Notas de Topologia, Mujica

Notas de Topologia Geral Jorge Mujica

Disciplina ministrada no IMECC-UNICAMP durante o primeiro semestre de 2005

Sum´ ario

1. Teoria de conjuntos................................................................1 2. Espa¸cos métricos....................................................................4 3. Espa¸cos topol´ ogicos................................................................7 4. Aderência e interior de um conjunto......................................9 5. Sistemas de vizinhan¸cas........................................................12 6. Bases para os abertos............................................................16 7. Subespa¸cos............................................................................18 8. Fun¸c˜ oes cont´ınuas.................................................................20 9. Produtos infinitos e o axioma da escolha.............................23 10. O espa¸co produto...............................................................25 11. O espa¸co quociente.............................................................29 12. Convergência de seq¨ uências................................................32 13. Convergência de redes........................................................34 14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo............................38 15. Convergência de filtros.......................................................42 16. Espa¸cos de Hausdorff..........................................................47 17. Espa¸cos regulares................................................................50 18. Espa¸cos normais.................................................................52 19. Espa¸cos completamente regulares.......................................58 20. Primeiro e segundo axioma de enumerabilidade.................63 21. Espa¸cos compactos.............................................................69 22. Espa¸cos localmente compactos...........................................76 23. A compactifica¸c˜ ao de Alexandroff......................................79 24. A compactifica¸c˜ ao de Stone-Cech.......................................81 25. Espa¸cos metriz´ aveis............................................................84 26. Espa¸cos conexos..................................................................87 27. Componentes conexas.........................................................91 28. Espa¸cos conexos por caminhos............................................93 29. Homotopia...........................................................................96 30. O grupo fundamental..........................................................99 31. O grupo fundamental do c´ırculo unitário..........................103 Bibliografia..............................................................................108

1. Teoria de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, diremos que A é subconjunto de B, e escreveremos A ⊂ B, se cada elemento de A pertence a B, ou seja se x ∈ A implica x ∈ B. Diremos que A é igual a B, e escreveremos A = B, se A e B tem os mesmos elementos, ou seja se A ⊂ B e B ⊂ A. A uni˜ ao, a interse¸c˜ ao, e a diferen¸ca de dois conjuntos A e B é definida por A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}, A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}, A \ B = {x : x ∈ A e x ∈ / B}. Se estamos considerando subconjuntos de um conjunto fixo X, então o conjunto X \ A é chamado de complementar de A em X, e é denotado por Ac . A uni˜ ao e a interse¸c˜ ao de uma fam´ılia de conjuntos Ai (i ∈ I) é definida por [ Ai = {x : x ∈ Ai para algum i ∈ I}, i∈I

\

Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈ I}.

i∈I

Dado um conjunto X, P(X) denota o conjunto formado pelos subconjuntos de X, ou seja P(X) = {A : A ⊂ X}. ∅ denota o conjunto vazio. N denota o conjunto dos n´ umeros naturais, ou seja o conjunto dos inteiros positivos. Z denota o conjunto dos inteiros. Q denota o conjunto dos n´ umeros racionais. R denota o conjunto dos n´ umeros reais. C denota o conjunto dos n´ umeros complexos. O produto cartesiano X × Y de dois conjuntos X e Y é o conjunto dos pares ordenados (x, y) tais que x ∈ X e y ∈ Y . O produto cartesiano X1 × ... × Xn de n conjuntos X1 ,...,Xn é o conjunto das n-tuplas (x1 , ..., xn ) tais que xi ∈ Xi para i = 1, ..., n. Escreveremos X n em lugar de X × ... × X (n vezes). Uma fun¸c˜ ao ou aplica¸c˜ ao f de X em Y , denotada por f : X → Y , é uma regra que associa a cada elemento x ∈ X um u ńico elemento f (x) ∈ Y . O conjunto X é chamado de dom´ınio de f . O conjunto Y é chamado de contradom´ınio de f . f é dita injetiva se f (x1 ) = f (x2 ) implica x1 = x2 . f é dita sobrejetiva se para cada y ∈ Y existe x ∈ X tal que f (x) = y. f é dita bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. Se f : X → Y é bijetiva, a fun¸c˜ ao inversa f −1 : Y → X é definida −1 por f (y) = x se f (x) = y. O gr´ afico de f é o conjunto Gf = {(x, y) ∈ X × Y : y = f (x)}.

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Dados A ⊂ X e B ⊂ Y , a imagem de A e a imagem inversa de B são os conjuntos f (A) = {y ∈ Y : y = f (x) para algum x ∈ A}, f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}. Dadas duas aplica¸c˜ oes f : X → Y e g : Y → Z, a aplica¸c˜ ao composta g ◦ f : X → Z é definida por g ◦ f (x) = g(f (x)) para todo x ∈ X. Uma rela¸c˜ ao R num conjunto X é um subconjunto R de X × X. Com freq¨ uência escreveremos xRy se (x, y) ∈ R. Uma rela¸c˜ ao R em X é dita reflexiva se xRx para todo x ∈ X. R é dita simétrica se xRy implica yRx. R é dita transitiva se xRy e yRz implicam xRz. Diremos que R é uma rela¸c˜ ao de equivalência se R é reflexiva, simétrica e transitiva. Exerc´ıcios 1.A. Se Ai ⊂ X para cada i ∈ I, prove las leis de De Morgan: [ \ (a) X\ Ai = (X \ Ai ). i∈I

\

X\

(b)

i∈I

[

Ai =

i∈I

(X \ Ai ).

i∈I

1.B. Seja f : X → Y uma aplica¸cão. Dados B ⊂ Y e Bi ⊂ Y para cada i ∈ I, prove que: [ [ (a) f −1 ( Bi ) = f −1 (Bi ). i∈I

(b)

f −1 (

(c)

−1

\

i∈I

Bi ) =

i∈I

f

\

f −1 (Bi ).

i∈I

(Y \ B) = X \ f −1 (B).

1.C. Seja f : X → Y uma aplica¸cão. Dados A ⊂ X e Ai ⊂ X para cada i ∈ I, prove que: [ [ (a) f ( Ai ) = f (Ai ). i∈I

(b)

f(

\

i∈I

(c) (c0 )

Ai ) ⊂

\

i∈I

f (Ai ), com igualdade se f for injetiva.

i∈I

f (X \ A) ⊂ Y \ f (A) se f for injetiva. f (X \ A) ⊃ Y \ f (A) se f for sobrejetiva.

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1.D. (a) Dê exemplo de uma aplica¸cão f : X → Y e conjuntos A1 , A2 ⊂ X tais que f (A1 ∩ A2 ) 6= f (A1 ) ∩ f (A2 ). (b) Dê exemplo de uma aplica¸cão f : X → Y e um conjunto A ⊂ X tal que f (X \ A) 6= Y \ f (A). 1.E. Seja f : X → Y uma aplica¸cão. Dados A ⊂ X e B ⊂ Y , prove que: (a) (b)

A ⊂ f −1 (f (A)), com igualdade se f for injetiva. f (f −1 (B)) ⊂ B, com igualdade se f for sobrejetiva.

1.F. (a) Dê exemplo de uma aplica¸cão f : X → Y e um conjunto A ⊂ X tal que A 6= f −1 (f (A)). (b) Dê exemplo de uma aplica¸cão f : X → Y e um conjunto B ⊂ Y tal que f (f −1 (B)) 6= B. 1.G. Sejam f : X → Y e g : Y → X aplica¸cões tais que g ◦ f (x) = x para todo x ∈ X. Prove que f é injetiva e g é sobrejetiva.

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2. Espa¸ cos m´ etricos 2.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um conjunto. Uma fun¸cão d : X × X → R é chamada de métrica se verifica as seguintes propriedades para x, y, z ∈ X: (a) d(x, y) ≥ 0; (b) d(x, y) = 0 se e s´ o se x = y; (c) d(x, y) = d(y, x); (d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z); A desigualdade (d) é chamada de desigualdade triangular. O par (X, d) é chamado de espa¸co métrico. Com freq¨ uência falaremos do espa¸co métrico X em lugar do espa¸co métrico (X, d). 2.2. Exemplos. (a) X = R, d(x, y) = |x − y|. qP n 2 e a métrica euclideana. (b) X = Rn , d(x, y) = j=1 (xj − yj ) . Esta ´ (c) X = Rn , d(x, y) =

Pn

j=1

|xj − yj |.

(d) X = Rn , d(x, y) = max{|x1 − y1 |, ..., |xn − yn |}. Em (b),(c) e (d), x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ). (e) Se X é um conjunto qualquer, então a métrica d : X × X → R definida por d(x, y) = 1 se x 6= y e d(x, y) = 0 se x = y, é chamada de métrica discreta. (f) Seja (X, d) um espa¸co métrico, e seja S ⊂ X. Então S é um espa¸co métrico com a métrica induzida dS , ou seja dS (x, y) = d(x, y) para todo x, y ∈ S. 2.3. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co métrico. Dados a ∈ X e r > 0, consideremos os conjuntos B(a; r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}, B[a; r] = {x ∈ X : d(x, a ≤ r}. O conjunto B(a; r) é chamado de bola aberta de centro a e raio r. O conjunto B[a; r] é chamado de bola fechada de centro a e raio r. 2.4. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co métrico. Um conjunto U ⊂ X é dito aberto em X se para cada a ∈ U existe r > 0 tal que B(a; r) ⊂ U . Um conjunto F ⊂ X é dito fechado em X se X \ F é aberto. 2.5. Exemplos. (a) Cada bola aberta é um subconjunto aberto. (b) Cada bola fechada é um subconjunto fechado. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Seja x ∈ B(a; r). Usando a desigualdade triangular é f´ acil verificar que B(x; r − d(x, a)) ⊂ B(a; r), e portanto B(a; r) é aberto. 4

(b) Para provar que B[a; r] é fechado, basta provar que X \ B[a; r] é aberto. Seja x ∈ X \ B[a; r]. Usando a desigualdade triangular não é difícil provar, por absurdo, que B(x; d(x, a) − r) ⊂ X \ B[a; r], e portanto X \ B[a; r] é aberto. 2.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co métrico. Ent˜ ao: (a) ∅ e X s˜ ao abertos. (b) A uni˜ ao de uma fam´ılia arbitr´ aria de abertos é um aberto. (c) A interse¸c˜ ao de uma fam´ılia finita de abertos é um aberto. Demonstra¸ c˜ ao. (a) é claro. S (b) Seja Ui aberto em X para cada i ∈ I, e seja a ∈ i∈I Ui . Então a ∈ Ui0 para algum Ui0 é aberto, existe r > 0 tal que B(a; r) ⊂ Ui0 . Logo Si0 ∈ I. Como S B(a; r) ⊂ i∈I Ui e i∈I Ui é aberto. T (c) Seja Ui aberto em X para cada i ∈ I, sendo I finito. Seja a ∈ i∈I Ui , ou seja a ∈ Ui para cada i ∈ I. Para cada i T ∈ I existeTri > 0 tal que B(a; ri ) ⊂ Ui . Seja r = mini∈I ri . Segue que B(a; r) ⊂ i∈I Ui e i∈I Ui é aberto. 2.7. Corol´ ario. Seja X um espa¸co métrico. Ent˜ ao: (a) X e ∅ s˜ ao fechados. (b) A interse¸c˜ ao de uma fam´ılia arbitr´ aria de fechados é um fechado. (c) A uni˜ ao de uma fam´ılia finita de fechados é um fechado. Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar a Proposi¸cão 2.6 e as leis de De Morgan. 2.8. Defini¸ c˜ ao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espa¸cos métrico. Diremos que f é cont´ınua num ponto a ∈ X se dado > 0, podemos achar δ > 0 tal que dX (x, a) < δ implica dY (f (x), f (a)) < , ou seja f (BX (a; δ)) ⊂ BY (f (a); ). Diremos que f é cont´ınua se for cont´ınua em cada ponto de X. Denotaremos por C(X; Y ) o conjunto de todas as fun¸cões cont´ınuas f : X → Y . Se Y = R, escreveremos C(X) em lugar de C(X; R). 2.9. Proposi¸ c˜ ao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espa¸cos métricos. Ent˜ ao f é cont´ınua num ponto a ∈ X se e s´ o se, para cada aberto V de Y contendo f (a), existe um aberto U de X contendo a tal que f (U ) ⊂ V . Demonstra¸ c˜ ao. (⇒): Seja V um aberto de Y contendo f (a). Seja > 0 tal que BY (f (a); ) ⊂ V . Por hipótese existe δ > 0 tal que f (BX (a; δ)) ⊂ BY (f (a); ). Logo basta tomar U = BX (a; δ). (⇐): Dado > 0, seja V = BY (f (a); ). Por hipótese existe um aberto U de X contendo a tal que f (U ) ⊂ V . Seja δ > 0 tal que BX (a; δ) ⊂ U . Segue que f (BX (a; δ)) ⊂ BY (f (a); ).

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2.10. Proposi¸ c˜ ao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espa¸cos métricos. Ent˜ ao as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) f é cont´ınua. (b) f −1 (V ) é aberto em X para cada aberto V de Y . (c) f −1 (B) é fechado em X para cada fechado B de Y . Demonstra¸ c˜ ao. (a) ⇒ (b): Seja V um aberto de Y . Pela Proposi¸cão 2.9, para cada a ∈ f −1 (V ), existe um aberto Ua de X contendo a tal que f (Ua ) ⊂ V , ou seja Ua ⊂ f −1 (V ). Segue que [ f −1 (V ) = {Ua : a ∈ f −1 (V )} é aberto em X. (b) ⇒ (a): Basta provar que f é cont´ınua em cada a ∈ X. Seja a ∈ X, e seja V um aberto de Y contendo f (a). Por hipótese f −1 (V ) é um aberto de X contendo a, e f (f −1 (V )) ⊂ V pelo Exerc´ıcio 1.G. Pela Proposi¸cão 2.9 f é cont´ınua em a. A equivalência (b) ⇔ (c) é conseq¨ uência direta do Exerc´ıcio 1.B(c). Exerc´ıcios 2.A. Prove que as seguintes fun¸cões são métricas em C[a, b]: (a) d(f, g) = sup{|f (x) − g(x)| : a ≤ x ≤ b}. Rb (b) d(f, g) = a |f (x) − g(x)|dx. 2.B. Seja X um espa¸co métrico. (a) Prove a desigualdade |d(x, a) − d(y, a)| ≤ d(x, y) para todo x, y, a ∈ X. (b) Prove que, para cada a ∈ X a fun¸cão x ∈ X → d(x, a) ∈ R é cont´ınua. (c) Prove que a esfera S(a; r) = {x ∈ X : d(x, a) = r} é um subconjunto fechado. 2.C. Seja X um espa¸co métrico, e seja S ⊂ X, com a métrica induzida. (a) Dados a ∈ S e r > 0, prove que BS (a; r) = S ∩ BX (a; r). (b) Prove que um conjunto U ⊂ S é aberto em S se e só se existe um aberto V de X tal que U = S ∩ V . 2.D. Seja X = R, e seja S = Z, com a métrica induzida. Prove que cada subconjunto de S é aberto em S. 2.E. (a) Dê exemplo de uma seq¨ uência de abertos de R cuja interse¸cão não seja um aberto. (b) Dê exemplo de uma seq¨ uência de fechados de R cuja união não seja um fechado.

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3. Espa¸ cos topol´ ogicos 3.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um conjunto. Chamaremos de topologia em X uma fam´ılia τ de subconjuntos de X com as seguintes propriedades: (a) ∅ e X pertencem a τ . (b) A uni˜ ao de uma fam´ılia arbitrária de membros de τ pertence a τ . (c) A interse¸c˜ ao de uma fam´ılia finita de membros de τ pertence a τ . Os membros de τ s˜ ao chamados de abertos. O par (X, τ ) é chamado de espa¸co topol´ ogico. Com freq¨ uência diremos que X é um espa¸co topológico. 3.2. Exemplos. (a) Se (X, d) é um espa¸co métrico, então segue da Proposi¸cão 2.6 que os abertos de (X, d) formam uma topologia τd em X. (b) Se X = Rn , ent˜ ao a topologia τd dada pela métrica euclideana v uX u n d(x, y) = t (xj − yj )2 j=1

é chamada de topologia usual. (c) Seja X um conjunto qualquer, e seja τ a fam´ılia de todos os subconjuntos de X. Claramente τ é uma topologia em X, chamada de topologia discreta. (d) Seja X um conjunto qualquer, e seja τ = {∅, X}. Claramente τ é uma topologia em X, chamada de topologia trivial. 3.3. Defini¸ c˜ ao. Diremos que um espa¸co topológico (X, τ ) é metriz´ avel se existir uma métrica d em X tal que τ = τd . Notemos que a topologia discreta é sempre metrizável, e vem dada pela métrica discreta. 3.4. Defini¸ c˜ ao. Dadas duas topologias τ1 e τ2 num conjunto X, diremos que τ1 é mais fraca que τ2 , ou que τ2 é mais forte que τ1 , ou que τ2 é mais fina que τ1 se τ1 ⊂ τ2 . A topologia trivial em X é mais fraca que qualquer outra topologia em X. A topologia discreta em X é mais fina que qualquer outra topologia em X. 3.5. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico. Diremos que um conjunto F ⊂ X é fechado se X \ F é aberto. 3.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Ent˜ ao: (a) X e ∅ s˜ ao fechados. (b) A interse¸c˜ ao de uma fam´ılia arbitr´ aria de fechados é um fechado. (c) A uni˜ ao de uma fam´ılia finita de fechados é um fechado. Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar as leis de de Morgan.

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Reciprocamente temos: 3.7. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um conjunto, e seja F uma fam´ılia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades: (a) X e ∅ pertencem a F. (b) A interse¸c˜ ao de uma fam´ılia arbitr´ aria de membros de F pertence a F. (c) A uni˜ ao de uma fam´ılia finita de membros de F pertence a F. Seja τ = {X \ F : F ∈ F}. Ent˜ ao τ é uma topologia em X, e F coincide com a fam´ılia dos fechados de (X, τ ). Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar as leis de De Morgan. Exerc´ıcios 3.A. Prove que as métricas dos Exemplos 2.2(b), 2.2(c) e 2.2(d) definem a mesma topologia em Rn . 3.B. Seja X = {a, b}, com a 6= b, e seja τ = {∅, {a}, X}. Prove que τ é uma topologia em X. O espa¸co (X, τ ) é chamado de espa¸co de Sierpinski. 3.C. Seja X um conjunto, e seja F = {X} ∪ {F ⊂ X : F é finito}. Prove que F é a fam´ılia de fechados de uma topologia em X, conhecida como topologia cofinita. Vocé reconhece esta topologia quando X é finito? 3.D. Seja X um conjunto, e seja F = {X} ∪ {F ⊂ X : F é enumerável}. Prove que F é a fam´ılia de fechados de uma topologia em X, conhecida como topologia coenumer´ avel. Você reconhece esta topologia quando X é enumer´ avel? 3.E. Seja X um conjunto, seja A ⊂ X, e seja τA = {∅} ∪ {U : A ⊂ U ⊂ X}. (a) Prove que τA é uma topologia em X. (b) Descreva os fechados de (X, τA ). (c) Você reconhece τA quando A = ∅ e quando A = X?

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4. Aderˆ encia e interior de um conjunto 4.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, e seja A ⊂ X. Chamaremos de aderência de A o conjunto \ A = {F ⊂ X : F é fechado e F ⊃ A}. Claramente A é o menor subconjunto fechado de X que contém A. 4.2. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Ent˜ ao a aplica¸c˜ ao A → A tem as seguintes propriedades: (a) A ⊂ A. (b) A = A. (c) ∅ = ∅. (d) A ∪ B = A ∪ B. (e) A é fechado se e s´ o se A = A. Demonstra¸ c˜ ao. (a) é ´ obvio. (b) Por (a) A ⊂ A. E como A é um fechado contendo A, segue que A ⊂ A. (c) Como ∅ é um fechado contendo ∅, segue que ∅ ⊂ ∅. (d) Antes de provar (d) notemos que A ⊂ B implica A ⊂ B. Como A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B, segue que A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B. Logo A ∪ B ⊂ A ∪ B. Por outro lado A ∪ B é um fechado contendo A ∪ B. Logo A ∪ B ⊂ A ∪ B. (e) é ´ obvio. Reciprocamente temos: 4.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um conjunto, e seja A ∈ P(X) → A ∈ P(X) uma aplica¸c˜ ao com as seguintes propriedades: (a) A ⊂ A. (b) A = A. (c) ∅ = ∅. (d) A ∪ B = A ∪ B. Seja F = {A ⊂ X : A = A}. Ent˜ ao F é a fam´ılia de fechados de uma topologia τ em X. A é a aderência de A para cada A ⊂ X. ´ claro que X ∈ F. E Demonstra¸ c˜ ao. Utilizaremos a Proposi¸cão 3.7. E segue de (c) que ∅ ∈ F. Segue de (d) que a uni˜ ao de dois membros de F pertence a F.

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Antes de provar que qualquer interse¸cão de membros de F pertence a F, provemos que (∗) A ⊂ B implica A ⊂ B. De fato usando (d) vemos que: A ⊂ B ⇒ B = A ∪ (B \ A) ⇒ B = A ∪ (B \ A) ⇒ B ⊃ A. T T Seja Ai ∈ F para cada i ∈ I. Então i∈I Ai ⊂ Ai , e portanto i∈I Ai ⊂ T T T Ai = Ai para cada i ∈ I. Logo i∈I Ai ⊂ i∈I Ai , e segue que i∈I Ai ∈ F. Assim F é a fam´ılia de fechados para uma topologia τ em X. Para provar que A é a aderência de A com rela¸cão a τ , fixemos A ⊂ X. Segue de (*) que A ⊂ F = F para cada F ∈ F tal que F ⊃ A, e portanto A⊂

\

{F ∈ F : F ⊃ A}.

Por outro lado segue de (a) e (b) que A ∈ F e A ⊃ A. Logo \ {F ∈ F : F ⊃ A} ⊂ A. Isto prova que A é a aderência de A. 4.4. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, e seja A ⊂ X. Chamaremos de interior de A o conjunto [ A◦ = {U ⊂ X : U é aberto e U ⊂ A}. Claramente A◦ é o maior subconjunto aberto de X que está contido em A. As ◦

vezes escreveremos A em lugar de A◦ . 4.5. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, e seja A ⊂ X. Ent˜ ao: X \ A = (X \ A)◦

e

X \ A◦ = (X \ A).

Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar as leis de De Morgan. Deixamos como exerc´ıcio as demonstra¸cões das duas proposi¸cões seguintes. Elas podem ser demonstradas diretamente, ou podem ser deduzidas das Proposi¸cões 4.2 e 4.3 utilizando a Proposi¸cão 4.5 e as leis de De Morgan. 4.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Ent˜ ao a aplica¸c˜ ao A → A◦ tem as seguintes propriedades: (a) A◦ ⊂ A. (b) A◦◦ = A◦ . (c) X ◦ = X. (d) (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦ . 10

(e) A é aberto se e s´ o se A = A◦ . 4.7. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um conjunto, e seja A ∈ P(X) → A◦ ∈ P(X) uma aplica¸c˜ ao com as seguintes propriedades: (a) A◦ ⊂ A. (b) A◦◦ = A◦ . (c) X ◦ = X. (d) (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦ . Seja τ = {A ⊂ X : A = A◦ }. Ent˜ ao τ é uma topologia em X. A◦ é o interior de A para cada A ⊂ X. Exerc´ıcios 4.A. Seja X um espa¸co topológico, com a topologia cofinita do Exerc´ıcio 3.C. (a) Descreva A para cada A ⊂ X. (b) Descreva A◦ para cada A ⊂ X. 4.B. Seja X um conjunto, seja A ⊂ X, e seja τA a topologia do Exerc´ıcio 3.E. (a) Descreva B para cada B ⊂ X. (b) Descreva B ◦ para cada B ⊂ X. 4.C. Seja X um espa¸co topológico. (a) Prove que (A ∩ B) ⊂ A ∩ B para todo A, B ⊂ X. (b) Dê exemplo de conjuntos A, B ⊂ R tais que (A ∩ B) 6= A ∩ B. 4.D. Seja X um espa¸co topológico. (a) Prove que (A ∪ B)◦ ⊃ A◦ ∪ B ◦ para todo A, B ⊂ X. (b) Dê exemplo de conjuntos A, B ⊂ R tais que (A ∪ B)◦ 6= A◦ ∪ B ◦ . 4.E. Dado A ⊂ X, chamaremos de fronteira de A o conjunto ∂A = A ∩ (X \ A). (a) Prove que A = A ∪ ∂A. (b) Prove que A◦ = A \ ∂A. 4.F. Para cada A ⊂ N seja A = {kn : n ∈ A, k ∈ N}. (a) Prove que a aplica¸c˜ ao A → A tem as propriedades da Proposi¸cão 4.3, e define portanto uma topologia τ em N. (b) Descreva os fechados de (N, τ ). (c) Descreva os abertos de (N, τ ).

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5. Sistemas de vizinhan¸ cas 5.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico não vazio, e seja x ∈ X. Diremos que um conjunto U ⊂ X é uma vizinhan¸ca de x se x ∈ U ◦ . Ux denota o conjunto de todas as vizinhan¸cas de x. 5.2. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico n˜ ao vazio. Ent˜ ao os conjuntos Ux tem as seguintes propriedades: (a) x ∈ U para cada U ∈ Ux . (b) Se U, V ∈ Ux , ent˜ ao U ∩ V ∈ Ux . (c) Dado U ∈ Ux , existe V ∈ Ux , V ⊂ U , tal que U ∈ Uy para cada y ∈ V . (d) Se U ∈ Ux e U ⊂ V ⊂ X, ent˜ ao V ∈ Ux . (e) Um conjunto U ⊂ X é aberto se e s´ o se U ∈ Ux para cada x ∈ U . Demonstra¸ c˜ ao. (a) Se U ∈ Ux , então x ∈ U ◦ ⊂ U . (b) Se U, V ∈ Ux , ent˜ ao x ∈ U ◦ ∩ V ◦ = (U ∩ V )◦ . Logo U ∩ V ∈ Ux . (c) Dado U ∈ Ux , seja V = U ◦ . Se y ∈ V = U ◦ , então U ∈ Uy . (d) Se U ∈ Ux e U ⊂ V ⊂ X, então x ∈ U ◦ ⊂ V ◦ . Logo V ∈ Ux . (e) Se U é aberto, ent˜ ao U = U ◦ . Segue que U ∈ Ux para cada x ∈ U . Reciprocamente suponhamos que U ∈ Ux para cada x ∈ U . Segue que U = U ◦ . Logo U é aberto. Reciprocamente temos: 5.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um conjunto n˜ ao vazio. Para cada x ∈ X seja Ux uma fam´ılia n˜ ao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades: (a) x ∈ U para cada U ∈ Ux . (b) Se U, V ∈ Ux , ent˜ ao U ∩ V ∈ Ux . (c) Dado U ∈ Ux , existe V ∈ Ux , V ⊂ U , tal que U ∈ Uy para cada y ∈ V . (d) Se U ∈ Ux e U ⊂ V ⊂ X, ent˜ ao V ∈ Ux . Seja τ = {U ⊂ X : U ∈ Ux para cada x ∈ U }. Ent˜ ao τ é uma topologia em X, e Ux é o sistema de vizinhan¸cas de x em (X, τ ) para cada x ∈ X. Demonstra¸ c˜ ao. Primeiro provaremos que τ é uma topologia em X. ´ claro que ∅ ∈ τ . Para provar que X ∈ τ , seja x ∈ X, e seja U ∈ Ux . Como E U ⊂ X, segue de (d) que X ∈ Ux . Logo X ∈ τ . S Seja Ui ∈ τ para cada i ∈ I, e seja x ∈ i∈I Ui . Ent˜ S ao x ∈ Ui para algum iS∈ I. Como Ui ∈ τ ,Stemos que Ui ∈ Ux . Como Ui ⊂ i∈I Ui , segue de (d) que i∈I Ui ∈ Ux . Logo i∈I Ui ∈ τ . Sejam U, V ∈ τ , e seja x ∈ U ∩ V . Então U, V ∈ Ux , e segue de (b) que U ∩ V ∈ Ux . Logo U ∩ V ∈ τ .

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A seguir provaremos que cada vizinhan¸ca de x pertence a Ux . Seja U uma vizinhan¸ca de x. Ent˜ ao x ∈ U ◦ . Como U ◦ ∈ τ , segue que U ◦ ∈ Ux . Como ◦ U ⊂ U , segue de (d) que U ∈ Ux . Finalmente provaremos que cada U ∈ Ux é uma vizinhan¸ca de x. Seja U ∈ Ux , e seja V = {y ∈ U : U ∈ Uy }. Segue de (a) que x ∈ U , e como U ∈ Ux , vemos que x ∈ V . A seguir veremos que V ∈ τ . Dado y ∈ V , temos que U ∈ Uy . Por (c) existe W ∈ Uy , W ⊂ U , tal que U ∈ Uz para todo z ∈ W . Segue então de (a) que W ⊂ V . Segue de (d) que V ∈ Uy . Logo V ∈ τ . Como x ∈ V e V ∈ τ , segue que x ∈ U ◦ . Logo U é uma vizinhan¸ca de x. 5.4. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico não vazio, e seja x ∈ X. Diremos que uma fam´ılia Bx ⊂ Ux é uma base de vizinhan¸cas de x se cada U ∈ Ux contém algum V ∈ Bx . 5.5. Exemplos. (a) Seja X um espa¸co topológico, seja x ∈ X, e seja Bx = {U ∈ Ux : U é aberto}. Ent˜ ao Bx é uma base de vizinhan¸cas de x. (b) Seja X um espa¸co métrico, seja x ∈ X, e seja Bx = {B(x; r) : r > 0}. Ent ao Bx é uma base de vizinhan¸cas de x. (c) Seja X um espa¸co métrico, seja x ∈ X, e seja Bx = {B[x; r] : r > 0}. Ent˜ ao Bx é uma base de vizinhan¸cas de x. 5.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico n˜ ao vazio, e seja Bx uma base de vizinhan¸cas de x, para cada x ∈ X. Ent˜ ao: (a) x ∈ U para cada U ∈ Bx . (b) Dados U, V ∈ Bx , existe W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩ V . (c) Dado U ∈ Bx , existe V ∈ Bx , V ⊂ U , tal que para cada y ∈ V existe W ∈ By tal que W ⊂ U . (d) Um conjunto U ⊂ X é aberto se e s´ o se para cada x ∈ U existe V ∈ Bx tal que V ⊂ U . Demonstra¸ c˜ ao. As afirma¸c oes (a), (b), (c) e (d) seguem diretamente das afirma¸c˜ oes (a), (b), (c) e (e) na Proposi¸cão 5.2. Reciprocamente temos: 5.7. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um conjunto n˜ ao vazio. Para cada x ∈ X seja Bx uma fam´ılia n˜ ao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades: 13

(a) x ∈ U para cada U ∈ Bx . (b) Dados U, V ∈ Bx , existe W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩ V . (c) Dado U ∈ Bx , existe V ∈ Bx , V ⊂ U , tal que para cada y ∈ V existe W ∈ By tal que W ⊂ U . Seja τ = {U ⊂ X : para cada x ∈ U existe V ∈ Bx tal que V ⊂ U }. Ent˜ ao τ é uma topologia em X e Bx é uma base de vizinhan¸cas de x em (X, τ ) para cada x ∈ X. Demonstra¸ c˜ ao. Para cada x ∈ X seja Ux = {U ⊂ X : U ⊃ V para algum V ∈ Bx }. ´ claro que as fam´ılias Ux verificam as propriedades (a), (b), (c) e (d) da E Proposi¸c˜ ao 5.3, e que τ = {U ⊂ X : U ∈ Ux para cada x ∈ U }. Pela Proposi¸cão 5.3 τ é uma topologia em X e Ux é o sistema de vizinhan¸cas de x em (X, τ ) para cada X ∈ X. Segue que Bx é uma base de vizinhan¸cas de x em (X, τ ) para cada x ∈ X. A proposi¸c˜ ao seguinte é muito u ´til. Ela caracteriza abertos, fechados, aderência de um conjunto e interior de um conjunto em termos de bases de vizinhan¸cas. 5.8. Proposi¸ cao. Seja X um espa¸co topol´ ogico n˜ ao vazio, seja A ⊂ X, e seja Bx uma base de vizinhan¸cas de x, para cada x ∈ X.Ent˜ ao: (a) A é aberto se e s´ o se para cada x ∈ A existe V ∈ Bx tal que V ⊂ A. (b) A é fechado se e s´ o se para cada x ∈ / A, existe V ∈ Bx tal que V ∩ A = ∅. (c) A = {x ∈ X : V ∩ A 6= ∅ para cada V ∈ Bx }. (d) A◦ = {x ∈ X : V ⊂ A para algum V ∈ Bx }. Demonstra¸ ç c˜ ao. J´ a vimos (a) na Proposi¸cão 5.6(d). (b) é conseq¨ uência imediata de (a). (c) Lembremos que A=

\

{F ⊂ X : F fechado, F ⊃ A}.

