábbi módon:: fix ) =
+
)"
Ha csak a lineáris részt vesszük és a bal oldalon x helyére az Xp gyököt, a jobb oldalon az x„ közelítő gyököt helyettesítjük, akkor a 0 == / ( ^ n - i ) + 9.1-9.%. ábra. Divergens iterációs sorozatok Példa Számítsuk ki az iterációs módszer alkalmazásával az f { x ) h sin x +1 - x = 0 egyen let gyökét 110"^ pontossággal. Megoldás. Mivel / ( l , 5) = 0,997+ 1-1,5 = 0,497;
r
-V
gix) = x -
ezért az [1,5; 2] intervallumban van gyöke az egyenletnek, továbbá
lg'(^)l = |cosx| < q < ^
és
fÍ Y « = 1,2,3,...
(14)
A (14) olyan iterációs algoritmusként kezelhető, amelyben
/(2,0) = 0,909 +1 - 2,0 = -0,091
x = sinjc + ls g ( x ) s[l,5; 2],
)(^„ - ^„-1)
egyenlőséget kapjuk. Innen x„-ct kifejezve, felírhatjuk a N ew ton-R aphsonm ódszer algoritmusát:
ha x g [1,5; 2] az [1,5; 2] intervallumban,
így az iterációs sorozat konvergens és az egyenlet egyetlen gyökéhez tart. A számítást xj = 1,5 közelítő értékből kiindulva az alábbi táblázat szerint végez zük, melyben a g(x) lépésenként számított értékét az sinx^
k
Xk
1 2 3 4
1,5 1,997 1,911 1,943
0,997 0,911 0,943 0,932
10 11 12
1,93457 1,93456 1,93456
0,93456 0,93456
g 'i x ) = f i x )
fix ) fix )
es
f'ix )
/ '- w így, ha valamely Xp gyököt tartalmazó intervallumban teljesül a kon vergencia feltétele, azaz fix)-
oszlopba írtuk.
f'ix )
< q < \.
f'-{ x ) akkor az intervallumból vett bármely xq kezdőértékre konvergens a (14) algoritmus. Az n-edik közelítő gyök hibája az x„ - X . Xp
képletekkel becsülhető, ahol
Xfj
fiX n)
(15) (16)
Numerikus módszerek
608
m = m in |/'(jc)|, az
X,
= max|/'(;£:)|,
9.2.5. Interpolációs módszerek
609
A közelítés pontosságát az
M 2 = m a x |/" (x )|
Xp~X„ ^< \' f M \ , m
gyököt elkülönítő [a,b] intervallumban.
vagy
< M~m\
Megjegyzés 1. A módszer algoritmusával lépésenként előállított minden hiba közelítőleg az előző lépés hibájának négyzetével arányos, más szóval az Xp gyököt közelítő soro
képlettel becsülhetjük, ahol vW= m a x |/'(^ )|, m = m in |/'(jc)| az [ű |,6 |] intervallumban.
zat másodrendben (kvadratikusan) konvergál x^-hez.
Megjegyzés
2. A N e w t o n - R a p h s o n - m ó á s z e T al goritmusa a 9.9. ábra alapján is elő állítható. Ui. haaz _y = f { x ) görbe x-tengelylyel való metszéspontját, az (1) egyen let pontos gyökét, közelítőleg a görbe pontjához húzott érin tő x-tengellyel való x„ metszéspontjá val közelítjük, akkor az érintő y ~f ~ f (^;í-1 )(^ “ ) egyenletéből y = 0 helyettesítés után
1. Ha az [aj,él] intervallumban teljesül az M <2m egyenlőtlenség, akkor Xp-x„\<\x„-x„^^\.
2. A húrmódszer algoritmusával előállított konvergens sorozat lineáris konvergenciájú. 3. Az algoritmust a 9.10. ábra alapján is származtathatjuk. Ugyanis az y-f(h)
x~b^ a^-b]
húr egyenletéből az x^ gyököt jobban kö /W i)’ s ez a (14) képlettel megegyező, ha « = 1,2,3,.... A módszert ezért érintő módszernek is nevezik.
zelítő x-tengellyel való metszéspontot y = 0, X-Ö 2 helyettesítés után, "re feloldva kapjuk: .
f{ b ,)ia ,-b ,)
9.2.5. In terp o láció s m ódszerek
melynek általánosításával kapjuk a húrmód szer algoritmusát.
Az (1) egyenlet f függvényéről feltesszük, hogy az Xp gyököt elkülönítő
4. A húrmódszer és az érintő módszer egyidejű alkalmazásával a gyököt jobbról és balról is közelítve, becslést kaphatunk a közelítés hibakorlátjára minden lépésnél. Kétoldali közelítéskor
[űíi,6j] intervallumon folytonos, kétszer deriválható, f ' ( x ) , f " { x ) előjeltartó, valamint f { a \ ) - f { b i ) < Q . a) H úrm ódszer. A húrmódszer algoritmusát a Newton-Raphson-móászQX (14) algoritmusából is származtathatjuk, ha a deriváltat az [ x „ _ x ,a { \ inter
/(«„)
vallumhoz tartozó differenciahányadossal helyettesítjük: . /(ö l)-/K -l) J \ ^ n - V ~ ----- — Z Z • ^n-\
{n = l,2,■■■){*)
Az ennek felhasználásával előállított
‘ * algoritmussal számított sorozat az x ^ gyökhöz konvergál.
formulákat célszerű használni. A gyököt tar talmazó intervallum a,, ill. oldalát a 9.11. a.), b.), c.), d.) ábrái szerint kell válasz tani, az ábrákon feltüntetett feltételek teljesü lésétől függően.
Numerikus módszerek
610 Példa
b)
Határozzuk meg 5-10“^ pontossággal az f { x ) = e^ + x ^ - 2 = 0
9.11. c.) ábra
mot. Legyen
1
X q +X-) = ------ X = X Q + h u ,
Mosí dz y = f {x) görbe ;co’
9. 11. d.) ábra f{a„)
Aé„ :
fia ,)
Közelítések n
a
[0,5; 0,6]-bán,
teh át/a [0,5; 0,6] intervallumban mo noton nö és alulról konvex. A (*) for mulákkal végzett számítás táblázata
f(x )< 0 , f"{x)<0
(Aa„ :
f " ( x ) - e ^ +2>0
e
a„
X
X" - 2
a,,-.K
y
/ K ) - fik,)
f(x)
fix )
Javítás Aa„ Ab,
K 0,6 0,5
1,8221 1,6487
-1,64 -1,75
0,1821 -0,1013
3,0221 2,6487
-0,06026 0,03574
2
0,5397 0,5357
1,7155 1,7087
-1,70872 -1,71303
0,00678 -0,00433
2,7949 2,7801
-0,00242 0,00155
3
0,53728 0,53725
1,7114 1,7113
-1,71133 -1,71136
0,00007 -0,00006
1
Mivel /(a3)= /(0,53728) = 0,00007 és /(é j) = / ( 0 ,53725) =-0,00006; ezért a gyök a [0,53728; 0,53725] intervallumba esik. Legyen Xo=-
a.+b.
0,53728 + 0,53725
= 0,537265
értékkel véve, akkor a hiba < i j f l j - éji =
=
h =
, Xj - Xq ....................... - ^ .
^2 abszcisszájú pontjaira illeszkedő
parabola zérushelyeivel közelítjük az Xp gyököt. Az xj, közelítő gyököt az Xk=XQ +h-
^ 4AC
(17)
2A
képlettel számított két érték közül az adja, amelyre a.z x q < x /^ < x-y egyen lőtlenség teljesül. A következő intervallumot az f(x o )-f(x k )< 0 ,
f(x 2 )-f{ x k )< 0
vizsgálatával választjuk ki. Az A, B, C együtthatókat egyszerűen szám íthatjuk a következő táblázat alapján: X X
q
Xi
X2
y yo y] yi
Dy
D-y
Dyo Dyi
D~yo
ahol DyQ=yi~yQ, stb., az együtthatók pedig: A = D~yo,
B = 2DyQ-D ~yQ,
C = 2yQ.
A húrmódszert (lineáris interpoláció) és a parabolamódszert (para bolikus interpoláció) interpolációs módszernek nevezzük. Példa Az f { x ) = e^-\-x~~2 = 0 egyenlet legkisebb pozitív gyökét [0,5; 0,6] inter“8 vallumban 5-10 pontossággal a húrmódszer 5. iterációja, a parabolamódszer 2. iterációja szolgáltatja: x = 0,53727475.
0, 000015 < 5 ■10'■^
Mivel / ' monoton az [ö3;é3] intervallumon és / '( é j ) = / '( 0 , 53725) = 2,7858,
gyököt elkülönítő intervallu
Xp
y = A i? + Bu + C
vagyis / a [0,5; 0,6] intervallumban jeltartó, _
az
f { x 2 )< 0, és
/(x q )-
^
[xq,X2]
611
a [0,5; 0,6]-bán,
f ' ( x ) = e^ + 2 x > 0
_
Parabola módszer. Jelölje
egyenlet legkisebb po
zitív gyökét. Megoldás. Mivel /(0 ,5 ) =-0,1013 és /(0 ,6 ) = 0,1821, és / folytonos, ezért az egyenletnek van gyöke a [0,5; 0,6] interval lumban és
f'{x)<0, f"(x) > 0
9.2.6. Nemlineáris egyenletrendszer megoldása
7-10 - = 2 ,6 '1 0 " '’ < 5 ' 1 0 “ 2,7
9.2.6. Nemilineáris egyenletrendszer m egoldása M int már emh'tettük az / ( z ) = 0 egyenlet komplex gyökeinek meghatáro zása visszavezethető két valós egyenletből álló egyenletrendszer megoldá sára, a valós és a képzetes rész szétválasztásával.
Numerikus módszerek
612
A szétválasztás után az f ( z ) - 0 egyenlet helyett a vele ekvivalens u (x ,y ) = 0 v ( x ,y ) = 0
9.2.6. Nemlineáris egyenletrendszer megoldása
613
3. teljesül Z)-ben az |( 7 ; |+ íf; | < ^ i < i
( 1)
egyenletrendszert kell megoldani. Ebben a pontban az (1) egyenletrendszer megoldásához általánosítjuk az iterációs- és a Newton-Raphson-módszeit.
+
\^x \
iii.
+
^ <7l < 1
\V;\+\V'^< q2 < \
<^2<1
(4)
egyenlőtlenségpárok mindegyike, akkor a (3) algoritmussal előállított ite rációs sorozat konvergens, és a (2) egyenletrendszer Xp, yp gyökpárjához tart, azaz
a) Iterációs m ódszer. Az iterációs algoritmust az (1) egyenletrendszerrel ekvivalens x = U {x ,y ) y = V { x,y)
(2)
egyenletrendszerből képezzük az alábbi módon; Xn+x=U{x„,y„) yn+ \=V{x„,y„)
n = 0 ,l,2 ,...
lim x „ = x
b) N ew ton-R aphson-m ódszer. Helyettesítsük az (1) egyenletrendszerbe az x = x„ + h^, y ^ y „ + k „ értékeket, majd helyettesítsük a bal oldali függvényeket kétváltozós első rendű 7a>’/or-polinomjukkal. Ekkor a következő egyenletrendszert kapjuk:
(3)
< x „ ,y„ )
Legyen jíq, yo az Xp, y p pontos gyökpárt közelítő kezdő gyökpár. Ha a (3) algoritmussal előállított iterációs sorozat konvergens, azaz léteznek az X = Hm x„
és
n-^o o
y
= lim
^
\\m y „ = y
n-^oo
határértékek, akkor az U és V függvények folytonosságát feltéve, a (3) határértékeként Xp = U (X p,yp)
+
h„u'^ { x „ ,y „ )
+
k„U y{x„,y „ )
= 0
v(x„,yn) + h„v'^(x„,y„) + k„vy(x„,y„) = 0
Az egyenletrendszer megoldható, ha a Jacobi-fé\e determináns nem egyenlő nullával, azaz J^= J (x„ ,y„ ) =
K i^ n ^ y n ) u'yi^n’yn) v'xi^n^yn) Vy(x„,y„)
Az (5) egyenletrendszerből: 1 < x „ , y „ ) U y{x„ ,y „) Á x „ ,y „ ) v'y(x„,y„)
y p ^ V {x p ,y p ) áll elő. Ez azt jelenti, hogy az Xp, yp határértékek megoldásai a (2), s egyben
(6)
az (1) egyenletrendszernek is. A z iterációs módszer alkalmazhatósága a következő tétellel dönthető el. Tétel. Legyen a (2) egyenletrendszernek az ai < x < ű 2 , bi < y < bj zárt v(x,y)=Q
D tartományon egyetlen Xp,
k„ ^ x (^n^yn) H x „ ,y „ ) s így a Newton-Raphson-módszer algoritmusát az (1) egyenletrendszer megoldásához az
^«+l
yp gyökpárja (9.12. ábra). Ha
9.12. ábra. Gyököt tartalmazó tartomány elkülönítése
yn+\ = yn + K
1. az U, V függvények értel mezve vannak és folytonosan differenciálhatók a D tarto mányon; 2. a gyök xq, yQ kezdő kö
képletek definiálják.
zelítő értékei az összes x„, y„
Az algebrai egyenletek közül ebben a pontban a
(n = 1,2,3,...) közelítéssel a D
g„{x) = üQx''
tartom ányba esnek;
(5)
9.3.
(« = 0,1,2,...) (7)
ALGEBRAI EGYENLETEK M EGOLDÁSA
+
=0
(1)
ún. «-edfokú egyenlet (polinomegyenlet) gyökeinek közelítő megoldását
Numerikus módszerek
614
tárgyaljuk. Az együtthatókról feltesszük, hogy valósak, űq 7^0, és n > ] egész szám (lásd még az 1.1.10. pontot). Az előző pontokban leírt közelítő módszerek alkalmazhatók az (1) polinom-egyenlet gyökeinek közelítő meghatározására is, de a poiinomfüggvény speciális tulajdonságait kihasználva egyszerűbb a gyökök elkülö nítése, valamint a g„ és helyettesítési értékeinek kiszámítása. A polinomokra vonatkozó 1.1.10. pontban megismert tételeket néhány újabb tétellel egészítjük ki, majd bemutatunk egy olyan módszert is, amely a polinom másodfokú közelítő polinomok szorzatára bontását használja fel az (1) egyenlet közelítő megoldásához.
9.3.1. Polinomokra vonatkozó alaptételek
615
6. Ha gn{Xp) = 0, akkor Xp gyöke az (1) egyenletnek és ( x - x ^ ) gyöktényezője a g„(x) polinomnak és megfordítva. Ha az (1) egyenlet n számú gyöke: ;ci, X2 , ..., x„, akkor g„ix) = a Q Í x - x i ) { x - X 2 ) . . . ( x - x „ ) . 7. A g„(x) és g'„{x) helyettesítési értékeit célszerű//om er-elrendezéssel számítani (lásd az 1.3.2. pontot). Mivel gn i^) = {x - XQ)g„_i(x) + b„, így deriváltja az xq helyen;
Ha az xq helyettesítéssel b„ nullával egyenlő, akkor ;cq a g„(x) függ 9.3.1. Polinomokra vonatkozó alaptételek
vény zérushelye, ill. az (1) egyenlet gyöke. 8. Az (1) egyenlet gyökeinek abszolút értéke az
1. A g„ polinom ( « > 1 egész szám), az R valós számhalmazon értel mezett és mindenütt folytonos függvény. Ha g„(a) ■g„(b) < 0, akkor az (1)
W \ < ^ + - ~ \ = R,
egyenletnek - figyelembe véve a gyökök többszörösségét (multiplicitását) is - az [a,b] intervallumban páratlan számú gyöke van.
egyenlőtlenséggekkel becsülhető, ahol
2. Idézzük emlékezetünkbe az algebra alaptételét, mely szerint az nedfokú egyenletnek pontosan n gyöke van. A gyököket muhiplicitásukkal megegyező számú gyököknek tekintjük. 3. A valós együtthatós egyenlet komplex gyökei konjugált komplex gyökpárokat alkotnak ( n > 2 ) , s így a páratlan fokszámú egyenletnek legalább egy gyöke valós. 4. Descartes-féle jelszabály: Az (1) egyenlet pozitív gyökeinek száma az
A = max( ű j , a 2
k l > ---- = 1+
ill-
|ű „|), és B = m ax( üq , a jj,...,
előjelváhásából becsülhetjük. Példa A gg(x) = 4 x ^ - 2 x " ' + 1 5 x ^ - 3 6 x “ +9 = 0 egyenletnek páratlan számú valós gyöke van, legfeljebb kilenc. Az előjelváltások száma négy, tehát a pozitív gyökök száma; 4 vagy 2 vagy 0. A g g ( - x ) polinom előjelváltás-száma egy, tehát csak egy negatív gyök lehet. 5. H a a g„(x) polinom az (.^ -. xq) elsőfokú kifejezéssel osztva mara dékul b„ konstans értéket ad, akkor b„ = g „ (^ o ).
),
vagyis a gyökök az r< xj^< R
(k = \,2,...,n)
körgyűrűtartományba esnek. 9. Az (1) egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggést Viétatétele fejezi ki;
üQ,ai,a2,...,a„_i,a„
együttható sorozat előjelváltásainak számával vagy megegyezik, vagy annál páros számmal kevesebb. A zérus együtthatókat nem vesszük számí tásba. A negatív gyökök számát a g „ { -x ) = 0 egyenlet együtthatóinak
{k = \,l ,. .. ,n )
4- X2 + ..
űi
.+ X „ =
----- --
ü') XiX', +XiX2+...+X„_iX„ = — ŰO XiX',X2,+XiX-yX^+...+Xn_oX„_iX„ = —^ ŰO
X ^X 2 X s...X „ = i-\r-^ ÜQ
Numerikus módszerek
616 9.3.2. A Bairstow-módszer
A Bairstow-móásztvxdi előállíthatok az (1) egyenlet másodfokú gyök tényezői. Ha ezeket a közelítő másodfokú tényezőket egyenlővé tesszük zérussal és megoldjuk az így kapott egyenleteket, akkor két valós gyököt, vagy egy konjugált komplex gyökpárt kapunk mindegyik megoldásaként. Páratlan fokszámú polinom esetén az utolsó tényező lineáris. A Bairstow-móászcv algoritmusának lépései; 1. Az (1) egyenlet g„{x) polinomját elosztjuk egy mi{x) = x~ + p-^x + q\
617
9.4.1. A Gauss-féle módszer
9.4.
A LINEÁRIS ALGEBRA NUM ERIKUS M ÓDSZEREI
A könyv V. fejezete részletesen tárgyalja a mátrixokra, determinánsokra és a lineáris egyenletrendszerekre vonatkozó elméleti ismereteket, ezért a felsorolt témakörök alapfogalmait ismertnek tételezzük fel. Ebben a fejezetben olyan numerikus módszereket tárgyalunk, amelyek alkalmasak a lineáris egyenletrendszer megoldásainak és a mátrix sajátér tékeinek valamint sajátvektorainak közelítő pontosságú meghatározására. A műszaki-gazdasági feladatok matematikai modelljeiben ezek a számítá sok fordulnak elő leggyakrabban.
kezdeti (első közelítő) másodfokú polinommal. Közelítő értékként p\ -nek a\ -et vagy a„_\ -et, qi -nek 02 “t vagy a„ -et választhatjuk. Ekkor
9.4.1. A G auss-féle módszer
gn (x) = mi {x)Qi (x) + Aix + B i, ahol Ai, Bi a maradék együtthatói. 2. Az osztás eredményeként kapott (n - 2) -edfokú Qi(x) polinomot szintén elosztjuk az mi(x) másodfokú polinommal. A maradék együtthatói legyenek: a j , 6].
A lineáris egyenletrendszert = b\
ö] 1^1 + 012^2 +■ • ^21-^1 + <^22^2
■■'^^2n^n ~ ^2 (1)
3. M egoldjuk a (bj - a i p j ) p i * + a j g j * ^ A f ~aiqiPi*+biqi* = Bi
a„]Xi + a„2X2 +■■-+annXn - K . ill. mátrix jelölést használva
lineáris egyenletrendszert a pi*, qi* ismeretlenekre. 4. Kiszámítjuk a másodfokú tényező pontosabb együtthatóit: P2 = P l+ Pl* 3 q 2 = g i+ g i* , és megadjuk a nagyobb pontosságú
alakban vizsgáljuk, ahol A az ismeretlenek együtthatóiból képzett n x n típusú, ún. n-edrendű kvadratikus mátrix, b az egyenletrendszer szabad tagjainak oszlopvektora, x pedig az ismeretlenek oszlopvektora, azaz Xl
h
m jix ) = x~ + P 2X + 92 másodfokú tényezőt. A lépéseket addig ismételjük, amíg az együtthatók a kívánt pontosságot el nem érik, és akkor megoldjuk az abból képzett másodfokú egyenletet. Újabb másodfokú közelítő gyöktényezőt képezhetünk, ha a módszer lépéseit a gn(x) . ^
(2)
Ax = b
A = ^ 2 1 ^ 2 2 - •-^ 2 n J^n\^n2- •- ^ m
=
a,j ;
b=
_
h bn_
X =
■^2
3 ,_
Az (1), ill. (2) egyenletrendszernek csak akkor létezik egyértelmű meg oldása, ha az A mátrix determinánsa zérustól különbözik, azaz ha detA í^ O
polinomra alkalmazzuk, ahol mj^{x) az előző lépéssorozattal előállított kívánt pontosságú közelítő tényező.
Az olyan x^, Xj, ...,
(3)
számok halmazát, ill. az olyan x vektort, amely
kielégíti az (1), ill. (2) egyenletrendszert, megoldásnak nevezzük.
Numerikus módszerek
618
9.4.1. A Gauss-féle módszer
A Gauss-féle módszerrel az (1) egyenletrendszerből vele ekvivalens fe l sőháromszög mátrixú egyenletrendszert hozunk létre. Ebben az egyenlet rendszerben az utolsó egyenlet csak egy ismeretlent, az azt megelőző két ismeretlent, stb., az első egyenlet pedig n ismeretlent tartalmazhat. Az ismeretlenek kiszámítását tehát az utolsó egyenletből kezdjük. Tegyük fel, hogy det A tí: 0 és 0^];^ 0. A Gawíí-féle módszer algoritmu
9.1. táblázat Algoritmus
2
),
(/ = 1 ,2 ,...,n ) ,
Ekkor az (1) egyenletrendszer
(4)
^\n
^1,«+1
<^2n
« 2 ,n + l
^nn
^ n ,n + \
ÍZ„2
^«3
^ n ,n -\
<313
.
A « =--^2 -
0 ^22
‘^23
■
0 ^n2
^n3
■
2, A ®
íiC> 4 i;
^ 2,rt-1
‘^2,«+l ^n,n+\
a
^2) = a « / 4 V
P-) '23
■
■ ^ 2,n-\
a
(2) = a « - 4 ) a (2)
,(2) '33
■
■ ^ 3,n-l
^ 3,n+\
• ■ ^n,n-\
^n,n+\
'^n,n+\ “ «2^2
0
a- n( 23)
4
?
^ 2 ,m+ 1
“n,n+\
—
^ n - l ~ ^n-\,n+ \ ^n -2
^\,n-\ ••• ^ 2 , n - \
1 Ű12
alakra hozását és az ■Y^n
ÖJ2
A ® == Aj / ö l i
A « ==A„
Xi + Űj2 X2 + ÖJ3 X2+. . P') (’'>) P'l X2 + 4 3 ^ jc3 + . . . + 4 ; % =
X ■^n
Ö13
Ö21 ^22 CÍ23 ü fji
szített A mátrixot bővített mátrixnak nevezzük. Az egyenlet bővített mátrixának sorvektorai: i
Együtthatók ön
Ai A,
sának lépései egyszerűbben írhatók le, ha az (1) egyenletrendszerben a bi = (i = l,2,...,n ) jelölést vezetjük be. Az ezzel az oszloppal kiegé
A/ = (a,;i, ü
619
^ n - 2,n+\
_
. ( n - \ ) _ . { n - 2) ,
^ n - \,n ^ n - l
(5)
(n~ 2 )
^n-\ ~ ^n -\ ' A (n -l)_ A (« -2 )_ „(« -2 )A (« -l)
= J í) _____ J I ) x„ ^ 1 = öÍ,« + 1 -« Í2 ^ 2 -« Í3 ^ 3
gyökök kiszámítását a 9.1. táblázat szerint végezzük. Az egy sorba tartozó elemek mindegyikét azonos műveletekkel kapjuk. A műveleteket az első oszlopban jelöltek szerint kell elvégezni. (") Az Xj {i = l,2 ,...,n) gyökök meghatározására az Aj(1) A?>, sorok együtthatóit használjuk az (5) képlet szerint.
0
( « -l)
a
an ,n + ]
1* Az (5) képletek szerint
^ n ,n + \
x„ ^n-l X]
620
Numerikus módszerek
Megjegyzések 1. Ha a számítási (kerekítési) hibát is tartalmazó megoldást behelyettesítjük az eredeti (1) egyenletrendszerbe, ill. a megoldásvektort a (2) egyenletbe, akkor infor mációt kapunk a gyökök pontosságáról. Jelölje a (2) pontos megoldásvektorát x, a Gawíj-módszerrel számított közelítő megoldásvektort y, tehát x == y . Ekkor a helyettesítéssel számított Ay = V
9.4.2. A z inverzmátrix elemeinek kiszámítása Ujj együtthatók (I)
(II)
vektor általában különbözik a b vektortól. Ha a h=x-y hibavektor abszolút értékét meg akarjuk becsülni, vagy az y-nál pontosabb megoidásvektort akarunk kiszámítani, akkor megoldjuk az
(III)
Ah = b - v
(IV) (V)
(6)
egyenletrendszert. Legyen a (6) egyenletrendszer közelítő megoldásvektora t. A h hibavektor főrésze, az y + 1 az x megoldásvektor egy y vektornál jobb közelítése, azaz
A b - v különbségvektor koordinátái abszolút értékben kicsik, ezért a (6) egyenlet helyett célszerűbb az Ah = yt(b-v) (7) egyenletrendszert megoldani, ahol k -\(f'
1,65 1 0 0
0,55 3,74 1,10 0,0794 3,6963 0,9690 1 0 0
0 0 0
1,65 1,10 7,81 0,2381 0,9690 7,4171 0,2622 7,1630 1 X3 =
X2 =
3,74 3,52 4,62 0,5397 3,2232 3,7295 0,8720 2,8845 0,4027 0.4027 0,7664 0,3830
A gyökök három tizedesjegyre kerekítve: x, = 0,383; X2 = 0,766; X3= 0,403. Az egyenletekbe való behelyettesítés eredménye; 3,751; 3,519; 4,622, és így az eltérés: 3,74-3,751=-0,011; 3,52-3,519=0,001; 4,62-4,622=-0,002 , amelyből arra következtethetünk, hogy a megoldás nagy valószínűséggel helyes.
(/«> ] egész).
