D.Prisco - Notas de lógica

Introducci´ on on a la Lógica ogica Matemática atica EMALCA AMAZONIA Agosto de 2009 Carlos Augusto Di Prisco August 12, 2009

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Contenido 1 C´ alculo Prop osicional 1.1 El lenguaje aje propos posicional. . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.2 Sem Semantica ańtica del C´ alculo Propos posicional. . . . . . . . . 1.3 Formas Normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 1.4 Resol Resoluci uci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Completitud Completitud del m´ método etodo de resoluci´ resoluci´ on. . . . 1.5 1.5 Un siste sistema ma axio axiom´ m´ atico atico para el cálcul a lculoo propos proposic icio ional nal.. 1.6 Ca´lculo de secuentes. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3 16 18 20 22 29

2 L´ ogica de primer orden. 37 2.1 2.1 Leng Lenguaj uajes es de prim primer er orde orden n y estr estruc uctu tura rass . . . . . . 37 2.2 2.2 Opera peraci cion onees entre tre estruc tructu turras: as: . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Formaliz ormalizaci aci´ oń de un Lenguaje aje: . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 2.3.1 Verdad erdad en en una una Interp Interpreta retaci´ ci´ on . . . . . . . . 43 2.3. 2.3.22 Defin Definiibili bilida dad d en una una estr estruc uctu tura ra.. . . . . . . . 48 2.4 2.4 Un siste sistema ma axio axiom´ m´ atico atico para la lógica ogica de primer primer orden. 50 2.5 2.5 El teorem teoremaa de de comp comple letit titud ud para para la la l´ logica o´gica de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3 Razona Razonamie mient nto o no no mon´ mon´ otono 3.1 Razonamiento acumulativo 3.2 Modelos acumulativos . . 3.3 Razonamiento Preferencial 3.4 Modelos Preferenciales . .

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CONTENIDO

Cap´ıtulo 1 C´ alculo Proposicional Comenzaremos nuestro estudio de la l´ ogica considerando cierto tipo sencillo de enunciados. Ser´ an enunciados declarativos, es decir, enunciados que declaran un cierto estado de cosas; dejando fuera enunciados de tipo imperativo o interogativo, etc. Trataremos esos enunciados como unidades, y estudiaremos las combinaciones que se obtienen al usar las conectivas “y”, “o”, “no”, “si ... entonces...”, entre otras. El problema central que nos ocupar´ a es el siguiente: Si tenemos una de esas combinaciones, ¿qué podemos decir sobre la veracidad de la misma, dada informaci´ on sobre la veracidad de sus componentes? para ello desarrollaremos el c´ alculo proposicional. El cálculo proposicional trata ciertas proposiciones b´ asicas como unidades, y las combinaciones que se obtienen a partir de ellas usando las conectivas l´ ogicas tales como la negaci´ on ( ¬), la disyunción (∨), la conjunci´ on (∧), la implicación (→) y la doble implicación (↔). Para formalizar esto, definiremos el lenguaje proposicional, partiendo de un conjunto de s´ımbolos, que llamaremos letras proposicionales, que combinaremos usando las conectivas. 1

´ CAP ´ ITULO 1. C ALCULO PROPOSICIONAL

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1.1

El lenguaje proposicional.

Sea A un conjunto no vac´ıo, a lo sumo numerable, cuyos elementos llamaremos letras proposicionales. Usaremos p , q , r , . . . , p 1 , p2 , . . . para denotar los elementos de A. El lenguaje proposicional, tiene, adem´ as de las letras proposicionales, otros s´ımbolos: las conectivas ¬, ∨, ∧, →, ↔ y los paréntesis “(” y “)”.

Definici´ on 1.1.1 El conjunto PROP de proposiciones (del c´ alculo proposicional) es la colecci´ on de todas las sucesiones finitas de s´ımbolos del lenguaje proposicional que se obtienen aplicando un n´ umero finito de veces las reglas de formaci´ on siguientes . (i) Toda letra proposicional es una proposici´ on. (ii) Si ϕ y ψ son proposiciones, entonces también lo son (¬ϕ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ → ψ) y (ϕ ↔ ψ). Nótese que esta es una definici´ on inductiva del conjunto de proposiciones. M´ as adelante veremos que para demostrar propiedades de las proposiciones, podremos hacerlo inductivamente, demostrando primero la propiedad para las letras proposicionales, y luego para una proposici´ on compuesta dada, suponiendo que las proposiciones que la componen tienen la propiedad. El conjunto PROP es entonces el menor conjunto que contiene a las letras proposicionales y es cerrado bajo las siguientes operaciones: (i) Si ϕ ∈ PROP , entonces (¬ϕ) ∈ PROP , (ii) Si ϕ, ψ ∈ PROP , entonces (ϕ ∨ ψ) ∈ PROP , (ϕ ∧ ψ) ∈ PROP , (ϕ → ψ) ∈ PROP y (ϕ ↔ ψ) ∈ PROP .

Ejercicio 1.1.2 1. Muestre que las siguientes sucesiones de s´ımbolos son proposiciones: (( p → q ) → ((¬q ) → (¬ p))),

´ ´ 1.2. SEM ANTICA DEL C ALCULO PROPOSICIONAL.

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(( p ∧ q ) → p), (( p → (¬ p)) → (¬ p)).

2. Muestre que las siguientes sucesiones de s´ımbolos no son proposiciones: ( p → ¬ p) → p, ( p ∨ q → p), ((¬ p)¬ → q ). El uso de los paréntesis evita ambiguedades como la que aparece en la expresi´ on ( p → q → p). Sin embargo, es posible que m´ as adelante no seamos muy rigurosos en el uso de los paréntesis siempre que esto no nos produzca problemas de ese tipo. Observemos que como el conjunto A de letras proposicionales es numerable, el conjunto PROP de las proposiciones del c´ alculo proposicional es también numerable. Esto se debe a que el conjunto de las sucesiones finitas de elementos de un conjunto numerable es numerable.

1.2

Sem´ antica del C´ alculo Proposicional.

La sem´ antica del c´ alculo proposicional consiste esencialmente en darle significado a las conectivas, para después poder decidir si una proposición es verdadera o falsa de acuerdo a los valores de verdad de sus componentes. Trabajaremos con dos valores de verdad: V y F (que se pueden interpretar como verdad y falsedad), pero debemos hacer notar que ésta es una decisi´ on arbitraria, ya que se podr´ıa pensar en la posibilidad de usar tres valores, V , F y ?, que se interpretar´ıan como verdad, falsedad e indeterminaci´ on, respectivamente; o un n´ umero mayor, a´ un infinto, de valores. Estas otras posibilidades han sido estudiadas y resultan interesantes y al mismo tiempo u´tiles, pero en estas notas nos limitaremos a dos valores de verdad.


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Queremos interpretar la conectiva ϕ ∧ ψ como la conjunción de ϕ y ψ, entonces (ϕ ∧ ψ) ser´ a verdad cuando ambas proposiciones ϕ y ψ sean verdad. Esto se puede expresar mediante la funci´ on H ∧ : {V, F }2 → { V, F } definida por H ∧ (V, V ) = V H ∧ (V, F ) = F H ∧ (F, V ) = F H ∧ (F, F ) = F Usualmente se resume esta informaci´ on en la tabla ϕ ψ (ϕ ∧ ψ) V V V V F F F V F F F F Análogamente, interpretamos ∨ de modo que (ϕ ∨ ψ) corresponda a la disyunció n de ϕ y ψ, es decir, (ϕ ∨ ψ) es verdad si al menos una de esas dos proposiciones es verdad, y es falsa si ambas proposiciones, ϕ y ψ, son falsas. Esto se expresa mediante la función H ∨ : {V, F }2 → { V, F } definida por H ∨ (V, V ) = V H ∨ (V, F ) = V H ∨ (F, V ) = V H ∨ (F, F ) = F


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Y en forma resumida, mediante la tabla ϕ ψ (ϕ ∨ ψ) V V V V F V F V V F F F La conectiva “→” ser´ a interpretada como implicaci´ on material, es decir, la proposición ϕ → ψ será falsa solamente en el caso de que ϕ sea verdad y ψ sea falsa; en todos los dem´ as casos ϕ → ψ es verdadera. Esto se puede expresar mediante la función H → : {V, F }2 → { V, F } definida de la manera siguiente: H → (V, V ) = V H → (V, F ) = F H → (F, V ) = V H → (F, F ) = V Esta informaci´ on se resume en la tabla ϕ ψ ϕ→ψ V V V V F F F V V F F V La doble implicación ↔ quedará definida mediante la funci´ on H ↔ : {V, F }2 → { V, F } definida por


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H ↔ (V, V ) = V H ↔ (V, F ) = F H ↔ (F, V ) = F H ↔ (F, F ) = V Y la tabla correspondiente es ϕ ψ ϕ↔ψ V V V V F F F V F F F V La conectiva ¬ se interpreta como negaci´ on, y por lo tanto quedará definida por la funci´ on H ¬ : {V, F } → {V, F } dada por H ¬ (V ) = F y H ¬ (F ) = V a la que corresponde la tabla ϕ ¬ϕ V F F V

Definici´ on 1.2.1 Una conectiva n-aria es una funci´ on σ : (PROP )n → PROP

que asigna una proposici´ on a cada n-tupla de proposiciones, de modo que el valor de verdad de σ(ϕ1 , . . . , ϕn ) depende solamente de los valores de verdad de las proposiciones ϕ1 , . . . , ϕn . En principio podr´ıamos pensar en un concepto m´ as general de conectiva, para el cual el valor de verdad de σ(ϕ1, . . . , ϕn ) no


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dependa solamente de los valores de verdad de las proposiciones ϕ1 , . . . , ϕn , sino de algunos otros par´ ametros, pero eso no nos interesa por los momentos. Cada conectiva n-aria, corresponde entonces a una funci´ on H : {V, F }n → {V, F }, o lo que es lo mismo, a la tabla de verdad que defina esa funci´ on. 2n Por lo tanto existen exactamente 2 conectivas n-arias. Debe resultar claro que usando la definici´ on inductiva del con junto de proposiciones, a cada proposici´ on le corresponde una tabla de verdad. Por ejemplo, a la proposici´ o n (( p ∧ q ) → r), le corresponde una funci´ on de tres argumentos H : {V, F }3 → {V, F } definida mediante la siguiente tabla p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r ( p ∧ q ) (( p ∧ q ) → r) V V V F V F V F V F F V V F V F F V V F V F F V

Definici´ on 1.2.2 Un conjunto C de de conectivas es completo si dada cualquier conectiva σ , existe una proposici´ on construida a partir de las conectivas de C cuya tabla de verdad coincide con la de σ. Teorema 1.2.3 El conjunto de conectivas {¬, ∨, ∧} es completo. Demostración. Sea σ : (PROP )k → PROP una conectiva de k argumentos, y consideremos su tabla de verdad


8 p1 V ai1 F

p2 . . . pk σ( p1 , . . . , pk ) V ... V b1 ... ai2 . . . aik bi ... F ... F bk

Donde p1 , p2, . . . , pk son letras proposicionales, aij es el valor de verdad que aparece en el lugar j de la fila i, y bi es el valor que toma σ( p1, . . . pk ) en la fila i. Para cada letra proposicional p sea pV = p y pF = (¬ p). Para la fila i, sea Ai la conjunci´ on pa1i ∧ pa2i ∧ · · · ∧ pakik . Si i1, . . . , im son las filas donde σ( p1 , . . . , pk ) toma valor V , la proposición Ai ∨ · · · ∨ Aim , donde solamente aparecen las conectivas ¬, ∧ y ∨, tiene la misma tabla de verdad que σ( p1 , . . . , pk ). 1

2

1

Ejercicio 1.2.4 Demuestre que la proposici´ on construida en la prueba anterior tiene la misma tabla de verdad que la conectiva σ. Ejercicio 1.2.5 Demuestre que la tabla de verdad de (ϕ → ψ) coincide con la tabla de ((¬ϕ) ∨ ψ). Lo mismo para las tablas de (ϕ ∧ ψ) y (¬(ϕ → (¬ψ)). Corolario 1.2.6 El conjunto de conectivas {¬, ∨} es completo Demostración. Basta notar que ∧ se puede definir a partir de ¬ y ∨ de la manera siguiente: la tabla de ϕ ∧ ψ coincide con la tabla de la proposici´ on (¬((¬ϕ) ∨ (¬ψ))).

Ejercicio 1.2.7 Demuestre que los siguientes conjuntos son con juntos completos de conectivas, {¬, ∧}, {¬, →} Ejercicio 1.2.8 Considere las conectivas binarias “|” y “ ↓ ” cuyas tablas son


ϕ V V F F

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ψ (ϕ|ψ) (ϕ ↓ ψ) V F F F V F V V F F V V

Demuestre que los conjuntos {|} y {↓} son completos. Demuestre adem´ as que | y ↓ son las unicas ´ conectivas binarias que por si mismas forman conjuntos completos. Definici´ on 1.2.9 Una asignaci´ on de valores de verdad es una funci´ on de A : A → {V, F } que asigna un valor de verdad a cada letra proposicional. Una valuaci´ on es una funci´ on V : Prop → { V, F } tal que a cada proposici´ on ϕ le asigna un valor V (ϕ) de modo que (i) V ((¬ϕ)) = H ¬ (V (ϕ)), (ii) V (ϕ ∨ ψ) = H ∨ ((ϕ), V (ψ)), (iii) V (ϕ ∧ ψ) = H ∧ ((ϕ), V (ψ)), (iv) V (ϕ → ψ) = H → ((ϕ), V (ψ)), (v) V (ϕ ↔ ψ) = H ↔ ((ϕ), V (ψ)). Como {¬, ∨} es un conjunto completo de conectivas, las funciones H ∧ , H → y H ↔ se pueden definir a partir de H ¬ y H ∨ . Por ejemplo, H → (φ, ψ) = H ∨ (H ¬ (ϕ), ψ). Por lo tanto, las cl´ ausulas (iii), (iv), y (v) de la definición siguen de las dos primeras.

Definici´ on 1.2.10 Una proposici´ on ϕ es una tautolog´ıa si V (ϕ) = V para toda valuaci´ on V . Una proposici´ on es una contradicci´ on si toda valuaci´ on le da valor F . Una proposici´ on ϕ es satisfactible si existe una valuaci´ on que le asigna valor V (es decir, si no es una contradicci´ on).

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Ejercicio 1.2.11 (i) Demuestre que las siguientes proposiciones son tautolog´ıas: p → ( p ∨ q ), p → (q → p), ( p ∧ q ) → p. (ii) Demuestre que las siguientes proposiciones son satisfactibles: p → (¬ p), ( p ∨ q ) → p, ( p ∨ q ) ↔ (q ∨ p), p → (q → (¬ p)). (iii) Demuestre que las siguientes proposiciones son contradicciones: p ↔ (¬ p), p ∧ (¬ p), p ∧ (¬((¬ p) → q )). Ejercicio 1.2.12 Demuestre que si ϕ y (ϕ → ψ) son tautolog´ıas, entonces también lo es ψ . En algunas ocasiones puede resultar conveniente a˜ nadir dos s´ımbolos adicionales al lenguaje proposicional: las letras proposicionales , que siempre toma valor V , y ⊥ que toma siempre valor F . De modo que toda tautolog´ıa es equivalente a  y toda contradicci´ on es equivalente a ⊥. O alternativamente, se puede fijar una tautolog´ıa espec´ıfica, por ejemplo “ p ∨ (¬ p)” y denotarla con el s´ımbolo , y fijar una contradicci´ on, por ejemplo “ p ∧ (¬ p)” y denotarla con el s´ımbolo ⊥.

Definici´ on 1.2.13 Decimos que las proposiciones ϕ y ψ son equivalentes si para toda valuaci´ on V , se cumple V (ϕ) = V (ψ). Proposici´ on 1.2.14 ϕ y ψ son equivalentes si y s´ olo si la proposici´ on (ϕ ↔ ψ) es una tautolog´ıa. Proposici´ on 1.2.15 Dadas valuaciones V y W , si V  A = W  on de valores de A, entonces V = W . Por lo tanto, toda asignaci´ verdad se extiende de manera ´ unica a una valuaci´ on. Demostración. Mostramos por inducci´ on en la complejidad de ϕ que para toda ϕ se tiene V (ϕ) = W (ϕ). Si ϕ es una letra proposicional, la igualdad vale por hipótesis. Si ϕ es la proposici´ on (¬ψ), y suponemos inductivamente que V (ψ) = W (ψ), entonces V (ϕ) = H ¬ (V (ψ)) = H ¬ (W (ψ)) = W (ϕ), donde la igualdad del medio vale por hip´ otesis inductiva y las otras dos por la definici´ on de valuaci´ on.


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Si ϕ es la proposici´ on (ψ ∨ χ), y las valuaciones V y W coinciden en ψ y χ, entonces V (ϕ) = H ∨ (V (ψ), V (χ)) = H ∨ (W (ψ), W (χ)) = W (ϕ). Por el comentario que sigue a la definición de valuación, con esto termina la demostraci´ on.

Definici´ on 1.2.16 Dado un conjunto Σ de proposiciones, decimos que la proposici´ on ϕ es consecuencia de Σ, y lo denotamos por Σ |= ϕ,

si V (ϕ) = V para toda valuaci´ on V que satisface V (σ) = V para toda σ ∈ Σ. Si Σ = {ϕ}, escribimos ϕ |= ψ en vez de {ϕ} |= ψ. Escribiremos |= ϕ para expresar que toda valuaci´ on le da a ϕ valor V . (Obsérvese que esto coincide con la definici´ o n de Σ |= ϕ en el caso Σ = ∅). Si Σ es un conjunto de proposiciones denotaremos por Cn(Σ) al conjunto de consecuencias de Σ, Cn(Σ) = {ϕ : Σ |= ϕ}. Si una valuación V toma valor V en una proposici´ on ϕ, decimos que V es un modelo de ϕ; si V es tal que V (σ) = V para toda σ ∈ Σ, decimos que V es un modelo de Σ. M od(Σ) denota el conjunto de los modelos de Σ.