Se x ∈ / A, ent˜ ao por (b) existe V ∈ Bx tal que V ∩ A = ∅. Reciprocamente suponhamos que exista V ∈ Bx tal que V ∩ A = ∅. Então x ∈ V ◦ e A ⊂ X \ V ⊂ / A. X \ V ◦ . Como X \ V ◦ é fechado, segue que A ⊂ X \ V ◦ . Logo x ∈ (d) Pela Proposi¸c˜ ao 4.5, X \ A◦ = (X \ A). Se B denota o conjunto da direita em (d), ent˜ ao usando (c) segue que x∈ / A◦ ⇔ x ∈ (X \ A) ⇔ V ∩ (X \ A) 6= ∅ para cada V ∈ Bx

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⇔ V 6⊂ A para cada V ∈ Bx ⇔ x ∈ / B.

5.9. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico. Diremos que X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade se cada x ∈ X admite uma base de vizinhan¸cas Bx que é enumerável. 5.10. Exemplo. Cada espa¸co métrico satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. Exerc´ıcios 5.A. Seja X um espa¸co topológico, seja A ⊂ X, e seja Bx uma base de vizinhan¸cas de x para cada x ∈ X. Prove que ∂A = {x ∈ X : V ∩ A 6= ∅ e V ∩ (X \ A) 6= ∅ para cada V ∈ Bx }. 5.B. Dados f ∈ C[a, b] e r > 0, seja U (f, r) = {g ∈ C[a, b] : |g(x) − f (x) < r para todo x ∈ [a, b]}. Prove que os conjuntos U (f, r), com r > 0 formam uma base de vizinhan¸cas de f no espa¸co métrico C[a, b] do Exerc´ıcio 2.A(a). 5.C. Dados f ∈ C[a, b], A ⊂ [a, b], A finito, e r > 0, seja V (f, A, r) = {g ∈ C[a, b] : |g(x) − f (x)| < r para todo x ∈ A}. Prove que os conjuntos V (f, A, r), com A ⊂ [a, b], A finito, e r > 0, formam uma base de vizinhan¸cas de f para uma certa topologia em C[a, b]. Esta topologia é mais fraca que a topologia do exerc´ıcio anterior. 5.D. Seja X um espa¸co topológico e seja A ⊂ X. Diremos que um ponto x ∈ X é um ponto de acumula¸c˜ ao de A se dado U ∈ Ux existe a ∈ U ∩ A, com a 6= x. A0 denota o conjunto dos pontos de acumula¸cão de A. Prove que A = A ∪ A0 . 5.E. Dê exemplo de um conjunto A ⊂ R tal que os seguintes conjuntos sejam todos diferentes entre si: ◦

◦

◦

◦

◦ ◦

A, A, A, A, A, A, A .

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6. Bases para os abertos 6.1. Defini¸ c˜ ao. Seja (X, τ ) um espa¸co topológico. Diremos que uma fam´ılia B ⊂ τ é uma base para τ se dado U ∈ τ existe C ⊂ B tal que [ U = {V : V ∈ C}. 6.2. Exemplos. (a) Os intervalos (a, b), com a < b em R, formam uma base para a topologia usual em R. (b) Se (X, d) é um espa¸co métrico, então as bolas B(a; r), com a ∈ X e r > 0, formam uma base para a topologia τd . (c) Se (X, τ ) é um espa¸co topológico discreto, então B = {{x} : x ∈ X} é uma base para τ . 6.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ ogico. Uma fam´ılia B ⊂ τ é uma base para τ se e s´ o se, dados U ∈ τ e x ∈ U , existe V ∈ B tal que x ∈ V ⊂ U. Esta proposi¸c˜ ao é conseq¨ uência imediata da defini¸cão. 6.4. Proposi¸ c˜ ao. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ ogico. Uma fam´ılia B ⊂ τ é uma base para τ se e s´ o se, para cada x ∈ X, a fam´ılia Bx = {V ∈ B : x ∈ V } é uma base de vizinhan¸cas de x. Esta proposi¸c˜ ao é conseq¨ uência fácil da proposi¸cão anterior. 6.5. Proposi¸ c˜ ao. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ ogico, e seja B uma base para τ . Ent˜ aS o: (a) X = {V : V ∈ B}. (b) Dados x ∈ X e U, V ∈ B tais que x ∈ U ∩ V , existe W ∈ B tal que x∈W ⊂U ∩V. Demonstra¸ c˜ ao. (a) é conseq¨ uência imediata da defini¸cão de base. (b) é conseq¨ uência da Proposi¸c˜ ao 6.4, junto com a Proposi¸cão 5.6. Reciprocamente temos: 6.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um conjunto, e seja B uma fam´ılia de subconjuntos de X S com as seguintes propriedades: (a) X = {V : V ∈ B}. (b) Dados x ∈ X e U, V ∈ B tais que x ∈ U ∩ V , existe W ∈ B tal que x∈W ⊂U ∩V. Seja τ a fam´ılia de todos os conjuntos da forma [ U = {V : V ∈ C}, com C ⊂ B. 16

Ent˜ ao τ é uma topologia em X, e B é uma base para τ . ´ claro que ∅ = S{V : V ∈ ∅} ∈ τ . E X ∈ τ por (a). Demonstra¸ c˜ ao. E Seja Ui ∈ τ para cada i ∈ I, ou seja [ Ui = {V : V ∈ Ci }, com Ci ⊂ B para cada i ∈ I. Ent˜ ao [

Ui =

[

{V : V ∈

i∈I

[

Ci } ∈ τ.

i∈I

Finalmente sejam U1 , U2 ∈ τ , ou seja [ [ Ui = {V1 : V1 ∈ C1 }, U2 = {V2 : V2 ∈ C2 }, com C1 , C2 ⊂ B. Ent˜ ao U1 ∩ U2 =

[

{V1 ∩ V2 : V1 ∈ C1 , V2 ∈ C2 }.

Segue de (b) que cada interse¸cão V1 ∩ V2 é união de membros de B. Segue que U1 ∩ U2 ∈ τ . ´ claro que B é uma base para Temos provado qur τ é uma topologia em X. E τ. 6.7. Defini¸ c˜ ao. Seja (X, τ ) um espa¸co topológico. Diremos que (X, τ ) satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se existe uma base B para τ que é enumer´ avel. 6.8. Exemplo. R satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade: os intervalos (a, b) com a < b racionais, formam uma base para os abertos. Exerc´ıcios 6.A. Prove que o segundo axioma de enumerabilidade implica o primeiro. 6.B. Prove que os intervalos (a, ∞), com a ∈ R, formam uma base para uma topologia τ1 em R, mais fraca que a topologia usual. Prove que (R, τ1 ) satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. 6.C. Prove que os intervalos [a, b), com a < b em R, formam uma base para uma topologia τ2 em R, mais fina que a topologia usual. (R, τ2 ) é conhecido como a reta de Sorgenfrey. 6.D. Seja (X, τ ) um espa¸co topológico. Diremos que uma fam´ılia C ⊂ τ é uma subbase para τ se as interse¸cões finitas de membros de C formam uma base para τ . Prove que os intervalos (a, ∞), com a ∈ R, junto com os intervalos (−∞, b), com b ∈ R, formam uma subbase para a topologia usual em R.

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7. Subespa¸ cos ´ claro 7.1. Defini¸ c˜ ao. Seja (X, τ ) um espa¸co topológico, e seja S ⊂ X. E que a fam´ılia τS = {S ∩ U : U ∈ τ } é uma topologia em S, que chamaremos de topologia induzida. Diremos que (S, τS ) é um subespa¸co de (X, τ ), ou simplesmente que S é um subespa¸co de X. 7.2. Exemplos. (a) Z, com a topologia induzida por R, é um espa¸co topol´ ogico discreto. (b) R é um subespa¸co de R2 . 7.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja S um subespa¸co de um espa¸co topol´ ogico X. Ent˜ ao: (a) U é aberto em S se e s´ o se U = S ∩ U1 , sendo U1 aberto em X. (b) F é fechado em S se e s´ o se F = S ∩ F1 , sendo F1 fechado em X. S X (c) Se A ⊂ S, ent˜ ao A = S ∩ A . (d) Se x ∈ S, ent˜ ao U é vizinhan¸ca de x em S se e s´ o se U = S ∩ U1 , sendo U1 uma vizinhan¸ca de x em X. Demonstra¸ c˜ ao. (a) é a própria defini¸cão. (b) Usando (a) vemos que: F é fechado em S ⇔ S \ F é aberto em S ⇔ S \ F = S ∩ U1 , com U1 aberto em X ⇔ F = S ∩ (X \ U1 ), com U1 aberto em X ⇔ F = S ∩ F1 , com F1 fechado em X. (c) Usando (b) vemos que: S

A = =

\

\

{F : F fechado em S, F ⊃ A} X

{S ∩ F1 : F1 fechado em X, F1 ⊃ A} = S ∩ A .

(d) Seja U1 uma vizinhan¸ca de x em X. Então existe um aberto V1 em X tal que x ∈ V1 ⊂ U1 . Logo x ∈ S ∩ V1 ⊂ S ∩ U1 . Como S ∩ V1 é aberto em S, segue que S ∩ U1 é uma vizinhan¸ca de x em S. Reciprocamente seja U uma vizinhan¸ca de x em S. Então existe um aberto V de S tal que x ∈ V ⊂ U . Então V = S ∩ V1 , com V1 aberto em X. Seja U1 = V1 ∪ (U \ V ). Ent˜ ao S ∩ U1 = V ∪ (U \ V ) = U. Como x ∈ V1 ⊂ U1 , segue que U1 é uma vizinhan¸ca de x em X.

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Exerc´ıcios 7.A. Seja X um espa¸co topológico, e seja S um subespa¸co de X. (a) Se X tem a topologia discreta, prove que S também tem a topologia discreta. (b) Se X tem a topologia trivial, prove que S também tem a topologia trivial. 7.B. Seja X um espa¸co topológico, e seja S um subespa¸co de X. Se X é metriz´ avel, prove que S é metrizável também. Sugest˜ ao: Use o Exerc´ıcio 2.C. 7.C. Seja X um espa¸co topológico, seja S um subespa¸co de X, e seja x ∈ S. (a) Se Bx é uma base de vizinhan¸cas de x em X, prove que a fam´ılia {S ∩ U : U ∈ Bx } é uma base de vizinhan¸cas de x em S. (b) Se X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz o mesmo axioma. 7.D. Seja X um espa¸co topológico, e seja S um subespa¸co de X. (a) Se B é uma base para a topologia de X, prove que a fam´ılia {S ∩ U : U ∈ B} é uma base para a topologia de S. (b) Se X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz o mesmo axioma.

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8. Fun¸ c˜ oes cont´ınuas 8.1. Defini¸ c˜ ao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espa¸cos topológicos. Diremos que f é cont´ınua num ponto a ∈ X se para cada aberto V de Y contendo f (a), existe um aberto U de X contendo a tal que f (U ) ⊂ V . Diremos que f é cont´ınua se for cont´ınua em cada pontos de X. Denotaremos por C(X; Y ) o conjunto de todas as fun¸c˜ oes cont´ınuas f : X → Y . Se Y = R, escreveremos C(X) em lugar de C(X; R). 8.2. Proposi¸ c˜ ao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espa¸cos topol´ ogicos. Seja Ba uma base de vizinhan¸cas de um ponto a ∈ X, e seja Bf (a) uma base de vizinhan¸cas de f (a). Ent˜ ao as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) f é cont´ınua em a. (b) Para cada V ∈ Uf (a) , existe U ∈ Ua tal que f (U ) ⊂ V . (c) Para cada V ∈ Bf (a) , existe U ∈ Ba tal que f (U ) ⊂ V . Demonstra¸ c˜ ao. (a) ⇒ (b): Seja V ∈ Uf (a) . Seja V1 um aberto de Y contendo f (a) tal que V1 ⊂ V . Por (a) existe um aberto U1 de X contendo a ´ claro que U1 ∈ Ua . tal que f (U1 ) ⊂ V1 ⊂ V . E (b) ⇒ (c): Seja V ∈ Bf (a) . Por (b) existe U ∈ Ua tal que f (U ) ⊂ V . Seja U1 ∈ Ba tal que U1 ⊂ U . Então f (U1 ) ⊂ f (U ) ⊂ V . (c) ⇒ (a): Seja V um aberto de Y contendo f (a). Seja V1 ∈ Bf (a) tal que V1 ⊂ V . Por (c) existe U1 ∈ Ba tal que f (U1 ) ⊂ V1 . Seja U um aberto de X contendo a tal que U ⊂ U1 . Então f (U ) ⊂ f (U1 ) ⊂ V1 ⊂ V . 8.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espa¸cos topol´ ogicos. Ent˜ ao as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) f é cont´ınua. (b) f −1 (V ) é aberto em X para cada aberto V de Y . (c) f −1 (B) é fechado em X para cada fechado B de Y . Demonstra¸ c˜ ao. Basta repetir a demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.10. 8.4. Proposi¸ c˜ ao. Sejam f : X → Y e g : Y → Z, sendo X, Y e Z espa¸cos topol´ ogicos. Se f é cont´ınua num ponto a ∈ X e g é cont´ınua em f (a), ent˜ ao g ◦ f é cont´ınua em a. Demonstra¸ c˜ ao. Utilizaremos a Proposi¸cão 8.2. Seja W ∈ Ug◦f (a) . Como g é cont´ınua em f (a), existe V ∈ Uf (a) tal que g(V ) ⊂ W . Como f é cont´ınua em a, existe U ∈ Ua tal que f (U ) ⊂ V . Segue que g(f (U )) ⊂ g(V ) ⊂ W . 8.5. Corol´ ario. Sejam f : X → Y e g : Y → Z, sendo X, Y e Z espa¸cos topol´ ogicos. Se f e g s˜ ao cont´ınuas, ent˜ ao g ◦ f é cont´ınua também. 8.6. Proposi¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos, e seja S um subespa¸co de X. Se f : X → Y é cont´ınua, ent˜ ao a restri¸c˜ ao f |S : S → Y é cont´ınua também.

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Demonstra¸ c˜ ao. Seja V um aberto de Y . Como f é cont´ınua, f −1 (V ) é aberto em X. Segue que (f |S)−1 (V ) = S ∩ f −1 (V ) é aberto em S. 8.7. Proposi¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos. Suponhamos que X = S1 ∪ S2 , onde S1 e S2 s˜ ao ambos abertos ou ambos fechados. Seja f : X → Y uma fun¸c˜ ao tal que f |S1 : S1 → Y e f |S2 : S2 → Y s˜ ao cont´ınuas. Ent˜ ao f é cont´ınua. Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos S1 e S2 abertos. Seja V um aberto de Y . Como f |S1 é cont´ınua, (f |S1 )−1 (V ) = S1 ∩ f −1 (V ) é aberto em S1 . Como f |S2 é cont´ınua, (f |S2 )−1 (V ) = S2 ∩ f −1 (V ) é aberto em S2 . Segue que S1 ∩ f −1 (V ) = S1 ∩ U1

S2 ∩ f −1 (V ) = S2 (V ) ∩ U2 ,

e

sendo U1 e U2 abertos em X. Como X = S1 ∪ S2 , segue que f −1 (V ) = (S1 ∩ f −1 (V )) ∪ (S2 ∩ f −1 (V )) = (S1 ∩ U1 ) ∪ (S2 ∩ U2 ) é aberto em X. Deixamos como exerc´ıcio a demonstra¸cão do caso em que S1 e S2 são fechados. 8.8. Defini¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos topológicos. (a) Diremos que f : X → Y é um homeomorfismo se f é bijetiva e f e f −1 s˜ ao cont´ınuas. (b) Diremos que f : X → Y é um mergulho se f é um homeomorfismo entre X e o subespa¸co f (X) de Y . (c) Diremos que f : X → Y é aberta se f (U ) é aberto em Y para cada aberto U de X. (d) Diremos que f : X → Y é fechada se f (A) é fechado em Y para cada fechado A de X. O resultado seguinte é conseq¨ uência fácil das defini¸cões e resultados anteriores. 8.9. Proposi¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos, e seja f : X → Y uma fun¸c˜ ao bijetiva. Ent˜ ao as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) f é um homeomorfismo. (b) f é cont´ınua e aberta. (c) f é cont´ınua e fechada. Exerc´ıcios X e Y denotam espa¸cos topológicos. 8.A. Seja B uma base para a topologia de Y . Prove que uma fun¸cão f : X → Y é cont´ınua se e s´ o se f −1 (V ) é aberto em X para cada V ∈ B. 8.B. Prove que uma fun¸cão f : X → Y é cont´ınua se e só se f (A) ⊂ f (A) para cada A ⊂ X. 21

8.C. Prove que cada fun¸cão constante f : X → Y é cont´ınua. 8.D. Prove que se f : X → R e g : X → R são cont´ınuas num ponto a ∈ X, ent˜ ao as fun¸cões f + g e f g são também cont´ınuas em a. 8.E. Dado A ⊂ X, a fun¸c˜ ao caracter´ıstica χA : X → R é definida por χA (x) = 1 se x ∈ A e χA (x) = 0 se x ∈ / A. Prove que a fun¸cão χA é cont´ınua se e s´ o se A é aberto e fechado. 8.F. Seja X = N, com a topologia do Exerc´ıcio 4.F. Prove que uma fun¸cão f : X → X é cont´ınua se e só se, cada vez que m divide n, tem-se que f (m) divide f (n). 8.G. Diremos que um conjunto D ⊂ X é denso em X se D = X. Seja f : X → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua tal que f (x) = 0 para todo x num subconjunto denso D ⊂ X. Prove que f (x) = 0 para todo x ∈ X. 8.H. Prove que os seguintes pares de intervalos são homeomorfos entre si: (a) (a, b) e (0, 1). (b) (1, ∞) e (0, 1). (c) (−π/2, π/2) e (−∞, ∞). Use (a), (b) e (c) para provar que todos os intervalos abertos de R são homeomorfos entre si. 8.I. Seja f : X → R. Diremos que f é semicont´ınua inferiormente se f −1 (a, ∞) é aberto em X para cada a ∈ R. Diremos que f é semicont´ınua superiormente se f −1 (−∞, b) é aberto em X para cada b ∈ R. Prove que f é cont´ınua se e s´ o se f é semicont´ınua inferiormente e semicont´ınua superiormente. 8.J. Seja A ⊂ X. (a) Prove que χA : X → R é semicont´ınua inferiormente se e só se A é aberto. (b) Prove que χA : X → R é semicont´ınua superiormente se e só se A é fechado.

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9. Produtos infinitos e o axioma da escolha 9.1. Defini¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ılia não vazia de conjuntos. Chamaremos de produto cartesiano da fam´ılia {Xi : i ∈ I} o conjunto [ Y Xi = {x : I → Xi : x(i) ∈ Xi para cada i ∈ I}. i∈I

i∈I

Q Escreveremos xi em lugar de x(i) para cada x ∈ i∈I e i ∈ I. Para cada j ∈ I a proje¸c˜ ao πj é definida por Y πj : x ∈ Xi → xj ∈ Xj . i∈I

Cada x ∈

Q

i∈I

Xi é usualmente denotado por (xi )i∈I .

Mesmo que cada Xi seja não vazio, não é claro que o produto n˜ ao vazio. Isto é conseq¨ uência do axioma seguinte.

Q

i∈I

Xi seja

9.2. Axioma da escolha. Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ılia n˜ aSo vazia de conjuntos disjuntos n˜ ao vazios. Ent˜ ao existe uma fun¸c˜ ao f : I → i∈I Xi tal que f (i) ∈ Xi para cada i ∈ I. A fun¸c˜ ao f é chamada de fun¸c˜ ao escolha. 9.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈ I} ao vazia de conjuntos Q uma fam´ılia n˜ n˜ ao vazios. Ent˜ ao o produto cartesiano i∈I Xi é n˜ ao vazio. Demonstra¸ c˜ ao. Se os conjuntos Xi fossem disjuntos, a conclusão seria conseq¨ uência imediata do axioma da escolha. No caso geral definamos Yi = ´ claro que {Yi : i ∈ I} é uma fam´ılia não vazia de Xi × {i} para cada i ∈ I. E conjuntos disjuntos n˜ ao vazios. Pelo axioma da escolha existe uma fun¸cão f : S I → i∈I Yi tal que f (i) ∈ Yi para cada i ∈ I. Podemos escrever f (i) = (xi , i), comQ xi ∈ Xi para cada i ∈ I. Se definimos x(i) = xi para cada i ∈ I, então x ∈ i∈I Xi . Temos provado que o axioma da escolha implica a Proposi¸cão 9.3. Mas é claro que a Proposi¸c˜ ao 9.3 implica o axioma da escolha. Assim o axioma da escolha e a Proposi¸c˜ ao 9.3 são equivalentes. Vamos ilustrar o uso do axioma da escolha com um exemplo do dia a dia. Seja I um conjunto infinito, e seja Xi um par de sapatos para cada i ∈ I. Q Neste caso n˜ ao precisamos do axioma da escolha para garantir que o produto i∈I Xi é n˜ ao vazio. Se definimos x(i) como sendo aquele sapato em Xi que S corresponde ao pé direito para cada i ∈ I, ent˜ a o ´ e claro que a fun¸ c a ˜ o x : I → i∈I Xi assim Q definida pertence a i∈I Xi . Por outro lado seja Yi um par de meias para cada i ∈ I. Como em geral não há como distinguir entre S as duas meias de um mesmo par, Q n˜ ao temos como definir uma fun¸cão y : I → i∈I Yi que perten¸ca ao produto i∈I Yi sem usar o axioma da escolha.

23

Exerc´ıcios 9.A. Prove que o axioma da escolha é equivalente à afirma¸caõ seguinte: Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ılia S não vazia de conjuntos disjuntos não vazios. Então existe um conjunto Y ⊂ i∈I Xi tal que Y ∩ Xi contém um u ńico elemento para cada i ∈ I. O exerc´ıcio seguinte mostra como conciliar a defini¸cão usual de produtos cartesianos finitos, que vimos na Se¸cão 1, com a defini¸cão de produtos cartesianos infinitos. 9.B. Sabemos que, dados n conjuntos X1 , ..., Xn , o produto cartesiano X1 × ... × Xn é dado por X1 × ... × Xn = {(x1 , ..., xn ) : xi ∈ Xi para i = 1, ..., n}. Seja (X1 × ... × Xn )∗ = {x : {1, ..., n} → X1 ∪ ... ∪ Xn : x(i) ∈ Xi para i = 1, ..., n}. Ache uma aplica¸c˜ ao bijetiva entre X1 × ... × Xn e (X1 × ... × Xn )∗ .

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10. O espa¸ co produto 10.1. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi Q : i ∈ I} uma fam´ılia n˜ ao vazia de espa¸cos topol´ ogicos n˜ ao vazios, e seja X = i∈I Xi . Seja Y B = { Ui : Ui é aberto em Xi para cada i ∈ I}. i∈I

Ent˜ ao B é base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia das caixas. ´ claro que B verifica as condi¸cões (a) e (b) da Proposi¸cão Demonstra¸ c˜ ao. E 6.6. Se I = {1, ..., n} e Xi = R para cada i ∈ I, então é claro que a topologia das caixas coincide com a topologia usual em Rn . Mas se I é um conjunto infinito, ent˜ ao a topologia das caixas, mesmo sendo bastante natural, é pouco conveniente. Mais adiante veremos várias Q propriedades P tais que, embora cada Xi tenha a propriedade P, o produto i∈I Xi , com a topologia dasQcaixas, não tem a propriedade P. Por essa razão a topologia usual no produto i∈I Xi vem dada pela proposi¸c˜ ao seguinte. 10.2. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i Q ∈ I} uma fam´ılia n˜ ao vazia de espa¸cos topol´ ogicos n˜ a o vazios, e seja X = X . Seja B a fam´ılia de todos os i i∈I Q produtos i∈I Ui tais que: (a) Ui é aberto em Xi para cada i ∈ I; (b) Ui = Xi para cada i ∈ I \ J, com J ⊂ I, J finito. Ent˜ ao B é base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia produto. ´ f´ Demonstra¸ c˜ ao. E acil verificar que B verifica as condi¸cões (a) e (b) da ´ Proposi¸c˜ ao 6.6. E conveniente notar que cada U ∈ B pode ser escrito na forma Y Y \ U =( Uj ) × ( Xi ) = πj−1 (Uj ). j∈J

i∈I\J

j∈J

10.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi :Qi ∈ I} uma fam´ılia n˜ ao vazia de espa¸cos topol´ ogicos n˜ ao vazios, e seja X = i∈I Xi . A topologia produto é a topologia mais fraca em X tal que todas as proje¸c˜ oes πj : X → Xj s˜ ao cont´ınuas. Demonstra¸ c˜ ao. Seja τp a topologia produto. Se Uj é aberto em Xj , então πj−1 (Uj ) pertence a B, e é portanto aberto em (X, τp ). Logo πj : X → Xj é cont´ınua para cada j ∈ I. Seja τ uma topologia em X tal que πj : (X, τ ) → Xj é cont´ınua para cada j ∈ I. Provaremos que τp ⊂ τ . Para isso basta provar que cada U ∈ B pertence a τ . Se U ∈ B, ent˜ ao \ U= πj−1 (Uj ), j∈J

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com J finito e Uj aberto em Xj para cada j ∈ J. Segue que πj−1 (Uj ) é aberto em (X, τ ) para cada j ∈ J, e dai U é aberto em (X, τ ). AQ menos que digamos o contrário, sempre consideraremos o produto cartesiano i∈I Xi com a topologia produto. 10.4. Proposi¸ c˜ ao. QSeja {Xi : i ∈ I} uma fam´ılia n˜ ao vazia de espa¸cos topol´ ogicos, e seja X = i∈I Xi . Seja Y um espa¸co topol´ ogico, e seja g : Y → X. Ent˜ ao a fun¸c˜ ao g é cont´ınua se e s´ o se a fun¸c˜ ao composta πj ◦ g : Y → Xj é cont´ınua para cada j ∈ I. Demonstra¸ c˜ ao. A implica¸cão ⇒ é imediata. (⇐) Suponhamos que πj ◦ g : Y → Xj seja cont´ınua para cada j ∈ I. Para provar que g : Y → X é cont´ınua, basta provar que g −1 (U ) é aberto em Y para cada U ∈ B. Se U ∈ B, ent˜ ao \ U= πj−1 (Uj ), j∈J

com J finito e Uj aberto em Xj para cada j ∈ J. Logo \ \ g −1 (U ) = g −1 (πj−1 (Uj )) = (πj ◦ g)−1 (Uj ). j∈J

i∈I

Como πj ◦ g : Y → Xj é cont´ınua para cada j, segue que g −1 (U ) é aberto em Y. Os resultados anteriores motivam o conceito seguinte: 10.5. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um conjunto, seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ılia de espa¸cos topol´ ogicos, e seja fi : X → Xi para cada i ∈ I. Seja \ B={ fj−1 (Uj ) : J finito, Uj aberto em Xj }. j∈J

Ent˜ ao: (a) B é base para uma topologia τw em X. (b) τw é a topologia mais fraca em X tal que fi : X → Xi é cont´ınua para cada i ∈ I. (c) Se Y é um espa¸co topol´ ogico, ent˜ ao uma fun¸c˜ ao g : Y → X é cont´ınua se e s´ o se fi ◦ g : Y → Xi é cont´ınua para cada i ∈ I. Diremos que τw é a topologia fraca em X definida pela fam´ılia de fun¸c˜ oes {fi : i ∈ I}. Demonstra¸ c˜ ao. N˜ ao é dif´ıcil adaptar as demonstra¸cões dos resultados anteriores. 10.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, que tem a topologia fraca definida por uma fam´ılia de fun¸c˜ oes fi : X → Xi (i ∈ I). Seja S um 26

subespa¸co topol´ ogico de X. Ent˜ ao S tem a topologia fraca definida pela fam´ılia de restri¸c˜ oes fi |S : S → Xi (i ∈ I). Demonstra¸ c˜ ao. N´ os sabemos que \ BX = { fj−1 (Uj ) : J finito, Uj aberto em Xj } j∈J

é base para a topologia de X, e que \ BS = {S ∩ fj−1 (Uj ) : J finito, Uj aberto em Xj } j∈J

é base para a topologia de S. Como \ \ \ S∩ fj−1 (Uj ) = S ∩ fj−1 (Uj = (fj |S)−1 (Uj ), j∈J

j∈J

j∈J

vemos que S tem a topologia fraca definida pela fam´ılia de restri¸cões fi |S : S → Xi (i ∈ I). 10.7. Defini¸ c˜ ao. Seja fi : X → Xi para cada i ∈ I. Diremos que a fam´ılia {fi : i ∈ I} separa os pontos de X se dados x 6= y em X, existe i ∈ I tal que fi (x) 6= fi (y). A proposi¸c˜ ao seguinte da condi¸cões necessárias e suficientes para que um espa¸co topológico seja homeomorfo a um subespa¸co de um espa¸co produto. 10.8. Proposi¸ c˜ ao. Seja fi : X → Xi para cada i ∈ I, sendo X e cada Xi espa¸cos topol´ ogicos. Seja Y : x ∈ X → (fi (x))i∈I ∈ Xi . i∈I

Ent˜ ao é um mergulho se e s´ o se se verificam as seguintes condi¸c˜ oes: (a) A fam´ılia {fi : i ∈ I} separa os pontos de X. (b) X tem a topologia fraca definida pela fam´ılia {fi : i ∈ I}. A aplica¸c˜ ao é chamada de avalia¸c˜ ao. Demonstra¸ c˜ ao. Notemos que πi ◦ = fi , para cada i. otese é um homeomorfismo entre X e o subespa¸co (X) de Q (⇒) Por hip´ i∈I Xi . Como é injetivo, é claro que {fi : i ∈ I} separa os pontos de X. Pela Proposi¸c˜ ao 10.6 (X) tem a topologia fraca definida pela fam´ılia de restri¸c˜ oes πi |(X) : (X) → Xi . Como : X → (X) é um homeomorfismo, segue que X tem a topologia fraca definida pela fam´ılia de fun¸cões (πi |(X)) ◦ = fi : X → Xi . 27

(⇐) Como {fi : i ∈ I} separa os pontos de X, é claro que é injetivo. SegueQde (b) que πi ◦ = fi : X → Xi é cont´ınua para cada i ∈ I. Logo : X → i∈I Xi é cont´ınua. Para provar que é um mergulho provaremos que : X → (X) é aberta. Por (b) a fam´ılia \ B={ fj−1 (Uj ) : J finito, Uj aberto em Xj } j∈J

é uma base para X. Seja U = U=

\

T

j∈J

fj−1 (Uj ) ∈ B. Então

(πj ◦ )−1 (Uj ) =

j∈J

\

−1 (πj−1 (Uj )).

j∈J

Como é injetiva, \ \ \ (U ) = (−1 (πj−1 (Uj ))) = (X) ∩ πj−1 (Uj ) = (X) ∩ πj−1 (Uj ). j∈J

j∈J

j∈J

Logo (U ) é aberto em (X), como queriamos. Exerc´ıcios Q 10.A. Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ılia de espa¸cos topológicos, e seja X = cão πi : X → Xi é uma fun¸cão aberta. i∈I Xi . Prove que cada proje¸ 10.B. Prove que as proje¸cões canônicas em R2 não são fun¸cões fechadas. 10.C. Seja {XiQ: i ∈ I} uma fam´ılia não vazia de espa¸cos topológicos não vazios, e seja X = i∈I Xi . Prove que cada Xi é homeomorfo a um subespa¸co de X. 10.D. Um espa¸co topol´ ogico X é dito n˜ ao trivial se tiver pelo menos dois pontos, e trivial em caso contrário. Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ılia não vazia de espa¸cos topol´ ogicos n˜ ao vazios. Suponhamos Q que exista J, ∅ 6= J ⊂QI tal que Xi é trivial para todo i ∈ I \ J. Prove que i∈I Xi é homeomorfo a j∈J Xj . Q 10.E. Se αi < βi para cada i ∈ I, prove que o produto i∈I [αi , βi ] é homeomorfo ao produto [0, 1]I . 10.F. Seja S um subespa¸co de um espa¸co topológico X. Prove que a topologia de X coincide com a topologia fraca definida pela inclusão S ,→ X.