Az m értékét úgy kell megválasztani, hogy a k { h - \ ) vektor koordinátái kb. 10° nagyságrendűekké váljanak. Ekkor a pontosabb megoldásvektort x . y + i- z szolgáltatja, ahol z a (7) egyenletrendszer közelítő megöldásvektora. A leírt javító algoritmus többször is alkalmazható s így a Gauss-íé\t módszerrel számított megoldás pontossága fokozható. 2. A gyökök abszolút hibája kevésbé nő, ha az ún. főegyütthatók (főelem) kivá lasztásával végzett Gauss-íé\& módszert alkalmazzuk. Ennek lényege, hogy a so ronként végzett átalakításhoz osztóként mindig a legnagyobb együtthatót választjuk ki, így kisebbek lesznek a hányadosok relatív, s ezzel együtt az abszolút hibái, végül pedig a gyökök hibái is (lásd [24], [25].) Példa Oldjuk meg a 6,93x1 +0,55x2 + 1,65x3 =3,74 0,55x1+3,74x0 + 1,10x3-3,52 1,65x, + 1,10x,' + 7 , 8 1 x 3 =4,62
6,93 0,55
X, =
x « y + í.
621
egyenletrendszert.
Megoldás. A Gawsj-féle módszert az 1. táblázat szerint alkalmazva, a következő táblázatba foglaltuk az adott egyenletrendszer megoldását:
9.4.2. Az in v erzm átrix elem einelí kiszám ítása Legyen az A és Y mátrix n x n - e s , az E pedig nxn-QS egységmátrix, va lamint det A 4^ 0, akkor az AY = E mátrixegyenletet kielégítő Y mátrix az A mátrix inverze, azaz A~^ = Y. Az Y mátrix elemeinek meghatározásához a Gauss-fé\Q módszer algo ritmusát az [A ,E ] bővített mátrix elemeire alkalmazzuk. Ez olyan n számú egyenletrendszer megoldását jelenti, amelyek mindegyikénél az A együttható mátrix azonos, de a jobb oldali oszlopvektorait rendre az E egységmátrix oszlopvektorai képezik: ’0‘ '0 ‘ T 1 0 0 , ..., e,l = . e,2 = 0
0
1
622
Numerikus módszerek
Az n számú egyenlet megoldása a 9.1. táblázathoz hasonló egyetlen táblá zatba foglalható (lásd a 9.2. táblázatot).
9.4.3. A z egyszerű és a Gauss-Seidel-féle iterációs módszer
623
9.4.3. Az egyszerű és a Gauss-Seidel-féle iterációs módszer
9.2, táblázat Algoritmus
^1 A,
Együtthatók
«11 «12 ^21 ^22 ^n\
A f)
a 'w
1.
2. oszlop
ai„
1
0
^2n
0
1
n.
a) Az Ax - b = 0 egyenletrendszerhez tartozó iterációs egyenletrendszer alakja: X = c + Dx ,
0
1
hn
0
hn -,(1)
(2)
a hozzá tartozó iterációs algoritmus pedig x^"*^ = c + Dx^"'~’^ ahol, feltéve, hogy a,i
^nl
(1)
0
( « í - 1 ,2 ,...),
(3)
0 { i - \,2,...,n), a c oszlopvektor koordinátái és a
D mátrix elemei: bCj = ~ ;
,0) il ,(1) '.21
djj = ---- és
ö,y = 0, ha / =y. (z, j = l,2 ,...,n )
Ezen egyszerű iterációs eljárás algoritmusát tehát az (1) lineáris egyen letrendszerre az
= Cj kezdőérték megadásával az
,0) (m-1)
4
=
(A)
U-j 7-1
( i = l,2 ,...,n ; m = 1 ,2 ,...) képletek irják le. ,(«)
,(«) ,{n)
Az (5) képletek szennt
,(n)
'n i
^n2
yn]
ynl
ym
y2i .yii
yi2 >^12
y2n yin
Ennek az egyszerű iterációs eljárásnak egyik módosítása az ún. GaussSeidel-féle iterációs eljárás. b) Az egyszerű iterációs eljárás alkalmazásakor a (4) képleteiben nem hasz náljuk fel az X vektor j-edik koordinátájának kiszámításához az előző koordi náták m-edik közelítését, pedig azok már ismertek. Ha ezeket felhasználjuk, akkor megkapjuk a Gauss-Seidel-íéAt iterációs algoritmus képleteit:
7=1
Megjegyzés 7=2
Ha ismerjük az A mátrix A“' inverzét, akkor az Ax = b
( m = l,2 ,...) , (5)
/-I
egyenletet balról szorozva A inverz mátrixával, az A "'(A x) = A“^b és A "'A x = (A “'A ) x = Ex = A “'b egyenlőségek figyelembevételével előállíthatjuk a megoldásvektort, azaz x = A“‘b.
7=1
7='
n-1 v('”) = c + y c/ .v W + d
Numerikus módszerek
624 melynek mátrix alakja: Ám) _= H ^ xÁm) '"‘'+ H y X ■0
ahol
0 ... cÍ2i 0 ...
0 0
(M -1 )
9.4.4. Konvergenciatételek és hibabecslés
A tétel következménye: Az iterációs sorozatok tetszőleges kezdő vektorral konvergensek, és a megoldásvektort állítják elő, ha teljesül az n
+ C
0 ...d„
egyenlőtlenség, vagyis ha az egyenletrendszer mátrixának minden sorában a főátlóbeli elem abszolút értéke nagyobb, mint a megfelelő sor összes többi elemének abszolút értékkel képzett összege. Az iterációs sorozat által előállított közelítés hibájának becslésére az alábbi képletek használhatók, ha |D | < 1: 1
1, Tétel. Az (1) lineáris egyenletrendszerhez tartozó (3), ill. (6) iterációs algoritmusokkal előállított sorozatok konvergenciájának szükséges és ele gendő feltétele, hogy a D mátrix mindegyik sajátértékének abszolút értéke 1-nél kisebb legyen, azaz a
X-X
Ha | d | <
IlD
{k)
1- D
x - x (*)
azaz
ill. (6) iterációs algoritmusokkal előállított sorozatok tetszőleges x*-°^ kezdő vektorral konvergensek, és a megoldásvektort állítják elő, ha a D mátrixra az alábbi három mátrixnormára vonatkozó feltétel közül bármelyik teljesül:
d
x -x
{k)
X j ~ X j(k) < E = 1 0 '
“ <1
■e,
egyenlőtlenségből következik az
d: <1
j=l n
V'=U=1
Általában, ha akkor a
-néi,
Ák) < e = 10"
2. Tétel (Elégséges feltétel). Az (1) lineáris egyenletrendszerhez tartozó (3),
9
( 11)
egyenlőtlenségből következik, hogy a közelítés hibája is kisebb 10
kezdővektor tetszőleges
lehet.
n n
k>\
<1
( 10)
akkor a (10) képlet helyett a
karakterisztikus egyenlet gyökeire (D sajátértékeire) az
feltétel teljesüljön. A c oszlopvektor és az
^>1.
becslőképlet használható. Ebben az esetben az
d e t(D -X E ) = 0
m < i
(9)
1 - | D
ill.
9.4.4. Konvergenciatételek és hibabecslés
|D|1// =m ax^^ ^ /=!
(8)
y-1
Me^egyzés Általában a konvergens Gauss-Seidel-fé\e iterációs algoritmussal előállított sorozat gyorsabban konvergál a megoldásvektorhoz, mint az egyszerű algoritmus sorozata, de ennek ellenkezője is előfordulhat. Találkozhatunk olyan egyenletrendszerrel, amelyhez az egyszerű iterációs sorozat konvergens, de a Gauss-Seidel-féle iterációs sorozat diver gens, és olyan is van, amelynél ennek ellenkezője áll fenn.
'
{i = \X--.,n-,i^j)
|ö/;| > X K i
0 0 0
||d ||^ = max ^
625
(7)
(j = l,2 ,...,n )
egyenlőtlenség, azaz ebben az esetben az x j pontos gyöktől az Xj(k)’ közelí tő gyök legfeljebb csak a tizedesvessző utáni ni-edik jegyben térhet el, ha az x^P közelítéseket pontosan kiszámítottuk.
Numerikus módszerek
626
9.4.5. A Cholesky-Banachiewicz-féle módszer
A Gauss-Seidel-íé\Q iterációs sorozat hibabecslésére használható az /-es norma alapján a
627
0 D = -0,94106
-0,07937 0
-0,23810 -0,29412
-0,21127
-0,14085
0
és így pl.
X képlet is, ahol
p - max- j=i
A A
vagy az
■< p
= max(0,31747;0,44118;0,35212) = 0,44118 < 1, '
7=1
vagyis mind az egyszerű, mind a Gauss-Seidel-ft\t iterációs eljárás konvergens. A megoldásvektor kezdő értéke, azaz első közelítése legyen
l - I i=l k ^(1) ^(0) < P A —X r i - p
'0,54' .(0)- 0,94
képlet.
Megjegyzés Az olyan lineáris egyenletrendszert, amelynek az A mátrixa szimmetrikus, és a hozzá tartozó fi
IMI/ =
fi
/=u=i kvadratikus alak pozitív defínit, azaz a Q függvény az =...= x„ - 0 eset kivételével csak pozitív értéket vesz fel, normálegyenletrendszernek nevezzük. A normálegyenletrendszer (3) iterációs algoritmusa által meghatározott GaiissSeidel-ít\Q iterációs sorozat mindig konvergens. Az Ax = b egyenletrendszer (detA?i:0) normálegyenletrendszerré alakítható, ha az A = mátrix A.' = transzponált]ával megszorozzuk:
0,59 Az (5) képletekkel adott Gauss-Seidel-íé\Q iterációs eljárással végzett számítás táblázatos elrendezése: k 0 1 2 3 4 5 6
X]
x f)
0,54 0,38 0,383 0,3828 0,38297 0,382969 0,382969
0,86 0,77 0,767 0,7664 0,76642 0,766421
X3 0,37 0,40 0,403 0,4027 0,40269 0,40269
A 'A x = A 'b . Példa Oldjuk meg 10~^ pontossággal a 9.4.1. pontban már megoldott 6,93x]+0,55x,+ 1,65x3 =3,74' 0,55X]+3,74x2+ 1,10x3 =3,52 1,65x1 + 1,10x2 + 7,81x3=4,62
0,38297 0,76642 0,40269
egyenletrendszert Gauss-Seidel-ít\e iterációs eljárással, ha a konvergencia feltétele teljesül. Megoldás. Az egyszerű iterációs eljárás konvergenciájának feltétele:
k l> t
Tehát az előírt pontosságú megoldás:
(/ = 1,2,3; i ^ j ) teljesül.
7=1 Az iterálásra alkalmas x = c+D x alak: xi = 0 ,5 3 9 6 8 -0 ,07937X,-0,23810x3 X, =0,94118 -0,14706x1 -0,29412x3 ^, X3 =0,59155 -0,21127x1 -0,14085x,
9.4.5. A C holesky-B anachiew icz-féle m ódszer Ezt a módszert több szerző (pl. Crout, Dwyer, Turing, Zurmühl) is ismer tette s így különböző elnevezéssel hivatkoznak rá. Tegyük fel, hogy az Ax = b
tehát
(1)
lineáris egyenletrendszer A mátrixa nem szinguláris, azaz detA^^O, és Ha az A mátrix előállítható egy
Numerikus módszerek
628 q, 0 C21 C22 c =
0 0
. . . ..
0 ■ 0
9.4.5. A Cholesky-Banachiewicz-féle módszer
629
Az (5) egyenletből a megoldásvektor koordinátáit ~
(2)
^ n ,n + \ ’ ti
_C„i
■••
C „2
^nn
.
~ h,n+\ ~
(8) ,h k ^ k
(}
k=i+l
alsóháromszög-mátrix és egy formulákkal számítjuk. hl
t \3
0
1
^23
hn hn
0
0
0
1
1
T=
(3)
felsőháromszög-mátrix szorzataként, akkor az (1) egyenletrendszer megol dását az A x -b = C (T x -k ) = 0 (4) átalakítás után a Tx = k
(5)
lineáris egyenletrendszer megoldására vezettük vissza, amely már a 9.4.1. pontban tárgyalt (4) típusú egyenletrendszer. A (4) mátrixegyenletböl és
A = CT
(6)
b = Ck
A b oszlopvektor koordinátáit jelölje ö/„+], a k oszlopvektor koordiná táit pedig
„+i, azaz <^\,n+\ b = <^2,n+\
k-
h,n+\ h,n+\ }n,n+ \ _
_^n,n+[ _
akkor a C és T mátrixok elemeit és a k vektor koordinátáit a (6 ) egyenle tekből a következő formulákkal számíthatjuk, ha c„ 0:
Megjegyzés 1. Mivel a T mátrix fődiagonálisában minden elem 1, ezért azt nem szükséges leírni, így a C és T mátrix, a födiagonálisok fedésbe hozásával, egyetlen n xn -es mátrixként írható fel. 2. A módszer a mátrix determinánsának kiszámítására is Jól használható, ui. n det A = detC-detT = detC = ]Qc„ (9) í=i mivel det T = 1. 3. Előfordulhat, hogy a C mátrix elemeinek kiszámítása során a födiagonális elemei közül valamelyik zérusnak, ill. „gépi” zérusnak adódik. Ha ez nem az utolsó c„„ elem, akkor a bővített mátrixban végrehajtott sorcsere esetleg lehetővé teszi a számítás folytatását. Példa Oldjuk meg a 2X] + 2x2 ~ 2^3 + 4^4 = 16 X] + 2X2 +^3 + 2X4 = 16 - 2X[ +X2 + 2x3 +X4 ==10 2x] - Xt - X3 + X4 = 1 egyenletrendszert Cholesky-Banachiewicz-fé\Q eljárással. Megoldás. A (7) és (8) képletekkel végzett számítást táblázatba foglaltuk: X,
A
2 1
Xt 2
I 7-1
(
/-I
k=l
A ; j > i > 1,
b
4
16
2
16
1
10
1
2
-1
-1
2
1
-1
2
2
0
C\
k=i
I
1
X4
2
2
~ 2
c/i =
X3 - 2
1
11
- 2
(7)
3
9
7 X4 X3
tü =
1;
Xt
8 8
5
1
6
3
- 6
17 -3
X,-
1
68
6
17
= = =
4
X, -
3 2 1
630
Numerikus módszerek
Az eljárás lépései; 1. Az A mátrix első oszlopát beírjuk a C mátrix első oszlopába. 2. Az A mátrix első sorának a, j-gyei osztott elemeit (1 elhagyásával) vagyis ű]2 -vei kezdve, beírjuk a T mátrix első sorába. 3. A főátlóban és az attól balra álló elemeket, vagyis a C mátrix egyes elemeit úgy képezzük, hogy az A mátrix megfelelő eleméből kivonjuk a C mátrix kérdéses eleme sorában és oszlopában a balra, illetve fölötte álló megfelelő elemek szorzatöszszegét. Pl. a harmadik sor második eleme: l - ( - 2 ) - l = 3; harmadik eleme pedig: 2 - ( - 2 ) - ( - l ) - 3 - 2 = -6. 4. A főátlótól jobbra levő elemeket (beleértve b elemeit is) úgy képezzük, hogy a 3. utasítás végrehajtása után még osztunk a C főátlójában levő elemmel.
9.4.6. Gyengén meghatározott egyenletrendszerek
63]
egyenletrendszer egyenleteihez tartozó egyenesek majdnem párhuzamosak, így az egyenesek kicsiny iránytangens változtatás hatására is ellentétes irányban metszik egymást. A példa azt is jelzi, hogy közel merőleges egyenesek esetén az iránytangensek kis megváltoztatása nem vezet a metszéspont, ill. a gyökpár ugrás szerű megváltozásához. V iszont az egyenletrendszer jobb oldalának kicsi megváltozása is előidézheti a gyökök ugrásszerű megváltozását. A problémát n-ismeretlenes egyenletrendszerre általánosítva, a gyengén meghatározottság mértékének választhatjuk az egyenletrendszer egyenletei által meghatározott hipersíkok hajlásszögeit, ill. a Vi = ( a „ ,a i2 ,. ^2 ~
9.4.6. G yengén m eg h atáro zo tt eg y enletrendszerek A műszaki-gazdasági feladatok néhány esetben olyan lineáris egyenlet rendszerre vezetnek, amelyben esetleg egyetlen együtthatónak mindössze a kerekítési hibával való megváltoztatásával a közelítő gyökök ugrásszerű en megváltoznak, vagy a rendszer determinánsa nullával lesz egyenlő. Az ilyen tulajdonságú egyenletrendszereket gyengén m eg h atáro zo tt (kevésbé stabil, rosszul kondicionált) rendszereknek nevezzük. A jelenséget kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldásával jól szemléltethetjük. Példa Oldjuk meg az x + 1,00001;/= 0' x +y = \
n
\ x + y= 1
X = -99999,
k=\
;
0,9 < cos" (üjj < 1,
(1) (/ = 1,2,...,«; j ~ 1,2,...,«)
-1,0 0 0 0 1
0 V
Most változtassuk meg az első egyen let második együtthatóját 0,00002 érték kel, és ismét oldjuk meg az így kapott x + 0,99999>/ = 0] x +y = \ egyenletrendszert. A det A = 0,00001, a gyökök pedig:
\
Állapodjunk meg abban, hogy egy egyenletrendszert gyengén meghatá rozottnak tekintünk, ha minden cOy szög kicsi, amit a
egyenletrendszert.
y = -100000.
értékeket. n
1 4 U = 1
Megoldás Az egyenletrendszer determinánsa det A = -0,00001, és pontos gyökei: x = 100001,
k:=^\ (
l ! \
\^ + 1,0 0 0 0 1y = 0
-0 ,9 9 9 9 9
9.13. ábra. Gyengén meghatározott egyenletrendszer szemléltetése jK= 100000.
A két egyenletrendszer gyökeit összehasonlítva alig hihető az eltérés nagysága, hiszen mindössze egyetlen együtthatójuk különbözik 2 száz ezreddel. A jelenség a 9.13. ábra alapján egyszerűen magyarázható. A két
intervallumba eséssel mérünk. H a valamely egyenletrendszernél minden Cű,y-re teljesül az (1) egyenlőtlenség, akkor a kerekítési hibák is lényegesen módosíthatják a közelítő gyökök értékét. A gyengén meghatározott egyenletrendszert célszerű olyan vele ekviva lens egyenletrendszerré alakítani, amelyre az alkalmazható algoritmus a kerekítési hibákra kevésbé érzékeny. Ilyen lehetőséget kínál pl. a már meg ismert iterációs módszer, vagy a m átrix o rto g o n alizálásán ak módszere. Az ortogonalizálást akár a mátrix oszlopvektorai, akár a mátrix sorvek torai szerint elvégezhetjük. Tegyük fel, hogy az Ax = b (2) lineáris egyenletrendszerben detÁT^G, és előállítottuk az A mátrix osz lopvektorainak ortogonalizálásával a C mátrixot. Az A mátrix felírható a C
Numerikus módszerek
632
és egy olyan H háromszög mátrix szorzataként, amelynek főátlójában csak 1-esek állnak, azaz A = CH, és így a (2) egyenlet (3)
CHx = b alakú. Szorozzuk (3)-at balról C transzponált]ával: C 'C H x = d b .
(4)
A C^C = D és C^b = q jelöléssel, ahol D diagonális mátrix, (2)-t a
x = (D H )“ 'q = H ' d 'q , (6) s mint ismeretes, mind a diagonális mátrix, mind a háromszög mátrix inverze könnyen kiszámítható. A C és H mátrixok elemeinek kiszámítását a
_ h,k=-
■c/
(i< k y ,
k-\
(c/ 'Ck=^0, ha i
k)
;=1 képletekkel végezzük, ahol
az A mátrix,
a C mátrix A:-adik oszlop
vektora, a hjj^ pedig a H mátrix /-edik sorának ^-adik elemét jelöli. Megjegyzés 1. Pontos definíciót nem tudunk adni arra vonatkozólag, hogy egy lineáris egyenletrendszert mikor nevezhetünk gyengén meghatározottnak. Alaposabb vizsgá latra akkor van szükség, ha a) a rendszer determinánsa abszolút értékben túl kicsi a legnagyobb együttható hoz képest; b) a rendszer inverz mátrixában túl nagy elemek is előfordulnak az együtthatókhoz képest; c) a rendszer mátrixának abszolút értékben legnagyobb és legkisebb sajátérté kének hányadosa túl nagy.
633
homogén egyenletrendszer triviálistól különböző megoldásait biztosító det(A - XE) = 0
(3)
egyenlet gyökei szolgáltatják. A egy valós nxn-QS mátrix, E pedig az n x n - e s egységmátrix. Azokat a X számokat, amelyek mellett az (1), ill. (2) rendszernek létezik zérustól különböző megoldásvektora, az A mátrix sajátértékének, a sajátér tékhez tartozó X megoldásvektort pedig sajátvektorának nevezzük. A (3), ún. karakterisztikus egyenlet kifejtésével előálló
(5)
DHx = q egyenletrendszer megoldására vezettük vissza. (5)-ből a megoldásvektor;
ci=aj,
9.4.7. Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása
p{X) = det(A - A.E)
(4)
n-edfokú polinomot az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük. Minthogy egy «-edfokú egyenletnek n számú gyöke van, ezért az A mát rixnak n számú sajátértéke van (amelyek között lehet többszörös is). A (3) karakterisztikus egyenlet n-edfokú, amely megoldható a numeri kus módszerek valamelyikének alkalmazásával is, azonban harmadrendű nél magasabb rendű négyzetes mátrixokra a munka mennyiségének, vala mint a kerekítési hibák halmozódásának növekedése miatt azok a mód szerek nem ajánlhatók. Ebben a pontban olyan módszert ismertetünk, amelylyel a sajátértékek és a sajátvektorok meghatározhatók anélkül, hogy a (4) kifejtésével előállítanánk az n-edfokú polinom ot és megoldanánk a (3) egyenletet. Még mielőtt erre rátérnénk, ismertetünk bizonyítás nélkül né hány olyan tételt, amely felhasználható a sajátértékek és a sajátvektorok meghatározásához. Tételek 1. Valós szimmetrikus mátrix minden sajátértéke és sajátvektora valós, valamint a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak, azaz Xf ■Xy = 0, ha ii^ j . 2. Cayley-Hamilton tétel. Ha az A mátrix karakterisztikus egyenlete /?(X) = d e t(A -A ,E ) = 0,
(5)
akkor 9.4.7. M átrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása Számos gazdasági-műszaki probléma Ax = Xx
P (A ) = 0, azaz az A mátrix kielégíti karakterisztikus egyenletét. (1)
alakú egyenletrendszer megoldását igényli, ahol X valós vagy komplex paraméter. X értékeit az (A - XE) x = 0
(2)
3. Az A mátrix különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok lineári san függetlenek (a tétel megfordítása nem áll fenn). 4. Az A mátrix ^-adik hatványának sajátértékei egyenlők az A sajátérté keinek ^-adik hatványával
e N'*’ ).
Numerikus módszerek
634
5. G erschgorin-íétel. Az A mátrix valamennyi sajátértéke a b
9.4.7. Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása
635
A második iterált vektor:
= Ű q /■=l
i= \
és általában
tartományban van, ahol C, minden í-re egy au körüli n
rj =
v('”) = A " v = X ^ A r x , ;=1
sugarú k ö rlap (/ = \,2,...,n). k=\
k^i
=
(9)
Tétel. Ha az A mátrixnak n lineárisan független sajátvektora van, és a sajátértékek abszolút értékére fennáll az
6. Schur-tétel. Az A mátrix X, sajátértékeire teljesül a n
egyenlőtlenség. /=l
egyenlőtlenség, valamint a kezdő v vektornak van Xj irányú komponense, akkor
7. Az A mátrixra alkalmazott tetszőleges
í
P "U p (6) hasonlósági transzformáció változatlanul hagyja az A mátrix sajátértékeit. 8. Minden valós szimmetrikus mátrixhoz megadható egy olyan ortogo nális Q mátrix, amelyre Q 'A Q = D ,
\
1 Lm lim — A v = CiXi >1 Ui. (9)-ből kiemelve Xi -et:
(7)
ahol a D diagonális mátrix fóátlójában levő elemek az A mátrix sajátértékei. a) A hatványm ódszer. Tegyük fel, hogy az «-edrendű négyzetes A mát rixnak a
/=2 s ha q
0 és m
oo, akkor v^'”^ -A -T qxi,
vagyis (11) az A mátrix sajátértékei mind különbözők, amiből már következik, hogy van n számú X i,X
( 10)
2, . . . , X „
lineárisan független sajátvektora. Ekkor bármely n komponensü v oszlop vektor előállítható a sajátvektorok lineáris kombinációjaként, vagyis
(11)
sajátértékének megfelelő, nem normált saját
vektorát adja. így az (w + l)-edik és az m-edik iterált vektorok megfelelő koordinátáinak hányadosai határértékben Xj -hez tartanak, tehát a Xj saját érték közelítéseit vagy a (m+l)
___ (m )
’
( 12)
(a) /=i ahol Cj {i = 1 ,2 ,...,n) konstans együtthatók.
vagy normáivá, a
A (8)-ból előállíthatunk egy ún. ite rá lt v ek to rso ro zato t, ha a (8)-at ismételten szorozzuk balról az A mátrixszal és felhasználjuk a 4. tételt, valamint az Ax, = XjXi összefüggést. Az első iterált vektor:
= AV =
. /=]
max
(m )
hányadosok adják.
k
Példa ■2 1. Határozzuk meg az A = -1
-1 2
0
-1
sajátértékét és a hozzá tartozó sajátvektort.
0 -1 2
mátrix legnagyobb abszolút értékű
Numerikus módszerek
636
Megoldás. A kezdövektor legyen v =
A (9) képlet szerint számított v, Av,
9 .4 .7. Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása
637
Tegyük fel, hogy az A mátrix szimmetrikus. Akkor x helyébe az /n-edik iterált vektort helyettesítve, (13)-ból kapjuk a következőt: 2^2m+l
A"v,
iterált vektorokat a következő táblázatba foglaltuk össze:
. (14)
y(^)
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
R =
1 1 2 6 20 68 232 792 2704
/=i
1 1 1 0 2 -2 6 -8 20 -28 68 -96 232 -328 792 -112Ö~~1 2704 -3824
(Az 0 ( . . ) (ordó) kifejezés a hiba nagyságrendjét jelöli.) Az (1) tételből következik, hogy (13)-ba helyettesítve egy tetszőleges Xj-re ortogonális y vektort, az t (m+l)
^
ÍM h) hányados közelítőleg a A-i sajátértéket állítja elő. Példa 1 2. Az 1. példában kiszámított Xj = -1,41420 1
A (12) képlet szerint vagy X,
3.41429,
közelítő sajátvektornak megfe
lelő domináns sajátérték javítására alkalmazzuk a (14) formulát:
A pontos X,i sajátérték: A,] - 2 + 4 l ~ 3,414214. A X,, =3,41414 közelítő értékkel számított sajátvektort megkapjuk, ha a v (8) iterált vektort elosztjuk 2704-gyel: 1 -1,41420
3,41420' Ax, = -4,82840 3,41420
Rayleigh-féle hányados:
és XjX = 3,999 96, tehát az
1
x(Ax, = 13,65672
„
13,65672
,,,,,,,
1 amely A,, értékét 6 tizedesjegyre pontosan adja.
és a pontos Xj sajátvektor: 1
b) A R ayieigh-féle hányados. Az x vektor transzponáltját jelölje x . Az R=
X Ax
D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T E K N U M E R IK U S M E G O L D Á SA
(13)
hányadost Rayleigh-féle hányadosnak nevezzük. H a Ax = A.x, akkor
R = X. Ha Ax = Xx, akkor bizonyos feltételek teljesülése esetén várható, hogy R ^X .
