Notas de Curso - Topologia

Notas do Curso de SLC-533 - Topologia Prof. Wagner Vieira Leite Nunes

São Carlos 2.o semestre de 2008

2

Sum´ ario 1 Introdu¸ c˜ ao

5

2 Espa¸ cos M´ etricos 2.1 Defini¸cões básicas e exemplos de espa¸cos métricos . . . . . . . . . 2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos métricos . . . 2.3 Subconjuntos limitados de um espa¸cos métricos . . . . . . . . . . 2.4 Distância de um ponto a um subconjunto em um espa¸co métrico 2.5 Distância entre dois subconjuntos de um espa¸co métrico . . . . . 2.6 Isometrias entre espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 7 30 41 47 53 54

3 Fun¸ co ˜es Cont´ınuas Definidas em Espa¸ cos M´ etricos 59 3.1 Defini¸cão de fun¸cão cont´ınua em espa¸cos métricos e exemplos . . . . . . . . . . . 59 3.2 Propriedades elementares de fun¸c˜ oes cont´ınuas entre espa¸cos métricos . . . . . . 70 3.3 Homeomorfismos entre espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4 Métricas equivalentes em um espa¸co métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5 Transforma¸cões lineares e multilineares definidas em espa¸cos vetoriais normados . 102 4 Bibliografia

115

3

4

´ SUMARIO

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ ao Este trabalho poderá servir como notas de aula para cursos cujas ementas tratam de espa¸cos métricos. Serão exibidos todos os conceitos relacionados com o conte´ udo acima, bem como propriedades e aplica¸cões dos mesmos. As referências ao final das notas poderão servir como material importante para o conte´ udo aqui desenvolvido.

5

6

˜ CAPÍTULO 1. INTRODUC ¸ AO

Cap´ıtulo 2

Espa¸cos M´ etricos 4.08.2008 - 1.a e 2.a

2.1

Defini¸co ˜es b´ asicas e exemplos de espa¸cos m´ etricos

Come¸caremos com a: Defini¸ c˜ ao 2.1.1 Seja M um conjunto n˜ ao vazio. Diremos que uma aplica¸c˜ ao d:M ×M →R é uma m´ etrica (ou distˆ ancia) em M se as seguintes condi¸c˜ oes est˜ ao satisfeitas: (d1) d(x, x) = 0; (d2) se x, y ∈ M e x 6= y ent˜ ao d(x, y) > 0; (d3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ M ; (d4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todo x, y, z ∈ M . Observa¸ c˜ ao 2.1.1 1. (d1) e (d2) implicam que d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ M e que d(x, y) = 0 se, e somente se, x = y. 2. (d3) nos diz que d(x, y) é um fun¸ca õ simétrica nas vari´ aveis x e y. 3. (d4) é conhecida como desigualdade triangular. Este nome se deve ao fato que, na geometria euclideana, o comprimento de um lado de um triˆ angulo é sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados do triˆ angulo. 7

´ CAPÍTULO 2. ESPAC ¸ OS METRICOS

8

y

x

d(x, z) < d(x, y) + d(y, z)

z

Com isto temos a: Defini¸ c˜ ao 2.1.2 Se d é uma métrica em M ent˜ ao o par (M, d) ser´ a denominado espa¸ co m´ etrico. Observa¸ c˜ ao 2.1.2 Quando n˜ ao houver possibilidade de confus˜ ao nos referiremos ao espa¸co métrico M (ao invés de (M, d)) deixando subentendido a métrica d a ser considerada. Nota¸ c˜ ao 2.1.1 Se (M, d) é um espa¸co métrico, os elementos de M ser˜ ao ditos pontos de M . A seguir daremos alguns exemplos de espa¸cos métricos. Exemplo 2.1.1 Seja M um conjunto n˜ ao vazio. Consideremos a aplica¸c˜ ao d : M × M → R dada por ( 0, se x = y d(x, y) = 1, se x 6= y

.

Afirmamos que d é uma métrica em M . Mostremos que (d1) ocorre: Da defini¸c˜ ao de d temos que d(x, x) = 0, mostrando que (d1) se verifica. Mostremos que (d2) ocorre: Se x 6= y, da defini¸c˜ ao de d temos que d(x, y) = 1 > 0, mostrando que (d2) se verifica. Mostremos que (d3) ocorre: Se x = y, da defini¸c˜ ao de d temos que d(x, y) = 0 e d(y, x) = 0, isto é, d(x, y) = d(y, x). Se x 6= y, da defini¸c˜ ao de d temos que d(x, y) = 1 e d(y, x) = 1, isto é, d(x, y) = d(y, x), mostrando que (d2) se verifica. Mostremos que (d4) ocorre: Se x = z ent˜ ao temos que d(x, z) = 0 ≤ d(x, y) + d(y, z) independente de y ∈ M (pois d(x, y), d(y, z) ≥ 0). Se x 6= z ent˜ ao temos que d(x, z) = 1 ≤ d(x, y) + d(y, z)

(∗)

˜ ´ ´ 2.1. DEFINIC ¸ OES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC ¸ OS METRICOS

9

independente de y ∈ M (pois se y = z teremos d(x, y) = 0 mas como y = x 6= z segue que d(y, z) = 1 assim (*) ocorrer´ a; de modo semelhante se y = z). Portanto vale (d4), ou seja, d é uma métrica em M . Observa¸ c˜ ao 2.1.3 A métrica acima é denominada m´ etrica zero-um. Exemplo 2.1.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e S ⊆ M n˜ ao vazio. . Ent˜ ao tomando-se a restri¸c˜ ao de d sobre S, isto é, d|S : S × S → R dada por d|S (x, y) = d(x, y) para x, y ∈ S ent˜ ao segue que d|S é uma métrica em S. A veririfica¸c˜ ao que (d1)-(d4) valem para d|S é imediata (pois se (d1)-(d4) valem em M continuar˜ ao valendo em S). Observa¸ c˜ ao 2.1.4 No caso acima S ser´ a dito subespa¸ co (m´ etrico) de M e a métrica d|S ser´ a dita m´ etrica induzida pela m´ etrica d de M . Exemplo 2.1.3 Seja M = R e d : R × R → R dada por . d(x, y) = |x − y| para x, y ∈ R. Afirmamos que d é uma métrica em M . Mostremos que (d1) ocorre: De fato, d(x, x) = |x − x| = |0| Mostremos que (d2) ocorre:

[propriedade do m´ odulo]

Se x 6= y ent˜ ao d(x, y) = |x − y| Mostremos que (d3) ocorre:

=

[x−y6=0]

>

De fato, d(y, x) = |y − x| = | − (x − y)| Mostremos que (d4) ocorre:

0.

0. [propriedade do m´ odulo]

=

|x − y| = d(x, y)

De fato, d(x, y) = |x − y| = |x + (−z + z) − y| = |(x − z) + (z − y)| |x − z| + |z − y| = d(x, z) + d(z, y). Portanto vale (d4), ou seja, d é uma métrica em M .

[propriedade do m´ odulo]

≤

Observa¸ c˜ ao 2.1.5 No caso acima diremos que a métrica d é a m´ etrica usual de R. Podemos generalizar o exemplo acima, a saber: Exemplo 2.1.4 Seja M = Rn . Podemos considerar as seguintes aplica¸c˜ oes d, d0 , d00 : Rn × Rn → R,

j = 1, 2, 3 :

#1 " n 2 X . p 2 (xi − yi ) . 1. d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 = i=1 n

X . 2. d0 (x, y) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | = |xi − yi |. i=1

. 3. d00 (x, y) = max{|x1 − y1 |, · · · , |xn − yn |} = max |xi − yi |, 1≤i≤n


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onde x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn . As aplica¸c˜ oes d, d0 , d00 s˜ ao métricas em Rn . Mostremos que aplica¸c˜ ao d satisfaz as condi¸co ˜es (d1)-(d4): (d1) Temos que d(x, x) =

" n X

#1

2

(xi − xi )

2

=

" n X

i=1

#1 2

0

2

= 0.

i=1

(d2) Se x 6= y ent˜ ao para algum i0 ∈ {1, · · · , n} temos que xi0 6= yi0 assim " n #1 2 X 1 d(x, y) = (xi − yi )2 ≥ [(xi0 − yi0 )2 ] 2 > 0. i=1

(d3) Se x, y ∈ Rn temos que " n #1 " n #1 " n #1 2 2 2 X X X 2 2 2 2 d(x, y) = (xi − yi ) = [−(yi − xi )] = (−1) (yi − xi ) i=1

=

" n X

i=1

#1

i=1

2

(yi − xi )2

= d(y, x)

i=1

(d4) Ser´ a verificada no exemplo (2.1.14). Logo d é um métrica em Rn . Mostremos que aplica¸c˜ ao d0 satisfaz as condi¸c˜ oes (d1)-(d4): (d1) Temos que 0

d (x, x) =

n X

|xi − xi | =

n X

i=1

0 = 0.

i=1

(d2) Se x 6= y ent˜ ao para algum i0 ∈ {1, · · · , n} temos que xi0 6= yi0 assim d0 (x, y) =

n X

|xi − xi | ≥ |xi0 − yi0 | > 0.

i=1

(d3) Se x, y ∈ Rn temos que d0 (x, y) =

n X

|xi − yi | =

i=1 n X

n X

| − (−xi + yi )| =

i=1

n X

|(−1)yi − xi | =

i=1

n X

| − 1||xi − xi |

i=1

|yi − xi | = d0 (y, x).

i=1

(d4) Sejam x, y, z ∈ Rn ent˜ ao 0

d (x, y) =

n X

|xi − yi | =

i=1 [|a+b|≤|a|+|b|]

≤

n X

|xi + (−zi + zi ) − yi )| =

i=1 n X i=1

|xi − zi | + |zi − yi | =

n X

|(xi − zi ) + (zi − yi )|

i=1 n X i=1

|xi − zi | +

n X i=1

|zi − yi | = d0 (x, z) + d0 (z, y).


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Logo d0 é um métrica em Rn . Mostremos que aplica¸c˜ ao d00 satisfaz as condi¸c˜ oes (d1)-(d4): (d1) Temos que d00 (x, x) = max |xi − xi | = max 0 = 0. 1≤i≤n

1≤i≤n

(d2) Se x 6= y ent˜ ao para algum i0 ∈ {1, · · · , n} temos que xi0 6= yi0 assim d00 (x, y) = max |xi − xi | ≥ |xi0 − yi0 | > 0. 1≤i≤n

(d3) Se x, y ∈ Rn temos que d00 (x, y) = max |xi − yi | = max | − (−xi + yi )| = max |(−1)yi − xi | = max [| − 1||xi − xi |] 1≤i≤n

1≤i≤n 00

1≤i≤n

1≤i≤n

= max |yi − xi | = d (y, x). 1≤i≤n

(d4) Sejam x, y, z ∈ Rn ent˜ ao d00 (x, y) = max |xi − yi | = max |xi + (−zi + zi ) − yi )| = max |(xi − zi ) + (zi − yi )| 1≤i≤n

1≤i≤n

[|a+b|≤|a|+|b|]

≤

1≤i≤n

max [|xi − zi | + |zi − yi |]

1≤i≤n

[max{A+B}≤max A+max B]

≤

max |xi − zi | + max |zi − yi | = d00 (x, z) + d00 (z, y).

1≤i≤n

1≤i≤n

Logo d00 é um métrica em Rn . Observa¸ c˜ ao 2.1.6 1. A métrica d acima definida ser´ a denominada m´ etrica euclideana. Ela provém da f´ ormula da distˆ ancia entre dois pontos (em coordenadas cartesianas) que é uma conseq¨ uência do Teorema de Pit´ agoras (pois o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual ao quadrado da distˆ ancia entre os pontos que correspondem aos vértices da hipotenusa; logo devem ser igual a soma dos quadrados dos catetos, que correspondem a somar o quadrado das distˆ ancias das proje¸c˜ oes ortogonais nos respectivos eixos cartesianos; veja 2 figura abaixo para o caso R ). d(p, q) =

p

(q1 − p1 )2 + (q2 − p2 )2

6 q

q2

p2

p

p1

q1


12

Devido a este fato a métrica d ser´ a dita m´ etrica usual de Rn . 2. Se n = 2 a métrica d é a que d´ a a distˆ ancia entre os pontos p e q do plano (ou seja, o comprimento do segmento de reta que une os pontos p e q, vide figura abaixo). q

d(p, q)

p

A métrica d0 nos d´ a a distˆ ancia entre dois pontos do plano utilizando-se dos catetos de um triˆ angulo retˆ angulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo). q

6

r

p

¾

Y

M ?

-

d0 (p, q) = d(p, r) + d(r, q)

A métrica d00 nos d´ a a distˆ ancia entre dois pontos do plano utilizando-se o comprimento do maior cateto de um triˆ angulo retˆ angulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo). q

r

p

¾

Y

-

d00 (p, q) = max{d(p, r), d(r, q)}


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Geometricamente, temos a seguinte configura¸c˜ ao para as três distˆ ancias acima: q

6 d(p, q)

M ? ¾

-

p

d00 (p, q)

d0 (p, q)

9 -

¾

3. Se n = 2 temos o plano R2 cujos elementos ser˜ ao representados por (x, y) ou (u, v), onde x, y, u, v ∈ R. 4. Em algumas situa¸c˜ oes identificamos R2 com C, o conjunto dos n´ umeros complexos por . meio da correspondência (x, y) 7→ x + iy, onde i2 = −1. 5. Se n = 3 temos o espa¸co R2 cujos elementos ser˜ ao representados por (x, y, z) ou (u, v, w), onde x, y, z, u, v, w ∈ R. Com isto temos a Proposi¸ c˜ ao 2.1.1 Consideremos d, d0 , d00 as métricas definidas no exemplo (2.1.4). Ent˜ ao, para todo x, y, ∈ Rn temos d00 (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d0 (x, y) ≤ n d00 (x, y). Demonstra¸ c˜ ao: Afirmamos que para todo a, b ≥ 0 temos que: √ √ √ a + b ≤ a + b (∗). De fato, pois √ √ √ √ √ √ √ √ [ a + b]2 = [ a]2 + 2 a b + [ b]2 = a + 2 a b + b ≥ a + b. √ √ √ Portanto a + b ≤ a + b como afirmamos. Observemos que para todo x, y, ∈ Rn temos  1 2 √ n X p [|a|= a2 ] 00 2 2  d (x, y) = max |xi − yi | = max (xi − yi ) ≤ = d(x, y), (xj − yj ) 1≤i≤n

1≤i≤n

 1 2 n n q X (∗) X 2  d(x, y) = (xj − yj ) ≤ (xj − yj )2 j=1

d0 (x, y) =

n X j=1

|xj − yj | ≤

√ [ a2 =|a|]

=

j=1 n X j=1

n X

|xj − yj | = d0 (x, y) e

j=1

max {|xj − yj |} = max {|xj − yj |}

1≤j≤n 00

max {|xj − yj |}.n = n.d (x, y)

1≤j≤n

j=1

1≤j≤n

n X

1

j=1

(2.1)


14 completando a demonstra¸cão.

¤ Temos a seguinte defini¸cão: Defini¸ c˜ ao 2.1.3 Seja X um conjunto n˜ ao vazio. Diremos que uma fun¸ca õ f : X → R é limitada se existir k = kf > 0 tal que |f (x)| ≤ k, para todo x ∈ X. Denotaremos por B(X; R) o conjunto formado por todas as fun¸c˜ oes, f : X → R que s˜ ao limitadas, isto é, . B(X; R) = {f : X → R : f é limitada}. 11.08.2008 - 3.a e 4.a Precisaremos de um conceito e algunes resultados relacionados ao mesmo para o próximo exemplo. Defini¸ c˜ ao 2.1.4 Seja A ⊆ R, A 6= ∅. Diremos que o conjunto A é limitado superiormente em R se existir l ∈ R tal que a ≤ l,

para todo

a ∈ A.

Neste caso diremos que l é um limitante superior do conjunto A. De modo semelhante, diremos que o conjunto A é limitado inferiormente em R se existir m ∈ R tal que m ≤ a, para todo a ∈ A. Neste caso diremos que m é um limitante inferior do conjunto A. Alguns exemplos Exemplo 2.1.5 1. Se A = (−∞, π) ent˜ ao A é limitado superiormente em R (por exemplo, l = 4 é um limitante superior do conjunto A) e n˜ ao é limitado inferiormente em R. 2. Se A = (e, ∞) ent˜ ao A é limitado inferiormente em R (por exemplo, m = 3 é um limitante inferior do conjunto A) e n˜ ao é limitado superiormente em R. 3. Se A = N ent˜ ao A n˜ ao é limitado superiormente ou inferiormente em R. 1 4. Se A = { : n ∈ N} ent˜ ao A é limitado superiormentee inferiormente em R (por exemolo, n l = 1 é um limitante superior do conjunto A e m = −1 é um limitante inferior do conjunto A). Defini¸ c˜ ao 2.1.5 Seja A ⊆ R limitado superiormente em R. Diremos que s0 ∈ R é o supremo do conjunto A, denotado por sup A, se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: (s1) s0 é um limitante superior do conjunto A; (s2) s0 é o menor n´ umero real satisfazendo a propriedade (s1) (isto é, qualquer n´ umero real menor que ele n˜ ao ser´ a limitante superior do conjunto A).


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De modo temos a: Defini¸ c˜ ao 2.1.6 Seja A ⊆ R limitado inferiormente em R. Diremos que s1 ∈ R é o ´ınfimo do conjunto A, denotado por inf A se satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: (i1) s1 é um limitante inferior do conjunto A; (i2) s1 é o maior n´ umero real satisfazendo a propriedade (i1) (isto é, qualquer n´ umero real maior que ele n˜ ao ser´ a limitante superior do conjunto A). A seguir daremos um resultado muito u ´til para a caracteriza¸c˜ ao do supremo e do ´ınfimo de um subconjunto limitado de R, a saber: Teorema 2.1.1 Seja A ⊆ R limitado superiormente em R. s0 = sup A se, e somente se, (s1’) s0 é um limitante superior do conjunto A; (s2’) dado ε > 0 existe a ∈ A tal que s0 − ε < a ≤ s0 . a∈A

? s0 − ε

s0 = sup A

Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos que s0 = sup A. Então s0 é limitante superior de A, logo vale (s1’) (pois (s1) é igual e (s1’)). Por outro lado, dado 0 < ε temos que . s = s0 − ε < s0 , logo s não poderá ser limitante superior (pois s0 é o menor limitante superior e s < s0 ). Assim deve existir a ∈ A tal que s0 − ε < a ≤ s0 , ou seja, vale (s2’). Por outro lado se (s1’) e (s2’) ocorrem ent˜ ao (s1) da defini¸c˜ ao de supremo ocorrerá (pois (s1’)=(s1)). Precisamos mostrar que (s2) da defini¸c˜ ao de supremo ocorrerá. Para isto seja s ∈ R tal que s < s0 . Mostraremos que s não poderá ser limitante superior de A e assim s0 será o menor limitante superior de A, isto é, s0 = sup A. . Consideremos ε = s0 − s > 0. De (s2’) segue que existe a ∈ A tal que s0 − ε < a ≤ s0 ,


16 ou seja

s = s0 − (s0 − s) = s0 − ε < a para algum a ∈ A, ou ainda, s < a, para algum a ∈ A. Logo s não é limitante superior de A mostrando (s2) e completando a demonstra¸c˜ ao. ¤ De modo análogo temos o Teorema 2.1.2 Seja A ⊆ R limitado inferiormente em R. s1 = inf A se, e somente se, (i1’) s1 é um limitante inferior do conjunto A; (i2’) dado ε > 0 existe a ∈ A tal que s1 ≤ a < s1 + ε. a∈A

? s = inf A

s+ε

Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos que s1 = inf A. Então s1 é limitante inferior de A, logo vale (i1’) (pois (i1) é igual e (i1’)). Por outro lado, dado 0 < ε temos que . s = s1 + ε > s1 , logo s não poderá ser limitante inferior (pois s1 é o maior limitante superior e s > s1 ). Assim deve existir a ∈ A tal que s1 ≤ a < s1 + ε, ou seja, vale (i2’). Por outro lado se (i1’) e (i2’) ocorrem ent˜ ao (i1) da defini¸c˜ ao de supremo ocorrerá (pois (i1’)=(i1)). Precisamos mostrar que (i2) da defini¸c˜ ao de ´ınfimo ocorrerá. Para isto seja s ∈ R tal que s > s1 . Mostraremos que s não poderá ser limitante inferior de A e assim s1 será o maior limitante superior de A, isto é, s1 = inf A. . Consideremos ε = s − s1 > 0. De (i2’) segue que existe a ∈ A tal que s1 ≤ a < s1 + ε, ou seja, a < s1 + ε = s1 + (s − s1 ) = s para algum a ∈ A, ou ainda, s > a, para algum a ∈ A. Logo s não é limitante inferior de A mostrando (i2) e completando a demonstra¸c˜ ao. ¤ Deixaremos para o leitor provar que as seguintes propriedades para o supremo e o ´ınfimo de subsconjuntos limitados de R ocorrem:


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Exemplo 2.1.6 Seja A, B ⊆ R limitado (isto é, limitado superiormente e inferiormente) e α ∈ R. Exerc´ıcio 1.1.1: +0.5 cada item, exceto 1. Ent˜ ao 1. inf A ≤ sup A. 2. Se A ⊆ B ent˜ ao sup A ≤ sup B, inf A ≥ inf B. . 3. Definamos A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. Ent˜ ao A + B é um subconjunto limitado de R e sup(A + B) = sup A + sup B, inf(A + B) = inf A + inf B. . 4. Se α > 0 definamos αA = {α a ∈ A}. Ent˜ ao αA é limitado em R e sup(αA) = α sup A, inf(αA) = α inf A. 5. Se α < 0 ent˜ ao sup(αA) = α inf A, inf(αA) = α sup A. . 6. Em particular, se −A = {−a : a ∈ A} ent˜ ao sup(−A) = − inf A, inf(−A) = − sup A. . 7. Se A, B ⊆ [0, ∞) e s˜ ao limitados definamos A.B = {a.b : a ∈ A, b ∈ B}. Enta˜ o A.B é limitado em R e sup(A.B) = sup A. sup B, inf(A.B) = inf A. inf B. Deixaremos para o leitor provar que as seguintes propriedades para o supremo e o ´ınfimo de fun¸cões limitadas tomando valores em R ocorrem: Exemplo 2.1.7 Se f, g ∈ B(X; R) e α ∈ R temos que

+0.5 cada item


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1. f + g ∈ B(X; R) (isto é, f + g é uma fun¸c˜ ao limitada em X), αf ∈ B(X; R) (isto é, αf é uma fun¸c˜ ao limitada em X) e sup (f + g)(x) ≤ sup f (x) + sup g(x) x∈X

x∈X

x∈X

inf (f + g)(x) ≥ inf f (x) + inf g(x).

x∈X

x∈X

x∈X

Se α > 0 ent˜ ao sup (αf )(x) = α sup f (x) x∈X

x∈X

inf (αf )(x) = α inf f (x).

x∈X

x∈X

Se α < 0 ent˜ ao sup (αf )(x) = α inf f (x) x∈X

x∈X

inf (αf )(x) = α sup f (x).

x∈X

x∈X

2. Se f, g : X → [0, ∞) e s˜ ao limitadas ent˜ ao sup (f.g)(x) ≤ sup f (x). sup g(x) x∈X

x∈X

x∈X

inf (f.g)(x) ≥ inf f (x). inf g(x).

x∈X

x∈X

x∈X

Observa¸ c˜ ao 2.1.7 1. Observemos que utilizamos as seguintes nota¸co ˜es no teorema acima . sup f (x) = sup{f (X)} x∈X

. inf f (x) = inf{f (X)} . sup (f + g)(x) = sup{(f + g)(X)} x∈X

x∈X

. inf (f + g)(x) = inf{(f + g)(X)} . sup (αf )(x) = sup{(αf )(X)}

x∈X

x∈X

. inf (αf )(x) = inf{(αf )(X)}.

x∈X

2. Nos itens 1. e 2. do teorema acima ser´ au ´til mostrarmos primeiramente que se f, g : X → R ent˜ ao (f + g)(X) ⊆ f (X) + g(X) (f.g)(X) ⊆ f (X).g(X). 3. Diremos que um conjunto E, n˜ ao vazio, munido de duas opera¸c˜ oes: +:E×E →E .:R×E →E é um espa¸ co vetorial sobre R se tem as seguintes propriedades:


19

(A1) ”+” é comutativa, isto é, x + y = y + x, para todo x, y ∈ E; (A2) ”+” é associativa , isto é, (x + y) + z = x + (y + z), para todo x, y, z ∈ E; (A3) ”+” tem elemento neutro, isto é, Existe um elemento, indicado por 0, em E tal que x + 0 = x, para todo x ∈ E; (A4) ”+” admite elemento oposto, isto é, Dado x ∈ E existe um elemento, indicado por −x em E, denominado oposto de x, tal que x + (−x) = 0; (M1) Vale a ssociativa da multiplica¸c˜ ao de n´ umeros reais e ”.”, isto e´, (αβ).x = α.(β.x), para todo x ∈ E e α, β ∈ R; (M2) O n´ umero real 1 é elemento neutro ”.”, isto é, 1.x = x, para todo x ∈ E; (D1) Vale a distributiva da ”.” por ”+”, isto é, α.(x + y) = α.x + α.y, para todo x, y ∈ E e α ∈ R; (D2) Vale a distributiva de adi¸c˜ ao de n´ umeros reais por ”.”, isto é, (α + β).x = α.x + β.x, para todo x ∈ E e α, β ∈ R. Na situa¸c˜ ao acima denotaremos o espa¸co vetorial pela terna (E, +, .) ou, quando n˜ ao houver possibilidade de confus˜ ao, por E simplesmente. Exemplo 2.1.8 Na situa¸c˜ ao acima temos que B(X; R) tornar-se-´ a um espa¸co vetorial sobre R com as opera¸c˜ oes usuais de adi¸ca õ de fun¸c˜ oes e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por fun¸c˜ ao (isto ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor). Definimos d : B(X; R) × B(X; R) → R por

. d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|, x∈X

onde f, g ∈ B(X; R). Afirmamos que d é uma métrica em B(X; R). De fato: 1. Se f ∈ B(X; R) ent˜ ao d(f, f ) = sup |f (x) − f (x)| = 0, x∈X

mostrando que vale (d1);


20

2. Se f, g ∈ B(X; R) e f 6= g ent˜ ao existe x0 ∈ X tal que f (x0 ) 6= g(x0 ). Assim d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| ≥ |f (x0 ) − g(x0 )| > 0, x∈X

mostrando que vale (d2); 3. Se f, g ∈ B(X; R) ent˜ ao d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| = sup | − [g(x) − f (x)]| = sup |g(x) − f (x)| = d(g, f ), x∈X

x∈X

x∈X

mostrando que vale (d3); 4. Se f, g, h ∈ B(X; R) ent˜ ao para cada x ∈ X temos que |f (x) − g(x)| = |[f (x) − h(x)] + [h(x) − g(x)]|

[|a+b|≤|a|+|b|]

≤

|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|.

Logo d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)|} ≤ sup {|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|}. x∈X

(∗)

x∈X

Sabemos que se A e B s˜ ao limitados superiormente em R ent˜ ao A + B é limitado superiormente em R e sup[A + B] ≤ sup A + sup B. Aplicando isto ao lado direito de (*) obteremos d(f, g) ≤ sup {|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|} ≤ sup {|f (x) − h(x)|} + sup {|h(x) − g(x)|} x∈X

x∈X

x∈X

= d(f, h) + d(h, g), mostrande que (d4) é verdadeira. completando a prova que d é uma métrica em B(X; R). Observa¸ c˜ ao 2.1.8 1. A métrica definida no exemplo acima é denominada m´ etrica da convergˆ encia uniforme ou m´ etrica do sup. . 2. Para ilustrar, se X = [0, 1], f, g : [0, 1] → R s˜ ao dadas por f (x) = x

e

g(x) = x2 ,

x ∈ [0, 1]

ent˜ ao, geometricamente, d(f, g) ser´ a o comprimento da maior corda vertical unindo os pontos dos gr´ aficos das fun¸c˜ oes f e g (vide figura abaixo).