Ejercicio 1.2.17 Sean Σ, Σ1 , Σ2 ⊆ PROP . Demuestre que 1. Si Σ1 ⊆ Σ2 , entonces Cn(Σ1) ⊆ Cn(Σ2 ) y M od(Σ2 ) ⊆ Mod(Σ1), 2. Σ ⊆ Cn(Σ), 3. Cn(Cn(Σ)) = Cn(Σ),

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4. Mod(Σ) = Mod(Cn(Σ)). La primera parte del ejercicio anterior muestra que si Σ |= ϕ y Σ ⊆ Σ1 , entonces Σ1 |= ϕ. Esta propiedad de la relaci´ on “|=” se conoce con el nombre de monoton´ıa.

Definici´ on 1.2.18 Un conjunto Σ de proposiciones es satisfactible (o realizable) si existe una valuaci´ on V tal que V (σ) = V para toda σ ∈ Σ, es decir, si M od(Σ)  = ∅. En caso contrario, decimos que Σ es insatisfactible. Proposici´ on 1.2.19 Un conjunto Σ ⊆ PROP es insatisfactible si y solamente si Cn(Σ) = PROP . Demostración. Si Cn(Σ) = PROP , entonces Mod(Cn(Σ)) = ∅; luego, Mod(Σ) = ∅. Rec´ıprocamente, si Mod(Σ) = ∅, trivialmente toda proposici´ on es consecuencia de Σ.

Ejercicio 1.2.20 Demuestre que (i) Σ |= ϕ si y s´ olo si Mod(Σ ∪ {(¬ϕ)}) = ∅. (ii) (ϕ → ψ) es una tautolog´ıa si y s´ olo si ϕ |= ψ . Definici´ on 1.2.21 Un conjunto Σ ⊆ PROP es finitamente satis factible si cada subconjunto finito de Σ es satisfactible. Teorema 1.2.22 (Teorema de compacidad) Un conjunto Σ ⊆ PROP es satisfactible si y solamente si Σ es finitamente satisfactible. Primero demostraremos un lema.

Lema 1.2.23 Si Σ ⊆ PROP es finitamente satisfactible y ϕ ∈ PROP , entonces al menos uno de los conjuntos Σ ∪ {ϕ} y Σ ∪ {(¬ϕ)} es finitamente satisfactible.


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Demostració n del lema. Supongamos que ni Σ ∪ {ϕ} ni Σ ∪ {(¬ϕ)} son finitamente satisfactibles. Entonces existen Σ1 y Σ2 , subconjuntos finitos de Σ, tales que Σ1 ∪ { ϕ} y Σ2 ∪ { (¬ϕ)} son insatisfactibles. El conjunto Σ1 ∪ Σ2 ⊆ Σ es finito y por hip´ otesis, existe una valuaci´ on V ∈ M od(Σ1 ∪ Σ2 ). Para esa valuaci´ on V o bien V (ϕ) = V o V ((¬ϕ)) = V . En el primer caso, V ∈ Mod(Σ1 ∪ {ϕ}, y en el segundo V ∈ Mod(Σ1 ∪ {(¬ϕ)}. Ambas posibilidades contradicen la suposici´ on inicial.lema Demostración del Teorema 1.2.22. Sea ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕn , . . . una enumeraci´ on de PROP. Definimos inductivamente una sucesi´ on de subconjuntos de PROP de la manera siguiente. Ponemos Σ0 = Σ, e inductivamente, Σn ∪ {ϕn } si este conjunto es finitamente satisfactible, Σn+1 = Σn ∪ {(¬ϕn )} en caso contrario.



Sea Σ∗ = ∞ otese que Σ∗ es finitamente satisfactible, n=0 Σn . N´ ya que cada Σn lo es. Definimos ahora una función



V : PROP → {V, F } poniendo V (ϕ) = V si y solamente si ϕ ∈ Σ∗ . Para cada ϕ ∈ PROP , ϕ ∈ Σ∗ o (¬ϕ) ∈ Σ∗ , pero no ambas cosas a la vez. Esto se debe a que ϕ = ϕn para alg´ un n, y entonces ϕ ∈ Σn+1 o (¬ϕ) ∈ Σn+1. Pero como cada Σn es finitamente satisfactible, ambas proposiciones ϕ y (¬ϕ) no pueden pertenecer a Σ∗ . Entonces, para cada ϕ, ϕ ∈ Σ∗ si y sólo si (¬ϕ) ∈ / Σ∗ , por lo que V ((¬ϕ)) = H ¬ (V (ϕ)). Por otra parte, si (ϕ ∨ ψ) ∈ Σ∗ , entonces alguna de las proposiciones ϕ y ψ pertenece a Σ∗ , ya que de lo contrario, (¬ϕ) y (¬ψ)

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estar´ıan ambas en Σ∗. Pero entonces, {(¬ϕ), (¬ψ), (ϕ ∨ ψ)} ⊆ Σ∗ y ese conjunto es insatisfactible, lo que constituye una contradicción. Rec´ıprocamente, si al menos una de las proposiciones ϕ y ψ pertenece a Σ∗ , entonces (ϕ ∨ ψ) ∈ Σ∗, porque si no, (¬(ϕ ∨ ψ)) ∈ Σ∗ pero tanto {(¬(ϕ ∨ ψ)), ϕ} como {(¬(ϕ ∨ ψ)), ψ } son insatisfactibles. En conclusi´ on, V ((ϕ ∨ ψ)) = H ∨ (V (ϕ), V (ψ)). Con esto queda verificado que V es una valuació n, y como le da valor V a toda proposici´ o n de Σ∗ , este conjunto es satisfactible. Como Σ ⊆ Σ∗ , tambien Σ es satisfactible.  Aunque no es necesario tratar los casos de proposiciones compuestas con las conectivas ∧, → y ↔, es ilustrativo hacerlo.

Ejercicio 1.2.24 Demuestre que la funci´ on V definida en la demostraci´ on del teorema 1.2.22 satisface las condiciones (iii), (iv) y on de valuaci´ on. (v) de la definici´ (Sugerencia para (iv): Hemos visto que para toda ϕ, ϕ ∈ Σ∗ o ¬ϕ ∈ Σ∗ , pero no ambas. Veamos que si (ϕ → ψ) ∈ Σ∗, y ϕ ∈ Σ∗ , entonces necesariamente ψ ∈ Σ∗ . Si ψ ∈ / Σ∗, entonces ¬ψ ∈ Σ∗ , y el conjunto {ϕ, (ϕ → ψ), ¬ψ } ⊆ Σ∗ es insatisfactible. Rec´ıprocamente, si ϕ ∈ / Σ∗ o si ψ ∈ Σ∗ , entonces (ϕ → ψ) ∈ Σ∗ , porque los conjuntos {¬ϕ, ¬(ϕ → ψ)} y {ψ, ¬(ϕ → ψ)} son ambos insatisfactibles). Corolario 1.2.25 Si Σ |= ϕ, entonces existe un subconjunto finito Σ0 ⊆ Σ tal que Σ0 |= ϕ. Demostración. Si Σ  |= ϕ para todo Σ ⊆ Σ con Σ finito, por el ejercicio 1.2.20(i), tenemos que para todo Σ ⊆ Σ finito, Σ ∪ {(¬ϕ)}es satisfactible, por lo tanto, Σ ∪ {(¬ϕ)} es satisfactible y en consecuencia, Σ  |= ϕ, lo que contradice la hipótesis.

Ejercicio 1.2.26 Un grafo es un par (V, E ) donde V es un con junto no vac´ıo, y E es un conjunto de pares de elementos de V . Usualmente, los elementos de V se llaman vértices del grafo y los


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elementos de E se llaman arcos o aristas. Si un par {x, y } ⊆ V pertenece a E , se dice que los vértices x e y est´ an conectados (por el arco {x, y }). Una k coloraci´ on de un grafo (V, E ), es una funci´ on ertice le asigna un ”color” entre c : V → {1, 2, . . . , k } que a cada v´ 1 y k, de modo que para todo x, y ∈ V , = c(y). {x, y } ∈ E ⇔ c(x) 

Decimos que un grafo es k coloreable si existe una tal coloraci´ on. Un subgrafo del grafo (V, E ) es un grafo (V  , E  ) tal que V  ⊆ V y E  = E ∩ {{x, y } : x, y ∈ V  }. Demuestre, usando el teorema de compacidad, que un grafo es k-coloreable si cada subgrafo finito es k-coloreable. Para demostrar que una proposici´ on ϕ es una tautolog´ıa hay que verificar que cada valuaci´ on le asigna valor V , pero para ello basta examinar un n´ umero finito de casos ya que s´ olo interesa conocer el valor que da la valuación a las letras que aparecen en la proposici´ on, y éstas son un número finito. En otras palabras, basta examinar la tabla de verdad de la proposición y verificar que en todos los casos se obtiene el valor V . Dejaremos como ejercicio verificar que las siguientes “leyes de la lógica” son todas tautolog´ıas. De ahora en adelante seremos menos rigurosos en el uso de los paréntesis, siempre que esto no nos lleve a ambig¨ uedades.

Teorema 1.2.27 Las siguientes proposiciones son tautolog´ıas. ϕ ∨ (ψ ∨ χ) ↔ (ϕ ∨ ψ) ∨ χ (ϕ ∨ ψ) ↔ (ψ ∨ ϕ) ϕ ∨ (ψ ∧ χ) ↔ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ) ¬(ϕ ∨ ψ) ↔ (¬ϕ) ∧ (¬ψ) (ϕ ∨ ϕ) ↔ ϕ

ϕ ∧ (ψ ∧ χ) ↔ (ϕ ∧ ψ) ∧ χ (ϕ ∧ ψ) ↔ (ψ ∧ ϕ) ϕ ∧ (ψ ∨ χ) ↔ (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ χ) ¬(ϕ ∧ ψ) ↔ (¬ϕ) ∨ (¬ψ) (ϕ ∧ ϕ) ↔ ϕ

¬¬ϕ ↔ ϕ.


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

Estas equivalencias se pueden llamar asociatividad y conmutatividad de ∨ y de ∧ (primera y segunda l´ıneas, respectivamente); distributividad de ∨ en ∧ y de ∧ en ∨ (en la tercera l´ınea); leyes de De Morgan (en la cuarta l´ınea); luego tenemos las leyes de absorción en la quinta l´ınea, y finalmente la ley de la doble negaci´ on.

Ejercicio 1.2.28 Demuestre el teorema anterior.

1.3

Formas Normales.

Observemos que toda proposici´ o n de la forma ( p ∨ (¬ p)) es una tautolog´ıa. Igualmente, toda disyunci´ on de proposiciones entre las cuales aparecen una proposici´ on ϕ y su negaci´ on ¬ϕ, es tambien una tautolog´ıa. Podemos usar varias equivalencias entre proposiciones para transformar una proposici´ on dada en una equivalente para la cual se puede determinar f´ acilmente si es o no una tautolog´ıa.

Teorema 1.3.1 Las siguientes proposiciones son tautolog´ıas. (ϕ → ψ) ↔ ((¬ϕ) ∨ ψ) (ϕ ↔ ψ) ↔ ((ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)) 

Llamaremos literales a las proposiciones que son una letra proposicional o la negaci´ on de una letra proposicional. Si l es un literal, ¬ p si l es p definimos ¯l = p si l es ¬ p



Definici´ on 1.3.2 Una proposici´ on est´ a en forma normal conjuntiva (FNC) si es una conjunci´ on de disyunciones de literales. Una proposici´ on est´ a en forma normal disyuntiva (FND) si es una disyunci´ on de conjunciones de literales.

1.3. FORMAS NORMALES.

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Ejemplo 1.3.3 ( p1 ∨ (¬ p2 )) ∧ ( p2 ∨ (¬ p2 )) ∧ ( p1 ∨ p2 ) est´ a en forma normal conjuntiva. Para llevar una proposici´ on a una forma normal, se efect´ uan los siguientes pasos: 1. Eliminar las conectivas → y ↔ usando el Teorema 1.3.1. 2. Mover la conectiva ¬ hacia el interior usando las Leyes de De Morgan y eliminar negaciones usando la ley de doble negaci´ on (Teorema 1.2.27). 3. Usar la distributividad para obtener la forma normal (Teorema 1.2.27). Si se usa la distributividad de la conjunci´ on en la disyunción, se obtiene una forma normal disyuntiva; y si se usa la distributividad de la disyunción en la conjunci´ on, se obtiene una forma normal conjuntiva.

Ejercicio 1.3.4 Halle formas normales conjuntivas y formas normales disyuntivas equivalentes a las siguientes proposiciones. 1. (¬ p → q ) → ((¬ p → ¬q ) → p), 2. ((r ∧ ¬s) → t) ↔ (¬s → (r → t)), 3. p → (q → ( p ∧ q )). Teorema 1.3.5 Sea {li : i ≤ n} un conjunto de literales, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. l1 ∨ l2 ∨ · · · ∨ ln es una tautolog´ıa, 2. ¯l1 ∧ ¯l2 ∧ · · · ∧ ¯ln es insatisfactible, 3. Existen i, j ≤ n tales que li = ¯l j . Utilizando este resultado es muy f´ acil determinar si una proposici´ on en forma normal conjuntiva es una tautolog´ıa: basta verificar que en cada clausula l1 ∨ l2 ∨ · · · ∨ ln existen i, j ≤ n tales que li = ¯l j .


18

Definici´ on 1.3.6 Una proposici´ on ϕ en forma normal conjuntiva es una proposici´ on de Horn si en cada disyunci´ on de ϕ hay a lo sumo un literal positivo. Ejemplo 1.3.7 La proposici´ on (¬ p ∨ q ) ∧ (¬ p ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬ p ∨ ¬q ) ∧ ¬t ∧ r

es de Horn, pero la siguiente no lo es, ( p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬q ∨ ¬r). Cada disyunci´ on en una proposici´ on de Horn se puede escribir de una manera equivalente como una implicaci´ on cuyo consecuente es una letra proposicional (la uńica que aparece no negada en esa disyunción). Por ejemplo, la primera proposici´ on del ejemplo es equivalente a ( p → q ) ∧ ( p ∧ r → s) ∧ ( p ∧ q → ⊥) ∧ (t → ⊥) ∧ ( → r).

1.4

Resoluci´ on

Una cláusula es un conjunto finito de literales, que se piensa como la disyunción de sus elementos. As´ı, una cl´ ausula C es verdad si uno de sus elementos es verdad. La cl´ ausula vac´ıa ∅ es falsa (ya que no tiene ning´ un elemento que sea verdad). Un conjunto S de cláusulas es una proposici´ on (pensando en S como la conjunci´ on de sus elementos). S es verdad si cada uno de sus elementos es verdad. La proposici´ on vac´ıa ∅ es siempre verdad ya que no tiene elementos que no sean verdad. Podemos pensar en una asignaci´ on de valores de verdad como un conjunto de literales que no contenga a la vez una letra proposicional y su negaci´ on (la asignaci´ on es el conjunto de los literales que toman valor V , de modo que una letra p toma valor V si pertenece a la asignación, y toma valor F si p¯ pertenece a la asignaci´ on). Si una asignaci´ on A contiene p o ¬ p para cada letra proposicional

´ 1.4. RESOLUCI ON

19

(pero no ambas), entonces corresponde a una asignaci´ on de valores de verdad como en la definici´ on que dimos anteriormente. Con esta terminolog´ıa, una asignaci´ on A satisface la proposici´ on S , en s´ımbolos A |= S, si para toda C ∈ S , (C ∩ A  = ∅) es decir, si la valuación inducida por A le da valor V a cada cláusula C de S .

Definici´ on 1.4.1 Sean c1 , c2, c tres cl´ ausulas. Decimos que c es una resolvente de c1 y c2 si existe un literal l tal que (i) l ∈ c1 , (ii) ¯l ∈ c2 , (iii) c = (c1 \ {l}) ∪ c2 \ {¯l}). Ejemplo 1.4.2 Ejemplo. Las cl´ ausulas { p, ¬q, r} y {q, ¬r, s} admiten las resolventes { p, r, ¬r, s} y { p, q, ¬q, s}. Definici´ on 1.4.3 Sea C un conjunto de cl´ ausulas. Una prueba por resoluci´ on a partir de C es una sucesi´ on finita de cl´ ausulas c1 , c2 , . . . , cn tal que cada cl´ ausula de la sucesi´ on es un elemento de ausulas anteriores en la sucesi´ on. C o es una resolvente de dos cl´ La ultima ´ cl´ ausula de la sucesi´ on es la conclusi´ on de la prueba. Si on de C . cn = ∅, se dice que la prueba es una refutaci´ Proposici´ on 1.4.4 Toda cl´ ausula que aparece en una prueba por resoluci´ on a partir de C es una consecuencia de C . Demostración. Es bastante obvia, ya que una resolvente de dos cláusulas c1 y c2 es consecuencia de ellas. Sea C un conjunto de cl´ ausulas. Un a´rbol de resoluci´ on a partir de C es un a´rbol binario finito con las siguientes propiedades. (i) Los nodos extremales del arbol ´ est´ an etiquetados con elementos de C ,

20


(ii) todo nodo no terminal tiene exactamente dos sucesores y est´ a etiquetado por una resolvente de las etiquetas de los sucesores. Nótese que de cada a´rbol de resoluci´ on a partir de C se puede construir una prueba por resoluci´ on a partir de C cuya conclusión es la ra´ız del a´rbol. Y viceversa, dada una pureba por resoluci´ on a partir de C , se puede construir un a´rbol de resoluci´ on a partir de C cuya ra´ız es la conclusi´ on de la prueba por resoluci´ on. Si la ra´ız de un a´rbol de resoluci´ o n a partir de C es la cláusula vac´ıa, decimos que el a´rbol es una refutaci´ on de C .