9.5.
Ebben a pontban felhasználjuk azokat az ismereteket, amelyeket a 3.5. pontban a határozott integrál közelítő kiszámítására, valamint a VI. és VII. fejezetben a differenciálegyenletekre vonatkozólag leírtunk. Tekintsük az S intervallumon értelmezett differenciálható y függvényre vonatkozó
y' = f ( x , y )
(1)
Numerikus módszerek
638
közönséges elsőrendű explicit differenciálegyenletet, valamint az
9.5.1. Taylor-féle m ódszer
639
melynek képlethibája'.
y' = f ( x , y )
(2) y(xo) = yo, (x o ,y o )^T l kezdetiérték feladatot vagy más néven C auchy-féle feladatot. A Picard-Lindelöf-egzisztendo. és unicitás tétel kimondja, hogy ha a z / függvény a T tartományon folytonos és _y-ra kielégíti a Lipschitz-ídXéXúX, akkor a f-b e tartozó tetszőleges {xQ,yo) pont megadásával a (2) Cauchy-
H {x) = A módszer algoritmusa, a (2) Cauchy-MaádXxa adott h, b, n és m esetén: y M y]!^
feladat egyértelműen megoldható. Geometriai jelentése: az adott ponton csak egyetlen integrálgörbe halad át. A numerikus és grafikus módszerek lehetővé teszik ennek a megoldás nak, ill. integrálgörbének lépésről-lépésre való közelítő előállítását. Definíció. Diszkrét m ódszernek nevezzük azt az eljárást, amely a PicardZ m í/e/ó/tételnek eleget tevő (1) differenciálegyenlet közelítő megoldását véges sok pontban állítja elő. Definíció, k-lépéses módszernek m ondjuk azt a diszkrét módszert, amely az>^ megoldás adott pontbeli közelítő értékét az y függvény k helyen felvett értékéből számítja ki. Az egyes módszerekhez szükséges k számú függvényérték kiszámítását egylépéses módszerekkel végezzük.
= yQ, fix ,y { x ))\
(/•= 1,2,...,«) i
Wv dx
yk+\ = yk +hy'k + h ^ ~ y ' k + - - - + ~ h ^ y ^ k \ 2! '■ « ahol
X k+ \ = X k + h
w-l A — — /U ,:v(-^))| dx ‘
(A = 0 , l , 2 , . . . , f f í - 1 ) .
(4)
a deriváltak x, helyen vett értékét jelöli.
Az yi^ számértékek az
) pontos függvényértékek közelítései.
Példa Alkalmazzuk a Taylor-algoritmust az y ' = x +y X0) = 1 kezdetiérték-feladat közelítő megoldására, ha « = 3; h = QX 171= 1, .
9.5.1. Taylor-féle módszer
Megoldás. Tegyük fel, hogy a (2) Cawc/jj^-feladatnak y az egyetlen megoldása az [.Xo,^] intervallumon, amely ( n + 1 )-szer folytonosan deriválható. Legyen Xk=XQ + kh,
^ ' = ^ + H(o,d =0 + 1= 1, / ' = i + 3^' = 1 + x + j^|^q
h > 0 , k = 1,2,... és x„ b .
/ " = ( / ' ) ' = (1+ / ) ' = / ' = 1+ ^ + j|(o, 1) = 2.
A z y függvény jc^-hoz tartozó, maradéktaggal ellátott Taj^/or-polinomja; = y{.Xk ) + { x - X k ) y \ x k ) + ^ ( x - x i , f y " ( x k )+.. .+
(3)
= l + 0 + l = 2,
A (4) szerint, ha k = Q: =1,0 + 0,M ,0 + - ^ - 2 , 0 + - ^ ' 2 , 0 = 1,11033, 2.
6
vagyis az X] = 0,1 helyhez yi ~ 1,11033 függvényérték tartozik. ahol xif. < c < x . Ha az x = ^k+i’ SS -x ^ .= h helyettesítést alkalmazzuk, valamint (3) helyett az n-edfokú Taylor formu lára térünk át, akkor a (2) Cauchy-Madat megoldás árra numerikus közelítő formulát kapunk: y { x k + \) = y { x k ) + h y ' i x k )+ ..- + ~ h ”y^”\ x k ) ,
Ha
= 1: ^
3
y 2 =yi+0,l(0,l + yi) + ^ ( l , 0 + 0 , l + yi) + - ^ ( l , 0+0,l+ y ,) ^1,24278, vagyis az ^2 = 0,2 helyhez y 2 ~ 1,24278 függvényérték tartozik. Az y(x) = 2e^ - x - 1 egzakt megoldásból számított hat tizedesjegyre pontos érték: j(0,l) = 1,110342, >^(0,2) = 1,242 806.
Numerikus módszerek
640
M egjegyzés Ha a Taylor-íoxmnlki csak a lineáris taggal bezárólag vesszük, akkor az ún. Euler-féle m ódszer algoritmusát kapjuk. A megoldásfuggvény derivált ját minden intervallumban konstansnak tételezzük fel, azaz y \x k )^ y 'k = f{ x k ,y k )’
(k = 0,1,2, . . . ) ,
így
yk+] = y k + ¥ ( x k , y k ) ,
(k = 0 , 1, 2 , . . . ) ,
ahol a képlethiba
H (x ) = ~ h ^ y " ( c ) .
Az (1) jobb oldalán az integrált helyettesítsük a trapézformulával (lásd a 3.5.2. pontot): y { x i) = y(xQ) + ^ i f ( x o , y ( x o ) ) + f i x ] , y { x i ) ) .
(^l =y
y k + \= y k +
(3)
ik = 0 ,\,...,m - \ ) . Vegyük észre, hogy a módszer minden lépésénél az f függvény értékét kétszer kell kiszámítani.
H {x) = - ^ y " \ c ) .
kezdetiérték-feladat közelítő megoldását a [0;2] intervallumon az £w/er-módszerrel, ha h = 0,5. Megoldás. Az (5) szerint, mivel y' = f (x,y) = y, ezért yk+, = y^ +hy/,, és így
A (3) algoritmus helyett szokás az yk+ \^ y k + \ h { y k + j L i ) ,
>^2 = 1,5 + 0,5-1,5 = 2,25, y4 = 3,375 + 0,5 •3,375 = 5,0625.
y'k+\ = f{xk+\,yk+\)
Az Xq = 0 közelében y" = y' = 1, tehát a képlethiba az első lépésben: “ (0 ,5 )“ -1 = 0 ,1 2 5 ,
formulákat is használni. Az eljárást módosított Euler-módszernek is nevezik.
vagyis
Példa Állítsuk elő az
= 1 ,5 ± 0 ,1 2 5 .
y ' = y , 3^(0) = 1 kezdetiérték-feladat közelítő megoldását a [0;l] intervallumon h = 0,5 lépéstávol sággal a (3) Heun-ft\Q algoritmus felhasználásával. Megoldás. Mivel h =0,5 és m = l , így az adott intervallumhoz a //ew«-módszerrel számított értékek:
A lépéstávolság csökkentésével nagyobb pontosság érhető el.
9.5.2. A H eun-m ódszer A (2) Cauchy-feladat differenciálegyenletének mindkét oldalát integráljuk xq és xi = XQ+h között: X) Xj y '( x )d x = f ( x , y ( x ) ) d x , amelyből Xo
^yk) + f ( ^ k + \ ^ y k + ¥ { x k ^ y k ) ) \
A képlet hibája:
^
= 2,25 + 0,5-2,25 = 3,375,
(2)
^k+i = X k + h ,
Példa
JV, =1 + 0,5'1 = 1,5;
641
Végül a jobb oldalon az >^(jci)-et közelítsük az Eider-félc módszerrel (5)
Bizonyítható, hogy ha az egzisztencia- és unicitás tétel feltételei telje sülnek, akkor az Euler-módszer algoritmusával előállított közelítő megol dások végtelen sorozata konvergens és határértéke a (2) Caiichy-feladat egzakt megoldását adja.
Állítsuk elő az
9.5.2. A Heun-módszer
Xo
X, = 0 ,5 ;
j ;i
= 1 + M ( i + / ( o,5 ;1 ,5 )) = 1 + - 5 ^ =
1,625;
X, = 1,0; y , = 1,625+-^(1,625 + /(l,0 ;l,6 2 5 + 0,5/(x,,;^,))) = = 1,625+ l>^25 + 2,4375 ^ 2,640625. 4
X,
y(jC]) = 7 (xo) + j f { x ,y { x ) ) d x Xq
(1)
Az ^w/er-módszerrel és a //ew/j-módszerrel számított y^, y^ érték és a négy tizedesjegyre pontos >^(xi), y(x 2 ) érték összehasonlítására táblázatba foglaltuk ezen értékeket:
Numerikus módszerek
642
i?w/er-módszer 0 0,5 1,0
y i H ) négy tizedesre pontos
yk
Xk
1 1,5 2,25
H eun-m óászQ X
1 1,625 2,640625
1 1,6487 2,7183
9.5.3. A R unge-K utta-féle módszer A nagyobb pontosságú Taylor-\>o\\noxn használata a Cai/cAj/-fel adat meg oldásához magasabb rendű deriváltak előállítását követeli meg, amely egyes esetben igen bonyolult számításhoz vezethet. Runge és Kutta olyan eljárást dolgoztak ki, amely lehetővé tette magasabb fokú Taylorpolinommal megegyező pontosságú, de magasabbrendű deriváltakat nem tartalmazó formulák létrehozását. A feladat tehát az, hogy az y(^o)^yo Cauchy-Madat megoldásához állítsunk elő egy olyan yn+\ ~
^^4
magasabbrendű deriváltakat nem tartalmazó formulát, hogy a jobb oldal tagjai rendre megegyezzenek a megfelelő negyedrendű Taj^/or-polinom tagjaival. A k, értékeket k ^= h f(x ,y ) ^2 = h f {x + m h ,y + mki), k^ = h f ( x + n h ,y + nk 2 ), k^ - h f { x + p h , y + pk^) alakban keresve, majd az a, b, c, d, m, n, p ismeretleneket a negyedrendű Taylor-^oXmom megfelelő tagjaival való összehasonlítás alapján meghatá rozva, a negyedrendű Runge-Kutta-formulákat kapjuk: y { x + h ) ~ y{x ) + \-{ki + 2ko + 2k^ + k^), o
9.5.3. A Runge(Kiitta-féle módszer
643
A módszer pontossága előnyös, de az f { x , y ) függvény lépésenkénti négyszeri kiszámítása sok munkával járhat. A számítást célszerű h és Ih lépéstávolsággal egyszerre végezni, mert akkor a h lépéstávolsággal számí tott >>/, közelítő érték hibáját a %
-
Vh - y o ú 15
képlettel becsülhetjük.
Példa Alkalmazzuk a Runge-Kutta-moásztri az y' = 2x + 0,ly~ y(0) - 0,2 CöMc/íj^-feladat megoldására a [0;0,4] intervallumban h - 0 , l és h = 0,2 lépéstá volsággal. Megoldás X értékek
y értékek: h - 0 , \
0,00
0,20000000
0,10
0,21041442
0,20
0,24091696
0,30
0,29161917
0,40
0,36268259
értékek: /2 = 0,2
0,24092
0,36269
A h lépéstávolsággal számított >^(0,2) és y(0,4) függvényértékek hibájának becslése: \yh-y2h\ |0,24091696-0,24092| = 2-10' Ayh(0,2)15 ~ 15 ,,,( 0 .4 )
, 10.36268259-0.36269! _ ^
A kezdő ponttól távolodva a függvényértékek közelítő értékeinek hibái fokozato san nőnek.
9.6.
K ERÜ LETÉRTÉKFELAD ATO K
k\ = hf{ x, y),
k^ = h f { x + ^ h , y + ^ k 2 ) ,
A 9.5. pontban tárgyalt kezdetiérték vagy Cauchy-féle feladat numerikus megoldásakor azt a célt tűztük ki, hogy a differenciálegyenlet megoldás halmazából az egyetlen (xo,>’o ) pontra vonatkozó feltételeknek eleget tevő
k^ = hf{ x + h, y + k^).
megoldást állítsuk elő. A gazdasági-műszaki problémák valamint a mate matikai fizika differenciálegyenleteinek megoldásánál igen gyakran a kere-
k2^hf{x + ^ h , y + ^ki),
Numerikus módszerek
644
sett megoldást kiválasztó feltételek két (esetleg több) pontra vonatkoznak. Az ilyen feltételeket határfeltételeknek vagy peremfeltételeknek, az ilyen feltételekkel adott differenciálegyenletek megoldási feladatát pedig kerületértékfeladatnak vagy peremértékfeladatnak nevezzük. A kerületértékfeladatokat is, miként a differenciálegyenleteket, az isme retlen függvény előforduló legmagasabb rendű deriváltja szerint osztályoz zuk. így az «-edrendű kerületértékfeladat általános alakja; f ( x , y{x), y'{x ), y " { x \ .
.
=
0, (1)
Ui(y{a), y \ a ) , .
.
.
,
y{b), y \ b ) ,...,
9.6. Kerületértékfeladatok kerületértékfeladat homogén, ha pedig csak kj = 0, akkor az L[y] = r(x )
neáris függvényei. Az n számú határfeltétel az y függvényt és annak az első {n - 1) deriváltját tartalmazza az a és b helyeken. A kerületértékfeladat lineáris, ha a d ifferenc iálegyen let is és a határfel tétel-rendszer is lineáris. Ekkor az (1) alakja: P n(x)y^''\x) + . .+Pi(x)y'(x) + Pö(x)y(x) = r(jc)| Aioy(a) + BiQy(b)+.. .+Ai„_-^y(a) + Bi„_iy{b) = A, J
^2)
(/ = l , 2 , . . . , n ) ,
ahol P j ( x ) és r (x) adott folytonos függvények minden x e [ a ,b ] - r e és
(6)
kerületértékfeladat félig homogén. Nevezetesek a Pl i x ) y " + P \{ x )y ' + P o(x)y - r(x) ö]>'(a) + ű , / ( a ) = ö3 h y { b ) + ^ y { b ) = b, másodrendű kerületértékfeladatok. Az ilyen típusú határfeltétel-rendszert általános vagy harmadfajú Sturm-féle határfeltételnek nevezzük. A Sturm-fé\Q határfeltétel elsőfajú, ha a 2 = ^ = 0, azaz aiy(a) = b\y{b) = 63 és másodfajú, ha űi =
= 0, azaz a j / ( a ) = Ű3 h y \b )= b ^
Az (5) homogén kerületértékfeladatot kielégítő = 0 ún. triviális meg oldást nem tekintjük tulajdonképpeni megoldásnak. Kimutatható, hogy ha az 3^1(x), y 2 Íx), ..., y „ ( x ) függvények megoldásai az (5) feladatnak, akkor ezen függvények bármely Ciyi (j:) + C2^2 (^)+- • ’+Crnym (^)
Ay, Bjj, kj adott állandók. A (2) kifejezés helyett a
lineáris kombinációja is megoldása (5)-nek. Az L[y] = 0 n-edrendű differenciálegyenlet alaprendszerén az n számú
% P j { x ) y ^ ’\ x ) = r{x)
lineárisan független
7= 0
y j i x ) , ..., y„(x) megoldást értjük. Legyen
(3) = k,
7=1
alakot, ill. az
( / • = 1, 2 , . . . , 77)
c /,M = o
=0
ahol a < b két adott abszcisszaérték. Ha a - b , akkor kezdőértékfeladatról beszélünk. Az F és Uj függvények az (l)-b en általában a változók nemli
S (4
645
7=1 L[y] = r(x ) Ui[y] = kj
(4)
jelölést fogjuk használni. A (4) kerületértékfeladatot, ha r{x) ^ 0, k, ^ 0, in homogén kerületértékfeladatnak nevezzük. Ha r(x ) s 0, kj = 0, akkor az
I7,.M = 0
az L y = 0 egyenlet általános megoldása. Ahhoz, hogy a (7) függvény az (5) kerületértékfeladat megoldása legyen, ki kell elégítenie az Uj\y] = 0,
(5)
egymástól lineárisan független egyenletekből álló határfeltétel-rendszert, ezért n Ui ' L C j Z , J=1
n .^7. 7=1
= 0,
0 = 1,2,.(8)
646
Numerikus módszerek
Ha a (8) egyenletrendszer U\[z\]
U^[z2
Ü2[zi]
U,
Ux[zn (9)
Ui
mátrixának determinánsa zérus, azaz ( 10)
det((y,[z^]) = 0,
(J
= \,2,...,rí)
egyenletrendszernek
van
a triviálistól
különböző
Cj
megoldása és így az (5) feladatnak van megoldása is.
Amennyiben a (9) mátrix rangja n - k , úgy (8) egyenletrendszernek k alapmegoldás-rendszere van, s így az (5) feladatnak is k számú lineárisan független megoldása létezik. Ha
d e t( ^ ,[ z j ) ;í O ,
647
A deriváltakat cseréljük fel szimmetrikus differenciákkal az \a,b\ inter vallum belső pontjaiban: _ y M -y t± ..y i + \ - 2 y i + y j - i (3) yi = 2h (i = \ , 2 , . . . , n - 1), az x q = a és x , ^ - b pontokban pedig
^ yi\ Zy,
akkor a (8)
9.6.1. Differenciamódszer
(11)
akkor az (5) kerületértékfeladatnak nincs triviálistól különböző megoldása.
.. 3^1-3^0 ^ .r_ y n -\-y n (4) y«— T - ’ :á — • vagy elegendő sima,)^ esetén a pontosabb / _ - y 2 + 4^1 - 3^0 (5) yo=2h / ..- A y „ _ i - y „ _ 2 n>2 (6) 2h képleteket használhatjuk. így a differenciálhányadosokat minden osztó pontban 0{h~) hibával approximáltuk. Ha a (3) képleteket felhasználjuk az (1) differenciálegyenlethez, akkor n - \ egyenletből álló lineáris egyenletrendszert kapunk: y i+ \-'^ y i+ y i-\ y i+ \ ~ y i - \ — + P\i r -2/.
9.6.1. D ifferenciam ódszer Tekintsük az
y " + p i { x ) y ' + pQ{x)y = r{x)
(1)
(/ = \ , 2 , . . . , n - 1). amelyekhez a (5) és (6) képletek felhasználásával a (2) határfeltételrendszerből még két egyenlet kapcsolódik:
differenciálegyenletet az aiy{a) + a^y'{a) =
(|ai| + |ű!2|
a\yQ+ü2-------- 2^--------—03,
0)
biy„+b2---------- ^ ---------- -03
(8)
határfeltétel-rendszerrel, ahol a Pi(x), P q( x ) és r(x) függvények folyto
így az n +1 ismeretlent az « + 1 egyenletből álló lineáris egyenletrend szerből (ha megoldható) meghatározhatjuk és ezzel a kerületértékfeladat y - 3^(-^) megoldásának Xj pontbeli közelítő értékeit táblázatba foglalhatjuk.
nosak az [a,b] intervallumon.
Példa
h y { b ) + h y ' { b ) = b^
Osszuk fel az [a,b] intervallumot h -
(2)
(7),
+
lépéstávolsággal n részin
tervallumra. Jelöljük az ekvidisztans osztópontokat x, -vei, azaz legyen
Határozzuk meg az
{\ + x~)y" + Axy' + l y = -2sinx y{^) = yi.^) = ^
kerületértékfeladat közelítő megoldását differenciamódszerrel, ha a lépéstávolság:
Xj = XQ+ ih, (/ = 0,1 ,2 ,.. .,n; xq = ü , Xi^=b) . Az osztópontokhoz tartozó függ vényértékek és deriváltak értékére az 9.1. ábra. Osztópontokhoz tartozó függvényértékek jelölése
yi, y n y'n P\,> POn jelölést vezetjük be, azaz y i^ - y i X | ) stb. (9.1. ábra).
Megoldás. Felhasználva a (3) képleteket, a differenciaegyenlet-rendszer: (l + ^f)-T (;^2 -3^i) + 4xi — (>^2 - 0 ) + 2;^, +2sinxi - 0 h2/z 0 + ^2)— (3^3 - 2^2 +3"i) + 4x2 - - 7(^3 -> ’i) + 2j 2 + 2 sinx2 = 0 h~ 2/j (1 + ^3")" V (0 - 23^3 + 3^2 )+ 4^3 •T ;7(0-y2) + 2>'3 +2sinx3 = 0 h~ 2/7
Numerikus módszerek
648
9.6.3. A kollokációs módszer
Példa Alkalmazzuk a GalJorkin-fé\e eljárást az előző pontban tárgyalt kerületértékfeladatra. Megoldás. Legyen például a határfeltétel-rendszert kielégítő függvényrendszer:
A számításokat elvégezve és rendezve; -6,484556>', + 4 ,7 4 2 2 7 8 ^ 2 + 0 '^ 3 = -0 ,3 8 2 6 8 3 3,242278>^, -9,484556>;2+7,242278j^ 3 = -0 ,7 0 7 1 0 7 O’j , + 4 , 742278J/2” 14,484556^3 = -0 ,9 2 3 8 7 9
melyből
y{~) 8
és
0,268 803,
y{~)
4
= jv-, = 0,286 864, “
y{—
)
=
649
n (x)= ^{f-x)x ^ , >^3
= 0,157 704
(^ = 1,2,...).
A közelítő megoldást most az
8
y 2 = ajCPi + <32^2 = ( - j “ x){o\X + ünX- )
y(0) = j'o = 0, yi—) = >'4=0.
alakban állítjuk elő. A differenciálegyenletbe való behelyettesítés után az L[y2 ] = (l + x ')í-2 (a i + la^x) + (--•- x)2ű2 1 +
9.6.2. A Galjorkin-féle eljárás
+4x^-(ajx + 2ű2^“ ) + ( y “ x)(űj + 2 ü2x ) j + 2 (y - x)(ű,x + ö2x“ ) + sin x
B. G. Galjorkin 1915-ben dolgozta ki módszerét kerületértékfeladatok meg oldására. Tekintsük az L[y] = r(x ) (1)
kifejezést kapjuk. Az (5) egyenletnek megfelelő behelyettesítése és rendezése utáni alak; ií. 2 2 J L[y2 ](Pi{x)dx = J ( a , ( - |- x ) { - l x -2 x ^) + ű2( y - x){-2x~ -2 x '’) + 0
0
u,[y] = o
+2(Y-x)xsinx)ű6c = 0,
félig homogén kerületértékfeladatot és válasszunk egy, a peremfeltételeket kielégítő, teljes, lineárisan független {(pyt(jc)} függvényrendszert. Ilyen pl. az >>(0) = 0, y{b) = 0 határfeltétel-rendszer esetén a cp^ = s i n ^
{k = \ X . . . , n )
és a
2 2 I ^ [ y i]92 i^)dx = J(ű i ( y - x)(-2 x “ - Sx'*) + 02 ( y - x )(--|x ^ - ^ x ^ ) + + 2 (y - x)x" sin x)dx - 0.
(2) (3)
függvényrendszer. Az y„{x) közelítő megoldást a (p^(x) függvények lineáris kombinációi segítségével
A számításokat elvégezve és rendezve; 2,248240űi +2,01612502 = 0,8584071 2,516849a, + 3,072 876^2 =0,781993 J öl =0,578529 és ^2 = -0,219364. A közelítő megoldás;
n
melyből
y 2 (x) = ( ^ - x)(0,578 529x-0,219 364x“),
Vn =
(4)
k=\
amelyből pl.
alakban kívánjuk előállítani, úgy, hogy kielégítse az b j { L [ y „ ] - r ( x ) } p t { x ) d x = í)
y ( - ) ^ y ^ ( - ) ^ 0,228258, 8 " 8 =
(t =
X ~ ) = J . ( - ) - 0,251207, 4 " 4 0,148552.
(5) 9.6.3. A kollokációs módszer
egyenleteket. Mivel L[y] lineáris differenciáloperátor, ezért (5) az a^. együtthatók lineáris egyenletrendszere. A (4)-gyel adott y„(x) függvények ha kielégítik az (5) egyenleteket, jó közelítését adják y pontos megoldásá nak, ha n elegendő nagy.
Ez a módszer egyszerű, és általánosan alkalmazható. A 9.6. pontban felírt kerületértékfeladat megoldását u = u { x ;a i,a 2 ,...,a p ) (1)
Numerikus módszerek
650
alakban keressük úgy, hogy az u függvénynek az a\, a j, ■■■,
para
méterek bármely értéke mellett ki kell elégítenie az adott határfeltétel rendszert. A p paraméter meghatározásához az \a,b\ intervallumban tetsző
9.6.3. A kollokációs módszer
651
Megjegyzés. Ugyanannak a kerületértékfeladatnak háromféle módszerrel is elő állítottuk a közelítő megoldását. A következő táblázatban összefoglaltuk a kiszámí tott megoldásokat és az utolsó oszlopban feltüntettük az 2 s i n x - —X _______ TC
legesen választunk p számú <...
1 + X“
pontos megoldás függvényértékeit is. abszcisszát, és az u függvénytől megköveteljük, hogy ezekben az ún. kollokációs pontokban kielégítse a differenciálegyenletet. így a paraméte rek meghatározására p számú feltételi egyenletet kapunk. Lineáris kerületéitékfeladat esetén a megoldást u = V Q Í x )+ ^ a j,V k { x ) k=\
(2)
alakban keressük, ahol a vo(.x) függvénynek csak az inhomogén, a v^(;c), {k = \ ,2 ,. .. ,p ) függvényeknek pedig csak a megfelelő homogén határfel
y. Xj
Differencia módszer
Galjorkin-í. eljái'ás
Kollokációs módszer
Pontos értékek hat tizedesjegyre
TC 8 2u 8 3k 8
0,26880
0,22826
0,24907
0,229911
0,28686
0,25121
0,25167
0,256185
0,15770
0,14855
0,12844
0,145633
tételeket kell kielégíteniök. Példa Alkalmazzuk a kollokáció módszerét a 9.6.1. pontban megoldott kerületértékfeladatra. Megoldás. A közelítő megoldást y^_ = {^-x){a^^x + a2x'^)
9 .7.
SAJATERTEKFELADATOK
Ebben a pontban összefoglaljuk a
alakban az Xi
és x-, kollokációs pontok választásával keressük. Behelyet6 ' 3 tesítve y 2 ~t a differenciálegyenletbe:
2« m>n>0 (1)
+3x(“ - x ) j + ű2 - 2 x - 4 x ^ + ( y - x ) ( l + 6x")j = -s in x , amelyből az Xj és X2 kollokációs pont behelyettesítésével, rendezés után a 0,177533a, -l,14838kí2 =0,5000001
alakú, homogén differenciálegyenletekkel kapcsolatos kerületértékfeladatokra vonatkozó ismereteket, ahol a p j { x ) és q j ( x ) függvények folytono
2,644 935ű, +2,7191790, = 0,866025j egyenletrendszert kapjuk. Megoldva: a, =0,668757, űj =-0,332010. így a közelítő megoldás; JV, = (Y - x)(0,668757x - 0,33201 Ox-), y Ö - >^2(“ ) = 0,249 07, 8 8
amelyből pl.
y { ^ ) ^ y , ( ^ ) = 0,25167, 4 4 = 0,12844.