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11. O espa¸ co quociente 11.1. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, seja Y um conjunto, e seja π : X → Y uma aplica¸c˜ ao sobrejetiva. Ent˜ ao a cole¸c˜ ao τπ = {V ⊂ Y : π −1 (V ) é aberto em X} é uma topologia em Y , que chamaremos de topologia quociente definida por π. A demonstra¸c˜ ao é simples e é deixada como exerc´ıcio. 11.2. Defini¸ c˜ ao. Diremos que π : X → Y é uma aplica¸c˜ ao quociente se X é um espa¸co topol´ ogico, π : X → Y é uma aplica¸cão sobrejetiva e Y tem a topologia quociente definida por π. 11.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja π : X → Y uma aplica¸c˜ ao quociente. Ent˜ ao a topologia quociente é a topologia mais fina em Y tal que a aplica¸c˜ ao π é cont´ınua. A proposi¸c˜ ao é conseq¨ uência imediata da defini¸cão de τπ . 11.4. Proposi¸ c˜ ao. Seja π : X → Y uma aplica¸c˜ ao quociente e seja Z um espa¸co topol´ ogico. Ent˜ ao uma fun¸c˜ ao g : Y → Z é cont´ınua se e s´ o se a fun¸c˜ ao composta g ◦ π : X → Z é cont´ınua. Demonstra¸ c˜ ao. A implica¸cão ⇒ é imediata. Para provar a implica¸cão oposta, seja W um aberto de Z. Como g◦π é cont´ınua, temos que (g◦π)−1 (W ) = π −1 (g −1 (W )) é aberto em X. Segue que g −1 (W ) é aberto em Y . 11.5. Proposi¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos, e seja π : X → Y uma aplica¸c˜ ao sobrejetiva e cont´ınua. Se π é aberta ou fechada, ent˜ ao a topologia τ de Y coincide com a topologia quociente τπ . Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que π seja aberta. Como π é cont´ınua, é claro que τ ⊂ τπ . Para provar que τπ ⊂ τ , seja V ∈ τπ . Então π −1 (V ) é aberto em X. Como π é aberta e sobrejetiva, segue que V = π(π −1 (V )) ∈ τ . Quando π é fechada, a demonstra¸cão é parecida. 11.6. Exemplo. Seja S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} e seja π : t ∈ [0, 2π] → (cost, sent) ∈ S 1 . Claramente π é sobrejetiva e cont´ınua. Usando resultados de compacidade em Rn n˜ ao é dif´ıcil provar que π é fechada. Logo S 1 tem a topologia quociente definida por π. 11.7. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Seja D uma fam´ılia de subconjuntos disjuntos de X cuja uni˜ ao é X. Seja [ τD = {A ⊂ D : {A : A ∈ A} é aberto em X}. 29

Ent˜ ao τD é uma topologia em D. Diremos que D é uma decomposi¸c˜ ao de X. Dado x ∈ X seja P (x) o u ńico elemento de D que contém x. A aplica¸c˜ ao P : X → D assim definida é chamada de aplica¸c˜ ao decomposi¸c˜ ao. ´ claro que ∅, D ∈ τD . Demonstra¸ c˜ ao. E S Se Ai ∈ τD para cada i ∈ I, então i∈I Ai ∈ τD , pois [ [ [[ {A : A ∈ Ai } = {A : A ∈ Ai } i∈I

i∈I

é aberto em X. Se A, B ∈ τD , ent˜ ao A ∩ B ∈ τD , pois [ [ [ {C : C ∈ A ∩ B} = ( {A : A ∈ A}) ∩ ( {B : B ∈ B} é aberto em X. Para provar a igualdade anterior é necessário observar que se A, B ∈ D e A ∩ B 6= ∅, ent˜ ao A = B. 11.8. Proposi¸ c˜ ao. Toda aplica¸c˜ ao decomposi¸c˜ ao P : X → D é uma aplica¸c˜ ao quociente. Demonstra¸ c˜ ao. Se A ⊂ D, é claro que P −1 (A) = {x ∈ X : P (x) ∈ A} =

[

{A : A ∈ A}.

Segue que τD = {A ⊂ D : P −1 (A) é aberto em X}. Logo τD é a topologia quociente definida por P . Reciprocamente temos o resultado seguinte. 11.9. Proposi¸ c˜ ao. Seja π : X → Y uma aplica¸c˜ ao quociente. Ent˜ ao existe uma aplica˜ ao decomposi¸c˜ ao P : X → D e existe um homeomorfismo f : Y → D tal que f ◦ π = P . Demonstra¸ c˜ ao. Seja D = {π −1 (y) : y ∈ Y }. Como π é sobrejetiva, é claro que D é uma decomposi¸cão de X. Seja P : X → D a aplica¸c˜ ao canˆ onica. Seja f : Y → D definida por f (y) = π −1 (y) para cada ´ y ∈ Y . E claro que f é bijetiva. Como f (π(x)) = π −1 (π(x)) contém x, segue que f (π(x)) = P (x) para cada x ∈ X. Como f ◦ π = P é cont´ınua, segue que f é cont´ınua. E como f −1 ◦ P = π é cont´ınua, segue que f −1 é cont´ınua. 11.10. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, e seja ∼ uma rela¸cão de equivalência em X. A decomposi¸cão D formada pelas classes de equivalência definidas pela rela¸c˜ ao ∼ é denotada por X/ ∼ e é chamada de espa¸co de identifica¸c˜ ao de X m´ odulo ∼. 30

11.11. Exemplos. (a) J´ a vimos que o c´ırculo unitário S 1 é um quociente do intervalo [0, 2π]. Aqui D = {{x} : 0 < x < 2π} ∪ {{0, 2π}}. Para x, y ∈ [0, 2π], tem-se que x ∼ y se x − y é um m´ ultiplo inteiro de 2π. (b) Seja X = [0, 2π] × [0, 2π]. Dados (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X, definamos (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) se x1 − x2 é um m´ ultiplo inteiro de 2π e y1 = y2 . Então ∼ é uma rela¸c˜ ao de equivalência em X e o espa¸co de identifica¸cão X/ ∼ é homeomorfo ao cilindro S 1 × [0, 2π]. A aplica¸cão quociente vem dada por π : (x, y) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] → ((cosx, senx), y) ∈ S 1 × [0, 2π]. (c) Seja X = [0, 2π]×[0, 2π]. Dados (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X definamos (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) se x1 − x2 é um m´ ultiplo inteiro de 2π e y1 = y2 ou se x1 = x2 e y1 − y2 é um m´ ultiplo inteiro de 2π. Neste caso X/ ∼ é homeomorfo ao toro S 1 × S 1 . A aplica¸c˜ ao quociente vem dada por π : (x, y) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] → ((cosx, senx), (cosy, seny)) ∈ S 1 × S 1 . (d) Seja X = [0, 2π] × [0, 2π]. Dados (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X definamos (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) se x1 − x2 é um m´ ultiplo inteiro de 2π e y1 + y2 = 2π. Neste caso X/ ∼ é homeomorfo à fita de Möbius. Exerc´ıcios 11.A. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e seja π : X → Y uma aplica¸cão sobrejetiva. Prove que é condi¸cão necessária e suficiente para que π seja uma aplica¸c˜ ao quociente que B seja fechado em Y se e só se π −1 (B) é fechado em X. 11.B. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e seja π : X → Y uma aplica¸cão cont´ınua. Se existir uma aplica¸cão cont´ınua σ : Y → X tal que π ◦ σ(y) = y para todo y ∈ Y , prove que π é uma aplica¸cão quociente. 11.C. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e seja π : X → Y uma aplica¸cão quociente. (a) Prove que π é aberta se e só se π −1 (π(U )) é aberto em X para cada aberto U de X. (b) Prove que π é fechada se e só se π −1 (π(A)) é fechado em X para cada fechado A de X. 11.D. Seja X = [0, 1], com a topologia induzida por R. Seja Y = {0, 1}, e seja π : X → Y a fun¸c˜ ao caracter´ıstica do intervalo [1/2, 1]. (a) Prove que a topologia quociente τπ em Y vem dada por τπ = {∅, Y, {0}}. Y é o espa¸co de Sierpinski, que encontramos no Exerc´ıcio 3.B. (b) Prove que π n˜ ao é aberta nem fechada.

31

12. Convergˆ encia de seq¨ uˆ encias 12.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co métrico. Diremos que uma seq¨ uência (xn )∞ ⊂ X converge a um ponto x ∈ X se dado > 0 existe n ∈ N tal que 0 n=1 d(xn , x) < para todo n ≥ n0 . Neste caso escreveremos xn → x. 12.2. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co métrico, e sejam A ⊂ X e x ∈ X. o se existe uma seq¨ uência (xn )∞ Tem-se que x ∈ A se e s´ n=1 ⊂ A que converge a x. Demonstra¸ c˜ ao. Pela Proposi¸cão 5.8 x ∈ A se e só se A ∩ B(x; ) 6= ∅ para cada > 0. (⇒) Se x ∈ A, ent˜ ao existe xn ∈ A ∩ B(x; 1/n) para cada n ∈ N. Segue que xn → x. (⇐) Suponhamos que exista (xn )∞ ao, dado > 0 n=1 ⊂ A tal que xn → x. Ent˜ existe n0 ∈ N tal que d(xn , x) < para todo n ≥ n0 . Segue que A ∩ B(x; ) 6= ∅ para todo > 0. Logo x ∈ A. 12.3. Corol´ ario. Seja X um espa¸co métrico, e seja A ⊂ X. Ent˜ ao A é fechado se e s´ o se, cada vez que (xn )∞ ⊂ A e x → x, ent˜ a o x ∈ A. n n=1 12.4. Proposi¸ c˜ ao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espa¸cos métricos. Ent˜ ao f é cont´ınua num ponto a ∈ X se e s´ o se, cada vez que xn → a em X, ent˜ ao f (xn ) → f (a) em Y . Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Se f é cont´ınua em a, então, dado > 0, existe δ > 0 tal que f (B(a; δ)) ⊂ B(f (a); ). Se xn → a, existe n0 ∈ N tal que d(xn , a) < δ para todo n ≥ n0 . Segue que d(f (xn ), f (a)) < para todo n ≥ n0 . Logo f (xn ) → f (a). (⇐) Se f n˜ ao é cont´ınua em a, então existe > 0 tal que para cada δ > 0 tem-se que f (B(a; δ)) 6⊂ B(f (a); ). Em particular para cada n ∈ N existe xn ∈ B(a; 1/n) tal que f (xn ) ∈ / B(f (a); ). Segue que xn → a em X, mas f (xn ) 6→ f (a) em Y . 12.5. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico. Diremos que uma seq¨ uência (xn )∞ ⊂ X converge a um ponto x ∈ X se dado U ∈ U existe n ∈ N tal x 0 n=1 que xn ∈ U para todo n ≥ n0 . Neste caso escreveremos xn → x. Na defini¸c˜ ao anterior podemos trocar o sistema de vizinhan¸cas Ux por qualquer base de vizinhan¸cas Bx . 12.6. Defini¸ c˜ ao. Seja (xn )∞ uência em X. Chamaremos de n=1 uma seq¨ ∞ subseq¨ uência de (xn )∞ qualquer seq¨ u ˆ e ncia da forma (xnk )∞ n=1 k=1 , sendo (nk )k=1 uma seq¨ uência estritamente crescente em N. Exerc´ıcios X e Y denotam espa¸cos topológicos. 12.A. Se (xn )∞ uência (xnk )∞ n=1 converge a x, prove que qualquer subseq¨ k=1 32

também converge a x. 12.B. Seja A ⊂ X. (a) Prove que, se existir uma seq¨ uência (xn )∞ ao n=1 ⊂ A tal que xn → x, ent˜ x ∈ A. (b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade. Prove que, se x ∈ A, ent˜ ao existe uma seq¨ uência (xn )∞ n=1 ⊂ A tal que xn → x. 12.C. Seja f : X → Y , e seja a ∈ X. (a) Prove que, se f é cont´ınua em a, então, cada vez que xn → a em X, tem-se que f (xn ) → f (a) em Y . (b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade. Prove que, se cada vez que xn → a em X tem-se que f (xn ) → f (a) em Y , então f é cont´ınua em a. Q 12.D. Seja X = i∈I Xi o produto cartesiano de uma fam´ılia de espa¸cos topol´ ogicos. Prove que xn → x em X se e só se πi (xn ) → πi (x) em Xi para cada i ∈ I. 12.E. Seja X = RR . Prove que f → f em X se e só se f (t) → f (t) em n

n

R para cada t ∈ R. 12.F. Seja X = RR e seja M = {χA : A ⊂ R, A finito} ⊂ X. (a) Prove que χR ∈ M . (b) Prove que n˜ ao existe nenhuma seq¨ uência (χAn )∞ n=1 ⊂ M tal que χAn → χR . (c) Prove que X n˜ ao satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. 12.G. Seja (xn )∞ uência em X e seja x ∈ X. Se cada subseq¨ uência n=1 uma seq¨ ∞ de (xn )∞ admite uma subseq¨ u ˆ e ncia que converge a x, prove que (x n )n=1 n=1 converge a x.

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13. Convergˆ encia de redes 13.1. Defini¸ c˜ ao. Um conjunto Λ, junto com uma rela¸cão ≤, é chamado de conjunto dirigido se verifica as seguintes propriedades: (a) λ ≤ λ para todo λ ∈ Λ. (b) Se λ ≤ µ e µ ≤ ν, então λ ≤ ν. (c) Dados λ, µ ∈ Λ, existe ν ∈ Λ tal que ν ≥ λ e ν ≥ µ. 13.2. Exemplos. (a) N, com a rela¸c˜ ao de ordem usual, é um conjunto dirigido. (b) Seja X um espa¸co topológico, e seja x ∈ X. Se definimos U ≤ V quando U ⊃ V , então o sistema de vizinhan¸cas Ux é um conjunto dirigido. De maneira an´ aloga, qualquer base de vizinhan¸cas Bx é um conjunto dirigido. 13.3. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico. (a) Chamaremos de rede em X qualquer fun¸cão da forma x : Λ → X, sendo Λ um conjunto dirigido. Escreveremos xλ em lugar de x(λ), e falaremos da rede (xλ )λ∈Λ . (b) Diremos que a rede (xλ )λ∈Λ converge a um ponto x ∈ X se dada U ∈ Ux , existe λ0 ∈ I tal que xλ ∈ U para todo λ ≥ λ0 . Neste caso escreveremos xλ → x. ´ claro que a defini¸c˜ E ao em (b) não muda se trocamos o sistema de vizinhan¸cas Ux por qualquer base de vizinhan¸cas Bx . 13.4. Exemplos. Seja X um espa¸co topológico. (a) Qualquer seq¨ uência em X é uma rede, e a convergência de redes generaliza a convergência de seq¨ uências. (b) Seja x ∈ X. Se escolhemos xU ∈ U para cada U ∈ Ux , então (xU )U ∈Ux é uma rede em X que converge a x. (c) Seja x ∈ X, e seja Bx uma base de vizinhan¸cas de x. Se escolhemos xU ∈ U para cada U ∈ Bx , então (xU )U ∈Bx é uma rede em X que converge a x. Notemos que, nos Exemplos 13.4(b) e 13.4(c) estamos usando a Proposi¸cão 9.3, ou seja o axioma da escolha. O resultado seguinte generaliza a Proposi¸cão 12.2. 13.5. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, e sejam A ⊂ X e x ∈ X. o se existe uma rede (xλ )λ∈Λ ⊂ A que converge a x. Tem-se que x ∈ A se e s´ Demonstra¸ c˜ ao. Pela Proposi¸cão 5.8, x ∈ A se e só se U ∩ A 6= ∅ para cada U ∈ Ux . (⇒) Se x ∈ A, podemos escolher xU ∈ U ∩ A para cada U ∈ Ux . Então a rede (xU )U ∈Ux est´ a contida em A e converge a x.

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(⇐) Seja (xλ )λ∈Λ uma rede em A que converge a x. Dado U ∈ Ux , existe λ0 ∈ Λ tal que xλ ∈ U para todo λ ≥ λ0 . Em particular xλ0 ∈ U ∩ A. Segue que x ∈ A. O resultado seguinte generaliza a Proposi¸cão 12.4. 13.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja f : X → Y , sendo X e Y espa¸cos topol´ ogicos. Ent˜ ao f é cont´ınua num ponto x ∈ X se e s´ o se, para cada rede (xλ )λ∈Λ que converge a x em X, a rede (f (xλ ))λ∈Λ converge a f (x) em Y . Demonstra¸ c˜ ao. Pela Proposi¸cão 8.2, f é cont´ınua em x se e só se, dado V ∈ Uf (x) , existe U ∈ Ux tal que f (U ) ⊂ V . (⇒) Suponhamos que f seja cont´ınua em x. Seja (xλ )λ∈Λ uma rede em X que converge a x. Ent˜ ao, dada V ∈ Uf (x) , existe U ∈ Ux tal que f (U ) ⊂ V . Seja λ0 ∈ Λ tal que xλ ∈ U para todo λ ≥ λ0 . Então f (xλ ) ∈ f (U ) ⊂ V para todo λ ≥ λ0 . Logo f (xλ ) → f (x). (⇐) Suponhamos que f não seja cont´ınua em x. Então existe V ∈ Uf (x) tal que f (U ) 6⊂ V para todo U ∈ Ux . Se escolhemos xU ∈ U tal que f (xU ) ∈ / V para cada U ∈ Ux , ent˜ ao xU → x, mas f (xU ) 6→ f (x). 13.7. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi Q : i ∈ I} uma fam´ılia n˜ ao vazia de espa¸cos topol´ ogicos n˜ ao vazios, e seja X = i∈I Xi . Ent˜ ao uma rede (xλ )λ∈Λ converge a x em X se e s´ o se a rede (πi (xλ ))λ∈Λ converge a πi (x) em Xi para cada i ∈ I. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Se xλ → x em X, então πi (xλ ) → πi (x) em Xi , para cada i ∈ I, pois cada πi é cont´ınua. (⇐) Suponhamos que πi (xλ ) → πi (x) para cada i ∈ I. Seja U uma vizinhan¸ca aberta b´ asica de x em X, ou seja \ x∈U = πj−1 (Uj ), com J finito, Uj aberto em Xj . j∈J

Para cada j ∈ J πj (x) ∈ Uj . Logo existe λj ∈ Λ tal que πj (xλ ) ∈ Uj para todo λ ≥ λj . Como Λ é um conjunto dirigido existe λ0 ∈ Λ tal que λ0 ≥ λj para cada j ∈ J. Segue que \ xλ ∈ πj−1 (Uj ) para todo λ ≥ λ0 . j∈J

Logo xλ → x. 13.8. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, e seja (xλ )λ∈Λ uma rede em X. Diremos que x ∈ X é um ponto de acumula¸c˜ ao de (xλ )λ∈Λ se dados U ∈ Ux e λ0 ∈ Λ, existe λ ∈ Λ, λ ≥ λ0 , tal que xλ ∈ U . Se (xλ )λ∈Λ converge a x, é claro que x é ponto de acumula¸cão de (xλ )λ∈Λ .

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13.9. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, e seja x : Λ → X uma rede em X. Chamaremos de subrede de x : Λ → X qualquer rede da forma x ◦ φ : M → X, sendo M um conjunto dirigido, e sendo φ : M → Λ uma fun¸cão com as seguintes propriedades: (a) µ1 ≤ µ2 implica φ(µ1 ) ≤ φ(µ2 ) (φ é crescente); (b) dado λ ∈ Λ, existe µ ∈ M tal que φ(µ) ≥ λ (φ é cofinal ). A subrede x ◦ φ : M → X será denotada por (xφ(µ) )µ∈M . 13.10. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, e seja (xλ )λ∈Λ uma rede em X. Ent˜ ao x ∈ X é um ponto de acumula¸c˜ ao de (xλ )λ∈Λ se e s´ o se existe uma subrede de (xλ )λ∈Λ que converge a x. Demonstra¸ c˜ ao. (⇐) Seja (xφ(µ) )µ∈M uma subrede de (xλ )λ∈Λ que converge a x. Sejam U ∈ Ux e λ0 ∈ Λ dados. Por um lado existe µ1 ∈ M tal que φ(µ1 ) ≥ λ0 . Por outro lado existe µ2 ∈ M tal que xφ(µ) ∈ U para todo µ ≥ µ2 . Seja µ ∈ M tal que µ ≥ µ1 e µ ≥ µ2 . Segue que φ(µ) ≥ φ(µ1 ) ≥ λ0 e xφ(µ) ∈ U . Logo x é ponto de acumula¸cão de (xλ )λ∈Λ . (⇒) Seja x um ponto de acumula¸cão de (xλ )λ∈Λ . Seja M = {(λ, U ) ∈ Λ × Ux : xλ ∈ U }. Definamos (λ1 , U1 ) ≤ (λ2 , U2 ) se λ1 ≤ λ2 e U1 ⊃ U2 . Claramente M é um conjunto dirigido. Definamos φ : M → Λ por φ(λ, U ) = λ. Claramente (xφ(µ) )µ∈M é uma subrede de (xλ )λ∈Λ . Provaremos que xφ(µ) → x. Seja U0 ∈ Ux . Como x é ponto de acumula¸cão de (xλ )λ∈Λ , existe λ0 ∈ Λ tal que xλ0 ∈ U . Ent˜ ao (λ0 , U0 ) ∈ M e é claro que xλ ∈ U0 para todo (λ, U ) ∈ M tal que (λ, U ) ≥ (λ0 , U0 ). Ou seja xφ(µ) → x. 13.11. Defini¸ c˜ ao. Diremos que uma rede (xλ )λ∈Λ em X é uma rede universal ou ultrarede se dado A ⊂ X existe λ0 ∈ Λ tal que {xλ : λ ≥ λ0 } ⊂ A

{xλ : λ ≥ λ0 } ⊂ X \ A.

ou

´ claro que toda rede constante é uma rede universal, chamada de rede E universal trivial. 13.12. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, e seja (xλ )λ∈Λ uma rede universal em X. Se x é um ponto de acumula¸c˜ ao de (xλ )λ∈Λ , ent˜ ao (xλ )λ∈Λ converge a x. Demonstra¸ c˜ ao. Seja U ∈ Ux . Como (xλ )λ∈Λ é rede universal, existe λ0 ∈ Λ tal que {xλ : λ ≥ λ0 } ⊂ U

ou

{xλ : λ ≥ λ0 } ⊂ X \ U.

Como x é ponto de acumula¸cão de (xλ )λ∈Λ , existe λ ≥ λ0 tal que xλ ∈ U . Segue que {xλ : λ ≥ λ0 } ⊂ U. 36

Logo xλ → x. Exerc´ıcios 13.A. Se uma rede (xλ )λ∈Λ converge a x, prove que qualquer subrede de (xλ )λ∈Λ também converge a x. 13.B. Se x é ponto de acumula¸cão de uma subrede de (xλ )λ∈Λ , prove que x é ponto de acumula¸c˜ ao de (xλ )λ∈Λ . 13.C. Q Seja x um ponto de acumula¸cão de uma rede (xλ )λ∈Λ no produto X = i∈I Xi . Prove que πi (x) é ponto de acumula¸cão da rede (πi (xλ ))λ∈Λ em Xi para cada i ∈ I. 13.D. Seja (xλ )λ∈Λ uma rede em X, e seja x ∈ X. Se cada subrede de (xλ )λ∈Λ admite uma subrede que converge a x, prove que (xλ )λ∈Λ converge a x. 13.E. Prove que cada subrede de uma rede universal é uma rede universal. 13.F. Seja f : X → Y . Se (xλ )λ∈Λ é uma rede universal em X, prove que (f (xλ ))λ∈Λ é uma rede universal em Y .

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14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo 14.1. Defini¸ c˜ ao. Chamaremos de rela¸c˜ ao de ordem parcial num conjunto X uma rela¸cão ≤ em X com as seguintes propriedades: (a) x ≤ x para todo x ∈ X (≤ é reflexiva); (b) se x ≤ y e y ≤ x, então x = y (≤ é antisimétrica); (c) se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z (≤ é transitiva). Neste caso diremos que X é um conjunto parcialmente ordenado. Diremos que ≤ é uma rela¸c˜ ao de ordem total se além de verificar (a), (b) e (c), também verifica (d) dados x, y ∈ X, tem-se que x ≤ y ou y ≤ x. Neste caso diremos que X é um conjunto totalmente ordenado. 14.2. Exemplos. (a) Se X é um conjunto, então a rela¸cão de inclusão é uma rela¸cão de ordem parcial em P(X). (b) A rela¸c˜ ao de ordem usual em R é uma rela¸cão de ordem total. 14.3. Defini¸ c˜ ao. Seja X um conjunto parcialmente ordenado, e seja A ⊂ X. (a) Se existir a0 ∈ A tal que a0 ≤ a para todo a ∈ A, diremos que a0 é o elemento m´ınimo de A. De maneira análoga definimos elemento m´ aximo. (b) Se existir a0 ∈ A tal que a = a0 sempre que a ∈ A e a ≤ a0 , diremos que a0 é um elemento minimal de A. De maneira análoga definimos elemento minimal. (c) Se existir c ∈ X tal que c ≤ a para todo a ∈ A, diremos que A é limitado inferiormente e que c é uma cota inferior de A. De maneira análoga definimos conjunto limitado superiormente e cota superior. (d) Diremos que A é uma cadéia em X se A é totalmente ordenado sob a rela¸c˜ ao de ordem parcial induzida por X. (e) Diremos que A é bem ordenado se cada subconjunto não vazio de A possui um elemento m´ınimo. 14.4. Exemplos. (a) N, com a ordem usual, é um conjunto bem ordenado. (b) R, com a ordem usual, é um conjunto totalmente ordenado, que não é bem ordenado: o intervalo aberto (a, b) não possui elemento m´ınimo. 14.5. Lema de Zorn. Seja X um conjunto parcialmente ordenado n˜ ao vazio tal que cada cadéia em X é limitada superiormente. Ent˜ ao X possui pelo menos um elemento maximal. 14.6. Teorema de Zermelo. Cada conjunto n˜ ao vazio pode ser bem ordenado.

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14.7. (a) O (b) O (c) O

Teorema. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: axioma da escolha. lema de Zorn. teorema de Zermelo.

Demonstra¸ c˜ ao. (b) ⇒ (c): Seja X um conjunto não vazio. Seja F a fam´ılia de todos os pares (A, ≤A ) tais que ∅ 6= A ⊂ X e (A, ≤A ) é um conjunto bem ´ f´ ordenado. E acil verificar que F é um conjunto parcialmente ordenado não vazio se definimos (A, ≤A ) ≤ (B, ≤B ) quando: (i) A ⊂ B; (ii) se x, y ∈ A, ent˜ ao x ≤A y se e só se x ≤B y; (iii) se x ∈ A e y ∈ B \ A, então x ≤B y. Provaremos que cada cadéia em F é limitada superiormente. De fato, seja S {(Ai , ≤Ai ) : i ∈ I} uma cadéia em F, e seja A = i∈I Ai . Dados x, y ∈ A ´ fácil verificar que a rela¸cão ≤A está definamos x ≤A y se x, y ∈ Ai e x ≤Ai y. E bem definida, e é uma rela¸cão de ordem parcial em A. Afirmamos que (A, ≤A ) é um conjunto bem ordenado. Seja ∅ = 6 B ⊂ A, e seja J = {j ∈ I : B ∩ Aj 6= ∅}. Notemos que ≤A coincide com ≤Ai em Ai para cada i ∈ I. Como (Ai , ≤Ai ) é bem ordenado para cada i ∈ I, segue que todos os conjuntos B ∩ Aj , com j ∈ J, tem o mesmo elemento m´ınimo, que denotaremos por b0 . Segue que b0 é o elemento m´ınimo de B. Logo (A, ≤A ) é bem ordenado, ou seja pertence a F. Agora é claro que (A, ≤A ) é uma cota superior da cadéia {(Ai , ≤Ai ) : i ∈ I}. Pelo lema de Zorn, F possui pelo menos um elemento maximal (A, ≤A ). Segue da maximalidade de (A, ≤A ) que A = X. Logo (X, ≤X ) é um conjunto bem ordenado. (c) ⇒ (a): Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ılia não vazia de conjuntos não vazios. S Pelo teorema de Zermelo, existe uma boa ordena¸cãoQ para i∈I Xi . Para cada i ∈ I seja f (i) o elemento m´ınimo de Xi . Então f ∈ i∈I Xi . (a) ⇒ (b): Esta é a implica¸cão mais dif´ıcil de provar. Seja X um conjunto parcialmente ordenado n˜ ao vazio no qual cada cadéia é limitada superiormente. Seja X a fam´ılia de todas as cadéias de X. Então X é um conjunto parcialmente ordenado n˜ ao vazio, por inclusão de conjuntos. A estratégia da demonstra¸cão é trabalhar com a fam´ılia de conjuntos X , que é parcialmente ordenada por inclusão, em lugar de trabalhar com o conjunto parcialmente ordenado abstrato X. Depois de provar que X possui um elemento maximal, ser´ a f´ acil provar que X possui um elemento maximal. O primeiro passo é caracterizar os elementos maximais de X . Para cada C ∈ X seja Cˆ = {x ∈ X : C ∪ {x} ∈ X }. ´ claro que C ⊂ C. ˆ Além disso, C é maximal em X se e só se C = C. ˆ E

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Pelo axioma da escolha, existe uma fun¸cão f : P(X) \ {∅} → X tal que f (A) ∈ A para cada A ∈ P(X) \ {∅}. Seja g : X → X definida por: g(C) = C

ˆ se C = C,

g(C) = C ∪ {f (Cˆ \ C)}

ˆ se C 6= C.