1.4.1

Completitud del m´ etodo de resoluci´ on.

Sea C un conjunto de cl´ ausulas, y sea l un literal. Denotamos por C (l) al conjunto de cl´ ausulas / c}. {c \ {¯l} : c ∈ C y l ∈ En otras palabras, C (l) se obtiene eliminando de C todas aquellas cláusulas donde aparece l, y tomamos las otras, pero quit´ andoles ¯l. Esto corresponde a asignarle a l valor V , y quedarse con la parte no determinada todav´ıa de las cl´ ausulas que no sean automáticamente verdaderas.

Lema 1.4.5 Si C es insatisfactible, tambien lo es C (l). Demostración. Supongamos que V es una valuaci´ on que satisface C (l). Como el literal l no aparece en C (l), podemos suponer sin perder generalidad que V (l) = V . Pero entonces V también satisface C , ya que asigna valor V a las cláusulas de C que contienen a l (y que por lo tanto no aparecen en C (l), y por hipótesis, V asigna valor V a las dem´ as cláusulas de C . 

Teorema 1.4.6 Un conjunto C de cl´ ausulas es contradictorio si y solamente si existe un arbol ´ de resoluci´ on que lo refuta.

´ 1.4. RESOLUCI ON

21

Demostración. Claramente, si existe un a´rbol de resoluci´ on que refuta C , entonces C no es satisfactible, la cl´ ausula vac´ıa es consecuencia de C . Rec´ıprocamente, supongamos que C es insatisfactible. Por el teorema de compacidad podemos suponer tambi´ en que C es finito, y probamos el resultado por inducci´ on en el n´ umero de letras proposicionales que aparecen en C . Si en C aparece solamente una letra proposicional p, entonces debe haber en C cláusulas donde aparece solamente el literal p y cláusulas donde aparece solamente el literal p, ¯ y por lo tanto se puede obtener la cl´ ausula vac´ıa como ra´ız de un a´rbol de resoluci´ on. Supongamos ahra que en C aparecen las letras proposicionales p1 , p2 , . . . , pn+1 , y consideremos los conjuntos C ( pn+1 ) y C ( p¯n+1). Por el Lema 1.4.5 ambos conjuntos de cl´ ausulas con insatisfactibles, y por hip´ otesis inductiva, existe un a´rbol de resoluci´ on T 0 que refuta C ( pn+1 ) y un a´rbol de resoluci´ on T 1 que refuta C ( p¯n+1 ). Ahora, modifiquemos T 0 recursivamente de la manera siguiente. Agreguemos p¯n+1 a los nodos terminales de T 0 que no pertenecen a C (obteniendo as´ı una cl´ a usula que pertenece a C ) , y luego, agreguemos p¯n+1 a cada nodo no terminal de T 0 si hemos agregado ese literal a alguno de sus sucesores. Debe resultar claro que el a´rbol obtenido es un a´rbol de resoluci´ on con ra´ız p¯n+1 . Análogamente modificamos T 1 , pero a˜ nadiendo pn+1, para obtener un a´rbol de resoluci´ on con ra´ız pn+1. Aplicando resoluci´ on a las dos ra´ıces de los a´rboles modificados obtenemos un a´rbol de resoluci´ on que refuta C .


22

1.5

Un sistema axiom´ atico para el c´ alculo proposicional.

Un sistema axiomático est´ a constituido por varios elementos sint´ acticos: on de expre• un lenguaje, con un alfabeto y reglas de formaci´ siones,

• un conjunto de expresiones designadas como axiomas, y • reglas de inferencia En el caso del cálculo proposicional ya tenemos nuestro lenguaje, con un alfabeto de letras proposicionales y reglas de formaci´ o n de expresiones que llamamos proposiciones. A continuaci´ on se˜ nalamos los axiomas y reglas de inferencia que usaremos para completar el sistema axiom´ atico.

Axiomas. Escogeremos un conjunto de proposiciones que llamaremos axiomas. Nuestros axiomas son proposiciones donde s´ olo aparecen las conectivas ¬ y →. Tomaremos como axiomas a todas las proposiciones de las formas siguientes (donde ϕ, σ y ψ son proposiciones): (A1) ϕ → (σ → ϕ) (A2) (ϕ → (ψ → σ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → σ)) (A3) (¬ϕ → ψ) → ((¬ϕ → ¬ψ) → ϕ) a una sola regla Reglas de inferencia. En nuestro sistema habr´ de inferencia, llamada Modus Ponens (MP). Esta regla establece que de las proposiciones ϕ y ϕ → ψ se infiere la proposici´ on ψ. Usualmente esto se expresa de la forma siguiente: ϕ ϕ→ψ ψ

´ ´ 1.5. UN SISTEMA AXIOM ATICO PARA EL C ALCULO PROPOSICIONAL.23

Ejercicio 1.5.1 Demuestre que todos los axiomas son tautolog´ıas. Definici´ on 1.5.2 La proposici´ on ϕ se deduce (o se demuestra ) a partir del conjunto de proposiciones Σ si existe una sucesi´ on finita de proposiciones ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn tal que ϕn = ϕ y para cada i ≤ n, ϕi es un axioma, o ϕi ∈ Σ, o ϕi se infiere de proposiciones anteriores de la lista por la regla de Modus Ponens (es decir, existen j, k < i tales que ϕk = ϕ j → ϕi ). En este caso se dice que ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn es una demostraci´ on de ϕ a partir de Σ. Usaremos la notaci´ on Σϕ para expresar que ϕ se deduce de Σ. Si Σ = ∅, escribimos  ϕ. Definimos Ded(Σ) = {ϕ : Σ  ϕ}.

Ejemplo 1.5.3 Para toda proposici´ on ϕ, se tiene

 (ϕ → ϕ). La siguiente lista es una demostraci´ on de ϕ → ϕ, donde, en la columna de la izquierda escribimos la justificaci´ on de cada proposici´ on. (A2) (A1) (MP ) (A1) (MP )

ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) → ((ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)) ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) ((ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)) ϕ → (ϕ → ϕ) ϕ → ϕ.

Teorema 1.5.4 (Teorema de deducci´ on). Dadas ϕ, ψ ∈ PROP , y Σ ⊆ PROP , olo si Σ  (ϕ → ψ). Σ ∪ {ϕ}  ψ si y s´


24

Demostración. (⇒). Sea ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn una demostraci´ on de ψ a partir de Σ ∪ {ϕ}. Probaremos por inducción en i ≤ n que Σ  (ϕ → ϕi ). Para i = 1, tenemos que ϕ1 es un axioma, ϕ1 ∈ Σ o ϕ1 = ϕ. En los dos primeros casos, como ϕ1 → (ϕ → ϕ1 ) es un axioma (del tipo A1), aplicando la regla de Modus Ponens, obtenemos Σ  (ϕ → ϕ1 ); en el caso restante, por el ejemplo anterior, sabemos que Σ  (ϕ → ϕ). Sea i = k, y supongamos que Σ  (ϕ → ϕ j ) para todo j < k. Sabemos que ϕk puede ser una axioma, puede ser un elemento de Σ, puede ser ϕ o finalmente, puede inferirse aplicando Modus Ponens a ϕ j y ϕl = (ϕ j → ϕk ), donde j, l < k. Los tres primeros casos se tratan como en el caso i = 1; y para el u ´ ltimo caso, por hip´ otesis inductiva, Σ  (ϕ → ϕ j ) y Σ  (ϕ → (ϕ j → ϕk )). Aplicando Modus Ponens dos veces al axioma (A2) (ϕ → (ϕ j → ϕk )) → ((ϕ → ϕ j ) → (ϕ → ϕk )), obtenemos Σ  (ϕ → ϕk ). Esto completa el paso inductivo, y para i = n tenemos el resultado deseado. (⇐) Esta implicaci´ on es trivial, ya que si Σ  (ϕ → ψ), entonces también se tiene Σ ∪ {ϕ}  (ϕ → ψ), y aplicando Modus Ponens obtenemos Σ ∪ {ϕ}  ψ. 

Corolario 1.5.5

(i) {ϕ → ψ, ψ → σ }  ϕ → σ;

(ii) {ϕ → (ψ → σ), ψ }  ϕ → σ . Demostració n. (i). Partiendo del conjunto {ϕ → ψ, ψ → σ, ϕ}, se demuestra σ con dos usos de Modus Ponens. Aplicando el Teorema de Deducci´ on obtenemos el resultado. (ii). Se demuestra de la misma manera.

Ejercicio 1.5.6 Demuestre que dadas proposiciones ϕ y ψ , las siguientes proposiciones son teoremas (i) ¬¬ϕ → ϕ; ϕ → ¬¬ ϕ;


(ii) ¬ϕ → (ϕ → ψ); ϕ → (¬ϕ → ψ); (iii) (¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ); (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ); Sugerencia: use el teorema de deducci´ on (1.5.4). Definici´ on 1.5.7 Un conjunto Σ de proposiciones es inconsistente si para alguna proposici´ on ϕ, Σ  ϕ y Σ  (¬ϕ). Decimos que Σ es consistente si no es inconsistente. Ejercicio 1.5.8 Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Σ es inconsistente, (ii) Existe ϕ tal que Σ  (ϕ ∧ (¬ϕ)), (iii) Σ  ϕ para toda proposici´ on ϕ. Sugerencia: Para demostrar que (i) ⇒ (iii), use que para todo par de proposiciones ϕ y ψ ,  ¬ϕ → (ϕ → ψ) (ejercicio 1.5.6). Para (ii) ⇒ (i), demuestre que  ϕ ∧ ψ → ϕ, es decir  ¬(ϕ → ¬ψ) → ψ . Por el ejercicio 1.5.6 esto sigue de  ¬ ψ → (ϕ → ¬ψ). Teorema 1.5.9 (Teorema de Completitud) Para toda Σ ⊆ PROP y toda ϕ ∈ PROP , Σ  ϕ si y s´ olo si Σ |= ϕ. Necesitaremos dos lemas.

Lema 1.5.10 Σ  ϕ si y solamente si Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Demostración. (⇒). Si Σ  ϕ entonces también Σ ∪ {¬ϕ}  ϕ, pero entonces Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. (⇐). Supongamos que Σ ∪ {¬ϕ} es inconsistente. Sea ψ tal que Σ ∪ {¬ϕ}  ψ y Σ ∪ {¬ϕ}  ¬ ψ. Por el teorema de deducci´ on (1.5.4), Σ  (¬ϕ → ψ) y Σ  (¬ϕ → ¬ ψ). Por (A3), (¬ϕ → ψ) → ((¬ϕ → ¬ψ) → ϕ)

26


es un axioma; y aplicando Modus Ponens dos veces, obtenemos Σ  ϕ.

Lema 1.5.11 Σ es satisfactible si y solamente si Σ es consistente. Demostración. (⇒) Observemos primero que la regla Modus Ponens preserva el valor de verdad V , es decir, si V es una valuaci´ o n, y V (ϕ) = V ((ϕ → ψ)) = V , entonces V (ψ) = V . Esto sigue directamente de la definición de valuación. Supongamos que V ∈ Mod(Σ), si Σ  ϕ, entonces por lo dicho anteriormente, V (ϕ) = V . Supongamos que para alguna ϕ se cumple que Σ  ϕ y también Σ  ¬ϕ; entonces V (ϕ) = V (¬ϕ) = V , lo que contradice la definici´ on de valuación. (⇐) Supongamos que Σ es consistente. Queremos producir una valuación V ∈ M od(Σ). Podemos usar el mismo procedimiento de la demostraci´ on del Teorema de Compacidad, pero para variar, usaremos el Lema de Zorn. Consideremos el conjunto A = {Σ ⊆ PROP : Σ ⊆ Σ y Σ es consistente}, con el orden dado por la inclusi´ on ⊆. Es fácil verificar que toda cadena en A tiene una cota superior. En efecto, si B ⊆ A es una cadena, entonces su uni´ on, ∪B, es también un elemento de A; obviamente contiene a Σ, y es consistente porque de lo contrario, existe ϕ tal que ∪B  (ϕ ∧ ¬ϕ). Como las demostraciones son finitas, debe haber un elemento Σ de la cadena B tal que Σ  ϕ ∧ ¬ϕ, contradiciendo que Σ es consistente. Por el lema de Zorn, existe un elemento maximal Σ∗ de A. Veamos que Σ∗ tiene las siguientes propiedades. (a) Σ∗  ϕ si y sólo si ϕ ∈ Σ∗ . Si ϕ ∈ Σ∗ , entonces es claro que Σ∗  ϕ. Rec´ıprocamente, si Σ∗  ϕ, entonces Σ∗ ∪ {ϕ} es consistente (porque en caso contrario, si Σ∗ ∪ {ϕ} es inconsistente, entonces para alguna proposici´ on ψ, Σ∗ ∪ {ϕ}  ψ Σ∗ ∪ {ϕ}  ¬ ψ. Pero entonces Σ∗  ψ y Σ∗  ψ).


(b) Para toda ϕ, ϕ ∈ / Σ∗ si y só lo si ¬ϕ ∈ Σ∗ . Si ϕ ∈ Σ∗ , como este es un conjunto consistente de proposiciones, ¬ϕ ∈ / Σ∗ . Rec´ıprocamente, si ϕ ∈ / Σ∗ , entonces por (a), Σ  ϕ. Por el Lema 1.5.10, de aqu´ı sigue que Σ∗ ∪ {¬ϕ} es consistente, y por la maximalidad de Σ∗, ¬ϕ ∈ Σ∗ . (c) dadas ϕ, ψ ∈ PROP , (ϕ ∨ ψ) ∈ Σ∗ si y sólo si ϕ ∈ Σ∗ o ψ ∈ Σ∗ . Supongamos que (ϕ ∨ ψ) ∈ Σ∗ pero ϕ ∈ / Σ∗ y ψ ∈ / Σ∗ . entonces por (b), ¬ϕ ∈ Σ∗ y ¬ψ ∈ Σ∗ y esto implica que Σ∗ es inconsistente ya que ϕ ∨ ψ es equivalente a ¬ϕ → ψ, y de {¬ϕ → ψ, ¬ϕ, ¬ψ } se deduce tanto ψ como ¬ψ. Rec´ıprocamente, supongamos que ϕ ∈ Σ∗ . Nótese que  ϕ → (¬ϕ → ψ). Entonces (¬ϕ → ψ) ∈ Σ∗ , y luego ϕ ∨ ψ ∈ Σ∗ . Análogamente si ψ ∈ Σ∗. Definamos V : PROP → {V, F } poniendo V (ϕ) = V si y solamente si ϕ ∈ Σ∗ . Por las propiedades (b) y (c), V es una valuación, y V ∈ Mod(Σ∗ ). Como Σ ⊆ Σ∗ , entonces V ∈ Mod(Σ) y por lo tnato Σ s consistente. Ahora podemos demostrar el teorema de completitud. Demostración de 1.5.9. Supongamos que Σ  ϕ. Entonces si V ∈ Mod(Σ), como Modus Ponens preserva el valor V , tenemos que V (ϕ) = V . Es decir, Σ  ϕ. Por otra parte, si Σ  ϕ, entonces, Σ ∪ {¬ϕ} es consistente (por el Lema 1.5.10). Luego, en virtud del Lema 1.5.11, existe V ∈ Mod(Σ ∪ {¬ϕ}), pero entonces Σ  ϕ. El teorema de compacidad (Teorema 1.2.22) puede obtenerse como corolario inmediato del Lema 1.5.11.

Corolario 1.5.12 (Teorema de Compacidad) Un conjunto Σ de proposiciones es satisfactible si y solo si es finitamente satisfactible. Demostración. Veamos primero que si Σ es finitamente satisfactible, entonces es consistente. Si Σ es inconsistente, existe ϕ tal que Σ  ϕ ∧ (¬ϕ), y como las demostraciones son finitas, existe un conjunto finito Σ ⊆ Σ tal que Σ  ϕ ∧ (¬ϕ). Pero entonces,

28


Σ es insatisfactible, lo que contradice la hip´ otesis. Entonces, por el Lema 1.5.11, si Σ es finitamente satisfactible, tiene modelos. La otra parte del teorema es trivial. 

Corolario 1.5.13 El conjunto de axiomas del c´ alculo proposicional es consistente. Demostració n. Todo teorema del c´ alculo proposicional es una tautolog´ıa, luego   ϕ ∧ ¬ϕ.

Ejercicio 1.5.14 Sean Σ y Γ conjuntos de proposiciones. Diremos que Γ es un conjunto de axiomas para Σ si Cn(Γ) = Cn(Σ) (o, equivalentemente, si Ded(Γ) = Ded(Σ)). Un conjunto Σ ⊆ PROP es finitamente axiomatizable si tiene un conjunto finito de axiomas. Demuestre que si Σ1 y Σ2 son conjuntos de proposiciones tales que / Mod(Σ2 ) V ∈ Mod(Σ1 ) ⇔ V ∈ entonces Σ1 y Σ2 son ambas finitamente axiomatizables. Ejercicio 1.5.15 Un conjunto de proposiciones Σ se dice completo si para toda ϕ ∈ PROP , se tiene Σ  ϕ o Σ  ¬ ϕ. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes. (i) Cn(Σ) es maximal consistente, (ii) Σ es completo, (iii) Σ tiene un unico ´ modelo (es decir, existe una unica ´ valuaci´ on en Mod(Σ)), (iv) existe V ∈ Mod(Σ) tal que para toda ϕ ∈ PROP , ϕ ∈ Cn(Σ) ⇔ V (ϕ) = V.