21

y 1

6 2 d(f, g) = |f ( 1 ) − g( 1 )| = 1 − 1 = 1 2 2 2 2 4

6 +

f

g

? -

1 2

x

1

3. Vale observar que se X = {1, 2, · · · , n} ent˜ ao toda fun¸c˜ ao f ∈ B(X; R) ser´ a limitada (pois |f (x)| ≤ max |f (i)|, x ∈ X). 1≤i≤n

. Logo podenos identificar f com a n-upla (x1 , x2 , · · · , xn ) onde xi = f (i), 1 ≤ i ≤ n. Portanto B(X; R) pode ser identificado com Rn . Neste caso a métrica d em B(X; R) definida no exemplo acima induzir´ a a métrica d00 em n R , pois d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| = max |f (i) − g(i)| = max |xi − yi | = d00 (x, y), 1≤i≤n

x∈X

1≤i≤n

onde xi = f (i), yi = g(i), i = 1, · · · , n. Conclus˜ ao, temos a seguinte identifica¸c˜ ao: (B(X; R), d) = (Rn , d00 ). Para o próximo exemplo precisaremos da: Defini¸ c˜ ao 2.1.7 Seja E um espa¸co vetorial sobre R. Diremos que uma fun¸c˜ ao k.k :→ R é uma norma em E se as seguintes condi¸c˜ oes s˜ ao verificadas: (n1) Se x ∈ E é tal que x 6= ~0 ent˜ ao kxk 6= 0; (n2) Se λ ∈ R e x ∈ E ent˜ ao kλ xk = |λ| kxk; (n3) Se x, y ∈ E ent˜ ao kx + yk ≤ kxk + kyk. Observa¸ c˜ ao 2.1.9 1. Observemos para todo x ∈ E temos que (n2) k~0k = k0.xk = |0|kxk = 0

e

(n2)

k − xk = k(−1).xk = | − 1|kxk = kxk

2. Se x ∈ E temos (n3)

(∗)

0 = kx + (−x)k ≤ kxk + k − xk = kxk + kxk = 2kxk. Logo kxk ≥ 0, para todo x ∈ E.

(∗).


22

3. Segue de (n1) e do item 2. acima segue que se x ∈ E, x 6= ~0 ent˜ ao kxk > 0. Com isto temos a Defini¸ c˜ ao 2.1.8 Um espa¸ co vetorial normal é um par (E, k.k) onde E é um espa¸co vetorial sobre R e k.k é uma norma definida em E. A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos vetoriais normados. Exemplo 2.1.9 Consideremos em Rn as seguintes fun¸c˜ oes k.k, k.k0 , k.k00 : Rn → R dadas por v u n n X X . u . 0 . 2 t kxk = xi , kxk = |xi |, kxk00 = max |xi |, i=1

1≤i≤n

i=1

onde x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn . Mostremos que as fun¸c˜ oes k.k, k.k0 , k.k00 acima definidas s˜ ao normas em Rn . De fato, k.k satisfaz: (n1) Para x ∈ Rn , x 6= ~0 temos que xi0 6= 0 para algum i0 ∈ {1, · · · , n} assim v u n uX [x2i0 0] kxk = t x2i > 0, i=1

em particular, kxk 6= 0. (n2) Para x ∈ Rn e λ ∈ R temos v v v u n u n u n uX uX u X 2 2 2 2 t t t kλ xk = (λ xi ) = λ xi = λ x2i i=1

v u n √ uX 2 = λ t x2 i

i=1

i=1

v u n √ uX 2 [ λ =|λ|] = |λ|t x2i = |λ|kxk.

i=1

i=1

(n3) Ser´ a verificada no exemplo (2.1.14), mostrando que k.k é uma norma em Rn . De modo semelhante temos que k.k0 satisfaz: (n1) Para x ∈ Rn , x 6= ~0 temos que xi0 6= 0 para algum i0 ∈ {1, · · · , n} assim 0

kxk =

n X

[x2i 0] 0

|xi | > 0,

i=1

em particular, kxk0 6= 0. (n2) Para x ∈ Rn e λ ∈ R temos 0

kλ xk =

n X i=1

|λ xi | =

n X i=1

|λ||xi | = |λ|

n X i=1

|xi | = |λ| kxk0 .


23

(n3) Para x, y ∈ Rn temos kx + yk =

n X

|xi + yi |

[|xi +yi |≤|xi |+|yi |]

≤

n X [|xi | + |yi |] = kxk00 + kyk0 ,

i=1

i=1

mostrando que k.k0 é uma norma em Rn . Finalmente k.k00 satisfaz: (n1) Para x ∈ Rn , x 6= ~0 temos que xi0 6= 0 para algum i0 ∈ {1, · · · , n} assim kxk00 = max |xi |

[x2i >0] 0

>

i=1,··· ,n

0,

em particular, kxk00 6= 0. (n2) Para x ∈ Rn e λ ∈ R temos kλ xk00 = max |λ xi | = max [|λ||xi |] = |λ| max |xi | = |λ| kxk00 . i=1,··· ,n

i=1,··· ,n

i=1,··· ,n

(n3) Para x, y ∈ Rn temos kx + yk00 = max |xi + yi | i=1,··· ,n 00

[|xi +yi |≤|xi |+|yi |]

≤

max [|xi | + |yi |] ≤ max |xi | + max |yi |

i=1,··· ,n

i=1,··· ,n

i=1,··· ,n

00

= kxk + kyk . mostrando que k.k00 é uma norma em Rn . 18.08.2008 - 5.a e 6.a Outro exemplo importante é Exemplo 2.1.10 No exemplo (2.1.8) acima podemos considerar a fun¸c˜ ao k.k : B(X; R) → R dada por . kf k = sup |f (x)|, f ∈ B(X; R). x∈X

Mostremos que k.k satisfaz (n1)-(n3): (n1) Se f ∈ B(X; R) e f 6= 0 (ou seja, n˜ ao é a fun¸c˜ ao identicamente nula) ent˜ ao existe x0 ∈ X tal que f (x0 ) 6= 0, assim kf k = sup |f (x)| ≥ |f (x0 )| > 0, x∈X

em particular, kf k 6= 0. (n2) Se f ∈ B(X; R) e λ ∈ R temos kλf k = sup |λf (x)| = sup [|λ||f (x)|] x∈X

x∈X

[Exemplo (2.1.7) item 2.]

=

|λ| sup |f (x)| = |λkf k. x∈X


24 (n3) Se f, g ∈ B(X; R) temos kf + gk = sup |(f + g)(x)| = sup |f (x) + g(x)| x∈X

[|f (x)+g(x)|≤|f (x)|+|g(x)|]

≤

x∈X

[Exemplo (2.1.7) item 1.]

≤

sup [|f (x)| + |g(x)|] x∈X

sup |f (x)| + sup |g(x)| = kf k + kgk, x∈X

x∈X

mostrando que k.k é uma norma em B(X; R). Tal norma ser´ a denomiada de norma da convergˆ encia uniforme (ou do sup) em B(X; R). Podemos agora obter uma cole¸cão de exemplos de espa¸cos métricos, a saber: Exemplo 2.1.11 Seja (E, k.k) um espa¸co vetorial normado. Consideremos a fun¸c˜ oes d:E×E →R dada por

. d(x, y) = kx − yk,

x, y, ∈ E.

Afirmamos que d é um métrica em E. De fato: 1. [Observa¸ca õ (2.1.9) item 1.] d(x, x) = kx − xk = k~0k = 0,

ou seja, vale (d1); 2. Se x 6= y temos que x − y 6= ~0, logo d(x, y) = kx − yk

[observa¸ca õ (2.1.9) item 3.]

>

0,

ou seja, vale (d2); 3. Se x, y ∈ E temos que d(x, y) = kx − yk

[observa¸ca õ (2.1.9) item 1.]

=

k − (x − y)k = ky − xk = d(y, x),

ou seja, vale (d3); 4. Se x, y, z ∈ E temos que (n4)

d(x, z) = kx − zk = k(x − y) + (y − z)| ≤ kx − yk + ky − z| = d(x, y) + d(y, z), ou seja, vale (d4). Portanto d é um métrica em E e assim (E, d) é um espa¸co métrico. Observa¸ c˜ ao 2.1.10


25

1. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial normado é um espa¸co métrico. Neste caso diremos que a métrica d prov´ em da norma k.k. Por exemplo, as métricas d, d0 , d00 de Rn provém das normas k.k, k.k0 , k.k00 , respectivamente. De modo semelhante temos que a métrica d(f, g) = kf − gk definida em B(X; R) (onde a norma k.k é a do exemplo (2.1.7)) é proveniente da norma da convergência uniforme. 2. Pergunta-se: Seja E é um espa¸co vetorial sobre R e d é um métrica em E. Existir´ a uma norma em E de modo que a métrica dada d provém dess norma? ou seja, uma métrica qualquer definida E provém de alguma norma definida em E? Infelizmente isto é falso. Na verdade na lista de exerc´ıcio pede-se para mostrar que num espa¸co vetorial uma métrica provém de uma norma se, e somente se, valem as seguintes identidades d(x + a, y + a) = d(x, y) d(λx, λy) = |λ|d(x, y), para todo x, y, a ∈ E e λ ∈ R. 3. Observemos também que se (E, k.k) é um espa¸co vetorial normado ent˜ ao para todo x ∈ E ~ ~ temos d(x, 0) = kx − 0k = kxk, isto é, a norma do vetor x ∈ E é a distˆ ancia do ponto x∈E ` a origem 0 ∈ E. Para considerar uma outra classe de exemplos precisaremos da Defini¸ c˜ ao 2.1.9 Seja E um espa¸co vetorial sobre R. Diremos que a fun¸c˜ ao < ., . >: E × E → R é um produto interno (ou escalar) em E se satisfas as seguintes condi¸co ˜es: (p1) Para x, x0 , y ∈ E temos < x + x0 , y >=< x, y > + < x0 , y >; (p2) Para x, y ∈ E e λ ∈ R temos < λx, y >= λ < x, y >; (p3) Para x, y ∈ E temos < x, y >=< y, x >; (p4) Para x ∈ E, x 6= ~0 temos < x, x >> 0.


26

Neste caso diremos que (E, < ., . >) é um espa¸ co com produto interno (ou escalar). Observa¸ c˜ ao 2.1.11 1. Se (E, < ., . >) é um espa¸co com produto interno ent˜ ao para x, y, y 0 ∈ E e λ ∈ R temos que (p3)

(p1)

(p3)

< x, y + y 0 > = < y + y 0 , x > = < y, x > + < y 0 , x > = < x, y > + < x, y 0 > e

(p3)

(p2)

(p3)

< x, λy 0 > = < λy, x > = λ < y, x > = λ < x, y >,

(∗)

ou seja, < ., . > é linear em cada uma das suas entradas (denominada bilinear). 2. De (p4) temos que se x ∈ E e < x, x >= 0 ent˜ ao x = ~0. Logo temos que < x.x >≥ 0 para todo x ∈ E e < x, x >= 0 se, e somente se, x = ~0. ´ 3. No curso de Algebra Linear dir´ıamos que a fun¸c˜ ao < ., . > é bilinear, simétrica e positiva definida. A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos com produto interno: Exemplo 2.1.12 Seja E = Rn e definamos < ., . >: Rn × Rn → R por

n

X . < x, y >= x1 y1 + · · · + xn yn = xi yi , i=1

Rn .

onde x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que a fun¸c˜ ao < ., . > definida acima satisfaz as condi¸c˜ oes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, < ., . > é um produto interno em Rn . ´ Observa¸ c˜ ao 2.1.12 O caso n = 3 foi tratado na disciplina de Algebra Linear no R3 . Outro exemplo importante é: Exemplo 2.1.13 Seja C([a, b]; R) = {f : [a, b] → R; f cont´ınua em [a, b]}. Pode-se mostrar que C([a, b]; R) munido das opera¸c˜ oes usuais de adi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por fun¸c˜ ao é um espa¸co vetorial. Para isto basta mostrar que C([a, b]; R) é um subsepa¸co vetorial de B([a, b]; R) (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor; lembremos que se f é cont´ınua em [a, b] ent˜ ao f ser´ a limitada). Considere a seguinte fun¸c˜ ao < ., . >: C([a, b]; R) × C([a, b]; R) → R dada por: . < f, g >=

Z

b

f (x)g(x) dx, a

se f, g ∈ C([a, b]; R). Ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que < ., . > definida acima satisfaz as condi¸c˜ oes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, é um produto interno em C([a, b]; R) . Exerc´ıcio 1.1.2: + 0.5


27

Com isto temos uma cole¸cão de espa¸cos vetoriais normados (e protanto, de espa¸cos métricos), a saber: Exemplo 2.1.14 Seja (E, < ., . >) um espa¸co vetorial com produto interno. Considere a fun¸c˜ ao k.k : E → R dada por

. √ kxk = < x, x >,

(∗)

para x ∈ E. Afirmamos que k.k é uma norma em E. De fato, temos que : 1. Se x ∈ E e x 6= ~0 ent˜ ao kxk =

(p4), 0 √ < x, x > 6= 0,

isto é, vale (n1); 2. Se x ∈ E e λ ∈ R ent˜ ao √ √ p [ (p1) e a observa¸c˜ ao (2.1.11) (*)] p kλxk = < λx, λx > = λ2 < x, x > = λ2 < x, x > = |λ|kxk, isto é, vale (n2); 3. Nesta situa¸c˜ ao temos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, a saber: se (E, < ., . >) espa¸co vetorial com produto interno ent˜ ao para todo x, y ∈ E temos que | < x, y > | ≤ kxk kyk. De fato: Se x = ~0 valer´ a a igualdade, logo vale a desiguladade. Se x 6= ~0 podemos definir . < x, y > . λ= e z = y − λx kxk2 . Observemos que < z, x > =< y − λx, x >=< y, x > −λ < x, x >=< y, x > −

< x, y > < x, x > < x, x >

=< x, y > − < x, y >= 0, (isto é, os vetores em quest˜ ao s˜ ao ortogonais). Logo kyk2 =< y, y >=< z + λx, z + λx >=< z, z > +λ < z, x > +λ < x, z > +λ2 < x, x > [==0]

=

kyk2 + λ2 kxk2

[kyk2 ≥0]

≥

λ2 kxk2 .

Logo λ2 kxk2 ≤ kyk2 ,


28 ou seja,

·

< x, y > kxk2

¸2

kxk2 ≤ kyk2 ,

isto é, < x, y >2 ≤ kxk2 kyk2 implicando a desigualdade acima, como quer´ıamos demonstrar. 4. Utilizando a Deisgualdade de Cauchy-Schwarz temos que kx + yk2 =< x + y, x + y >=< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y > = kxk2 + 2 < x, y > +kyk2 ≤ kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 , inplicando que kx + yk ≤ kxk + kyk, ou seja , vale (n3). Com isto temos que k.k é uma norma em E. Observa¸ c˜ ao 2.1.13 1. No caso acima diremos que a norma (*) definida acima é uma norma que prov´ em do produto interno de E. 2. Logo o exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial com produto interno pode tornar-se um espa¸co vetorial normado (com a norma que provém do produto interno dado). 3. Pergunta-se: Seja E um espa¸co vetorial. Toda norma de E provém de um produto interno? A resposta é negativa, isto é, existem espa¸cos vetoriais que possuem normas que n˜ ao provém de um produto interno. No exerc´ıcio 5 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor é convidado a mostrar que em B(X; R) a norma da convergência uniforme n˜ ao provém de um produto interno. Um outro exemplo pode ser obtido utlizando-se o item abaixo. 4. Como exerc´ıcio para o leitor temos o:

Exerc´ıcio 1.1.3: +0.5

Seja (E, k.k) um espa¸co vetorial normado. A norma k.k provém de um produto interno se, e somente se, temos que kx + yk2 + kx − yk2 = 2[kxk2 + kyk2 ], que é conhecida como lei do paralelogramo. 5. Logo a norma k.k0 em R2 n˜ ao provém de um produto interno pois tomando-se x = (1, 0) e y = (0, 1) temos que estes vetores n˜ ao satisfazem a lei do paralelogramo (verifique!). 6. Como conseq¨ uência do que vimos acima todo espa¸co vetorial com produto interno é um espa¸co métrico (basta tomar a métrica que provém da norma que é proveniente do produto interno). Para concluir a se¸cão temos o:


29

Exemplo 2.1.15 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) dois espa¸cos métricos. Em M × N podemos considerar as seguinte fun¸c˜ oes d, d0 , d00 : [M × N ] × [M × N ] → R dadas por: . p d(z, z 0 ) = [dM (x, x0 )]2 + [dN (y, y 0 )]2 ; . d0 (z, z 0 ) = dM (x, x0 ) + dN (y, y 0 ); . d00 (z, z 0 ) = max{dM (x, x0 ), dN (y, y 0 )}, onde z = (x, y), z 0 = (x0 , y 0 ) ∈ M × N . Ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que d, d0 , d00 s˜ ao metricas em M × N . Observa¸ c˜ ao 2.1.14 1. Podemos generalizar o exemplo acima para um produto finito de espa¸cos métricos. Mais precisamente, se (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), · · · , (Mn , dn ) s˜ ao n-espa¸cos métricos ent˜ ao podemos definir as seguintes métricas (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) no produto cartesiano M1 × M2 × · · · × Mn : v u n p uX . 2 2 d(x, y) = [d1 (x1 , y1 )] + · · · + [dn (xn , yn )] = t [di (xi , yi )]2 ; i=1

. d0 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn ) =

n X

di (xi , yi );

i=1

. d00 (x, y) = max{d1 (x1 , y1 ), · · · , dn (xn , yn )} = max {di (xi , yi )}, 1≤i≤n

onde x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ M1 × M2 × · · · × Mn . . 2. A métrica d definida acima ser´ a dita m´ etrica produto em M = M1 × M2 × · · · × Mn . . A métrica d0 definida acima ser´ a dita m´ etrica da soma em M = M1 × M2 × · · · × Mn . . A métrica d00 definida acima ser´ a dita m´ etrica do m´ aximo em M = M1 ×M2 ×· · ·×Mn . 3. De modo an´ alogo ao feito na proposi¸ca õ (2.1.1) pode-se mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que para todo x, y, ∈ M1 × M2 × · · · × Mn temos d00 (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d0 (x, y) ≤ n d00 (x, y). 4. Quando M1 = M2 = · · · = Mn = R reobteremos o espa¸co euclideano Rn como produto cartesiano de n c´ opias do esp¸cao métrico R. 25.08.2008 - 7.a e 8.a


30

2.2

Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos m´ etricos

Come¸caremos introduzindo a: Defini¸ c˜ ao 2.2.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico, a ∈ M e r > 0. Definimos a bola aberta de centro em a e raio r, denotada por B(a; r) como sendo o seguinte subconjunto de M : . B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}. Definimos a bola fechada de centro em a e raio r, denotada por B[a; r] como sendo o seguinte subconjunto de M : . B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}. Definimos a esfera de centro em a e raio r, denotada por S(a; r) como sendo o seguinte subconjunto de M : . S(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) = r}. Observa¸ c˜ ao 2.2.1 1. A bola aberta de centro em a e raio r é o conjunto dos pontos de M cuja a distˆ ancia ao ponto a é menor do que r. A bola fechada de centro em a e raio r é o conjunto dos pontos de M cuja a distˆ ancia ao ponto a é menor ou igual do que r. A esfera aberta de centro em a e raio r é o conjunto dos pontos de M cuja a distˆ ancia ao ponto a é igual r. ´ f´ 2. E acil ver que B[a; r] = B(a; r) ∪ S(a; r), onde a reuni˜ ao é disjunta, isto é, B(a; r) ∩ S(a; r) = ∅. 3. Se M = E é um espa¸co vetorial e a métrica d provém de uma norma k.k (isto é, d(~x, ~y ) = k~x − ~y k, ~x, ~y ∈ E) ent˜ ao segue que . B(~a; r) = {~x ∈ E : k~x − ~ak < r}, . B[~a; r] = {~x ∈ E : k~x − ~ak ≤ r}, . S(~a; r) = {~x ∈ E : k~x − ~ak = r}. Temos o seguinte resultado: Proposi¸ c˜ ao 2.2.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, X ⊆ M um subsepa¸co (métrico) de M , a ∈ X e r > 0. Denotemos por BX (a; r) a bola aberta de centro em a e raio r em X. Ent˜ ao BX (a; r) = B(a; r) ∩ X, onde B(a; r) é a bola aberta de centro em a e raio r em M . Reciprocamente, dada a bola aberta de centro em a e raio r em M ent˜ ao B(a; r) ∩ X é a bola aberta de centro em a e raio r em X, ou seja, B(a; r) ∩ X = BX (a; r).

´ 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS

31

Demonstra¸ c˜ ao: Observemos que BX (a; r) = {x ∈ X : dX (x, a) < r} = {y ∈ M : d(y, a) < r} ∩ X = B(a : r) ∩ X, completando deste modo a demonstra¸cão do resultado. ¤ De modo semelhante podemos provar a: Proposi¸ c˜ ao 2.2.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, X ⊆ M um subsepa¸co (métrico) de M , a ∈ X e r > 0. Denotemos por BX [a; r] e SX (a; r) a bola fechada e esfera de centro em a e raio r em X, respectivamente. Ent˜ ao BX [a; r] = B[a; r] ∩ X, SX [a; r] = S(a; r) ∩ X onde B[a; r], S(a; r) s˜ ao a bola fechada e a esfera de centro em a e raio r em M , respectivamente. Reciprocamente, dada a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em M ent˜ ao B[a; r] ∩ X, ou S(a; r) ∩ X é a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em X, respectivamente ou seja, B[a; r] ∩ X = BX [a; r],

S(a; r) ∩ X = SX [a; r].

Demonstra¸ c˜ ao: A demonstra¸cão será deixada como exerc´ıcio para o leitor. ¤ Para ilustrar temos os seguintes exemplos: Exemplo 2.2.1 Consideremos R2 com a métrica usual e X = S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. Seja ~a ∈ S 1 e r > 0. Da proposi¸c˜ ao (2.2.1) segue que BS 1 (~a; r) ser´ a um arco (sem os extremos) da circunferência 1 S cujo ponto médio ser´ a ~a (vide figura abaixo). y ~

6

BS 1 (~ a; r)

6

S1

-

? ~ a

r

BR2 (~ a : r)

9

-

~ x


32

De modo semelhante, da proposi¸c˜ ao (2.2.2) segue que BS 1 [~a; r], SS 1 (~a; r) s˜ ao o arco (com os extremos) da circunferência S 1 cujo ponto médio ser´ a o ~a e os pontos extremos do mesmo arco, respectivamente (vide figura abaixo). y ~

BS 1 [~ a; r]

6 *

-

S1

?

6 r

SS 1 (~ a; r)

BR2 [~ a : r]

9

~ a

z -

~ x

Exemplo 2.2.2 Sejam M 6= ∅ munido da métrica zero-um, a ∈ X e r > 0. Ent˜ ao Se r > 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}

[d(x,a)≤1
=

[d(x,a)≤1
=

M, M;

[r<1]

Se r < 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a}, [r<1]

B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a}; [r<1]

Se r = 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {a}, [r=1]

B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = M, Como conseq¨ uência temos que S(a, r) = B[a; r] \ B(a; r) = ∅,

se

r 6= 1,

S(a; 1) = B[a; 1] \ B(a; 1) = M − {a}.

Exemplo 2.2.3 Sejam R com a métrica usual, a ∈ R e r > 0. Ent˜ ao: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {x ∈ M : |x − a| < r} = (a − r, a + r), ou seja, um intervalo aberto, B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = {x ∈ M : |x − a| ≤ r} = [a − r, a + r], ou seja, um intervalo fechado; S(a, r) = B[a; r] \ B(a; r) = {a − r, a + r}, ou seja, os extremos do intervalo. Geometricamente temos:


33

Bola aberta de centro em a e raio r

a−r

a

a+r

Bola fechada de centro em a e raio r

a−r

a

a+r

Esfera de centro em a e raio r a

-

a−r

a+r

Exemplo 2.2.4 Consideremos em R2 as métricas d, d0 , d00 definidas no exemplo (2.1.4). Sejam ~a = (a1 , a2 ) ∈ R2 e r > 0. Ent˜ ao: p B(~a; r) = {(x, y) ∈ R2 : d[(x, y), (a1 , a2 )] < r} = {(x, y) ∈ R2 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 < r} = {(x, y) ∈ R2 : (x − a1 )2 + (y − a2 )2 < r2 }, isto é, a regi˜ ao interior de um c´ırculo de centro no ponto a e raio r (veja figura abaixo).

3 r

~ a = (a1 , a2 )

B 0 (~a; r) = {(x, y) ∈ R2 : d0 [(x, y), (a1 , a2 )] < r} = {(x, y) ∈ R2 : |x − a1 | + |y − a2 | < r} isto é, a regi˜ ao interior do losango de centro em a e cujas diagonais s˜ ao paralelas aos eixos coordenados (veja figura abaixo). Observemos que   x − a1 + y − a2 = r, se x − a1 ≥ 0 e y − a2 ≥ 0    −(x − a ) + y − a = r, se x − a < 0 e y − a > 0 1 2 1 2 |x−a1 |+|y−a2 | = r se, e somente se, −(x − a1 ) − (y − a2 ) = r, se x − a1 < 0 e y − a2 < 0    x − a − (y − a ) = r, se x − a > 0 e y − a < 0 1 2 1 2 que s˜ ao as quatro retas que determinam losango abaixo.


34 6

(a1 , a2 + r)

¾

-

−x + a1 + y − a2 = r

~ a = (a1 , a2 )

(a1 − r, a2 )

-

−x + a1 − y + a2 = r

x − a1 + y − a2 = r

(a1 + r, a2 )

¾

x − a1 − y + a2 = r

(a1 , a2 − r)

-

B 00 (~a; r) = {(x, y) ∈ R2 : d00 [(x, y), (a1 , a2 )] < r} = {(x, y) ∈ R2 : max{|x − a1 |, |y − a2 |} < r} = {(x, y) ∈ R2 : |x − a1 | < r e |y − a2 | < r} = (a1 − r, a1 + r) × (a2 − r, a2 + r) isto é, a regi˜ ao interior do quadrado [a1 − r, a1 + r] × [a2 − r, a2 + r]) (veja figura abaixo). 6 a2 + r

~ a = (a1 , a2 )

a2

a2 − r

a1 − r

a1

a1 + r

Observa¸ c˜ ao 2.2.2 Geometricamente, o exemplo (2.2.4) ilustra que uma bola (aberta ou fechada) pode n˜ ao corresponder ao que pensamos (por exemplo, uma bola ser um quadrado!). Exemplo 2.2.5 Seja (B([a, b]; R)), d) onde d é a métrica do sup (veja exemplo (2.1.8)). Sejam f ∈ B([a, b]; R)) e r > 0. Observemos que g ∈ B(f ; r) se, e somente se, r > d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| x∈[a,b]

que implicar´ a |f (x) − g(x)| < r


35

para todo x ∈ [a, b], ou ainda, f (x) − r < g(x) < f (x) + r para cada x ∈ [a, b]. Geometricamente podemos interpretar isso da seguinte forma: encontremos a representa¸c˜ ao gr´ afica do gr´ afico de f , isto é, . G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ [a, b]}. Encontremos a faixa de amplitude 2r em torno do gr´ afico de f , isto é, o conjunto . F2r (f ) = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, f (x) − r < y < f (x) + r}. Geometricamente temos: F2r (f )

6 r G(f ) r

6 f (x) ? 6

®

?

x

Deste modo, se g ∈ B(f ; r) ent˜ ao o gr´ afico de g estar´ a contido na faixa de amplitude 2r em torno do gr´ afico de f , isto é, G(g) ⊆ F2r (f ). Geometricamente temos 6 r G(g) r

G(f )

6 ?f (x) 6 ?

x

Observa¸ c˜ ao 2.2.3 No exemplo acima, pode ocorrer de G(g) ⊆ F2r (f ) e(d(f, g) = r. x, 0 ≤ x < 1 Para ver isto basta considerar f (x) = 0 para todo x ∈ [0, 1] e g(x) = 0, x = 1 Neste caso d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| = 1, 0≤x≤1

logo g 6∈ B(f ; 1) mas G(g) est´ a contido em F2 (f ) (veja figura abaixo).

.


36 6

G(g)

)

F2r (f )

-

G(f )

Exemplo 2.2.6 Seja

. M = {~z = (x, y) ∈ R2 : k~zk ≤ 1}

subespa¸co (métrico) de R2 munido da métrica usual. Logo se r > 1 temos que BM (~0; r) = BM [~0; r] = M e assim

SM (~0; r) = ∅.