ˆ então f (Cˆ \C) ∈ Cˆ \C, e portanto A fun¸c˜ ao g est´ a bem definida, pois se C 6= C, ˆ C ∪ {f (C \ C)} ∈ X . Além disso, C é maximal em X se e só se g(C) = C. Diremos que uma fam´ılia T ⊂ X é uma torre se: (i) ∅ ∈ T ; (ii) se C ∈ T , ent˜ ao g(C) ∈ T ; S (iii) se C é uma cadéia em T , então C ∈ T . ´ claro que X é uma torre. E ´ claro que a interse¸cão de uma fam´ılia de torres E é uma torre. Seja T0 a interse¸cão de todas as torres de X . Então T0 é a menor torre de X . Nosso pr´ oximo objetivo é provar que T0 é uma cadéia em X . Isto vai nos dar muito trabalho. Diremos que C ∈ T0 é compar´ avel se dado D ∈ T0 , tem-se que C ⊂ D ou D ⊂ C. Para provar que T0 é cadéia, basta provar que cada C ∈ T0 é comparável. Para provar que cada C ∈ T0 é comparável, basta provar que os conjuntos compar´ aveis em T0 formam uma torre. ´ claro que ∅ é compar´ ´ E avel. S E claro também que se C é uma cadéia de conjuntos compar´ aveis, então C é comparável. O mais dif´ıcil vai ser provar que se C é compar´ avel, então g(C) é comparável também. Fixemos C ∈ T0 , C comparável. Afirmamos que se D ∈ T0 e D ⊂ C, D 6= C, então g(D) ⊂ C. Como T0 é torre, g(D) ∈ T0 . Como C é comparável, tem-se que g(D) ⊂ C ou C ⊂ g(D), C 6= g(D). Mas C ⊂ g(D), C 6= g(D) é imposs´ıvel, pois D ⊂ C, D 6= C e g(D) = D ou g(D) = D ∪ {x}. Seja U = {D ∈ T0 : D ⊂ C ou g(C) ⊂ D}. ´ ´ Afirmamos que U é uma torre. S E claro que ∅ ∈ U. E claro também que se D é uma cadéia em U, então D ∈ U. Falta provar que se D ∈ U, então g(D) ∈ U. H´ a tres possibilidades: (i) D ⊂ C, D 6= C. Neste caso já sabemos que g(D) ⊂ C, e portanto g(D) ∈ U. (ii) D = C. Neste caso g(D) = g(C), e portanto g(D) ∈ U. (iii) g(C) ⊂ D. Neste caso g(D) ⊃ D ⊃ g(C), e portanto g(D) ∈ U. Como U é torre e U ⊂ T0 , segue que U = T0 . Logo, dado D ∈ T0 = U, tem-se que D ⊂ C ⊂ g(C) ou g(C) ⊂ D. Logo g(C) é comparável. 40

Temos provado assim que os conjuntos comparáveis de T0 formam uma torre. Segue que cada C ∈ T0 é comparável, eSdai T0 é uma cadéia em X . Como T0 é torre, temos que C0 := T0 ∈ T0 . Como T0 é torre, temos que g(C0 ) ∈ T0 , e portanto g(C0 ) = C0 . Logo C0 é maximal em X . Por hip´ otese existe m ∈ X tal que c ≤ m para todo c ∈ C0 . Como C0 é uma cadéia maximal, é claro que m ∈ C0 . Afirmamos que m é um elemento maximal em X. De fato seja n ∈ X, com m ≤ n. Como C0 é uma cadéia maximal, segue que n ∈ C0 . Logo n ≤ m, e portanto n = m. Isto completa a demonstra¸cão. Exerc´ıcios. 14.A. Seja X = {n ∈ N : n ≥ 2}. Dados m, n ∈ X, definamos m ≤ n se m divide n. (a) Prove que ≤ é uma rela¸cãp de ordem parcial em X. (b) Prove que, dada uma cadéia C ⊂ X e um elemento n ∈ C, existe apenas um n´ umero finito de elementos n1 , ..., nk ∈ C que dividem n. (c) Prove que cada cadéia C ⊂ X é limitada inferiormente. (d) Identifique os elementos minimais de X. 14.B. Seja (X, ≤) um conjunto totalmente ordenado com pelo menos dois elementos. Dados x, y ∈ X, escreveremos x < y se x ≤ y e x 6= y. (a) Prove que os conjuntos {x ∈ X : a < x}, com a ∈ X, junto com os conjuntos {x ∈ X : x < b}, com b ∈ X, formam uma sub-base para uma topologia em X, chamada de topologia da ordem. (b) Prove que a topologia usual em R coincide com a topologia da ordem usual em R. 14.C. Seja E um espa¸co vetorial, E 6= {0}. Usando o lema de Zorn prove que cada subconjunto linearmente independente de E está contido em alguma base de E. 14.D. Sejam E e F espa¸cos vetoriais sobre o mesmo corpo, seja E0 um subespa¸co vetorial de E, e seja T0 : E0 → F uma aplica¸cão linear. Use o lema de Zorn para provar a existência de uma aplica¸cão linear T : E → F tal que T x = T0 x para todo x ∈ E0 . 14.E. Seja A um anel comutativo com elemento unidade. Um conjunto I ⊂ A é chamado de ideal se verifica as seguintes condi¸cões: (a) x − y ∈ I para todo x, y ∈ I; (b) xy ∈ I para todo x ∈ I, y ∈ A. Um ideal I 6= A é chamado de ideal pr´ oprio. Um ideal próprio que não está contido em nenhum outro ideal próprio é chamado de ideal maximal. Use o lema de Zorn para provar que cada ideal próprio de A está contido em algum ideal maximal.

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15. Convergˆ encia de filtros 15.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um conjunto não vazio. Diremos que uma fam´ılia n˜ ao vazia F ⊂ P(X) é um filtro em X se verifica as seguintes condi¸cões: (a) A 6= ∅ para todo A ∈ F; (b) se A, B ∈ F, ent˜ ao A ∩ B ∈ F; (c) se A ∈ F e A ⊂ B ⊂ X, então B ∈ F. 15.2. Defini¸ c˜ ao. Seja X um conjunto não vazio. Diremos que uma fam´ılia n˜ ao vazia B ⊂ P(X) é uma base de filtro em X se a fam´ılia F = {A ⊂ X : A ⊃ B para algum B ∈ B} é um filtro em X. Neste caso diremos que F é o filtro gerado por B. ´ claro que todo filtro em X é uma base de filtro em X. E 15.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um conjunto n˜ ao vazio. Uma fam´ılia n˜ ao vazia B ⊂ P(X) é uma base de filtro em X se e s´ o se se verificam as seguintes condi¸c˜ oes: (a) A 6= ∅ para todo A ∈ B; (b) dados A, B ∈ B, existe C ∈ B tal que C ⊂ A ∩ B. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Suponhamos que a fam´ılia F = {A ⊂ X : A ⊃ B para algum B ∈ B} ´ claro que B ⊂ F, e portanto (a) vale. Para provar (b) seja um filtro em X. E sejam A, B ∈ B ⊂ F. Ent˜ ao A ∩ B ∈ F, e dai A ∩ B ⊃ C para algum C ∈ B. (⇐) Supondo (a) e (b) queremos provar que a fam´ılia F = {A ⊂ X : A ⊃ B para algum B ∈ B} é um filtro em X. Seja A ∈ F. Ent˜ ao A ⊃ B para algum B ∈ B. Como B 6= ∅, segue que A 6= ∅. Sejam A1 , A2 ∈ F. Então A1 ⊃ B1 e A2 ⊃ B2 , com B1 , B2 ∈ B. Existe B3 ∈ B tal que B3 ⊂ B1 ∩ B2 . Segue que A1 ∩ A2 ⊃ B1 ∩ B2 ⊃ B3 , e portanto A1 ∩ A2 ∈ F. Finalmente sejam A1 ∈ F e A1 ⊂ A2 ⊂ X. A1 ⊃ B1 para algum B1 ∈ B. Segue que A2 ⊃ A1 ⊃ B1 , e portanto A2 ∈ F. 15.4. Exemplos. ´ claro que B é (a) Seja X um conjunto, seja ∅ = 6 B ⊂ X, e seja B = {B}. E uma base de filtro em X. O filtro gerado por B é a fam´ılia F = {A : B ⊂ A ⊂ X}. (b) Seja X um espa¸co topológico, e seja x ∈ X. Então o sistema de vizinhan¸cas Ux é um filtro em X. Qualquer base de vizinhan¸cas Bx é uma base de filtro em X que gera o filtro Ux . 42

(c) A fam´ılia B = {(a, ∞) : a ∈ R} é uma base de filtro em R. T 15.5. Defini¸ c˜ ao. Uma base de filtro B em X é dita fixa se B = 6 ∅, e livre T se B = ∅. ´ claro que F é fixo se e só se B é fixa. Seja F o filtro gerado por B. E Os filtros ou bases de filtro dos Exemplos 15.4 (a) e 15.4 (b) são fixos. A base de filtro do Exemplo 15.4 (c) é livre. 15.6. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, e seja B uma base de filtro em X. Diremos que B converge a um ponto x ∈ X, e escreveremos B → x, se dado U ∈ Ux , existe B ∈ B tal que B ⊂ U . ´ claro que um filtro F converge a x se e só se Ux ⊂ F. E ´ claro também que E uma base de filtro B converge a x se e só se o filtro gerado por B converge a x. Trabalhar com filtros ou com bases de filtro é equivalente. Em geral, escolheremos um ou outro, de maneira que os enunciados fiquem mais simples. 15.7. Exemplos. Seja X um espa¸co topológico, e seja x ∈ X. Então o sistema de vizinhan¸cas Ux converge a x. Qualquer base de vizinhan¸cas Bx converge a x. 15.8. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, e sejam E ⊂ X e x ∈ X. o se existe um filtro F em X tal que E ∈ F e F → x. Tem-se que x ∈ E se e s´ Demonstra¸ c ˜ ao. Sabemos que x ∈ E se e só se U ∩ E 6= ∅ para todo U ∈ Ux . (⇐) Seja F um filtro em X tal que E ∈ F e F → x. Como F → x, tem-se que Ux ⊂ F. Segue que U ∩ E ∈ F, e portanto U ∩ E 6= ∅ para todo U ∈ Ux . Logo x ∈ E. (⇒) Suponhamos que x ∈ E. Seja B = {U ∩ E : U ∈ Ux }. ´ claro que B é uma base de filtro em X, e que B → x. Seja F o filtro gerado E ´ claro que E ∈ F e F → x. por B. E 15.9. Proposi¸ c˜ ao. Seja B uma base de filtro em X, e seja f : X → Y uma fun¸c˜ ao qualquer. Ent˜ ao a fam´ılia f (B) = {f (B) : B ∈ B} é uma base de filtro em Y . Demonstra¸ c˜ ao: exerc´ıcio. 15.10. Proposi¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos, e seja f : X → Y . Ent˜ ao f é cont´ınua num ponto x ∈ X se e s´ o se f (B) → f (x) para cada base de filtro B em X que converge a x. 43

Demonstra¸ c˜ ao. Sabemos que f é cont´ınua em x se e só se, dado V ∈ Uf (x) , existe U ∈ Ux tal que f (U ) ⊂ V . (⇒) Suponhamos que f seja cont´ınua em x, e seja B uma base de filtro em X que converge a x. Dada V ∈ Uf (x) , existe U ∈ Ux tal que f (U ) ⊂ V . Como B → x, existe B ∈ B tal que B ⊂ U . Segue que f (B) ⊂ f (U ) ⊂ V , e portanto f (B) → f (x). (⇐) Suponhamos que f (B) → f (x) para cada base de filtro B que converge a x. Como em particular Ux → x, tem-se que f (Ux ) → f (x). Logo, dada V ∈ Uf (x) , existe U ∈ Ux tal que f (U ) ⊂ V . Logo f é cont´ınua em x. 15.11. Proposi¸ c˜ ao. Seja {XQ ılia n˜ ao vazia de espa¸cos i : i ∈ I} uma fam´ topol´ ogicos n˜ ao vazios, seja X = i∈I Xi , e seja B uma base de filtro em X. Ent˜ ao B converge a x em X se e s´ o se πi (B) converge a πi (x) em Xi para cada i ∈ I. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Se B → x em X, então πi (B) → πi (x) em Xi , para cada i ∈ I, pois cada πi é cont´ınua. (⇐) Suponhamos que πi (B) → πi (x) em Xi para cada i ∈ I. Seja U uma vizinhan¸ca aberta b´ asica de x em X, ou seja \ x∈U = πj−1 (Uj ), com J finito, Uj aberto em Xj . j∈J

Como πj (B) → πj (x), T existe Bj ∈ B tal que πj (Bj ) ⊂ Uj , para cada j ∈ J. Seja B ∈ B tal que B ⊂ j∈J Bj . Então B⊂

\ j∈J

Bj ⊂

\

πj−1 (Uj ) = U.

j∈J

Logo B → x. 15.12. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, e seja B uma base de filtro em X. Diremos que x ∈ X é um ponto ao de B se U ∩ B 6= ∅ T de acumula¸c˜ para todo U ∈ Ux e B ∈ B, ou seja se x ∈ {B : B ∈ B}. ´ claro que x Se B converge a x, é claro que x é ponto de acumula¸cão de B. E é ponto de acumula¸c˜ ao de B se e só se x é ponto de acumula¸cão do filtro gerado por B. 15.13. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, e seja F um filtro em X. Ent˜ ao x é um ponto de acumula¸c˜ ao de F se e s´ o se existe um filtro G ⊃ F que converge a x. Demonstra¸ c˜ ao. (⇐) Seja G um filtro em X tal que G ⊃ F e G → x. Então Ux ⊂ G, e dai segue que U ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ Ux e A ∈ F. Logo x é ponto de acumula¸c˜ ao de F. (⇒) Suponhamos que x seja ponto de acumula¸cão de F. Seja B = {U ∩ A : U ∈ Ux , A ∈ F}. 44

´ claro que B é uma base de filtro em X que converge a x. Seja G o filtro gerado E ´ claro que G ⊃ F e G → x. por B. E 15.14. Defini¸ c˜ ao. Diremos que F é um ultrafiltro em X se F é um filtro maximal em X, ou seja, cada vez que existir um filtro G em X tal que F ⊂ G, tem-se que F = G. 15.15. Proposi¸ c˜ ao. Um filtro F em X é um ultrafiltro se e s´ o se, dado E ⊂ X, tem-se que E ∈ F ou X \ E ∈ F. Demonstra¸ c˜ ao. (⇐) Suponhamos que, dado E ⊂ X, tem-se que E ∈ F ou X \ E ∈ F. Suponhamos que exista um filtro G em X tal que F ⊂ G e F= 6 G. Seja E ∈ G \ F. Segue que X \ E ∈ F ⊂ G. Logo ∅ = E ∩ (X \ E) ∈ G, absurdo. (⇒) Seja F um ultrafiltro em X, e seja E ⊂ X. Dado A ∈ F, é claro que A ∩ E 6= ∅ ou A ∩ (X \ E) 6= ∅. Consideremos dois casos. Primeiro suponhamos que A ∩ E 6= ∅ para todo A ∈ F. Seja B = {A ∩ E : A ∈ F}. ´ claro que B é uma base de filtro em X. Seja G o filtro gerado por B. E ´ claro E que F ⊂ G e E ∈ G. Como F é ultrafiltro, tem-se que F = G. Segue que E ∈ F. A seguir suponhamos que A0 ∩E = ∅ para algum A0 ∈ F. Então A0 ⊂ X \E, e segue que X \ E ∈ F. 15.16. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, e seja F um ultrafiltro em X. Se x é um ponto de acumula¸c˜ ao de F, ent˜ ao F converge a x. Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que x seja ponto de acumula¸cão de F, ou seja U ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ Ux e A ∈ F. Afirmamos que Ux ⊂ F. De fato, suponhamos que exista U ∈ Ux , com U ∈ / F. Teriamos que X \ U ∈ F, e portanto U ∩ (X \ U ) 6= ∅, absurdo. Logo Ux ⊂ F, e portanto F → x. 15.17. Proposi¸ c˜ ao. Cada filtro em X est´ a contido em algum ultrafiltro. Demonstra¸ c˜ ao. Seja P a fam´ılia de todos os filtros G em X tais que G ⊃ F. P é um conjunto parcialmente ordenadoSpor inclusão de conjuntos. ´ claro que Seja {Gi : i ∈ I} uma cadéia em P. E e um filtro em X, e i∈I Gi ´ é portanto uma cota superior para a cadéia {Gi : i ∈ I}. Pelo lema de Zorn P possui pelo menos um elemento maximal G. Segue que G é um ultrafiltro em X que contém F. Exerc´ıcios 15.A. Seja B uma base de filtro em X e seja f : X → Y uma fun¸cão qualquer. Prove que a fam´ılia f (B) = {f (B) : B ∈ B} 45

é uma base de filtro em Y . 15.B. Seja A uma base de filtro em X e seja B uma base de filtro em Y . (a) Prove que a fam´ılia C = {A × B : A ∈ A, B ∈ B} é uma base de filtro em X × Y . (b) Prove que C → (x, y) se e só se A → x e B → y. 15.C. Seja B = {(a, ∞) : a ∈ R}. Pelo Exerc´ıcio 6.D B é base para uma topologia τ em R. Pelo Exemplo 15.4 B é uma base de filtro em R. Prove que B → x para cada x ∈ R. 15.D. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita do Exerc´ıcio 3.C. Seja G = {A ⊂ X : X \ A é finito}. (a) Prove que G é um filtro em X. (b) Prove que G → x para cada x ∈ X. 15.E. Seja (xλ )λ∈Λ uma rede em X, e seja B = {Bλ : λ ∈ Λ}, onde Bλ = {xµ : µ ≥ λ} para cada λ ∈ Λ. (a) Prove que B é uma base de filtro em X, que chamaremos de base de filtro gerada por (xλ )λ∈Λ . (b) Prove que xλ → x se e só se B → x. (c) Prove que x é ponto de acumula¸cão de (xλ )λ∈Λ se e só se x é ponto de acumula¸c˜ ao de B. (d) Prove que (xλ )λ∈Λ é uma rede universal se e só se o filtro gerado por B é um ultrafiltro. 15.F. Seja B uma base de filtro em X, e seja Λ = {(a, A) : a ∈ A ∈ B}. (a) Prove que Λ é um conjunto dirigido se definimos (a, A) ≤ (b, B) quando A ⊃ B. A rede x : Λ → X definida por x(a, A) = a é chamada de rede gerada por B, e é denotada por (xλ )λ∈Λ . (b) Prove que B → x se e só se xλ → x. (c) Prove que x é ponto de acumula¸cão de B se e só se x é ponto de acumula¸c˜ ao de (xλ )λ∈Λ . (d) Prove que o filtro gerado por B é um ultrafiltro se e só se (xλ )λ∈Λ é uma rede universal.

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16. Espa¸ cos de Hausdorff 16.1. Defini¸ c˜ ao. Diremos que um espa¸co topológico X é um espa¸co T0 se dados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhan¸ca de um deles que não contém o outro. 16.2. Exemplos. (a) Cada espa¸co topol´ ogico discreto é um espa¸co T0 . (b) Seja X um espa¸co topológico trivial, com pelo menos dois pontos. Então X n˜ ao é um espa¸co T0 . 16.3. Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co topol´ ogico X é um espa¸co T0 se e s´ o se, dados a, b ∈ X, com a 6= b, tem-se que {a} = 6 {b}. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Seja X um espa¸co T0 , e sejam a, b ∈ X, a 6= b. Se / {b}. Se existir V ∈ Ub tal existir U ∈ Ua tal que b ∈ / U , então a ∈ {a}, mas a ∈ que a ∈ / V , ent˜ ao b ∈ {b}, mas b ∈ / {a}. Em ambos casos {a} = 6 {b}. (⇐) Suponhamos que X não seja um espa¸co T0 . Então existem a, b ∈ X, com a 6= b, tais que b ∈ U para cada U ∈ Ua , e a ∈ V para cada V ∈ Ub . Logo a ∈ {b} e b ∈ {a}. Segue que {a} = {b}. 16.4. Defini¸ c˜ ao. Diremos que um espa¸co topológico X é um espa¸co T1 se dados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhan¸ca de cada um deles que n˜ ao contém o outro. ´ claro que cada espa¸co T1 é um espa¸co T0 . E 16.5. Exemplos. (a) Cada espa¸co topol´ ogico discreto é um espa¸co T1 . (b) O espa¸co de Sierpinski é um espa¸co T0 , mas não é um espa¸co T1 . 16.6. Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co topol´ ogico X é um espa¸co T1 se e s´ o se cada subconjunto unit´ ario de X é fechado. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Seja X um espa¸co T1 , e seja a ∈ X. Para cada b ∈ X, com b 6= a, existe V ∈ Ub tal que a ∈ / V . Segue que X \ {a} é aberto, ou seja {a} é fechado. (⇐) Suponhamos que {a} seja fechado para cada a ∈ X. Dados a, b ∈ X, com a 6= b, sejam U = X \ {b} e V = X \ {a}. Então U e V são abertos, a ∈ U , b∈ / U, b ∈ V , a ∈ / V. 16.7. Defini¸ c˜ ao. Diremos que um espa¸co topológico X é um espa¸co de Hausdorff ou um espa¸co T2 se dados a, b ∈ X, com a = 6 b, existem U ∈ Ua e V ∈ Ub , com U ∩ V = ∅. ´ claro que cada espa¸co T2 é um espa¸co T1 . E 16.8. Exemplos. (a) Cada espa¸co topol´ ogico discreto é um espa¸co de Hausdorff. (b) Cada espa¸co métrico é um espa¸co de Hausdorff.

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(c) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Então X é um espa¸co T1 , mas n˜ ao é um espa¸co T2 . Deixamos a demonstra¸cão como exerc´ıcio. 16.9. Proposi¸ c˜ ao. Para um espa¸co topol´ ogico X as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) X é Hausdorff. (b) Cada rede convergente em X tem um limite u ńico. (c) Cada filtro convergente em X tem um limite u ńico. Demonstra¸ c˜ ao. (a) ⇒ (b): Suponhamos que X seja Hausdorff, e seja (xλ )λ∈Λ uma rede em X que converge a x e a y, com x 6= y. Sejam U ∈ Ux e V ∈ Uy , com U ∩ V = ∅. Como xλ → x, existe λ1 ∈ Λ tal que xλ ∈ U para todo λ ≥ λ1 . Como xλ → y, existe λ2 ∈ Λ tal que xλ ∈ V para todo λ ≥ λ2 . Seja λ ∈ Λ tal que λ ≥ λ1 e λ ≥ λ2 . Então xλ ∈ U ∩ V , contradi¸cão. (b) ⇒ (a): Suponhamos que X não seja Hausdorff. Então existem x, y ∈ X, com x 6= y, tais que U ∩ V 6= ∅ para todo U ∈ Ux e V ∈ Uy . Seja xU V ∈ U ∩ V para cada U ∈ Ux e V ∈ Uy . Segue que (xU V )(U,V )∈Ux ×Uy é uma rede em X que converge a x e a y, com x 6= y. (a) ⇒ (c): Suponhamos que X seja Hausdorff, e seja F um filtro em X que converge a x e a y, com x 6= y. Sejam U ∈ Ux e V ∈ Uy , com U ∩ V = ∅. Como F → x, tem-se que U ∈ Ux ⊂ F. Como F → y, tem-se que V ∈ Uy ⊂ F. Logo U ∩ V ∈ F, absurdo, pois U ∩ V = ∅. (c) ⇒ (a): Suponhamos que X não seja Hausdorff. Então existem x, y ∈ X, com x 6= y, tais que U ∩ V 6= ∅ para todo U ∈ Ux e V ∈ Uy . Seja B = {U ∩ V : U ∈ Ux , V ∈ Uy }. ´ claro que B é uma base de filtro em X. Seja F o filtro gerado por B. E ´ claro E que Ux ⊂ F e Uy ⊂ F. Logo F converge a x e a y, com x 6= y. 16.10. Proposi¸ c˜ ao. Cada subespa¸co de um espa¸co de Hausdorff é um espa¸co de Hausdorff. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co de Hausdorff, e seja S um subespa¸co de X. Sejam a, b ∈ S, com a 6= b. Como X é Hausdorff, existem abertos U1 e V1 em X tais que a ∈ U1 , b ∈ V1 e U1 ∩ V1 = ∅. Sejam U = S ∩ U1 e V = S ∩ V1 . Ent˜ ao U e V s˜ ao abertos em S, a ∈ U , b ∈ V e U ∩ V = ∅. 16.11. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈ I} uma ao vazia de espa¸cos Q fam´ılia n˜ topol´ ogicos n˜ ao vazios. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é Hausdorff se e s´ o se cada Xi é Hausdorff. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Esta implica¸cão segue da Proposi¸cão 16.10 e do Exerc´ıcio 10.C. (⇐) Suponhamos que cada Xi seja Hausdorff, e sejam a, b ∈ X, com a 6= b. Escrevamos a = (ai )i∈I , b = (bi )i∈I . Como a 6= b, existe i ∈ I tal que ai 6= bi . Como Xi é Hausdorff, existem abertos Ui e Vi em Xi tais que ai ∈ Ui , bi ∈ Vi e

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Ui ∩ Vi = ∅. Sejam U = πi−1 (Ui ) e V = πi−1 (Vi ). Então U e V são abertos em X, a ∈ U , b ∈ V e U ∩ V = ∅. 16.12. Proposi¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos topol´ ogicos, com Y Hausdorff. Sejam f e g duas fun¸c˜ oes cont´ınuas de X em Y tais que f (x) = g(x) para todo x num subconjunto denso D ⊂ X. Ent˜ ao f (x) = g(x) para todo x ∈ X. Demonstra¸ c˜ ao. Como X = D, para cada x ∈ X, existe uma rede (xi )i∈I ⊂ D tal que xi → x. Como f e g são cont´ınuas, segue que f (xi ) → f (x) e g(xi ) → g(x). Como f (xi ) = g(xi ) para todo i ∈ I, e Y é Hausdorff, a Proposi¸cão 16.9 garante que f (x) = g(x). Exerc´ıcios 16.A. Seja X = N, com a topologia do Exerc´ıcio 4.F. Prove que X é um espa¸co T0 , mas n˜ ao é um espa¸co T1 . 16.B. Prove que cada subespa¸co de um espa¸co T0 (resp. T1 ) é um espa¸co T0 (resp. T1 ). 16.C. Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ Q ılia não vazia de espa¸cos topológicos não vazios. Prove que o produto X = i∈I Xi é um espa¸co T0 (resp. T1 ) se e só se cada Xi é um espa¸co T0 (resp. T1 ). 16.D. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e seja f : X → Y uma aplica¸cão sobrejetiva e fechada. Prove que se X é um espa¸co T1 , então Y também é um espa¸co T1 . 16.E. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que X é um espa¸co T1 , mas n˜ ao é um espa¸co T2 . 16.F. Seja X um espa¸co de Hausdorff. Dados n pontos distintos x1 , ..., xn ∈ X, prove que existem n abertos disjuntos U1 , ..., Un ⊂ X tais que xj ∈ Uj para j = 1, ..., n. 16.G. Seja X um espa¸co topológico. T (a) Prove que X é um espa¸co T1 se e só se, para cada a ∈ X tem-se que {U : U ∈ Ua } = {a}. T (b) Prove que X é um espa¸co T2 se e só se, para cada a ∈ X tem-se que {U : U ∈ Ua } = {a}. 16.H. Prove que um espa¸co topológico X é Hausdorff se e só se o conjunto D = {(x, x) : x ∈ X} é fechado em X × X. 16.I. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, com Y Hausdorff. Sejam f e g duas fun¸c˜ oes cont´ınuas de X em Y . (a) Prove que o conjunto {x ∈ X : f (x) = g(x)} é fechado em X. (b) Use (a) para dar outra demonstra¸cão da Proposi¸cão 16.12.

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17. Espa¸ cos regulares 17.1. Defini¸ c˜ ao. Diremos que um espa¸co topológico X é regular se dados um fechado A em X e um ponto b ∈ / A, existem abertos disjuntos U , V em X tais que A ⊂ U e b ∈ V . Diremos que X é um espa¸co T3 se X é um espa¸co T1 que é regular. ´ claro que cada espa¸co T3 é um espa¸co T2 . E 17.2. Exemplos. (a) Cada espa¸co discreto é um espa¸co T3 . (b) Cada espa¸co métrico é um espa¸co T3 . A demonstra¸cão é deixada como exerc´ıcio. (c) Seja X um espa¸co topológico trivial, com pelo menos dois pontos. Então X é regular, mas n˜ ao é um espa¸co T3 . (d) O espa¸co de Sierspinski não é regular. A demonstra¸cão é deixada como exerc´ıcio. 17.3. Proposi¸ c˜ ao. Para um espa¸co topol´ ogico X as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) X é regular. (b) Dados um aberto U ⊂ X e um ponto a ∈ U , existe um aberto V ⊂ X tal que a ∈ V ⊂ V ⊂ U . (c) Cada ponto de X admite uma base de vizinhan¸cas fechadas. Demonstra¸ c˜ ao. (a) ⇒ (b): Seja a ∈ U , sendo U aberto em X. Então a∈ / X \ U , e X \ U é fechado. Como X é regular, existem abertos disjuntos V , W em X tais que a ∈ V e X \ U ⊂ W . Logo a ∈ V ⊂ X \ W ⊂ U . Como X \ W é fechado, segue que a ∈ V ⊂ V ⊂ X \ W ⊂ U. (b) ⇒ (c): imediato. (c) ⇒ (a): Seja b ∈ / A, sendo A fechado em X. Então b ∈ X \ A, e X \ A é aberto. Por (c) existe V ∈ Ub , V fechado, tal que b ∈ V ⊂ X \ A. Segue que A ⊂ X \ V,

b ∈ V ◦,

(X \ V ) ∩ V ◦ = ∅.

17.4. Proposi¸ c˜ ao. Cada subespa¸co de um espa¸co regular é um espa¸co regular. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co regular e seja S um subespa¸co de X. Seja A um subconjunto fechado de S, e seja b ∈ S \ A. Sabemos que A = S ∩ A1 , sendo A1 um subconjunto fechado de X. Como b ∈ / A1 e X é regular, existem abertos disjuntos U1 , V1 em X tais que A1 ⊂ U1 e b ∈ V1 . Sejam U = S ∩ U1 e V = S ∩ V1 . Ent˜ ao U e V s˜ ao dois abertos disjuntos de S, A ⊂ U e b ∈ V . 17.5. Corol´ ario. Cada subespa¸co de um espa¸co T3 é um espa¸co T3 .

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17.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈ I} uma ao vazia de espa¸cos Q fam´ılia n˜ topol´ ogicos n˜ ao vazios. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é regular se e s´ o se cada Xi é regular. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Esta implica¸cão segue da Proposi¸cão 17.4 e do Exerc´ıcio 10.C. (⇐) Suponhamos que cada Xi seja regular, e sejam a ∈ X e U ∈ Ua . Então \ U⊃ πj−1 (Uj ), j∈J

sendo J ⊂ I, J finito, e Uj aberto em Xj para cada j ∈ J. Como Xj é regular cada Uj contém uma vizinhan¸ca fechada Vj de πj (a). Segue que \ \ a∈ πj−1 (Vj ) ⊂ πj−1 (Uj ) ⊂ U. j∈J

j∈J

Logo X é regular. 17.7. Corol´ ario. Seja {Xi : i ∈ I} uma ao vazia de espa¸cos Q fam´ılia n˜ topol´ ogicos n˜ ao vazios. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é um espa¸co T3 se e s´ o se cada Xi é um espa¸co T3 . Exerc´ıcios 17.A. Prove que cada espa¸co métrico é um espa¸co T3 . 17.B. Prove que o espa¸co de Sierpinski não é regular. 17.C. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que X n˜ ao é regular. 17.D. Prove que a reta de Sorgenfrey do Exerc´ıcio 6.C é um espa¸co T3 . 17.E. (a) Prove que a fam´ılia B = {(a, b) : a, b ∈ R, a < b} ∪ {(a, b) ∩ Q : a, b ∈ R, a < b} é uma base para uma topologia τ em R. (b) Prove que (R, τ ) é Hausdorff. (c) Prove que (R, τ ) n˜ ao é regular. 17.F. Seja X um espa¸co regular. Prove que, dados um fechado A em X e um ponto b ∈ / A, existem abertos U e V em X tais que A ⊂ U , b ∈ V e U ∩ V = ∅.

51

18. Espa¸ cos normais 18.1. Defini¸ c˜ ao. Diremos que um espa¸co topológico X é normal se dados dois fechados disjuntos A e B em X, existem dois abertos disjuntos U e V em X tais que A ⊂ U e B ⊂ V . Diremos que X é um espa¸co T4 se X é um espa¸co T1 que é normal. ´ claro que cada espa¸co T4 é um espa¸co T3 . E 18.2. Exemplos. (a) Cada espa¸co discreto é um espa¸co T4 . (b) Cada espa¸co métrico é um espa¸co T4 . A demonstra¸cão é deixada como exerc´ıcio. (c) O espa¸co de Sierpinski é normal, mas não é regular nem Hausdorff. A demonstra¸c˜ ao é deixada como exerc´ıcio. 18.3. Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co topol´ ogico X é normal se e s´ o se, dados um fechado A e um aberto U , com A ⊂ U , existe um aberto V tal que A ⊂ V ⊂ V ⊂ U. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Suponhamos que A ⊂ U , sendo A fechado e U aberto. Ent˜ ao A e X \ U s˜ ao dois fechados disjuntos de X. Como X é normal, existem abertos disjuntos V e W tais que A ⊂ V e X \ U ⊂ W . Logo V ⊂ X \ W . Como X \ W é fechado, segue que A ⊂ V ⊂ V ⊂ X \ W ⊂ U. (⇐) Sejam A e B dois fechados disjuntos de X. Então A ⊂ X \ B, e X \ B é aberto. Por hip´ otese existe um aberto U tal que A ⊂ U ⊂ U ⊂ X \ B. Segue que A ⊂ U,

18.4. normal.