M
sak az \a,b\ intervallumon. Az (1) feladatnak triviálistól különböző meg oldása általában csak a 1 paraméter bizonyos értékei mellett van. A X paraméter ezen értékeit sajátértékeknek, a sajátértékekhez tartozó y (x ) függvényeket, amelyek mind a differenciálegyenletet, mind a kerületi feltételeket kielégítik, sajátfüggvényeknek, magát az ( 1 ) feladatot sajátértékfeladatnak nevezzük. Ha valamely X, sajátértékhez több, pl. k számú lineárisan független sajátfüggvény tartozik, akkor azt mondjuk, hogy a A,,- sajátérték rangja k.
Numerikus módszerek
652
(2) J
módon jelöljük. A gyakorlati feladatok nagy többségének szempontjából jelentős az az eset, amikor M[_y]-t és A^[j^]-t az ún. ö n ad ju n g ált differenciálform ák ge
(6)
{u ,v)^= {v,u )^
(7)
(u ,u )^ > 0 (3)
J=o U) (4)
{k = 0,1,2,...,«)
(u ,v ) ^ = ( v ,w )^ ,
relációpár. A (2) sajátértékfeladat definit, ha minden sajátértéke valós és megegyező előjelű; pozitív definit, ill. negatív definit, ha minden sajátértéke pozitív, ill. negatív; szemidefmit, ha a zérus is sajátérték, de egyébként minden sajátértéke megegyező előjelű; teljesdefinit, ha minden u komparatív függvényre
nerálják, azaz
ahol az y^'"\x), (k = 0X2,...,2m),
p f\x ),
függvények az \a,b\
és
{u,u)j^ > 0
(8)
egyenlőtlenségpár teljesül. A (6), (7) és (8) feltételek teljesülése, adott eset ben, az integrálok kiszámításával dönthető el. Megjegyezzük, hogy a Sturm-Liuville típusú sajátértékfeladat mindig önadjungált. Amennyiben az együtthatófüggvények nem negatívak és a harmadfajú határfeltételek
(yt = 0 ,1 ,2 ,...,m), V^^^\x),
intervallumon
653
módon definiált belső (skaláris) szorzatokra érvényes az
9.7.1. A sa já té rték fe ia d a to k osztályozása, m egoldása A továbbiakban (l)-e t röviden M [y] -
9.7.1. A sajátértékfeiadatok osztályozása, megoldása
y ia )-c iy '(a )^ 0 ] y(b) + C2y'{b) = 0\
folytonosak és
alakúak, ahol cj > 0, C2 > 0, akkor a probléma egyúttal teljesdefinit is.
F „ ,{x )^ 0 , V „ (x )^ 0 . A z n = 0 esetet, amikor
1. Tétel. M inden (2) alakú teljesdefinit sajátértékfeladat pozitív definit. M[y] = XV^{x)y{x)
(5)
alakú, speciális sajátértékfeladatnak, az n > 0 esetet pedig általános sajátértékfeladatnak nevezzük. A gyakran előforduló
Ui. legyen y j( x ) a probléma egy sajátfüggvénye (amely természetesen egyúttal komparatív függvény is), és X, jelölje a megfelelő sajátértéket, akkor az M[yi] = X,
j ^ ( F A x ) y ) + Fo{x)y = XV„(x)y egyenlőség igaz minden x e[a,b]-re. Szorozzuk mindkét oldalt >',(x)-szel
axy{a) + a 2 y ' { a ) ^ 0
és integráljunk .x szerint. Akkor
h yib )+ h y \b ) = o másodrendű sajátértékfeladatot Sturm-Liuville-féle feladatnak nevezzük. Legyen a (2) sajátértékfeladatban M \ y \ és A^[;v] (3), ill. (4) alakú és az Uj[y] 2m számú lineárisan független egyenletben
adódik, amelyből a (8) relációpár értelmében
j - l konstan
sok legyenek A.-tól függetlenek. Az ilyen alakú sajátértékfeladat ö n a d ju n gált, ha két tetszőleges, de 2/n-szer folytonosan differenciálható és a kerü leti feltételeket (határfeltételeket) kielégítő ún. k o m p aratív u{x), v{x) függvényekkel az b b yu,v},, = uN[v]dx
(9) iy i^ y i)^ Ebből
következik,
hogy
tetszőleges
számíthatjuk a (9) alapján a megfelelő
yj{x)
sajátfüggvényhez
ki
sajátértéket, azaz
( 10)
Numerikus módszerek
654
A jobb oldali hányadost, ha azt az u komparatív függvények halmazán tekintjük, Rayleigh-féle hányadosnak nevezzük és
9.7.1. A sajátértékfeladatok osztályozása, megoldása
655
Legyen ui.
Ui[y] = o 4 “ =-T i alakban jelöljük. így (10) helyett írható: Xj =
alakban adott két sajátértékfeladat, melyeknél ismertek a .
Teljesdefmit problémáknál a Rayleigh-féle hányados bármely u kompa ratív függvénnyel képezhető és értéke mindig pozitív. Az előzőek alapján igazolhatók a következő tételek: saját-
értékpárjához tartozó tetszőleges yi(x ) és yi^(x) sajátfüggvények általá nosított értelemben ortogonálisak, azaz ha^, 7i X^
(12)
3. Tétel. Minden (2) alakú önadjungált és teljesdefmit sajátértékfeladatnak megszámlálhatóan végtelen sok valós sajátértéke van, azaz 0
•
A sajátértékek {>.„} sorozatának a végesben nincs torlódási helye, azaz Hm
sajátér
egyenlőtlenségek, akkor
2. Tétel. A (2) alakú önadjungált sajátértékprobléma X, és
i y i > y k ) M ^ ^ y i ’y k ) N " ^ ’
és
tékek és a határfeltételek azonosak a (2) feladat határfeltételével. Ha bár mely u komparatív függvényre teljesülnek az < {u ,u )^ < {u ,u )^» és
(« = 1 ,2 ,...). Ezzel aránylag kényelmes eszköz áll rendelkezésünkre a sajátértékek behatárolására. Igaz, hogy a korlátok nagyon durvák is lehetnek, azonban jó l felhasználhatók finomabb becslések, eljárások kezdőértékeiként. Példa Becsüljük meg a sajátértékfeladat első két sajátértékét. Megoldás. A feladat sajátértékeire pl. alsó korlátot a
= oo.
l y(0) = >;(rr) = 0j
4. Tétel, Legyen a (2) alakú sajátértékfeladat önadjungált és teljesdefmit. Ha a (11) Rayleigh-féle hányadosban az u függvény befutja a komparatív függvények halmazát, akkor az R[ u] - 1 minimalizáló függvény a sajátérték
sajátértékfeladat sajátértékei, felső korlátot pedig a
feladat 3^i(x)-szel jelölt első sajátfüggvénye, az R[ u] minimuma pedig a
sajátértékfeladat sajátértékei szolgáltatnak.
feladat A-]-gyei jelölt első sajátértéke, azaz mindig fennáll, hogy
Ha kikötjük a felhasználandó komparatív függvények halmazáról, hogy az első q számú sajátfüggvényre általános értelemben ortogonálisak legye nek, akkor min /?[w] = A-^y+iA (2) alakú önadjungált és teljesdefmit sajátértékfeladat sajátértékeire alsó és felső korlátot adhatunk meg, ha a feladatot összehasonlítjuk két másik, ugyanolyan tulajdonságú, de ismert, vagy egyszerűbben kiszámítható sajátér tékekkel rendelkező feladattal.
- y " = 3X**y 1 y(0) = y{n) = 0\
Mivel
_ n"
és
ezért így, h a /! = 1, akkor azaz
Tehát A, = 0,25. Ha « = 2, akkor
0,8 < A, < 1,3,
így
^2 -1 ,0 5 .
Numerikus módszerek
656
9.7.2. M egoldás a differenciálegyenlet általános megoldásának ismeretében
9.7.2. Megoldás a diff.egyenlet általános megoldásának ismeretében
657
9.7.3. Sajátértékek közelítő meghatározása differenciamódszerrel A módszer szem léltetéséhez tekintsük az
Ha a (2) sajátértékfeladat 2/n-edrendű lineáris differenciálegyenletének általános megoldása lm
M ismert, akkor a sajátértékeket meghatározhatjuk 7 -nak a határfeltétel rendszerbe való behelyettesítés útján. Ui. a Cj konstansokra az
y " = P \{ x )y ' + PQÍx)y + h ’\ y{a ) = y{b) = Q J
sajátértékfeladatot. A határfeltétel-rendszer lehet 9.6.1. (2) alakú is, sőt az y{a), y'(a ), y(b), y { b ) kifejezéseken kívül a X paraméter is szerepelhet a határfeltétel-rendszerben, továbbá és pq is függhet X -tói. A 9.6.1. (3) képleteket felhasználva, a (14) probléma differenciálegyen lete helyett az
2m
fc] = 0
Ui % C j Y j { x , \ ) 7=1
egyenletrendszer mátrixának determinánsa zérus, azaz '^2 ' A(X) = det(í/,
^im
U 2 'y,'
^2
... ...
Ü2 l
- 0 .( 1 3 )
Példa A
1
tehát a (13) egyenlet szerint A(X) =
cos(V5l-0) sin(V5X-0) = 0, cos(V5Xíc) sin(V^Tc)
amiből a sin (V ^n ) = 0 egyenletet kapjuk, melynek megoldása: ■y/IXn = nK, 5X = n~, és a feladat sajátértékei:
alakra jutunk.
(16)
jelöléseket. Ekkor a differenciaegyenlet-rendszer A y i - \ + (-0/ “ X ’ )yj + Ciyj_i - 0,
(17) (/ = l,2 , . . . , n - l )
alakú, vagy figyelembe véve az y{a) = j;q = 0, y(b) = y „ = 0 határfeltétel rendszert, a (17) egyenletrendszer mátrix alakja;
J (0 )= J (7 C ) = 0 /
sajátértékfeladat differenciálegyenletének általános megoldása: y = C, cosyffkx + C2 sin , azaz yy = cosVsX^x,
=0
p\,
sajátfüggvényeket is.
- y ' ’ = 5Xy
^
( / = 1,2, . 1 )
PlL 2h y,+\
■+ P q, + X y , +
Vezessük be az
A feladat sajátértékeit a (13) egyenlet gyökei adják. A gyökök ismereté ben tetszőleges Xj sajátértékhez meghatározhatjuk a Cj (/' = l,2 ,...,2m) konstansokat és ezzel a megfelelő
( 15)
(i = í , 2 , . . . , n - l ) differenciaegyenlet-rendszer segítségével kereshetjük a közelítő megoldást az y(a ) = y(b) = 0 figyelembevételével. A (15) rendszert rendezve, az 1 I P\i 2h yi-\ ~
U,
...
Ulm
yi+\ - ^ y i + y i- i „ >’,+] - y/-i , . „ , , ^ . ------------ --p y — — ------ + (po/ + X)y,
0' = l,2,...,2m )
homogén egyenletrendszer írható fel. Cy-re triviálistól különböző megoldást csak akkor kapunk, ha az
....
y2 - s in ^ f^ x ,
'B i- X
Q
0
0
...
0
0
A2
B') —X
C2
0
...
0
0
...
0
0
’
3^1 3^2
' =0
.
(18)
Jelöljük D(X,)-val a (18) egyenletrendszer determinánsát. A homogén egyenletrendszernek triviálistól különböző megoldása a D(X) = 0
(19)
Numerikus módszerek
658
feltétel teljesülése esetén van. így a (14) sajátértékfeladat A,, (/ = l,2 ,...,n --l) sajátértékeinek közelítéseit a (19) egyenlet megoldásai, a megfelelő saját függvények közelítéseit pedig a sajátvektorok szolgáltatják. A differenciamódszer a sajátértékeket különböző relatív pontossággal közelíti. A gyakorlati feladatoknak legtöbbször végtelen sok pozitív saját értéke van, ilyenkor a differenciamódszerrel a legkisebb sajátérték közelít hető a legpontosabban, de általában éppen ezt kell meghatározni. A pontosság növelhető a beosztás sűrítésével vagy pontosabb differen ciaképletek alkalmazásával.
9.7.2. Megoldás a diff. egyenlet általános megoldásának ismeretében
659
Akkor az a,- ^ 0 {i = 1,2,... , p ) együtthatókkal képzett u{x) = űTiVj (x) 4- 02 V2 (^ ) + .. .+a^Vp (x) függvény is komparatív. Képezzük w-val a Rayleigh-féls hányadost: Kp
p
p
/- I b p
í=l p
rj=l p
a r=l
.y=l
r,.v=l
Példa - y ” = A,(4 + cosx)jv] 3.(0) = K7í) = 0 j
Határozzuk meg a
sajátértékfeladat első két sajátértékét differenciamódszerrel, ha a [0,7t] intervallu mot: a) n = 3; b) n = A', c) n = 5 részre osztjuk. Megoldás. A 9.6.1. (3) képletet használva, a differenciaegyenlet-rendszer ..—2ÍzI=:X,(4 + cosx,)>’, ,
ahol
s amelyekre az önadjungáltság miatt
teljesül az m^, = m,^, = reláció. Jelölje A az a, paraméterektől függő Rayleigh-félc hányados minimumát:
(; = 1,2,...)
(s = \,2 ,...,p )
A = mini? u ( x ; a i, a 2 ,. .. ,a „ ) amelyre a tételek értelmében a
és rendezve:
X i< A
a) Ha « = 3, akkor h = ^ és
összefüggés teljesül.
A (A ,) = 18,940660A.- -1 7 ,5 4 5 9 6 5 ^ + 3 = 0 amelyből ^ 1 = 0 ,2 2 6 2 3 ;
b) W&n = 4, akkor /7 =
Rayleigh-fé\e hányadost - ^ - n e l jelölve, a szélsőérték létezésének A Rayleigh-féle
A, “ 0=700014.
szükséges feltétele:
és
D-i(k) - 14 ,5 5 2 280A,^ - 36,147908X,- + 2 4 ,674012^ - 4 = 0, X, = 0,23589;
amelyből
dR _ da^ Sör n _da, — = ------------------- = 0,, ^2
, ^
^2 = 0 ,81057.
Ebből, — helyett A-t írva.
c) Ha « = 5, akkor /z = y és D4(?t)=5,928436A,‘’ - 30,764460?.^ + 51,92365 a - - 3 1 ,5 8 2 736A. + 5 = 0, amelyből = 0 ,24046;
.
(r K = 1,2,..., , , ,pp). j
9.7.4. A Ritz-Galjorkin-féle eljárás Legyen a (2) alakú önadjungált és teljesdefmit sajátértékfeladat p számú lineárisan független komparatív függvénye Vi{x),V 2 {x),...,V p{x) .
adódik, ahol
da^
A., = 0 ,8 7 8 4 4 .
dN
s-l
= 2 2 ^ n ,,ű , , s=l
- A n„) = 0, í=i ún. Galjorkin-féle egyenleteket kapjuk.
vagyis a
Numerikus módszerek
660 Ennek a homogén egyenletrendszernek az
P. 7.2. Megoldás a diff. egyenlet általános megoldásának ismeretében
ismeretlenekre a triviálistól
különböző megoldása csak akkor van, ha az együtthatókból képzett determi náns zérus, azaz ha -A n
OT]]-An]2 rri21- A«2 1
^pi Mivel az
és
= 0.
elemekből képzett mátrixok valósak és szimmetri
kusak, valamint az utolsó mátrixhoz tartozó kvadratikus forma pozitív defmit, ezért a (20) egyenlet minden gyöke valós. Legyen A i < A 2 <...< a p < Ajt, vagyis a A^^ Ritz-féle közelítések a
akkor fennáll, hogy (k = l , 2 , . . . , p ) ,
sajátértékek felső korlátai.
Példa - y " = X(4 + cosx)>’| y(0) = y(K) = 0 I
Határozzuk meg a
sajátértékfeladat első két sajátértékének közelítő értékét Ritz-Galjorkin-fék eljárással.
«(x) = űi sinx + ŰT sin2x,
Ez a módszer igen egyszerű, de ennek ellenére rendszerint a sajátértékek nagyon jó közelítését adja. A határfeltételekben X-t nem tartalmazó 9.7.2. (2) alakú, nem feltétlen önadjungált sajátértékfeladat közelítő megoldásá hoz vegyünk egy n
u { x ) = Y ,a k V k { x ) k=\ függvényt, ahol a v^(x), {k = 1 ,2,...,/)) függvények kielégítik a határfelté teleket. A p számú a^. param éter meghatározásához az [a,b] intervallum ban tetszőlegesen választunk p számú
abszcisszát és az u függvénytől megköveteljük, hogy ezekben a kollokációs pontokban kielégítse a differenciálegyenletet, azaz
N\v 2] = (4 + cosx) sin 2 x .
7C
7T
rrix^ - n h i = JVjM[v7]í/x = 0;
0
0
n fthi ~ 1^2 M\y2\ix = 2k; 0 % K n n\ \ = IV, yV[v, ]í/x = J(4 + cosx) sin" xdx = 27i; «,2 = «2i = | Vi A^[v2] í / x = ; 0
0
0
«22 =
és így
M[v2] = 4sin2x,
7n,i = jvjM[v,]í/x = |sinx'SÍnxí/x = y ; 0
ahonnan
9.7.5. A kollokácíós módszer alkalmazása sajátértékfeladatokra
M Jt
= 0 egyenletből
a < x \ <%2 < ...< Xp < b
és M[y] = - y " értelmében
7V'[v, ] = (4 + cos x) sin x,
2n-2nA
A i,2=-
Megoldás. Legyen V) = sinx és V2=sin2x, akkor
M[vi] = sinx,
-A -^
80±V 23^ 126 X, - Aj =0,249, ?i2=A2 = 1,021.
(20)
tUpp-Aripp
pl
-A-#
63A“ -80A + 16 = 0,
m jp -A n jp
~ -^^22
4 --A -2K det(w ^,-A «„) =
661
IT I V 2 A ^ [ v 2 ]ö6c = 2 tI .
k=l
= XN 'X ^ k ^ k iX i ) k=]
(21)
{i = \,2,...,p) így a paraméterek meghatározására p számú feltételi egyenletből álló homogén egyenletrendszert kapunk, amelynek triviálistól különböző meg oldása csak akkor van, ha az egyenletrendszer determinánsa zérus. A de termináns kifejtésével a sajátértékekre p-ed fokú egyenletet kapunk, mely nek A i, A 2, ..., A p gyökei adják a A,], X j, ..., Xp sajátértékek közelítő értékeit. Példa Határozzuk meg a
7„' = y(0) = y(n) = 0
J
sajátértékfeladat első két sajátértékének közelítő értékét a kollokációs módszerrel.
Numerikus módszerek
662
Megoldás. Legyen u{x) = aj sinx + a, sin2x. Helyettesítsük u-i a differenciálegyen letbe és rendezzük az egyenletet, akkor aj sinx(l-A,(4 + cosx)) + a2 sin2x(4-A.(4 + cosx)) = 0. A kollokációs pontok legyenek: Xj = - j és X2 =
9.8.1. Elliptikus típusú d iff egyenlet megoldása rácsmódszerrel______ 663 Megjegyzés. Legyen például f { x ) négyszer folytonosan deriválható, akkor
Xt <4,
.
Akkor behelyettesítés és egyszerűsítés után « i( l- |- A ) + a 2 ( 4 ~ |A ) = 0
A két formula összeadásával, majd kivonásával kapjuk a /z“ nagyságrendű hibá val közelítő differenciahányadosokat;
a j( l- |A ) - a 2 ( 4 - ^ A ) = 0 és így a 63A"-80A4-16 = 0 egyenletet kapjuk, melynek megoldása, mint azt a RUz-Galjorkin-móászQxxt\ kidol gozott példánál is láttuk: X, j «A, =0, 249 és A,, “ A, =1,021.
Ezeket rendszerint rövidebben a következő módon jelöljük: 9.8.
P A R C IÁ L IS D IF F E R E N C IÁ L E G Y E N L E T E K M E G O LD Á SA
9.8.1. Elliptikus típusú differenciálegyenlet megoldása rácsmódszerrel A módszert az L \ u\ = auy^^ + cUyy + óu ^ + eUy + f u - g
(1)
lineáris másodrendű parciális differenciálegyenlettel kapcsolatos Dirichletfeladat megoldásával szemléltetjük, ahol az a, c, d, f g függvények az x és y változóktól függhetnek, és a G görbével határolt D tartományon értelme zettek. Feltesszük ezekről, hogy folytonosak a. D u G -ben, valamint a és c pozitív D u G -ben, vagyis az (1) egyenlet elliptikus parciális differenciál egyenlet. Az (1) egyenlet olyan megoldását kell meghatározni, amely a határ görbén az adott (p értékeit veszi fel, azaz kielégíti az = 9,
^
O(h-).
A parciális differenciálegyenlet közelítő megoldásához a D tartományt lefedő két párhuzamos egyenessereget veszünk fel: x = xi+ m h y = y j + nk
(m = 0,±l,±2,...), (« = 0,±1,±2,...),
(3)
ahol h az X irányú, k pedig az y irányú lépéstávolság. E két párhuzamos egyenessereg rácsot alkot, metszéspontjait rácspontoknak, csomópon toknak vagy alappontoknak nevezzük (9.15. és 9.17. ábra).
(2)
peremfeltételt, ahol cp folytonos függvény a G görbén. A parciális differenciálegyenletet kielégítő függvény közelítő értékei a D tartomány pontjaiban meghatározhatók, ha a deriváltakat a megfelelő differenciahányadosokkal helyettesítjük, és az így kapott egyenletrendszert megoldjuk. A parciális differenciálegyenletben szereplő deriváltak különböző pontos sággal közelítő differenciahányadosokkal helyettesíthetők, melyek a Tayior-formula segítségével állíthatók elő.
Két rácspont szomszédos, ha egymástól való távolságuk az x- vagy az ytengely irányában a rács ezen tengelyek irányába eső lépéstávolságával
Numerikus módszerek
664
egyenlő. M ost csak a ( D u G )-n fekvő rácspontokat tekintjük. Ezek közül azokat, amelyeknek mind a négy szomszédos rácspontja ehhez a halmaz hoz tartozik, belső rácspontoknak, a belső rácspontok halmazát pedig rácstartománynak nevezzük és D -gal jelöljük. Azokat a rácspontokat, amelyeknek akár csak egy szomszédos rácspontjuk is kívül esik a tekintett D kj G tartományon, határrácspontoknak, összességükben pedig a rácstar tomány határának nevezzük és G -gal jelöljük. Minden { i,j) belső rács pontra differenciaegyenletet írunk fel úgy, hogy ebben a pontban az (1) egyenlet deriváltjait helyettesítjük a megfelelő differenciahányadosokkal (9.15. ábra): 2h U j+ ij
- 2uij +
K^xx)ij~
*'/,;+] ~ j -1 , 2k ’
’
J+ l "
U i_ ij ^
9
’
h"
k~
Ujj = u { X j,y j ) .
ahol
’
(4)
Az egyenlet együtthatóit az { i,j) rácspontban jelöljük Oy, Cjj, djj, ejj,
9.8.1. Elliptikus típusú diff. egyenlet megoldása rácsmódszerrel
665
képlettel becsülhetjük, ahol \ M-i = max G
d^u
d^u
Ma
= max G
dx-
/ ' a d u
u
dy
A hiba nagyságrendje csökkenthető pontosabb differenciaképletek felhasználásával. Példa _j_ 9 ^ _ 0 elliptikus parciális differenciálegyen+ dx~ dy lelnek, az ún. Laplace-féle egyenletnek eleget tevő u(x,y) függvény rácsponti értékeit, ha az u{x,y) függvény határon felvett értékei a 9.16. ábrán látható egyene sek szerint változnak. Pl. 1/7 = 2000, = 1000, 11^ - 500. A számítást rácsmód szerrel végezzük el. Az ábrán a rácspontok indexe és az u(x,y) függvény határon felvett értékei láthatók. Megoldás, A differenciaegyenlet az 1. Számítsuk ki a V~u
pontban: V \,,- -
fij és gy-vel. Ekkor az ( i , j ) rácspontra a következő differenciaegyenletet kapjuk: Q
Uj^.\ j —2 U ij + U j_\ j
—' .
^
^ í,7 + l
+M,- y_J
h Cii....
H (5)
2h
+ 6:,
Ha négyzetrácsot választunk, akkor h=k. Ekkor a differenciaegyenlet egyszerűbben írható: r-Ujj =
2k
Ilyen egyenletet minden belső rácspontra felírhatunk. Ha az {i,j) rács pont határrácspont, akkor az ehhez tartozó uy értéket azonosnak vesszük a
- -V(w/+i,7+“/ - ij +W/J+1+W/J-1 -4Wy )=0. n A négyzet oldalait « = 4 részre osztva,
G görbe ezen rácsponthoz legközelebb eső pontjához tartozó (p értékkel. Ha az ( i , j ) rácspontokra felírt (5) alakú egyenletekből álló algebrai
h = k = ~ . k z ábra csomópontjait jelölő szá
egyenletrendszer megoldható, akkor az Uy értékek a feladat megoldásának
mokat indexként használva, az ismeretlen w,
közelítő értékei a belső rácspontok által alkotott véges ponthalmazon. A leírt módszert az alkalmazott eljárás alapján rácsmódszernek vagy véges differenciák módszerének nevezzük. Ha a megoldásftiggvény négyszer folytonosan deriválható, akkor azt a hibát, amit a differenciálegyenletről differenciaegyenlet-rendszerre való áttéréskor elkövetünk az
(/■= 1,2,3,4) értékekre, a differenciaegyen
ÜL 12
'
,2
A
M4 + 2 ( djj + 6ij ) m -
(6)
letnek megfelelően, -^--tel egyszerűsítve és figyelembe véve a szimmetriát, négy egyen letből álló lineáris egyenletrendszer írható fel: 1000+ 500 + W4 + W3 —Aun = 0
«2 + IO O O + W2 +
“i -
9.16. ábra. R á c s a V \s - % +- ^ = 0 dx~ dy~ Laplace egyenlet megoldásához
>y+2 ■
y;>1y;-iyy-2-
4^4 = 0
2000 + th + Mj + 1<2 ~ 4^3 = 0 «3 + « 4 + « 3 + « 4 - 4 « , = 0
9.17. ábra. Rácspontok
666
Numerikus módszerek
Rendezve: -4m2 + W3 + «4 = -1500, W] + 2«2 -4i/4 = - 1000, W] +W2 -4^3 = - 2000, - 2w[ + M3 + = 0 Az egyenletrendszer megoldása: iíi=1125, «2 =937,5, W3 =1250, 1^4 = 1000. 2. Számítsuk ki a V~u = x~y~ elliptikus parciá lis differenciálegyenletnek, az ún. Poisson-íé\t egyen letnek eleget tevő u{x,y) függvény rácsponti érté keit rácsmódszerre], ha a 2 egységnyi oldalhosszúsá gú négyzetlap peremén z; = 0. A koordinátarendszer elhelyezését és a rácspontok indexeit a 9.18. ábra szemlélteti.
Rács a. V~u = x~y~ Poissonegyenlet megoldásához —
Megoldás. A négyzetlapot h - k = 0,5 lépéstávolságú négyzetráccsal fedjük le. Az u függvénynek a szim metria miatt három rácspontbeli értékét kell kiszámítani. A differenciálegyenletnek megfelelő differenciaegyenlet-rendszer:
— • (u-j + u - y + U -, +
(0,5)-
-
-
-
ih - 4mi ) = 0" ■0", -
^ -(0-l-w,-1-W3 4-M3 -4ií2) = 0" ■(0,5)’ , (0,5)1 («2 + 0 + 0 + «2 - 4 z^3) = (0,5)-■ (0,5)" (0,5)(A 3-mal jelölt rácspontban x~y~ = (±0,5)“ •0,5“ = 0,0625.) Rendezve: -Wj + ÍÍT = 0, W] -4^2 +2«3 = 0, 2í/2-4tí3 =0,015625 Az egyenletrendszer megoldása: wj = «2 = 003606, u-i = -0,005409.