. Exemplo 2.2.7 Sejam (M1 , d1 ), · · · (Mn , dn ) espa¸cos métricos e M = M1 × · · · Mn munido da métrica do m´ aximo (isto é, d00 da observa¸c˜ ao (2.1.14) itens 1. e 2.). Sejam a = (a1 , · · · , an ) ∈ M e r > 0. Ent˜ ao B(a; r) = {x ∈ M : d00 (x, a) < r} = {(x1 , · · · , xn ) ∈ M1 × · · · × Mn : max di (xi , ai ) < r} 1≤i≤n

= {(x1 , · · · , xn ) ∈ M1 × · · · × Mn : di (xi , ai ) < r, para todo i = i, · · · , n} = {x1 ∈ M1 : d1 (x1 , a1 ) < r} × · · · × {xn ∈ Mn : dn (xn , an ) < r} = BM1 (a1 ; r) × · · · × BMn (an ; r) De modo semelhante (exerc´ıcio para o leitor) temos B[a; r] = BM1 [a1 ; r] × · · · × BMn [an ; r] Logo acabamos de mostrar que a bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano com a métrica do m´ aximo é o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores do produto cartesiano. Observa¸ c˜ ao 2.2.4


37

1. Se no exemplo acima mudarmos a métrica do m´ aximo pela métrica produto ou pela métrica da soma a afirma¸c˜ ao ser´ a falsa, isto é, uma bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano pode n˜ ao ser o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores do produto cartesiano. Como exerc´ıcio para o leitor deixaremos que o mesmo encontre um contra-exemplo em R2 . 2. Se considerarmos R3 como sendo o produto cartesiano de R2 × R onde R2 e R est˜ ao munidos das correspondentes métricas euclieanas e tormarmos em R3 = R2 × R a métrica . d[(x, t), (x0 , t0 )] = max{dR2 (x, x0 ), dR (t, t0 )}, onde (x, t), (x0 , t0 ) ∈ R2 × R ent˜ ao uma bola aberta, B(~a; r) (ou fechadas) em R3 munido ao cilindros retos com base circular (contida no plano z = ar ), com da métrica d acima ser˜ centro em ~a e raio r)e altura 2r. 6

6 B(~ 0; r) r r r

? 6

1

-

= ?

A verifica¸c˜ ao deste fato ser´ a deixada como exerc´ıcio para o leitor. 1.09.2008 - 9.a e 10.a Temos a Defini¸ c˜ ao 2.2.2 Seja (M, d) um espa¸co métrico. Diremos que um ponto a ∈ M é um ponto isolado de M se existir uma bola aberta de M que contenha somente o ponto a, isto é, existe r > 0 tal que B(a; r) = {a}. Observa¸ c˜ ao 2.2.5 1. Um ponto a ∈ M é ponto isolado em M se existe r > 0 tal que n˜ ao existem pontos, ancia menor que r do pr´ oprio ponto. diferentes do ponto a, a uma distˆ 2. Um ponto a ∈ M n˜ ao é ponto isolado de M se toda bola aberta centrada em a contém, pelo menos, um ponto de M diferente do ponto a, isto é, para todo r > 0 temos [B(a; r) ∩ M ] \ {a} 6= ∅. Consideremos os


38

Exemplo 2.2.8 Seja Z o conjunto formado por todos os n´ umeros reais inteiros munido da métrica usual induzida de R. Afirmamos que todo ponto de Z é ponto isolado de Z. De fato, se n ∈ Z e 0 < r ≤ 1 ent˜ ao B(n; r) ∩ Z = {n} [0
(pois B(n; r) = {x ∈ Z : |x−n| < r ≤ 1} = {n}), pois B(n; r) = (n−r, n+r) ⊆ (n−1, n+1), ou seja, n˜ ao existe um natural, diferente de n, no intervalo (n − 1, n + 1) (veja figura abaixo), mostrando que todo n ∈ Z é ponto isolado de Z. n−1

n

n+1

1 1 1 . Exemplo 2.2.9 Seja P = {0, 1, , , · · · , , · · · } munido da métrica usual induzida de R. 2 3 n Observemos que o ponto 0 ∈ P n˜ ao é um ponto isolado de P . 1 De fato, dado r > 0 existe n0 ∈ N tal que n0 > . r Logo 1 1 1 d( , 0) = | − 0| = < r, n0 n0 n0 isto é, 1 ∈ [B(0; r) ∩ P ] \ {0}, n0 ou seja, 0 n˜ ao é ponto isolado de P . Por outro lado, qualquer outro ponto de P é isolado. 1 1 ∈ P ent˜ (veja figura ao o ponto mais pr´ oximo dele em P é o ponto De fato, se n n+1 abaixo),

0

cuja distˆ ancia a

1 n+1

1 n

1 n−1

1

1 é n 1 1 1 1 (n + 1) − n 1 d( , )=| − |=| |= . n n+1 n n+1 n(n + 1) n(n + 1)

Logo se tomarmos 0
1 1 d(x, ) < r < n n(n + 1)

deveremos ter x =

mostrando que

1 n(n + 1)

1 , ou seja, n

1 1 [B( ; r) ∩ P ] \ { } = ∅, n n

1 é ponto isolado de P , para todo n ∈ N. n


39

1 1 1 . Observa¸ c˜ ao 2.2.6 Se P = {1, , , · · · , , · · · } munido da métrica usual induzida de R ent˜ ao, 2 3 n segue do exemplo acima, que todo ponto de P é um ponto isolado de P . Exemplo 2.2.10 Seja E um espa¸co vetorial normado com E 6= {~0}. Afirmamos que nenhum ponto de E é ponto isolado de E. De fato, dado ~a ∈ E, para todo r > 0, mostremos que B(~a; r) \ {~a} 6= ∅. Para mostrar isso, consideremos ~y ∈ E, ~y 6= ~0. Logo o vetor . r ~z = ~y 2k~y k é diferente do vetor ~0 e k~zk = k

r r r ~y k = k~y k = , 2k~y k 2k~y k 2

logo 0 < k~zk < r. . Seja ~x = ~a + ~z. Ent˜ ao ~x 6= ~a (pois ~z 6= ~0) e k~x − ~ak = k~zk < r, ou seja, ~x ∈ B(~a; r) e ~x 6= ~a, mostrando que ~x ∈ B(~a; r) \ {~a}, isto é, B(~a; r) \ {~a} 6= ∅. Portanto todo ponto de E n˜ ao é ponto isoldado de E. Geometricamente temos:

. r y ~ x=~ a + 2k~ ~ yk

> ~ a

r

~

y ~

*

Temos a Defini¸ c˜ ao 2.2.3 Diremos que um espa¸co métrico (M, d) é discreto se todo ponto de M é um ponto isolado de M . Exemplo 2.2.11 O exemplo (2.2.8) mostra que Z com a métrica usual induzida de R é um espa¸co métrico discreto.


40

1 1 1 Exemplo 2.2.12 A observa¸c˜ ao (2.2.6) mostra que P = {1, , , · · · , , · · · } com a métrica 2 3 n usual induzida de R é um espa¸co métrico discreto. Exemplo 2.2.13 Seja M um conjunto n˜ ao vazio e d a métrica zero-um em M . Ent˜ ao (M, d) é um espa¸co métrico discreto, pois se a ∈ M ent˜ ao para 0 < r ≤ 1 temos, do exemplo (2.2.2), que B(a; r) = {a}, ou seja todo ponto de M é ponto isolado de M , portanto M é um espa¸co métrico discreto. Defini¸ c˜ ao 2.2.4 Seja (M, d) um espa¸co métrico. Diremos que um subconjunto X ⊆ M é discreto se X como subsepa¸co (métrico) de M for um espa¸co métrico discreto. Observa¸ c˜ ao 2.2.7 Na situa¸c˜ ao acima, X é discreto se, e somente se, para cada x ∈ X existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ X = {x}. Exemplo 2.2.14 Seja (M, d) um espa¸co métrico e X um subconjunto finito de M . Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que X é um subconjunto discreto de M . Para finalizar a se¸cão temos a: Proposi¸ c˜ ao 2.2.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico, a, b ∈ M com a 6= b. Consideremos r, s > 0 tais que r + s ≤ d(a, b). Ent˜ ao as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) s˜ ao disjuntas (veja figura abaixo), isto é, B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅.

a r

¾

-

¾

b s

d(a, b) > r + s

Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B(a; r) ∩ B(b; s). Logo d(a, x) < r e d(b, x) < s. Portanto d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) < r + s ≤ d(a, b), ou seja, d(a, b) < d(a, b), o que é um absurdo. Logo B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅ como quer´ıamos mostrar. ¤ De modo semelhante temos a:

´ 2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAC ¸ OS METRICOS

41

Proposi¸ c˜ ao 2.2.4 Na situa¸ca õ da proposi¸c˜ ao acima, se r + s < d(a, b) ent˜ ao as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] s˜ ao disjuntas , isto é, B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅. Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B[a; r] ∩ B[b; s]. Logo d(a, x) ≤ r e d(b, x) ≤ s. Portanto d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ r + s < d(a, b), ou seja, d(a, b) < d(a, b), o que é um absurdo. Logo B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅ como quer´ıamos mostrar. ¤

2.3

Subconjuntos limitados de um espa¸cos m´ etricos

Iniciaremos com a Defini¸ c˜ ao 2.3.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico. Diremos que um subconjunto X ⊆ M , n˜ ao vazio, é limitado em M se existir c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X. . Observa¸ c˜ ao 2.3.1 Se X ⊆ M é limitado me M ent˜ ao podemos considerar o conjunto D = {a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ X} ⊆ R. Como X é limitado em M segue que D é n˜ ao vazio e limitado superiormente (ou seja, existe c ∈ R tal que c ∈ D). Como todo subconjunto limitado superiormente em R admite supremo segue que existe 0 ≤ sup D < ∞. Logo podemos introduzir a Defini¸ c˜ ao 2.3.2 Na situa¸c˜ ao acima, sup D ser´ a denominado diˆ ametro de X e indicado por diam(X), ou seja, diam(X) = sup{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ X}. Observa¸ c˜ ao 2.3.2 1. Se X ⊆ M n˜ ao for limitado em M escreveremos diam(X) = ∞. Isto significa que para todo c > 0 existem xc , yc ∈ X tal que d(xc , yc ) > c. 2. Se X ⊆ M for limitado ent˜ ao d(x, y) ≤ diam(X),

para todo x, y, ∈ X.

´ f´ acil mostrar que (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que se X ⊆ M for limitado 3. E em M e Y ⊆ X ent˜ ao Y ⊆ M é limitado em M e diam(Y ) ≤ diam(X).


42 Consideremos alguns exemplos

Exemplo 2.3.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico. Ent˜ ao toda bola aberta (ou fechada; ou esfera) é subconjunto limitado de M e seu diˆ ametro é menor ou igual ao dobro do seu raio. De fato, seja a ∈ M e r > 0. Se x, y ∈ B(a; r) ent˜ ao d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r mostrando que B(a; r) é um subconjunto limitado de M . Além disso segue que 2r é um limitante superior do conjunto {a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ B(a; r)}. Portanto diam[B(a; r)] ≤ 2r, como afirmamos acima. Vale o an´ alogo para a bola fechada B[a; r] e para a esfera S(a; r) (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor). Observa¸ c˜ ao 2.3.3 Em geral, n˜ ao podemos garantir que o diˆ ametro da bola aberta (ou fechada, ou esfera) seja igual ao dobro do seu raio, como mostra o seguinte exemplo: Consideremos Z com a métrica usual induzida de R, r = 1 e n ∈ Z. Como vimos no exemplo (2.2.8) temos que B(n; 1) = {n} cujo diˆ ametro é zero (que é menor que 2). Quando vale a igualdade? O exemplo a seguir responde esta quest˜ ao: Exemplo 2.3.2 Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E 6= {~0}. Afirmamos que toda bola aberta (ou fechada, ou esfera) tem diˆ ametro igual ao dobro do raio da mesma. De fato, sejam ~a ∈ E e r > 0. Sabemos que B(~a; r) é um subconjunto limitado de E e que diam[B(~a; r)] ≤ 2r. Mostremos que se s < 2r ent˜ ao s n˜ ao poder´ a ser pode ser diˆ ametro de B(~a; r), ou seja, existem ~x1 , ~y1 ∈ B(~a; r) tal que d(x1 , y1 ) > s. Consideremos ~y ∈ E tal que ~y 6= ~0 e seja t ∈ R tal que s < 2t < 2r. Observemos que o vetor

. t x= y∈E kyk

tem a seguinte propriedade: kxk = k

t kyk yk = t = t, kyk kyk

ou seja kxk = t < r. Afirmamos que os vetores . . x1 = a + x, x2 = a − x ∈ B(a; r).


43

De fato, d(a + x, a) = k(a + x) − ak = kxk = t < r e, de modo semelhante temos d(a − x, a) = k(a − x) − ak = k − xk = kxk = t < r. Além disso d(a + x, a − x) = k(a + x) − (a − x)k = k2xk = 2kxk = 2t > s, ou seja, d(x1 , y1 ) > s, logo s < 2r n˜ ao pode ser o diˆ ametro da bola aberta B(a; r). Geometricamente temos K y ~ ~ x1 = ~ a + t k~ yk

r

µ

~ a

ª

y ~ y ~1 = ~ a − t k~ yk

µ

y ~

De modo an´ alogo (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) podemos mostrar que diam[B[a; r]] = 2r

e

diam[S(a; r)] = 2r.

Observa¸ c˜ ao 2.3.4 1. Dado um espa¸co métrico qualquer (mesmo sendo n˜ ao limitado) podemos considerar subespa¸cos (métricos) do mesmo que sejam limitados. Basta considerarmos os subconjunto limitados do mesmo e colocar a métrica induzida do espa¸co métrico dado neste subconjunto. 2. Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E 6= {~0}. Ent˜ ao E n˜ ao é limitado. De fato, dado x ∈ E, x 6= ~0, para cada c > 0 podemos considerar o vetor de E definido por . 2c xc = x. kxk Observemos que kxc k = k

2c kxk xk = 2c = 2c > c, kxk kxk

logo d(xc , 0) = kxc − 0k = kxc k > c, mostrando que E n˜ ao é limitado.


44 3. Seja (M, d) um espa¸co métrico.

Vale observar que um subconjunto X ⊆ M é limitado em M se, e somente se, X est´ a contido em alguma bola aberta de M , isto é, existe a ∈ M e r > 0 tal que X ⊆ B(a; r). De fato, se existe a ∈ M e r > 0 tal que X ⊆ B(a; r) ent˜ ao para todo x, y ∈ X temos que d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r, ou seja X é limitado (e seu diˆ amentro é menor ou igual a 2r). Reciprocamente, se X é limitado em M ent˜ ao existe c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X. Consideremos x0 ∈ X. Temos que d(x, x0 ) ≤ c para todo x ∈ X, assim se X ⊆ B(x0 ; r), ou seja X est´ a contido em uma bola aberta de M , como quer´ıamos mostrar. Temos a Proposi¸ c˜ ao 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X, Y ⊆ M limitados em M . Ent˜ ao X ∪ Y e X ∩ Y s˜ ao subconjuntos limitados em M . Demonstra¸ c˜ ao: Observemos que X ∩ Y ⊆ X e como X é limitado em M segue, da Observa¸c˜ ao (??) item 3., que X ∩ Y também será limitado em M . Se X = ∅ ou Y = ∅ segue que X ∪ Y = Y ou X ∪ Y = X, respectivamente, implicando que X ∪ Y é limitado. Logo podemos supor, sem perda de generalidade, que X, Y 6= ∅. Como X, Y são limitados em M existem c, d > 0 e a, b ∈ M tais que d(x, a) ≤ c e

d(y, b) ≤ d

para todo x ∈ X e y ∈ Y . Podemos supor, sem perdade de generalidade, que c ≥ d, assim d(x, a) ≤ c e

d(y, b) ≤ c

para todo x ∈ X e y ∈ Y . . Considere k = 2c + d(a, b) > 0. Logo se x ∈ X e y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ c + d(a, b) + c = k. Portanto se x, y ∈ X ∪ Y temos que: Se x, y ∈ X temos que d(x, y) ≤ c < k Se x, y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ c < k Se x ∈ X e y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ k, ou seja, d(x, y) ≤ k para todo x, y ∈ X ∪ Y , mostrando que X ∪ Y é limitado em M . ¤ Como conseq¨ uência temos o:


45

Corol´ ario 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X1 , X2 , · · · , Xn ⊆ M limitados em M . Ent˜ ao X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn e X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn s˜ ao subconjuntos limitados em M . Demonstra¸ c˜ ao: Utiliza-se indu¸cão matemática e a proposi¸c˜ ao acima (será deixado como exerc´ıcio para o leitor). ¤ Como outra conseq¨ uência temos o Corol´ ario 2.3.2 Seja (M, d) espa¸co métrico. Todo subconjunto finito de M é limitado. Demonstra¸ c˜ ao: Basta observar que se X é um subconjunto finito de M ele será uma reunião finita dos conjuntos formados por cada um dos seus pontos e como o conjunto formado por um ponto é limitado segue, do corolário acima, que X ser´ a limitado em M . ¤ Nota¸ c˜ ao 2.3.1 Dada uma fun¸c˜ ao f : X → Y denoteremos seu conjunto imagem por f (X), isto é, . f (X) = {f (x) : x ∈ X} ⊆ Y. Podemos agora introduzir a Defini¸ c˜ ao 2.3.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X um subconjunto n˜ ao vazio. Diremos que uma fun¸ca õ f : X → M é limitada se seu conjunto imagem, f (X), for um subconjunto limitado de M . Vejamos alguns exemplos 1 , x ∈ R. 1 + x2 Observemos que |f (x)| ≤ 1, para todo x ∈ R, logo f é uma fun¸c˜ ao limitada (neste caso temos f (R) = (0, 1]). A figura abaixo nos d´ a o gr´ afico de f .

. Exemplo 2.3.3 Seja R com a métrica usual e f : R → R dada por f (x) =

6

1

G(f )

-

. Exemplo 2.3.4 Na situa¸c˜ ao acima se considerarmos g : R → R dada por g(x) = x2 para x ∈ R temos que g(R) = [0, ∞) logo n˜ ao ser´ a um subconjunto limitado de R, mostrando que a fun¸c˜ ao g na˜ o ser´ a limitada. A figura abaixo nos d´ a o gr´ afico de g.


46 6

G(g)

-

Exemplo 2.3.5 Se a métrica d em Rn provém de uma norma de Rn ent˜ ao d n˜ ao é uma fun¸c˜ ao limitada. De fato, da observa¸c˜ ao (2.3.4) item 2. temos que Rn n˜ ao é limitado, logo d(Rn × Rn ) = [0, ∞) ⊆ R n˜ ao poder´ a ser um subconjunto limitado de R, logo a fun¸c˜ ao d n˜ ao ser´ a uma fun¸c˜ ao limitada. Podemos agora generalizar o exemplo (2.1.8) por meio do Exemplo 2.3.6 Sejam X um conjunto n˜ ao vazio e (M, dM ) um espa¸co métrico. Indiquermos por B(X; M ) o conjunto de todas as fun¸c˜ oes limitadas definidas em X e tomando valores em M , isto é, . B(X; M ) = {f : X → M : f é limitada }. Dadas f, g ∈ B(X; M ) temos que o conjunto {dM (f (x), g(x)) : x ∈ X} é limitado em R. De fato, como f e g s˜ ao limitadas segue que f (X) e g(X) s˜ ao subconjuntos limitados em M . Logo da proposi¸c˜ ao (2.3.1) segue que f (X)∪g(X) é um subconjunto limitado em M , ou seja, {dM (f (x), g(x)) : x ∈ X} é limitado em R, portanto admite supremo. Logo, dadas f, g ∈ B(X; M ), podemos definir . d(f, g) = sup {dM (f (x), g(x))}. x∈X

Pode-se mostrar (exerc´ıcio para o leitor) que d é uma métrica em B(X; M ) que é denominada m´ etrica da convergˆ encia uniforme ou m´ etrica do sup. Observa¸ c˜ ao 2.3.5 1. Na situa¸c˜ ao acima podemos considerar o conjunto F(X; M ) formado por todas as fun¸c˜ oes definidas em X com valores em M . Neste caso a métrica do sup n˜ ao tem sentido em F(X; M ) pois existem fun¸c˜ oes f, g : X → M tais que o conjunto {dM (f (x), g(x)) : x ∈ X} n˜ ao é limitado em R (logo n˜ ao poderemos considerar o supremo desse conjunto). Nesta situa¸c˜ ao podemos decompor F(X; M ) como uma reuni˜ ao de espa¸cos métricos nos quais podemos introduzir a métrica do sup. Para mais detalhes ver [1] pag. 15.

ˆ ´ 2.4. DISTANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAC ¸ O METRICO47 2. Seja (E, k.k) é um espa¸co vetorial normado. Pode-se mostrar (exerc´ıcio para o leitor) que se f, g ∈ B(X; E) e λ ∈ R ent˜ ao (f + g) ∈ B(X; E) e λf ∈ B(X; E), ou seja B(X; E) tornar-se-´ a um espa¸co vetorial . Neste caso a métrica da convergência uniforme em B(X; E) provém da seguinte norma de B(X; E): . kf k = sup kf (x)kE , f ∈ B(X; E). x∈X

De fato, pois d(f, g) = sup{dE (f (x), g(x)) : x ∈ X} = sup kf (x) − g(x))k. x∈X

1.09.2008 - 10.a Aula de Exerc´ıcios 15.09.2008 - 11.a

2.4

Distˆ ancia de um ponto a um subconjunto em um espa¸co m´ etrico

Observa¸ c˜ ao 2.4.1 Como motiva¸c˜ ao consideremos o seguinte caso: Em um plano consideremos X uma reta e a um ponto que n˜ ao pertence ` a reta X. Consideremos x0 ∈ X o pé da perpendicular ` a reta X que contém o ponto a (vide figura abaixo). X a

x0

Seja x ∈ X tal que x 6= x0 . Ent˜ ao aplicando o Teorema de Pit´ agoras ao triˆ angulo retˆ angulo ∆ax0 x (veja figura abaixo) obtemos [d(a, x)]2 = [d(a, x0 )]2 + [d(x0 , x)]2 . X a x

x0


48 Em particular temos que

d(a, x) ≥ d(a, x0 ) para todo x ∈ X, ou seja, x0 é o ponto mais pr´ oximo do ponto a que pertence ` a reta X. Deste modo podemos escrever d(a, x0 ) = inf {d(a, x)}. x∈X

Podemos generalizar este fato, para isto observemos que Se (M, dM ) um espa¸co métrico, X ⊆ M n˜ ao vazio e a ∈ M ent˜ ao o conjunto {dM (x, a) : x ∈ X} ⊆ R é limitado inferiormente por 0 (pois dM (a, x) ≥ 0). Logo admite ´ınfimo, assim temos a: Defini¸ c˜ ao 2.4.1 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico, X ⊆ M n˜ ao vazio e a ∈ M . Definimos a distˆ ancia do ponto a ao conjunto X, indicada por d(a, X), como sendo d(a, X) = inf{dM (a, x) : x ∈ X}. Observa¸ c˜ ao 2.4.2 1. Das propriedades de ´ınfimo temos: (a) d(a, X) ≤ d(a, x) para todo x ∈ X (isto é, d(a, X) é um limitante inferior do conjunto {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ R); (b) Se d(a, X) < c ent˜ ao existe x ∈ X tal que d(a, x) < c (isto é, d(a, X) é o maior dos limitantes inferiores). 2. Observemos que se a ∈ X ent˜ ao d(a, X) = 0. De fato, se a ∈ X ent˜ ao 0 = d(a, a) ∈ {d(a, x) : x ∈ X}. 3. Além disso, se X ⊆ Y ent˜ ao d(a, Y ) ≤ d(a, X). Lembremos que se A ⊆ B ent˜ ao inf B ≤ inf A (*). Logo, se X ⊆ Y ent˜ ao {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ {d(y, a) : y ∈ Y }. Assim de (*) temos que d(a, Y ) = inf{d(y, a) : y ∈ Y } ≤ inf{d(x, a) : x ∈ X} = d(a, X). 4. Se d(a, X) = 0 isto n˜ ao implica, necessariamente, que a ∈ X como vereremos em exemplos a seguir. O que podemos afirmar é que: d(a, X) = 0 se, e somente se, dado ε > 0 existe x ∈ X tal que d(a, x) < ε. 5. Vale observar que, em geral, n˜ ao podemos substituir o ´ınfimo na defini¸ca õ acima pelo m´ınimo, isto é, pode n˜ ao existir um ponto em x0 ∈ X de tal modo que d(a, X) = d(a, x0 ), como veremos em exemplos a seguir. A seguir consideraremos alguns exemplos.

ˆ ´ 2.4. DISTANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAC ¸ O METRICO49 Exemplo 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico, a ∈ M e X = {x1 , x2 , · · · , xn } um subconjunto finito de M . Ent˜ ao [conjunto finito] d(a, X) = inf {d(a, xi )} = min {d(a, xi )}. 1≤i≤n

1≤i≤n

x5 x6 x4 x7 x3

a x2

x1 x8

Exemplo 2.4.2 Seja R2 como a métrica usual e S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} a circunferência de centro na origem e raio 1. Ent˜ ao se z = (x, y) ∈ S 1 e 0 = (0, 0) temos que p p d(0, z) = (x − 0)2 + (y − 0)2 = x2 + y 2 = 1, ou seja, d(0, S 1 ) = 1 (veja figura abaixo). y

6 S1

R

z = (x, y)

d(0, z) = 1 0 = (0, 0)

-

x

Observa¸ c˜ ao 2.4.3 No exemplo acima para qualquer ponto z ∈ S 1 temos que d(0, S 1 ) = d(0, z). Exemplo 2.4.3 Seja R munido da métrica usual e X = (a, b). Ent˜ ao temos que d(a, X) = d(b, X) = 0. Podemos porvar isto diretamente ou utilizar o seguinte resultado geral:


50

Proposi¸ c˜ ao 2.4.1 Sejam E um espa¸co vetorial normado, ~a ∈ E e r > 0. Ent˜ ao dado ~b ∈ E, d(~b, B(~a; r)) = 0 se, e somente se, ~b ∈ B[~a; r]. Demonstra¸ c˜ ao: (⇐=) Suponhamos que ~b ∈ B[~a; r], ou seja, k~b − ~ak ≤ r. Se tivermos k~b − ~ak < r seguirá que ~b ∈ B(~a; r), logo d(~b, B(~a; r)) = 0. Afirma¸cão: se k~b − ~ak = r > 0 então dado ε > 0 afirmamos que existe ~x ∈ B(~a; r) tal que ~ d(b, ~x) < ε. De fato, definamos . 1 ~u = (~b − ~a) ∈ E. r Segue que 1 1 1 k~uk = k (~b − ~a)k = k~b − ~ak = r = 1. r r r Escolhamos t ∈ (r − ε, r), assim 0 < r − t < ε. Consideremos . ~x = ~a + t.~u ∈ E. Temos que d(~x, ~a) = k~x − ~ak = k(~a + t.~u) − ak = |t|k~uk

[k~ uk=1]

=

t < r,

ou seja, x ∈ B(~a; r). Além disso, temos d(~x, ~b) = k~b − ~xk = k~b − (~a + t.~u)k = k(~b − ~a) − t.~uk [~b−~a=r.~ u]

=

kr.~u − t.~uk = |r − t|k~uk

[k~ uk=1]

=

r − t < ε,

logo concluimos a prova da afirma¸cão acima (veja figura abaixo). ε

] > o

r

¸

~ b

~ a ~ x=~ a + t~ u

Logo dado ε > 0 existe ~x ∈ B(~a; r) tal que 0 ≤ d(~b, ~x) < ε, ou seja, 0 ≤ d(~b, B(~a; r)) ≤ d(~b, ~x) < ε, isto é, (=⇒)

d(~b, B(~a; r)) = inf{d(~b, ~x) : ~x ∈ B(~a; r)} = 0.