Proposi¸ c˜ ao.

B ⊂ X \ U,

U ∩ (X \ U ) = ∅.

Cada subespa¸co fechado de um espa¸co normal é

Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co normal, e seja S um subespa¸co fechado de X. Sejam A e B dois subconjuntos fechados disjuntos de S. Então A = S∩A1 e B = S∩B1 , sendo A1 e B1 dois subconjuntos fechados de X. Como S é fechado em X, vemos que A e B s˜ ao fechados em X. Como X é normal, existem abertos U1 e V1 em X tais que A ⊂ U1 ,

B ⊂ V1 ,

U1 ∩ V1 = ∅.

Seja U = S ∩ U1 e V = S ∩ V1 . Então U e V são abertos em X e A ⊂ U,

B ⊂ V, 52

U ∩ V = ∅.

18.5. Corol´ ario. Cada subespa¸co fechado de um espa¸co T4 é um espa¸co T4 . 18.6. Proposi¸ c˜ ao. A imagem cont´ınua e fechada de um espa¸co normal é normal. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co normal, seja Y um espa¸co topológico, e seja f : X → Y uma aplica¸c˜ ao sobrejetiva, cont´ınua e fechada. Provaremos que Y é normal. Sejam B1 e B2 dois fechados disjuntos de Y . Como f é cont´ınua, f −1 (B1 ) e f −1 (B2 ) s˜ ao dois fechados disjuntos de X. Como X é normal, existem dois abertos disjuntos U1 e U2 de X tais que f −1 (B1 ) ⊂ U1 e f −1 (B2 ) ⊂ U2 . Sejam V1 e V2 definidos por Vi = Y \ f (X \ Ui )

para i = 1, 2.

Como f é fechada, vemos que cada Vi é aberto em Y . Notemos que f −1 (Vi ) = X \ f −1 (f (X \ Ui )) ⊂ X \ (X \ Ui ) = Ui

para i = 1, 2.

Como U1 e U2 s˜ ao disjuntos, vemos que f −1 (V1 ) e f −1 (V2 ) são disjuntos também. Dai segue que V1 e V2 s˜ ao disjuntos. Finalmente provaremos que B1 ⊂ V1 e B2 ⊂ V2 . Suponhamos que exista y ∈ Bi tal que y ∈ / Vi . y ∈ / Vi implica que y ∈ f (X \ Ui ), ou seja y = f (x), com x∈ / Ui . Por outro lado f (x) = y ∈ Bi implica que x ∈ f −1 (Bi ) ⊂ Ui , absurdo. Isto completa a demonstra¸c˜ ao. 18.7. Corol´ ario. A imagem cont´ınua e fechada de um espa¸co T4 é um espa¸co T4 . Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar a Proposi¸cão 18.6 e o Exerc´ıcio 16.E. Em um espa¸co normal, dois fechados disjuntos podem ser separados por meio de abertos. A seguir veremos que dois fechados disjuntos podem ser separados por meio de fun¸c˜ oes cont´ınuas. 18.8. Lema de separa¸ c˜ ao de Urysohn. Um espa¸co topol´ ogico X é normal se e s´ o se, dados dois fechados disjuntos A e B de X, existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : X → [0, 1] tal que f (A) ⊂ {0} e f (B) ⊂ {1}. Demonstra¸ c˜ ao. (⇐) Sejam A e B dois fechados disjuntos de X, e seja f : X → [0, 1] uma fun¸c˜ ao cont´ınua tal que f (A) ⊂ {0} e f (B) ⊂ {1}. Sejam U = f −1 ([0, 1/2)),

V = f −1 ((1/2, 1]).

Ent˜ ao U e V s˜ ao abertos, A ⊂ U , B ⊂ V e U ∩ V = ∅. Logo X é normal. (⇒) Seja X um espa¸co normal, e sejam A e B dois fechados disjuntos de X. Como A ⊂ X \ B, existe um aberto U1/2 tal que A ⊂ U1/2 ⊂ U1/2 ⊂ X \ B. 53

Logo existem abertos U1/4 e U3/4 tais que A ⊂ U1/4 ⊂ U1/4 ⊂ U1/2 ⊂ U1/2 ⊂ U3/4 ⊂ U3/4 ⊂ X \ B. Seja D = {k/2n : n ∈ N, k = 1, 2, ..., 2n − 1}. Notemos que D é denso em [0, 1]. Procedendo por indu¸cão podemos achar, para cada r ∈ D um aberto Ur tal que A ⊂ U1/2n ⊂ U1/2n ⊂ U2/2n ⊂ U2/2n ⊂ ... ⊂ U(2n −1)/2n ⊂ U(2n −1)/2n ⊂ X \ B. Notemos que: A ⊂ Ur para todo r ∈ D, B ⊂ X \ Us para todo s ∈ D, Us ⊂ Ur para todo s, r ∈ D com s < r. Seja f : X → [0, 1] definida por f (x) = inf{r ∈ D : x ∈ Ur }

se x ∈

[

f (x) = 1

se x ∈ /

[

{Ur : r ∈ D}, {Ur : r ∈ D}.

Notemos que: f (x) ≤ r

se x ∈ Ur ,

f (x) ≥ s

se x ∈ / Us ,

s ≤ f (x) ≤ r

se x ∈ Ur \ Us .

´ claro que E 0 ≤ f (x) ≤ 1 f (x) = 0 f (x) = 1

para todo x ∈ X, para todo x ∈ A, para todo x ∈ B.

Para completar a demonstra¸cão provaremos que f é cont´ınua em cada ponto a ∈ X. Seja > 0 dado. Se f (a) = 0, ent˜ ao a ∈ Ur para todo r ∈ D. Seja r ∈ D tal que r < . Então para cada x ∈ Ur tem-se que f (x) ≤ r < . Se f (a) = 1, ent˜ ao a ∈ / Us para todo s ∈ D. Seja s ∈ D tal que s > 1 − . Ent˜ ao para cada x ∈ / Us tem-se que f (x) ≥ s > 1 − . Se 0 < f (x) < 1, sejam r, s ∈ D tais que f (a) − < s < f (a) < r < f (a) + . ´ f´ E acil ver que a ∈ Ur \ Us . Além disso, para cada x ∈ Ur \ Us tem-se que f (a) − < s ≤ f (x) ≤ r < f (a) + . 54

Logo f é cont´ınua em cada ponto de X. 18.9. Teorema de extens˜ ao de Tietze. Para um espa¸co topol´ ogico X as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) X é normal. (b) Dados um conjunto fechado A ⊂ X e uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : A → [c, d], com c < d, existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua F : X → [c, d] tal que F |A = f . (c) Dados um conjunto fechado A ⊂ X e uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : A → R, existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua F : X → R tal que F |A = f . Demonstra¸ c˜ ao. (a) ⇒ (b): Como [c, d] é homeomorfo a [−1, 1], podemos supor que f : A → [−1, 1]. Sejam A1 = {x ∈ A : f (x) ≤ −1/3},

B1 = {x ∈ A : f (a) ≥ 1/3}.

Pelo Lema de Urysohn existe uma fun¸cão cont´ınua f1 : X → [−1/3, 1/3] tal que f1 (A1 ) ⊂ {−1/3},

f1 (B1 ) ⊂ {1/3}.

Ent˜ ao |f (x) − f1 (x)| ≤ 2/3

para todo x ∈ A.

Seja g1 = f − f1 : X → [−2/3, 2/3], e sejam A2 = {x ∈ A : g1 (x) ≤ −2/32 },

B2 = {x ∈ A : g1 (x) ≥ 2/32 }.

Pelo Lema de Urysohn existe uma fun¸cão cont´ınua f2 : X → [−2/32 , 2/32 ] tal que f2 (A2 ) ⊂ {−2/32 },

f2 (B2 ) ⊂ {2/32 }.

Ent˜ ao |f (x) − f1 (x) − f2 (x)| ≤ (2/3)2

para todo x ∈ A.

Seja g2 = f − f1 − f2 : X → [−(2/3)2 , (2/3)2 e sejam A3 = {x ∈ A : g2 (x) ≤ −22 /33 },

B3 = {x ∈ A : g2 (x) ≥ 22 /33 }.

Pelo Lema de Urysohn existe uma fun¸cão cont´ınua f3 : X → [−22 /33 , 22 /33 ] 55

tal que f3 (A3 ) ⊂ {−22 /33 },

f3 (B3 ) ⊂ {22 /33 }.

Ent˜ ao |f (x) − f1 (x) − f2 (x) − f3 (x)| ≤ (2/3)3

para todo x ∈ A.

Procedendo por indu¸c˜ ao vamos achar uma seq¨ uência de fun¸cões cont´ınuas fk : X → [−2k−1 /3k , 2k−1 /3k ] tais que (∗)

|f (x) −

n X

fk (x)| ≤ (2/3)n

para todo x ∈ A, n ∈ N

k=1

Seja F (x) =

∞ X

fk (x)

para todo x ∈ X.

k=1

Notemos que ∞ X k=1

∞

|fk (x)| ≤

1X 2 k ( ) =1 2 3

para todo x ∈ X.

k=1

Segue do Exerc´ıcio 18.D que F : X → [−1, 1] está bem definida e é cont´ınua. E segue de (*) que f (x) = F (x) para todo x ∈ A. (b) ⇒ (c): Como R é homeomorfo a (−1, 1), podemos supor que f : A → (−1, 1). Por (b) existe uma fun¸cão cont´ınua G : X → [−1, 1] tal que G|A = f . Seja B = {x ∈ X : |G(x)| = 1}. Ent˜ ao A e B s˜ ao dois fechados disjuntos de X. Seja h : A ∪ B → [0, 1] definido por h(x) = 1 para todo x ∈ A, h(x) = 0

para todo x ∈ B.

Pela Proposi¸c˜ ao 8.7 h é cont´ınua. Por (b) existe uma fun¸cão cont´ınua H : X → [0, 1] tal que H|A ∪ B = h. Seja para todo x ∈ X.

F (x) = G(x)H(x)

Ent˜ ao F é uma fun¸c˜ ao cont´ınua de X em (−1, 1) e F |A = f . (c) ⇒ (a): Sejam A e B dois fechados disjuntos de X. Seja f : A ∪ B → [0, 1] definida por f (x) = 0 para todo x ∈ A, f (x) = 1

para todo x ∈ B. 56

Pela Proposi¸c˜ ao 8.7 f é cont´ınua. Por (c) existe uma fun¸cão cont´ınua F : X → R tal que F |A ∪ B = f . Seja G : X → [0, 1] definida por G = (F ∨ 0) ∧ 1. Pelo Exerc´ıcio 18.E G é cont´ınua, e claramente G|A ∪ B = f . Logo G(x) = 0 para todo x ∈ A e G(x) = 1 para todo x ∈ B. Exerc´ıcios 18.A. Prove que cada espa¸co métrico é um espa¸co T4 . 18.B. Prove que o espa¸co de Sierpinski é normal, mas não é regular nem Hausdorff. 18.C. Seja X um espa¸co normal. Prove que, dados dois fechados disjuntos A e B em X, existem dois abertos U e V em X tais que A ⊂ U , B ⊂ V e U ∩ V = ∅. 18.D. Seja X um espa¸co topológico, e seja (fn )∞ uência em C(X) n=1 uma seq¨ que converge uniformemente a uma fun¸cão f . Prove que f é cont´ınua. 18.E. Seja X um espa¸co topológico. Dadas f : X → R e g : X → R, sejam f ∨ g : X → R e f ∧ g : X → R definidas por (f ∨ g)(x) = max{f (x), g(x)}

para todo x ∈ X,

(f ∧ g)(x) = min{f (x), g(x)}

para todo x ∈ X.

Prove que, se f e g s˜ ao cont´ınuas, então f ∨ g e f ∧ g são cont´ınuas também. 18.F. Prove que um espa¸co topológico X é normal se e só se, dados dois fechados disjuntos A e B em X, existe uma fun¸cão cont´ınua f : X → R tal que f (A) ⊂ {α} e f (B) ⊂ {β}, com α 6= β. 18.G. Seja X um espa¸co métrico, e seja A um subconjunto não vazio de X. Para cada x ∈ X, seja d(x, A) = infa∈A d(x, a). (a) Prove que d(x, A) = 0 se e só se x ∈ A. (b) Prove que |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y)

para todo x, y ∈ X.

(c) Prove que a a fun¸c˜ ao x ∈ X → d(x, A) ∈ R é cont´ınua. 18.H. Seja X um espa¸co métrico, e sejam A e B dois subconjuntos fechados disjuntos de X. Usando o Exerc´ıcio 18.G ache uma fun¸cão cont´ınua f : X → [0, 1] tal que f (x) = 0 para todo x ∈ A e f (x) = 1 para todo x ∈ B. Isto da outra demonstra¸c˜ ao de que cada espa¸co métrico é normal.

57

19. Espa¸ cos completamente regulares O Lema de Urysohn motiva a seguinte defini¸cão. 19.1. Defini¸ c˜ ao. Diremos que um espa¸co topológico X é completamente regular se dados um fechado A em X e um ponto b ∈ / A existe uma fun¸cão cont´ınua f : X → [0, 1] tal que f (A) ⊂ {0} e f (b) = 1. Diremos que X é um espa¸co de Tychonoff se X é um espa¸co T1 que é completamente regular. 19.2. Proposi¸ c˜ ao. Cada espa¸co T4 é um espa¸co de Tychonoff. Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar o lema de Urysohn. 19.3. Proposi¸ c˜ ao. Cada espa¸co completamente regular é regular. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co completamente regular. Dados um fechado A em X e um ponto b ∈ / A, seja f : X → [0, 1] uma fun¸cão cont´ınua tal que f (A) ⊂ {0} e f (b) = 1. Sejam U = f −1 ([0, 1/2)),

V = f −1 (1/2, 1]).

Ent˜ ao U e V s˜ ao dois abertos disjuntos de X, A ⊂ U e b ∈ V . Logo X é regular. 19.4. Corol´ ario. Cada espa¸co de Tychonoff é um espa¸co T3 . 19.5. Exemplos. (a) Cada espa¸co discreto é um espa¸co de Tychonoff. (b) Cada espa¸co métrico é um espa¸co de Tychonoff. (c) O espa¸co de Sierpinski não é completamente regular. 19.6. Proposi¸ c˜ ao. Cada subespa¸co de um espa¸co completamente regular é completamente regular. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co completamente regular, e seja S um subespa¸co de X. Seja A um fechado de S, e seja b ∈ S \ A. Sabemos que A = S ∩ A1 , sendo A1 un fechado de X. Como b ∈ / A1 , e X é completamente regular, existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua g : X → [0, 1] tal que g(A1 ) ⊂ {0} e g(b) = 1. Seja f = g|S : S → [0, 1]. Então f é cont´ınua, f (A) ⊂ {0} e f (b) = 1. 19.7. Corol´ ario. Cada subespa¸co de um espa¸co de Tychonoff é um espa¸co de Tychonoff. 19.8. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈ I} uma ao vazia de espa¸cos Q fam´ılia n˜ topol´ ogicos n˜ ao vazios. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é completamente regular se e s´ o se cada Xi é completamente regular. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Esta implica¸cão segue da Proposi¸cão 19.7 e do Exerc´ıcio 10.C. 58

(⇐) Suponhamos que cada Xi seja completamente regular, e sejam A um fechado de X, e b ∈ X \ A. Então \ b∈ πj−1 (Uj ) ⊂ X \ A, j∈J

sendo J ⊂ I, J finito, e Uj aberto em Xj para cada j ∈ J. Notemos que πj (b) ∈ Uj

para cada j ∈ J,

e A⊂X\

\ j∈J

πj−1 (Uj ) =

[

(X \ πj−1 (Uj )) =

j∈J

[

πj−1 (Xj \ Uj ).

j∈J

Como Xj é completamente regular, para cada j ∈ J existe uma fun¸cão cont´ınua gj : Xj → [0, 1] tal que gj (Xj \ Uj ) ⊂ {0},

gj (πj (b)) = 1.

Seja f = minj∈J gj ◦ πj : X → [0, 1]. Ent˜ ao f é cont´ınua, f (A) ⊂ {0} e f (b) = 1. 19.9. Corol´ ario. Seja {Xi : i ∈ I} uma ao vazia de espa¸cos Q fam´ılia n˜ topol´ ogicos n˜ ao vazios. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é um espa¸co de Tychonoff se e s´ o se cada Xi é um espa¸co de Tychonoff. Lembremos que, se X é um espa¸co topológico, então C(X) denota o conjunto de todas as fun¸c˜ oes cont´ınuas f : X → R. Denotaremos por Cb (X) o subconjunto de todas as f ∈ C(X) que são limitadas, ou seja supx∈X |f (x)| < ∞. 19.10. Teorema. Um espa¸co topol´ ogico X é completamente regular se e s´ o se X tem a topologia fraca definida por Cb (X). Demonstra¸ c˜ ao. Denotemos por τ a topologia de X e por τw a topologia fraca em X definida por Cb (X). A inclusão τw ⊂ τ vale sempre. Devemos provar que X é completamente regular se e só se τ ⊂ τw . (⇒) Sejam U ∈ τ e a ∈ U . Como X é completamente regular, existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua fa : X → [0, 1] tal que fa (a) = 0 e fa (x) = 1 para todo x ∈ X \ U . Seja Va = {x ∈ X : fa (x) < 1}. Ent˜ ao Va ∈ τw e a ∈ Va ⊂ U . Segue que [ U = {Va : a ∈ U } ∈ τw . (⇐) Seja A um fechado de X, e seja b ∈ X \ A. Como τ ⊂ τw , temos que b ∈ V ⊂ X \ A, 59

onde V =

n \

fj−1 (Wj ),

j=1

com fj ∈ Cb (X) e Wj aberto em R para j = 1, ..., n. Como cada aberto de R é uma união de intervalos abertos, podemos supor que Wj = (αj , βj ) para j = 1, ..., n. Notemos que fj−1 (Wj ) = {x ∈ X : αj < fj (x) < βj } = {x ∈ X : fj (x) > αj } ∩ {x ∈ X : −fj (x) > −βj }. Logo podemos supor que Wj = (αj , ∞) para j = 1, ..., n. Seja gj = (fj − αj ) ∨ 0

para j = 1, ...n.

Ent˜ ao gj ∈ Cb (X), gj ≥ 0 e fj−1 (Wj ) = fj−1 ((αj , ∞)) = gj−1 ((0, ∞)). Logo b∈V =

n \

fj−1 (Wj ) =

j=1

n \

gj−1 ((0, ∞)) ⊂ X \ A.

j=1

Seja g = g1 g2 ...gn . Ent˜ ao g ∈ Cb (X) e g ≥ 0. Além disso, g(b) = g1 (b)g2 (b)...gn (b) > 0, g(x) = g1 (x)g2 (x)...gn (x) = 0 para todo x ∈ A. Logo X é completamente regular. 19.11. Teorema. Para um espa¸co topol´ ogico X as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) X é um espa¸co de Tychonoff. (b) X é homeomorfo a um subespa¸co do produto [0, 1]Cb (X) . (c) X é homeomorfo a um subespa¸co do produto [0, 1]I , para algum I. Demonstra¸ c˜ ao. (a) ⇒ (b): Seja X um espa¸co de Tychonoff. Para cada f ∈ Cb (X) seja If um intervalo fechado e limitado que contém f (X). Consideremos a aplica¸cão avalia¸c˜ ao Y X : x ∈ X → (f (x))f ∈Cb (X) ∈ If . f ∈Cb (X)

´ claro que Cb (X) separa os pontos de X. Pelo Teorema 19.10 X tem a topologia E fraca definida por Cb (X). PelaQProposi¸cão 10.8 a aplica¸cão X é um mergulho. Pelo Exerc´ıcio 10.E o produto f ∈Cb (X) If é homeomorfo ao produto [0, 1]Cb (X) . Segue que X é homeomorfo a um subespa¸co do produto [0, 1]Cb (X) . 60

(b) ⇒ (c): ´ obvio. (c) ⇒ (a): O produto [0, 1]I é um espa¸co de Tychonoff, e qualquer subespa¸co de [0, 1]I é um espa¸co de Tychonoff. Mais adiante vamos precisar de uma versão mais refinada do teorema anterior. Com esse prop´ osito introduzimos a seguinte defini¸cão. 19.12. Defini¸ c˜ ao. Sejam X e Xi (i ∈ I) espa¸cos topológicos, e seja fi : X → Xi para cada i ∈ I. Diremos que a fam´ılia {fi : i ∈ I} separa pontos de fechados se dados um fechado A ⊂ X e um ponto b ∈ X \ A, existe i ∈ I tal que fi (b) ∈ / fi (A). 19.13. Proposi¸ c˜ ao. Sejam X e Xi (i ∈ I) espa¸cos topol´ ogicos, e seja fi : X → Xi cont´ınua para cada i ∈ I. Ent˜ ao a fam´ılia {fi : i ∈ I} separa pontos de fechados se e s´ o se os conjuntos fi−1 (Vi ), com i ∈ I e Vi aberto em Xi , formam uma base para a topologia de X. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Seja U aberto em X, e seja a ∈ U . Como a ∈ / X \ U, existe i ∈ I tal que fi (a) ∈ / fi (X \ U ). Se definimos Vi = Xi \ fi (X \ U ), ent˜ ao é f´ acil ver que a ∈ fi−1 (Vi ) ⊂ U. (⇐) Seja A fechado em X, e seja b ∈ X \ A. Por hipótese temos que b ∈ fi−1 (Vi ) ⊂ X \ A, sendo i ∈ I e Vi aberto em Xi . Segue que fi (b) ∈ Vi e Vi ∩ fi (A) = ∅. Logo fi (b) ∈ / fi (A). 19.14. Corol´ ario. Sejam X e Xi (i ∈ I) espa¸cos topol´ ogicos, e seja fi : X → Xi cont´ınua para cada i ∈ I. Se a fam´ılia {fi : i ∈ I} separa pontos de fechados, ent˜ ao X tem a topologia fraca definida pela fam´ılia {fi : i ∈ I}. Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar as Proposi¸cões 19.13 e 10.5. 19.15. Corol´ ario. Sejam X e Xi (i ∈ I) espa¸cos topol´ ogicos, e seja fi : X → Xi cont´ınua para cada i ∈ I. Suponhamos que X seja um espa¸co T1 e que a fam´ılia {fi : i ∈ I} separe pontos de fechados. Ent˜ ao a avalia¸c˜ ao Y : x ∈ X → (fi (x))i∈I ∈ Xi i∈I

é um mergulho. Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar o Corolário 19.14 e a Proposi¸cão 10.8.

61

Exerc´ıcios 19.A. Se X é um espa¸co topológico, prove que as seguintes condi¸cões são equivalentes: (a) X é completamente regular. (b) Dados um fechado A ⊂ X e um ponto b ∈ / A, existe uma fun¸cão cont´ınua f : X → R tal que f (A) ⊂ {α} e f (b) = {β}, sendo α < β. (c) Dados um fechado A em X e um ponto b ∈ / A, existe uma fun¸cão cont´ınua f : X → R tal que f (x) ≤ α para todo x ∈ A e f (b) ≥ β, sendo α < β. 19.B. Seja X um espa¸co métrico, e seja A ⊂ X. Use a fun¸cão distancia x ∈ X → d(x, A) ∈ R para provar diretamente que cada espa¸co métrico é completamente regular. 19.C. Sejam X e Y dois espa¸cos de Tychonoff. Para cada f ∈ Cb (X) seja If um intervalo fechado e limitado que contém f (X). Dada uma fun¸cão cont´ınua h : X → Y , prove que existe uma fun¸cão cont´ınua Y Y H: If −→ Ig f ∈Cb (X)

g∈Cb (Y )

tal que o seguinte diagrama é comutativo: h

−→

X X ↓ Y

If

H

−→

f ∈Cb (X)

Y ↓ Y Y Ig g∈Cb (Y )

62

20. Primeiro e segundo axioma de enumerabilidade Lembremos que um espa¸co topológico X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade se existe uma base enumerável de vizinhan¸cas de x para cada x ∈ X. Lembremos que X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se existe uma base enumerável para os abertos de X. Nesta se¸cão estudaremos os espa¸cos que satisfazem estes axiomas. Estudaremos também os espa¸cos separ´ aveis e os espa¸cos de Lindelöf, que definiremos a seguir. 20.1. Defini¸ c˜ ao. Um espa¸co topológico X é dito separ´ avel se existir em X um subconjunto denso enumerável. 20.2. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico. Diremos que {Ui : i ∈ I} é uma cobertura aberta de X se {Ui : i ∈ I} é uma fam´ılia de abertos de X S tal que {Ui : i ∈ I} = X. Diremos que X é um espa¸co de Lindel¨ of se cada cobertura aberta de X admite uma subcobertura enumerável, ou seja, para cada cobertura aberta {Ui : i ∈ I} de X, existe J ⊂ I, J enumerável, tal que S {Ui : i ∈ J} = X. 20.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Ent˜ ao: (a) X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. (b) X é separ´ avel. (c) X é um espa¸co de Lindel¨ of. Demonstra¸ c˜ ao. Seja B uma base enumerável para os abertos de X. (a) Para cada x ∈ X seja Bx = {V ∈ B : x ∈ V }. ´ claro que Bx é uma base enumerável de vizinhan¸cas de x. E (b) Seja xV ∈ V para cada V ∈ B, e seja D = {xV : V ∈ B}. ´ claro que D é um conjunto enumerável que é denso em X. E (c) Seja U uma cobertura aberta de X. Para cada x ∈ X seja Ux ∈ U tal que x ∈ Ux , e seja Vx ∈ B tal que x ∈ Vx ⊂ Ux . Seja B 0 = {Vx : x ∈ X}. Como B 0 ⊂ B, B 0 é enumer´ avel. Escrevamos B 0 = {Vn : n ∈ N}. Para cada n ∈ N, seja Un ∈ U tal que Vn ⊂ Un . Seja U 0 = {Un : n ∈ N}. 63

Ent˜ ao U 0 é um subconjunto enumerável de U, e ∞ [

Un ⊃

n=1

∞ [

Vn = X.

n=1

Logo U 0 é uma subcobertura enumerável de U. 20.4. Proposi¸ c˜ ao. Para um espa¸co métrico X, as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. (b) X é separ´ avel. (c) X é Lindel¨ of. Demonstra¸ c˜ ao. J´ a sabemos que (a) ⇒ (b) e (a) ⇒ (c). (b) ⇒ (a): Seja D = {xm : m ∈ N} um subconjunto enumer´ avel denso de X, e seja B = {B(xm ; 1/n) : m, n ∈ N}. B é enumer´ avel. Provaremos que B é uma base para os abertos de X. Seja U um aberto n˜ ao vazio de X, e seja x ∈ U . Como U é aberto, existe n ∈ N tal que B(x; 1/n) ⊂ U . Como D é denso em X, existe m ∈ N tal que xm ∈ B(x; 1/2n). Segue que x ∈ B(xm ; 1/2n) ⊂ B(x; 1/n) ⊂ U. Logo B é uma base para os abertos de X. (c) ⇒ (a): Para cada n ∈ N seja Un = {B(x; 1/n) : x ∈ X}. Ent˜ ao Un é uma cobertura aberta de X. Como X é Lindelöf, Un admite uma subcobertura enumer´ avel Vn . Seja [ B = {Vn : n ∈ N}. B é enumer´ avel. Provaremos que B é uma base para os abertos de X. Seja U um aberto n˜ ao vazio de X, e seja x ∈ U . Como U é aberto, existe n ∈ N tal que B(x; 1/n) ⊂ U . Como V2n é uma cobertura de X, existe B(a; 1/2n) ∈ V2n ⊂ B tal que x ∈ B(a; 1/2n). Segue que x ∈ B(a; 1/2n) ⊂ B(x; 1/n) ⊂ U. Logo B é uma base para os abertos de X.

64

Vimos nos Exerc´ıcios 7.A e 7.B que se um espa¸co topológico X satisfaz o primeiro ou o segundo axioma de enumerabilidade, então cada subespa¸co de X satisfaz o mesmo axioma. Veremos nos Exerc´ıcios 20.A e 20.B que a imagem cont´ınua e aberta de um espa¸co topol´ ogico que satisfaz o primeiro ou o segundo axioma de enumerabilidade, também satisfaz o mesmo axioma. 20.5. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈QI} uma fam´ılia n˜ ao vazia de espa¸cos T1 n˜ ao triviais. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade se e s´ o se cada Xi satisfaz o mesmo axioma e I é enumer´ avel. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Suponhamos que X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. Como cada Xi é homeomorfo a um subespa¸co de X, segue que cada Xi também satisfaz o mesmo axioma. Suponhamos que I n˜ ao seja enumerável. Seja a = (ai )i∈I ∈ X, e seja {Un : n ∈ N} uma base enumerável de vizinhan¸cas de a em X. Para cada n ∈ N temos que \ a ∈ Vn = πj−1 (Vnj ) ⊂ Un , j∈Jn

sendo Jn ⊂ I, Jn finito, e sendo Vnj uma vizinhan¸ca aberta de aj em Xj para ´ claro que {Vn : n ∈ N} também é uma base de vizinhan¸cas de cada j ∈ Jn . E S a em X. Seja J = {Jn : n ∈ N}, e seja k ∈ I \ J. Seja bk 6= ak , seja bi = ai para cada i 6= k, e seja b = (bi )i∈I . Como Xk é um espa¸co T1 , existe um aberto Wk em Xk tal que ak ∈ Wk , mas bk ∈ / Wk . Seja W = πk−1 (Wk ). Notemos que b ∈ Vn para cada n ∈ N, mas b ∈ / W . Logo Vn 6⊂ W para cada n ∈ N, contradi¸c˜ ao. Logo I é enumerável. (⇐) Suponhamos que Xi satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade para cada i ∈ I, e que I seja enumerável. Sem perda de generalidade podemos supor que I = N. Seja a = (an )n∈N ∈ X, e seja {Vnk : k ∈ N} uma base enumer´ avel decrescente de vizinhan¸cas de an em Xn para cada n ∈ N. Segue que os conjuntos da forma N \

πn−1 (Vn,kn ) (N ∈ N, kn ∈ N)

n=1

formam uma base enumer´ avel de vizinhan¸cas de a em X. De maneira an´ aloga podemos provar o resultado seguinte. demonstra¸c˜ ao detalhada como exerc´ıcio.

Deixamos a

20.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈Q I} uma fam´ılia n˜ ao vazia de espa¸cos T1 n˜ ao triviais. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se e s´ o se cada Xi satisfaz o mesmo axioma e I é enumer´ avel.