9.8.1. Eliiptikus típusú diff'. egyenlet megoldása rácsmódszerrel_______6 ^ hogy a határrácspontban a megoldásfüggvény értéke legyen egyenlő a megadott (p függvénynek a G azon pontjában felvett értékével, amely a kérdéses határrácsponthoz legközelebb esik. A gyakorlatban kényelmesebb G azon pontjait választani, amelyek a határrácsponttól valamelyik tengely irányába esnek legközelebb. A megoldásfuggvényben jelentkező hiba nyilván függhet a határrácspont és G megfelelő pontjának távolságától. Célszerű lenne ezért a hálózatot úgy választani, hogy a D* rácstartomány G* határrácspontjai G-hez a lehető legközelebb essenek. Ez megvalósítha tó a négyzetrács h lépéstávolságának csökkentésével vagy más típusú hálózat felvételével, pl. háromszögrács, hatszögrács alkalmazásával. Azon ban nem szívesen mondunk le a /z lépéstávolságú négyzetrács által nyújtott előnyökről, amelyek a differenciaegyenlet-rendszer egyszerűségében je lentkeznek. Éppen ezért a peremfeltételek közelítésének javítását célsze rűbb elvégezni. A peremfeltételek közelítésének javítására h lépésű négyzetrács esetén a gyakorlatban jól használható Collatz módszere. Minden határrácspontnak, példaként jelöljünk egyet 0-val (9.19. ábra), megfelel egy /z-nál közelebb fekvő G-n levő 2 jelű pont, amely a rácsvonal és G metszéspontja (ha h elegendő kicsi). A 0 és 2 jelű pont távol ság legyen 5
9.8.2. A peremfeltételek közelítésének javítása A differenciaegyenlet-rendszer általában négyzetrács használatakor a leg egyszerűbb, azonban a határrácspontok rendszerint nem esnek a G görbére. Ilyenkor problémát okoz, hogy a peremfeltételeket közelítő formulák hibá ja meghaladja a differenciálegyenletet közelítő differenciaegyenlet-rendszer hibáját. Az előző pontban a peremfeltételek közelítésére azt mondtuk,
A rácsmódszerrel előállított megoldás hibájának becslésére a gyakorlatban sokszor felhasználható Runge módszere. Legyen a rácsmódszerrel előállított megoldás hibája h lépésű négyzet rács esetén /j-ban n-edrendű. Ekkor az { x ,y ) pontban az z^ { x ,y ) hiba £ h ix ,y ) = k(x ,y )h '' alakban állítható elő, ahol k { x , y ) független h~tó\.
Numerikus módszerek
668
Jelölje a h lépésű négyzetráccsal képzett megoldást Í7/,, a 2A lépésü négyzetráccsal képzett megoldást U 2h - Ekkor a pontos u {x,y) megoldás; u{ x,y) = U h ix ,y ) + Eh(x,y),
ill.
u ( x ,y ) = U 2h i x , y ) + e 2h (x ,y ) ■
^h~^2h~^2h~^h-
Innen Feltételünk értelmében ^h = k { x , y ) h \
9.8.4. Parabolikus típusú differenciálegyenlet megoldása Ha az (1) differenciálegyenletben a deriváltakat u{x,t + k ) ~ u (x,t) k ^
_ u (x + h ,t) - 2u{x,t) + u { x - h , t ) ^XX~ T n differenciahányadosokkal helyettesítjük, majd az így kapott egyenletet ^-val szorozzuk és rendezzük, akkor a differenciaegyenletet u{x,t + k) = ru(x + h,t) + ( l - 2 r ) u ( x , t ) + ru{x - h , t )
ill.
Z2h = k { x , y ) r h ^ = 2 \ h i ^ , y ) ,
és így
Tehát az { x ,y ) pontbeli h lépésű négyzetrács használatával előállított
Ha bevezetjük az u [x^,ífj) =
(2)
kc~
alakban kapjuk, ahol
U h -U 2 h = {2 ^ -l)^h ix,y).
669
„ jelölést, akkor a (2) egyenlet alakja:
megoldás £;, hibáját az ^m,n ~
TJ. - J I ^ , (7) 2” - l képlettel becsülhetjük. Az (1) egyenlettel kapcsolatos Dirichlet-íc\^.údX rácsmódszerrel való megoldásakor, h lépéstávolságú négyzetrács esetén, a határrácspontokban a megoldást Collatz-félQ egyenletekkel számítva, a hiba h~ nagyságrendű, azaz « = 2 és így a (7) alapján a megoldásul kapott függvényérték hibája az U u -U ^2h £/, = képlettel becsülhető.
9.8.4. P arab o lik u s típusú differenciálegyenlet megoldása Vizsgáljuk meg, hogy miként állítható elő a du
1 d~u
, 2 ill. egyszerűbben írva, u, = c u^x (1) dxparabolikus parciális differenciálegyenlet kezdeti- és peremfeltételeket is kielégítő megoldása. Az (1) differenciálegyenlet a hő egydimenziós terjedé sének, a diffúziónak, kábelben folyó elektromos áramnak és más hasonló fizikai jelenségnek a leírására alkalmas modell. Az (1) egyenlethez rendszerint u[x,0) = / (x) 0 < x < L alakú kezdeti feltétel, és - -
a]u[0,t) + a2Ux{ö,t) =
t> 0 ,
h\u[L,t) + b2Ux{L,t) = q2Ít),
t>0
alakú peremfeltételek adottak. Vizsgálatainkat az egyszerűség kedvéért a 2 = th = 0 esetre korlátozzuk. Keressük tehát ennek a vegyes feladatnak a megoldását a. 0 < x < L,
t > 0 tartományon. Fedjük le ezt a tartományt
Ax = h, At = k lépéstávolságú ráccsal (9.20. ábra)
A (2) egyenletből, ha az u(x,0) kezdőértékek minden x-re, valamint az u(0, t) és u (L,t) peremértékek
+
„_j .
(*)
f, ^
minden /-re ismertek, akkor egymás n+1 k után meghatározhatjuk az u (x,t) ^ m -1 n+1 k bármely csomópontban felvett kö^m , n k ,n 1, n zelítő értékét a (*) séma segítségével (9.20. ábra). Ezt a számítási eljárást h ^ h h h h h explicit módszernek, a sémát exp- ” Ö licit sémának nevezzük. Az u(x,0), u(x,k ), u{x,2 k), ..., 9.20. ábra. Rács értékek kiszámítását u (x,n k) érték kiszámításáig folytatjuk. Ha T az időin tervallum, akkor nk = T, és így a számítás szükséges lépésszáma 2rr C T képlettel meghatározható. rh~ K onvergencia és stab ilitás. Jelölje u a (2) differenciaegyenlet pontos megoldását, U pedig az (1) parciális differenciálegyenlet pontos megoldá sát. M indkét megoldás elégítse ki a kezdeti- és peremfeltételeket is. Helyet tesítsük az U függvényt a (2) differenciaegyenletbe és az így jelentkező maradéktagot (közelítési hibát) jelölje T{x,t), azaz U {x,t + k ) = r U ( x + h,t) + (1 - 2 r ) U (x ,t ) + r U { x - h , t ) + T (x ,t)
(3)
Vonjuk ki a (2) egyenletet a (3) egyenletből és a különbséget jelölje e: e (x ,t + k) = re(x + h,t) + ( l - 2r)e{x,t) + r e { x - h , t ) + T { x , t ) .
(4)
Jelölje E{t) a maximális hiba abszolút értékét, és legyen T (x,t) felső korlátja M > 0 , azaz \T(x,t)\< M.
Ha 0 < r < ~ ,
akkor (4) minden
Numerikus módszerek
670 együtthatója pozitív vagy nulla. Ekkor
9.8.4. Parabolikus típusú differenciálegyenlet megoldása
671
Ha a vizsgált tartományon u^(,(x,t) < N , akkor
\e{x,t + k )\< 2 rE {t) + { \ - 2 r ) E { t ) + M . Mivel ez az egyenlőtlenség minden t + k-v?i fennáll, ezért írható E{t + k ) < E { t ) + M . Feltettük, hogy a megoldások kielégítik £■(0) = 0. Ekkor n lépés után kapjuk, hogy
és ilyen M érték mellett az (5) egyenlőtlenség helyett a kezdetifeltételt,
ezért
E {nk) < n M . A h és k nullához tartása esetén M is tart a nullához, ami azt jelenti,
egyenlőtlenséggel becsülhető a hiba. A feladat a
hogy az explicit módszer konvergens, ha r < ~ .
+2
A hiba tehát \e{x,t)\
c~tNh'^ 135
\e(x,t)\<
(
- bm,n
1
im plicit sém ával is megoldható, ahol
c~t M
(5)
képlettel becsülhető. Vizsgáljuk most i?lz r > — esetet. A (4) inhomogén differenciaegyenlet
1. “ 2(1---- • r A séma minden r esetén stabil. Segítségével az (n -l)-ed ik soron lévő függvényérték ismeretében az n-edik soron lévő értékek egyenletrendszer segítségével számíthatók. bm,n
általános megoldásában IITÜC tXTt/z sm \ - 2 r 1 -c o s L L
Példa Alkalmazzuk az explicit módszert sz u,= a~u^^ parciális differenciálegyenlet közelítő megoldására u - 0 , x = 0; m= 0, x = L határfeltételek, és
rh -
_ 4 x (L -x )
típusú függvények lépnek fel, ahol fi = l , 2 , . . . , v - 1. Mivel feltettük, hogy ezért az l - 2 r 1 - cos-'—
l
L
J kifejezés egynél nagyobb lesz olyan
|i értékekre, amelyek a koszinuszt a -1 -h e z elegendő közelivé teszik. Ebből következik, hogy léteznek olyan e(x,t) megoldások, amelyek expo nenciálisan növekednek rögzített h és növekvő t esetén, vagy rögzített t és 0-hoz tartó h esetén. Ez azt is jelenti, hogy még jelentős approximációs hibák nélkül, pusztán a kerekítési hibák halm ozódása hatására is exponen ciálisan növekvő ingadozások léphetnek fel. Az eljárás tehát ^
kezdetifeltétel mellett. Megoldás. Alkalmazzuk a (6) formulát. Ha a h-i A x - h - ^ - n e k választjuk, akkor At = k = h6a“
L- -. A (6) formulát kényelmesebb (m,n) rácspontokra 600a"
alakban használni. A számítás eredményeit célszerű soronként táblázatban rögzíteni.
^ esetén 0
1
2
3
4
5
0
0
0,36
0,64
0,84
0,96
1,00
n \
instabillá, így gyakorlatilag használhatatlanná válhat. A differenciálegyenletet közelítő differenciaegyenlet hibáját csökkent hetjük, ha az u függvény .x-szerinti hatodik deriváltja is folytonos a vizsgált tartományon. 1 h~ Ekkor az r = — választással k = és 6 - 6c“ u{x,t + k) = ^ { u ( x + h,t) + 4u{x,t) + u(x - h,í)) + T (x,t) 6
-,/ = 0
L-
(6)
1
0
0,347
0,627
0,827
0,947
0,987
2
0
0,336
0,613
0,813
0,933
0,973
3
0
0,326
0,600
0,800
0,920
0,960
Numerikus módszerek
672 Az » =
kezdeti feltétellel adottak az « = 0 első sor értékei, melyeket az íé x = - ^ behelyettesítéssel előállított M= 0,04m(10-/n) képlettel számítunk (lásd a
9.8.5. H iperbolikus típusú differenciálegyenlet megoldása Szorozzuk meg az egyenletet —~
673
0-val és az első három tagból
emeljük ki az Uy^y tényezőt:
táblázatot), E képletből látható, hogy az /n = 0 és w=10 oszlopban csupa zérus áll, és az m = 5 oszlopra az u értékei szimmetrikusak. így az u értékeit csak m = 1,2,3,4,5 választás mellett kell kiszámítani. A szimmetria miatt U(, „ = u^ ,,, így
^xy
(él dx
V
-b
dx
dx dx
dx
dx
= 0.
Most tekintsük az x, y sík azon görbéit, amelyekre az m = 5 oszlop értékei u^ „+i
„ +4^5 „) képlettel számíthatók. dx
Az eredeti (1) differenciálegyenlet megoldásgörbéi ekvivalensek az
9.8.5. H iperbolikus típ u sú differenciálegyenlet m egoldása
dx dx
Vizsgáljuk meg az u {x,y) kétváltozós függvényre vonatkozó aUxx + bu^y + cuyy + e = 0
(1)
alakú másodrendű parciális differenciálegyenletet, ahol az a, b, c és e egytitthatók függvények is lehetnek. Ha az együtthatók függetlenek az w-tól és annak deriváltjaitól, akkor az (1) egyenlet lineáris, ha pedig u, u^ vagy U( függvényei, de M^^-nek és w^^-nak nem, akkor kvázilineáris. Felteszszük, hogy a vizsgált tartomány minden pontjában teljesül a b~ - i a c > 0 feltétel, vagyis az (1) egyenlet az egész tartományon hiperbolikus típusú, és ~ ^yx • Vezessük be a
dp = ^ d x + ^ d y = u ^ J x + u^ydy,
dq = ^ d x + ^ d y = u^ydx + Uyydy.
~ dx
dy dx^
dq - u^ydx _ dq ""yy
dy
dy
dx ""^ydy-
Behelyettesítve a tiszta másodrendű deriváltakra kapott kifejezéseket az (1) egyenletbe, majd rendezve azt, a -au egyenletet kapjuk.
dx
(**)
= m jelölést bevezetjük, akkor a (*)
egyenlet am~'—bm + c = 0
(2)
alakban, a (**) egyenlet pedig differenciál formára áttérve, amdp + cdq + edy = 0
(3)
alakban egyszerűbben kezelhető. Az eredeti egyenlet megoldását megkap ju k a (2) egyenlet fennállása mellett, ha a megoldjuk a (3) egyenletet. A (2) egyenletben szereplő m a differenciálegyenlet értelmezési tarto mányának minden pontjában meghatároz egy irányt. Az m által meghatáro zott irányt karakterisztikus iránynak, a karakterisztikus iránynak eleget tevő görbét az (1) differenciálegyenlet karakterisztikus görbéjének vagy röviden karakterisztikájának nevezzük.
^ + bu„, ^xy + ■*xy - cu„, '^ydx
dx
dy
+e = 0
teket e diszkrimináns értéke alapján osztályoztuk. Ha b ~ - 4 a c < 0, akkor az egyenlet elliptikus, nincsenek (valós) karakterisztikái. Ha - 4ac = 0, akkor minden ponthoz egyetlen karakterisztika tartozik, az egyenlet paraboli
Fejezzük ki az első egyenletből w^^^-et a másodikból pedig Uyy-t.
dx
egyenlet megoldásaival. H a a
dx dy
A (2) egyenlet m-rc másodfokú, a. b^ - 4ac diszkrimináns értékétől függően lehet valós vagy komplex gyöke. A parciális differenciálegyen 1e-
jelölést. A p é s q differenciálja:
dp - u^ydy _ dp
- b ÉL + C - 0 . dx
kus. Ha b~ - 4ac > 0, akkor minden ponthoz két karakterisztika tartozik, a (2) egyenlet két különböző valós gyöke által meghatározott karakterisztikus iránnyal. Ezt a parciális differenciálegyenletet nevezzük hiperbolikusnak. A karakterisztikák felhasználásával a hiperbolikus parciális differenciál egyenletek megoldására egy alkalmas numerikus módszert állíthatunk elő. A z x , y síkon vegyük fel a kezdetiértékkel adott függvény görbéjét (ez nem tartozhat u karakterisztikái közé). Ezen a görbén jelöljünk ki két pontot, A-t és B-t. Mivel hiperbolikus típusú differenciálegyenletről van szó, ezért mind-
Numerikus módszerek
674
egyik ponthoz két karakterisztikus görbe tartozik, a (2) egyenlet két külön böző valós gyökének, mj-nek és m^-n^k megfelelően (9.21. ábra). A probléma megoldásához a karakte risztikák mentén meg kell oldani a (3) egyenletet. Először a C pont koordinátáit számítjuk ki, felhasználva a
9.8.5. H iperbolikus típusú differenciálegyenlet megoldása
Megjegyzés. A véges differenciák módszerét hiperbolikus differenciálegyenletek megoldására is alkalmazhatjuk. Példaként felírjuk az u,, = (0 < x < jL, / > 0) egydimenziós hullámegyenlet megoldására alkalmazható differenciaegyenleteket m(x, 0) = (p(x), (x, 0) = 0) .
Ui, j+\ - 2ui j +
differenciaegyenletet. Az A C és BC ívre felírt y c -y A = m i{x c -X A )} (4) 9.21. ábra. Kezdő görbe és karakterisztikák egyenletrendszert megoldva megkapjuk x q , 7 c értékeit. Ezek felhasználásával a (3) egyenletnek megfelelő amAp + cAq + et^y - 0 ) + < y c - 3^^) = ~yR) - 0
(5)
egyenletrendszerből kiszámítjuk p q és qQ értékét. Ezeket tekintjük a C pontban p és q közelítő értékének. Az u függvény C ponthoz tartozó első közelítő értékét az u - pA x + qAy
-
ua
=
- X
a
)+
kiszámítására az
= 2(1 - r) + r[uj_^ j + sémát kapjuk, ahol r = c"
. h^iJ+\
C
du A ~ = (x), í - 0 kezdeti feltételt közelítő dl
2k
= (x,) egyenletből
= W/,1 “ 2(x/ )k kifejezést (mely csak t = 0 -ra érvényes) behelyettesítve a (***) egyenletbe, / = /, számára “/,i =y(W/+i,o+ W/-i,o) + ‘I’(^/)^
differenciaegyenlet alapján számítjuk ki úgy, hogy az A C ívre is és a BC ívre is felírjuk az egyenletet (p-nek is, q-nak is a számtani középértékét helyettesítjük be): u c
közelítéseket használjuk, akkor
k z r - \ választással
d ifferenciaegyenletbe és B C ívre felírt ) + c(
m, j jelölést és az
Ha bevezetjük az m(x,-,o)
A y = mj^Ax
a/«i (p c am ^ip c-
675
- yA l
(6) u c - u ,= ^ ^ ix c - - B ) ^ ^ ^ ( y c - y B X és mindkettőből kiszámítjuk U(j közelítő értékét. A további számításhoz a kiszámított két uq számtani közepét tekintjük U(j közelítő értékének a C pontban. A C ponthoz tartozó értékeket nagyobb pontossággal kapjuk, ha a válto zók A és C-beli, ill. B és C-beli középértékével megismételjük a számítást. A megoldásnak egy újabb ponthoz tartozó közelítő értékét hasonlóan kapjuk. Fel kell venni pl. egy B melletti D kezdőpontot, és a két ponthoz tartozó megfelelő karakterisztikák metszéspontjára végezzük el a számítást. Az eljárás ismétlésével az jc, y-síkon megadott tartomány tetszőleges számú pontjában meghatározhatjuk az u függvény értékét.
formulát kapjuk. Az első sor kiszámítása után a további értékek kiszámításához a (***) egyenletet használjuk, (A kezdő soron u{i, 0) = cp(x,).) Példák 1. írjuk fel az
= c~u^^ hullámegyenlet karakterisztikáinak egyenletét.
Megoldás. Mivel am~ - b m + c - 0 egyenletnek most c‘m ' - l = 0 felel meg, ezért ±V4c" 1 m = ----- -— = ± —. Az m karakterisztikus irány w-tól független, a karakterisztikák 2c" ^ egyenesek (9.22. ábra). Az első karakterisztika sereg egyenlete: y = -^(x-x^„); a má sodik karakterisztika sereg egyenlete pedig:
9.22. ábra. Az Un -
= - -^(x - x„,). ( x„, tetsz. állandó.)
hullámegyenlet karakterisztikái
Numerikus módszerek
676
Tekintsük a / = 0 egyenesen felvett A és B pontokhoz tartozó karakterisztikákat, A megjegyzésben ismertetett véges differenciák explicit módszerével is ezen karak terisztikák metszéspontjához tartozó u közelítő értékét kapjuk, a lépéstávolság meg felelő választása mellett. X - - 1 kvázilineáris parciális differenciálegyen2. Oldjuk meg a = uuyy "yy +■ 2 letet a karakterisztikák módszerével m(x,0) = 2:c(1-x), Uy(x,0) = 0, u( 0, y ) = 0,
u(\,y) = Q
feltételek mellett. Megoldás. A C ponthoz tartozó értékek kiszámításához a kezdőértékek legyenek az A pontban x = 0,4 és a B pontban jc = 0,6. Az egyenlet zérusra redukált alakjából, az (l)-nek megfelelően felírjuk a z a , b , c é s e kifejezéseket: a = \, b = 0,
c = -u,
2
'
p =~
= !• 0,4(1-0,4) = 0,48,
=2 -4 x ,
=2
0,6(1-0,6) = 0,48;
= 2 - 4 - 0 , 4 = 0,4, pg = 2 - 4 - 0 , 6 = -0,4;
A karakterisztikus irány az m~ - u = 0 egyenletből számítva: m =
= ± Vw .
a BC ívhez m kezdőértéke:
- 0,48 = M ± M ^ ( o , 5 - 0,4) „ ± ^ 0 ^ (0,0693-0), amelyből Uq = 0,4817547 az AC ív mentén számított közelítő érték, és Wc
- 0,48 =
0,0022367
m g = n h - ~4u = --v/0,48 = -0,693.
^ .Q...A .^?3_333 (q 9593 _
g_
^
amelyből Uc = 0,4819783 a BC ív mentén számított közelítő érték. A két karakterisztika mentén számított két közelítő érték számtani középértékét vesszük és ezt tekintjük a C pontban u kezdőértékének: 0,4817547 + 0,4819783 Uc = —----------- --------------- = 0,4818665. A számítást az A és B pontból megismételve, az
karakterisztikus iránnyal, az
m, -^0,4818665 —=— -----------= Wt
értékét nagyobb pontossággal kapjuk.
Példák 1, Állítsuk elő az alábbi vegyes feladatok közelítő megoldását rácsmódszeirel: d~u 1 d~u = 0, kezdetifeltételek: u(x,0) = 0, a) = 0; dt dx^ 9r peremfeltételek: «(!,/) = 0, u{0,t) - i,mnat. du 2 X í) ^ =
Az AC ívhez m kezdőértéke: m^=m^= 4u = ^0,48 = 0,693;
677
A C pontbeli u első közelítő értékét a (6) első és második képletével is kiszámítjuk:
w ,+70,4818665 * , —— 2---------- = m, es
Kiszámítjuk az ^ és fi pontokban u , p é s q értékét: w= 2 x (l-x ),
9.8.5. Hiperbolikus típusú differenciálegyenlet megoldása
, feltételek: u{x,0) = 4x{l-x); m(0,/) = 0, m(1,0 = 0.
2. Oldjuk meg az u ^ - u { x , t ) u f , = x ' - l parciális differenciálegyenletet a ka
A C pont koordinátáit az }>(- =m^{xQ - x ^ ) = 0,693-(X(;;' -0 ,4 ),
rakterisztikák módszerével, az u( x, 0) = x - x ~ ,
dt
= 0; «(0,/) = 0, w(l,O = 0
feltételek mellett. Megoldások
yc ~ ^ b ) - -0,693-(xc -0 ,6 ) egyenletrendszerből számítjuk: jc^ = 0,5, yc = 0,0693.
1. a) Útbaigazítás: legyen /j = 0,1; k - — = - ^ A számítás képlete: a 10a
A pc és qc kiszámításához írjuk fel az (5) egyenletrendszert, x" értékét az 2
2
2
^ j|j
2
' h~ . A differenciaegyenlet: 1. 6) útbaigazítás: legyen /z = 0,l, k - —^ 6c"
számtani középértékkel helyettesítve:
1•0,693 •{pc -0 ,4 ) + (-0,48) •(?c ~ 0) + ^ ' (1 “ ^ ^ ± ^ ) •0,0693 = 0 1■(-0,693) •{pc + 0,4) + (-0,48) •(gc - 0) + y •(1 -
•0,0693 = 0
Az egyenletrendszer megoldása: pc =0,0022367, qc =-0,523333.
U{x,t + k ) - U { x , t ) ^ — 6
U{x + h,t)-2 U {x,t) + 1— - U {x~h,t) 2
2. Legyen az^ pontban x = 0,2, aB pontban x = 0,4. A C pontbeli első közelítés: we = 0,2063.
Numerikus módszerek
678
9.9.
A fizika és a műszaki tudományok feladatait általában differenciálegyenletek kel fogalmazzák meg, azonban igen gyakran kényelmesebb és egyszerűbb mind a megfogalmazás, mind a megoldás szempontjából integrál egyenlete ket használni. Integrálegyenletnek nevezzük azt az egyenletet, amelyben az ismeret len függvény a határozott integrál jele alatt, azaz az integranduszban is előfordul.
9.9.1. Integrálegyenletek osztályozása, elnevezése Tekintsük a D tartományon értelmezett xeD
(1)
- Fredholm-tipusú, ha a D integrációs tartomány független az .x válto zótól, például b y { x ) - ' k ^ K { x , t ) y { t ) d t = f{x)-, (5) a
-
Volterra-típusú, ha a £) integrációs tartomány ;c-től is függ, például
y{x )-X ^ K {x ,t)y {t)d t = f{ x ) . (6) a Megjegyezzük, hogy a Volterra-úpnsxx integrálegyenlet a Fredholmtipusú integrálegyenletnek speciális esete. Az integrálegyenlet lehet -
homogén, ha / (jí) = 0, például b y ( x ) - X K ( x ,t) y { t) d t = 0;
D
integrálegyenletet, ahol y az ismeretlen függvény a, f és F pedig adott függvények. Az (1) integrálegyenlet lineáris, ha az F függvény ?Lzy változóban line áris, ellenkező esetben pedig nemlineáris. A lineáris integrálegyenlet általános alakja; a {x)y {x )-X \K {x ,t)y {t)d t= f{x ),
(2)
D
ahol az adott K ( x ,t) függvényt az integrálegyenlet magfüggvényének vagy röviden magjának nevezzük, a X tényező az egyenlet paramétere. A magot szimmetrikusnak mondjuk, ha K[ x , t) = K[t,x) minden x , t e \ a , b [ - v t érvényes. A (2) integrálegyenlet -
-
inhomogén, ha / (x) ^ 0, például
b y{x)-X ^ K {x ,t)y {t)d t^ f{x ), f{x )^0 . (8) a A matematikai fizika peremértékfeladatai nagyrészt visszavezethetők li neáris integrálegyenletek megoldására. Általában az integrálegyenletek alkalmazása esetén az elliptikus diffe renciálegyenlet elsőfajú, a hiperbolikus és parabolikus differenciálegyen 1et pedig másodfajú integrálegyenletre vezethető vissza. Például a
ax-
(3)
iy -
Ag = f ( 0
D
másodfajú, ha a{x) = 1, például y{x)-X \K {x ,t)y {t)d t= f{x )-
(4)
D
-
(7)
elsőfajú, ha a{x) = 0, például X \K {x ,t)y {t)d t= f{t)-
-
679
Más szempontból a (2) integrálegyenlet reguláris, ha a Z) integrációs tartomány korlátos és a magfüggvény ezen a tartományon korlátos, minden más esetben pedig szinguláris. A (2) alakú reguláris lineáris integrálegyenlet
IN T E G R A L E G Y E N L E T E K
a { x)y {x) + I F { x ,t\ y { t) ) d t = f { x )
9.9.1. Integrálegyenletek osztályozása, elnevezése
Dirichlet-féle feladat megoldása, ahol a korlátos D tartományt a zárt és szakaszonként sima g görbe (.x = y = y \ i O ’ 0 < í < T ) határolja, előállítható
harmadfajú, ha az a{x) függvénynek zérushelyei is vannak, például
u (x ,y ) = j v ( t ) ^ d t
(x “ - l) j( x ) + X j K ( x , t ) y ( t ) d t = ^ f ( x ) . D
alakban, ahol
680
Numerikus módszerek
A megoldást
R ( t , x , y ) = arctg y i i O - y
y{x) = Pq (x) +
és a v{t) ftjggvény kielégíti a nv(s) +
68
9.9.2. Fokozatos közelítések módszere
P2 W +- •
W +
Pn ix)+...= £ a,V „ ( x) . (11) «=0
X hatványai szerint haladó sor alakjában keressük.