ˆ ´ 2.4. DISTANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAC ¸ O METRICO51 Reciprocamente, suponhamos que d(~b, B(~a; r)) = 0. Seja p~ ∈ E tal que p~ 6∈ B[~a; r]. Afirmamos que d(~ p, B(~a; r)) > 0. De fato, como p~ 6∈ B[~a; r] temos que k~ p − ~ak > r,

logo k~ p − ~ak = r + c

para algum c > 0. p

x

I

r

a

Se ~x ∈ B(~a; r) temos que k~x − ~ak < r e como k~ p − ~ak ≤ k~ p − ~xk + k~x − ~ak segue que d(~ p, ~x) = k~ p − ~xk ≥ k~ p − ~ak − k~x − ~ak = (r + c) − k~x − ~ak ou seja, c é um limitante inferior do subconjunto {d(~ p, ~x) : ~x ∈ B(~a; r)} ⊆ R. Como d(~ p, B(~a; r)) é o ´ınfimo do conjunto acima segue que d(~ p, B(~a; r)) ≥ c > 0, concluindo a prova da afirma¸cão (veja figura abaixo). 6 c

6 r

~ a

p ~

[k~ x−~ak
>

(r + c) − r = c > 0,


52

Como d(~b, B(~a; r)) = 0, da afirma¸cão, segue que ~b ∈ B[~a; r], como quer´ıamos demonstrar. ¤ Observa¸ c˜ ao 2.4.4 Em particular a afirma¸c˜ ao acima nos diz que podemos ter b ∈ E com d(b, X) = 0 e b 6∈ X, como afirmamos anteriormente. Temos a: Proposi¸ c˜ ao 2.4.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, a, b ∈ M e X ⊆ M n˜ ao vazio. Ent˜ ao |d(a, X) − d(b, X)| ≤ d(a, b). A figura abaixo ilustra o resultado a

d(a, X)

d(a, b)

X

d(b, X) b

Demonstra¸ c˜ ao: A desigualdade acima é equivalente a −d(a, b) ≤ d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b). Observemos que para todo x ∈ X temos que d(a, X) ≤ d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x), ou seja, d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, x), ou ainda, o n´ umero real d(a, X) − d(a, b) é um limitante inferior do subconjunto {d(b, x) : x ∈ X} ⊆ R. Da defini¸cão de ´ınfimo segue d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, X),

isto é, d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b). (∗)

Observemos que para todo x ∈ X temos que d(b, X) ≤ d(b, x) ≤ d(b, a) + d(a, x),

ˆ ´ 2.5. DISTANCIA ENTRE DOIS SUBCONJUNTOS DE UM ESPAC ¸ O METRICO

53

ou seja, d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, x) ou ainda, o n´ umero real d(b, X) − d(a, b) é um limitante inferior do subconjunto {d(a, x) : x ∈ X} ⊆ R. Da defini¸c˜ ao de ´ınfimo segue d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, X),

isto é, d(a, X) − d(b, Y ) ≥ −d(a, b). (∗∗)

De (*) e (**) segue a desiguladade e a conclusão da prova. ¤ Como conseq¨ uência temos o Corol´ ario 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico e a, b, x ∈ M . Ent˜ ao |d(a, x) − d(a, y)| ≤ d(a, b). Demonstra¸ c˜ ao: . Basta considerar X = {x} na proposi¸c˜ ao acima e verificar que d(a, {x}) = d(a, x). ¤

2.5

Distˆ ancia entre dois subconjuntos de um espa¸co m´ etrico

Temos a Defini¸ c˜ ao 2.5.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e X, Y ⊆ M n˜ ao vazios. Definimos a distˆ ancia entre os conjuntos X e Y , indicada por d(X, Y ), como sendo . d(X, Y ) = inf{d(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }. Consideremos o Exemplo 2.5.1 Consideremos R com a métrica usual, X = (−∞, 0) e Y = (0, ∞). Ent˜ ao dado ε > 0 existem x ∈ X e y ∈ Y tal que d(x, y) < ε, ou seja d(X, Y ) = 0. Observemos que X ∩ Y = ∅ e mesmo assim d(X, Y ) = 0. Observa¸ c˜ ao 2.5.1 Se (M, d) é um espa¸co métrico e X, Y ⊆ M n˜ ao vazios ent˜ ao: 1. Se X ∩ Y 6= ∅ ent˜ ao d(X, Y ) = 0; 2. Observemos que d(X, X) = 0 e d(X, Y ) = d(Y, X).


54

2.6

Isometrias entre espa¸cos m´ etricos

Come¸caremos pela Defini¸ c˜ ao 2.6.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos. Diremos que uma fun¸c˜ ao f : M → N é um imers˜ ao isom´ etrica de M em N se dN (f (x), f (y)) = dM (x, y),

x, y ∈ M.

No caso acima diremos que a fun¸c˜ ao f preserva as distˆ ancias e M e N . Observa¸ c˜ ao 2.6.1 Na situa¸c˜ ao acima se f : M → N é uma imers˜ ao isométrica temos que f é injetora De fato, se f (x) = f (y) ent˜ ao dM (x, y) = dN (f (x), f (y)) = 0, logo x = y, mostrando que f é injetora. Com isto temos a: Defini¸ c˜ ao 2.6.2 Um imers˜ ao isométrica que uma fun¸c˜ ao é sobrejetora ser´ a denominada isometria de M em N . Observa¸ c˜ ao 2.6.2 1. Na situa¸c˜ ao acima f : M → N é ums isometria se, e somente se, f preserva as distˆ ancia de M e N e for sobrejetora. 2. Em particular se f : M → N é isometria ent˜ ao f é bijetora, logo admite fun¸c˜ ao inversa −1 f : N → M e esta também é uma isometria pois se w, z ∈ N temos que existe x, y ∈ M tal que z = f (x) e w = f (y) assim dM (f −1 (z), f −1 (w)) = dM (f −1 (f (x)), f −1 (f (y))) = dM (x, y) [f ´ e isometria]

=

dN (f (x), f (y)) = dN (z, w),

mostrando que f −1 preserva as distˆ ancias de N e M . 3. Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos métricos e f : M → N , g : N → P imers˜ oes isométricas de M em N e de N em P , respectivamente. Ent˜ ao (g ◦ f ) : M → P é uma imers˜ ao isométrica de M em P . De fato, se x, y ∈ M temos que dP ((g ◦ f )(x), (g ◦ f )(y)) = dP (g(f (x)), g(f (y))) [g preserva distˆ ancias]

=

dN (f (x), f (y))

[f preserva distˆ ancias]

=

dM (x, y),

mostrando que g ◦ f preserva as distˆ ancias de M e P . 4. Como conseq¨ uência temos que composta de isometrias também ser´ a uma isometria. 5. Toda imers˜ ao isométrica f : M → N define uma isometria de M sobre f (M ) (pois neste caso f : M → f (M ) ser´ a sobrejetora e continuar´ a a preservar as distˆ ancias de M e N ).

´ 2.6. ISOMETRIAS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS

55 15.09.2008 - 12.a

Com isto temos a: Defini¸ c˜ ao 2.6.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos. Diremos que M e N s˜ ao isom´ etricos se existir uma isometria de M em N e neste caso escreveremos M ∼ N . Observa¸ c˜ ao 2.6.3 Observemos que 1. M ∼ M (basta considerar a identidade de M em M ); 2. se M ∼ N ent˜ ao N ∼ M (pois, como vimos na observa¸c˜ ao (2.6.2) item 2., a inversa de uma isometria é uma isometria; 3. se M ∼ N e N ∼ P ent˜ ao M ∼ P (pois, como vimos na observa¸c˜ ao (2.6.2) item 3., a composta de isometrias é uma isometria. 4. Os três itens acima nos dizem que ∼ é uma rela¸c˜ ao de equivalência no conjunto formado por todos os espa¸cos métricos (isto é, ∼ satisfaz as propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva). 5. Se existir uma imer˜ ao isométrica f : M → N ent˜ ao temos que M ∼ f (M ) (pois a fun¸c˜ ao f : M → f (M ) ser´ a sobrejetora e preservar´ a as distˆ ancias de M e f (M )). Observa¸ c˜ ao 2.6.4 Sejam X um subconjunto n˜ ao vazio, (M, dM ) um espa¸co métrico e f : X → M uma fun¸c˜ ao injetora. Nosso objetivo é introduzir uma métrica em X de tal modo que a fun¸c˜ ao f torne-se uma imers˜ ao isométrica de X e M . Para isto definamos dX : X × X → R por . dX (x, y) = dM (f (x), f (y)),

x, y ∈ X.

´ f´ E acil verificar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que dX é uma métrica em X (precisamos usar do fato que f é injetora!) e deste modo a fun¸c˜ ao f tornar-se-´ a uma imers˜ ao isométrica de (X, dX ) em (M, dM ). Podemos mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que a métrica dX em X é a u ńica métrica que torna f uma imers˜ ao isométrica de X em M . Com isto temos a: Defini¸ c˜ ao 2.6.4 Na situa¸c˜ ao acima diremos que a métrica dX é a m´ etrica induzida por f em X. Observa¸ c˜ ao 2.6.5 Um caso particular da situa¸ca õ acima é a que X ⊆ M , n˜ ao vazio onde (M, dM ) é um espa¸co métrico. Neste caso se considerarmos a aplica¸ c˜ ao inclus˜ ao i:X→M

dada por

. i(x) = x, x ∈ X,

temos que a fun¸c˜ ao i é injetora. Logo podemos considerar em X a métrica induzida pela fun¸ca õ i que ser´ a coincidir´ a com a métrica induzida de M em X (pois dX (x, y) = dM (i(x), i(y)) = dM (x, y), para todo x, y ∈ X).


56 A seguir consideraremos alguns exemplos.

Exemplo 2.6.1 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn . Sejam ~a, ~u ∈ Rn tal que k~uk = 1. Consideremos a fun¸c˜ ao f : R → Rn dada por . f (t) = ~a + t ~u,

t ∈ R.

Afirmamos que f é um imers˜ ao is´ ométrica de R em Rn . De fato, se t, s ∈ R temos que dRn (f (t), f (s)) = kf (t) − f (s)k = k(~a + t ~u) − (~a + s ~u)k = k(t − s) ~uk = |t − s|k~uk

[k~ uk=1]

=

|t − s| = dR (t, s),

mostrando que a fun¸ca õ f preserva as distˆ ancias de R e Rn . Observa¸ c˜ ao 2.6.6 Observemos que f (R) é a reta que passa pelo ponto ~a ∈ Rn e tem a dire¸c˜ ao do vetor unit´ ario ~u ∈ Rn . Em particular, f n˜ ao é uma isometria de R em Rn (pois n˜ ao é sobrejetora). Exemplo 2.6.2 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn e ~a ∈ Rn . Afirmamos que a fun¸c˜ ao f : Rn → Rn dada por . f (~x) = ~x + ~a,

~x ∈ Rn ,

é uma isometria em Rn . De fato, se ~x, ~y ∈ Rn ent˜ ao d(f (~x), f (~y )) = kf (~x) − f (~y )k = k(~x + ~a) − (~y + ~a)k = k~x − ~y k = d(~x, ~y ), mostrando que f preserva a distˆ ancia em Rn . . n n Além disso f (R ) = R pois se ~y ∈ Rn se tomarmos ~x = ~y − ~a segue que f (~x) = ~x + ~a = (~y − ~a) + ~a = ~y , ou seja, f é sobrejetora, ou seja, f é uma isometria. Com isto temos a Defini¸ c˜ ao 2.6.5 A fun¸c˜ ao f acima definida ser´ a denominada transla¸ c˜ ao pelo vetor ~a. Exemplo 2.6.3 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn . Afirmamos que a fun¸c˜ ao f : Rn → Rn dada por . f (~x) = −~x,

~x ∈ Rn ,

é uma isometria em Rn . De fato, se ~x, ~y ∈ Rn ent˜ ao d(f (~x), f (~y )) = kf (~x) − f (~y )k = k(−~x) − (−~y )k = k − ~x + ~y k = k~x − ~y k = d(~x, ~y ), mostrando que f preserva a distˆ ancia em Rn . . Além disso f (Rn ) = Rn pois se ~y ∈ Rn se tomarmos ~x = −~y segue que f (~x) = ~x = −(−~y ) = ~y , ou seja, f é sobrejetora, isto é, f é uma isometria.

´ 2.6. ISOMETRIAS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS

57

Com isto temos a Defini¸ c˜ ao 2.6.6 A fun¸c˜ ao f acima definida ser´ a denominada reflex˜ ao em torno da origem n de R . Observa¸ c˜ ao 2.6.7 1. Observemos que na situa¸ca õ acima, dados ~a, ~b ∈ Rn existe uma isometria f : Rn → Rn tal . que f (~b) = ~a (basta considerar a transla¸c˜ ao f (~x) = ~x + (~a − ~b)). 2. Podemos substituir o Rn por um espa¸co vetorial normado qualquer que os exemplos acima continuar˜ ao v´ alidos neste novo contexto. Exemplo 2.6.4 Consideremos C o conjunto forma do pelo n´ umeros complexos munido da métrica umero complexo (isto é, se z = a + bi ent˜ ao p induzida pelo valor absoluto de um n´ kzk x2 + y 2 ). . Sejam u ∈ C tal que kuk = 1 e a fun¸c˜ ao f : C → C dada por f (z) = u.z, para z ∈ C (onde . é a multiplica¸ca õ de n´ umeros complexos). Afirmamos que f é uma isometria. De fato, f é imers˜ ao isométrica em C, pois d(f (z1 ), f (z2 )) = kf (z1 ) − f (z2 )k = ku.z1 − u.z2 k = ku.(z1 − z2 )k = kukkz1 − z2 k

[kuk=1]

=

kz1 − z2 k = d(z1 , z2 ),

mostrando que f preserva a distˆ ancia em C. Além disso, se w ∈ C consideremos . w z= ∈ C. u Logo

w = w, u mostrando que f é sobrejetora, portanto uma isometria. f (z) = u.z = u.

Observa¸ c˜ ao 2.6.8 A aplica¸c˜ ao f do exemplo acima é uma rota¸ca õ (no sentido hor´ ario) de um π b ˆ angulo θ = se u = i e θ = arctg( ) se u = a + bi (veja figura abaixo). 2 a 6

C

f (z) z θ

-


58 Finalizaremos esta se¸cão com a

Proposi¸ c˜ ao 2.6.1 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico limitado. Ent˜ ao existe uma imers˜ ao isométrica ϕ : M → B(M ; R) onde em B(M ; R) consideraremos a métrica induzida pela norma da convergência uniforme. Demonstra¸ c˜ ao: Definamos ϕ : M → B(M ; R) por

. ϕ(x) = dx ,

onde dx : M → R é dada por

. dx (y) = dM (x, y)

(ou seja, a distância ao ponto x). Como M é limitado segue que dx ∈ B(M ; R), ou seja ϕ est´ a bem definida. Mostremos que ϕ preserva as ditâncias de M e B(M ; R). Observemos que se x, x0 , y ∈ M então |dx (y) − dx0 (y)| = |d(x, y) − d(x0 , y)|

[corol´ ario (2.4.1)]

≤

dM (x, x0 ),

assim kdx − dx0 k = sup |dx (y) − dx0 (y)|≤dM (x, x0 ). y∈M

Por outro lado, se tomarmos y =

x0

temos que [y=x0 ]

kdx (y) − dx0 (y)k = |dM (x, y) − dM (x0 , y)| = |dM (x, x0 ) − dM (x0 , x0 )| = dM (x, x0 ). Logo kdx − dx0 k = sup |dx (y) − dx0 (y)|≥dM (x, x0 ), y∈M

portanto kdx − dx0 k = dM (x, x0 ), ou seja ϕ preserva as distâncias de M e de B(M ; R). ¤ Observa¸ c˜ ao 2.6.9 1. Pode-se provar um resultado an´ alogo ao exibido acima retirando-se a hip´ otese de M ser limitado. Uma demonstra¸ca õ para esse fato pode ser encontrada em [1] pag.20. 2. O resultado acima garante que todo esp¸cao métrico pode ser imerso isometricamente em um espa¸co vetorial normado. Aula de Exerc´ıcios

Cap´ıtulo 3

Fun¸co ˜es Cont´ınuas Definidas em Espa¸cos M´ etricos 22.09.2008 - 13.a Aula de Exerc´ıcios 22.09.2008 - 14.a Aula de Exerc´ıcios 29.09.2008 - 15.a 1.a Prova 29.09.2008 - 16.a

3.1

Defini¸c˜ ao de fun¸c˜ ao cont´ınua em espa¸cos m´ etricos e exemplos

Temos a: Defini¸ c˜ ao 3.1.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e a ∈ M . Diremos que uma fun¸ca õ f : M → N é cont´ınua no ponto a se dado ε > 0 existir δ = δ(ε, a) > 0 tal que dM (x, a) < δ

implicar

dN (f (x), f (a)) < ε.

Geometricamente temos: N M f (B(a; δ))

¼ a

=

f

-

f (a) ε

δ

~

Diremos que f : M → N é cont´ınua em M se ela for cont´ınua em cada um dos pontos de M. 59

60

˜ ´ CAPÍTULO 3. FUNC ¸ OES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS

Observa¸ c˜ ao 3.1.1 1. Na situa¸c˜ ao acima, f é cont´ınua no ponto a se, e somente se, se dado ε > 0 existir δ = δ(ε, a) > 0 tal que f (B(a; δ)) ⊆ B(f (a); ε), ou seja, dada uma bola aberta de centro em f (a) e raio ε > 0 em N , existe uma bola aberta de centro em a e raio δ > 0 em M , tal que a imagem pela fun¸c˜ ao f desta segunda bola est´ a contida na primeira bola. 2. Se M ⊆ R e N = R munido da métrica usual ent˜ ao f ser´ a cont´ınua em a ∈ M se, e somente se, dado ε > 0 existir δ = δ(ε, a) > 0 tal que se x∈R

e

a−δ
ent˜ ao f (a) − ε < f (x) < f (a) + ε, ou seja, f ((a − δ, a + δ)) ⊆ (f (a) − ε, f (a) + ε). Geometricamente temos: 6

6 f (a) + ε

a+δ

a

f

f (a)

a−δ

f (a) − ε

A seguir exibiremos alguns exemplos. Anste porém temos a: Defini¸ c˜ ao 3.1.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e uma fun¸c˜ ao f : M → N que tem a seguinte propriedade: existe c > 0 tal que dN (f (x), f (y)) ≤ c dM ((x, y),

x, y ∈ M.

Neste caso diremos que a fun¸c˜ ao f é lipschitziana em M . Exemplo 3.1.1 Se f : M → N é lipschitiziana em M ent˜ ao f é cont´ınua em M . De fato, como f é lipschitiziana em M existe c > 0 tal que dN (f (x), f (y)) ≤ cdM ((x, y),

x, y ∈ M.

˜ DE FUNC ˜ CONTÍNUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 61 . ε Logo ε > 0 seja δ = > 0. c Ent˜ ao se a ∈ M e dM (x, a) < δ temos que ε dN (f (x), f (a)) ≤ cdM (x, a) < cδ ≤ c = ε, c mostrando que a fun¸c˜ ao f é cont´ınua no ponto a ∈ M . Como a ∈ M é arbitr´ ario segue que a fun¸c˜ ao f é cont´ınua em M . Exemplo 3.1.2 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R. Afirmamos que a aplica¸c˜ ao fλ : E → E dada por

. fλ (x) = λ.x,

x ∈ E,

é lipschitiziana em E. De fato, dE (fλ (x), fλ (y)) = kfλ (x), fλ (y)kE = kλ.x − λ.ykE = kλ(x − y)kE = |λ|kx − ykE = |λ|dE (x, y), mostrando que a afirma¸c˜ ao é verdadeira. Em particular, f ser´ a cont´ınua em E. Observa¸ c˜ ao 3.1.2 1. Se f1 , · · · , fn : E → E, onde E é um espa¸co vetorial normado, s˜ ao lipschitzianas ent˜ ao dados a1 , · · · , an ∈ R temos que . f = a1 f1 + · · · an fn também ser´ a lipschitziana. De fato, como para cada i ∈ {1, · · · , n} a fun¸c˜ ao fi é lipschitziana em Ei ent˜ ao existe ci > 0 tal que dE (fi (x), fi (y) ≤ ci dE (x, y), x, y ∈ M. (∗) Definamos

. c = |a1 |c1 + · · · + |an |cn

. Ent˜ ao se x, y ∈ M temos que dE (f (x), f (y) = kf (x) − f (y)kE = k[a1 f1 + · · · + an fn ](x) − [a1 f1 + · · · + an fn ](y)kE = k[a1 [f1 (x) − f1 (y)] + · · · + an [fn (x) − fn (y)]](x)kE ≤ ka1 [f1 (x) − f1 (y)]kE + · · · + kan [fn (x) − fn (y)](x)kE = |a1 |kf1 (x) − f1 (y)kE + · · · + |an |kfn (x) − fn (y)(x)kE = |a1 |dE (f1 (x), f1 (y)) + · · · + |an |dM (fn (x), fn (y)) (∗)

≤ |a1 |c1 dE (x, y) + · · · + |an |cn dE (x, y)

= [|a1 |c1 + · · · + |an |cn ]dE (x, y) = c dE (x, y). Conclus˜ ao: combina¸c˜ ao linear de fun¸c˜ oes lipschitzianas é uma fun¸c˜ ao lipschitziana. Em particular f ser´ a cont´ınua em M .

62

˜ ´ CAPÍTULO 3. FUNC ¸ OES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS 2. Seja R munido da métrica usual. Ent˜ ao f : R → R é lipschitiziana em M se, e somente se existe c > 0 tal que |f (x) − f (y)| dR (f (x), f (y)) = ≤ c, |x − y| dR (x, y)

x, y ∈ R, x 6= y.

3. Observemos se f : I → R é diferenci´ avel em I, um intervalo de R e |f 0 (x)| ≤ c para todo x ∈ I ent˜ ao a fun¸c˜ ao f é lipschitziana em I. De fato, dados x, y ∈ I do Teorema do Valor segue que existe x ¯ ∈ [x, y] ( ou [y, x]) tal que f (x) − f (y) = f 0 (¯ x). x−y Logo |f (x) − f (y)| = |f 0 (¯ x)| ≤ c, |x − y| ou seja, a fun¸c˜ ao f é lipschitziana em I, com afiramamos acima. Conclus˜ ao: toda fun¸c˜ ao real, de vari´ avel real, diferenci´ avel em um intervalo da reta e tal que sua derivada é limitada neste intervalo é uma fun¸c˜ ao lipschitiziana no intervalo em quest˜ ao Em particular, ser´ a uma fun¸c˜ ao cont´ınua nesse intervalo. 29.10.2008 - 16.a - 1.a Prova 6.10.2008 - 17.a Uma situa¸cão mais geral é dada pela Defini¸ c˜ ao 3.1.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N . Diremos que a fun¸c˜ ao f é localmente lipschitziana em M se para cada a ∈ M existe ra > 0 tal que a restri¸c˜ ao da fun¸c˜ ao f a bola aberta B(a; ra ) (,isto é, f|B(a;ra ) ) é uma fun¸c˜ ao lischitziana B(a; ra ), ou seja, existe c = c(B(a; rr )) > 0 satisfazendo dN (f (x), f (y)) ≤ cdM ((x, y),

x, y ∈ B(a; r).

Com isto temos o Exemplo 3.1.3 Se f : M → N é localmente lipschitziana em M ent˜ ao f é cont´ınua em M . De fato, dado a ∈ M seja ra > 0 tal que restri¸c˜ ao da fun¸c˜ ao f a bola aberta B(a; ra ) seja lipschitziana. ε . Dado ε > 0 seja δ = min{ , r} > 0. c Logo se, dM (x, a) < δ ≤ r logo ε dN (f (x), f (a)) ≤ cdM (x, a) < cδ ≤ c = ε, c mostrando que a fun¸ca õ f é cont´ınua no ponto a ∈ M . Como a ∈ M é arbitr´ ario segue que a fun¸c˜ ao f é cont´ınua em M .

˜ DE FUNC ˜ CONTÍNUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 63 Observa¸ c˜ ao 3.1.3 Se f, · · · , fn :→ E, onde E é um espa¸co vetorial normado, s˜ ao localmente . lipschitzianas em E ent˜ ao dados a1 , · · · , an ∈ R temos que f = a1 f1 + · · · an fn também ser´ a localmente lipschitziana. De fato, dado ~a ∈ E, como para cada j = 1, · · · , n a fun¸c˜ ao fj é localmente lipschitizianaem E, existe ra,j > 0 tal que teremos dN (f (x), f (y)) ≤ cj dM (x, y), Seja

. C = |a1 |c1 + · · · + |an |cn

e

se

x, y ∈ B(a; ra,j ).

(∗)

. ra = min{raj : j = 1, · · · , n} > 0.

Logo se x, y ∈ B(a; ra ), como B(a; ra ) ⊆ B(a; raj ) para todo j = 1, · · · , n (**)(pois ra ≤ raj para todo j = 1, · · · , n) temos que dE (f (x), f (y)) = kf (x) − f (y)kE = k(a1 f1 (x) + · · · an fn (x)) − (a1 f1 (y) + · · · + an fn (y))kE = ka1 (f1 (x) − f1 (y)) + · · · an (fn (x) − fn (y))kE ≤ |a1 |kf1 (x) − f1 (y)k + · · · |an |kfn (x) − fn (y))kE = |a1 |dM (f1 (x), f1 (y)) + · · · |an |dM (fn (x) − fn (y))) [(∗) e (∗∗)

≤

|a1 |c1 dM (x, y) + · · · |an |cn dM (x, y) = [|a1 |c1 + · · · |an |cn ]dM (x, y) = CdM (x, y)

mostrando que f é localmente lipschitiziana em E. Conclus˜ ao: combina¸c˜ ao linear de fun¸c˜ oes localmente lipschitzianas é uma fun¸c˜ ao localmente lipschitziana em E. Em particular f ser´ a cont´ınua em M . . Exemplo 3.1.4 Seja f : R → R dada por f (x) = xn , x ∈ R e n ∈ N. Afirmamos que f é localmente lispchitziana em R (em particular, cont´ınua em R). De fato, se |x|, |y| ≤ a temos que dR (f (x), f (y)) = |f (x) − f (y)| = |xn − y n | = |(x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · xy n−1 + y n−1 )| ≤ |x − y|[|x|n−1 + |x|n−2 |y| + · · · |x||y|n−2 + |y|n−1 ] ≤ |x − y|[|a|n−1 + |a|n−2 |a| + · · · |a||a|n−2 + |a|n−1 ] | {z } n−parcelas n−1

= na

|x − y| = na

n−1

dR (x, y),

ou seja, f é localmente lischitziana em R. Em particular, a fun¸c˜ ao f ser´ a cont´ınua em R. Observa¸ c˜ ao 3.1.4 Do exemplo acima e da observa¸c˜ ao (3.1.3) segue que toda fun¸c˜ ao polinomial p:R→R dada por

. p(x) = a0 + a1 x + · · · , an xn ,

x∈R

onde a1 , · · · , an ∈ R s˜ ao fixadas, é uma fun¸c˜ ao localmente lispchitziana em R. Em partitular, a fun¸c˜ ao p ser´ a cont´ınua em R.


64

. Exemplo 3.1.5 Seja f : R∗ = R \ {0} → R dada por . 1 f (x) = , x ∈ R∗ . x . Para cada a > 0 temos que f é lipschitiziana em Rk , onde Rk = {x ∈ R |x| ≥ k}. De fato, se x, y ∈ Ra ent˜ ao |x|, |y| ≥ a logo, [|x|,|y|≥a>0] 1 1 1 y−x 1 1 dR (f (x), f (y)) = |f (x)−f (y)| = | − | = | |= |x−y| ≤ |x−y| = 2 dR (x, y), x y x.y |x|.|y| a2 a

. 1 mostrando que f é lipschitziana em Ra (basta tomar a constante de Lipschitz como sendo c = 2 ) a para cada a > 0. Em particular, a aplica¸c˜ ao f : R∗ → R é cont´ınua em Ra para todo a > 0, isto é, f é ∗ cont´ınua em R . Exemplo 3.1.6 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial normado, R com a métrica usual e λ ∈ R. Afirmamos que a aplica¸c˜ ao m:R×E →E dada por

. m(λ, ~x) = λ.~x,

λ ∈ R, ~x ∈ E,

é localmente lipschitiziana em R × E onde no produto cartesiano R × E considerarmos a norma da soma (isto é, k(λ, ~x)kR×E = |λ| + k~xkE , (λ, ~x) ∈ R × E) e assim podemos tomar a métrica dR×E [(λ, ~x), (β, ~y )] = |λ − β| + k~x − ~y kE , se (λ, ~x), (β, ~y ) ∈ R × E). De fato, dado (λ0 , ~x0 ) ∈ R × E, fixado r > 0, se (λ, ~x), (β, ~y ) ∈ B((λ0 , ~x0 ); r) ⊆ R × E temos que |λ − λ0 |, |β − β0 | < r

e

k~x − ~x0 kE , k~y − ~x0 kE < r.