1.6. CALCULO ´ DE SECUENTES.

29

Ejercicio 1.5.16 Decimos que un conjunto Σ ⊆ PROP es independiente si para toda σ ∈ Σ, σ ∈ / Cn(Σ \ {σ }). Demuestre que (si el conjunto de letras proposicionales es numerable), todo conjunto Σ ⊆ PROP tiene un conjunto independiente de axiomas. (Sugerencia: Muestre que Σ tiene axiomas {σ1 , σ2 , . . . } tales que para todo n,  σn+1 → σn , pero no σn → σn+1. Considere luego el conjunto {σ1 , σ1 → σ2, . . . , σn → σn+1 , . . . }.)

1.6

C´ alculo de secuentes.

Demostraremos ahora un teorema de completitud para un sistema deductivo de otro tipo, donde los axiomas se reducen al m´ınimo y hay más reglas de inferencia. En este sistema, tanto los axiomas como las reglas est´ an dados usando secuentes. Si Γ y ∆ denotan conjuntos finitos de proposiciones, un secuente es un par (Γ, ∆) que usualmente se escribe Γ∆ y se lee, informalmente, de ∆ sigue Γ, o m´ as precisamente: de la conjunci´ on de las proposiciones de Γ sigue la disyunci´ o n de las proposiciones de ∆. Esto motiva la siguiente definición.

Definici´ on 1.6.1 Una valuaci´ on V satisface un sequente Γ  ∆ si le da valor V a alguna proposici´ on de ∆ en caso de que le de valor V a todas las proposiciones de Γ. Como Γ y ∆ son finitos, esto equivale a decir que V satisface ∧Γ → ∨ ∆. Axiomas (Reflexividad) Γ, ϕ  ∆, ϕ


30 Reglas (∧ )

Γ, ϕ , ψ  ∆ Γ, (ϕ ∧ ψ)  ∆

( ∧)

Γ  ∆, ϕ Γ  ∆, ψ Γ  ∆, (ϕ ∧ ψ)

(∨ )

Γ, ϕ  ∆ Γ, ψ  ∆ Γ, (ϕ ∨ ψ)  ∆

( ∨)

Γ  ∆ϕ, ψ Γ  ∆, (ϕ ∨ ψ)

(¬ )

Γ  ∆, ϕ Γ, ¬ϕ  ∆

( ¬)

Γ, ϕ  ∆ Γ  ¬ ϕ, ∆

(→)

Γ  ∆, ϕ Γ, ψ  ∆ Γ, (ϕ → ψ)  ∆

(→)

Γ, ϕ  ∆, ψ Γ  ∆, (ϕ → ψ)

Definici´ on 1.6.2 Una derivaci´ on en este sistema es un ´ arbol finito de secuentes, con axiomas en los nodos terminales, y tal que cada secuente en el ´ arbol sigue de los que est´ an inmediatamente por encima por una de las reglas. Una derivaci´ on de un secuente Γ  ∆ es una derivaci´ on cuya ra´ız es el secuente Γ  ∆. Dicho de otra manera, una derivaci´ o n de un secuente Γ  ∆ (en el c´ a lculo de secuentes) es una sucesi´ on finita de secuentes S 1, . . . , Sn tal que S n = Γ  ∆, y cada S i (i = 1, . . . , n) es un axioma o se obtiene de secuentes anteriores de la sucesi´ on aplicando una de las reglas.

Ejemplo 1.6.3 Derivaci´ on de ((ϕ ∧ ¬ψ) ∨ θ)  (ϕ ∨ θ) ϕ, ¬ψ  ϕ, θ(axioma) (ϕ ∧ ¬ψ)  ϕ, θ (∧  )

θ  ϕ, θ (axioma)

(ϕ ∧ ¬ψ)  (ϕ ∨ θ) ( ∨ )

θ  (ϕ ∨ θ) ( ∨ )

(ϕ ∧ ¬ψ) ∨ θ  (ϕ ∨ θ) (∨ )


31

Teorema 1.6.4 (Teorema de completitud) Sean Γ, ∆ conjuntos finitos de proposiciones. Las siguientes afirmaciones son equivalentes. (i) Existe una derivaci´ on de Γ  ∆, (ii) Toda valuaci´ on satisface Γ  ∆, es decir, cada valuaci´ on que asigna valor V a cada ϕ ∈ Γ asigna valor V a alguna ψ ∈ ∆. Demostración. (i) ⇒ (ii). Por inducci´ o n en la longitud de la derivaci´ on. (ii) ⇒ (i). Comenzamos con Γ, ∆ que satisface (ii), y tratamos de obtener una derivaci´ o n de Γ  ∆ trabajando en reverso: en cada paso, tomamos una proposici´ o de Γ ∪ ∆ de longitud máxima, y la descomponemos usando una de las reglas, as´ı, hasta llegar a secuentes que no se pueden descomponer m´ as. Si estos secuentes son axiomas, hemos obtenido una derivaci´ on   de Γ  ∆; si alguno no lo es, digamos Γ  ∆ , definimos una asignación de valores de verdad V , poniendo para cada letra proposicional p,

V ( p) =



V si p ∈ Γ F si p ∈ ∆ ,

y arbitrariamente en todas las dem´ as letras proposicionales. Usando las reglas, vemos que para cada secuente Γ  ∆ de la derivaci´ on que est´ a por debajo de Γ  ∆ , toda p en el antecedente (Γ ) recibe valor V por V , y toda p en el consecuente (∆ ), recibe valor F . En particular, eso vale para Γ  ∆, contradiciendo la hipótesis.

Ejercicio 1.6.5 Demuestre la siguiente propiedad de monoton´ıa. Γ∆ Γ, ϕ  ∆


32

En otras palabras, muestre que si Γ  ∆ es derivable, entonces también lo es Γ, ϕ  ∆. Sugerencia: es consecuencia inmediata del teorema de completitud. ¿C´ omo se puede demostrar la monoton´ıa sin usar completitud? Ejercicio 1.6.6

1. Demuestre la regla de corte ( corte )

Γ, ϕ  ∆ Γ  ϕ Γ∆

Sugerencia: use las reglas  ¬ y  ∧ para demostrar que en el c´ alculo de secuentes, de las premisas Γ, ϕ  ∆ Γ  ϕ se infiere el secuente Γ  ∆. 2. Demuestre la regla de modus ponens por la derecha. ( MP )

Γϕ Γϕ→ψ Γψ

La relaci´ on de consecuencia  puede ser vista como una relaci´ on binaria definida en el conjunto de los conjuntos finitos de proposiciones. El teorema anterior caracteriza desde el punto de vista semántico el conjunto de pares (Γ, ∆) tales que ∆  Γ es derivable en este sistema: es el conjunto de pares (Γ, ∆) tales que toda valuación que satisface cada proposici´ on de Γ, satisface al menos una proposición de ∆. Presentamos a continuaci´ on un resultado de car´ a cter un poco más general como preparaci´ on para conceptos y resultados que veremos posteriormente.

Definici´ on 1.6.7 Sea S un conjunto de secuentes. Diremos que un secuente Γ  ∆ se puede derivar a partir de S (en el c´ alculo de secuentes) si existe un arbol ´ finito de secuentes cuya ra´ız es Γ  ∆, cuyos nodos terminales son axiomas o elementos de S y tal que cada nodo no terminal del arbol ´ sigue de los que est´ an directamente por encima por una de las reglas.


33

Equivalentemente, si existe una sucesi´ on finita S 1 , . . . , Sn de secuentes tal que S n − Γ  ∆ y cada S i ( i = 1, . . . n) es un axioma, es un elemento de S o se obtiene por una regla de secuentes anteriore de la lista. Teorema 1.6.8 Dado un conjunto de secuentes S y un secuente Γ  ∆, las siguientes afirmaciones son equivalentes. (i) Existe una una derivaci´ derivaci´ on de Γ  ∆ a partir de S . (ii) Toda valuaci´ on que satisface todo secuente de S , satisface Γ  ∆. Demostración. on. Fijemos una derivaci´ on o n de Γ  ∆ a partir de S , y sea V una valuación on que satisface todo secuente de S . Entonces, a´rbol correspondiente, correspondiente, ya V satisface todos los nodos terminales del arbol sea porque son axiomas o porque son elementos de S . Examinando cada una de las reglas, vemos que si V satisface las premisas de una regla, entonces satisface la conclusi´ on. on. Por lo tanto, V satisface la ra´ız del de l arbol, a´rbol, el secuente Γ  ∆. Rec´ Rec´ıprocamente, supongamos que toda valuaci´ on que satisface cada secuente en S satisface satisf ace también en Γ  ∆. Usand Usandoo el mism mismoo procedimiento que en el teorema de completitud 1.6.4 usamos las relgas para descomponer proposiciones de longitud m´ axima a partir de Γ  ∆ y construimos un árbol arbol finito finito de secuen secuentes. tes. Si todos sus nodos terminales son axiomas o elementos de S , hemos obtenido una demostraci´ on o n de Γ  ∆ a partir de S . Si el secuente Σ  Ω es un nodo terminal del arbol. a´rbol. Consideremos el conjunto

R = {¬γ : γ ∈ Ω} ∪ {δ : Σ  δ es derivable a partir de S }. Para demostrar que este conjunto es satisfactible supongamos que existe un subconjunto finito de R insati insatisfac sfactibl tible. e. Sea entonc entonces es {¬γ 1 , . . . , ¬γ n } ∪ {δ 1 , . . . , δm } insatisfactible, con γ i ∈ Ω para cada i = 1, . . . , n y Σ  δ i derivable a partir de S para cada i = 1, . . . , m. m. Tenemos entonces que  ∧i δ i → ∨i γ i .

34

´ CAP ´ ITUL ITULO O 1. C ALCULO PROPOSICIONAL

Y por lo tanto también en  ∧Σ → (∧i δ i → ∨i γ i ).

De aqu´ aqu´ı, por p or el teorema de competitud comp etitud 1.6.4, 1 .6.4, tenemos que Σ  (∧i δ i → ∨i γ i ) es derivable. Por la definici´ on on de R, para cada i = 1, . . . , m, m, Σ  δ i es derivable a partir de S . Y usando usando la regla regla  ∧ repetidas veces, obtenemos que Σ  ∧i δ i es derivable a partir de S . Por la la reg regla MP (Ejercicio 1.6.6), entonces Σ  ∨i γ i es derivable a partir de S , y por lo tanto Σ  Ω tambi´ ta mbién en lo es. es . Hemos demostrado entonces que el arbol a´rbol obrtenido a partir de Γ  ∆ es una derivaci´ on on a partir de S . Dado un conjunto M de valuaciones, consideremos el conjunto de todos los pares (Γ, (Γ, ∆) tales que para toda valuaci´ on on V ∈ M, si V  Γ, entonces V satisface al menos una proposici´ on o n de ∆ ( es decir, los secuentes satisfechos por todas las valuaciones de M). Diremos que este conjunto de pares es la relaci´ on on determinada por (Γ, ∆) ∈M . M, y lo denotaremos por M . Escribimos Γ M ∆ si (Γ,

Corolario 1.6.9 [4] Dado un conjunto de S de secuentes que contiene a los axiomas de reflexi´ on y es cerrado bajo las reglas del c´ alculo de secuentes que hemos presentado, existe un conjunto M de valuaciones tal que Γ  ∆ ∈ S si y s´ olo si toda valuaci´ on de M que satisface todas las proposiciones de Γ satisface al menos una proposici´ on de ∆. Demostración. o n. Sea Sea M el conjunto de las valuaciones V tales que para todo par (Γ, (Γ, ∆) ∈ S , si V |= Γ, entonces V satisface al menos una proposici´ on de ∆. El teorema 1.6.8 muestra que (Γ, on (Γ, ∆) es derivable a partir de S si y solamente si Γ M ∆. Pero Pero como como


35

alculo de secuentes, tenemos que S es cerrado bajo las reglas del cálculo (Γ, (Γ, ∆) ∈ S si y solamente si Γ M ∆. 

Ejercicio 1.6.10 Demuestre que dado un conjunto M de valuaciones, para todo Γ, ∆, ϕ, Γ, ϕ M ∆, ϕ;

y el conjunto M es cerrado bajo las reglas del c´ alculo de secuentes. Definici´ on on 1.6.11 Diremos que M representa un conjunto de secuentes S si (Γ, ∆) : Γ M ∆}. S = {(Γ, Hemos demostrado lo siguiente

Teorema 1.6.12 [4] Todo conjunto S de secuentes que contiene los axiomas de reflexividad y es cerrado bajo las reglas del c´ alculo de secuentes es representado por un conjunto de valuaciones. La regla de monoton monot on´´ıa Γ∆ Γ, ϕ  ∆ es consecuencia inmediata del teorema de completitud 1.6.4. Igualmente, usando el teorema 1.6.8 vemos que si Γ  ∆ es derivable a partir de un conjunto S de secuentes, tambi´ en en lo es el secuente Γ, ϕ  ∆.

36

´ CAP ´ ITUL ITULO O 1. C ALCULO PROPOSICIONAL

Cap´ıtulo 2 L´ ogica de primer orden. 2.1

Lenguajes de primer orden y estructuras

Un lenguaje L es una colecci´ on de s´ımbolos. Estos s´ımbolos ser´ an agrupados en tres clases: S´ımbolos relacionales S´ımbolos funcionales S´ımbolos constantes

R0 , R1 ,... F 0 , F 1 ,... c0 , c1 ,...

L = {R0 , R1 , . . . , F0 , F 1 , c0 , c1 , . . .} Cada s´ımbolo relacional y cada s´ımbolo funcional lleva asociado un n´ umero natural ≥ 1 (su n´ umero de argumentos), as´ı, tenemos s´ımbolos funcionales o relacionales unarios, binarios, ... n-arios, etc. En este curso trabajaremos casi siempre con lenguajes numerables (o finitos) pero se pueden considerar lenguajes de cardinalidad mayor. Una interpretaci´ on A del lenguaje L (o una estructura A para L) consta de: i) Un conjunto no vac´ıo A (el universo de 37

A).

´ CAP ´ ITULO 2. LOGICA DE PRIMER ORDEN.

38

ii) Para cada s´ımbolo relacional n-ario Ri de L, una relaci´ on n A Ri ⊆ A . iii) Para cada s´ımbolo funcional n-ario F i de L, una función F iA : An → A. iv) Para cada s´ımbolo constante C i de L, un elemento C iA de A. Escribiremos A A A A A = A, RA 0 , R1 , . . . , F0 , F 1 , . . . c0 , c1 . . ..

A

La cardinalidad de una estructura A para L es la cardinalidad de su universo A.

2.2

Operaciones entre estructuras:

Dos estructuras A y A

B

B

para el lenguaje L,

A A A A = A, R0A, RA 1 , . . . , F0 , F 1 , . . . c0 , c1 . . .

B = B, R0B, R1A, . . . , F0B , F 1B, . . . cB 0 , c1 . . .,

son isomorfas si existe una biyección f : A → B tal que i) Para cada s´ımbolo relacional n-ario R de L, RA(a1 , . . . , an ) si y sólo si RB(f (a1 ), . . . , f ( an )) (donde a1 , . . . , an ∈ A). ii) Para cada s´ımbolo funcional n-ario F de L, dados a1 . . . an ∈ A, f (F A(a1, . . . , an )) = F B(f (a1 ), . . . , f ( an ))

2.2. OPERACIONES ENTRE ESTRUCTURAS:

39

iii) Para cada s´ımbolo constante c de L, f (cA) = cB. Usaremos (A ∼ = B) para expresar que A y Diremos que

A

es una subestructura de

B

B

son isomorfas.

si A ⊆ B y

i) Para cada s´ımbolo relacional n-ario R de L, RA = R B ∩ An ii) Para cada s´ımbolo funcional n-ario F de L, F A = F B  An iii) Para cada s´ımbolo constante c de L, cA = cB Esto lo denotamos por A ⊆ B, y en este caso tambi´ en se dice que B es una extensi´ on de A. Decimos que A está sumergida en B (A ⊂ B) si A es isomorfa a una subestructura de B.

∼

Ejemplos:

L L L L

aritmética = {≤, +, ·, 0, 1}; grupos = {+, 0}; orden = {≤}; teor. de conjuntos = {∈}.

Ejercicios: 1. Probar que ∼ on de isomorfismo es una relaci´ on de = (la relaci´ equivalencia. Si α es un cardinal, hay a lo sumo 2α+L estructuras de cardinalidad α no isomorfas.


40

2. Muestre que la relaci´ on ⊂ es reflexiva, transitiva pero no ∼

antisimétrica.

3. ¿ Cuáles de las siguientes son verdaderas? N, ≤, +, 0 ⊂ N, ≤, ·, 1 ∼

N, ≤, ·, 1 ⊂ N, ≤, +, 0 ∼

N − {0}, ≤, ·, 1 ⊂ N, ≤, +, 0 ∼

N − {0}, ·, 1 ⊂ N, +, 0 ∼

N − {0}, ·,  ⊂ N, + ∼

4. Sea X un conjunto y L un lenguaje finito. Muestre que el número de estructuras distintas con dominio X es finito o al menos 2ℵ . 0

2.3

Formalizaci´ on de un Lenguaje:

ogicos : Para formalizar un lenguaje L usamos los s´ımbolos l´ Paréntesis: ( , ) coma:, Variables: v0 , v1, . . . S´ımbolo de Identidad: ≡ (s´ımbolo relacional binario) Conectivas: ¬, → Cuantificador: ∀. Denotaremos por V ar al conjunto de variables. Ahora daremos una serie de definiciones que nos indicar´ an como usar estos s´ımbolos. Términos del Lenguaje: i) Toda variable es un término, y todo s´ımbolo constante es un término. ii) Si F es un s´ımbolo funcional n-ario y t1 , . . . , tn son términos, entonces f (t1 , . . . , tn ) es un término.