K {s,t)v{t) d t = f (s)
0 integrálegyenletet, amelyben a magfüggvény
A Pi(x) függvényeket a következő módon határozzuk meg: Helyettesítsük a (11) kifejezést a (9) integrálegyenletbe, majd a bal oldal és a jobb oldal azonos kitevőjű X együtthatóit tegyük egyenlővé:
A :(.,,) = | - a r c , g 2 i m z ) l í 4 . A megoldhatósággal kapcsolatban megjegyezzük, hogy azokat a para méterértékeket, amelyek mellett az inhomogén lineáris integrál egyen let egyértelműen megoldható, reguláris értékeknek, azokat pedig amelyek mel lett a homogén lineáris integrálegyenletnek triviálistól különböző megol dása van, sajátértékeknek, a sajátértékekhez tartozó megoldásfüggvényeket pedig sajátfüggvényeknek nevezzük. Az integrálegyenletek elméletéből ismert, hogy a) ha X nem sajátértéke a (7) homogén integrálegyenletnek, akkor a (7)-hez tartozó (8) alakú lineáris inhomogén Fredholm-típusú integrál egyenletnek - feltéve, hogy a K ( x j ) mag reguláris és az / függvény foly tonos - egyértelmű, folytonos y megoldása van (a < x < b ) ; b) ha X sajátértéke a (7) egyenletnek, akkor a (7)-hez tartozó (8) egyen letnek vagy nincs megoldása, vagy végtelen sok megoldása van. Az alkalmazások szempontjából igen fontosak azok a másodfajú Fredholmtípusú integrálegyenletek, amelyeknek a magfliggvénye szimmetrikus. A szimmetrikus magú integrálegyenletekre érvényes tételek: 1. Tétel. Ha a K { x ,t) mag szimmetrikus és K ( x ,t) í 0, akkor a (7) egyen letnek legalább egy sajátértéke van.
P o (x)= fix) b
í
Pl{x) = j K ix ,t ) p o { t) d t
( 12)
így a (12) és (10) alapján: \p „ (x )\< M ^ N (b -a f,
(13)
tehát a (11) sor konvergens, ha 1 N < M {b~ a)'
(14)
A (11) sort n-edik tagjával bezárólag véve, a (9) integrálegyenlet köze lítő megoldását y(x)^yn(x) =
Pk(^)^ k=Q
2. Tétel. A szimmetrikus magú (7) integrálegyenlet összes sajátértéke valós. 3. Tétel. A szimmetrikus magú (7) integrálegyenlet két különböző sajátértéké nek megfelelő két sajátfüggvény ortogonális egymásra az ]a,b[ intervallumon.
h
= j K {x,t)f{t)d t
alakban kapjuk, melynek hibája, (13) és (14) felhasználásával:
k=n+\
(15)
9.9.2. Fokozatos közelítések módszere Tekintsük a (8) Fredholm-Xipusxx integrálegyenletet b
y { x ) = f { x ) + X \K {x,t)y{t)d t
(9)
y i x ) ^ f i x ) + Xj_^X' ^ j K „ { x , t ) f { t ) d t ,
alakra rendezve és tegyük fel, hogy f és K { x ,t) folytonosak, valamint |^ (jc,O l< M é s |/( ;c ) |< iV
(a < x ,t< b ).
A (12) képlet segítségével a (11) sor
(10)
n=l
a
illetve
682
Numerikus módszerek
683
9.9.2, Fokozatos közelítések módszere A közelítő megoldás
y{x) = f { x ) + X R { x ,t,X )f{ t)d t
(16) y{x)= Y ^X ^qk(x),
a
k=o
alakban is felírható, ahol
és hibája a (22) becslés felhasználásával =
(17) «=1
k=n+l
melyet a (9) integrálegyenlet rezolvensének nevezünk. Az irodalomban iterált magoknak nevezik azokat a Kf^{xJ) együttható kat, amelyek a
=N
(23)
^M W (6-a) ^ ( |X |A / ( 6 - a ) ) ^ -Ik\ k=Q
alakban adható meg.
K]^{x,t) = K ( x ,t) (18)
(n = 2,3,...) képletekkel számíthatók. A (9) Fredholm-típusü integrálegyenlet megoldá sa a (16) alakban megadható, ha a konvergencia feltétele teljesül és
Példa A fokozatos közelítések módszerével állítsuk elő az y{x) - X $m{x + t)y{t)dt = 2 - 0,2(sin x + cosx) 0 integrálegyenlet közelítő megoldását. Megoldás. A (12) képletek szerint
(k = 1,2,...), ahol Xi^ a sajátértékeket jelöli. Az integrálás rendszerint zárt alakban nem végezhető el, ilyenkor a numerikus integrálás ismert képletei közül használjuk valamelyiket. Az
y { x ) = f { x ) + X jK {x ,t)y (t)d t,
(a< x< b )
(19)
Volterra-típusú integrálegyenletre is az előző módon állítható elő a közelítő megoldás és a hiba becslése. (20 )
Legyen
Pq{x)=
/(j:)=2-0,2(sin
a:+ co sx ) ,
P \{x)~
jsin(x+í)(2-0,2(sin / + c o s / ) ) í / í =
sin"/ ,t sin2í, . ,t sin2/, sin'/ -2cos(x+/)-0,2 smx------ +cosx(----------- )+sinx(—i------- )+cosx-----2 h A ’ ^2 4 ' 2 3 8 - tc . . , = --------(sin x + cos x), 20
^
^
és így a (11) szerint
rt=0
yj(x) = 2 - 0,2(sin x + cosx) + X ^ — ^ (sin x + cos x).
Ekkor a (12) egyenleteknek megfelelően írható;
Mivel |sin(x + 0 |^ ^ = 1 és |/(x )| = |2-0,2(sinx +cosx)| < T'/= 1,8, így a sor
go(x) = f ( x )
(« = 1 ,2 ,...),
(21)
konvergens, ha |X| < —
= - ^ ~ 0,64.
q„(x) = jK(x,í)q„_-^it)dt
Ha A. = 0,1 értékre vizsgáljuk a hibát, akkor az és a (10) feltételek teljesülése esetén
l,8 -(l-y O ,l)0,053
\y{x)-y^{x) (n = l,2 ,...) .
(22)
2
értéket kapjuk.
684
Numerikus módszerek
A pontos megoldás A, = 0,1 esetén y(x) = 2, a következő megoldás pedig pl. X = 0 helyen: (0) = 2 - 0,2 + 0,1 •
= 1,9743
9.9.3. Véges összegek módszere
685
Az (1) integrálegyenletre alkalmazva a (2) képletet, az y{xi) = yt,
K ( x i , x j ) = Ky,
f { x i ) = fi
jelöléseket bevezetve,
és az x = — helyen: 4
i= i
y i ( j ) = 2 + ( - 0,2 + 0,1 ■- ^ ) V 2 = 1,9636.
ahol
jelöli a megfelelő hibát. Az i?, elhanyagolásával és az
megoldás
közelítő értékeit az x, pontokban Yj -vei jelölve, az 9.9.3. Véges összegek m ódszere
Y ^~ x f^A jK y Y j= f^
( i = \,2 ,. .. ,n )
(4)
Tekintsük az algebrai egyenletrendszert kapjuk. y ( x ) - XJ K ( x ,t ) y { t ) d t = f { x )
(a < x< b )
(1)
a másodfajú Fredholm-típusú integrálegyenletet. Az (1) egyenletben szerep lő integrált helyettesíthetjük közelítőleg a numerikus integrálás tetszőleges formulájával, amelyeket általánosan b n . s ( x ) d x = Y , Aig{Xi) + R{g) (2)
n
Ha bevezetjük az Y, -
jelölést, ahol y=i „
ÍO, |l ,
ha i ^ j ha i = j ,
az ún. Kronecker-íé\Q szimbólum, akkor a (4) egyenletrendszert
'= 1
a
alakban írhatunk, ahol x, (i =
pontjai, Aj>Q, ( / = a g függvénytől független numerikus n együtthatók A, = b - a ) , R (g ) pedig a (2) képlet maradéktagja. /=! Az [a,ö] intervallum h =
lépéstávolságú ekvidisztans felosztása
(5)
7=1
alakban írhatjuk fel, amely egyértelműen megoldható Yj -re, ha a D (k ) = det(5y - 'kAjKij) feltétel
teljesül.
Ha
az
egyenletrendszerből
0
(6)
meghatározzuk
az
Y,
(i = l,2,...,n) értékeket, akkor az (1) integrálegyenlet y megoldását köze
mellett Xj = a + (i - V)h (i = 1,2, Leggyakrabban a trapéz- és a 5rá/?j'o/2-képletet használjuk az integrál közelítő kiszámításához. 1. A trapéz képlet esetén: A i= A „ = ~ ,
(í=l,2„.„«)
az \a,b\ intervallum abszcissza
A 2 = Aj =...= A„_i = h .
2. A Simpson-képlet esetén ( n = 2m + \ , tehát n - \ = 2m + l - l = 2 m )
lítőleg az Y ix ) = f ( x ) + x f ^ A j K { x , X j ) Y j y=i
(7)
analitikus kifejezés adja. Az integrálegyenlet sajátértékeit közelítőleg a (6) algebrai egyenlet Aj, A 2, ..., A„, (m < n) egymástól különböző gyökei adják. H a a
A
4
^
A
A
^2 - ^4 -• •
A j - A5 - . . . - A i m - l -
2h
^
^2m f ^ ( 8 j j - A k A j K j j ) Y ‘k = 0 , y=i
( i = \, 2 , .. ., n )
(8)
Numerikus módszerek
686
homogén egyenletrendszer sajátértékeinek megfelelő zérustól különböző megoldásait ( / = l,2 ,...,n ;
l=
=
Pk)
9.9.3. Véges összegek módszere
687
Megoldás. Válasszuk osztópontoknak az xj = 0,
abszcisszaér
tékeket, tehát h = ^ . K K(x,t) = sin(x + 1) magfüggvény értéktáblázata:
jelöli, akkor az integrálegyenlet sajátfüggvényeit közelítőleg a <^kli^) = K k ' ^ A j K { x , x y j k M ( k = 1 ,2,...,m; / = 1,2,. .. ,P k ) képlettel határozhatjuk meg.
(9)
71
Jt:
4
2
0
V2 2
1
V2 2
11
V2 2
1
V2 2
0
X
0
0
A véges összegek módszere jó l alkalmazható, ha a K (x ,t) magfüggvény és az/fü g g v én y elegendően sima. Az
71
4 7t
2 K ( x ,t) y ( t) d t - f ( x ) (a i, akkor Ky = 0 és így a
Az / ( x ) = 2 -0,2(sinx +cosx) függvény fi értéktáblázata: Xj
0
K 4
K 2
f
1,8
1,7172
1,8
(4) egyenletrendszernek megfelelő
Yi - X Y A j KijYj ^ / i
(.■=1,2,..„«)
( 11)
i =l egyenletrendszer mátrixa háromszögmátrix. Amennyiben az =
( 12)
feltétel teljesül, akkor a (11) egyenletrendszerből az Y ,= M l-X A ,K u )
A 5'/mpío«-kép letet g{x)dx = g(0) + 4 g (-|) + g (|-) 0 alakban használva, az egyenletrendszert a (4) képletnek megfelelően állítjuk elő:
-1
TC
120
’
Y, = (/2 + M ^21> Í)(1 - H ^ 2 2 ) “ (13) n-1 Y n = ifn + ^J ,A jK ^ jY j)(l~ ^ n K „ „ y 7=1 képletekkel egymás után megkapjuk a megoldást. A (12) feltétel teljesülése adott X esetén az A j együtthatók megfelelő választásával érhető el. Példa A véges összegek módszerével állítsuk elő az
n 120
integrálegyenlet közelítő megoldását.
1 -Í]+ ^ ^ ^ Í'2 + 0 -^ 3
= 1,7172 = 1,8
A számítások elvégzése után: 7,-0,074072 -0,026273 =1,8
'
0,98157, -0 ,1 0 4 7 7 , -0,0185 7 3 = 1 7 172 0 ,9 7 3 8 7 ,-0 ,0 7 4 0 7 , = 1,8
Az egyenletrendszer megoldása:
íl
^/(x) -0,1 Jsin(x + Oj^(0<^^ = 2 -0 ,2 (sin x + cosA:)
( 4 2 Ti + 4 - 7 2 + ^ T 3
120
7, = 1,9999;
Tekintettel arra, hogy ja a (7) képlet szerint:
= A-^ =
7, = 1,9930;
~
12
73
= 1,9999
a közelítő megöldásfuggvény alak-
688
Numerikus módszerek
689
9.9.4. A kollokációs módszer alkalmazása
F(jc) = 2-0,2(sitiA: + cosA;) + + O J . Í l,9999sinx + 4 •1,9930síii(a: + -J) + 1,9999sin(x + -^)], 0 < x < ^
2 y
{ j = 1 , 2 , jelölés bevezetésével az 2
(5)
+ Y^C j Fj ( x ,X) y=i
4 ^ n (^ )] =
A pontos megoldás y(x) = 2.
alakot kapjuk. A cj határozatlan együtthatókat az 9.9.4. A kollokációs módszer alkalmazása 4 7 „ ( x, ) ] = 0 Tekintsük a másodfajú Fredholm-ű^nsn integrálegyenlet zérusra redukált alakját: b ^ [ y ] = y ( x ) - l j K ( x , t ) y ( t ) d t - f i x ) = 0 ( a < x < b ) . (1) a Az (1) egyenlet közelítő megoldását Y n = ^{x,c-^,c2 ,...,c„ ) alakban keressük, ahol a c,
(6)
egyenletből számítjuk ki, ahol az x, kollokációs pontokra fennáll az a < x i
< x„
egyenlőtlenség. A Cj határozatlan együtthatókra vonatkozó lineáris egyen letrendszer az (5) alapján
(2)
2 CjFj (x; , l ) = ~Foix,,X )
(/ = 1,2,..., n)
(7)
i=l
( / = 1,2,...,«) paramétereket úgy kívánjuk
meghatározni, hogy az (1) egyenletbe helyettesítve a (2) függvényt, azt az [a ,6] intervallum ún. kollokációs pontjaiban kielégítse, gya/ legyen:
(z = l,2 ,...,n )
alakban is írható. H a a (7) egyenletrendszer determinánsa zérustól különböző, azaz £>(X) = det(Fy(;c„?i))?í:0,
4 r „ ( ^ , ) ] = o,
akkor a Cj ( j = 1,2,...,n ) együtthatók egyértelműen meghatározhatók és
ahol a < x x < Xj <...
így a (3) alakú közelítő megoldás előállítható.
Az Y„ (x) függvényt rendszerint n Y „ M = (Po(^) + ' £ c j ( p j ( x ) M alakban vesszük fel, ahol (Po(-^),
Példa (3)
tPw(^) ismert, lineárisan füg
getlen függvények, q , C2 , c„ határozatlan együtthatók; (po(x)-et zérus nak is választhatjuk. Behelyettesítve a (3)-at az (l)-be: b 4 y « (x )]= { p o W + X c^ .(p ^ .(x )+ /(;c )-X |K{x,t) (P o (0 + X c ^ (p /0 d t . «
V
y=i
re
T Határozzuk meg az X ^ )-0 ,ljsin (x + t)y{t)dt =2-0,2(sinx + cosx) másodfajú 0 Fredholm-típusü integrálegyenlet közelítő megoldását a kollokációs módszerrel. Megoldás. A közelítő megoldás (3) függvénye legyen Í2W - C 1+C2X. Behelyettesítve az integrálegyenletbe: 2L V
c, + CjX-0 ,1 J sin(x + /)(ci + C2Í)dt = 2 - 0,2(sinx + cosx).
Az
0
Fq{x ,X) = (poW - f i x ) - X j K{xJ)a?Q{t)dt a b F j{x,X ) = ^ j ( x ) - A.JK (x,t)(p j(t)d t;
Kollokációs helyek legyenek x, =0, X2 = j . Ekkor a (7) alaknak megfelelő két (4)
egyenletből álló egyenletrendszer; 0 , 9 q - 0 , l c 2 = l,8
0 ,9 c,+ (0 ,9 -|-0 ,lJc, =1,8
690
Numerikus módszerek
melynek megoldása:
q = 2, C2 = 0,
vagyis a közelítő megoldás: Y2 (x) = 2 + 0-x = 2, ami jelen esetben a pontos megoldás is. Feladatok Határozzuk meg az alábbi integrálegyenletek közelítő megoldását:
IR O D A L O M JE G Y Z E K [1] Bahvalov, N . Sz.: A gépi matematika numerikus módszerei. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977. [2] Beckenbach, E. F.: Modern matematika mérnököknek. I-ll, kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1960, 1965. [3] Collatz, L.\ Numerische Behandlung von Difíérentialgleichungen. II. kiadás. Springer Verlag, Berlin, 1955,
1
1. y(x) + j x ( e ^ ^ - l ) y ( t ) d t ^ e ^ - x .
0 0 3. y ( x ) - X \ - - / ^ - - d t = x, ^
J 10+x + í
1
[4] Császár Ákos: Valós analízis 1., II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.
0
[5] Csernyák László: Analízis. Tankönyvkiadó, Budapest, 1990. [6] Denkinger Géza: Analízis. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.
0
4. y{x) + J xe^‘y{t)dt -
.
0 Megoldások 1. A véges összegek módszerét Simpson-képhttd alkalmazva, Xj =0, Xo= 0,5, X3 - 1 pontokban az egyenletrendszer: F, = l 1,094772+0,054173 = 1,1487 0,432572 + 1,286473 = 1,7183 melynek megoldása: 7) = 1, 72 = 0,9999, Yj = 0,9996. Az integrálegyenlet pontos megoldása: y{x) = 1. 2. Közelítő megoldás: -7x ^4(X) = 1 3840
Hibakorlát: |>^(x) 4. Az
(x)| <
[8] Fried Ervin: Klasszikus és lineáris algebra. 2. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1979. [9] ObádovicsJ Gyula: Matematika. 15. kiadás. SCOLAR Kiadó, Budapest, 1998. [10] Fuksz, B. A. - Sabat, B. V.: Komplex változós függvények és néhány alkalma zásuk. Tankönyvkiadó, Budapest, 1953. [11] Gáspár Gyula - Szarka Zoltán: Műszaki Matematika VI. kötet. Komplex függ vénytan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1968. [12] Gelfand, I. M.: Előadások a lineáris algebrából. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955. [13] Griffiths, H. B. - Hilton, P. J.: A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics. Springer Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1970. [14] Hajnal András-Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvkiadó, Budapest, 1983.
Pontos megoldás: y{x) = e ^ . 3. Fokozatos közelítések módszerét alkalmazva: = :«£:+ ( 1 0 + x) lnj^l +
[7] Fox, L.: Numerical Solution of Ordinary and Partial Differential Equations. Addison-Wesley Publishing C. Inc. Massachusetts, 1962.
1 10 + x
0<;c< 1
= 0,01.
[16] Kantorovics, L. V. - Krilov, V. I.: A felsőbb analízis közelítő módszerei. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1953. [17] Krekó Béla: Lineáris algebra. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1976. [18] Lanczos, C.: Applied Analysis. Prentice Hall, London, 1956.
= 0, X9 = y , X3 = 1 pontokhoz tartozó egyenletrendszer:
}^ = 1 1,428072 +0,226573 = 1,5654 1,099172 + 1,453173 =2,5516 melynek megoldása: 7] =1, 72 = 0,930, 73 = 1,053. A közelítő megoldás függvénye: 7(x) = e " - 4 1+ 3,720^2 +l,053e"
[15] Hajós György: Bevezetés a geometriába. V. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1972.
0 < x <
1
[19] Marcsuk G. I.: A gépi matematika numerikus módszerei - parciális differen ciálegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976. [20] Mathematics at a Glancé. VEB Bibliographisches Institut, Leipzig, 1975. [21] Mikiin, Sz. G.: Integrálegyenletek és alkalmazásuk a mechanika, a matematikai fizika és a technika egyes problémáira. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1953. [22] Milne, W. E.: Numerical Solution of Differential Equations. Wiley-Chapman and Hall, New York-London, 1957.
692
Irodalomjegyzék
[23] ObádovicsJ. Gyula: Lineáris algebra példákkal. SCOLAR Kiadó, Budapest, 2001. [24] Obádovics J. Gyula: Gyakorlati számítási eljárások. Gondolat Kiadó, Budapest, 1972. [25] Obádovics J. Gyula: Numerikus módszerek és programozásuk. 2. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1977. [26] Obádovics J. Gyula: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. 3. kiadás. SCOLAR Kiadó , Budapest, 1998. [27] Obádovics J. Gyula-Szarka Zoltán: Felsőbb matematikai összefoglaló műszaki aknak, Műszaki Könj^kiadó, Budapest, 1973. [28] Ostrowski, A. M.: Solution of Equations and Systems of Equations. Academic Press, New York and London, 1960. [29] Rudin, W.: A matematikai analízis alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978. [30] Petrovszkij, 1. G.: Előadások a közönséges differenciálegyenletek elméletéről. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1951. [31] Petrovszkij, I. G.: Előadások a parciális differenciálegyenletekről. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956. [32] Ponomarjov, K. K.: Műszaki feladatok diff egyenleteinek felállítása és megol dása. Tankönyvkiadó, Budapest, 1969. [33] Ralston, A.: Bevezetés a numerikus analízisbe. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1969. [34] Ralston, A. - Wilf, H. S.: Mathematical Methods fór Digital Computers, l-II. kötet. John Wiley & Sons, Inc,, New York, London, Sydney, 1967. 1968. [35] Reinhardt, F. - Soeder, H.: Matematika, SH atlasz. Springer Verlag, Budapest-Berlin stb,, 1993, [36] Rothe, R.: Matematika gépészmérnökök számára. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1960. [37] Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. II. kiadás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976, [38] Szász Gábor: Matematika I-II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988-89. [39] Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei. I-II. Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, 1951. [40] Szele Tibor: Bevezetés az algebrába. VII. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. [41] Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. V. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. [42] Sztyepanov, V. V.: A differenciálegyenletek tankönyve. Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. [43] Bronstein - Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. 4. kiadás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980.