Logo dE (m(λ, ~x), m(β, ~y )) = km(λ, ~x) − m(β, ~y )kE = kλ.~x − β.ykE = kλ.x − λ.y + λy − β.~y kE = kλ.(~x − ~y ) + (λ − β).~y kE ≤ kλ(~x − ~y )kE + k(λ − β)~y kE = |λ|k~x − ~y kE + |λ − β|k~y kE [|λ|≤|λ−λ0 |+|λ0 |≤r+|λ0 |]

≤

[r + |λ0 |]k~x − ~y kE + |λ − β|k~y kE

[k~ y kE ≤k~ y −~ x0 kE +k~ x0 kE ≤r+k~ x0 kE ]

≤

[r + |λ0 |]k~x − ~y kE + [r + k~x0 kE ]|λ − β|

≤ max{r + |λ0 |, r + k~x0 kE }[k~x − ~y kE + |λ − β|] . [c=max{r+|λ0 |,r+k~ x0 kE }] = c[|λ − β| + k~x − ~y kE ] = c dR×E [(λ, ~x), (β, ~y )] mostrando que a afirma¸ca õ é verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao m : R × E → E ser´ a cont´ınua em R × E (munido da métrica acima).

˜ DE FUNC ˜ CONTÍNUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 65 Exerc´ıcio 3.1.1 Em particular, vale o mesmo para multiplica¸c˜ ao de n´ umeros reais ou multiplica¸c˜ ao de n´ umeros reais por vetores de Rn . Uma outra classe de fun¸cões importantes é dada pela Defini¸ c˜ ao 3.1.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N . Diremos que a fun¸c˜ ao f é uma contra¸ c˜ ao fraca se dN (f (x), f (y)) ≤ dM ((x, y),

x, y ∈ M.

e uma subclasse desta é dada pela Defini¸ c˜ ao 3.1.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N . Diremos que a fun¸c˜ ao f é uma contra¸ c˜ ao (forte) se existir c ∈ (0, 1) tal que dN (f (x), f (y)) ≤ c dM ((x, y),

x, y ∈ M.

Observa¸ c˜ ao 3.1.5 Toda contra¸c˜ ao fraca ou forte é uma aplica¸c˜ ao lipschitiziana e portanto cont´ınua em todo o espa¸co métrico. Seguir daremos alguns exemplos de contra¸c˜ oes fracas. Exemplo 3.1.7 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e k ∈ N fixo. Se f : M → N é dada por . f (x) = k,

para todo

x∈M

ent˜ ao f é uma contra¸c˜ ao forte, pois dN (f (x), f (y)) = dN (k, k) = 0 ≤

1 dM (x, y), 2

x, y ∈ M,

. 1 (no caso escolhemos c = < 1). 2 Em particular, a aplica¸c˜ ao f : M → N é cont´ınua em M . Exemplo 3.1.8 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e X ⊆ M subespa¸co métrico de M . . A aplica¸ c˜ ao de inclus˜ ao, i : X → M dada por i(x) = x, x ∈ X é uma contra¸c˜ ao fraca pois dM (i(x), i(y)) = dX (x, y),

x, y ∈ X.

Em particular, a aplica¸c˜ ao i : X → M é cont´ınua em X. Em geral temos o Exemplo 3.1.9 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos. Se f : M → N é uma imers˜ ao isométrica ent˜ ao f é uma contra¸c˜ ao fraca pois dN (f (x), f (y)) = dM (x, y),

x, y ∈ M.

Em particular, a aplica¸c˜ ao f : M → N ser´ a cont´ınua em M .


66

Observa¸ c˜ ao 3.1.6 Como caso particular do exemplo acima temos que toda isometria é uma contra¸c˜ ao fraca, logo cont´ınua em todo o espa¸co métrico. Exemplo 3.1.10 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos. Independente de uma das três métricas que escolhamos para M × N (ver exemplo (2.1.15) e observa¸c˜ ao (2.1.14) item 3.), para cada a ∈ M e b ∈ N se considerarmos as aplica¸c˜ oes

dadas por

ib : M → M × N

e

ja : N → M × N

. ib (x) = (x, b)

e

. ja (y) = (a, y),

ent˜ ao ib e ja s˜ ao uma contra¸c˜ oes fracas. De fato, pois (∗)

dM ×N (ib (x1 ), ib (x2 )) = dM ×N [(x1 , b), (x2 , b)] ≤ dM (x1 , x2 ), (∗∗)

dM ×N (ja (y1 ), ib (y2 )) = dM ×N [(a, y1 ), (a, y2 )] ≤ dN (y1 , y2 ),

x1 , x2 ∈ M, y1 , y2 ∈ N

mostrando a afirma¸c˜ ao acima. Vale observar que as desigualdades (*) e (**) s˜ ao v´ alidas, independentementes, de qual das três métricas que considerarmos no produto cartesiano (verifique!). Em particular, as aplica¸c˜ oes ib : M → M × N e ja : N → M × N s˜ ao cont´ınuas em M e N , respectivamente. Exemplo 3.1.11 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e X ⊆ M n˜ ao vazio. Definamos dX : M → R por . dX (y) = d(y, X), y ∈ M. Afirmamos que dX é uma contra¸c˜ ao fraca. De fato, se y1 , y2 ∈ M temos que dR (dX (y1 ), dX (y2 )) = |dX (y1 ) − dX (y2 )| = |d(y1 , X) − d(y2 , X)|

[proposi¸c˜ ao (2.4.2)]

≤

dM (y1 , y2 ),

mostrando que a afirma¸ca õ é verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao dx : M → R é cont´ınua em M . Observa¸ c˜ ao 3.1.7 Do exemplo acima segue que para cada x ∈ M temos que a aplica¸c˜ ao . dx : M → R dada por dx (y) = dM (x, y), y ∈ M, é uma contra¸c˜ ao fraca. . Para ver isto basta considerar X = {x} ⊆ M . Em particular, a aplica¸c˜ ao dx : M → R ser´ a cont´ınua em M . Exemplo 3.1.12 Seja (E, k.k) um espa¸co vetorial normado. A aplica¸c˜ ao k.k : E → R é uma contra¸c˜ ao fraca. De fato, se ~x, ~y ∈ E temos que dR (k~xk, k~y k) = |k~xk − k~y k| = |dE (~x, 0) − dE (~y , 0)| ≤ |dE (~x, ~y )| = k~x − ~y k = dE (~x, ~y ), mostrando que a afirma¸ca õ é verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao k.k : E → R é uma fun¸c˜ ao cont´ınua em E.

˜ DE FUNC ˜ CONTÍNUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 67 Exemplo 3.1.13 Seja (M1 , d1 ), · · · (Mn , dn ) espa¸cos métricos. Pra cada i = 1, · · · n a aplica¸c˜ ao pi : M1 × · · · × Mn → Mi ,

dada por

. pi (x) = xi ,

onde x = (x1 , · · · , xn ) ∈ M1 × · · · × Mn (conhecida como i-´ esima proje¸ c˜ ao) é uma contra¸c˜ ao . fraca onde podemos considerar no produto cartesiano M = M1 × · · · × Mn qualquer uma das três métricas da observa¸c˜ ao (2.1.14). De fato, se xi , yi ∈ Mi temos que dM1 (pi (x), pi (y)) = dMi (xi , yi ) ≤ dM (x, y), onde x = (x1 , · · · , xi−1 , xi , xi+1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , yi−1 , yi , yi+1 , · · · , yn ) ∈ M , mostrando que a afirma¸c˜ ao é verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao pi : M1 × · · · × Mn → Mi é cont´ınua em M1 × · · · × Mn para cada i = 1, · · · , n. Exemplo 3.1.14 Seja (M, dM ) espa¸co métrico. Ent˜ ao a aplica¸c˜ ao dM : M × M → R é uma contra¸c˜ ao fraca se em M ×M considerarmos a métrica da soma ou do m´ aximo em M ×M (veja exemplo (2.1.15)). De fato, se (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ M × M ent˜ ao dR (dM (x, y), dM (x0 , y 0 )) = |dM (x, y) − dM (x0 , y 0 )| = |dM (x, y) − dM (x0 , y) + dM (x0 , y) − dM (x0 , y 0 )| ≤ |dM (x, y) − dM (x0 , y)| + |dM (x0 , y) − dM (x0 , y 0 )| ≤ dM (x, x0 ) + dM (y, y 0 ) ≤ dM ×M [(x, y), (x0 , y 0 )], mostrando que a afirma¸c˜ ao é verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao dM : M × M → R ser´ a cont´ınua em M × M . Exemplo 3.1.15 Seja (E, k.kE ) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R. Afirmamos que a aplica¸c˜ ao s:E×E →E dada por

. s(x, y) = x + y,

x, y ∈ E,

. é uma contra¸c˜ ao fraca onde em E×E estamos considerando a norma da soma (isto é, k(x, y)kE×E = kxkE + kykE e sua respectiva métrica associada). De fato, dE (s(x, y), s(x0 , y 0 )) = ks(x, y) − s(x0 , y 0 )kE = k(x + y) − (x0 + y 0 )kE = k(x − x0 ) + (y − y 0 )kE ≤ kx − x0 k + ky − y 0 kE = k(x, y) − (x0 , y 0 )kE×E = dE×E ((x, y), (x0 , y 0 )). mostrando que a afirma¸c˜ ao é verdadeira. Em particular, a aplica¸c˜ ao s : E × E → E ser´ a cont´ınua em E × E. Exerc´ıcio 3.1.2 Em particular, vale o mesmo para soma n´ umeros reais ou soma de vetores em n R e B(X; M ) munido da métrica do sup.

68


Observa¸ c˜ ao 3.1.8 1. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e a ∈ M um ponto isolado de M . Afirmamos que f : M → N é cont´ınua em a ∈ M . De fato, como a ∈ M é um ponto isolado de M , existe δ0 > 0 tal que B(a; δ0 ) ∩ M = {a}. Dado ε > 0 seja 0 < δ ≤ δ0 . Se dM (x, a) < δ ≤ δ0 temos que x = a logo dN (f (x), f (a)) = dN (f (a), f (a)) = 0 < ε, mostrando que a afirma¸c˜ ao é verdadeira. 2. Como conseq¨ uência da observa¸c˜ ao acima temos que se (M, dM ) for um espa¸co discreto (isto é, todo ponto dele é ponto isolado) ent˜ ao toda fun¸c˜ ao f : M → N é cont´ınua em M . Em particular, a métrica de M é a métrica zer-um ent˜ ao vale o mesmo. 3. Por outro lado se (N, dN ) for um espa¸co discreto temos que: f : M → N cont´ınua em M se, e somente se, para cada a ∈ M a fun¸ca õ f é constante em alguma bola aberta de centro em a. De fato, se a ∈ M ent˜ ao dado 0 < ε ≤ 1 temos que B(f (a); ε) = {f (a)} assim para todo δ > 0 se x ∈ B(a; δ) para que f (x) ∈ B(f (a), ε) = {f (a)} deveremos ter f (x) = f (a) na bola aberta B(a; δ), como afirmamos acima. Em particular, a métrica de N é a métrica zer-um ent˜ ao vale o mesmo. Temos a Defini¸ c˜ ao 3.1.6 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e a ∈ M . Diremos que uma fun¸c˜ ao f : M → N é descont´ınua no ponto a se ela n˜ ao for cont´ınua no ponto a. Observa¸ c˜ ao 3.1.9 1. Na situa¸c˜ ao acima f é descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe ε > 0 tal que para todo δ > 0 existe xδ ∈ M tal que dM (xδ , a) < δ

mas

dN (f (xδ ), f (a)) ≥ ε.

2. Um formula¸c˜ ao equivalente seria: f é descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe ε > 0 tal que para todo n ∈ N existe xn ∈ M tal que dM (xn , a) <

1 n

mas

dN (f (xn ), f (a)) ≥ ε.

Isto poderia ser dito da seguinte forma: existe uma seq¨ uência (xn )n∈N em M que é convergente para a em M tal que a seq¨ uência (f (xn ))n∈N em N n˜ ao é convergente em N . Vale observar que ainda n˜ ao introduzimos a no¸c˜ ao de convergência de seq¨ uências. Na verdade isto ser´ a tratado num c´ ap´ıtulo mais adiante.

˜ DE FUNC ˜ CONTÍNUA EM ESPAC ´ 3.1. DEFINIC ¸ AO ¸ AO ¸ OS METRICOS E EXEMPLOS 69 ( 1, se x ∈ Q n˜ ao é cont´ınua em Exemplo 3.1.16 A fun¸ca õ f : R → R dada por f (x) = 0, se x ∈ I nenhum ponto de R. 1 De fato, sejam a ∈ Q e ε = > 0. 2 Dado δ > 0 consideremos x ∈ I tal que |x − a| < δ, isto é, d(x, a) < δ (veja figura abaixo). x∈I

? a−δ

-

a∈Q

a+δ

Como f (x) = 0 e f (a) = 1 segue que dR (f (x), f (a)) = |f (x) − f (a)| = |0 − 1| = 1 ≥

1 = ε, 2

mostrando que f n˜ ao é cont´ınua em nenhum a ∈ Q. 1 Por outro lado, sejam a ∈ I e ε = > 0. 2 Dado δ > 0 consideremos x ∈ Q tal que |x − a| < δ, isto é, d(x, a) < δ (veja figura abaixo). x∈Q

? a−δ

a∈I

a+δ

Como f (x) = 1 e f (a) = 0 segue que dR (f (x), f (a)) = |f (x) − f (a)| = |1 − 0| = 1 ≥

1 = ε, 2

mostrando que f n˜ ao é cont´ınua em nenhum a ∈ I. Portanto f n˜ ao é cont´ınua em nenhum ponto de R. Observa¸ c˜ ao 3.1.10 Observemos que no exemplo acima temos que f|Q e f|I s˜ ao cont´ınuas (na verdade a primeira é constante e igual a 0 e a segunda é constante e igual a 1). Para f : M → N e X ⊆ M n˜ ao vazio, o exemplo acima nos mostra a diferen¸ca entre: 1. f|X : X → N cont´ınua em X; 2. f : M → N cont´ınua em todos os pontos de M . Podemos sempre afirmar que na situa¸c˜ ao acima (b) implicar´ a sempre em (a). Mas, em geral, (a) pode n˜ ao implicar em (b), como mostra o exemplo acima. 13.10.2008 - 19.a


70

3.2

Propriedades elementares de fun¸c˜ oes cont´ınuas entre espa¸cos m´ etricos

Come¸caremos pela Proposi¸ c˜ ao 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos métricos e a ∈ M . Se f : M → N é cont´ınua em a e g : N → P é cont´ınua em f (a) ent˜ ao g ◦ f : M → P é cont´ınua em a. Demonstra¸ c˜ ao: Dado ε > 0, como g é cont´ınua no ponto f (a), existe λ > 0 tal que se y ∈ N e dN (y, f (a)) < λ

ent˜ ao dP (g(y), g(f (a))) < ε. (∗)

Mas f é cont´ınua em a, logo dado λ > 0 (obtido acima), existe δ > 0 tal que se x ∈ M e dM (x, a) < δ

ent˜ ao dN (f (x), f (a)) < λ.

Logo, se f (x) ∈ N , de (*) temos dP (g(f (x)), g(f (a))) < λ, mostrando que g ◦ f é cont´ınua em a, como quer´ıamos mostrar. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.2.1 1. O resultado acima nos diz que a composta de duas fun¸c˜ oes cont´ınuas é uma fun¸c˜ ao cont´ınua. 2. Temos a seguinte caracteriza¸c˜ ao geométrica para a demonstra¸ca õ do resultado acima: g(B(f (a); λ)) f (B(a; δ))

? f

a δ

^

-

g

f (a)

W

-

g(f (a)) ε

λ

U

^

Como conseq¨ uência temos Corol´ ario 3.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos. Se f : M → N é cont´ınua em a ∈ X ⊆ M ent˜ ao f|X : X → N é cont´ınua em a. Demonstra¸ c˜ ao: Sabemos que a aplica¸cão inclusão, i : X → M é cont´ınua em X (ver exemplo (3.1.8)). Observemos que f|X = f ◦ i. Como f é cont´ınua em a segue, da proposi¸c˜ ao acima, que f|X = f ◦ i ser´ a cont´ınua no ponto a, completando a demosntra¸cão do corolário. ¤

˜ ´ 3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNC ¸ OES CONTÍNUAS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS71 Observa¸ c˜ ao 3.2.2 O corol´ ario acima nos diz que a restri¸c˜ ao de uma fun¸c˜ ao cont´ınua a um subconjunto do seu dom´ınio ser´ a uma fun¸c˜ ao cont´ınua nesse subconjunto. Antes de prosseguir temos a Observa¸ c˜ ao 3.2.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos métricos, f : M ×N → P onde em M × N consideramos uma das três métricas usuais (da raiz quadrada, da soma ou do m´ aximo). Logo f ser´ a cont´ınua em (a, b) ∈ M × N se dado ε > 0 existe δ > 0 tal que dM ×N ((x, y), (a, b)) < δ

implicar

dP (f (x, y), f (a, b)) < ε.

Neste caso é comum dizermos que f é cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b). Temos também a: Defini¸ c˜ ao 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos métricos, f : M × N → P e (a, b) ∈ M × N. Diremos que f é cont´ınua em rela¸ c˜ ao a 1.a vari´ avel no ponto (a, b) se a aplica¸c˜ ao fb : M → P dada por

. fb (x) = f (x, b),

x ∈ M,

for cont´ınua no ponto a. Diremos que f é cont´ınua em rela¸ c˜ ao a 2.a vari´ avel no ponto (a, b) se a aplica¸c˜ ao fa : N → P dada por

. f a (y) = f (a, y),

y ∈ N,

for cont´ınua no ponto b. Diremos que f é cont´ınua separadamente no ponto (a, b) se ela for cont´ınua em rela¸c˜ ao a cada uma das vari´ aveis no ponto (a, b). Observa¸ c˜ ao 3.2.4 1. Na situa¸c˜ ao acima se f é cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b) ent˜ ao temos que f a = f ◦ ja

e

fb = f ◦ ib ,

ib : M → M × N

e

ja : N → M × N

onde s˜ ao as aplica¸co ˜es de M , e de N , em M × N dadas pelo exemplo (3.1.10), respectivamente. Assim, como ib e ja s˜ ao cont´ınuas em M e N , respectivamente, segue que que f a e fb s˜ ao cont´ınuas nos pontos a e b, respectivamente. Portanto f ser´ a cont´ınua separadamente no ponto (a, b).


72

2. N˜ ao vale, em geral, a rec´ıproca do resultado acima, isto é, existem fun¸c˜ oes f : M ×N → P que s˜ ao cont´ınuas separadamente no ponto (a, b) mas n˜ ao s˜ ao cont´ınuas (conjuntamente) no ponto (a, b). Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo: Seja f :R×R→R dada por . f (x) =

  

x2

xy , + y2 0 ,

se

(x, y) 6= (0, 0)

se

(x, y) = (0, 0)

.

No ponto (0, 0) temos que f é cont´ınua separamente (pois f (x, 0) = 0 e f (0, y) = 0 para todo x, y, ∈ R que s˜ ao cont´ınuas em R). Mas f n˜ ao é cont´ınua (conjuntamente) no ponto (0, 0) pois se tomarmos a restri¸c˜ ao da fun¸c˜ ao f ` a reta y = ax, com a 6= 0 (que torna-se um espa¸co métrico com a métrica induzida pela métrica de R2 ) ent˜ ao teremos f (x, ax) =

x2

ax2 a = 6= 0 + a2 x2 1 + a2

se

x 6= 0

e se x = 0 teremos que f (0, a.0) = (0, 0), mostrando que f é descont´ınua no ponto (0, 0). Para o próximo resultado precisaremos da Defini¸ c˜ ao 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1 , d1 ), (N2 , d2 ) espa¸cos métricos, f : M → N1 × N2 dada por

. f (x) = (f1 (x), f2 (x)),

x∈M

onde fj : M → Nj , j = 1, 2 s˜ ao ditas fun¸ c˜ oes coordenadas da fun¸ c˜ ao f . Neste caso escreveremos f = (f1 , f2 ). Com isto temos a Proposi¸ c˜ ao 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1 , d1 ), (N2 , d2 ), N1 ×N2 espa¸cos métricos, onde no u ´ltimo . consideramos uma das três métricas usuais, f : M → N1 × N2 dada por f (x) = (f1 (x), f2 (x)), x ∈ M onde fj : M → Nj , j = 1, 2 e a ∈ M . Ent˜ ao f é cont´ınua no ponto a se, e somente se, f1 e f2 s˜ ao cont´ınuas no ponto a. Demonstra¸ c˜ ao: Suponhamos que f é cont´ınua no ponto a. Temos que f1 = p1 ◦ f e

f2 = p2 ◦ f,

onde pj : N1 × N2 → Nj , j = 1, 2 são as proje¸c˜ oes em N1 e N2 definidas no exemplo (3.1.13), respectivamente. Como p1 , p2 são cont´ınuas em N1 e N2 , respectivamente, segue que f1 e f2 são cont´ınuas em a ∈ M. Reciprocamente,

˜ ´ 3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNC ¸ OES CONTÍNUAS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS73 (i) Consideremos em N1 × N2 a métrica do máximo. Se f1 e f2 são cont´ınuas em a ∈ M ent˜ ao dado ε > 0 segue que existem δ1 , δ2 > 0 tal que se dM (x, a) < δi implicar´ a dNi (fi (x), fi (a)) < ε, i = 1, 2. (∗) . Seja δ = min{δ1 , δ2 } > 0. Assim, se dM (x, a) < δ logo dM (x, a) < δ1 e dM (x, a) < δ2 e de (*) teremos dN1 ×N2 (f (x), f (a)) = max{d1 (f1 (x), f1 (a)), d2 (f2 (x), f2 (a))} < ε, mostrando que f é cont´ınua no ponto a. (ii) Se considerarmos em N1 × N2 a métrica da raiz quadrada temos que dado ε > 0 existem δ1 , δ2 > 0 tal que se ε dM (x, a) < δi implicará dNi (fi (x), fi (a)) < √ , i = 1, 2. (∗) 2 . tomando-se δ = min{δ1 , δ2 } > 0. Assim, se dM (x, a) < δ logo dM (x, a) < δ1 e dM (x, a) < δ2 e de (*) teremos r p ε ε dN1 ×N2 (f (x), f (a)) = [d1 (f1 (x), f1 (a))]2 + [d2 (f2 (x), f2 (a))]2 < [ √ ]2 + [ √ ]2 2 2 r 2 2 √ ε ε + = ε2 = ε, = 2 2 mostrando que f é cont´ınua no ponto a. (iii) Se considerarmos em N1 × N2 a métrica da soma temos que dado ε > 0 existem δ1 , δ2 > 0 tal que se ε dM (x, a) < δi implicar´ a dNi (fi (x), fi (a)) < , i = 1, 2. (∗) 2 . tomando-se δ = min{δ1 , δ2 } > 0. Assim, se dM (x, a) < δ logo dM (x, a) < δ1 e dM (x, a) < δ2 e de (*) teremos dN1 ×N2 (f (x), f (a)) = d1 (f1 (x), f1 (a)) + d2 (f2 (x), f2 (a)) <

ε ε + = ε, 2 2

mostrando que f é cont´ınua no ponto a. Completamos assim a demonstra¸cão. ¤ Como conseq¨ uência temos o Corol´ ario 3.2.2 Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), (N1 , d1 ), (N2 , d2 ) espa¸cos métricos e f1 : M1 → N1 , f2 : M2 → N2 duas fun¸c˜ oes. Se f1 e f2 s˜ ao cont´ınuas em M1 e M2 , respectivamente ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f1 × f2 : M1 × M2 → N1 × N2 . (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 ser´ a cont´ınua em M1 × M2 .

74


Demonstra¸ c˜ ao: Temos que as coordenadas de f1 × f2 são (f1 × f2 )1 = f1 ◦ p1

e (f1 × f2 )2 = f2 ◦ p2 ,

onde pi : M1 ×M2 → Mi , i = 1, 2, são as proje¸c˜ oes de M1 ×M2 em Mi , i = 1, 2 que são cont´ınuas em M1 × M2 ( ver exemplo (3.1.13) ). Como f1 e f2 são cont´ınuas em M1 e M2 , respectivamente, da proposi¸c˜ ao (3.2.1) segue que (f1 × f2 )1 e (f1 × f2 )2 são cont´ınuas M1 × M2 e assim a proposi¸c˜ ao (3.2.2) implicará que f1 × f2 são cont´ınuas em M1 × M2 concluindo a demonstra¸c˜ ao do resultado. ¤ Como conseq¨ uência dos resultados acima temos a Proposi¸ c˜ ao 3.2.3 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, (E, k.kE ) espa¸co vetorial normado, R com a métrica usual, f, g : M → E, α, β : M → R cont´ınuas, com β(x) 6= 0 para x ∈ M . α Ent˜ ao as fun¸c˜ oes f + g, α.f : M → E s˜ ao cont´ınuas em M e : M → R é cont´ınua em M , β onde α . . . α(x) (f + g)(x) = f (x) + g(x), (α.f )(x) = α.f (x), ( )(x) = , β β(x) para x ∈ M . Demonstra¸ c˜ ao: Vimos anteriormente (exemplos (3.1.5), (3.1.15) e (3.1.6)) que as fun¸c˜ oes r : R \ {0} → R,

s:E×E →E

e m:E→E

dadas por

. 1 . . r(x) = , s(x + y) = x + y, m(λ, x) = λ.x, x onde x, y ∈ E e λ ∈ R, são cont´ınuas nos seus respectivos dom´ınios. Com isto temos: (f,g) s M −→ E×E −→ E , x −→ (f (x), g(x)) −→ f (x) + g(x) logo f + g é cont´ınua em M ; M x

(α,f )

m

−→ R×E −→ E , −→ (α(x), f (x)) −→ α(x).f (x)

logo α.f é cont´ınua em M e M x

(α,β)

−→ −→

R × R \ {0} (α(x), β(x))

(id,r)

−→ −→

m

R×R −→ R 1 1 , (α(x), β(x) ) −→ α(x). β(x)

α é cont´ınua em M (onde id : R → R é a aplica¸c˜ ao identidade, isto é id(x) = x, x ∈ R), β completando a demonstra¸cão do resultado. ¤ Como conseq¨ uência imediata temos o

logo

´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS

75

Corol´ ario 3.2.3 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, R com a métrica usual, f, g : M → R cont´ınuas em M . f Ent˜ ao as fun¸co ˜es f +g, f.g : M → R s˜ ao cont´ınuas em M e : M \{x ∈ M : g(x) 6= 0} → R g é cont´ınua no seu dom´ınio. 13.10.2008 - 20.a

3.3

Homeomorfismos entre espa¸cos m´ etricos

Observa¸ c˜ ao 3.3.1 O objetivo desta se¸c˜ ao é estudar fun¸co ˜es bijetoras e cont´ınuas que admitam fun¸ca õ inversa cont´ınua. ´ Ao contr´ ario do que ocorre em Algebra Linear (onde a inversa de uma transforma¸ca õ linear é, ´ necessariamente, uma transforma¸c˜ ao linear) e da Algebra (onde a inversa de um homomorfismo é, necessariamente, um homomorfismo) na Topologia existem fun¸c˜ oes cont´ınuas e bijetoras cujas fun¸co ˜es inversas n˜ ao s˜ ao cont´ınuas, como mostra o exemplo a seguir: Exemplo 3.3.1 Consideremos (M, d) onde M = R e dM é a métrica zero-um e R com a métrica usual. . Tomemos a aplica¸ca õ identidade i : M → R, dada por i(x) = x, x ∈ M . Observemos que neste caso aplica¸c˜ ao i é bijetora e cont´ınua (veja observa¸c˜ ao (3.1.8 item 2.) Afirmamos que a fun¸ca õ inversa associada a i, que é a aplica¸c˜ ao i−1 : R → M dada por . −1 i (y) = y, y ∈ R, n˜ ao é cont´ınua em qualquer ponto de R pois a métrica em M é a métrica zero-um (ver oberva¸c˜ ao (3.1.8) item 3.). A seguir exibiremos um outro exemplo menos artificial . Exemplo 3.3.2 Sejam M = [−1, 0] ∪ (1, ∞) e N = [0, ∞) ambos com a métrica usual induzida de R. Consideremos f : M → N dada por f (x) = x2 ,

x ∈ M.