65

Veremos no Exerc´ıcio 20.C que cada subespa¸co aberto de um espa¸co topológico separ´ avel é separ´ avel. Veremos no Exerc´ıcio 20.E que a imagem cont´ınua de cada espa¸co topol´ ogico separ´ avel é separável. 20.7. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ ao vazia de espa¸cos de Q ılia n˜ Hausdorff n˜ ao triviais. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é separ´ avel se e s´ o se cada Xi é separ´ avel e |I| ≤ |R|. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Suponhamos que X seja separável. Como Xi = πi (X) para cada i ∈ I, segue que cada Xi é separável. Para provar que |I| ≤ |R|, seja D um subconjunto denso enumerável de X. Para cada i ∈ I sejam Ui e Vi dois abertos disjuntos não vazios em Xi , e seja Di = D ∩ πi−1 (Ui ). Como D é denso em X, segue que cada Di é não vazio. Afirmamos que Di 6= Dj sempre que i 6= j. De fato, se i 6= j, é claro que πi−1 (Ui ) ∩ πj−1 (Vj ) 6= ∅, e portanto D ∩ πi−1 (Ui ) ∩ πj−1 (Vj ) 6= ∅. Seja a ∈ D ∩ πi−1 (Ui ) ∩ πj−1 (Vj ) ⊂ Di . Como Uj ∩ Vj = ∅, segue que a∈ / D ∩ πj−1 (Uj ) = Dj , provando a afirma¸c˜ ao. Logo a aplica¸c˜ ao f : i ∈ I → Di ∈ P(D) é injetiva, e portanto |I| ≤ |P(D)| ≤ 2|N| = |R|. (⇐) Suponhamos que cada Xi seja separável, e que |I| ≤ |R|. Seja Di = {xin : n ∈ N} um subconjunto denso enumerável de Xi para cada i ∈ I. Como |I| ≤ |R|, podemos supor que I ⊂ R. Para cada conjunto {T1 , ..., Tp } de intervalos fechados disjuntos com extremos racionais, e cada conjunto {n1 , ..., np } ⊂ N, definamos um ponto y = y(T1 , ..., Tp , n1 , ..., np ) ∈ X da maneira seguinte: yi = xink yi = xi1

i ∈ Tk ,

se

i∈ / T1 ∪ ... ∪ Tp .

se

´ claro que Seja D o conjunto formado pelos pontos y = y(T1 , ..., Tp , n1 , ..., np ). E D é enumerável. Provaremos que D é denso em X. Seja U um aberto básico em X, ou seja \ U= πj−1 (Uj ), j∈J

66

com J ⊂ I, J finito, e Uj aberto não vazio em Xj para cada j ∈ J. Para cada j ∈ J seja xjnj ∈ Dj ∩ Uj , e seja Ti um intervalo fechado, com extremos racionais, contendo j. Se escrevemos J = {i1 , ..., ip }, então y = y(Ti1 , ...Tip , ni1 , ..., nip ) ∈ U, pois πik (y) = yik = xik ,nik ∈ Uik para k = 1, ..., p. Logo D∩U 6= ∅, completando a demonstra¸cão. Veremos no Exerc´ıcio 20.F que cada subespa¸co fechado de um espa¸co de Lindel¨ of é um espa¸co de Lindelöf. Veremos no Exerc´ıcio 20.G que a imagem cont´ınua de cada espa¸co de Lindelöf é um espa¸co de Lindelöf. 20.8. Teorema. Cada espa¸co de Lindel¨ of regular é normal. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co de Lindelöf regular, e sejam A e B dois fechados disjuntos n˜ ao vazios de X. Como X é regular, para cada a ∈ A existe um aberto Ua tal que a ∈ Ua e Ua ∩ B = ∅. De maneira análoga, para cada b ∈ B existe um aberto Vb tal que b ∈ Vb e Vb ∩ A = ∅. Como A é Lindelöf, a cobertura aberta {Ua : a ∈ A} de A admite uma subcobertura enumerável {Uaj : j ∈ N}. De maneira análoga, a cobertura aberta {Vb : b ∈ B} de B admite uma subcobertura enumerável {Vbk : k ∈ N}. ∞ Sejam (Cj )∞ uências de abertos definidos da maneira j=1 e (Dj )k=1 duas seq¨ seguinte: C1 = Ua1 , D1 = Vb1 \ C1 , C2 = Ua2 \ D1 , C3 = Ua3 \ (D1 ∪ D2 ),

D2 = Vb2 \ (C1 ∪ C2 ), D3 = Vb3 \ (C1 ∪ C2 ∪ C3 ),

.............................................................. S∞ Sejam C = j=1 Cj e D = k=1 Dk . Para completar a demonstra¸cão provaremos que A ⊂ C, B ⊂ D e C ∩ D = ∅. Para provar que A ⊂ C, seja a ∈ A. Então a ∈ / Vbk , e portanto a ∈ / Dk para cada k. Seja j tal que a ∈ Uaj . Então a ∈ Cj ⊂ C, e portanto A ⊂ C. De maneira an´ aloga podemos provar que B ⊂ D. Para provar que C ∩ D = ∅, suponhamos que exista x ∈ Cj ∩ Dk . Se j > k, ent˜ ao x ∈ Cj implica que x ∈ / Dk , contradi¸cão. E se j ≤ k, então x ∈ Dk implica que x ∈ / Cj , contradi¸cão também. Logo C ∩ D = ∅. S∞

Exerc´ıcios 20.A. Prove que a imagem cont´ınua e aberta de um espa¸co topológico que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, também satisfaz o mesmo axioma. 20.B. Prove que a imagem cont´ınua e aberta de um espa¸co topológico que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, também satisfaz o mesmo axioma. 67

20.C. Prove que cada subespa¸co aberto de um espa¸co topológico separável é separ´ avel. 20.D. Prove que cada subespa¸co de um espa¸co métrico separável é separável. 20.E. Prove que a imagem cont´ınua de cada espa¸co topológico separável é separ´ avel. 20.F. Prove que cada subespa¸co fechado de um espa¸co de Lindelöf é um espa¸co de Lindel¨ of. 20.G. Prove que a imagem cont´ınua de cada espa¸co de Lindelöf é um espa¸co de Lindel¨ of.

68

21. Espa¸ cos compactos 21.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, e seja K ⊂ X. Diremos que X é um espa¸co topol´ ogico compacto se cada cobertura aberta de X admite uma subcobertura finita. Diremos que K é um subconjunto compacto de X se K, com a topologia induzida por X, é um espa¸co topológico compacto. Diremos que K é um subconjunto relativamente compacto de X se K é um subconjunto compacto de X. 21.2. Exemplos. (a) R n˜ ao é compacto. Deixamos a demonstra¸cão como exerc´ıcio. (b) Se X é um espa¸co topológico qualquer, então cada subconjunto finito de X é compacto. Deixamos a demonstra¸cão como exerc´ıcio. 21.3. Proposi¸ c˜ ao. Cada intervalo fechado e limitado em R é compacto. Demonstra¸ c˜ ao. Seja U uma cobertura aberta S de [a, b], com a < b. Seja C o conjunto dos pontos c ∈ [a, b] tais que [a, c] ⊂ V para alguma fam´ılia finita V ⊂ U. Para completar a demonstra¸cão basta provar que b ∈ C. Seja Ua ∈ U tal que a ∈ Ua , e seja δ > 0 tal que a + 2δ < b e [a, b] ∩ (a − 2δ, a + 2δ) ⊂ Ua . Isto implica que [a, a + δ] ⊂ Ua , e portanto a + δ ∈ C. Seja s = supC. Ent˜ ao s ≥ a + δ > a. Seja Us ∈ U tal que s ∈ Us , e seja > 0 tal que s − 2 > a e [a, b] ∩ (s − 2, s + 2) ⊂ Us . Seja c ∈ C ∩ (s − 2, s], e seja V ⊂ U, V finita, tal que [ [a, c] ⊂ V. Segue que [ [a, s] ⊂ [a, c] ∪ (s − 2, s] ⊂ ( V) ∪ Us . Isto prova que s ∈ C. Se fosse s < b, poderiamos supor que s+2 < b e teriamos que [ [0, s + ] ⊂ [a, c] ∪ (s − 2, s + 2) ⊂ ( V) ∪ Us . Mas isto implicaria que s + ∈ C, e s não seria o supremo de C. Logo s = b, e portanto b ∈ C. 21.4. Defini¸ c˜ ao. Seja X um conjunto não vazio, e seja A uma fam´ılia não vazia de T subconjuntos de X. Diremos que A tem a propriedade da interse¸c˜ ao finita se F = 6 ∅ para cada fam´ılia finita F ⊂ A. 21.5. Exemplos. Seja X um conjunto não vazio. (a) Cada filtro em X tem a propriedade da interse¸cão finita. (b) Cada base de filtro em X tem a propriedade da interse¸cão finita. 69

O teorema seguinte da várias caracteriza¸cões de espa¸cos compactos. 21.6. Teorema. Seja X um espa¸co topol´ ogico n˜ ao vazio. Ent˜ ao as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) X é compacto. (b) Cada fam´ılia de fechados de X com a propriedade da interse¸c˜ ao finita tem interse¸c˜ ao n˜ ao vazia. (c) Cada filtro em X tem pelo menos um ponto de acumula¸c˜ ao. (d) Cada filtro em X est´ a contido em algum filtro convergente. (e) Cada ultrafiltro em X é convergente. (f ) Cada rede em X tem pelo menos um ponto de acumula¸c˜ ao. (g) Cada rede em X admite uma subrede convergente. (h) Cada rede universal em X é convergente. Demonstra¸ c˜ ao. (a) ⇒ (b): Seja X compacto, e seja {Ai : i ∈ I} uma fam´ılia de fechados de X comSa propriedade da interse¸cão finita. Suponhamos T que i∈I Ai = ∅. Ent˜ ao X = i∈I (X \ Ai ), e X \ Ai é aberto para cada S i ∈ I. Como X éTcompacto, existe um conjunto finito J ⊂T I tal que X = i∈J Ai . Segue que i∈J Ai = ∅, contradi¸cão. Isto prova que i∈I Ai 6= ∅. S (b) ⇒ (a): Seja {Ui : i ∈ I} uma cobertura aberta de X, e suponhamos que J ⊂ I. Segue que {X \ Ui : i ∈ I} é i∈J Ui 6= X para cada conjunto finitoT uma fam´ılia de fechados de XTtal que i∈J (X \ Ui ) 6= ∅ para cada S conjunto finito J ⊂ I. Segue de (b) que i∈I (X \ Ui ) 6= ∅. Isto implica que i∈I Ui 6= X, S contradi¸c˜ ao. Logo existe um conjunto finito J ⊂ I tal que i∈J Ui = X. (b) ⇒ (c): Seja F um filtro em X. Então {A : A ∈ F} é uma fam´ılia de fechados de X com a propriedade T T da interse¸cão finita. Segue de (b) que ao cada x ∈ {A : A ∈ F} é um ponto de acumula¸cão {A : A ∈ F} 6= ∅. Ent˜ de F. (c) ⇒ (b): Seja A uma fam´ılia de fechados de X com a propriedade da interse¸c˜ ao finita. Seja B a fam´ılia de todas as interse¸cões finitas de membros ´ claro que B é uma base de filtro em X. Seja F o filtro gerado por de A. E B. T Segue de (c) que F tem pelo menos um ponto de acumula¸cão, ou seja A ∈ F} 6= ∅. Como A ⊂ B ⊂ F, e cada A ∈ A é fechado, segue que T{A : T A = {A : A ∈ A} = 6 ∅. (c) ⇔ (d): Basta aplicar a Proposi¸cão 15.13. (d) ⇔ (e): A implica¸c˜ ao (d) ⇒ (e) é imediata, e a implica¸cão (e) ⇒ (d) segue da Proposi¸c˜ ao 15.17. (b) ⇒ (f ): Seja (xλ )λ∈Λ uma rede em X. Seja Aλ = {xµ : µ ≥ λ} para cada λ ∈ Λ, e seja A = {Aλ : λ ∈ Λ}. Então A é uma fam´ıliaTde fechados de XTcom aTpropriedade da interse¸cão finita. Segue de (b) que A 6= ∅. Se x ∈ A = {Aλ : λ ∈ Λ}, então, para cada U ∈ Ux tem-se que U ∩ Aλ 6= ∅ para cada λ ∈ Λ. Logo x é um ponto de acumula¸cão da rede (xλ )λ∈Λ .

70

(f ) ⇒ (b): Seja A uma fam´ılia de fechados de X com a propriedade da interse¸c˜ ao finita. Seja B a fam´ılia de toas as interse¸cões finitas de membros de ´ claro que B é um conjunto dirigido se definimos A ≤ B quando A ⊃ B. A. E Seja xB ∈ B para cada B ∈ B. Segue de (f) que a rede (xB )B∈B tem pelo menos um ponto de acumula¸c˜ ao x. Logo, dados U ∈ Ux e A ∈ B, existe B ∈ B, B ⊂ A, tal que xB ∈ U , e portanto xB ∈ U ∩ B ⊂ U ∩ A. Como A ⊂ B, segue que \ \ \ B⊂ A. x ∈ {A : A ∈ B} = (f ) ⇔ (g): Basta aplicar a Proposi¸cão 13.10. (f ) ⇒ (h): Basta aplicar a Proposi¸cão 13.12. (h) ⇒ (e): Seja F um ultrafiltro em X, e seja Λ = {(a, A) : a ∈ A ∈ F}. ´ claro que Λ é um conjunto dirigido se definimos (a, A) ≤ (b, B) quando A ⊃ B. E Denotaremos por (xλ )λ∈Λ a rede x : Λ → X definida por x(a, A) = a para cada (a, A) ∈ Λ. Afirmamos que (xλ )λ∈Λ é uma rede universal. De fato, como F é um ultrafiltro, dado E ⊂ X, tem-se que E ∈ F ou X \ E ∈ F. Se E ∈ F, seja e ∈ E. Ent˜ ao {x(a, A) : (a, A) ≥ (e, E)} ⊂ E. De maneira an´ aloga, se X \ E ∈ F, seja d ∈ X \ E. Então {x(a, A) : (a, A) ≥ (d, X \ E)} ⊂ X \ E. Logo (xλ )λ∈Λ é uma rede universal. Segue de (h) que (xλ )λ∈Λ converge a um ponto x. Logo dado U ∈ Ux , existe (a, A) ∈ Λ tal que b = x(b, B) ∈ U para todo (b, B) ≥ (a, A). Segue que U ⊃ A, e portanto F converge a x. 21.7. Proposition. (a) Cada subespa¸co fechado de um espa¸co compacto é compacto. (b) Cada subespa¸co compacto de um espa¸co de Hausdorff é fechado. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Seja X um espa¸co compacto e seja S um subespa¸co fechado de X. Seja {Ui : i ∈ I} uma cobertura aberta de S. Para cada i ∈ I existe um aberto Vi de X tal que Ui = S ∩ Vi . Segue que {Vi : i ∈ I} ∪ {X \ S} é uma cobertura aberta de X.SComo X é compacto, existe S um conjunto finito J ⊂ I tal que X = {X \ S} ∪ i∈J Vi . Segue que S = i∈J Ui , e portanto S é compacto. (b) Seja X um espa¸co de Hausdorff e seja S um subespa¸co compacto de X. Para provar que S é fechado em X, seja x ∈ S. Então existe uma rede (xλ )λ∈Λ ⊂ S que converge a x. Como S é compacto, a rede (xλ )λ∈Λ admite uma subrede (xφ(µ) )µ∈M que converge a um ponto y ∈ S. Como (xφ(µ) )µ∈M converge a x também, e X é Hausdorff, segue que x = y ∈ S. Logo S é fechado em X. 71

21.8. Proposi¸ c˜ ao. A imagem cont´ınua de um espa¸co compacto é compacto. Demonstra¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, com X compacto, e seja f : X → Y uma aplica¸cão sobrejetiva e cont´ınua. Para provar que Y é compacto, seja {Vi : i ∈ I} uma cobertura aberta de Y . Então {f −1 (Vi ) : i ∈ I} é uma cobertura aberta de X. Como X é compacto, existe um conjunto S S finito J ⊂ I tal que X = i∈J f −1 (Vi ). Como f é sobrejetivo, segue que Y = i∈J Vi . Logo Y é compacto. 21.9. Corol´ ario. Seja X um espa¸co compacto, seja Y um espa¸co de Hausdorff, e seja f uma aplica¸c˜ ao cont´ınua. Ent˜ ao: (a) f é fechada. (b) Se f é sobrejetiva, ent˜ ao f é uma aplica¸c˜ ao quociente. (c) Se f é bijetiva, ent˜ ao f é um homeomorfismo. Demonstra¸ c˜ ao. (a) Seja A fechado em X. Pela Proposi¸cão 21.8 f (A) é compacto em Y . Pela Proposi¸cão 21.7 f (A) é fechado em Y . (b) segue de (a) pela Proposi¸cão 11.5. (c) segue de (a) pela Proposi¸cão 8.9. 21.10. Teorema de Tychonoff. Seja {Xi : i ∈ I} Q uma fam´ılia n˜ ao vazia de espa¸cos topol´ ogicos n˜ ao vazios. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é compacto se e s´ o se cada Xi é compacto. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Se X é compacto, então Xi = πi (X) é compacto para cada i ∈ I, pela Proposi¸c˜ ao 21.8. (⇐) Suponhamos que cada Xi seja compacto, e seja (xλ )λ∈Λ uma rede universal em X. Pelo Exerc´ıcio 13.F (πi (xλ ))λ∈Λ é uma rede universal em Xi , para cada i ∈ I. Pelo Teorema 21.6, a rede (πi (xλ∈Λ )λ∈Λ converge a um ponto xi ∈ Xi para cada i ∈ I. Seja x = (xi )i∈I ∈ X. Então (xλ )λ∈Λ converge a x. Pelo Teorema 21.6 X é compacto. 21.11. Corol´ ario. O produto [0, 1]I é compacto para cada conjunto n˜ ao vazio I. 21.12. Corol´ ario. Um conjunto K ⊂ Rn é compacto se e s´ o se K é fechado e limitado. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Suponhamos K compacto. Como Rn é Hausdorff, K n é fechado em R , pela Proposi¸cão 21.7. Por outro lado K ⊂ Rn =

∞ [

B(0; j).

j=1

Como K é compacto, existe k ∈ N tal que K⊂

k [

B(0; j) = B(0; k).

j=1

72

Logo K é limitado. (⇐) Suponhamos K fechado e limitado. Sendo K limitado, existe k ∈ N tal que K ⊂ B(0; k) ⊂ [−k, k]n . Sendo K fechado em Rn , segue que K é fechado em [−k, k]n . Pelo Corolário 21.11 [−k, k]n é compacto. Pela Proposi¸cão 21.7 K é compacto. 21.13. Teorema. Cada espa¸co de Hausdorff compacto é um espa¸co T4 . Demonstra¸ c˜ ao. Sabemos que cada espa¸co de Lindel¨ of regular é normal. Como cada espa¸co compacto é claramente Lindelöf, basta provar que cada espa¸co de Hausdorff compacto é regular. Seja X um espa¸co de Hausdorff compacto. Seja A um fechado de X, e seja b∈ / A. Para cada a ∈ A sejam S Ua e Va dois abertos disjuntos de X tais que a ∈ Ua e b ∈ Va . Como A ⊂ a∈A Ua e A é compacto, existem a1 , ..., an ∈ A tais que n [ A⊂ Uaj . j=1

Sejam U=

n [

Uaj ,

V =

j=1

n \

Vaj .

j=1

Ent˜ ao U e V s˜ ao abertos disjuntos em X, A ⊂ U e b ∈ V . 21.14. Corol´ ario. O produto [0, 1]I é um espa¸co T4 para cada conjunto n˜ ao vazio I. Agora podemos complementar o Teorema 19.11 da maneira seguinte. 21.15. Teorema. Para um espa¸co topol´ ogico X as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) X é um espa¸co de Tychonoff. (b) X é homeomorfo a um subespa¸co do produto [0, 1]I , para algum I. (c) X é homeomorfo a um subespa¸co de um espa¸co de Hausdorff compacto. (d) X é homeomorfo a um subespa¸co de um espa¸co T4 . Demonstra¸ c˜ ao. A implica¸cão (a) ⇒ (b) segue do Teorema 19.11. A implica¸c˜ ao (b) ⇒ (c) segue do Corolário 21.11. A implica¸cão (c) ⇒ (d) segue do Teorema 21.13. E a implica¸cão (d) ⇒ (a) segue do Corolário 19.7. Exerc´ıcios 21.A. Seja X um espa¸co topológico, e seja K ⊂ X. Prove que K é compacto S se e s´ o se, dada uma fam´ılia {Ui : i ∈ I} de abertosSde X tal que K ⊂ {Ui : i ∈ I}, existe uma fam´ılia finita J ⊂ I tal que K ⊂ {Ui : i ∈ J}.

73

21.B. Prove que R n˜ ao é compacto. 21.C. Prove que cada subconjunto finito de um espa¸co topológico qualquer é compacto. 21.D. Prove que um espa¸co topológico discreto X é compacto se e só se X é finito. 21.E. Usando a Proposi¸cão 21.8 prove que o c´ırculo unitário S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} é compacto. 21.F. Seja X um espa¸co compacto, e seja f : X → R uma fun¸cão cont´ınua. Prove que existem a, b ∈ X tais que f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) para todo x ∈ X. 21.G. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e seja f : X → Y . (a) Se Y é Hausdorff, e f é cont´ınua, prove que o gráfico de f é fechado em X ×Y. (b) Se Y é compacto, e o gráfico de f é fechado em X × Y , prove que f é cont´ınua. 21.H. Seja X um espa¸co de Hausdorff. (a) Seja K um subconjunto compacto de X, e seja b ∈ / K. Prove que existem abertos disjuntos U e V de X tais que K ⊂ U e b ∈ V . (b) Sejam K e L dois subconjuntos compactos disjuntos de X. Prove que existem abertos disjuntos U e V de X tais que K ⊂ U e L ⊂ V . 21.I. Seja X um espa¸co de Hausdorff, seja K um subconjunto compacto de X, e sejam U1 e U2 dois abertos de X tais que K ⊂ U1 ∪ U2 . Prove que existem dois subconjuntos compactos K1 e K2 de X tais que K = K1 ∪ K2 , K1 ⊂ U1 e K2 ⊂ U2 . Sugest˜ ao: Primeiro prove que existem abertos disjuntos V1 e V2 de X tais que K \ U1 ⊂ V1 e K \ U2 ⊂ V2 . A seguir defina K1 = K \ V1 e K2 = K \ V2 . 21.J. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, sejam K e L subconjuntos compactos de X e Y , respectivamente, e seja W um aberto de X × Y tal que K × L ⊂ W . Prove que existem abertos U ⊂ X e V ⊂ Y tais que K ⊂ U , L ⊂ V e U × V ⊂ W. 21.K. Sejam X, Y e Z espa¸cos topológicos, e seja f : X × Y → Z uma aplica¸c˜ ao cont´ınua. Sejam K e L subconjuntos compactos de X e Y , respectivamente, e seja W um aberto de Z tal que f (K × L) ⊂ W . Prove que existem abertos U ⊂ X e V ⊂ Y tais que K ⊂ U , L ⊂ V e f (U × V ) ⊂ W . 21.L. Seja X um espa¸co compacto. (a) Prove que a fun¸c˜ ao d(f, g) = sup{|f (x) − g(x)| : x ∈ X}

74

é uma métrica em C(X). (b) Prove que uma seq¨ uência (fn ) converge a f no espa¸co métrico (C(X), d) se e s´ o se (fn ) converge a f uniformemente sobre X. Por essa razão a topologia τd definida pela métrica d é chamada de topologia da convergência uniforme. 21.M. Seja X um espa¸co topológico qualquer. Dados f ∈ C(X), A ⊂ X finito e > 0, seja V (f, A, ) = {g ∈ C(X) : |g(x) − f (x)| < para todo x ∈ A}. (a) Prove que os conjuntos V (f, A, ), com A ⊂ X finito e > 0, formam uma base de vizinhan¸cas de f para uma topologia em C(X), que denotaremos por τp . (b) Prove que uma seq¨ uência (fn ) converge a f em (C(X), τp ) se e só se fn (x) → f (x) para cada x ∈ X. Por essa razão a topologia τp é chamada de topologia da convergência pontual. (c) Prove que a inclus˜ ao (C(X), τp ) ,→ RX é um mergulho. 21.N. Seja X um espa¸co topológico qualquer, e seja F ⊂ C(X). Diremos que F é equicont´ınua num ponto a ∈ X se dado > 0, existe U ∈ Ua tal que |f (x) − f (a)| < para todo f ∈ F e x ∈ U . Diremos que F é equicont´ınua se for equicont´ınua em cada ponto de X. τp (a) Se F é equicont´ınua, prove que F é equicont´ınua também. (b) Se F é equicont´ınua e X é compacto, prove que as topologias τp e τd coincidem em F. 21.O. Seja X um espa¸co topológico qualquer, e seja F ⊂ C(X). Diremos que F é pontualmente limitada se sup{|f (a)| : f ∈ F} < ∞ para cada a ∈ X. Diremos que F é localmente limitada se para cada a ∈ X existe U ∈ Ua tal que sup{|f (x)| : f ∈ F, x ∈ U } < ∞. τp (a) Se F é pontualmente limitada, prove que F é pontualmente limitada também. (b) Se F é equicont´ınua e pontualmente limitada, prove que F é localmente limitada. 21.P. Seja X um espa¸co compacto, e seja F ⊂ C(X) equicont´ınua e pontualmente limitada. Prove que F é um subconjunto relativamente compacto de (C(X), τd ). Este é o teorema de Arzela-Ascoli.

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22. Espa¸ cos localmente compactos 22.1. Defini¸ c˜ ao. Diremos que um espa¸co topológico X é localmente compacto se cada x ∈ X admite uma base de vizinhan¸cas compactas. 22.2. Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co de Hausdorff X é localmente compacto se e s´ o se cada x ∈ X tem pelo menos uma vizinhan¸ca compacta. Demonstra¸ c˜ ao. Para provar a implica¸cão não trivial, seja x ∈ X, e seja U0 uma vizinhan¸ca compacta de x. Seja U ∈ Ux , e seja V = (U0 ∩ U )◦ . Então V é uma vizinhan¸ca aberta de x em X e V ⊂ U0 . Logo V é uma vizinhan¸ca aberta de x em U0 . Notemos que U0 é um espa¸co de Hausdorff compacto, e portanto regular. Logo existe um subconjunto aberto W de U0 tal que x∈W ⊂W

U0

⊂ V ⊂ U.

Temos que W = U0 ∩ W1 , sendo W1 aberto em X. Segue que W = V ∩ W = V ∩ U0 ∩ W1 = V ∩ W1 . Logo W é aberto em X. Segue que W U0 X e W ⊂ U.

U0

é uma vizinhan¸ca compacta de x em

22.3. Exemplos. (a) Cada espa¸co de Hausdorff compacto é localmente compacto. (b) Rn é um espa¸co de Hausdorff localmente compacto que no é compacto. (c) Seja X um conjunto infinito, com a topologia discreta. X é um espa¸co de Hausdorff localmente compacto que não é compacto. Segue da defini¸c˜ ao que cada espa¸co de Hausdorff localmente compacto é regular. Mas podemos provar mais. 22.4. Teorema. Cada espa¸co de Hausdorff localmente compacto é um espa¸co de Tychonoff. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co de Hausdorff localmente compacto. Provaremos que X é completamente regular. Seja A um fechado de X, e seja b ∈ X \ A. Por hip´ otese X \ A contém uma vizinhan¸ca compacta U de b. Seja V = U ◦ . Temos que U é um espa¸co de Hausdorff compacto, e portanto completamente regular. Como V é aberto em U , e b ∈ V , existe uma fun¸cão cont´ınua φ : U → [0, 1] tal que φ(U \ V ) ⊂ {0} e φ(b) = 1. Notemos que X = U ∪ (X \ V ). Seja f : X → [0, 1] definida por f = φ em U e f = 0 em X \ V . A fun¸c˜ ao f est´ a bem definida, pois φ = 0 em U ∩ (X \ V ) = U \ V . A fun¸c˜ ao f é cont´ınua, pois U e X \ V são fechados. E como A ⊂ X \ V , segue que f (A) ⊂ {0} e f (b) = 1. Nos exerc´ıcios veremos que a interse¸cão de um subespa¸co aberto e um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hausdorff localmente compacto é um subespa¸co localmente compacto. Reciprocamente temos o resultado seguinte.

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22.5. Proposi¸ c˜ ao. Seja C um subespa¸co localmente compacto de um espa¸co de Hausdorff X. Ent˜ ao existem subespa¸cos A e B de X, com A aberto e B fechado, tais que C = A ∩ B. A demonstra¸c˜ ao est´ a baseada no lema seguinte. 22.6. Lema. Seja C um subespa¸co localmente compacto de um espa¸co de X Hausdorff X. Ent˜ ao C é aberto em C . Demonstra¸ c˜ ao. Seja c ∈ C, e seja U uma vizinhan¸ca aberta de c em C tal C que U é compacto. Seja V um aberto de X tal que U = C ∩ V . Então C ∩C ∩V

X

=C ∩U

X

C

=U .

Esse conjunto é compacto, e portanto fechado em X. Esse conjunto contém X U = C ∩ V , e portanto C ∩ V . Logo C ∩V

X

⊂C ∩C ∩V

X

⊂ C.

Afirmamos que C

X

∩ V ⊂ C.

X

De fato seja x ∈ C ∩ V . Logo existe uma rede (xλ )λ∈Λ ⊂ C que converge a x. Como x ∈ V , existe λ0 ∈ Λ tal que xλ ∈ V para todo λ ≥ λ0 . Logo xλ ∈ C ∩ V X para todo λ ≥ λ0 , e dai x ∈ C ∩ V ⊂ C. X X X Como C ∩ V é aberto em C , segue que C é uma vizinhan¸ca de c em C . X Logo C é aberto em C . X

Demonstra¸ c˜ ao da Proposi¸ c˜ ao 22.5. Pelo Lema 22.6 C é aberto em C . X X Logo existe um aberto A de X tal que C = A∩C . Assim basta tomar B = C para completar a demonstra¸cão. No Exerc´ıcio 22.F veremos que a imagem cont´ınua e aberta de um espa¸co localmente compacto é um espa¸co localmente compacto. 22.7. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈ I} uma ao vazia de espa¸cos Q fam´ılia n˜ topol´ ogicos n˜ ao vazios. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é localmente compacto se e s´ o se se verificam as seguintes condi¸c˜ oes: (a) Cada Xi é localmente compacto. (b) Existe um conjunto finito J ⊂ I tal que Xi é compacto para cada i ∈ I \J. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Suponhamos que X seja localmente compacto. Então Xi = πi (X) é localmente compacto para cada i ∈ I, pelo Exerc´ıcio 22.F. Isto prova (a). Para provar (b) seja x ∈ X e seja U uma vizinhan¸ca compacta de x em X. Ent˜ ao U contém uma vizinhan¸ca básica V , ou seja Y Y U ⊃V = Vj × Xj , j∈J

77

i∈I\J

sendo J ⊂ I, J finito, e sendo Vj uma vizinhan¸ca aberta de πj (x) em Xj , para cada j ∈ J. Segue que πi (U ) = Xi para todo i ∈ I \ J, e (b) segue. (⇐) Suponhamos que cada Xi seja localmente compacto, e que Xi seja compacto para cada i ∈ I \J, com J finito. Seja x ∈ X, e seja U uma vizinhan¸ca b´ asica de x em X. Sem perda de generalidade podemos supor que Y Y U= Uj × Xi , j∈J1

i∈I\J1

sendo J ⊂ J1 ⊂ I, J1 finito, e sendo Uj uma vizinhan¸ca aberta de πj (x) em Xj para cada j ∈ J1 . Para cada j ∈ J1 seja Vj uma vizinhan¸ca compacta de πj (x) em Xj , com Vj ⊂ Uj , e seja Y Y V = Vj × Xi . j∈J1

i∈I\J1

Ent˜ ao V é uma vizinhan¸ca compacta de x em X, contida em U . 22.8. Corol´ ario. RI é localmente compacto se e s´ o se I é finito. Exerc´ıcios 22.A. Prove que o conjunto Q dos n´ umeros racionais, com a topologia induzida por R, n˜ ao é localmente compacto. 22.B. Prove que o conjunto R \ Q dos n´ umeros irracionais, com a topologia induzida por R, n˜ ao é localmente compacto. 22.C. Seja X um espa¸co localmente compacto. Prove que cada subespa¸co aberto de X é localmente compacto. 22.D. Seja X um espa¸co localmente compacto. Prove que cada subespa¸co fechado de X é localmente compacto. 22.E. Seja X um espa¸co de Hausdorff. Prove que a interse¸cão de dois subespa¸cos localmente compactos de X é localmente compacto. 22.F. Prove que a imagem cont´ınua e aberta de um espa¸co localmente compacto é um espa¸co localmente compacto. 22.G. Seja X um espa¸co localmente compacto, seja Y um espa¸co de Hausdorff, e seja f : X → Y uma fun¸cão sobrejetiva, cont´ınua e aberta. Prove que, dado um compacto L ⊂ Y , existe um compacto K ⊂ X tal que f (K) = L. 22.H. Seja X um espa¸co localmente compacto. Prove que um conjunto A ⊂ X é aberto em X se e só se A ∩ K é aberto em K para cada compacto K ⊂ X.