NÉV- ÉS TÁRGYM UTATÓ belső altér - pont, 39, 101 lineáris, 356 - megtérülési ráta, 335 -, nemvalódi, 356 a torlódási pontja, 39 - rácspontok, 664 alternáló sor, 288 Abel-csoport, 32 Bernouili-féle. differenciál áltört-függvény, 76 Abel-féle folytonossági tétel, egyenlet, 456 301 analitikus függvény, 74; 552 beruházás, 334 analitikus módszer, 600 abszcissza, 53 - megtérülési ideje. 335 annuitás, 331 abszolút - nettó jelenértéke, 335 antiszimmetrikus mátrix, 365 - érték, 36, 41 Bessel függvény, 501; 502; 532 áramcső, 416 - maximum, 64 Bessel-íé\e diíTerenciálegyenlet, áramlási felesleg, 424 - minimum, 64 499; 501 áramvonalak, 415 - szélsöérték, 64 biliarmonikus egyenlet, 541; 542 - differenciálegyenlet -függvény, 71 biharmonikus függvény, 541; rendszere, 416 - hiba, 594 542 Archimedesi spirális, 97 - hibakorlát, 140 arcus- és area-függvények, 556 bijektív, 31 - integrálható, 226 bináris (kétváltozós) reláció, 27 áreafüggvények, 88 - konvergens, 226 bínom integrálok, 193 area-koszinuszhiperbolikusz - konvergens sor, 288 binomiális függvény, 88 adatok hibái, 593 - együtthatók, 23 Airy-íé\e feszültségftggvények, area-kotangenshiperbohkusz - tétel, 23 függvény, 89 541 - sor, 302 area-szinuszhiperbolikusz alapintegrálok, 185; 186 - egységvektor, 398 függvény, 88 alapperiódus, 66 Boizano-tétd, 70 area-tangenshiperbolikusz alappontok, 663 Bolzano-Weiursírass-itíá, 40; függvény, 88 alaprendszer, 480 271 argumentum hibakorlátja, 140 alaptartomány, 233 arkusz koszinusz függvény, 85 bővített mátrix, 380; 618 aldetermináns, 375 arkusz kotangens függvény, 85 bruttó árfolyam, 330 algebra, 32 Bunyakovs:kij-Schwarz-íé\e arkusz szinusz függvény, 84 - alaptétele, 49,614 egyenlőtlenség, 228 arkusz tangens függvény, 85 absztrakt, 32 árkuszfíiggvények, 84 klasszikus, 32 aszimptota, 95 algebrai Cassini-gövhe, 98 - egyenletek megoldása, 613 aszíinptotíkus pont, 97 Cauchy, 68 asztroida (csillaggörbe), 94 - függvény, 74, 80 Cauchy-íé\e - függvények integrálása, 192 átáramlási felesleg, 426 - első határértéktétel, 274 átlaggörbület, 155 - reláció, 74 - második határértéktétel, 274 átlós (diagonális) mátrix, 365 - struktúrák, 32 - alaptétel, 559 algoritmus, 593 B - általános konvergencia alkotó, 106 kritérium, 321 Bairslow-möászQr, 616 államkötvények, 329 - főérték, 224; 226 állandó variálásának módszere, bázis - integrálformula, 562 - ortogonális, 362 454 - integráltétel, 560 - ortonormált, 362 állítás, 24 - konvergencíakritérium, báziscsere, 386 alsó közelítő érték, 594 272;283 bázisrendszer, 357 alsó összeg, 196; 233; 248 ' középértéktétel, 137 bázistranszformáció, 359; 385 alsóháromszög-mátrix, 628 - kritérium, 286 bázisvektorok, 343; 344; 357 általános integrál, 443; 527 - nörmálalak, 503 befektetett összeg, 334 általános megoldás, 443; 518
694 Cauchy-féls - probléma, 638
- szorzat, 292
-, szorzat, 126 deriválttenzor, 417 Descaries-féXt j elszabály, 614
Cauchy-íéh vagy kezdetiérték- Descartes-\zvé\, 95
feladat, 526
Dei'carteí-szorzat, 18; 27
Cauchy-Riemann-egyeiűet, 552 detennináns, 375 - értéke, 375 C-auchy-téte], 442 CMuchy-üpusü integrál, 563 - föátlója, 375 - kifejtése, 375; 376 Cayley-Hamilton tétel, 633 Cholesky-Banachiewicz- szorzása számmal, 378
niódszer, 627 ciklois, 93 csúcsos, 93 -, hurkolt, 93 ciklometrikus függvények, 84 cirkuláció, 421; 427 cisszoid, 95 Clairaul.-fé\e differenciálegyen let, 468 Collalz-íéh egyenletek, 668 Collat: módszere, 667 Crawer-szabály, 381 csavarfelület, 107 -vektoregyenlete, 107 csavarvonal - vektoregyenlete, 403 csillapítási tétel, 582 csillapitatlan rezgés, 495 csillapított rezgés, 495 csomópontok, 663 csonkítási hiba, 599 csoport, 32 D D'Alembert-féle kritérium, 285 D'Alembert-{é\e megoldás, 533 Darboux-yektor, 402; 404 De M organ-ít\^ azonosság, 20
derékszögű koordináták, 53 deriválási szabályok, 551 derivált, 123 bal oldali, 133 jobb oldali, 133 ', második, 134 -, n-edik, 134 «-edrendű, 135 nulladik, 135 deriváltakhelyettesítési értéke, 162 deriváltftiggvényjelölései, 124 deriváltja -, összetett függvény, 127 -, hányados, 126 -, összeg, 126
- tulajdonságai, 377 harmadrendű, 375 -, íi-edrendű, 376 diád, 370; 390 diadikus szorzat, 370 diagonális mátrix, 365 differenciaegyenlet, 664 differenciaegyenlet-rendszer, 657 differenciahányados, 123 differenciák - módszere, 675 - számítása, 91 -, szimmetrikus, 647 differenciál - fogalma, 138 - geometriai jelentése, 138 -, teljes, 165 differenciálás és integrálás sorrendje - felcserélhető, 203 diíTerenciálási szabályok, 418 differenciálegyenlet, 439 - alaprendszere, 475; 645 - általános megoldása, 440; 472;475 - geometriai szemléltetése, 444 - integrálgörbéje, 440; 443 - műszaki alkalmazása, 529 - nonnálalakja, 473; 479 - rendje, 439 - szinguláris megoldása, 440 - változóiban homogén, 449 -, állandó együtthatójú, 478 állandó együtthatójú inho mogén, 482 Bernoulli-félt, 456 -, Clairaut-fé\e, 468 -, egzakt, 459 -, egzaktra visszavezethető, 461 -, elsőrendű, 442 elsőrendű lineáris, 453 -, íM e r-íé k , 488
Felsőbb matematika
Név- és tárgymutató
-, explicit, 440 -, hiányos másodrendű, 491 homogén, 449; 453 implicit, 440 -, inhomogén, 454 -, közönséges, 439 -, Lagrange-fék, 467 lineáris, 440 -, «-edrendű, 472 -, nemlineáris, 440 parciális, 439; 517 Riccaíi-fé\e, 458 -, szeparábilis, 446 -, szétválasztható változójú, 446, 448 - /.a/j/ace-transzfonnáltja, 584 - nonnálalakja, 473 - partikuláris megoldásai, 479 differenciálegyenlet megoldása, 440 - Taylor-sona\, 497 - sorokkal, 497 - numerikusán, 637 differenciálegyenlet -, explicit, 491 -, hiányos, 491 -, implicit, 491 differenciálegyenlet-rendszer, 503 - általános megoldása, 508 - Löjö/ace-transzfonnáltja, 586 -, változó együtthatójú, 506 differenciálhányados - geometriai jelentése, 125 differenciáloperátor, 419 differenciálszámítás, 123 differenciamódszer, 646; 657; 658 dimenzió, 357 Dirichlei-Madal, 543; 662 Dirichle(-fé\e feladat, 537; 679 diszjunkt halmazok, 19 diszkont kincstárjegyek, 329 diszkontálás, 328 diszkontált érték, 328 diszkontkamatláb, 328 diszkontláb, 328 diszkonttényező, 328 diszkrét módszer, 638 diszkrimináns, 673 diszkrimináns görbe, 465 divergál, 68
divergencia, 431 divergens, 272 Dupin-féle indikátrix, 407 E e szám, 276
695 egységugrás függvény, 578 egységvektor, 340; 353; 393 -, binormális, 398 -, érintő, 398 -, főnormális, 398 egységgyökök, 46 egyszerű kamatozás, 325 egyváltozós valós függvény, 57 - vizsgálata, 144 ekvidisztans (egyenközü) felosztás, 91 ekvidisztans osztópontok, 646 ekvivalenciareláció, 28 ekvivalens halmaz, 18; 25 elemi - palástfelszín, 214 - térfogat, 211 - bázistranszfonnáció (pivotálás), 360 - terillet, 206 elemi függvények, 89 - deriváltja, 130 - Maclaurin-soxa, 161 életjáradék, 333 elfajuló másodrendű felületek,
effektív évi kamatláb, 326 egész számok, 34 egészrész vagy entier függvény, 72 egzakt differenciálegyenlet, 459 egzisztencia- és unicitástétel, 442; 472; 503 egzisztenciális kvantor, 26 egydimenziós hullámegyenlet megoldása, 675 egy-egyértelmű, 31 egyenes - egyenlete, 96; 150; 346 - paraméteres egyenletrend szere, 346 - vektoregyenlete, 346; 347 egyenes és sík szöge, 350 egyenlet - gyöktényezős alakja, 51 112 - komplex gyökei, 611 ellipszis egyénlete, 92 -, karakterisztikus, 99; 114 ellipszoid, 110 -, «-edfokú, 50 egyenletes konvergencia, 280; elliptikus henger, 112 - paraboloid, 111 324 - parciális differenciálegyen egyenletesenfolytonos, 104 let, 662 egyenletesen konvergens, 565 elnyelési tulajdonság, 19 egyenletrendszer, 383 előjel vagy szignum függvény, - állandói, 379 72 - bővített máöixa, 380 előjeles terület, 199 - detemiinánsa, 381 - aldetermináns, 371; 376 - egyértelmű megoldása, 381 - térfogatösszeg, 234 - együtthatói, 379 első peremérték-feladat, 537 - homogén, 379 elsőbbségi sorrend, 25 - inhomogén, 379 elsőfokú függvény, 553 - ismeretlenek, 379 elsőrendű (statikai) nyomaték, - mátrix alakja, 380 215 - mátrixa, 380 eltolási tétel, 581 - megoldása, 379; 617 entier vagy egészrész függvény, - megoldása 72 bázistranszformációval, 385 epiciklois, 93; 94 - megoldhatósága, 380 érintési paraméterek, 150 -, homogén, 383 érintő egyenlő függvények, 58 -, inflexiós, 146 egyköpenyű hiperboloid, 110 egyparaméteres görbesereg, 464 - egyenes, 150 - egységvektor, 398 egységelem, 32 - iránytangense, 125; 130 egységmátrix, 365; 369; 372 érintő-módszer, 608 egységtenzor, 390
érintősík egyenlete, 167 erős csillapítás, 494 erőtér, 415 erővonalak, 415 értékes jegy, 596 euklideszi tér, 354; 362 Euler, 276 Euler tétele, 405; 406 Euler-állandó, 502 Euler-t\]árás, 479 Euler-ítlt
- differenciálegyenlet, 488 - megoldás, 536 - módszer, 640 - multiplikátor, 462 - reláció, 480 - sortranszfomiáció, 312 Eiiler-fonniűíí, 42 iíu/er-módszer -, módosított, 641 evoluta egyenletrendszere, 156 evolvens, 156 evolvens-csavarfelület, 108 explicit módszer, 669 exponenciális függvény, 83; 554 exponenciális hatványfüggvény, 169 faktoriális, 21 félcsoport, 32 -, kommutatív, 32 felhalmozott kamat, 330 felső közelítő érték, 594 felső összeg, 196; 233; 248 felsőháromszög-mátrix, 628 felszín, 244; 245 felszín kiszámítása, 244 felszín-integrál, 259; 260; 413 felszínszámítás, 214; 244 feltételes szélsőérték, 177 feltételesen konvergens sor, 288 feltétlenül konvergens sor, 289 felület - első alapformája, 404 - második alapfomiája, 405 - pontjainak osztályozása, 406 - skaláris paraméteres egyen letrendszere, 105 - vektoregyenlete, 105 -, középpontos, 109 -, nemközéppontos, 109 felület alatti térrész, 233
696 felület egyenlete, 104 felület normálvektora, 411 felületdarab - tehetetlenségi nyomatéka, 260 felületdarab súlypontjának koordinátái, 260 felületdifferenciál, 244 felületek metszése, 118 felületelemvektor, 244; 262; 424 felületi görbe, 116; 404 - paraméteres egyenletrend szere, 117 - görbülete, 404 -vektoregyenlete, 117 felületi integrál, 261; 413; 423 -jelölése, 424 - kiszámítása, 427 -, általános, 262 -, vektorértékű, 414 ferdén szimmetrikus mátrix, 365 fixpont-iteráció, 604 fokozatos közelítés módszere, 604; 680 folytonos, 104 folytonos függvény, 69 folytonos kamatozás, 327 folytonosan differenciálható függvény, 124 folytonosság, 70 forgásellipszoid, 110 forgásfelület, 108 - egyenlete, 108 - statikai nyomatéka, 219 forgástest - palástjának felszíne, 214 - statikai nyomatéka, 219 - térfogata, 211 forgástest és forgásfelület - másodrendű nyomatéka, 222 forgatás, 57 foiTás, 424 forrásmentes vektortér, 426 y*'oM/-/er-együttliatók, 316 Fourier-móászQX, 529; 535 Foí/ner-polinom, 317 Fourier-sox, 310; 316; 317; 538 - /;-periodusú függvényé, 316 föegyütthatók (főelem) kivá lasztása, 620 főgörbület, 406; 407 főirányok, 406 főmetszetek, 102; 406
Felsőbb matematika -, bijektív, 31 főnormális egységvektor, 398 főtengelytétel, 392 -, deriválható, 123 Fredholm-XipüSü integrálegyen -, deriváltja, 124 let, 679; 680; 682; 684; 688 -, differenciálható, 123 -, egészrész (entier), 72 - közelítő megoldása, 689 F/-e«eí-képletek, 402 -, egyenletesen folytonos, 70; 104 független változó, 30 -, egyváltozós, 57 függő változó, 30 függvény, 28, 29 -, egyváltozós valós, 29 -, exponenciális, 83 - felülről (ill. alulról) korlá tos, 64 -, folytonos, 69; 104 -, folytonosan differenciálható, - szigorú abszolút maximu 124 ma, ill. minimuma, 148 - szigorúan növekedő, 65 -, hiperbolikus, 83 -, injektív, 31 - ábrázolása, 30; 59 - abszolút hibájának becslése, -, integrálható, 196 166 intervallumon folytonos, 70 - abszolút hibakorlátja, 140 -, inverz, 66 - differenciáljának geometriai -, kétváltozós, 102 jelentése, 138 -, kétváltozós valós, 29 - értékkészlete, 29; 57 -, korlátos, 64 - értelmezési tartománya, 29; -, külső, 31; 58 58 -, monoton, 65 - görbéje, 30; 59 -, monoton csökkenő, 137 -, monoton növekvő, 137 - grafikonja, 30; 102 -, összetett, 30; 58 - grálja, 30; 59 -, páros, páratlan, 66 - határértéke, 67 -, periodikus, 66 - hatványsorba fejtése, 307 -, primitív, 185 - helyettesítési értéke, 29; 58 -, /í/emoH«-szerint integrál - hézagpontja, 70 ható, 195 - implicit alakban, 59 skalár-vektor, 409 - inverze, 31 -, szignum, előjel, 72 - izolált pontja, 81 -, szigorúan monoton csökke -jelleggörbéje, 59 nő, 137 -jelölése, 58 -, szigorúan monoton növekvő, - k-aá\k deriváltja, 135 137 - képhalmaza, 29 - közelítő értéke, 139 -, szürjektív, 31 - maximuma, 147; 174 -, törtrész, 73 - megadása, 29 ~, transzcendens, 81 - minimuma, 148; 174 -, trigonometrikus, 81 vektor-skalár, 395 - növekménye, 139 - M-szeres zérushelye, 566 -, zárt intervallumon folyto nos, 70 - periódusa, 66 függvények - sorbafejtése, 305 - szakadási helye, 70 - összege, 58 - összehasonlítása, 145 - teljes megváltozása, 164 - zérushelye, 58; 566 - vizsgálata, 144 függvénysor, 293 -, abszolút érték, 71 -, algebrai, 80 - alkalmazása, 310 - összegfüggvénye, 294 -, alulról konkáv, 146 -, alulról konvex, 145; 146 - tagjai, 293 -, analitikus, 74 -, egyenletesen konvergens, 294 -, belső, 31; 58
Név- és tárgymutató - ívhossza, 209; 210; 256 - parabola, 99 - töréspontja, 133 -, rektifikálható, 209; 399 görbe alatti síkrész területe, 206 görbeiv - elsőrendű (statikai) nyoma téka, 218 - másodrendűnyomatéka, 221 - súlypontja, 256 - súlypont koordinátái, 218 görbék - érintkezése, 151 görbesereg - burkológörbéje, 464 - burkolójának egyenlete, 464 - differenciálegyenlete, 445; 446 Galjorkin-íék egyenletek, 659 - egyenlete, 54; 445 Galjorkin-íé\e eljárás, 648 görbevonalú koordináták, 54; 55; Galois, 51 239; 250 gammafüggvény, 501 -, síkbeli, 54 Gauss, 49; 178 görbevonalú trapéz, 197 Gaztó.s’-féle - területe, 197 - eliminációs módszer, 618 görbület, 153; 154; 401; 405 - első főmennyiségek, 404 görbületi sugár, 401 - főmennyiségek, 244; 245 gradiens, 430 - görbület, 407 gradiens abszolút értéke, 412 - második főmennyiségek, 404 gradiensvektor, 410 grafikus módszer, 599 - módszer, 383 - módszer algoritmusa, 618; Gree/i-formula, 427 621 Green-tétd első, 430 Gauss-Osztrogradszkij-\.é\.Q\, 426 második, 430 Gauss-Seidel-féle iterációs Gw/í/w-szabályok, 220 eljárás, 623 gyengén meghatározott egyen gazdaságos beruházás, 335 letrendszer, 630 generáló elem, 360 gyengén meghatározottság generáló rendszer, 357 mértéke, 631 geodetikus gyorsulásvektor, 400 - görbület, 408 gyök, 599 - vonalak, 408 gyökkritérium, 286 geometriai sor, 282 gyökök elkülönítése, 599 geometriai vektortér, 339 gyöktényezők, 50 gerjesztő függvény, 495 gyöktényezős alak, 75 Gerschgorin-téte\, 634 gyűjtőjáradék, 331 gömb gyűrű, 33 - egyenlete, 109 -, kommutatív, 33 -, képzetes, 109 gyűrűtartomány, 101 gömbi koordináták, 55; 250 gömbi koordinátarendszer, 55 H görbe halmaz, 17 - elfajuló, 99 - elemei, 17 - ellipszis, 99 -jelölése, 17 - hiperbola, 99
függvénysor -, konvergens, 294 -, nemegyenletesen konver gens, 294 -, tagonként difif.ható, 296 -, tagonként integrálható, 296 -, trigonometrikus, 316 függvénysorozat, 277 - határftlggvénye, 277 -, egyenletesen konvergens, 279 függvényszorzat, 323 - konvergenciatartománya, 324 függvénytranszformációk, 61; 62
697 - komplementere, 20 - számossága, 18 - szemléltetése, 18 -, egyenlő, 17 kontinuum számosságú, 18 -, korlátos, 40 -, megszámlálható, 18 -, nemmegszámlálható, 18; 36 -, nemrendezett, 40 -, nyílt, 40 -, összefüggő, 40 -, üres, 17 -, véges, 18 -, végtelen, 18 -, zárt, 40 halmazok - egyesítése, 19 - különbsége, 19 - metszete, 19 - uniója, 19 hányados - abszolút hibakoriátja, 598 - relatív hibakoriátja, 598 hányados hibakoriátja, 597 hányadoskritérium, 285 hánnas integrál, 247; 248 - kiszámítása, 249 - tulajdonságai, 248 hannonikus függvény, 537; 539; 553 harmonikus sor, 282 harmonikus társak, 553 háromszoros integrál, 249 hasonlósági tétel, 580 hasonlósági transzformáció, 634 határérték, 67; 103 -jelölése, 103 - kiszámítása, 273 - végtelenben, 68 -, bal oldali, 68 -, jobb oldali, 68 -, kettős vagy totális, 103 -, parciális, 103 határértéktétel -, Cauchy-féh első, 274 -, Cauchy-fé\c második, 274 határfeltétel, 644 határozatlan alakok, 142 határozatlan együtthatók módszere, 484; 498 határozatlan integrál, 185; 396 - tulajdonságai, 186 határozott integrál, 195; 196; 197
698 határozott integrál - geometriai és fizikai alkal mazása, 205 - helyettesítési módszere, 198 - közelítő kiszámítása, 229; 231 - tulajdonságai, 198 határpont, 39; 101 hatán'ácspontok, 664 hatványfíiggvény, 74; 553; 557 hatványhalmaz, 20 hatványmódszer, 634 hatványsor, 296; 302; 564 - egyenletesen konvergens, 300 - konvergenciaintervalluma, 297 - konvergenciasugara, 297; 298 - konvergenciatartománya, 297 - összegfilggvénye, 297 - tulajdonságai, 300 -, tagonként differenciálható, 301 -, tagonként integrálható, 301 hatványsorba fejtés, 303 havi kamatláb, 326 Heine, 67 helyettesítési érték, 29; 102; 395; 409; 548 helyi - maximum, 173 -minimum, 174 - szélsőértékek, 147 helyvektor, 41; 340 henger, (hasáb) térfogata, 240 hengerfelület, 105 hengerkoordináfák, 55; 250 hengerpalást felszíne, 256 Hesse-íé\e nomiálegyenlet, 347 H e m -fé k algoritmus, 641 hézagpont, 70; 77 hiba, 594 hibabecslés, 313; 624 hibaforrások, 594 hibakorlát, 594 -, abszolút, 140 -, relatív, 140 -, százalákos, 140 hiperbola - paraméteres egyenlete, 93 hiperbolikus függvények, 83; 556
Felsőbb matematika hiperbolikus függvények inver zei, 88 hiperbolikus henger, 112 hiperbolikus parciális differen ciálegyenlet, 672 hiperbolikus spirális, 97 hiperboloid, 110 -, kétköpenyű, 111 hipociklois, 94 hitelkamatláb, 328 hodográf, 551 homogén - reláció, 27 - differenciálegyenlet, 473;
inliomogén differenciálegyenlet általános megoldása, 455 inhomogén lineáris differenciál egyenlet-rendszer, 507 injektiv, 31 integrációs - tartomány, 233 - állandó, 185 integrál - alsó, felső határa, 196 - becslése, 228 - felső-, alsóhatár függvénye, 202
- kiszámítása sorbafejtéssel, 231 - függvény, 449 - mechanikai alkalmazása, 215 homogén lineáris differenciál -, határozott, 196 egyenlet megoldása, 498 -, paraméteres, 203 homogén lineáris differenciál integrálás egyenlet-rendszer, 507 - helyettesítéssel, 188 homogén lineáris egyenletrend integrálási határok felcserélése, szer, 383 199 hordószabály, 230 integrálások sorrendje, 203 //omer-elrendezés, 306; 615 integrálegyenlet H orner-íüt elrendezés, 76 - általános alakja, 678 hozam, 330 - rezolvense, 682 hozzárendelési szabály, 29 - sajátértékei, 685 -, elsőfajú, 678 hővezetési probléma, 529 -, síkbeh, 531 -, /-rec/Zjo/OT-típusú, 679 húraiódszer, 608 -, hamiadfajú, 678 -, homogén, 679 I -, inhomogén, 679 lineáris, 678 igazságtáblázatok, 25 -, másodfajú, 678 imaginárius rész, 41 -, nemlineáris, 678 implicit, 102 -, reguláris, 679 implicit (alakú) függvény -, szinguláris, 679 deriváltja, 128 implicit függvény deriválása, 169 -, szimmetrikus magii, 680 Fo*erw-típusú, 679 implicit séma, 671 integrálfelület, 518 implikáció, 25 improprius integrál, 223; 225 integrálgörbe, 473 integrálközelítő összeg, 195; - divergens, 223; 227 232; 247; 557 - konvergens, 223; 224; 225 -, abszolút konvergens, 224 integrál-középértéke -, négyzetes, 201 inercianyomaték, 216 integrálkritérium, 287 inerciasugár, 221 integráló tényezők infláció, 330 -, speciális, 462 inflexiós integrálszámítás - pont, 145; 146 - első középértéktétele, 200 - érintő, 146 - niásodik középértéktétele, - hely, 148 202 inflexiós pont, inliomogén differenciálegyenlet, - középértéktétele, 234 477 integrandus, 185 A ll
699
Név- és tárgymutató interpoláció -, parabolikus, 90 interpolációs módszer, 611 interpolációs polinom, 89 -, Lagrange-féle, 90 -, Newton-féle, 90 intervallum, 37 - nyílt, zárt, 37 - belső pontja, 37 - hossza, 37 intervallum felezési eljárás, 601 invertálható függvény, 31 inverz függvény, 31; 66 - deriváltja, 128 inverz mátrix, 371 - elemeinek kiszámítása, 621 inverz reláció, 28 irányított felület, 261 irányított felületdarab, 423 iránykoszinuszok, 344 iránymenti derivált, 172; 411; 412 iránymező, 444; 519 irányvektor, 346 irracionális számok, 35 irreducibilis, 52 ismeretíenek oszlopvektora, 617 ismétléses - kombináció, 22 - pemiutációk, 21 - variáció, 22 ítélet, 24 - diszjimkciója, 25 - ekvivalenciája, 25 - implikációja, 25 - konjunkciója, 24 - tagadása, 24 -, hamis, 24 -, igaz, 24 iterációs algoritmus, 607 iterációs egyenletrendszer, 623 iterációs módszer, 605; 612 iterációs sorozat hibabecslése, 626 iterált magok, 682 iterált vektorok, 635 iterált vektorsorozat, 634 ívdifFerenciál, 140 ívhossz szerinti vonalintegrál, 255 ívhossqjaraméter, 403 izogonális trajektóriák, 470 - differenciálegyenlete, 470 izoklina, 444
izolált pont, 39 izolált szinguláris hely, 569; 570; 571 Jacobi-íéle detennináns, 613 Jacobi-féls függvénydetemii-
náns, 170; 239; 250 járadék, 331 javító algoritmus, 620 jelenérték, 327 jelleggörbe, 59 jobbsodrású koordinátarendszer, 54
K /:-adosztályú variáció, 22 kamat, 325 kamatidő, 325 kamatláb, 325 - effektív évi, 326 - konfomi, 326 - nominális, 326 kamatos kamatozás, 325 kamattényező, 325 kanonikus (középponti, ill. csúcsponti) alak, 109 karakterisztika, 673 karakterisztikák differenciálegyenlet-rendszer, 520 karakterisztikus - görbe, 673 - irány, 673 - egyenlet, 99; 114; 479; 489: 510;633 - görbe egyenletrendszere, 522 - görbék, 525 -irány, 519 - polinom, 479; 633 - sáv, 525 kardioid (szívgörbe), 94; 97 Kepler-íé\e hordószabály, 230 képlet, 29; 58 - hibája, 140; 639 képzetes -egység, 41 - ellipszoid, 110 - rész, 41 - síkpár, 112 -, tengely, 41 kerekítési hiba, 595 kerületértékprobléma, 644 - homogén, 645
- általános alakja, 644 - inhomogén, 644 - lineáris, 644 -, félig homogén, 645; 648 két egyenes szöge, 349 két egyenes távolsága, 351 két pont távolsága, 346 két sík metszésvonala, 351 két sík szöge, 349 kétszeres integrál, 235 kétszeres vektoriális szorzat, 342 kétszeres, iterált határérték, 103 kettős integrál, 232; 233; 234 kétváltozós függvény - deriváltftiggvénye, 162 - 7’ffy/or-fonnulája, 172 kétváltozós összetett függvény - láncszabálya, 167 - teljes differenciálja, 167 kétváltozós valós függvény, 102 kezdeti- és peremfeltételek, 518 kezdeti görbe, 521; 526 kezdetiérték feladat, 441; 521 kezdetiérték-probléma vagy Cauchy-feladat, 5 19 kezdetifeltétel, 530; 537 kibővített komplex számsík, 547 kiegyenlítő egyenes egyenlete, 180 kifejtési tétel, 342 kijelentés, 24 kísérő triéder, 397; 398 ^-lépéses módszer, 638 kollokációs pontok, 650; 661; 688 kollokációs módszer, 649; 661, 688 kombináció, 22 kombinatorika, 21 komparatív függvény, 652 komplanáris, 342 komplex számsík, 41 komplex ftiggvény, 548 - deriváltja, 551 - differenciálhányadosa, 551 - folytonossága, 551 - határértéke, 551 - valós, ill. képzetes része, 548 komplex gyökök, 52 komplex gyökök tartománya, 600