Temos que f é uma aplica¸ca õ bijetora e cont´ınua em M (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸c˜ ao deste fatos - veja gr´ afico de f na figua abaixo). N

6

f (x)

1

−1

1

x M

76

˜ ´ CAPÍTULO 3. FUNC ¸ OES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS A fun¸c˜ ao inversa associada a f ser´ a f −1 : N → M dada por ( √ − y, 0 ≤ y ≤ 1 . f −1 (y) = √ y, y > 1

cujo gr´ afico é dado pela figura abaixo. 6

M

f −1 (y)

1

-

1

y

N

−1

Observemos que f −1 n˜ ao é cont´ınua em y = 1. 1 De fato, dado ε = > 0, para todo δ > 0 seja z ∈ (1, 1 + δ). 2 Logo z ∈ B(1; δ) mas dR (f −1 (z), f −1 (1)) = |f −1 (z) − f −1 (1)|

[f −1 (1)=−1]

=

|f −1 (z) + 1| = f −1 (z) + 1 >

mostrando que f −1 (z) 6∈ B(f −1 (1); ε). Portanto f −1 n˜ ao ser´ a cont´ınua no ponto y = −1. M

6

? 1

¾ -

1

? −1

O próximo exemplos é o mais interessante.

N

1 = ε, 2


77

. Exemplo 3.3.3 Sejam M = [0, 2π) com a métrica induzida pela métrica usual de R, S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} com a métrica induzida pela métrica usual de R2 e f : M → S1 dada por f (t) = (cos(t), sen(t)),

t ∈ M.

Observemos que f é cont´ınua em M (pois suas componentes s˜ ao cont´ınuas em M ) e bijetora (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸c˜ ao deste fato). Logo existe a fun¸c˜ ao inversa f −1 : S 1 → M . −1 Afirmamos que f n˜ ao é cont´ınua em (1, 0) = f (0). De fato, consideremos as seq¨ uências (Pn )n∈N e (Qn )n∈N sobre S 1 de modo que Pn → (1, 0) e est´ a contida no semi-plano superior y > 0 e Qn → (1, 0) e est´ a contida no semi-plano inferior y < 0. 6 6 2π

6

f −1 (Qn )

f

Pn

f −1 (Pn ) 0

?

¾

? (1, 0)

f

−1

Assim f −1 (Pn ) → 0 e f −1 (Qn ) → 2π, mostrando que n˜ ao existe

-

6 Qn

lim

(x,y)→(1,0)

f −1 (x, y).

Em particular f −1 n˜ ao é cont´ınua em (1, 0). Quando a fun¸cão inversa for cont´ınua temos a seguinte defini¸c˜ ao Defini¸ c˜ ao 3.3.1 Sejam (M, dM ) e N (, dN ) espa¸cos métricos. Diremos que uma fun¸c˜ ao f : M → N é um homemorfismo de M em N se a fun¸c˜ ao f for cont´ınua, for bijetora (logo admite fun¸c˜ ao inversa) e a fun¸c˜ ao inversa for cont´ınua em N . Neste caso diremos que o espa¸co métrico M é homeomorfo ao espa¸co métrico N e escreveremos M ∼ N . A seguir temos a Proposi¸ c˜ ao 3.3.1 Sejam (M, dM ), N (, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N uma isometria. Ent˜ ao f é um homeomorfismo de M em N . Demonstra¸ c˜ ao: Se a fun¸cão f é uma isometria então, como vimos na observa¸c˜ ao (2.6.2) item 2., sua fun¸c˜ ao inversa também será uma isometria, ou seja, f e sua fun¸c˜ ao inversa, f −1 , serão cont´ınuas, logo a fun¸cão f será um homeomorfismo. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.3.2

78

˜ ´ CAPÍTULO 3. FUNC ¸ OES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS 1. Temos que M ∼ M pois a aplica¸ca õ identidade i : M → M é sempre um homeomorfismo de M em M (isto é, ∼ é reflexiva); 2. Observemos que se f : M → N é um homeomorfismo (de M em N ) ent˜ ao f −1 : N → M também ser´ a um homeomorfismo (de N em M ). Logo se M ∼ N ent˜ ao N ∼ M (isto é, ∼ é simétrica); 3. Se (M, dM ), N (, dN ) e (P, dP ) s˜ ao espa¸cos métricos e f : M → N , g : N → P s˜ ao homeomorfismos ent˜ ao, da proposi¸c˜ ao (3.2.1) segue que (g ◦ f ) : M → P também ser´ a um homeomorfismo (de M em P ) (isto é, ∼ é transitiva). Logo se M ∼ N e N ∼ P ent˜ ao N ∼ P ; 4. Dos iten 1., 2. e 3. segue que ∼ é uma rela¸c˜ ao de equivalência no conjunto formado por todos os espa¸cos métricos. 5. Diremos que uma certa propriedade P de um espa¸co métrico M é uma propriedade topol´ ogica se todo espa¸co métrico homeomorfo a M tem a propriedade P, ou seja propriedades topol´ ogicas s˜ ao aquelas preservadas por homeomorfismos. 6. Diremos que uma certa propriedade Q de um espa¸co métrico M é uma propriedade m´ etrica se todo espa¸co métrico isométrico a M tem a propriedade Q, ou seja, propriedades métricas s˜ ao aquelas preservadas por isometrias. 7. A proposi¸c˜ ao (3.3.1) garante que toda propriedade topol´ ogica é uma propriedade métrica (pois se uma propriedade P é preservada por homeomorfismo ent˜ ao também ser´ a preserva por isometrias, pois toda isometria é um homeorofismo). Mas, em geral, n˜ ao vale a rec´ıproca, isto é, existem propriedades métricas que n˜ ao s˜ ao propriedades topol´ ogicas. Ou seja, existem propriedades Q que s˜ ao preservada por isometrias e n˜ ao s˜ ao preservas por homeomorfismos. Veremos isto na observa¸c˜ ao (3.3.3) item 4. 20.10.2008 - 21.a Temos os seguinte resultados:

Proposi¸ c˜ ao 3.3.2 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e (N, dN ) um espa¸co métrico discreto e f : M → N um homeomorfismo de M e N . Ent˜ ao M é um espa¸co métrico discreto. Demonstra¸ c˜ ao: Seja a ∈ M . Mostremos que a é um ponto isolado de M , isto é, existe δ > 0 tal que BM (a; δ) = {a}. Para isto, como N é discreto e f (a) ∈ N , existe ε > 0 tal que BN (f (a); ε) = {f (a)}.


79

Como f é cont´ınua, existe δ > 0 tal que f (BM (a; δ)) ⊆ BN (f (a); ε) = {f (a)}. Mas f é injetora, logo segue que BM (a; δ) só poderá ter um u ńico ponto, caso contr´ ario, se existisse x 6= a tal que x ∈ B(a; δ) então f (x) ∈ B(f (a); ε) = {f (a)}, ou seja, f (x) = f (a), o que é um absurdo, pois f é injetora. Assim BM (a; δ) = {a}, ou seja, a é um ponto isolado de M , mostrando que M é discreto, como quer´ıamos demonstrar. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.3.3 1. Na verdade provamos um caso mais geral, a saber: se f : M → N é cont´ınua, injetora e para algum a ∈ M temos f (a) um ponto isolado de N ent˜ ao a ser´ a um ponto isolado de M. 2. Em particular, a proposi¸c˜ ao acima garante que ser discreto (ou n˜ ao ser discreto) é uma propriedade topol´ ogica (isto é, é preservada por homeomorfismos). 3. Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos discretos. M e N s˜ ao homeomorfos se, e somente se, M e N tem a mesma cardinalidade (isto é, existe uma aplica¸ca õ bijetora de M em N ). De fato, se M ∼ N ent˜ ao, em particular, existe uma aplica¸ca õ bijetora de M em N , logo M e N tem a mesma cardinalidade Por outro lado, lembremos que toda aplica¸c˜ ao definida num espa¸co métrico discreto é cont´ınua (ver observa¸c˜ ao (3.1.8) item 2.). Logo toda aplica¸c˜ ao bijetora entre espa¸cos métricos discretos ser´ a um homeomorfismo (pois ela e sua inversa est˜ ao definidas em espa¸cos métricos discretos, logo s˜ ao cont´ınuas). Em particular, se M e N s˜ ao discretos e têm a mesma cardinalidade, segue que existe uma aplica¸c˜ ao bijetora de M em N que, pelo que observamos acima, ser´ a um homemorofismo de M em N e portanto M ∼ N . 4. Afirmamos que ser limitado é uma propriedade métrica mas n˜ ao é uma propriedade topol´ ogica, como mostra o seguinte exemplo: . 1 Sejam N e P = { : n ∈ N} ambos com a métrica induzida pela métrica usual de R. n Temos que N e P s˜ ao homeomorfos, pois eles têm a mesma cardinalidade (observemos que . 1 ao bijetora de N em P ). f : N → P dada por f (n) = , n ∈ N é uma aplica¸c˜ n Observemos que N n˜ ao é limitado mas P é limitado. Um outro resultado interessante é dado pela


80

Proposi¸ c˜ ao 3.3.3 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial sobre R normado, ~a ∈ E e λ ∈ R, λ 6= 0. Ent˜ ao a transla¸ c˜ ao t~a : E → E e a homotetia mλ : E → E definidas por . t~a (~x) = ~x + ~a,

. mλ (~x) = λ.~x,

~x ∈ E,

s˜ ao homeomorfismos de E. Demonstra¸ c˜ ao: De fato, da proposi¸cão (3.2.3) segue que t~a e mλ s˜ ao cont´ınuas em E. Além disso, elas admitem fun¸cões inversas t~a−1 : E → E

e

m−1 λ :E →E

definidas por . t~a−1 (y) = ~y − ~a,

. 1 m−1 y ) = .~x, λ (~ λ

~y ∈ E.

A verifica¸cão destes fatos serão deixadas como exerc´ıcio para o leitor. −1 Observemos que t~−1 ao cont´ınuas em E, logo são homeomorfismos a : E → E e mλ : E → E s˜ de E. ¤ Como conseq¨ uêcia temos o Corol´ ario 3.3.1 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial sobre R normado, ~a, ~b ∈ E e r, s > 0. Ent˜ ao as bolas abertas B(~a; r) e B(~b; s) s˜ ao homeomorfas (munidas da métrica induzida de E). Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos a aplica¸cão ϕ : B(~a; r) → E dada por . ϕ(~x) = (t~b ◦ m rs ◦ t−~a )(~x), Veja figura abaixo:

~x ∈ B(~a; r).


81

] ] s

o

r

r t−~ a ~ a

ms r

-

~ 0

~ 0

tb ϕ = t~ ◦ m s ◦ t−~ a b r

?

} s

s

~ b

Observemos que ϕ(~a) = (t~b ◦ m rs ◦ t−~a )(~a) = (t~b ◦ m rs )(t−~a (~a)) = (t~b ◦ m rs )(~a − ~a) = (t~b ◦ m rs )(~0) s = t~b (m rs (~0)) = t~b ( .0) = t~b (~0) = ~0 + ~b = ~b. r Se ~x ∈ B(~a; r) e dE (ϕ(~x), ϕ(~a)) = kϕ(~x) − ϕ(~a)kE = k(t~b ◦ m rs ◦ t−~a )(~x) − ~bkE = k(t~b ◦ m rs )(t−~a (~x)) − ~bkE = k(t~b ◦ m rs )(~x − ~a) − ~bkE = kt~b (m rs (~x − ~a)) − ~bkE s s s s = kt~b ( (~x − ~a)) − ~bkE = k[ (~x − ~a) + ~b] − ~bk = k (~x − ~a)k = k~x − ~ak r r r r [~ x∈B(~a;r)] s < .r = s, r ou seja, ϕ(~x) ∈ B(ϕ(~a); s)

[ϕ(~a)=~b]

=

B(~b; s), mostrando que ϕ : B(~a; r) → B(~b; s).

Da proposi¸cão (3.3.3) segue que ϕ é um homeomorfismo (pois é uma composta de homeomorfismos), mostrando que as bolas abertas B(~a; r) e B(~b; s) são homeomorfas.

82

˜ ´ CAPÍTULO 3. FUNC ¸ OES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS ¤ De modo semelhante pode-se mostrar o

Corol´ ario 3.3.2 Sejam (E, k.kE ) um espa¸co vetorial sobre R normado, ~a, ~b ∈ E e r, s > 0. Ent˜ ao as bolas fechadas B[~a; r] e B[~b; s] s˜ ao homeomorfas (munidas da métrica indizuda de E). Além disso e as esferas S(~a; r), S(~b; s) também s˜ ao homeomorfas. Demonstra¸ c˜ ao: Será deixada como exerc´ıcio para o leitor. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.3.4 1. Sabemos que o diˆ ametro de um conjunto é invariante métrico (isto é, é preservado por isometrias) mas n˜ ao é um invariante topol´ ogico (isto é, n˜ ao é preservado por homeomorfismo) como afirmam os corol´ arios acima (no caso de espa¸cos vetoriais normados). 2. Observemos que em um espa¸co métrico arbitr´ ario duas bolas abertas (ou fechadas) podem n˜ ao ser homeomorfas, como mostra o seguinte exemplo: Consideremos (M, dM ) um espa¸co métrico que possua um ponto a que seja ponto isolado de M e um ponto b que n˜ ao seja ponto isolado de M . Logo existe ε > 0 tal que B(a; ε) = {a}, portanto essa bola aberta n˜ ao ser´ a homeomorfa a uma bola aberta de centro em b, pois, para todo s > 0 temos que B(b; s) é um conjunto infinito (pois b n˜ ao é ponto isolado de M ; na verdade, n˜ ao poder´ a existir uma aplica¸ca õ bijetora de B(a; ε) = {a} no conjunto B(b; s))). Portanto as bolas B(a; ε) e B(b; s) n˜ ao s˜ ao homeomorfas em M . Temos a Defini¸ c˜ ao 3.3.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos. Diremos que uma fun¸c˜ ao f : M → N é uma imers˜ ao topol´ ogica se f : M → f (M ) for um homeomorfismo. Observa¸ c˜ ao 3.3.5 1. Toda imers˜ ao isométrica f : M → N ser´ a uma imers˜ ao topol´ ogica (pois se f é imers˜ ao isométrica ent˜ ao dN (f (x), f (y)) = dM (x, y) para todo x, y ∈ M , mostrando que f : M → f (M ) é bijetora, cont´ınua em M com fun¸c˜ ao inversa, f −1 : f (M ) → M , cont´ınua em f (M )).


83

2. N˜ ao vale a rec´ıproca do item 1., ou seja, nem toda imers˜ ao topol´ ogica é uma imers˜ ao isométrica, como mostra o seguinte exemplo: Consideremos R e R2 com as métricas usuais e f : R → R2 dada por . f (t) = (t, t2 ),

t ∈ R.

Observemos que f é cont´ınua em R, bijetora sobre f (R) e sua inversa ser´ a f −1 : f (R) → R dada por

. f (t, t2 ) = t,

(t, t2 ) ∈ f (R)

que corresponde a restri¸c˜ ao da proje¸c˜ ao p1 : R2 → R (que é cont´ınua) a f (R), logo f : R → f (R) é um homeomorfismo, mostrando que f : R → R2 é uma imers˜ ao topol´ ogica. Observemos que f : R → R2 n˜ ao é uma imers˜ ao isométrica, pois , se t, s ∈ R e t 6= s temos que df (M ) (f (t), f (s)) é o comprimento do arco de par´ abola que une os pontos (s, s2 ) e (t, t2 ) enquanto dR (t, s) é o comprimento do segmento de reta que une os pontos (s, 0) e (t, 0). Logo df (M ) (f (t), f (s)) > dM (s, t), mostrando que f n˜ ao ser´ a uma imers˜ ao isométrica (veja figura abaixo). 6 N = f (R)

f (t) = (t, t2 ) 2

f (s) = (s, s )

s

t

M =R

Outro resultado importante é dado pela Proposi¸ c˜ ao 3.3.4 Seja (E, k.kE ) um espa¸co vetorial normado. Ent˜ ao toda bola aberta é homeomorfa a E, isto é, se ~a ∈ E e r > 0 ent˜ ao B(~a; r) ∼ E. Demonstra¸ c˜ ao: Do corolário (3.3.1) basta mostrar que B(~0; 1) ∼ E, isto é, construiremos um homeomorfismo f : E → B(~0; 1).


84

Consideremos f :E→E dada por

. f (~x) =

1 ~x, 1 + k~xkE

~x ∈ E.

Observemos que d(f (~x), ~0) = kf (~x)kE = k

1 1 xkE = k~xkE < 1, 1 + k~xkE 1 + k~xkE

mostrando que f (E) ⊆ B(~0; 1), ou seja, f : E → B(~0; 1). Além disso f é uma fun¸cão cont´ınua (pois a aplica¸c˜ ao ~x → k~xkE é cont´ınua e como 1+k~xkE 6= 0, segue que a fun¸cão f será cont´ınua em E). Definamos g : B(~0; 1) → E por

. g(~y ) =

1 ~y , 1 − k~y kE

~y ∈ B(~0; 1).

Temos que a fun¸cão g é cont´ınua em B(~0; 1) (pois a aplica¸c˜ ao ~y → k~y kE é cont´ınua e como ~ 1 − k~y kE 6= 0 para ~y ∈ B(0; 1), segue que a fun¸c˜ ao g será cont´ınua em B(~0; 1)). Além disso se ~y ∈ B(~0; 1) temos que f (g(~y )) = f ( =

1 1 1 ~y ) = ~y 1 1 − k~y kE 1 + k 1−k~ykE ~y kE 1 − k~y kE 1

1+

1 y kE 1−k~ y kE k~

1 1 − k~y kE 1 ~y = ~y = ~y . 1 − k~y kE 1 − k~y kE + k~y kE 1 − k~y kE

De modo semelhante mostra-se que (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) g(f (~x)) = ~x, ou seja, g = f −1 , mostrando que

~x ∈ E,

f : E → B(~0; 1)

é um homeomorfismo de E em B(~0; 1), ou ainda, B(~0; 1) ∼ E, como quer´ıamos demonstrar. Portanto B(~a; r) ∼ E. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.3.6 1. Do exemplo acima segue que o intervalo (a, b) ⊆ R é homeomorfo a R (munidos da métrica induzida da métrica usual de R e da métrica usual de R, respectivamente), pois (a, b) = B( (veja figura abaixo).

a+b b−a ; ) 2 2

´ 3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAC ¸ OS METRICOS ¾

b−a 2

- ¾

b−a 2

-

a+b 2

a

85

b

2. Na situa¸c˜ ao acima, temos que o intervalo (a, ∞) é homeomorfo a R. Para mostrar isto basta considerar a fun¸c˜ ao f : R → (a, ∞) dada por

. f (x) = a + ex ,

x ∈ R.

6

f (x) = a + ex

y=a

x

Com isto pode-se mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que f é cont´ınua em R e se definirmos h : (a, ∞) → R por

. h(y) = ln(y − a),

y ∈ (a, ∞)

teremos que h ser´ a cont´ınua em (a, ∞). 6

h(y) = ln(y − a)

y


86

Além disso, pode-se verificar, que f (h(y)) = y,

y ∈ (a, ∞)

e

g(f (x)) = x,

x ∈ R,

mostrando que h = f −1 , isto é, f é um homeormorfismo de (a, ∞) em R, mostrando que (a, ∞) ∼ R. 3. De modo semelhante ao que fizemos no item 2. pode-se mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que (−∞, b) ∼ R. Um outro exemplo importante é Exemplo 3.3.4 Sejam

. S n = {~x ∈ Rn+1 : k~xk = 1}

a esfera n-dimensional unit´ ario de centro na origem munida da métrica induzida pela métrica . usual de Rn+1 e p~ = (0, · · · , 0, 1) ∈ Rn+1 (o polo norte da esfera S n ). Mostraremos que S n \ {~ p} é homeomorfa a Rn . Para isto exibiremos uma aplica¸c˜ ao Π : S n \ {p} → Rn que é um homeomorfismo. A aplica¸c˜ ao Π é definida da seguinte forma: → Dado ~x ∈ S n \ {~ p} consideremos a semi-reta px que liga os pontos p~ e ~x (que est´ a bem definida pois ~x 6= p~). → Definimos π(~x) como sendo o ponto de interseçc˜ ao da semi-reta px como o h´ıper-plano xn+1 = 0 (veja figura abaixo para o caso n = 1).

S 1 \ {p}

p = (0, 1)

w x

π(x)

π(y)

R

0

6 y →

semi-reta px

¾

→

semi-reta py

A seguir obteremos uma express˜ ao para π(x), x ∈ S 1 \ {p}. → 1 Observemos se x ∈ S \ {p}, que os pontos da semi-reta px s˜ ao da forma p + t.(x − p),

t > 0,

logo π(x) = p + t.(x − p),

para algum

t > 0.

(∗)


87

Mas π(x) dever´ a pertencer ao h´ıper-plano xn+1 = 0, ou seja, a u ´ltima coordanada de π(x) dever´ a ser zero. Como a u ´ltima coordenada de (*) é da forma 1 + t(xn+1 − 1), (pois a u ´ltima coordenada do ponto p é 1) deveremos ter 1 + t(xn+1 − 1) = 0. Logo para que π(x) perten¸ca ao h´ıper-plano xn+1 = 0 deveremos ter t=

1 . 1 − xn+1

Escreveremos x = (x1 , · · · , xn , xn+1 ) = (x0 , xn+1 ), onde x0 = (x1 , · · · , xn ) e xn+1 ∈ R. Deste modo teremos que 1 1 (x − p) = (0, · · · , 0, 1) + [(x1 , x2 , · · · , xn , xn+1 ) − (0, · · · , 0, 1)] 1 − xn+1 1 − xn+1 1 1 = (0, · · · , 0, 1) + (x1 , x2 , · · · , xn , xn+1 − 1) = (0, · · · , 0, 1) + ( x0 , −1) 1 − xn+1 1 − xn+1 1 =( x0 , 0), 1 − xn+1

p + t(x − p) = p +

Observemos que {(x1 , · · · , xn , 0) : xi ∈ R, i = 1 · · · , n} é homeomorfo a Rn . Para ver isto basta considerar φ : {(x0 , 0) : x0 ∈ Rn } ⊆ Rn+1 → Rn dada por

. φ(x0 , 0) = x0 ∈ Rn

e mostrar que esta é um homeomorfismo (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor). 1 n Assim definimos Π : S \ {p} → R por x ∈ S 1 \ {p},

Π(x) = (φ ◦ π)(x), ou seja, Π(x) =

1 x0 , 1 − xn+1

x ∈ S 1 \ {p},

onde x = (x0 , xn+1 ). Como xn+1 6= 1 segue que Π : S 1 \ {p} → Rn é uma fun¸ca õ cont´ınua em S 1 \ {p}. Consideremos a aplica¸c˜ ao ϕ : Rn → Rn+1 dada por . ϕ(y) = x,

y ∈ Rn ,

onde x = (x0 , xn+1 ) com . x0 =

2 kyk2Rn + 1

y

e

. kyk2Rn − 1 xn+1 = , kyk2Rn + 1


88 isto é,

. ϕ(y) = (

2 kyk2Rn + 1

y,

kyk2Rn − 1 ) ∈ Rn+1 , kyk2Rn + 1

y ∈ Rn .

Observemos que kϕ(y)k2Rn+1 = k

2 kyk2Rn + 1

yk2Rn + |

kyk2Rn − 1 2 (kyk2Rn − 1)2 4 2 kyk + | = n R kyk2Rn + 1 (kyk2Rn + 1)2 (kyk2Rn + 1)2

=

4kyk2Rn + (kyk2Rn − 1)2 4kyk2Rn + (kyk4Rn − 2kyk2Rn + 1 kyk4Rn + 2kyk2Rn + 1) = = (kyk2Rn + 1)2 (kyk2Rn + 1)2 (kyk2Rn + 1)2

=

(kyk2Rn + 1)2 = 1, (kyk2Rn + 1)2

ou seja, ϕ(y) ∈ S n . Além disso, se ϕ(y) = (0, · · · , 0, 1) = p ∈ Rn+1 dever´ıamos ter  2  y = (0, · · · , 0) ∈ Rn  2   kyk + 1 n  R   kyk2 − 1    =1 kyk2Rn + 1 e das n-primeiras equa¸co ˜es teremos y = (0, · · · , 0) ∈ Rn e este n˜ ao satisfaz a u ´ltima equa¸c˜ ao (o lado esquerda d´ a −1), ou seja p 6∈ ϕ(Rn ). Conslus˜ ao: ϕ : Rn → S n \ {p}. Observemos que ϕ é cont´ınua em Rn e além disso se x ∈ S n \ {p} temos que 1 = kxk2Rn+1 = kx0 k2Rn + (xn+1 )2

e

xn+1 6= 1.

Assim kx0 k2Rn = 1 − (xn+1 )2 , logo k 1−x1n+1 x0 k2Rn − 1 kΠ(x)k2Rn − 1 2 1 2 0 x ], Π(x), )=( [ ) ϕ(Π(x)) = ( kΠ(x)k2Rn + 1 kΠ(x)k2Rn + 1 k 1−x1n+1 x0 k2Rn + 1 1 − xn+1 k 1−x1n+1 x0 k2Rn + 1 = = = = = = =

1 kx0 k2Rn − 1 (1−xn+1 )2 ( ) 1 1 | kx0 k2Rn + 1 (1−xn+1 )2 (1−xn+1 )2 0 2 2 2(1 − xn+1 )2 0 kx kRn − (1 − xn+1 ) ( 0 2 x , ) [kx kRn + (1 − xn+1 )2 ].(1 − xn+1 ) kx0 k2Rn + (1 − xn+1 )2 2 2 2(1 − xn+1 )2 0 (1 − (xn+1 ) ) − (1 − xn+1 ) x , ) ( [(1 − (xn+1 )2 ) + (1 − xn+1 )2 ].(1 − xn+1 ) (1 − (xn+1 )2 ) + (1 − xn+1 )2 0 2 2 2(1 − xn+1 ) 0 kx kRn − (1 − xn+1 ) x , ( 0 2 ) 2 [kx kRn + (1 − xn+1 )2 ] kx0 kRn + (1 − xn+1 )2 2(1 − xn+1 ) (1 − (xn+1 )2 ) − (1 − xn+1 )2 ( x0 , ) 2 2 [(1 − (xn+1 ) ) + (1 − xn+1 ) ]. (1 − (xn+1 )2 ) + (1 − xn+1 )2 2 2 2(1 − xn+1 ) 0 1 − (xn+1 ) − [1 − 2xn+1 + (xn+1 ) ] x , ) ( [1 − (xn+1 )2 + 1 − 2xn+1 + (xn+1 )2 ] 1 − (xn+1 )2 + [1 − 2xn+1 + (xn+1 )2 ] 2(1 − xn+1 ) 0 2xn+1 − 2(xn+1 )2 2(1 − xn+1 )xn+1 ( x, ) = (x0 , ) = (x0 , xn+1 ) = x. (2 − 2xn+1 ) 2 − 2xn+1 2(1 − xn+1 )

2 1 x0 ], [ 2 0 kx kRn + 1 1 − xn+1


89

Por outro lado, se y ∈ Rn , denotando por ϕ(y) = ([ϕ(y)]0 , [ϕ(y)]n+1 ) ∈ Rn × R temos 1 1 [ϕ(y)]0 = Π(ϕ(y)) = 2 −1 kyk 1 − [ϕ(y)]n+1 1 − [ kykR2 n +1 ] Rn

=

2

1

2 kyk2 −1 1 − [ kykR2 n +1 ] kykRn + 1

y=

Rn

=

(kyk2Rn

½ (

2 kyk2Rn

¾0 kyk2Rn − 1 y, ) + 1 kyk2Rn + 1

kyk2Rn + 1 2 y 2 2 + 1) − (kykRn − 1) kykRn + 1

2(kyk2Rn + 1) y = y. 2(kyk2Rn + 1)

Portanto Π(ϕ(x)) = x,

x ∈ S n \ {p}

e

ϕ(Π(y)) = y,

y ∈ Rn ,

mostrando que ϕ é a fun¸c˜ ao inversa de Π e como isto podemos concluir que Π : S n \ {p} → Rn é um homeormorfismo e assim S n \ {p} ∼ Rn , como quer´ıamos mostrar. 20.10.2008 - 22.a Provinha 10.11.2008 - 23.a Para finalizar a se¸cão temos a Defini¸ c˜ ao 3.3.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N . Definimos o gr´ afico da fun¸ c˜ ao f , indicado por G(f ), como sendo o seguinte subconjunto de M × N : . G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ M }. Com isto temos a Proposi¸ c˜ ao 3.3.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N cont´ınua em M . Ent˜ ao G(f ) (munido de uma das três métrica do produto M × N ) é homeomorfo a M . Demonstra¸ c˜ ao: Consideremos a seguinte aplica¸cão f˜ : M → M × N dada por

. f˜(x) = (x, f (x)),

x ∈ M.