´ DE UN LENGUAJE: 2.3. FORMALIZACI ON

41

iii) Una sucesi´ on de s´ımbolos es un término s´ o lo si se obtiene usando i) y ii) un n´ umero finito de veces. Denotaremos por T L al conjunto de términos del Lenguaje L. Fórmulas Atómicas: i) Si t1 y t2 son términos entonces t1 ≡ t2 es una fórmula atómica. ii) Si R es un s´ımbolo relacional n-ario y t1 , . . . , tn son términos entonces R(t1, . . . , tn ) es una f´ ormula at´ omica. Fórmulas: i) Toda f´ ormula at´ omica es una fórmula. ii) Si ϕ y ψ son fórmulas entonces (¬ϕ) y (ϕ → ψ) son también fórmulas. iii) Si v es una variable y ϕ una fórmula, (∀v)ϕ es una f´ ormula. iv Una sucesión de s´ımbolos es una f´ ormula sólo si se obtiene por un n´ umero finito de usos de i), ii) y iii). Nótese que las definiciones de términos y f´ ormulas son inductivas. Por eso, para probar alguna propiedad de términos o f´ ormulas conviene usar inducci´ on basada en estas definiciones.

Definici´ on 2.3.1 Variable libre y variable ligada. Si v es una variable y ϕ es una f´ ormula , definiremos por inducci´ on lo que significa que v ocurre libre en ϕ: i) Si ϕ es una f´ ormula at´ omica, v ocurre libre en ϕ si es s´ımbolo de ϕ. ii) v ocurre libre en (¬ϕ) si ocurre libre en ϕ; v ocurre libre en (ϕ → ψ) si ocurre libre en ϕ o en ψ.

42


iii) v ocurre libre en (∀vi ) ϕ si v ocurre libre en ϕ y v  = vi . Si v ocurre en ϕ pero no libremente entonces diremos que v ocurre ligada en ϕ. Si una fórmula no tiene variables libres se dice que es una sentencia . Usaremos las siguientes abreviaciones para simplificar la escritura: Si ϕ y ψ son fórmulas (ϕ ∧ ψ) abrevia la f´ o rmula ((¬ϕ) → ψ)) (ϕ ∨ ψ) abrevia la f´ ormula ¬(ϕ) → (zψ)) (ϕ ↔ ψ) abrevia la f´ o rmula ((ϕ → ψ) ∨ (ψ → ϕ) ) (∃vϕ) abrevia la f´ ormula ¬(∀v(¬ϕ)) Dada una fórmula ϕ escribimos ϕ(x1 , . . . , xn ) para expresar que las variables libres de ϕ entre x1 , . . . , xn . Si ϕ(x) es una f´ ormula y t un término, decimos que t es libre para x en ϕ sin ninguna variable de t queda cuantificada al sustituir las ocurrencias libres de x por t en ϕ. A continuaci´ on damos una definici´ on formal de este concepto por inducci´ on en las fórmulas.

Definici´ on 2.3.2 Sea ϕ(v) un f´ ormula y t un término. i) Si ϕ es at´ omica, t es libre para x en ϕ. ii) t es libre para x en ¬ϕ si t es libre para x en ϕ t es libre para x en ϕ → ψ si t es libre para x en ϕ y en ψ iii) t es libre para x en (∀y)ϕ si a) x no ocurre libre en (∀yϕ), o b) y no ocurre en t y t es libre para x en ϕ


2.3.1

43

Verdad en una Interpretaci´ on

Intuitivamente es f´ acil comprender que los términos del lenguaje denotan objetos y que las fórmulas afirman hechos relativos a estos objetos. Daremos ahora una definici´ on que indica cu´ al es el objeto denotado por un término en una interpretaci´ on dada.

Definici´ on 2.3.3 Sea A una estructura y s : V ar → A . Definiremos el valor de un término en A seg´ un s inductivamente en la complejidad del término. Dado un término τ , denotaremos este valor por τ A[s], y omitiremos la menci´ on de la estructura A si esto no ocasiona confusi´ on. i) Si τ es la variable v , τ A[s] = s(v), ii) Si τ es el s´ımbolo constante c, τ A[s] = cA iii) Si t1 ,...,tn son términos, F es un s´ımbolo funcional n − ario y τ = F (t1 , . . . , tn ), entonces τ A[s] = F A((t1 )A[s], . . . , (tn )A[s]). (Intuitivamente, el valor de τ en A seg´ un s es el elemento de A denotado por τ cuando asignamos a las variables de τ valores seg´ un s). Nótese que si s y s coinciden en las variables que aparecen en el término τ entonces τ A[s] = τ A[s ]. Si ϕ es una fórmula de L y s : V ar → A, definiremos lo que significa que s satisface ϕ en A, lo que denotaremos por A |= ϕ[s]. El significado intuitivo de esto es que el resultado de sustituir en ϕ las variables libres por sus valores seg´ un s, es una afirmaci´ on verdadera en A.

Definici´ on 2.3.4

1. Para f´ ormulas at´ omicas:

i) Dados términos t1 y t2 A

|= (t1 ≡ t2 )[s]

si y s´ olo si (t1 )A[s] = (t2 )A[s]


44

ii) Si R es un s´ımbolo relacional n−ario y t1 , ...tn son términos, A

olo si RA((t1)A[s],..., (tn )A[s]) |= R(t1 , ...tn )[s] si y s´

2. Para f´ ormulas: Sean ϕ y ϕ f´ ormulas. i) Hemos definido ii)

A

A

omica. |= ϕ[s] para ϕ at´

|= (¬ϕ)[s] si y s´ |= ϕ[s] olo si A 

iii)

A

iv)

A

olo si A  |= (ϕ → ψ)[s] si y s´ |= ϕ[s] o

A

|= ψ[s].

|= (∀vϕ)[s] si y s´ olo si A |= ϕ[s ] para cada s : V ar → A que difiere de s a lo sumo en v .

Definici´ on 2.3.5 Decimos que una f´ ormula ϕ es verdad en A si A |= ϕ[s] para toda s : V ar → A. Esto tambi´ en se expresa diciendo que A es un modelo de ϕ, y se denota A |= ϕ. |= ϕ[s] para toda s : V ar → A. Decimos que ϕ es falsa en A si A  Si Σ es un conjunto de f´ ormulas, decimos que A es un modelo de Σ si toda f´ ormula ϕ de Σ es verdad en A. Nótese que si ϕ es una f´ ormula con variables libres vi , . . . , vin , entonces el que s satisfaga ϕ en A sólo depende de los valores de s en las variables vi , . . . , vin . Si a1 = s(vi ), . . . , an = s(vin ), escribiremos A |= ϕ[a1 ,...,an ] en vez de A |= ϕ[s]. 1

1

1

Ejercicio 2.3.6 Demuestre que si s, s : V ar → A son tales que s(vi ) = s (vi ), . . . , s(vin ) = s (vin ), 1

1

y ϕ(vi , . . . vin ) es una f´ ormula cuyas variables libres est´ an entre vi , . . . , vin , entonces 1

1

A

|= ϕ[s] ⇔ A |= ϕ[s ].

(Sugerencia: demostrarlo por inducci´ on en las f´ ormulas).


45

A continuaci´ on daremos una lista de consecuencias directas de la definición de satisfacci´ on. Dejaremos para el lector la demostraci´ on de algunas de ellas. 1. La fórmula ϕ es falsa en una interpretaci´ o n si y solo si (¬ϕ) es verdad en A. 2. Dada

A,

ninguna fórmula puede ser verdad y falsa en A.

3. Si ϕ y (ϕ → ψ) son verdad en 4. (ϕ → ψ) es falsa en falsa en A.

A

5. i) s sat´ısface ϕ ∨ ψ en

ii) s satisface ϕ ∧ ψ en

A

entonces ψ es verdad en A

si y sólo si ϕ es verdad en A A

si y sólo si si y sólo si

A

|= ϕ[s] o

A

A

|= ϕ[s] y

A

y ψ es

|= ψ[s]

A

|= ψ[s]

iii) s satisface ϕ ↔ ψ en A si y sólo si s satisface a ambas fórmulas ϕ y ψ en A o no satisface a ninguna. iv) s satisface (∃, v)ϕ en A si y sólo si existe s que difiere de s a lo sumo en v tal que s satisface ϕ en A. 6. ϕ es verdad en A si y sólo si (∀v)ϕ es verdad en A 7. Toda instancia de una tautolog´ıa (del c´ alculo proporcional) es verdad en cualquier interpretaci´ on.

Demostraci´ on: Definamos primero lo que es una instancia de una tautolog´ıa. Estas son f´ ormulas que se obtienen de las tautolog´ıas del cálculo de proposiciones reemplazando cada letra proposicional por una f´ ormula de primer orden . Por ejemplo, de (A → ¬B) −→ (B → ¬ A), se obtiene (((∀x )¬R(x)) → (¬(R(y))) −→ (R(y) → ¬ (∀x)¬R(x))

46


Una definici´ on formal: una fórmula es primitiva si es atómica o de la forma (∀x )ϕ. Vemos que toda f´ ormula se obtiene de las primitivas usando ¬ y →. Si tomamos a las f´ ormulas primitivas como s´ımbolos proposicionales, las tautolog´ıas del c´ alculo proposicional resultante son las instancias de tautolog´ıas.

Lema 2.3.7 Sea A una estructura para L y sea s : V ar → A. Definamos f : f´ ormulas de L → {V , F} de la manera siguiente: si ϕ es una f´ ormula, entonces f (ϕ) = V si y s´ olo si A |= ϕ[s]. La funci´ on f es una valuaci´ on, es decir, para f´ ormulas ϕ y ψ , f (¬ϕ) = V si y s´ olo si f (ϕ) = F olo si f (ϕ) = F o f (ψ) = V . f (ϕ → ψ) = V si y s´ Demostraci´ on: Sigue de las consecuencias 1 y 4 . Probemos ahora que las instancias de tautolog´ıas son verdad en cualquier interpretaci´ on. Sea A una estructura para L y s : V ar → A. Si ϕ es una instancia de una tautolog´ıa entonces cualquier valuaci´ on le da valor V ya que ϕ es una tautolog´ıa en el c´ alculo de proposiciones basado en las fórmulas primitivas. En particular la valuaci´ on definida a partir de A y s seg´ un el lema anterior le da a ϕ valor V , luego A |= ϕ[s]. 8. Si ϕ es una sentencia y A es una interpretaci´ on, entonces ϕ es verdadera en A o ϕ es falsa en A. (Una fórmula, en cambio, puede no ser ni verdadera ni falsa en una interpretaci´ on).

Definici´ on 2.3.8 Dada una f´ ormula ϕ, una variable v , y un v término t, definiremos ϕt por inducci´ on en la complejidad de la f´ ormula. (i) Si ϕ es at´ omica, ϕvt es la f´ ormula que resulta de sustituir v por t en ϕ. (ii) (¬ϕ)vt es la f´ ormula ¬(ϕvt ). (iii) (ϕ → ψ)vt es l;a f´ ormula ϕvt → ψtv .


(iv) (∀yϕ)vt es



∀yϕ (∀yϕ vt )

47

si v = y = y. si v 

Ejercicio 2.3.9 (a) ϕvv = ϕ, (b) Si ϕ es la f´ ormula ¬(∀y(x ≡ y)) entonces (∀xϕ) → ϕxz es (∀xϕ) → ¬(∀y(z ≡ y)). (c) Si ϕ es la misma f´ ormula ¬(∀y(x ≡ y)) entonces (∀xϕ) → x ϕy es (∀xϕ) → ¬(∀y(y ≡ y)). 9. Lema: Sean t y u términos, y s una funci´ on; s : V ar → A.  Si t es el resultado de sustituir la variable x por u en cada ocurrencia de x en t, y s se define por s (v) = s(v) si v  =x    y s (x) = u[s], entonces t [s] = t[s ]. Si ϕ(x) es una f´ ormula (con variable libre x) y t es un término libre para x en ϕ ( es decir, ninguna variables de t queda ligada al sustituir x por t en ϕ). Dada s : V ar → A, A |= ϕxt [s] (es decir, s satisface el resultado de sustituir x por t en ϕ) si y sólo si A |= ϕ[s ] donde s sólo difiere de s a lo sumo en x y s (x) = t[s]. (Sugerencia: Probarlo por inducci´ on).

Corolario 2.3.10 Si (∀x)ϕ es satisfecha por s en A entonces ϕxt es satisfecha por s en A para todo t libre para x en ϕ. De aqu´ı que on si t es libre para x en (∀x )ϕ → ϕxt es verdad en toda interpretaci´ ϕ. La parte (c) del ejercicio 2.3.9 muestra que el Corolario no vale si el término t no es libre para x en ϕ. 10. Si ϕ no contiene a la variable v libre entonces (∀v(ϕ → ψ)) → (ϕ → (∀vψ)) es verdad en toda interpretaci´ on.


48

Ejercicio 2.3.11 Probar las diez consecuencias de la definici´ on de satisfacci´ on listadas arriba. Ahora daremos algunas definiciones adicionales.

Definici´ on 2.3.12 ϕ es l´ ogicamente v´ alida si es verdad en toda interpretaci´ on. Decimos que ϕ es satisfactible si existe una interpretaci´ on A y una s tal que A |= ϕ[s]. Decimos que ϕ es contradictoria si ¬ϕ es l´ ogicamente v´ alida (equivalentemente, si ϕ es falsa en toda interpretaci´ on). Definici´ on 2.3.13 Si Σ es un conjunto de f´ ormulas y ϕ es una f´ ormula, decimos que Σ implica l´ ogicamente ϕ, y lo denotamos por (Σ |= ϕ),

si para cada interpretaci´ on A (de L), si toda f´ ormula de Σ es verdad en A entonces ϕ es verdad en A. N´ otese que ϕ es l´ ogicamente v´ alida si ∅ |= ϕ.

2.3.2

Definibilidad en una estructura.

Dada una estructura A (de L), cada f´ ormula ϕ con n variables libres determina una relaci´ on n − aria Rϕ en A, Rϕ = {< a1 ,...,an >: A |= ϕ[a1 ,...,an ]}.

Definici´ on 2.3.14 Una relaci´ on n − aria R en A es definible si existe una f´ ormula ϕ con n−variables libres tal que R = Rϕ = {< a1 ,...,an >: A |= ϕ[a1 ,...,an ]}.

Ejemplos: 1. Consideremos L = {+, ., S , } y sea A =< N, +, ., sucesor, 0 >. Hay sólo una cantidad numerable de relaciones definibles en A, y por lo tanto hay relaciones no definibles.


49

i) ≤ es definible por ∃v(v1 + v = v2 ) ≤ es el conjunto {< n, m >: n ≤ m}) on unaria {n} se define por la f´ ormula ii) La relaci´ S (S...(S (0) . . . )) = v.

iii) La relaci´ on unaria { p ∈ N : p es primo} se define por

(1 < v1 ) ∨ (∀v2 )(∀v3 )(v1 = v2  v3 → (v2 ≡ 1 ∨ v3 ≡ 1) donde 1 abrevia S (0) y x < y abrevia x ≤ y ∧ (x  ≡ y).

Ejercicio 2.3.15 1. Sea L un lenguaje con un s´ımbolo relacional binario R. Encuentre, para cada una de las condiciones siguientes, una sentencia ϕ tal que A =< A,RA >|= ϕ si y s´ olo si se cumple la condici´ on. a) A tiene exactamente dos elementos. b) RA es una funci´ on de A en A. c) RA es una permutaci´ on de A. 2. Muestre que la relaci´ on suma {(a,b,c) : a + b = c} no es definible en N, ·. 3. Una f´ ormula es universal ( o ∀1 ) si es de la forma ∀x1 . . . ∀xn ϕ donde ϕ no tiene cuantificadores. Una f´ ormula es existencial (o ∃1) si es del tipo ∃x1 . . . ∃xn ϕ y ϕ no tiene cuantificadores. Sea A ⊆ B y s : V ar → A. Demuestre, i) Si B |= ψ[s] y ψ es universal entonces A |= ψ[s]. Si A |= ψ[s] y ψ es existencial entonces B |= ψ[s].


50

ii) Demuestre que la sentencia ∀xP (x) (donde P es un s´ımbolo relacional unario) no es l´ ogicamente equivalente a una f´ ormula existencial. An´ alogamente, ∃xP (x) no es l´ ogicamente equivalente a una f´ ormula universal. 4. Una f´ ormula es ∃2 si es del tipo ∃x1 . . . ∃xu ϕ donde ϕ es universal. i) Si ψ es ∃2 y no contiene s´ımbolos funcionales y es verdad en alguna estructura A, entonces es verdad en alguna subestructura finita de A. ii) Deduzca que ∀x∃yR(x, y) no es l´ ogicamente equivalente a ninguna f´ ormula ∃2. iii) Considere (N, <) y (R, <) como estructuras del lenguaje {R}, (donde R es un s´ımbolo relacional binario). Dé un ejemplo de sentencia v´ alida en una de las estructuras y falsa en la otra. Muestre que toda sentencia ∃2 verdad en (R, <) es verdad en (N, <).

2.4

Un sistema axiom´ atico para la l´ ogica de primer orden.

Para el c´ alculo de predicados no hay ning´ un procedimiento “efectivo” para determinar validez l´ ogica. Para determinar si una f´ ormula es logicamente v´ alida habr´ıa que examinar la veracidad de la f´ ormula en infinitas estructuras. Es interesante , por lo tanto, completar el sistema formal con un cálculo deductivo. Seleccionaremos un conjunto (infinito) de f´ ormulas que llamaremos axiomas y especificaremos unas reglas de inferencia que nos permitan obtener f´ ormulas a partir de los axiomas por un n´ umero finito de usos de las reglas de inferencia.