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23. A compactifica¸ c˜ ao de Alexandroff 23.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co de Hausdorff. Chamaremos de compactifica¸c˜ ao de X um par (Y, φ) tal que: (a) Y é um espa¸co de Hausdorff compacto; (b) φ é um homeomorfismo entre X e um subespa¸co denso de Y . 23.2. Teorema. Seja X um espa¸co de Hausdorff localmente compacto, que n˜ ao é compacto. Seja p ∈ / X, e seja X ∗ = X ∪ {p}. Para cada x ∈ X seja Bx (X) uma base de vizinhan¸cas abertas de x em X, e seja Bx (X ∗ ) = Bx (X). Seja Bp (X ∗ ) = {{p} ∪ (X \ K) : K é compacto em X}. Ent˜ ao: (a) As famílias Bx (X ∗ ) (x ∈ X) e Bp (X ∗ ) definem uma topologia em X ∗ que induz em X a sua topologia original. (b) X ∗ é um espa¸co de Hausdorff compacto. (c) X é um subespa¸co aberto denso de X ∗ . Demonstra¸ c˜ ao. (a) Para provar (a) devemos verificar as condi¸cões da Proposi¸c˜ ao 5.7: (i) x ∈ U para cada U ∈ Bx (X ∗ ). (ii) Dados U, V ∈ Bx (X ∗ ), existe W ∈ Bx (X ∗ ) tal que W ⊂ U ∩ V . (iii) Dado U ∈ Bx (X ∗ ), existe V ∈ Bx (X ∗ ), V ⊂ U , tal que para cada y ∈ V existe W ∈ By (X ∗ ) tal que W ⊂ U . Se x ∈ X, ent˜ ao Bx (X) satisfaz (i), (ii) e (iii), pela Proposi¸cão 5.6. Logo Bx (X ∗ ) satisfaz (i), (ii) e (iii). Verifiquemos que Bp (X ∗ ) satisfaz (i), (ii) e (iii). (i) Se U = {p} ∪ (X \ K), então p ∈ U . (ii) Se U = {p}∪(X\K), e V = {p}∪(X\L), então U ∩V = {p}∪(X\(K∪L)). (iii) Seja U = {p} ∪ (X \ K), e seja V = U . Se y = p, seja W = U . Então W ∈ Bp (X ∗ ) e W ⊂ U . Se y ∈ V , com y 6= p, então y ∈ X \ K. Como X \ K é aberto em X, existe W ∈ By (X) = By (X ∗ ) tal que y ∈ W ⊂ X \ K ⊂ U . Se U é aberto em X, é claro que U é aberto em X ∗ . Em particular X é aberto em X ∗ . E se V é aberto em X ∗ , é claro que X ∩ V é aberto em X. (b) Provemos que X ∗ é Hausdorff. Dados x, y ∈ X, com x 6= y, existem U e V abertos em X, e portanto em X ∗ , tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅. Dado x ∈ X, seja U uma vizinhan¸ca compacta de x em X, e seja V = {p} ∪ (X \ U ). Ent˜ ao U ∈ Ux (X ∗ ), V ∈ Up (X ∗ ) e U ∩ V = ∅. Logo X ∗ é Hausdorff. Para provar que X ∗ é compacto, seja U uma cobertura aberta de X ∗ . Seja U0 ∈ U tal que p ∈ U0 . Então existe um compacto K ⊂ X tal que {p} ∪ (X \ K) ⊂ U0 . K é compacto em X, e portanto em X ∗ . Logo existem U1 , ..., Un ∈ U tais que K ⊂ U1 ∪ ... ∪ Un . 79

Segue que X ∗ = U0 ∪ U1 ∪ ... ∪ Un . Logo X ∗ é compacto. (c) J´ a sabemos que X é aberto em X ∗ . Para provar que X é denso em X ∗ , seja U = {p} ∪ (X \ K) ∈ Bp (X ∗ ). Como X não é compacto, X \ K 6= ∅. Logo U ∩ X ⊃ X \ K 6= ∅. Logo X ∗ é compacto. 23.3. Defini¸ c˜ ao. Seja X é um espa¸co de Hausdorff localmente compacto que n˜ ao é compacto. Ent˜ ao o espa¸co X ∗ construido no teorema anterior é chamado de compactifica¸c˜ ao de Alexandroff de X. Exerc´ıcios 23.A. Seja X um espa¸co de Hausdorff. Suponhamos que exista uma compactifica¸c˜ ao (Y, φ) de X tal que Y \ φ(X) contém um u ńico ponto. Prove que X é localmente compacto, mas não é compacto. 23.B. (a) Prove que o intervalo (0, 1] é um espa¸co de Hausdorff localmente compacto, que n˜ ao é compacto. (b) Prove que o intervalo [0, 1] é a compactifica¸cão de Alexandorff do intervalo (0, 1]. 23.C. (a) Prove que N, com a topologia discreta, é um espa¸co de Hausdorff localmente compacto, que não é compacto. (b) Prove que a compactifica¸cão de Alexandroff de N é homeomorfa ao subespa¸co S = {1/n : n ∈ N} ∪ {0} de R. 23.D. Seja n

S = {(x1 , ..., xn+1 ) ∈ R

n+1

:

n+1 X

x2j = 1},

j=1

e sejam C = (0, ..., 0, 1/2) e N = (0, ..., 0, 1). (a) Prove que a proje¸c˜ ao estereográfica 1 n x1 xn (x1 , ..., xn+1 ) ∈ (C + S ) \ {N } → , ..., ∈ Rn 2 1 − xn+1 1 − xn+1 é um homeomorfismo. (b) Conclua que a compactifica¸cão de Alexandroff de Rn é homeomorfa a Sn.

80

24. A compactifica¸ c˜ ao de Stone-Cech Se um espa¸co topol´ ogico X admite uma compactifica¸cão, segue do Teorema 21.15 que X é um espa¸co de Tychonoff. A seguir veremos que vale a rec´ıproca. Seja X um espa¸co de Tychonoff. Para cada f ∈ Cb (X) seja If um intervalo fechado e limitado que contém f (X). Segue da demonstra¸cão do Teorema 19.11 que a aplica¸cão Y X : x ∈ X → (f (x))f ∈Cb (X) ∈ If f ∈Cb (X)

é um mergulho. 24.1. Defini¸ c˜ ao. Dado um espa¸co de Tychonoff X, denotaremos por βX Q ´ claro que o par a aderência do conjunto X (X) no produto f ∈Cb (X) If . E (βX, X ) é uma compactifica¸cão de X. Diremos que βX é a compactifica¸c˜ ao de Stone-Cech de X. A compactifica¸c˜ ao de Stone-Cech tem a seguinte propriedade: 24.2. Teorema. Seja X um espa¸co de Tychonoff, e seja Y um espa¸co de Hausdorff compacto. Ent˜ ao, para cada fun¸c˜ ao cont´ınua h : X → Y , existe uma ˜ : βX → Y tal que h = h ˜ ◦ X , ou seja o seguinte diagrama é fun¸c˜ ao cont´ınua h comutativo: h X −→ Y ˜ %h

X & βX

Demonstra¸ c˜ ao. Como Y é um espa¸co de Tychonoff, a aplica¸cão Y Y : y ∈ Y → (g(y))g∈Cb (Y ) ∈ Ig g∈Cb (Y )

é um mergulho. Consideremos a aplica¸cão Y H : (ξf )f ∈Cb (X) ∈ If → (ξg◦h )g∈Cb (Y ) ∈ f ∈Cb (X)

Y g∈Cb (Y )

´ f´ E acil ver que πg ◦ H = πg◦h para todo g ∈ Cb (Y ), ´ fácil ver que e portanto H é cont´ınua. E H(X (x)) = Y (h(x)) para todo x ∈ X, ou seja o seguinte diagrama é comutativo:

81

Ig .

h

−→

X X ↓ Y

If

H

−→

f ∈Cb (X)

Y ↓ Y Y Ig g∈Cb (Y )

Em particular H(X (X)) = Y (h(X)) ⊂ Y (Y ). Como βX = X (X) e Y é compacto, segue que H(βX) = H(X (X)) ⊂ H(X (X)) ⊂ Y (Y ) = βY = Y (Y ). Assim temos o seguinte diagrama comutativo: h

−→

X X ↓ βX

Y ↓ Y

H|βX

−→

βY = Y (Y )

Se definimos ˜ = −1 ◦ (H|βX) : βX → Y, h Y ˜ ◦ X = h. ent˜ ao é claro que h Exerc´ıcios 24.A. Seja X um espa¸co de Tychonoff. Prove que, para cada f ∈ Cb (X), existe f˜ ∈ Cb (βX) tal que f = f˜ ◦ X . 24.B. Considerando a fun¸cão f (t) = sen(1/t) (0 < t ≤ 1), prove que o intervalo [0, 1] n˜ ao é a compactifica¸cão de Stone-Cech do intervalo (0, 1]. 24.C. Seja `∞ o conjunto de todas as seq¨ uências (xn ) em R que são limitadas. Dadas x = (xn ) e y = (yn ) em `∞ , seja d(x, y) = supn |xn − yn |. (a) Prove que `∞ é um espa¸co vetorial sobre R, e que d é uma métrica em ∞ ` (b) Prove que existe um isomorfismo entre os espa¸cos vetoriais `∞ e C(βN), que é também uma isometria, ou seja d(T (x), T (y)) = d(x, y) para todo x, y ∈ `∞ . 24.D. Seja X um espa¸co de Tychonoff, e seja (Y, φ) uma compactifica¸cão de X. (a) Se φ(X) é aberto em Y , prove que X é localmente compacto. (b) Se x ∈ X, e se U é uma vizinhan¸ca compacta de x em X, prove que φ(U ) é uma vizinhan¸ca de φ(x) em Y . (c) Prove que φ(X) é aberto em Y se e só se X é localmente compacto.

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24.E. Identifiquemos N com sua imagem canônica em βN. (a) Prove que N é aberto em βN. (b) Prove que cada n ∈ N é um ponto isolado de βN, ou seja {n} é aberto em βN. (c) Prove que os u ńicos pontos isolados de βN são os pontos de N. 24.F. Seja X um espa¸co de Tychonoff, e seja (Y, φ) uma compactifica¸cão de X tal que, dados um espa¸co de Hausdorff compacto Z, e uma fun¸cão cont´ınua ˜ : Y → Z tal que h ˜ ◦ φ = h. Prove que h : X → Z, existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua h ˜ ˜ existe um homeomorfismo φ : βX → Y tal que φ ◦ X = φ. Isto nos diz que a compactifica¸c˜ ao de Stone-Cech está caracterizada pela propriedade de extensão dada pelo Teorema 24.2.

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25. Espa¸ cos metriz´ aveis Lembremos que um espa¸co topológico X é metrizável se existe uma métrica ´ claro que cada subespa¸co de um espa¸co em X que define a topologia de X. E metriz´ avel é metriz´ avel. 25.1. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈ I} uma ao vazia de espa¸cos Q fam´ılia n˜ topol´ ogicos n˜ ao triviais. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é metriz´ avel se e s´ o se cada Xi é metriz´ avel e I é enumer´ avel. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Suponhamos que X seja metrizável. Como cada Xi é homeomorfo a um subespa¸co de X, segue que cada Xi é metrizável. Como X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, I é enumerável, pela Proposi¸cão 20.5. (⇐) Suponhamos que cada Xi seja metrizável, e que I seja enumerável. Sem perda de generalidade podemos supor que I = N. Para cada n ∈ N seja dn uma métrica em Xn que define a topologia de Xn . Pelo Exerc´ıcio 25.B ∞ podemosQ supor que cada dn é limitada por 1. Dados x = (xn )∞ n=1 e y = (yn )n=1 ∞ em X = n=1 Xn , definamos d(x, y) =

∞ X

2−n dn (xn , yn ).

n=1

´ claro que d é uma métrica em X. Provemos que d define a topologia de X. E Por um lado, dado > 0, seja N ∈ N tal que ∞ X

2−n <

n=N +1

, 2

e seja ∞ Y V = Bdn (xn ; )× Xn . 2N n=1 N Y

n=N +1

Ent˜ ao V é uma vizinhan¸ca de x em X e é fácil ver que V ⊂ Bd (x; ). Por outro lado, seja U uma vizinhan¸ca aberta básica de x em X, ou seja U=

N Y

Bdn (xn ; δn ) ×

n=1

∞ Y

Xn .

n=N +1

Se definimos δ = min{2−n δn : n = 1, ..., N }, ent˜ ao é f´ acil verificar que Bd (x; ) ⊂ U .

84

25.2. Teorema de metrizabilidade de Urysohn. Para um espa¸co T1 as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: (a) X é metriz´ avel e separ´ avel. (b) X é regular e satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. (c) X é homeomorfo a um subespa¸co do produto [0, 1]N . Demonstra¸ c˜ ao. As implica¸cões (a) ⇒ (b) e (c) ⇒ (a) são imediatas. A primeira segue da Proposi¸c˜ ao 20.4, e a segunda segue das Proposi¸cões 25.1 e 20.7. Para provar que (b) ⇒ (c), seja B uma base enumerável para a topologia de X, e seja C = {(U, V ) ∈ B × B : U ⊂ V }. Pela Proposi¸c˜ ao 20.3 X é um espa¸co de Lindelöf. Pelo Teorema 20.8 X é um espa¸co normal. Dai para cada (U, V ) ∈ C existe uma fun¸cão cont´ınua fU V : X → [0, 1] tal que fU V (U ) ⊂ {0} e fU V (X \ V ) ⊂ {1}. Seja F = {fU V : (U, V ) ∈ C}. Afirmamos que F separa pontos de fechados. De fato seja A um fechado em X, e seja b ∈ X \ A. Seja V ∈ B tal que b ∈ V ⊂ X \ A. Como X é regular, existe um aberto U1 em X tal que b ∈ U1 ⊂ U1 ⊂ V ⊂ X \ A. Seja U ∈ B tal que b ∈ U ⊂ U1 . Segue que b∈U ⊂U ⊂V ⊂X \A e portanto (U, V ) ∈ C. Segue que fU V (b) ∈ fU V (U ) ⊂ {0} e fU V (A) ⊂ fU V (X \ V ) ⊂ {1}. Pelo Corol´ ario 19.15 a avalia¸cão : x ∈ X → (f (x))f ∈F ∈ [0, 1]F é um mergulho. Como F é enumerável, temos provado (c). 25.3. Corol´ ario. A imagem cont´ınua de um espa¸co métrico compacto em um espa¸co de Hausdorff é metriz´ avel. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co métrico compacto, seja Y um espa¸co de Hausdorff, e seja f : X → Y cont´ınua e sobrejetiva. Então Y é compacto e portanto regular. Pelo Teorema 25.2, para provar que Y é metrizável, basta provar que Y satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

85

Seja B uma base enumerável para a topologia de X. Seja C a fam´ılia das uni˜ oes finitas de membros de B, e seja D = {Y \ f (X \ U )}. D é uma fam´ılia enumer´ avel de abertos de Y . Provaremos que D é uma base para a topologia de Y . Seja V aberto em Y , e seja y ∈ V . Então f −1 (y) ⊂ f −1 (V ), f −1 (y) é compacto, e f −1 (V ) é aberto em X. Usando a compacidade de f −1 (y) podemos achar U1 , ..., Un ∈ B tais que f −1 (y) ⊂ U1 ∪ ... ∪ Un ⊂ f −1 (V ). Seja U = U1 ∪ ... ∪ Un . Então U ∈ C e é fácil verificar que y ∈ Y \ f (X \ U ) ⊂ V. Logo D é uma base enumer´ avel para a topologia de Y . O teorema de Urysohn caracteriza os espa¸cos topológicos que são metrizáveis e separ´ aveis. H´ a outro teorema, mais geral, que caracteriza os espa¸cos topológicos que s˜ ao apenas metriz´ aveis. Não veremos esse teorema aqui. Exerc´ıcios 25.A. Prove que as seguintes fun¸cões são crescentes: (a) f (t) = t/(1 + t)

(t ≥ 0).

(b) g(t) = t/(1 − t)

(0 ≤ t < 1).

25.B. Seja d uma métrica em um conjunto X, e seja d1 : X × X → R definida por d(x, y) . d1 (x, y) = 1 + d(x, y) (a) Prove que d1 é uma métrica em X. (b) Prove que as métricas d e d1 definem os mesmos abertos em X. Sugest˜ ao: Use o exerc´ıcio anterior. 25.C. Seja X um espa¸co métrico localmente compacto, e seja X ∗ a compactifica¸c˜ ao de Alexandroff de X. Prove que as seguintes condi¸cões são equivalentes: (a) X é separ´ S∞ avel. (b) X = n=1 Kn , com Kn compacto e Kn ⊂ (Kn+1 )◦ para cada n. avel. (c) X ∗ é metriz´

86

26. Espa¸ cos conexos 26.1. Defini¸ c˜ ao. Um espa¸co topológico X é dito desconexo se existem dois abertos disjuntos n˜ ao vazios A e B em X tais que X = A ∪ B. Caso contrário X é dito conexo. Um conjunto S ⊂ X é dito desconexo se S, com a topologia induzida por X, é um espa¸co desconexo. Caso contrário S é dito conexo 26.2. Exemplos. (a) Cada espa¸co topológico discreto, com pelo menos dois pontos, é desconexo. (b) O espa¸co de Sierpinski é conexo. 26.3. Proposi¸ c˜ ao. Cada intervalo fechado e limitado em R é conexo. Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que [a, b] seja desconexo, sendo a < b. Então [a, b] = A ∪ B, sendo A e B dois abertos disjuntos não vazios de [a, b]. Sem perda de generalidade podemos supor que b ∈ B. Como B é aberto, segue que (b − , b] ⊂ B para algum > 0. Seja c = supA. Então c < b e (c, b] ⊂ B. Se c ∈ A, ent˜ ao, como A é aberto, existiria > 0 tal que [c, c+) ⊂ A, absurdo, pois c = supA. Logo c ∈ B. Se c > a, então, como B é aberto, existiria > 0 tal que (c − , c] ⊂ B, absurdo, pois c = supA. Logo c = a, e portanto [a, b] = [c, b] ⊂ B, absurdo de novo. Logo [a, b] é conexo. Deixamos como exerc´ıcio as demonstra¸cões dos dois resultados seguintes. 26.4. Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co topol´ ogico X é conexo se e s´ o se X e ∅ s˜ ao os u ńicos subconjuntos de X que s˜ ao abertos e fechados. 26.5. Proposi¸ c˜ ao. A imagem cont´ınua de um espa¸co conexo é conexo. 26.6. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico, e seja S um subconjunto conexo de X. Ent˜ ao S também é conexo. Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que S = A ∪ B, sendo A e B dois subconjuntos abertos não vazios de S. Segue que S = (S ∩ A) ∪ (S ∩ B), sendo S ∩ A e S ∩ B dois subconjuntos abertos não vazios de S. Isto é absurdo, pois S é conexo. 26.7. Corol´ ario. Seja X um espa¸co topol´ ogico, seja S um subconjunto conexo de X, e seja S ⊂ T ⊂ S. Ent˜ ao T é conexo. Demonstra¸ c˜ ao. Basta aplicar a proposi¸cão anterior com X = T . 26.8. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico. Diremos que dois conjuntos A, B ⊂ X s˜ ao mutuamente separados se A ∩ B = A ∩ B = ∅.

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26.9. Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co topol´ ogico X é desconexo se e s´ o se existem dois conjuntos mutuamente separados n˜ ao vazios A e B tais que X = A ∪ B. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Se X é desconexo, então existem dois abertos disjuntos n˜ ao vazios A e B tais que X = A ∪ B. Como A e B são abertos e fechados, é claro que A e B s˜ ao mutuamente separados. (⇐) Suponhamos que X = A ∪ B, sendo A e B dois conjuntos mutuamente separados n˜ ao vazios. Como X = A ∪ B e A ∩ B = ∅, vemos que B = X \ A é aberto. De maneira análoga segue que A é aberto. Logo X é desconexo. 26.10. Corol´ ario. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Um subconjunto S ⊂ X é desconexo se e s´ o se existem dois conjuntos n˜ ao vazios A e B, mutuamente separados em X, tais que S = A ∪ B. Demonstra¸ c˜ ao. (⇐) Suponhamos que S = A ∪ B, sendo A e B dois conjuntos n˜ ao vazios, mutuamente separados em X. Então é claro que A e B s˜ ao mutuamente separados em S. (⇒) Suponhamos que S = A ∪ B, sendo A e B dois conjuntos não vazios, mutuamente separados em S. Então X

X

S

A ∩ B = A ∩ S ∩ B = A ∩ B = ∅. De maneira similar podemos provar que A ∩ B mente separados em X.

X

= ∅. Logo A e B são mutua-

26.11. Corol´ ario. Seja X um espa¸co topol´ ogico, sejam A e B dois conjuntos mutuamente separados, e seja S um subconjunto conexo de A ∪ B. Ent˜ ao S ⊂ A ou S ⊂ B. ´ claro que Demonstra¸ c˜ ao. E S = (S ∩ A) ∪ (S ∩ B), e os conjuntos S ∩ A e S ∩ B são mutuamente separados em X. Como S é conexo, segue da proposi¸c˜ ao anterior que S ∩ A = ∅ ou S ∩ B = ∅. Logo S ⊂ B ou S ⊂ A. c˜ ao. Seja X T um espa¸co topol´ ogico. Suponhamos que X = S 26.12. Proposi¸ e conexo e i∈I Si 6= ∅. Ent˜ ao X é conexo. i∈I Si , onde cada Si ´ Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que X = A ∪ B, sendo A e B dois conjuntos mutuamente separados. T Segue do corolário anterior que Si ⊂ A ou Si ⊂ B para cada i ∈ I. Seja s ∈ i∈I Si . Se s ∈ A, então Si ⊂ A para cada i ∈ I, e portanto B = ∅. De maneira an´ aloga, se s ∈ B, então A = ∅. Logo X é conexo.

88

26.13. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Suponhamos que cada par de pontos x, y ∈ X pertence a um conjunto conexo Sxy ⊂ X. Ent˜ ao X é conexo. Demonstra¸ c˜ ao. Fixemos a ∈ X. Segue da hipótese que [ \ X= Sax e a ∈ Sax . x∈X

x∈X

Pela proposi¸c˜ ao anterior X é conexo. c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Suponhamos que X = S∞26.14. Proposi¸ S , onde cada S ´ e conexo e S ∩ S = 6 ∅ para cada n ∈ N. Ent˜ ao X n n n+1 n=1 n é conexo. Sn Demonstra¸ c˜ ao. Seja Tn = k=1 Sk para cada n ∈ N. Usando a Proposi¸cão 26.12 e indu¸cão segue que cada Tn é conexo. Como X=

∞ [

∞ \

Tn e

n=1

Tn 6= ∅,

n=1

outra aplica¸c˜ ao da Proposi¸c˜ ao 26.12 implica que X é conexo. 26.15. Exemplos. (a) R é conexo pela Proposi¸cão 26.12, pois R=

∞ [

∞ \

[−n, n] e

n=1

[−n, n] = [−1, 1].

n=1

(b) Rn é conexo pela Proposi¸cão 26.12, pois Rn é a união de todas as retas que passam pela origem. 26.16. Proposi¸ c˜ ao. Seja {Xi : i ∈ I} uma ao vazia de espa¸cos Q fam´ılia n˜ topol´ ogicos n˜ ao vazios. Ent˜ ao o produto X = i∈I Xi é conexo se e s´ o se cada Xi é conexo. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Se X é conexo, então Xi = πi (X) é conexo para cada i ∈ I. (⇐) Fixemos a ∈ X e denotemos por S o conjunto de todos os x ∈ X tais que existe um conjunto conexo Sax ⊂ X contendo a e x. Como [ \ S= Sax e a ∈ Sax , x∈S

x∈S

vemos que S é conexo., pela Proposi¸cão 26.12. Pela Proposi¸cão 26.5, para provar que X é conexo basta provar que X = S. Seja b ∈ X e seja U um aberto básico contendo b, ou seja n \ U= πi−1 (Uik ), k k=1

89

com Uik aberto em Xik para k = 1, ..., n. Seja T1 ,...,Tn definidos da maneira seguinte. Tk é o conjunto dos x = (xi )i∈I ∈ X tais que: xik ∈ Xik é arbitr´ ario; xij = bij se j < k; xij = aij se j > k; xi = ai se i 6= i1 , ...in . ´ claro que Tk é homeomorfo a Xi , que é conexo, e Tk ∩ Tk+1 6= ∅ para E k Sn k = 1, ..., n−1. Pela Proposi¸cão 26.14 T = k=1 Tk é conexo. Como a ∈ T1 ⊂ T , segue que T ⊂ S. Por outro lado S ∩ U ⊃ T ∩ U ⊃ Tn ∩ U 6= ∅. Isto prova que b ∈ S, e portanto X = S. Exerc´ıcios 26.A. Prove que um espa¸co topológico X é conexo se e só se X e ∅ são os u ńicos subconjuntos de X que são abertos e fechados. 26.B. Prove que a imagem cont´ınua de um espa¸co conexo é conexo. 26.C. Seja S um subconjunto conexo de R. Prove que, dados a < b em S, tem-se que [a, b] ⊂ S. 26.D. Prove que cada subconjunto enumerável de R, com pelo menos dois pontos, é desconexo. 26.E. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que X é conexo. 26.F. Seja f : [0, 1] → [0, 1] uma fun¸cão cont´ınua. Prove que existe x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x. . 26.G. Prove que o c´ırculo unitário S 1 é conexo. 26.H. Prove que a esfera S n = {(x1 , ..., xn+1 ) ∈ Rn+1 :

n+1 X j=1

é conexa para cada n ∈ N.

90

x2j = 1}

27. Componentes conexas 27.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico. Dado x ∈ X, denotaremos por Cx a uni˜ ao dos subconjuntos conexos de X que contém x. Então Cx é o maior subconjunto conexo de X que contém x. Diremos que Cx é a componente conexa de X que contém x. 27.2. Proposi¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Dados x, y ∈ X, tem-se que Cx = Cy ou Cx ∩ Cy = ∅. Demonstra¸ c˜ ao. Se Cx ∩ Cy 6= ∅, então Cx ∪ Cy é conexo, e portanto Cx = Cx ∪ Cy = Cy . 27.3. Proposi¸ c˜ ao. As componentes conexas de um espa¸co topol´ ogico s˜ ao sempre fechadas. Demonstra¸ c˜ ao. Como Cx é conexo, segue que Cx é conexo também. Logo Cx = Cx . 27.4. Defini¸ c˜ ao. Um espa¸co topológico X é dito localmente conexo se cada x ∈ X admite uma base de vizinhan¸cas abertas e conexas. 27.5. Exemplo. O espa¸co [0, 1) ∪ (1, 2] é localmente conexo, mas não é conexo. 27.6. Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co topol´ ogico X é localmente conexo se e s´ o se as componentes conexas de cada aberto de X s˜ ao abertas em X. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Suponhamos que X seja localmente conexo. Seja U um aberto de X, e seja C uma componente conexa de U . Por hipótese para cada x ∈ C existe um aberto conexo V tal que x ∈ V ⊂ U . Segue que x ∈ V ⊂ C, e portanto C é aberto em X. (⇐) Suponhamos que as componentes conexas de cada aberto de X sejam abertas em X. Seja x ∈ X, e seja U uma vizinhan¸ca aberta de x em X. Seja C a componente conexa de U que contém x. Como por hipótese C é aberto em X, concluimos que X é localmente conexo. 27.7. Corol´ ario. As componentes conexas de um espa¸co localmente conexo s˜ ao abertas e fechadas. 27.8. Proposi¸ c˜ ao. Cada quociente de um espa¸co localmente conexo é localmente conexo. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co localmente conexo e seja π : X → Y uma aplica¸c˜ ao quociente. Provaremos que as componentes conexas de cada aberto de Y s˜ ao abertas em Y . Seja V um aberto n˜ ao vazio em Y , e seja D uma componente conexa de V . Para provar que D é aberta em Y basta provar que π −1 (D) é aberto em X. Seja x ∈ π −1 (D), e seja Cx a componente conexa de π −1 (V ) que contém x. 91

π(Cx ) é conexo e π(x) ⊂ π(Cx ) ⊂ V . Como π(x) ∈ D, segue que π(Cx ) ⊂ D, e portanto Cx ⊂ π −1 (D). Como Cx é aberto em X, segue que π −1 (D) é aberto em X, como queriamos. Exerc´ıcios 27.A. Se X = Q, prove que Cx = {x} para cada x ∈ Q. 27.B. Seja X um espa¸co topológico discreto, com pelo menos dois pontos. (a) Prove que X é localmente conexo, mas não é conexo. (b) Prove que Cx = {x} para cada x ∈ X. 27.C. Prove que um espa¸co topológico X é localmente conexo se e só se a topologia de X admite uma base formada por conjuntos abertos e conexos. 27.D. Se um espa¸co topológico X é compacto e localmente conexo, prove que X tem apenas um n´ umero finito de componentes conexas. 27.E. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e seja f : X → Y uma aplica¸cão cont´ınua. Prove que a imagem de cada componente conexa de X está contida numa componente conexa de Y . 27.F. Se X e Y s˜ ao homeomorfos, prove que cada componente conexa de X é homeomorfa a uma componente conexa de Y .