700 komplex sor összege, 564 konvolúció tétele, 582 komplex sorozat határértéke, 547 konzervatív erőtér, 433 komplex szám, 40 koordinátafelületek, 54 - abszolút értéke, 41 koordinátamentes értelmezés - algebrai alakja, 41 - divergencia, 430 - arkusza, 41 - gradiens, 430 - exponenciális alakja, 42; 43 - rotáció, 430 - konjugáltja, 42 koordinátarendszer, 53 - n-edik gyöke, 46 -, gömbi (térbeli polár-), 55 - «-edik hatványa, 45 -, síkbeli derékszögű - trigonometrikus alakja, 42; (Descaríes-féle), 53 43 -, térbeli derékszögű -, egyenlő, 41 (Descartes-féle), 54 komplex számok koordinátasík, 54 - hányadosa, 44 koordiriátatengely, 53 - hatványozása, 45 koordinátatranszformáció, 56 - különbsége, 43 - eltolás (síkban), 56 - osztása, 44 - forgatás (síkban), 56 - összege, 43 - forgatás (térben), 57 - szorzata, 43 - nyújtás, 56 komplex számsorozat, 547 koordinátavonalak, 53 komplex számtest, 40 korlátos függvény, 64 komplex tagú végtelen sor, 564 korlátos ponthalmaz, 100 kompoziciós vagy láncszabály, korrekt kitüzésű feladat, 518 127 koszinusz hiperbolikusz konfonn kamatláb, 326 függvény, 84 konfonnis leképezés, 548 koszinusz-sor, 317 konkáv, 146 kotangens hiperbolikusz - alulról, 145 függvény, 84 konkávitás, 145 kovariáns koordináták, 352 kontinuum számosságú halmaz, kölcsön, 325 36 kölcsönösen egyértelmű, 31 kontravariáns koordináták, 352 kör konvergenciaintervallum, 297 - egyenlete, 92 konvergenciakör, 564; 565 - evolvense, 93 konvergenciaközéppont, 299 - polárkoordinátás egyenlete, konvergenciakritériumok, 272 96 konvergenciasugár, 297; 298; körkúpfelület, 55 304 környezet, 38 konvergenciatartomány, 278; körtartó leképezés, 554 293 kötött vektor, 340 konvergenciatétel, 624 közelítés hibájának becslése, 625 - koriátos sorozatra, 273 közelítő érték, 594 - monoton sorozatra, 272 - hibája, 140 -, Cauchy-fÜQ, 273 közelítő gyök hibakorlátja, 601 Leibniz-fék, 273 középérték konvergens -, integrál, 200 egyenletesen, 278 középértéktétel, 563 konvergens sor összege, 291 - integrálszámítás, 202 konvergens sorok Cat/chy-fék, 137 - összegénekkiszámítása, 308 -, hármas integrál, 248 konvergens sorok összege, 291 Lagrange-féle, 136 konvex, 146 /lo/le-féle, 136 konvexitás, 145 középgörbület, 407
Felsőbb matematika közönséges differenciálegyenlet, 439 közönséges differenciálegyenletrendszer, 440 közönséges integrálközépérték, 234 kritérium -, Cai/c/jy-féle, 286 D'Alemberí-féle, 285 kritikus csillapítás, 494 Knmecker-féle szimbólum, 685 /t-szor differenciálható függvény, 135 k-szoT folytonosan differenciál ható függvény, 135 kúp - csúcsa, 106 - vezérgörbéje, 106 kúpfelület, 106 különbség hibakorlátja, 596 különbségi hányados, 123 külső pont, 39 küszöbindex, 271 küszöbszám, 271 kvadratikus alak, 370 kvantor egzisztenciális, 26 univerzális, 26 kvázilineáris, 672 kvázilineáris parciális differen ciálegyenlet, 521; 676
Lagrange-féle interpolációs polinom, 90 Lagrange-C"harpit-fé\e rendszer, 527 Lagrange-íéle differenciál egyenlet, 467 Lagrange-íéle középértéktétel, 136 Lagrange-féle módszer, 177; 454 Lagrange-féle multiplikátor, 178 láncszabály, 127 Lűp/ace-transzformáció, 575 Laplace-egyerdet, 537; 553; 665 Laplace-operátor, 419 Laplace-transzformáció, 576 - deriválás, 578 Laurent-sor, 567 - együtthatói, 568 - konvergenciagyürűje, 567 -, végtelen körüli, 571
701
Név- és tárgymutató legkisebb négyzetek elve, 178 legkisebb négyzetek módszere, 180 Leibniz-íéle háromszög - polárkoordinátás, 150 Leibniz-íéle írásmód, 127 Leibniz-íéle képlet, 136 Le;ö«/r-háromszög, 139; 209 Leibniz-Mxémxm, 273; 288 Leibniz-sor, 289 lemniszkáta, 98 lényeges szingularitás, 70; 569 leszámítoló kamatláb, 329 L ’Hospital-szahály, 141; 274 lineáris - altér, 356 - egyenletrendszer, 379; 617 - függvény, 388 - interpoláció, 89; 611 - vektortér, 355 lineáris parciális differenciál egyenlet - homogén, 518 - inhomogén, 518 lineáris tér, 355 - bázisa, dimenziója, 357 - dimenziója, 357 - elemei, 355 - komplex, 355 - számtest felett, 355 -,valós, 355 lineáris törtfüggvény, 554 lineárisan - függetlenek, 474 - függők, 474 lineárisan független vektorok, 356 lineárisan összefüggő vektorok, 356 linearizáló formulák, 82; 84 Liouville tétele, 563 Lipschitz-íelXéiel, 443; 503; 520; 638 logaritmikus (egyenlőszögű) spirális, 97 logaritmikus deriválás, 129 logaritmus főértéke, 555 logaritmus függvény, 86; 555 természetes, 86 -, tízes alapú, 86 logikai - értékek, 24; 25 - függvény, 26 - kifejezés, 25
- műveletek, 24 - operandusok, 25 - változók, 25 logikai formula, 26 lokális - maximumhely, 64 - minimumliely, 64 - szélsőértékhely, 64; 148; 174 lokálisan csökkenő, 65 lokálisan növekedő, 65 lokalizálás, 256 M Maclaurin-íormuldi, 158 Maclaurin-sor, 159; 303
magasabbrendű differenciál, 138 magasabbrendű parciális deriváltak, 164 magfüggvény, 678 majoráló függvény, 228 majoráló sor, 284 majoráns kritérium, 284 majoráns-minoráns próbák, 285 maradék, 49 maradéktag, 173 másodfokú parabola, 179 másodrendben (kvadratikusan) konvergál, 608 másodrendű detennináns, 375 másodrendű differenciálegyenlet, 491 másodrendű felület, 109; 113 másodrendű görbék, 98 másodrendű kúp, 112 másodrendű nyomaték, 216 másodrendű parciális deriváltak, 163 matematikai logika, 24 mátrix, 364 - adjungáltja, 371 - blokkokra bontása, 366 - hatványa, 369 - inverze, 371 -jelölése, 364 - particionálása, 366 - rangja, 373; 386 - sajátértéke, 633 - szorzása számmal, 367 - transzponáltja, 364 -, m xn típusú, 364 -, antiszimmetrikus, 365 -, átlós, 365
-, ferdén szimmetrikus, 365 -, tt-edrendű, 364 -, négyzetes, 364 -, reguláris, 371 -, szimmetrikus, 365; 369 -, szinguláris, 371 mátrix ortogonalizálásának módszere, 631 mátrixegyenlet, 372 mátrixgyűrű, 369 mátrixok - különbsége, 367 - összege, 366 - szorzata, 368 maximumelv, 563 mechanikai alkalmazások, 253 m-edrendű pólus, 569 megoldás -, nemtriviális, 384 -, triviális, 384 megszámlálható halmaz, 35 megszüntethető szakadás, 70 megszüntethető szingularitás, 569 megtérülési ráta, 335 mellékfeltételek, 518 membrán, 537 meridiángörbe, 108 mértani sor, 282; 289; 565 mértani test térfogata, 205 Mertens-tétel, 292 metrika, 38 metrikus tér, 38; 547 metszésgörbe, 118 - vektoregyenlete, 119 Meusnier tétele, 405 mindenütt sűrű halmaz, 35 minimalizáló függvény, 654 minoráló sor, 284 minoráns kritérium, 284 Mo/vre-képlet, 45 Monge-íéle kúp, 524 monoton - fogyás tétele, 145 - növekedés tétele, 145 - függvények, 65 Moréra tétele, 563 multiplikátor, 177 multiplikátor-módszer, 177 művelet -, asszociatív, 19 -, disztributív, 19 -, idempotens, 19 -, kétváltozós, 32
702
Felsőbb matematika
művelet kommutatív, 19 műveletek - konvergens sorozatokkal, 273 - végtelen sorokkal, 290 - nablavektorral, 418 N nablavektor, 411; 418 n elemű vektor, 358 n-dimenziós (euklideszi) tér, 38 ^-dimenziós lineáris tér, 358 «-dimenziós ponthalmaz, 102 ^-dimenziós tér, 37 - £-kömyezete, 39 ^-dimenziós vektor, 353; 358 «-edfokú egyenlet, 50 négylevelű lóhere, 98 négyzetes (kvadratikus) mátrix, 364 négyzetes integrál-középérték, 201; 202
négyzetrács, 668 nemtriviális megoldás, 384 nettó árfolyam, 330 Neumam-íuggvény, 502 neutrális elem, 32 Newton, 23 Newion-Leibniz-szdbá\y, 197; 558 Newlon-íélt interpolációs polinom, 90 Newton-Leihniz~szahá\y, Newton-Raphson-módszsr,
607; 608; 613 nominális kamatláb, 326 nonnál egyenletrendszer, 180; 626 nonnál vektor, 347 noniiális, 150 nomiális egyenes, 150 nomiálmetszet, 405 - görbülete, 405 normálsík, 398; 405 nonnálvektor, 348 nulla (zénis), 34 nullaelem, 32 nullamátrix, 365 nullatenzor, 390 nuliavektor, 340; 353 numerikus módszerek, 229; 593 numerikus sor, 281 «-változós valós függvény, 102
paraméteres integrál, 203 Ny paramétervonalak, 116; 117 nyelő, 424 páratlan függvény, 66 nyeregfeliilet, 111 - Foiirier-sora, 318 nyildiagram, 27; 30 - hatványsora, 303 nyílt sík, 547 parciális határérték, 103 nyomaték parciális derivált, 161 - elsőrendű, 215 -jelölése, 162 - másodrendű, 216 parciális differenciálegyenlet, 439; 517; 518; 662 O - karakterisztikái, 525 ordináta, 53 - kvázilineáris, 517 ordó, 637 -, elliptikus, 519; 662 origó, 54 -, hiperbolikus, 519; 672 - kezdőpont, 53 lineáris, 517 - pólus, 54 -, másodrendű, 517 ortogonális, 654 -, parabolikus, 519; 668 - bázis, 362 parciális differenciálegyenletek ortogonális trajektóriák, 470; - osztályozása, 518 471 parciális differenciálegyenlet ortogonális vektorok, 361 rendszer, 440 ortogonalizálási eljárás, 362 parciális integrálás, 187 - Gram-Schmidt-fé\s, 362 páros függvény, 66 ortononnált bázis, 362 - /'b íír/e r- s o ra , 3 17 oszlopmátrix, 365 - hatványsora, 303 oszlopvektor, 353 partikuláris megoldás, 440; 473; 541; 585 Ö partikuláris megoldás közvetlen önadjungált differenciálfomia, keresése, 484 652 Pascal-féle háromszög, 23 Peano tétele, 443 örökjáradék, 333 örvénymentes vektortér, 427 peremértékfeladat, 496 összeg hibakorlátja, 596 peremértékfeladat vagy összegező vektor, 354 Dirichlet-Madat, 519 összegfüggvény, 294; 565 peremértékprobléma, 644 perem feltétel, 537; 644 összeggörbület, 407 összetett függvény, 30; 58 peremfeltételek, 496; 530 peremfeltételek közelítésének - deriválása, 167 javítása, 667 periodikus függvény, 66 periodikus tört, 35 pályagörbe, 397 pennutáció, 21 - egyenlete, 92 pemutációk parabolamódszer, 611 - száma, 21 parabolikus henger, 113 -, ismétléses, 21 parabolikus interpoláció, 90; 611 Picard-Lindelöf-egzisztencia. és unicitás tétel, 638 parabolikus parciális differen pivotálás, 360 ciálegyenlet, 668 pivotelem , 360 paraboloid, 111 Po/.v.von-egyenlet, 540 -, hiperbolikus, 111 - megoldása, 666 paralelepipedon, 342 Poixson-íé\e fonnula, 539; 543 paraméteres alakban adott függvény deriváltja, 129; 169 poláris tehetetlenségi nyomaték, 254 paraméteres egyenlet, 92
703
Név- és tárgymutató polárkoordináta-rendszer, 54 polárkoordináta-rendszerben adott függvény deriváltja, 130 polárkoordinátás alak, 542 polártengely, 54 pohnom, 47 - együttliatói, 47 - foka (fokszáma), 47 - gyöktényezös alakja, 49; 50 - sorba fejtése, 306 - szorzattá alakítása, 51 - zérushelye, 49; 51 -, 0-adfokú, 47 -, oszthatósága, 49 -, «-edfokú, 47 -, nomiált, 47 polinom együttliatói, 47 polinom-egyenlet gyöke, 49 polinomok - gyííriíje, 47 - halmaza, 47 - osztása, 47 pólus, 70; 569 pont - környezete, 100 -, belső, 39 -, határ-, 40 -, izolált, 39 -, külső, 39 -, torlódási, 39 pont és egyenes távolsága, 350 pont és sík távolsága, 349 pontellipszoid, 110 pontgömb, 109 pontok távolsága, 43 potenciálfüggvény, 422; 433 - előállítása, 433 precedencia, 25 predikátum, 26 primitív függvény, 185; 197 próbafüggvény módszere, 484
R racionális - egész függvény (polinom), 75;554 - törtfüggvény, 76 racionális függvény integrálása, 190; 194 racionális szám, 35 - képe, 36 racionális számok halmaza, 35 racionális törtfüggvény, 554 - integrálása, 190
rács, 663 rácspontok, 663 rácstartomány, 664 rácstartomány határa, 664 rangszámvizsgálat, 380 Rayleigh-féle hányados, 636; 654; 659 Rayleigh-féle hányados mini muma, 659 reciprok érték hibakoriátja, 597 reciprok vektorhámias, 352 reducibilis, 52 reguláris értékek, 680 reguláris mátrix, 371 regularitás, 552 regularitási tartomány, 560 rektifikáló sík, 398 rekurziós fomiulák, 189 reláció, 27; 30 - ábrázolása, 27 - értékkészlete, 27 - értelmezési tartománya, 27 - ^áíja, 27 - inverze, 28 -, algebrai, 74 -, antiszimmetrikus, 28 -, homogén, 27 -, reflexív, 28 -, szimmetrikus, 28 -, tranzitív, 28 relatív hibakorlát, 594 relatív hiba, 166; 594 rendezési reláció, 28 rendezett halmaz, 36 rendezett párok, 27 rendezett számhánnasok, 37 rendezett számpárok, 40 részhalmaz, 18 részletösszegek határértéke, 308 részletösszegek sorozata, 281 részletszorzat, 320 résztörtek, 78 résztörtekre (parciális törtekre) bontás, 78; 585 rezgési differenciálegyenlet, 494 rezgő húr differenciálegyenlete, 533 rezgő membrán differenciál egyenlete, 536 reziduum, 572 reziduum-téte], 572 rezonancia, 484 Riccati-fék differenciálegyenlet, 458
Riemann szerint integi'álható,
195; 232 Riemann-feMet, 550 Riemann-XéXú, 289 Rilz-fék közelítések, 660 Ritz-GalJorkin-íéls eljárás, 658 Rolle-féle középértéktétel, 136
rotáció, 431 Ruffini-Abel-téid, 51 Runge módszere, 667 Rímge-Kutta-félt módszer, 642 Runge-Kutta-íonniúák, 642
sajátérték, 114; 633 - rangja, 651 sajátértékek, 393; 651; 680 sajátértékfeladat, 392 -megoldása, 656 sajátértékprobléma, 651 -, önadjungált, 652 általános, 652 -, definit, 653 -, negatív definit, 653 -, pozitív definit, 653 speciáhs, 652 -, teljes definit, 653 sajátfüggvények, 651; 680 sajátirányok, 392 sajátvektor, 114; 633 sakktáblaszabály, 375 sávfeltétel, 525 Schur-tétd, 634 sebességtér, 415 sebességvektor, 400 sec és cosec függvény, 82 seregparaméterek, 54; 55 sík, 105 - általános egyenlete, 347 - döféspontja, 348 - egyenlete, 347 - Hesse-féls nonnálegyenlete, 347 - normálvektora, 105 - e környezete, 39 síkbeli Lap/ace-egyenlet polárkoordinátás alakja, 539 síkbeli ponthalmaz, 100 síkidom területe, 205 síkpár -, képzetes, 112 síkrész - elsőrendű (statikai) nyomatéka,216
Felsőbb matematika
704 síkrész - inercia nyomatéka, 220 - másodrendű nyomatéka, 220
- statikai nyomatéka, 246 - tehetetlenségi nyomatéka, 246 - területe, 206 síkrész területe, 208 S;ni/7,yon-fonTiula, 230 5/m/;ío«-képlet, 684 5/mpj'o«-szabály, 230 simulókör, 153; 401 - sugara, 153 simulósík, 398 sin és cos függvények, 81 skalár fluxus, 423 skaláris differenciáloperátor, 419 skaláris felületelem, 244; 245 skaláris felületelemvetülete, 262 skaláris fluxus, 426 skaláris mennyiség, 339 skaláris szorzás tulajdonságai, 354 skaláris szorzat, 361 skaláris tér fluxusa, 414 skalámiező, 409 skalártér, 409 skalár-vektor függvény, 409 - deriváltja, 410 - folytonossága, 410 - határértéke, 410 sor - átrendezése, 289 - összegének hibája, 313 - tagjai, 281 -, abszolút konvergens, 288 -, alternáló, 288 -, binomiális, 302 divergens, 281 -, feltételesen konvergens, 288 -, feltétlenül konvergens, 289 -, Le/7)«/r-típusú, 288 majoráns, 284 -, mértani (geometriai), 282 -, minoráns, 284 -, numerikus, 281 sorbafejtés, 159 sormátrix, 365 sorok összegének számítása, 311 sorozat, 267 - ábrázolása, 268 - alsó korlátja, 268
- általános eleme, 267 - divergens, 271; 547 - elemei (tagjai), 267 - határértéke, 271 - konvergens, 271; 547 - torlódási helye(pontja), 270 -, alulról korlátos, 268 csökkenő, 269 -, felülről korlátos, 268 -, függvény-, 277 intervallumon konvergens, 277 -, korlátos, 268 -, monoton, 269 növekvő, 269 -, szigorúan csökkenő, 269 -, szigorúan növekvő, 269 -, valós értékű, 268 sorvektor, 353 spektrálelőállítás, 393 spirális Archimedesi, 97 -, hiperbolikus, 97 logatitmikus, 97 stacionárius görbe, 408 stacionárius helyek, 174 statikai nyomaték, 216; 218 SteineM&Xtl, 222 5íe/«/te-tétel, 358; 427 Sturm-íé\Q hatáifeltétel, 645 - elsőfajú, 645 - harmadfajú, 645 - másodfajú, 645 Sturm-Uuville típusú sajátértékfeladat, 653 Sturm-LiuviUe-fé\t probléma, 652
szélsőérték létezése, 173 szigorú helyi - fogyás, 144 - növekedés, 144 szigorúan lokálisan növekedő, 65 sziiTunetrikus magú integi'álegyenlet, 680 szimmetrikus mátrix, 109; 365 szimmetrikus tenzor, 394 szinguláris mátrix, 371 szinguláris megoldás, 440; 465; 469 szinguláris pont, 552 szingularitás, 70; 569 szintfelület, 409 szintvonalak, 102 szinusz hiperbolikusz függvény, 83 szinusz-sor, 317 szorzat -, diadikus, 370 szorzat hibakorlátja, 597 szorzatgörbület, 407 szorzatintegrálás, 187 szorzatmátrix inverze, 372 sztrofoid, 95 szubnormális, 150 szubtangens, 150 szürjektív, 31
tangens, 150 tangens hiperbolikusz függvény, 84 tartalékjegyek, 314 tartomány, 102; 232 összefüggő, 101 tartomány határa, 101 Sz távolság, 38 szabadtagok oszlopvektora, 617 távolságfüggvény, 38 Taylor-íé\e módszer, 638 szabad vektor, 340 Taylor-íoxm\i\&, 158; 172; 662 szakaszos tizedes tört, 35 Taylor-xnm&átkíag szám, 370 - Cauchy-félQ alakja, 158 számegyenes, 36 - Lagrange-fé\e alakja, 158 számpárok halmaza, 18 Taylor-’poMnom, 158; 172; 607 számsík, 18 Taylor-sox, 159; 303 számsorozat, 267 Taylor-sox (komplex), 565 - határértéke, 273 -, végtelen, 267 tehetetlenségi nyomaték, 222 -, centrifugális, 247 százalékos hibakorlát, 140 szektor területe, 208; 209 poláris, 247 tehetetlenségi sugár, 221 szektor súlypontja, 216 teljes (totáhs) differenciál, 165; szélsőérték 411 -, feltételes, 176
705
Név- és tárgymutató teljes derivált, 168 teljes indukció, 33 teljes megoldás, 527 tengelyre vonatkozó tehetetlen ségi nyomaték, 254 tenzor, 388; 415 - karakterisztikus egyenlete. 393 - koordinátái, 389 - mátrixa, 389 - reciproka, 391 - sajátértéke, 392 - sajátvektorai, 392 - skalár invariánsai, 393 - skalárkoordinátái, 389 - spektrálelöállítása, 393 - szorzása számmal, 391 - transzponált tenzora, 390 - vektorinvariánsai, 393 - vektorkoordinátái, 389 -, ferdén szimmetrikus, 390 -, sziimnetrikus, 390 tenzorok - egyenlősége, 390 - összege, 391 - szorzata, 391 tér - pontjai, 38 - e környezete, 39 euklideszi, 354; 362 forrásos, 424 -, háromdimenzió, 38 -, kétdimenziós, 38 -, lineáris, 355 -, metrikus, 38 ^-dimenziós, 38 térbeli ponthalmaz, 102 térbeli görbevonalú koordináták. 55 térfogat, 205 térfogatdifferenciál, 211 térfogatelem, 248; 250; 251 térfogati integrál, 263; 415 térfogatszámítás, 211; 241 - hármas integrállal, 252 térgörbe, 397 - alakja, 403 - ívhossza, 399 - skaláris egyenletrendszere, 397 - torziója, 402 - vektoregyenlete, 397 temiészetes logaritmus alap száma, 276
természetes paraméterek, 399 természetes számok halmaza, 33 térrész deviációs nyomatékai. 254 térrész tömegközéppontja, 254 terület, 205 területdifferenciál, 206; 209 területelem - poláris, 247 területkiegyenlítő egyenes, 201 területszámítás, 206 test, 33; 40 tg és ctg függvény, 82 tizedes tört -, szakaszos, 35 véges, 35 torlódási pont, 38; 39; 40 többváltozós függvény - parciális deriváltjai, 162 többváltozós függvények, 100 - deriválása, 161 törlesztőjáradék, 332 törtfüggvény, 76 törtrész függvény, 73 trajektóriák r, izogonális, ortogonális, 470 transzcendens függvény, 81 - integrálása, 193 trapéz képlet, 684 trapézfonnula, 229 trapéz-szabály, 229 trigonometrikus fiiggvény, 81 trigonometrikus függvények. 555 trigonometrikus sor, 316 triviális megoldás, 384; 509 triviálistól különböző megoldás. 656
unicitási feltétel, 440 univerzális kvantor, 26 Ü üres halmaz, 17; 18
valódi törtfüggvény, 76; 191 valós - rész, 41 - tengely, 41 valós függvény, 29 valós számok, 36
valós számok halmaza, 18 valós változós komplex függ vény, 551 váltó leszámítolás, 329 Vandermonde-íék detennináns, 480 variáció, 22 véges összegek módszere, 684 véges tizedes tört, 35 végtelen - sor, 281 - szorzat, 320 végtelen körüli Laurenl-soi, 571 végtelen nemszakaszos tizedestörtek, 35 végtelen sor - Cauchy-Me szorzata, 292 végtelen sor összege, 281 végtelen sorok szorzása, 291 végtelen szorzat -értéke, 321 -, divergens, 321 -, konvergens, 321 -, abszolút konvergens, 322 vegyes feladat, 519 vegyes második parciális deriváltak, 163 vektor, 339 - abszolút értéke, 340; 344 - egységvektora, 344 - koordinátái, 343 - w-dimenziós, 353 - összege, különbsége, 344 - rendezett számhánnas, 343 - skalárral való szorzása, 353 - számmal való szorzata, 340; 344 - szorzása számmal. - vetületvektora, 346 -, kötött, 340 -, szabad, 340 vektor és tenzor szorzata, 391 vektorértékű felületi integrál, 423 vektoriális fluxus, 423 vektormező, 415 vektorok - egyenlősége, 344; 353 - lineáris függetlensége, 342 - lineáris kombinációja, 342 - lineáris összefüggősége, 342 - összege, különbsége, 340; 354
706 vektorok - skaláris szorzata, 341; 344 - vegyes szorzata, 342; 345 - vektoriális szorzata, 341; 344 -, lineárisan független, 356 -, lineárisan összefüggő, 356 vektorrendszer, 356 - rangja, 356 vektor-skalár függvény, 395 - deriváltja, 395 - határértéke, 395 - térgörbével ábrázolható, 397 folytonos, 395 vektortér, 355; 415 -divergenciája, 418 - iránymenti deriváltja, 417 - lokalizációja, 424 -rotációja, 418 - teljes differenciálja, 417 -, forrásinentes, 418 -, geometriai, 339 -, örvénymentes, 418; 422
Felsőbb matematika vektor-vektor függvény, 415 - deriváltja, 417 - folytonossága, 417 - határértéke, 416 - megadása, 415 - térfogati integrálja, 424 Kenn-diagram, 18 vezérgörbe, 105 F/e/a-tétel, 615 visszatérőpont, 134 K/v;a«;-görbe, 118; 120 Kofterra-tlpusú integi'álegyenlet, 679; 682; 686 vonalelem, 444 vonalfelület, 110 vonalintegrál, 255; 412; 420 - tulajdonságai, 256 - úttól való függetlensége, 422 -, általános, 258 -, ívhossz szerinti, 413 -, komplex, 557 -, koordináta szerinti, 257; -, skalárértékü, 420 -, vektor értékű, 413; 420 -, vetület szerinti, 257; 413
W Weierstrass-ít\s, kritérium, 295 Weierstrass-kiiíérmm, 316 IVeierstrass-tétd, 70 lVronski-fé\t detennináns, 474; 480 w-s(k, 548 Z zárt görbe menti integrál, 258 zárt görbe menti vonalintegrál, 421 zárt sík, 547 zavarófüggvény, 453; 473; 448; 484 zavarótag, 453 zérushely, 599 - multiplicitása, 50 zérusmátrix, 365 zérusosztók, 369 zérussorozat, 272 zénistenzor, 390 zérusvektor, 340 z-sík, 548 zsugorítás, 56
A Scolar Kiadó matematikakönyv-ajánlata
Obádovics J. Gyula: Felsőbb matematikai feladatgyűjtemény A feladatgyűjteményben fejezetenként elméleti összefoglaló és kép letgyűjtemény, minden feladat végeredménye és új feladattípus meg jelenésekor részletesen kidolgozott mintafeladat található. Fejeze tenként az egyszerűbben megoldható feladatok sorozata a begyakor lást, a számolási készség fejlesztését, a vizsgára való felkészüléshez az egyes típusfeladatok gyors felismerését és a megoldáshoz szükséges ismeretanyag rögzítését teszik lehetővé.
Obádovics J. Gyula: Lineáris algebra példákkal A könyv felépítése a klasszikus lineáris algebra fejezeteit követi. A mát rixok, determinánsok, vektorok, lineáris egyenletrendszerek, lineáris terek, bilineáris és kvadratikus alakok, karakterisztikus értékek ismer tetése utám az ismereteket másodrendű görbék és felületek vizsgála tára, lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldására alkalmazza. 270 kidolgozott példa és 300 gyakorlófeladat segíti az ismeretek meg értésében. Több esetben is az általában ajánlott módszereknél egysze rűbb, új számítási eljárásokkal ismerteti meg a szerző az olvasókat.
Obádovics J. Gyula: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika E köny a középiskolai ismeretekre támaszkodva tárgyalja a valószínű ségszámítás és a matematikai statisztika elemeit. Kidolgozott példái, feladatai a gyakorlati élet különböző területeinek problémáit ölelik fel. Ez a negyedik kiadás néhány új témakörrel és számos - az alkalmazást és a tárgyalt módszer megértését elősegítő - feladattal gazdagodott.
Obádovics: Matematika Az Obádovics: Matematika tizenhetedik, teljeskörűen átdolgozott kia dása, évek óta közkedvelt összefoglaló kézikönyv. Használhatóságát az eddig eladott közel 500 000 példány, valamint külföldi kiadásai bi zonyítják. Áttekinthető felépítése, világos magyarázatai, gördülékeny stílusa, bőséges ábra- és példaanyaga méltán emeli a világ legjobb ma tematika tárgyú könyvei közé.