´ ´ 2.4. UN SISTEMA AXIOM ATICO PARA LA LOGICA DE PRIMER ORDEN.51

Axiomas L´ ogicos: Los axiomas lógicos son todas las generalizaciones de las f´ ormulas listadas a continuaci´ on (ϕ es una generalizaci´ on de ψ si ϕ es ∀v1 ...∀vn ψ para variables v1 ...vn ). 1. Todas las instancias de tautolog´ıas. 2. (∀vϕ) → ϕvt , donde t es un término libre para v en ϕ. 3. (∀v(ϕ → ψ)) → (ϕ → (∀vψ)), donde v no ocurre libre en ϕ. 4. v ≡ v. 5. (v ≡ y) → (ϕ → ϕ ), donde ϕ es una fórmula at´ omica y ϕ se obtiene de ϕ reemplazando v en algunas de sus ocurrencias libres en ϕ por y. Nótese que cada uno de los puntos anteriores describe un con junto infinito de axiomas, por ejemplo, en 2., describimos un axioma para cada f´ ormula ϕ. Aqu´ı, ϕvt es el resultado de subsistuir v en todas sus ocurrencias libres en ϕ por el término t (véase la Definición 2.3.8).

Reglas de inferencia: En nuestro sistema s´ olo habr´ a dos reglas de inferencia 1. la regla de Modus Ponens: de ϕ y ϕ → ψ

se infiere ψ.

2. la regla de Generalizaci´ on: de ϕ se infiere (∀xϕ).

Definici´ on 2.4.1 Sea Σ un conjunto de f´ ormulas y ϕ una f´ ormula. Decimos que ϕ se deduce de Σ o que ϕ se demuestra a partir de Σ, lo que denotaremos por Σ  ϕ, si existe una sucesi´ on ϕ1, ϕ2 , . . . , ϕn de f´ ormulas tales que ϕn = ϕ, y cada ϕi es un axioma, o es un miembro de Σ, o se obtiene de f´ ormulas anteriores en la sucesi´ on por una de las reglas de inferencia.

52


La sucesi´ on ϕ1 ,...,ϕn se llama en este caso una demostración de ϕ a partir de Σ. Si Σ = φ escribimos  ϕ en vez de φ  ϕ. Claramente, por las consecuencias 3 y 6 de la definici´ on de |= tenemos que si A |= Σ y Σ  ϕ entonces A |= ϕ. Ese es el contenido del siguiente teorema.

Teorema 2.4.2 (Teorema de Correcci´ on) Si Σ es un conjunto de f´ ormulas y ϕ es una f´ ormula. Σϕ

implica Σ |= ϕ.

Demostració n: Si ϕ1 , . . . , ϕn = ϕ es una demostraci´ o n de ϕ a partir de Σ y A es un modelo de Σ, inductivamente se demuestra que A |= ϕi (i = 1, . . . , n). El paso inductivo consiste en la demostraci´ on de varias de las consecuencias de la definici´ on de satisfacci´ on. Más adelante demostraremos que el rec´ıproco también vale (precisamente para ésto se escogieron los axiomas l´ ogicos). El rec´ıproco es el Teorema de completitud de Gödel.

Ejercicio 2.4.3 Demuestre: 1.  (∀x)(x ≡ x). 2.  ∀ x∀y(x ≡ y → y ≡ x). 3.  ∀ x1 ∀x2 ∀y1 ∀y2 (x1 ≡ y1 → x2 ≡ y2 → R(x1 , x2 ) → R(y1 , y2 )). Para todo s´ımbolo relacional R. 4.  ∀ x1 ∀x2 ∀y1 ∀y2 (x1 ≡ y2 → x2 ≡ y2 → F (x1 , x2 ) ≡ F (y1 , y2 )). Teorema 2.4.4 (Teorema de Deducci´ on): Sea Γ un conjunto de f´ ormulas, ϕ una sentencia, y ψ una f´ ormula. Entonces, olo si Γ  (ϕ → ψ) Γ ∪ {ϕ}  ψ si y s´


Demostraci´ on: ⇐ Es obvio, sólo requiere un uso de modus ponens. o n de ψ a partir de Γ ∪ {ϕ}. ⇒ Sea ϕ1, . . . , ϕn una demostraci´ Veamos inductivamente que Γ  (ϕ → ϕi ) para i = 1, . . . , n. 1. Si ϕi es un axioma o ϕi ∈ Γ entonces Γ  ϕi y como ϕi → (ϕ → ϕi ) es una instancia de una tautolog´ıa, usando modus ponens tenemos Γ  (ϕ → ϕi ). 2. Si ϕi es ϕ obviamente Γ  ϕ → ϕi . 3. Si ϕi se obtiene por modus ponens de ϕ j y de ϕk = ϕ j → ϕi , con j, k < i, por la hipótesis inductiva, Γ  ϕ → ϕ j , y Γ  ϕ → (ϕ j → ϕi ). Como (ϕ → (ϕ j → ϕi )) → ((ϕ → ϕ j ) → (ϕ → ϕi )) es un axioma (por ser una instancia de una tautolog´ıa), tenemos que Γ  ϕ → ϕi . 4. Supongamos finalmente que existe alguna ϕ j , con j < i, y una variable x tales que ϕi es ∀xϕ j . Por hipótesis inductiva, Γ  ϕ → ϕ j , y aplicando la regla de generalizaci´ on, obtenemos Γ  ∀ x(ϕ → ϕ j ). Como x no ocurre libre en ϕ, Γ  ϕ → (∀xϕ j ). Es decir, Γ  ϕ → ϕi . 

Corolario 2.4.5 (Teorema de Contraposici´ on) Sea Γ un conjunto de f´ ormulas, y sean ϕ y ψ sentencias. Entonces, olo si Γ ∪ {ψ }  ¬ϕ. Γ ∪ {ϕ}  ¬ ψ si y s´

54


Demostración. Si Γ{ϕ}  ¬ψ, por el teorema de deducción Γ  ϕ → ¬ψ. Pero (ϕ → ¬ψ) → (ψ → ¬ϕ) es una instancia de una tantologi´ıa, entonces Γ  (ψ → ¬ϕ), y otra vez por el teorema de deducci´ on, Γ ∪ {ψ }  ¬ϕ. El rec´ıproco se demuestra an´ alogamente.

Definici´ on 2.4.6 Un conjunto de f´ ormulas Γ es inconsistente (o contradictorio) si para alguna f´ ormula ϕ, Γ  ϕ y Γ  ¬ϕ. Σ es consistente si no es inconsistente. Ejercicio 2.4.7 Demuestre que Σ es inconsistente si y s´ olo si Σ  ϕ para toda ϕ. (Use que ¬ψ → (ψ → ϕ) es una instancia de una tautolog´ıa). Demuestre también que Σ es inconsistente si y s´ olo si para alguna ϕ se tiene Σ  (ϕ ∧ (¬ϕ)). Proposici´ on 2.4.8 Sea Σ un conjunto de f´ ormulas y ϕ y ψ sentencias. i) Σ es consistente si y s´ olo si todo subconjunto finito de Σ es consistente. ii) Σ ∪ {ϕ} es inconsistente si y solamente si Σ  ¬ ϕ. iii) Si Σ es maximal consistente entonces a) Σ  ϕ si y solamente si ϕ ∈ Σ.

∈ Σ si y solamente si ¬ϕ ∈ Σ. b) ϕ  c) ϕ ∧ ψ ∈ Σ si y solamente si ϕ ∈ Σ y ψ ∈ Σ.

∈ Σ o ψ ∈ Σ. d) ϕ → ψ ∈ Σ si y solamente si ϕ  Demostración. i) Consecuencia de la definici´ on de .


ii) ⇐) trivial. ⇒) Supongamos que Σ ∪ {ϕ} es inconsistente, entonces Σ ∪ {ϕ}  ¬ϕ (por el ejercicio anterior) y luego Σ  ϕ → ¬ϕ. Pero (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ es una instancia de una tautolog´ıa y por lo tanto Σ  ¬ ϕ. iii) a) Si ϕ ∈ Σ entonces ϕ ∈ Σ: Si Σ  ϕ, entonces si ϕ  ∈ Σ, tenemos por maximalidad de Σ que Σ ∪ {ϕ} es inconsistente. Por (ii), Σ  ¬ϕ por lo tanto Σ es inconsistente. Contradicci´ on.

∈ Σ ya que Σ es consistente. Si b) Si ϕ ∈ Σ entonces ¬ϕ  ϕ ∈ Σ entonces Σ   ϕ y luego Σ ∪ {¬ϕ} es consistente. Por maximalidad de Σ, ¬ϕ ∈ Σ. c Nótese que ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)) es una instancia de una tautolog´ıa. d) Nótese que ¬ϕ → (ϕ → ψ) y ψ → (ϕ → ψ) son instancias de tautolog´ıas.  = v j . Sea ϕ(vi ) una Definici´ on 2.4.9 Sean vi y v j variables y vi  f´ ormula donde la variable vi ocurre libre. Sea ϕ(v j ) la f´ ormula que resulta de sustituir todas las ocurrencias libres de vi en ϕ(vi ) por la variable v j , es decir, ϕ(vi )vvij . Decimos que ϕ(vi ) y ϕ(v j ) son similares si y solamente si v j es libre para vi en ϕ(vi ), y ϕ(vi ) no tiene ocurrencias libres de v j . N´ otese que en este caso vi es libre para v j en ϕ(v j ), y ϕ(v j ) no tiene ocurrencias libres de vi , por lo que la relaci´ on de similaridad es simétrica. Intuitivamente, ϕ(vi ) y ϕ(v j ) son similares si vi ocurre libre en ϕ(vi ) exactamente en los mismos lugares donde ϕ(v j ) tiene ocurrencias libres de v j .

Lema 2.4.10 Si ϕ(vi ) y ϕ(v j ) son similares, entonces

 (∀vi ϕ(vi )) → (∀v j ϕ(v j )).


56

Demostración. Como v j es libre para vi en ϕ(vi ), por el axioma 2,

 (∀vi ϕ(vi )) → ϕ(v j ). Usando la regla de generalizaci´ on obtenemos

 (∀v j ((∀vi ϕ(vi )) → ϕ(v j ))). La variable v j no ocurre libre en ∀vi ϕ(vi ), y por lo tanto usando el axioma 3,  (∀vi ϕ(vi )) → (∀v j ϕ(v j )). 

2.5

El teorema de completitud para la l´ ogica de primer orden.

Ahora pasaremos a demostrar el teorema de completitud de G¨ odel. Este teorema dice que si una fórmula es verdad en toda estructura del lenguaje entonces se puede deducir. Enunciaremos el teorema en forma un poco más general.

Teorema 2.5.1 (Teorema de Completitud, G¨ odel, 1930) Sea Σ un conjunto de sentencias en un lenguaje L, y sea ϕ una sentencia Σ |= ϕ si y s´ olo si Σ  ϕ El siguiente teorema equivalente al teorema de completitud.

Teorema 2.5.2 Un conjunto Σ de sentencias es consistente si y s´ olo si tiene un modelo. Para ver que los dos enunciados son equivalentes, primero notemos que las dos implicaciones de derecha a izquierda siguen inmediatamente del Teorema de Correcci´ on 2.4.2.

2.5.

´ EL TEOREMA DE COMPLETITUD PARA LA LOGICA DE PRIMER ORDEN.57

Supongamos que todo conjunto consistente de sentencias tiene modelos. Si Σ   ϕ, entonces Σ ∪ {¬ϕ} es consistente y por lo tanto tiene un modelo, es decir Σ  |= ϕ. Supongamos ahora que para todo conjunto Σ de sentencias, Σ |= ϕ implica Σ  ϕ, y probemos que si Σ es consistente entonces tiene un modelo. Supongamos por el contrario que Σ no tiene modelos. Sea ϕ ∈ Σ, para cada estructura A, si A |= Σ − {ϕ} entonces A |= ¬ϕ. Por nuestra hip´ otesis Σ − {ϕ}  ¬ ϕ, luego Σ es inconsistente. Los lemas que siguen nos servirán para demostrar el teorema 5. En lo que sigue supondremos que L es numerable aunque se obtienen resultados an´ alogos en otros casos.

Lema 2.5.3 (Lindenbaum): Todo conjunto consistente de sentencias Σ tiene una extensi´ on maximal consistente. Demostración. El lema de Zorn proporciona una extensión maximal consistente. También podemos demostrar el resultado haciendo una contrucció n inductiva. Por ejemplo si el lenguaje L es numerable, sea ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕn , . . . una enumeraci´ on de todas las sentencias de L. Definimos Σ0 = Σ, y Σn+1 =

  

Σn ∪ {ϕn }

si esta unión es consistente,

Σn

en caso contrario.

La unión Σ =

Σn es maximal consistente.

n∈u

Definici´ on 2.5.4 Sea Σ un conjunto de sentencias de L y C un conjunto de s´ımbolos constantes de L. Decimos que C es un con junto de testigos para Σ en L si para toda f´ ormula ϕ de L con a lo sumo una variable libre (digamos, x) existe una c ∈ C tal que Σ  ¬ (∀x)ϕ(x) → ¬ϕ(c) .


58

Lema 2.5.5 Sea Σ un conjunto consistente de sentencias de L y C un conjunto infinito numerable de nuevos s´ımbolos constantes. Sea L = L∪ C . Entonces Σ se puede extender a un conjunto consistente de sentencias Σ en L tal que C es un conjunto de testigos para Σ en L . Demostración. Pongamos C = {c0 , c1 , . . . , } y sea ϕ. (x0 ), ϕ1 (x1 ), . . . una lista de todas las f´ ormulas de a lo sumo una variable libre de  L , donde xn es la variable libre de ϕn si ésta tiene una variable libre y xn = v0 en caso contrario. Sea d0, d1 , . . . una sucesi´ on de constantes de C tal que dn no aparece en ϕ0(x0 ), . . . , ϕn (xn ) y dn  = di para i < n. Sea ψn la sentencia ¬(∀xn )ϕn (xn ) → ¬(ϕn )xdnn . Definamos inductivamente la sucesi´ on {Σn }∞ n=0 poniendo Σ0 = Σ, Σn+1 = Σn ∪ {ψn }. Sea Σ = ∞ n=0 Σn . Obviamente C es un conjunto de testigos   para Σ en L . Para demostrar que Σ es consistente basta ver que cada Σn lo es. Σ0 es consistente por hip´ otesis. Supongamos inductivamente que Σn es consistente, entonces si Σn+1 es inconsistente, Σn  ¬ψn , es decir



Σn  ¬(¬(∀xn )ϕn (xn )) → ¬(ϕn )xdnn ), y por lo tanto Σn  ¬ (∀xn ϕn (xn )) ∧ (ϕn )xdnn y entonces Σn  ¬∀xn ϕn (xn ) y Σn  (ϕn )xdnn .

2.5.


Como dn no aparece en Σn , tenemos que Σn  ϕn (x p ), donde x p es una variable que no ocurre en la demostraci´ o n de (ϕn )xdnn (a partir de Σn ). Para verificar esto, basta sustituir dn por x p cada vez que dn aparezca en esa demostraci´ on. Por la regla de generalizaci´ on obtenemos Σn  (∀x p ϕn (x p )), y como ϕ(xn ) y ϕ(x p ) son similares, Σn  (∀xn ϕn (xn )), pero esto contradice la consistencia de Σn .

Lema 2.5.6 Si Σ es un conjunto consistente de sentencias de L y tiene un conjunto de testigos, entonces Σ tiene un modelo. Si L es numerable, Σ tiene un modelo numerable. Demostració n. Notemos que si Σ tiene a C como conjunto de testigos entonces C es también un conjunto de testigos para cualquier extensi´ on de Σ (en el mismo lenguaje). Podemos suponer entonces que Σ es maximal consistente. Definiremos una interpretaci´ on A para L que ser´ a un modelo de Σ. Consideremos el conjunto T de los términos constantes de L. Definimos sobre T una relaci´ on de equivalencia dada por t1 ∼ t2 si y sólo si t1 ≡ t2 ∈ Σ. Sea A la estructura con universo A = T / ∼ y con las siguientes interpretaciones para los s´ımbolos de L. Si t1 , . . . , tn son términos constantes, y R un s´ımbolo relacional n-ario de L, RA([t1 ], . . . , [tn ]) si y sólo si R(t1 , . . . , tn ) ∈ Σ y si F es un s´ımbolo funcional n-ario, F A([t1 ], . . . , [tn ]) = [F (t1 , . . . , tn )].

60


Si c es un s´ımbolo constante, cA = [c]. Tenemos entonces que el valor de un término constante t en A (para cualquier s : V ar → A) es su clase [t]. Demostraremos inductivamente que para toda sentencia ϕ, A |= ϕ si y sólo si ϕ ∈ Σ. Si ϕ es at´ omica tenemos: a) t1 ≡ t2 ∈ Σ si y sólo si [t1 ] = [t2 ] si y sólo si A

|= t1 ≡ t2 .

b) R(t1 , . . . , tn ) ∈ Σ si y sólo si RA([t1 ], . . . , [tn ]) si y solamente si A |= R(t1 , . . . , tn ) Si el resultado vale para ϕ y ψ, A |= ¬ϕ si y sólo si A  |= ϕ si y solamente si ϕ  ∈ Σ si y solamente si ¬ϕ ∈ Σ. Y también, A |= ϕ → ψ si y só lo si A  |= ϕ o A |= ψ si y solamente si ϕ  ∈ Σ o ψ ∈ Σ si y solamente si ϕ → ψ ∈ Σ. Finalmente, veamos que A |= (∀x)ϕ si y só lo si (∀x)ϕ ∈ Σ. Si (∀x)ϕ(x)  ∈ Σ entonces ¬(∀x)ϕ(x) ∈ Σ, luego, como existe c ∈ C tal que Σ  ¬(∀x)ϕ(x) → ¬ϕ(c), tenemos que ¬ϕ(c) ∈ Σ. Por hipótesis inductiva A |= ¬ϕ(c) y por el corolario 2.3.10, entonces A |= ¬(∀x)ϕ(x). Rec´ıprocamente, si (∀x)ϕ(x) ∈ Σ entonces como (∀x)ϕ(x) → ϕ(t) es un axioma para todo término t libre para x en ϕ, tenemos que ϕ(t) ∈ Σ (es decir ϕxt ∈ Σ). Por hip´ otesis inductiva A |= ϕxt , pero si A  |= (∀x)ϕ(x), existe [t] ∈ A tal que si s : V ar → A es tal que s(x) = [t], entonces A  un s, y llegamos a una |= ϕ(x) seg´ contradicci´ on. El teorema de completitud sigue inmediatamente de los lemas anteriores.