92

28. Espa¸ cos conexos por caminhos 28.1. Defini¸ c˜ ao. Um espa¸co topológico X é dito conexo por caminhos se dados a, b ∈ X, existe uma fun¸cão cont´ınua f : [0, 1] → X tal que f (0) = a e f (1) = b. Diremos que f é um caminho em X entre a e b. 28.2. Proposi¸ c˜ ao. Cada espa¸co conexo por caminhos é conexo. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co conexo por caminhos. Suponhamos que existam dois abertos disjuntos não vazios A e B tais que X = A ∪ B. Sejam a ∈ A e b ∈ B, e seja f : [0, 1] → X um caminho em X entre a e b. Segue que [0, 1] = f −1 (A) ∪ f −1 B, e [0, 1] n˜ ao seria conexo. 28.3. Exemplos. (a) Rn é conexo por caminhos. De fato, dados a, b ∈ Rn , seja f : [0, 1] → Rn definida por f (t) = (1 − t)a + tb. (b) R2 \ E é conexo por caminhos para cada conjunto enumerável E ⊂ R2 . De fato, para cada a ∈ R2 \ E, existe uma fam´ılia não enumerável de retas em R2 \ E que passam por a. Dai, dados a, b ∈ R2 \ E, existem duas retas L1 e L2 em R2 \ E que passam por a e b, respectivamente, e que tem interse¸cão não vazia. Essa retas fornecem um caminho em R2 \ E entre a e b. (c) Se n ≥ 2, ent˜ ao Rn \ E é conexo por caminhos para cada conjunto n enumer´ avel E ⊂ R . De fato, dados a, b ∈ Rn \ E, seja S um subespa¸co vetorial de Rn de dimens˜ ao 2 que contém a e b. Segue de (b) que existe um caminho em S ∩ (Rn \ E) = S \ (S ∩ E) entre a e b. 28.4. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, seja f : [0, 1] → X um caminho entre a e b, e seja g : [0, 1] → X um caminho entre b e c. Seja f ∗ g : [0, 1] → X o caminho entre a e c definido por (f ∗ g)(t) = f (2t)

(0 ≤ t ≤

1 ), 2

1 ≤ t ≤ 1). 2 28.5. Defini¸ c˜ ao. Um espa¸co topológico X é dito localmente conexo por caminhos se cada x ∈ X admite uma base de vizinhan¸cas abertas e conexas por caminhos. (f ∗ g)(t) = g(2t − 1)

(

28.6. Proposi¸ c˜ ao. Se X é conexo e localmente conexo por caminhos, ent˜ ao X é conexo por caminhos. Demonstra¸ c˜ ao. Seja a ∈ X, e seja S o conjunto dos x ∈ X tais que existe um caminho em X entre a e x. Claramente a ∈ S. Para provar que S = X, basta provar que S é aberto e fechado. 93

Para provar que S é aberto, seja b ∈ S, e seja U uma vizinhan¸ca aberta de b que é conexa por caminhos. Seja f um caminho em X entre a e b, e seja g um caminho em X entre b e c ∈ U . Então f ∗ g é um caminho em X entre a e c, e portanto U ⊂ S. Logo S é aberto. Para provar que S é fechada, seja c ∈ S, e seja U uma vizinhan¸ca aberta de c que é conexa por caminhos. Seja b ∈ U ∩ S, seja f um caminho em X entre a e b, e seja g um caminho em X entre b e c. Então f ∗ g é um caminho em X entre a e c, e portanto c ∈ S. Logo S é fechado. Exerc´ıcios 28.A. Um conjunto S ⊂ Rn é dito convexo se (1 − t)a + tb ∈ S para todo a, b ∈ S e t ∈ [0, 1]. Prove que cada conjunto convexo em Rn é conexo por caminhos. 28.B. Prove que a imagem cont´ınua de um espa¸co conexo por caminhos é conexo por caminhos. 28.C. Seja {Xi : i ∈ I} uma fam´ Qılia não vazia de espa¸cos topológicos não vazios. Prove que o produto X = i∈I Xi é conexo por caminhos se e só se cada Xi é conexo por caminhos. 28.D. (a) Prove que S 1 é conexo por caminhos. (b) Prove que S n é conexo por caminhos para cada n ∈ N. 28.E. Prove que os espa¸cos R e Rn não são homeomorfos se n ≥ 2. 28.F. Prove que os espa¸cos [0, 1] e S 1 não são homeomorfos. 28.G. Prove que os espa¸cos S 1 e S n não são homeomorfos se n ≥ 2. 28.H. Prove que cada subconjunto aberto e conexo de Rn é conexo por caminhos. 28.I. Consideremos os conjuntos S = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1, y = sen(1/x)}, T = S ∪ {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1}. (a) Prove que S é conexo. (b) Prove que T é conexo. (c) Prove que S é conexo por caminhos. (d) Prove que T n˜ ao é conexo por caminhos. Sugest˜ ao: Para provar (d) suponha que f = (f1 , f2 ) : [0, 1] → T seja um caminho em T entre (0, 0) e (1/π, 0). Prove que f1 toma todos os valores 1/nπ, com n ∈ N. A seguir prove que, em cada vizinhan¸ca de 0 em [0, 1] f2 toma os valores 1 e −1. Conclua que f2 não é cont´ınua em 0.

94

28.J. Seja X um espa¸co topológico, e sejam f , g e h caminhos em X entre a e b, entre b e c, e entre c e d, respectivamente. (a) Prove que [(f ∗ g) ∗ h](t) = f (4t)

(0 ≤ t ≤

[(f ∗ g) ∗ h](t) = g(4t − 1)

(

[(f ∗ g) ∗ h](t) = h(2t − 1)

1 ), 4

1 1 ≤ t ≤ ), 4 2 1 ( ≤ t ≤ 1). 2

(b) Prove que [f ∗ (g ∗ h)](t) = f (2t)

(0 ≤ t ≤

[f ∗ (g ∗ h)](t) = g(4t − 2)

(

[f ∗ (g ∗ h)](t) = h(4t − 3)

95

1 ), 2

3 1 ≤ t ≤ ), 2 4 3 ( ≤ t ≤ 1). 4

29. Homotopia 29.1. Defini¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e sejam f, g ∈ C(X; Y ). Diremos que f e g s˜ ao homot´ opicas, e escreveremos f ' g, se existir uma fun¸cão cont´ınua H : X × [0, 1] → Y tal que H(x, 0) = f (x)

(x ∈ X),

H(x, 1) = g(x)

(x ∈ X).

Diremos que H é uma homotopia entre f e g, e escreveremos H : f ' g. Se definimos (x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

ft (x) = H(x, t)

vemos que H representa uma fam´ılia de fun¸cões cont´ınuas ft : X → Y (0 ≤ t ≤ 1) tais que f0 = f e f1 = g. 29.2. Exemplo. Seja X um espa¸co topológico qualquer, e seja Y um subconjunto convexo de Rn . Então qualquer par de fun¸cões f, g ∈ C(X; Y ) são homot´ opicas entre si. Basta definir H(x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x)

(x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

29.3. Proposi¸ c˜ ao. A rela¸c˜ ao f ' g é uma rela¸c˜ ao de equivalência em C(X; Y ). Demonstra¸ c˜ ao. Se f ∈ C(X; Y ), então H : f ' f , onde (x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

H(x, t) = f (x) Se H1 : f ' g, então H2 : g ' f , onde

H2 (x, t) = H1 (x, 1 − t)

(x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

Se H1 : f ' g e H2 : g ' h, então H3 : f ' h, onde (x ∈ X, 0 ≤ t ≤

H3 (t) = H1 (x, 2t)

1 ), 2

1 ≤ t ≤ 1). 2 29.4. Proposi¸ c˜ ao. Sejam X, Y , Z espa¸cos topol´ ogicos, e sejam f1 , g1 ∈ C(X; Y ) e f2 , g2 ∈ C(Y ; Z). Se f1 ' g1 e f2 ' g2 , ent˜ ao f2 ◦ f1 ' g2 ◦ g1 . H3 (t) = H2 (x, 2t − 1)

(x ∈ X,

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam H1 : f1 ' g1 ,

H2 : f2 ' g2 ,

e seja H3 : X × [0, 1] → Z definida por H3 (x, t) = H2 (H1 (x, t), t) 96

(x ∈ X, 0 ≤ t ≤ 1).

Ent˜ ao H3 (x, 0) = H2 (H1 (x, 0), 0) = H2 (f1 (x), 0) = f2 ◦ f1 (x)

(x ∈ X),

H3 (x, 1) = H2 (H1 (x, 1), 1) = H2 (g1 (x), 1) = g2 ◦ g1 (x)

(x ∈ X),

e portanto H3 : f2 ◦ f1 ' g2 ◦ g1 .

29.5. Defini¸ c˜ ao. Um espa¸co topológico X é dito contr´ atil se a fun¸cão identidade iX (x) = x é homotópica a uma fun¸cão constante c(x) = x0 . 29.6. Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co topol´ ogico X é contr´ atil se e s´ o se, para cada espa¸co topol´ ogico Y , qualquer par de fun¸c˜ oes f, g ∈ C(Y ; X) s˜ ao homot´ opicas entre si. Demonstra¸ c˜ ao. Para provar a implica¸cão não trivial, suponhamos que X seja contr´ atil, ou seja iX ' c, e sejam f, g ∈ C(Y ; X). Então, usando a proposi¸cão anterior, segue que f = iX ◦ f ' c ◦ f = c ◦ g ' i ◦ g = g. 29.7. Exemplo. Segue do Exemplo 29.2 que cada subconjunto convexo de Rn é contr´ atil. Sabemos que dois espa¸cos topológicos X e Y são homeomorfos se e só se existem f ∈ C(X; Y ) e g ∈ C(Y ; X) tais que g ◦ f = iX e f ◦ g = iY . 29.8. Defini¸ c˜ ao. Diremos que dois espa¸cos topológicos X e Y são homotopicamente equivalentes se existem f ∈ C(X; Y ) e g ∈ C(Y ; X) tais que g ◦ f ' iX e f ◦ g ' iY . Se X e Y s˜ ao homeomorfos, é claro que X e Y são homotopicamente equivalentes, mas a rec´ıproca é falsa em geral. 29.9. Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co topol´ ogico X é contr´ atil se e s´ o se X é homotopicamente equivalente a um espa¸co unit´ ario. Demonstra¸ c˜ ao. (⇒) Suponhamos que a identidade em X seja homotópica a uma fun¸c˜ ao constante c(x) = x0 . Seja Y = {x0 }, e seja j : Y ,→ X a aplica¸cão inclus˜ ao. Ent˜ ao j ◦ c = c ' iX e c ◦ j = iY . (⇐) Suponhamos que X seja homotopicamente equivalente a Y = {y0 }. Sejam f ∈ C(X; Y ) e g ∈ C(Y ; X) tais que g ◦ f ' iX e f ◦ g ' iY . Como g ◦ f é uma fun¸c˜ ao constante, vemos que X é contrátil. Na pr´ oxima se¸c˜ ao precisaremos de uma variante da no¸cão de homotopia, conhecida como homotopia relativa. 29.10. Defini¸ c˜ ao. (a) Diremos que (X, A) é um par topol´ ogico se X é um espa¸co topológico, e A ⊂ X. 97

(b) Diremos que f : (X, A) → (Y, B) é uma fun¸c˜ ao cont´ınua se f : X → Y é uma fun¸c˜ ao cont´ınua tal que f (A) ⊂ B. (c) Diremos que (X, A) e (Y, B) são homeomorfos se existem fun¸cões cont´ınuas f : (X, A) → (Y, B) e g : (Y, B) → (X, A) tais que g ◦ f = iX e f ◦ g = iY . Notemos que neste caso f : X → Y é um homeomorfismo e f (A) = B. (d) Diremos que duas fun¸cões cont´ınuas f, g : (X, A) → (Y, B) são homot´ opicas se existir uma fun¸cão cont´ınua H : X × [0, 1] → Y tal que H(x, 0) = f (x)

(x ∈ X),

H(x, 1) = g(x)

(x ∈ X),

H(x, t) = f (x) = g(x)

(x ∈ A, 0 ≤ t ≤ 1).

Neste caso diremos que H é uma homotopia entre f e g relativa a A, e escreveremos H : f ' g[A]. (e) Diremos que (X, A) e (Y, B) são homotopicamente equivalentes se existem fun¸c˜ oes cont´ınuas f : (X, A) → (Y, B) e g : (Y, B) → (X, A) tais que g ◦ f ' iX [A] e f ◦ g ' iY [B]. Exerc´ıcios 29.A. Prove que cada espa¸co contrátil é conexo por caminhos. 29.B. Prove que a rela¸cão f ' g[A] é uma rela¸cão de equivalencia no conjunto de todas as fun¸c˜ oes cont´ınuas f : (X, A) → (Y, B). 29.C. Prove que, se (X, A) e (Y, B) são homotopicamente equivalentes, então X e Y s˜ ao homotopicamente equivalentes. 29.D. Prove que, se (X, A) e (Y, B) são homotopicamente equivalentes, então A e B s˜ ao homeomorfos. 29.E. Seja X um espa¸co topológico, e sejam a, b, c ∈ X. Sejam f1 e g1 dois caminhos em X entre a e b, e sejam f2 e g2 dois caminhos em X entre b e c. Se f1 ' g1 [{0, 1}]

e

f2 ' g2 [{0, 1}],

prove que f1 ∗ f2 ' g1 ∗ g2 [{0, 1}].

98

30. O grupo fundamental 30.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co topológico, e seja x0 ∈ X. (a) Diremos que f : [0, 1] → X é um la¸co com base em x0 se f é cont´ınua e f (0) = f (1) = x0 . Denotaremos por Ω(X, x0 ) o conjunto de todos os la¸cos em X com base em x0 . (b) Diremos que f, g ∈ Ω(X, x0 ) são homot´ opicos se f ' g[{0, 1}]. Neste caso escreveremos f 'x0 g. Denotaremos por Π1 (X, x0 ) o conjunto das classes de equivalência em Ω(X, x0 ) sob a rela¸cão 'x0 . 30.2. Teorema. O conjunto Π1 (X, x0 ), com a opera¸c˜ ao [f ] ∗ [g] = [f ∗ g], é um grupo, chamado de grupo fundamental de X, com base em x0 . Demonstra¸ c˜ ao. Se f1 'x0 f2 e g1 'x0 g2 , segue do Exerc´ıcio 29.E que f1 ∗ g1 'x0 f2 ∗ g2 . Logo a opera¸c˜ ao est´ a bem definida. Para provar que a opera¸cão é associativa basta provar que (1)

(f ∗ g) ∗ h 'x0 f ∗ (g ∗ h)

para todo f, g, h ∈ Ω(X, x0 ). Pelo Exerc´ıcio 28.G, por um lado temos que [(f ∗ g) ∗ h](s) = f (4s)

(0 ≤ 4s ≤ 1),

[(f ∗ g) ∗ h](s) = g(4s − 1)

(1 ≤ 4s ≤ 2),

[(f ∗ g) ∗ h](s) = h(2s − 1)

(2 ≤ 4s ≤ 4).

[f ∗ (g ∗ h)](s) = f (2s)

(0 ≤ 4s ≤ 2),

[f ∗ (g ∗ h)](s) = g(4s − 2)

(2 ≤ 4s ≤ 3),

[f ∗ (g ∗ h)](s) = h(4s − 3)

(3 ≤ 4s ≤ 4).

E por outro lado

Definamos

4s ) 1+t H(s, t) = g(4s − 1 − t) H(s, t) = f (

(0 ≤ 4s ≤ 1 + t), (1 + t ≤ 4s ≤ 2 + t),

4s − 2 − t ) (2 + t ≤ 4s ≤ 4). 2−t N˜ ao é dif´ıcil verificar que H é cont´ınua e que H(s, t) = h(

H(s, 0) = [(f ∗ g) ∗ h](s)

(0 ≤ s ≤ 1), 99

H(s, 1) = [f ∗ (g ∗ h)](s)

(0 ≤ s ≤ 1),

H(0, t) = [(f ∗ g) ∗ h](0) = [f ∗ (g ∗ h)](0)

(0 ≤ t ≤ 1),

H(1, t) = [(f ∗ g) ∗ h](1) = [f ∗ (g ∗ h)](1)

(0 ≤ t ≤ 1).

Isto prova (1). Seja e(s) = x0 para todo s ∈ [0, 1]. Para provar que [e] é o elemento identidade de Π1 (X, x0 ), basta provar que (2)

f ∗ e 'x0 f

(3)

e ∗ f 'x0 f

e para todo f ∈ Ω(X, x0 ). Notemos que (f ∗ e)(s) = f (2s)

(0 ≤ 2s ≤ 1),

(f ∗ e)(s) = x0

(1 ≤ 2s ≤ 2).

Definamos H(s, t) = f (

2s ) 1+t

(0 ≤ 2s ≤ 1 + t), (1 + t ≤ 2s ≤ 2).

H(s, t) = x0

N˜ ao é dif´ıcil verificar que H é cont´ınua e que H(s, 0) = (f ∗ e)(s)

(0 ≤ s ≤ 1),

H(s, 1) = f (s)

(0 ≤ s ≤ 1),

H(0, t) = (f ∗ e)(0) = f (0)

(0 ≤ t ≤ 1),

H(1, t) = (f ∗ e)(1) = f (1)

(0 ≤ t ≤ 1).

Isto prova (2). A demonstra¸cão de (3) é análoga. Dado f ∈ Ω(X, x0 ), seja f −1 ∈ Ω(X, x0 ) definido por f −1 (s) = f (1 − s) para todo s ∈ [0, 1]. Para provar que [f −1 ] é o inverso de [f ] basta provar que (4)

f ∗ f −1 'x0 e

(5)

f −1 ∗ f 'x0 e

e Notemos que (f ∗ f −1 )(s) = f (2s)

(0 ≤ 2s ≤ 1),

(f ∗ f −1 )(s) = f (2 − 2s)

(1 ≤ 2s ≤ 2).

Definamos (0 ≤ 2s ≤ 2t),

H(s, t) = f (t) 100

H(s, t) = f (2s − t)

(2t ≤ 2s ≤ 1 + t),

H(s, t) = f (2 − 2s + t)

(1 + t ≤ 2s ≤ 2).

N˜ ao é dif´ıcil verificar que H é cont´ınua e que H(s, 0) = (f ∗ f −1 )(s)

(0 ≤ s ≤ 1), (0 ≤ s ≤ 1),

H(s, 1) = e(s) H(0, t) = (f ∗ f

−1

)(0) = e(0)

(0 ≤ t ≤ 1),

H(1, t) = (f ∗ f −1 )(1) = e(1)

(0 ≤ t ≤ 1).

Isto prova (4) A demonstra¸cão de (5) é análoga. 30.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja φ : [0, 1] → X um caminho em X entre x0 e x1 . Ent˜ ao a fun¸c˜ ao φ∗ : [f ] ∈ Π1 (X, x0 ) → [φ−1 ∗ f ∗ φ] ∈ Π1 (X, x1 ) é um isomorfismo de grupos. Demonstra¸ c˜ ao. Usando o Exerc´ıcio 29.E segue que, se f1 'x0 f2 , então φ−1 ∗ f1 ∗ φ 'x0 φ−1 ∗ f2 ∗ φ. ´ fácil ver que φ∗ é um homomorfismo de Isto prova que φ∗ est´ a bem definida. E grupos, e que (φ−1 )∗ é seu inverso. Deixamos a demonstra¸cão detalhada como exerc´ıcio. 30.4. Corol´ ario. Se X é conexo por caminhos, ent˜ ao todos os grupos Π1 (X, x0 ), com x0 ∈ X, s˜ ao isomorfos entre si. 30.5. Defini¸ c˜ ao. Um espa¸co topológico X é dito simplesmente conexo se X é conexo por caminhos e o grupo Π1 (X, x0 ) é trivial para algum, e portanto, para todo x0 ∈ X. 30.6. Exemplo. Cada subconjunto convexo de Rn é simplesmente conexo. Com efeito basta provar que f 'x0 g para todo f, g ∈ Ω(X, x0 ). Seja H : [0, 1] × [0, 1] → X definida por H(s, t) = (1 − t)f (s) + tg(s). Ent˜ ao H(s, 0) = f (s)

(0 ≤ s ≤ 1),

H(s, 1) = g(s)

(0 ≤ s ≤ 1),

H(0, t) = x0

(0 ≤ t ≤ 1),

H(1, t) = x0

(0 ≤ t ≤ 1).

101

Isto prova que f 'x0 g. Exerc´ıcios 30.A. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e seja φ : (X, x0 ) → (Y, y0 ) uma fun¸c˜ ao cont´ınua. Prove que a fun¸cão φ∗ : [f ] ∈ Π1 (X, x0 ) → [φ ◦ f ] ∈ Π1 (Y, y0 ) é um homomorfismo de grupos. 30.B. Se φ é a identidade em X, prove que φ∗ é a identidade em Π1 (X, x0 ). 30.C. Sejam X, Y e Z espa¸cos topológicos, e sejam φ : (X, x0 ) → (Y, y0 ) e ψ : (Y, y0 ) → (Z, z0 ) fun¸c˜ oes cont´ınuas. Prove que (ψ ◦ φ)∗ = ψ∗ ◦ φ∗ . 30.D. Se φ : (X, x0 ) → (Y, y0 ) é um homeomorfismo, prove que a fun¸cão φ∗ : Π1 (X, x0 ) → Π1 (Y, y0 ) é um isomorfismo de grupos. 30.E. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e sejam φ, ψ : (X, x0 ) → (Y, y0 ) fun¸c˜ oes cont´ınuas tais que φ ' ψ[{x0 }]. Prove que φ ◦ f 'y0 ψ ◦ f para todo f ∈ Ω(X, x0 ), ou seja φ∗ = ψ∗ . 30.F. Se (X, x0 ) e (Y, y0 ) são homotopicamente equivalentes, prove que os grupos Π1 (X, x0 ) e Π1 (Y, y0 ) são isomorfos. 30.G. Sejam X e Y espa¸cos topológicos, e sejam x0 ∈ X e y0 ∈ Y . Prove que o grupo Π1 (X × Y, (x0 , y0 )) é isomorfo ao grupo Π(X, x0 ) × Π(Y, y0 ).

102

31. O grupo fundamental do c´ırculo unit´ ario Consideremos o c´ırculo unitário S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} = {z ∈ C : |z| = 1}. Nesta se¸c˜ ao provaremos o teorema seguinte. 31.1. Teorema. O grupo Π1 (S 1 , 1) é isomorfo a Z. Para provar este teorema vamos precisar de dois lemas auxiliares. Antes de enunciar esses lemas, consideremos a fun¸cão p : t ∈ R → e2πti ∈ S 1 . ´ claro que: E (a) p é sobrejetiva, cont´ınua e aberta, com p(0) = 1. (b) A restri¸c˜ ao p|(− 12 , 12 ) : (− 12 , 12 ) → S 1 \ {−1} é um homeomorfismo, com inversa q. (c) p(s + t) = p(s)p(t) para todo s, t ∈ R. (d) p(t) = 1 se e s´ o se t ∈ Z. ´ claro que R é um grupo abeliano sob adi¸cão de n´ E umeros reais, S 1 é um grupo abeliano sob multiplica¸cão de n´ umeros complexos, e p : R → S 1 é um homomorfismo de grupos cujo n´ ucleo é Z. 31.2. Lema. Seja g um caminho em S 1 , com g(0) = 1. Ent˜ ao existe um u ńico caminho f em R tal que f (0) = 0 e p ◦ f = g. R f% [0, 1]

−→

↓p S1

g

Demonstra¸ c˜ ao. Como [0, 1] é compacto, a fun¸cão g : [0, 1] → S 1 é uniformemente cont´ınua. Logo existe δ > 0 tal que se |s − t| < δ, então |g(s) − g(t)| < 2. Ent˜ ao g(s)/g(t) 6= −1 e q(g(s)/g(t)) está bem definida. Seja n ∈ N tal que 1/n < δ, e seja f : [0, 1] → R definida por ! n X g( nk t) f (t) = q . g( k−1 n t) k=1 103

Ent˜ ao f é cont´ınua, f (0) = 0 e n Y g( nk t)

p ◦ f (t) =

k=1

g( k−1 n t)

= g(t),

provando existência. Para provar unicidade, suponhamos que exista uma fun¸cão cont´ınua f1 : [0, 1] → R tal que f1 (0) = 0 e p ◦ f1 = g. Então p ◦ (f1 − f )(t) = 1

(0 ≤ t ≤ 1),

e portanto (f1 − f )(t) ∈ Z

(0 ≤ t ≤ 1).

Como [0, 1] é conexo, segue que (f1 − f )(t) = 0

(0 ≤ t ≤ 1).

31.3. Lema. Sejam g1 e g2 caminhos em S 1 tais que g1 (0) = g2 (0) = 1, e sejam f1 e f2 os u ńicos caminhos em R tais que f1 (0) = f2 (0) = 0, p ◦ f1 = g1 e p ◦ f2 = g2 . (a) Dada uma fun¸c˜ ao cont´ınua G : [0, 1] × [0, 1] → S 1 tal que G(0) = 1, existe uma u ńica fun¸c˜ ao cont´ınua F : [0, 1] × [0, 1] → R tal que F (0) = 0 e p ◦ F = G. (b) Se G : g1 ' g2 [{0, 1}], ent˜ ao F : f1 ' f2 [{0, 1}]. R F % [0, 1] × [0, 1]

↓p −→

S1

G

Demonstra¸ c˜ ao. (a) A demonstra¸cão de (a) é similar à demonstra¸cão do lema anterior. Como G é uniformemente cont´ınua, existe δ > 0 tal que se |z − w| < δ, ent˜ ao |G(z) − G(w)| < 2, e portanto q(G(z)/G(w)) está bem definida. Seja n ∈ N tal que 1/n < δ, e seja F : [0, 1] × [0, 1] → R definida por ! n X G( nk z) F (z) = q . G( k−1 n z) k=1 Ent˜ ao F é cont´ınua, F (0) = 0 e p ◦ F = G. Se existir uma fun¸cão cont´ınua F1 : [0, 1] × [0, 1] → R tal que F1 (0) = 0 e p ◦ F1 = G, então podemos provar como antes que F1 = F .

104

(b) Suponhamos que G : g1 ' g2 [{0, 1}]. Então p ◦ F (s, 0) = G(s, 0) = g1 (s) = p ◦ f1 (s)

(0 ≤ s ≤ 1).

Pela unicidade no lema anterior, segue que F (s, 0) = f1 (s)

(0 ≤ s ≤ 1).

De maneira an´ aloga podemos provar que F (s, 1) = f2 (s)

(0 ≤ s ≤ 1).

Por outro lado temos que p ◦ F (0, t) = G(0, t) = g1 (0) = g2 (0) = p ◦ f1 (0) = p ◦ f2 (0)

(0 ≤ t ≤ 1).

Pela unicidade do lema anterior segue que F (0, t) = f1 (0) = f2 (0)

(0 ≤ t ≤ 1).

De maneira an´ aloga podemos provar que F (1, t) = f1 (1) = f2 (1)

(0 ≤ t ≤ 1).

Logo F : f1 ' f2 [{0, 1}]. Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 31.1. Se g ∈ Ω(S 1 , 1), então segue do Lema 31.2 que existe um u ńico caminho f : [0, 1] → R tal que f (0) = 0 e p ◦ f (1) = g(1) = 1. Então f (1) ∈ Z. Definamos σ : [g] ∈ Π1 (S 1 , 1) → f (1) ∈ Z. Dados g1 , g2 ∈ Ω(S 1 , 1), sejam f1 e f2 os u ńicos caminhos em R tais que f1 (0) = f2 (0) = 0, p ◦ f1 = g1 e p ◦ f2 = g2 . Se G : g1 ' g2 [{0, 1}], então segue do Lema 31.3 que F : f1 ' f2 [{0, 1}]. Em particular F (1, t) = f1 (1) = f2 (1). Isto prova que a fun¸c˜ ao σ est´ a bem definida. Para provar que σ é um homomorfismo de grupos, sejam g1 , g2 ∈ Ω(S 1 , 1), e sejam f1 e f2 os u ńicos caminhos em R tais que f1 (0) = f2 (0) = 0, p ◦ f1 = g1 e p ◦ f2 = g2 . Sejam n1 = f1 (1), n2 = f2 (1). Seja f : [0, 1] → R definido por f (s) = n1 + f2 (s)

(0 ≤ s ≤ 1).

Ent˜ ao f (0) = n1 + f2 (0) = n1 = f1 (1),

f (1) = n1 + f2 (1) = n1 + n2 ,

p(f (s)) = p(n1 )p(f2 (s) = g2 (s) 105

(0 ≤ s ≤ 1).

Segue que p ◦ (f1 ∗ f ) = (p ◦ f1 ) ∗ (p ◦ f ) = g1 ∗ g2 , (f1 ∗ f )(0) = f1 (0) = 0,

(f1 ∗ f )(1) = f (1) = n1 + n2 .

Assim f1 ∗f é o u ńico caminho em R tal que (f1 ∗f )(0) = 0 e φ◦(f1 ∗f ) = g1 ∗g2 . Segue que σ([g1 ] ∗ [g2 ]) = σ([g1 ∗ g2 ]) = (f1 ∗ f )(1) = n1 + n2 = f1 (1) + f2 (1) = σ([g1 ]) + σ([g2 ]). Isto prova que σ é um homomorfismo de grupos. Para provar que σ é sobrejetiva, seja n ∈ Z, e sejam f : [0, 1] → R e g : [0, 1] → S 1 definidos por f (s) = ns (0 ≤ s ≤ 1),

g = p ◦ f.

Ent˜ ao f (0) = 0 e g(0) = g(1) = 1, e dai segue que σ([g]) = f (1) = n. Para provar que σ é injetiva, seja g ∈ Ω(S 1 , 1) tal que σ([g]) = 0. Seja f o u ńico caminho em R tal que f (0) = 0 e φ ◦ f = g. Então f (1) = σ([g]) = 0, e portanto f ∈ Ω(R, 0). Como R é simplesmente conexo, temos que f '0 0, e dai segue que g = p ◦ f '1 p(0) = 1. Isto completa a demonstra¸cão. Exerc´ıcios 31.A. Usando o Exerc´ıcio 30.G prove que o grupo Π1 (S 1 × S 1 , (1, 1)) é isomorfo a Z × Z. 31.B. Seja B 2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}, e seja j : S 1 ,→ B 2 a inclusão. Usando o Exerc´ıcio 30.C prove que não existe uma aplica¸c˜ ao cont´ınua r : B 2 → S 1 tal que r ◦ j seja a identidade. 31.C. Seja f : B 2 → B 2 uma fun¸cão cont´ınua. Usando o exerc´ıcio anterior prove que existe x ∈ B 2 tal que f (x) = x. Sugest˜ ao: Se f (x) 6= x para cada x ∈ B 2 , seja r(x) o ponto onde a reta de f (x) a x intercepta S 1 . 31.D. Prove que o homomorfismo de grupos p : R → S 1 induz um isomorfismo de grupos p˜ : R/Z → S 1 que é também um homeomorfismo. 31.E. Seja G um grupo topol´ ogico, ou seja G é um grupo, G é também um espa¸co topológico, e a aplica¸cão (x, y) ∈ G × G → xy −1 ∈ G é cont´ınua. 106

(a) Prove que a aplica¸c˜ ao (x, y) ∈ G × G → xy ∈ G é cont´ınua. (b) Prove que a aplica¸c˜ ao x ∈ G → x−1 ∈ G é um homeomorfismo. (c) Prove que a aplica¸c˜ ao y ∈ G → xy ∈ G é um homeomorfismo para cada x ∈ G. (d) Prove que U é uma vizinhan¸ca aberta de 1 em G se e só se xU é uma vizinhan¸ca aberta de x em G. 31.F. Seja G um grupo topológico abeliano, e seja H um subgrupo de G. Prove que a aplica¸c˜ ao quociente π : G → G/H é aberta. 31.G. Seja G um grupo topológico abeliano, e seja H um subgrupo discreto de G. Seja π : G → G/H a aplica¸cão quociente, e seja g : [0, 1] → G/H um caminho com g(0) = 1. (a) Prove que existe uma vizinhan¸ca aberta U de 1 em G tal que π(U ) é uma vizinhan¸ca aberta de 1 em G/H e a restri¸cão π|U : U → π(U ) é um homeomorfismo. (b) Adaptando a demonstra¸cão do Lema 31.2 prove que existe um u ńico caminho f : [0, 1] → G tal que f (0) = 1 e π ◦ f = g. De maneira an´ aloga podemos adaptar as demonstra¸cões do Lema 31.3 e do Teorema 31.1 para provar o teorema seguinte: Teorema. Seja G um grupo topol´ ogico abeliano simplesmente conexo, e seja H um subgrupo discreto de G. Ent˜ ao o grupo Π1 (G/H, 1) é isomorfo a H. 31.H. Sejam E e X espa¸cos topológicos, e seja p : E → X uma fun¸cão cont´ınua. Diremos que p : E → X é um espa¸co de recobrimento se cada x ∈ X admite uma vizinhan¸ca aberta V tal que p−1 (V ) e uma união disjunta de abertos Ui tais que a restri¸c˜ ao p|Ui : Ui → V é um homeomorfismo para cada i. Se p(t) = e2πti para cada t ∈ R, prove que p : R → S 1 é um espa¸co de recobrimento. 31.I. Seja p : E → X um espa¸co de recobrimento. Seja G o conjunto de todos os homeomorfismos φ : E → E tais que p ◦ φ = p. (a) Prove que p é sobrejetiva e aberta, em particular p é uma aplica¸cão quociente. (b) Prove que p−1 (x) é um subconjunto discreto de E para cada x ∈ X. (c) Prove que G é um grupo sob composi¸cão, que chamaremos de grupo de transforma¸c˜ oes do recobrimento. 31.J. Prove que o grupo de transforma¸cões do recobrimento p : R → S 1 é isomorfo a Z. Adaptando as demonstra¸cões dos Lemas 31.2 e 31.3 e do Teorema 31.1, podemos provar o teorema seguinte: Teorema. Seja p : E → X um espa¸co de recobrimento, e seja G o grupo de transforma¸c˜ oes do recobrimento. Se E é simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos, ent˜ ao o grupo Π1 (X, x0 ) é isomorfo a G para cada x0 ∈ X.

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Bibliografia

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Notas de Topologia, Mujica

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