Observemos que f˜ é uma aplica¸cão cont´ınua em M (pois suas fun¸c˜ oes coordenadas são cont´ınuas em M ) e é injetora (pois se x1 6= x2 ent˜ ao (x1 , f (x1 )) 6= (x2 , f (x2 ))) e portanto bijetora sobre a sua imagem G(f ). Observemos que p1 : G(f ) → M dada por . p1 (x, f (x)) = x,

(x, f (x)) ∈ G(f )

90


(a restri¸cão ao conjunto G(f ) da proje¸c˜ ao no primeiro fator) é cont´ınua em G(f ) e f˜(p1 (x, f (x))) = f˜(x) = (x, f (x)),

(x, f (x)) ∈ G(f ) e p1 (f˜(x)) = p1 (x, f (x)) = x x ∈ M,

mostrando que p1 é a fun¸cão inversa associada a f˜. Logo f˜ : M → f (M ) é um homeomorfismo, mostrando que M ∼ G(f ), como quer´ıamos demonstrar. ¤ Exemplo 3.3.5 Como exemplos da situa¸c˜ ao acima temos os: . 1. R \ {0} é homeomorfo ` a hipérbole H = {(x, y) ∈ R2 : x.y = 1}. De fato, segue da proposi¸ca õ acima que isto é verdade pois H é gr´ afico da fun¸c˜ ao f : R \ {0} → R dada por

. 1 f (x) = , x ∈ R \ {0} x que é cont´ınua em R \ {0} (veja figura abaixo). y

6

1 f (x) = x

1) (x, x

-

x

x

2. De modo an´ alogo, o hemisf´ erio norte da esfera unit´ aria centrada na origem de Rn , que ser´ a indicada por n . S+ = {y = (y1 , · · · , yn , yn+1 ) ∈ S n : yn+1 > 0}

é homeomorfa ` a bola aberta unit´ aria centrada na origem em Rn , isto é, n S+ ∼ B(~0; 1) ⊆ Rn . n = G(f ) onde De fato, pois S+

é dada por

f : B(~0; 1) → R

. p f (x) = 1 − kxk2 ,

x ∈ B(~0; 1)

´ ´ 3.4. METRICAS EQUIVALENTES EM UM ESPAC ¸ O METRICO

91

n (pois ´ e f é cont´ınua em S+ e composta de fun¸c˜ oes cont´ınuas; veja figura abaixo). n se, e somente se, Observemos que y = (y1 , · · · , yn , yn+1 ) ∈ S+ 2 1 = kyk2 = y12 + · · · + yn2 + yn+1

que é equivalente a yn+1

e

yn+1 > 0

q = 1 − y12 + · · · + yn2 .

. Logo, se x = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn a condi¸ca õ acima ser´ a equivalente a p kxk < 1 e yn+1 = 1 − kxk2 , ou, seja, n y = (y1 , · · · , yn , yn+1 ) ∈ S+ ⇐⇒ y = (x,

p 1 − kxk2 ),

. x = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn .

n S+

¼

f (x)

(x, f (x))

1

9

O x Rn

3.4

M´ etricas equivalentes em um espa¸co m´ etrico

Iniciaremos com a Defini¸ c˜ ao 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas métricas em M . Diremos que a m´ etrica d1 ´ e mais fina que a m´ etrica d2 , escrevendo d1 Â d2 se a aplica¸c˜ ao i12 : (M, d1 ) → (M, d2 ) dada por

. i12 (x) = x,

x∈M

for cont´ınua em (M, d1 ). Observa¸ c˜ ao 3.4.1 Da defini¸c˜ ao acima segue que a métrica d1 é mais fina que a métrica d2 se, e somente se, para cada a ∈ M , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que Bd1 (a; δ) = (i12 )−1 (Bd1 (a; δ)) ⊆ Bd2 (a; ε), ou seja, toda bola aberta segundo a métrica d2 contém uma bola aberta segunda a métrica d1 .

92


ε

Á ¾

Y

Bd2 (a; ε)

δ a

3

Bd1 (a; δ)

Com isto temos a Proposi¸ c˜ ao 3.4.1 Seja (M, d1 ) um espa¸co métrico discreto (isto é, d1 é a métrica discreta) e d2 uma outra métrica qualquer em M . Ent˜ ao d1 Â d2 . Além disso, se d é uma métrica em M tal que d Â d1 ent˜ ao d é uma métrica discreta. Demonstra¸ c˜ ao: Lembremos que na métrica discreta todo ponto de (M, d1 ) é isolado. Logo se a ∈ M existe δ > 0 tal que Bd1 (a; δ) = {a}. Logo dado ε > 0 temos que Bd1 (a; δ) = {a} ⊆ Bd2 (a; ε), mostrando que d1 Â d2 . Se d é uma métrica em M tal que d Â d1 ent˜ ao para todo a ∈ M , como d1 é a métrica discreta, existe ε > 0 tal que Bd1 (a; ε) = {a}. Mas d Â d1 , logo existe δ > 0 tal que Bd (a; δ) ⊆ Bd1 (a; ε) = {a}, ou seja, Bd (a; ε) = {a}, mostrando que a métrica d é discreta. ¤ Outro resultado interessante é dado pela Proposi¸ c˜ ao 3.4.2 Sejam d1 e d2 duas métricas em M satisfazendo a seguinte rela¸ca õ: existe c > 0 tal que d2 (x, y) ≤ c d1 (x, y), x, y ∈ M. Ent˜ ao d1 Â d2 . Demonstra¸ c˜ ao: A desigualdade acima implica que a aplica¸c˜ ao i12 : (M, d1 ) → (M, d2 ) é lischitziana em M , em particular cont´ınua em M , mostrando assim que d1 Â d2 . ¤


93

Observa¸ c˜ ao 3.4.2 Podemos provar o resultado acima diretamente, ou seja, para cada a ∈ M , . ε dado ε > 0 seja δ = > 0. c Logo se a ∈ M temos que se x ∈ Bd1 (a; δ) segue que d2 (x, a) ≤ c d1 (x, a) < c δ = c

ε = ε, c

ou seja, x ∈ Bd2 (a; ε), mostrando que Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε), isto é, d1 Â d2 . Temos a . . Proposi¸ c˜ ao 3.4.3 Sejam M1 = (M, d1 ) e M2 = (M, d2 ) espa¸cos métricos. As afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes; 1. d1 Â d2 (isto é, a aplica¸c˜ ao i12 : M1 → M2 é cont´ınua em M1 ); 2. Para todo espa¸co métrico (N, dN ) se uma fun¸c˜ ao f : M2 → N é cont´ınua em M2 ent˜ ao f : M1 → N é cont´ınua em M1 (ou seja, toda aplica¸c˜ ao cont´ınua segundo a métrica d2 ser´ a cont´ınua segundo a métrica d1 ); 3. Consideremos em R a métrica usual. Se uma fun¸c˜ ao f : M2 → R é cont´ınua em M2 ent˜ ao f : M1 → R é cont´ınua em M1 (ou seja, toda aplica¸c˜ ao real cont´ınua segundo a métrica d2 ser´ a cont´ınua segundo a métrica d1 ); 4. Para todo a ∈ M a fun¸c˜ ao d2a : M1 → R

dada por

. d2a = d2 (a, x),

x ∈ M,

é cont´ınua em M1 ; 5. Toda bola aberta, segundo a métrica d2 , contém uma bola aberta segundo d1 , de mesmo centro que a primeira; 6. A fun¸c˜ ao d2 : M1 × M1 → R é cont´ınua em M1 × M1 onde neste consideramos uma das três métricas do produto cartesiano (a saber, da raiz quadrada, da soma ou do m´ aximo). Demonstra¸ c˜ ao: Mostraremos a seguinte seq¨ uência de implica¸c˜ oes: -

1.

2.

6

+ 6.

j

4.

¾

6

? 5.

? 3.

94

˜ ´ CAPÍTULO 3. FUNC ¸ OES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS Mostremos que (1. ⇒ 2.): Indicaremos por . f 1 = f : M1 = (M, d1 ) → N

e

. f 2 = f : M2 = (M, d2 ) → N.

Como i12 : M1 → M2 então temos que f 1 = f 2 ◦ i12 . (∗) O diagrama abaixo ilustra a situa¸cão i12 M1

f1

-

M2

f2

R ª N

Se d1 Â d2 então temos que a aplica¸c˜ ao i12 : M1 → M2 é cont´ınua em M1 . Como f2 é cont´ınua em M2 segue que (*) que f 1 ser´ a cont´ınua em M1 , mostrando que 2. é verdadeira. Mostremos que (2. ⇒ 3.): . Segue como caso particular de 2. (basta tomar N = R), com isto obtemos que 3. é verdadeira. Mostremos que (3. ⇒ 4.): Sabemos que a aplica¸cão d2a : M2 → R

. dada por d2a (x) = d2 (a, x),

x∈M

é cont´ınua em M2 (pois d2 é cont´ınua em M2 × M2 , logo sua restri¸c˜ ao a {a} × M2 , que é d2a , também será cont´ınua em {a} × M2 ). Logo do item 3. segue a aplica¸cão d2a : M1 → R também será cont´ınua em M1 , mostrando que 4. é verdadeira. Mostremos que (4. ⇒ 1.): Por hipótese, sabemos que a aplica¸cão d2a : M1 → R

. dada por d2a (x) = d2 (a, x),

x∈M

é cont´ınua em M1 . Mostremos que a aplica¸cão i12 : M1 → M2 é cont´ınua em M1 . Para isto precisamos mostrar que i12 : M1 → M2 é cont´ınua em b ∈ M , b arbitrário. Como a aplica¸cão d2a : M1 → R é cont´ınua em a ∈ M , dado ε > 0 temos que existe δ > 0 tal que se d1 (x, a) < δ então |d2a (x) − d2a (a)| < ε,

isto é, ε > |d2 (x, a) − d2 (a, a)| = d2 (x, a).

Portanto se d1 (x, a) < δ teremos d2 (x, a) < ε, ou seja, Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε).


95

Logo se d1 (x, a) < δ, isto é, se x ∈ Bd1 (a; δ), segue que x ∈ Bd2 (a; ε), ou seja, ε > d2 (x, a) = d2 (i12 (x), i12 (a)), ou ainda d2 (i12 (x), i12 (a)) < ε. Logo i12 : M1 → M2 é cont´ınua em a ∈ M . Assim que d1 Â d2 , mostrando que (4. ⇒ 1.). Mostremos que (4. ⇔ 5.): Sabemos que a aplica¸cão d2a : M1 → R

dada por d2a (a, x), x ∈ M1

é cont´ınua em M1 . Logo dada a bola aberta Bd2 (a; ε), da continuidade da aplica¸c˜ ao acima no ponto a, segue que existe δ > 0 tal que se d1 (x, a) < δ (ou seja, se x ∈ Bd1 (a; δ)) ent˜ ao ε > |d2a (x) − d2a (a)| = |d2 (x, a) − d2 (a, a)| = d2 (x, a), (ou seja, x ∈ Bd2 (a; ε)). Portanto, se x ∈ Bd1 (a; δ) ent˜ ao x ∈ Bd2 (a; ε). Logo Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε), mostrando que (4. ⇒ 5.). Por outro lado, se toda bola aberta segundo d2 contém uma bola aberta de mesmo centro segundo d1 então dados a ∈ M e ε > 0 segue que existe δ > 0 tal que Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε). Logo se d1 (x, a) < δ (ou seja, x ∈ Bd1 (a; δ)) teremos que x ∈ Bd2 (a; ε) (*), isto é, (∗)

|d2a (x) − d2a (a)| = |d2 (x, a) − d2 (a, a)| = d2 (x, a) < ε, mostrando que a aplica¸cão d2a : M1 → R é cont´ınua em M1 , ou seja, que (5. ⇒ 4.). Mostremos que (6. ⇒ 4.): Se a aplica¸cão d2 : M1 × M1 → R é cont´ınua em M1 × M1 ent˜ ao a sua restri¸c˜ ao ao conjunto {a} × M1 também será, isto é, d2 |{a}×M1 : {a} × M1 → R será cont´ınua em {a} × M1 . Observemos que d2a = d2 |{a}×M1 , portanto d2a será cont´ınua em M1 , mostrando que (6. ⇒ 4.). Mostremos que (1. ⇒ 6.): Se d1 Â d2 então a aplica¸cão i12 : M1 → M2 será cont´ınua em M1 . Logo do corolário (3.2.2) segue que a aplica¸c˜ ao identidade id : M1 × M1 → M2 × M2


96

também será cont´ınua em M1 × M1 (pois id = (i12 , i12 ) e i12 é cont´ınua em M1 ). Portanto a métrica em M1 × M1 é mais fina que a métrica em M2 × M2 . Sabemos que d2 : M2 × M2 → R é cont´ınua em M2 × M2 logo, como (1. ⇒ 3.), segue que d2 : M1 × M1 → R também será cont´ınua em M1 × M1 , mostrando que (1. ⇒ 6.). ¤ Um outro resultado u ´til é dado pela Proposi¸ c˜ ao 3.4.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e uma aplica¸c˜ ao f : M → N injetiva. Ent˜ ao f é cont´ınua em M se, e somente se, a métrica dM Â d1 , onde d1 é a métrica induzida em M pela aplica¸c˜ ao f . Demonstra¸ c˜ ao: Podemos supor, sem perda de generalidade que f é sobrejetora, isto é, N = f (M ) (pois caso contrário trocamos N por f (M ) munido da métrica induzida por N ). . Indicaremos por M1 = (M, d1 ), onde d1 : M × M → R é a métrica induzida pela aplica¸c˜ ao f , isto é, é dada por . d1 (x, y) = dN (f (x), f (y)), x, y ∈ M e f 1 : M1 → N

. dada por f 1 (x) = f (x), x ∈ M,

que será uma isometria, pois dN (f1 (x), f1 (y)) = dN (f (x), f (y)) = d1 (x, y),

x, y ∈ M

e indiquemos por iM 1 : (M, dM ) → (M, d1 ) a aplica¸cão identidade. Como f 1 é bijetora segue que será um homeomorfismo de M1 em N . Com isto temos o seguinte diagrama f

-

(M, dM )

(N, dN )

3 iM 1 f1 ´ e homeomrofismo

? (M, d1 )

Como f = f 1 ◦ iM 1 segue que f é cont´ınua em M se, e somente se, iM 1 é cont´ınua em M , ou seja, dM Â d1 , completando a demostra¸cão da proposi¸cão. ¤ 10.10.2008 - 24.a Provinha 17.11.2008 - 25.a


97

Exemplo 3.4.1 Consideremos [0, 2π) e S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} munidos das métricas, d[0,2π) , dS 1 , induzidas pelas métricas usuais de R e R2 , respectivamente e f : [0, 2π) → S 1 dada por

. f (t) = (cos(t), sen(t)),

t ∈ [0, 2π).

Vimos que a aplica¸c˜ ao f é cont´ınua e bijetora em [0, 2π). Logo, da proposi¸ca õ acima, segue que a métrica d[0,2π) é mais fina que a métrica induzida pela aplica¸c˜ ao f , isto é, que a métrica . d1 (x, y) = dS 1 (f (x), f (y)) = dS 1 ((cos(x), sen(x)), (cos(y), sen(y))) p = [cos(x) − cos(y)]2 + [sen(x) − sen(y)]2 , x, y ∈ [0, 2π). Temos a seguinte defini¸cão Defini¸ c˜ ao 3.4.2 Sejam d1 e d2 métricas em M . Diremos que as métricas d1 e d2 s˜ ao equivalentes, denotando por d1 ∼ d2 , se a aplica¸ca õ i12 : (M, d1 ) → (M, d2 ) for um homeomorfismo. Observa¸ c˜ ao 3.4.3 1. As métricas d1 e d2 em M s˜ ao equivalentes se, e somente se, d1 Â d2 e d2 Â d1 . 2. A rela¸c˜ ao ∼ no conjunto formado por todas as métricas definidas em M é uma rela¸c˜ ao de equivalência, isto é, satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: (a) para toda métrica d1 em M temos d1 ∼ d1 (reflexiva); De fato, pois a aplica¸c˜ ao identidade i11 : (M, d1 ) → (M, d1 ) é uma isometria, em particular, um homeomorfismo de (M, d1 ) em (M, d1 ) assim d1 ∼ d1 . (b) se d1 e d2 s˜ ao métricas em M satisfazem d1 ∼ d2 ent˜ ao d2 ∼ d1 (simétrica); De fato, pois se d1 ∼ d2 ent˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade i12 : (M, d1 ) → (M, d2 ) é um homeomorfismo de (M, d1 ) em (M, d2 ) ent˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade i21 = i−1 12 : (M, d2 ) → (M, d1 ) é um homeomorfismo de (M, d2 ) em (M, d1 ) mostrando que d2 ∼ d1 . (c) se d1 , d2 e d3 s˜ ao métricas em M satisfazem d1 ∼ d2 e d2 ∼ d3 ent˜ ao d1 ∼ d3 (transitiva). De fato, pois se d1 ∼ d2 ent˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade i12 : (M, d1 ) → (M, d1 ) um homeomorfismo de (M, d1 ) em (M, d2 ). De modo semelhante, se d2 ∼ d3 ent˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade i23 : (M, d2 ) → (M, d3 ) um homeomorfismo de (M, d2 ) em (M, d3 ). Logo a aplica¸c˜ ao identidade i13 = i23 ◦ i12 : (M, d1 ) → (M, d3 ) um homeomorfismo de (M, d1 ) em (M, d3 ) mostrando que d1 ∼ d3 . 3. Segue da proposi¸c˜ ao (3.4.3) que duas métricas em M s˜ ao equivalentes se, e somente se, toda bola aberta segundo uma das métricas contenha uma bola aberta, de mesmo centro, segundo a outra métrica.

98

˜ ´ CAPÍTULO 3. FUNC ¸ OES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS 4. Observemos que duas métricas discretas em M s˜ ao sempre equivalentes, pois toda bola aberta segundo uma ser´ a uma bola aberta segunda a outra. Além disso, vale observar que se d1 ∼ d2 e d1 é uma métrica discreta em M ent˜ ao, da proposi¸c˜ ao (3.4.1) segue que d2 também ser´ a uma métrica discreta em M . 5. A proposi¸c˜ ao (3.4.3) item 2. nos garante que se d1 ∼ d2 em M ent˜ ao uma aplica¸ca õ f : (M, d1 ) → (N, dN ) ser´ a cont´ınua em (M, d1 ) se, e somente se, f : (M, d2 ) → (N, dN ) ser´ a cont´ınua em (M, d2 ). Conclus˜ ao: se trocarmos a métrica de uma espa¸co métrica por um outra equivalente a mesma, estudar a continuiade de uma fun¸c˜ ao segundo a primeira métrica é equivalente a estudar a continuidade da fun¸c˜ ao segundo a outra métrica. A seguir consideraremos alguns exemplos importantes.

Exemplo 3.4.2 As métricas d, d0 e d00 em Rn s˜ ao equivalentes. De fato, da proposi¸c˜ ao (2.1.1) segue que para todo x, y, ∈ Rn temos d00 (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d0 (x, y) ≤ n d00 (x, y).

(∗)

Logo a proposi¸c˜ ao (3.4.2) implicar´ a que as métricas d, d0 e d00 s˜ ao equivalentes em Rn . Observa¸ c˜ ao 3.4.4 No exemplo acima se n = 2 temos garantido que toda bola aberta, segundo a métrica d (neste caso as bolas s˜ ao os interiores dos discos), contém uma bola aberta, segundo a métrica 0 ao os interiores dos quadrados cujas diagonais s˜ ao paralelas aos eixos d (neste caso as bolas s˜ coordenados) que, por sua vez, contém uma bola aberta, segundo a métrica d00 (neste caso as bolas s˜ ao os interiores dos quadrados cujos lados s˜ ao paralelos aos eixos coordenados) que, por ao os interiores dos fim, contém uma bola aberta, segundo a métrica d (neste caso as bolas s˜ discos). Geometricamente temos a seguinte configura¸c˜ ao: Bd00 (a; r 00 )

Bd (a; r)

? ? ¾ a

Bd0 (a, r 0 )

i Bd (a; s)


99

Em particular, para estudar a continuidade de uma fun¸c˜ ao f : Rn → R onde em Rn temos, por exemplo, a métrica d, podemos trocar a mesma pela métrica d0 ou d00 , e estudar a continuidade da fun¸c˜ ao dada com rela¸c˜ ao a esta nova métrica que o resultado obtido ser´ a o mesmo o obtido com a métrica d. Como conseq¨ uência da proposi¸cão (3.4.2) temos o Corol´ ario 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas métricas em M tais que existem α, β > 0 tais que α d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ β d1 (x, y),

x, y ∈ M.

(∗)

Ent˜ ao d1 ∼ d2 . Demonstra¸ c˜ ao: Denotemos por (I)

(II)

αd1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ βd1 (x, y),

x, y ∈ M.

De (I) temos que d1 (x, y) ≤

1 d2 (x, y), α

Logo, da proposi¸cão (3.4.2), segue que d2 Â d1 . Como d2 (x, y) ≤ β d1 (x, y),

x, y ∈ M.

x, y ∈ M,

da proposi¸cão (3.4.2), segue que d1 Â d2 , portanto d1 ∼ d2 , como quer´ıamos demonstrar. ¤ Exemplo 3.4.3 Seja d uma métrica em M . Definamos em M : d1 , d 2 : M × M → R

por

. d1 (x, y) =

d(x, y) , 1 + d(x, y)

. d2 (x, y) = min{1, d(x, y)},

x, y ∈ M.

Pode-se mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que d1 e d2 s˜ ao métricas em M . Afirmamos que d1 ∼ d ∼ d2 . De fato, observemos que d1 (x, y) ≤ d(x, y),

e

d2 (x, y) ≤ d(x, y),

x, y ∈ M,

logo d Â d1 e d Â d2 . Por outro lado, dado ε > 0 sejam . δ1 =

ε >0 1+ε

e

. δ2 = min{1, ε} > 0.

Se x ∈ Bd1 (a; δ1 ) temos que d1 (x, a) < δ1 assim

d(x, a) ε < ⇐⇒ d(x, a)[1 + ε] < ε[1 + d(x, a)] ⇐⇒ d(x, a) < ε, 1 + d(x, a) 1+ε


100

ou seja, dado ε > 0 existe δ1 > 0 tal que Bd1 (a; δ1 ) ⊆ Bd (a; ε), mostrando que d1 Â d. De modo semelhante, se x ∈ Bd2 (a; δ2 ) temos que d2 (x, a) < δ2 ≤ 1. Logo d2 (x, a) < 1 e assim d(x, a) = d2 (x, a) < min{1, ε} < ε que implicar´ a que d(x, a) < ε, ou seja, dado ε > 0 existe δ2 > 0 tal que Bd2 (a; δ2 ) ⊆ Bd (a; ε), mostrando que d2 Â d. Com isto temos que d1 ∼ d ∼ d2 , como quer´ıamos mostrar. Observa¸ c˜ ao 3.4.5 1. Observemos que as métricas d1 e d2 s˜ ao limitadas em M × M pois d1 (x, y) =

d(x, y) 1 + d(x, y)

[d(x,y)≤1+d(x,y)]

≤

1,

x, y ∈ M

e d2 (x, y) ≤ 1,

x, y ∈ M.

Conclus˜ ao: toda métrica em M é equivalente a uma métrica limitada em M . 2. Observemos que se a métrica d é n˜ ao limitada em M ent˜ ao n˜ ao existe β > 0 tal que d(x, y) ≤ β dj (x, y),

x, y ∈ M,

j = 1, 2.

(∗∗)

De fato, se existisse β > 0 com a propriedade (**) dever´ıamos ter, no caso j = 1: d(x, y) ≤ β

d(x, y) [x6=y] =⇒ d(x, y)[1 + d(x, y)] ≤ β d(x, y) =⇒ d(x, y) ≤ β − 1, 1 + d(x, y)

x, y ∈ M,

ou seja, a métrica d deveria ser limitada, o que é um absurdo. Para o caso j = 2, se existisse β > 0 com a propriedade (**) dever´ıamos ter: d(x, y) ≤ β min{1, d(x, y)} =⇒ d(x, y) ≤ β, | {z }

x, y ∈ M,

≤1

ou seja, a métrica d deveria ser limitada, o que é um absurdo. Logo podemos concluir que a condi¸c˜ ao (*) dada pelo corol´ ario (3.4.1) é suficiente, mas n˜ ao é necess´ aria, para que duas métricas sejam equivalentes em M . Temos a


101

Proposi¸ c˜ ao 3.4.5 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N bije¸c˜ ao. Ent˜ ao: f é um homeomorfismo de M em N se, e somente se, a métrica dM é equivalente ` a métrica d1 em M , induzida pela aplica¸c˜ ao f . Demonstra¸ c˜ ao: Definamos f1 : (M, d1 ) → (N, dN )

. dada por f1 (x) = f (x), x ∈ M.

Logo f1 é bijetora de M em N . Além disso, temos que f1 é uma isometria de (M, d1 ) em (N, dN ), pois . d1 (x, y) = dN (f (x), f (y)),

x, y ∈ M.

Logo um homeomorfismo de M em N . Assim sua fun¸cão inversa (f1 )−1 : (N, dN ) → (M, d1 ) será cont´ınua em N . Consideremos as aplica¸cões identidades i1M : (M, d1 ) → (M, dM )

e iM 1 : (M, dM ) → (M, d1 ).

Então teremos iM 1 = (f1 )−1 ◦ f

i1M = f −1 ◦ f1 .

(veja diagrama abaixo) ¾ (M, dM )

f

6 i1M

iM 1

f −1

3

(N, dN )

f1−1 f1 ´ e isometria

?

+

(M, d1 )

Logo d1 Â dM (ou seja, a aplica¸cão i1M é cont´ınua) se, e somente se, f −1 for cont´ınua. Por outro lado, dM Â d1 (ou seja, a aplica¸c˜ ao iM 1 é cont´ınua) se, e somente se, f for cont´ınua. Conclusão: d1 ∼ dM se, e somente se, f é um homeomorfismo. ¤ Observa¸ c˜ ao 3.4.6 Da proposi¸c˜ ao acima segue que no exemplo (3.4.1) a métrica induzida em [0, 2π) pela métrica usual de R e a métrica induzida em [0, 2π) pela fun¸ca õ cont´ınua e bijetora f : [0, 2π) → S 1 n˜ ao s˜ ao equivalentes (pois, como vimos no exemplo (3.3.3), f n˜ ao é homeomorfismo). Para finalizar a se¸cão temos a Proposi¸ c˜ ao 3.4.6 Sejam M1 = (M, d1 ), M2 = (M, d2 ), (N, dN ) espa¸cos métricos e em R a métrica usual . S˜ ao equivalentes:

102


1. d1 ∼ d2 ; 2. f : M1 → N é cont´ınua em M1 se, e somente se, f : M2 → N é cont´ınua em M2 ; 3. f : M1 → R é cont´ınua em M1 se, e somente se, f : M2 → R é cont´ınua em M2 ; 4. Para todo a ∈ M as fun¸c˜ oes d1a : M2 → R e d2a : M1 → R dadas por . d1a (x) = d1 (a, x),

. d2a (x) = d2 (a, x),

x∈M

s˜ ao cont´ınuas no ponto a; 5. Toda bola aberta segundo a métrica d1 contém uma bola aberta, de mesmo centro, segundo a métrica d2 e toda bola aberta segundo a métrica d2 contém uma bola aberta, de mesmo centro, segundo a métrica d1 ; 6. As fun¸c˜ oes d1 : M2 × M2 → R e d1 : M1 × M1 → R s˜ ao cont´ınuas em M2 × M2 e M1 × M1 , respectivamente (onde nos correspondentes produtos cartesianos consideramos uma das três métricas canˆ onicas). Demonstra¸ c˜ ao: Conseq¨ uência da proposi¸cão (3.4.3). ¤

3.5

Transforma¸co ˜es lineares e multilineares definidas em espa¸cos vetoriais normados

Come¸caremos pela Defini¸ c˜ ao 3.5.1 Sejam E, F espa¸cos vetoriais sobre R. Diremos que uma aplica¸c˜ ao f : E → F é uma transforma¸ c˜ ao linear de E em F se ela tem as seguintes propriedades: f (~x + ~y ) = f (~x) + f (~y ), f (λ~x) = λf (~x),

(3.1) (3.2)

onde ~x, ~y ∈ E, λ ∈ R. Se na situa¸c˜ ao acima F = E (isto é, f : E → E) ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f ser´ a dita operador linear em E. Se na situa¸c˜ ao acima F = R (isto é, f : E → R) ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f ser´ a dita funcional linear em E. Observa¸ c˜ ao 3.5.1 1. Vale observar que a adi¸c˜ ao do lado esquerdo de (3.1) é adi¸c˜ ao em E e a adi¸c˜ ao do lado direito de (3.1) é adi¸c˜ ao em F . Além disso, a multiplica¸c˜ ao por n´ umero real do lado esquerdo de (3.1) é a multiplica¸c˜ ao por n´ umero real em E e a multiplica¸c˜ ao por n´ umero real do lado direito de (3.1) é a multiplica¸c˜ ao por n´ umero real em F .

˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO 2. Como conseq¨ uência de (3.1) e (3.2) temos que f (λ1 ~x1 + λ2 ~x2 + · · · + λn ~xn ) = λ1 f (~x1 ) + λ2 f (~x2 ) + · · · + λn f (~xn ), onde ~x1 , ~x2 , · · · , ~xn ∈ E e λ1 , λ2 , · · · , λn ∈ R. ´ A demonstra¸c˜ ao deste fato é vista no curso de Algebra Linear. 3. Nosso objetivo nesta se¸c˜ ao é estudar a continuidade de transforma¸c˜ oes lineares entre espa¸cos vetoriais normados. Com isto temos o Teorema 3.5.1 Sejam Rn com uma das três normas usuais e (F, k.kF ) espa¸co vetorial normado. Se f : Rn → F é uma transforma¸ca õ linear ent˜ ao f é cont´ınua em Rn . Demonstra¸ c˜ ao: . . Seja B = {~e1 , ~e2 , · · · , ~en } a base canônica do Rn (ou seja, ~ek = (0, · · · , 0,

1 |{z}

, 0, · · · , 0)).

k−´ esima posi¸ca õ

Logo se ~x ∈ Rn temos que ~x = x1~e1 + x2~e2 + · · · + xn~en , para xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n. Como f é uma trasforma¸cão linear temos que

f (~x) = f (x1~e1 + x2~e2 + · · · + xn~en ) = x1 f (~e1 ) + x2 f (~e2 ) + · · · + xn f (~en ). Portanto kf (~x)kF = kx1 f (~e1 ) + x2 f (~e2 ) + · · · + xn f (~en )kF ≤ kx1 f (~e1 )kF + kx2 f (~e2 )kF + · · · + kxn f (~en )kF = |x1 |kf (~e1 )kF + |x2 |kf (~e2 )kF + · · · + |xn |kf (~en )kF . Consideremos

(3.3)

. c = max{kf (~e1 )kF , kf (~e2 )kF , · · · , kf (~en )kF }.

Logo segue de (3.3) que kf (~x)kF ≤ c(|x1 | + |x2 | + · · · + |xn |). Se considerarmos a norma em Rn da soma (isto é, k~xkRn = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |, onde ~x = (x1 , x2 , · · · , xn )) então segue da desigualdade acima que kf (~x)kF ≤ ck~xkRn ,

~x ∈ Rn ,

mostrando que a aplica¸cão f é lipschitiziana, em particular cont´ınua em Rn . Como as métricas d, d 0 e d 00 (que provém das três normas usuais) são equivalentes temos que a transforma¸cão linear f : Rn → F será cont´ınua em Rn com qualquer uma das três métricas usuais. Deste modo completamos a demnstra¸c˜ ao do teorema. ¤

104


Observa¸ c˜ ao 3.5.2 O resultado acima nos diz que uma transforma¸c˜ ao linear definida em espa¸co vetorial normado de dimens˜ ao finita e tomando valores em outro espa¸co vetorial normado é sempre cont´ınua. Isto segue do fato que todo espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita é isomorfo a Rn para algum n ∈ N. O mesmo n˜ ao é verdade se a dimens˜ ao do espa¸co vetorial do dom´ınio n˜ ao for finita, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo 3.5.1 Seja E o conjunto formado por todos os polinˆ omios reais de uma vari´ avel real munido dadas opera¸c˜ oes usuais de adi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por fun¸c˜ oes. ´ No curso de Algebra Linear mostra-se que E munido das opera¸c˜ oes acima é um espa¸co vetorial sobre R (na verdade é um subespa¸co vetorial das fun¸c˜ oes reais cont´ınuas de uma vari´ avel real). Podemos definir em E a seguinte norma: se p ∈ E temos . kpkE = sup |p(x)|. 0≤x≤1

De fato Se p, q ∈ E e α ∈ R temos que 1. kpkE = sup |p(x)| ≥ 0 e kpkE = 0 se, e somente se, sup |p(x)| = 0, logo |p(x)| = 0 0≤x≤1

0≤x≤1

para 0 ≤ x ≤ 1 que é equivalente a p(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1]; Mas p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , x ∈ R e como 0 = p(0) = a)0 , 0 = p0 (0) = a1 , 0 = p00 (0) = 2a2 , · · · , 0 = p(n) (0) = n!an , segue que ak = 0 para k = 0, · · · , n, mostrando que p(x) = 0 para todo x ∈ R; 2. kαpkE = sup |αp(x)| = |α| sup |p(x)| = |α|kpkE ; 0≤x≤1

0≤x≤1

3. kp + qkE = sup |p(x) + q(x)|

[|p(x)+q(x)|leq|p(x)|+|q(x)|]

≤

0≤x≤1

sup |p(x)| + sup |q(x)| = kpkE +

0≤x≤1

0≤x≤1

kqkE , mostrando que k.kE é uma norma em E. Consideremos f : E → R dada por . f (p) = p(2),

p ∈ E.

Ser´ a deixado para o leitor verificar que f é um funcional linear definido em E. De fato se p, q ∈ E e α ∈ R temos que f (αp + q) = (αp + q)(2) = (αp)(2) + q(2) = (αp(2) + q(2) = αf (p) + f (q), mostrando que f : E → R é um funcional linear em E. Afirmamos que f n˜ ao é cont´ınua em 0 ∈ E (o polinˆ omio nulo). 1 . x De fato, se tomarmos ε = > 0, para cada n ∈ N consideramos o polinˆ omio pn (x) = ( )n , 2 2 x ∈ R. Obviamente que para todo n ∈ N temos que pn ∈ E e kpn − 0kE = sup |pn (x) − 0(x)| = sup |pn (x)| 0≤x≤1

0≤x≤1

[pn ´ e crescente]

=

1 1 pn (1) = ( )n = n . 2 2

˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO Logo pn → 0 em E, quando n → ∞ mas 2 1 |f (pn ) − f (0)| = |f (pn )| = pn (2) = ( )n = 1 > = ε, 2 2 mostrando que f é um funcional linear que n˜ ao é cont´ınuo em E. 17.11.2008 - 26.a Provinha 24.11.2008 - 27.a Em geral temos o seguinte resultado importante: Teorema 3.5.2 Sejam (E, k.kE ) e (F, k.kF ) espa¸cos vetoriais e f : E → F uma transforma¸c˜ ao linear. S˜ ao equivalentes: 1. f é cont´ınua em E; 2. f é cont´ınua em ~0 ∈ E; 3. Existe c > 0 tal que kf (~x)kF ≤ c k~xkE ,

~x ∈ E;

(∗)

4. Existe c > 0 tal que kf (~x) − f (~y )kF ≤ c k~x − ~y kE ,

~x, ~y ∈ E.

(∗∗)

Demonstra¸ c˜ ao: Mostraremos que o diagram abaixo ocorre: 1.

- 2.

6

4. ¾

?

3.

A implica¸c˜ ao (1. ⇒ 2.) é trivial; Mostremos que (2. ⇒ 3.): Como f é cont´ınua em ~0 ∈ E e f (~0) = ~0 (pois f é uma transforma¸c˜ ao linear) tomando-se ε = 1 > 0 existirá δ > 0 tal que k~xk = k~x − ~0kE < δ

então kf (~x)k = kf (~x) − f (~0) kF < ε = 1. (∗ ∗ ∗) |{z} =0

1 Seja c > 0 tal que 0 < < δ. c Se ~x = ~0 então teremos kf (~x)kF = k~0k = 0 ≤ c.0 = ck~0kE = ck~xkE , mostrando que (*) ocorrerá.


106

Se ~x 6= ~0 então

1 ~x ∈ E é um vetor que satisfaz ck~xkE k

1 1 1 ~xkE = k~xkE = < δ. ck~xkE ck~xkE c

Logo, de (***), segue que kf (

1 ~x)kF ≤ 1. (∗ ∗ ∗∗) ck~xkE

Mas f é uma trasforma¸cão linear, logo f(

1 1 ~x) = f (~x), ck~xkE ck~xkE

assim (****) implicará em 1 1 kf (~x)kF = k f (~x)kF ≤ 1, ck~xkE ck~xkE ou ainda, kf (~x)kF ≤ ck~xkE , como quer´ıamos mostrar. Mostremos que (3. ⇒ 4.): Observemos que se ~x, ~y ∈ E temos que kf (~x) − f (~y )kF

[f ´ e linear]

=

(∗)

kf (~x − ~y )kF ≤ ck~x − ~y kF ,

como quer´ıamos mostrar. A implica¸cão (4. ⇒ 1.) é imediata (pois (**) garante que f é lischitiziana em E logo cont´ınua em E). ¤ Como conseq¨ uêmcia temos o Corol´ ario 3.5.1 Sejam (E, k.kE ) e (F, k.kF ) espa¸cos vetoriais e f : E → F uma transforma¸c˜ ao linear bijetora. f é um homeomorfismo de E em F se, e somente se, existem c, C > 0 tais que c k~xkE ≤ kf (~x)kF ≤ C k~xkE ,

~x ∈ E.

Demonstra¸ c˜ ao: Lembremos que se f : E → F é uma transforma¸c˜ ao linear bijetora ent˜ ao sua fun¸c˜ ao inversa −1 f : F → E também será uma transforma¸c˜ ao linear (bijetora). Da proposi¸cão acima temos que a condi¸c˜ ao: kf (~x)kF ≤ C k~xkE ,

~x ∈ E

é equivalente a f ser cont´ınua em E. Por outro lado se ~y ∈ F então ~y = f (~x) para algum ~x ∈ E, ent˜ ao ~x = f −1 (~y ), logo a desigualdade c k~xkE ≤ kf (~x)kF , ~x ∈ E.

˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO nos diz que ou seja,

c kf −1 (~y )kE ≤ k~y kF ,

~y ∈ F,

1 kf −1 (~y )kE ≤ k~y kF , c

~y ∈ F,

que, pela proposi¸cão acima, é equivalente a dizer que f −1 ser cont´ınua em F , como quer´ıamos mostrar. ¤ A seguir exibiremos um exemplo de uma transforma¸c˜ ao linear bijetora que n˜ ao é um homeomorfismo (isto é, sua transforma¸cão linear inversa não será cont´ınua). Exemplo 3.5.2 Consideremos R∞ o conjunto formado por todas as seq¨ uências de n´ umeros reais, ~x = (xn )n∈N , tal, no m´ aximo, um n´ umero finito de coordenadas xn é n˜ ao nula, isto é, ~x ∈ R∞ ⇔ ~x = (xn )n∈N e xn 6= 0, somente para n ∈ {n1 , n2 , · · · , nm } ⊆ N. Podemos mostrar (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que R∞ é um espa¸co vetorial sobre R munido das opera¸co ˜es de adi¸c˜ ao de seq¨ uências e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por seq¨ uências. Consideremos em R∞ a seguinte norma (cuja verifica¸c˜ ao ser´ a deixada como exerc´ıcio do ∞ leitor): se ~x ∈ R temos que v uX q u∞ . 2 2 2 k~xkE = x1 + x2 + · · · + xn + · · · = t |xj |2 j=1

que provém do produto interno: se ~x, ~y ∈ R∞ temos que ∞

X . < ~x, ~y >E = x1 .y1 + x2 .y2 + · · · + xn .yn + · · · = xj .yj . j=1

Observemos que ambas as séries acima reduzem-se a somas finitas (pois as seq¨ uências s˜ ao nulas, exceto para um n´ umero finito de termos). Definamos f : R∞ → R∞ por xn . x1 x2 f (~x) = f (x1 , x2 , · · · , xn , · · · ) = ( , , · · · , , · · · ), 1 2 n

~x = (x1 , x2 , · · · , xn , · · · ) ∈ R∞ .

Observemos que f é um operador linear (ser´ a deixado como exerc´ıcio para o leitor) e kf (~x)k2R∞

=

∞ X j=1

∞ X xj 2 |f (xj )| = | |2 j

[|

xj j

∞ |≤|xj |] X

≤

j=1

j=1

se ~x ∈ R∞ , ou seja, kf (~x)kR∞ ≤ k~xkR∞ ,

~x ∈ E.

Logo do teorema (3.5.2) segue que f é cont´ınua em R∞ .

|xj |2 = k~xk2R∞ ,

108

˜ ´ CAPÍTULO 3. FUNC ¸ OES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS Observemos que a fun¸c˜ ao f admite fun¸c˜ ao inversa que é dada por

. f −1 (~y ) = f −1 (y1 , y2 , · · · , yn , · · · ) = (y1 , 2.y2 , · · · , n.yn , · · · ),

~y = (y1 , y2 , · · · , yn , · · · ) ∈ R∞

cuja verifica¸c˜ ao ser´ a deixada como exerc´ıcio para o letor (isto é, f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = idR∞ ). Mostremos que f −1 n˜ ao é cont´ınua. . Para isto, para cada n ∈ N temos que o vetor ~en = (0, · · · , 0, 1 , 0, · · · ) que |{z} n−´ esima posi¸ca õ

pertence R∞ (pois s´ o o termo da n-ésima posi¸c˜ ao é n˜ ao nulo, e igual a 1). Observemos que k~en k2R∞ =

∞ X

|xj |2

[xj =0, n6=j, xn =1]

=

1

e

kf −1 (en )k2R∞ =

∞ X

|j.xj |2

[xj =0, n6=j, xn =1]

=

n2 .

j=1

j=1

Em particular, kf −1 (~en )kR∞ = n2 ≥ n = n.k~en kR∞ . Fazendo n → ∞ segue, do teorema (3.5.2) item 3., que f −1 n˜ ao ser´ a cont´ınua. Temos a Defini¸ c˜ ao 3.5.2 Sejam E1 , E2 , · · · , En , F espa¸cos vetoriais sobre R. Diremos que uma aplica¸c˜ ao f : E1 × E2 × · · · × En → F é n-linear se ela for linear em cada uma de suas n-vari´ aveis, ou seja, para cada j = 1, 2, · · · , n temos que f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj +~yj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) = f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn )+f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~yj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) e f (~x1 , · · · , ~xj−1 , λ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) = λ f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ), onde (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ), (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~yj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) ∈ E1 × · · · × Ej × · · · × En e λ ∈ R, Observa¸ c˜ ao 3.5.3 1. Sejam E1 , E2 , · · · , En , F espa¸cos vetoriais sobre R. e suponhamos que f : E1 × E2 × · · · × En → F é n-linear. Ent˜ ao se ~xj = ~0 ∈ Ej para algum j ∈ {1, 2, · · · , n} ent˜ ao f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) = ~0, isto é, f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~0, ~xj+1 , · · · , ~xn ) = ~0,

˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO De fato, pois f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 , · · · , ~xn ) = f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~0, ~xj+1 , · · · , ~xn ) = f (~x1 , · · · , ~xj−1 , 0.~0, ~xj+1 , · · · , ~xn ) [f ´ e n-linear]

=

0.f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~0, ~xj+1 , · · · , ~xn )

= 0, ou seja, f (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~0, ~xj+1 , · · · , ~xn ) = ~0. 2. Na situa¸c˜ ao acima se n = 2 ent˜ ao f : E1 × E2 → F ser´ a dita bilinear e é caracterizada pelas seguintes propriedades: (a) f (~x1 + ~y1 , ~x2 ) = f (~x1 , ~x2 ) + f (~y1 , ~x2 ); (b) f (~x1 , ~x2 + ~y2 ) = f (~x1 , ~x2 ) + f (~x1 , ~y2 ); (c) f (λ ~x1 , ~x2 ) = λ f (~x1 , ~x2 ) e (d) f (~x1 , λ ~x2 ) = λ f (~x1 , ~x2 ), para ~xj , ~yj ∈ Ej , j = 1, 2 e λ ∈ R. Observemos que do item 1. acima segue que f (~0E1 , ~x2 ) = f (~x1 , ~0E2 ) = ~0F , para ~xj ∈ Ej , j = 1, 2 (onde ~0Ej ∈ Ej é o elemento neutro da adi¸c˜ ao de Ej , j = 1, 2 e ~0F ∈ F é o elemento neutro da adi¸c˜ ao de F ). Temos os seguintes exemplos importantes de aplica¸c˜ oes bilineares: Exemplo 3.5.3 Seja E um espa¸co vetorial sobre R. A multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por vetor de E, m : R × E → E,

. m(λ, ~x) = λ.~x,

λ ∈ R, ~x ∈ E,

é uma aplica¸ca õ bilinear. A verifica¸c˜ ao deste fato é simples e ser´ a deixada como exerc´ıcio para o leitor. Exemplo 3.5.4 Seja E um espa¸co vetorial sobre R com produto interno. O produto escalar de E, < ., . >: E × E → R, é uma aplica¸ca õ bilinear. A verifica¸c˜ ao deste fato é simples e ser´ a deixada como exerc´ıcio para o leitor.

110


Exemplo 3.5.5 Seja Rm espa¸co vetorial sobre R com as opera¸c˜ oes usuais de adi¸c˜ ao de m-uplas e multiplica¸c˜ ao de n´ umero real por m-upla. A aplica¸c˜ ao ¯ . ¯¯ m m ¯, ~ x · · · ~ x det : R × · · · × R → R, det(~ x , · · · , ~ x ) = 1 m 1 m | {z } m−fatores m para (~x1 , · · · , ~xm ) ∈ R · · × Rm}, onde det denota o determinante da matriz quadrada obtida | × ·{z m−fatores

colocando-se na j-ésima coluna da matriz as coordenadas do vetor ~xj , j ∈ {1, · · · , m} (matriz das coordendas do vetor ~xj é da forma (xij )1≤i≤m , j ∈ {1, · · · , m} ). A fun¸c˜ ao determinante tem a seguinte propriedade: det(~x1 , · · · , ~xj−1 , λ~xj + ~yj , ~xj+1 · · · ~xm ) = λ det(~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 · · · ~xm ) + det(~x1 , · · · , ~xj−1 , ~yj , ~xj+1 · · · ~xm ), m para (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~xj , ~xj+1 · · · ~xm ), (~x1 , · · · , ~xj−1 , ~yj , ~xj+1 · · · ~xm ) ∈ R · · × Rm} e λ ∈ R. | × ·{z m−fatores

´ A demonstra¸c˜ ao deste fato é vista no curso de Algebra Linear. Logo, da rela¸c˜ ao acima, segue que a aplica¸c˜ ao m det : R · · × Rm} → R | × ·{z m−fatores

é m-linear. Com isto temos a: Proposi¸ c˜ ao 3.5.1 Sejam (E, k.kE ), (F, k.kF ), (G, k.kG ) espa¸cos vetoriais sobre R normados, E × F com uma das três normas usuais e f : E × F → G é bilinear. S˜ ao equivalentes: 1. f é cont´ınua em E × F ; 2. f é cont´ınua em (~0E , ~0F ) ∈ E × F ; 3. Existe c > 0 tal que kf (~x, ~y )kG ≤ ck~xkE k~y kF , para (~x, ~y ) ∈ E × F ; 4. f é uma aplica¸c˜ ao lischitziana em cada subconjunto limitado de E × F . Demonstra¸ c˜ ao: Mostraremos que o seguinte diagrama ocorre: 1.

- 2.

6

4. ¾

?

3.

˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO Segue imediatamente que (1. ⇒ 2.) e que (4. ⇒ 1). Mostremos que (2. ⇒ 3.): Consideremos em E × F a norma da soma das normas, isto é, k(~x, ~y )kE×F = k~xkE + k~y kF (para os outros dois casos utilizamos o fato que as três normas usuais são equivalentes). Se f é cont´ınua em (~0E , ~0F ) ∈ E×F ent˜ ao, como f (~0E , ~0F ) = ~0G segue, tomando-se ε = 1 > 0 existirá δ > 0 tal que k~xkE + k~y kF = k(~x, ~y )kE×F < δ

ent˜ ao kf (~x, ~y )kG ≤ ε = 1. (∗)

. 4 Seja c = 2 > 0. δ Se (~x, ~y ) ∈ E × F e ~x = ~0E ou ~y = ~0F ent˜ ao temos que f (~x, ~y ) = ~0G logo para kf (~x, ~y )kG = k~0G k = 0 ≤ c (k~xkE k~y kF )

(= 0).

Se (~x, ~y ) ∈ E × F são tais que ~x 6= ~0E e ~y 6= ~0F ent˜ ao os vetores . ~ = X

δ ~x ∈ E, 4k~xkE

. ~ = Y

δ ~y ∈ F, 4k~y kF

satisfazem δ δ δ δ ~xkE = k~xkE = < , 4k~xkE 4k~xkE 4 2 ~ kF = k δ ~y kF = δ k~y kF = δ < δ , kY 4k~y kF 4k~y kF 4 2

~ E =k kXk

assim ~ E + kY ~ kF < δ. kXk Logo (*) implicará que ~ Y ~ )kG = kf ( 1 ≥ kf (X, =

δ δ ~x, ~y )kG 4k~xkE 4k~y kE

[f bilinear]

=

k

δ δ f (~x, ~y )kG 4k~xkE 4k~y kE

δ δ kf (~x, ~y )kG , 4k~xkE 4k~y kE

ou seja, kf (~x, ~y )kG ≤

16 k~xkE k~y kF , δ2 |{z}

(~x, ~y ) ∈ E × F,

=c

mostrando que 3. é verdadeira. Mostremos que (3. ⇒ 4.): Seja U ⊆ E × F um subconjunto limitado de E × F . Logo existe r > 0 tal que U ⊆ B[(~0E , ~0F ); r]. Mostremos que f é lipschitiziana na bola B[(~0E , ~0F ); r].

112

˜ ´ CAPÍTULO 3. FUNC ¸ OES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS . . Se ~z = (~x, ~y ), ~z 0 = (~x 0 , ~y 0 ) ∈ B[(~0E , ~0F ); r] ent˜ ao

kf (~z) − f (~z 0 ) = kf (~x, ~y ) − f (~x 0 , ~y 0 )kG = kf (~x, ~y ) − f (~x, ~y 0 ) + f (~x, ~y 0 ) − f (~x 0 , ~y 0 )kG [f biliear]

=

kf (~x, ~y − ~y 0 ) + f (~x − ~x 0 , ~y 0 )kG ≤ kf (~x, ~y − ~y 0 )kG + kf (~x − ~x 0 , ~y 0 )kG

[3.]

0

0

[k~ xke ,k~ y 0 kF ≤r]

0

≤ ck~xkE k~y − ~y kG + ck~x − ~x kE k~y kG

≤

crk~y − ~y 0 kG + crk~x − ~x 0 kE

= cr[k~y − ~y 0 kG + k~x − ~x 0 kE ] = crk~z − ~z0 kE×F , mostrando que 4. é verdadeira e assim completando a demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao. ¤ Por indu¸cão pode-se demostrar o Corol´ ario 3.5.2 Sejam (E1 , k.k1 ), (E2 , k.k2 ), · · · , (En , k.kn ), (F, k.kF ) espa¸cos vetoriais sobre R normados, E1 × · · · × En munido de uma das três normas usuais e f : E1 × · · · × En → F é n-linear. S˜ ao equivalentes: 1. f é cont´ınua em E1 × · · · × En ; 2. f é cont´ınua em (~0E1 , · · · , ~0En ) ∈ E1 × · · · × En ; 3. Existe c > 0 tal que kf (~x1 , · · · , ~xn )kF ≤ ck~x1 kE1 · · · k~xn kEn , para (~x1 , · · · , ~xn ) ∈ E1 × · · · × En ; 4. f é uma aplica¸c˜ ao lischitziana em cada subconjunto limitado de E1 × · · · × En . Demonstra¸ c˜ ao: Será deixada como exerc´ıcio para o leitor. ¤ Como conseq¨ uência temos o: Corol´ ario 3.5.3 Seja (F, k.kF ) um espa¸co vetorial sobre R normado e Rj espa¸co vetorial sobre R munido de uma das três normas usuais, j = m, n. Se f : Rm × Rn → F é uma aplica¸ca õ bilinear ent˜ ao f é cont´ınua em Rm × Rn . Demonstra¸ c˜ ao: Consideraremos a norma da soma em Rm , Rn (para as outras duas podemos utilizar o fato que as respectivas normas são equivalentes às respectivas norma da soma). . . De fato, sejam Bm = {e~1 , · · · , e~m } e Bn = {f~1 , · · · , f~n } as bases canônicas de Rm e Rn , respectivamente. Dado (~x, ~y ) ∈ Rm × Rn temos que existem x1 , · · · xm ∈ R e y1 , · · · yn ∈ R tais que x=

m X

xi e~i ,

i=1

e y=

n X

yj f~j .

j=1

Como f é bilinear segue que m n m X n X X X ~ f (~x, ~y ) = f ( xi e~i , yj fj ) = xi yj f (~ ei , f~j ). i=1

j=1

i=1 j=1

˜ 3.5. TRANSFORMAC ¸ OES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAC ¸ OS VETORIAIS NORMADO Seja

. c = max{f (~ ei , f~j ) : i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n} ≥ 0. (∗)

Observemos que k~xkRm =

m X

|xi | e

k~y kRn =

i=1

n X

|yj |,

j=1

assim kf (~x, ~y )kF = k

m X n X

i=1 j=1 m X n [(∗)] X

≤

xi yj f (~ ei , f~j )kF ≤ m X

|xi ||yj |c = c[

i=1 j=1

m X n X

|xi ||yj | kf (~ ei , f~j )kF

i=1 j=1 n X

|yj |] = ck~xkRm k~y kRn ,

|xi |][

i=1

j=1

e assim, da proposi¸cão (3.5.1) item 3., segue que f é lipschitziana em Rm × Rn e portanto cont´ınua em Rm × Rn . ¤ Observa¸ c˜ ao 3.5.4 1. Se (E, k.kE ) é um espa¸co vetorial sobre R, normado ent˜ ao a aplica¸c˜ ao bilinear (ver observa¸c˜ ao (3.5.5) item 1.) m:R×E →E

m(λ, ~x) = λ ~x,

(λ, ~x) ∈ R × E,

ser´ a cont´ınua em R × E. Isto segue do fato que se (λ, ~x) ∈ R × E temos que km(λ, ~x)kE = kλ~xkE = |λ|k~xkE = kλkR k~xkE , ou seja, vale 3. da proposi¸c˜ ao (3.5.1) (com c = 1). Logo m ser´ a cont´ınua em R × E (munido de uma das três normas usuais). 2. Se (E, < ., . >E ) é um espa¸co vetorial sobre R com produto interno ent˜ ao a aplica¸c˜ ao < ., . >E : E × E → R, é uma aplica¸c˜ ao bilinear cont´ınua em E × E. O fato de ser bilinear é evidente da defini¸c˜ ao de produto interno. Da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que | < ~x, ~y >E | ≤ k~xkE k~y kE ,

~x, ~y ∈ E.

Logo o item 3. da proposi¸c˜ ao (3.5.1) ocorre (com c = 1) assim a aplica¸c˜ ao < ., . > ser´ a cont´ınua em E × E. 3. Do corol´ ario acima segue que a fun¸c˜ ao determinante (ver exemplo (3.5.5) item 2.) ser´ a m m cont´ınua em R × · · · × R . | {z } m−fatores

24.11.2008 Provinha 1.12.2008 2.a Prova 8.12.2008 Prova Substitutiva

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Cap´ıtulo 4

Bibliografia [ 1 ] E.L. Lima - Espa¸cos Métricos - Projeto Euclides, IMPA, 1977. [ 2 ] G.F. Simmons - Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill, 1963 [ 3 ]S. Lipschutz - Topologia Geral, McGraw-Hill do Brasil, 1973.

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Notas de Curso - Topologia

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