Ejercicio 2.5.7 Demuestre que Σ  ϕ si y solamente si ϕ pertenece a todo conjunto de f´ ormulas que contiene a Σ y es cerrado respecto a las reglas de inferencia.

2.5.


Ejercicio: 1. Demostrar que ∼ es una relaci´ on de equivalencia. 2. Demostrar que RA y F A están bien definidas para cada s´ımbolo R o F .

Teorema 2.5.8 (Compacidad): Sea Σ un conjunto de sentencias de L. Σ tiene un modelo si y s´ olo si cada subconjunto finito de Σ tiene un modelo. Demostración. Si cada subconjunto finito de Σ tiene un modelo entonces Σ es consistente y por lo tanto tiene un modelo. Otra consecuencia inmediata del teorema de completitud (m´ as precisamente, de su demostraci´ on) es:

Teorema 2.5.9 (L¨ owenheim-Skolem) Sea Σ un conjunto de sentencias en un lenguaje L numerable. Si Σ tiene un modelo entonces tiene un modelo numerable. Demostración. Es una consecuencia inmediata de la demostraci´ on del teorema de completitud. Si el lenguaje L es de cardinalidad κ, entonces la misma demostraci´ on nos da un modelo de cardinalidad a lo sumo κ + ℵ0 . Sabemos entonces, que si hay un modelo infinito de Σ, hay modelos infinitos del “m´ınimo tama˜ no posible”. ¿Qué podemos decir de modelos “grandes”?

Teorema 2.5.10 (L¨ owenheim-Sholem-Tarski) Sea Σ un conjunto de sentencias en un lenguaje numerable. Si Σ tiene un modelo infinito entonces para cada cardinal infinito κ, Σ tiene un modelo de cardinalidad κ. (Si |L| = α entonces si Σ tiene modelos infinitos, tiene modelos de toda cardinalidad ≥ α + ℵ0 ).

62


Demostració n. Sea A un modelo infinito de Σ. Sea C = {cξ : ξ < κ} un conjunto de cardinalidad κ de nuevos s´ımbolos constantes. Consideremos Γ = Σ ∪ {cξ  = ζ }. ≡ cζ : ξ, ζ < κ, ξ  Cada subconjunto finito de Γ tiene un modelo. En efecto, dado un subconjunto finito Γ de Γ, si expandimos A interpretando cada una de las constantes de C que aparecen en Γ como elementos distintos dos a dos de A (cosa que es posible por ser A infinito) obtenemos un modelo de Γ . Por el teorema de compacidad esto indica que Γ tiene un modelo. El teorema anterior nos dice que Γ tiene un modelo de cardinalidad a lo sumo κ. Ahora, todo modelo de Γ tiene cardinalidad por lo menos κ (ya que debe tener interpretaciones distintas dos a dos de los elementos de C ). Entonces hay un modelo de cardinalidad κ.

Definici´ on 2.5.11 Dos estructuras A y B de L son elementalmente equivalentes si para toda sentencia ϕ de L se tiene A

olo si B |= ϕ. |= ϕ si y s´

Esto lo denotaremos por A ≡ B. Corolario 2.5.12 Si A es infinita y κ es un cardinal infinito entonces existe B de cardinalidad κ tal que A ≡ B. Demostración. Ejercicio.

Definici´ on 2.5.13 Una colecci´ on K de estructuras para un lenguaje L es una clase elemental si para alguna sentencia ϕ de L se tiene

K = {A : A |= ϕ}. Decimos que K es una clase elemental generalizada si para un con junto Σ de sentencias de L se tiene

K = {A : A |= Σ}.

2.5.


Ejemplo 2.5.14

1. Sea L = {R}

ϕ : ∀x ∀y ∀z (xRy → (yRz → xRz ))∧

∀x ∀y (xRy ∨ x ≡ y ∨ yRx)∧ ∀x ∀y (xRy → ¬yRx). Los conjuntos totalmente ordenados son la clase elemental definida por ϕ. 2. Para L = {·} ϕ : ∀x ∀y ∀z (x · (y · z ) ≡ (x · y) · z )∧

∀x ∀y ∃z (x · z ≡ y)∧ ∀x ∀y ∃z (z · x ≡ y). Determina la clase elemental de los grupos. Si Σ es la colecci´ on ∃x1 ∃x2 (x1  ≡ x2 ) ∃x1 ∃x2 ∃x3 (x1  ≡ x2 ∧ x2  ≡ x3 ∧ x1  ≡ x3 ) , etc.

{ϕ} ∪ Σ determina la clase elemental generalizada de los grupos infinitos (¿es ésta una clase elemental?) Ejercicio 2.5.15 1. Sea Σ un conjunto de sentencias en un lenguaje L. Si Σ tiene modelos finitos arbitrariamente grandes entonces tiene modelos infinitos. Por lo tanto, la colecci´ on de todas las estructuras finitas (de un lenguaje L) no es una clase elemental generalizada. La clase de estructuras infinitas es una clase elemental generalizada pero no una clase elemental. 2. a) Muestre que hay modelos no numerables de la teor´ıa de n´ umeros completa T h(N) (el conjunto de todas las sentencias ϕ del lenguaje de la aritmética tales que

N, +, ·, S, 0 |= ϕ).

64


b) Muestre que hay modelos numerables de T h(N) no isomorfos a N. 3. Considere R como cuerpo ordenado. Demuestre que existe una extensi´ on de R a un cuerpo ordenado R∗ no arquimediano tal que R ≡ R∗ (en el lenguaje de 1er orden para cuerpos ordenados) {≤, +, ·, 0, 1}. 4. Si T es un conjunto de sentencias en el lenguaje {+, ·, 0, 1} que tiene modelos que son cuerpos de caracter´ıstica arbitrariamente grande, entonces T tiene como modelo a un cuerpo de caracter´ıstica 0.

Cap´ıtulo 3 Razonamiento no mon´ otono En este cap´ıtulo iniciaremos el estudio del razonamiento no mon´ otono. Se trata de estudiar sistemas de inferencia en los cuales se pueden tener conjuntos de proposiciones Σ ⊂ Γ tales que haya consecuencias de Σ que no son consecuencias de Γ. En otras palabras, al agregar hip´ otesis adicionales se pueden perder inferencias. Situaciones como esta se dan naturalmente en varios casos. Por ejemplo, cuando se trata de sacar conclusiones a partir de la informaci´ on disponible; es posible que en un momento dado tengamos informaci´ o n Σ, a partir de la cual sacamos la conclusi´ on ϕ, pero mas adelante, con informació n adicional Γ, ya no sea posible sacar la conclusi´ on ϕ a partir de Σ ∪ Γ. Un ejemplo de esto es el procedimiento para hacer diagn´ osticos médicos. Observando una serie de s´ıntomas, el médico concluye que el paciente puede tener la enfermedad A o la enfermedad B, con resultados de ex´ amenes adicionales, (con m´ as información), el médico, descarta la enfermedad B. Basaremos el estudio de la lógica no mon´ otona en el concepto de relaci´ on de consecuencia, y usaremos el s´ımbolo |∼ para denotar relaciones de consecuencia no mon´ otonas. Decimos que ϕ |∼ ψ si ψ es una consecuencia normal o plausible de ϕ: si tenemos ϕ, entonces, en condiciones normales, tambi´ en tendremos ψ. Haremos 65

66

´ CAP ´ ITULO 3. RAZONAMIENTO NO MON OTONO

este estudio de formas de razonamiento no mon´ otono para lenguajes proposicionales. Hagamos un resumen de las propiedades m´ as resaltantes de la relación clásica de consecuencia  y la operación de consecuencia asociada Cn. La relaci´ on de consecuencia  que estudiamos en el Cap´ıtulo 1 se comporta mon´ o tonamente, es decir si Σ y Γ son conjuntos de proposiciones, si Σ ⊆ Γ y Σ  ϕ, entonces Γ  ϕ. En términos de la operaci´ on Cn, esta propiedad de monoton´ıa se expresa Σ ⊆ Γ implica Cn(Σ) ⊆ Cn(Γ). Otras propiedades de la operaci´ on Cn son Σ ⊆ Cn(Σ) y Cn(Cn(Σ)) = Cn(Σ). Tambi´ en demostramos en el Cap´ıtulo 1 que la relaci´ on  es compacta, es decir, si Σ es un conjunto de proposiciones, y ϕ es una proposición, entonces Σ  ϕ si y solamente si existe un subconjunto finito Σ de Σ tal que Σ  ϕ.

Definici´ on 3.0.16 Una operaci´ on C : P (PROP ) → P (PROP ) que satisface las tres propiedades Σ ⊆ C (Σ) para todo Σ ⊆ PROP (Inclusi´ on), C (Σ) = C (C (Σ)) para todo Σ ⊆ PROP (Idempotencia),

Si Σ ⊆ Γ ⊆ PROP , entonces C (Σ) ⊆ C (Γ) (Monoton´ıa). se llama una operaci´ on de clausura. Si definimos la relación Σ C ϕ, poniendo Σ C ϕ si y sólo si ϕ ∈ C (Σ), también podemos expresar estas propiedades en términos de la relación C de la manera siguiente:

67 Σ C ϕ para toda ϕ ∈ Σ (Inclusión), Si C (Σ) C ϕ, entonces Σ C ϕ (Idempotencia), Si Σ ⊆ Γ ⊆ PROP , entonces Σ C ϕ implica Γ C ϕ (Monoton´ıa).

Ejercicio 3.0.17 Sea C una operaci´ on mon´ otona que satisface inclusi´ on. (i) Muestre que la propiedad de idempotencia es equivalente a la siguiente propiedad llamada corte (Cut): ϕ ∈ C (Σ ∪ Γ) y Γ ⊆ C (Σ), entonces ϕ ∈ C (Σ).

(ii) Exprese esta propiedad en términos de la relaci´ on C . (iii) Muestre que si Σ ⊆ Γ ⊆ Σ, entonces C (Σ) = C (Γ). M´ as a´ un, esta propiedad es equivalente a la propiedad de corte (siempre que C sea mon´ otona y tenga la propiedad de inclusi´ on). Estudiaremos relaciones de consecuencia |∼ como relaciones binarias que relacionan pares de conjuntos de proposiciones, y escribiremos Σ |∼ Γ para indicar que el par (Σ, Γ) est´ a en la relaci´ on |∼. Nos limitaremos a estudiar relaciones de consecuencia para las cuales el antecedente es un conjunto finito de proposiciones y el consecuente es una sola proposici´ on. Usando las conectivas ∧ y ∨, el caso de relaciones con antecedente y consecuente finitos se puede reducir al caso de una proposici´ on en el antecedente y una proposición en el consecuente. Por esa raz´ on, en las secciones siguientes trabajaremos con relaciones de consecuencia definidas de ese modo, ϕ |∼ ψ. Hemos visto que dada una operaci´ on C : P (PROP ) → P (PROP ), no necesariamente mon´ otona, podemos definir una relaci´ on de consecuencia correspondiente |∼C poniendo Σ |∼C ϕ si y sólo si ϕ ∈ C (Σ).

68


Igualmenmte, a cada relaci´ on de consecuencia |∼ le corresponde una operaci´ on C = C |∼ entre conjuntos de proposiciones ϕ ∈ C (Σ) si y sólo si Σ |∼ ϕ. A veces convendr´ a más usar la notaci´ on de operaciones y otras veces convendr´ a usar la notaci´ on de relaciones de consecuencia. Hay toda una variedad de sistemas de razonamiento no mon´ otono. Distintas motivaciones dan lugar a distintos sistemas que tienen algunas similitudes y algunas diferencias. Muchos de estos sistemas han sido estudiados en profundidad, y varios autores han contribuido a organizar este campo de investigaci´ on proponiendo formas muy uniformes de presentar esta variedad de sistemas. Una de las formas que se han propuesto para hacer esto es centrar el estudio de los sistemas no monótonos en las relaciones de consecuencia (véase, por ejemplo [5]). Aqu´ı nos limitaremos a presentar, desde este punto de vista del estudio de las relaciones de consecuencia, algunos de estos sistemas que resultan particularmente interesantes desde el punto de vista sem´ antico. Estudiaremos dos tipos de razonamiento no mon´ otono, el acumulativo y el preferencial, siguiendo la presentaci´ on de [4].

3.1

Razonamiento acumulativo

El razonamiento acumulativo es en cierta forma el sistema de razonamiento no mon´ otono m´ as débil posible. Para definirlo comenzamos con la propiedad de inclusión y la de corte ( llamada también transitividad acumulativa) y eliminamos la propiedad de monoton´ıa sustituyéndola por una versi´ on débil de monoton´ıa llamada monoton´ıa cautelosa (llamada tambi´ en monoton´ıa acumulativa). La esencia del razonamiento acumulativo son estas dos reglas, corte y monoton´ıa cautelosa, que pueden ser vistas como rec´ıprocas. También tendremos dos reglas que indican como se comporta la relaci´ o n de consecuencia respecto a la equivalencia l´ ogica. A manera de motivación podemos decir que el razonamiento acumulativo es un razonamiento no mon´ otono basado en le idea de

3.1. RAZONAMIENTO ACUMULATIVO

69

que si una proposici´ on es normalmente consecuencia de un con junto de premisas, esto no cambia si agregamos a las premisas hipótesis adicionales que son a su vez normalmente consecuencias de las premisas. En otras palabras, la relación ϕ |∼ ψ no se altera añadiendo al antecedente una de sus consecuencias normales. Fijamos un conjunto U de valuaciones, y de ahora en adelante, solamente nos referiremos a las valuaciones de U . Por ejemplo,  α → β significar´ a que toda valuación de U satisface α → β .

Definici´ on 3.1.1 Una relaci´ on de consecuencia |∼ es acumulativa si contiene todas las instancias del axioma de reflexividad y es cerrada bajo las las reglas de inferencia ELI (equivalencia l´ ogica por la izquierda), DD (debilitamiento por la derecha), Corte (Cut), y MC (monoton´ıa cautelosa) que definimos a continuaci´ on. α |∼ α (Reflexividad )  α ↔ β,

α |∼ γ β |∼ γ

 α → β,

γ |∼ α γ |∼ β

α ∧ β |∼ γ, α |∼ β α |∼ γ α |∼ β, α |∼ γ α ∧ β |∼ γ

(Equivalencia L´ ogica por la Izquierda)

(Debilitamiento por la Derecha )

(Corte)

(Monoton´ıa Cautelosa)

El sistema formado por el esquema de reflexi´ o n y las cuatro reglas anteriores ser´ a denotado por C .

Lema 3.1.2 Las reglas Corte y MC se pueden expresar juntas mediante el principio siguiente: Si α |∼ β entonces las consecuencias plausibles de α y de α ∧ β coinciden.


70

Consideremos las siguientes reglas α |∼ β, β |∼ α, α |∼ γ (Equivalencia) β |∼ γ α |∼ β, α |∼ γ (|∼ ∧ ) α |∼ β ∧ γ α |∼ β → γ, α |∼ β (|∼ MP ) α |∼ γ

Lema 3.1.3 Las reglas Equivalencia, wedge por la derecha (|∼ ∧) y Modus Ponens por la derecha (|∼ MP ) se pueden derivar en el sistema C . Demostración: Ejercicio. 

La siguiente regla de monoton´ıa no es derivable en el sistema acumulativo.  α → β, β |∼ γ

( Monoton´ıa). α |∼ γ Dejaremos la demostraci´ o n para m´ as adelante. Es interesante hacer notar que bajo la presencia de las reglas de C , monoton´ıa es equivalente a la regla α |∼ β, β |∼ γ (Transitividad), α |∼ γ y también equivalente a la regla α |∼ β → γ (EHD). α ∧ β |∼ γ En presencia de ELI y DD, la siguiente relga de contraposición implica la regla de monoton´ıa. α |∼ β (Contraposición). ¬β |∼ ¬α

3.2. MODELOS ACUMULATIVOS

3.2

71

Modelos acumulativos

Sea ≺ una relaci´ on binaria en un conjunto U . Decimos que ≺ es asimétrica si y sólo si ∀s, t ∈ U , si s ≺ t entonces t ⊀ s.

Definici´ on 3.2.1 Sean V ⊆ U y ≺ una relaci´ on binaria en U . Decimos que t ∈ V es minimal en V si ∀s ∈ V , s ⊀ t. Decimos = t, que t ∈ V es un m´ınimum de V si y s´ olo si ∀s ∈ V tal que s  t ≺ s. Definici´ on 3.2.2 Si P ⊆ U y ≺ es una relaci´ on binaria en U , decimos que P es suave si para todo t ∈ P , o t es minimal en P , o existe s minimal en P tal que s ≺ t. Lema 3.2.3 Sea U un conjunto y sea ≺ una relaci´ on binaria asimétrica en U . Entonces, si U tiene un m´ınimum, éste es unico, ´ es minimal en U y U es suave. Demosración. Es inmediata de las definiciones.

Definici´ on 3.2.4 Un modelo acumulativo es una tripleta S,l, ≺, donde S es un conjunto cuyos elementos se llaman estados, l : S → 2 U es una funci´ on que asgina a cada estado un conjunto de valuaciones de U , y ≺ es una relaci´ on binaria en S que satisface la condici´ on de suavidad que definiremos a continuaci´ on. Definici´ on 3.2.5 Sea S,l, ≺ como arriba. Si α es una proposici´ on, decimos que s ∈ S satisface α y escribimos s |≡ α si y s´ olo si para cada valuaci´ on m ∈ l(s), m  α. El conjunto {s ∈ S : s |≡ α} de ˆ. todos los estados que satisfacen α se denota por α Definici´ on 3.2.6 (Condici´ on de Suavidad) S,l, ≺ satisface la condici´ on de suavidad si para cada proposici´ on α del lenguaje, el conjunto α ˆ es suave. La condici´ on de suavidad es necesaria para garantizar la validez de la monoton´ıa cautelosa.

72


Definici´ on 3.2.7 Sea W = S,l, ≺ un modelo acumulativo dado. La relaci´ on de consecuencia definida por W se denota ∼ | W y se ˆ. define asi: α |∼w β si y s´ olo si s |≡ β para cada s minimal en α Lema 3.2.8 Sea W = S,l, ≺ un modelo acumulativo. Dadas proposiciones α y β del lenguaje,

 ˆ (α ∧ β ) = αˆ ∩ β. Lema 3.2.9 (Correcci´ on) Para todo modelo acumulativo W , la relaci´ on de consecuencia |∼W es una relaci´ on acumulativa, es decir, satisface todas las reglas del sistema C . Demostración. Para la regla de corte, supongamos que todo elemento minimal  en α ˆ satisface β y todo elemento minimal de (α ∧ β ) satisface γ . Pero todo elemento minimal de α, ˆ al satisfacer β también satisface  α ∧ β . Y al ser minimal en α, ˆ como (α ˆ , también es ∧ β ) ⊆ α  minimal en (α ∧ β ). Para la regla de monoton´ıa cautelosa usamos la condición de suavidad. Supongamos que α |∼W β y α ∼ | W γ . Queremos probar que α∧β |∼W γ , es decir, que para cada s minimal   en (α ˆ Veamos que ∧ β ), s |≡ γ . Un tal s ∈ (α ∧ β ) pertenece a α. es minimal en α. ˆ Si s no es minimal en α, ˆ por la condició n de  suavidad, existe un s ≺ s minimal en α. ˆ Pero α |∼W β , entonces  ˆ. Por el Lema 3.2.8, s ∈ (α s |≡ β y por lo tanto s ∈ α ˆ ∩ β ∧ β ), lo que contradice la minimalidad de s en este conjunto. Entonces, s ews minimal en α ˆ , y como α |∼W γ , concluimos que s |≡ γ . Las dem´ as reglas se verifican f´ acilmente. Nuestro ob jetivo ahora es demostrar el rec´ıproco. Es decir, que toda relaci´ on de consecuencia acumulativa es la relaci´ on definida por un modelo acumulativo. Sea |∼ una relaci´ on de consecuencia acumulativa. Construiremos un modelo acumulativo W tal que la relación |∼W es exactamente la relaci´ on |∼. Necesitamos algunas definiciones (relativas a la relación |∼ fijada) y algunos resultados previos.

3.2. MODELOS ACUMULATIVOS

73

Definici´ on 3.2.10 Una valuaci´ on m ∈ U es un mundo normal para α si m  β para toda β del lenguaje tal que α |∼ β . Lema 3.2.11 Supongamos que |∼ es una relaci´ on de consecuencia que satisface reflexividad, DD y (|∼ ∧), y sean α y β proposiciones del lenguaje. Todo mundo normal para α satisface β si y s´ olo si α |∼ β . Demostración. La implicaci´ on de izquierda a derecha sigue de la definición de mundo normal para α. Para demostrar la otra implicación supongamos que α ∼ | β , y construyamos un mundo  normal para α que no satisface β . Definamos Γ = {¬β } ∪ {δ : α |∼ δ }. Solamente tenemos que verificar que Γ es satisfactible. En caso contrario, por compacidad, existe un subconjunto finito de Γ que no es satisfactible, y por lo tanto, existe un conjunto D ⊆ {δ : α |∼ δ } tal que  ∧d∈D δ → β . Pero entonces,  α → (∧d∈D δ → β ) , y por reflexividad y DD, α ∼ | (∧d∈D δ → β ) . Usando ∼ | ∧, obtenemos α ∼ on usa solamente | ∧d∈D δ , y usando ∼ | MP (cuya demostraci´ otesis. |∼ ∧ y DD) consluimos α |∼ β , contradiciendo nuestra hip´ 

Definici´ on 3.2.12 Diremos que α es equivalente a β , y escribimos α ∼ β para denotarlo, si α |∼ β y β |∼ α. Ejercicio 3.2.13 Demuestre que al relaci´ on ∼ es una relaci´ on de equivalencia. Denotaremos con α¯ a la clase de equivalencia de α. ¯ si y solamente si ∃α ∈ α ¯ ≤ β ¯ tal que β |∼ Definici´ on 3.2.14 α  α.

Ejercicio 3.2.15 Muestre que la relaci´ on ≤ est´ a bien definida, es decir, la definici´ on de ≤ no depende del representante de la clase. Lema 3.2.16 La relaci´ on ≤ es antisimétrica.

74


Definamos ahora el modelo acumulativo W = S,l, ≺ de la manera siguiente: S = PROP/ ∼ (el conjunto de clases de equivalencia de proposiciones del lenguaje respecto a la relaci´ on de equivalencia ∼). l(α) ¯ = {m ∈ U : m es un mundo normal para α}, ¯ si y solamente si α ¯yα ¯. yα ¯ ≺ β ¯ ≤ β ¯ = β

Ejercicio 3.2.17 Muestre que la funci´ on l est´ a bien definida (es α) no depende del represententante de la clase de α). decir, l(¯ Lema 3.2.18 Para toda α ∈ PROP , α ¯ es un minimum de α ˆ. Demostración: Ejercicio. 

Lema 3.2.19 α |∼ β si y s´ olo si α |∼W β . Demostración. Tenemos que α ¯ es el u ´ nico elemento minimal de α ˆ . Entonces α |∼W β si y solamente si todo mundo normal para α satisface β , pero por el Lema 3.2.11, esto es equivalente a α |∼ β . Con esto, hemos demostrado el siguiente teorema.

Teorema 3.2.20 (Teorema de Representaci´ on para relaciones acumulativas) Una relaci´ on de consecuencia es acumulativa si y solamente si est´ a definida por alg´ un modelo acumulativo. Corolario 3.2.21 Si S es un conjunto de secuentes con una proposici´ on en el antecedente y una proposici´ on en el consecuente, y α y beta son propocisiones, las dos condiciones siguientes son equivalentes, y cuando se cumplen decimos que α |∼ β se obtiene acumulativamente de S . 1. Para todo modelo acumulativo V tal que ∼ | V contiene a S , α |∼V β .

3.3. RAZONAMIENTO PREFERENCIAL

75

2. Existe una derivaci´ on de α |∼ β a partir de S en el sistema C . Demostració n. La implicaci´ o n (2) implica (1) se obtiene del teorema de correcci´ on 3.2.9. Para la otra implicación, supongamos que (2) no se cumple. Entonces la menor relaci´ on de consecuencia que contiene S y que es cerrada bajo las reglas de C , no contiene a α |∼ β . Por el Teorema de Representaci´ on 3.2.20, hay un modelo que la representa, y por lo tanto no se cumple (1).

Corolario 3.2.22 Sea S un conjunto de secuentes. Entonces existe un modelo acumulativo V que satisface exactamente los secuentes que se obtienen acumulativamente de S . Demostración. La colecci´ on de secuentes que se obtienen acumulativamente de S es cerrado bajo las reglas del sistema C .

Corolario 3.2.23 (Compacidad.) Si α |∼ β se obtiene acumulativamente a partir de S , entonces se obtiene acumulativamente de alg´ un subconjunto finito de S . Demostración. Sigue de que las derivaciones son finitas.

3.3

Razonamiento Preferencial

El Sistema P . Este sistema es estrictamente m´ as fuerte que el sistema C , y presupone la existencia de disyunci´ on en el lenguaje. El sistema P consta de todas las reglas del sistema C con la siguiente regla adicional: α |∼ γ, β |∼ γ (∨ |∼). α ∨ β |∼ γ Una relaci´ on de consecuencia que satisface todas las reglas de P se llama preferencial.


76

Lema 3.3.1 En presencia de Reflexividad, DD y ELI, la regla (∨ |∼)

implica α ∧ β |∼ γ (Regla S). α |∼ β → γ

Lema 3.3.2 En presencia de DD, las reglas S y (|∼ ∧ ) implican la regla de corte. Ejercicio 3.3.3 Demuestre que las siguientes reglas se pueden derivar en el sistema P. 1.

α|∼γ, β |∼δ α∨β |∼γ ∨δ

2.

α∨γ |∼γ, α|∼β γ |∼α→β

3.

α∨β |∼α, β ∨γ |∼β α∨γ |∼α

4.

α∨β |∼α, β ∨γ |∼β α|∼γ →β

3.4

Modelos Preferenciales

Fijaremos un conjunto U de valuaciones.

Definici´ on 3.4.1 Un modelo preferencial es una tripleta S,l, ≺, donde S es un conjunto, cuyos elementos se llaman estados, l : S → U , y ≺ es un orden parcial estricto en S que satisface la condici´ on de suavidad que definiremos a continuaci´ on. Sea U un conjunto y ≺ una relaci´ on binaria antisim´ etrica en U . Si P ⊆ P , decimos que P es suave si para todo t ∈ P , o t es minimal en P , o existe s minimal en P tal que s ≺ t.

3.4. MODELOS PREFERENCIALES

77

Definici´ on 3.4.2 Dado un modelo preferencial S,l, ≺, si α es una proposici´ on, decimos que s ∈ S satisface α si l(s)  α. Usˆ para denotar el conjunto {s ∈ S : s |≡ α} Decimos que aremos α on α, S,I, ≺ tiene la propiedad de suavidad si para toda proposici´ ˆ es suave, es decir, para todo s ∈ α ˆ , se tiene que s es el conjunto α  ˆ o existe s ≺ s minimal en α ˆ. minimal en α Lema 3.4.3 Si W = S,I, ≺ es un modelo prefencial, entonces para α, β ∈ PROP se tiene ˆ  α ∨ β = α ˆ ∪ β.

Definici´ on 3.4.4 Dado W = S,I, ≺, definimos la relaci´ on |∼W de la manera siguiente: α ∼ olo si s ≡ | W β si y s´ | β para todo s ˆ. minimal en α Lema 3.4.5 (Correcci´ on) Si W = S,I, ≺ es un modelo pref| W definida por W es una erencial, la relaci´ on de consecuencia ∼ relaci´ on preferencial, es decir, satisface todas las reglas del sistema P . Demostración. Ya que los modelos preferenciales son modelos acumulativos, basta verificar la validez de la regla ∨ |∼.  Sea |∼ una relaci´ on de consecuencia preferencial. Defnimos el siguiente modelo W = S,l, ≺: 1. S = {m, α : m es un mundo normal para α}, 2. l((m, α) = m, y 3. m, α ≺ n, β  si y solamente si α ≤ β y m  β Probaremos que W es un modelo preferencial, y luego que la relación |∼W coincide con |∼. Definimos una relaci´ on binaria entre proposiciones.

78


Definici´ on 3.4.6 α ≤ β si α ∨ β |∼ α (y en este caso decimos que un que β ). α no es menos com´ Ejercicio 3.4.7 Demuestre que si |∼ satisface Reflexividad y ELI, entonces para todo par de proposiciones α, β , α ∨ β ≤ α. Demuestre que si |∼ es preferencial, entonces ≤ es reflexiva y transitiva. Lema 3.4.8 Si α ≤ β y m es un mundo normal para α que satis face β , entonces m es un mundo normal para β . Demostración. Supongamos que β ∼ | δ . Por (2) del ejercicio 3.3.3, tenemos que α ∼ | β → δ . Si m es normal para α, debe satisfacer β → δ , y como satisface β , entonces satisface tambi´ en δ .

Lema 3.4.9 Si α ≤ β ≤ γ , y m es un mundo normal para α que satisface γ , entonces es un mundo normal para β . Demostración. Por el lema anterior, basta ver que m satisface β . Por (4) del ejercicio 3.3.3 tenemos que α |∼ γ → β . Pero m es un mundo normal para α que satisfece γ , entonces debe satisfacer β .

Lema 3.4.10 La relaci´ on ≺ es un orden parcial estricto, es decir, ≺ es una relac´ on irreflexiva y transitiva. Demostració n. La relaci´ on ≺ es irreflexiva, ya que (m, α) ≺  α, pero m es un mundo normal para α, (m, α) implicar´ıa que m  y por reflexividad, α |∼ α y por lo tanto m  α. Veamos que ≺ es transitiva. Supongamos que m1 , α1  ≺ m2 , α2  y m2 , α2  ≺ m3, α3. Por la definici´ o n de ≺, tenemops que α1 ≤ α2 ≤ α3 . Como la relaci´ on ≤ es transitiva, concluimos que α1 ≤ α3, y por otra parte, como m1 es un mundo normal para α1 que no satisface α2 , por el Lema 3.4.9, m1 no puede satisfacer α3 .


79

ˆ si y s´ Lema 3.4.11 En el modelo W , m, β  es minimal en α olo si m  α y β ≤ α. Demostración. Supongamos que m  α y β ≤ α. Claramente ˆ . Supongamos que n, γ  ≺ m, β  y que n  α. Entonces m∈α tendr´ıamos que γ ≤ β ≤ α, n normal para γ , n   β y n  α. esto contradice el Lema 3.4.9. Rec´ıprocamente, supongamos que m, β  es minimal en α. ˆ Claramente, m  α. Queremos ver que β ≤ α. Supongamos que n es un modelo normal para α ∨ β que no satisface β (no estamos afirmando que un tal modelo existe). Como α ∨ β ≤ α, debemos tener que n, α ∨ β  ≺ m, β . Pero n es un mundo normal para α ∨ β que no satisface β , entonces debe satisfacer α. Esto contradice la minimalidad de m, β  en α. ˆ Concluimos entonces que cada mundo normal para α ∨ β satisface β . Por el Lema 3.2.11 α ∨ β |∼ β .

Lema 3.4.12 El modelo W satisface la condici´ on de suavidad. Es decir, para toda α ∈ PROP , el conjunto α ˆ es suave. Demostración. Supongamos que m, β  ∈ α ˆ , es decir, que m  ˆ . Por otro α. Si β ≤ α, por el Lema 3.4.11, m, β  es minimal en α lado, si α ∨ β  |∼ β , entonces por el Lema 3.2.11 existe un mundo normal n para α ∨ β que no satisface β . Pero α ∨ β ≤ β , y por lo tanto n, α ∨ β  ≺ m, β . Pero n   β , luego n  α. Como α ∨ β ≤ α, Lema 3.4.11 nos permite concluir que n, α ∨ β  es minimal en α. ˆ

Lema 3.4.13 α |∼ β si y solamente si α |∼W β . Demostración. Supongamos que α |∼ β . Queremos demostrar que todo estado minimal de α ˆ satisface β . Supongamos que m, γ  es minimal en α. ˆ Entonces m es un mundo normal para γ que satisface α. Por el Lema 3.4.11, γ ≤ α, y por lo tanto (por el Lema 3.4.8) m es un mundo normal para α.

80


Rec´ıprocamente, supongamos que α |∼W β . De la definición de ≺ sigue que para cada mundo normal m para α, m, α es minimal en α ˆ (esto tambi´ en sigue del lema 3.2.11, pero no es necesario usar el Lema aqu´ı). Como α |∼W β , entonces β es satisfecha por todo mundo normal para α, y por el Lema 3.2.11, tenemos α |∼ β .

Teorema 3.4.14 (Teorema de Representaci´ on para relaciones pre ferenciales) Una relaci´ on de consecuencia es preferencial si y s´ olo si es la relaci´ on definida por alg´ un modelo preferencial. Demostració n. Una implicaci´ on es el Teorema de Correcci´ on 3.4.5. Para la otra implicaci´ on, sea |∼ cualquier relaci´ on de consecuencia que satisface las reglas del sistema P , y sea W un modelo definido como arriba. Los Lemas 3.4.10 y 3.4.12 indican que W es un modelo preferencial, y el Lema 3.4.13 nos dice que la relaci´ on |∼W definida a partir de ese modelo es exactamente |∼.

Corolario 3.4.15 Si S es un conjunto de secuentes con una proposici´ on en el antecedente y una proposici´ on en el consecuente, y α y beta son propocisiones, las dos condiciones siguientes son equivalentes, y cuando se cumplen decimos que α |∼ β se obtiene preferencialmente de S . 1. Para todo modelo preferencial W tal que |∼W contiene a S , α |∼w β . 2. Existe una derivaci´ pn de α |∼ β a partir de S en el sistema P . Corolario 3.4.16 Sea S un conjunto de secuentes. Entonces existe un modelo preferencial W que satisface exactamente los secuentes que se obtienen preferencialmente de S . Demostración. La colecci´ on de secuentes que se obtienen preferencialmente de S es cerrado bajo las reglas del sistema P .


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| β se obtiene preferenCorolario 3.4.17 (Compacidad.) Si α ∼ cialmente de S , entonces se obtiene preferencialmente de alg´ un subconjunto finito de S .

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D.Prisco - Notas de lógica

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